universitas gadjah mada fakultas teknik departemen teknik ... distribusi probabilitas...

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM Statistika dan Probabilitas

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Distribusi Probabilitas Variabel Random q  Distribusi probabilitas variabel

random diskrit q  Distribusi Hipergeometrik q  Proses Bernoulli

n  Distribusi Binomial n  Distribusi Geometrik n  Distribusi Binomial Negatif

q  Proses Poisson n  Distribusi Poisson n  Distribusi Exponensial n  Distribusi Gamma

q  Distribusi Multinomial

q  Distribusi probabilitas variabel random kontinu q  Distribusi Normal

q  Distribusi t

q  Distribusi Chi-kuadrat (χ2)

q  Distribusi F

18-Oct-16

2

Distribusi Probabilitas Variabel Random


Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit

18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random

3




4

q  Situasi q  Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu

populasi berukuran N q  Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok,

masing-masing berukuran k dan (N – k)

q  Contoh q  Suatu populasi berupa

n  hari hujan dan hari tak hujan n  stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek n  sukses dan gagal

18-Oct-16




5

q  Persamaan/rumus q  Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N objek adalah sebuah kombinasi

q  Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan (n – x) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k sukses dan (N – k) gagal adalah:

( ) !!!nnN

NnN

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( )( )

( ) ( )!!!

!!!

xnxnkNkN

xxkk

xnkN

xk

−+−−−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛




6

q  Jadi probabilitas mendapatkan X = x sukses dalam sampel berukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran N yang memiliki k elemen sukses adalah

q  Distribusi kumulatif dari probabilitas mendapatkan x sukses atau kurang adalah:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nN

xnkN

xk

knNxfX ,,;

( ) ∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

iX n

NinkN

ik

knNxF0

,,;




7

q  Nilai rerata (mean) suatu distribusi hipergeometrik adalah

q  Varian

q  Catatan:

( )NknXE =

( ) ( )( )( )1

Var 2 −−−

=NN

nNnNknX

kNxnNnNknxkx −≤−≤≤≤≤ ;;;;




8

q  Contoh q  Suatu DAS memiliki 12 stasiun penakar curah hujan dan diketahui bahwa 2

diantaranya dalam keadaan rusak. q  Manajemen telah memutuskan untuk mengurangi jumlah stasiun menjadi 6 saja.

q  Apabila 6 stasiun dipilih secara acak dari 12 stasiun tersebut, berapakah peluang terpilihnya stasiun rusak sejumlah 2, 1, atau tidak ada sama sekali?

18-Oct-16


Hypergeometric Distributions


9

q  Penyelesaian q  populasi, N = 12

q  jumlah stasiun rusak, k = 2

q  ukuran sampel, n = 6

q  peluang (probabilitas) mendapatkan stasiun rusak sejumlah x = 2, 1, 0 dalam sampel berukuran n = 6 yang diambil dari populasi berukuran N = 12 yang memiliki stasiun rusak sejumlah k = 2 adalah:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nN

xnkN

xk

knNxfX ,,;

18-Oct-16




10

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nN

xnkN

xk

knNxfX ,,;

( )

( )

( ) 2273.0612

06212

02

2,6,12;0:0

5454.0612

16212

12

2,6,12;1:1

2273.0612

26212

22

2,6,12;2:2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

X

X

X

fx

fx

fx




11

q  Ekspektasi jumlah stasiun rusak yang ada di dalam sampel adalah:

q  atau

( ) 11226E =

×==

NknX

( ) 12273.025454.012273.002

01 =×+×+×==∑

=iiXi xfxM




12

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nN

xnkN

xk

knNxfX ,,;

( ) ∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

iX n

NinkN

ik

knNxF0

,,;

=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,FALSE)

=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,TRUE)

fX(2;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(2,6,2,12,FALSE) = 0.2273




Distribusi Binomial



13


Contoh Ilustrasi


14

q  Investigasi thd suatu populasi q  karakteristik populasi → variabel

q  nilai variabel n  nilai ujian: 0 s.d. 100

n  status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda

n  usia: 0 s.d. ...

n  cuaca: cerah, berawan, hujan

18-Oct-16


Contoh Ilustrasi


15

q  Contoh lain q  Jawaban pertanyaan:

n  ya / tidak

n  benar / salah

n  menang / kalah

n  lulus / tak-lulus

n  sukses / gagal

SUKSES vs

GAGAL

18-Oct-16


Distribusi Binomial


16

q  Jika q  variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil q  probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak berubah (tetap) apapun hasil

eksperimen sebelumnya

q  Probabilitas hasil suatu distribusi binomial q  prob(sukses) = p q  prob(gagal) = q = 1 – p

Distribusi Binomial

18-Oct-16


Distribusi Binomial


17

q  Ilustrasi q  Peluang sukses (S) dalam suatu eksperimen adalah p → prob(S) = p q  Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q q  1x eksperimen:

n  peluang sukses p n  peluang gagal q

q  2x eksperimen: n  peluang sukses kmd sukses (S,S): pp n  peluang sukses kmd gagal (S,G): pq n  peluang gagal kmd sukses (G,S): qp n  peluang gagal kmd gagal (G,G): qq

18-Oct-16


Sukses-Gagal dalam 2x Eksperimen


18

Jumlah sukses Cara sukses Jumlah cara sukses Probabilitas sukses

2 SS 1 pp 1 p2q0

1 SG atau GS 2 pq+qp 2 p1q1

0 GG 1 qq 1 p0q2


Sukses-Gagal dalam 3x Eksperimen


19

Jumlah sukses Cara sukses

Jumlah cara sukses Probabilitas sukses

3 SSS 1 ppp 1 p3q0

2 SSG, SGS, GSS 3 ppq+pqp+qpp 3 p2q1

1 SGG, GSG, GGS 3 pqq+qpq+qqp 3 p1q2

0 GGG 1 qqq 1 p0q3


Sukses-Gagal dalam 3x atau 5x Eksperimen


20

3232 1025

qpqp =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

q  3x eksperimen: q  peluang sukses pada eksperimen ke-3: qqp

q  peluang sukses di salah satu eksperimen: pqq + qpq + qqp

q  5x eksperimen: q  peluang sukses 2x: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp

18-Oct-16


Distribusi Binomial


21

q  Jika q  peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p

q  probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil eksperimen yang lain

q  Maka q  peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali eksperimen adalah:

( ) ( ) nxppxn

pnxf xnxX ...,,2,1,0,1,; =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

koefisien binomial =COMBIN(n,x)


Distribusi Binomial


22

q  Distribusi binomial dan distribusi binomial kumulatif

( ) ( )

( ) ( )∑=

−

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

i

iniX

xnxX

ppin

pnxF

nxppxn

pnxf

0

1,;

...,,2,1,0,1,; =BINOM.DIST(x,n,p,FALSE)

=BINOM.DIST(x,n,p,TRUE)


Distribusi Binomial


23

q  Nilai rerata dan varian

q  Koefisien skewness

( )( ) qpnX

pnX=

=

VARE

qpnpqcs

−=

p = q à simetris q > p à negative skew q < p à positive skew


Distribusi Binomial


24

q  Contoh #1 q  Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi

dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). q  Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang

sama untuk terpilih (mendapatkan dana).

q  Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3x?

q  Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?

18-Oct-16


Distribusi Binomial


25

q  Setiap kali pemilihan n  prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih

prob(As) = ¼ = 0.25 = p

n  prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q

q  Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x adalah:

( ) ( ) ( ) 0879.025.0125.035

25.0,5;3,; 353 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −

XX fpnxf

=BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)

18-Oct-16


Distribusi Binomial


26

Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas

0 1 0.237

1 5 0.396

2 10 0.264

3 10 0.088

4 5 0.015

5 1 0.001

Jumlah = 1.000


Distribusi Poisson



27


Distribusi Poisson


28

q  Situasi q  Proses Bernoulli dalam suatu selang waktu à p adalah probabilitas terjadinya

suatu event dalam selang waktu tersebut. q  Jika selang waktu t sangat pendek, sedemikian hingga probabilitas p menjadi

kecil dan jumlah pengamatan (eksperimen) n bertambah, sedemikian hingga np konstan, maka n  ekspektasi jumlah kejadian dalam selang waktu total à tetap

18-Oct-16


Distribusi Poisson


29

q  Sifat q  Proses Poisson adalah suatu proses diskrit pada skala waktu kontinu.

n  Oleh karena itu, distribusi probabilitas jumlah event dalam suatu waktu T adalah sebuah distribusi diskrit,

n  akan tetapi distribusi probabilitas waktu antar events serta waktu sampai ke event ke-n adalah distribusi kontinu.

18-Oct-16


Distribusi Poisson


30

q  Probabilitas distribusi Poisson

q  Distribusi Poisson kumulatif

( ) 0dan...,2,1,0,; >=λ=!

λ=λ

λ−

pnxxexf

x

X

( ) ∑=

λ−

!λ

=λx

i

i

X iexF

0

;


Distribusi Poisson


31

q  Nilai rerata dan varian

q  Skewness coefficient

( ) ( ) λ=λ= XX VARE

21−λ=sc


Distribusi Poisson


32

q  Contoh q  Suatu printer membuat kesalahan secara random pada kertas cetak rerata 2

kesalahan per halaman. q  Hitunglah probabilitas terjadi satu salah cetak dalam satu halaman.

q  Penyelesaian

( ) ( ) 2707.021

22;1; 2

21

==!

==λ−

eefxf XX

λ = 2, x = 1


Distribusi Normal

Distribusi Probabilitas Variabel Random Kontinu


33


Flash-back Distribusi Binomial


34

q  Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan q  Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan secara acak untuk menetapkan

alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). q  Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang

sama untuk terpilih (mendapatkan dana).

q  Berapakah probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?




35

Distribusi Binomial

memilih 1 di antara 4 kegiatan untuk diberi dana

Histogram distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana




36

q  Setiap kali pemilihan q  prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih

prob(As) = ¼ = 0.25 = p q  prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih

prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q

q  Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x adalah:

( ) ( ) ( ) 0879.025.0125.035

25.0,5;3,; 353 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −

XX fpnxf =BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)

18-Oct-16




37

Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas

0 1 0.2373

1 5 0.3955

2 10 0.2637

3 10 0.0879

4 5 0.0146

5 1 0.0010

Jumlah = 1.0000




38

0.2373

0.3955

0.2637

0.0879

0.0146 0.0010 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5

Prob

abili

tas

Frekuensi perolehan dana

Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana




39

q  Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang q  10 tahun

q  20 tahun

q  n tahun n  diperoleh n + 1 kemungkinan hasil

n  Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n – 1 kali, ... 0 kali



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Prob

abili

tas


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Prob

abili

tas


18-Oct-16

40


n = 10 n = 20


Distribusi Binomial vs Kurva Normal


41

q  Apabila pemilihan (eksperimen) dilakukan sejumlah n kali dan n » q  histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki

selang (interval) kecil q  garis yang melewati puncak-puncak histogram → kurva mulus berbentuk seperti

lonceng

Kurva Normal

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random 42

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Peob

abili

tas



n = 20


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Peob

abili

tas



n = 50


Kurva Normal dan Distribusi Normal


44

q  Kurva Normal q  berbentuk seperti lonceng dengan karakteristika tertentu q  tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal

q  Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal q  Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan

distribusi normal q  Distribusi normal lebih mudah dilakukan daripada distribusi binomial karena

karakteristika distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) q  tabel distribusi normal q  perintah/fungsi dalam MSExcel


Distribusi Normal


45

q  Karakteristika distribusi normal q  simetris terhadap nilai rerata (mean)

q  score mengumpul di sekitar nilai rerata

q  kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran tiga kali simpangan baku dari nilai rerata


Distribusi Normal


46

μ−3σ −∞ X

luas = 1

μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞


Distribusi Normal


47

X

luas = 0.9973 luas

= 0

.001

35

luas

= 0

.001

35

μ−3σ −∞ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞


μ−3σ −∞ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞

pdf Distribusi Normal


48

X

pX(x)

N(μ,σ2) ( ) ( ) ( ) 2σµ−−−2πσ= xX exp 2

121

2

pdf (probability density function)




49

X

pX(x)

N(μ1,σ12)

N(μ2,σ22)

N(μ3,σ32)

μ1=μ2=μ3

σ1 > σ2> σ3

−∞ μ1=μ2=μ3 +∞




50

X

pX(x)

N(μ1,σ12)

N(μ2,σ22)

N(μ3,σ32)

μ1 < μ2 < μ3

σ1 = σ2= σ3

−∞ μ2 +∞ μ3 μ1


Distribusi Normal


51

q  Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ2), maka prob(X ≤ x) dapat dicari dengan:

+∞ −∞ x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞−

σµ−−−2

∞−

2

πσ===≤x

tx

XX tettpxPxX d2dprob 212

1

luas di bawah kurva pdf (dari −∞ s.d. x) à cdf

cdf (cumulative distribution function)


pdf - cdf


52

µ–∞ 0

1

+∞

pdf

cdf pX(x)

PX(x)


Distribusi Normal


53

q  Luas di bawah kurva pdf q  menunjukkan probabilitas suatu event

q  menunjukkan percentile rank

q  prob(X ≤ x) = prob(-∞ ≤ X ≤ x) = luas di bawah kurva antara -∞ s.d. x

q  prob(-∞ ≤ X ≤ +∞) = 1 = luas di bawah kurva antara -∞ s.d. +∞

q  prob(X ≥ x) = prob(x ≤ X ≤ +∞) = luas di bawah kurva antara x s.d. +∞ = 1 – prob(X ≤ x)

+∞-∞ x


Distribusi Normal


54

q  Probabilitas q  prob(X ≤ µ) = prob(X ≥ µ) = 0.50

q  prob(µ-x ≤ X ≤ µ) = prob(µ ≤ X ≤ µ+x)

µ +∞ −∞


Distribusi Normal


55

q  Probabilitas q  prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x

= 0 q  prob(X ≤ x) = prob(X < x)

q  prob(X ≥ x) = prob(X > x)

q  prob(xa ≤ X ≤ xb) = prob(xa < X < xb)

xa +∞-∞ xb


Distribusi Normal Standar


56

q  Distribusi normal biasa disajikan dalam bentuk distribusi normal standar q  dinyatakan dalam variabel Z

q  Zx berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) à disebut dengan nama distribusi normal standar

σµ−

=XZx


Distribusi Normal Standar


57

μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ−3σ μ−2σ μ−σ −∞ +∞ X

luas = 1

0 −1 −2 −3 1 2 3 −∞ +∞ Z


Tabel Distribusi Normal Standar


58

q  Tabel z vs ordinat kurva normal standar q  z vs ordinat pdf (probability density function) à file1

q  Tabel z vs luas di bawah kurva q  z vs cdf (cumulative distribution function)

q  luas kurva dari 0 s.d. zx à file2

q  luas kurva dari −∞ s.d. zx à file3


Tabel Distribusi Normal Standar


59

q  Contoh q  Suatu variabel random X berdistribusi normal, serta memiliki nilai rerata 12,

dan simpangan baku 3

q  prob(X < 15)= prob(Z < 1)= … (lihat tabel)

q  prob(X < 9)= prob(Z < −1)= … (lihat tabel)

q  prob(9 < X < 15)= prob(−1 < Z < 1)= … (lihat tabel)


Perintah (Fungsi) MS Excel


60

q  Distribusi Normal q  NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)

n  x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya n  mean = nilai rerata (aritmetik) n  standard_dev = nilai simpangan baku n  cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin

menghitung pdf

q  NORM.INV(probability,mean,standard_dev) n  probability = probabilitas suatu distribusi normal n  mean = nilai rerata (aritmetik) n  standar_dev = nilai simpangan baku




61

q  Distribusi Normal Standar q  NORM.S.DIST(z,TRUE)

n  menghitung nilai cdf distribusi normal standar q  NORM.S.DIST(z,FALSE)

n  menghitung nilai pdf distribusi normal standar q  NORM.S.INV(probability)

n  kebalikan dari NORM.S.DIST(z) n  mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui

q  Ingat q  Distribusi Normal Standar

n  mean = 0 n  simpangan baku = 1




62

q  Contoh 1 q  NORM.DIST(15,12,3,TRUE)

n  rerata = 12

n  simpangan baku = 3

n  prob(X < 15) = NORM.DIST(15,12,3,TRUE) = 0.8413

q  NORM.INV(0.8,12,3) n  prob(X < x) = 0.8

n  x = NORM.INV(0.8,12,3) = 14.5249




63

q  Contoh 2 q  NORM.S.DIST(3,TRUE)

n  rerata = 0 n  simpangan baku = 1 n  prob(Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) = 0.9987 n  prob(0 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – 0.5 = 0.4987 n  prob(1 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – NORM.S.DIST(1,TRUE) n  prob(Z > 1.5) = 1 – NORM.S.DIST(1.5,TRUE)

q  NORM.S.INV(0.65) n  prob(Z < z) = 0.65 n  z = NORM.S.INV(0.65) = 0.3843

universitas gadjah mada fakultas teknik departemen teknik ... distribusi probabilitas...

Documents