universiteti i prishtinËs -...

[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011

1

UNIVERSITETI I PRISHTINËS

FAKULTETI I EDUKIMIT – PRIZREN

LËNDA – FIZIKË

MENTORI KANDIDATI

Prof.dr.Zijadin SHEMSEDINI Zemir RAMADANI

Prizren_dhjetor 2011


2

ABSTRAKTE (Kush ishte Daniel Bernuli?)

Daniel Bernoulli Hidrodinamika

Daniel Bernuli, ishte fizikan, matematikan dhe ekonomist i madh i kohës së tij. U lind më

29 janar 1700 dhe vdiç në moshën 82 vjeçare, me 17 mars 1782. Ishte studjues i madh i

mekanikës së fluideve, i teorisë së probabilitetit apo besueshmërisë, hidromekanikës,

hidaulikës, matematikës, fizikës, medicinës, metafizikës, filozofisë së natyrës dhe për

dëshirë të babait të tij ishte edhe studjues i statistikës dhe ekonomisë.

Ishte formulues i teorisë kinetike të gazeve, ku aplikoj idetë e veta në shpjegimin e ligjit

të Bojl-Mariotit. Ishte bashkohanik dhe mik i ngushtë i matematikanit dhe fizikanit të

madhë zviceran Leonard Euler1, me të cilin bashkpunoj pa rreshtur deri në vdekje.

1 Leonard Euler – zbulues i teorisë së funksioneve, kalkulimeve infinitezimale, analizës matematike, pastaj

ishte kontribues në fushën e mekanikës, dinamikës së fluideve, optikës dhe astronomisë.


3

HYRJE

Ekuacioni i Bernulit, është ndër principet dhe ligjet më të njohura në fizikë.

Është parim i cili ka gjetë zbatim në shumë disiplina shkencore dhe si i tillë

është ligj shumë i aplikushëm në praktikë. Askush nuk do ta kishte besuar

(në kohën kur është formuluar ky ligj) se do të gjente një zbatim kaq të gjerë,

sidomos në fushën e hidrodinamikës dhe aerodinamikës.

Shih animacionin me “embed code2”, në fusnotë-zemiri©2011

Qarkullimi i një fluidi të pandrydhshëm (ideal), përgjatë një gypi të

rrymimit, i cili gjendet nën ndikimin e fushës gravitacionale, bën që ligji i

ruajtjes së energjisë të shprehet me një formulë të njohur me emrin

“Ekuacioni i Bernulit”

Për rrjedhje stacionare dhe laminare, shpejtësia, shtypja dhe latësia e një

fluidi të pangjeshëm dhe joviskoz, janë të lidhura me këtë ekuacion të

zbuluar nga shkencëtari zviceran, Daniel Bernuli3.

2 <iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/WGGxNsYTDfw"

frameborder="0" allowfullscreen></iframe> 3 Daniel Bernuli – ishte fizikan dhe inxhinjer i njohur zviceran dhe djali i matematikanit zvicran Xhon

Bernulit (John Bernoulli). Xhon dhe Jakob Bernuli, ishin matematikan të njohur dhe njëkohësisht vëllezër,

të cilët punuan dhe kontribuan shumë në fushën e kalkulimeve matematikore.


4

EKUACIONI I BERNULIT

Për ta nxjerrë matematikisht ekuacionin e Bernulit do të japim dy sugjerime

lidhur me fluidin që lëviz.

Sugjerimi4 i parë është se, kurdoherë që një fluid lëviz nëpër një gyp

horizontal, ai ndeshet në një regjion të zvoglimit të sipërfaqes së prerjes

tërthore, shtypja e tij do të ulet sikur që tregohet në fig.1. Arsyeja për këtë

vjen nga ligji i dytë i Njutonit. Gjatë lëvizjes

prej një regjioni më të gjërë (2), kah regjioni

më i ngushtë (1), shpejtësia e fluidit rritet,

përkatësisht ai nxitohet duke u bazuar në

ruajtjen e masës ( të dhënë me ekuacionin e

kontinuitetit).

ku:

Në pajtim me ligjin e dytë të Njutonit, nxitimi i fluidit duhet të jetë

shkaktuar nga një forcë e pa ekuilibruar. Këtu forcë të pabalancuar, gypi

mund ta ketë vetëm kur shtypja në regjionin e dytë, e tejkalon shtypjen në

regjionin e parë. Do të shohim se ky dallim i shtypjes jepet me Ekuacionin e

Bernulit.

Sugjerimi i dytë është ajo se kur fluidi lëviz drejt një lartësie më të madhe,

shtypja në nivelin më të ulët është më e madhe se sa shtypja në nivelin më të

lartë, siç tregon figura 2.

4 Sugjerim – sugjeroj, propozoj apo këshilloj (shpjegim i fjalës!).


5

Figura 2

Në pjesën e gypit në figurë, rrymon një sasi lëngu (uji) dhe siq po duket

shpejtësia dhe presioni i ujit në gyp, ndryshon nga seksioni i parë në të dytin,

në të tretin, e kështu më radhë. Matësit e shpejtësisë dhe presionit, tregojnë

vlerat e tyre të cilat paraqiten njëkohësisht në tri vende të gypit. Shihet se aty

ku gypi është më i ngushtë, shpejtësia e ujit rritet, ndërsa presioni i tij bie

dhe e kundërta, aty ku ku gypi zgjerohet, shpejtësia zvoglohet, por presioni i

ujit në gyp rritet.

Figura 3

Për ta nxjerrë ekuacionin e Bernulit do të na ndihmonte figura-4. Nëpër një

tub të lakuar, rrymon fluidi nën ndikimin e shtypjes dhe forcës së rëndesës

𝑝1 > 𝑝3

1 < 3

𝑣1 < 𝑣3

𝑆1 > 𝑆3

Parametrat, janë:


6

së tokës. Këtë fluid e mendojmë si fluid ideal d.m.th., të pangjeshëm dhe

joviskoz5. Në sipërfaqet e prerjeve tërthore të tubit S1 dhe S2 rrymon fluidi

me masë:

1

1 1

1 1

Sipërfaqja e prerjes tërthore e tubit S1 gjendet në lartësi h1 ndaj rrafshit

horizontal, kurse sipërfaqja e prerjes tërthore S2 në lartësin h2. Që të dyja

(edhe sipërfaqja e prerjes tërthore edhe lartësia) janë të ndryshme në vendet

e ndryshme përgjatë këtij tubi. Nëpër sipërfaqen e prerjes tërthore S1 fluidi

rrymon me shpejtësi v1 kurse shtypja në atë regjion është p1. Në regjionin me

prerje tërthore S2 shpejtësia e fluidit është v2 dhe shtypja p2.

Gjatë rrymimit të fluidit me masë , kryhet puna si rrjedhim i veprimit të

shtypjes p. Puna që kryen fluidi gjatë rrymimit në regjionin me sipërfaqe të

prerjes tërthore S1 është :

1 1 1 1 1 1 1 1

kurse nëpër prerjen tërthore S2 është :

Fluidi në lëvizje ka energji kinetike e meqënëse rrymimi i tij bëhet në një

lartësi ndaj rrafshit horizontal atëher ai ka edhe energji potenciale. Energjia

kinetike e fluidit në regjionin me sipërfaqe të prerjes tërthore S1 të tubit

është:

5 Joviskoz - pa fërkim të brendshëm


7

1

1

kurse energjia potenciale është:

1 1

Në regjionin me sipërfaqe të

prerjes tërthore S2 është:

dhe energjia potenciale është:

Energjia e përgjithshme e

fluidit në çdo pjesë të tubit është e barabartë me shumën e energjisë kinetike,

potenciale dhe energjisë apo edhe të punës që del nga veprimi i shtypjes.

Te rrymimi i fluidit zbatohet ligji i ruajtjes së energjisë prandaj energjia e

përgjithshme e fluidit nëpër regjionin e parë, me prerje tërthore S1 të tubit

është e barabartë me energjinë e përgjithshme të fluidit në regjionin e dytë,

me sipërfaqe të prerjes tërthore S2.

Siq shihet te ekuacioni i Bernulit, ligji i ruajtjes së energjisë shprehet si punë

e forcave të gravitetit për të zhvendosur lëngun me vëllim të caktuar nga një

pozitë në tjetrën;

1 1 1

dhe si punë e forcave të shtypjes , e cila është e barabartë me

diferencën e punëve që veprojnë në sipërfaqet e seksioneve përkatëse;

1 1 1 1 1

1 1


8

Ndërrimi i energjisë kinetike të lëngut, është pikërisht pasojë e ndryshimit të

këtyre forcave;

1

1 1

Pra duke u bazuar në ligjin për ruajtjen e energjisë, puna e investuar për të

bartur masën e lëngut nga një pozitë në tjetrën, duhet të jetë e barabartë me

ndryshimin e energjisë kinetike të tij, prandaj do të kemi:

Apo pas zëvendësimit të shprehjeve të më-sipërme, marrim:

1 1 1 1 (1

1

1 1

Zakonisht lëngjet ideale janë të pandrydhshme, prandaj vëllimi i tyre nuk

ndryshon, dmth:

1

Atëherë ekuacioni i mësipërm merrë këtë formë:

1 1 (1

1

1

Apo:

1 1 1

1

+ + 1

Duke ditur se seksionet e gypit të Bernulit mund të jenë të çfardoshme,

atëherë për cilindo seksion të gypit të rrymimit mund të shkruajmë shprehjen

matematikore:


9

Ekuacioni i fundit, paraqet, ligjin e rrymimit të lëngut ideal e të pa-

ndrydhshëm. Me këtë rast që të tre

anëtarët e mësipër, i kanë përmasat e

shtypjes. Anëtari i parë ka përmasat e

shtypjes në seksionin e dhënë të gypit

(p), anëtari i dytë ka përmasat e

shtypjes hidrostatike ( dhe

anëtari i tretë i ka përmasat e shtypjes

hidrodinamike ( 1

Varësisht nga pozita e gypit të rrymimit

mund të mos ketë efekt ndonjëri nga këta

faktorë. P.sh. për gypin horizontal nuk ka

efekt shtypja e lartësisë pasi ndryshimi i

shtypjeve, në këtë rast, është baras me

zero.

Ekuacioni i Bernulit është rezultat i drejtëpërdrejtë i teoremës punë-energji

dhe aplikohet kur rrjedhja është joviskoze, pra kur humbjet nga viskoziteti

mungojnë. Pasi që pikat 1 dhe 2 janë zgjedhur në mënyrë arbitrare, termi ka

vlerë konstante në të gjitha pozitat e rrjedhjës.

Në qoftëse fluidi ideal rrymon nëpër tubin horizontal në atë mënyrë që të

gjitha pjesët e tubit gjenden në lartësi të njëjtë 1 , nga rrafshi

horizontal, ekuacioni i Bernulit e merrë formën:

1 1

1

+ 1

Figura 5

Figura 6


10

apo

Kur fluidi rrymon nëpër tubin e pjerrët, por me sipërfaqe të prerjes tërthore

të njejtë në tërë gjatësinë e tij, atëherë shpejtësitë v1=v2=v dhe ekuacioni i

Bernulit do të merrë formën :

1 1

Ndryshimi i shtypjes në të dy skajet e tubit do të jetë baras me shtypjen e

shtyllës së fluidit:

1 1

ZBATIMI I EKUACIONIT TË BERNULIT

Ekuacioni i Bernulit ka gjetur zbatim të madhë në shumë degë të shkencës

dhe të teknologjisë, sidomos në Aerodinamikë, Hidrodinamikë, me

aplikimin e Pompës së Bunzenit, sprejeve të ndryshme, si shpërhapësi i

aromës, gypi i Pitos, gypi i Pandlit, gypi i Venturit, teorema e Toriçelit,

fluturimi i aeroplanit, etj. Do ti analizojmë në veqanti të gjithë këta shembuj

ndaras, që shpjegohen me ekuacionin e Bernulit.

TEOREMA E TORIÇELIT

Evangelista Toriceli, një fizikan i njohur italian, ka shqyrtuar rrjedhjen e

lëngut nga ena e cila e ka vrimën e vet në fund të enës, siq e tregon edhe

figura. Për këtë qëllim ne do të zbatojmë për këtë rast me të dhënat për

sipërfaqen e lëngut dhe për vrimën kah del uji.


11

Shkruajmë së pari ekuacionin e Bernulit për dy seksione tërthore të enës,

pjësn e sipërme dhe vrimën e daljes së ujit.

1 1 1

1

+ + 1

Pasi që sikur në sipërfaqen e lirë të lëngut, ashtu edhe në vrimën e rrjedhjes,

vepron shtypja atmosferike, 1 , ku pa është shtypja atmosferike.

Në anën tjetër lartësitë përkatëse të ujit janë:

1

Nga figura shihet se ena është e gjerë, dhe shpejtësia e rënjes së nivelit të ujit

në pjesën e hapur është shumë e vogël, kurse në pjesën e ngushtë është

shumë e madhe, prandaj kemi:

1

Prandaj nëse këto vlera i zëvendësojmë në

shprehjen e mësipërme për ekuacion të Bernulit,

do të fitojmë:

Prej nga fitojmë shprehjen e duhur për shpejtësi

të rrjedhjes së fluidit (lëngut):

√

E cila në fakt paraqet teoremën e njohur të Toriçelit. Këtë rezultat do ta

fitonim edhe poqëse vrima e daljes së ujit do të ndodhej në pjesën anësore të

enës, porn ë një thellësi h nga sipërfaqja e lirë e lëngut.

Themi se nga vrima e vogël del uji në formë të një çurgu, i cili ngushtohet

kur del nga vrima, por zgjerohet përsëri pas daljes nga ajo, me ç’rast i merr

Figura 7 (kb©)


12

seksiont përkatëse , ku seksioni i parë është kur uji ndodhet një çast

në vrimë dhe i dyti kur uji del nga vrima.

Me këtë rast fenomeni i njohur si “kontraksioni i çurgut”, tregon se shkalla e

kontraksionit përkufizohet si herës i këtyre dy sipërfaqeve të prerjes tërthore:

<

Me këtë rast sasia e lëngut Q e cila rrjedh nga hapja me sipërfaqe S

njehësohet, nëse dihet sipërfaqja e hapjes S, dihet shkalla e kontraksionit të

çurgut dhe shpejtësi e rrymimit të lëngut nëpër enë, prandaj themi se vlen

shprehja matematikore:

√

GYPI I VENTURIT (VENTUR-METRI)

Gypi i Venturit është një veglëri e cila bën matjen e shpejtësisë së lëngut,

ose prurjes vëllimore të lëngut. Gypi i Venturit është paraqitur në figurën 8.

Gypi i Venturit ndryshe quhet “ventur-metër” , pra është një aparat për

matjen e shpejtësisë së lëngut apo gazit nëpër tub. Kur fluidi lëviz nëpër

pjesën e ngushtë të venturi metrit, shpejtësia e tij rritet nga v2 në v1, kurse

shtypja e tij zvogëlohet nga p2 në p1.


13

Duke i matur këto shtypje, mund të gjendet shpejtësia, ashtu edhe vëllimi i

lëngut në njësinë e kohës. Duke e zbatuar ekuacionin e kontinuitetit dhe

ekuacionin e Bernulit për seksionin e madh dhe të vogël të gypit, gjejmë:

1 1

1 1

1

+ 1

1

1

Dhe duke zëvendësuar 1 fitojmë shprehjen:

√ 1

1

Me këtë rast sipërfaqet e seksioneve tërthore të gypit janë të njohura, prandaj

diferenca e shtypjeve do të jetë:

1

Atëherë prurja vëllimore e fluidit në gypin ventur do të jetë 1 dhe

ekuacioni do të marrë këtë formë:

1 1 √ 1

1

1 √

1

1 √

1


14

POMPA E BUNZENIT

Një shembull tjetër i cili vërteton zbatimin në praktikë të ekuacionit të

Bernulit, është edhe Pompa e Bunzenit. Kjo pompë punon në parimin e

ndryshimit të shtypjes dhe ndryshimit të rrjedhjes së lëngut, ashtu siq tregon

figura.

Pompa e Bunzenit, mund të kyqet në rrjetin e ujësjellësit dhe zakonisht është

përbërë nga një balonë e qelqit, nëpër të cilën kalon një gyp tjetër i cili është

i ngushtuar në skajin e vetë. Në

pjesën e ngushtë të gypit, lidhet

gypi tjetër i cili vazhdon tutje, por

që në pjesën lidhëse është më i

gjerë. Balona e qelqit është mund të

lidhet me një manometër, kurse

manometri lidhet me enën të cilës duam që t’ia

rralojmë ajrin. Kur zmadhohet shpejtësia e lëngut

në fundin e ngushtë të gypit, shtypja e ajrit do të

zvogëlohet nën nivelin e shtypjes atmosferike

dhe mundësohet thithja e ajrit nga ena në balonë.

Bombolat e gazit punojnë sipas parimit të

pompës së Bunsenit, prandaj njohja e kësaj

aparature është shumë me rëndësi kur kemi

parasysh se gazi sot përdoret me të madhe si lëndë djegëse, gati në tërë

botën.

Figura 9


15

Kur ndezësi është i lidhur me një furnizues me gaz, atëherë gazi që rrjedh në

të ka shpejtësi të madhe dhe kalon nëpër një dalje të ngushtë, duke krijuar

një rajon të presionit të ulët. Ajri nga jashtë është nën presion atmosferik dhe

përzihet me gazin nga bombola. Përzierja e gazit dhe ajrit me këtë rast na

mundëson që gazi të digjet plotësisht dhe prodhon një flakë të pastër dkë

ngrohë dhe duke mos prodhuar ndotje me tym.

SHPËRHAPËSI I AROMËS (sprejet)

Tjetër zbatim i ekuacionit të Bernulit është edhe shpërhapësi i aromës, i cili

shërben për të shndrruar lëngun në formë të pikave të imta në formë të shiut

të imtë, nganjëherë në formë mjegulle.

Nëse e ndrydhim me dorë

gomën apo kapësen e

shpërhapësve të aromës,

krijojmë një rrymim të

shpejtë të ajrit mbi skajin

e gypit vertikal. Nga

rrymimi i shpejtë i ajrit,

shtypja në skajin e

ngushtë tëgypit vertikal do të zvoglohet nën nivelin e shtypjes atmosferike e

cila vepron në lëngun që gjendet në rezervoarin e enës. Me këtë rast shtypja

atmosferike e detyron lëngun të lëvizë dhe të dalë nëpër pjesën e ngushtë të

gypit vertikal. Lëngu në dalje do të shpërhapet në hapsirë në formë të

grimcave të imta, duke krijuar mjegullinë.

Figura 10


16

GYPI I PITOS

Gypi i Pitos paraqet një tub të hollë i cili ka një hpje në kahje të kundërt me

rrjedhjen e fluidit i cili më parë është vendosur në një gyp më të gjerë.

Ky gyp shërben për matjen e shpejtësisë së rrjedhjes së fluidit dhe tërësisht

bazohet në ekuacionin e Bernulit.

Nëse e zbatojmë ekuacionin e Bernulit për rastin e gypit të Pitos, do të

marrim parasysh këto parametra. Në hyrje të gypit shpejtësia e rrjedhjes së

lëngut është 1 kurse në dalje shpejtësia do të jetë , sepse lëngu

në hyrje të gypit të ngushtë ndahet në dy pjesë që e kalojnë gypin lartë dhe

poshtë.

Por pasi që gypi është horizontal,

atëherë kemi 1 , prandaj

ekuacioni i bernulit do të reduktohet

në shprehjen e mëposhtme:

1

1

Nga kjo shprehje mund të njehsohet

edhe lartësia e ngritjes së fluidit në

gypin e lakuar. Ka edhe një mundësi tjetër që pranë gypit të pitos të vendoset

edhe një gyp tjetër vertikal i cili quhet ndryshe “gyp piezometrik”. Tani

shtypjet p1 dhe p2, mund të paraqiten me lartësitë përkatëse në gypat h1 dhe

h2, të dhëna me shprehjet matematikore:

1 1

Kurse për shpejtësi të rrjedhjes fitohet shprehja:

√ 1 √

Figura 11


17

Gypi i Pitos është një ndër pjesët kryesore të çdo aeroplani që fluturon në

ajër, i cili balancon presionin e ajrit brenda aeroplanit.

GYPI I PANDLIT

Zbatim të madh në praktikë e ka gypi i Pandlit, i cili përmban në vete edhe

një gyp Pito edhe një tjetër gyp piezometrik ku në mënyrë të drejtpërdrejt

lexohen vlerat numerike të lartësisë që arrin lëngu nëpër enë dhe gypa të

ndryshëm. Këto vlera nga gypi i pandlit mund të lexohen direkt ose të

llogariten nëse dihet shpejtësia e lëngut, sipas shprehjes së mësipërme:

√

FLUTURIMI I AEROPLANIT

Shembulli më i mirë i zbatimit të ekuacionit të Bernulit në fushën e

aerodinamikës apo në fushën e fluturimeve në hapsirë, është fluturimi i

avionëve. Do të paraqesim një prerje tërhtore të një krahu të aeroplanit dhe

shohim se për shkak të formës aerodinamike të krahëve të tij, ajri i cili

qarkullon përskaj krahut, do të rrjedh me shpejtësi më të madhe nga sipër se

nga poshtë.

Figura 12


18

Nga ana e sipërme kuptojmë se presioni i ajrit aty është më i vogël për

shkak të shpejtësisë së ajrit (rregull e dhënë nga Bernuli), ndërsa në pjesën e

poshtme, presioni i ajrit është më i lartë dhe për pasojë kemi ngritjen e

aeroplanit dhe fluturimin e tij.

Kështu ky parim na tregon se si mund të ngritet në fluturim një aeroplan

duke vepruar forca e ngritjes së krahëve të tij, që shpjegohet qartë me

principin e Bernulit.

Një rast gati analog me fluturimin e

aeroplanit është edhe gara e kërcimeve

me ski, që jemi mësuar ta shohim gjatë

stinës së dimrit. Kërcyesi me ski fiton

ngritje dinamike krejtësisht ngjashëm

në krahët e aeroplanit, duke i ndihmuar

vetvetes për të mbetur më gjatë në ajër.

Ai me trupin e vet bënë imitimin e krahut të aeroplanit dhe kur zbret bën

amortizimin e rënjes së furishme duke lakuar gjunjët.

INSTALIMI I LAVATRIQES DHE I LAVABOS

Ndikimi rrjedhës së fluidit në shtypje është shumë i përhapur. Ilustroni se si

instalimi shtëpiak i ujit llogarit implikimin e ekuacionit të bernulit. Pjesa e

formës U e gypit përfundi lavabosë quhet“ kurth ”, sepse e zë në kurth ujin, i

cili shërben si barierë për parandalimin e gazeve të pakëndëshmë të

kanalizimit, që të përhapen në shtëpi.

Figura 13


19

Figura, tregon për instalimin e keq. Kur uji nga makina e larjes së teshave

vërsulet nga gypi i kanalizimit, rrjedhja me shpejtësi të madhe shkakton që

të ulet shtypja. Shtypja në pikën

nën lavabo, megjithatë mbetet në

shtypjen (më të lartë) atmosferike.

Si rezultat, uji shtyhet nga kurthi

dhe shkon në vijën e kanalizimit,

duke lënë hapsirën të pambrojtur

për gazin e kanalizimit. Sistemi i

ndërtuar në mënyrë korekte, duhet

të ketë ventilim nga ana e jashtme

e shtëpisë.

Kështu, qëllimi i ventilimit është që të parandalojë zbrazjen e “kurthit” dhe

të mos mundësojë rrugë për gazet e ventilimit.

FORCA E DEVIJIMIT

Rruga e devijuar e topit, një nga armët më të rrezikshme të lojës së futbollit

është një shembull tjetër që ilustron efektin e rrjedhjes së fluidit.

Tregon lëvizjen e topit në të djathtë kur nuk ka rrotullim. Shikimi është nga

lart drejt Tokës. Në këtë situatë, ajri rrjedh me shpejtësi të njejtë rreth të dy

anëve të topit, kurse shtypja është e njejtë gjithashtu në të dy anët.

Nuk ekziston asnjë forcë e përgjithshme tjetër që e detyron topin ta kalojë

rrugën në anën tjetër. Përkundrazi kur topit i jepet rrotullimi, ajri që e mbyll

sipërfaqen e tij, tërhiqet rreth tij: pjesës që mbështjell gjysmën e topit, i rritet

shpejtësi ( i ulet shtypja) kurse pjesës së gjysmës tjetër, i zvoglohet ( i rritet

shtypja ).

Figura 14


20

Figura 15

Vizatimi ilustron efektet e rrotullimit me kah të kundërt me akrepat e orës.

Me këtë rast, paraqitet një forcë nga shtypja më e lart drejt shtypjes më të

ulët, e cila detyron topin që të devijojë në anën e majtë të lojtarit. Kjo forcë

quhet forcë e devijimit.

RRJEDHJA E LËNGUT

Si shembull i fundit të zbatimit të ekuacionit të bernulit, me këtë rast do të

shqyrtojmë rrjedhje e ujit nga një enë shumë e madhe nëpërmjet një gypi të

hollë, i cili ndodhet afër fundit të saj siç tregon fig.a.

Ekuacioni i Bernulit mund të përdoret për ta

përcaktuar shpejtësinë me të cilën uji del

nga gypi. Do të supozojmë se lëngu sillet

sikur të ishte fluid ideal, prandaj do të mund

ta zbatojmë ekuacionin e Bernulit dhe, për

tu përgatitur për këtë do të vendosim dy Figura 16


21

pika që ndodhen në fluid, pasi që ena përsipër është e hapur, atëher shtypja

në pikat 1 dhe 2 është e njejtë p1= p2, ndërsa ekuacioni i Bernulit do të

përdoret në formën:

1 1

1

+ 1

Dendësia (ρ) këtu mund të eliminohet në mënyrë algjebrike (thjeshtojmë anë

për anë) dhe kur të llogaritet sipas 1

, fitohet:

1

1

Kështu që: 1, për lartësinë e sipërfaqes së lëngut nga gypi, ku del

fluksi i atij lëngu. Kur ena është shumë e madhe, niveli i lëngut ndërrohet

shumë ngadalë, prandaj shpejtësia në pikën 2 mund të merret e barabartë me

zero, dhe për shpejtësinë e v1 fitohet:

1 √ √ 1

Nga ky rezultat shihet se shpejtësia me të cilën lëngu lëshon gypin e hollë

me supozimin se është fluid ideal dhe se ena është shumë e madhe, është e

njejtë me atë sikur ai lëng të bënte rënie të lirë nga lartësia h (x=h dhe a=g).

Ky rezultat është i njohur si teorema e Toriçellit. Në qoftë se gypi i hollë

është i drejtuar përpjetë, lëngu do të arrijë lartësinë h të barabartë me nivelin

e fluidit përmbi gyp. Mirëpo nëse lëngu nuk është fluid ideal, viskoziteti i tij

nuk mund të mos përfillet.

Prandaj shpejtësia e fluksit do të jetë më e vogël se sa që e jep ekuacioni i

Bernulit, dhe lëngu do të arrijë lartësinë që është më e vogël se h.


22

RRJEDHJA E GAZEVE

Ekuacioni i Bernulit zbatohet edhe te rrjedhja e gazeve (figura). Gazi rrjedh

nga ena vetëm atëherë kur shtypja p e gazit në enë, është më e madhe se

shtypja jashtë saj, p.sh., shtypja atmosferike.

Në rastin e kundërt, kur shtypja jashtë

enës është më e madhe se shtypja në

enë, atëher gazi do të futet në te. Me v

shënojmë shpejtësinë e rrjedhjes së gazit

nga ena, ndërsa shpejtësia e

përgjithshme e gazit në enë është baraz

me zero ( v=0 ). Duke marrë për bazë këto të dhëna, barazimi i Bernulit

merrë formën vijuese:

ose:

√

Nga formula e fundit shihet se shpejtësia e rrjedhjes së gazit nga ena varet

nga ndryshimi i shtypjes si dhe nga dendësia e gazit.

Me ndihmën e formulës së fundit, përcaktohet dendësia e gazit lidhur me

dendësinë e ajrit, duke krahasuar shpejtësinë e rrjedhjes së gazit me

shpejtësinë e rrjedhjes së ajrit.

Figura 17


23

ZGJERIMI I ENËVE TË GJAKUT ( ANEURIZMI )

Ekuacioni i Bernulit e sqaron edhe konditën e dëmshme fiziologjike të

njohur si aneurizëm6. Aneurizmi paraqet një zgjerim jonormal të enëve të

gjakut sikurse është aorta.

Le të supozojmë se, për shkak të aneurizmit,

sipërfaqja e prerjes tërthore të aortës rritet në vlerën

S2= 1.7S1. Shpejtësia e gjakut, me dendësi

nëpër aortën normale është 1

. Në

pajtim me ekuacionin e kontinuitetit, shpejtësia e

gjakut në pjesën e zgjeruar të aortës është më e vogël se sa shpejtësia në

pjesën e shëndoshë :

1

1 1

1

Nga ana tjetër, duke supozuar se aorta është horizontale ( dhe personi është

në pozicionin e shtrirë ), ekuacioni i Bernulit për rrjedhje horizontale, tregon

se shpejtësia më e vogël çon në shtypje më të madhe, prandaj nga:

1 1

1

+ 1

Duke llogaritur ndryshimin 1, do të kemi:

1

1

1

6 Aneurizmi shkaktohet kur dëmtohet ndonjë enë e gjakut ose muri i enëve të gjakut. Nëse aneurizmi rritet,

ka mundësi që të shkaktohen hemoralgji dhe komplikime të rënda përfshirë edhe vdekjen.

Figura 18


24

figura nr 4

1

1

3[ ]

Shtypja e tepërt shkakton shqetësim të shtuar në indin edhe ashtu të

dobësuar të murit të aortës në aneurizëm.

NJOHURI BAZË RRETH EKUACIONIT TË BERNULIT

Gypi i Venturit: Është një paisje e cila shërben për matjen e sasisë së lëngut

që rrjedhë apo prurjes. Për një gyp në dukje si në figurë, ekuacioni i Bernulit

e ka këtë formë:

totalestatik pvp

2

2

1 apo

2

2

1

2

2

1

2

1

vpvp

Pika stagnuese: Është një pikë e cila rrëkenë e ujit që bie normal në një

rrafsh e ndan në dy pjesë të barabarta,

shih figurën.

Teorema e Toriçelit7: lëngu ideal rrjedh

nëpër një vrimë të enës në thellësinë h,

me të njëjtën shpejtësi v, sikurse të kishte

rënë lirisht nga e njëjta lartësi, pra:

hgv 2

Në qoftë se kemi të bëjmë me lëngun real, atëherë formula për shpejtësinë e

rrjedhjes së një lëngu nëpër një vrimë që ndodhet në thellësinë h nën nivelin

e lëngut në enë do të jetë: hgkv 2

7 Evangelista Torricelli – fizikan i njohur italian


25

ku k- është koeficienti i kontraksionit që paraqet një konstantë e cila varet

nga trashësia e mureve të enës ku ndodhet vrima nëpër të cilën rrjedh lëngu.

Gypi i Pitos, figura bazohet në ekuacionin e Bernulit, dhe shërben për

matjen e shpejtësisë së rrjedhjes së fluidit.

totals pvp

2

2

1

SHEMBUJ PRAKTIK TË EKUACIONIT TË BERNULIT

Shembull nr.1 - Nëpër gypin e ujësjellësit i cili në fillim ka diametrin D=0,3 m, kurse në

fund d=0,1m duhet të kalojë sasia e ujit prej Q=240 l/sek. Sa janë shpejtësitë e ujit nëpër

secilin nga dy seksionet e skajshme?

Zgjidhja:

Sipas ekuacionit të kontinuitetit fillohet me shprehjen:

2211 vSvSQ

ndërsa prurjet e ujit në seksionin S1 dhe S2 janë:

1

2

14

vD

Q

dhe

prej nga është:

s

mvdhe

s

mv 322.3 21

2

2

24

vd

Q


26

Shembull nr.2 - Në aeroplan është ndërtuar gypi i Venturit që shërben për matjen e

shpejtësisë së aeroplanit. Janë të njohura seksionet S1 dhe S2 si dhe ndryshimi i shtypjeve

statike ( 21 pp ), që lexohet në manometër. Të njehsohet shpejtësia e aeroplanit?

Zgjidhja:

Po të zbatohet ekuacioni i kontinuitetit dhe ekuacioni i Bernulit për seksionet S1 dhe S2

do të kemi:

2211 vSvS

22

2

22

2

11

vp

vp

prej nga gjendet shpejtësia e kërkuar v2 , nëse densiteti i ajrit merret 1,29 kg/m3.

.mod.det........

129,1

2

1

2

2

1

2

2

3

21

2

1

2

2

212

S

S

m

kg

pp

S

S

ppv

Detyra është një model dhe vetëm kërkohen parametrat të cilët janë variabël dhe varen

nga lloji i aeroplanit, gypit Ventur, etj.

Shembull nr.3 - Përcaktoni shpejtësinë e rrjedhjes së lëngut, nëse pistoni gjatë veprimit

të forcës F lëviz me shpejtësi konstante.

Zgjidhja:

Rruga që kalon pistoni është: tvs 1

ndërsa me këtë rast forca e kryen punën: tvFsFA 1

Mirëpo kjo punë është ekuivalente me ndryshimin e energjisë kinetike Ek dhe kemi:

Gypi i Venturit në Avion


27

2

1

2

22

1vvmtvF

tvSm 11

?; 22211 vvSvS

2

1

2

2

1 2

1vvm

S

mF

2

2

1

22

1

v

S

Sv

2

1

2

22

22

1

2

22

2

2

2

1

12

1

2

1

S

Svm

S

Svvm

S

mF

2

1

2

22

21 12S

SvSF

ndërsa vetëm

2

1

2

21

2

2

1

12

S

SS

Fv

dhe meqë 12 SS atëherë:

1

2

2

2

S

Fv

dhe në fund gjejmë rrënjën katrore të shpejtësisë:

1

2

2

S

Fv


28

PËRMBAJTJA

ABSTRAKTE

HYRJE

EKUACIONI I BERNULIT

ZBATIMI I EKUACIONIT TË BERNULIT

TEOREMA E TORIÇELIT

GYPI I VENTURIT (VENTUR-METRI)

POMPA E BUNZENIT

SHPËRHAPËSI I AROMËS

GYPI I PITOS

GYPI I PANDLIT

FLUTURIMI I AEROPLANIT

INSTALIMI I LAVATRIQES DHE I LAVABOS

FORCA E DEVIJIMIT

RRJEDHJA E LËNGUT

RRJEDHJA E GAZEVE

ZBATIMI NË MJEKËSI

NJOHURI BAZË RRETH EKUACIONIT TË BERNULIT

SHEMBUJ - EKUACIONI I BERNULIT

LITERATURA


29

LITERATURA

1. Bazat e Fizikës II – Prof.dr.Zijadin Shemsedini

2. Research Papers in Physics

3. Prof.dr. Rasim Bejtullahu “Fizika 11” gjimnazi i shkencave natyrore

4. Prof.dr. Rasim Bejtullahu, Prof.dr. Ahmet Veseli dhe Prof.dr. Rashit

Maliqi “ Fizika 11” drejtimi i përgjithshëm i gjimnazit

5. Prof.dr. Lutfi Istrefi “Fizika I” fshmn, dega Fizikës, Prishtinë

6.

LITERATURA DIGJITALE

1. http://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/bern.html

2. http://www.princeton.edu/~asmits/Bicycle_web/Bernoulli.html

3. http://www.engineeringtoolbox.com/bernouilli-equation-d_183.html

4. http://www.efm.leeds.ac.uk/CIVE/CIVE1400/Section3/bernoulli.htm

5. http://mysite.du.edu/~jcalvert/tech/fluids/bernoul.htm

6. http://library.thinkquest.org/2819/bernoull.htm

7. http://www.google.com/search?q=bernoulli's+principle&hl=en&sa

8. http://www.gfos.hr/portal/images/stories/studij/sveucilisni-

preddiplomski/hidromehanika/hmehanika3.pdf

9. http://hr.wikipedia.org/wiki/Bernoullijeva_jednad%C5%BEba

http://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/bern.html

http://www.princeton.edu/~asmits/Bicycle_web/Bernoulli.html

http://www.engineeringtoolbox.com/bernouilli-equation-d_183.html

http://www.efm.leeds.ac.uk/CIVE/CIVE1400/Section3/bernoulli.htm

http://mysite.du.edu/~jcalvert/tech/fluids/bernoul.htm

http://library.thinkquest.org/2819/bernoull.htm

http://www.google.com/search?q=bernoulli's+principle&hl=en&sa=X&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&ei=abbSTpHhA8PHswaJsNitDA&ved=0CEYQsAQ&biw=1152&bih=749

http://www.gfos.hr/portal/images/stories/studij/sveucilisni-preddiplomski/hidromehanika/hmehanika3.pdf

http://www.gfos.hr/portal/images/stories/studij/sveucilisni-preddiplomski/hidromehanika/hmehanika3.pdf

http://hr.wikipedia.org/wiki/Bernoullijeva_jednad%C5%BEba

universiteti i prishtinËs -...

Documents