université paris 13
DESCRIPTION
Université Paris 13. Master 1. Exemples de filtres numériques Produit de convolution Transformée en Z Filtres numériques Fonction de transfert Critère de stabilité, pôle, zéro Filtre à phase linéaire Schéma général. Traitement Numérique du Signal. 1/ Registre à décalage. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1
Université Paris 13
Traitement Numérique du Signal Master 11. Exemples de filtres numériques2. Produit de convolution3. Transformée en Z4. Filtres numériques5. Fonction de transfert6. Critère de stabilité, pôle, zéro7. Filtre à phase linéaire8. Schéma général
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 2
1/ Registre à décalage– Retard T Multiplication par Z-1 (nT Z-n)– Réalisation : Registres à décalages, décalages de pile (FIFO)
Z-1
f(nT) f((n-1)T) f(nT)
f((n-1)T)
f((n-2)T)
f((n-3)T)
f((n-4)T)
Entrée
Sortie
f((n-5)T)
Horloge (T)f(nT)
Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 Z-1
Z-1
Z-1
Z-1
Z-1
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 3
Exemple de filtrages
Entrée Filtres Sorties
t
t
t
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 4
2/ Propriétés de la convolution : y[n]=h[n]*x[n]
1. Fréquence d’échantillonnage et périodicité conservées : x[n] N-périodique alors y[n] est N-périodique2. Invariance par translation dans le tempsSi x2[n] = x1[n-d] alors y2[n] = y1[n-d]3. Amplification des signauxSi x2[n] = a x1[n] alors y2[n] = a y1[n]4. Superposition des signauxSi x3[n] = x1[n]+x2[n] alors y3[n] = y1[n]+y2[n]5. Filtres en cascadeSi z[n]=h2[n]*y[n] et y[n]=h1[n]*x[n] alors h[n]=h2[n]*h1[n] et z[n]=h[n]*x[n]6. Modification de la moyenne moyenne(y[n]) = H(0) x moyenne(x[n])7. Réponse forcée du systèmeSi x[n]=exp(j2 f0nTe) alors y[n] = H(f0) x[n]
)(ˆ)(ˆ)(ˆ* fXfHfYxhy nnn
^
^ )()()(* zXzHzYxhy nnn
Réponse fréquentielle
Fonction de transfert
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 5
3/ Transformée en Z
0n
nn zszS
n
fnTjn
eesfS 2)(ˆ
nesnn
anTn
e1 0
module
phase
z=exp(j2fTe)11
1)(
zezS
eaT
signal causal
|z|f
nTe
pôle
zéro
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 6
Propriétés de la transformée en Z
)()()(* 21 zYzXznyxTZ nn
)()]([)()]([ 22 0 zeSfseTZzSzfsTZ ee fTjn
nTfjddn
)()()]([)()]([ zYzXzyxTZzaSfasTZ nnn
)]()2[sin()]()2[cos(1
11)]([ 111 1..001..0011..0
znnTfTZfnnTfTZz
zznTZzTZ
NeNe
N
Nn
)(1)()(1
1)( 1
110
zSzzssTZzSz
zsTZ nn
n
pp
)()(1
zXzYxyfa
faTT nnxe
ye
xe
ye
Retard=>déphasage
Linéarité
Dilatation/concentration
Somme cumulée et différence entre termes successifs
Produit de convolution/produit
Sinusoïdes=>quotients
décalage fréquentielParité )()( zXzXxn
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 7
4/ Filtrage
][nh nn
nnnnn unynuy *][][
][][1 nn
ee nTfjnTfj efHne 00 20
2 ˆ][ )(ˆ)(ˆ)(ˆ][ fUfHfYnuy nn
n
][)( nhTZpH
Réponse impulsionnelle
Réponse indicielle
Réponse harmonique ou réponse fréquentielle
Fonction de transfert
)(
ˆ
fhTFTD
fH
n
nn
n
nnn unnznuz *][][1]'[
0''
)()()(][ zUzHzYnuy nn
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 8
tous les pôles sont nuls
AR, MA, ARMA
pp zbzbbzH ..)( 1
10
pp zazaa
zH
..
1)(
110
pp
zazaa
zbzbbzH
..
..)(
110
110
MA=FIR=RIFréponse impulsionnelle finie
ARtous les zéros sont nuls
ARMA
qnqnnn xbxbxby ...110
npnpnn xyayaya ...110
qnqnnpnpnn xbxbxbyayaya ...... 110110
AR+ARMA=IIR=RII
21)1()( zzH
1
1
5.01
1
98.01
1)(
z
zzH
1
1
5.01
198.01
1)(
z
zzH
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 9
Schéma d’un filtre du 1er ordre
• Equation récurrente : s(nTe)=s[n]=sn=A.en+B.sn-1
• Symbolisation
Z-1e(nT)
+A
s(nT)s((n-1)T)
B
• Transformée en Z : H(Z)=A/(1-B.Z-1)
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 10
5/ Equations aux différences, filtres linéaires et Réponses fréquentielles
]2[]1[]2[]1[][ 210210 nxbnxbxbnyanyanya
22
110
22
110
)(
)()(
zazaa
zbzbb
zX
zYzH
fjfj
fjfj
eaeaa
ebebbfH
222
210
222
210)(ˆ
)()( 22
110
22
110 zXzbzbbzYzazaa
Relation entrée-sortie
TZ
Fonction de transfert
Réponse fréquentielle
z opérateur retard-1
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 11
Pôles, zéros et allure de la réponse fréquentielle
22
110
22
110)(
zazaa
zbzbbzH
e
z
e
z
e
z
e
zb f
ffzj
f
ffz
f
ffzj
f
ffzfH
##1
1
##1
1
##0
0
##0
00 2sin2cos1arg2sin2cos1arg1)(ˆarg
1
21
11
0
12
11
10
111
111)(
zpzpzp
zzzzzzbzH
e
p
e
p
e
z
e
z
f
ffpp
f
ffpp
fff
zzf
ffzz
bfH##
11
2
1
##0
0
2
0
##1
1
2
1
##0
0
2
0
2cos212cos21
2cos212cos21
)(ˆ
Relation entrée-sortie
Fonction de transfertfactorisation zéros
pôlesModule de la réponse fréquentielle
Phase de la réponse fréquentielle
]2[]1[
]2[]1[][
210
210
nxbnxbxb
nyanyanya
e
p
e
p
e
p
e
p
f
ffpj
f
ffp
f
ffpj
f
ffp
##1
1
##1
1
##0
0
##0
0 2sin2cos1arg2sin2cos1arg
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 12
Fonctions de transfert, décomposition en élément simple et réponse impulsionnelle
12
21
1
11
0
0
111)(
210
zp
eA
zp
eA
zp
eAbzH
jjj
][1][1 1100 2
112
00 nepAnepAbh ep
ep nTfjnnTfjn
nn
Fonction de transfert
Décomposition en éléments simples
pôlesRéponse impulsionnelle TZ-1
22
110
22
110)(
zazaa
zbzbbzH
1
21
11
0
12
11
10
111
111)(
zpzpzp
zzzzzzbzH
précautionssur les calculs
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 13
6/ Filtres stables / Filtres à minimum de phase
1, ipi
1, izi
Le filtre est stable si:
Le filtre est à minimum de phase si:Re(p)
Im(p)
Zone destabilité
1
j
Ordre du filtre = max(nb pôles,nb zéros)
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 14
nnn xayy 1 11
1)(
azzH a
][1][ nanh na
e
a
f
faa
fH#
2 2cos21
1)(ˆ
e
e
e
e
a
ffa
ffa
ffa
ffafsign
fH
/2cos1
/2sinarctan
/2cos1
/2sinarctan)(
)(ˆarg
#
#
#
##
1a
1a
Re(p)
Im(p)
xxxxx
pôles
stable
in-stable
n
nff
f f# #
# #
a
ff
a
e 1arccos
2
1
#
sinon
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 15
112
1 nnnn bxxyy
1
1
2
11
1)(
z
bzzH b
][12
212][ n
bbnh
nnb
e
eb
ff
ff
bb
fH#
#2
#
2cos45
2cos21
)(ˆ
1b
1bmin
t
tff
f f
nonmin
# #
# #
Re(p)
Im(p)
x oooo
pôle
o
zéros
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 16
phase
e
e
e
e
e
e
ff
b
ff
b
ff
b
ff
b
fsign
ff
ff
fH
#
#
#
#
#
#
2cos1
2sin
arctan
2cos1
2sin
arctan)(
2cos21
1
2sin21
arctan)(ˆarg
b
ff
b
e 1arccos
2
1
#
sinon
et
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 17
Impact sur le signal de sortie en entrée :
en sortie après approximation :
Retard de groupe
Fréquence Seuil
500 Hz 3.2 ms
1 kHz 2 ms
2 kHz 1 ms
4 kHz 1.5 ms
8 kHz 2 ms
Définition :
En audio :
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 18
7/ Filtre à phase linéaire
N
Nn
fnTjn
N
n
fnTjn
ee ehehfH2/
212/
0
2n-Nn )(ˆhh
Symétrie de la réponse impulsionnelle phase linéaire le filtre est l’association d’un retard et d’un filtre de réponse impulsionnelle paire non-causale
12/
0
22
n-Nn )2cos(2)(ˆhhN
nen
NTfj
fnThefHe
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 19
][nha
][nhb
][nhc
][nhd
)(ˆ #fH a
)(ˆ #fHb
)(ˆ #fH c
)(ˆ #fH d
)(ˆarg #fH i )(ˆarg ##
fHdf
di
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 20
Réponse impulsionnelle symétrique => phase linéaire
][1][ 1..0 nnh Na
][1]'[11
][0'
1..0 nnN
nh Nn
n
nNb
][][][ Nnhnhnh bbc
)]2([][][ Nnhnhnh bbd
e
e
e
Tfj
NTfj
e
eTNfja
e
e
Tf
NTfefH #
#
#
2
2
#
#)1(
1
1
sin
sin)(ˆ
22
22
2
2#
2
#
#
##
#
#
#
1
11
1)(ˆ
1
11)(ˆ
e
ee
e
e
e
Tfj
NTfjTfj
Tfj
NTfj
aTfjb
e
eNe
e
efH
eNfH
ee
NTfjb
bNTfj
bc
efH
fHefHfH#
#
2#
#2##
1)(ˆ
)(ˆ)(ˆ)(ˆ
eee
e
NTfjb
NTfjb
NTfj
bNTfj
bd
efHefHe
fHefHfH###
#
2#2#2
#22##
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)(ˆ)(ˆ
réelle linéaire
phase non-linéaire
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 21
8/ Temps discret : Filtres et transformées
#nh
nnn xhy *#
)(# zH )(ˆ # fH
#nnnn hyx
e
e
nTfjn
nTfjn
efHy
ex#
#
2##
2
)(ˆ
TZ
eTfjez#2
TFTD
Equation de récurrence