université d’angers

21
Université d’Angers Université d’Angers DEUG STU2 DEUG STU2 P1 – Réflexions & transmissions aux P1 – Réflexions & transmissions aux interfaces interfaces IV – Réflexions et Transmissions aux interfaces IV – Réflexions et Transmissions aux interfaces Il est ici question du comportement d’une onde à l’interface de deux milieux de propagation différents. 1 – Interface fluide- 1 – Interface fluide- fluide fluide Considérons l’interface entre deux fluides (1) et (2), de masses volumiques 1 et 2 , et de compressibilités 1 et 2 . fluide 1 fluide 2 1 1 , 2 2 , 0 x i U t U r U 1/21

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Université d’Angers. DEUG STU2. fluide 1. 0. fluide 2. x. P1 – Réflexions & transmissions aux interfaces. 1/21. IV – Réflexions et Transmissions aux interfaces. Il est ici question du comportement d’une onde à l’interface de deux milieux de propagation différents. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Université d’Angers

Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions & transmissions aux interfacesP1 – Réflexions & transmissions aux interfaces

IV – Réflexions et Transmissions aux interfacesIV – Réflexions et Transmissions aux interfaces

Il est ici question du comportement d’une onde à l’interface de deux milieux de propagation différents.

1 – Interface fluide-fluide1 – Interface fluide-fluide

Considérons l’interface entre deux fluides (1) et (2), de masses volumiques 1 et 2 , et de compressibilités 1 et 2 .

fluide 1

fluide 2

11,

22, 0

x

iU

tU

rU

1/21

Page 2: Université d’Angers

Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions & transmissions aux interfacesP1 – Réflexions & transmissions aux interfaces

11,

22, 0

x

iU

tU

rUPuisqu’il s’agit de fluides, les ondes propagées sont toutes longitudinales. On a donc les vitesses de propagation suivantes :

111 1 c 222 1 cet

En arrivant sur l’interface, l’onde incidente Ui donne naissance à une onde réfléchie Ur et une onde transmise Ut.

Afin de formaliser le comportement de l’onde à l’interface, il nous faut exprimer les vibrations en notation complexe :

Puisque : ierz sinicos r

et que :

cx

tUtxU xx cos),( 0

cx

tUcx

tUtxU xxx sinicos),( 00

cx

tU x iexp0

2/21

Page 3: Université d’Angers

Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

On peut alors écrire l’expression complexe des trois ondes impliquées dans le passage à l’interface :

01

exp ii i

xU U t

c

01

exp ir r

xU U t

c

02

exp it t

xU U t

c

on tient compte du sens de propagation et de la nature du milieu de propagation.

Définissons les coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudes de vibration :

0

00

0

00

rrU

i ix

t tU

i ix

UUr

U U

U Ut

U U

coefficient de réflexion

coefficient de transmission

3/21

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

Comme on doit vérifier la continuité des amplitudes à l’interface :

0 0i r tx x

U U U

0 0 0i r tU U U

De même, on doit vérifier la continuité des pressions acoustiques :

0 0i r tx x

p p p

1

1 ii

Up

x

1

1 rr

Up

x

2

1 tt

Up

x

01

exp iii

U xU t

x x c

0

1 1

iexp ii

xU t

c c

01 1 1

i exp ii i

xp U t

c c

4/21

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

On trouve de même :

01 1 1

i exp ir r

xp U t

c c

et 0

2 2 2

i exp it t

xp U t

c c

donc : 0 0i r tx x

p p p

0 0 01 1 2 2

i ii r tU U Uc c

Soit encore : 1 10 0 0

2 2i r t

cU U U

c

Définissons alors les coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudes de pression acoustique :

0

00

01 1

2 2 00

rrp

i ix

t tp

i ix

Upr

p U

p Uct

p c U

1 1

2 2

p U

p U

r r

ct t

c

5/21

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

0 0 0i r tU U U

1 10 0 0

2 2i r t

cU U U

c

0

0

rU

i

Ur

U

p Ur r

Bilan : 0

0

tU

i

Ut

U

1 1

2 2p U

ct t

c

par soustraction par addition

1 10 0

2 2

2 1r t

cU U

c

1 10 0

2 2

2 1i t

cU U

c

0 1 1 1 1

2 2 2 20

1 1r

i

U c cc cU

2 2 1 1

2 2 1 1U

c cr

c c

0

1 10

2 2

2

1

t

i

UcUc

2 2

1 1 2 2

2U

ct

c c

On en déduit aussi :

2 2 1 1

2 2 1 1p

c cr

c c

1 1

1 1 2 2

2p

ct

c c

6/21

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

En fonction des impédances acoustiques, on a :

1 1 11 1

1Z c

c

2 2 2

2 2

1Z c

c

2 2 1 1 2 1

2 2 1 1 2 1

1 11 1U

c c Z Zr

c c Z Z

1 2

1 2

Z ZZ Z

2 2 2

1 1 2 2 1 2

2 21 1U

c Zt

c c Z Z

1

1 2

2ZZ Z

2 1

1 2p U

Z Zr r

Z Z

1 1 2

2 2 1p U U

c Zt t t

c Z

2

1 2

2ZZ Z

1 2

1 2U

Z Zr

Z Z

1

1 2

2U

Zt

Z Z

2 1

1 2p

Z Zr

Z Z

2

1 2

2p

Zt

Z Z

7/21

Page 8: Université d’Angers

Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

Définissons à présent les coefficients de réflexion et de transmission relatifs aux intensités acoustiques :

20

2p

IZ

00

12

pp

Z

0 0 0p c U Z U

0 0

12

I U p

Donc :

r

i

IR

I 0 0

0 0

r r

i i

U pU p

U pr r2

1 2

1 2

Z ZR

Z Z

t

i

IT

I 0 0

0 0

t t

i i

U pU p

U pt t

1 22

1 2

4Z ZT

Z Z

Les coefficients de réflexion et de transmission, qu’ils soient relatifs aux amplitudes de vibration, de pressions acoustiques ou aux

intensités, dépendent uniquement des impédances acoustiques des fluides se trouvant de part et d’autre de l’interface.

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

Remarque :

Comme l’interface n’absorbe pas d’énergie, on doit vérifier que

i r tI I I 1 tr

i i

III I

1 R T

Vérification :

2

1 2 1 22

1 2 1 2

4Z Z Z ZR T

Z Z Z Z

2 21 2 1 2 1 2

2

1 2

2 4Z Z Z Z Z Z

Z Z

2 21 2 1 2

2

1 2

2Z Z Z Z

Z Z

2

1 22

1 2

1Z Z

Z Z

CQFD

Voyons les conséquences pour les cas limites…

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

2

1 2

1 2

Z ZR

Z Z

1 22

1 2

4Z ZT

Z Z

Si les impédances acoustiques des deux milieux sontidentiques (Z1=Z2), alors on remarque que R = 0 et T =1.

Il n’y a donc pas de réflexion, l’onde est totalement transmise d’un milieu à l’autre. On dit qu’il y a adaptation d’impédance.

Si Z1<<Z2, alors on a R 1 et T 0 : il y a réflexion totale.

Si Z1>>Z2, alors on a R 1 et T 0 : il y a réflexion totale.

On constate alors que la transmission est d’autant plus grande que les impédances acoustiques des deux milieux sont proches.

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

Illustration :

Z1 = Zair = aircair = 1,294x331 = 428 kg.m-2.s-1

Z2 = Zsol = solcsol 2500x6000 = 1,5.107 kg.m-2.s-1

Z3 = Zeau = eauceau 1000x1500 = 1,5.106 kg.m-2.s-1

Z1 << Z3 < Z2

Donc:

Tair-eau 10-3 et Rair-eau 1 il y a quasiment réflexion totale.

Tsol-eau 0,33 et Rsol-eau 0,67 les vibrations du sol sont en partie transmises dans l’eau.

11/21

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

2 – Interface solide-fluide2 – Interface solide-fluide

Si on se place dans la configuration où Zsolide>>Zfluide, alors on peut admettre qu’il y a pratiquement réflexion totale à l’interface.

On considère alors une onde incidente transversale dans le milieu solide :

0

solide

fluide

z

ik

TiU

Trk

TrU'

LrU

Lrk

Après réflexion à l’interface, l’onde transversale donne naissance à deux ondes :

une transversale

une longitudinale

La direction prise par ces deux ondes est régie par la loi de Snell-Descartes…

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

0

solide

fluide

z

ik

TiU

Trk

TrU'

LrU

Lrk

Loi de Snell-Descartes :

2

2

1

1 sinsinvv

Milieu (1) Milieu (2)

Or, ici il s’agit d’un seul et même milieu, mais dans lequel la vitesse de propagation diffère selon la nature de l’onde.

Donc :TT vv

'sinsin '

et :LT vv sinsin

sinsinT

L

vv

sin

onde incidentetransversale

onde réfléchietransversale

onde réfléchielongitudinale

13/21

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

0

solide

fluide

z

ik

LiU

LrkL

rU'

TrU

Lrk

LL vv'sinsin

'

TL vv sinsin

sinsinL

T

vv

sin

Si l’onde incidente est longitudinale, on a :

14/21

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

3 – Interface solide-solide3 – Interface solide-solide

On considère deux milieux solides (1) et (2) caractérisés par les vitesses de propagation longitudinales et transversales (vL1,vT1) et (vL2,vT2).

On supposera que les vitesses dans le milieu (1) sont inférieures à celles dans le milieu (2).

Solide (2)

z

Lik L

i

Ttk

Ltk

Solide (1)

Lr

Tr

Lrk

Trk

Lt

Tt

11

sinsin

L

Lr

L

Li

vv

Li

Lr

11

sinsin

T

Tr

L

Li

vv

Li

Tr

21

sinsin

L

Lt

L

Li

vv

Li

Lt

21

sinsin

T

Tt

L

Li

vv

Li

Tt

15/21

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Université d’AngersUniversité d’Angers

DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

4 – Application à l’étude des séismes4 – Application à l’étude des séismes

L’étude de la propagation en milieu solide a montré qu’on pouvait distinguer deux vitesses de propagation :

onde longitudinale : vitesse la plus grande onde P (primae)

onde transversale : vitesse la plus faible onde S (secundae)

De part la nature transversale de leurs vibrations, les ondes S sont les plus intenses… donc les plus destructrices.

Toute onde sismique est généralement de très basse fréquence (qq Hz).

L’application directe des différents principes vus dans ce cours n’est pas suffisante ; les raisons principales sont les suivantes :

Le globe terrestre n’est pas un matériau homogène

diversité géologique de la croûte terrestre structure en couches

vitesses de propagation très variées

16/21

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

Effet de la pression au sein d’un même matériau (par exemple le manteau), la pression augmente avec la profondeur la densité (masse volumique) et les coefficients de Lamé augmentent

alors avec la pression et la profondeur :

globalement, les vitesses augmentent avec la profondeur

Effet des discontinuités

Les discontinuités telles que le passage du manteau solide au noyau externe liquide provoquent des effets complexes dont le plus simple est par exemple l’extinction des ondes S lors de la transmission d’un milieu solide à un milieu liquide.

17/21

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

S

P

P

0

2

4

6

8

10

12

14

2000 4000 6000profondeur (km)

vit

ess

e (

km.s

-1)

Manteau(solide)

Noyau externe(liquide)

Noyau interne(solide)

Croûte

18/21

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

Courbure des rais sismiques

L’augmentation continue de la vitesse de propagation avec la profondeur a pour effet la courbure des rais de propagation.

A titre de démonstration, considérons l’interface entre deux milieux caractérisés par des vitesses de propagation voisines :

vv+dv

d

vvv d)dsin(sin

sind

)dsin(v

vv sin

d1

vv

sin)dsin( 0d

Les rais de propagation (rais sismiques) se courbent progressivement avec la profondeur.

19/21

Page 20: Université d’Angers

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

A l’échelle du globe, s’il n’y avait pas de discontinuité, on observerait :

globe parfaitementhomogène

vitesse croissante avec la profondeur

20/21

Page 21: Université d’Angers

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions et transmissions aux interfacesP1 – Réflexions et transmissions aux interfaces

En tenant compte des discontinuités et de la courbure des rais sismiques, les choses se compliquent…

P

PPPkikP

PkP

PcP

Conventions d’écriture :

P : onde directe

PP : une réflexion en surface

PcP : une réflexion sur le noyau externe (core)

PkP : une transmission par le noyau externe (kern)

i : transmission par le noyau interne (innercore)

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