universiteti i tiranËs fakulteti i shkencave sociale ...€¦ · 3.5.kritika ndaj interpretimit...
TRANSCRIPT
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE SOCIALE
DEPARTAMENTI FILOZOFI
PROGRAMI I DOKTORATËS
NJË REFLEKTIM LOGJIKO-FILOZOFIK MBI MENDIMIN DHE
MODALITETIN E TË MUNDURËS
Paraqitur në kërkim të gradës shkencore “Doktor”
nga
Jak Simoni
Udhëhequr nga Prof. Dr. Gjergj Pendavinji
TIRANË, 2015
DEKLARATË STATUORE
Nën përgjegjësinë time deklaroj se ky punim është shkruar prej meje, nuk është
prezantuar ndonjëherë para një institucioni tjetër për vlerësim dhe nuk është botuar i
tëri ose pjesë të veçanta të tij. Punimi nuk përmban material të shkruar nga ndonjë
person tjetër përveç rasteve të cituara dhe referuara.
©2015 Të gjitha të drejtat i rezervohen autorit
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE SOCIALE
DEPARTAMENTI FILOZOFI
PROGRAMI I DOKTORATËS
NJË REFLEKTIM LOGJIKO-FILOZOFIK MBI MENDIMIN DHE
MODALITETIN E TË MUNDURËS
Paraqitur në kërkim të gradës shkencore “Doktor”
nga Jak Simoni
Udhëhequr nga Prof. Dr. Gjergj Pendavinji
Juria e vlerësimit
1.
2.
3.
4.
5.
TIRANË, 2015
i
Përmbajtja
1. Një këndvështrim historik rreth mënyrës logjike të menduarit dhe simbolikës
logjike. f.
1.1. Pyetja mbi botën, jetën e mbi mënyrën e të menduarit........................1
1.2.Formimi i skemave pragmatike të arsyetimit.......................................4
1.3.Lidhet e logjikës me principet e organizimit biologjik të njeriut, që në
fazat e para të jetës................................................................................6
1.4.Origjina e shkencës së arsyetimit korrekt.............................................8
1.5.Një këndvështrim historik mbi formimin e koncepteve dhe raportet
ndërmjet tyre.......................................................................................12
1.6.Shumëllojshmëria e objekteve dhe aftësia e kufizuar e mendjes për ti
përfaqësuar..........................................................................................14
1.7.Aftësia natyrore e mendjes njerëzore, që bën të mundur lindjen e
ideve....................................................................................................16
1.8.Të fillosh me formula..........................................................................17
2. Principet logjike dhe format e mendimit.
2.1.Principet bazë logjike dhe ndikimi i tyre në zhvillimin e historisë së
logjikës................................................................................................27
2.2.Stade kontradiktore në mendje e akte gjuhësore që i shprehin..........30
2.3.Përgjithësimi, që lind nga eksperienca dhe principi i mos
kontradiksionit sipas Govanni Stuart Mill..........................................32
2.4.Mendimi i Husserl, Gadamer e M. e W. Kneale mbi ligjet e logjikës të
J.S.Mill................................................................................................33
2.5.Mendimi popperian mbi argumentin induktiv...................................35
2.6.Kontradiksioni si çështje metafizike................................................36
2.7.Principi i mos kontradiksionit si një prodhim i mendjes....................38
2.8.Format e mendimit sipas William Hamilton e Spenser dhe konceptimi
ndërindividual i Sigwart......................................................................40
2.9.Trendelenburg: ligji i mendimit si ligj i realitetit..............................42
2.10. Lotze: karakteri objektiv i formave logjike.............................45
3. Debati filozofik rreth objekteve ne vetvete, të vërtetës dhe objekteve të
pamundur.
ii
3.1.Qeniet në vetvete dhe objektet me ekzistencë fizike..........................48
3.2.E vërteta formale dhe ajo materiale relative.......................................50
3.3.Principet bazë të shkencës...................................................................53
3.4.Konceptimi i gjykimeve dhe pohimeve si të pandashëm nga e vërteta
dhe justifikimi i principit te mos-kontradiksionit nga Ueberweg ......54
3.5.Kritika ndaj interpretimit psikologjik e ontologjik te principeve
logjike, mbështetja e interpretimit logjik............................................56
3.6.Bolzano: Propozicioni në vetvete e përfaqësimet pa objekte..............60
3.7.Diskutimi filozofik mbi të pamundurën. Ontologjia e mos-
ekzistencës...........................................................................................64
3.8.Të mendosh objekte që nuk janë.........................................................67
3.9.Teori a e Meinong mbi objektet e mundur dhe ndikimi i saj..............68
3.10. Mundësi, nevojshmeri e „objektiv‟ sipas Meinong.................69
3.11. Jo çdo mundësi aktualizohet në ekzistencë.............................71
3.12. Objekte apo pseudo-objekte?..................................................75
4. Sfondi shkencor e filozofik në të cilin u zbulua logjika polivalente
4.1.Shkolla Logjike e Varshavës...............................................................77
4.2.Jan Łukasiewicz: Mbi principin e mos kontradiksionit të Aristotlit.79
4.3.Diskutimi rreth principit të tretës së përjashtuar...............................83
4.4.Filozofia in deterministe si substrakt metafizik i një logjike të re.....85
4.5.“Arbitri i lirë” si argument kundër determinizmit.............................87
4.6.Jan Łukasiewicz: Indeterminizmi garanton triumfin e lirisë njerëzore
për të vepruar dhe justifikon një logjikë të re.....................................89
5. Një sistem i ri logjik i shprehur me një simbolikë të re
5.1.Një vlerë e tretë vërtetësie në logjikë..................................................91
5.2.Origjina e logjikës modale dhe shprehja në mënyrë simbolike..........93
5.3.Modalitetet të shprehura në simbolikën polake..................................96
5.4.Tre grupet e teoremave tradicionale që u korrespondojnë fjalive
modale në bazë të sistemit të Łukasiewicz.........................................97
5.5.Rrjedhoja të dy teoremave të para relative të pohimeve modale, të
shprehura me simbolikën polake dhe klasike......................................99
5.6.Rrjedhoja të teoremës së tretë relative me propozicionet modale
shprehur njëkohësisht me simbolikën polake dhe atë klasike...........111
iii
5.7.Papajtueshmëria e teoremave mbi propozicionet modale në kalkulimin
propoizcional bivalent.......................................................................115
5.8.Matrica e kalkulimit propozicional me dy e tre vlera vërtetësie.......121
5.9.Kalkulimi proposicional trivalent....................................................123
5.10. Ndikimi pozitiv që pati përcaktimi i konceptit të mundësisë për
kalkulimin propozicional, zbuluar nga Tarski................................125
5.11. Nga tre vlera vërtetësie tek një pafundësi vlerash.................135
6. Sisteme të logjikës në bazë të aparatit formal të logjikës modale
6.1 Dallimi ndërmjet elementëve të gjuhëve natyrore dhe të njehsimit
prepozicional................................................................................................137
6.2. Lidhëzat logjike dhe raportet ndërmjet bashkësive................................140
6.3 Teoria aksiomatike e deduktive e Emil Leon Post..................................141
6.4 Gjuha propzicionale sipas Hilbert e Akerman dhe pema binare e formimit
te formulave: nën formulat............................................................................143
6.5 Semantika që u korrespondon sistemeve të bazuar në sintaksë........... 145
7. Zgjerimi i sistemit formal
7.1.Operatorë të tjerë logjik....................................................................147
7.2. Kontributi i Samuel Kripke në logjikën modale..............................147
7.3.Vlerësimi i formulave në botë të mundura........................................150
7.4.Botë, raste, situata e pohime të mundura..........................................152
7.5.Pamjaftueshmëria e logjikës klasike e logjika te tjera......................153
7.5.1. Logjika fuzzy..............................................................157
7.5.2. Justifikimi i vlerave të ndërmjetme të vërtetësisë....157
7.5.3. Probabiliteti dhe logjika e probabilitetit....................158
7.5.4. Logjika vendimmarrëse.............................................159
7.5.5. Një seri domosdoshmërish........................................160
7.5.6. Logjika aletike , kohore, deontike dhe epstemike.....161
7.5.7. Logjika kushtore........................................................161
7.5.8. Logjika e rilevancës...................................................164
7.5.9. Logjika parakomplete................................................165
8. Debati bashkëkohor mbi raportin e logjikës me shkencat e tjera dhe mbi
objektet logjike e matematike
8.1.Vështirësia e përcaktimit të koncepteve në logjikë, matematikë, në
metafizikë dhe zhvillimi paralel i këtyre shkencave.........................166
iv
8.2.Raporti i logjikës dhe matematikës me shkencat e tjera dhe akti krijues
e spontan në bazë të tyre.................................................................168
8.3.Dallimi ndërmjet abstraksionit dhe idealizimit...............................169
8.4.Këndvështrimi intuizionist mbi objektet matematike e logjike......171
9. Përfundime.......................................................................................................172
Shpjegimi i simboleve......................................................................................174
Formula të rëndësishme....................................................................................176
Bibliografia.......................................................................................................178
v
Lista e tabelave
f.
1.1...........................................................................................................................................................25
1.2.......................................................................................................................... .................................26
5.1.................................................................................................................................................. .........95
5.2................................................................................................................... ......................................122
5.3.......................................................................................................................... ...............................124
7.1.........................................................................................................................................................162
Lista e skemave
1.1.......................................................................................................................... .................................20
1.2.......................................................................................................................... .................................21
1.3...........................................................................................................................................................23
1.4.......................................................................................................................... .................................23
1.5.......................................................................................................................... .................................23
6.1.......................................................................................................................... ...............................145
vi
Mirënjohje
Falënderoj ne radhë të parë udhëheqësin shkencor profesor Gjergj Pendavinji
për gatishmërinë e përkushtimin që ka treguar gjatë këtyre viteve, për të bërë të
mundur realizimin e këtij punimi. Profesor Pendavinji vazhdimisht më ka udhëzuar,
sugjeruar literaturën dhe ka qenë i gatshëm të diskutojë çdo problem që kam hasur.
Shpreh falënderimin në mungesë për ish profesorin e shquar të logjikës në
Universitetit Shtetëror të Milanos, Corrado Mangione, të ndarë nga jeta pak vite më
parë, i cili më përkushtimin e tij me shtoi pasionin për këtë lëndë, të cilin e kisha, që
kur mësoja matematikë në Shkollën e Mesme Pedagogjike në Shkodër më profesor
Mustafë Ramovi dhe në Universitetin e Shkodrës me Prof. Kol Nuku dhe Fatos
Kopliku.
Falënderoj profesorin e Historisë së Logjikës në Universitetit Shtetëror të Milanos
Silvio Bozzi dhe profesorin e logjikës Edoardo Balla për ndihmën që më kishin
dhënë gjatë viteve të studimit atje.
Falënderoj Prof. Gjergj Sinani dhe Adriana Anxhaku, me të cilët kam diskutuar
ndonjë nga çështjet e karakterit filozofik të disertacionit.
Falënderoj pedagogët e Shkollës së Doktoraturës të cilët me leksionet, seminaret dhe
me diskutimet e tyre, përfshijë këtu dhe doktorantët, na kanë mbajtur të zgjuar
interesin për filozofinë dhe logjikën. Gjithashtu kolegët Osman Hysa, Vladimir
Muka, Lindita Mukli, Muharrem Jakupi, Bavjola Shatro, Merlina Pograzha, Risvan
Tërshalla dhe miqtë e mi Aleks Marku, Aleksandër Marku, të ndjerin Gjin Perndoka,
Artur Shkurti, Tonin Nikolli, Gjovalin Matia, Ylli Lleshi, Mark Lleshi, Dede Gjoka,
diskutimet me të cilët me kanë nxitur për tu marrë gjithnjë me logjikë.
vii
Abstrakt
Duke u nisur nga një këndvështrim historik, në këtë disertacion trajtohet
debati filozofik mbi objektet logjike dhe mënyrën e të arsyetuarit, që është në bazë të
logjikës modale dhe të logjikës polivalente. Debat që përqendrohet tek rrymat
filozofike, kryesisht të determinizmit dhe indeterminizmit, të cilat janë të lidhura
ngushtë me modalitetin logjik të mundësisë dhe logjikën polivalente. Vijohet me
kalkulimin propozicional, që ka në bazë tre grupet e teoremave relative të fjalive
modale, të shprehur në simbolikën polake nga përfaqësuesi kryesor i kësaj shkolle,
logjicieni Jan Łukasiewicz. Më tej, pas përcaktimit të konceptit të mundësisë zbuluar
nga Tarski, demonstrohet koherenca e këtij kalkulim. Këtë sistem e kam i përkthyer,
nga simbolika origjinale plake në simbolikën e klasike duke sqaruar çdo kalim apo
rrjedhojë logjike. Logjika polivalente ka një vend të veçantë në këtë disertacion.
Vlerat që marrin formulat bazë në logjikën polivalente paraqiten të krahasuara me
logjikën bivalente. Sistemet formale bazë të logjikës klasike do t‟i paraprijnë
sistemeve të zgjeruar me operatorët modal. Do të përfundohet me zhvillimet e
mëtejshme të mendimit logjik, si logjika deontike, kohore e ato logjika, që përfshijnë
pohime të cilët akoma nuk janë verifikuar, por që mund të verifikohen. Qëllimi i
studimit është njohja e teorive, që bënë të mundur lindjen e logjikës modale, dhe e
drejtimeve të zhvillimit bashkëkohor të saj.
Fjalë kyç: objekte logjike, logjika modale, logjika polivalente, determinizmi,
simbolika polake, kalkulimi propozicional
Fusha e studimit: Logjikë
viii
Hyrje
Fusha e studimit, të cilës i jam përkushtuar prej vitesh, ka qenë logjika e
pikërisht modalitetet logjike. Ky studim doktoral i përket kësaj fushe studimi, që
përbën një degëzim të rëndësishëm të logjikës. Logjika modale është zhvilluar
paralelisht me mendimin filozofik, për rrjedhojë debati filozofik rreth modaliteteve
zë një vend të rëndësishëm në këtë disertacion. Modalitetet bazë si
domosdoshmëria, mundësia, pamundësia dhe kontingjenca ose rastësia trajtohen në
raport me njëra-tjetrën.
Problematikën e kërkimit e përbëjnë teoritë e ndryshme filozofike mbi
logjikën modale dhe kalkulimi propozicional që përfshinë modalitetet.
Meqenëse krijimi i skemave pragmatike të arsyetimit është në bazë të logjikës, fillimi
i këtij disertacioni nuk mund të mos ishte mbi këto skema dhe mbi mënyrën e
formimit të tyre tek qenia njerëzore, megjithëse nuk është ekskluziv vetëm i saj, por
dhe i formave të tjera të organizimit biologjik. Ligjet e mendimit trajtohen në raport
me uniformitetin e eksperiencës në rregullsinë e realitetit natyror. Gjithashtu,
meqenëse në zhvillimin e çdo shkence ka rëndësi historia e saj, shkurtimisht
përmendet dhe origjina e këtij drejtimi dije, që e ka zanafillën tek vepra e Aristotelit.
Debati i gjerë mbi objektet logjike, që nuk kufizohet vetëm tek filozofia, por
përfshinë dhe disa drejtime të filozofisë së gjuhës dhe të psikologjisë, zë një vend të
rëndësishëm në këtë disertacion. Nuk mungojnë krahasimet me objektet e
matematikës, jo për të hyrë në kë të fushë studimi, por për të kuptuar më mirë
objektet logjike. Ky debat trajtohet, për arsye se do t‟i paraprijë zbulimit të logjikës
polivalente nga përfaqësuesi kryesor i shkollës logjike polake Jan Łukasiewicz. Për
të njëjtën arsye shtjellohen dhe disa teori të spikatura filozofike mbi kontradiktën që
karakterizon realitetin, që fillojnë që nga Herakliti e deri tek Hegeli, e më vonë.
Nisur nga këto këndvështrime filozofike, lëvizja është kontradiktore, realiteti është
kontradiktor, për rrjedhojë dhe principi i moskontradiksionit nuk është gjithmonë i
vlefshëm. Kështu një logjikë, që nuk bazohet vetëm tek këto dy principe është e
mundur. Pikërisht kjo logjikë me disa vlera vërtetësie, ose thënë ndryshe polivalente,
është në qendër të këtij punimi. Gjithashtu rrymat filozofike, kryesisht të
determinizmit dhe indeterminizmit, të cilat janë të lidhura ngushtë me modalitetin
logjik të mundësisë dhe logjikën polivalente zënë një vend të spikatur në këtë e
ix
disertacion. Duke konsideruar rrjedhën e ngjarjeve dhe të fenomeneve si
domosdoshmëri fizike e shkakore dhe duke mohuar kështu dhe vullnetin e lirë të
njeriut për të vepruar, determinizmi ka tentuar reduktimin e këtyre modaliteteve
duke mos i lënë vend kontingjencës (rastësisë) e mundësisë në rrjedhën e ngjarjeve.
Ky aspekt është theksuar në këtë punim. Jan Łukasiewicz konsideronte
indeterminizimin si parakusht të lirisë njerëzore për të vepruar e njëkohësisht si
substraktin metafizik të logjikës polivalente, për rrjedhoje dhe ky logjicien i shquar
dhe shkolla e famshme logjike polake, të cilën përfaqësonte, trajtohen gjerësisht ne
këtë disertacion.
Kalkulimi propozicional, që ka në bazë tre grupet e teoremave relative të
fjalive modale, të shprehur në simbolikën polake nga logjicieni Jan Łukasiewicz,
paraqitet në një kapitull të veçantë. Gjithashtu, duke shfrytëzuar përcaktimin e
konceptit të mundësisë zbuluar nga Tarski, analizohet demonstrimi i koherencës së
këtij kalkulimi. Këtë sistem e kam përkthyer nga simbolika origjinale plake në
simbolikën e zakonshme logjike, duke sqaruar çdo kalim apo rrjedhojë logjike.
Vlerat që marrin formulat bazë në logjikën polivalente paraqiten të krahasuara me
logjikën bivalente.
Diskutimi rreth modaliteteve, kryesisht rreth modalitetit të mundësisë, i cili
ka shoqëruar në etapa të ndryshme zhvillimin e mendimit filozofik, ka përfshirë dhe
sferën e veprimit njerëzor dhe i tillë trajtohet. Duke konsideruar çdo veprim të
domosdoshëm, pranimi i realitetit si domosdoshmëri, mohon lirinë e njeriut për të
vepruar, ndërsa pranimi i mundësisë së veprimit e bën njeriun të ketë liri për të
gjykuar e vepruar, njëkohësisht përgjegjës për veprimet apo mosveprimet e tij.
Nisur nga këndvështrimi i lartpërmendur historik është marrë parasysh njëfarë
kronologjie e interpretimeve. Nuk jam kufizuar vetëm me fillesat e logjikës modale,
por në këtë punim përmendet kontributi i vazhdueshëm që kanë dhënë autorë të
ndryshëm të fushës duke filluar nga antikiteti dhe mesjeta për të përfunduar me
periudhën bashkëkohore. Pas këtyre interpretimeve dhe kalkulimit propozicional
modal të Łukasiewicz, vijohet me sistemet formale. Sistemet formale bazë të logjikës
klasike i paraprijnë sistemeve të zgjeruar me operatorët modal dhe për këtë qëllim
jepen.
Një rendësi e veçantë i kushtohet dallimit ndërmjet gjuhës artificiale logjike
dhe gjuhës natyrore, duke venë theksin tek vështirësitë e përkthimit nga njëra në
tjetrën. Duke u bazuar tek sistemet klasike jepen elementët e gjuhës artificiale
x
logjike. Zakonisht fillohet nga pohimet më të thjesht, për të vijuar me mënyrën e
lidhjes së tyre në konjuksion, disnjuksion, implikim dhe ekuivalencë. Në këtë
mënyrë formohen formulat logjike. Thuajse në të gjitha sistemet formale, në
bashkësinë e formulave veçohen aksiomat dhe duke u nisur nga këto aksioma
procedohet më tej në ndërtimin e sistemeve, dukë bërë zëvendësime dhe duke u
bazuar kryesisht tek rregulli i modus ponens, që do të thotë, se kur jepet implikimi
dhe antecedenti i tij, atëherë vlen dhe konsekuenti.
Një sistem i tillë bëhet modal duke përfshirë dhe pohimet modale. Një pohim
i zakonshëm bëhet modal, duke përdorur operatorët modal të mundësisë dhe të
domosdoshmërisë. Dy operatorët tjerë përfitohen nëpërmjet mohimit të këtyre
operatorëve bazë. Një vend të rëndësishëm ka mënyra e zëvendësimit të lidhëzave
logjike me qëllim thjeshtimin e sistemit. Kështu, duke zëvendësuar sipas rregullave
logjike një lidhës me një formulë tjetër logjike, nga katër lidhëza logjike zakonisht
përdoren vetëm dy e ndonjëherë një. Në çdo rast jepet mënyra e zëvendësimit të
këtyre lidhëzave. Vijohet gjithashtu me vlerësimin e sistemit të ndërtuar, duke
analizuar vlerat e vërtetësisë që marrin formulat e sistemit.
Një ndër pyetjet bazë të modaliteteve, të cilës do të kërkohet që t‟i jepet
përgjigje është: Kur themi se një fakt është i mundur, i domosdoshëm, i pamundur
apo kontingjent?
Duke kërkuar t‟i jepet përgjigje kësaj pyetje vihen në balancë hamendësimet
dhe hipotezat tona me uniformitetin, rregullsinë apo frekuencën e fenomeneve dhe
krijohen pritshmëri për të ardhmen. Pritshmëri, që nuk arrijnë vërtetësi absolute, por
shkallë të lartë probabiliteti. Kështu do të tentohet një ndarje ndërmjet të shkuarës
dhe të ardhmes, duke konsideruar fenomenet e faktet e të shkuarës si të vërtetë dhe
faktet e të ardhmes hipoteza me shkallë të ndryshme probabiliteti, problematikë kjo
që ka bërë të mundur lindjen e një drejtimi logjik të quajtur Logjikë kohore, e cila do
të ketë vend në këtë studim.
Gjithashtu një vend të veçantë ka debati bashkëkohor rreth ndërthurjes së
modalitetit të mundësisë me probabilitetin dhe ndikimi që ka pasur ky i fundit tek
racionaliteti shkencor. Hipoteza shkencore ose jo, është konsideruar si akt kognitiv
ballafaques ndërmjet alternativave të bazuara po tek probabiliteti. Gjykimi hipotetik
konsiderohet i lidhur me mundësinë e përsëritjes së ngjarjeve dhe fenomeneve,
probabiliteti i të cilave bazohet tek shkalla e rregullsisë dhe uniformiteti që i
karakterizon. Megjithëse janë venë seriozisht në diskutim nga shumë filozofë,
xi
objektiviteti, rregullsia dhe uniformiteti i fenomeneve ndikojnë tek mënyra e të
menduarit dhe zënë vend të rëndësishëm në këtë kërkim.
Ndërsa pamundësia, ose thënë ndrysh e pamundura, konsiderohet si stad
mendor apo fakt gjuhësor që nuk mund të gjej aktualizim në realitet, modaliteti i
tjetër, domosdoshmëria nuk trajtohet vetëm në raport me rregullin e ligjet e natyrës,
por dhe në raport me të vërtetën logjike e matematikore. Do të përfundohet me
zhvillimet e mëtejshme të mendimit logjik modal, si logjika deontike, e ato logjika,
që përfshijnë pohime të cilët akoma nuk janë verifikuar, por që mund të
verifikohen.
Punimi do të jetë i karakterit reflektues mbi literaturën më të spikatur rreth
argumentit, integruar me një reflektim individual nga eksperienca mbi mënyrën e
fakteve të eksperiencës, për të arritur në përfundime logjike. Punimi është i ndarë në
tetë kapituj me paragrafë e nën paragrafë. Ky disertacion është i dobishëm kryesisht
për studiuesit e fushë së logjikës, por për disa aspekte dhe për studiuesit e filozofisë,
sepse sjell një larmi interpretimesh rreth o objekteve logjike, e rreth teorisë
deterministe e indeterministe.
Gjithashtu, njohja e simbolikës polake bën të mundur qartësimin (nëpërmjet
krahasimit) mbi sistemet formale të ndryshme logjike dhe mbi atë çka është logjika
në përgjithësi. Përkthimi nga logjika polake në simbolikën klasike dh sqarimi i të
gjitha kalimeve bën më të kuptueshëm kalkulimin. Njohja e kalkulimit modal
polivalent të Łukasiewicz shërben si një ushtrim ose si gjimnastikë e mendjes.
Qëllimi i studimit është njohja e teorive, që bënë të mundur lindjen e logjikës
modale, dhe e drejtimeve të zhvillimit bashkëkohor të saj.
1
1. Një këndvështrim historik rreth mënyrës logjike të
menduarit dhe simbolikës logjike.
1.1 . Pyetja mbi botën, jetën e mbi mënyrën e të menduarit.
Njeriu është një qenie, ndoshta e vetmja, që nuk mendon vetëm për të jetuar,
por jeton për të menduar. Të menduarit është tipari themelor karakteristik i njeriut.
Në gjenezën e tij aftësia për të menduar i ka shërbyer mbijetesës, por në vijim kjo
aftësi ka evoluar dhe është përsosur aq shumë, sa është kthyer në qëllim. Po mos të
ishte kështu, eksperienca historike njerëzore do të ishte shumë më e varfër; filozofia
e arti në kuptimin e mirëfilltë të fjalës do t‘i mungonin. Megjithatë, nuk është e lehtë
të dallosh në mënyrë të prerë kur njeriu mendon për interes praktik, apo jashtë çdo
interesi të tillë. Dhe filozofia e arti shpesh kanë qenë të nënshtruara ndaj një qëllimi
praktik e janë bërë për të siguruar mbijetesën e artistit apo filozofit. Megjithëse, arti
dhe filozofia janë zhvilluar paralelisht objekt interesi në këtë disertacion është vetëm
filozofia; për të qenë më i saktë një drejtim i rëndësishëm i saj, logjika modale.
Megjithatë dhe ky drejtim i dijes është zhvilluar paralelisht me filozofinë e pak fjalë
mbi këtë të fundit do ti paraprijnë të pares.
Po si e pati origjinën filozofia dhe logjika? Fillojmë më të paren. Pyetjet mbi
botën dhe mbi jetën janë pyetje që çdo njeri ia bën vetes në momente të caktuara.
Them në momente të caktuara, sepse aktiviteti njerëzor i është dedikuar, ndoshta më
shumë se sa duhet, prodhimit të të mirave materiale. Njeriu është i varur nga
prodhimi dhe ky i fundit është kthyer nga mjet në qëllim. Njeriu për fat të keq nuk
prodhon, konsumon e ndot ambientin për të jetuar, por jeton për të prodhuar,
konsumuar e ndotur ambientin. Tek shumica e njerëzve ka vetëm momente të
caktuara, ku shtrohen pyetjet e lartpërmendura, të cilat kanë qenë në bazë të
filozofisë. Shpesh këto janë momente ëndërrimi, mallëngjimi, por dhe fatkeqësie, që
shkaktojnë një trishtim apo tronditje shpirtërore që bëjnë të mundur zgjimin e një seri
pyetjesh. Pyetjet që njeriu shtron mbi shpjegimin e ekzistencës së tij dhe të botës
kanë natyrë subjektive; tek ca njerëz më shumë tek ca më pak. Për tu përmendur
është fakti se këto pyetje i bëjnë më shumë fëmijët. Kjo tregon se natyra e vërtetë
njerëzore ruhet më shumë tek fëmijëria. Këto pyetje mund të zgjohen vetë por
historikisht kanë pasur dhe një shkak. Ky shkak ka qenë vetë mjedisi, natyra. Kjo e
fundit, me larminë e saj si bota inorganike, ajo bimëve, e kafshëve e me fenomene
2
gjeologjike, atmosferike e astronomike, përballë të cilave është gjendur njeriu, kur
ka filluar të kuptojë ekzistencën e tij, e ka vendosur atë përballë një habie të
çuditshme e një numri të pafund pyetjesh. Pyetjet kanë qenë mbi natyrën, mbi të
kaluarën, të tashmen, të ardhmen, mbi veten, mbi sjelljen në raport me të tjerët. Të
gjitha këto pyetje njeriu i ka pasur për veten e tij dhe për të tjerët. Komunikimi më të
tjerë ka qenë një faktor i rëndësishëm që ka ndikuar në zgjimin e interesit mbi
ekzistencën, qenien etj. Kur ke lexuar apo dëgjuar për pyetje të tilla dhe për
përgjigjet që u janë dhënë në të shkuarën, në disa raste të zgjohen në mendje pyetje të
tjera. Shkruaj në disa raste sepse në shumicën e rasteve janë pyetje që mbesin
vazhdimisht të hapura. Me dhënien përgjigje këtyre pyetjeve ka vijuar historia e
mendimit njerëzor dhe e filozofisë.
Pyetje të tilla filozofike i paraprinë pyetjeve mbi natyrën e të menduarit që
kanë të bëjnë me logjikën. Megjithëse njeriu, siç u tha, jeton për të menduar, para se
sa të jetë një qenie teoretike, d.m.th e karakterizuar nga preokupimi për të vërtetën,
është një qenie biologjike ku jetesa apo mbijetesa e tij bëhen akute e gjithnjë
modifikojnë mënyrën e tij të menduarit e të vepruarit. Për të arritur një stad teoretik
(kur thuhet kështu duhet marrë parasysh një dozë optimizmi metafizik apo njëfarë
besimi i tepërt tek qenia njerëzore, krahasuar me forma të tjera jetësore ) rruga ka
qenë mjaft e gjatë.
Po si është arritur ky stad? Nga është filluar? Ashtu si çdo organizëm tjetër,
që në fillim të eksperiencës së tij jetësore, njeriu është në kontakt me botën që e
rrethon dhe është i pajisur me predispozitën për ta kuptuar dhe për tu orientuar në të.
Natyrisht, kontakti i njeriut me mjedisin, që në fillimet e jetës, është i mundur
nëpërmjet shqisave. Objektet, indiferent në fazat e para të jetës, dalëngadalë
tërheqin vëmendjen e njeriut e bëhen interesante. Njeriu dhe çdo organizëm jetësor,
të cilët kanë zhvilluar dhe trashëguar për një kohë shumë të gjatë aftësitë për të
mbijetuar, fillimisht, mundohen të përshtaten në mjedis dhe kërkojnë objektet e
asimilueshme për tu ushqyer dhe për të garantuar mbijetesën. Krahas trashëgimisë
gjenetike, kontakti me objektet ndikon gjithë jetën e brendshme të qenieve jetësore
dhe tek njeriu, si qenia jetësore më komplekse, ndikon mbi mënyrën e tij të
menduarit dhe në formimin e konceptimit të tij për botën. Ajo që dallon në mënyrë
radikale qenien njerëzore nga qeniet tjera te gjalla është aftësia e tij për të pyetur e
për të reflektuar mbi veprimet e tij dhe të qenieve të tjera të gjalla e mbi të gjitha mbi
mënyrën e tij të konceptuarit, të arsyetuarit e të vepruarit. Kështu njeriun e kanë
3
munduar vazhdimisht pyetje, jo vetëm mbi botën, jetën, ekzistencën e tij dhe të
gjërave, që janë në thelb të filozofisë, por dhe mbi mënyrën e tij të menduarit dhe të
arsyetuarit. Pyetja filozofike: çfarë është bota apo cili është principi apo shkaku
fillestar i gjithçkaje i ka paraprirë pyetjes logjike mbi mënyrën e të menduarit. Pyetja
e parë ka qenë në origjinë të mendimit filozofik antik grek dhe më gjerë. Filozofët
para Sokratit kërkonin një shkak fillestar që të ishte bazë e gjithçkaje në botë.
Aristoteli, në Filozofinë e Parë apo në të ashtuquajturën Metafizikë me Andronikun e
Rodit, konsideronte qenien (ousia) bazë apo substrakt ku gjithçka tjetër do të
konsiderohej mënyrë e manifestimit të saj. Filozofia e Aristotelit, kryesisht mendimi
mbi qenien, do të shënonte historinë e zhvillimit të metafizikës dhe të mendimit
filozofik në lindje me filozofinë arabe e në perëndim me filozofë si Thoma Akuini e
Duons Skotto në mesjetë e autorë të tjerë të mëvonshëm. Pyetja e lartpërmendur ka
shqetësuar dhe filozofë që kanë një qëndrim kritik mbi metafizikën. Në shekullin e
kaluar filozofi Ludwig Wittgenstein në Tractatus logico-philosophicus pyetjes se
çfarë është bota i kishte dhënë këtë përgjigje: ―bota është gjithçka ndodh‖1. Këtyre
pyetjeve të mirëfillta filozofike, përgjigjet e të cilave, siç u tha, kanë shënuar
historinë e filozofisë, nuk kanë kërkuar që ti japin përgjigje vetëm filozofët. Çdo
njëri, i interesuar apo jo për shkencë dhe filozofi kërkon t‘u japë përgjigje.
Natyrisht, mënyra se si u është dhënë përgjigje këtyre pyetjeve ka bërë atë dallimin,
gjithmonë të diskutueshëm, ndërmjet filozofit dhe jo filozofit. Gjithnjë filozofët,
psikologët por dhe logjicienët i ka shqetësuar mënyra e të menduarit, objekt interesi
në këtë disertacion. Në procesin kompleks të njohjes tek stadi ―kaotik‖ i gjërave
mendja njerëzore gjen rregullsi. Megjithëse shumë filozofë, e mbi të gjithë D. Hjum,
konsiderojnë realitetin si kaotik, homogjeniteti, vazhdueshmëria, rregullsia e
fenomeneve atmosferike, astronomike dhe jetësore bëjnë që dhe në proceset mendore
të ketë një farë rregullsie. Kështu mendja njerëzore ka zhvilluar aftësinë për të
përfaqësuar realitetin në mënyrë ―ekonomike‖. Formimi i koncepteve dhe skemave të
arsyetimit është rezultat i mënyrës ―ekonomike‖ të menduarit dhe për rrjedhojë dhe
të shprehurit: kur nuk është e mundur tu gjendet vend në mendje (natyrisht si
pasqyrim) të gjithë njerëzve që ke takuar ose pare formohet koncepti ―njeri‖. Kur
nuk është e mundur të pasqyrosh në mendje të gjitha pemët që ke parë formohet
koncepti pemë. Kështu mendja ka aftësinë të formojë konceptet dhe skemat e
1 Wittgenstein, L. (1922) Tractatus logico-philosophicus, Routledge and Kegan Paul, London, (tr.it.
Enaudi, Torino,1964), f. 1.
4
arsyetimit, sepse ka nevojë për qëndrueshmëri dhe organizim përballë gjithë atij
informacioni që merr nga shqisat. Gjithashtu dhe për ekonomi gjuhësore, pse tu
gjendet nga një emër të gjitha pemëve ose frutave që ke parë kur mund të përdoresh
një emër të përgjithshëm për të gjitha.
1.2 Formimi i skemave pragmatike të arsyetimit
Formimi i koncepteve dhe skemave të arsyetimit është një proces mjaft i
komplikuar e për rrjedhojë mjaft i debatuar në filozofi dhe më gjerë. Rëndësia e të
dhënave shqisore në këtë proces është e pamohueshme, por jo e mjaftueshme për ta
shpjeguar atë. Gjithë ai fluks informacioni, ndonjëherë dhe kaotik, ka nevojë të
organizohet. Duke u bazuar tek këto të dhëna dhe tek ky fluks informacioni, që
eksperienca ofron, mendja njerëzore bën organizimin logjik të këtyre të dhënave
duke shfrytëzuar gjithashtu aftësitë e intuitës me origjinë gjenetike dhe pasuron e
përsos vazhdimisht këtë aftësi. Siç u tha, filozofia nuk ka qenë kurrë indiferente ndaj
kësaj çështje. Shpesh intuita filozofike i ka paraprirë shpjegimeve shkencore. Dhe
për sa i përket organizimit logjik të eksperiencës, intuita filozofike i ka paraprirë
shpjegimit të mëvonshëm të karakterit psikologjik apo gjenetik (filozofia kantiane e
tregon më së miri këtë). Mënyra se si njeriu formon konceptet dhe si i lidh ato në
skema arsyetimi është trajtuar nga filozofë, psikologë e logjicienë të ndryshëm. Më
se shumti në këtë disertacion do të përqendrohem në analizën filozofike të formimit
dhe lidhjes së koncepteve në skema arsyetimi.
Duke u nisur nga uniforma e objekteve, fenomeneve, dhe nga të përsëriturit
gjithmonë, pak a shumë, në të njëjtën mënyrë të ngjarjeve, që rezultojnë nga
eksperienca shqisore, mendja e njeriut formon një përfaqësim skematik të objekteve,
të situatave dhe të ngjarjeve. Aftësia për të përgjithësuar e bën të arrijë në
përfundime induktive. Natyrisht dhe forma e njëjtë e objekteve, fenomeneve, dhe
mënyra e të përsëriturit të tyre ka qenë gjithmonë e diskutueshme. Për sa i përket
formës së njëjtë të objekteve duhet pranuar njëfarë principi universal ekonomik në
shpërndarjen e gjerave në natyrë. Thuhej që në antikitet, se e ngjashmja bashkohet
me të ngjashmen. Në një farë mënyre gjerat nuk janë të përziera në atë mënyrë, siç
shpreheshin skeptikët, që mos të dallohet, ku është ujë, ku është tokë, ku është ajër e
ku është zjarr. Po ashtu dhe në botën organike ngjashmëria ndërmjet individëve të
një specie është e dukshme, megjithëse filozofi i shquar Lebniz e mohonte.
5
Ngjashmëria ndërmjet objekteve, siç u përmend më sipër, është e leverdishme për
organizimin që mendja u bën atyre. Si mund të ishte ndryshe? Si mendja njerëzore
‗do të gjente vend‘(gjithnjë në kuptimin e pasqyrimit ose të përfaqësimit) për çdo
kokrrizë të rërës, çdo gjethe apo lule të një peme apo lëndine, milingonë, që
eksperienca jetësore do e vinte në kontakt, po mos të formonte konceptet përkatëse
duke u nisur pikërisht nga ngjashmëria e dukshme ndërmjet gjerave të
lartpërmendura. Pyetjeve të kësaj natyre u kërkua që t‘u jepej përgjigje dhe më sipër.
Kjo ndodh për princip të ekonomisë së të menduarit e shpesh aspekti subjektiv është
domethënës. Ndryshe kemi ne konceptin për shkëmbinjtë, ndryshe një gjeolog që
njeh varietetet e ndryshme të shkëmbinjve. Ngjashmëria nuk gjendet vetëm tek
objektet, por edhe tek fenomenet si p.sh mënyra si bien pikat e shiut, borës dhe
breshrit e shumë fenomene të tjera me shkaqe, që kanë të bëjnë me funksionimin e
atmosferës dhe me ligjet e fizikës. Rënia e objekteve në mënyrë të njëjtë bën që të
arrihet në përfundime induktive për të gjithë objektet. Gjithashtu duke parë se
organizmat rriten e zhvillohen arrihet në përfundimin se të gjithë organizmat
zhvillohen. Natyrisht shkalla e vërtetësisë së përgjithësimeve induktive është e
diskutueshme dhe një diskutim interesant rreth saj ka bërë K. Popper. Mendja nuk
kufizohet me përgjithësimin induktiv. Ajo ka aftësi të bëjë operacionin e anasjelltë
dhe arsyeton në këtë mënyrë:
Fillimisht krijohet bindja se: N.q.s objektet lihen të lirë në një lartësi
atëherë ato bien. Dhe provohet të lihet një objekt i lirë. Përnjëherësh arrihet në
konkluzion se objekti do bie. Kjo është forma më e thjeshtë e arsyetimit ose siç është
quajtur modus ponens. Nga sa u tha më sipër, kuptohet se objektet përfaqësohen në
mendje me koncepte e stadet e gjërave në mënyrë skematike, por këto skema nuk
janë të pamodifikuara. Premisa e parë e arsyetimit të mësipërm, para zbulimit të
ligjeve të tërheqjes universale, fluturimit të njeriut në orbitë e shkëputjes nga forca
tërheqëse e tokës kishte thuajse një karakter universal. Ky karakter universal është
modifikuar me arritjen e zbulimeve të mëtejshme. Natyrisht premisa e mësipërme ka
shërbyer si hipotezë ‗popperiane‘ për të pritur falsifikimin e mundshëm. Me mënyrën
se si mendja e njeriut formon këtë përfaqësim skematik të situatave dhe të ngjarjeve
janë marrë një seri studiuesish të filozofisë dhe me gjerë. Ja si shkruan rreth kësaj
çështje në librin Il ragionamento, që në shqip do të përkthehej arsyetimi, studiuesi
bashkëkohor italian i psikologjisë së mendimit Vittorio Girotto: ―Në një sistem
kognitiv, përkrah rregullave empirike që shërbejnë për përfaqësimin e botës,
6
ekzistojnë rregullat e arsyetimit që lejojnë ndërtimin e rregullave të reja për
përfaqësimin e botës‖2. Këto skema nuk janë të përjetshme. Ato modifikohen
vazhdimisht. Vittorio Girotto shprehet për rolin e eksperiencës në ndërtimin e
skemave të reja të arsyetimit dhe në përsosjen e tyre. Nga disa skema mund të
ndërtohen skema të tjera. Pra nuk kemi të bëjmë vetëm me skema apriori të
pamodifikuara, që filozofia mbronte, por kemi ndikim të vazhdueshëm të
eksperiencës e për rrjedhojë rindërtim të skemave. Këto skema Vittorio Girotto i
quan pragmatike. Gjithnjë në të njëjtin libër ky studiues vazhdon: ―Ndër rregullat më
të rëndësishme të rrjedhojës janë skemat pragmatike të arsyetimit. Skemat
pragmatike janë bashkësi rregullash relative për veprime e qëllime të rëndësishme
nga një pikë vështrimi pragmatike‖3. Vihet re një dallim ndërmjet arsyetimit
pragmatik dhe arsyetimit logjik dhe rreth kësaj çështje është diskutuar vazhdimisht
në filozofi e më gjerë.
1.3 Lidhet e logjikës me principet e organizimit biologjik të
njeriut, që në fazat e para të jetës.
Proceset psikike, që karakterizojnë arsyetimet dhe veprimet e njeriut, e bazat
fiziologjike që i bëjnë të mundura, janë mjaft të ndërlikuara. Në këtë drejtim, për
psikologët dhe filozofët interesi dhe arritjet kanë qenë të mëdha . Interesa të
gjithanshme, përfshi këtë drejtim, pati dhe psikologu zviceran Jean Piaget. Për këtë
psikolog, faktet psikologjike do të kuptohen duke marrë parasysh transformimin e
vazhdueshëm të qenieve të gjalla përfshi njeriun.
Ja si shkruan rreth çështjes së lidhjes arsyetimit me veprimin psikologu italian
Palo Legrenzi duke iu referuar Jean Piaget: ―Nga njëra anë, në fakt, ishte i bindur se
logjika gjen bazën në veprim, o më mirë të themi, në organizimin spontan të
veprimeve, për vetë faktin që çdo veprim ka një logjikë. Meqenëse organizmat
jetësor janë të përcaktuar nga vetë funksionimi i tyre, që nuk është gjë tjetër veçse
veprimet dhe reagimet e organizmave të marra së bashku, atëherë është e mundur të
sistemosh një sistem logjik në të cilin gjenden, në një sistem normativ, principet e
organizimit biologjik të organizmave. Një sistem logjik i tillë bën të mundur
përshkrimin, në bazë të një kriteri të nevojshmerisë, të asaj që në sferën empirike të
2 Girotto, V. (2007) Il ragionamento. Il mulino, Trento f. 41
3 Po aty f. 42
7
natyrës ka një statut të mundësisë dhe kuptimin e relacioneve që qëndrojnë nën
ndryshueshmërinë e proceseve njohëse që jepen në botën e fenomeneve‖4. Nga ky
fragment duket se lidhet logjika me principet e organizimit biologjik të organizmave.
Piaget, me vëzhgimet e tij empirike tek fëmijët, kërkon në shumëllojshmërinë e
rasteve të veçanta principet, strukturat e funksionimit mendor të përbashkët për të
gjithë individët e species. Ngjashmërisë së dukshme në aspektin fizik, anatomik e
fiziologjik duhet ti korrespondojë një farë ngjashmërie në funksionimin mendor.
Piaget studion veprimet formale tek fëmijët në stade të ndryshme të zhvillimit të
tyre. Ai ndan në tre stade kryesore zhvillimin e fëmijës. Që në stadin e parë senso –
motor fëmija nëpërmjet veprimeve të tij, fillimisht në formë refleksesh që
konsolidohen me ushtrime funksionale, pastaj me skema të formuara në vazhdën e
përsëritjes e, më në fund, veprime të drejtuara për një qëllim, arrin në koordinimin e
shikimit me ngërthimin dhe pastaj në ndërtimin e objektit të qëndrueshëm.
Ngjashmëria prodhon disa skema, që mund të përcaktohen si bashkësia e gjithë atyre
që përgjithësohen në një tip veprimi e që kanë ―vetinë të bien në të njohurën ose të
riprodhojnë, e herët a vonë të përgjithësojnë atë çka sapo është zbuluar‖5.
Stadi i dytë ndahet në dy periudha të quajtura para operatore, nga dy në shtatë, tetë
vjeç dhe operatore nga tetë deri në dhjetë, njëmbëdhjetë vjeç. Ndërsa në periudhën e
parë fëmijët arsyetojnë vetëm mbi konfigurimin e situatave, periudha e dytë
karakterizohet nga veprime konkrete të fëmijëve mbi situata të jashtme, bazuar tek
principi i identitetit dhe ai i kthimit. Stadi i tretë karakterizohet nga veprimet
formale:strukturat e veprimeve lejojnë veprime bazuar te forma gjykimi me anë te të
cilave është i mundur arsyetimi nëpërmjet hipotezash; bëhet fjalë për arsyetim të
bazuar te pohime të çliruar nga prania imediate e realitetit6.
Fëmija fiton aftësinë për të kombinuar objektet. Kombinon gjithashtu dhe idetë,
ose hipotezat sipas formës së pohimit ose të mohimit dhe e bën këtë kombinim me
anë të lidhëzave logjike si implikimi (n.q.s....atëherë), disnjuksioni (përjashtues
ose....ose dhe përfshirës, kur pranohet mundësia e të dy pohimeve që e përbëjnë),
konjuksioni dhe implikimi reciprok ose ekuivalenca. Arsyetimi nuk kombinon më
vetëm fakte të botës reale, por bëhet ipotetik-deduktiv duke venë në evidencë
implikime të pohimeve të mundur.
4 Legrenzi, P. J. (1992) Storia della psicologia, Bologna, f.201
5 Po aty f.203
6 Po aty f.206
8
1.4 Origjina e shkencës së arsyetimit korrekt.
Aktiviteti njerëzor është sa spontan aq dhe i arsyeshëm. Me gjithë
spontanitetin që e karakterizon, kryesisht në fazat e para të jetës, përgjithësisht,
veprimet njerëzore janë rezultat i akteve mendore që përpilojnë, analizojnë,
krahasojnë, për të arritur në përfundime. Aktet mendore janë të natyrshme dhe
spontane. Këto akte trajtohen nga Logjika dhe Të mendarit kritik të cilat kanë të
bëjnë më shumë me mënyrën se si mendohet sesa me atë çka mendohet7. Mbi
natyrshmërinë e të menduarit e të arsyetuarit të njeriut ka një seri shkrimesh. Ja si
shkruhet në hyrjen e edicionit italian të librit të Anne Thomson Critical Reasoning
―Arsyetojmë ashtu si marrim frymë apo ecim kështu nuk i kushtojmë rëndësi
mënyrave se si e bëjmë‖8. Në një farë mënyre gjatë aktivitetit jetësor arsyetojmë e në
bazë të arsyetimit veprojmë ndonjëherë pa e ditur se arsyetojmë. Ky aktivitet
mendor i arsyetimit karakterizon çdo njeri pa pasur njohje të shkencave kognitive, të
menduarit kritik apo të fushës së logjikës. Njeriu, siç u tha, arsyeton, shpesh herë
dhe më mirë, pa pasur njohje rreth shkencës së arsyetimit dhe arrijnë në përfundime
induktive e deduktive, por nuk mendon se ku e kanë bazën dhe as për mënyrën se si
arrihet në këto përfundime. Janë një seri faktorësh që ndikojnë tek mënyra
komplekse e të menduarit. Ndonëse njeriu bën arsyetime korrekte pa menduar për
bazën e këtyre arsyetimeve, nuk do të thotë se nuk shërbejnë studimet në këtë fushë.
Të thuash: meqenëse njeriu arsyeton më së miri pa u marrë me shkencën e arsyetimit
apo logjikën, atëherë kjo shkencë nuk ka rëndësi, është njëlloj, si të thuash meqenëse
historinë e bëjnë të tjerët e jo historianët, atëherë nuk kemi nevojë për këto të fundit.
Gjithashtu nuk kanë pse të mbivlerësohen logjicienët. Logjicieni studion mënyrat e të
arsyetuarit, por kjo nuk do të thotë se të mëson të arsyetosh ashtu si historiani
shpjegon si kanë ndodhur ngjarjet historike, por jo çfarë vendimesh historike do
marrin liderët. Megjithëse nuk ka nevojë për mbivlerësim filozofët, matematicienët
e kryesisht logjicienët, ndonëse në mënyra të ndryshme, kanë bërë arsyetimin
objekt të studimit të tyre duke i dhënë formë shkencës së logjikës e drejtimeve të
tjera të përafërta të dijes. Një drejtim i rëndësishëm është logjika e modaliteteve
objekt interesi në këtë disertacion.
7 Vaughn, L. e Macdonald, C. (2010) Fuqia e të menduarit kritik, CDE, Tiranë, f. 3
8 Thomson, A. (2002) Critical Reasoning, Routledge, London, tr. it. Argomentare, Mimesis, Milano-
Udine 2009, f.1
9
Megjithëse logjika modale përbën vetëm një drejtim të logjikës, pa pasur një
njohje të origjinës dhe bazave të logjikës, nuk mund të kuptohen modalitetet. Po si
pati origjinën kjo shkencë e quajtur ndryshe shkenca e arsyetimit korrekt?
Si për çdo shkencë tjetër, në origjinë arrihet duke u rikthyer mbrapa në fillesat
e historisë së saj. Literatura mbi historinë e logjikës, ashtu si dhe të historisë së
shkencave të tjera, nuk mungon. Në një libër të rëndësishëm të William e Marta
Kneale The devolpment of Logik, thuhet, se njerëzit edhe para Platonit dhe
Aristotelit, kanë arritur në konkluzionet e rrjedhojave logjike dhe kanë kritikuar ato
të tjerëve, por kjo nuk na autorizon të themi se dhe para Aristotelit ka pasur një
shkencë të logjikës9. Po aty këto autorë vazhdojnë:―Meqenëse logjika nuk është
thjeshtë një arsyetim i vlefshëm, por reflektim rreth principeve të vlefshmërisë, ajo
konsiderohet e lindur kur ka një numër të konsiderueshëm rrjedhojash,
argumentimesh, arsyetimesh‖10
. Logjika ka lindur si analizë e gjuhës sepse njeriu
(përjashto stadet fillestare të të folurit dhe stade inkoshiente) gjykon e shpreh
gjykimet e tij me fjali bashkëbiseduesve, gjithashtu i dëgjon e i gjykon për ato që
thonë. Por jo çdo tip të foluri shkakton një reflektim logjik. P.sh, të folurit e fëmijës
në fazat e fillimit. Gjithashtu, kur gjuha përdoret në funksion shprehës si në
krijimtarinë letrare, kryesisht poezisë, nuk mund t‘i bëhet një analizë logjike
standard sepse është e pasur me krahasime, hiperbola, metafora, sarkazma. Nuk them
se poeti apo shkrimtari nuk përdor një logjikë të caktuar, por analiza logjike standard
nuk mund t‘i bëhet një vepre letrare. Tek një fabul lidhet një subjekt si p.sh. ‗shpend‘
me predikatin ‗me fol‘ por logjikisht predikati ‗me fol‘ nuk i përket subjektit shpend.
Poezia nuk është bërë për të pasur një strukturë logjike standard, por për të shprehur
dhe për të shkaktuar ndjenjë, emocion, përjetim, pikëpamje etj. Kështu objekt i
logjikës nuk është çdo akt gjuhësor, por vetëm pohimet që shprehin një lidhje
subjekt – predikat, të cilët do të trajtohen gjerësisht më poshtë.
Megjithëse në fushën e filozofisë Platoni është konsideruar mendimtari i parë
me kërkimin mbi të vërtetën dhe falsitetin, Aristoteli konsiderohet themeluesi i
logjikës. Ky fakt gjendet në shumicën e manualeve të filozofisë dhe të historisë së
logjikës. Pas sistemimit të veprave të Aristotelit, nga Androniku i Rodit shumë kohë
pas vdekjes së tij, ato të karakterit logjik u titulluan Organon, instrument i shkencës.
9 Kneale, W. e Kneale, M. (1962) The devolpment of Logik. Clarndon Press, Oxford. tr. it. Storia della
logica, Enaudi, Torino 1972, f.5 10
Po aty f.5
10
Meqenëse kjo përmbledhje ishte rezultat i sistemimit të veprave, disa autorë pohojnë
se është shkruar në kohë të ndryshme e pa një plan të vetëm. Kjo kuptohet dhe nga
fakti se principet bazë të logjikës si ai i mos - kontradiksionit dhe i të tretës së
përjashtuar shprehen tek vepra e tij e famshme Metafizika, që natyrisht nuk ka se si
të konsiderohet logjike. Megjithëse sistemimi kronologjik ka qenë i vështirë,
mendohet nga studiuesit, se shkrimi i parë ka qenë Kategoriae. Më pas ishte Topika
që ka si objekt arsyetimin dialektik, i cili procedon nga opinione që janë
përgjithësisht të pranuara dhe me këtë i kundërvihet arsyetimit demonstrativ, i cili
procedon duke u nisur nga premisa të vërteta. Kështu dallohet opinioni nga premisa e
vërtetë dhe arsyetimi dialektik nga arsyetimi demonstrativ.
Në këtë vepër Aristoteli arrin në përfundime duke arsyetuar rreth një mohimi
të tillë:
S‘ka B që të jetë A
__________________
S‘ka A që të jetë B11
Kemi një premisë të vetme sipër vizës, që përbën një përgjithësim të të gjitha fjalive
mohuese të përgjithshme ose universale të formës: ―S‘ka B që të jetë A‖ nga ku
rrjedh konkluzioni ―S‘ka A që të jetë B‖, shënuar poshtë vizës. Aristoteli është
filozofi i parë, që pati meritën të përgjithësojë dhe të shprehë këtë përgjithësim me
simbole, natyrisht të alfabetit grek, të cilët janë përdorur gjerësisht në zhvillimet e
mëvonshme të logjikës, dhe të arrijë në përfundim nga një premisë e vetme si më
sipër. Skema e mësipërme, ilustruar me një shembull do të ishte: s’ka zvarranik që të
jetë shpend nga ku rrjedh S’ka shpend që të jetë zvarranik. Natyrisht në shqip jemi
mësuar të themi: asnjë zvarranik nuk është shpend, por kjo mënyrë e të shprehurit
logjikisht do të përbënte një gabim, sepse dy mohime të njëpasnjëshme do të
përbënin një pohim.
Vepra të tjera të përfshira në Organon janë Mbi interpretatimin, Analitikë të
parë, Analitikë të dytë. Kategoriae. Këto shkrime përbëjnë themelet e logjikës dhe do
të jenë objekt diskutimi i filozofëve nga lindja në perëndim për gjithë periudhën pas
Aristotelit.
Siç u tha, logjika në fillimet e saj ishte një analizë e gjuhës dhe ky fakt
shprehej jo vetëm në manuale të logjikës por dhe të filozofisë. Aristoteli duke
analizuar gjuhën, merrte në konsideratë vetëm fjalitë për të cilat mund të thuhet se 11
Po aty f.19
11
janë të vërteta apo false, që i quajti apofantike (pohojnë ose mohojnë diçka për
diçka)12
. P.sh. Peshqit notojnë. Kali ka katër këmbë. etj. Ndërsa për fjalitë pyetëse
apo dëshirore nuk mund të thuash se janë të vërteta apo false, për fjalitë e mësipërme
mund të pohohet mbi vlerën e vërtetësisë së tyre. Natyrisht kjo njësi bazë që mori në
konsideratë Aristoteli, përbën një lidhje subjekt - predikat. Aristoteli quan subjekt atë
për të cilin pohohet ose mohohet diçka, kurse çfarë pohohet ose mohohet e quan
predikat. Subjekti dhe predikati janë quajtur terma të fjalisë të cilët do të sqarohen
më mirë në paragrafin që vijon.
Mendimit logjik i japin origjinë llojet e të folurit, ku kërkohet demonstrimi,
prova; në fakt të demonstrosh do të thotë të arrish në mënyrë të vlefshme në
konkluzion nga premisa të vërteta. Demonstrimi për Aristotelin është instrumenti
bazë i shkencës: vetë shkenca është demonstrim13
. Ai ka hedhur themelet e logjikës
duke trajtuar rrjedhojën e vlefshme dhe natyrën e përcaktimit. Kushtet e
demonstrimit janë dy: a) premisat e vërteta. b) arsyetimi i vlefshëm.
Demonstrimet logjike janë të ngjashme me ato matematike, kryesisht
gjeometrike. E para gjë e rëndësishme e marrë nga gjeometria, që do të na ndihmojë
në logjikë, do të jetë përgjithësimi. Kur thuhet: në çdo trekëndësh kënddrejtë katrori i
hipotenuzës është sa shuma e katrorëve të kateteve bëhet një përgjithësim.
Hipotenuza nuk i referohet një segmenti të veçantë por të gjithë segmenteve që
plotësojnë kushtin: të gjenden në një trekëndësh përballë këndit të drejtë. Po kështu
kur për subjektin pohohet ose mohohet një predikat, kemi një përgjithësim të të
gjitha fjalive që kanë këtë formë.
Hapi i parë drejt mendimit logjik është atëherë, kur njerëzit kërkojnë të
përgjithësojnë rreth arsyetimit të vlefshëm dhe të nxjerrin nga ndonjë arsyetim i
vlefshëm i veçantë një formë ose një princip të përbashkët për një klasë arsyetimesh
të vlefshme14
. Në një farë mënyre kemi të bëjmë me kalimin nga arsyetim me
përmbajtje në arsyetim pa përmbajtje. Kështu aspekti formal merr një rendësi të
veçantë.
12
Cambiano, G. e Mori, M. (1998) Storia e antologia della filozofia,Laterza, Bari, f.273 13
Po aty f.275 14
Kneale, W. e Kneale, M. (1962) The devolpment of Logik. Clarndon Press, Oxford. tr. it. Storia
della logica, Enaudi, Torino 1972, f.19
12
1.5 . Një këndvështrim historik mbi formimin e koncepteve
dhe raportet ndërmjet tyre.
Çështja e formimit të koncepteve ka shoqëruar tërë historinë e filozofisë e më
vonë atë të psikologjisë duke filluar me stoikët, që dhanë një kontribut të madh në
logjikë . Për stoikët termi Logjikë rrjedh nga logos që d.m.th. arsye gjithashtu dhe e
folur. Sipas tyre, logjika nuk është instrument si për Aristotelin por një pjesë
specifike e filozofisë. Objekt i saj është të folurit. Në këtë kontekst mënyra e
formimit të koncepteve merrte një rëndësi të veçantë. Për stoikët, që në fazën e parë
të njohjes, objektet godasin organet e shqisave dhe formojnë pasqyrimet ose
përfaqësimet subjektive të objekteve. Pasqyrimet ruhen dhe nga përsëritja formohen
konceptet15
. Ata bëjnë dallimin ndërmjet objekteve reale, tingujve të artikuluar që
janë dhe ato real (fjalët, fjalitë) dhe domethënies (lekton), që është ajo që duam të
themi me anë të këtyre tingujve. Këto janë fjalitë dhe vërtetësia ose falsiteti i tyre
varet nga stadet e gjërave për të cilat flasin.
Shumë më vonë do të japin mendimin e tyre për formimin e ideve dhe
empiristët. Për përfaqësuesin kryesor të tyre J. Locke, të gjithë materialet e arsyes
dhe të njohjes gjenden tek eksperienca dhe janë ndijimet që na bëjnë të dallojmë
gjërat e jashtme dhe reflektimet që na bëjnë të njohim veprimet e brendshme të
mendjes. Nga ndijimet dhe reflektimet lindin idetë e thjeshta, që intelekti ka aftësinë
që t‘i përsërisë, t‘i krahasojë dhe t‘i bashkojë duke formuar ide komplekse me një
ndryshueshmëri të pafund16
.
Ndryshimin dhe lidhjet e koncepteve i ka trajtuar gjerësisht J. H. Herbart.
Sipas tij logjika merret me ndryshimin dhe lidhjet e koncepteve ndërmjet tyre dhe
tenton ta shkëpusë atë nga psikologjia. Sipas J. H. Herbart, në logjikë do të injorohet
çdo gjë që është psikologjike. Mendimi i tij ishte i gjithanshëm, por do trajtohen disa
çështje, që kanë të bëjnë me formimin e koncepteve dhe të logjikës. Sipas disa
studiuesve, J. H. Herbart ishte i ndikuar nga empirizmi anglez e kryesisht nga
mendimi i filozofit J. Locke. Ja si shkruan psikologu George Fredrk Stout për këtë
ndikim, që na e sjell studiuesi italian Volpicelli në librin Esperienza e metafisica
nella psicologia di J.F.Herbart: ―Është polemika e tij e pakuptueshme kundër
aftësive, aktiviteteve e predispozitave të mbartura të shpirtit e në këtë aspekt Herbart
gjendet përgjithësisht dakord me asociacionistët anglezë edhe pse shikon në mënyrë
15
Cambiano, G. e Mori, M. (1998) Storia e antologia della filozofia, Laterza, Bari, f. 346 16
Dal Pra, M. (1997) Sommario di storia della filozofia.II, La Nuova Italia, Firenze, f.182
13
më të qartë se ato, natyrën ekzakte dhe origjinën e metodave të vjetra, që hodhi
poshtë‖.17
Sipas Herbart-it, dhe çdo empiristi, Botën e njohim nëpërmjet kontaktit të
vazhdueshëm me objektet e saj, nëpërmjet organeve të shqisave. Pasqyrimet e
thjeshta që formohen gjatë eksperiencës ruhen në shpirt, dhe kjo, për Herbart,
përbën vetëruajtjen e vetë shpirtit. Përdorimi i konceptit shpirt do të thotë, se ky
koncept nuk del nga tradita filozofike dhe koncepti mendje nuk mund ta zëvendësojë
atë lehtësisht. Sipas J. H. Herbart, reflektimet dhe mendimet do të bashkohen dhe të
sistemohen me saktësi dhe qartësi. Nuk do të konsiderohen konceptet vetëm
subjektivisht; krahas eksperiencës së brendshme duhet të merret si objekt
eksperienca e jashtme, hapësira dhe koha18
.
Për J. H. Herbart, i takon logjikës të merret me ndryshimin dhe lidhjet e
koncepteve ndërmjet tyre. Koncepti është mendimi ynë në raport me atë që
nëpërmjet të cilit mendohet; ai tregon ―të konceptuarit‖ dhe dallon nga mënyra e të
menduarit dhe e riprodhimit të mendimit19
. Për sa i përket logjikës, J. H. Herbart
kërkon ta shkëpusë nga psikologjia. Sipas tij, në logjikë do të injorohet çdo gjë që
është psikologjike; do të merren parasysh vetëm format e lidhjes së mundshme të
mendimit, të cilat vetë mendimi i lejon. Për J. H. Herbart konceptet nuk janë: as
objekte reale, as akte efektive të mendimit. Ndërmjet koncepteve ekzistojnë raporte
të ndryshme si: përfshirja, kundërshtia etj. Mendimi bashkon konceptet dhe formon
gjykimet dhe bashkimi i gjykimeve formon silogjizmat20
.
Për sa i përket çështjes së universaleve, të shumë trajtuar në filozofi, ai i
mohon ato. Sipas tij nuk ka asnjë fakt universal. Faktet e vërtetë psikologjik gjenden
në situatat e momentit të individëve; këto janë jashtëzakonisht larg nga lartësia e
koncepteve universale: ―njeri në përgjithësi”21
. Gjithashtu për realitetin e koncepteve
s‘ka pse të flitet se gjithkush di, se janë mjete ndihmëse të mendimit, i cili i ka
zhvilluar për të mundur që të dominojë më një shikim e më lehtësisht, një varietet të
madh të trupave natyror22. Për J. H. Herbart konceptet janë mjete ndihmëse të
mendimit dhe studiohen njëkohësisht me pasqyrimet. Ja si shprehet rreth mënyrës së
17
Volpicelli, I. (1982) Esperienza e metafisica nella psicologjia di J.F.Herbart, Armando, Roma,
f.50. 18
Dal Pra, M. (1997) Sommario di storia della filozofia.II, La Nuova Italia, Firenze, f.73 19
Po aty f.74 20
Po aty f.75 21
Volpicelli, I. (1982) Esperienza e metafisica nella psicologjia di J.F.Herbart, Armando, Roma,
f.58. 22
Po aty f.60.
14
unifikimit të pasqyrimeve studiuesi italian i Herbart-it, Volpicelli:―Është i
mjaftueshëm parimi metafizik i unitetit të shpirtit për të qartësuar procesin në bazë te
të cilit pasqyrimet e thjeshta duke hyrë në raporte të përcaktuara bashkimi bëjnë të
mundur grupime, përfaqësime komplekse gjërash dhe objektesh. E njëjta gjë vlen për
konceptet, konsideruar në kuptimin psikologjik, nga ato individual e të veçantë e deri
tek ato më të përgjithshmit, universalet‖23
. Ka dhe autorë të tjerë që i mendojnë
konceptet si bazë në strukturën e gjykimeve. I këtij mendimi është M. W. Drobisch.
Gjykimet sipas tij shprehin relacione ndërmjet koncepteve. Sipas Drobisch,
abstraksioni lejon të vihet në pah fakti, se duke u nisur nga gjykime të veçanta,
arrihet në sintetizimin e gjykimit. ―Nga gjykime të veçanta A‘ është B, A‘‘ është B,
A‘‘‘ është B, arrihet në gjykimin: disa A janë B‖24
. Në këtë bashkim konsiston
bërthama e procesit të induksionit. Gjithsesi induksioni nuk e garanton
përgjithësimin tërësor logjik. Tek gjykimet dallon rrjedhojën imediate ndërsa tek
silogjizmat rrjedhojën logjike mediate.
1.6 Shumëllojshmëria e objekteve dhe aftësia e kufizuar e
mendjes për ti përfaqësuar.
Mënyra e formimit të koncepteve nuk është një problem që lidhet
drejtpërdrejt me logjikën, por trajtimi i tyre ka pasur një ndikim të madh në
diskutimin filozofik rreth objekteve (d.m.th elementëve bazë) të logjikës e deri tek
ato të matematikës (p.sh në logjikë lidhen terma apo pohime por çfarë përfaqësojnë
në vetvete këto terma e pohime; në matematikë mblidhen numra por çfarë janë këta
numra në vetvete). Diskutimi është bërë kryesisht rreth mënyrës së formimit të tyre
dhe rreth bazës reale apo ideale të tyre dhe ka përfshirë gjithë debatin filozofik,
psikologjik dhe më gjerë. Dhe në këtë disertacion do të ndalem shkurtimisht tek
formimi i koncepteve në mendje.
Në mënyrë graduale, si rezultat i ndikimit të eksperiencës jo vetëm të
përjetuar, por dhe të imagjinuar dhe të formuar nëpërmjet tregimeve, pa lënë
mënjanë predispozita të karakterit gjenetik etj., formohen tek njeriu konceptet, për
të cilat njeriu rrallë herë mendon për mënyrën komplekse të formimit të tyre.
Fluksi i informacionit që merret gjatë kontaktit nëpërmjet organeve të
shqisave të njeriut me botën, krahas ndikimit të faktorëve të tjerë që u përmenden,
23
Po aty f.84. 24
Poggi, S. (1977) I sistemi dell’esperienza, Il mulino, Bologna, f.298
15
ka një ndikim të madh në formimin e koncepteve dhe të mendimeve. Ky fluks është
i gjithanshëm dhe i bollshëm. Meqenëse aftësitë e njeriut për ta organizuar e
sistemuar atë janë të kufizuara, mekanizmat e filtrimit të informacionit janë të
nevojshme dhe veprojnë automatikisht dhe në inkoshencë. Jo çdo ngacmues shqisor
apo çdo informacion të bën përshtypje. Në tërë këtë proces, një rol vendimtar
përbëjnë mekanizmat, që kanë të bëjnë me mbijetesën e individit. Një informacion që
ka të bëjë me mbijetesën e individit nuk mund të konsiderohet si informacion i
zakonshëm, gjen hapësirë të menjëhershme dhe ruhet më gjatë ne memorie.
Informacioni i zakonshëm dhe i vazhdueshëm, pas filtrimit gradual,
organizohet, klasifikohet, integrohet me informacion të ri, ruhet dhe riprodhohet. Në
këtë mënyrë, ndonëse procesi është mjaft i komplikuar, formohen konceptet.
Koncepti s‘është gjë tjetër, veçse objekt i qëndrueshëm mendor, i cili mund të
përfaqësojë një larmi të gjerë të objekteve apo të stadeve të gjërave; përmbajtjen e
një nevoje fiziologjike, dhuntie, dëshire apo frike; gjithashtu mund të përfaqësojë një
objekt apo klasë objektesh me cilësi të ngjashme, me bazë reale apo imagjinare.
Në procesin e formimit të koncepteve, siç u tha, ka një sërë faktorësh që
ndikojnë. Filtrimi i fluksit të informacionit, si fenomen paraprak, varet nga gjendja e
organizmit, shumëllojshmëria e objekteve më të cilat organizmi është në kontakt,
interesat jetike ndaj objekteve, të cilat u përmenden, situatat në të cilat gjendet njeriu
etj. Ky proces është i ndryshëm në faza të ndryshme të jetës. Tjetër objekte i bëjnë
përshtypje një fëmije, tjetër një të rrituri. Natyrisht që dhe eksperiencat e
mëparshme ndikojnë në procesin e filtrimit të informacionit. Në çdo moment
pasqyrohen në mendje një mori objektesh, fenomenesh, por faza e ruajtjes është
përgjithësisht e shkurtër përjashto atë çfarë të zgjon interes të menjëhershëm.
Informacioni i ruajtur koordinohet, sistemohet dhe riorganizohet; për këtë mendja jo
vetëm është e parapërgatitur, sepse zotëron predispozita njohëse dhe organizative,
por përgatitet dhe në vazhdën e eksperiencës së vazhdueshme. Riorganizimi bëhet
automatikisht në bazë të ngjashmërisë së objekteve, qëndrueshmërisë, vijimësisë,
paralelizmit të fenomeneve e uniformitetit25
të realitetit. Këtë organizim të materialit
shqisor e bën mendja, që ushtron një veprim kritik ndaj tij dhe ruajtja është dhe në
inkoshencë e pret riprodhimin, i cili ndikon pozitivisht në përforcimin e konceptit.
Mendja njerëzore formon dhe konceptin e një objekti jo të natyrshëm mitologjik;
mjafton të shikojë disa herë një pikturë që paraqet një qenie të kombinuar gjysmë 25
Të përsëriturit në të njëjtën mënyrë
16
kalë gjysmë njëri, apo siç quhet ndryshe centaur. Rreth këtyre çështjeve në filozofi
ka pasur dhe ka një debat mjaft të gjerë e interesant.
1.7 Aftësia natyrore e mendjes njerëzore, që bën të mundur
lindjen e ideve.
Çështja se si njeriu formon dhe organizon konceptet me Kantin merr një
trajtim të ri, ashtu si tërë mendimi filozofik në përgjithësi. Jo më kot ndikimi i tij
është konsideruar si revolucioni kopernikan në filozofi i cili, siç u tha, do të ketë
një ndikim në mendimin filozofik e më gjerë. Janë kryesisht filozofë e psikologë
gjerman, që trajtojnë imtësisht çështjen e formimit të koncepteve dhe të organizimit
të eksperiencës. Natyrisht, dy drejtimet bazë rreth kësaj çështje janë: ai i
mbizotërimit të eksperiencës empirike në formimin e koncepteve, i cili u përmend
më sipër dhe ai i predispozitës organizative apriori të mendjes njerëzore. Një prej
autorëve që trajtuan këtë problem është filozofi gjerman Kuno Fisher. Mendimi i
këtij autori dhe i autorëve të tjerë si M. W. Drobisch e Friedrich Albert Lange behët
prezent nga filozofi italian bashkëkohor Stefano Poggi nëpërmjet librit I sistemi
dell’espërienza, që në shqip do të ishte Sistemet e eksperiencës.
Kuno Fisher, siç shkruan Stefano Poggi, konceptet i konsideron të fituara e jo
të lindura. Ato paraqiten si ―operacione të intelektit në atë mënyrë si madhësitë
matematike ekzistojnë vetëm në momentin në të cilin janë sjellë në intuitë dhe janë
ndërtuar, kështu konceptet e kulluara ekzistojnë vetëm në momentin në të cilin janë
menduar‖26
. Pra, nuk kanë realitet tjetër, veçse atë mendor i cili është i
përkohshëm.
Në zhvillimet e mëtejshme të logjikës ka autorë që nuk u gjejnë të gjitha
njohjeve gjenezën empirike. Poggi përcjell mendimin e filozofit Friedrich Albert
Lange. Sipas këtij të fundit s‘ka gjë më të lehtë, sesa të mendosh, se pohimet apriori
të gjenden vetëm nëpërmjet rrugës së përvojes27
. Lange është bazuar tek disa
eksperimente të fiziologjisë së organeve të shqisave. E nëpërmjet tyre ka arritur në
bindjen e ekzistencës së ―një rrënje të përbashkët, për ne të panjohur, të ndjeshmërisë
dhe të intelektit‖, dhe se ―në përshtypjet shqisore të dukshme kooperojnë procese, që
nëpërmjet eliminimit dhe integrimit u korrespondojnë në mënyrë impresionuese
26
Po aty f.17 27
Po aty f.48
17
përfundimeve dhe falsifikimeve të mendimit koshient‖28
. Në mendimin tonë ka
njohje specifike apriori që nuk mund t‘u gjendet një gjenezë empirike e
―nevojshmeria e tyre është dhënë para çdo eksperience nëpërmjet organizimit
psikofizik të njeriut‖, ―që në eksperiencën e parë pa ndërmjetësimin e induksionit‖29
.
Sipas tij, në të gjitha njohjet tona ka një faktor që e ka bazën tek esenca e subjektit
njohës e që nuk është kontingjent si përshtypjet e jashtme. Ka një dhunti natyrore, që
bën të mundur lindjen e ideve, që nuk kanë të bëjnë fare me praktikën.
I këtij drejtimi është dhe filozofi M. W. Drobisch. Sipas Drobisch, ligjet
logjike prezantohen si struktura, në termat e të cilave, mendimi arrin vetëdijen e
formave të eksperiencës e që imponon e organizon një njohje, që nuk është ajo
imediatja e perceptimit, por ajo mediatja e intelektit; dhe është në bazë të këtyre
ligjeve, që aktualizohet sistemimi i koncepteve nëpërmjet të cilit jo vetëm bëhemi të
vetëdijshëm për ekzistencën e realeve të thjeshta, por mund të flasim dhe për ndodhi
efektive30
.
1.8 Të fillosh me formula
Ndodh që të shfletosh një libër të logjikës dhe të shikosh që është i tëri me
simbole, shenja, formula, shumë prej të cilave, mund te jenë të pakuptueshme edhe
për atë që merret me logjikë. Konceptet shprehen me shenja që mund të jenë të
përbëra nga tinguj apo shenja grafike. Në logjikë dhe në matematikë këto nuk kanë
rezultuar të mjaftueshëm dhe janë nevojitur simbole të tjera, të quajtura formula.
Megjithëse shumica e manualeve të logjikës janë të integruara me sqarimet
përkatëse për çdo shenjë apo simbol, gjithsesi deshifrimi i tyre kërkon impenjim dhe
gjithmonë këto simbole në pamje të parë duken komplekse. Të merresh me logjikë,
siç u tha, d.m.th të merresh me arsyetime, jo me arsyetimet në veçanti, por me
mënyrën e të arsyetuarit. Mënyra më e mirë për të kuptuar se çfarë është logjika
është që ta praktikosh31
. N.q.s kërkon të reflektosh mbi mënyrën e arsyetimit, apo
logjikën, pikësëpari shërben të dihet: nga çfarë përbëhen arsyetimet? Një zbërthim i
mëtejshëm i tyre është i mundshëm. Arsyetimet përbëhen nga pohime të radhitura e
pohimet përbëhen nga terma. Pohimet janë lidhje ndërmjet termave. Shumë manuale,
duke filluar me Analitikë të parë, i cili natyrisht nuk është një manual, por gjithsesi
28
Po aty f.49 29
Po aty f.49 30
Po aty f.373 31
Lemmon, E. J. tr. it. Elementi di logica, Laterza , Roma – Bari 2002 f. 3
18
është ndër shtyllat e mendimit logjik, fillon në këtë mënyrë: duke shpjeguar
përbërësit bazë ose ―njësitë më të thjeshta‖ me të cilat do të formohet një arsyetim.
Atëherë termat çfarë janë? Për të ditur se çfarë janë termat shërben të dihet se çfarë
janë shenjat. Po shkoj zinxhir me pyetje, por pa pasur më parë një kuptim mbi
shenjat nuk mund të bëhet një qartësim më tej për termat e lidhjet e tyre në pohime e
të pohimeve në strukturat formale të logjikës. Megjithëse nuk do të trajtohet
gjerësisht këtu, teoria e shenjave, ose semiotika, ka marrë një zhvillim mjaft të madh.
Po kufizohem me një përkufizim të thjeshtë që ka dhënë filozofi pragmatist amerikan
Ch. S. Peirce për shenjat. Sipas tij shenja është ―ajo që qëndron për diçka tjetër‖32
.
Një sinjal rrugor, një vizatim apo një fjalë e paraqitur grafikisht apo e shprehur në
mënyrë të artikuluar janë shenja që qëndrojnë për diçka tjetër. Dhe kur shfletojmë një
libër të logjikës apo të matematikës simbolet që shikojmë qëndrojnë për diçka tjetër.
Trajtimi i shenjës apo i shenjave ka bërë që të dalin në pah tre komponentë
bazë: domethënës: a) (Kush ka domethënie? D.m.th shenjat me realitet material si
titull, vijë, imazh që përdorim për të komunikuar) b) domethënie, nocion mendor që
lejon kalimin nga shenja tek ajo për çfarë qëndron shenja dhe i shënuari c) do të thotë
çfarë shënohet (objekti i vërtetë si parkingu, mali, pema, vazoja reale etj). Del në
pah problemi i raportit ndërmjet shenjave dhe realitetit të ndërmjetësuar nga
domethënia, tre komponentë këto që përbëjnë kulmet e një trekëndëshi33
.
Siç u trajtua, shenjat shprehin mendime dhe janë të ndryshme dhe komplekse, por
këtu do të përqendrohem më shumë tek ato gjuhësore dhe logjike. Mendimi është i
lidhur pandashmërisht me gjuhën34
. Të folurit përbëhet nga fjali. Fjalitë përbëhen nga
fjalë. Fjalët janë kombinime shenjash të artikuluar apo grafike që shprehin apo
përfaqësojnë koncepte.
Aristoteli ishte i pari filozof që përdori simbole në vend të termave, dhe për
këtë është konsideruar si themelues i logjikës formale, por në vijim tërë historia e
logjikës ka qenë histori e formulave, ose më mirë të themi e modifikimit e
pasurimit, përsosjes dhe e thjeshtimit, kur ka qenë e mundur, të simbolikës dhe e
sistemeve formale të logjikës.
32
Binolo, Gj. e Vidali, P. (2011) Strumenti per ragionare, Mondadori, Milano -Torino f.1 33
Po aty f.1 34
Pirdeni, L.(2008) Hyrje në Logjikë, Koçi, Tiranë f.15
19
Do të filloj këtë formalizëm me dy raste mjaft të thjeshtë e të famshëm, që
përmenden në manualet e logjikës dhe të historisë së logjikës. Në rastin e parë bëhet
fjalë për formalizimin e paradoksit të famshëm të Protagorës:
Paradokset, thënë në mënyrën më të thjeshtë, janë kundër-opinione. Por, për
të arritur në një përfundim paradoksal duhet të nisemi nga premisa gjerësisht të
pranueshme dhe më pas të bëhen disa kalime deduktive në dukje korrekte. Në këtë
mënyrë, arrihet në konkluzion paradoksal ose absurd. Me të famshmet në filozofinë e
periudhës antike janë paradoksi i sofistit të famshëm Protagora dhe paradoksi kundër
lëvizjes të Zenonit të Eleas. Po kufizohem më të parin:
Sofist i madh Protagora pranoi t‘i mësonte ligje një studenti me emrin Eulati.
Meqenëse ky ishte i varfër, bëri një kontratë me mësuesin e tij si më poshtë: Eulati
do të rikompensonte mësuesin sapo të fitonte gjyqin e parë. Kur mbaroi studimet
Eulati vendosi të ndiqte karrierën politike, duke mos praktikuar profesionin legal.
Protagora, që nuk kishte marrë shpërblimin e duhur për mësimin, i kërkoi Eulatit
pagesën. Eulati i përgjigjet se sipas kontratës do ta paguante, kur të fitonte kauzën e
parë, por kjo akoma nuk kishte ndodhur. Atëherë Protagora mendoi: po sikur ta hedh
në gjyq? N.q.s fitoj do të më paguaje se kështu është vendimi. N.q.s fiton ai, do të më
paguaje përsëri, sepse ai po fiton kauzën e parë e kështu do zbatonte kontratën e
vjetër. Dhe kështu bëri: e hodhi në gjyq.
Eulati mbrohet në mënyrë të pagabueshme, duke demonstruar se ka kuptuar
në mënyrë të shkëlqyer mësimet e mësuesit të madh. Ai përpara trupës gjykuese
shprehet: Po të fitonte kauzën, trupa gjykuese i kishte dhënë të drejtë kështu nuk do
të paguante; n.q.s do të humbiste, përsëri nuk do ta paguante mësuesin e tij të vjetër,
sepse akoma nuk do të kishte fituar kauzën e tij të parë.
Arsyetimi i Protagores do të simbolizohej në këtë mënyrë:
1) (p v p) = v (vërtetë)
Ku ‗p‘ është pohimi: Unë (Protagora) fitoj kauzën dhe simboli tregon
mohim.
Protagora bën këtë përllogaritje: për të marrë shpërblimin duhet që njëra
nga mundësitë të jetë e vërtetë. Njëra nga këto mundësi do të jetë me
siguri, kështu mendon fitoren të garantuar, natyrisht duke u bazuar dhe tek
kontrata e hershme.
Në të njëjtën mënyrë arsyeton dhe Eulati:
2) (p v p) = v (vërtetë)
20
Ku ‗p‘ është pohimi: Protagora fiton kauzën dhe shenja tregon
mohimin.
Eulati bën këtë përllogaritje: për të mos paguar duhet, që njëra nga mundësitë të jetë
e vërtetë. Njëra nga këto mundësi do të jetë me siguri kështu mendon fitoren të
garantuar edhe në këtë rast duke u bazuar tek kontrata e mëparshme. Në këtë mënyrë
lind ky paradoks i famshëm që në këtë rast është përmendur vetëm për mënyrën e të
shprehurit me simbole.
Në rastin e dytë, i cili është më i thjeshtë, bëhet fjalë për ―arsyetimin‖ e qenit
të famshëm të gjuetisë që filozofi i madh stoik Krisipi i ka lënë trashëgim historisë së
filozofisë dhe të logjikës35
. Në fakt është filozofi Sesto Empirico që ia atribuon
Krisipit këtë tregim interesant për ―arsyetimin‖ e qenit të gjuetisë, kësaj kafshe
shtëpiake aq besnike ndaj njeriut. Ky rast, që s‘është i vetëm, tregon që jo të gjithë
filozofët kanë menduar se aktet mendore komplekse janë karakteristikë vetëm e
njeriut. Për shumë autorë, këto akte janë komplekse edhe në botën e kafshëve dhe kjo
çështje nuk është lënë mënjanë nga mjaft studiues. Jo rastësisht dhe në lashtësi flitej
për intelektin e kafshëve. Krisipi thoshte që qeni i gjuetisë në ndjekje të gjahut kur
arrin në një kryqëzim ―arsyeton‖ në këtë mënyrë: pasi nuhat në degëzimin e parë dhe
të dytë të kryqëzimit dhe shikon që gjahu nuk ka kaluar në këto drejtime, vijon
rrugën menjëherë në degëzimin e tretë pa humbur më kohë duke nuhatur. Pra
arsyetimi është i tillë: janë tre degëzime, sepse duke qenë në ikje gjahu nuk mund të
jetë kthyer prapa, dhe meqenëse gjahu nuk ka kaluar tek degëzimi i parë atëherë:
N.q.s nuk ka kaluar tek degëzimi dyte duhet të ketë kaluar tek degëzimi i tretë.
Kështu qeni ka si ‗premisë paraprake‘ faktin se gjahu ka kaluar në një nga të tre
degëzimet. Pastaj, nga verifikimi me nuhatje i shtohet premisa tjetër: Nuk ka kaluar
në degëzimin e parë dhe nuk ka kaluar në degëzimin e dytë. Kjo e bën të mundur që
të arrijë në konkluzion të sigurt për drejtimin e ikjes. E gjithë skena e ndjekjes së
gjahut paraqitet si më poshtë.
p
q
r
Skema 1.1
35
D‘Agostini, F.( 2012) I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino, f. 65
21
―Çështja e parë e logjikës konsiston në shprehjen e arsyetimit në një gjuhë formale‖36
U jepet një emër pohimeve dhe shënohen me një shkronjë në rastin konkret p, q, r.
Ja disa nga mënyrat me të spikatura të shprehjes me formula të pohimit të përbërë37
n.q.s. gjahu nuk kalon në degëzimin e parë atëherë (N.q.s nuk kalon në degëzimin e
dytë atëherë kalon në degëzimin e tretë)38
.
Në mënyrën simbolike klasike shprehet kështu39
:
3) p ( q r)40
Sipas skematikes tërësisht origjinale të ideografisë së Gotlob Frege (1848-1925) i
njëjti pohim paraqitet në këtë mënyrë:
r
q
p
Skema 1.2
Duket si skemë e komplikuar, por për shumë aspekte është më e thjeshtë. Në
radhë të parë G. Frege përdorte vetëm lidhëzat logjike të mohimit dhe implikimit
gjithashtu me ketë skeme eliminohen kllapat. Për sa i përket thjeshtimit të lidhëzave
logjike, disnjuksionin e shpreh si implikim të mohimit të pohimit të parë me
pohimin e dytë si më poshtë:
4) (p v q) = ¬p→q
që d.m.th falsiteti i njërit pohim sjell vërtetësinë e tjetrit. P.sh. Disnjuksioni: I
pari ose i dyti të ngjiten më ashensor, që ndryshe mund të shprehej: Të paktën njëri
te ngjitet me ashensor, me implikim shprehet: N.q.s jo i pari atëherë i dyti. Po kështu
shpreh dhe konjuksionin me mohim implikimi dhe:
5) (p ^ q) ≡ ¬ (p → ¬ q)
P.sh. konjuksioni: i pari dhe i dyti të ngjiten më ashensor, që ndryshe mund të
shprehej: të dy te ngjiten me ashensor, me implikim shprehet: nuk ka mundësi që
n.q.s ngjitet i pari, atëherë nuk ngjitet i dyti. Po kështu shpreh dhe konjuksionin me 36
Po aty f. 34 37
Pohimi i përbërë në këtë rast implikimi 38
Janë vendosur kllapat për të treguar se konsekuenti është një implikim 39
Gjithë simbolika logjike sqarohet në fund. Gjithsesi shenja në thojza ‗‘ tregon mohim. 40
Natyrisht formula duhej të ishte më e komplikuar po të shënojmë dhe premisën (p˅q˅r) ( p
( q r)) por për momentin qëllimi është thjeshtë për të treguar sa të larmishme janë mënyrat e të
shprehurit me simbolika të ndryshme të logjikës
22
mohim implikimi. Ndërsa mënyra e thjeshtimit të formulave do të jepet më poshtë,
skema shpjegohet si vijon. Ajo përbëhet nga tre komponentë:
I. Gjysmë-plusi djathtas ―˫‖41
është një shenjë logjike mjaft domethënëse,
të cilin Frege e shpjegon në këtë mënyrë: E fillon shpjegimin nisur nga
gjykimi. Sipas tij, të formulosh një gjykim do të thotë t‘i atribuosh një
përmbajtjeje njërën nga dy vlerat e vërtetësisë V ose F. Kontributi i G.
Frege në logjikë është mjaft i madh. Ai nuk kufizohet vetëm tek skemat e
tij tepër origjinale, por gjen mundësinë e një krahasimi me estetikën dhe
etikën. Megjithëse shumica e logjicientëve e kanë cilësuar logjikën si
shkencën e arsyetimit të vlefshëm, pa e lidhur drejtpërsëdrejti me të
vërtetën, për Frege ashtu si fjala bukur të drejton tek estetika e fjala
mirë tek etika, ashtu fjala vërtetë të drejton tek logjika. Ai është i
mendimit se zbulimi i të vërtetës është detyrë e të gjitha shkencave, por
logjika do të zbulojë ligjet e vërtetësisë. Ky është qëllimi i një llogaritje
(kalkulimi) logjike, në të cilën dallon përmbajtjen e gjykuar nga akti i
gjykimit dhe pikërisht me këtë është i lidhur gjysmë-plusi në vijim―˫‖, i
përbërë nga një vizë domethënëse horizontale e hequr djathtas në mes të
një vize vertikale, domethënëse dhe ajo. Frege përcakton si shenj të
përmbajtjes së asaj që themi vizën horizontale ‗–‘ dhe të gjykimit vizën
vertikale ‗ | ‘, bashkimi i të cilave përbën gjysmë-plusin e shënuar pak
rreshta më sipër në thonjëza.
II. Gjysmë-plusi i mësipërm bashkohet horizontalisht me skemën e
mëposhtme që d.m.th .
implikim p s.
Viza vertikale poshtë tregon mohimin42
e pohimit p, përndryshe skema
do të ishte pohim p s. Qëllimi nuk është të paraqitet deri në detaje elementare
ideografia fregiane, por të behët e kuptueshme formula e mësipërme shprehur me
skemën fregiane. Gjithsesi krijohet një ide mbi këtë mënyrë skematike, në pamje të
parë të çuditshme por interesante, të paraqitjes së formulave të logjikës43
.
41
Frege, G. Leggi fondamentai dell’ aritmetika, a cura di C. Celluci, Edizioni Teknos, Roma 1995. f.
37 42
Po aty f. 39 43
Po aty f. 50
23
s
p viza vertikali poshtë bën që të lexohet ¬ p (jo p)
Skema 1.3
III. Vetë pohimi ‗s‘ mund të zëvendësohet me një pohim të përbërë, në këtë
rast ¬ q→r, i cili gjithnjë sipas G. Frege do të paraqitej nga
skema e mëposhtme
r
q viza vertikale poshtë bën që të lexohet ¬ q (jo q)
Skema 1.4
Të bashkuar horizontalisht të tre këto përbërës
I II III r
q
p
Skema 1.5
japin skemën fregiane të mësipërme 2).
Larmia e mënyrës së të shprehurit të simbolikës logjike nuk mbaron me G.Frege. Ja
si shprehet pohimi i mësipërm n.q.s. gjahu nuk kalon në degëzimin e parë, atëherë
(N.q.s nuk kalon në degëzimin e dytë atëherë kalon në degëzimin e tretë) me
simbolikën polake të zbuluar nga filozofi Jan Łukasiewicz
6) CNpCNqr
24
i cili do të thotë implikimi (sipas simbolikës polake shprehet me shkronjën C)
ndërmjet mohimit të p (nuk kalon në degëzimin e parë), me implikimin ndërmjet
mohimit të q (nuk kalon në degëzimin e dytë) me r (kalon në degëzimin e tretë).
Simbolikat janë akoma më të larmishme dhe përbëjnë një kontribut për logjikën.
Zbulimi i tyre ka ardhur si tentativë e përsosjes, skematizimit e thjeshtimit të
mundshëm. Kjo vihet re se në skemat b) dhe c), ku janë eliminuar kllapat.
Thjeshtimi është bërë kryesisht si thjeshtim i lidhëzave logjike nga pesë në dy.
Konjuksioni dhe disnjuksioni shndërrohen në implikim dhe mohim implikimi si më
sipër ndërsa ekuivalenca shprehet si konjuksion implikimesh si më poshtë
7) (p ≡ q) ≡ ((p → q) ^ (q → p))
Kështu nga pesë lidhëzat logjike ¬ (mohim), ^ (konjuksion), v (disnjuksion), →
(implikim), ↔ (ekuivalencë), që lidhin shkronja propozicionale p,q,r,s....... me
ndihmën e simboleve ndihmëse si kllapa presje etj. e me anë të rregullave të
mësipërme reduktohen në dy. Kështu çdo formulë e logjikës shprehet vetëm me dy
lidhëza logjike, sepse zakonisht bashkësia e formulave është përcaktuar në mënyrë
induktive sipas procedurës:
1. çdo shkronjë propozicionale është një formulë
2. N.q.s. A e B janë formula dhe (¬ A), (A ^ B), (A V B), (A → B),
(A ↔B), janë formula.
3. tjetër gjë s’mund të jetë formulë. Çdo kombinim tjetër i
simboleve apo shenjave të mësipërme është e pavlefshme
si formulë.
Kështu që sado e komplikuar të jetë një formulë ajo s‘është gjë tjetër veçse ¬
(mohim), ^ (konjuksion), v (disnjuksion), → (implikim), ↔ (ekuivalencë) dhe mund
të shndërrohet si më lart në ¬ (mohim) ose → (implikim). Ka pasur logjicien që
kanë bërë të kundërtën e këtij operacioni duke marrë dy lidhëza të tjera. P.sh Emil
Leon Post sh. XX. merrte mohimin ¬ dhe disnjuksionin V e mbi bazë të tyre e të
shkronjave propozicionale (p,q,r...etj.) ndërtonte të gjitha formulat e logjikës.
p.sh. provojmë eliminimin e konjuksionit tek formula (p → q) ^ (q → p).
25
Në bazë të formulës 4) konjuksioni shprehet si më poshtë
¬ ((p → q) → ¬ (q → p))
Në këtë mënyrë transformohet çdo formulë e logjikës në një formulë tjetër të
shprehur vetëm me dy lidhëzat e parazgjedhura. Logjicieni i shquar Shefer, duke
gjetur mënyrën për të shprehur çdo formulë të logjikës në një formulë tjetër që
përmban një lidhëz të vetme logjike, bën një transformim akoma më të madh. Ai
zbulon dy lidhëzat logjike të mëposhtme, ku secila prej tyre e vetme kryen
funksionin e lartpërmendur:
I. Lidhëzën logjike ↓ (mohim i përbashkët) që kryen e vetme të njëjtin
funksion. Çdo formulë e logjikës shprehet vetëm me ↓ (mohimin e
përbashkët).
Tabela e vërtetësisë është si më poshtë:
Tabela1.1
p q p↓q
v v f
v f f
f v f
f f v
Në mënyrë intuitive kuptohet se formulat e mëposhtme janë tautologji:
¬P ≡ ( P↓P )
(P ^ Q) ≡ ((P↓P) ↓(Q↓Q))44
Gjithsesi mund të verifikohen me tabelë vërtetësie.
II. Një lidhëz tjetër logjike, | (mohimi alternativ) është e përshtatshme për
këtë qëllim. Tabela e vërtetësisë është:
44
Mendelson, E. (1964) Introduction to Mathematical Logic Princeton, Van Nostrand, tr. it.
Introduzione alla logica matematica, Torino, Boringhieri,1972 f.39
26
Tabela.1.2
p q p|q
v v f
v f v
f v v
f f v
P|Q është i vërtetë kur nuk janë të vërtetë të dy pohimet bashkërisht
Formulat e mëposhtme janë tautologji:
¬P ≡ ( P|P )
(P ˅ Q) ≡ ((P|P) | (Q|Q))
Në bazë të këtyre formulave bëhet transformimi i sipër përmendur i çdo
formule të logjikës në një formulë me një lidhëz të vetme logjike, natyrisht duke
shfrytëzuar kllapat. Për një transformim të tillë shërbejnë dhe formulat e njohura të
logjicienit të famshëm De Morgan (Madras Indi 1806 - Londër 1871).
1) ¬ (P V Q) ≡ ¬ P ^ ¬ Q
Përbën ligjin e parë të De Morgan, që do të thotë:
Mohimi i disnjuksionit është ekuivalent me konjuksionin e mohimeve.
2) ¬ (P ^ Q) ≡ ¬ P V ¬ Q
Mohimi i konjuksionit është ekuivalent me e disnjuksionin e mohimeve.
3) (P V Q) ≡ ¬(¬ P ^ ¬ Q)
Disnjuksionin është ekuivalent me mohimin e konjuksionit të mohimeve.
4) (P ^ Q) ≡ ¬ (¬ P V ¬ Q)
Konjuksioni është ekuivalent me mohimin e disnjuksionit të mohimeve.
Transformime të ngjashme më ato të mësipërmit kanë qenë në bazë të
zhvillimit të mendimit logjik, por përdorimi i formulave i ka bërë një të mirë dhe një
të keqe shkencës së arsyetimit korrekt. Fillojmë me ―të keqen‖: Së pari, përhapja e
mendimit logjik ka qenë e kufizuar dhe ka pasur vështirësi pikërisht për këtë arsye.
Interesi për këtë disiplinë është mjaft i ulet dhe numri i botimeve, krahasuar me
disiplinat tjera, mjaft i rrallë. Në fakt kjo vështirësi karakterizon dhe zhvillimin e
logjikës në ato pak kurse universitare ku zhvillohet. Shpesh herë të duket sikur
27
arsyetimi natyrorë dhe logjika formale shkojnë në drejtime të kundërta dhe jo në çdo
rast është e mundur të gjesh shembuj të logjikës formale në arsyetimin e zakonshëm
natyror. Megjithatë nuk duhet t‘i japim arsye mos zhvillimit të logjikës në nivele
para universitare dhe universitare.
Këtë çështje e trajton një studiuese italiane bashkëkohore e kësaj fushe Franca
D‘Agostini. Kjo autore trajton çështjen e frikës që shkaktojnë formulat, saqë
përmend dhe faktin se librat me formula shiten 30% më pak se të tjerët. Sipas saj,
lexuesit e formimit humanist duket se tremben nga ―matematizimi‖45
i mendimit dhe
i gjuhës. Gjithnjë sipas kësaj autore formulat nuk do të duhej të trembin, qëllimi i
tyre do të ishte që të bënin më të shpejtë e të thjeshtë punën e mendimit.46
Kjo autore
shtron dhe pyetjen: pse kjo logjikë formale dhe jo arti në përgjithësi i logos-
it,gjuhësor e i mirëfilltë filozofik? Dhe jep këtë përgjigje. Sipas saj duhet zgjedhur
logjika formale për dy arsye. ―E para është sepse të shikosh nga afër arsyetimet pa
ndihmën e simboleve është e vështirë, sigurisht më e vështirë dhe e lodhshme se sa të
mësosh një shënim të thjeshtë logjik. E dyta është se, pa i hequr asgjë rëndësisë
ekstreme të logjikës in-formale, kam përshtypjen se ‗fletët‘ (siç shkruante Bertrand
Russell në vitin 1914) e mendimit kërkojnë forma, figura, konfigurime‖47
. Russell
kur është shprehur kështu kishte qenë entuziazmuar nga logjika e logjicienit italian
Peano, ndikimi i të cilës shënon të ardhmen e këtij logjicieni të madh. Ky formalizim
i mendimit nuk ka gjetur mirëkuptimin e poetëve, disa prej të cilëve nën shembullin
e Dante Alighierit e quajnë formalizmin e mendimit prangosje të mendimit.
2. Principet logjike dhe format e mendimit.
2.1 Principet bazë logjike dhe ndikimi i tyre në zhvillimin e
historisë së logjikës
Në bazë të historisë së gjatë të zhvillimit të logjikës klasike, por dhe të
shkencës në përgjithësi, janë tre principet logjike, kryesisht ai i moskontradiksionit, i
të tretës së përjashtuar dhe ai i identitetit të formuluara nga Aristoteli, të cilët gjejnë
vend në manuale të ndryshme të logjikës dhe të historisë së saj. Megjithëse këto
principe kanë qenë në bazë të logjikës, debati rreth origjinës dhe universalitetit të
45
D‘Agostini, F. (2012) I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino, f. 15 46
Po aty f.16 47
Po aty f. 17
28
tyre në filozofi dhe në zhvillimet e logjikës ka qenë mjaft i madh. Them debati rreth
origjinës, për faktin se Aristoteli nuk i ka konsideruar thjesht si principe logjike, por i
ka përfshirë në argumentimet e tij filozofike apo metafizike (siç u quajt pas
sistemimit të më vonshëm të veprave të tij), e siç do të shihet, rezultat i mëvonshëm
i këtij debati do të jetë logjika polivalente dhe drejtimet të tjera të logjikës jo
klasike. Paraprakisht po rikujtoj tre principet e famshme të logjikës klasike, të
formuluara nga Aristoteli.
Në një farë mënyrë ligjet logjike shprehnin ligjet e natyrës. Duke qenë
aksiomat principe të aplikueshme sferës së tërë të enteve, Aristoteli shpreh këto
principe në mënyrë më të gjerë në librin e titullar Metafizika. Ja si shkruan: ―ata
vlejnë për të gjitha entet e nuk janë veti të veçanta të ndonjë lloj të veçantë enti, duke
përjashtuar të tjerat. E të gjithë i përdorin këto aksioma, sepse ato janë pikërisht të
entit si ent48
. Para së gjithash: ― principi më i sigurt i të gjithëve është principi sipas
të cilit është e pamundur të biesh në gabim: ky duhet të jetë principi me i njohur dhe
nuk duhet të jetë jo hipotetik. Ai princip, që domosdoshmërisht duhet të ketë ai që do
të njohë gjithçka nuk mund të jetë një hipotezë e thjeshtë, e ajo që domosdoshmërisht
duhet të njohë kush do të njohë diçka duhet të jetë e njohur para se të kuptohet
gjithçka. Është evidente se ky princip është më i sigurti i të gjithëve‖49
. Dallimi
ndërmjet kuptimit të sotëm dhe kuptimit të Aristotelit është mjaft i madh dhe është
venë në pah nga studiues të ndryshëm të filozofisë dhe të logjikës. Këtë fakt e
përmend studiuesi bashkëkohor Walter Cavini. Ja si shkruan ky autor në një paragraf
të titulluar ―Il principio di non contraddizione in Aristotele‖, të librit të titulluar Il
problema dei fondamenti. Da Aristotele, a Tommaso d'Aquino all'ontologia formale:
―Aristoteli nuk përmend asnjëherë shprehjen ―principi i mos kontradiksionit‖ apo ―i
kontradiksionit‖, por është Aristoteli ai që ka futur në greqishten antike dhe në
traditën filozofike termin kontradiksion (antiphasis). Vetëm se për kontradiksion
Aristoteli kupton dy gjëra të ndryshme. Një kontradiksion është për Aristotelin një
çift pohimesh kontradiktore { ―A‖, ―¬A‖} d.m.th një çift i formuar nga një pohim
dhe nga mohimi i tij logjik. Ndërsa ne normalisht kuptojmë për ‗kontradiksion‘ jo një
çift pohimesh kontradiktore, por një pohim të vetëm, d.m.th konjuksionin ―A ∧ ¬
A‖. Nga njëra anë kemi një çift pohimesh { ―A‖, ―¬A‖}, nga ana tjetër një pohim të
48
Aristotele, tr. it. Metafisica, Laterza , Roma – Bari, 1988 f. 92 49
Po aty f.92
29
vetëm, pohimin konjuktiv ―A ∧ ¬ A‖50
. Ku, siç është thënë, shenja ¬ simbolizon
mohimin, ‗A‘ simbolizon një pohim, ^ simbolizon konjuksionin ose fjalinë shtuese. Aristoteli në librin e Metafizikës 3, formulonte principin e mos
kontradiksionit në dy Mënyra: ―është e pa mundur që e njëjta gjë të jetë dhe të mos
jetë në të njëjtën kohë‖ dhe është e pamundur që ―e njëjta gjë të bëjë pjesë dhe të
mos bëjë pjesë në të njëjtën kohë tek e njëjta gjë‖ 51
. Në të njëjtin libër më poshtë
shprehet ―është e pamundur për këdo që të besojë që e njëjta gjë të jetë e mos të
jetë‖52
. Në këtë rast i referohet jo një stadi gjërash si në rastin e mëparshëm por një
akti mendor që lë të hapur një interpretim psikologjik.
Gjithashtu, Aristoteli i referohet përsëri principit të moskontradiksionit, kur shprehet
për nocionin e qenies, nocion bazë i metafizikës së tij. Ja si shkruan: ―Para së
gjithash është e qartë se kjo të paktën është e vërtetë: që termat qenie e jo qenie kanë
një domethënie të përcaktuar; për rrjedhojë, jo çdo gjë mund të jetë në këtë mënyrë
dhe, njëkohësisht, jo në këtë mënyrë‖53
. Në bazë te të dy formulimeve të këtij
principi janë formuluar dhe principi i identitetit dhe kryesisht principi i së tretës së
përjashtuar. Gjithnjë në librin IV të Metafizikës Aristoteli shprehet: n.q.s mendoj një gjë
mendoj atë gjë të përcaktuar dhe më vonë kjo shprehje ka shërbyer si bazë për
formulimin e Principit të Identitetit: A është A dhe nuk mund të jetë jo A.
A=A (me simbolikë moderne)
Principi i mësipërm mund të shprehej më thjesht në këtë mënyrë: gjithçka
është identike me vetveten.
Ndryshe nga Analitkë të dytë, ku Aristoteli shpreh principin e të tretës së
përjashtuar se gjithçka duhet të afirmohet ose të mohohet, tek Metafizika e shpreh në
këtë mënyrë: ―ndërmjet të kundërtve të kontradiksionit nuk ka të mesëm‖54
.
Principi i së tretës së përjashtuar P ose jo-P me simbolikë moderne shprehet:
P(q)V ¬P(q)
Ky principi shpjegohet si vijon: për një subjekt të një fjalie vlen një predikat
ose i kundërti i tij: Shkëlqen dielli ose Nuk shkëlqen dielli nuk ka mundësi të tretë.
Siç shihet, është dhënë në formën jo normale për gjuhën tonë predikati shkëlqen
50
Strumia, A. (2007) Il problema dei fondamenti. Da Aristotele, a Tommaso d'Aquino all'ontologia
formale, Cantagalli, Siena, f. 12. 51
Aristotele tr, it. Metafisica, Laterza , Roma – Bari 1988 f. 94 52
Po aty f. 94 53
Po aty f. 97 54
Po aty f. 339
30
përpara dhe subjekti dielli prapa vetëm për të shpjeguar formulën e mësipërme, ku P
shpreh predikatin, q subjektin, ˅ disnjukisonin dhe ¬ mohimin. Kuptimin e subjektit
dhe të predikatit, për të cilët po flasim, e kishte dhënë Aristoteli. Subjekti sipas, tij
është ajo për çka flitet e predikati ajo çka thuhet për subjektin. Gjithashtu ai kishte
dhënë në mënyrën më të thjesht të mundur kuptimin e pohimit i cili gjendët në
manuale nga më të ndryshmit të historisë së filozofisë e të logjikës. Sipas tij pohimi
është: të thuash diçka për diçka.
Principet e lartpërmendur logjike janë bazë e çdo demonstrimi apo vërtetimi
dhe kanë shërbyer tek çdo shkencë për të vërtetuar teoremat e saj. Rreth këtyre
principeve bazë, sic upermend, ka pasur interpretime të vazhdueshme, që kanë
pasuruar debatin filozofik e më gjerë. Ky debati ka bërë, që vlefshmëria e tyre shpesh
herë të vihet në diskutim. Pa mohuar rëndësinë e tyre, jo vetëm për historinë e
logjikës, por dhe atë të filozofisë, theksojmë se të vazhdueshme kanë qenë
këndvështrimet skeptike rreth universalitetit të tyre në kuptimin psikologjik, logjik
dhe ontologjik. Për shumë filozofë kontradiksioni nuk evitohet, por problemi që
mbetet është: stadet kontradiktore janë karakteristikë e akteve mendore apo
kontradiktorja është karakteristikë e realitetit. Rreth këtij problemi do të flitet në
paragrafin që vijon.
2.2 Stade kontradiktore në mendje e akte gjuhësore që i
shprehin
Gjatë zhvillimit historik të shkencave, jo gjithmonë ka qenë e lehtë për të
vendosur një linjë ndarëse ndërmjet këtyre disiplinave. Shumë studiues e kanë
përmendur këtë fakt. Ja si shkruan autori i librit të famshëm Beginning Logic E. J.
Lemmon: ―Si shumë disiplina të tjera, logjika përfshin lloj të ndryshme problemesh
dhe nuk ka kufij të mirë përcaktuar; nga njëra anë depërton në matematikë, dhe, nga
ana tjetër në filozofi‖55
. Është e vështirë të përqendrohesh në çështje të mirëfillta
logjike pa u shtrirë në një problematikë më të gjerë kryesisht filozofike, matematike
e ndonjëherë dhe psikologjike e antropologjike. Sipas disa studiuesve dhe Organon-i
i famshëm i Aristotelit nuk është përmbledhje tërësisht e mirëfilltë logjike. Dhe
principi lartpërmendur i logjikës i trajtuar gjerësisht nga filozofi S. Poggi: ‗çdo gjë
55
Lemmon, E. J. tr. it. Elementi di logica, Laterza , Roma – Bari 2002 f. 3
31
është ajo që është‘, ‗s‘ka gjë që të jetë ajo që nuk është‘ 56
, nuk është interpretuar
vetëm logjikisht por janë analizuar dhe gjendjet kontradiktore në të cilat gjendet
shpesh njeriu. Në themel të këtij debati mbi gjendjet kontradiktore është pyetja bazë:
kontradiksioni ekziston në realitet, apo në mendje? Kontradiksioni i realitetit ka qenë
qendror në tërë zhvillimin e historisë së filozofisë duke filluar me Heraklitin. Me
zhvillimet e mendimit filozofik dhe të logjikës, debati rreth kësaj çështje ka
përfshirë filozofë, logjicienë e psikologë dhe i ka paraprirë zbulimit të logjikës
polivalente dhe zhvillimeve të tjera jo klasike të saj. Me këtë çështje është marrë
gjerësisht një studiues bashkëkohorë italian i fushës së logjikës Venanzio Raspa. Ai
ka botuar një libër të titulluar In contraddizione. Vetë titulli, që në shqip do të ishte,
Në kontradiksion është domethënës dhe tregon objektin e diskutimit të tij. Raspa
trajton një seri autorësh që i janë dedikuar logjikës dhe raporteve të saj me filozofinë
dhe me psikologjinë. Historia e filozofisë i shërben si ndihmë këtij autori në
trajtimet e tij filozofike, që kanë të bëjnë kryesisht me objektet logjike e me principin
e mos kontradiksionit. Për sa i përket stadeve kontradiktore, që në faqet e para të
këtij libri Raspa pranon mundësinë e ekzistencës së tyre në mendje, por vë në dyshim
faktin e vërtetësisë së fjalive që i shprehin57
. Kështu konsideron më kompleks stadin
mendor sesa aktin linguistik që shpreh këtë stad mendor. Sipas tij ―në një farë
mënyre kontradiktorja bën pjesë në të përditshmen tonë‖58
. Raspa thekson faktin se
thëniet kontradiktore konsiderohen pa kuptim, gjithsesi pranon përdorimin e tyre në
të folurën e përditshme. I referohet rasteve që dëgjohen shpesh si ―urrej dhe
dua‖59
, d.m.th urrej për disa aspekte e dua për disa aspekte të tjera. Siç u përmend,
autori në fjalë interpreton stadet kontradiktore në raport me aktet gjuhësore që i
shprehin. Edhe pse kompleks, stadin ―urrejtje - dashuri‖ e konsideron një stad unik,
por për ta shprehur duhen dy fjali të kundërta. Për vetë faktin se një stad mendor
shprehet me një akt gjuhësor, që mund të gjykohet në bazë të një kriteri nga
bashkëbiseduesi, çështja që po trajtohet është e ndërthurur ndërmjet aspektit
psikologjik, gjuhësor dhe logjik. Është stadi mendor i shprehur me dy fjali të
kundërta, dhe pse i zakonshëm në të folurën e përditshme, që logjikisht është i
papranueshëm. Raspa lidhëzën ―dhe‖, kur shpreh dy të kundërta si p.sh. ―urrej dhe
dua‖ e konsideron vetëm në nivelin sintaksor (d.m.th si lidhëz të fjalive, të
56
Poggi, S. (1977) I sistemi dell’esperienza, Il mulino, Bologna, f. 147. 57
Raspa, V. (1999) In contraddizione, Parnaso,Trieste, f.18 58
Po aty f.18 59
Po aty f.18
32
shkurtuara në këtë rast), sepse në nivelin semantik (d.m.th si kuptim) bëhet fjalë për
një realitet të vetëm60
. Jemi ne, që shprehim një realitet të vetëm nëpërmjet një lidhje
sintaksore konjunktive. Kështu V. Raspa pranon një realitet mendor kontradiktor por
mohon vërtetësinë e njëkohshme të akteve gjuhësore apo pohimeve që e shprehin.
Meqenëse u përmend po shtojmë diçka rreth sintaksës dhe semantikës, të
cilat, duke qenë në bazë të sistemeve të logjikës, gjejnë vend që në fillim të
manualeve e librave të logjikës. Ja si shprehen autorët Gj. Binolo, P. Vidali në librin
Strumenti për ragionare, ―Ndërsa nëpërmjet sintaksës vlerësohet korrektësia e
pohimeve nga këndvështrimi i rregullave të ndërtimit që çdo gjuhë përdor, nëpërmjet
semantikës konsiderohet raporti ndërmjet pohimeve e asaj që shprehin, kështu që kjo
e fundit ka të bëjë me vërtetësinë e pohimeve‖61
. Dhe në këtë punim do të trajtohen
sintaksa e formimit të një sistemi dhe semantika e tij.
2.3 Përgjithësimi, që lind nga eksperienca dhe principi i mos
kontradiksionit sipas Govanni Stuart Mill.
Autorë të shumtë të logjikës kanë trajtuar objektet, principet logjike dhe mënyrën
e përgjithësimet për të arritur në përfundime logjike induktive dhe arsyetime
deduktive. Këto çështje, siç është përmendur, përfshihen në objektin e interesit të
këtij disertacioni. Një vend të rëndësishëm në trajtimin e këtyre çështjeve zë
logjicieni Govanni Stuart Mill. Ai niset nga të dhënat empirike të realitetit, që
merren nëpërmjet organeve të shqisave, për të arritur në përfundime induktive.
Megjithëse ky problem i fundit kishte filluar të trajtohej që me Aristotelin, do të jetë
Mill që do të trajtojë gjerësisht çështjet logjike, duke kërkuar një paralelizëm
ndërmjet strukturave logjike dhe rregullsisë së fenomeneve në botën natyrore.
Kontributi i tij në logjikë është mjaft i madh dhe, siç u tha, e trajton atë nga një
këndvështrim që bazohet tek eksperienca dhe është kundër shpjegimit metafizik .
Govanni Stuart Mill po trajtohet në këtë punim, jo për rëndësinë që ka për fushën e
logjikës, e cila më të vërtetë është e jashtëzakonshme, por sepse dha interpretimin e
tij për principin e moskontradiksionit, një nga principet bazë të logjikës që po
trajtohet në këtë kapitull. Gjithashtu Mill është dhe formuluesi i aksiomës së
përgjithshme të induksionit e cila bazohet tek uniformiteti i kursit të natyrës, për të
60
Po aty f.19 61
Binolo, G. e Vidali, P.( 2011) Strumenti per ragionare, Mondadori, Milano - Torino f.2
33
cilën do të flitet më poshtë. Librin e parë të Logjikës Govanni Stuart Mill e fillon me
emrat dhe pohimet. Sipas tij, para arsyetimit dhe demonstrimit apo vërtetimit, që
përbëjnë objektin e vërtetë të logjikës, shërbejnë elementët parësor, emrat dhe
pohimet. Ai është i mendimit, se përgjigjja e çdo çështje, që shtrohet, duhet të
shprehet në pohime. Të gjitha të vërtetat dhe gabimet konsistojnë në pohime.
Formulimi i pohimit dhe për Mill është ai i famshmi i Aristotelit që është përmendur
më sipër: Thënie që pohon ose mohon diçka për diçka. Për Mill emrat janë emrat e
gjërave e jo të ideve tona mbi gjërat‖62
. Sipas tij arsyetimi është dy llojesh: arsyetimi
nga e veçanta tek e përgjithshmja dhe nga e përgjithshmja tek e veçanta. Ndërsa i
pari quhet induksion, i dyti quhet argumentim ose silogjizëm. Induksioni është
përgjithësimi, që lind nga eksperienca e konsiston në kalimin nga verifikimi i disa
rasteve të veçanta në verifikimin në të gjitha rastet e ngjashme.
Ky princip bazohet tek kursi i natyrës dhe rregulli i universit, d.m.th. në natyrë
jepen raste paralele e diçka që ndodh një herë rikthehet në rrethana të ngjashme;
uniformiteti i kursit të natyrës është principi ose aksioma e përgjithshme e
induksionit.63
Uniformiteti kuptohet nga një numër i konsiderueshëm rastesh, duke u
bazuar vetëm tek eksperienca. Gjithashtu për Mill, premisat në arsyetimet deduktive,
kur janë të bazuara, nuk janë gjë tjetër veçse përgjithësime empirike. Pra njeriu nga
të dhënat e eksperiencës arrin në përgjithësime induktive dhe këto përgjithësime
induktive i kombinon nëpërmjet akteve mendore për të arritur në përfundime të
mëtejshme deduktive. Në aspektin filozofik, ndryshe nga Devid Hjume, i cili nuk
besonte në uniformitetin e kursit të natyrës dhe tek një e ardhme që i ngjason të
shkuarës, Mill e konsideron këtë uniformitet si premisë për të arritur në
përgjithësime induktive. Sipas tij, principet logjike janë ―nevojshmeri të brendshme‖
të subjektit që mendon, tek te cilat arrihet nëpërmjet një ―përgjithësimi të
eksperiencës‖. Ai shpreh mendimin, se principi i mos kontradiksionit bazohet mbi
vetë përjashtimin reciprok të dy akteve besimi të kundërta. Në mënyrë të veçantë
principin e mos-kontradiksionit e shpreh në këtë mënyrë: ―E njëjta fjali nuk mund të
jetë në të njëjtën kohë e vërtetë dhe fals‖. Një propozicion që pohon një
kontradiksion është i pamundur si akt mendor. Kështu, në bazë të principit të së
tretës së përjashtuar është eksperienca sipas të cilës një stad mendor pozitiv
shkatërron stadin mendor korrespondues negativ.
62
Dal Pra, M. (1997) Sommario di storia della filozofia.III, La Nuova Italia, Firenze, f.179 63
Po aty f.181
34
2.4 Mendimi i Husserl, Gadamer e W. e M. Kneale mbi ligjet e
logjikës të J.S.Mill
Logjikës se J. S Mill do ti referohen gjerësisht filozofë e logjicien të
mëvonshëm, duke mos u kufizuar vetëm në kuadrin formal, por duke e integruar me
çështje të karakterit filozofik. Një nga këto është Husserl, i cili në Logische
Untersuchungen, shprehet se kupton pamundësinë për dy propozicione
kontradiktore që të jenë të vërteta njëkohësisht, si ekuivalente me pa
përputhshmërinë reale të akteve gjykuese korrisponduese. Meqenëse Mill pohonte se
ato çka mund të jenë të vërtetë ose fals janë akte besimi, principi i mos
kontradiksionit millian, sipas Husserli-it, mund të ishte i formuluar kështu: Dy akte
besimi kontradiktore nuk mund të bashkekzistojnë. Kështu kemi një shpjegim të
principit të mos-kontradiksionit duke u nisur nga një akt i mendjes. Diskutimi rreth
akteve të besimit kontradiktore është kompleks për Husserl. Ai në librin Ricerche
logiche shtron këtë pyetje: në çfarë rrethanash aktet e besimit janë kontradiktore?
Çfarë ndodh n.q.s i pohojnë shumë subjekte? Është vërtetë e pamundur që njerëzit
nuk konsiderojnë të vërtetë dy besime të kundërta? Janë bërë kërkime shkencore për
të provuar se diçka e ngjashme nuk ndodh me të sëmurët mendor? Çfarë ndodh në
stadet e hipnozës, të dëlirit etj.? Një rregull i tillë është i vlefshëm dhe për kafshët?64
Principi i mos kontradiksionit (në aspektin psikologjik) kërkon saktësime mbi stadin
mendor të subjektit, mbi rrethanat në të cilat mendon. Për Husserl, edhe duke pranuar
një koshencë në përgjithësi, siç pohonte Sigwart, do të ekzistonte dyshimi se ligjet
logjike të jenë të vlefshme në bazë të saj, apo përkundrazi, jemi ne që formojmë
idenë e një koshence të përgjithshme në bazë të ligjeve logjike. D.m.th diskuton
faktin e ekzistencës së ligjeve logjike në vetvete apo të një njohje në përgjithësi që i
bën të mundur.
Logjicienit J. S Mill do ti referohet dhe Gadamer në librin Wahrheit und
Methode. Në kapitullin e parë të këtij libri Gadamer thekson se J. S Mill kërkon të
aplikojë ligjet e logjikës induktive dhe shkencave morale. Sipas J. S. Mill dhe në
këtë fushë e vetmja metodë e vlefshme është ajo induktive. Uniformiteti, rregulli e
konformiteti i fenomeneve dhe proceseve bëjnë të mundur parashikimin e tyre.
Megjithatë në këtë shkrim, ku Gadamer i referohet J. S Mill, theksohet fakti se ky
64
Husserl, E. tr.it. Ricerche logiche, vol. I, Milano 1968, p. 99
35
fenomen nuk arrihet në të njëjtën masë as në të gjitha fushat e fenomeneve natyrore.
Arsyeja e kësaj mosarritje është fakti se jo gjithmonë arrihen të dhënat e
mjaftueshme. P.sh. në rastin e meteorologjisë parashikimet nuk janë gjithmonë të
sigurta65
. Në fushën e fenomeneve morale e sociale metoda induktive duhet të jetë e
lirë nga supozimet dhe nuk duhet të varet nga konceptimi i origjinës se fenomeneve.
Nuk bëhet fjalë për zbulimin e shkaqeve të caktuar për fenomene të caktuar, por
vetëm për qartësimin mbi rregullsi të caktuara. Më e rëndësishmja është se dhe në
fushën e jetës shoqërore është e mundur që të arrihet në formulimin e disa
parashikimeve. Të arrish nga disa rregullsi në përfundime për parashikimin e
fenomeneve të ardhshme nuk implikon asnjë hipotezë të përgjithshme mbi natyrën e
tërësisë, rregullsia e të cilës bën të mundur parashikimin. Fakti se hyjnë në lojë
vendime të lira në veprimtarinë e individit – duke pranuar se ekzistojnë – nuk vë në
rrezik rregullsinë e procesit, por janë vetë këto vendime të lira që bëjnë pjesë në atë
rregullsi që zbulohet nëpërmjet induksionit66
.
Gjithashtu W. e M. Kneale në librin e tyre Historia e Logjikës i referohen
John Stuart Mill e pikërisht librit System of Logic . Në këtë libër analizohen disa lloj
të ndryshëm pohimesh. Pohime të tilla si: ―njeriu është racional‖ ku predikati është
përcaktimi ose pjesë e përcaktimit, sipas J. S. Mill, nuk japin asnjë informacion , ose
japin për emrat dhe jo për gjërat67
. Për sa i përket principit të moskontradiksionit ai
konsiderohet si një përgjithësim i zakonshëm i eksperiencës68
. Dhe për njohjen
logjike këto dy autorë, në këtë rast duke iu referuar Fries, shprehen se ajo nuk është
gjë tjetër veçse njohje e arritur nga përfaqësime të veçanta tek përfaqësime të
përgjithshme69
. Kështu në përgjithësime logjike arrihet nëpërmjet arsyetimit
induktiv.
2.5. Mendimi popperian mbi argumentin induktiv
Me anë të vëzhgimeve njihen lidhjet ndërmjet fenomeneve dhe formulon
hipotezat. Rruga induktive sjell një përgjithësim nisur nga faktet dhe lidhjet e tyre të
vëzhguara në realitet70
. Mbi induksionin është diskutuar gjerësisht. Induksioni synon
të japë vetëm mbështetje të mundshme për përfundimin e tij. Në dallim nga
65
Gadamer, H.G.( 1986) W ahrheit und Methode, J.C.B. Mohr, Tübingen f. 33 66
Po aty f.33 67
Kneale, W e Kneale, M. Storia della logica (a cura di Conte, A.) Enaudi, Torino, 1972 f. 426 68
Po aty f. 426 69
Poggi, S. (1977) I sistemi dell’esperienza, Il mulino, Bologna, f.150 70
Pendavinji, Gj. (2002) Metodologjia e kërkimit. Korçë f.101
36
argumentet e vlefshme deduktive, që nisen nga e përgjithshmja për të arritur në raste
me një shkallë më të ulët përgjithësimi, një argument induktiv nuk mund të garantojë
që përfundimi i tij do të jetë i vërtetë. Nuk na jep siguri por nivele të larta mundësie.
Argumenti induktiv niset nga premisa rreth pjesëtarëve për të dalë në përfundim për
gjithë grupin.
Induksioni që tradicionalisht i ka shërbyer shkencës nuk është një proces që
mund të justifikohet në mënyrë racionale. Në të njëjtin përfundim kishte arritur dhe
Devid Hjum.
Dhe për Popper ―nga pohime të veçanta nuk arrihet në teori universale‖71
.
Sado i madh të jetë numri i vëzhgimeve si tentativa të verifikimit të një teorie nuk
është e mundur të arrihet vlefshmëria e saj universale. Numri i vëzhgimeve është
gjithmonë i fundem ndërsa vlefshmëria universale i referohet pafundësisë. Nga ana
tjetër, vazhdon Popper, mjafton një rast i vetëm për të falsifikuar teorinë
universale72
. Ndërsa nuk mund të dimë kurrë në mënyrë përfundimtare se një teori
është e vërtetë, mund të dimë me siguri kur ajo është false: kur nga eksperienca
gjendet një rast i kundërt. Për Popper nuk ka teori shkencore që të reduktohet në
pohime empirikisht të vëzhgueshme. Empirikisht mund të bëhet vetëm falsifikimi.
Popper trajton induksionin duke iu rikthyer gjerësish filozofit skeptik Devid
Hjum. Sipas Hjum induksioni nuk justifikohet logjikisht. Në përfundime induktive
arrijmë duke menduar të ardhmen nisur nga eksperienca e rregullit, uniformitetit dhe
lidhjeve konstante të se shkuarës. Besojmë në ligje nga përsëritja e vazhdueshme e
fenomeneve. Popper vlerëson Hjum-in, por i konsideron interpretimet e tij të
karakterit psikologjik. Për Popper në perceptimin e përsëritjes ndikon dhe
predispozita për të pritur rregullsinë dhe uniformitetin. Kështu ne kërkojmë që t‘i
imponojmë rregullsi botës. Ndonjëherë pa pritur premisat arrijmë në konkluzion.
N.q.s eksperienca e falsifikon atëherë konkluzioni mohohet.
2.6 Kontradiksioni si çështje metafizike
Ndërmjet çështjeve të karakterit filozofik dhe diskutimit mbi principet
logjike të mos kontradiksionit dhe të tretës së përjashtuar nuk ka një linjë ndarëse.
Duke u nisur nga këndvështrimi filozofik, kontradiksioni ka qenë në qendër të
71
Popper, K. (1934) Logik der Forschung, Julius Springer, Wien (tr. it. Logica della scoperta
scientifica, Enaudi, Torino,1970 fq.XIV) 72
Po aty
37
diskutimit filozofik, para se shkenca e logjikës të kishte marrë formë. Heraklitit i
dedikohet shprehja: ―duke u futur në të njëjtin lum takojmë ujera të ndryshëm, këtu
më shumë se të nënvizojë rrjedhshmërinë e përhershme të gjerave, ka si qëllim të
demonstrojë unitetin e stadeve të kundërta‖73
. Shumë filozofë konsiderojnë realitetin
kontradiktor. Për D. Hjum, në realitet nuk ka qëndrueshmëri dhe vijueshmëri, ato
janë fryt i mendjes tonë.
Për Hegel, realiteti është unitet i të kundërtave dhe vetëm kontradiktat bëjnë
të mundur realizimin e procesit dhe të ardhmes. Ndërsa shkenca logjike, sipas tij, nuk
është logjika formale, por përbën metafizikën e vërtetë ose filozofinë e kulluar
spekulative. Sipas tij fillimi është logjik, për sa do të bëhet në elementin e mendimit,
që është për vete i lirë, d.m.th. në dijen e kulluar74
. Për sa i përket kontradiksionit,
sipas G. F. Hegel, e njëjta gjë në të njëjtën kohë është dhe nuk është. Ja si e shpjegon
ai lëvizjen në librin e lartpërmendur Shkenca e logjikës: ―Diçka lëviz, jo se në këtë
moment është këtu , e në një tjetër moment është atje, por vetëm kur në të vetmin e të
njëjtin moment, është këtu dhe nuk është këtu. Duhet t’u lejojmë dialektikëve antikë
kontradiktat që ato zbulojnë në lëvizje, por nga ato nuk rrjedh që lëvizja mos të
ekzistojë, por që lëvizja është vetë kontradikta në formën e qenies”75
.
Rikthehemi përsëri tek autori i lartpërmendur V. Raspa, i cili trajton gjerësisht
këtë çështje. Ky autor e lidh kontradiksionin e pranishëm në mendimin filozofik me
kompleksitetin e objektit të diskutimit dhe me paaftësinë tonë për të shprehur
plotësisht dhe qartësisht stadet mendore ―me instrumentet tanë shprehës‖76
. Ja pyetja
që shtron V. Raspa në këto rrethana: N.q.s fjalitë shprehin domethënie që u referohen
gjërave ose stadeve të gjërave, mund të kërkohet: a mos vallë eliminimi i
kontradiksionit në gjuhë bazohet në pamundësinë objektive që të ketë kontradikta
reale77
? Thënë ndryshe: është apo s‘është realiteti kontradiktor? Përsëri vazhdon me
pyetje rreth këtij paralelizmi gjuhë ekzistencë : konsistencës ( qëndrueshmërisë) së
gjuhës a i korrespondon konsistenca e ekzistencës? Ashtu si shumë autorë, e
përmendim këtu më të spikaturin J. S. Mill, për të cilin u fol më sipër, V. Raspa
koherencën dhe uniformitetin e realitetit e konsideron si premisë të pakontestueshme,
që shkenca të arrijë në rregullsi dhe të formojë ligje të përgjithshme dhe po këtu
73
Cambiano, G. e Mori, M. (1998) Storia e antologia della filosofia, Laterza, Roma - Bari, f.10 74
Hegel, G. W. F. tr. it. Scienza della logica,Laterza, Roma -Bari 1981 t. I f.53 75
Po aty f.491 76
Raspa, V. (1999) In contraddizione, Parnaso,Trieste, f.20 77
Po aty f.21
38
thekson, se kësaj premise duket sikur më shumë i korrespondon një nevojë e arsyes
sonë (për rregullsi) sesa stadi efektiv i gjërave78
. Jo gjithmonë është e mundur që të
gjesh lehtësisht rregullsi në realitet. Në shumë raste, thekson Raspa, shkenca do të
bëjë llogaritë me mungesën e dukshme të rregullsive e, kështu, me pamundësinë për
të formuar rregulla të përgjithshme79
.
2.7 Principi i mos kontradiksionit si një prodhim i mendjes
Në diskutimin rreth bazave të logjikës, principeve logjike, përfshi dhe
principin e mos kontradiksionit, revolucioni kantian në filozofi pati një ndikim të
madh. Sipas Kantit, format apriori të intelektit janë kategoritë, që janë funksione të
intelektit për të bashkuar të dhënat shqisore në gjykime të eksperiencës.
Filozofë të ndikuar nga Kanti kërkojnë shkaqet e mendimit kontradiktor jo tek
realiteti, por tek vetë mënyra e të menduarit. V. Raspa, duke shtjelluar principin e
mos kontradiksionit, krahas interpretimit të këtij principi, duke u bazuar në
kontradiktën e realitetit, klasifikon një linjë tjetër interpretuese të përfaqësuar
pikërisht nga Kanti. Përfaqësuesit e kësaj linje konsiderojnë principin e mos
kontradiksionit si një prodhim të mendimit ose të arsyes sonë. Nga ky këndvështrim,
principi i moskontradiksionit konsiderohet, jo si ekzistues në realitet por si një
shfaqje në të cilën arsyeja arrin çdo herë që kalon limitet e saj, ose për faktin se
limite të tilla e karakterizojnë80
.
V. Raspa pranon, se vlera absolute e principit të moskontradiksionit është
ruajtur gjatë gjithë historisë së filozofisë perëndimore, megjithëse është interpretuar
ne mënyra të ndryshme. Sipas tij, moskontradiksioni është i përfshirë në vetë natyrën
e mendimit dhe të folurit domethënës: ―të kontradiktohesh është njëlloj si të mos
thuash gjë‖81
. Përgjegjësia e parë, duke filluar nga çdo diskutim e deri në një teori,
është mos të biesh në kontradiksion. Pyetja e parë që të zgjohet në mendje kur dëgjon
një diskutim apo teori është: ka apo nuk ka kontradiksion ky diskutim apo kjo teori?
Tek libri In contradizione, që po trajtohet, interpretimet e Katitit, kryesisht të logjikës
së tij zënë një vend të rëndësishëm. Duke iu referuar këtij filozofi të shquar gjerman
autori, V. Raspa shprehet: ―Principi i mos-kontradiksionit është një kriter universal
formal, vetëm i domosdoshëm, i të vërtetës, kuptuar si ‗akordim apo kompromis i 78
Po aty f.22 79
Po aty 80
Po aty 81
Po aty
39
ndërgjegjes me vetveten‘, ose më mirë ‗me ligjet e përgjithshme e formale të
intelektit e të arsyes‘. Mbi këtë kriter bazohet mundësia e mendimit e , për rrjedhojë
e logjikës së përgjithshme e formale; principi i mos-kontradiksionit është atëherë ligj
bazë i logjikës formale‖82
. Raspa, gjithnjë duke iu referuar Kantit, kërkon një
konceptim të logjikës e shprehet se ―logjika ka të bëjë me të mundurën, jo me
realitetin; për rrjedhojë, përcaktimet e çdo objekti logjik janë përcaktime të mundura,
jo reale: koncepti i një objekti, dhe se është i mundur, d.m.th. jo kontradiktor, mund
të jetë bosh. Nga mundësia logjike duhet të dallohet mundësia reale, korresponduese
me akordin me kushtet formale të eksperiencës‖83
. Sipas Kantit, nga mundësia
logjike duhet të dallohet mundësia reale. Përsëri duke iu referuar Kantit V. Raspa
shprehet: ―Çdo gjykim që përmban një kontradiksion (p.sh Një njeri i kulturuar nuk
është një njeri i kulturuar) presupozon si të vërtetë gjykimin e kundërt Një njeri i
kulturuar është një njeri i kulturuar), në të cilin ―gjendet e mendohet‖ koncepti i
objektit të njohjes – e anasjelltas‖84
. Sipas Kantit gjykimi kontradiktor anulohet.
―Principi i mos-kontradiksionit ndalon që të ketë një kontradiksion në çdo mendim
tonin apo njohje, shkakton anulimin e gjykimit (kontradiktor) që mendimi, apo
njohja paraqet. Nga ana tjetër, gjëja që shërben si subjekt, si e tillë, është (e duhet të
jetë) e përcaktuar nga veti ndërmjet tyre konsistente85
; përndryshe nuk do të ishte i
mundur as si subjekt logjik‖86
. Nga sa u tha kuptohet, se nuk mund të kemi një
subjekt logjik me veti kontradiktore. Kanti na paraqet mendjen tonë të aftë për tu
vetë korrigjuar në mënyrë të vazhdueshme e për të mos rënë në kontradiktë,
gjithashtu përjashtohet mundësia që në realitet të jepen objekte kontradiktorë.
Studiuesi V. Raspa bën dallimin ndërmjet konceptimit aristotelik dhe kantian të
principit të mos-kontradiksionit. Tek konceptimi aristotelian veren se ka një
korrespondencë ndërmjet gjykimit të vërtetë dhe realitetit, kështu principi i mos-
kontradiktsionit rezulton ligj logjik dhe ligj i qenies. Sipas V. Raspa, Kant nuk
pranon këtë konceptim aristotelian. Sipas tij principi i mos-kontradiksionit nuk
mund të jetë një princip ontologjik sepse logjika dhe ontologjia përbëjnë dy fusha të
ndara. ―Mos-kontradiksioni është çështje e intelektit gjykues‖87
. Për sa i përket
kontradiksionit të eksperiencës, një mendim ndryshe nga ai kantian shprehet nga
82
Po aty f.68 83
Po aty f.71 84
Po aty f.71 85
Të qendrueshme, që rezistojnë 86
Po aty 87
Po aty f.75
40
Drobisc. Mendimin e tij e sjell studiuesi italian Stefano Poggi në një libër të titulluar
I sistemi dell’esperienza. Për Drobisc, strukturat logjike ideale do të formojnë
konceptet e do të mbi kalojnë kontradiksionin e eksperiencës88
. Në këtë rast,
konsiderohet eksperienca kontradiktore e jo mendimi.
2.8 Format e mendimit sipas William Hamilton e Spenser dhe
konceptimi ndërindividual i Sigwart.
Në veprën e lartpërmendur In contraddizione reflektimi mbi principet
logjike të mos-kontradiksionit, identitetit, e të tretës së përjashtuar është i lidhur
ngusht me reflektimin mbi vetë logjikën. Interesant është përcaktimi i logjikës nga
William Hamilton. Sipas V. Raspa, Hamilton e përcakton në mënyrë kantiane
logjikën duke e quajtur: ―shkenca e ligjeve të mendimit si mendim‖89
. Ja si shprehet
V. Raspa, për sa i përket dallimit, që bën William Hamilton, ndërmjet mendimit si
akt mendor kognitiv, nga mendimi si koordinim i materialit bruto të objekteve:
―Para së gjithash Hamilton dallon mendimin në kuptimin e gjerë, që përfshinë çdo
akt mendor e kognitiv, d.m.th dhe aftësi si memoria, imagjinata, asociacioni e
inteligjenca, nga mendimi si aftësi autonome koordinimi të materialit bruto të
objekteve duke iu nënshtruar disa ligjeve e në konformitet me disa qëllime.
Konceptuar kështu, mendimi është në thelb krahasim, ose konjuksion ose
disnjuksion i objekteve të tij‖90
. V. Raspa, gjithnjë duke iu referuar William
Hamilton, shprehet se akti i mendimit supozon një subjekt që mendon, d.m.th. një
mendje, një objekt që mendohet, materien, e një relacion ndërmjet subjektit dhe
objektit, d.m.th formën e mendimit. Logjika merret vetëm me këtë të fundit91
. Për
William Hamilton ajo merret me mënyrën e të menduarit dhe është një shkencë
formale. Është mjaft origjinal shembulli që merret nga Hamilton, ―Libri përpara meje
është një vëllim me fletë‖, ‗libri‘ përbën materien e mendimit ndërsa gjykimi (në
këtë rast për këtë libër) përbën formën e mendimit92
. Sipas V. Raspa, Hamilton
kërkon që të ndajë psikologjinë nga logjika. Ai konsideron logjikën si studim i
formave të domosdoshme të mendimit . Për t‘u arritur kjo ndarje, duhet të jetë e
përcaktuar nga natyra e subjektit që mendon, sepse po të ishte e përcaktuar nga diçka
88
Poggi, S. (1977) I sistemi dell’esperienza, Il mulino, Bologna, f.474 89
Raspa, V. (1999) In contraddizione, Parnaso,Trieste, f.84 90
Po aty f.85 91
Po aty 92
Po aty
41
e jashtme nuk do të ishte e domosdoshme por kontingjente. Duket, se fenomenet dhe
ngjarjet e realitetit të jashtëm i konsideron si kontingjente d.m.th ndodhin në një
mënyrë por fare mirë mund të ndodhnin në një mënyrë tjetër, kurse format e
mendimit i konsideron si domosdoshmëri. Nga kjo rrjedh, se format e mendimit
duhet të jetë origjinare, jo të fituara gjatë eksperiencës. Gjithashtu n.q.s forma e
mendimit është origjinare dhe e domosdoshme duhet të jetë dhe universale, sepse e
domosdoshmja nuk mundet, herë të ndodhë, herë mos të ndodhë. E më në fund po të
jetë një formë mendimi universale duhet të jetë dhe ligj93
. Hamilton insiston drejt
universalitetit dhe domosdoshmërisë së logjikës dhe të menduarit logjikisht është në
natyrën e subjektit që mendon, duke mos pranuar një ndikim nga jashtë.
Një interpretim, mund të themi të karakterit psikologjik, i bën principit të së
tretës së përjashtuar Spenser. Për Spenser, gjithnjë sipas V. Raspa, prania i një stadi
të përcaktuar pozitiv në ndërgjegje, përjashton atë negativ dhe anasjelltas. V. Raspa
duke iu referuar Spenser shpjegon se, kur pranojmë një objekt ekzistues, një fakt apo
formë gjykimi, detyrimisht përjashtojmë jo-ekzistencën e tij, mohimin e faktit apo të
kësaj forme gjykimi. ―Disa stade mendore shkatërrojnë në mënyrë të drejtpërdrejtë
stade të tjera mendore; dhe principi i së tretës së përjashtuar është një përgjithësim
universal i kësaj‖94
. P.sh. N.q.s në mendjen tonë formohet një stad mendor, që i
korrespondon pohimit Është ditë, ky stad nuk është i shkëputur nga eksperienca dhe
i korrespondon stadit të gjërave vetëm n.q.s është ditë. Një propozicion nuk është i
besueshëm n.q.s. formulohet në mendim, por shkëputet shumë nga eksperienca, sa
termat e tij nuk mund të bëjnë pjesë në relacionin e shprehur pa sforcim. P.sh tek
fjalia Fluturon breshka kemi një sforcim për të lidhur këto terma në gjykim. Ndërsa
fjalët që shprehin (natyrisht të lidhura sipas rregullave gjuhësore në fjali) një
propozicion janë shenja të disa stadeve të ndërgjegjes; dhe ajo çfarë përbën një
propozicion e shprehet me fjali është lidhja ose dallimi i stadeve domethënës të
ndërgjegjes. Kur mendja karakterizohet nga një stad mendor ―verë‖ nuk mund të
lidhet me një stad mendorë ―borë‖. N.q.s. mendimi drejtohet me përpikëri, n.q.s.
stadet mendore që shprehen me fjalë përkthehen në stade mendore që simbolizojnë,
të mendosh një propozicion apo fjali konsiston në paraqitjen bashkërisht të subjektit
dhe të predikatit në ndërgjegje. Spenser shqyrton problemin e kohezionit ndërmjet
stadeve të ndërgjegjes. Relacionet, pak a shumë koherente, që ekzistojnë ndërmjet
93
Po aty 94
Po aty f. 93
42
stadeve të ndërgjegjes rrjedhin nga relacionet pak a shumë konstante të gjërave të
jashtme të botës që na rrethon. Format e mendimit janë absolutisht uniformitete të
brendshme të formuara nga përsëritje të pafund të uniformiteteve absolute të jashtme.
Për Spencer, mund të flitet për të vërteta a priori e të nevojshme, por jo për
këtë jemi të autorizuat për të kaluar eksperiencën e karakterin simbolik e relacional
të njohjes: konceptet tona janë vetëm simbole të realitetit, e të cilit i njohim vetëm
manifestimet, e kurrë natyrën e brendshme95
. Ndërsa Spenser konfirmon rëndësinë e
aspektit psikologjik në procesin e të menduarit sipas principeve logjike, një tjetër
këndvështrim i rëndësishëm është ai i Sigwart. Sipas tij, mendimi tregon ―një vitalitet
të përfaqësimit puro të brendshëm, që prodhohet spontanisht tek subjekti, produktet e
të cilit, karakterizohen si forma të thjeshta subjektive ideale të objekteve. Mendimi
ynë u qëndron disa ligjeve në formimin e mendimeve. Këtu hyn logjika. Logjika
sipas Sigwart, është një ―teknikë e të menduarit me anë të së cilës përfitohen
propozicione të qarta e të vlefshme universalisht‖96
. Vlefshmëria universale i
korrespondon konsensusit ndërindividual, që arrin në të njëjtat përfundime97
. Sipas
Sigwart mendimi logjik nuk është një fakt subjektiv por ndërsubjektiv. Një formë e
caktuar gjykimi apo një përgjithësim induktiv, dhe pse mund të jetë një akt mendor
i një subjekti të caktuar, për tu bërë një fakt logjik kërkon një shkallë të gjerë
ndërsubjektiviti. Kështu përjashton ekzistencën e objekteve logjike si objekte në
vetvete, por nuk kufizohet në aktet mendore të një subjekti të caktuar por shtrihet në
një shkallë më të gjerë ndërsubjektiviteti.
Sigwart, gjithashtu, shpjegon mohimin si akt mendor. Ai kupton për mohim,
mos pranimin e një gjykimi pozitiv: mohimi nuk korrespondon me diçka reale, nuk
ka të njëjtën vlerë të pohimit deklarues , por është i varur prej tij, meqenëse kuptohet
vetëm në relacion me të. Akti i mohimit është mospranimi i pohimit që bëhet nga ne.
Kush pohon ―A nuk është B‖ duhet të kuptojë se ―A është B‖ është fals. Sipas tij,
mohimi nuk është diçka reale por e bëjmë ne, d.m.th është akt mendor. Për Sigwart,
principet logjike nuk jepen të ndarë nga proceset e të menduarit.
95
Adorno, F., Grgory, T e Verra, V.(1996) Manuale di storia della filosofia Laterza, Roma –Bari
f.168 96
Raspa, V. (1999) In contraddizione, Parnaso,Trieste, f. 94 97
Po aty
43
2.9. Trendelenburg: ligji i mendimit si ligj i realitetit.
Shtjellimi që V. Raspa u bën principeve logjike, kryesisht principit të mos-
kontradiksionit, është mjaft i gjerë. Në trajtimin e tij, referimi ndaj filozofëve më të
rëndësishëm të historisë është i shpeshtë, dhe pse V. Raspa nuk e konsideron librin
In contradizione të karakterit historik. Ai bazohet tek disa autorë të tjerë si
Trendelenburg, Lotze, Ueberweg etj. Tek këto autorë V. Raspa gjen një
karakteristikë të përbashkët. Kjo karakteristikë është se logjika konstituohet
ekskluzivisht mbi dy sfera: të gjithë objektet si logjik ashtu dhe jo logjik bien o në
sferën (e brendshme të subjektit) e mendimit ose në atë të jashtme d.m.th të
realitetit. ―Kjo vlen si për konceptet, gjykimet e silogjizmat, ekzistencës psikike (të
brendshme) te të cilëve u korrespondon shprehja konkrete gjuhësore (e jashtme) e
shkruar ose e folur, në fjalë, propozicione e argumentime, si për përmbajtjet e tyre, të
cilat jepen ose në mendim, si fenomene psikike, ose në realitet, si objekte
konkrete‖98
. Konceptet, gjykimet e arsyetimet silogjistike konsiderohen si fenomene
psikologjike të brendshme, ndërsa shprehjet konkrete gjuhësore konsiderohen si të
jashtme. D.m.th të parat konsiderohen si mënyrë të menduari e të dytat
konsiderohen si fenomene të karakterit fizik. Në këtë rast fjalia është konsideruar si
shprehje gjuhësore e jashtme.
Sipas Trendelenburg, logjika është një fakt i mendimit. Të mendosh është të
bashkosh në ndërgjegje përfaqësimet. Bëhet fjalë për mënyrat e këtij bashkimi, që
gjenden në gjykime99
. Në gjykim uniteti është i shprehur, sikur të ishte i bazuar tek
lidhja me gjënë. Gjendet tek gjëja , p.sh. që në gjykimin: vija e drejtë të jetë vija më e
shkurtër ndërmjet dy pikave; që në këtë gjykim subjekt e predikat formojnë një
unitet, e asnjë tjetër100
. Por sipas Trendelenburg, të kufizohesh në terma psikologjik
nuk është e mjaftueshme101
. Bazat e logjikës duhet të kërkohen në metafizikën dhe
në ontologjinë. Logjika formale ka në vetvete elementë që tejkalojnë formën e
mendimit e prekin përmbajtjen e objekteve. Ajo njeh nevojshmerinë, që të shpjegojë
raportin ndërmjet mendimit e objektit, por ajo (logjika) mundet vetëm të marrë akt
për mangësinë e saj, e cila është evidente nga dallimi që logjika bën ndërmjet të
vërtetës formale dhe të vërtetës materiale duke shënuar të paren dhe duke vendosur
në ndonjë metafizikë të ardhshme bashkimin e të dyjave, bashkimin e mendimit me
98
Po aty f.84 99
Trendelenburg F.A. tr. it. Storia della dottrina delle categorie CUEM. Milano1994 f.8 100
Po aty f.20 101
Po aty
44
qenien102
. Këtu logjika është e detyruar që të presupozojë një raport harmonik.
Trendelenburg, në shpjegimin e principit të mos kontradiksionit e të identitetit,
bashkon shpjegimin e Aristotelit me shpjegimin e Kantit, të cilit i referohet shpesh,
por konceptimi i tij dallon; si nga shpjegimi i njërit ashtu dhe i tjetrit.
Principi i identitetit dhe i mos kontradiksionit trajtohen nga Aristoteli në
relacion me çështje të karakterit metafizik. Në formulimin tek Metafizika.. 3,
Aristoteli i referohet gjërave e jo vetëm formës logjike. Ndërsa Trendelenburg
formulon principin e mos kontradiksionit në mënyrë identike me atë të logjikës
formale (A është A, e A nuk është jo A)103
, që në dallim me formulimin e Aristotelit
nuk është absolut. Në dallim nga logjika formale, principi i mos kontradiksionit për
Trendelenburg ka nevojë të justifikohet nga një supozim korrekt i jashtëm104
.
Trendelenburg ka si objektiv polemik Hegel-in dhe pikërisht dialektikën e tij, sipas të
cilës në vetë idetë ka një relacion ndërmjet qenies dhe jo qenies. Kjo kuptohet qartë
nga një fragment që sjell V. Raspa: n.q.s kontradiksioni mban të ndarë mendime që
do të dëshirohej të bashkoheshin, n.q.s ai ndan mendime që besoheshin të bashkuar
dhe bën të pasigurt atë që dukej i sigurt, atëherë kuptohet, pas dhunës së
kontradiksionit fuqia e mendimit e njëkohësisht detyrimi i asaj që i jep ligje
mendimit. Perceptohet pas kontradiksionit domosdoshmëria që është enigma e
përbashkët e logjikës dhe e metafizikës. Aty ku kontradiksioni qëndron larg nuk ka
akoma qartësi. Vetëm koshenca e domosdoshmërisë është e kundërta e dyshimit që
tërheq sa këtu atje shpirtin105
. Në analizën që i bën V. Raspa Trendelenburg-ut, del
në pah se kontradiksioni është i domosdoshëm me qëllim që të afirmohet fuqia e
mendimit dhe të arrihet tek e vërteta. Për të arritur këtë qëllim, nuk mjafton ta
eliminosh, nevojitet të ndërtohet uniteti i mendimit me qenien. Ideja themelore e
Trendelenburg është që ligji i mendimit është ligji i realitetit.
Gjithashtu Trendelenburg, duke u bazuar kryesisht tek koncepti i Aristotelit
mbi mohimin, ka dalluar tre kuptime të mohimit: a) mohimi puro, b) kundërshtia, c)
privimi.
a) Mohimi puro është vetëm i mendimit. Jo A është një koncept i papërcaktuar
që ekziston A dhe në relacion me të hiçi nuk është një koncept logjik, por një
102
Po aty 103
Raspa, V. (1999) In contraddizione, Parnaso,Trieste, f. 116 104
Po aty f.117 105
Po aty f.118
45
gjetje fantastike, përmbajtja dhe forma e të cilës qëndrojnë në kontradiksionin
më akut; sepse asaj që nuk është i prezantohet substancë e ndonjë gjëje106
.
b) N.q.s i referohemi reales, në vend të mohimit logjik nevojitet të futet koncepti
i tjetrit, ose i të ndryshmit, që shtrihet deri sa të përfshijë atë te të kundërtës e
janë të tillë që njëri nuk mohon thjeshtësisht tjetrin107
.
Të kundërtit, për Trendelenburg, mund të konsiderohen si të kundërtit e
Aristotelit, termat maksimalisht larg brenda të njëjtit lloj. Esenca apo thelbi i
mohimit logjik tek Aristoteli, shpjegon Trendelenburg-u, nuk është një formë
e thjeshtë logjike apo e mendimit, pasi asaj i korrespondon një ndarje në
gjërat, ndërsa mohimi logjik ka vend ndërmjet mendimeve, apo ndërmjet
fenomenesh që bazohen mbi mendime, o mbi qëllime që anulohen
reciprokisht.
c) Kuptimi i tretë i mohimit është ai i privimit korrespondent te të kundërtit që
do të kishte qenë ose mund të kishte qenë prezent për natyrë në objektin e
konsideruar. Dielli nuk ngroh. Privimi që thirret dhe mungesë cilësie, dallon
si nga kontradiksioni ashtu dhe nga kundërshtia. Privimi tregon mohimin, e
mund të ndodhë që të jetë sipas disa kushteve (kohë, vend etj). Privimi
dallohet nga kundërshtia derisa, çdo kundërshti është një privim, por jo çdo
privim është një opozicion që ka esencën thelbin e konceptit të tij në të
kundërtin pozitiv108
.
Për Trendelenburg, principi ―A është A, e A nuk është jo A‖, bazohet mbi
natyrën e mohimit109
. Trendelenburg demonstronte se principet logjike janë të
pandashëm nga metafizika.
2.10 Lotze: karakteri objektiv i formave logjike
Në mënyrë të ndryshme trajtohen principet logjike nga Lotze. Sipas tij,
logjika mund të ketë fillim atëherë kur, pasi të kesh perceptime, përfaqësime e
kombinime përfaqësimesh, që ndodhin sipas ligjeve psikike, rezulton një dallim
106
Po aty f.119 107
Po aty f.120 108
Po aty f.120 109
Po aty f.122
46
ndërmjet vërtetësisë ose jo të lidhjeve të ndryshme të përfaqësimeve mendore,
formave të mendimit korresponduese të këtyre të fundit, e ligjeve të cilave ata do t‘u
binden110
. Kështu jo çdo lloj kombinimi i përfaqësimeve është logjikisht i
pranueshëm.
Përfaqësimet prodhohen në mendjen tonë si pasojë e stimujve të realitetit që
provokojnë shqisat tona. Çdo përfaqësim i prodhuar zgjon dhe rikujtimin e
përfaqësimeve aktuale e të mëparshme. Mbi raportet e nevojshme ndërmjet
përfaqësimeve bazohet njohja jonë e mbi raportet rastësore mundësia e gabimit.
Kërkohen raportet e nevojshme mes përfaqësimeve. P.sh. Gjykimi: Lakuriqi i natës
është shpend është rastësor dhe i gabuar. Ndoshta në këtë përfundim të gabuar mund
të arrish nisur nga aftësia e këtyre gjitarëve për të fluturuar ashtu si shpendët. Ndërsa
gjykimi Lakuriqi i natës është gjitar është i vërtetë, pasi kjo vërtetësi është arritur
nga vëzhgimet.
Supozohet që të jenë dy sfera , ajo e përfaqësimeve mendore dhe ajo e
gjërave, që të jepen raporte si të nevojshëm ashtu dhe rastësor ndërmjet gjërave e, që
kursi i përfaqësimeve të jetë i varur nga bota e gjërave, por (kursi i përfaqësimeve)
të ketë dhe ligje të veta111
. Bota e gjërave nuk është e mjaftueshme për të arritur tek
raportet e nevojshme ndërmjet përfaqësimeve mendore. Shpesh herë, kjo botë e
gjërave e ka të vështirë të ndryshojë lidhje të caktuar ndërmjet përfaqësimeve, që
mund të jenë apriori, apo të krijuara nga eksperiencat e mëparshme.
Gjithë ky proces i formimit të lidhjeve ndërmjet përfaqësimeve është i
kontrolluar nga mendimi, që eliminon lidhjet rastësore të përfaqësimeve, që mund të
çojnë në gabim dhe organizon seritë e përfaqësimeve të nevojshme. Një koshiencë e
një individi të caktuar mund të ketë këtë përshtypje, apo mund të krijojnë lidhjen:
Tirana është qyteti më i bukur, por kjo mbetet përshtypje e një subjekti të caktuar dhe
nuk mund të jetë për koshienca të individëve të tjerë.
Lidhjet ndërmjet përfaqësimeve janë të vërteta, në qoftë se janë të orientuar
sipas përmbajtjeve të përfaqësuara , që janë të përbashkëta për çdo koshencë. Kështu
Lotze kërkon një shkallë të gjerë ndërsubjektiviteti për sa i përket të vërtetës. Ai
dallon aspektin subjektiv të mendimit nga ai formal. Për Lotze mendimi është një
mjet njohës, i përshtatshëm për qëllimin që të arrijë thelbin e reales. Gjithsesi njeriu
nuk është një shpirt i vendosur në qendër të botës që, me një akt intuite, njeh gjithë
110
Po aty f.127 111
Po aty f. 128
47
realen, por gjendet në degëzimet e fundit të reales, kështu që, në procesin e njohjes,
duhet të bëjë shumë gjiro para se të arrijë tek e vërteta112
. Pranohen dhe tentativat
boshe në procesin e njohjes dhe sipas tij nuk ka vend për një optimizëm metafizik.
Në një farë mënyre kriteri që merr për bazë Lotze në formimin e gjykimeve dhe në
procesin e njohjes është ai i procedimit gradual provë-gabim. Për Lotze rregulli i
paraqitjes së formave të ndryshme të mendimit (koncepte, gjykime e silogjizma)
pasqyron një radhë hierarkike të tillë që figura pasardhëse kërkon të mbush një
boshllëk të lënë hapur nga ajo paraprijëse113
.
Mbështetur tek Lotze, V. Raspa në librin In contraddizione shprehet se logjika jepet
në mendime, është vepër e mendimit e, gjithashtu ndërtohet në mënyrë progresive.
Para konstituohen përfaqësimet duke nisur nga përshtypjet dhe kjo është e
nevojshme, me qëllim që stadet që prodhohen tek ne mund të jenë të unifikuara në
ndonjë formë mendimi, e kjo arrihet nëpërmjet shënimit me emër të stadeve psikike,
gjë kjo që përbën fillimin e një ―objektivizimi të subjektives‖114
. Stadet psikike janë
subjektive, por kur një stad individual p.sh ‗frikë‘ shprehet me fjale kjo shqiptohet në
mënyrë të ngjashme nga shumë njerëz. Kështu kalohet nga subjektivizëm në
objektivizëm. Ky objektivizëm (shënimi me emër), i përbashkët për të gjitha qeniet
që mendojnë e i pacaktuar nga individë të veçantë, nuk i korrespondon gjithmonë
realitetit efektiv të gjërave: bota të cilës i referohet është bota e të mendueshmes,
kështu, mund të flasim për dhimbje dhe t‘i atribuojmë cilësi dhe se në momentin e
dhënë nuk provojmë dhimbje115
. Për Lotze, jo gjithmonë përmbajtjeve të mendimit u
korrespondojnë referentë real. Mendimi nuk mund të kufizohet vetëm me realen, por
mund të ushqejë vetveten dhe mund të kapërcejë realen nëpërmjet intuitës dhe
fantazisë. Për sa u përket gjykimeve, Lotze pohon se çdo gjykim, që formohet gjatë
përdorimit natyror të mendimit do të shprehë një raport ndërmjet përmbajtjeve të dy
përfaqësimeve, por jo një raport ndërmjet përfaqësimeve — pra kuptojmë se Lotze
dallon ndërmjet përmbajtjes dhe përfaqësimeve duke konsideruar çështje logjike të
paren dhe psikologjike këtë të dytën. Për Lotze, ndërmjet përfaqësimeve nuk
ekziston një relacion logjik, por një bashkim psikologjik. Sipas tij gjykimi i referohet
realitetit. Një referim i tillë është ndërmjetësuar nga ajo që ai thirr (objektivitet) të
përmbajtjeve të mendimit: format logjike ideale janë të pavarura nga fakti se janë të
112
Po aty 113
Po aty f.129 114
Po aty f.129 115
Po aty
48
menduara apo jo. Lotze kërkon të ndajë aktivitetin e brendshëm logjik të trurit nga
mundësia e shprehjes së saj gjuhësore. Jo çdo aktivitet mendor shprehet gjuhësisht.
Lotze nxjerr në pah karakterin objektiv të formave logjike, deri sa arrin të pohojë se
ato kanë një domethënie reale e që, dhe duke iu nënshtruar ligjeve të tyre, në fund të
fundit gjenden në koincidencë me mënyrën e marrëdhënieve të gjërave. Në një
fragment që sjell V. Raspa duket qartë se ka një përputhje ndërmjet rrjedhës së
ngjarjeve dhe mendimit: ―Të gjitha krijimet tona konceptore, klasifikimet dhe
konstruksionet janë krijime subjektive të mendimit tonë e jo procese në gjërat; natyra
e gjërave është njëkohësisht kaq e ngjashme me përmbajtjet e përfaqësuara, që
mendimi, n.q.s. ndjek ligjet logjike të tij, në fund të udhës së tij të ndjekur në mënyrë
korrekte përputhet me rrjedhën e gjërave‖116
. Nga sa u tha më sipër, duket se
metafizika nuk mund të mos ketë lenë gjurmë në mendimin e Lotze. Ky fakt spikat
në një tjetër punim të filozofit Poggi Stefano të titulluar I sistemi dell’esperienza.
Sipas këtij të fundit, Lotze pranon ekzistencën e një seri konceptesh puro logjike, që
janë hije të koncepteve metafizike, por që duhen ndarë nga këto të fundit117
. Format
logjike sipas Lotze janë mënyra teknike procedimi118
. Sado që Lotze arrin në një
objektivitet të formave të mendimit, ato nuk ekzistojnë në të njëjtën mënyrë me
gjerat fizike. Kjo çështje do të shtjellohet më poshtë.
3. Debati filozofik rreth objekteve ne vetvete, të
vërtetës dhe objekteve të pamundur.
3.1 Qeniet në vetvete dhe objektet me ekzistencë fizike
Megjithëse logjika të çon drejt formësimit të ligjeve të mendimit, çlirimi nga
çështjet metafizike nuk është as i mundur as i duhur. Duke shpjeguar ligjet e
mendimit autorë të ndryshëm janë mbështetur tek metafizika. Përveç Lotze,
mendimi Heideggerian në këtë drejtim ka shërbyer si bazë referimi për shumë autorë.
Them drejtimi metafizik, sepse ky filozof, ashtu si shumë kohë më parë Dante
Aligheri, shprehej negativisht për logjikën formale duke e konsideruar atë të thatë.
Heidegger i dedikohet një metafizike të re dhe kërkon një ―shqyrtim të filozofisë më
anën e gjuhës poetike‖119
. Gjerësisht këtij autori i referohet filozofi bashkëkohor
116
Po aty f.134 117
Poggi, S. (1977) I sistemi dell’esperienza, Il mulino, Bologna, f.384 118
Po aty f.385 119
Anxhaku, A.(2008) Homo Metaphysicum dhe Poesia, Extra, Tiranë f.14
49
italian Vincenzo Costa, i cili në librin La verità del mondo. Giudizio e teoria del
significato in Heidegger, duke u mbështetur tek ky filozof dhe tek Lotze, konsideron
gjuhën me një shpirt të pavetëdijshëm filozofik. Mendimi dhe gjuha konsiderohen
me një bazë të përbashkët të quajtur metafizike dhe aktet gjuhësore domethënëse
dhe me përmbajtje. Megjithëse, jo në të njëjtën mënyrë, këtë problem e kanë trajtuar
dhe autorët e lartpërmendur, të cilëve Vincenzo Costa u referohet. Ja si shprehet në
këtë libër ky i fundit për domosdoshmërinë metafizike duke e konsideruar si ‗rrënjë
të përbashkët‘ e mendimit dhe gjuhës: ―Apriori nuk aludon pamundësinë
psikologjike për të menduar ndryshe, por pa mundësinë logjike për të qenë ndryshe.
Ligjet e mendimit nuk rrjedhin nga struktura psikologjike e subjektit, as nga struktura
e gjuhës në kuptimin empirik, e jo sepse konceptet bazë të logjikës mund të merren
në shënjestër pa kaluar ndërmjetësimin e një shenje, por sepse ka një domosdoshmëri
metafizike që përbën rrënjën e përbashkët të mendimit e të gjuhës, kështu që në
gjuhë ka një shpirt të pavetëdijshëm filozofik‖120
.
Lotze bënte dallimin ndërmjet përmbajtjeve dhe objekteve të karakterit fizik.
Ai kërkonte një përmbajtje të vlefshme në vetvete për objektet, ngjyrat, tingujt që
kemi parë dhe dëgjuar. Gjithashtu ai diskuton dhe rreth këndvështrimit natyralist.
Sipas këtij këndvështrimi, ngjyrat dhe tingujt përbëjnë fenomene fizike-fiziologjike,
d.m.th ngjyrat janë fenomene fizike që godasin retinën, por kjo nuk mohon faktin se
dhe këto fenomene po të prodhonin në qenie me një organizim psikik e fizik të
ndryshëm manifestime të ndryshme për ne të panjohura, gjithsesi tingujt dhe ngjyrat
që kemi dëgjuar dhe parë njëherë, përbëjnë për ne një trashëgimi të qartë që aludon
një përmbajtje të vlefshme në vetvete121
.
Domethëniet nuk ekzistojnë në të njëjtën mënyrë si objektet që perceptojmë
me organet e shqisave, por ekzistojnë në një mënyrë tjetër. Gjithnjë sipas Vincenzo
Costa, Lotze do t‘i japë përgjigje pyetjeve: çfarë kuptimi ka që të flasësh për një ‗në
vetvete‘ të ngjyrave dhe tingujve, që askush nuk ka parë dhe dëgjuar? Pse duhet t‘u
atribuojmë atyre një ‗qenie‘? Meqenëse askush nuk i ka parë, nuk është më mirë të
themi se ato janë një hiç? Gjithçka varet, sipas Lotze, nga mënyra se si kuptojmë
qenien në vetvete të domethënieve, e në mënyrë të veçantë nga fakti i të kuptuarit se
ato nuk ekzistojnë në të njëjtën mënyrë si gjerat fizike. Sipas Lotze, një propozicion
120
Costa, V.(2003) La verità del mondo. Giudizio e teoria del significato in Heidegger, Vita e
Pensiero, Milano, f. 25 121
Po aty f. 26
50
nuk është në të njëjtën mënyrë si një ngjarje apo objekt fizik122
. Askush nuk
konsideron të vërteten e një propozicioni të lidhur me kohën apo momentin kur
zbulohet një propozicion: ―E konsiderojmë para të vlefshme dhe pas kur nuk mund të
ketë asnjë mendim që të dijë diçka‖123
. P.sh. propozicioni Kateti përballë këndit 300
është sa gjysma e hipotenuzës është i vlefshëm dhe kur nuk ka njëri që të dijë.
Debati përfshinë dhe objektet gjeometrike e matematike. Kjo çështje është
trajtuar gjerësisht në fund të shekullit të kaluar. Një trajtim të veçantë i ka bërë
filozofi Italian Carlo Cellucci në librin Filosofia e matematica. Ky autor, duke iu
referuar Shapiro-s, shkruan se ―në filozofinë e matematikës bashkëkohore janë dy
shkolla. Anëtarët e të pares mendojnë se objektet matematike ekzistojnë pavarësisht
nga matematicieni. Anëtarët e shkollës së dytë mohojnë ekzistencën e objekteve
specifike matematike‖124
. Duke anuar nga kjo shkollë e dytë, nuk mbetet veçse të
konsiderojmë objektet matematike e logjike si objekte mendore. Kjo rrugë e dytë
karakterizohet nga rreziku i të konsideruarit të logjikës si opinion. Nga ana tjetër dhe
se ‗objektet matematike nuk ekzistojnë të ndarë nga materia, duke abstraguar ne
mund t‘i konsiderojmë në vetvete sikur të ishin të ndarë nga materia duke hequr nga
to të gjitha vetitë e ndjeshme duke lënë vetëm sasinë e vijimësinë‘125
.
3.2 E vërteta formale dhe ajo materiale relative.
Megjithëse logjika merret më shumë me mënyrën korrekte të arsyetimit,
sesa me të vërteten, kjo e fundit nuk mund të anashkalohet tërësisht, sidomos kur
behët fjalë për modalitetet në përgjithësi dhe për modalitetin e domosdoshmërisë në
veçanti. Siç dihet, kërkimi i të vërtetës është në bazë të filozofisë që prej antikitetit.
E vërteta është trajtuar në raport me falsitetin. Konceptimi aristotelian, sipas të cilit
është fals të thuash për atë që është, se nuk është, ose, për atë që nuk është, se është
dhe është e vërtetë të thuash për atë që është, se është, ose për atë që nuk është, se
nuk është, ka gjetur terren të pershtatshem në filozofinë e mëvonshme.
Me këtë çështje janë marrë autorë të të gjitha periudhave, përfshi dhe ato
bashkëkohor. Një trajtim mjaft të gjerë çështjes së të vërtetës i ka bërë filozofi
italian bashkëkohor Giorgio Volpe tek libri La verità. Trajtimin e fillon me filozofin
122
Po aty f. 26 123
Po aty f. 31 124
Cellucci, C. (2003) Filosofia e matematica. Laterza, Roma-Bari f.139. 125
Po aty f.312
51
e njohur të mesjetës Thoma D‘Aquini, i cili mendonte se e vërteta hyjnore është një
ndërsa ato të intelektit njerëzor janë shumë126
.
Sipas Giorgio Volpe, çështja është se çfarë natyre ka ajo veti që i pohojmë
ose mohojmë përmbajtjes së entiteteve të ndryshme gjuhësore apo mendore kur
themi se është e vërtetë ose fals127
. Mbi një fakt të caktuar p.sh mbi ditëlindjen e
Paskalit mund të ketë opinione të ndryshme. Për këtë, Giorgio Volpe bën dallimin
ndërmjet ‗besimit‘ e ‗propozicionit‘. Ky filozof quan ‗besim‘ opinionin si stad
mendor ndërsa ‗propozicion‘ opinionet konsideruar si përmbajtje abstrakte te stadeve
mendore të personave të ndryshëm që kanë të njëjtin opinion mbi diçka128
. Po aty
vazhdon: një e vërtetë mund të jetë ose një propozicion që është i vërtetë ose një
propozicion që konsiderohet i vërtetë129
. Sipas Giorgio Volpe, megjithëse për disa
propozicione ka pa përputhshmëri opinionesh (doxatike nga greqishtja doxa
‗opinion‘) të pakthyeshme, kjo nuk është e mjaftueshme të thuash se ―të gjitha të
vërteta janë relative‖130
. Sipas tij, e vërteta do të konsiderohet si veti që vetëm
propozicionet e vërteta kanë të përbashkët, atë të të qenit të vërteta131
. Mund të ketë
dy akte gjuhësore, që thuhen në kohë të ndryshme e shprehin një përmbajtje identike
abstrakte të përbashkët: propozicionin. Ka propozicione, vlera e të cilave varet nga
konteksti. Ja si shprehet autori që po trajtojmë:―Dallimi i propozicioneve jo vetëm
nga stadet mendore e aktet gjuhësore përmbajtjen e të cilave përbëjnë, por dhe nga
pohimet me të cilat mund të shprehen është e rëndësishme për mos të keqkuptuar
domethënien e kontekstit në të cilin këto të fundit mund kenë një vlerë vërtetësie të
ndryshme - mund të jenë të vërtetë apo false - sipas rrethanave ku janë shqiptuar apo
shkruar‖132
. Giorgio Volpe merr si shembull një pohim: ―Unë kam uri‖ pohuar nga
persona të ndryshëm dhe në kohë të ndryshme mund të ketë vlerë të ndryshme
vërtetësie. Interpretimet për këtë çështje kanë qenë të ndryshme.
Ka pasur autorë që të vërtetën e kanë identifikuar me realitetin fizik të
gjërave. Dhe autorë si Jung, që nuk janë drejtpërdrejt të fushës së logjikës e të
filozofisë e kanë trajtuar në këtë menyrë. Ja si shprehet Jung: ―e vërteta është fakti jo
126
Volpe, G.( 2012) La verità, Carocci, Roma, f.11 127
Po aty 128
Po aty 129
Po aty f.13 130
Po aty f.14 131
Po aty 132
Po aty f.16
52
gjykimi mbi të‖, ―elefanti është i vërtetë, sepse ai ekziston‖ 133
. Dhe Stefano Poggi
gjithnjë duke iu referuar Lotze në librin e tij I sistemi dell’esperienza shkruan:
‗Materiali që ne kërkojmë nuk është ai i materies, por ai i të vërtetës‘134
. Gjërësisht
problemi i të vërtetës është trajtuar nga përfaqësuesit e Rrethit të Vjenës. Nisur nga
këndvështrim i tyre e vërteta do të kuptohet thjeshtë si: korrespondencë ndërmjet
pohimeve dhe fakteve (stadit të gjërave).
Pretendimi i të vërtetës nga ana filozofike është venë gjithmonë në diskutim
nga filozofë të ndryshëm. Sipas D. Hume teoritë tona nuk mund të behën të vlefshme
as nga vëzhgimet as nga tjetër gjë. Besimi tek teoritë tona ishte irracional e bazohej
tek të bërit zakon. Mendimi i këtij autori merret dhe interpretohet nga filozofi i
lartpërmendur Karl Popper. Popper, që në fillim të punimeve të tij, shtronte
problemin e gjetjes së kriterit të dallimit të shkencës nga pseudoshkenca. Ky filozof
i shquar austriak në Logik der Forschung botuar në 1934 shkruan: ―Shkenca nuk
është një sistem pohimesh të qarta të fiksuara njëherë e përgjithmonë, dhe nuk është
as një sistem që avancon në mënyrë konstante drejt një stadi përfundimtar. Shkenca
jonë nuk është njohje: nuk mundet kurrë të pretendojë se ka arritur të vërtetën, dhe as
zëvendësuesen e saj, probabilitetin. Gjithsesi shkenca ka diçka më shumë se një se
një vlerë e thjeshtë e mbijetesës biologjike. Nuk është vetëm një instrument i
nevojshëm. Dhe se nuk mund të arrijë kurrë as të vërtetën as probabilitetin, sforcimi
për të arritur njohjen, e kërkimi i të vërtetës, janë përsëri motivet më të fortë të
zbulimit shkencor‖135
. Është kërkimi i vazhdueshëm i të vërtetës që ka rëndësi jo e
vërteta vetë. Sipas tij nuk ka përgjigje përfundimtare për problemet. Njeriu gjendet i
përfshirë në një kërkim të vazhdueshëm mbi botën, mbi kuptimin e jetës, mbi veten
e tij; përfshirë në një kërkim të vazhdueshëm te të vërtetës.
Ndërsa Willard Quine, gati dy dekada më vonë, në shkrimin titulluar Two
Dogmas of Empiricism, in “The Philosophical Review konsideronte shkencën vetëm
si instrument. Gjithashtu besonte në një ndërthurje ndërmjet trashëgimisë shkencore
të njeriut e fluksit të stimujve shqisor. Ja si shprehet në këtë shkrim: ―Gjithsecilit
njëri i është dhënë një trashëgimi shkencore, gjithashtu dhe një fluks i vazhdueshëm
stimujsh shqisor; dhe predispozitat që e drejtojnë që të modifikojë trashëgiminë e tij
shkencore për t‘ua përshtatur nxitjeve të vazhdueshme shqisore janë, sa racionale aq
133
Jung .G (1938) Psychology and religion,University Press, Yale f. 2 134
Poggi, S. (1977) I sistemi dell’esperienza, Il mulino, Bologna f.365 135
Popper, K (1934) Logik der Forschung Julius Springer, Wien, tr. it. Logica della scoperta
scientifica Enaudi, Torino, 1970 f.308.
53
pragmatike‖136
. Në vitet shtatëdhjetë vepra e Feyerabend Against Method. Outline of
an Anarchistic Theory of Knowledge i hap rrugë anarkizmit në fushën e dijës e të
shkencës. Njohja nuk është vetëm shkencë. Sipas Feyerabend nuk mund të ekzistojë
një metodë e ligjeve të fiksuara. ―Anarkizmi është një ilaç i shkëlqyer për
epistemologjinë dhe filozofinë e shkencës‖137
. Shkencës i shërben çdo ide;
irracionalja nuk përjashtohet. ―Shkenca është lënë më shumë në hije e është më
irracionale sesa imazhi i saj metodologjik‖138
. Pa kaos nuk ka njohje. ―Ekzistojnë
mite, ekzistojnë dogma të teologjisë, ekziston metafizika e ka shumë mënyra të tjera
për të ndërtuar një konceptim të botës. Është e qartë se një këmbim frytdhënës
ndërmjet shkencës e konceptimeve të tilla të botës ‗jo shkencore‘ do të ketë nevojë
për anarkizëm më shumë sesa do të ketë nevojë shkenca. Anarkizmi nuk është vetëm
i mundur, por i nevojshëm sa për progresin e brendshëm të shkencës aq dhe për
zhvillimin e kulturës sonë në kompleks139
. Kështu njeriu nuk drejtohet vetëm nga
arsyeja, por dhe nga ëndrrat, aspiratat , fantazitë. Dhe sipas Mach, në botën tonë
jetësore si në shkencë, gjërat ndryshojnë siç ndryshon këndvështrimi me të cilin i
vëzhgojmë, studiojmë , përshkruajmë. ―Përshtypja që të gjitha të vërtetat të jenë, siç
thuhet, ―relative‖ lind nga konstatimi se në disa nivele të mendimit dhe të folurit
rezulton shpesh e vështirë të bësh një zgjedhje të mirëfilltë racionale ndërmjet të
vërtetave të ndryshme e në shumë raste në kontrast të pretenduara nga palë të
ndryshme në diskutim‖140
.
3.3 Principet bazë të shkencës
Sipas Aristotelit dija shkencore ka një strukturë silogjistike. Në një silogjizëm
nga dy premisa arrihet në konkluzion por ai është i mendimit se duhet një instrument
tjetër bindës për vërtetësinë e premisave. Këtë funksion, sipas tij, e bën intelekti. Me
anë të intelektit merren principet e parë të pavërtetueshëm. Kjo, sipas Aristotelit,
bëhet me anë të induksionit, që do të thotë kalim nga e veçanta në të përgjithshmen.
Aristoteli dallon dy lloj principesh:
136
Quine, V. O. ( 1951) Two Dogmas of Empiricism, in “The Philosophical Review‖, LX, tr.it. Due
dogmi dell’empirismo, in Il neoempirismo A. Pascuinelli, UTET, Torino, 1969
f.890 137
Feyerabend, P.(1975) Against Method. Outline of an Anarchistic Theory of Knowledge,NLB, New
York, tr.it. Contro il Metodo. Abbozzo di una teoria anarchica della conoscenza 1975 f.15. 138
Po aty f.146. 139
Po aty f.147. 140
Volpe, G. (2012) La verità Carocci, Roma, f.12
54
a) principe priori (të parë) që janë për secilën shkencë si, përcaktimi i
elementëve dhe figurave gjeometrike, përcaktimi i numrave etj.
b) principe komune (të përbashkëta për të gjitha shkencat si ―e gjitha është me
e madhe se pjesa‖), që nuk kanë nevojë për vërtetim.
Sipas tij është detyrë e filozofisë që të studiojë principet e përgjithshëm të
quajtur ndryshe dhe aksioma. Principet e veçanta bëjnë që çdo shkencë të ketë të
përcaktuar fushën e vet të kompetencës dhe të dallojë prej të tjerave. Nga këto
principe vërteton teoremat e çdo shkence. Principi i mos-kontradiksionit është në
bazë e çdo demonstrimi (vërtetimi).
Sipas V. Raspa, në shkrimet e titulluara Organon të Aristotelit nuk jepet justifikim
i principit të moskontradiksionit, i cili është thjeshtë supozuar si i vlefshëm. Sipas
tij, në Analitikë të dytë principi i moskontradiksionit ka të bëjë direkt me mënyrën e
procedimit në vërtetimet silogjistike kurse në Metph Г ka të bëjë me raportin gjuhë,
mendim e realitet141
. Gjithnjë duke iu referuar Aristotelit, V. Raspa shprehet se
shkenca duke pasur një strukturë silogjistike demonstrative, e përbërë nga vargje
lidhës ndërmjet premisave dhe konkluzionit, për të mos degraduar në pafundësi,
kërkon një pikë fikse, d.m.th principe të parë e të pa vërtetueshëm, nga të cilat të
fillohet.142
Po të mungonte një pikë nisje do të rezultonte e pamundur për të
prodhuar çdo lloj demonstrimi. Kështu nuk mund të kërkosh që të vërtetosh
gjithçka143
.
3.4 Konceptimi i gjykimeve dhe pohimeve si të pandashëm
nga e vërteta dhe justifikimi i principit te mos-kontradiksionit nga
Ueberweg
Dhe për nxënësin e Trendelenburg-ut, Ueberweg, konceptimi i të vërtetave
është i pandashëm nga konceptimi i gjykimeve dhe pohimeve. Sipas tij konceptimi i
të vërtetave nga logjicienët ―subjektivistë formal‖ është i pamjaftueshëm: logjika
duhet t‘i afrojë të vërtetës formale të paktën atë materiale relative. Nga konceptimi i
tij për gjykimin kuptohet se si e bën Ueberweg këtë afrim:―Gjykimi është koshenca
e vlefshmërisë të një lidhje subjektive të përfaqësimeve144
, të cilat kanë forma të
141
Raspa, V. ( 1999) In-contraddizione, Parnaso, Trieste, f.136 142
Po aty f.137 143
Po aty f.138 144
Simbolizim, figurim
55
ndryshme (subjekt e predikat), por pjesëmarrës njëri tek tjetri; d.m.th. koshenca se
ndërmjet elementëve korrispondues objektivë ekziston e njëjta lidhje. Ashtu si
përfaqësimi i veçantë i korrespondon ekzistencës së veçantë, kështu gjykimi, në
format e ndryshme, korrespondon si përshkrim subjektiv i raporteve të ndryshëm
objektiv e relacional‖145
. Mund të përfaqësohet një njeri apo pemë e veçantë por
gjykimi është një akt subjektiv rreth raporteve ndërmjet objekteve. Pohimi dhe
mohimi kanë të bëjnë me raportin ndërmjet elementëve subjektivë dhe objektiv në
aktin e gjykimit ose më mirë, ndërmjet kombinimit të përfaqësimeve e realitetit.
Kështu kombinimit të përfaqësimeve subjektive duhet që ti korrespondojnë
kombinimet në realitet. Koncepti i pohimit është koshenca (vetëdija) e
korrespondencës së kombinimeve të përfaqësimeve (simbolizimeve, figurimeve) me
realitetin, koncepti i mohimit është koshenca e mospërputhjes së kombinimit të
përfaqësimeve me realitetin146
. Si në shembullin e pohimit: Pemët janë të lulëzuara.
Në pranverë jemi të vetëdijshëm për këtë korrespondencë. Për Ueberweg, e vërteta
është ekuivalente me korrespondencën e kombinimeve të përfaqësimeve me
realitetin147
. Duke marrë pohimet kontradiktor Pemët janë të lulëzuara dhe Pemët
nuk janë të lulëzuara, në të dy këto raste kemi të bëjmë me një të vërtetë, n.q.s
flasim për të njëjtat pemë në stinë të ndryshme. Ndërsa tek mohimi Pemët nuk janë
të lulëzuara kombinimi me një akt mendor, që nuk na ndalon kush që ta bëjmë, nuk i
korrespondon realitetit po të ishim në stinën e pranverës, kur shqiptohet ky mohim.
Gjithnjë sipas Raspes, Ueberweg i përgjigjet objeksionit ndaj vlerës absolute të
principit të moskontradiksionit. Një objeksion ka të bëjë më kohën dhe lëvizjen.
Duke iu referuar Ueberweg, Raspa vazhdon: ―vërtetimi i bërë principit të mos –
kontradiksionit supozon realitetin si një kriter të qëndrueshëm të mendimit, që
implikon supozimin metafizik të një qëndrueshmërie të pandryshueshme të qenies
reale; përndryshe sa herë që kjo do të ndryshonte në kohë, do të ndryshonte me të
dhe kriteri. Mos-kontradiksioni do të paguante çmimin e përjashtimit nga realiteti të
kohës dhe të lëvizjes‖148
. Sipas V. Raspa, Ueberweg i jep përgjigje vetë objeksionit
që po vetë ngre. Ndryshimit real do ti korrespondonte një ndryshim i thjeshtë i
kombinimit të përfaqësimeve, e koha do të shprehej nga një gjykim i relacioneve, pa
krijuar asnjë mohim të principit të moskontradiksionit. Herbartit dhe Hegelit, që
145
Po aty f.153 146
Po aty 147
Po aty 148
Po aty f.155
56
kishin konsideruar lëvizjen kontradiktore, Ueberweg u përgjigjet se kontradiksioni i
dukshëm zhduket, n.q.s eliminohet papërcaktueshmëria e kuptimit të shprehjeve
gjuhësore të veçanta, duke i shndërruar në koncepte precize të përcaktuara. Për sa i
përket fenomeneve si ai i agimit (ku kemi momentet e shndërrimit të errësirës në
dritë), sipas Ueberweg nuk kemi të bëjmë me kontradiksion. Sipas tij, fenomenit të
agimit fragmentet e kohës do ti përkisnin ose errësirës ose dritës ose dhe të dyjave
por kjo nuk përbën kontradiksion149
. Po ashtu po të përshkruajmë një metal të
caktuar se sa i ftohtë apo i ngrohtë është. P.sh Metali është i ngrohtë dhe Metali nuk
është i ngrohtë na duket se përbën kontradiksion, por ky kontradiksion bie, po të
kërkohet që të saktësohet mirë, ku të thuhet Në momentin t1 metali është i ngrohtë
dhe në momentin t2 metali është i ftohtë. Dhe në këtë rast ai përpiqet që të justifikojë
principin e mos-kontradiksionit dhe ta bëj atë të pacenueshëm. Kërkon të justifikojë
vlerën absolute të këtij principi por, sipas studiuesit të kujdesshëm të këtij autori V
Raspa, nuk ia arrin.
3.5 Kritika ndaj interpretimit psikologjik e ontologjik te
principeve logjike, mbështetja e interpretimit logjik
Tentativat për të shkëputur principet logjike nga psikologjia kanë qenë të
vazhdueshme. Ka pasur gjithmonë një tendencë për të mos konsideruar logjikën e
principet e saj si fakte vetëm psikologjike, sepse kështu ekzistonte mundësia e
reduktimit të këtyre principeve në opinione. Gotlob Frege në librin e lartpërmendur
Ligjet themelore të aritmetikës dha një kontribut të madh në këtë drejtim. Ndërsa
ligjet logjike sipas G. Frege duhet të jenë norma te të menduarit me qëllim të
vërtetën. Këto meritojnë me më shumë të drejtë emrin ―ligje të menduarit‖, n.q.s.
janë më të përgjithshmet e kudo mendohet, ato përshkruajnë se si duhet të mendohet.
Por në këtë pikë për G. Frege shfaqet rreziku i shndërrimit në ligje psikologjike e
kështu logjika do të bëhej një pjesë e psikologjisë. Për logjicienët psikologjik
(Benno Erdman një prej tyre) ―ligjet e të menduarit‖ do të ishin norma që përbëjnë
një të mesme150
. Kështu nuk do të kemi më të vërtetë, por do të kemi konsiderohet si
e vërtetë. Frege shtron pyetjen: Çfarë do të ndodhte po të kishte qenie që mendojnë
në mënyrë të ndryshme ose të kundërt me ne. Ai bën këtë dallim të principit të
identitetit: ―Në vitin 1893 njerëzit e kishin të pamundur të njihnin një objekt të
149
Po aty 150
Frege, G. Leggi fondamentali dell’aritmetica a cura di Celluci C. Edizioni Teknos, Roma 1995 f. 14
57
ndryshëm nga vetvetja‖ dhe ―Çdo objekt është identik me veten e tij‖?151
. Sipas G.
Frege tek e para përmenden njerëz dhe i bëhet përcaktim kohor, ndërsa në rastin e
dytë jo. Ai të parin e quan një ligj të të konsideruarit të vërtetë, ndërsa të dytin një
ligj të vërtetë. Sipas G. Frege ―qartësia objektive‖, për të cilën flet Benno Erdmann
është vetëm një njohje e përgjithshme e atyre që gjykojnë, jo e pavarur nga ato; që
ndryshon bashkë me ndryshimin e natyrës mendore të tyre. Përfaqësuesit e kësaj
rryme dhe konceptet i konsiderojnë përfaqësime dhe ja kalojnë këtë çështje
psikologjisë.152
Për Frege, Benno Erdmann mbetet në ―baltën‖ metafizike e
psikologjike për të cilin gjen - sigurisht në folklorin gjerman - një krahasim me
Münchhausen që mundohej të dilte nga balta (lluca) duke tërhequr flokët e veta153
.
Sipas V. Raspa, një tjetër autor që kërkon të sjell principin e mos-
kontradiksionit në një terren logjik është Alexander Pfänder. Këtë filozof V. Raspa e
trajton gjerësisht në librin In cotraddicione. Detyra e parë e Alexander Pfänder është
kritika e interpretimeve, që nuk e konsiderojnë principin e mos-kontradiksionit si
princip logjik, të tillë janë ai teoretik-objektual, ose ontologjik-formal dhe ai
psikologjik. Meqenëse logjika ka si objekt mendimet, të kuptuar jo në kuptimin
psikologjik, por si të ndryshëm nga të menduarit, ose më mirë si forma mendimi
(koncepte, gjykime, silogjizma), duhet absolutisht mbi natyrën e këtyre formave që
principi i mos-kontradiksionit duhet të bazohet. Ai duhet të formulohet në respektin e
këtyre kushteve:(i)duhet t‘u referohet objekteve logjike; (ii) duhet të pohojë diçka
logjike, duke u bazuar ekskluzivisht në thelbin e objekteve logjike e jo mbi një
ndërgjegje154
. Për rastin e parë, atë (teorik objektual), Pfänder argumenton në këtë
mënyrë ―S nuk mund të jetë njëkohësisht P dhe jo P‖, në këtë fjali subjekti i referohet
çdo lloj objekti, për të cilin pohon se nuk mund të ketë e të mos ketë ndonjë
përcaktim, kuptuar kështu – sipas Pfänder – principi nuk ka të bëjë me objektet
logjike, as nuk pohon diçka specifike logjike mbi ta. Sipas tij në këtë rast bëhet fjalë
për një princip jashtë-logjik.155
Përveç interpretimit ontologjik-formal është dhe ai
psikologjik, i principit të mos-kontradiksionit. Sipas një interpretimi të tillë, principi i
mos-kontradiksionit, për faktin se në logjikë ka të bëjë jo ‗vetëm‘ me mendimin por
me mendimin gjykues, mund të formulohet në këtë mënyrë: ―Njeriu nuk mundet
151
Po aty f.15 152
Po aty 153
Po aty f.18 154
Raspa, V. ( 1999) In-contraddizione, Parnaso, Trieste, f.159 155
Po aty
58
njëkohësisht të gjykojë që S është P e që S nuk është P‖, ose ―Njeriu nuk mund të
konsiderojë që janë njëkohësisht të vërtetë dy gjykime të formës ‗S është P‘ e ‗S nuk
është P‘‖. Kuptuar kështu, ai nuk është një princip logjik, për sa nuk i referohet një
objekti specifik logjik, por njeriut, ose konsideratës së njeriut për të vërtetën.156
N.q.s do të konsiderohet principi në kuptimin logjik, ai së pari do t‘u referohet
objekteve puro logjike. Këto objekte nuk mund të jenë tjetër veçse gjykime, jo
gjykime në përgjithësi, por gjykime të formës ‗S është P‘ e ‗S nuk është P‘, ose më
mirë gjykime me koncepte të njëjtë të subjektit dhe të predikatit e që ndryshojnë
ekskluzivisht për cilësinë e këpujës157
.
Së dyti ai do të pohojë diçka specifike logjike, pohimi specifik logjik të cilit i
referohet termi ―princip‖ është: dy gjykime kontradiktor, ku secili sipas natyrës së tij
pretendon të vërtetën, nuk mund ta gëzojnë atë njëkohësisht; e me fjalë të tjera sipas
Pfänder-it: Dy gjykime reciprokisht kontradiktor nuk mund të jenë njëkohësisht të
vërtetë158
. Për sa i përket dallimit vetëm nga këpuja të gjykimeve kontradiktore
Raspa duke, iu referuar Pfänder-it shprehet: ―Me qëllim që gjykimet të jenë me të
vërtetë kontradiktore, e principi të jetë i vlefshëm, është e nevojshme që ato të
formulohen duke respektuar disa kushte të caktuara. a) gjykimet do ti referohen të
njëjtit vend , përndryshe pohimet ―Ky trëndafil është i kuq‖ dhe ―Ky trëndafil nuk
është i kuq‖ po të kishte nuanca të ndryshme ngjyrash, do të ishin të dy të vërtetë
atëherë kur trëndafili do të ishte i kuq në një pikë e jo i kuq në një pikë tjetër,
b) duhen t‘i referohen të njëjtës kohë:sepse objektet mund të ndryshojnë në kohë. Një
kusht tjetër është se c) objektet të cilëve u referohet subjekti i të dy gjykimeve duhet
të jenë të njëjtit; në fakt ndërmjet gjykimeve të veçantë të nën-kundërt , ―Ca njerëz
janë daltonikë159
‖ e ―Ca njerëz nuk janë daltonikë‖, nuk ka kontradiksion, sepse
objektet, me gjithë ngjashmërinë gjuhësore, u referohen objekteve të ndryshëm. Po
ashtu, d) nuk ka kontradiksion ndërmjet disa nënlloje gjykimesh , si p.sh., ata që
sipas sasisë ndahen në njëjës dhe shumës, si ―Gruaja është më e vogël se burri‖, që i
referohet mesatares se grave dhe të burrave, dhe ―Kjo grua nuk është më e vogël se
ky burrë‖, që i përket një gruaje dhe një burri të veçantë. Dhe e fundit kur gjykimet
kanë predikate identike por jo homonime, kur përdoret një term përçmues.
156
Po aty f.161 157
Po aty 158
Po aty f.162 159
Bëhet fjalë për një anomali në shikim për sa i përket dallimit të ngjyrave të kuqe e jeshile
59
Me gjithë këto raste që u dhanë, sipas Pfänder nuk d.m.th. se kemi
demonstruar vlerën absolute të principit të mos-kontradiksionit. Përsëri shtron
pyetjen se mbi çfarë baze pranohet ky princip dhe pretendimi i vlefshmërisë absolute
të tij? Sipas tij duhet të kërkohet një provë, sepse shpjegimi nuk mjafton. Ai është
kritik ndaj interpretimit psikologjik e ontologjik dhe është mbështetës i interpretimit
logjik. E vetmja provë e mundur është ajo e bazuar mbi natyrën e përgjithshme të
objektit, ose mbi faktin ontologjik formal që një objekt nuk mund të jetë njëkohësisht
P dhe jo-P160
. Formulimi i Pfänder, që sjell Raspa, është: ―Dy gjykime kontradiktor
njëri me tjetrin nuk mund të jenë të dy të vërtetë; n.q.s një prej tyre – nuk ka rëndësi
se cili - është i vërtetë, atëherë domosdoshmërisht tjetri është fals‖161
. Për Pfänder
―E dhëna faktike e përgjithshme teoretike – objektuale, apo ontologjik-formale, që
një objekt nuk mund të jetë njëkohësisht P e jo-P, është baza e fundit e vërtetësisë së
principit të mos kontradiksionit. Kështu dhe kjo e vërtetë i është ankoruar sjelljes së
objekteve në përgjithësi dhe është krejtësisht e pavarur nga natyra e çdo qenie që
mendon, kështu dhe nga ajo e njeriut . Ajo është e pavarur nga çdo lloj ―koscence në
përgjithësi‖, ―mbi individuale‖, ―mbi empirike, e nuk ka nevojë për asnjë justifikim
trashendental‖162
.
Konkluzionin në të cilin Pfänder arrin, Raspa e gjen kontradiktor, sepse
këndvështrimin ontologjik -formal ai e kishte kritikuar më parë. Sipas Raspes,
Pfänder i shton debatit filozofik rreth principit të mos-kontradiksionit nocionin e
objektit, kuptuar si ent që nuk kontradiktohet. Duke analizuar të gjitha këto studime
Raspa arrin në konkluzion: a)principi i mos-kontradiksionit nuk është i thjeshtë; b) të
shtrosh problemin e demonstrimit nuk d.m.th. të revoltohesh kundër dikujt;
c) principi i mos-kontradiksionit bazohet mbi një nocion specifik të objektit, kuptuar
si ekzistues, komplet dhe jo kontradiktor.163
Është folur për të gjithë këto autorë për të demonstruar se rreth principeve
logjike, dhe në mënyrë të veçantë rreth principit të mos kontradiktsionit ka pasur
interpretime të ndryshme të karakterit filozofik , psikologjik, nga të cilët kuptohet se
këto principe nuk janë aq të padiskutueshëm sa duken apo sa paraqiten në ambiente
matematicienësh. Thuajse në të njëjtën mënyrë vazhdojnë interpretimet dhe debatet
160
Po aty f.163 161
Po aty 162
Po aty f.165 163
Po aty f.166
60
filozofike nga Bolzano, Meinong, Twardowski e Łukasiewicz të cilët do t‘i
trajtojmë më poshtë.
3.6 Bolzano: Propozicioni në vetvete e përfaqësimet pa objekte
Megjithëse nuk kam si qëllim që të trajtoj historinë e logjikës, gjithsesi
çështjet që kanë të bëjnë më objektet logjike dhe principet logjike janë trajtuar dhe
do të trajtohen, sepse diskutimi rreth tyre do të çojë në zbulimin e një logjike të re
dhe kjo përbën objektin e disertacionit. Shikojmë tani debatin filozofik mbi raportin
ndërmjet përfaqësimeve dhe formës së propozicioneve. Në këtë debat kontributi i
filozofit e logjicienit bohem Bernard Bolzano është mjaft i madh. Mendimi i këtij
logjicieni ka zënë vend në disa manuale të logjikës e të filozofisë dhe në studimet e
disa autorëve. ‗Rëndësinë‘, ‗thellësinë‘ e ‗precizonin‘ e këtij autori rreth
strukturave të inferencave logjike në debatin filozofik gjerman me një bazë kantine e
thekson dhe filozofi S. Poggi në librin I sistemi dell’esperienza 164
. Më gjerë e
trajton këtë çështje V Raspa. Le të shohim interpretimet e tij rreth Bolzanit. Çështja
kryesore që ka trajtuar janë propozicionet qe i konsideroi si objekte jo real. Për të
kuptuar propozicionin në vetvete duhet të kuptohen objektet. Objektet përbëhen nga
objektet real dhe jo real. Propozicionet në vetvete bëjnë pjesë tek objektet jo real.
Propozicioni në vetvete është domethënia logjike e propozicionit pavarësisht se është
i vërtetë apo fals, i shprehur apo i pashprehur me fjalë, menduar apo jo nga ndonjë.
Propozicionet në vetvete nuk kanë asnjë ekzistencë reale: e marrin kur njihen e
mendohen, bëhen të vërteta në kuptimin subjektiv. Propozicioni në vetvete, për të
cilin flet Bolzano, është dimensioni logjik objektiv i eksperiencës, për sa ka një vlerë
të pavarur nga kushtet subjektive të njohjes. Gjithashtu V. Raspa në librin In
contradizione. Duke iu referuar Bolzanit shprehet: ―E pa mendueshmja nuk
përputhet me kontradiktoren, sepse e para është një fakt subjektiv, në kuptimin se
diçka është e pa mendueshme, për sa nuk ka përfaqësime; ndërsa e dyta,
kontradiktorja, është tamam e vetë përfaqësimeve, të cilat jo pse janë kontradiktore
janë të pa mendueshme, por pikërisht për faktin se për ta flitet, në një farë mënyre
mendohen‖165
. Kështu pranon si objekt mendor dhe një objekt kontradiktor për të
cilin flitet. Rreth objekteve kontradiktor nuk flitet rastësisht për faktin se pranimi i
tyre hedh poshtë universalitetin e principit të mos-kontradiksionit dhe i hap rrugë
164
Poggi, S. (1977) I sistemi dell’esperienza, Il mulino, Bologna f.211 165
Raspa, V. ( 1999) In-contraddizione, Parnaso, Trieste, f.196
61
konceptimit të një tjetër logjike të ndryshme nga ajo klasikja. Gjithashtu diskutimi
mbi objektet logjike është i pandashëm nga diskutimi mbi logjikën. Meqenëse njohja
shprehet në fjali, është e nevojshme që të njihet logjika, që ka si detyrë që të gjejë
veti e relacione ekzistuese ndërmjet objekteve logjike (përfaqësime, propozicione e
veti) në vetvete166
. Logjika në fakt trajton vetëm formën, jo përmbajtjen e
propozicioneve. Për Bolzano shumë propozicione mund të shprehen me formë të
njëjtë. Por të thuash se logjika është formale, nuk d.m.th se ajo do të abstragojë
tërësisht nga ndryshimet që ekzistojnë ndërmjet objekteve; përkundrazi ajo do të
duhej të reflektonte mbi të gjithë ndryshimet që ekzistojnë ndërmjet objekteve të
mundur të mendimit, sepse kjo gjë është e nevojshme me qëllim që të prodhohen
rregulla që shërbejnë për reflektimin mbi ta167
. Struktura e propozicionit është
formale, për sa demonstron lidhjen ndërmjet reprezentacioneve (përfaqësimeve) të
cilat, të lidhur në atë mënyrë të caktuar, i japin origjinë një propozicioni të caktuar168
.
Këtu thekson mënyrën e lidhjes së përfaqësimeve që bëjnë të mundur një
propozicion të caktuar. D.m.th përfaqësimeve të klasave të caktuara të objekteve
lidhen në mënyra të ndryshme. Në një farë mënyre forma më e thjeshtë e këtyre
lidhjeve do të shprehej: Shpendët janë fluturues ose Shpendët nuk janë gjitar.
Struktura formale e përfaqësimeve dallon nga mënyra në të cilin objekti
mendohet ose shprehet gjuhësisht; në fakt, në të shërbejnë përfaqësime shtesë të
cilët, meqenëse nuk duken direkt nga konsiderimi i materialit ose e imazhit psikik,
lihen në harresë nga logjicienë të tjerë169
. Sipas Bolzanit, imazhit psikik i
korrespondon shprehja konkrete gjuhësore me fjali, por kjo nuk d.m.th se imazhet
psikike shprehen deri në detajet me të vogla me akte gjuhësore. Janë real jo vetëm
objektet konkret, por dhe shprehjet gjuhësore, të kuptuar si entitete hapësinore
kohore të prodhuar nga organet vokale apo të shprehur nëpërmjet shenjave të
shkruara170
. Bolzano konteston faktin se përmbajtjet e objekteve logjike ekzistojnë
ose në sferën e mendimit, si fenomene të pranishme në mendjen e subjektit njohës,
ose në atë të jashtëm të realitetit, si objekte konkrete171
. Mungesa e dallimit ndërmjet
përfaqësimeve, propozicioneve e të vërtetave në vetvete nga përfaqësimet,
propozicionet e të vërtetave të menduara është në origjinë të pjesës më të madhe të
166
Po aty f. 197 167
Po aty f. 198 168
Po aty f. 199 169
Po aty f. 199 170
Po aty f. 200 171
Po aty
62
gabimeve e të keqkuptimeve të pranishëm në logjikë – thotë Bolzano172
. Për
Bolzanin, të vërtetat në vetvete gëzojnë një status të veçantë në krahasim me të
vërtetat që mendohen. Sipas tij objektet logjike janë propozicione në vetvete e
përfaqësime në vetvete. Dhe e vërteta në vetvete është nënklasë e propozicioneve në
vetvete dhe objektet logjike janë të pavarur nga çdo tip fenomeni psikik apo shprehje
gjuhësore. Propozicioni në vetvete, ndryshe nga propozicioni i menduar apo i
shprehur, nuk jepet në asnjë kohë dhe vend dhe ekziston pavarësisht nga fakti që të
jetë i shprehur ose jo gjuhësisht apo të jetë i menduar apo jo nga ndonjë
ndërgjegje173
. Në një farë mënyre këto propozicione mund të zbulohen nga ndonjë
subjekt njohës, por ekzistenca e tyre nuk varet nga ky subjekt njohës. Çdo
propozicion në vetvete ka një strukturë formale e përbëhet nga tre pjesë bazë që u
korrespondojnë po tre përfaqësimeve në vetvete: përfaqësimit të subjektit, që përbën
objektin të cilin trajton fjalia, të predikatit, apo të vetisë që fjalia i atribuon këtij
objekti, dhe koncepti me pas, që zhvillon funksionin e këpujës.
Çdo propozicion në vetvete ka formën
A ka B o A nuk ka B
Përfaqësimi në vetvete nuk ka nevojë për një subjekt që ta mendojë, as për
shenja e fjalë në të cilat të konkretizohet; ai s‘është real, megjithëse është diçka dhe
kur askush nuk e mendon174
. Për Bolzano, përfaqësimet në vetvete janë të pavarura
dhe kanë objektivitet. Gjithashtu çdo fenomen psikik dhe shprehje gjuhësore është në
korrelacion me një objekt logjik, d.m.th me një propozicion në vetvete apo
përfaqësim në vetvete175
. Propozicioni në vetvete është përmbajtja në kuptimin që
është materia e gjykimit dhe domethënia e shprehjes gjuhësore; ndërsa përfaqësimi
në vetvete është materia e përfaqësimit subjektiv e domethënia e shenjës
gjuhësore176
. Një relacion i tillë nuk është biunivok sepse jo çdo objekt logjik është
prezent në shpirtin e një qenie që mendon, apo arrin në një shprehje gjuhësore; si për
faktin se i njëjti objekt logjik mund të mendohet nga disa njerëz apo të shprehet nga
disa shenja gjuhësore, në kuptimin se disa përfaqësimeve apo gjykimeve mund t‘u
172
Po aty f. 201 173
Po aty f. 203 174
Po aty f. 205 175
Po aty 176
Po aty f. 206
63
korrespondojë një përfaqësim a propozicione në vetvete, të cilat qëndrojnë të vetme e
të njëjta dhe nuk shumohen; më në fund , sepse e njëjta shprehje u referohet më
shumë objekteve logjike , siç ndodh me homoniminë177
. Ky rast i fundit nuk
verifikohet për fenomenet psikike: një përfaqësim subjektiv nuk mund të përmbaje
disa përfaqësime në vetvete, as një gjykim disa propozicione në vetvete.
Për Bolzano, përfaqësimet pa objekt janë gjithmonë përfaqësime të përbëra.
Ashtu si propozicionet konstituohen nga raprezentacione , po kështu shumë prej
këtyre janë të ndërtuara nga përfaqësime të tjera178
. Ai ndanë përfaqësimet në
vetvete, sipas formës, në të thjeshta dhe të përbëra. Shembuj të parash, d.m.th të
përfaqësimeve që nuk përbëhen nga pjesë, janë përfaqësimet e treguara nga fjalët
―jo‖, ―diçka‖, ―me pas‖, ―me qenë‖; shembuj te të dytave janë përfaqësimet e
treguara ―asgjë‖ e përbërë nga përfaqësimet e treguara nga fjalët ―jo diçka‖, ose
―trekëndësh barabrinjës‖, i përbërë nga përfaqësimet ―trekëndësh‖, ―brinjë‖,
―barabartë‖, etj. Meqenëse përmbajtja e një përfaqësimi jepet nga shuma e
përfaqësimeve që e përbëjnë, është e qartë se të gjitha përfaqësimet kanë një
përmbajtje, ndërsa vetëm ato të përbërat kanë një formë: përfaqësimi i thjeshtë i
pjesëve të një objekti nuk është gjë tjetër veçse përfaqësimi i materies së tij, ndërsa
përfaqësimi i formës është ajo që përshkruan mënyrën me të cilën pjesët janë të
lidhura; kjo d.m.th. se vetëm objekteve të përbërë mund t‘ju atribuohet një formë e se
në riprodhim është, e nevojshme përdorimi i përfaqësimeve ndihmëse (atë të
―diçkaje‖, ―me qenë‖, ―me pas‖) që nuk rezultojnë në mënyrë imediate nga
konsiderimi i materies apo imazhit psikik179
.
Raspa nxjerr në pah paralelizmin që ekziston ndërmjet objekteve të logjikës
dhe të matematikës me të cilat Bolzano ishte i familjarizuar. Bolzano ka zhvilluar
konceptet e përfaqësimit dhe të propozicionit në vetvete nëpërmjet kërkimit të
bazave të të matematikës; ku është pikërisht në matematikë dhe në gjeometri që
shfaqen përfaqësime pa objekte. Shembujt e marrë nga Bolzano janë √ ose
rrënja racionale e ekuacionit x2
– 2 = 0 që nuk i korrespondon asnjë numër apo
madhësi (n.q.s kufizohemi tek numrat real), ose, përsëri përfaqësimi ―një trup që
kufizohet nga n faqe anësore të barabarta‖, kur në vend të n zëvendësojmë, në vend
177
Po aty 178
Po aty f. 207 179
Po aty f. 207
64
të numrave 4,6,8,12,20 – që bëjnë përfaqësimin me objekt – numrat 2, 3, 5,7,9,10,
etj., që e bëjnë pa objekt180
.
Ky autor zë një vend të rëndësishëm dhe në librin Historia e logjikes të
autorëve M. e W Kneale. Bolzano, sipas këtyre autorëve, në librin
Wiskuptimchaftslehre (Doktrinën e shkencës) kërkonte të ndante logjikën nga
psikologjia dhe retorika dhe insistonte që mundësia mos të ngatërrohej me të
menduarit 181
. Në këtë libër një shkencë, në kuptimin objektiv te termit , është një
shumë e të vërtetave objektive182
. Bolzano u rikthehet mendimit të antikëve e të
modernëve sipas të cilëve qenia dhe e vërteta mund të identifikohen 183
. Ai u
referohet përmbajtjeve prepozicionale184
.
3.7 Diskutimi filozofik mbi të pamundurën. Ontologjia e mos-
ekzistencës.
Një autor bashkëkohor që ka trajtuar çështje të raportit të logjikes me
ekzistencën është Francesco Berto. Ky autor në librin L’esistenz non è logica i
rikthehet Principit të Parmeneidit (PP) sipas të cilit nuk është e mundur ti referohesh
diçkaje që nuk ekziston. Berto thekson se këtij principi i janë bërë shumë objeksione.
Si më të rëndësishëm thekson faktin se, për të thënë se diçka është e pamundur duhet
që të mendojmë atë gjë. Kështu dhe në terma gjuhësor në një farë mënyre i
referohet gjërave që nuk eksitojnë për të thënë se ato nuk ekzistojnë. Gjithashtu ky
autor shpreh paradoksin e jo qenies: ― N.q.s diçka që nuk ekziston i referohet diçkaje
në (PP), atëherë është të (PP) që arrin t‘i referohet diçkaje që nuk ekziston, për
rrjedhojë ajo që deklaron është fals. N.q.s diçka që nuk ekziston nuk i referohet
asgjësë, atëherë, atëherë (PP) nuk ka kuptim të mbyllur. Siç shihet paradoksi i jo
qenies, ose i ekzistencialëve negativ, është një armë me dy tehe: duket që ‗x nuk
ekziston‘ nuk mund të jetë kurrë e vërtetë, kështu që gjithçka ekziston‖185
. Francesco
Berto, duke u mbështetur tek autorë si Fitting e Mendelson, arrin në përfundimin se
dhe duke u mohuar ekzistencën, gjithsesi u referohemi gjërave. Përfundimisht mund
180
Po aty f. 209 181
Kneale, W. e Kneale, M. (1962) The devolpment of Logik. Clarndon Press, Oxford. tr. it. Storia
della logica, Enaudi, Torino 1972, f.401 182
Po aty f. 410 183
Po aty 184
Po aty f. 412 185
Berto, F. (2010) L’esistenza non è logica Laterza, Roma-Bari f. 52
65
të flitet për gjërat që nuk ekzistojnë. Sipas F. Berto (PP) është self-refuting186
. Ai
duke iu referuar Kit Fine shprehet se në kohët e fundit kanë qenë dy tradita mendimi
që kanë përafruar një ontologji të mos-ekzistencës: ajo meinonghiane dhe ajo
modale. E para u pat gjetur një shtëpi objekteve të saj në intensionalitetin - në
mendime, besime, ëndrra; tjetra ka gjetur një shtëpi objekteve në të mundurën – në
mundësitë e parealizuara o botë të mundura187
.
Njeriu nuk mjaftohet në konceptimin e botës ashtu si është bërë por ka
aftësinë të imagjinojë situata. Këto situata sipas Francesco Berto mund të jenë në të
njëjtën formë me realen, ose jo: mund të jenë përfaqësime të stadeve të gjërave, pak a
shumë komplekse ose të artikuluar, të ndryshme nga bota aktuale.188
Sipas Francesco Berto, në bazë të meinonghianizmit modal qëndron bindja se
e pamundura është e konceptuar, ose më mirë se konceptimi nuk sjell mundësinë189
.
D.m.th aftësia jonë për të menduar është mundësi dhe për të kontradiktuar. Francesco
Berto mendon se aparati i botëve të mundura mund të shtrihet dhe më gjerë. Sipas tij
çdo mënyrë konceptimi, imagjinimi realizohet në ndonjë botë të mundur190
.
Tentojmë që t‘u referohemi objekteve duke përdorur disa karakteristika që nuk i kanë
më. P.sh. Platoni shpatullgjeri. Sot, thekson Francesco Berto, një ish president i
ShBA, megjithëse ka mbaruar mandatin e tij, thirret akoma president, të thuash për të
president është fals191
. E pamundura mund të konceptohet dhe të përfaqësohet,
përfshi dhe situatat që shkelin apo tejkalojnë ligjet logjike metafizike apo
matematike192
. Sipas Francesco Berto, për shumë objekte meinongiane themi që nuk
ekzistojnë por mund të kishin ekzistuar. ―Ka objekte konkrete si unë, e konkret në të
shkuarën si G. Washington. Ashtu si e kundërta e ‗jo-ekzistueses‘ është ‗ekzistuesja‘,
kështu e kundërta e ‗konkretes‘ është abstraktja; do të rridhte se ka objekte
‗kontingjentisht abstrakt‘, abstrakt në disa botë të mundura konkret në të tjera; ose
‗objekte aktualisht abstrakt‘, abstrakt sot por konkret në të shkuarën‖193
.
Në lidhje me objektet e mendimit F. Berto merr një shembull të thjeshtë: ―Do
të ishte e natyrshme që loja e pokerit (jo ndeshjet e luajtura kuptohet) të jetë abstrakte
- mbi të gjitha nuk është një objekt fizik që ka masë, etj. Por loja e pokerit është
186
Po aty 187
Po aty f. 145 188
Po aty f. 173 189
Po aty f. 174 190
Po aty f. 174 191
Po aty f. 178 192
Po aty f. 192 193
Po aty f. 233
66
zbuluar nga njerëzit dhe në këtë kuptim varet nga mendja e tyre; gjithashtu është
zbuluar në vend e në kohë të caktuar. Objekte të tjerë tipik abstrakt janë bashkësitë,
por ka filozofë si D. Lewis, sipas të cilëve të paktën disa bashkësi kanë një
vendndodhje precize hapësinore kohore: gjenden në mënyrë ekzakte aty ku ndodhen
anëtarët e saj, n.q.s janë konkret‖194
. Për sa i përket dallimit të objekteve konkrete
dhe abstrakte F. Berti paraqet katër rrugët e David Lew.
a) Rruga e shembullit: objektet konkrete janë gjëra si tavolina, gomari e
njeriu e ato abstrakte janë numra funksione e veti195
Sipas F. Berto meinongianizmi univok i tipit Routley-Priest, ku të ekzistosh
do të thotë të kesh veti shkakësore: në botën tonë ekzistojnë vetëm disa objekte
konkrete – ato me të cilët mund të bashkëveprojmë në mënyrë shkakore, e më mirë
me thënë me të cilët mund të bashkëveprojmë tani, në këtë kohë. Gjithçka tjetër –
objekte të fantazuar, objekte të shkuar dhe të ardhur, objekte abstrakte të çdo lloj –
nuk ekzistojnë196
. Kjo për F. Berti përbën një metafizikë të thjeshtë. Ai i konsideron
si opsione interesante dhe premton një përballim me çështje të tilla në të ardhmen.
F. Berto na sjell problemin e seleksionimit të zbuluar nga Mark Sainsbury.
N.q.s objektet janë ato që janë, e kanë karakteristikat që kanë, pavarësisht nga ne,
atëherë t‘u referohesh atyre d.m.th. ti gjesh ato në dominion e dhënë: dallimin në
tërësinë e objekteve me anë të mendimit tonë dhe me karakteristikat dhe përshkrimet
e duhura, për t‘ju referuar atyre, e për të thënë gjëra, mundësisht, të vërteta. Si është e
mundur të seleksionohen në këtë mënyrë objekte pa vendndodhje hapësinore-kohore,
e me të cilët nuk mund të bashkëveprojmë shkakësisht? Ky është problemi i
seleksionimit197
. F. Berti thekson se problemi i seleksionimit, shtrohet për disa
objekte jo-ekzistues, por jo për të gjithë. Nuk shtrohet për ekzistuesit e shkuar. Duke
iu referuar Fitting e Mendelson F. Berti përmend G. Washington. Ai sot nuk
ekziston, por sot nuk kemi vështirësi që ti referohemi atij198
. Sipas studiuesit italian
F. Berti, objektet jo ekzistuese mund ti mendojmë dhe t‘i përshkruajmë.
194
Po aty f. 233 195
Po aty f. 235 196
Po aty f. 243 197
Po aty f. 244 198
Po aty f. 248
67
3.8 Të mendosh objekte që nuk janë.
Ndërsa filozofi austriak Zimmermann mendonte se objektiviteti dhe uniteti i
njohjes duhet të kërkohet në natyrën e asaj që do të mendohet dhe përfaqësim, në
kuptimin logjik, është materia objektive e mendimit për shumë subjekte, Twardowski
trajton përfaqësimet dhe gjykimet nisur nga një këndvështrim psikologjik. Sipas
këtij të fundit përfaqësimet e gjykimet janë dy klasa të ndryshme fenomenesh
psikike. Për shkak të tipit të ndryshëm të referimit ndaj objektit, ekzistenca e
gjykimit konsiston në pohimin e mohimin dhe të pohosh një objekt A d.m.th të
pohosh ekzistencën e A – së dhe të përbërësve të tij, ndërsa në mohim mohohet
objekti A por, jo ekzistenca e pjesëve përbërëse të tij199
. Twardowski kishte marrë
këtë shembull: Tek fjalia Objekti që kam përpara është libër pohohet ekzistenca e
objektit dhe e fletëve si përbërës. Ndërsa tek mohimi Objekti që kam përpara nuk
është libër, fare mirë mund të jetë bashkësia e fletëve të librit që u mungon vetëm
lidhja. Meqenëse të pohosh ose të mohosh d.m.th të pohosh ose jo ekzistencën e
objektit mbi të cilin bie gjykimi, përmbajtja e gjykimit nuk mundet të mos konsistojë
në ekzistencën e objektit për të cilin bëhet fjalë. Ai që gjykohet është vetë objekti.
Për Twardowski përmbajtja ekziston dhe në rastin kur objekti nuk ekziston. Në një
gjykim negativ të vërtetë të mohosh një objekt implikon që ai të përfaqësohet dhe
është ky një fakt psikik. Mohimi: Mali i artë nuk ekziston zgjon një fakt psikik. Ky
fakt ndodh si rrjedhojë e aftësisë se mendjes për të krahasuar. Ndërsa përfaqësimi
është gjithmonë real objekti herë po herë jo. Sipas Twardowskit njeriu ka aftësi të
mendojë, d.m.th të krijojë në mendje, objekte që nuk janë real.
Kemi trajtuar kështu problematikën e objekteve logjike, të përfaqësimeve me
dhe pa objekt, d.m.th të objekteve të pamundur. Në rrethanat kur pranohen
përfaqësimet e hiçit, asgjësë dhe të objekteve kontradiktore nuk mund të mos vihen
në dyshim dhe principet logjike konsideruar si evident gjatë gjithë historisë së
logjikës klasike. Ky është terreni i kërkimit në të cilin vepron një tjetër autor si A.
Meinong me të cilin Łukasiewicz, ideatori dhe themeluesi i logjikës polivalente e që
do të trajtohet gjerësisht në vijim, pat dhe një kontakt direkt në Graz ndërmjet viteve
1908 e 1909 në një seminar filozofik të mbajtur nga vetë Meinong. Do të jetë
pikërisht nën influencën e A Meinong që Łukasiewicz do t‘i dedikojë një analizë
199
Raspa, V. ( 1999) In-contraddizione, Parnaso, Trieste, f.231.
68
bazave e limiteve të vlefshmërisë së principeve logjike. Të shohim paraprakisht, ku
konsiston teoria e Meinong.
3.9 Teori a e Meinong mbi objektet e mundur dhe ndikimi i
saj.
Sipas Meinong e çdo akt psikik dhe një ka objekt. Ai pohon se ―gjithçka është
objekt‖, jo vetëm gjërat reale, të dhënat jashtëgjuhësore të shprehjeve gjuhësore, por
dhe domethëniet e shprehjeve gjuhësore pavarësisht nga fakti se kanë apo jo
referentë real të jashtëm200
. Ky fakt bën të nevojshëm themelimin nga ana e tij të një
shkence të përgjithshme, një disiplinë të re që konsideron objektet në përgjithësi,
teoria ose shkenca e objektit (Gegnstandstheorie). Sipas teorisë se objektit njohja i
aplikohet qenies dhe jo-qenies. Tërësia e objekteve që mund të njihen është me i
madh se objektet reale apo ato të eksperiencës.
Për Meinong objekti i eksperiencës nuk është gjithmonë i domosdoshëm.
Akti mendor dhe përmbajtja psikologjike mund të ekzistojnë dhe pa objektin e
eksperiencës. Objekti jo ekzistues, për Meinong, në një farë mënyre ekziston. Sipas
tij dhe objektet që në një farë mënyre ekzistojnë nuk mund të ekzistojnë vetëm si
përfaqësime mendore. Sipas tij, objekti është ai drejt të cilit akti mendor është
drejtuar. Objekte janë dhe ato ideale të matematikës si p.sh rrënja katrore. Sipas
Meinong numrat janë real por jo ekzistues. Objektet që në një farë mënyre ekzistojnë
i quan ―objekte ideal‖201
. Për objektet mund të ekzistojnë veti dhe se objektet nuk
ekzistojnë. Për sa i përket të vërtetës, për Meinong e vërteta zgjat vetëm sa zgjasin
subjektet njerëzor, por aktualiteti i të ashtuquajturit objektiv nuk varet, është e ndarë
nga e vërteta si gjykim. Për Meinong, modalitet kanë objektivitet dhe nuk janë veti
të mendjes. D.m.th kur flasim për modalitetin e mundësisë nuk do të thotë se
ekziston vetëm në mendjen tonë por ka një ekzistencë paraprake.
Objekti jepet paraprakisht d.m.th që është një objekt që mund të njihet. Këtë
e vë re në rastin e gjykimit të një objekti që nuk është. Kur thua se një objekt nuk
është je duke e pranuar paraprakisht për ta mohuar pastaj. ―Objekti është për natyrë
jashtë qenies megjithëse në çdo rast nga dy ‗objektivët‘ e qenies, të qenurit ose të
mos qenurit ekziston domosdoshmërisht‖202
. Teoria e objekteve të Meinong, si
200
Po aty f. 242 201
Meinong. A, (1904) Teoria dell’oggetto, tr. it. di E. Coccia, Quodlibet, Macerata 2003, f.24 202
Po aty f. 32
69
shkencë që ka shtrirje maksimale, merret me objekte që nuk kanë përfaqësim
psikologjik. Psikologjia merret me objekte që mund të jenë realisht përfaqësues203
.
Përfaqësimet janë fushë e psikologjisë e ―mendimi teorik‖ është fushë e teorisë së
objekteve. Objekti është një i dhënë i mundur i procesit njohës, ―objekti është
gjithmonë logjikisht paraprak‖204
. Kështu mundësia psikologjike për të mbërthyer
objektin është e mëvonshme. Për Meinong, mendimi drejtohet drejt objekteve
trashendental e të pavarur nga mendja. Ja si shprehet: ―Ekzistenca në përfaqësimet,
për të qenë të saktë, në fakt nuk është ekzistencë, atëherë për të evituar keqkuptime
do të jetë në avantazh që fiksojmë se ai pretendim i ekzistencës është e shumta
pseudo ekzistencë‖205
. Përfaqësimet nuk mund te karakterizohen nga një shkallë
objektiviteti. ―Përfaqësimet përderisa janë përfaqësime të objekteve të ndryshëm nuk
mund të jenë tërësisht të ngjashëm ndërmjet tyre‖206
. Sipas Meinong, përveç
objekteve realë që ―ekzistojnë‖, jepen dhe objektet idealë që ―susistojnë‖ por nuk
ekzistojnë. Këto të fundit përfshihen në fushën e qenies vetëm pjesërisht. Susistentë
janë objektet idealë si numrat, relacionet, konceptet etj. Janë jashtë qenies; objektet
që, as ekzistojnë e as ―susistojnë‖ (sqaruar më sipër) dhe ndahen në të mundur por të
privuar nga qenia dhe të pamundur (kontradiktorë). Duke pranuar teorinë e Meinong,
kufizohet dominimi i aplikimit të principit të mos-kontradiksionit vetëm në objektet
realë dhe të mundur duke përjashtuar në këtë rast objektet kontradiktorë për të cilët
nuk mund të aplikohet ky princip.
3.10 Mundësi, nevojshmeri e ‘objektiv’ sipas Meinong.
Mendimi meinongian ka gjetur një terren të përshtatshëm ne zhvillimet e
filozofisë. Siç u përmend, në Itali i referohen disa autorë. Një prej tyre është
Claudio Badano. Ky autor duke iu referuar filozofit të teorisë së objekteve, në një
libër të titulluar La possibilità e il senso: un itinerario intorno al tema della
possibilità shprehet se reflektimi modal rreth te mundurës shoqërohet, përgjithësisht,
me vetë zhvillimin e reflektimit filozofik207
. Gjithnjë në këtë libër trajton konceptin e
mundësisë dhe shprehet se ky koncept është i lidhur ngushtësisht me atë të
203
Po aty f. 34 204
Po aty f. 89. 205
Meinong, A. (1899) tr. it. nga Melandri, E (1979) Gli oggetti di ordine superiore in rapporto alla
percezione interna. Firenze, Faenza Editrice.f. 383 206
Po aty 207
Badano, C. (2008) La possibilità e il senso : un itinerario intorno al tema della possibilità
Armando, Roma f. 11
70
probabilitetit208
. Për një ngjarje, që është e mundur që të ndodhë, mund të themi se ka
probabilitet që të ndodhë.
Krahas mundësisë, çështja e aplikimit të principeve logjike ka zënë një vend
shumë të rëndësishëm në filozofinë e Meinong. Në trajtimin që ky filozof u ka bërë
principeve logjike, studiuesi Claudio Badano ka evidentuar një mënyrë tjetër për të
shprehur principin e të tretës së përjashtuar. Realiteti i gjërave konkrete i
nënshtrohet alternativës disnjuktive ndërmjet të qenurit o të mos qenurit në gërshërën
e të cilës nuk ka vend për vlera të ndërmjetme209
. Sipas kësaj mënyre konceptimi,
gjërat konkrete o janë o nuk janë nuk ka rrugë të mesme. Meinong konsideronte
objektet si të qëndrueshëm dhe fragmenti i mëposhtëm e tregon këtë: ―Një stad
gjërash që ekzistojnë në një farë mënyre jo-kohore tashme autonome nga rrethanat
hapësinore-kohore që e kanë përcaktuar; këtë prezence të hyjnizuar, që është mënyra
e të qenurit trans-kohor te të ashtuquajturit objektiv, Meinong e konsideron të
qëndrueshme‖210
. Sipas tij e vërteta e të ashtuquajturit objektiv është e paprekshme
nga rrethanat kohore. Një stad gjërash dhe se është bërë i mundur apo është arritur
nga rrethanat hapësinore kohore behët i pavarur prej tyre pasi realizohet. ―Dhe një
pohim i tillë: ‗sot ora ime nuk funksionon‘, një herë që të verifikohet vërtetësia,
mbetet i tillë. Se unë kam përpara një tavolinë është një fakt gjithmonë i vërtetë dhe
se në të shkuarën askush nuk e dinte e në të ardhmen do të harrohet‖211
. Këto janë
pohime që shprehin një të vërtetë faktike, kështu mbesin gjithmonë të vërteta. Nuk
përbën një risi kjo, sepse që në antikitet ishte bërë kjo ndarje ndërmjet ngjarjeve të
ndodhura dhe atyre që priten të ndodhin. Duket se dhe sipas Meinong, kur një ngjarje
ndodh objektivizohet.
Duke iu rikthyer modalitetit të mundësisë, kuptimi i shprehjes ‗me qene i
mundur‘ sipas Meinong, është ai i të referuarit jo ndaj të qenurit real të mundësisë,
por i referohet një mënyre të mundur të të qenurit212
. Sipas tij, ndodhitë fizike janë
prodhim i një procesi të përcaktuar domosdoshmërish, por dija jonë i ndërton në
mënyrë progresive213
.
Çdo proces është nevojshmerisht i përcaktuar, po të ishim në gjendje të
kuptonim në tërësi lidhjet shkakore, karakteri i tij i nevojshëm do të dukej evident:
208
Po aty f. 21 209
Po aty f. 21 210
Po aty f. 23 211
Po aty 212
Po aty f. 24 213
Po aty f. 34
71
domosdoshmëria është një e dhënë empirike214
. Teza se fenomenet e ngjarjet rrjedhin
domosdoshmërisht është e hershme. Po te njihnim shkaqet -thoshte La Plance - do të
kishim të qartë të gjitha pasojat e fenomeneve. Dhe Meinong shpreh një
determinizëm fizik, d.m.th të ngjarjeve e fenomeneve reale, të cilin mendja njerëzore
nuk e arrin në mënyrë të menjëhershme. Shkalla e mundësisë trajtohet ndryshe nga
Meinong, kur bëhet fjalë për objektet matematike. Kështu merren disa shembuj nga
gjeometria. Që ‗trekëndëshi dybrinjëshëm të ketë dy kënde të barabartë në bazë‘
është një super-mundësi konstitutive e trekëndëshit dybrinjëshëm. Që ‗trekëndëshi
dybrinjëshëm të jetë kënddrejtë‘ është një mundësi e shkallës inferiore në krahasim
me të paren215
. Pra çdo trekëndësh dybrinjëshëm domosdoshmerisht ka dy kënde të
barabartë ndërsa një kënd të drejtë mund ta ketë ose jo. Gjithashtu Meinong ka
përcaktuar ligjin e ―përputhjes së mundësive komplementare‖. Ky ligj kuptohet më
lehtë, n.q.s u referohemi mundësisë që kanë për të ndodhur ose për të mos ndodhur
ngjarjet apo fenomenet fizike. Natyrisht që mundësia që të ndodhë është
komplementare me mundësinë që të mos ndodhë. Ai tregon se çdo pike në linjën
rritëse i korrespondon një pikë në linjën ulëse që përfaqëson ―mundësinë e të
kundërtës‖, në mënyrë që në çdo pikë mund të hiqet një vertikale që lidh ―mundësitë
e kundërta‖ në shkallë të kundërt proporcionale: N.q.s mundësia që nesër të bjerë shi
është 70%, mundësia që të mos bjerë është 30%216
.
3.11 Jo çdo mundësi aktualizohet në ekzistencë
Claudio Badano thekson, se në planin ontologjik material Meinong në fazën e
fundit duket se përqafon pozicione deterministe por në planin gnoseologjik gjërat
paraqiten ndryshe217
. Në shqyrtimin e tij, Badano niset nga modalitetet subjektive të
gjykimit. Ja si shprehet: ―Dhe se janë rrugë indirekte të njohjes, modalitetet
subjektive të gjykimit përbëjnë një mjet euristik bazë të analizës‖218
. Claudio
Badano, duke u mbështetur tek Meinong, dallon disa shkallë të ndryshme epistemike
të njohjes së mundësisë: njohja racionale; njohja penetruese e mundësisë sipas
kriterit të mos kontradiksionit ndikuar nga ligjet natyrore dhe rregullsia e
214
Po aty f. 36 215
Po aty 216
Po aty f. 37 217
Po aty f. 53 218
Po aty
72
eksperiencës; të kuptuarit e mundësisë si sottofattualità219
. Nga njëra anë është një
intelekt dhe një intuitë që kanë të bëjnë me njohjen evidente – sipas karakterit
përkatës: të domosdoshme ose aksidentale – të mundësisë; nga ana tjetër ka një
gjykim subjektiv, që i korrespondon supozimit, që ka të bëjë me një stad gjërash të
mundura, mundësia e të cilave nuk është kuptuar në mënyrë evidente220
. Kemi një
ndarje ndërmjet njohjes intuitive evidente dhe supozimit. Nuk ka mjet tjetër për të
regjistruar progresin e mundësisë drejt aktualitetit përjashto transformimin gradual të
supozimit në qartësi221
. Fillimisht supozojmë për një ngjarje, fenomen, apo lidhje të
mundshme dhe gradualisht ky supozim kthehet në qartësi. Konceptimi leibnizian i të
ashtuquajturave primi possibilia është i pranishëm në këtë trajtim. Mundësitë e
kulluara abstrakte korresponduese të cilësive të kuptueshme dhe vetive gjeometrike
duken ‗thuajse individë‘ që ashtu si primi possibilia leibniziani, janë njësitë
elementare që përbëjnë bazën për ndërtimin e reales222
. Në procesin e njohjes,
paraprakisht shfaqen mundësitë abstrakte që i paraprinë njohjes së reales; d.m.th
objektet e njohjes nuk janë ekskluzivisht realë. Dhe në rastin e objektit të pamundur,
objekti merret në konsistencën analitike ekskluzive, pa marrë parasysh çdo implikim
ekzistencial, ‗fiksuar momentin‘ rrethanën se ai është i pamundur: në këtë mënyrë
merr statutin e ngjashëm me atë të çdo objekti tjetër223
. Meinong pranon ekzistencën,
natyrisht jo reale, të objekteve të pamundur gjithashtu i jep një status ekzistencial
mundësisë. Ja si shprehet për mundësinë. Për sa jepet por nuk ekziston mundësia i
përket asaj sfere të jo reales që ka një far qenie224
. Në një farë mënyre dhe mundësia
përfiton njëfarë statusi ontologjik. Mundësia është objektive, ndërsa probabiliteti
është një kategori subjektive 225
.
Nga Meinong, mundësia nuk reduktohet në mundësinë e të qenurit i
përfaqësuar apo i menduar. Sipas tij, të bësh koincidencë ndërmjet mundësisë dhe të
qenurit i përfaqësuar në mendje është si të bësh të varur ekzistencën nga mundësia e
perceptimit; mundësia ka një konsistencë të veten objektive e, në këtë kuptim, hyn në
universin e entiteteve objektive që janë të pavarur nga kufizimet e arritjes empirike: e
demonstrojnë, p.sh, ngjarjet e ndodhura, konsistenca objektive e të cilave mbetet e
219
Po aty 220
Po aty 221
Po aty f. 54 222
Po aty f. 70 223
Po aty f. 81 224
Po aty f. 83 225
Po aty f. 100
73
pandryshueshme me gjithë kufizimet e kapaciteteve tona të memories226
. Mundësia
nuk është vetëm kur përfaqësohet në mendje por hyn në fushën e entiteteve
objektive, që nuk varen nga kufizimet e arritjes empirike. Mundësia është e
qëndrueshme në vetvete ashtu si një ngjarje mbetet e pandryshueshme në vetvete,
megjithëse ne e harrojmë – shpjegohet në këtë libër.
Sipas Meinong mundësia nuk është e varur. Fakti se objekti është i
karakterizuar nga ―të qëndruarit e tij përballë‖ subjektit, shpreh vërtetë faktin se
objekti – dhe se nuk është i konstituuar – është domosdoshmërisht në relacion me atë
që e prezanton, por shpreh dhe natyrën autonome të objektit përballë akteve
perceptuese227
. Gjykimi racional është akti që mbërthen racionalitetin e
domosdoshmërisë të objektit që – në vetvete – është jo psikologjik228
. Sipas Meinong
mundësia është autonome dhe ekziston dhe kur nuk ka një akt psikik që ta
aktualizojnë në ndërgjegje, përfshi dhe rastin e një objekti të pa konstituuar apo
kontradiktor.
Evidenca psikologjike kërkon një bazë mbështetje. Çdo akt i joni ka një
korrelacion objektiv: ka një evidencë logjike që i përbën një bazë mbështetjeje
evidencës psikologjike duke theksuar se punën e tij teoretike e ka konsideruar si
detyrë speciale të kërkimit logjik229
. Akti psikik është i ndikuar nga një akt logjik.
Nuk mund të ketë kufizim vetëm në të dhënat empirike. Në këtë mënyrë hapet
horizonti i të mundurës për mos të qëndruar në atë të reales. Këtu duket qartë ndikimi
i filozofisë së Kantit.
Në këtë libër, kur bëhet fjalë për objektet e pamundur, nuk mungon dhe një
shembull nga gjeometria jo euklidiane, e cila pati një ndikim pozitiv në zbulimin e
logjikës polivalente. Dy paralele që priten përbëjnë një objekt të pa mundur ashtu si
ente të tjera të gjeometrisë jo euklidiane: si të tillë, ato ‗janë‘, dhe se nuk janë të
perceptueshëm230
. Në këtë plan ‗aprioria‘ na paraqitet në një profil të ndryshëm:
duke para figuruar ente e sisteme kundërintuive, ajo kalon fushën e realitetit, në të
cilin kufizimet empirike perceptuese na mbërthejnë231
. Dhe pse intuitivisht të
pamundur pranohen objekte nga sisteme kundërintuitive. Gjithnjë duke u bazuar tek
Meinong, Claudio Badano pohon mundësinë e predikimit pa subjekt e bën të
226
Po aty 227
Po aty 228
Po aty f. 101 229
Po aty 230
Po aty f. 104 231
Po aty
74
mundur mundësinë e konfigurimit të një stadi gjërash. Kur predikohet pa subjekt
konfigurohet një stad gjerash e formohet një objektiv që hyn në rolin e subjektit.
Mos-ekzistenca e subjektit, mbi të cilin bie predikati, nuk do të thotë se predikati
nuk formulohet. Ajo që ndodh në ketë rast është vetëm kalimi i subjektit në një
gjykim të shkallës së dytë: fakti duke mos u verifikuar bëhet element konfigurimi i
një stadi gjërash – një ‗objektiv‘ që hyn në rolin e subjektit që gjykohet232
.
Natyrisht që të kemi një gjykim, duhet të kemi një lidhje subjekt predikat, por në këtë
rast, që kemi një subjekt të munguar, kemi një stad gjërash që hyn në rolin e
subjektit dhe bën të mundur gjykimin. Interesi i vërtetë që motivon kërkimin mbi
mundësinë nuk është dhënë nga mundësia që është në brendësi të asaj që ekziston,
por nga ‗ekzistenca në një farë mënyre‘ e mundësisë që nuk kanë ekzistencë si bazë e
‗ekzistojnë në një farë mënyre‘ në stadin e mundësive puro233
. Kështu pranohet një
stad i mundësive të kulluara pavarësisht mundësisë në brendësi të asaj që ekziston.
Në këtë libër shprehet raporti i mundësisë me ekzistencën ku jo çdo mundësi
aktualizohet në ekzistencë gjithashtu shprehet pamundësia për të qene në raport me
mundësinë për të qenë. Jo çdo mundësi për të qenë është mundësi e ekzistencës;
përtej ekzistencës ka mundësi të tjera të ekzistencës ashtu si ekzistojnë pamundësitë
për të qenë234
. Objekti i pamundur nuk ka mundësinë logjike të ekzistencës, por
është gjithsesi i përcaktuar: mund të jetë kështu e pamundura235
. Në këtë mënyrë
pranohen objektet e pamundur dhe kanë një stad ekzistence pavarësisht
përfaqësimit apo jo në një stad imagjinar mendor.
Gjithnjë duke u bazuar tek Meinong, Badano shprehet: Objektet nuk jemi ne që i
krijojmë: ne i gjejmë në sasinë e pafund të jashtë-qenies236
. Përveç prodhimeve e
fenomeneve të natyrës, tek i njëjti libër trajtohen dhe prodhimet me duar të
njerëzve. Në rastin e prodhimeve njerëzore mundësia lind me idenë: ekzistenca e një
lloj makine procedohet nga ekzistenca e idesë së saj 237
. Ky lloj konceptimi i ngjason
konceptimit platonik, sipas të cilit para se një marangoz të realizojë një objekt të
caktuar, ai ka idenë e objektit që do të realizojë238
. Nga sa u tha kuptohet se principi i
të tretës së përjashtuar nuk vlen njëlloj si për objektet real e jo real. Ja si shprehet
232
Po aty f. 115 233
Po aty f. 121 234
Po aty 235
Po aty 236
Po aty f. 122 237
Po aty 238
Cambiano, G. e Mori, M. (1998) Storia e antologia della filosofia,Laterza, Bari, f.174
75
autori që po trajtohet. ―Duke u përjashtuar nga principi i të tretës së përjashtuar
objektet jo komplete kanë një përcaktim të mundësisë që është i dyfishtë (trekëndëshi
mund të jetë e mund të mos jetë dybrinjëshëm)‖239
. Me gjithë reflektimin e thellë
mbi objektet, Meinong është kritikuar nga pasardhësit e tij e kryesisht nga Quin, i cili
shprehej se universi i mbipopulluar nuk është i këndshëm.240
3.12 Objekte apo pseudo-objekte?
Nuk është e lehtë ndarja ndërmjet aktit psikik e objekteve që u referohet ky
akt, sidomos kur bëhet fjalë për objekte që tejkalojnë sferën e realitetit. Dhe kjo
çështje është trajtuar nga Badano Claudio. Ja si shprehet ai: ―korrelacioni ndërmjet
tipit të aktit e tipit të objektit është çelësi bazë i procedimit meinongian: analiza
ontologjike e objektit nuk mund të ndahet nga aspekti psikologjik relativ me
prodhimin e tij‖241
. Sido që të pranohet ekzistenca e këtyre objekteve, ato për të
cilët flasim prodhohen nga një ndërgjegje e caktuar me një akt psikik. Por kjo nuk
vlen për objektet logjik që po trajtohen, por vlen për çdo objekt fizik. Kështu një
farë skepticizmi është gjithmonë i pranishëm në diskutimin rreth objekteve të cilitdo
tip qofshin ato. Në arritjet e Meinong në këtë fushë një kontribut të madh ka pasur
vepra e Bolzan-it e Brentan-it. Formulimi i propozicionit në vetvete, nga Bolzano,
pati një ndikim të madh në diskutimin mbi objektet logjike. Një propozicion ‗në
vetvete‘ e identifikon përmbajtja logjike, jashtë çdo rrethane hapësinore kohore -
përfshi dhe atë të të qenurit i menduar apo i shprehur – vlera e vërtetësisë së saj varet
nga referimi me objekt i subjektit të propozicionit. Fraza: ―Katrori rrethor është
rrethor‖ është fals sepse subjekti është përfaqësim pa objekt242
.
Në ndryshim nga autorët e lartpërmendur, do të jetë psikologjizmi i
Twardowski, që do të bëjë të ligjshëm çdo fenomen psikologjik dhe përfaqësimin e
―katrorit rrethor‖ e legjitimon ndërsa objekti i saj është një objekt jo i vërtetë243
.
―Katrori rrethor‖ është një ekzistencë vetëm si fenomen psikologjik244
. Megjithëse
239
Badano, C. (2008) La possibilità e il senso : un itinerario intorno al tema della possibilità
Armando, Roma f.122 240
Berto, F. (2010) L’esistenza non è logica Laterza, Roma-Bari f. 136 241
Badano, C. (2008) La possibilità e il senso : un itinerario intorno al tema della possibilità
Armando, Roma f.135 242
Po aty f. 136 243
Po aty 244
Po aty
76
nuk pranohet ekzistenca si objekte reale, pranohet çdo objekt dhe kontradiktor i
krijuar nga një akt apo fenomen psikik.
Për Meinong objekti është dhënë para se dikush ta mendojë; të qenurit e tij i
dhënë është kushti paraprak i të qenurit i menduar. Por ka objekte të ndryshme dhe
mënyra të ndryshme të të varurit nga mendimi. Një objekt fizik i jashtëm dëshmon
pavarësinë me ekzistencën e tij materiale. Një objekt ideal ka një ekzistencë
autonome, por për të qenë i konfiguruar, duhet një akt subjektiv të mendimit, i cili të
çon në ekzistencën e subjektit që mendon. E njëjta gjë vlen për objektet e pamundur,
pa ekzistencë, të cilët kanë ekzistencë analitike: dhe ato janë të dhënë e për të qenë të
konfiguruar kërkojnë një akt subjektiv presupozimi. Çdo gjë që presupozohet – dhe
irracionalja – përmban gjithsesi një të dhënë që paraprinë të imagjinuarit e saj245
.
Sipas Meinong, objektet nuk mund të jenë vetëm përfaqësime mendore.
Teoria e Meinong, është kritikuar nga shumë logjicien përfshi dhe Bertrand
Russell, i cili shprehet se Meinong-ut i mungon kuptimi i realitetit që duhet pasur
dhe në studimet abstrakte. Për Russell, logjika, dhe se në terma abstrakt, bën fjalë për
botën reale si zoologjia.―Male te arta‘, ―katrorët rrethor‖ për Russell janë pseudo
objekte. Teoria e objektit është shumë e gjerë, sepse nën profilin e njohjes mund të
konsiderohen edhe objektet e mundur. Objektet, që mund të njihen, janë të dhëna në
atë mënyrë që kalojnë sferën e qenies dhe të jo qenies. Për objektet, që ka mundësi
njohje, thuhet se janë dhënë pavarësisht se janë apo nuk janë. Me njohjen e mundur
ose me njohjen që mund të njihet, metafizika zgjeron sferën e saj.
Gjithë ky diskutim i komplikuar filozofik është pasojë e mënyrës se
komplikuar të përfaqësimit të objekteve në mendje, aktivitetit kompleks mendor,
faktorëve të shumtë që ndikojnë në këtë aktivitet, përfshi dhe ato gjenetik; aktivitet i
cili komplikohet akoma më shumë kur bëhen kombinime e krijime të objekteve
mendore. Kur bëhet fjalë për përfaqësimin mendor të një objekti fizik çështja është
paksa me e thjeshtë, se të njëjtit objekt i referohen disa subjekte. Filozofia kërkon
objekte në vetvete sepse natyrisht nuk mjaftohet me objektet reale apo me objektet
mendore të një subjekti të vetëm. Kemi në një farë mënyre një relacion të disa
subjekteve qe pasqyrojnë, përfaqësojnë e mendojnë një apo disa objekte të caktuar.
Në këtë rast njëjtësisë së objektit i korrespondon një ngjashmëri e subjekteve që
perceptojnë, pasqyrojnë, mendojnë e imagjinojnë; ngjashmëri kjo gjithnjë e
diskutueshme nga filozofët, se nuk është e thënë që të gjithë njerëzit të perceptojnë 245
Po aty f. 137
77
njëlloj të njëjtin objekt. Askush nuk mund të dijë me saktësi se çfarë ka tjetri në
mendje, megjithëse duke pasur të njëjtin objekt përballë e duke reflektuar mbi
perceptimin tënd mendja të shkon se dhe tjetri po percepton si unë. Gjithë kjo është
shumë e larmishme sepse dhe tek i njëjti individ perceptimi i një objekti ndryshon në
kohë të ndryshme dhe duke e konsideruar objektin të pandryshueshëm. Çdo
perceptim është i shoqëruar me ndikime të tjera që kanë vazhdimisht të bëjnë me
interesin që ngjall një objekt i caktuar dhe me sferën emocionale të subjektit
perceptues. Kjo aftësi ka një bazë gjenetike që për shumë aspekte njeriu e ndan dhe
me botën e kafshëve.
Interpretimet e autorëve të ndryshëm rreth objekteve logjike e mbi të gjitha
mbi principet logjike krijon terrenin e përshtatshëm për zbulimin e logjikës
polivalente dhe drejtimeve të tjera të zhvillimit të logjikës. Për këtë arsye, dhe për
shkak të kontributit të rëndësishëm në fushën e filozofisë, të logjikës dhe më gjerë,
janë trajtuar autorët e mësipërm të cilët siç u vu re kanë shtjelluar principet dhe
objektet logjike. Një kontribut vendimtar në drejtim të zhvillimeve të mëtejshme të
logjikës, kryesisht të logjikës polivalente, por dhe në zhvillimet e logjikës dhe të
matematikës në përgjithësi, kanë dhënë përfaqësuesit e i Shkollës Polake të Logjikës.
4. Sfondi shkencor e filozofik në të cilin u zbulua logjika
polivalente
4.1 Shkolla Logjike e Varshavës
Aktiviteti shkencor e filozofik në Poloni është shumë më i hershëm se periudha
që po trajtojmë, d.m.th fillimet e sh. XX, dhe shumë më e gjerë se fusha e logjikës,
që përbën objektin e interesit të këtij disertacioni. Rreth këtij aktiviteti në përgjithësi
dhe aktivitetit të Shkollës Logjike të Varshavës në veçanti ka një seri botimesh të
autorëve polakë dhe më gjerë. Një informacion i përgjithshëm gjendet në Hyrjen
historike të Czesław Lejewski ―Mbi Shkollën Logjike të Varshavës‖ të librit La
Silogjistika di Aristotele.246
246
Łukasiewicz, J. (1957) Aristotle’s Syllogistic from dhe standpoint of modern formal logic, Oxford,
tr.it. La Silogjistika di Aristotele, Brescia, Morcelliana, f. 25-41
78
Themelues e drejtues i kësaj shkolle ishte filozofi dhe logjicieni i shquar polak
Jan Łukasiewicz 247
. Në Shkollën Logjike të Varshavës nuk pati kërkim vetëm në
logjikë. Kërkimi në këtë fushë ishte i integruar me interpretime filozofike të
larmishme e kërkime në fusha të tjera, kryesisht të matematikës. Studimet e fushës
së matematikes dhe të filozofisë në Poloni ishin të tilla saqë kishte kurs studimi të
ciklit universitar të përbashkët në matematikë dhe në filozofi, kështu logjika, si fushë
studimi e ndërmjetme e këtyre disiplinave, mori një zhvillim të madh. Konkretisht
Łukasiewicz nuk u gjend i vetmuar në sforcimin e tij. Rilindja e studimeve të
logjikës në Poloni është ndikuar nga miqësia dhe bashkëpunimi me profesorin e
filozofisë së matematikës në Varshavë Stanislao Leśniewski248
. Kuraja dhe këshillat,
si të Jan Łukasiewicz ashtu dhe të Stanislao Leśniewski, që u dhanë studentëve
premtues shënuan fillimet e një grupi zyrtar studimi, interesat e të cilëve rëndojnë
drejt logjikës dhe bazave të matematikës. Përveç dy themeluesve, grupi përfshinte
disa dishepuj të tyre: A. Tarski, M. Wajsberg, S. Jaśkowski, J. Slupecki e B.
Sobociński. Këta studiues me kontributin e tyre në logjikë e më gjerë formuan
bërthamën e asaj, që qe njohur si Shkolla Logjike e Varshavës. Siç ishte në traditë, e
siç u tha, grupi bashkëpunoi ngushtësisht me Shkollën Polake të Matematikës (Z.
Janiszewski, W. Sierpiński, S. Mazurkiewicz, S. Banach, K. Kuratowski, A.
Lindenbaum) dhe me Shkollën Filozofike të Varshavës të drejtuar nga T.
247 Jan Łukasiewicz është lindur në Leopoli në 1878 ku ndoq studimet në ―Gymnasium‖ klasik lokal.
Kësaj shkolle i është borxhli për familjaritetin me greqishten dhe latinishten. Në vitin 1897
regjistrohet në Universitetin e Leopulit si student i matematikës dhe filozofisë. Përfundoi studimet nën
drejtimin e profesor Twardowski-t, për të cilin u fol më sipër, e ndoq rregullisht doktoratën në filozofi
në vitin 1902. Tre vjet më vonë ndoq studimet në filozofi fillimisht në Berlin e pastaj në Lovanio. Në
vitin 1906 kthehet në Leopoli ku emërohet docent në filozofi. Këtu jep leksione për tetë vjet. Në vitin
1915 transferohet në Universitetin e Varshavës për të dhënë filozofi. Në vitin 1919 emërohet Ministër
i Arsimit por në fund të këtij viti rifillon aktivitetin akademik. Deri në vitin 1939 vazhdon si profesor i
filozofisë. Brenda kësaj periudhe bëhet për dy herë rektor i universitetit, përkatësisht në vitet 1922-23
dhe 1931-32. Apartamenti i tij bombardohet në ditët e para të Luftës II Botërore dhe biblioteka e disa
dorëshkrime u dogjën tërësisht. Sidoqoftë qëndroi në Varshavë deri në vitin 1944. Në korrik të këtij
viti lë Poloninë me qëllim që të arrijë Zvicren, por aktivitetet ushtarake nuk e lejojnë që të kalojë
qytetin Münster, Vestfalia. Pas rënies së Germanisë ai zhvendoset për disa muaj në Bruxel e vitin
pasardhës pranon ftesën e Qeverisë Irlandeze për të dhënë Logjikë Matematike në Akademinë
Mbreterore Irlandeze. Në këtë rol qëndroi deri kur vdiq në Shkurt të vitit 1956. Łukasiewicz gëzoi
famë botërore si logjicien. Universiteti i Münster i dha titullin honoris causa në vitin 1938. Kolegji i
Trinitetit në Dublin i dha titullin honorar Doktor i Shkencave në vitin 1955. Ka qenë anëtar i
Akademisë Polake të Shkencave të Krakoves, Shoqërisë së Arteve dhe të Shkencave të Leopolit dhe
Shoqërisë së Arteve dhe të Shkencave të Varshavës.
248
Po aty f. 36
79
Kotarbiński. Jan Łukasiewicz shprehet se vetë Kotarbiński pat interes për sistemet e
Stanislao Leśniewski, të cilat i gjen në harmoni me teoritë e tij filozofike249
4.2 Mbi principin e mos kontradiksionit të Aristotelit:
interpretimet e Jan Łukasiewicz
Për Aristotelin principi i mos kontradiktsionit ka një domethënie metafizike.
Këtë Aristoteli e shpreh në librin IV apo të Metafizikës. Sipas tij ai që njeh vetitë e
qenies si qenie, njeh principet bazë te të gjitha gjërave250
. Vetëm kështu njihet
ekzistenca e substancës251
. Në të njëjtin libër Aristoteli vijon me formulimin e
principit të moskontradiksionit252
. Aristoteli kërkonte të demonstronte tezën, se
përkrah gjërave kontradiktore duhet të ekzistojë një e vërtetë absolute dhe jo
kontradiktore. E vetmja ente e vërtetë, e përjetshme, e pandryshueshme dhe jo
kontradiktore është esenca e gjërave dhe substanca që qëndron në bazë të çdo objekti
konkret. Sipas tij të mohosh principin e mos kontradiktsionit, ose të pranosh
kontradiktsionin d.m.th. të eliminosh substancën dhe esencën e gjërave, dhe të
reduktosh gjithçka në aksident. Sa herë që të mohohet principi i moskontradiktsionit ,
esenca e një njeriu duhej të ishte e ndryshme nga ajo që është konsoliduar më parë;
kështu nuk do të ishte më i mundur konsolidimi i asgjëje, për sa çdo gjë do të ishte
vetvetja e tjetër nga vetja e gjithçka do të reduktohej në aksident. Në këtë rast do të
mungonte kështu një substrakt që mbledh në vetvete aksidente të ndryshme; por do të
ishte një pafundësi aksidentesh të njëpasnjëshëm që ndjekin aksidente të tjera.
Mohimi i principit të mos kontradiktsionit do të sillte mohimin e dallimit ndërmjet
substancës dhe aksidentit, d.m.th shpërbërjen e realitetit, pasi aksidentet ekzistojnë
në funksion të substancës. Principi i mos kontradiksionit garanton përcaktimin e çdo
gjëje dhe dallimin e çdo gjëje nga të tjerat. Po mos të vlente ky princip, çdo gjë do të
ishte e pa përcaktuar do të ngatërrohej me të tjerat e në tërësi do të përbënin një
unitet të pa dallueshëm. Relativisht në një subjekt do të ishin të vërteta të gjitha
pohimet kontradiktore dhe për çdo gjë do të ishte e mundur të pohosh e të mohosh
249
Po aty f. 40 250
Aristotele, tr. it. Metafisica, Laterza , Roma – Bari, 1988 f. 93 251
Po aty f.94 252
Po aty
80
çdo gjë. Gjithë këto argumentime të gjëra, që çojnë deri në imagjinimin e realitetit si
seri aksidentesh të njëpasnjëshme, e kanë origjinën; nga njëra anë tek kontradiksionet
e lëvizjes të verifikuar nga Herakliti, e nga ana tjetër tek kontradiktat e perceptimeve
e kompleksiteti i përfaqësimit të botës nëpërmjet koncepteve. Tek metafizika
Aristoteli nuk përjashtonte ekzistencën e kontradiktave reale kur shprehet se asgjë
nuk mohon se aksidentet të jenë të shumëllojta253
. Me gjithë aksidentet, sipas tij,
ekziston një e vërtetë absolute dhe jo kontradiktore.
Përfaqësuesi kryesor i Shkollës Polake të Logjikës Jan Łukasiewicz është marrë
për një kohë të gjatë me metafizikën dhe me filozofinë e Aristotelit. Ja disa nga
interpretimet e tij që bazohen kryesisht tek Metafizika e Aristotelit.
Ai në vitin 1910 , publikon në polonisht librin O zasadzie sprzeczn’osci u
Ariystotelesa254
. Lukasiewëicz në këtë libër, që në shqip do titullohej Mbi principin
e kontradiksionit të Aristotelit, flet për mundësinë e një logjike jo-aristoteliane255
.
Ky filozof, pas një studimi e një analize të shkrimeve të Aristotelit në librin e
lartpërmendur, dallon versionin ontologjik, logjik e psikologjik të principit të mos-
kontradiksionit. Versionin ontologjik e dallon tek formulimi që Aristoteli kishte bërë
në librin Metafizikës 3. Natyrisht se Aristoteli nuk e kishte përmendur si version
ontologjik (sepse formulimet vijnë rishtas në filozofinë e tij dhe ontologjia është e
mëvonshme), por është Łukasiewicz që e dallon këtë version. Rreth kësaj çështje
shkruan dhe në shkrime e libra të tjerë. Dhe në librin e mëvonshëm Aristotle’s
Syllogistic from dhe standpoint of modern formal logic trajton këtë çështje. Sipas
këtij principi e njëjta veti nuk mund t‘i përkasë dhe të mos i përkasë të njëjtit objekt
nën të njëjtin aspekt. Me fjalë të tjera nuk ka objekt që të ketë dhe mos të ketë një
veti të dhënë256
. Po në të njëjtin shkrim Łukasiewicz dallon versionin e dytë të
principit aristotelian, i cili është ai logjik, sipas të cilit dy pohime ku njëri është
mohim i tjetrit nuk mund të jenë në të njëjtën kohë të vërtetë257
. Ky version
konsiderohet logjik, për faktin se i referohet pohimeve e jo objekteve që shprehin
këto pohime. Së treti, Łukasiewicz demonstron se Aristoteli ka formuluar principin
e mos kontradiksionit në terma psikologjik. Aristoteli shkruante se s‘ka njëri që të
253
Po aty f.99 254
Łukasiewicz, J.( 1910) O zasadzie sprzeczn’osci u Ariystotelesa tr. it. Del principio di
contraddizione in Aristotele. Quodlibet, Macerata 2003 255
Po aty f.95 256
Łukasiewicz, J. (1957) Aristotle’s Syllogistic from dhe standpoint of modern formal logic, Oxford,
tr.it. La Silogjistika di Aristotele, Brescia, Morcelliana, f. 27 257
Po aty f. 27
81
besojë, njëkohësisht që një gjë të jetë e mos të jetë; me fjalë të tjera, dy bindje, që u
korrespondojnë gjykime kontradiktore nuk mund të ekzistojnë në të njëjtën mendje e
në të njëjtën kohë258
. Ky version konsiderohet psikologjik, sepse nuk i referohet as
objektit as pohimit por akteve mendore.
Gjithnjë duke iu referuar Aristotelit, Łukasiewicz bën një shpjegim më të gjerë
psikologjik opinionit, gjykimit dhe shprehjeve verbale që u korrespondojnë. Sipas tij,
sa herë që kemi një opinion, jemi të bindur për diçka. Në procesin e të besuarit
formohet një opinion që ka të bëjë me ekzistencën ose mos - ekzistencën e një
objekti në një vend e kohë të caktuar. Çdo bindjeje, në kuptimin e stadit psikik, i
korrespondon ndonjë gjykim pohues o mohues i shprehur në fjali. Aristoteli, sipas
Łukasiewicz dallonte gjykimin nga bindja, duke konsideruar se opinioni, i cili
ekziston në shpirt, ka një korrespondues e një shenj në tingujt e gjuhës. Me pak fjalë
nga sa u tha kuptohet se gjykimeve të shprehura me zë u korrespondojnë në mendje
opinionet, që mund ti kuptojmë si atribute të mendjes në të cilën ato ekzistojnë .
D.m.th mendja njerëzore ka veti të formojë, të krahasojë opinione që janë akte
psikike, që shprehen me aktet gjuhësore.
Nga sa u tha më sipër kuptohet se Łukasiewicz, gjithnjë duke u mbështetur tek
Aristoteli, krahas analizës së principeve logjike, jep një kontribut për të bërë dallimin
ndërmjet opinionit, gjykimit e pohimit, siç është theksuar, elementë mjaft të
rëndësishëm për logjikën.
Sipas Łukasiewicz Aristoteli demonstronte që s‘ka objekt që të ketë veti të
kundërta në të njëjtën kohë. Në fakt ai pranonte ekzistencën e të kundërtave në
potencë por jo në akt. Ja çfarë shkruante në librin Metafizika.:
“Meqenëse është e pamundur që kontradiktorët, që i referohen të njëjtës gjë,të jenë
të vërtetë njëkohësisht, është e dukshme që po ashtu të kundërtat nuk mund të
ekzistojnë njëkohësisht në të njëjtin objekt. Në fakt, një prej dy të kundërtave
përveçse i kundërt është dhe privim. Tani privimi është mohim i një lloj të caktuar
vetie të substancës. N.q.s është e pamundur,në të njëjtën kohë, të afirmosh e të
mohosh me vërtetësi, është dhe e pamundur që të kundërtat të ekzistojnë
njëkohësisht”259
.
Sipas Łukasiewicz, Aristoteli niset nga principi logjik për të arritur tek
principi ontologjik i mos kontradiksionit. Łukasiewicz në librin Mbi principin e
258
Po aty f. 29 259
Aristotele, tr. it. Metafisica, Laterza , Roma – Bari, 1988 f. 115
82
kontradiksionit të Aristotelit trajton gjatë principin psikologjik të mos
kontradiksionit e përqendrohet tek prova aristotelike e këtij principi. Sipas tij prova
aristotilike e principit psikologjik të kontradiktsionit do të ishte: n.q.s dy bindje, të
cilave u korrespondojnë gjykime kontradiktore, të ekzistonin në të njëjtën kohë në të
njëjtën mendje, kjo mendje në të njëjtën kohë do të kishte veti të kundërta. Nga
principi ontologjik rezulton se s‘ka objekt që mund të ketë veti të kundërta në të
njëjtën kohë. Kështu, dy bindje të cilave u korrespondojnë gjykime kontradiktore nuk
mund të ekzistojnë në të njëjtën kohë dhe në të njëjtën mendje. Sipas Łukasiewicz,
Aristoteli konsideronte kështu principin psikologjik të kontradiksionit si rrjedhojë të
principit logjik të kontradiksionit. Łukasiewicz vë re se, Aristoteli, megjithëse dallon
gjykimin nga bindja, nuk dallonte thelbin psikik të bindjeve. Sipas filozofit polak,
Aristoteli, duke dashur të zgjidhë problemin e opozicioneve të kundërta të
gjykimeve, d.m.th çështjen logjike, kishte shqyrtuar problemin e kundërshtisë së
bindjeve, që është një çështje psikologjike dhe konsideronte relacionet ndërmjet
gjykimeve si të njëjta me ato ndërmjet bindjeve. Siç u përmend më sipër,
Łukasiewicz i referohet në mënyrë të shpeshtë Aristotelit për të bërë dallimin
ndërmjet kuptimit psikologjik, logjik e ontologjik të principit të moskontradiksionit,
gjithashtu dhe demonstrimit të tij duke u nisur herë nga njëri, herë nga tjetri kuptim.
Sipas Łukasiewicz, nuk është e mundur të shpjegohet principi psikologjik i mos-
kontradiktsionit si një ligj empirik. Ai kërkon tek metafizika e Aristotelit dhe tek
filozofë të tjerë argumente që venë në dyshim vlefshmërinë universale të principit të
mos – kontradiksionit. Sipas Łukasiewicz entet potenciale, për të cilat fliste
Aristoteli, nuk hyjnë në kufijtë e zbatimit të principit të mos kontradiksionit, sepse
kanë në të njëjtën kohë tipare potenciale kontradiktore. Nga sa u tha, kuptohet se i pa
përcaktuari është të qenurit në potencë jo në akt.
Łukasiewicz në shkrimin e lartpërmendur O zasadzie sprzeczn’osci u
Ariystotelesa i rikthehet përsëri Aristotelit. Ai arrin në përfundimin se Aristoteli
konsideronte principin logjik të mos-kontradiksionit e atë ontologjik si ekuivalentë
dhe nuk gjen gabim në këtë mes, por kritikon filozofin e famshëm grek sepse
principin psikologjik të kontradiksionit e konsideron rrjedhojë nga dy versionet
tjera të këtij principi260
.
260
Łukasiewicz, J. (1957) Aristotle’s Syllogistic from dhe standpoint of modern formal logic, Oxford,
tr.it. La Silogjistika di Aristotele, Brescia, Morcelliana, f. 27
83
Łukasiewicz kërkonte të analizonte filozofinë e Aristotelit, me qëllim që të vinte
në diskutim universalitetin e principit të mos kontradiksionit dhe ndarja në tre
kuptime e ndihmon në këtë drejtim. Łukasiewicz kërkon në historinë e filozofisë,
autorë që venë në dyshim këtë princip.
Ai kërkon tek filozofia e sensistëvë argumente kundër principit të mos-
kontradiksionit. Kush pohon si sensistët që ekziston vetëm çfarë perceptohet
nëpërmjet shqisave, mund të mos e njohë këtë princip261
. Për të arritur në këtë
përfundim Łukasiewicz bazohet tek subjektiviteti i perceptimit. Perceptimi është e
plot me kontradiksion siç thoshte Protagora dhe nuk është i qartë kufiri ku mbaron
një gjë dhe fillon një tjetër. Dikujt mjalti i duket i hidhur dikujt i ëmbël. Çështja e
subjektivitetit të perceptimeve që përmendet nga Łukasiewicz është gjithnjë e
diskutueshme. Perceptimi varet nga eksperienca që secili ka; një piktor percepton një
ngjyrë në mënyrë të ndryshme nga një njeri i zakonshëm. Subjekte të ndryshëm jo
ekspertë mund të gjykojnë në mënyrë kontradiktore një ngjyrë të caktuar dhe kjo
mund të duket qesharake për një piktor.
4.3 Diskutimi rreth principit të tretës së përjashtuar
Po në shkrimin O zasadzie sprzeczn’osci u Ariystotelesa diskutohet edhe principi
i së tretës së përjashtuar262
. Dhe ky princip, sipas Łukasiewicz, varet nga ndarja e
objekteve në real hapësinor, kohor dhe ideal të prodhuar nga ―shpirti‖263
. Një pohim
rreth objekteve të parë është i vërtetë ose fals ndërsa kjo nuk vlen për të dytët sepse,
sipas tij, nuk janë mjaftueshmerisht të përcaktuar 264
. Sipas Łukasiewicz trekëndëshi
në përgjithësi është i përcaktuar për sa u përket cilësive më të rëndësishme, si
trekëndëshmeria, por jo për sa u përket vetive aksidentale, si barazbrinjëshmeria.
Ndërsa propozicioni ―trekëndëshi ka tri brinjë‖ i nënshtrohet principit të tretës së
përjashtuar, propozicioni ―trekëndëshi është barabrinjës‖ nuk i nënshtrohet principit
të së tretës së përjashtuar. Kur thuhet ―Trekëndëshi ka tre brinjë ose nuk ka tri brinjë‖
vlen principi i të tretës së përjashtuar, ndërsa tek propozicioni ―trekëndëshi është
barabrinjës‖ nuk vlen principi i të tretës së përjashtuar. Kjo kuptohet qartë se fare
261
Łukasiewicz, J.( 1910) O zasadzie sprzeczn’osci u Ariystotelesa tr. it. Del principio di
contraddizione in Aristotele. Quodlibet, Macerata 2003 f. 83. 262
Po aty f. 95. 263
Thojzat nga unë 264
Po aty
84
mirë trekëndëshi në përgjithësi mund të jetë barabrinjës dhe mund të mos jetë
barabrinjës.
Në kërkimet e filozofëve e logjicientëve të mëparshëm e bashkëkohor të
Łukasiewicz si Meinong e të tjerë, të cilët i kemi trajtuar më sipër, ekzistonte një
traditë e gjatë, që konsideronte si objekte të gjithë objektet përfshirë dhe ato
kontradiktorë (si katrori me sipërfaqen e një rrethi me rreze një njësi, ndryshe të
quajtur katrori rrethor). Kjo traditë ishte e njohur mirë nga Łukasiewicz. Duke
pranuar objekte të tillë, principi i kontradiksionit dhe i së tretës së përjashtuar nuk
mund të jenë të padiskutueshëm, siç pretendohej. Vënia në diskutimi i këtyre
principeve bazë të logjikës klasike pati një ndikim të madh në zbulimin e një logjike
të re, me më shumë vlera vërtetësie nga logjicieni Jan Łukasiewicz.
Thuajse i gjithë diskutimi në paragrafët e mëparshëm ishte për të treguar klimën e
debatit filozofik, në të cilën u bë e mundur një logjikë e re. Łukasiewicz e njihte
këtë debat, gjithashtu ai i bën një revizion265
logjikës aristoteliane e ka si rezultat te
parë zbulimin e logjikës, fillimisht trivalente, e më vonë polivalente; d.m.th
fillimisht me tre vlera vërtetësie pastaj me më shumë vlera vërtetësie, e cila do të
sqarohet më poshtë në mënyrë të detajuar.
Mbas studimesh e kërkimesh të vazhdueshme ka disa momente domethënëse që
çojnë Jan Łukasiewicz në zbulimin e logjikës jo klasike. Një momenti i rëndësishëm
është një relacion i mbajtur nga Łukasiewicz në Leopuli (Shkurt 1910) me titull
“Mbi principin e të tretës së përjashtuar”. Në këtë relacion ai pohon se principi i së
tretës së përjashtuar nuk është një princip i vërtetë në vetvete, as i vërtetueshëm,
kështu që konsiderohet një supozim, i domosdoshëm për qëllime praktike. Ai pohon
se aplikimi i principit të së tretës së përjashtuar objekteve reale është i lidhur me
postulatin e determinizmit universal të fenomeneve. N.q.s. ndonjëri do të mohonte
këtë postulat, sipas të cilit të gjithë fenomenet janë të predestinuar (të
parapërcaktuar), ndoshta ai nuk do të pranonte principin e të tretës së përjashtuar.
Kjo pikëpamje e Łukasiewicz mund të sqarohet lehtësisht në këtë mënyrë: Po të
marrim një shembull të tillë: Pema që shoh do të lulëzojë. Po të jetë e predestinuar të
lulëzojë pema, pohimi i mësipërm është i vërtetë. Po të jetë e predestinuar e
kundërta, pohimi i mësipërm është fals. Kështu predestinimi nuk lejon një mundësi
të tretë. Një mundësi e tretë bëhet e mundur, vetëm n.q.s lihen hapur të dyja
265
Badano, C. (2008) La possibilità e il senso : un itinerario intorno al tema della possibilità
Armando, Roma f.8
85
mundësitë. Kështu po mos të pranojmë postulatin e determinizmit universal të
fenomeneve, pohimi i mësipërm konsiderohet i mundur; d.m.th mund të ketë një
vlerë tjetër vërtetësie përveç të vërtetës dhe falsitetit. Pikërisht këtë kërkonte të
demonstronte Łukasiewicz.
4.4 Filozofia in deterministe si substrakt metafizik i një logjike të
re.
Łukasiewicz, duke pranuar ngjarjet e mundura, pranon si të mundur
propozicionet, që i shprehin e për rrjedhojë nuk kufizohet në një logjikë vetëm me dy
vlera vërtetësie vërtetë e fals, por shton fillimisht një vlerë të mundur të cilën, siç do
të shohim me poshtë, e shënon me ½.
Sipas Łukasiewicz, kjo logjikë e re ka një substrakt metafizik. In determinizmi,
ose pranimi i ngjarjeve të mundura, përbën substraktin e logjikës së re me më shumë
se dy vlera vërtetësie. Łukasiewicz mendonte se mbështetësit e logjikës bivalente
janë deterministë, ndërsa kundërshtarët indeterministë. Për deterministët çdo fakt e
ngjarje është i vërtetë në kohë të shkuara dhe të ardhme. Pranimi i determinizmit
sipas tij nuk lë vend për pohime të mundur266
.
Ja vlen të shtohet diçka më tepër rreth determinizmit dhe in-determinizmit, sepse
i shërben si diskutimit mbi logjikën polivalente ashtu dhe diskutimit mbi modalitetet.
Duke pranuar teorinë deterministe, çdo fenomen bëhet i domosdoshëm duke mos
lënë vend për mundësinë, kontingjencën (apo rastësinë). Determinizmi është një nga
rrymat filozofike klasike që ka shoqëruar tërë historinë e saj e jo domosdoshmërisë
ka qenë e lidhur me çështje të karakterit logjik. Përgjithësisht, sipas teorisë
deterministe gjithçka që ndodh në botë ndodh domosdoshmerisht. Çdo fenomen,
ngjarje apo situatë është e lidhur me principin e shkakut dhe është i predestinuar. Nga
ky princip varet çdo fenomen fizik, material e jetësor. Një farë orientimi i mendimit
filozofik në këtë drejtim gjendet që në filozofinë antike. Përmendim këtu atomistët,
për të cilët çdo fenomen kishte një shkak (atomet). Po ti referohemi njërit prej librave
të Aristotelit më të rëndësishëm të karakterit logjik Della interpretazione, mendimi
indeterminist dallohet qartësisht në filozofinë e tij. Fragmenti i më poshtëm i
Aristotelit shpreh këtë in-determinizëm:
266
Łukasiewicz, J. (1970) Selekted works.North-Holland Publiscig, Amsterdam, f. 113
86
―përgjithësisht në gjërat që nuk janë gjithmonë në akt është mundësia që të jenë
dhe mos të jenë e që në to janë të mundura të dyja rrethanat, si të qenurit ashtu dhe të
mos qenurit, për rrjedhojë dhe e ardhura dhe jo e ardhura. Dhe shumë janë gjërat që
na jepen që të jenë në këtë mënyrë, p.sh. ky manteli këtu është i mundur që të jetë i
prerë në dysh por nuk do të jetë i prerë në dysh, por më parë do të griset. Në mënyrë
të njëjtë dhe jo të prerit në dysh është e mundur: pasi s‘kishte si të konsumohej n.q.s
realisht nuk do të kishte qenë e mundur mos prerja në dysh. Për rrjedhojë do të jetë
kështu dhe për gjërat e tjera, të gjitha ata që janë dhënë sipas një mundësie të
ngjashme – është e qartë kështu që jo të gjitha gjërat as janë e as do të jenë për
domosdoshmëri, por që ca realizojnë indiferentisht njërën nga të dy mundësitë dhe
për ta pohimi ose mohimi është i vërtetë, të tjerat realizojnë një mundësi , gjithsesi
është e mundur që të verifikohet dhe tjetra mundësi‖267
. Shikohet qartësisht në këtë
fragment pranimi i mundësisë për të qenë e për mos të qenë, për tu bërë e për mos u
bërë. Ndryshe gjërat në akt ndryshe në potencë. Disa herë është përmendur Aristoteli
si themelues i logjikës formale, por duhet shtuar se dhe Logjika modale si një
drejtim i rëndësishëm i zhvillimit të logjikës i pati fillimet tek libri i Aristotelit Mbi
interpretimin. Në këtë libër Aristoteli flet për të ardhmen kontingjente, d.m.th për
ngjarje të së ardhmes, që nuk janë të domosdoshme; të cilat mund të verifikohen ose
të mos verifikohen. Ja si shprehet më tej në këtë libër:
“Them se është e domosdoshme që nesër të jetë një luftë detare ose nuk do të jetë,
gjithsesi nuk është e domosdoshme që nesër të verifikohet një luftë detare as që të
mos verifikohet. Por është e domosdoshme që të verifikohet ose mos të
verifikohet‖268
. Që këtu duket se konsideron si të mundur zhvillimin apo jo të luftës,
por konsideron si domosdoshmeri logjike verifikimin e njërit ndërmjet këtyre
pohimeve, shprehur me terma modern të disnjuksionit ndërmjet pohimeve
kontradiktore. Këtu Aristoteli përjashton çdo domosdoshmëri deterministe duke ia
lënë fenomenet rastësisë. Argumente kundër determinizmit nuk kanë munguar në
zhvillimin e mëvonshëm të filozofisë. Një argument i rëndësishëm në këtë drejtim ka
qenë ‗arbitri i lirë‘.
267
Aristotele, Della interpretazione, tr.it di Zanata M.Rizzoli, Milano1992 f. 99 268
Po aty f. 99
87
4.5“Arbitri i lirë” si argument kundër determinizmit
Një argument i rëndësishëm kundër determinizmit historikisht ka qenë
‗arbitri i lirë‘. Çështja e arbitrit të lirë ka dominuar filozofinë që në periudhën antike
e të mesjetës. Në librin Mbi interpretimin Aristoteli përmend mundësinë e zgjedhjes
kur pohonte: ―Me kontingjencën është konstituisht e lidhur zgjedhja, e cila ka vend
vetëm në dominion e asaj që nuk është e nevojshme të jetë si është, dhe në zgjedhje
specifikohet aktiviteti praktik në valencën e tij morale‖269
( tr.it di Zanata M.,
Milano1992. p. 51). Për Aristotelin fenomenet fizike i lihen rastit dhe njeriu i bën
zgjedhjet në realitetin kontingjent.
Përgjithësisht në diskutimin filozofik të periudhës së mesjetës ka një dallim
ndërmjet fenomeneve fizike e shpirtërore, kështu këto dy lloj fenomenesh nuk mund
të drejtoheshin nga të njëjtat ligje. Megjithëse kishte dhe kundërshtarë, përgjithësisht
‗libero arbitrio‘i njeriut nuk mohohej dhe paraqitej si një argument në favor të
indeterminizmit. Për De Agostino, njeriu duhej të ishte i lirë dhe përgjegjës i
zgjedhjes dhe veprimeve të tij qofshin ato të mira apo jo. Sipas tij po të mungonte
vullneti i lirë do të mungonte dhe mundësia për të zgjedhur të mirën , që do të
përbënte sjelljen morale për ekselencë.
Debati mbi arbitrin e lirë ka arritur kulmin në kohën moderne ( kohës se re sipas
storiografisë sonë) me filozofin francez Pierre Bayle (1647), për të cilin dhe kafshët
kishin ‗libero arbitrio‘. Ja si trajtohet kjo çështje nga Bayle në Dizionario storico e
critico. Diskutimi mi shpirtin e kafshëve, të cilin nuk mund ta konsideronin të një
niveli me njeriun, në këtë periudhe zinte një vend të rëndësishëm në ambientet
filozofike. Shume filozofë konsideronin shpirtin e kafshëve vetëm si material e
mohonin arbitrin e lirë të tyre, duke ia atribuuar atë vetëm shpirtit njerëzor. Ja si
shpreh përkushtimin dhe ndjeshmërinë për këtë çështje Pierre Bayle në Dizionario
storico e critico: ― Nuk ka arsye që t‘ju mohojmë kafshëve lirinë n.q.s pranohet
shpirti ndijues. A nuk njihet se ato bëjnë disa gjëra me shumë kënaqësi e që vijojnë,
pasi të kenë dhënë një gjykim mbi objektet, për ti arritur? A mos vallë një qen i uritur
nuk ka forcën për tu privuar nga një copë mishi kur ka frikë nga shopi? A mos vallë
nuk ka forcën të veprojë o të mos veprojë? Vetë privimi i tij varet nga fakti se ai
269
Po aty f. 51
88
krahason urinë me shkopin‖270
. Duket një vëzhgues shumë i kujdesshëm i sjelljes së
kafshëve. U përmend në fillim qeni i gjuetisë së Krisipit por tani një tjetër autor i
atribuon gjykimin qenit; tashmë jo si aleat i njeriut për të kapur gjahun, por që
gjykon se duhet dominuar dëshira, apo më mirë instinkti për të ngrenë, kur rrezikon
për tu rrahur me shkop. Për të argumentuar në favor të ‗arbitrit të lirë‘ dhe të
indeterminizmit Pierre Bayle nuk ndalohet në botën e kafshëve por i referohet
akteve penale njerëzore në shoqëri.
Sipas Bayle, një provë tjetër domethënëse në mbështetje të vullnetit të lirë është
dënimi i keqbërësve për aktet penale të vullnetshme. ―N.q.s njeriu nuk do të vepronte
si i lirës, n.q.s një nevojë fatale, do ta përcaktonte në një farë vargu mendimesh,
vjedhja dhe vrasja nuk do të ndëshkoheshin gjithashtu nuk do të pritej asnjë rezultat
në rastet e ndëshkimit të fajtorëve‖271
. Pyetja që shtron Bayle është Çfarë kuptimi do
të kishte të dënonim njerëzit, kafshët me qëllim që të korrigjojmë sjelljet e tyre
meqenëse veprimet e tyre ishin të predestinuara e realizoheshin në një varg shkaqesh
e pasojash?
Bayle konteston dhe harmoninë fillestare që presupozonte filozofi i shquar
gjerman Leibniz. Ja në ç‘mënyrë: Leibniz pohonte se shpirti i një qeni ishte i
parapërcaktuar të vepronte pavarësisht nga trupi i tij e rrethanat në të cilat ndodhet;
―që gjithçka i lind nga intimiteti i tij për një spontanitet të arrirë në vetvete e gjithsesi
konform me gjërat e jashtme..... që perceptimet e brendshme ndodhin tek ai për
konstituimin origjinar, që është tipik; konstituim që i është dhënë në momentin e
krijimit në të cilin konsiston karakteri i tij individual‖ kështu që do të ndjente uri e
etje dhe po mos të kishte trup tjetër në univers272
.
Leibniz në shpjegimin e tij, duke marrë si shembull dy lavjerrës (ore) të
sinkronizuar, mendonte që shpirti, sipas ligjeve të tij të veçanta, duhet të dëgjojë uri
në një orë të caktuar, dhe trupi i lidhur me këtë shpirt duhet të modifikohet sipas
ligjeve të veçanta që rregullojnë lëvizjen e materies në të njëjtën orë, siç ndodh kur
shpirti ka uri. Këtë pikëpamje e kundërshton Bayle, kur shprehet – ―nuk arrij të
kuptoj se si shpirti i qenit të jetë ndërtuar në atë mënyrë, që në momentin kur goditet
të ndjente dhimbje dhe po mos të ishte goditur‖273
. Shembulli i dy lavjerrësve
270
Pierre Bayle, tr. it. Dizionario storico e critico, a cura di Cantelli.G. Laterza 1977
―Paradigmi‖XVIII n.53, Roma 2000 f.324 271
Po aty 272
Po aty f.326 273
Po aty
89
sinkronike merret për të treguar se gjithçka që ndodh në trup i korrespondon
paralelisht gjithë asaj që ndodh në shpirt.
Sipas Bayle, vështirësia, për të pranuar këtë harmoni origjinare, rritet n.q.s.
mendohet se ‗makina njerëzore‘ përmban një numër të pafund organesh; që është
vazhdimisht i ekspozuar influencës së trupave përreth, e që impulse të njëpasnjëshme
shkaktojnë tek ai modifikime të pafundta. Duke pranuar që tërësia e organeve dhe e
agjentëve të jashtëm të jenë një instrument i nevojshëm i varietetit gati të pafundtë të
ndryshimeve të trupit njerëzor, Bayle shtron pyetjen, se ky varietet a mund të ketë
atë masë që harmonia fillestare kërkon, e se nuk do të prish kurrë koincidencën
ndërmjet lëvizjeve të trupit dhe të shpirtit? Bayle vazhdon të bëjë një tjetër pyetje
shumë interesante: Po të ishte kështu a nuk do të ishte më mirë që shpirti, për të
ndryshuar vazhdimisht perceptimet e stadet sipas kësaj partiture, të njihte
paraprakisht notat e të ishte më i efektshëm. Por eksperienca na tregon se shpirti nuk
di asgjë. Çështja është kjo: n.q.s ka këtë sinkroni të përsosur ndërmjet tërë asaj që
është trupore e tërë asaj që është shpirtërore e se gjithçka është e predestinuar, pse
nuk dihet gjë paraprakisht rreth këtij predestinimi e rreth rrjedhës së ngjarjeve? Sipas
Bayle, meqenëse është e mundur të parapërcaktohet e të realizohet gjithë kjo harmoni
do të kishte qenë e mundur që kjo t‘i bëhej e ditur njeriut të konsideruar në atë kohë
si qëllim final i natyrës.
4.6 Jan Łukasiewicz: Indeterminizmi garanton triumfin e lirisë
njerëzore për të vepruar dhe justifikon një logjikë të re.
Siç u tha, Łukasiewicz është një mbështetës i teorisë indeterministe, dhe i lirisë
njerëzore si argument në favor të saj. Teorinë indeterministe e konsideron
substraktin e logjikës polivalente që zbuloi. Siç është përmendur, ky filozof nuk
kufizohet vetëm në sferën e logjikës, por ka momente në filozofinë e tij, ku i bën
jehonë triumfit të lirisë njerëzore për të vepruar e kërkon ta garantojë atë. Sipas tij,
determinizmi mohon vullnetin e lirë dhe kjo nuk është e pranueshme. Ai në një
mënyrë të thjeshtë e ndonjëherë dhe duke përdorur sarkazma gjen argumente në
favor të indeterminizmit. Në përmbledhjen Selektedworks shikohet se është nisur
nga një pohim i thjeshtë dhe tregon absurditetin e determinizmit: ― John takon Paulin
në Varshavë. Ky pohim është i vërtetë në çdo moment mbas takimit. Çështja është;
ishte apo nuk ishte i vërtetë para takimit? Sipas Łukasiewicz , për deterministët çdo
90
fakt është i vërtetë në kohën që paraprin dhe që do të vijë. Ndërmjet të shkuarës dhe
të ardhmes nuk ka ndryshim; i vetmi ndryshim është se e kaluara ka ndodhur dhe e
ardhmja do të ndodhë; nuk ka ndryshim nga këndvështrimi i të vërtetës. Sipas
deterministëve ne ekzistojmë në këtë botë që na rrethon dhe nuk njohim si do të
përfundojë. Çdo e mirë dhe e keqe është parapërcaktuar në të kaluarën, dhe është
parapërcaktuar momenti i vdekjes së gjithsecilit. Ne jemi vetëm kukulla në këtë
dramë universale dhe nuk mbetet gjë tjetër për të bërë vetëm të presim qetësisht
fundin!‖274
Kjo frazë tregon së çështjet e karakterit filozofik zënë një vend të rëndësishëm në
punimet e Jan Łukasiewicz dhe aktiviteti i tij intelektual nuk ishte ekskluzivisht
logjik, por në shkrimet e tij gjen mesazhe të rëndësishme për aktivitetin njerëzor. Ai
në të njëjtën kohë, jep një mesazh filozofik, gjithashtu kërkon një bazë filozofike për
logjikën polivalente e pikërisht indeterminizmin, që e konsideron substraktin
metafizik të saj. Megjithëse pranon situatën e ndërlikuar njerëzore, Łukasiewicz
vlerëson iniciativën e njeriut. Natyrisht, njeriu nuk duhet gjithmonë të pësojë
rrjedhën e ngjarjeve, por me forcën e vullnetit dhe i drejtuar nga arsyeja, duhet të
tentojë të përmirësojë fatin e tij, ndonjëherë dhe duke mos pranuar pasivisht
realitetin. Rrjedha e ngjarjeve, megjithëse vërshon në mënyrë të paparashikueshme
nuk duhet të gjejë njeriun në një stad pasiv. Łukasiewicz gjithashtu lidh ngushtësisht
teorinë deterministe me teorinë e shkakut dhe të pasojës. Ai nuk mohon lidhjen
shkak-pasojë, por nuk pranon predestinimin e ngjarjeve dhe të fenomeneve. Sipas tij
nuk mund të jetë predestinuar gjithçka, përfshi këtu dhe një takim banal të dy
personave. Łukasiewicz shpjegon se si deterministet përdorin këtë teori në favor të
tyre.
Duke u bazuar përsëri tek Selekted works, Łukasiewicz shpjegon se s‘ndodh gjë
në botë pa një shkak, e çdo shkak është efekt i një shkaku tjetër, e kështu në vijimësi.
Ai paraqet këtë relacion me këto shënim simbolikë:
F ka si shkak F1 në kohën t e F1 ka si shkak F2 në kohën t1 e kështu mund të
rikthehemi në kohë si vijon:
Fn, Fn-1, ……….F2, F1, F
tn, tn-1, ………..t2, t1, t
274
Łukasiewicz, J. (1970) Selekted works.North-Holland Publiscig, Amsterdam, f. 113
91
Në këtë varg çdo fakt është shkak i një fakti tjetër, dhe siç është përsëritur
shpesh , duke qenë relacioni i shkakut dhe pasojës kalimtar, efekti F ka shkakun në
një Fn të largët. Łukasiewicz sh shtron pyetjen: Dhe takimi i John dhe Paul ishte i
predestinuar që në origjinë të botës? Ky takim duhet të ndodhte pavarësisht vullnetit
të lirë të tyre? E përsëri: fillimi i kohës korrespondon me fillimin e ngjarjeve? Fakti
se ngjarjet janë të përcaktuar nga një shkak nuk d.m.th se janë të predestinuara që në
fillim275
.
Mbi argumentin tjetër në favor të indeterminizmit , d.m.th mbi ‗arbitrin e
lirë‘, Łukasiewicz shprehet: ―Drama universale nuk është një kuadër i kompletuar që
në fillim të botës. Ne mund të besojmë që të mos jemi spektatorë pasiv, por
pjesëmarrës aktiv276
. Nga sa shkruhet më sipër kuptohet se sipas Łukasiewicz
triumfon vullneti i lirë. Nuk ka sesi njeriu të vetë privohet nga vullneti i lirë. Ne
mund të vendosim, të duam, të përbuzim, të zgjedhim e të evitojmë, të gjykojmë mbi
mundësitë e ngjarjeve dhe fenomeneve. Pranimi i indeterminizmit sjell pranimin e
ngjarjeve të mundura të cilat shprehen me pohime modale të mundura. Kështu nuk
kemi të bëjmë vetëm me domosdoshmëri matematikore, të diskutueshme dhe ato, por
dhe me mundësitë e asnjë pengesë nuk mund të ketë për integrimin e pohimeve të
mundur në strukturë apo sistem të logjikës. Pikërisht këtë bën Łukasiewicz. Mbi
këtë bazë Łukasiewicz, e më pas logjicienë të tjerë, vazhdojnë kërkimet e tij mbi
logjikën polivalente dhe modale.
5 Një sistem i ri logjik i shprehur me një simbolikë të
re
5.1 Një vlerë e tretë vërtetësie në logjikë.
Łukasiewicz, siç shprehet në artikullin e titulluar Osservazioni filosofiche sui
sistemi polivalenti della logica proposizionale, niset nga një pohim i thjeshtë që
shpreh një mundësi dhe e përfshinë, fillimisht në një sistem logjik me tre vlera
vërtetësie e pastaj me më shumë vlera vërtetësie. Shembulli është ky: ―Do të jem në
Varshavë me 21 Dhjetor të vitit të ardhshëm‖ sot nuk është as e vërtetë as fals277
.
275
Po aty f.117 276
Po aty 277
Łukasiewicz, J. Osservazioni filosofiche sui sistemi polivalenti della logica proposizionale in
Casari E. (a cura di) Dalla logica alla metalogica, Sansoni, Firenze 1979 f. 252
92
Kështu kjo fjali nuk mund të ketë sot vlerën as ―0‖ as ―1‖, d.m.th as fals që shënohet
me 0 as vërtetë që shënohet me 1278
.
Në relacionin e parë shënonte këtë vlerë me ‖2‖, pastaj gjithmonë me―1/2‖, që d.m.th
është e mundur; ka gjysmë mundësie të ndodhë apo 50% të mundësive279
. Kështu
kemi fillimin e një logjike të re me tri vlera vërtetësie ose trivalente.
Łukasiewicz e shpreh sistemin e tij në simbolikën e ideuar nga vetë ai, të quajtur
simbolika polake. Unë në vijim do të përkthej çdo shprehje apo formulë të këtij
sistemi në simbolikën e zakonshme logjike.
Duke shënuar me N280
mohimin vlen: N1/2 = ½. Që d.m.th kur një ngjarje ka
një gjysmë mundësie të ndodhë atëherë ka dhe një gjysmë mundësie që të mos
ndodhë.
Łukasiewicz e shpreh implikimin, ose më saktë kombinimin dhe rezultatin e
kombinimit të vlerave të vërtetësisë të implikimit në këtë mënyrë të pazakontë:
a) (0 1/2) = (1/2 1) = (1/2 1/2) = 1281
Që me simbolikën klasike do të ishte si vijon:
(0 → 1/2) = (1/2 → 1) = (1/2 → 1/2) = 1
D.m.th kur antecedenti (zëvendësuar me vlerë vërtetësie)282
i implikimit, të shprehur
në mënyrë të pazakontë me shenjen 283
, ka vlerë më të ulët ose të barabartë me
konsekuentin (zëvendësuar dhe ai me vlerë vërtetësie) të implikimit rezultati është i
vërtetë ose 1.
b) (1/2 0) = (1 1/2) = ½284
.
Që me simbolikën klasike do të ishte
(1/2 → 0) = (1 → 1/2) = ½.
D.m.th kur antecedenti (zëvendësuar me vlerë vërtetësie) i implikimit, të shprehur
me shenjen , ka vlerë më të madhe me konsekuentin (zëvendësuar dhe ai me
vlerë vërtetësie) e implikimit rezultati është i mundur ose ½.
Łukasiewicz shpjegon se disa ligje të logjikës bivalente nuk vlejnë në logjikën
trivalente: principi i moskontradiksionit të shprehur në mënyrë të pazakontë
278
Po aty f.253 279
Natyrisht Łukasiewicz nuk jep përqindje, por shënon me ½ 280
Në simbolikën polake të hartuar nga Łukasiewicz N është mohimi. 281
Łukasiewicz, J. Sulla logia trivalente in Casari E. (a cura di) Dalla logica alla metalogica,
Sansoni, Firenze 1979 f.214 282
Ishte Bool që ka zëvendësuar pohimet me vlera duke perfituar në një farë mënyre ekuacione
logjike 283
E pazakontë sepse shenja e zakonshme e implikimit është →. 284
Po aty f.214
93
aa‘ = 0285
që me simbolikën klasike do të ishte
(a ^ ¬ a) = 0
i vlefshëm në logjikën bivalente, nuk vlen në logjikën trivalente
për a =1/2 aa‘ = 1 ose (a ^ ¬ a) = 1 me simbolikën klasike
Prandaj në logjikën trivalente nuk ka antinomi286
.
Meqenëse Krisipi kishte qenë përfaqësuesi më i spikatur i shkollës filozofike
stoike dhe stoikët shquheshin si mbështetës të logjikës bivalente, Jan Łukasiewicz
logjikën e re me më shumë se dy vlera vërtetësie që zbuloi e quan jo krisipiane.
Łukasiewicz, si njohës i mirë i logjikës së Aristotelit dhe i logjikës stoike, arriti të
zbulonte dallimet midis tyre. Ai konsideron logjikën e aristotelit si logjikë të termave
ndërsa logjikën stoike si logjikë të pohimeve. Aristoteli, sipas logjicieni polak, dallon
në më shumë se një vepër të tij mënyrat e lidhjes ndërmjet termave në fjali ndërsa
stoikët merren me lidhjen ndërmjet pohimeve duke formuar pohime të përbërë.
Duke integruar në logjikë, fillimisht një tjetër vlerë vërtetësie (siç u përmend më
sipër) e më pas një pafundësi, Łukasiewicz skematizon një sistem të ri logjik. Ne
shkrimin e vitit 1930 Osservazioni filosofiche sui sistemi polivalenti della logica
proposizionale, Łukasiewicz shpreh modalitetet në simbolikën e zbuluar po nga ai
që dallon për origjinalitetin e saj.
Me gjithë kontributin e madh në logjikë e me gjithë simbolikën e tij origjinale,
Łukasiewicz është skeptik për sa i përket rëndësisë praktike të sistemit të tij e të
teorisë in-deterministe e cila do të bëhet e vlefshme kur të dhënat praktike do të
konfirmojnë këtë teori.
5.2 Origjina e logjikës modale dhe shprehja në mënyrë
simbolike.
Ashtu si drejtimet tjera të dijes filozofike, matematike e më gjerë, dhe logjika
modale ka origjinë të hershme. Pa dyshim se dhe ky drejtim dije është i lidhur me
Aristotelin. Krahas teorisë së pohimeve dhe silogjizmit, ky filozof i shquar, kryesisht
në librin Mbi interpretimin, zhvilloi dhe teorinë e modaliteteve. Duket krejtësisht e
thjeshtë mënyra se si një pohim të zakonshëm Aristoteli e bën modal. E shpreh si të
domosdoshëm ose të mundur. Pra vendos përpara modalitetin është e domosdoshme
285
Po aty 286
Po aty
94
ose është e mundur. Kështu pohimi modal përbëhet nga dy pjesë: pjesa modale që i
paravendoset pjesës së pohimit logjik të zakonshëm si lidhje e thjeshtë subjekt
predikat. Me një shembull mund ta shpjegojmë kështu: Është e nevojshme që të
gjitha pemët të lulëzojnë dhe Është e mundur që nesër të bjerë shi.
Duke bërë veprimin e mohimit, si akt i parë logjik të cilit i korrespondon
lidhëza e parë logjike d.m.th mohimi, përfitohen dhe dy modalitetet tjerë për të cilët
do të flasim më poshtë.
Problemin, se cili është kontradiktori i pohimit: Është e mundur P, Aristoteli
e zgjidh thjesht duke mohuar Nuk është e mundur P dhe jo është e mundur që jo P.
Pra mohimin e vendos gjithnjë para modalitetit logjik e mundur dhe është i
mendimit se vepron në të gjithë pohimin dhe jo në një pjesë të tij.
P.sh. Nevojshmerisht dita është e ngrohtë dhe jo Dita është nevojshmerisht e
ngrohtë.
Kështu duket sikur pohimi në brendësi është kompakt, nuk hapet.
Pohimi Nuk është e mundur P me simbolikën modale do të shprehej ¬ ◊ P
ose ~ ◊ P287
.
Të njëjtën gjë bën dhe për mohimin e të domosdoshmes të cilën e mohon
kështu Nuk është e domosdoshme P dhe jo është e domosdoshme jo P .
Gjithnjë me simbolikën moderne do të shprehej ¬ □ P ose ~ □ P
Duke shikuar katrorin e më poshtëm, të ashtuquajturin288
aristotelian, bëhet
më i thjeshtë kuptimi. Aristoteli në librin Mbi interpretimin trajton relacionet e
mundshme ndërmjet të mundurës, kontingjentes (të rastësishmes), të
domosdoshmes, të pamundurës dhe konsideron fjalinë Është e mundur P si
ekuivalente me Nuk është e nevojshme që jo-P289
. P.sh. Është e mundur që të bjere
shi është ekuivalente me Nuk është e domosdoshme që të mos bjere shi.
Bëhet fjalë për identitetin e famshëm modal që me formulë shprehet si vijon:
◊ P ≡ ¬ □ ¬P
287
Ku: ¬, ~ janë shenjat logjike të mohimit.
□ e domosdoshme
◊ e mundur
P pohimi 288
I ashtuquajtur, sepse është skematizuar më vonë, por gjithnjë duke u mbështetur tek mendimi i
Aristotelit mbi modalitetet. 289
Aristotele, Della interpretazione tr.it di Zanata M.Rizzoli, Milano1992,f.13
95
E njëjta gjë paraqitet dhe për domosdoshmërinë: p.sh. Është e domosdoshme që në
dimër të bjerë borë është ekuivalente me Nuk është e mundur që në dimër të mos
bjerë borë.
Me formulë shprehet: □ P ≡ ¬ ◊ ¬P
Sipas Aristotelit e mundura rrjedh nga e nevojshmja, por s‘vlen e
anasjellta290
. Dhe është e qartë se gjithçka që është e nevojshme është dhe e mundur.
P. sh. N.q.s. është e nevojshme që diagonalet e katrorit të priten, është dhe e
mundur.
Në mënyrë skematike katrori i mëvonshëm i logjikës modale i cili gjendet
thuajse në të gjithë manualet e logjikës bën më të qartë modalitetet291
.
Kulmet e këtij katrori ishin shënuar si më poshtë për këtë arsye: me A
universalja pohuese, nisur nga fjala latine Adfirmo (merret zanorja e parë A); me E
universalja mohuese, nisur nga fjala latine nEgo (merret zanorja e parë E); me I
pohimin e pjesshëm përsëri, nisur nga fjala latine adfIrmo (zanorja e dytë I); me O
mohimi i pjesshëm përsëri nisur nga fjala latine negO(merret zanorja e dytë O).
Tabela. 5.1
E domosdoshme P E pamundur P
□ P ¬ ◊ P
A E kundërt E
P P
e e
r r
f f
sh sh
i i
r r
j j
e e
I O E mundur P Jo e domosdoshme P
◊ P ¬ □ P
290
Po aty 291
Mangione, C. e Bozzi, S. (1993) Storia della logica, Garzanti, Milano f.477
k e
o r
n o
t t
r k
a i
d d
a i
r k
t t
n o
o r
k e
e
eEE E
E
Ee E
96
Kontingjenca për Aristotelin konsiderohet si e mundur por jo e
domosdoshme.
Për sa i përket raportit ndërmjet kontngjentes dhe të mundurës janë mjaft të
qarta përkufizimet e mëposhtme:
a) E mundura shpreh atë që nuk është, por mund të jetë. P.sh. është e
mundur të bjerë shi.
b) Kontingjente shpreh atë që është, por që mund të mos jetë. P. sh. Është
kontingjente që në klasë të ketë 40 studentë.
c) E pamundura shpreh atë që s‘mund të jetë. P.sh. Shuma e këndeve të
brendshëm të trekëndëshit është 360°.
d) E domosdoshme. shpreh atë që detyrimisht duhet të jetë. P.sh. Është e
domosdoshme që diagonalet e katrorit të priten292
.
Aristoteli zhvilloi teorinë e modaliteteve në kuadrin e zhvillimit të teorisë së
silogjizmave. Për sa u përket silogjizmave, Aristoteli quante modal një silogjizëm
atëherë kur të paktën njëra premisë është modale.
Ja një formë të thjeshtë e silogjizmit ku të dyja premisat janë modale.
Premisa e madhe. Domosdoshmërisht çdo B është A
Premisa e vogël. Domosdoshmërisht çdo Γ është B
--------------------------------------------
Konkluzioni: Domosdoshmërisht çdo Γ është A
Do të ishte Teofrasti që do t‘u bënte një thjeshtëzim silogjizmave modal. Ai
arriti në përfundimin, se konkluzioni ka gjithmonë të njëjtin karakter me premisën e
vogël, i tillë është dhe rasti i mësipërm.
5.3 Modalitetet të shprehura në simbolikën polake
Në simbolikën polake modalitetet shprehen si vijon: është e mundur p, qe me
simbolikën klasike shprehej ◊ p, në simbolikën polake shënohet Mp.
292
Cambiano, G. e Mori, M (1993)Storia e antologia della filosofia Editori Laterza, Roma –Bari
f.274
97
nuk është e mundur p, që me simbolikën klasike shprehej ¬ ◊ p, në simbolikën
polake shënohet NMp.
është e mundur jo p, që me simbolikën klasike shprehej ◊ ¬ p, në simbolikën polake
shënohet MNp.
nuk është e mundur jo p, që me simbolikën klasike shprehet ¬ ◊ ¬ p, në simbolikën
polake shënohet NMNp293
.
Ku, siç u tha më sipër, shkronja p shënon një pohim çfarëdo, ‗N‘ është
simboli i mohimit; M është simboli i mundësisë. Pas mohimit, hapi i radhës në
logjikë janë lidhëzat tjera logjike. Implikimi p→q në simbolikën polake shënohet
Cpq dhe konjuksioni pᴧq shënohet Kpq. Duke eliminuar kllapat dhe duke
zëvendësuar lidhëzat logjike me shkronja, Łukasiewicz ndërton një sistem logjik
mjaft të thjeshtuar, të cilin do ta shpreh me përpikmeri dhe me simbolikën klasike.
5.4 Tre grupet e teoremave tradicionale që u korrespondojnë
fjalive modale në bazë të sistemit të Łukasiewicz
Łukasiewicz, duke qenë njohës i mirë i zhvillimeve klasike të logjikës, vendos
në bazë të sistemit të tij tre grupet e teoremave relative të fjalive modale. Në grupin e
parë hynë teoremat e njohura, të transmetuara nga logjika klasike dhe që
konsiderohen të vërteta pa vërtetim.
Si teorema tradicionale janë të shprehura në latinisht, gjuhë mjaft e
rëndësishme për historinë e logjikës dhe të shkencës.
a) Ab oportere ad esse valet consequentia294
.
Që d.m.th: nga e d. m. d në të qenë vlen rrjedhoja.
b) Ab esse ad posse valet consequentia.
Që d.m.th: nga e qena në të mundur vlen rrjedhoja. E para d.m.th se çka është e
domosdoshme është dhe aktuale. Për kundër pozicion përfitojmë nga b) një pohim të
tretë
293
Łukasiewicz, J. Osservazioni filosofiche sui sistemi polivalenti della logica proposizionale in
Casari E. (a cura di) Dalla logica alla metalogica, Sansoni, Firenze 1979 f. 241 294
Po aty f. 242
98
c) Ab non posse ad non esse valet consequetia295
.
Që d.m.th: vlen rrjedhoja nga e pa mundura në të pa qenë
Si përfaqësuese të grupit të parë Łukasiewicz ka formuluar teoremën që vijon:
I. N.q.s nuk është e mundur p, atëherë jo p. Me simbolikë klasike do të shprehej
¬ ◊ P → ¬P
Intuitive është teorema në vijim e grupit II, për të cilën Łukasiewicz thekson se
është cituar nga Leibniz tek ―Teodicea‖296
d) Unumquodque, quand est, oport esse297
.
Që d.m.th: gjithçka kur është, është e domosdoshme. Kjo teoremë ishte
formuluar nga Aristoteli në librin Mbi interpretimin: ―Jo gjithçka që është, është e
domosdoshme e jo gjithçka që nuk është, është e pamundur, por kur diçka që është,
është, atëherë është dhe e domosdoshme; e n.q.s diçka që nuk është , nuk është, është
dhe e pamundur‖298
. Nga ky fragment i Aristotelit kuptohet se bënte një ndarje
ndërmjet fenomeneve e ngjarjeve të shkuara e të ndodhura, që i konsideron të
domosdoshme, dhe ngjarjeve që në të shkuarën nuk kanë ndodhur, që i quante të
pamundura. Lidhur me këtë Łukasiewicz bën këtë shembull: Nuk është e
domosdoshme që unë të jem në shtëpi sonte, por meqenëse unë jam në shtëpi këtë
natë, atëherë, nën këtë aspekt është e domosdoshme që unë të jem në shtëpi sonte299
.
Nuk ishte përpara e d. m. d të jem në një vend, por kur jam në një vend të caktuar
është e d. m. d të jem aty se tashmë jam po aty.
Si përfaqësuese e grupit të dytë për Łukasiewicz është teorema që vijon:
295
Po aty f. 243 296
Po aty 297
Po aty 298
Aristotele, Della interpretazione tr.it di Zanata M.Rizzoli, Milano 1992,f.23. 299
Łukasiewicz, J. Osservazioni filosofiche sui sistemi polivalenti della logica proposizionale in
Casari E. (a cura di) Dalla logica alla metalogica, Sansoni, Firenze 1979 f. 243
99
II. N.q.s është supozuar jo p, atëherë nuk është e mundur (nën këtë supozim)
që p300
.
Me simbolikën klasike do të shprehej
¬P → ¬ ◊ P
Grupi III, sipas Łukasiewicz, konsiston në një teoremë të vetme të bazuar mbi
konceptin aristotelian të mundësisë ―bilaterale‖. Siç është përmendur, sipas
Aristotelit, ka ca gjëra që janë të mundura në të dyja drejtimet, d.m.th që mund të
jenë, por që nuk është e domosdoshmërisë që të jenë. Është i mundur që ky mantel të
pritet; por është e mundur që ky mantel mos të pritet301
. Łukasiewicz thekson se ky
koncept i bilateralitetit është i përhapur në të folmen dhe të shkruarën e përditshme.
Teorema përfaqësuese e grupit III është si vijon
III. Për njëfarë p: është e mundur p, dhe është e mundur që jo p302
. Që me
simbolikën klasike do të shprehej
p ( ◊ p ^ ¬p)
Ku ^ është konjuksioni dhe është kuantifikatori ekzistencial.
5.5. Rrjedhoja të dy teoremave të para relative të pohimeve
modale, të shprehura me simbolikën polake dhe klasike
Meqenëse Łukasiewicz shënon implikimin N.q.s p, atëherë q me ―Cpq‖, ku p e q
shënojnë dy pohime çfarëdo, teorema I mund të shprehet në formën e implikimit, të
cilën Łukasiewicz e quan dhe tezë303
. Të gjitha këto teza, do ti përkthej në
simbolikën klasike.
Lukasiewicz ndërton fillimisht këtë sistem për të justifikuar logjikën bivalente në
të cilën besonte. Shkruaj, fillimisht, sepse siç do të shohim kontradiksionet që
rezultojnë në këtë sistem eliminohen me përcaktimin e mundësisë që do të bëje A.
Tarski, të cilin Łukasiewicz do ta vlerësojë e do ta përdor në sistemin e tij, tashmë
polivalent, d.m.th me më shumë se me dy vlera vërtetësie.
300
Po aty f. 243 301
Aristotele, Della interpretazione tr.it di Zanata M.Rizzoli, Milano1992,f.23 302
Łukasiewicz, J. Osservazioni filosofiche sui sistemi polivalenti della logica proposizionale in
Casari E. (a cura di) Dalla logica alla metalogica, Sansoni, Firenze 1979 f. 244 303
Łukasiewicz sqaron me një shënim, se me tezë kupton aksiomat si dhe teoremat e një sistemi
deduktiv.
100
Vijojmë me tezat:
1) CNMpNp
Që d.m.th : ―N.q.s nuk është e mundur p, atëherë jo - p‖.
Sipas simbolikës klasike do të ishte
¬ ◊ p → ¬ q
Në këtë rast nuk kemi nevojë për kllapa, sepse operatori logjik i mohimit dhe i të
mundurës veprojnë tek pohimi më i afërt. Konkretisht tek paraprisja e implikimit
mohimi vepron vetëm tek operatori i mundësisë që vepron tek p, ndërsa tek
konsekuentja e implikimit mohimi vepron tek pohimi i afërt q304
.
Teorema II, sipas Łukasiewicz, nuk është tërësisht evidente por është e
demonstrueshme, e cila mund të shprehet si implikim që është convers i 1).
N.q.s një propozicion ‗b‘ vlen duke u nisur nga ‗a‘, kjo nuk d.m.th gjë tjetër
përveç se ‗b‘ është e vërtetë n.q.s ‗a‘ është e vërtetë. Implikimi ‗N.q.s a atëherë
b‘ vlen n.q.s ‗a‘ është e vërtetë. Meqenëse ky implikim duhet të vlej edhe se ‗a‘
është fals, vlen në të dy rastet. Kështu shtojmë tezën:
2) CNpNMp305
Që d.m.th : ―N.q.s jo p, atëherë nuk është e mundur p‖.
Konsekuenti i implikimit 1) bëhet antecedent në implikimin e mëposhtëm dhe
antecedenti i implikimit 1) bëhet konsekuent i implikimit 2).
Me simbolikën moderne do të shprehej
¬ p → ¬ ◊ p
Duke u nisur nga këto teza dhe duke u mbështetur tek kalkulimi propozicional
Łukasiewicz vërteton disa rrjedhime. Vërtetimet arrihen nëpërmjet dy rregullave të
rrjedhojës: zëvendësim e ndarje. Para çdo teze që duhet të vërtetohet (të cilës i
shënohen numra) ka një rresht pa numër të quajtur nga Łukasiewicz ―rreshti
derivazional (i rrjedhojës)‖. Çdo rresht derivazional përbëhet nga dy pjesë të ndara
nga shenja ―‖. Simbolet para dhe pas shenjës së ndarjes shënojnë të njëjtën
shprehje, por në mënyra të ndryshme. Para shenjës së ndarjes është treguar
304
Po aty 305
Po aty
101
zëvendësimi që duhet të jetë kryer në tezën e vërtetuar me parë. Në linjën e parë
derivazionale shprehja ―3q/Mp‖ d.m.th që ―q‖ duhet të zëvendësohet me Mp në 3)
Teza rezultuese duhet të jetë
3‘) CCNMpNpCpMp
Me simbolikën klasike si më poshtë:
(¬ ◊ p → ¬ p) → (p → ◊ p)
Teza 3‘) është e pranueshme, sepse përfitohet nëpërmjet zëvendësimit ―3q/Mp‖ tek
teza 3) d.m.th tek 3) zëvendësohet q me Mp, ose me simbolikën klasike ◊ p; duke
qenë gjithashtu dhe një implikim antecedenti i të cilit është teza 1), konsekuenti i tij
mund të ndahet në bazë të modus ponens dhe të përfitohet teza 7)306
. Për të qenë më
të qartë më poshtë do të paraqes përfitimin e kësaj teze me rregullën e modus
ponens, natyrisht duke sqaruar këtë rregull dhe duke e shprehur me simbolikën
klasike.
Në rreshtin e dytë të rrjedhojës numri ―8‖ shënon tezën e përfituar nga 7) nëpërmjet
zëvendësimit―p/Np‖.
Në rregullin derivacional të tezës 10), rregulli i ndarjes është përdorur dy herë.
Përveç 1) e 2) që paraqiten si aksioma, Łukasiewicz rreshton dhe katër teza
ndihmese të kalkulimit të zakonshëm propozicional: tre ligje të trasposizionit
(spostimit), të shënuara me numrat 3-5 dhe principin e silogjizmit hipotetik, teza 6).
Këto teza paraqiten si premisa në fillim të demonstrimit307
.
Ashtu si theksova më sipër, do të vazhdoj përkthimin nga simbolika polake në
simbolikën klasike, për të qenë më të qartë për këtë mënyrë demonstrimi. Larmia e
simbolikave tregon sa i gjithanshëm është kërkimi në këtë fushë. Njohja e tyre
përbën një mënyrë të ushtruarit në logjikë dhe krahasimi ndërmjet tyre bën më të
qartë kuptimin e sistemeve formale. Qëllimi këtu nuk është për të paraqitur të plotë
një sistem formal, por për të demonstruar se si Łukasiewicz përfshin modalitetet e të
mundurës, të domosdoshmërisë dhe quantorët e ekzistencës dhe të përgjithshëm në
këtë sistem formal.
306
Po aty f. 245 307
Po aty
102
1) CNMpNp Me simbolikën klasike shprehet ¬ ◊ p → ¬ p
Do të thotë: N.q.s nuk është e mundur p, atëherë jo p.
2) CNpNMp Me simbolikën klasike shprehet ¬ p → ¬ ◊ p
Që do të thotë: N.q.s jo p, atëherë nuk është e mundur p.
3) CCNqNpCpq Me simbolikën klasike shprehet (¬ q→ ¬ p) → (p →q)
Që do të thotë: N.q.s jo q atëherë jo p, atëherë n.q.s jo p atëherë jo q.
3‘) CCNMpNpCpMp Është zëvendësuar tek 3 i q me Mp, ose sipas simbolikës
klasike me (◊ p), kështu kemi gjithnjë sipas simbolikës klasike
3‘) (¬ ◊ p → ¬ p) → (p → ◊ p)
Që do të thotë: N.q.s; nuk është e mundur p atëherë jo p, atëherë n.q.s p atëherë
është e mundur p.
4) CCNpqCNqp Me simbolikën klasike shprehet (¬ p → q ) → (¬ q → p)
Që do të thotë: N.q.s; jo p atëherë q, atëherë n.q.s jo q atëherë p.
5) CCpNqCqNp Me simbolikën klasike shprehet ( p → ¬ q ) → (q → ¬ p)
Që do të thotë: N.q.s; p atëherë jo q, atëherë n.q.s q atëherë jo p.
6) CCpqCCqrCpr Me simbolikën klasike shprehet
(p → q) → (( q → r ) → (p → r))
Që do të thotë: N.q.s p atëherë q: atëherë; n.q.s q atëherë r, atëherë n.q.s p
atëherë r.
3q/Mp C1-7
103
Tek 3) siç u tha, është zëvendësuar q me Mq dhe është përfituar 3)‘. Nga 1) dhe 3‘)
përfitohet, sipas modus ponens ose, konkretisht, për sistemin që po trajtojmë
rregullit të ndarjes, formula (p → ◊ p). Siç shprehet në manuale të ndryshëm të
logjikës dhe të historisë së logjikës ky rregull do të thotë se kur jepet një implikim
dhe antecedenti i tij rrjedh si i vlefshëm konsekuenti i tij ((p →q) ^ p) → q.
Konkretisht tek
1) kemi (¬ ◊ p → ¬ p) që përbën antecedentin e
3‘) (¬ ◊ p → ¬ p) → (p → ◊ p).
Nga këto dy implikime rrjedh ose ndahet formula (p → ◊ p) ose, sipas simbolikës
polake, CpMp që përbën formulën 7).
Më poshtë po shpreh aplikimin e rregullit modus ponens sipas skemës klasike ku
përfundimi shënohet poshtë vizës së përdorur zakonisht në arsyetimet silogjistike.
CNMpNp 1)
CCNMpNpCpMp 3)‘ (sipas modus ponens arrihet konkluzioni i mëposhtëm 7))
________________
CpMp
sipas simbolikës klasike kjo rrjedhojë shprehet:
¬ ◊ p → ¬ q
(¬ ◊ p → ¬ p) → (p → ◊ p)
_______________________
(p → ◊ p)
7) CpMp ose (p → ◊ p)
Që do të thotë: ―N.q.s p, atëherë është e mundur p‖.
7p/Np 8
Lehtësisht duke zëvendësuar tek 7) p me Np përfitohet formula e mëposhtme
8) CNpMNp Me simbolikë klasike shprehet ¬ p → ◊ ¬ p
Që do të thotë: N.q.s jo p, atëherë është e mundur jo p.
4q/MNp C8-9
Zëvendësimi tek teza 4) e q me MNp bën të mundur përfitimin e tezës 4)‘
104
CCNpqCNqp Me simbolikë klasike shprehet
(¬ p → q ) → (¬ q → p) Teza 4)
Bëjmë zëvendësimet e përfitohet teza e mëposhtme
CCNpMNpCNMNpp Me simbolikë klasike shprehet
(¬ p → ◊ ¬ p ) → (¬ ◊ ¬ p → p) Teza 4)‘
Më poshtë me rregullim e modus ponens duke pasur si antecedent tezën 8)
përfitohet teza 9)
CNpMNp 8)
CCNpMNpCNMNpp 4‘) sipas modus ponens përfitohet konkluzioni mëposhtëm
________________
CNMNpp 9)
Me simbolikë klasike shprehet:
¬ p → ◊ ¬ p
(¬ p → ◊ ¬ p ) → (¬ ◊ ¬ p → p) Teza 4)‘
__________________________________
(¬ ◊ ¬ p → p)
9) CNMNpp Me simbolikë klasike shprehet ¬ ◊ ¬ p → p
Që do të thotë: N.q.s nuk është e mundur jo p atëherë p.
6p/NMNp, q/p, r/Mp C9-C7-10
Tek 6) zëvendësohet p me NMNp, q me p dhe r me Mp kështu përfitohet 6)‘, ndërsa
C9-C7-10 tregon rregullin e ndarjes ose të modus ponens, që në këtë rast aplikohet
dy herë. Fillimisht po shpjegoj zëvendësimin e më poshtë aplikimin e rregullës së
modus ponens:
Nisemi nga teza 6)
CCpqCCqrCpr
Kjo tezë me simbolikë klasike shprehet:
(p → q) → (( q → r ) → (p → r)) 6)
105
Pasi bëjmë zëvendësimet përfitohet teza 6)‘
CCNMNppCCpMpCNMNpMp
Me simbolikë klasike shprehet (¬◊¬p→p)→((p →◊p) →(¬◊¬p →◊p)) 6‘)
Bazuar tek modus ponens e duke u nisur nga teza 9) kemi rrjedhojën e mëposhtme:
CNMNpp 9) sipas modus ponens përfitohet konkluzioni mëposhtëm
CCNMNppCCpMpCNMNpMp 6)‘
_______________________
CCpMpCNMNpMp
Me simbolikë klasike shprehet
¬ ◊ ¬ p → p 9)
(¬◊¬p→p)→((p →◊p) → (¬◊¬p→◊p)) 6‘)
__________________________________
(p →◊p) → (¬◊¬p →◊p))
Duke u bazuar tek teza 7) e tek ky përfundim, aplikohet përsëri modus ponens si më
poshtë e përfitohet konkluzioni 10):
CpMp 7)
CCpMpCNMNpMp
________________
CNMNpMp Konkluzioni 10)
Me simbolikë klasike shprehet si më poshtë
(p → ◊ p) 7)
(p →◊p) → (¬◊¬p →◊p)) (përfundimi i më sipërm sipas modus ponens nga 9 e 6‘) )
_____________________
(¬◊¬p →◊p) 10)
10) CNMNpMp Me simb. klas. shprehet ¬ ◊ ¬ p → ◊ p
Që do të thotë: N.q.s nuk është e mundur jo p atëherë është e mundur p.
4p/MNp, q/Mp C10 - 11
106
D.m.th tek teza 4) zëvendësohet p me MNp, q me Mp e kështu përfitohet teza
4)‘‘308
dhe C10 - 11 do të thotë se nga 10) dhe 4)‘‘ sipas rregullit të ndarjes ose të
modus ponens arrihet si më poshtë në konkluzionin 11)
Nisemi nga teza 4)
CCNpqCNqp 4)
Me simbolikë klasike shprehet (¬ p → q ) → (¬ q → p) 4)
Pasi bëjmë zëvendësimin përfitohet teza e më poshtme
CCNMNpMpCNMpMNp 4)‘‘
Me simbolikë klasike shprehet (¬ ◊ ¬ p → ◊ p) → (¬ ◊ p → ◊ ¬ p) 4)‘‘
Në vijim zbatohet rregulla modus ponens
CNMNpMp 10)
CCNMNpMpCNMpMNp 4)‘‘
_____________________
CNMpMNp (konkluzioni 11)
Kjo rrjedhojë me simbolikë klasike shprehet:
¬ ◊ ¬ p → ◊ p 10)
(¬ ◊ ¬ p → ◊ p) → (¬ ◊ p → ◊ ¬ p) 4)‘‘
_________________________________
(¬ ◊ p → ◊ ¬ p) (konkluzioni)
11) CNMpMNp Me simbolikë klasike ¬ ◊ p → ◊ ¬ p
Që do të thotë: N.q.s nuk është e mundur p, atëherë është e mundur jo p.
3q/p, p/Mp C2 – 12
D.m.th tek teza tre zëvendësohet q me p, p me Mp e kështu përfitohet teza 3‘‘ dhe
C2 – 12 d.m.th se nga teza 2) dhe 3‘‘ përfitohet sipas rregullit të ndarjes ose modus
ponens teza 12). Arsyetimi vijon si më poshtë:
Nisemi nga teza 3)
CCNqNpCpq
Pas zëvendësimit të mësipërm përfitohet
CCNpNMpCMpp 3‘‘)
Me simbolikë klasike pasi bëhet zëvendësimi tek teza 3)
308
4)‘‘ sepse tek 4) është bërë një zëvendësim dhe është shënuar 4)‘.
107
(¬ q→ ¬ p) → (p →q)
përfitohet teza 3‘‘
(¬ p → ¬ ◊ p) → (◊ p →p)
Pasi aplikohet rregulli i modus ponens arrihet në përfundimin 12)
CNpNMp 2)
CCNpNMpCMpp 3‘‘) (sipas modus ponens )
_______________
CMpp 12)
Ose me simbolikë klasike
¬ p → ¬ ◊ p 2)
(¬ p → ¬ ◊ p) → (◊ p →p) 3‘‘)
_______________________
(◊ p →p) 12)
12) CMpp Me simbolikë klasike shprehet ◊ p → p
Që do të thotë: N.q.s është e mundur p atëherë p.
12p/Np 13
(d.m.th tek 12 zëvendësohet p me Np dhe përfitohet, në këtë rast vetëm me
zëvendësimin, 13)
13) CMNpNp Me simbolikë klasike shprehet ◊ ¬ p → ¬ p
Që do të thotë: N.q.s është e mundur jo p atëherë jo p.
5p/MNp, q/p C13 -14
(d.m.th tek 5 zv p me MNp dhe q me p dhe përfitohet 5‘ dhe C13 -14 do të thotë se
nga 13 me 5‘ përfitohet për modus ponnens 14)
Fillimisht bëhet zëvendësimi tek
CCpNqCqNp 5)
Me simbolikë klasike ( p → ¬ q ) → (q → ¬ p) 5)
Dhe përfitohet 5‘
CCMNpNpCpNMNp 5‘
Në vijim aplikohet rregulli i ndarjes ose modus ponens duke u nisur nga teza 13 dhe
5‘.
108
CMNpNp 13)
CCMNpNpCpNMNp 5‘ (Për modus ponens rrjedh 14)
____________________
CpNMNp 14)
Sipas simbolikës klasike rrjedhoja e mësipërme do të ishte
◊ ¬ p → ¬ p 13)
(◊ ¬ p → ¬ p) → (p → ¬ ◊ ¬ p) 5‘ (Për modus ponens rrjedh 14)
___________________________
(p → ¬ ◊ ¬ p) 14)
14) CpNMNp Me simbolikë klasike shprehet p → ¬ ◊ ¬ p
Që do të thotë: N.q.s p atëherë nuk është e mundur jo p.
6p/Mp, q/p, r/NMNp C12 – 14 – 15
Që d.m.th se tek 6) p zv me Mp, q me p, r me NMNp dhe C12 – 14 – 15
Do të thotë, ndryshe nga herët tjera, se rregulli i ndarjes ose modus ponens aplikohet
dy herë, fillimisht duke u nisur nga teza 12 dhe 6‘‘309
përfitohet 12‘, pastaj duke u
nisur nga 14 dhe 12‘ përfitohet 15.
Fillimisht bëhet zëvendësimin tek 6)
CCpqCCqrCpr 6)
Dhe përfitojmë
CCMppCCpNMNpCMpNMNp 6‘‘)
Tani aplikohet modus ponens duke u nisur nga 12) dhe 6‘‘
CMpp 12)
CCMppCCpNMNpCMpNMNp 6‘‘) (për modus ponens përfitohet 12‘310
)
_______________________________
CCpNMNpCMpNMNp 12‘
309
6‘‘ sepse tek 6) është bërë një zëvendësim më lart. 310
Në këtë rast, ndryshe nga rastet tjera, perfitohet fillimisht 12‘ (shënimi është arbitrar) për të
aplikuar dhe një herë rregullin e modus ponens.
109
Rrjedhoja e më sipërme sipas simbolikës klasike shprehet si vijon:
◊ p → p 12)
(◊p → p) → (( p → ¬ ◊ ¬ p ) → (◊p → ¬ ◊ ¬ p)) 6‘‘ (për modus ponens rrjedh )
_____________________________________________
( p → ¬ ◊ ¬ p ) → (◊p → ¬ ◊ ¬ p) 12‘)
Duke u nisur nga teza 14) dhe formula e mësipërme 12‘), aplikohet përsëri rregulli i
modus ponens dhe përfitohet 15)
CpNMNp 14)
CCpNMNpCMpNMNp 12‘
________________________
CMpNMNp 15)
Rrjedhoja e mësipërme me simbolikë klasike shprehet:
p → ¬ ◊ ¬ p 14)
( p → ¬ ◊ ¬ p ) → (◊p → ¬ ◊ ¬ p) 12‘ (për modus ponens rrjedh15)
______________________________
(◊p → ¬ ◊ ¬ p) 15)
15) CMpNMNp Me simbolikë klasike shprehet ◊ p → ¬ ◊ ¬ p
Që do të thotë: N.q.s është e mundur p atëherë nuk është e mundur jo p.
Gjithnjë, me të vetmit rregulla të përcaktuar në fillim zëvendësime e ndarje ose
modus ponens, vijohet më tej:
5p/Mp, q/MNp C15 - 16
D.m.th tek 5 zëvendësojmë p me Mp, q me MNp dhe C15 – 16 do të thotë se nisur
nga teza 5‘‘311
dhe 15 duke aplikuar rregullin modus ponens përfitohet 16).
Fillojmë me rregullin e zëvendësimit
Tek
CCpNqCqNp 5)
311
Përsëri shënojmë 5‘‘ sepse është zëvendësuar një herë më lart
110
bëjmë zëvendësimin e mësipërm dhe përfitojmë
CC Mp N MNp C MNp NMp 5‘‘
Duke u nisur nga teza 15 dhe teza 5‘‘ aplikohet rregulli i modus ponens dhe
përfitohet teza 16.
CMpNMNp 15)
CC Mp N MNp C MNp NMp 5‘‘ (për modus ponens rrjedh16)
_______________________________
CMNpNMp 16)
Rrjedhoja e mësipërme me simbolikë klasike shprehet:
◊ p → ¬ ◊ ¬ p 15)
( ◊ p → ¬ ◊ ¬ p ) → (◊¬ p → ¬ ◊ p) 5‘‘
__________________________
(◊¬ p → ¬ ◊ p) 16)
16) CMNpNMp Me simbolikë klasike shprehet ◊ ¬ p → ¬ ◊ p
Që do të thotë: N.q.s është e mundur jo p atëherë nuk është e mundur p.
Një shpjegim i mëtejshëm:
Tezat 7) – 11) janë rrjedhoja të 1); 12) - 16) rrjedhin nga 2). Teza e fundit i
korrespondon teoremës a) në logjikën klasike, e para teoremës b). Të gjitha tezat 7) –
11) janë evidente.
Jo kaq evidente janë tezat e grupit 12) – 16). Teza 12) lexohet: ― N.q.s është e
mundur p atëherë p‖. Kjo rrjedhojë e papranueshme rrjedh nga pranimi i formulimit
simbolik të teoremës II. Gjithsesi Lukasiewicz e konsideron të pamundur shprehjen
e propozicionit II, në gjuhën simbolike të kalkulimit propozicional bivalent, në
ndonjë mënyrë tjetër312
.
312
Po aty f. 246
111
5.6 . Rrjedhoja të teoremës së tretë relative me propozicionet
modale shprehur njëkohësisht me simbolikën polake dhe atë
klasike
Për Łukasiewicz, teorema III mund të shprehet vetëm nëpërmjet simbolizimit të
kalkulimit propozicional të zgjeruar
Me ―‖ shënohet kuantifikatori ekzistencial e ―p‖ shënon shprehjen ―për
ndonjë p‖. Konjuksioni shënohet me ―Kpq‖. Teorema III shprehet simbolikisht
kështu:
17) pKMpMNp
Me simbolikë moderne formula e mësipërme shprehet
p ( ◊ p ^ ◊ ¬ p ) 17)
Që d.m.th : ―për ndonjë p; është e mundur që p dhe është mundur që jo p‖.
Quantifikatori ekzistencial shprehet nëpërmjet kuantifikatorit universal ―‖ ku ‗p‘
d.m.th për çdo p.
Duke qenë (p) një shprehje që përmban p është i qartë barazimi:
D1. p()p = NpN(p) që d.m.th ekziston p që vlen ()p është njëlloj si jo
për çdo p jo ()p
Barazimi i mësipërm me simbolikën klasike shprehet
p ()p = ¬ p ¬ (p)
Duke zëvendësuar kuantifikatorin ekzistencial tek teza 17) përfitohet teza e
mëposhtme:
18) NpNKMpMNp
E njëjta formulë me simbolikën klasike shprehet:
(¬ p ¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p )
Që lexohet jo për çdo p nuk është e mundur p dhe jo p.
112
Łukasiewicz në Vështrime filozofike mbi sistemet polivalente të logjikës
propozicionale përfshinë një sistem logjik të quajtur ―prototetica‖ të Lesniewski-it
në të cilin ekzistojnë dhe funtor variabël313
. Duke shënuar me një funtor variabil,
që ka vetëm një proposizion si argument mund të demonstrohet në ―prototetica‖
proposizioni që vijon:
CKpNpq314
Me simbolikën klasike do të ishte:
( p ^ Np) → q)
Që lexohet ―N.q.s e p e e jo p, atëherë e p‖
Kjo është e vlefshme dhe për të gjithë funtorët me një argument është e vlefshme
dhe për funtorin M kështu përfitojmë
19) CKMpMNpMq
Formula 19) me simbolikën klasike do të ishte:
(◊ p ^ ◊ ¬ p ) → ◊ p
Tezat 18), 19), principi i kundërpozicionit 4 dhe një rregull tjetër i
kundërpozicionit teza 20) janë premisa të vërtetimit të më poshtëm formal. Në
këtë rast përdorët dhe rregulla e vendosjes së kuantifikatorit që shprehet kështu:
N.q.s në konsekuentin e një implikimi, i cili do të jetë një tezë, gjendet një
variabël propozicionale ―p‖ e lirë, që nuk gjendet e lirë në antecedent, atëherë
simboli ―p‖ mund të vendosët para konsekuentes së implikimit. Ky rregull
shënohet në të ardhmen me ―+‖.
20) CCpqCNqNp
Me simbolikën klasike do të ishte:
313
Po aty f. 247 314
P.sh: implikimi, që në simbolikën polake shenohet me C, është funtor dhe p e q janë argumentet.
113
(p → q) → ( ¬ q → ¬ p )
Ky princip përbën rregullën e njohur të modus tollendo tollens
Vijojmë përsëri si më sipër me rregullin e zëvendësimit dhe të ndarjes ose modus
ponens.
20p/KMpMNp, q/Mq C19 – 21
Tek 20 zëvendësojmë p me KMpMNp, q me Mq dhe përfitohet 20‘ ndërsa C19 – 21
do të thotë duke marrë për bazë 20‘ nëpërmjet modus ponens ose rregullit të ndarjes
përfitohet 21.
Fillimisht bëjmë zëvendësimin tek
CCpqCNqNp 20)
Ose
(p → q) → ( ¬ q → ¬ p )
dhe përfitojmë
CC KMpMNp MqCNMqN KMpMNp 20‘
Ose
((◊ p ^ ◊ ¬ p ) → ◊ q) →((¬ ◊ q →¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p))
Duke u nisur nga 19 dhe 20‘ aplikojmë rregullin e modus ponens dhe përfitojmë
21 si më poshtë:
CKMpMNpMq 19)
CC KMpMNp MqCNMqN KMpMNp 20‘
__________________________________
CNMqN KMpMNp 21)
Rrjedhoja e mësipërme me simbolikën e zakonshme moderne do të ishte
(◊ p ^ ◊ ¬ p ) → ◊ q
((◊ p ^ ◊ ¬ p ) → ◊ q) →((¬ ◊ q →¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p))
________________________________________
(¬ ◊ q →¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p) 21)
114
21) CNMqN KMpMNp ose (¬ ◊ q →¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p)
Që do të thotë: n.q.s nuk është e mundur q, atëherë nuk është e mundur p
dhe jo p.
21+22
Përdorët në këtë rast dhe rregulli i vendosjes së kuantifikatorit që më sipër shprehej
kështu: N.q.s në konsekuentin e një implikimi, i cili do të jetë një tezë, gjendet një
variabël propozicionale ―p‖ e lirë, që nuk gjendet e lirë në antecedent, atëherë
simboli ―p‖ mund të vendosët para konsekuentes së implikimit, si më poshtë, dhe
përfitohet 22)
22) CNMqpN KMpMNp
Ose me simbolikën klasike
(¬ ◊ q →p ¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p)
Vijohet me rregullin e zëvendësimit dhe të ndarjes ose të modus ponens
4p/Mp, q/pNKMpMNp C22q/p – C18 –23
Fillimisht bëhet zëvendësimi tek
CCNpqCNqp 4) dhe përfitohet
CCN Mp pNKMpMNp CNpNKMpMNp Mp 4‘‘
Gjithashtu bëjmë zëvendësimin tek
CNMqpN KMpMNp 22)
dhe përfitojmë
CNMppN KMpMNp 22‘
Tani nga duke u nisur nga teza 22‘ dhe teza 4‘‘ përfitojmë për modus ponens
përfitojmë tezen 22‘‘ si më poshtë
115
CNMppN KMpMNp 22‘
CCN Mp pNKMpMNp CNpNKMpMNp Mp 4‘‘ modus ponens
_______________________________________
CNpNKMpMNp Mp 22‘‘
Rrjedhoja e mësipërme me simbolikën e zakonshme moderne shprehet
(¬ ◊ p →p ¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p)
((¬ ◊ p →p ¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p)) → ((¬ p ¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p)) → Mp
_____________________________________________________
(¬ p ¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p)) → Mp
Më poshtë duke u nisur nga teza 18 dhe 22‘‘, gjithnjë sipas rregullit të ndarjes ose
modus ponens, përfitohet teza 23
NpNKMpMNp 18)
CNpNKMpMNp Mp 22‘‘ modus ponens
____________________________________
Mp 23)
Kjo rrjedhojë me simbolikën klasike shprehet
(¬ p ¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p )
(¬ p ¬ (◊ p ^ ◊ ¬ p)) → Mp
________________________
◊ p
23) Mp
Łukasiewicz shpjegon se në bazë të teoremës III kemi përfunduar për të njohur
gjithçka si të mundur që është kundër intuitës sonë.
5.7 Papajtueshmëria e teoremave mbi propozicionet modale në
kalkulimin propoizcional bivalent
Po të merren të ndara teoremat II dhe III çojnë në rrjedhoja të padëshirueshme
por po të merren njëkohësisht rrjedhojat bëhen të papranueshme.
Po të kombinohen tezat 12) me 23):
12) CMpp
116
◊ p → p
23) Mp
◊ p
marrim
12 C23 – 24 (në bazë të rregullës së modus ponens duke u nisur nga 12 dhe 23
përfitohet logjikisht 24)
CMpp
Mp
______
p
Me simboliken e zakonshme moderne rrjedhoja e mësipërme shprehet
◊ p → p
◊ p
_______
p
24) p
Kështu, sipas Lukasiewicz, është i vlefshëm çdo propozicion p e sistemi nuk mund
të jetë i qëndrueshëm 315
. I njëjti rezultat arrihet në këtë sistem pa tezën 19)
25) CpCqp
Me simbolikën moderne do të ishte
p → (q → p)
që përbën një ndër aksiomat e implikimit
26) NKpNp
¬ ( p ^ ¬ p )
Që përbën principin e moskontradiksionit
27) CCpqCCrsCKprKqs
Me simbolikën klasike do të ishte:
(p → q) → ((r → s) → ((p ^ r) → (q ^ s))
Më poshtë vijohet si më sipër me dy rregullat, atë të zëvendësimit dhe me
modus ponens
27p/Mp,q/p,r/MNp,s/Np C12-C13-28
315
Po aty f. 249
117
27p/Mp,q/p,r/MNp,s/Np do të thotë se tek 27 bëjmë këto zëvendësime p me
Mp, q me p, r me MNp e s me Np dhe përfitohet 27‘ ndërsa C12-C13-28 do
të thotë gjithnjë duke u nisur nga 27 e zëvendësuar ose 27‘ e duke aplikuar
dy herë modus ponens, si më poshtë, përfitohet 28.
Fillojmë si zakonisht me zëvendësimin:
Tek
CCpqCCrsCKprKqs 27) që me simbolikën moderne do të ishte
(p → q) → ((r → s) → ((p ^ r) → (q ^ s))
bëjmë zëvendësimin e lartpërmendur dhe përfitojmë:
CCMppCC MNp Np CKMp MNp Kp Np 27‘) ose me simbolikë klasike
(◊p → p) → ((◊¬p → ¬p) → ((◊p ^ ◊¬p) → (p ^ ¬p))
Duke u nisur nga 12 dhe 27‘ dhe duke zbatuar rregullin e modus ponens
përfitohet 27‘‘ si më poshtë:
CMpp 12)
CCMppCC MNp Np CKMp MNp Kp Np 27‘)
______________________________________
CC MNp Np CKMp MNp Kp Np 27‘‘)
Rrjedhoja e mësipërme me simbolikë klasike do të ishte:
(◊p → p)
(◊p → p) → ((◊¬p → ¬p) → ((◊p ^ ◊¬p) → (p ^ ¬p))
___________________________________________
(◊¬p → ¬p) → ((◊p ^ ◊¬p) → (p ^ ¬p)
Përsëri duke u nisur nga 13) dhe 27‘‘ dhe duke aplikuar rregullin e modus
ponens rrjedh logjikisht 28).
CMNpNp 13)
CC MNp Np CKMp MNp Kp Np 27‘‘)
________________________________
CKMp MNp Kp Np 28)
Ose me simbolikën moderne
(◊¬p → ¬p)
(◊¬p → ¬p) → ((◊p ^ ◊¬p) → (p ^ ¬p)
________________________________
((◊p ^ ◊¬p) → (p ^ ¬p) 28)
118
28) CKMp MNp Kp Np
Vijohet përsëri me dy rregullat bazë të kalkulimit
20p/KMpMNp, q/KpNp C28-C26-29
Që do të thotë se tek 20) zëvendësojmë p me KMpMNp dhe q me KpNp dhe
përfitohet 20‘ pastaj duke u nisur nga 28) dhe 20‘ zbatohet rregulli i modus ponens
dhe përfitohet, si vijon, 28‘. Përsëri duke u nisur nga 28‘ dhe 26 aplikohet modus
ponens dhe përfitohet 29).
Fillojmë si gjithnjë më zëvendësimin:
Tek
CCpqCNqNp 20)
Bëjmë zëvendësimin e mësipërm dhe përfitojmë
CC KMpMNp KpNp CN KpNp N KMpMNp 20‘
Duke u nisur nga 28) dhe 20‘ aplikojmë rregullin e modus ponens si vijon:
CKMp MNp Kp Np 28)
CC KMpMNp KpNp CN KpNp N KMpMNp 20‘
________________________________________
CN KpNp N KMpMNp 28‘)
Ose me simbolikë moderne:
(◊p ^ ◊¬p) → (p ^ ¬p)
((◊p ^ ◊¬p) → (p ^ ¬p)) → (¬ (p^¬ p) →¬ (◊p ^ ◊¬p))
_____________________________________________
¬ (p^¬ p) →¬ (◊p ^ ◊¬p)
Duke u nisur nga 26 dhe 28‘ aplikojmë përsëri rregullin e modus ponens dhe
përfitojmë logjikisht 29)
NKpNp 26)
CN KpNp N KMpMNp 28‘)
________________________
N KMpMNp 29)
Ose me simbolike moderne
119
¬ ( p ^ ¬ p )
¬ (p^¬ p) →¬ (◊p ^ ◊¬p)
____________________
¬ (◊p ^ ◊¬p) 29)
29) N KMpMNp
Vijohet me dy rregullat e mësipërme të kalkulimit:
25p/NKMpMNp C29-30
Tek 25 zëvendësojmë p me NKMpMNp dhe përfitojmë 25‘ pastaj nisur nga 29 dhe
25‘ duke aplikuar modus ponens përfitojmë, si më poshtë, 30)
Zëvendësohet si më sipër tek:
CpCqp 25)
Dhe përfitohet
C NKMpMNp Cq NKMpMNp 25‘
Nisur nga 29 dhe 25‘ duke aplikuar modus ponens përfitojmë, si më poshtë, 30)
N KMpMNp 29)
C NKMpMNp Cq NKMpMNp 25‘
_________________________________
Cq NKMpMNp 30)
Ose me simbolikën moderne:
¬ (◊p ^ ◊¬p)
¬ (◊p ^ ◊¬p) → (q → ¬ (◊p ^ ¬ ◊ p))
_______________________________
q → ¬ (◊p ^ ¬ ◊ p) 30)
30) Cq NKMpMNp
30 +31
Në këtë rast përdorët dhe rregulla e vendosjes së kuantifikatorit që më sipër shprehej
kështu: N.q.s në konsekuentin e një implikimi, i cili do të jetë një tezë, gjendet një
variabël propozicionale ―p‖ e lirë, që nuk gjendet e lirë në antecedent, atëherë
simboli ―p‖ mund të vendosët para konsekuentes së implikimit, si më poshtë, dhe
përfitohet 31)
120
31) Cq pNKMpMNp
Ose me simbolikën moderne:
q →p ¬ (◊p ^ ¬ ◊ p)
I rikthehemi përsëri rregullave të zëvendësimit dhe të modus ponens:
31q/CpCqp C25-32
Bëjmë zëvendësimin e mësipërm dhe, duke u nisur nga 25 dhe 31‘ i përfituar
pas zëvendësimit, aplikojmë rregullin e modus ponens, si më poshtë:
CpCqp 25)
C CpCqp pNKMpMNp 31‘
_________________________
pNKMpMNp 32)
Kjo rrjedhojë logjike me simbolikën moderne shprehet:
p → (q→p)
(p → (q→p)) →p¬ (◊p ^ ◊ ¬ p)
___________________________
p¬ (◊p ^ ◊ ¬ p) 32
32) pNKMpMNp
Që do të thotë se për çdo p nuk është njëkohësisht e mundur p dhe e mundur jo p.
Łukasiewicz, gjithnjë në shkrimin Vështrime filozofike mbi sistemet polivalente të
logjikës prepozicionale, që gjendet gjithnjë në librin e lartpërmendur Dalla logica
alla metalogica316
, vëren se tezat 18 dhe 32 janë kontradiktore; për rrjedhojë dhe
propozicionet II dhe III rezultojnë të papërputhshme.
Łukasiewicz gjithë demonstrimin e mësipërm, që natyrisht ai e shpreh vetëm me
simbolikën polake, e bën të pranueshme vetëm në këtë mënyrë: n.q.s sipas
propozicionit III shprehjet M e MN janë të dyja të vërteta për një farë
propozicioni atëherë në bazë të tezave 12 e 13, propozicionet e N duhet të jenë
të dyja të vërteta. Por kjo është e pamundur sepse ato janë kontradiktore317
.
Sipas Łukasiewicz, problemi mund të zgjidhet në dy mënyra kur merret për
bazë kalkulimi propozicional bivalent. Sipas tij, teorema I dhe tezat e grupit të parë
të lidhura me të, d.m.th tezat 1 dhe 7-11, duhet të pranohen pa asnjë kufizim; ato
316
Po aty f. 250 317
Po aty
121
nuk janë venë kurrë në diskutim318
. Nga teoremat II dhe III mund të zgjidhet vetëm
njëra. N.q.s vendosim në favor të teoremës II e të tezave të grupit II të lidhura me
të, d.m.th të tezave 2 dhe 12-16, atëherë të gjitha propozicionet modale bëhen
ekuivalente me ato jo-modale. N.q.s vendosim në favor të propozicionit III, jemi të
detyruar të pranojmë rrjedhojën paradoksale se çdo gjë është e mundur, e kështu
bëhet përsëri e panevojshme futja e propozicioneve modale në sistem; për më shumë
duhet të evitojmë teoremën II e cila është krejt evidente, për të evituar
kontradiksione. Sipas Łukasiewicz asnjë nga këto zgjidhje nuk është e
kënaqshme319
.
Të evitosh teoremën II nuk është e mjaftueshme. Nuk mund të pritej një
rezultat i ndryshëm e kjo bëhet e qartë, n.q.s sistemi shprehet me metodën e
matricave të cilat do të trajtohen në paragrafin e mëposhtëm.
5.8 Matrica e kalkulimit propozicional me dy e tre vlera
vërtetësie
Nga Łukasiewicz janë shfrytëzuar dhe matricat, për të shprehur shpërndarjen
e vlerave në sistemin bivalent e polivalent. Në sistemin bivalent supozohet se të
gjithë variablat propozicional mund të marrin vetëm dy vlera konstante, 0 e 1. Nga
kuptimi i implikimit dhe mohimit vlen:
C00 = C01 = C11 = 1,
që me simbolikën klasike do të ishte
(0 → 0) = (0 → 1) = (1 → 1) = 1
që përbëjnë pikërisht tabelat e vërtetësisë së implikimit
C10 = 0
me simbolikën klasike
1 → 0 = 0
dhe mohimit
N0 = 1, e N1 = 0320
318
Po aty 319
Po aty 320
Po aty
122
ose
¬ 0 = 1, ¬ 1 = 0
Këto ekuacione janë shprehur në tabelën e mëposhtme, që është matrica e
kalkulimit proposizional me dy vlera bazuar tek mohimi dhe implikimi.
Tabela 5.2
C
0 1
N
0
1
1 1
0 1
1
0
Shtylla e fundit përbën mohimin e shtyllës së parë dhe duket lehtësisht se
vlerat janë të kundërtat e saj. Në rastet tjera fillohet nga çdo vlerë e shtyllës dhe
kombinohen përkatësisht një nga një me çdo vlerë të rreshtit.
Në një sistem bivalent mund të formohen vetëm katër funksione të ndryshme
mono – argument. N.q.s shënon një funtor me një argument janë të mundur këto
raste 1) 0 = 0 e 1 = 0 ky shënohet me Fp (falsum p); 2) 0 = 0, 1 = 1; p është
ekuivalent me p; 3) 0 = 1 e 1 = 0; ky është mohimi i p; 4) 0 = 1 e 1 = 1; o Vp
(verum p)
Mp duhet të jetë identik me një nga këto raste. Por secila nga tezat 1), 2) e 18) i
përjashton disa.
Duke verifikuar me 0 e 1 mund të bindesh së ekzistojnë relacionet:
1) CNMpNp vlen vetëm për Mp = p o Mp = Vp
¬ ◊ p → ¬ p vlen vetëm për ◊ p = p o ◊ p = Vp
A. 2) CNpNMp vlen vetëm për Mp = p o Mp = Fp
¬ p → ¬ ◊ p vlen vetëm për ◊p = p o ◊p = Fp
18) NpNKMpMNp vlen vetëm për Mp = Vp
¬ p ¬(◊ p → ¬ p) vlen vetëm për ◊p = Vp
123
Teza 18) është verifikuar nga barazimi: p(p) = K(0)(1)
p (p) ) = (0) ^ (1)
Vlen:
NpNKMpMNp = NKNKM0MN0NKM1MN1
¬ p ¬(◊ p → ¬ p) = ¬ ( ¬ (◊0 ^ ◊¬0) ^ ¬ (◊1 ^ ◊¬1)) thjeshtohet ¬0 =1 e ¬1 = 0
= NKNKM0M1NKM1M0
= ¬ ( ¬ (◊0 ^ ◊1) ^ ¬ (◊1 ^ ◊0)) ndërrohen vendet tek
konjuksioni i fundit
= NKNKM0M1NKM0M1
= ¬ ( ¬ (◊0 ^ ◊1) ^ ¬ (◊0 ^ ◊1)) duke qenë njëlloj është e
vlefshme të shënohet vetëm njëri sepse vlen principi p^p = p
= NNKM0M1
= ¬ ( ¬ (◊0 ^ ◊1) eliminohen dy mohimet
= KM0M1
(◊0 ^ ◊1)
Konjuksioni i fundit përfitohet vetëm N.q.s:
M0 = M1 = 1
Kushtet e mësipërm A bëjnë evidente që tezat 1) e 2) mund të jenë njëkohësisht
të vlefshme vetëm: N.q.s Mp = p, ashtu dhe tezat 1) e 18) mund të jenë të vlefshme
vetëm N.q.s Mp = Vp. Tezat 2) e 18) janë të papërputhshme sepse nuk ka asnjë
funksion për ―Mp‖ që ti verifikojë të dyja njëkohësisht321
.
5.9 Kalkulimi proposicional trivalent
Gjithë kalkulimin e mësipërm Łukasiewicz e kishte bërë për të justifikuar
logjikën bivalente. Por mendimi i tij logjik nuk kufizohet me logjikën bivalente. Ja
si shkruan Łukasiewicz në shkrimin Vështrime filozofike mbi sistemet polivalente të
logjikës propozicionale:―Kur në vitin 1920, kuptova pa përputhshmërinë e teoremave
tradicionale mbi propozicionet modale, po merresha me ndërtimin e kalkulimit
propozicional bivalent. Atëherë isha i bindur se të gjitha tezat e kalkulimit ordinar
321
Po aty f.251
124
prepozicional mund të vërtetohen duke u nisur nga hipoteza se variablat
prepozicionale mund të merrnin vetëm dy vlerat 0 ose fals, e 1 ose vërtetë”322
.
Siç është përmendur më lart, në të njëjtin vit ka një tjetër moment domethënës,
kur Łukasiewicz mban një relacion mbi logjikën trivalente në konferencën e
Shoqërisë Filozofike Polake të Leopolit. Łukasiewicz mohon principin bivalent dhe
pranon pohimet e mundur. Në këtë përfundim arrin në mënyrë të thjeshtë duke marrë
shembullin e lartpërmendur: Do të jem në Varshavë me 21 dhjetor të vitit tjetër323
.
Łukasiewicz arsyeton në këtë mënyrë: Pasi akoma nuk është vendosur të jem në
Varshavë, as në sensin pozitiv as në sensin negativ, sot ky pohim nuk është as i
vërtetë as fals, por i mundur324
. Kështu bëhet e nevojshme një vlerë tjetër vlerë
vërtetësie që, sic është përmendur, e shënon fillimisht me 2 e pastaj me1/2325
. Lind
kështu sistemi trivalent. Me futjen e një vlere të tretë vërtetësie nga ana e
Łukasiewicz, përfitohen ekuacionet:
N1/2 = 1/2 , C0 1/2 = 1, C1/2 0 = 1/2, C1/2 1/2= 1 C1/2 1 =1, C1 1/2 = 1/2326
që me simbolikën klasike do të ishin:
¬ 1/2 = 1/2 , 0 →1/2 = 1, 1/2→ 0 = 1/2, ½ → 1/2= 1 1/2→ 1 =1, 1→ 1/2 = ½
Kalkulimi propozicional trivalent, që i përket vitit 1920, shprehet me
matricën që vijon327
:
Tabela.5.3
C
0 1/2 1
N
0
½
1
1 1 1
1/2 1 1
0 1/2 1
1
½
0
322
Po aty f. 252 323
Po aty f. 253 324
Po aty 325
Po aty 326
Po aty 327
Po aty
125
Shtylla e fundit përbën mohimin e shtyllës së parë dhe duket lehtësisht se
vlerat janë të kundërta. Në rastet tjera fillohet nga çdo vlerë e shtyllës dhe
kombinohen përkatësisht një nga një me çdo vlerë të rreshtit.
Në logjikën trivalente implikimi është fals kur antecedenti është i vërtetë e
konsekuenti është fals, si në sistemin bivalent e ka vlerën ½ kur:antecedenti ka vlerën
½ e konsekuenti 0; e antecedenti ka vlerën 1 e konsekuenti ka vlerën ½. Në të gjitha
rastet tjera implikimi ka vlerën 1. Bëjmë ndonjë shembull : N.q.s mund të ketë
ndonjë koncert, atëherë e shihni. N.q.s vendosni mos ta shihni, e kështu vlera e
konsekuentes është 0, implikimi ka vlerën ½ sepse koncerti mund të jetë ose mund
mos të jetë. N.q.s ka ndeshje, mund të shkoni e ta shihni. Dhe në këtë rast, (duke
supozuar që ndeshja të jetë) duke pasur antecedent vlerën 1 e konsekuenti vlerën ½,
implikimi ka vlerën ½.
N.q.s mund të jetë ndonjë koncert, mund të shkoni e ta shihni. Në këtë rast
antecedenti e konsekuenti kanë vlerën ½ e implikimi ka vlerën 1. Janë rastet kur
antecedenti ka një vlerë të ndryshme nga 0, që kërkojnë verifikim. Duket se
antecedenti i kushtores supozon diçka. Ndërsa implikimi që ka antecedentin fals
është i vërtetë.
5.10 Ndikimi pozitiv që pati përcaktimi i konceptit të
mundësisë për kalkulimin propozicional, zbuluar nga Tarski
Łukasiewicz, pasi mendon përfshirjen e një vlere të tretë vërtetësie, nuk
rresht së kërkuari mundësinë e një sistemi që ta lejonte këtë pa renë në kontradiksion.
Ja si shkruan ai në shkrimin e lartpërmendur:“Në bazë të këtij sistemi kërkova të
përcaktoj një koncept të mundësisë që do të më lejonte sistemin e të gjitha teoremave
evidente tradicionale mbi propozicionet modale pa rënë në kontradiksion. E bëra
këtë duke u nisur nga koncepti i mundësisë ‗puro‘ e gjeta shpejt një përcaktim të
kënaqshëm‖328
.
Përcaktimi ishte:
328
Po aty f. 254.
126
D*1. Mp = AEpNpqNCpKqNq që do të thotë: është e mundur p, d.m.th
ose p ose jo p janë ekuivalente, ose nuk ka asnjë kopje propozicionesh kontradiktore
të implikuara nga p, ky A është shenja e alternativës, E shenja e ekuivalencës329
Në këtë mënyrë Łukasiewicz përcakton konceptin e mundësisë që lejon të
gjitha teoremat intuitive të propozicioneve modale, pa rënë në kontradiksion.
Përcaktimi i konceptit të mundësisë është zbuluar nga Tarski në vitin 1921kur ndiqte
seminaret e mia - shprehet Łukasiewicz 330
.
D2. Mp = CNpp331
Ose me simbolikën moderne:
◊p = ¬p →p
Shprehur me fjalë: ―është e mundur p‖ d.m.th ―N.q.s jo p atëherë p‖332
.
Shprehja CNpp është fals sipas matricës me tre vlera atëherë dhe vetëm atëherë kur
―p‖ është fals përndryshe është i vërtetë. Me ekuacione shprehen kështu:
M0 = 0, M1/2 = 1, M1 = 1.
Kështu, n.q.s një propozicion p është fals atëherë propozicioni Mp është edhe
ai fals. N.q.s p është e vërtetë ose n.q.s merr një vlerë të tretë (mundësi), atëherë
propozicioni Mp është i vërtetë. Në logjikën bivalente shprehja CNpp ose ¬p →p
është ekuivalente me p; por jo në logjiken trivalente333
.
Teza CCNppp pohon: N.q.s për njëfarë propozicioni, p.sh , implikimi CN
vlen, atëherë vlen dhe . Implikimi ―N.q.s jo , atëherë ‖ nuk d.m.th të njëjtën
gjë me shprehjen ― mund të rrjedhë nga jo ‖. N.q.s nga jo rrjedh , atëherë
është e vërtetë. Łukasiewicz shprehet: është e qartë: n.q.s një propozicion mund të
rrjedhë nga kontradiktorja e saj është sigurisht jo fals, kështu jo e pamundur. Është
pikërisht e mundur, ashtu si e përcaktoi Tarski334
.
Duke aplikuar konceptin e domosdoshmërisë përfitohet D3 në akord me D2
D3 NMNp = NCpNp ose ¬ ◊ ¬ p = ¬ (p → ¬ p)
Që do të thotë: nuk është e mundur jo p është ekuivalente me nuk ka mundësi që
n.q.s p Atëherë jo p.
329
Faktikisht ky sqarim jepet tek shënimi po në këtë faqe. 330
Po aty
332
Po aty 333
Po aty f.255 334
Po aty f 256
127
Atëherë mund të pohohet se një farë propozicioni është i domosdoshëm,
atëherë dhe vetëm atëherë kur nuk përmban mohimin e tij. Łukasiewicz shprehet se
ky përcaktim, që ka bërë Tarski, është i vetmi në sistemin trevalent që kënaq të gjitha
kërkesat e teoremave I-III335
.
Łukasiewicz vijon me vërtetimin e tezave të më poshtme. Natyrisht se ai i
shpreh me simbolikën polake por unë do vazhdoj me përkthimin e çdo teze në
simboliken e zakonshme moderne dhe me sqarimin e çdo zëvendësimi apo zbatimi të
rregullit të modus ponens, sepse këto merren përsëri si rregulla bazë për të vijuar me
rrjedhoja të mëtejshme e kështu për të vijuar demonstrimin336
.
Nga përcaktimi D2 rrjedh se të gjitha tezat e grupit të parë janë verifikuar, d.m.th
teza 1 korrespondente e teoremës I, e tezat 7-11 të demonstruara më sipër.
Në logjikën trivalente vlen:
T1 CpCqp
ose
p → (q → p)
vijohet me rregullin e zëvendësimit
T1q/Np T2
tek T1 q zëvendësohet me Np dhe përfitohet teza T2
T2. CpCNpp
Ose
p → (¬ p → p)
vijohet me zëvendësimin e mëposhtëm
T2 D2 T3
Do të thotë se është përdorur një rregull që lejon zëvendësimin e anës së djathtë të
një formule me anën e majtë. Tek T2 në vend të CNpp është vendosur Mp dhe
përfitohet T3.
T3 CpMp
Ose
p → ◊ p
335
Po aty 336
Po aty
128
Të gjitha tezat : 1) e 7) – 11) janë sipas Łukasiewicz janë evidente337
. Të
tjerat nuk janë verifikuar por në një farë kuptimi dy prej tyre janë të vlefshme:
CpCpNMNp e CNpCNpNMp
Ose
p → (p → ¬ ◊ ¬ p) e ¬ p → (¬ p → ¬ ◊ p)
Dhe pse nuk janë të vlefshme shprehjet
CpNMNp e CNpNMp
(p → ¬ ◊ ¬ p) (¬ p → ¬ ◊ p)
Kjo për faktin se në kalkulimin trivalent teza CCpCpqCpq e, CC e C
nuk janë ndërmjet tyre ekuivalente. Propozicionet e cituara sipër vërtetohen
nëpërmjet tezave ndihmese:
T4 CpCCpqq
p → ((p → q)→ q)
T5 CpCCNNpqq
p → ( (¬p → q)→ q)
T6 CCpCqrCpCNrNq
(p → (q→ r)) → (p → (¬ r →¬ q) modus tollendo tollens.
T7 CCpCqNrCpCrNq
(p → (q→¬ r)) → (p → ( r →¬ q)
Vijohet me rregullin e zëvendësimit dhe të ndarjes
T6p/Np, q/CNpp, r/p x CT4p/Np, q/p-T8
337
Po aty f. 256
129
Tek T6 zëvendësohet p me Np, q me CNpp, r me p dhe përfitohet T6‘ dhe tek
T4 p me Np, q me p dhe përfitohet T4‘. Gjithashtu duke u nisur nga T4‘ dhe T6‘
aplikohet rregulli i modus ponens dhe përfitohet si më poshtë T8
Fillojmë me zëvendësimin tek
CCpCqrCpCNrNq T6
Dhe përfitojmë
CC Np C CNpp pC Np CNpN CNpp T6‘
Zëvendësojmë tek
CpCCpqq T4
Dhe përftojmë
C Np CCppp T4‘
Aplikojmë rregullin e modus ponens
C Np CCppp T4‘
CC Np C CNpp pC Np CNpN CNpp T6‘
_____________________________
pC Np CNpN CNpp T8
Kjo rrjedhojë me simbolikën e zakonshme moderne shprehet
¬ p → ((¬ p → p)→ p) T4‘
(¬ p → ((¬p →p) → p)) → (¬ p → (¬ p →¬ (¬p →p )) T6‘
__________________________________________________
(¬ p → (¬ p →¬ (¬p →p )) T8
T8 CNpCNpNCNpp
Vijohet me një nga rregullat e lartpërmendura; atë të zëvendësimit të anës së djathtë
me të majtë tek D2
T8. D2 T9
Tek CNpCNpNCNpp ose T8), CNpp zëvendësohet me anën e majtë të saj tek Mp =
CNpp ose D2) dhe si më poshtë përfitohet T9.
130
T9 CNpCNpNMp
Shprehur me simbolikën e mëvonshme klasike është
¬ p → (¬ p → ¬ ◊ p)
Vijohet me rregullat e mësipërme të kalkulimit
T7q/CNNpNp, r/p x CT5q/Np-T10
Që do të thotë se tek T7 q zëvendësohet me CNNpNp, r me p dhe tek T5 q me Np.
Gjithashtu zbatohet rregulli i modus ponens duke u nisur nga T5‘ dhe T7‘.
Fillohet si gjithnjë me zëvendësimet
Tek
CCpCqNrCpCrNq T7
Bëhen zëvendësimet e lartpërmendura dhe përfitohet
CCpC CNNpNp NpCpCpN CNNpNp T7‘338
Tek
CpCCNNpqq T5
Bëhet zëvendësimi i më sipërm q me Np dhe përfitohet
CpCCNNp Np Np T5‘
Zbatojmë rregullin e modus ponens duke u nisur nga T5‘ dhe T7‘, ose anasjelltas
duke u nisur nga T7‘dhe T5‘, radha nuk ka rëndësi në aplikimin e këtij rregulli.
CpCCNNp Np Np T5‘
CCpC CNNpNp NpCpCpN CNNpNp T7‘
_________________________________
CpCpN CNNpNp T10
338
Shënimin, ashtu si në rastet tjera më lart, e kam bërë në mënyrë arbitrare për të kuptuar lehtësisht
aplikimin në vijim të rregullit të modus ponens
131
Me simbolikën moderne të zakonshme kjo rrjedhojë shprehet:
(p → ((¬¬p→¬p) →¬ p)) T5‘
(p → ((¬¬p→¬p) →¬ p)) → (p → ( p →¬ (¬¬p→¬p))) T7‘
_____________________________________________
(p → ( p →¬ (¬¬p→¬p))) T10
T10 CpCpNCNNpNp
Vijohet me rregullat e mësipërm.
T10D2p/Np x T11
Do të thotë se në këtë rast zbatohet rregulli i zëvendësimit të anës së djathtë me të
majtë tek D2 ku njëkohësisht bëhet zëvendësimi i p me Np si më poshtë:
Tek
Mp = CNpp D2 zëvendësohet p me Np dhe përfitohet
M Np = CN Np Np D2‘‘339
Gjithashtu duke u bazuar tek D2‘‘ zëvendësohet tek
CpCpNCNNpNp T10
ana e djathtë CNNpNp me anën e majtë po të D2‘‘ M Np dhe përfitohet T11
T11 CpCpNMNp
Që me simbolikën e zakonshme moderne shprehet
p → (p→¬ ◊¬p)
Që do të thotë: n.q.s p atëherë, n.q.s p nuk është e mundur jo p.
Pas këtij demonstrimi që Lukasiewicz bën në simbolikën polake, që më sipër u
shpreh në simbolikën e zakonshme moderne shuhen kontradiktat në të cilat ishte
arritur gjatë radhitjes së tridhjetë e dy tezave. Ky logjicien i shquar, pas këtij
demonstrimi, ilustron vlefshmërinë e këtij demonstrimi me disa shembuj interesantë.
339
D2‘‘ sepse D2‘është shënuar një herë
132
Ja si shprehet: N.q.s prarohet propozicioni ‗jo ‘ Atëherë nga ai sipas tezës T9,
arrihet propozicioni ‗nuk është e mundur 340
.
Łukasiewicz, nuk bën këto kalime, të cilat nisur nga një pohim p do të ishin:
Np Pranohet si hipotezë
CNpCNpNMp T9 (aplikohet modus ponens)
____________
CNpNMp (konkluzioni e njëkohësisht premisë e rrjedhojës së dytë)
Np hipotezë
____________________
NMp
Me simbolikën e zakonshme do të ishte
¬ p hipotezë
¬ p → (¬ p → ¬ ◊ p) T9 (aplikohet modus ponens)
___________________
(¬ p → ¬ ◊ p) (konkluzioni e njëkohësisht premise e rrjedhojës së dytë)
¬ p hipotezë
___________________
¬ ◊ p
Shembulli mund të ishte çfarëdo, por ai që merr Łukasiewicz është interesant: ―Nuk
kam asnjë lek në xhep; nuk është e mundur të kem lek në xhep‖.
Po ashtu, n.q.s pranohet propozicioni , atëherë nga T11 e ndarje e dyfishtë (ose
aplikim dy herë i rregullit modus ponens) arrihet në propozicionin ‗nuk është e
mundur jo ‘, që ka të njëjtën domethënie me ‗është e domosdoshme ‘. Nisur nga
një pohim p dhe në këtë rast po bëjmë këtë kalim të nënkuptuar nga Lukasiewcz.
p hipotezë
CpCpNMNp T11 (aplikohet modus ponens)
___________
CpNMNp (konkluzioni njëkohësisht premisë e rrjedhojës tjetër)
p hipotezë (aplikohet përsëri modus ponens)
_____________
NMNp (konkluzioni)
Që me simbolikën e zakonshme moderne shprehet
340
Po aty f.258
133
p hipotezë
p → (p→¬ ◊¬p) T11 (aplikohet modus ponens)
_________________
p→¬ ◊¬p (konkluzioni njëkohësisht premisë e rrjedhojës tjetër)
p hipotezë
_______________
¬ ◊¬p (konkluzioni)
Si shembull mundë merret cilido: P.sh. Unë po shkruaj, d.m.th nuk është e mundur
të mos jem duke shkruar.
Teorema II është e vlefshme. Në fakt, shprehet Łukasiewicz shprehjet e NMN
dhe N e NM nuk janë ndërmjet tyre ekuivalente. As qenia nuk rrjedh nga
mundësia, sepse as CMpp as CMpCMpp vlejnë në kalkulimin prepozicional
trivalent, përderisa Mp d.m.th CNpp.
Ndërsa teorema III është verifikuar në formën e tezës:
T12 pKMpMNp që me simbolikën moderne do të ishte p ◊ p ^ ¬ ◊ p
që do te thotë ekziston p i tillë që është i mundur p dhe jo p
ose
T13 NpNKMpMNp që me simbolikën moderne do të ishte ¬ p¬(◊ p ^¬ ◊p)
që do te thotë: jo për çdo p nuk është, e mundur p dhe e mundur jo p.
Në të cilën janë arrirë përcaktimet e mëposhtme:
D4 Apq = CCpqq
Me simboliken e zakonshme moderne shprehet
p ˅ q = (p → q) → q
D5 Kpq = ¬ (¬ p ˅ ¬q)
p ^ q = (p → q) → q
134
Sipas Łukasiewicz tezat T12 dhe T13 verifikohen lehtësisht me ndihmën e
matricave341
Për p =1/2 marrim:
Tek pKMpMNp merret p =1/2 e vijohet me zëvendësimin e p me 1/2 si më poshtë:
KM1/2 MN1/2 = K 1 M1/2 = K11 =1
Ekziston kështu një vlerë për p, për të cilën shprehja KMpNMp është korrekte
Łukasiewicz, pas gjithë këtij kalkulimi që bën vetëm në simbolikën polake, formulon
teoremën e mëposhtme:
Të gjitha teoremat për propozicionet modale janë provuar të çliruara nga
kontradiksionet në kalkulimin trivalent mbi bazë të përcaktimit Mp = CNpp342
.
Łukasiewicz demonstron gjithashtu se përcaktimi i dhënë nga Tarski është i vetmi në
kalkulimin trivalent që kënaq kërkesat e teoremave I-III. Łukasiewicz e bën
demonstrimin në këtë mënyrë
Meqenëse, sipas teoremës I, propozicioni N rrjedh nga NM, atëherë
sipas ligjit të transpozicionit, M duhet të rrjedhë nga . Kështu, n.q.s = 1, atëherë
M = M1 = 1. Merret kështu ekuacioni M1 = 1.
Nga ana tjetër, sipas teoremës II, propozicioni NM rrjedh nga propozicioni
N. Kështu n.q.s = 0, ose N = 1, atëherë NM = NM0 = 1. Por NM0 mund të
jetë i barabartë me 1 vetëm sipas kushtit që M0 = 0. Përfitohet kështu ekuacioni i
dytë M0 = 0.
Më në fund dhe teorema III, ―pKMpMNp‖, duhet të jetë e vërtetë. Por nuk është e
vërtetë për p = 0 o p = 1; në fakt në të dy rastet një term i konjuksionit është fals e
kështu konjuksioni është fals.
Duhet të merret M 1/2 = 1, sepse vetëm atëherë konjuksioni ―KMpMNp‖
është i barabartë me 1 për p =1/2. Në këtë mënyrë funksioni Mp është tërësisht i
përcaktuar në kalkulimin propozicional, e mund të jetë i përcaktuar vetëm nga CNpp
ose nga një shprehje ekuivalente me të 343
.
341
Po aty 342
Po aty 343
Po aty
135
5.11 Nga tre vlera vërtetësie tek një pafundësi vlerash
Me pranimin e një vlere të tretë logjike e të vlerave tjera, duke vlerësuar
implikimin; antecedentin e konsekuentin e tij, rrjedhin një seri rrjedhojash si modus
ponens e ligji i kundër pozicionit si më poshtë.
I.
p→q
◊p
---------
◊p
II.
◊ (p→q)
p
------------
◊q
Kemi një ndryshim të thjeshtë tek rregulli i modus ponens ku tek I p zëvendësohet
me ◊p dhe tek II (p→q) zëvendësohet me ◊ (p→q). Ky rregull bazë i logjikës është i
vlefshëm dhe me këtë zëvendësim.
Përveç sistemit tirvalent të kalkulimit propozicional, Lukasiewicz zbuloi
një klasë të tërë sistemesh të ndërlidhur, që përcaktoi nëpërmjet sistemeve të
matricave në mënyrën që vijon: n.q.s ―p‖ dhe ―q‖ shënojnë numra të intervalit
(0 – 1), atëherë:
Cpq = 1 Për p < 1
Cpq = 1- p + q për p > q
Np = 1 - p
N.q.s janë zgjedhur vetëm vlerat limit 0 e 1 të intervalit (0 ,1), përcaktimi
paraprak përfaqëson matricën e kalkulimit të rregullt propozicional me dy vlera.
N.q.s për më tepër është përfshirë vlera ½, përfitohet matrica e sistemit me tri vlera.
Në mënyrë të ngjashme mund të ndërtohen sistemet me 4, 5, ……, n-vlera344
.
344
Po aty f.259
136
Sipas Lukasiewicz të gjitha tezat e sistemeve me tre e pafundësi vlerash ( pa
kuantifikator) vlejnë në sistemin me dy vlera . Ai shprehet se ka, gjithsesi, teza që
vlejnë në kalkulimin e në sistemin me dy vlera por nuk vlejnë në kalkulimin në
sistemin me tre vlera, e teza të sistemit me tre vlera që nuk vlejnë në atë me
pafundësi vlerash.
Tezat më të rëndësishme të kalkulimit bivalent që nuk vlejnë për sistemet me
tre dhe një pafundësi vlerash kanë të bëjnë me disa skema të rrjedhojës apagogjike
për të cilat është dyshuar gjithmonë345
.
Sipas Lukasiewicz skema të tilla si:
CCNppp, CCpNpNp, CCpqCCpNqNp, CCpKqNqNp, CCpEqNqNp
që me simbolikën e zakonshme do të ishin
(¬ p → p) →p, (p → ¬ p) → ¬ p, (p→ q) → (p → ¬ q) → ¬ p),
((p→ (q ^ ¬ q)) → ¬ p, (p→ (q↔¬ q )) → ¬ p
nuk vlejnë në sistemet polivalente. Teza e parë është diskutuar më sipër.
Lukasiewicz shpjegon se e dyta dallon nga e para vetëm për ndryshimin e pohimit p
në mohim, ndërsa dy tezat tjera na autorizojnë të konsiderojmë të vërtetë një
propozicion N, n.q.s nga kontradiktori propozicioni mund të rrjedhin dy
propozicione kontradiktore. Kurse teza e fundit, sipas këtij logjicieni, d.m.th se një
propozicion nga e cila rrjedh ekuivalenca e dy propozicioneve kontradiktore është jo
korrekte346
.
Ndërsa sistemet polivalente janë vetëm fragmente të kalkulimit të zakonshëm
propozicional, situata ndryshon tërësisht kur kalkulimi zgjerohet me kuantifikatorët
universal. Ka teza të sistemeve të zgjeruara polivalent që nuk janë të vlefshme në
sistemin bivalent. T13 është e tillë.
N.q.s shprehja Mp në tezën T13 zëvendësohet në bazë të D2 me CNpp ose
¬p→ p, e MNp me CNNpNp ose ¬ ¬p→ ¬p, përfitohet teza:
T14 N pNKCNppCNNpNp,
ose
345
Po aty f.260 346
Po aty f. 260
137
¬ p¬((¬p→ p) ^(¬ ¬p→ ¬p))
që është fals në kalkulimin bivalent. Sistemi trivalent i kalkulimit propozicional me
kuantifikator, që si rezultat i kërkimeve të logjicienve Tarski e Wajsberg mund të
shprehet dhe në menyrë aksiomatike, është më i thjeshti shembull i sistemit logjik
jo kontradiktor, i ndryshëm nga sistemi i zakonshëm bivalent, sa ndonjë sistem i
gjeometrisë jo-euklidiane është i ndryshëm nga ai euklidian347
Siç është përmendur më lart, Lukasiewicz është i mendimit se me e drejtë do
të ishte që logjika polivalente të thirrej jo – krisipiane sesa jo-aristoteliane, sepse
Krisipi ishte logjicieni i parë që propozoi në mënyrë të vetëdijshme dhe që mbrojti
fort parimin se çdo propozicion është ose i vërtetë ose fals 348
. Gjithashtu
Lukasiewicz përmend ndikimin e thellë të kësaj teoreme krisipiane në tërë logjikën.
Kërkimet e Lukasiewicz në fushën e logjikës modale janë pasuar nga një sërë
punimesh nga autorë të ndryshëm. Në paragrafët e mëposhtëm jepen disa sisteme të
logjikës që përbëjnë bazën e logjikës formale modale.
6. Sisteme të logjikës në bazë të aparatit formal të
logjikës modale
6.1 Dallimi ndërmjet gjuhëve natyrore dhe njehsimit
propozicional
Siç dihet logjika trajton arsyetimet dhe për të pasur arsyetim duhet të kemi
premisa d.m.th pohime deklaruese. Trajtimi i pohimeve ka qenë në fillesat e çdo
trajtimi apo sistemi logjik duke filluar nga Aristoteli për të vazhduar me stoikët, e
deri tek studiuesit bashkëkohor. Me pohimet deklaruese merret dhe studiuesja
bashkëkohore italiane e fushës së logjikës modale D‘Agostini. Ja si shprehet ajo për
fraza premisë e frazat konkluzion. ―Të gjithë arsyetimet janë të formuara nga fraza
premisa e fraza konkluzion. Frazat që trajtojmë janë pohime deklarues. Një thënie
347
Po aty f. 261 348
Po aty f. 262
138
deklaruese është një fragment gjuhësor që ka dy veti: ka kuptim të përfunduar; e
mund të jetë i vërtetë ose fals‖349
.
Para njehsimit propozicional zakonisht sqarohen elementët përbërës gjuhësor
të këtij njehsimi. D.m.th mbi çfarë elementesh gjuhësor veprohet. Megjithëse logjika
lindi si analizë e gjuhës, ka një dallim ndërmjet gjuhëve të zakonshme natyrore,
përfshi dhe gjuhën tonë, dhe njehsimit propozicional. Në gjuhën natyrore lidhëza dhe
mund të përdoret dhe për të shprehur rrjedhën kronologjike të ngjarjeve, ndërsa në
njehsimin propozicional e njëjta lidhës përdoret për t‘ju referuar ngjarjeve që
ndodhin njëkohësisht. Zakonisht themi Mora paratë tek banka dhe bleva ca gjëra.
Natyrshëm kemi lidhur këto pohime, që shprehin radhë kronologjike, me lidhëzën
‗dhe‘, por në njehsimin prepozicional nuk mund të shpreh këtë radhë. Një shembull i
përshtatshëm i konjuksionit do të ishte: Unë shikoj objektet dhe Unë dëgjoj tingujt.
Po ashtu, ndryshe nga përdorimi në gjuhën natyrore, në njehsimin propozicional
lidhëza ose përdoret në kuptimin përfshirës. Në gjuhën natyrore themi: Do shkruash
ose do dëgjosh në kuptimin përjashtues por në logjikë lidhëza ‗ose‘ përdoret në
kuptimin përfshirës. Një shembull i përshtatshëm i disnjuksionit do të ishte: Unë
shikoj objektet ose Unë dëgjoj tingujt që do të ishte i vërtetë kur të paktën njëri nga
pohimet është i vërtetë. Ndërsa në logjikë implikimi është i vërtetë në të gjitha rastet
përjashto rastin kur pohimi i parë është i vërtetë dhe i dyti është fals, në gjuhën
natyrore kushtorja n. q. s atëherë, nuk konsiderohet si e vërtetë në rastin kur pohimi
i parë është fals dhe i dyti i vërtetë. Ja rasti i shumë përmendur i implikimit N.q.s bie
shi atëherë merr çadrën. Kur pohimi i parë bie shi është fals implikimi është
logjikisht i vërtetë, por kjo në gjuhën natyrore nuk është e pranueshme. Menjëherë
bëhet pyetja: ç‘ndeh me çadër kur s‘bie shi? Në gjuhën natyrore implikimi i
korrespondon ekuivalencës.
Gjithnjë janë bërë përpjekje të vazhdueshme për të përkthyer nga gjuha
natyrore në gjuhën formale logjike e megjithëse lidhëzat përbëjnë një ndihmë në këtë
drejtim, siç u pa, jo gjithmonë janë vendimtare. Këtë e shpreh D‘Agostini, e cila
duke iu referuar logjicienit Gotlob Frege shkruan:―Ndërsa behët interesante të
vlerësosh se si gjuha natyrore, dhe pse përmban një logjikë të brendshme, shpesh na
ngatërron; dhe kjo vlen dhe për gjuhën logjike, që ishte krijuar pikërisht për të
shkatërruar dominimin e fjalës mbi shpirtin njerëzor‖350
. Jo gjithmonë logjika sqaron
349
D‘Agostini, F.( 2012) I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino. f. 33 350
Po aty f. 14
139
ndërlikimin që karakterizon gjuhën. Rreth kësaj çështje e njëjta autore vazhdon:
―Varieteti dhe ndryshueshmëria e gjuhës, ndryshueshmëria e format e shumta të
botës dhe të botëve që mund të mendojmë, bëjnë logjikën shumë të nevojshme, por
ndonjëherë të ngatërrueshme‖351
.
Kur flasim për një gjuhë nga pikëpamja logjike, është shumë e rëndësishme
sqarimi i njësive përbërëse të saj si të pohimeve, propozicioneve gjithashtu dhe të
gjykimit. Këtë e kanë bërë autor të ndryshëm në manuale të ndryshme të logjikës.
Me pohim zakonisht kuptohet një formë gjuhësore e karakterizuar gramatikisht nga
subjekti, këpuja e predikati. Në logjikën e pohimeve trajtohen kryesisht pohimet
deklaruese. Pohimi deklarues (pronuntiatum, sentence) është shprehja gjuhësore;
prodhimi gjuhësor, për të cilin mund të flitet në terma të vërtetës dhe falsitetit.
Propozicioni (propositio, proposition) është ajo që është e pandryshueshme në
krahasim me shprehje të ndryshme gjuhësore: është ekuivalente me atë çka
―Tavolina është e bardhë‖, ―Il tavolo è bianco‖ shprehin. Gjykimi është akti mendor
që shprehet me propozicion352
.
Një kuptim të veçantë për propozicionin jep filozofi britanik A. J. Ayer në
librin e përkthyer në shqip Gjuha e vërteta dhe logjika353
, ku ndërmjet të tjerash
trajton dhe çështjen e propozicioneve empirike duke dhënë që në fillim dhe kuptimin
e tyre. Ja si e përshkruan ai propozicionin ―duke parë klasat si specie të
konstruksioneve logjike, mund ta përkufizojmë një propozicion si një klasë fjalish që
kanë të njëjtën domethënie qëllimore për këdo që i kupton ato‖354
. Klasifikohen një
klasë fjalish, që kanë të njëjtën domethënie për atë qe i kupton, ose më mirë një
propozicion që shprehet me disa fjali.
Në bazë të çdo njehsimi propozicional janë propozicionet. Para se të arrihet
tek njehsimi propozicional modal shërbejnë si bazë sistemet klasike të logjikës. Ka
disa sisteme rregullash me të cilat logjicien të ndryshëm shprehin sisteme logjike.
Dhe siç u tha, pa njohur ndonjë prej këtyre sistemesh nuk mund të kuptohet zgjerimi
i mëtejshëm i aparatit formal të logjikës për të përfituar sistemin e logjikës modale.
Ndaj po përqendrohem në ndonjë prej këtyre sistemeve që gjenden në manuale të
ndryshëm të logjikës.
351
Po aty 352
Binolo, G., Vidali, P. (2011) Strumenti për ragionare, Mondadori, Milano -Torino f.4 353
Ayer, J. A. Perkth. Gjuha e vërteta dhe logjika Plejad, Tiranë 2009 354
Po aty, f. 76
140
6.2 Lidhëzat logjike dhe raportet ndërmjet bashkësive
Shpesh herë është venë një paralelizëm ndërmjet lidhëzave logjike dhe
raporteve ndërmjet bashkësive. Në librin Storia della logica të logicintëve italianë
Corrado Mangione e Silvio Bozzi del qartë dhe korrespondenca që vendoste
Whitehead ndërmjet veprimeve me bashkësitë nga njëra anë dhe lidhëzave
propozicionale (të fjalive) nga ana tjetër. Ja si shpjegohet ky paralelizëm:
Duke konsideruar X dhe Y bashkësitë e përcaktuara nga predikatet P e Q
X = {a I |P(a)} Y = {a I |Q(a)}
a I |P(a) d.m.th. a është element ose bën pjesë në I të tillë që gëzojnë vetinë
P.
Atëherë:
X Y = {a I |P(a) dhe Q(a)}
X Y = {a I |P(a) ose Q(a)}
X = {a I | jo P(a)}
d.m.th. pohimet e përbërë P ^ Q, P v Q, Jo P përfitohen nga P e Q në të
njëjtën mënyrë si:
X Y, X Y, X përfitohen nga X e Y355
.
Dhe për Russell, ashtu si për Whitehead dhe Leon Post, lidhëzat logjike bazë
të zgjedhura janë mohimi ¬ dhe disnjuksioni v. Ndërsa aksiomat janë:
1. ˫ (p v p) → p
2. ˫ q → (p v q)
3. ˫ p v q → q v p
4. ˫ p v (q v r) → q v (p v r)
5. ˫ (q → r) → (p v q → p v r)356
Modus ponens është i vetmi rregull bazë në ndërtimin e sistemit të tij.
A→ B
A
--------
B
355
Mangone, C. e Bozzi, S. (1993) Storia della logica, Garzanti, Milano f.198 356
Po aty f.428
141
Rassell e përcakton logjikën si një sistem thjeshtë deduktiv357
.
6.3 Teoria aksiomatike e deduktive e Emil Leon Post
Në librin e lart përmendur Storia della logica Emil Leon Post (sh. XX) zë një
vend të rëndësishëm. Sipas autorëve të këtij libri, Emil Leon Post izolon sistemin e
logjikës propozicionale (në shqip mund të konsiderohet si logjikë e pohimeve) si një
teori aksiomatike e deduktive autonome. Sipas tij gjuha propozicionale është
minimumi i gjuhës logjike. Post si lidhëza logjike merrte mohimin ¬ dhe
disnjuksionin ˅358
. Mbi bazë të këtyre lidhëzave dhe të shkronjave propozicionale
(p,q,r...etj.) shprehen të gjitha formulat e gjuhës. Formulë ( logjikisht e mirë
formuar)359
është ose një pohim i thjeshtë ose mohim i një pohimi të thjeshtë apo të
përbërë p.sh ¬ p, ¬ q, ¬ (p ˅ q) etj., që për thjeshtësi shënohen përkatësisht me
shkronjat A, B etj., ose disnjuksion i dy pohimeve të thjeshta apo të përbëra (p ˅ q),
(p ˅ q) ˅ (p ˅ r) etj. Për të qenë më konkret formulat ¬ p, ¬ q, ¬ (p ˅ q), (p ˅ q), (p ˅
q) ˅ (p ˅ r) fare mirë mund të shënohen përkatësisht me A,B,C,D,E.
Meqenëse si lidhëza logjike merren ¬ dhe disnjuksionin ˅, po përqendrohem
tek mënyra se si çdo formulë tjetër, si konjuksion, implikim, ekuivalencë, shprehen
nëpërmjet mohimit dhe disnjuksionit. Megjithëse kjo mënyrë nuk gjendet tek
manuali i lartpërmendur kjo arrihet lehtësisht në bazë të formulave të mëposhtme.
1. (A ^ B) ≡ ¬ (¬A ˅ ¬B)
është zbatuar ligji i De Morgan. D.m.th konjuksioni i dy pohimeve është
ekuivalent me mohimin e disnjuksionit të mohimeve.
2. (A → B) ≡ ¬ A ˅ B
është zbatuar formula e Filonit. D.m.th implikimi i një pohimi A me një
pohim B është ekuivalent me disnuksionin ndërmjet mohimit të pohimit A
me B
3. (A ≡ B) ≡ (A → B) ^ (B → A) ≡ (¬ A ˅ B) ^ (¬ B ˅ A) ≡ ¬ (¬ (¬ A ˅
B) ˅ ¬ (¬ B ˅ A))
Tek 3. Ekuivalenca fillimisht shndërrohet në konjuksion implikimesh.
Pastaj implikimet zëvendësohen si tek 2 me disnjuksion përkatësisht
357
Sinani, Gj. (2000) Hyrje në Filozofi, Sh. B Librit Shkollor, Tiranë f.115 358
Mangone, C. e Bozzi, S. (1993) Storia della logica, Garzanti, Milano f.467 359
Kurrsesi nuk mund të jetë formulë në kuptimin emirë formuar logjik një kombinim shënjash të
crregullta si në rastin e një mohimi apo të një lidhese pas pohimit p ¬, p →, etj.
142
(A → B) ^ (B → A) ≡ (¬ A ˅ B) ^ (¬ B ˅ A) dhe me në fund mohohet
dy herë konjuksioni dhe zbatohet ligji I i De Morgan, duke shndërruar
përfundimisht konjuksionin në mohim disnuksionesh përkatësisht:
(¬ A ˅ B) ^ (¬ B ˅ A) ≡ ¬ (¬ (¬ A ˅ B) ˅ ¬ (¬ B ˅ A))
Kështu që çdo konjuksion, implikim, ekuivalencë shprehet si mohim ose
disnjuksion; tjetër formulë s‘mund të ketë në logjikën klasike sepse këto janë pesë
lidhëzat logjike bazë.
Megjithëse më sipër u përmenden shkronjat propozicionale p,q,r etj.,
shënimet A,B,C,D, etj. behën sepse ato mund të përfaqësojnë një pohim apo çfarëdo
formulë logjike. P.sh. tek (A ^ B) vetë A mund të jetë një pohim, mohim apo çdo
formulë tjetër. D.m.th A mund të përfaqësojë një formulë të thjeshtë dhe një formulë
të përbërë. Formulat e mësipërme 1 – 3 janë të njohura dhe kanë shënuar historinë e
filozofisë që prej Filonit deri tek De Morgan.
Si në rastin e B. Russell, sistemi propozicional i E. L. Post bazohet në një
numër të fundëm aksiomash, e në dy rregulla inference (kalimi, rrjedhoje) modus
ponens ose rregulla e ndarjes sipas të cilës nga teoremat A e (A → B) rrjedh teorema
B.
˫ A, ˫ A→B
___________
˫ B360
dhe rregulli i zëvendësimit, sipas të cilit çdo shkronjë propozicionale, ndryshore apo
variabël propozicionale mund të zëvendësohet me çdo formulë tjetër të gjuhës.
Përllogaritja është organizuar në këtë mënyrë: duke u nisur nga aksioma e duke
aplikuar rregullat e deduksionit arrihet tek teoremat.
Post provon gjithashtu se tabelat e vërtetësisë ( të quajtura dhe matrica)
përbëjnë një metodë mekanike me të cilën për çdo formulë është e mundur të
verifikohet me anë të një numri të fundëm kalimesh se është, apo jo, një teoremë.
Post demonstron se sistemi i tij është koherent d.m.th nuk është e mundur të
demonstrohet njëkohësisht një formulë A dhe mohimi i saj ¬ A.
Ashtu si me studimet logjike të Jan Lukasiewicz dhe me kontributin e E. L. Post
hedh rrënjë një logjikë e re ndryshe nga ajo bivalente klasike, ku pranohen vlera të
tjera vërtetësie si e papërcaktuar, indiferente, e paqartë etj. 360
Po aty f.468
143
6.4 Gjuha propzicionale sipas Hilbert e Akerman dhe pema
binare e formimit te formulave: nën formulat
Gjithnjë në librin e lartpërmendur vijohet me logjicienët Hilbert e Akerman.
Sipas këtyre autorëve një gjuhë propozicionale konsiston: në një bashkësi të
pafundme të numërueshme shkronjash propozicionale p,q,r,s.......; në lidhëzat
logjike ¬, ^, v, →, ↔; në simbole ndihmëse si kllapa, presje etj. Për të ndërtuar mbi
këtë ―alfabet‖ logjik sistemin deduktiv të llogaritjes (kalkulimit) propozicional,
përcaktohen formulat, aksiomat dhe të jepen rregullat e rrjedhojës. Në ndryshim nga
sistemi i më sipërm në këtë rast nuk kemi vetëm dy lidhëza logjike por pesë të
zakonshmet përkatësisht mohim, konjuksion, disnjuksion, implikim dhe ekuivalencë.
Ndërmjet shprehjeve që mund të ndërtohen duke kombinuar në mënyrë
lineare shenjat e alfabetit të logjikës, intuitivisht zgjidhen ato formula që janë të
pranueshme nga ana sintaksore dhe që rezultojnë semantikisht domethënëse.
Aksiomat, si formula evidente e të vërteta për çdo kombinim vlerash, zgjidhen
ndërmjet formulash si elementë fillestar, të procedimit demonstrativ.
Bashkësia e formulave është përcaktuar në mënyrë induktive duke filluar nga
formulat më të thjeshta apo të pandashme të quajtura atomike e duke vijuar me
lidhjet e këtyre formulave sipas procedurës:
1. çdo shkronjë propozicionale është një formulë
2. N.q.s. A e B janë formula dhe (¬ A), (A ^ B), (A ˅ B), (A → B),
(A ↔B), janë formula.
3. Tjetër formë formule s‘mund të ketë sepse lidhëzat logjike janë
vetëm pesë si tek 2.
Dhe në këtë rast, si më sipër, janë përdorur shkronja të alfabetit A, B, C për të
shënuar formula të thjeshta (atomike) apo të përbëra.
Janë të disponueshme metoda e demonstrimit induktiv për të provuar fakte mbi
tërësinë e formulave dhe një numër përcaktimesh rikursive (përllogaritje e karakterit
mekanik për të gjetur se një element bën pjesë në një bashkësi dhe mënyra për të
përfituar vijimësinë e elementeve) për të përcaktuar relacione e operacione mbi
formulat.
144
Një tjetër libër interesant, për të kuptuar ndërtimin e formulave dhe të sistemeve
formale të logjikës, është libri i A. Artisi Metodi tableaux per la logica classica
modale. Në këtë libër i kushtohet një rëndësi e madhe zbërthimit të formulave në nën
formula. Sipas këtij autori, formulat jo-atomike përbëhen nga pjesë ose përbërës që
në vetvete janë formula. ―Pjesët‖ e një formule atomike A i quajmë nën formula të
A-së361
. Një përcaktim i këtij nocioni jepet duke përcaktuar qartë nocionin e një nën
formule imediate të një formule A në këtë mënyrë:
1. Formulat atomike nuk kanë nën formula imediate.
2. ¬A ka si nën formulë imediate A
3. A e B janë nën formula imediate të (A ^ B), (A ˅ B), (A → B).
B është një nën formulë e A-së atëherë dhe vetëm atëherë kur ka një rrjedhojë të
fundme formulash që fillon me A e mbaron me B, ku çdo formulë e kësaj rrjedhoje,
përjashto të parën, është një nën formulë imediate e formulës paraprake362
.
Pemët binare, të përdorura në disa manuale të logjikës, bëjnë të qartë nën formulat e
një formule të dhënë.
Pema e formimit për një formulë A hapet në degëzime, nyjet e të cilës janë
rikorrenca363
formulash, të tilla që origjina është vetë formula A dhe për çdo nyje a,
1. N.q.s a është një gjethe (d.m.th e fundit në degëzim), atëherë a është një
(rikorrencë e një) nën formule atomike e A-së;
2. N.q.s a është një nyje e thjeshtë, atëherë a është e formës ¬A dhe ka (një
rikorrencë të) A ndjekës të vetëm;
3. N.q.s a është një nyje degëzimi, atëherë a është e formës A ط B e ka
(rikorrenca të) A e B respektivisht si ndjekës të majtë e ndjekës të djathtë.
Pema e formimit për një formulë A na paraqet të gjitha nën formulat e saj në
përhapjen e tyre. Për faktin se çdo formulë mund të formohet në një mënyrë të
vetme, ka një pemë të vetme për çdo formulë.
Në këtë paragraf mbi pemët e formimit të formulave Artisi paraqet arsyet se
pse flitet për rikorrencë. Sipas tij arsyeja e përdorimit në klauzolat e më sipërme 1)-
361
Artisi, A. (1995)Metodi tableaux per la logica classica modale. Clueb, Bologna, f.30 362
Po aty f.31 363
Përdoret termi rikorrencë, sepse e njëjta lidhës logjike mund të shfaqet disa herë në degëzimet.
P.sh. formula mund të jetë konjuksin dy mohimesh.
145
3) të rikorrencës së formulës, në vend të formulës është se një formulë e vetme
paraqitet disa herë në pemë364
.
Shembull, ku formula e mëposhtme paraqitet e degëzuar:
. (p → q) → (¬q → ¬p )
(p → q) (¬q → ¬p )
p q ¬q ¬p
| |
q p
Skema 6.1
Rregullat e mësipërme të konsideruara si rregulla të formimit sintaksor të
formulave të sistemit logjik ia lënë vendin semantikës, d.m.th vlerës së vërtetësisë
që marrin formulat të mirë formuara nga ana sintaksore, duke filluar nga vlerat që u
shënohen formulave më të thjeshta atomike. Këto vlera analizohen nëpërmjet
vlerësimit që do të trajtohet më poshtë.
6.5 Semantika që u korrespondon sistemeve të bazuar në
sintaksë. Vlerësimi.
Rregullave sintaktike të formimit të mësipërm të formulave u korrespondon
semantika përkatëse. Ja si trajtohet ky problem në librin Metodi tableaux për la
logica classica modale:
Konsiderojmë përveç bashkësisë Prop te të gjitha shkronjave propozicionale
të PC (logjikës propozicionale klasike), bashkësinë e vlerave të vërtetësisë {V,F},
respektivisht vërtetë e fals.
Një PM- interpretim, v0, është shënim i një vlere v(P,m) {V,F} çdo shkronje
propozicionale P në Prop. Dhënë një PM- interpretim v0 , shënojmë v0(P) për të
364
Po aty f.33
146
treguar vlerën e shënuar nga v0 P-së, respektivisht vërtetë n.q.s v0(P) = V, fals n.q.s
v0(P) = F
Një PM-vlerësim, v, të PC është një zgjerim i v0 tek formulat e PM sipas
kushteve të mëposhtme: për çdo P në Prop e të gjitha formulat A,B.
0) v(P) = V n.q.s v0(P) = V; përndryshe v(P) = F.
1) v(¬ A) = V n.q.s v(A) = F; përndryshe v(¬ A) = F.
2) v(A ^ B) = V n.q.s v(A) = V e v(B) = V; përndryshe v(A ^ B) = F.
3) v(A v B) = V n.q.s v(A) = V ose v(B) = V; përndryshe v(A v B) = F.
4) v(A → B) = V n.q.s v(A) = F ose v(B) = V; përndryshe v(A → B) = F.
Një PC-vlerësim nuk është gjë tjetër veçse shënimi i një vlere vërtetësie
formulave të PC që përshtatet me PC – interpretim v0 e me kushtet e zakonshme për
lidhëzat e PC të shprehura nga klauzolat 0)-4). Dhënë një PC – interpretim v0, do të
themi v(A) vlera e vërtetësisë së A për v0 (respektivisht vërtetë, n.q.s v(A) = V, fals
n.q.s v(A) = F)365
.
Meqenëse pema e formimit për një formulë A është unike, e tillë është
mënyra e shënimit të vlerave të vërtetësisë nyjave në funksion të vlerave të
vërtetësisë së formulave vijuese në përputhje me klauzolat 1)-4).
Një trajtim i përafërt, për sa i përket vlerësimit, gjendet tek libri i Palladino
D,C., Logiche non clasiche (në shqip do të ishte logjikat jo klasike në shumës).
Koncepti semantik i vlerësimit përcaktohet në këtë mënyrë:
Quhet vlerësim atribuimi i një vlere vërtetësie , V ose F, të gjitha shkronjave
propozicionale p,q,r,... të bashkësisë U.
N.q.s v(A) = V (v bën të vërtetë A, thuhet se v është model i A, e shkruhet
v╞ A; në rast të kundërt, v(A) = F, v nuk është model i A e shkruhet v nuk është╞ A.
Kalkulimi i vlerave të vërtetësisë së A mund të bëhet me anë të tabelave të
vërtetësisë të A.
Tautologjitë: thuhet se një fp (formulë propozicionale) A është një tautologji,
shkruhet ╞ A n.q.s merr gjithmonë vlerën V:
╞ A atëherë dhe vetëm atëherë kur, për çdo v, v╞ A366
365
Po ty f.35 366
Palladino D,C.( 2007) Logiche non clasiche, Carocci, Roma, f.19
147
7. Zgjerimi i sistemit formal
7.1. Operatorë të tjerë logjik
Më sipër u paraqit një hyrje në disa nga sistemet formale që gjenden në disa
manuale të logjikës me qëllimin e vetëm, që të shërbejnë si bazë e një zgjerimi të
kësaj logjike në sisteme te logjikes modale dhe të drejtimeve të tjera të logjikës jo
klasike. Në fundin e sh. XX dhe në fillimet e këtij shekulli janë të shumta dhe
kërkimet në këto drejtime. Në librin e lartpërmendur Logiche non clasiche autorët
kërkojnë të mbi kalojnë kufizimet e logjikës klasike duke zgjeruar gjuhën e logjikës
dhe duke ekzaminuar situata ku ligjet themelore të logjikës nuk janë të vlefshme. Ky
libër në kap. I paraqet shkurtimisht sistemin logjik klasik. Ashtu si në manuale të
tjerë, sistemi logjik karakterizohet nga gjuha dhe nga aparati deduktiv: nëpërmjet
gjuhës formalizohen propozicionet ndërsa nëpërmjet aparatit deduktiv zhvillohen
rrjedhojat. Ashtu si në sistemet formale të mësipërme, fillimisht përcaktohet sintaksa,
ku trajtohen vetitë e formulave, me pas analizohen këto formula nga ana semantike e
përcaktohet lidhja e formulave në rrjedhojë dhe vlefshmëria e tyre.
Mundësinë e një shtrirje me të gjerë të logjikës në krahasim me logjikën
klasike autorët e librit të lart përmendur e justifikojnë në këtë mënyrë: në radhë të
parë ka shumë propozicione, që nuk verifikohen duke marrë vetëm kontekstin e
realitetit367
. Mund të konsiderojmë të vërtetë pohimin është e mundur që të bjerë shi
dhe se është një ditë shumë e bukur. Dhe po të ishim në një shkretëtirë mundësia
logjike e verifikimit të këtij fakti është368
. Po ashtu pohimin ‗domosdoshmërisht bie
shi‘ nuk jemi të dhënë që ta konsiderojmë të vërtetë dhe se realisht është duke renë
shi369
. Ndërsa propozicioneve të tipit matematik ‗2+2 = 4‘ apo logjik tautologjik
‗bie shi ose nuk bie shi‘ u atribuojmë diçka me shumë se një vërtetësi të thjeshtë370
.
Konsiderohen si të vërteta ndryshe, për faktin se nuk ka situata kundër-faktike që ti
hedhin poshtë. Kështu nga këto autorë bëhet një dallim ndërmjet pohimeve
tautologjike të tipit logjik matematik dhe jo tautologjike dhe integrohen në sistemin
logjik disa operatorë të tjerë të quajtur modal.
367
Po aty f.23 368
Po aty 369
Po aty 370
Po aty f.24
148
Në mënyrë të ngjashme është i vërtetë një propozicion konsideruar si
modalitet epistemik. Bëhet fjalë për rastin kur subjekti di ose beson diçka: ―Massimo
beson se kryeqyteti i Italisë është Milano‖ dhe se propozicioni ―Kryeqyteti i Italisë
është Milano‖ është fals. Natyrisht që shembujt mund të jenë nga më të ndryshmit
por autorët këtu i referohen besimit apo opinionit të vërtetë që kanë një apo më
shumë individë, dhe se faktet demonstrojnë të kundërtën si në rastin e më sipërm të
besimit se Milano është kryeqyteti i Italisë.
Këto autorë theksojnë se logjika propozicionale klasike nuk përmban instrumente
gjuhësore për të formalizuar propozicione të tilla, kështu konsiderojnë të nevojshëm
zgjerimin e alfabetit të logjikës propozicionale. Gjuhës logjike Lo (linguaggio logico)
të PC (logjikës propozicionale klasike) i shtojnë operatorë logjik ose lidhëza të tjera
logjike.
―Është e domosdoshme që‖ dhe ―Është mundur që‖ i konsiderojnë operatorë modal
aletik.
―Është e detyrueshme që‖ dhe ―Është e lejueshme që‖ i konsiderojnë operatorë
deontik.
―Një subjekt beson që‖ dhe ―Një subjekt di që‖ i konsiderojnë operatorë epistemik371
.
Këto tre operator i japin origjinë tre sektorëve të kërkimit logjik të cilët janë: logjika
modale aletike, logjika deontike e logjika epistemike. Përgjithësisht quhen logjika
intensionale logjikat e operatorëve dhe lidhëzave jo vero-funksionale372
.
Këto autorë konsiderojnë si të përbashkët për këto logjika faktin se vërtetësia ose
falsiteti i tyre kërkojnë të merret në konsideratë një stad gjërash të ndryshëm nga ai
aktual, apo siç thuhet kërkojnë të merren në konsideratë ‗botë të mundura‘. Gjithnjë
sipas këtyre autorëve në kuptimin metaforik dhe jo në kuptimin e një bote me
jashtëtokësor apo fantastike-shkencore373
.
7.2 Kontributi i Samuel Kripke në logjikën modale
Në të njëjtin libër një paragraf i tërë i dedikohet Samuel Kripke i cili ka dhënë
një kontribut të madh në logjikën modale. Për Kripke, semantika e botëve të
mundura nuk është e ndryshme nga ajo e zhvilluar për kalkulimin e logjikës klasike.
Termi ―botë të mundura‖ është përdorur nga nevoja për të konsideruar stade gjërash
371
Po aty f.24 372
Po aty 373
Po aty f.25
149
alternative me botën aktuale. Semantika e ‗botëve të mundura‖ shfrytëzon vetitë e
natyrës algjebrike të relacioneve.
Në semantikën e botëve të mundura një model M është i përbërë nga tre komponentë,
kështu është një treshe e radhitur M = (W,R,I) e përbërë nga një bashkësi jo boshe W
botësh, nga një relacion binar R depërtimi ndërmjet botësh dhe një interpretim I që i
shënon secilës botë të W vlerën e vërtetësisë V ose F të shkronjave propozicionale të
bashkësisë U={p,q,r...}. Kur është dhënë një model, çdo formulë A e logjikës
intensionale të përfituar duke zgjeruar gjuhën e logjikës propozicionale klasike me
dy operatorë të rinj me një argument L e M, merr në secilën botë të W një dhe vetëm
një prej të dy vlerave të vërtetësisë. Vazhdon të vlejë principi bivalent374
. Leximi i
operatorëve të rinj L e M ndryshon sipas logjikës që konsiderohet: në logjikën
modale aletiche L e M lexohen ―e domosdoshme‖ dhe ― e mundur‖, në logjikat
deontike lexohen ― e detyrueshme‖ dhe ― e lejueshme‖ dhe në logjikat epistemike
operatorët e rinj janë ―din‖ dhe ―beson‖. Në këto logjika bashkësia e formulave
propozicionale fp të L0 shtohet me dy operatorë të rinj kështu shtohet një klauzolë:
N.q.s A është një formulë, atëherë LA e MA janë formula. Çdo formulë që ka një
operator modal quhet formulë e modale.
Zakonisht merret operatori i domosdoshmërisë dhe i mundësisë përkatësisht me
simbolet □ dhe ◊ 375
.
Logjika propozicionale standard shënohet me PM376
. Ndiqet e njëjta rrugë, si më
sipër, duke përcaktuar fillimisht sintaksën e pastaj semantiken e PM. Duke u nisur
nga sintaksa PM është një zgjerim i PC ndaj ishte i detyrueshëm trajtimi më sipër i
PC (logjika propozicionale klasike). Semantika do të trajtohet në ―botë të
mundura‖377
. Këtë trajtim e bën Saul Kripke rreth viteve 60 të shekullit të kaluar.
Alfabeti PM përbëhet nga të njëjtët simbole primitive të PC duke shtuar lidhëzat
unare (operatorët modal) □ dhe ◊ përkatësisht e nevojshme dhe e mundur. Një
formulë e PM do të jetë ose një formulë PC ose një shprehje e njërës nga format □ A
dhe ◊ A ku A është formulë e PM. Për të gjitha formulat e PM vlejnë të gjitha vetitë
e PC. Kështu në formulat e PM përfshihen □ A dhe ◊ A. Është i nevojshëm vetëm
374
Po aty f.27 375
Artisi A.( 1995) Metodi tableaux per la logica classica modale. Clueb, Bologna, f.47 376
Po aty 377
Po aty
150
njëri operator. Siç dihet për të shprehur operatorin tjetër zëvendësohet formula: ◊ A
me ¬ □ ¬ A378
.
Gjithashtu shtojmë se Kripke ka një mënyrë të re te të kuptuarit të modaliteteve
të mundësisë e të domosdoshmërisë. Në librin e tij Naming and Necessity përkthyer
në italisht me titullin Nome e Necessita’ trajton gjerësisht mendimin logjik të
logjicienit të lartpërmendur Johan Stuart Mill, të shprehur në Sistemin e Logjikës. Ja
si shprehet Kripke për Johan Stuart Mill. ―Për emrat e veçantë thotë se janë
domethënës n.q.s. janë përshkrime të caktuara dhe jo domethënës n.q.s janë emra të
përveçëm. Mill (në Sistemin e Logjikës) thotë që të gjithë emrat ―e përgjithshëm‖
janë domethënës; një predikat si ―të qenurit njerëzor‖ është përcaktuar si konjuksion
i disa vetive që përbëjnë kushtet e nevojshme e të mjaftueshme të njeriut të
arsyeshëm, jetësor me disa karakteristika fizike. Sipas Kripke, tradita logjike
moderne, përfaqësuar nga Frege e Russell duket se për emrat e përveçëm ia quan të
gabuar, ndërsa i jep arsye për emrat e përgjithshëm. ―Filozofia e mëvonshme i ka
ndjekur, përjashto rastin e emrave të përveçëm si në ato të llojeve natyrorë,
zëvendëson shpesh nocionin e vetive të përcaktuara me aglomerate vetish, ku vetëm
disa duhet të vlejnë në secilin rast të veçantë. Përkundrazi, Mill kishte të drejtë për
emrat e përveçëm e gabonte për emrat e përgjithshëm‖379
. Kripke vazhdon më tej
―.... emrat ―lopë‖ dhe ―tigër‖ nuk shprehin veti.....‖380
. Këto janë emra të
përgjithshëm, që nuk shprehin veti.
7.3 Vlerësimi i formulave në botë të mundura
Fillimisht Albeto Artosi përcakton një çift të renditur. Një çift i renditur është
një bashkësi dy elementesh a, b konsideruar në këtë radhe (a,b). Një relacion binar në
një bashkësi G është një bashkësi R e çifteve të renditura të elementeve të G: R është
nënbashkësi e G2, ku G
2 është bashkësia e të gjithë çifteve të renditura të elementeve
të G. aRb tregon se b është në relacion R me a. Përveç bashkësive të Prop të
shkronjave propozicionale dhe bashkësisë {V,F} të vlerave të vërtetësisë një
bashkësi M = {m,mʹ,mʹʹ,mʹʹʹ....} të botëve të mundura. Një PM- interpretim , v0, është
shënim i një vlere v(P,m) {V,F} çdo çifti të renditur (P,m),P Prop, m M. Dhënë
378
Po aty f.48 379
Kripke, S. Naming and Necessity tr. it. Nome e Necessita, Boringhieri, Torino,1999 ,f.120 380
Po aty f.121
151
një PM- interpretim v0 , quhet v0(P,m) vlera e vërtetësisë e shënuar nga v0 P-së në m.
Le të jetë R një relacion binar në M ( R është nën bashkësi e M2) . Një PM-vlerësim,
v, është një zgjerim i v0 tek formulat e PM sipas kushteve të mëposhtme: për çdo P
në Prop e të gjitha formulat A,B.
0) v(P,m) = V n.q.s v0(P,m) = V; përndryshe v(P,m) = F
1) v(¬ A,m) = V n.q.s v(A,m) = F; përndryshe v(¬ A,m) = F.
2) v(A ^ B,m) = V n.q.s v(A,m) = V e v(B,m) = V; përndryshe v(A ^ B,m) = F
3) v(A v B,m) = V n.q.s v(A,m) = V ose v(B,m) = V; përndryshe v(A v B,m) =
F.
4) v(A → B,m) = V n.q.s v(A,m) = F ose v(B,m) = V; përndryshe v(A → B,m)
= F.
5) v(□A,m) = V n.q.s v(A,mʹ) = V për çdo mʹ në M të tillë mRmʹ; përndryshe
v(□A,m)= F.
6) v(◊A,m)= V n.q.s v(A,mʹ) = V për ndonjë mʹ në M të tillë mRmʹ;
përndryshe v(◊A,m)= F381
.
Një PC-vlerësim nuk është gjë tjetër veçse shënimi i një vlere vërtetësie
formulave të PM që përshtatet me PM – interpretim v0 e me kushtet e zakonshme për
lidhëzat e PC të shprehura nga klauzolat 0)-4). Dhënë një PC – interpretim me
kushtet e të vërtetës për lidhëzat e PC ―relativizuar‖ me një botë të mundur m
(klauzolat 1)-4)) e me kushtet e vërtetësisë për operatorët modal □ e ◊ (klauzolat 5)-
6). Klauzolat 1)-4) garantojnë se për cilëndo formulë A e botë m, vlejnë në m të
njëjtat modalitete vlerësimi të A të pranuara në PC. Formulat që bien nën këto
klauzola janë të vërteta dhe false në m.
Ndryshe qëndron çështja për klauzolat 5)-6). Për formula si □A dhe ◊A të
vërteta në një botë m, këto klauzola ―çojnë‖ PC-vlerësimin e A respektivisht mbi të
gjitha e mbi të paktën një prej boteve që janë në relacion R me m. P.sh □ (A ^ B)
është e vërtetë në m d.m.th sipas klauzolës 5), që v(A ^ B) = V e në përputhje me
klauzolën 2), që v(A) = V e v(B) = V, në të gjitha botët e mundura që janë në relacion
R me m.
Për çdo botë të mundur m përbërëse e bashkësisë së botëve të mundura M,
ekziston një nënbashkësi e këtyre botëve që janë në një farë relacioni me m. Këto
botë interpretohen si ―të mundura krahasuar‖ me m. Kjo shërben për të evidentuar
381
Artisi A.( 1995) Metodi tableaux per la logica classica modale. Clueb, Bologna, f.49
152
domethënien e relacionit R, që do të thotë se nuk konsiderojmë botët e mundura si
të tilla, por si të mundura krahasuar me një botë të dhënë.
7.4 Botë, raste, situata e pohime të mundura.
Gjatë jetës së njeriut, situatat, rastet, ndikojnë tek mënyra e arsyetimit dhe e
bëjnë atë më të larmishëm. Për rrjedhojë ndikohet dhe logjika si shkencë e arsyetimit
korrekt. Kjo lidhje ndërmjet arsyetimit dhe situatave spikat në vepren e përmendur
të studiueses italiane të logjikës Franka D‘Agostini titulluar I mondi comunque
possibili382
. Ja si shkruan ajo: ―Të arsyetosh d.m.th të zbulosh mundësi, d.m.th botë,
raste, situata të mundura, por dhe të pamundura‖383
. Duket se autorja nuk kufizohet
vetëm tek situatat e mundura por dhe tek ato te pamundura. Mendja njerëzore ka
mundësi ti mendojë dhe ato. Më poshtë vazhdon: ―Ky zbulim mundësish (që është i
zakonshëm për çdo tip të sipërmarrjes intelektuale) është ushtruar në mënyrë
sistematike e specifike në filozofi dhe jo pa arsye është karakterizuar disa herë si
spekulim racional‖384
. Realiteti nuk gjykohet vetëm si është por dhe si mund të jetë
dhe kjo kuptohet kur lexon më tej: ―Nga ana tjetër në çdo arsyetim, dhe tek ai më i
thjeshti, është i implikuar një vizion i realitetit, si është dhe si mund të jetë‖385
. Në
logjikën propozicionale lidhim logjikisht pohimet. Por çfarë përfaqësojnë këto
pohime? Nga shumë autorë të fushës së gjuhësisë, filozofisë, të logjikës e më gjerë
është trajtuar kjo çështje. Pohimet zakonisht formulohen si rezultat i përgjithësimeve
duke pasur si bazë eksperiencën empirike e kështu mund t‘i korrespondojë një stad i
gjërave, por mund të jenë dhe lidhje apo krijime të një fantazie jo gjithmonë të
shëndoshë e ndonjëherë dhe arbitrare.
―Nevojitet të saktësojmë se pohimet fiksojnë, ose parakonstituojnë, botë, situata ose
raste të mundura‖386
. D‘Agostini i referohet një shembulli të thjeshtë duke u nisur
nga një pohim që shpreh një stad gjërash: Librat janë mbi tavolinë. Sipas saj ka një
situatë të cilës i referohesh ku librat janë mbi tavolinë. Mund mos të them të
vërtetën, shprehet ajo, por gjithsesi n.q.s. përfshi pohimin në arsyetim të paktën për
atë arsyetim duhet të konsiderohet i vërtetë. Pra fare mirë mund të bëjmë një
arsyetim korrekt dhe me një premisë jo të vërtetë.
382
D‘Agostini, F. (2012) I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino. Fq. 13 383
Po aty f.13 384
Po aty 385
Po aty 386
Po aty f.40
153
D‘Agostini ne librin e lartpërmendur trajton çështjen e botëve të mundura
duke shprehur një dyshim filozofik. Sipas F. D‘Agostini me fjalën botë kuptojmë një
kombinim të stadeve të gjërave ekuivalentë me propozicionet e shprehura me
pohime. Pohimeve do tu korrespondojnë stade gjërash jo domosdoshmerisht reale.
Në këtë kuadër D‘Agostini shtron pyetjen se a ekzistojnë me të vërtetë këto stade
gjërash dhe rreshton një seri përgjigjesh: një përgjigje është: po, por në një hapësirë-
kohë të ndryshme. Një përgjigje tjetër është: ekzistojnë, por janë pjesë e kësaj bote
që nuk shikojmë me qartësi e kështu duhet t‘i konceptojmë. Përgjigjja e tretë është:
ekzistojnë por janë një tjetër tip entitetesh si ato matematikore (në këtë rast bashkësi
propozicionesh). Një përgjigje e katërt është: një botë e mundur është një kombinim i
ndryshëm i bashkësisë së gjërave të kësaj bote. Një teori tjetër na thotë se botët e
mundura janë si personazhe romancash387
.
Problemi bëhet filozofik dhe F. D‘Agostini thotë se nuk është e nevojshme të merret
pozicion. ―Për të kuptuar problemin duhet të rikujtojmë se në relacion me botët e
mundura logjika kalon në kufijtë e metafizikës, për sa arsyetimet modale përfshijnë
reflektimin mbi mënyrën e të qenurit të gjërave, mbi mënyrën e të bërit të tyre, mbi
ekzistencën dhe jo ekzistencën e tyre. Por dhe në kufijtë e epistemologjisë, ose të
teorisë së njohjes‖388
. Padyshim mënyra e të qenurit të gjërave ndikon mënyrën e të
menduarit dhe të arsyetuarit. Sipas F. D‘Agostini, n.q.s kam mundësinë të konceptoj
mundësinë e domosdoshmërinë, e kam sepse tashmë shikoj atë që është në botën
time, e nga kjo nisem për të përcaktuar të mundurën dhe të domosdoshmen. Si pikë
referimi është bota në të cilën jetojmë. Çdo kombinim tjetër i mundshëm bëhet duke
u nisur nga kjo botë.
7.5 Pamjaftueshmëria e logjikës klasike e logjika te tjera.
Siç dihet logjika është shkenca e arsyetimit korrekt. Logjika nuk merret me
vlefshmërinë e argumentimeve të veçanta por me vlefshmërinë e skemave të
argumentimit389
. Natyrisht se rëndësia e arsyetimit korrekt është e kuptueshme për të
gjithë, por lind pyetja: sa i rëndësishëm është dallimi i modaliteteve? Një seri
logjicienësh kanë tentuar ti japin përgjigje kësaj pyetje. Një prej tyre është Ermano
Bencivenga ku në librin Il primo libro di logica bën dallimet ndërmjet pohimeve të
387
Po aty f. 132 388
Po aty 389
Bencivenga, E. (1984) Il primo libro di logica, Bollati Boringhieri, Torino. f. 30
154
domosdoshme dhe të mundura. Sipas tij është e lehtë që të gjesh dallimin ndërmjet
pohimeve që janë domosdoshmërisht të vërteta dhe pohimeve që janë të vërteta
vetëm në mënyrë kontingjente.
Bencivenga merr si shembull të thjeshtë propozicionet e mëposhtme dhe sqaron:
1) Bie shi
2) Bie shi ose nuk bie shi390
Janë të dyja të vërteta në një moment të caktuar që bie shi por në një
kuptim krejtësisht të ndryshëm. Në një realitet të ndryshëm gjërat mund të
qëndrojnë në mënyrë të ndryshme. N.q.s realisht nuk bie shi propozicioni i parë
është fals ndërsa propozicioni i dytë është i vërtetë pavarësisht se si qëndrojnë
gjërat. Për vërtetë sinë e propozicionit të parë kemi nevojë për informacione
ndërsa për vërtetësinë e propozicionit të dytë nuk kemi nevojë për asnjë
informacion
Bencivenga dallon ndërmjet të pamundurës fizike dhe të pamundurës logjike
e gjuhësore. Ai merr këto shembuj:
1) Është e pamundur që një trup të ketë shpejtësi më të madhe se
shpejtësia e dritës.
2) Është e pamundur që drita të ketë shpejtësi më të madhe se shpejtësia
e dritës. Sipas tij kemi të bëjmë me dy modalitete: modaliteti logjik dhe
modaliteti fizik391
Saktësia e një sistemi logjik, si mund të konsiderohet ndonjëri nga të
lartpërmendurit, bën që ta mendosh si të vetëm. Por kjo nuk ndodh. Logjika në
kuptimin klasik nuk është e mjaftueshme. Duhet pranuar fakte se tashmë nuk flitet
për logjikë por për logjika në shumës. Pamjaftueshmërinë e logjikës klasike e
evidentojnë disa autorë si Lukasiewicz, Lewis etj. Në librin I mondi comunque
possibili radhitën disa autorë dhe arsye që bëjnë që logjika klasike të konsiderohet e
pamjaftueshme. Ja si shkruan kjo autore: ―Logjika klasike nuk është e mjaftueshme
390
Po aty f. 64 391
Po aty f.65
155
për të qartësuar shumë rrjedhoja ose kalime logjike tërësisht të ligjshme që bëjmë në
praktikën e shkencës, në filozofi, dhe në përgjithësi në jetë‖392
.
Një problem tjetër që vë re studiuesja e lartpërmendur D‘Agostini është se një
pohim i mundur nuk përshtatet në logjikën formale klasike. Shembulli mund të
merret çfarëdo:lojtaret e përfaqësueses së Shqipërisë nuk mund të luajnë mirë,
kështu që rrezikojnë të mos kualifikohen për në Kampionatin Evropian. Në logjikën
klasikë kjo fjali përshtatet kështu n.q.s lojtarët nuk luajnë mirë, atëherë nuk
kualifikohen për në Kampionatin Evropian, që është jo vetëm e modifikuar në formë
por dhe në kuptim nga e fillimit sepse përjashtohet modaliteti i mundësisë pas
përshtatjes, pasi logjika klasike nuk i përfshinë modalitetet. Nuk mund të luajnë
përshtatet nuk luajnë dhe rrezikojnë të humbin përshtatet nuk kualifikohen për në
Kampionatin Evropian. Kështu për këtë problematikë të mundësisë dhe
domosdoshmërisë ka lindur logjika modale.
Logjikat modale, siç është përmendur, janë teori të tipit intencional. Çdo
thënie karakterizohet nga intensioni dhe ekstensioni. Ndërsa intensioni është
koncepti që ndërtimi gjuhësor do që të shkaktojë tek mendja e dëgjuesit apo e
lexuesit, ekstensioni është referimi objektual i jashtëm i shprehjes gjuhësore.
Ekstensioni i një termi(shprehje gjuhësore), p. sh. i një emri është individi konkret që
shënon. Ekstensioni i një vetie është klasa apo bashkësia e objekteve që gëzojnë këtë
veti. Përgjithësisht në logjikë veprohet me pohime dhe ekstensioni i një pohimi është
të korresponduarit ose jo me faktet. Gjithashtu logjikat modale janë konsideruar teori
intensionale që kërkojnë një interpretim të tipit ekstensional.
Logjika ka nën-ndarjet e saj. Autorja e lartpërmendur D‘Agostini, duke marrë
parasysh raportin me logjikën klasike, dallon tre linja të zhvillimit të logjikës jo
klasike:393
1) Logjikë alternative me logjikën klasike
2) Logjikë e zgjeruar që zgjeron aparatin formal të logjikës klasike
3) Logjikë deviante që modifikojnë domethënien e disa operatorëve logjik
Këtyre tre linjave D‘Agostini iu bën shpjegimin e mëposhtëm.
1) Logjikë alternative me logjikën klasike bën përjashtim për një apo më shumë
nga principet bazë të logjikës klasike si principi i mos kontradiksionit, i
identitetit dhe i të tretës së përjashtuar
392
D‘Agostini, F.( 2012) I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino. f. 111 393
Po aty f.116
156
2) ―Logjika e zgjeruar nuk diskuton bazat e logjikës klasike, domethëniet dhe
përdorimet e operatorëve, rregullat e tyre, e principet bazë të logjikës, por
ofron përsosje të elementëve për tu bërë i mundur trajtimi i aspekteve të
vlefshmërisë që nuk hyjnë në ato të parashikuarit e kalkulimit.‖ 394
3) Logjika devijuese modifikon domethënien e disa operatorëve. P.sh. logjika e
implikimit të shtrenjtë, dhe ajo e rilevancës modifikojnë domethënien e
operatorit të implikimit →395
.
Natyra e këtyre drejtimeve të logjikës është interpretuar në mënyrë filozofike dhe
kjo kuptohet nga fragmenti i me poshtëm i autores në fjalë: ―Relacioni ndërmjet
llojeve të ndryshme të logjikës, dhe natyra e tyre, është një çështje komplekse dhe
është objekt diskutimi. Përbën një kapitull të rëndësishëm të disiplinës së quajtur
logjikë filozofike‖396
. Gjithashtu dhe termi pluralizëm nuk i referohet vetëm politikës
por është përdorur dhe në logjikë: ―Sot afirmohet pluralizmi logjik, që konsiston në
pranimin e varieteteve të rasteve të cilëve u referohen arsyetimeve tona, kështu
postulohet që këto raste të ndryshëm kërkojnë përdorimin e principeve dhe rregullave
të ndryshme të formimit dhe të vlerësimit‖397
. Sipas studiueses së lartpërmendur
logjika alternative nuk interpretohet sot si rivale e logjikës klasike, por si logjikë e
zgjeruar. Sipas saj kjo do të thotë dy gjëra:
1) Që pranohen raste klasike përkrah rasteve jo klasike, dhe që logjika
klasike vazhdon të ketë vend.398
2) Që i njihet njëfarë përparësie metodologjike dhe shprehëse aparatit
tradicional, kështu logjika standard mbetet bërthama embrionale e
padiskutueshme e praktikës logjike399
394
Po aty 395
Po aty 396
Po aty 397
Po aty f.116 398
Po aty 399
Po aty f.117
157
7.5.1. Logjika fuzzy
Siç e kemi trajtuar, çdo sistem logjik ka në bazë pohimet ose, në rastin e
logjikës predikative, predikatet, për rrjedhojë është zhvilluar logjika e pohimeve
dhe logjika e predikateve. Pohimet, siç i konsideronte dhe Aristoteli në shkrimet nën
titullin Organon, kur trajtonte fjalitë apofantike (pohojnë ose mohojnë diçka për
diçka), kërkojnë përgjigjen vërtetë ose gabuar.
Por të folurit është i shumëllojshëm, po ashtu dhe pohimet si përbërës apo
njësi të tij. Megjithëse janë përjashtuar lutjet dhe pyetjet pasi nuk kanë përbërë
materialin e logjikës klasike, dhe vetë pohimet që lidhin një subjekt me një predikat
nuk marrin një përgjigje të prerë po ose jo. Jo të gjithë pohimet janë të kësaj natyre si
P.sh Zemra rreh, Njeriu është gjallë apo vetetinë.
Vlerat e vërtetësisë të logjikës klasike, siç është thënë, janë dy: e vërtetë që shprehet
me 1, dhe fals që shprehet me 0. Për pohimet e mësipërme vlejnë, por për shumë
pohime shënimi i një vlere vërtetësie 0 ose 1është shumë e vështirë. Shembujt janë të
pafund kur flasim për ndonjë njëri që dikujt i duket i ri, dikujt i duket i vjetër. Në
çfarë pike fillojnë dyshimet për rininë që karakterizon njeriun. Pohime të tilla janë
fals për mua dhe vërtetë për dike tjetër.
Pikërisht tek këto pohime bazohet Logjika fuzzy. Kjo lloj logjike është trajtuar
nga disa autorë. Në librin e permendur Logiche non clasiche i dedikohet një kapitull
kësaj logjike. Ja si shkruhet në këtë libër: ―konsiderojmë për shembull veti si i ri, i
vjetër, i madh , i vogël, i lartë, i shpejtë, i ri. Në raste si këto nuk ka një kufi të prerë
ndërmjet individëve që gëzojnë apo nuk gëzojnë këto veti‖400
. Këto autorë bëjnë një
paralelizëm ndërmjet stadit të gjërave apo fenomenit dhe të vërtetës. Sipas tyre
pohimi Mario është i ri pushon së qeni i vërtetë pak nga pak ashtu si Mario pushon
së qeni i ri pak nga pak. Këto dy autor sugjerojnë këndvështrimin ―polivalent‖,
d.m.th pranimin e vlerave të vërtetësisë të ndërmjetme ndaj ekstremeve vërtetë apo
fals. Në Logjikën fuzzy vlerat e vërtetësisë shprehen me numrat realë të ndërmjetëm
nga 0 tek 1 përfshi ekstremet.401
7.5.2 Justifikimi i vlerave të ndërmjetme të vërtetësisë.
Në logjikën klasike bivalente ka një raport përjashtues, ku falsiteti i një
pohimi është ekuivalent me të vërtetën e mohimit të pohimit. Por duke iu referuar
400
Palladino D,C. (2007) Logiche non clasiche, Carocci, Roma, f. 155 401
Po aty
158
realitetit relacioni ndërmjet vërtetë dhe fals nuk është detyrimisht përjashtues si në
shembujt e lartpërmendur; ndërmjet ndezur dhe fikur hapur dhe mbyllur. Ja si
shprehet D‘Agostini.
―Predikate të tjerë nuk kanë këtë relacion, p.sh:n.q.s një trëndafil është i kuq nuk
është i bardhë (i kuq dhe i bardhë përjashtohen reciprokisht), por se nuk është i kuq
nuk d.m.th. se domosdoshmërish është i bardhë, mund të jetë i verdhë, p.sh. (i kuq
dhe i bardhë nuk janë njëkohësisht esaustiv). Kush na thotë – shtron pyetjen
D‘Agostini se ndërmjet të vërtetës dhe falsitetit duhet të jetë i njëjti relacion si
ndërmjet ndezur – fikur, hapur mbyllur‖402
.
Po të reflektojmë mbi rrethanat në të cilat vërtetë e fals u aplikohen pohimeve,
kuptojmë se ndoshta principi i së tretës së përjashtuar nuk funksionon gjithmonë. Për
shumë pohime nuk mund të themi se nuk janë plotësisht të vërtetë apo fals. Vërtetë
dhe fals, sipas kësaj autore, nuk përjashtohen si bardhë e zi. Ashtu si bota nuk
shikohet vetëm bardh e zi, dhe në logjikë nuk kemi vetëm të vërtetë dhe fals. Ashtu
si ndërmjet të bardhës dhe të zezës mund të ketë ngjyra të tjera po ashtu ndërmjet të
vërtetës dhe falsitetit mund të ketë vlera të ndërmjetme. Këto janë argumente të tjera
në favor të logjikës polivalente.
7.5.3 Probabiliteti dhe logjika e probabilitetit
Një drejtim krejt tjetër i zhvillimit të logjikës është ai i logjikës së probabilitetit.
Rreth hipotezave me probabilitet më të lartë të mundur është diskutuar që në lashtësi.
Ishte Filoni (Sh. II-I) që dallonte ndërmjet evidencës dhe perceptimit. Sipas tij gjërat
janë evidente kur janë prezent në mendje dhe se kjo nuk d.m.th. se janë të
perceptuara; duke mos pasur si shenj dallues perceptimin, e vërteta paraqitet në
sferën e probabilitetit. Megjithëse mohon mundësinë që nëpërmjet shqisave dhe
arsyes të arrihet një dije rigoroze, Filoni i njeh njeriut mundësinë për të arritur një
shkallë qartësie të kënaqshme nëpërmjet opinioneve dhe nëpërmjet kërkimit të
hipotezave me probabilitet më të lartë. Nisur nga pikëpamje filozofike dhe
teologjike, të mundurat, të vërtetat faktike dhe rregullat e kombinatorikës janë
trajtuar shumë kohë më vonë nga autorë të ndryshëm. Mjaft i rëndësishëm është
filozofi gjerman Leibnic. Ai bën një dallim ndërmjet të vërtetave të arsyes dhe të
402
D‘Agostini, F.( 2012) I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino. f. 179
159
vërtetave faktike. Të parat kanë të bëjnë vetëm me të mundurën. Të vërtetat faktike
kanë të bëjnë me realitetin aktual; nuk kanë të bëjnë me esencat por me ekzistenca.
Ndonëse në një këndvështrim tjetër, një trajtim të veçantë dhe njëkohësisht të
rëndësishëm të të vërtetës dhe të probabilitetit ka bërë dhe filozofi britanik A. J.
Ayer. Në kapitullin V të librit të tij të lartpërmendur Gjuha e vërteta dhe logjika
trajton çështjen e të vërtetës dhe të probabilitetit403
.
Shume pohime relative me botën reale janë vetëm të mundura kjo d.m.th. se
vërtetësia e pohimeve të përfshira nuk është absolute. Kështu që nevojiten vlera të
ndërmjetme. Do të jetë logjika e probabilitetit që do të trajtojë arsyetimet apo
rrjedhojat logjike korrektësia e të cilave karakterizohet nga një shkallë probabiliteti.
Një autor i rëndësishëm bashkëkohor i kësaj fushe është Patrick Suppes që ka
trajtuar gjerësisht problemin e të kuptuarit të eksperiencës e ka analizuar lidhjet
arsye-dobi e arsye-shkak. Siç e thamë është marrë gjerësisht me logjikën e
probabilitetit. Ja si shprehet në librin Logique du probable përkth. It. La logica del
probabile: ―Njerëz ngjashëm në arsyetim mund të kenë ide të ndryshme mbi
probabilitetin e së njëjtës ngjarje‖404
. Duket qartë rëndësia që i jep përshtypjeve
subjektive mbi probabilitetin objektiv të rrjedhës së ngjarjeve.
7.5.4 Logjika vendimmarrëse
Tek çdo njeri shumica e veprimeve të tij janë si rezultat i gjykimeve. Ka pasur
filozofë që mendonin se mungesa e gjykimit përbënte mungesën e vullnetit apo të
veprimit. Në mesjetë një prej tyre ishte Buridano (1290). Sipas tij vullneti ka nevojë
për gjykim. Në këtë kontekst është shumë i njohur shembulli që i atribuohet atij.
Një gomar në mes të dy barrëve me kashtë të njëllojta nuk do të dinte të zgjidhte dhe
do të vdiste urie. Në mesjetë shembuj të tillë ishin mjaft të përhapur.
Në të njëjtën periudhë sh. XII merr famë lëvizja e karakterit fetar të Port
Royal me dy përfaqësuesit kryesor francezët Antoine Arnauld e Pierre Nikole.
Faktikisht titulli i librit të këtyre autorëve është La logique ou l’art de penser, një
vepër mjaft e rëndësishme në historinë e logjikës. Që në fillim të veprës Logjika
përcaktohet si arti i orientimit të drejtë të arsyes në njohjen e gjërave, si për të mësuar
403
Ayer, J. A. Perkth. Gjuha e vërteta dhe logjika Plejad, Tiranë 2009 f.75 404
Suppes, P. Logique du probable tr. It. La logica del probabile, Bologna, CLUEB, 1984,f.54
160
vetë, ashtu dhe për të mësuar të tjerët. Nocionet e tyre të metodës rrjedhin nga
gjeometria.
Një dilemë të ngjashme me atë të Buridanit, mund të themi dilema e
lumturisë, përmend dhe studiuesja që kemi trajtuar F. D‘Agostini. Ja si shkruan: ―Në
jetë ose kënaq pasionet ose u reziston. N.q.s kënaq pasionet nuk je I lumtur sepse
gjendesh në një stad turpi. N.q.s u reziston nuk je i lumtur sepse je në luftë me
vetveten. Sidoqoftë në jetë nuk je kurrë i lumtur‖405
. Situata tipike në të cilat
kërkohet një arsyetim janë ato që përfshijnë zgjedhje e vendime. Çdo qenie e
arsyeshme vepron në bazë të interesave të tij. Më këto çështje merret ajo pjesë e
logjikës që quhet teoria e vendimmarrjes.
7.5.5 Një seri domosdoshmërish
Domosdoshmëria s‘është vetëm logjike apo matematike por ka një seri
domosdoshmërish të cilat radhiten në librin I mondi comunque possibili. Ja si
shprehet kjo autore në këtë libër:
―Në bazë të burimeve normative dallohen domosdoshmëri analitike (të përcaktuar
nga domethënia e fjalëve), metafizike ose ontologjike) (të përcaktuara nga qenia e
gjërave), natyrore (të përcaktuar nga ligjet e fizikës), epistemike (e përcaktuar nga
koherenca me atë që dimë apo besojmë), morale (që varet nga kostumet apo
principet), juridike (që varet nga ligjet në fuqi), praktike (ekonomike që bazohet tek
principi i avantazhit më të madh, ose përgjithësisht strategjike, e përcaktuar nga
preferenca në një situatë të dhënë), konvencionale ( të përcaktuara nga konventa
specifike, si rregullat e një loje)‖406
.
D‘Agostini evidenton paralelizëm ndërmjet domosdoshmërive të ndryshme. P.sh
domosdoshmëria analitike Një beqar nuk mund të jetë i martuar është në një far
kuptimi konvencionale407
. Po ashtu dhe domosdoshmëria metafizike Është e
pamundur që unë të ekzistoj varet nga domethënia e fjalëve unë dhe ekzistoj. Po
ashtu dhe domosdoshmëria morale e pohimit Nuk është e mundur të vrasësh varet
nga konventat apo është një princip universal, apo një ligj natyror?408
. E njëjta gjë
dhe për pamundësinë praktike ku mund të jenë arsye të ndryshme p.sh. për mos t‘u
paraqitur në një takim si pamundësi fizike etj.
405
D‘Agostini, F(2012). I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino f. 44 406
Po aty f. 119 407
Po aty f. 120 408
Po aty
161
7.5.6 Logjika aletike , kohore, deontike dhe epstemike
Janë autorë të ndryshëm që klasifikojnë logjikën jo klasike duke u nisur nga
tipe te ndryshme të modalitetit të mundësisë: logjika aletike (aletheia) që ka të bëjë
me vërtetësinë e gjykimeve tona mbi mundësinë dhe domosdoshmërinë, pa marrë
parasysh llojet e domosdoshmërisë dhe të mundësisë në fjalë409
. Logjika kohore që
trajton shprehjet do të jetë p, ka qenë p; deontike që trajton të domosdoshmen dhe të
mundurën në kuptimin juridik Është e detyrueshme, Është e lejueshme;logjika
epistemike që ka të bëjë me të besuarit dhe me të diturit,d.m.th. me shprehjet x di që
p, x beson që p410
.
Për sa i përket logjikës kohore shtojmë se ka pasur momente të ndarjes në
kohë të ngjarjeve, duke konsideruar si të vërteta të gjitha ngjarjet e ndodhura para
momentit në të cilin flitet. Kështu, e kaluara behët e domosdoshmërisht e vërtetë.
Ndërsa çfarë nuk ka qenë nuk ka qenë asnjëherë e mundur.
7.5.7 Logjika kushtore
Një nga vështirësitë që autorë të ndryshëm të fushës së logjikës marrin në
konsideratë është, para së gjithash, problematika e kushtores ose implikimit. Kjo
problematikë ka bërë të mundur një logjikë të re të quajtur logjika kushtore ose e
implikimit.
Diskutimi mbi implikimin ka origjinë të hershme dhe zë një vend të
rëndësishëm në logjikën modale. Po rikujtoj shkurtimisht implikimin si koncept për
të trajtuar problematikën që shfaq.
Implikimi është fjali e përbërë e formës n.q.s A atëherë B. Thënë ndryshe A
është paraprisja dhe B ndjekësja e kushtores. Përbërësi i parë konsiderohet si
hipotetik dhe i dyti si pasues i tij. Shembull: N.q.s është ditë atëherë ka dritë.
Pra kemi dy pohimet është ditë, ka dritë dhe lidhësen logjike n.q.s atëherë.
Kushtoret janë trajtuar gjerësisht që në lashtësi. Kryesisht janë trajtuar nga
stoikët, saqë autorët e Historisë se Logjikës W. e M. Kneale, duke iu referuar Sesto
409
Po aty f.120 410
Po aty
162
Empirico, na sjellin shprehjen filozofit Kallimako: ―N.q.s po dëgjoni korbat
mbi çati; me natyrën e kushtoreve e kanë‖411
.
Dhe mbi vlerën e vërtetësisë së implikimit është debatuar që në lashtësi. Për
filozofin Filoni, kushtorja ka paraprijësen fals ose pasuesen të vërtetë.
(Jo A) ose B
(¬ A) V B
Ose më mirë s‘mund të fillojë me një të vërtetë dhe të përfundoje më një të
rremë.
P.sh. implikimi N.q.s. ka lule atëherë ka aromë është i vërtetë në këto raste:
1. Kur janë të dy pohimet të vërteta ka lule dhe ka aromë.
2. Kur janë të dy fals s’ka lule dhe s’ka aromë.
3. Kur është fals i pari dhe i vërtetë i dyti s’ka lule dhe ka aromë.
(mund të imagjinojmë sikur ka aromë të diçkaje tjetër)
Implikimi i mësipërm është fals vetëm në një rast: Kur është fals i pari dhe i
vërtetë i dyti. D.m.th. ka lule dhe s’ka aromë. (s‘ka mundësi që lulet të mos përhapin
aromë). Tabela e vërtetësisë së implikimit bën çdo gjë më të qartë.
Tabela 7.1
P
Q
P →Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Në implikim ose në kushtoren supozimi i pohimit të parë të vërtetë sjell
detyrimisht të vërtetë pohimin i dytë, përndryshe implikimi do të jetë fals.
N.q.s P atëherë Q, është e pamundur P e ¬ Q. Nga tabela duket qartë se në
këtë rast implikimi është fals.
Në shembullin n.q.s. është ditë ka dritë është fals rasti i vetëm kur është ditë
dhe s’ka dritë. Rasti kur është natë e s‘ka dritë, (apo ka nga diçka tjetër), implikimin
e bën të vërtetë. Natyrisht rasti kur është ditë dhe ka dritë është i vërtetë.
Në shembullin N.q.s. bie shi atëherë merr çadrën rasti i vetëm i implikimit
fals është kur bie shi dhe nuk merr çadrën. Në të gjitha rastet tjera është i vërtetë.
411
Kneale,W e Kneale, M. Storia della logica (a cura di Conte, A.) Enaudi, Torino, 1972 f.155
163
Duke ditur se implikimi A→ B është fals kur A është e vërtetë e B është fals e
në të gjitha rastet tjera i vërtetë, atëherë pavarësisht nga domethënia do të ishte e
vërtetë njëra formulë A → B ose B → A. Kjo duket qartë sepse kombinimi vërtetë
fals do ta bënte implikimin A → B fals, ndërsa implikimin B → A të vërtetë.
Pikërisht ky problem është trajtuar nga autorë të ndryshëm.
Rreth kësaj çështje logjicieni McColl kishte kundërshtuar B. Russell në këtë
mënyrë: Për McColl kushtorja N.q.s. A atëherë B nuk mund të bëhet ¬ A ˅ B, sepse
kjo do të bënte të vlefshëm lidhje ndërmjet pohimesh që nuk janë logjike, por që
varen nga rrethanat specifike në të cilat realizohen. P.sh. dhënë dy pohime çfarëdo A
e B njeri do të sillte tjetrin, të dy do të ishin implikuar nga çdo pohim fals e do të
implikonin çdo pohim të vërtetë. E për të kërkuar një vijë të mesme, McColl përdor
operatorin e domosdoshmërisë dhe interpreton A → B si: është e domosdoshme që jo
A ose B.412
Ndërsa sipas Russell lidhja formale ndërmjet A dhe B nuk varet vetëm nga
vlera e vërtetësisë por ka rëndësi dhe konteksti ku fjalitë marrin vlera vërtetësie. Kjo
trajtohet bashkë me implikimin material. Sipas tij kur trajtohet implikimi material
duhet të trajtohen të gjitha rastet sipas ndryshimit të ndryshoreve.
Mjaft interesant është interpretimi i Lewis. Sipas tij A → B do të
zëvendësohet me: nevojshmerisht o ¬ A o B. Ky është konsideruar implikimi i
shtrenjtë ndërsa ai i pari, siç kemi thënë, implikimi material. Me këtë ai shembulli që
na dukej i habitshëm. N.q.s. bie shi, merr çadrën. Rasti F V ku implikimi ishte i
vërtetë tani bëhet: Domosdoshmërisht, o s’bie shi o merr çadrën.
Ndërsa studiuesja që përmendem D‘Agostini e trajton problematikën e implikimit në
këtë mënyrë: Ajo niset nga ligji i pasurimit i cili formulohet kështu:413
p → q ˫ (p ^ r) → q414
ky ligj bazohet tek fakti se duke pasur p→q të vërtetë nuk jepet kurrë rasti i pohimit
p të vërtetë dhe i pohimit q fals, kështu që në rrjedhojë për çfarëdo vlere të pohimit të
shtuar r nuk ndërron vlera e vërtetësisë së rezultatit të rrjedhimit kështu që rrjedhoja
412
Mangione, C. e Bozzi, S. (1993) Storia della logica, Garzanti, Milano f.170 413
D‘Agostini, F.( 2012) I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino f. 111 414
Shenja ˫ është simboli i rrjedhojës
164
është e vlefshme. Duke zëvendësuar simbolet e pohimeve me pohime çfarëdo
vazhdojmë në këtë mënyrë:
N.q.s është pranverë atëherë ka lule rrjedh n.q.s është pranverë dhe ka ditë me diell
atëherë ka lule.
Por meqenëse në vend të simbolit të r mund të vendosim çfarëdo lloj pohimi i njëjti
shembull mund të bëhet:
N.q.s është pranverë atëherë ka lule rrjedh n.q.s është pranverë dhe bën shumë ftohtë
atëherë ka lule.
Ky shembull i keqfunksionimit të kushtores dhe shembuj të tjerë bëjnë që të vihet në
dyshim dobia e logjikës ose lidhja e saj me arsyetimin e zakonshëm natyror. Nga
këto keqfunksionime të kushtores kanë lindur logjikat kushtore.
7.5.8 Logjika e rilevancës
Në këtë larmi të zhvillimit të logjikës zë vend një lloj i veçantë i logjikës, e quajtur
logjika e rilevancës. Në librin I mondi comunque possibili ka një paragraf mbi këtë
lloj logjike. Ja si shprehet autorja rreth kësaj logjike:
―Logjika e rilevancës është inauguruar nga Alan R. Anderson, Nuel D. Belnap, J.
Michael Dunn. Ideja bazë që një rrjedhojë të jetë e vlefshme, duhet që premisat të
jenë rilevante për të arritur konkluzionin; dhe po ashtu, që një kushtore p → q të
jetë e pranueshme, duhet që të jetë një lidhje precize në përmbajtje ndërmjet p dhe q‖
415.
Me këtë logjikë është bërë një tentativë për të lidhur arsyetimin e natyrshëm me
arsyetimin logjik. Me logjikën relevante ajo karakteristikë e famshme e arsyetimit në
formë të zhveshur nga përmbajtja nuk vlen. Autorët që kanë trajtuar e zhvilluar në
këtë mënyrë logjikën janë nisur nga problematika që lind kur përkthejmë një
arsyetim logjik formal në gjuhën natyrore ose më thjeshtë kur kërkojmë shembuj me
përmbajtje për një rrjedhojë apo më thjeshtë dhe për një lidhje logjike mes dy
pohimeve.
p.sh skema e mëposhtme logjikisht është e vlefshme
P
________
P V Q V .......
415
Po aty f.160
165
por duke vendosur çfarëdo lloj pohimi në vend të simboleve do të
përfitohet një kombinim i çuditshëm dhe se logjikisht i vërtetë
lulet çelin në pranverë
___________________________
lulet çelin në pranverë ose 1+1 = 3
Autorët që promovojnë logjikën e rilevancës nuk kërkojnë që të mohojë tërësisht
logjikën e mëparshme, por kërkojnë që ta rinovojë atë. Sipas logjikës rilevante
kërkohet një lidhje precize ndërmjet premisave dhe konkluzionit. Në rast se lidhim
me lidhëzën logjike të implikimit dy pohime çfarëdo të vërteta implikimi është i
vlefshëm dhe n.q.s. këto pohime nuk kanë fare lidhje në përmbajtje. Logjika
rilevante nuk pretendon që premisat të jenë gjithnjë të vërteta se kjo nuk është e
mundur, por pretendon lidhje në përmbajtje ndërmjet premisave dhe konkluzionit.
7.5.9 Logjika parakomplete
Në logjikën klasike e vërteta ka një domethënie të saktë, në mënyrë të veçantë
kërkohet ky princip:N.q.s. pohimi p nuk është i vërtetë, atëherë p është fals. Kjo do të
thotë se ndërmjet të vërtetës dhe falsitetit nuk ka rrugë të mesme. Siç është
përmendur, ky princip përbën ligjin e të tretës së përjashtuar. Po shpesh gjendemi në
situata në të cilat për pohimin nuk mund të thuhet së është i vërtetë por as i rremë.
Studiuesja D‘Agostini merr këtë shembull: Ekzistojnë jashtëtokësor inteligjent416
.
Në këtë rast behët fjalë për një pohim që pret për një kohë të gjatë verifikimin. I
vërtetë mund të jetë vetëm pasi të verifikohet në realitet. Ndërsa të konsiderosh fals
këtë pohim d.m.th të mohosh paraprakisht mundësinë e verifikimit. Logjika që lejon
―boshllëqe‖ (vende bosh për sa i përket vlerave të vërtetësisë) d.m.th. përfshinë në
arsyetim pohime të tilla është quajtur logjikë parakomplete. Logjika nuk ka pse mos
të përfshi në strukturën e saj dhe pohime të tilla.
Sipas autores D‘Agostini: ―intuicionizmi është në një farë kuptimi logjikë
parakomplete‖417
. Sipas saj: ―intuicionizmi është një perspektivë e filozofisë së
matematikës e hedhur nga Luitzen Brouwer, i cili i referohej Kanatit ‖418
. D‘Agostini
rikujton se për Kant ndërgjegjja konstituon objektet e saj e kjo është e qartë për
416
Po aty f. 112 417
Po aty f.185 418
Po aty
166
objektet matematike ku është mendimi i kulluar që krijon trekëndëshat, rrënjët
katrore etj419
.
Siç dihet për intuicionistët numrat, funksionet, entet gjeometrike, etj., janë objekte të
ndërtuar nga intuitat tona të kulluara: nuk janë realisht, por krijohen nga strukturat
tona konceptuale.
Sipas F. D‘Agostini ― Fakti se objektet matematike të jenë të ndërtuar nuk
dëmton arsyetimin , por natyrisht ndryshon mënyrën me të cilën konsiderojmë
rrjedhojat‖420
. Në këtë rast humbet vlefshmërinë principi i së tretës së përjashtuar.
D‘Agostini merr një shembull mjaft interesant nga matematika e pikërisht pohimin e
mëposhtëm:
Tek shifrat dhjetore të π-së ka 7 shifra të njëpasnjëshme421
. Kuptohet se nuk është
vërtetuar por as e kundërta nuk është vërtetuar. Pra kemi të bëjmë me një pohim që
nuk është as i vërtetë as fals. Në këtë rast bëhet fjalë për një boshllëk për sa i përket
vlerave të vërtetësisë. Për më tepër intuicionistët pretendojnë që të zëvendësojnë të
vërtetën me vërtetuar. p.sh. p ^ q n.q.s p është vërtetuar dhe q është vërtetuar422
.
8. Debati bashkëkohor mbi raportin e logjikës
me shkencat e tjera dhe mbi objektet logjike e
matematike
8.1 Vështirësia e përcaktimit të koncepteve në logjikë,
matematikë, metafizikë dhe zhvillimi paralel i këtyre shkencave.
Shumë autorë venë në pah vështirësinë e përcaktimit të koncepteve bazë, jo
vetëm të filozofisë por dhe të matematikës. Vështirësisë së përcaktimit të
koncepteve i referohet logjicieni bashkëkohor italian Maurizio Negri. Ja si shprehet
ai në një manual të logjikës: ―nuk mund të jepet një përcaktim i kënaqshëm i
―bashkësisë‖ më shumë sesa është e mundur në metafizikë të përcaktosh qenien”423
.
Kemi këtu një paralelizëm ndërmjet koncepteve logjike matematike e filozofike.
419
Po aty 420
Po aty 421
Po aty 422
Po aty 423
Negri, M. (1994) Elementi di Logica, LED, Milano f. 11
167
Ndërmjet historisë së logjikës dhe historisë së filozofisë ka një ndikim reciprok duke
mos lënë pa përmendur dhe ndikimin e shkencave te tjera kryesisht të matematikës.
Filozofët më të shquar kanë qenë dhe logjicienë e ndonjëherë dhe matematicien të
shquar. Shumë vepra të mirëfillta e manuale të këtyre shkencave demonstrojnë sa u
tha më lart. Nuk është e mundur në këtë punim të depërtohet në detaje te historisë të
këtyre disiplinave, por po paraqes disa momente të shkurtra duke shfrytëzuar disa
manuale të historisë së logjikës dhe të filozofisë.
Për sa i përket raportit të logjikës me shkenca të tjera, kryesisht me filozofinë
e matematikën, një kontribut mjaft të madh kanë dhënë historianët e logjikës W. M.
Kneale, të cilët janë përmendur disa herë. Historia e tyre nuk është vetëm histori e
logjikës, por është një ndërthurje e aspekteve më domethënëse të historisë së
filozofisë me historinë e logjikës. Natyrisht se këto drejtime të dijes kanë dallime
ndërmjet tyre. Ndërsa e para është e lidhur ngushtë me historinë e mendimit njerëzor
dhe të fantazisë më të spikatur njerëzore, e dyta është e lidhur më shumë me
korrektësinë e mendimit.
Gjatë zhvillimit historik të shkencës, shpeshherë ka pasur momente të
identifikimit të logjikës me matematikën. Për këtë raport ka shkruar dhe logjicieni
italian Corrado Mangione. Sipas tij logjika nuk është matematikë, e kundërta është
e vlefshme424
. Ky studiues (konsideruar si babai i logjikës bashkëkohore italiane
ndarë nga jeta pak vite më parë) në të njëjtën hyrje përmend dhe raportin e
filozofisë me logjikën dhe thekson se logjika që nga koha e Aristotelit dhe e stoikëve
ka zhvilluar një funksion filozofik dhe vazhdon ta zhvillojë ― si po të konsiderohet
si pjesë e filozofisë siç bënin stoikët, si po të shikohet tek ajo një instrument, një
organon për vetë filozofinë‖425
.
Faktikisht logjika e matematika janë zhvilluar paralelisht dhe pa u ndaluar
shumë tek mënyra e formimit të koncepteve që përbëjnë themelet e tyre. Marrim një
shembull të thjeshtë. Sa veprime komplekse matematikore bën një nxënës pa pasur të
qartë natyrën ideale apo reale të numrit? Shpeshherë e njëjta gjë ndodh dhe në
logjikë.
424
Mangione C. e Franchella M.( 1993) Letture di logica, Led, Milano f. 7 425
Po aty
168
8.2 Raporti i logjikës dhe matematikës me shkencat e tjera;
akti krijues e spontan në bazë të tyre.
Lidhjet e logjikës me filozofinë e shkenca të tjera i kanë trajtuar disa filozofë
e logjicienë bashkëkohor. Sipas studiuesit bashkëkohor Ermano Bencivenga, nuk
është vetëm logjika që zgjon probleme filozofike por dhe shkenca të tjera. Për këtë
çështje në librin Il primo libro di logica shprehet: ―Patjetër, logjika përdor
instrumente matematike, shpesh të sofistikuar, e zgjon probleme filozofike delikate
e interesante, por të njëjtën gjë bëjnë dhe fizika, biologjia, ekonomia, dhe askush
nuk kërkon se këto disiplina të tjera të jenë pjesë e matematikës apo të
filozofisë‖426
.
Ajo çfarë ka drejtuar filozofinë, logjikën, matematikën drejt pikave të
përbashkëta ka qenë diskutimi mbi objektet logjike e matematikore. Këtë çështje e ka
trajtuar gjerësisht filozofi i matematikës Carlo Cellucci. Carlo Cellucci përmend
faktin se ka pasur tendencë të vazhdueshme të çlirimit të logjikës e matematikës nga
filozofia dhe rreth kësaj çështje ka pasur një debat të gjerë. Jo të gjithë studiuesit e
kanë konsideruar zbulimin matematikor, logjik apo dhe më gjerë si një proces që ka
shpjegim racional. Shpeshherë është konsideruar si një proces irracional bazuar mbi
intuitën. Cellucci në kërkimet e tij u referohet disa autorëve që janë shprehur për këtë
çështje. Një prej autorëve që ka trajtuar këtë çështje është Dieudonné. Ja si shprehet
duke iu referuar këtij autori ―Aktiviteti i një ‗truri krijues nuk ka pasur kurrë një
shpjegim racional, në matematikë si dhe në fushat tjera‖427
.
Matematika nuk merret me stadet e neuroneve që çojnë tek mendimi, filozofëve u
intereson natyra e këtyre mendimeve. Me stadet e neuroneve merret neuroshkenca, e
cila kohët e fundit po merr një zhvillim të madh dhe një farë ndikimi e ka dhe tek
shkencat e tjera.
Filozofi i lartpërmendur Cellucci nuk ndante matematiken nga proceset
natyrore. Sipas tij, ajo është një aktivitet njerëzor e përfshihet në një proces natyror të
përshtatjes me ambientin428
. Natyrisht, njeriu, si forma më e lartë e njohur e
organizimit të mistershëm jetësor të materies, nuk mund të jetë vetëm qenie teoretike
por dhe një qenie biologjike dhe aktiviteti i tij mendor, ndonëse shpeshherë arrin
nivele të larta përgjithësimi dhe abstragimi, është në funksion të kësaj përshtatje. Por
426
Bencivenga, E.( 1984) Il primo libro di logica, Bollati Boringhieri f. 10 427
Cellucci, C. (2003) Filosofia e matematica. Laterza, Roma-Bari f.XVII 428
Po aty f. XXI
169
duhet theksuar se tek njeriu kjo përshtatje është mjaft komplekse. Aftësia për të
njohur sasitë e format distancat ose rrugët me të shkurtra është dhe për forma të tjera
jetësore por tek njeriu kjo aftësi arrin shkallën më të lartë dhe i jep formë jo vetëm
shkencës së matematikës, por ndikon më tej tek filozofia, arti, letërsia. Cellucci
trajton në një paragraf ndikimin e romantizmit ne matematikë. Në pamje të parë
dukët sikur nuk kanë lidhje por autorë të ndryshëm kanë gjetur lidhjen ndërmjet
romantizmit dhe matematikës. Cellucci sjell në librin e tij Novalis, sipas të cilit
matematiku krijon konceptet e tij me një akt vullneti e me një përcaktim që duhet të
jetë puro arbitrar. Në bazë të saj është një akt krijues spontan dhe absolutisht i lirë429
.
Po ashtu, natyra e objekteve matematikore si krijime të lira të mendjes spikat dhe në
mendimin e matematikanit të shquar Dedekind të cilin e sjell filozofi i lartpërmendur
i matematikës Cellucci. ―Dedekind pohon se konceptet matematike janë diçka e re që
shpirti ynë krijon. Ne jemi të një race hyjnore dhe kemi aftësinë për të krijuar, jo
vetëm gjëra materiale (hekurudha, telegrafë) por, në mënyrë specifike gjëra
mendore‖430
. Idealizmin e objekteve matematike e theksonte dhe Hilbert. Ja si
shkruan Cellucci në librin Filosofia della matematica duke iu referuar këtij
matematicieni të shquar: ―Hilbert konsideron objektet e matematikës infinitare
vetëm si gjëra ideale me baza të shëndosha‖431
. Gjithnjë duke iu referuar Hilbertit
vazhdon me tej se ekzistenca matematike e një koncepti është demonstruar n.q.s me
një numër të fundëm rrjedhojash logjike rreth karakteristikave të tij, nuk arrijmë në
kontradiksion432
.
8.3 Dallimi ndërmjet abstraksionit dhe idealizimit
Carlo Cellucci nuk u referohet vetëm matematikanëve por dhe filozofëve
përfshirë dhe filozofin e lashtë Aristotelin. Duke iu referuar Aristotelit, shpjegon se
objektet matematike, dhe se nuk ekzistojnë të ndarë nga materia, nëpërmjet
abstraksionit ne mund ti konsiderojmë në vetvete sikur të ishin të ndarë nga materia,
duke ju hequr të gjithë karakteret sensibel e duke lënë vetëm sasinë e vijueshmërinë.
429
Po aty f. 38 430
Po aty f. 40 431
Po aty f. 138 432
Po aty f. 138
170
Në këtë mënyrë përfitojmë linjat, planet, sipërfaqet trupat 433
. Për sa i përket
abstraksionit, Carlo Cellucci rendit disa vështirësi nga ku po përmendim tre prej tyre.
1) objektet që përfitohen nëpërmjet abstraksionit nuk e kalojnë eksperiencën.
Ndërkohë shumë objekte matematike e kalojnë eksperiencën. Një shembull që
paraqet janë bashkësitë e pafundme.
2) abstraksioni nuk shpjegon saktësinë e objekteve matematike.
3) nëpërmjet abstraksionit nuk përfitohen objekte aq të përcaktuar sa objektet
matematike434
.
Carlo Cellucci në kërkimin e tij mbi origjinën e objekteve të matematikës u
referohet dhe shkencëtarëve e filozofëve të tjerë. Duke iu referuar Galileo Galileit, ai
sjell një tjetër përgjigje çështjes së origjinës së këtyre objekteve nga bota fizike.
Sipas tij matematiku zhvillon kërkimet e tij rreth objekteve të përfituar nga bota
fizike nëpërmjet idealizimit. P.sh sfera përfitohet duke dërguar në limit disa
karakteristika të një topi. Përmend disa karakteristika sepse ngjyra, përbërja etj.,
mund të evitohen435
. Rezultati këtu tejkalon botën fizike. Këtu flitet për aftësinë e
mendjes njerëzore që të perfeksionojë objektet e saj. Cellucci dallon idealizimin nga
abstraksioni. ―Ndërsa nëpërmjet këtij të fundit konsiderohen vetëm disa
karakteristika të një apo shumë gjërave të botës fizike e lihen në hije të tjerat,
nëpërmjet idealizimit konsiderohen tipare që nuk janë të ndonjë objekti të botës
fizike, por që përfitohen duke çuar në limit veti të gjërave që bëjnë pjesë tek bota
fizike‖436
. Kështu Cellucci gjen një dallim ndërmjet abstraksionit dhe idealizmit.
Natyrisht se çdo akt mendor është aq kompleks sa lë vend për diskutime, pse mos të
ndodhe dhe me abstraksionin.
Gjithnjë duke iu referuar Galileit, Cellucci, në përgjigje të pyetjes rreth arsyes
së aplikimit te të vërtetave matematike botës fizike, shpjegon dhe procesin e kundërt
të idealizimit d.m.th. konkretizimin. Objekteve ideale mund tu aplikohet veprimi i
konkretizimit. Gjithsesi Cellucci duke u nisur nga vështirësitë e lartpërmendura
konsideron objektet matematike si hipotezë. Megjithëse nuk e përmend, filozofia
popperiane ka dhënë efektet e saj. Objektet matematike janë hipoteza të ngritura për
të zgjidhur probleme të caktuara. Por kjo nuk do të thotë se asnjë objekt të lindë nga
bota fizike. N.q.s një objekt matematik lind nga bota fizike, nuk lind nëpërmjet
433
Po aty f. 312 434
Po aty f. 313 435
Po aty f. 314 436
Po aty
171
operacioneve të tilla, por si çdo hipotezë, nëpërmjet kalimeve jo-deduktive437
.
Diskutimi mbi objektet matematikore ndihmon kuptimin e natyrës së objekteve të
logjikës e shumë autorë, me në krye G Frege kanë identifikuar këto fusha studimi.
8.4 Këndvështrimi intuizionist mbi objektet matematike e
logjike
Në diskutimin mbi objektet ka pasur ndarje duke u nisur nga kritere të
ndryshme si kohor e hapësinor. Në bazë të kriterit kohor, objektet janë ndarë në
kohor dhe jashtëkohor. Këtë çështje e ka trajtuar gjerësisht Heidegger në librin Qenia
dhe Koha. Këtu Heidegger përmend dallimin ndërmjet kuptimit jo-kohor të
propozicionit krahasuar me aspektin ‗kohor‘ të pohimeve438
. Ai vëren një hendek
ndërmjet enteve kohore dhe enteve jo kohore, hendek mbi të cilin është kërkuar të
hidhet një urë.
Heidegger në këtë libër përmend dhe faktin se dhe shkenca në dukje më rigoroze e
kompakte, matematika ka hyrë në një ―krizë të themeleve të saj‖. Lufta ndërmjet
formalizmit dhe intuicionizmit ka të bëjë me të kuptuarit e qartësimin e mënyrës së
hyrjes parësore dhe të objektit të kësaj shkence439
. Çështja e objekteve të
matematikës dhe të logjikës nuk është çështje e brendshme matematike por i kalon
kufijtë e saj duke u ndërthurur me çështje filozofike e më gjerë. Kjo çështje, ashtu si
shumë çështje të tjera, e ka zanafillën e vet tek Aristoteli. Sipas tij ne metafiziken
K3,1061 a 28-35) matematiku zhvillon kërkimin e tij rreth gjërave të përfituara
nëpërmjet abstraksionit. Studion gjërat duke mos marrë parasysh peshën, lehtësinë
butësinë apo fortësinë. Matematiku ruan vetëm sasinë dhe vijimësinë.
Siç shihet në një artikull të përkthyer në italisht në një përmbledhje të titulluar
Letture di logica, nga një këndvështrim intuizionist niset Arend Heyting. Arend
Heyting në këtë artikull bazohet tek intuicionizmi i trajtuar nga Griss. Sipas
intuicionistëve koncepti bazal konceptohet si ndërtim. Griss duke shpjeguar praninë
e pohimit në matematikën intuizioniste shprehej: ―Çdo pohim matematik shpreh
përfundimin e arrirë të një ndërtimi të caktuar matematik. Kështu pohimi 6 është
një numër çift nuk shpreh gjë tjetër veçse se ne kemi ndërtuar një numër, në fakt
numrin 3 – dyfishi i të cilit është 6; kuptimi i pohimit është pikërisht ky ndërtim, e
437
Po aty f. 319 438
Heidegger, M. tr.it. Essere e Tempo. Mondatori, Milano 2011 f.37 439
Po aty f.25
172
kuptimi është i qartë, sepse është i qartë ndërtimi matematik që shprehet me
2·3=6”440
.Çështja e qartësimit të objekteve matematike shërben për të qartësuar dhe
konceptet bazë të logjikës.
Përfundime
Së pari, megjithëse nuk ishte argumenti kryesor, në këtë disertacion diskutimi
mbi objektet logjike zinte një vend të konsiderueshëm. Matematika e logjika,
krahasuar me shkencat e tjera, karakterizohen për shkallë të lartë saktësie, por
diskutimi mbi objektet e tyre, domethënë mbi konceptet bazë mbi të cilat ndërtohen,
len gjithmonë vend për interpretime të ndryshme dhe mendoj se është gjithnjë i
hapur. Shpesh këto interpretime kundërshtojnë e përjashtojnë njëra tjetrën. Tradita,
që ka si origjinë përfaqësuesit e rrethit të Vjenës, përpiqet të konsiderojë si të tepërt
interpretimin filozofik duke i dhënë arsye verifikimit empirik. Duket si absurde të
mendosh verifikim empirik të objekteve apo koncepteve logjike e matematike por
autorë të ndryshëm kanë dhënë shembuj interesantë në këtë drejtim. Një prej të
cilëve është Kuno Fisher. Ai i paraqet konceptet si operacione të intelektit, në atë
mënyrë si madhësitë matematike të cilat, gjithnjë sipas tij, ekzistojnë vetëm në
momentin në të cilin janë sjellë në intuitë dhe janë krijuar, kështu konceptet e
kulluara ekzistojnë vetëm në momentin në të cilin janë menduar. Fisher
konsiderohen si të ngjashëm konceptet matematikore me ato filozofike. Duke i
konsideruar këto koncepte si krijesa të mendjes atëherë objektiviteti i tyre mbetet
gjithnjë i diskutueshëm. Objektiviteti në një farë mënyre bëhet ndërsubjektivitet.
Kohet e fundit arritjet e neuroshkencës, kryesisht aftësia për të matur aktivitetin e
trurit me instrumente, janë shfrytëzuar për të kuptuar se çfarë ndodh në trurin e
njeriut, kur mendon dhe arsyeton. Sigurisht në të ardhmen priten zhvillime
interesante në këtë drejtim.
Së dyti: tradita polake rreth logjikës modale në përgjithësi dhe asaj
polivalente në veçanti është e rëndësishme për zhvillimin e mëtejshëm të kësaj
shkence dhe për perspektivat bashkëkohore të saj. Megjithëse shpeshherë studiues të
fushës së logjikës dhe të historisë së saj flasin për traditën polako – gjermane, logjika
440
Mangione, C. e Franchella, M.( 1993) Letture di logica, Led, Milano f.138
173
polake nuk është e njohur sa ajo gjermane. Në zhvillimet e mëvonshme të logjikës,
modaliteti i të mundurës, që ishte në themel të logjikës polivalente, do të trajtohet i
lidhur ngushtë me probabilitetin. Ky i fundit do të trajtohet në aspektin subjektiv
dhe objektiv, gjithnjë duke u bazuar tek frekuenca e ngjarjeve të verifikuar nga
eksperienca. Dhe në këtë drejtim zhvillimet janë të hapura.
Së treti: logjika propozicionale klasike nuk mund të shprehë të gjitha
propozicionet e gjuhës natyrore, kështu është i nevojshëm kërkimi në këtë drejtim
dhe zgjerimi i saj me operatorë logjik ose lidhëza të tjera logjike si ato operatorë
modal aletik, deontik, epistemik etj.
Së katërti: Sot ka pluralizmi logjik, që konsiston në pranimin e
shumëllojshmërisë së arsyetimeve tona. Logjika jo klasike nuk interpretohet sot si
rivale e logjikës klasike, por si logjikë e zgjeruar. Pranohet logjika klasike përkrah
logjikës jo klasike. Realitetit kompleks mendor i korrespondon një realitet kompleks
gjuhësor, analiza logjike e të cilit nuk do të resht kurrë.
174
Shpjegimi i simboleve
A pohim i përgjithshëm
E mohim i përgjithshëm
I pohim i pjesshëm
O mohimi i pjesshëm
¬, ~ mohim
^ konjuksion
v disnjuksion
→ implikim
↔, ≡ ekuivalencë
p,q,r,s...... shkronja prepozicionale
P(q) në kuptimin e predikohet diçka për q
A,B,C... formula
↓ mohim i përbashkët
| mohimi alternativ
╞ simboli i tautologjisë
˫ simboli i rrjedhojës
q implikimi sipas G. Frege
p
Mohimi sipas G Frege
(PP) Principit të Parmeneidit
□ e domosdoshme
◊ e mundur
Mp e mundur p sipas simbolikës polake
NMp nuk është e mundur p sipas simbolikës polake
0 vlera e vërtetësisë fals
½ vlera e vërtetësisë e mundur
1 vlera e vërtetësisë vërtetë
175
Cpq implikimi sipas simbolikës polake
Kpq konjuksioni sipas simbolikës polake
p për ndonjë p
p për çdo p
një funtor variabil që ka vetëm një proposizion si argument
A simboli i alternativës sipas simbolikës polake
E simboli i ekuivalencës sipas simbolikës polake
kuantifikatori universal
p kuantifikatori ekzistencial
a I |P(a) d.m.th. a është element ose bën pjesë në I të tillë që gëzojnë vetinë P.
X Y prerje
X Y bashkim
X mohim
Prop bashkësia e të gjitha shkronjave propozicionale
PC logjika propozicionale klasike
PM logjika propozicionale standard
v0, është shënim i një vlere v(P,m) {V,F} çdo shkronje propozicionale
S sistem formulash
Fmf formula të mirë formuara
A1,.........An radhitje të fmf–ve
Lo gjuhë logjike
PC logjika propozicionale klasike
176
Formula të rëndësishme
(p v q) = ¬p→q
(p ^ q) ≡ ¬ (p → ¬ q)
(p ≡ q) = (p → q) ^ (q → p)
¬ (P V Q) ≡ ¬ P ^ ¬ Q (De Morgan)
¬ (P ^ Q) ≡ ¬ P V ¬ Q
(P V Q) ≡ ¬(¬ P ^ ¬ Q)
(P ^ Q) ≡ ¬ (¬ P V ¬ Q)
◊ P ≡ ¬ □ ¬P
□ P ≡ ¬ ◊ ¬P
˫ (p v p) → p ( aksioma Russell)
˫ q → (p v q)
˫ p v q → q v p
˫ p v (q v r) → q v (p v r)
˫ (q → r) → (p v q → p v r)
((A→ B) ^ A) → B MP (modus ponens)
((A→ B) ^ ¬B) → ¬A MTT(modus tollendo tollens)
p → ( q → p) Aksioma
(p → (p→ q)) → (p→ q))
(p → q) → ((q →r) → (p → r))
(p ^ q) → p
(p ^ q) → q
(p → q) → ((p →r) → (p → q ^ r))
p → (p ˅ q)
q → (p ˅ q)
(p → r) → ((q →r) → (p ˅ q → r))
(p ↔ q ) → (p → q)
(p ↔ q ) → (q → p)
(p ↔ q ) → ((q → p) → (p → q))
(p → q) → (¬q → ¬p )
p →¬¬ p
177
¬¬ p → p
p → q ˫ (p ^ r) → q ligji i pasurimit.
178
BIBLIOGRAFIA
Adorno, F., Grgory, T e Verra, V.(1996) Manuale di storia della filosofia Laterza,
Roma –Bari
Anxhaku, A.(2008) Homo Metaphysicum dhe Poesia, Extra, Tiranë f
Aristotele tr, it. Metafisica, Laterza , Roma – Bari 1988
Aristotele, Della interpretazione, tr.it di Zanata M.Rizzoli, Milano1992
Artisi, A. (1995)Metodi tableaux per la logica classica modale. Clueb, Bologna
Ayer, J. A. Perkth. Gjuha e vërteta dhe logjika Plejad, Tiranë 2009
Badano, C. (2008) La possibilità e il senso : un itinerario intorno al tema della
possibilità Armando, Roma
Bayle, P. tr. it. Dizionario storico e critico, a cura di Cantelli.G. Laterza
1977―Paradigmi‖XVIII n.53, Roma 2000
Bencivenga, E. (1984) Il primo libro di logica, Bollati Boringhieri, Torino.
Berto, F. (2010) L’esistenza non è logica Laterza, Roma-Bari
Binolo, G. e Vidali, P. (2011) Strumenti per ragionare, Mondadori, Milano -Torino
Cambiano, G. e Mori, M. (1998) Storia e antologia della filozofia,Laterza, Bari
Casari E. (a cura di) Dalla logica alla metalogica, Sansoni, Firenze 1979
Cellucci, C. (2003) Filosofia e matematica. Laterza, Roma-Bari
Costa, V.(2003) La verità del mondo. Giudizio e teoria del significato in Heidegger,
Vita e Pensiero, Milano
D‘Agostini, F(2012). I mondi comunque possibili, Bollati Boringhieri, Torino
Dal Pra, M. (1997) Sommario di storia della filozofia.II, La Nuova Italia, Firenze
Feyerabend, P.(1975) Against Method. Outline of an Anarchistic Theory of
Knowledge,NLB, New York, tr.it. Contro il Metodo. Abbozzo di una teoria
anarchica della conoscenza 1975
Frege, G. Leggi fondamentai dell’ aritmetika, a cura di C. Celluci, Edizioni Teknos,
Roma 1995
Gadamer, H.G.( 1986) W ahrheit und Methode, J.C.B. Mohr, Tübingen
Girotto, V. (2007) Il ragionamento. Il mulino, Trento
Hegel, G. W. F. tr. it. Scienza della logica,Laterza, Roma -Bari 1981
Heidegger, M. tr.it. Essere e Tempo. Mondatori, Milano 2011
Husserl, E. tr.it. Ricerche logiche, vol. I, Milano 1968
Jung .G (1938) Psychology and religion,University Press, Yale
Kneale, W. e M. (1962) The devolpment of Logik. Clarndon Press, Oxford. tr. it.
Storia della logica, Enaudi, Torino 1972
Kneale,W e Kneale, M. Storia della logica (a cura di Conte, A.) Enaudi, Torino,
1972
Kripke, S. Naming and Necessity tr. it. Nome e Necessita, Boringhieri, Torino,1999
Legrenzi, P. J. (1992) Storia della psicologia, Bologna
Lemmon, E. J. tr. it. Elementi di logica, Laterza , Roma – Bari 2002
Łukasiewicz, J. (1957) Aristotle’s Syllogistic from dhe standpoint of modern formal
logic, Oxford, tr.it. La Silogjistika di Aristotele, Brescia, Morcelliana
Łukasiewicz, J. (1970) Selekted works.North-Holland Publiscig, Amsterdam
Łukasiewicz, J. Sulla logia trivalente in Casari E. (a cura di) Dalla logica alla
metalogica, Sansoni, Firenze 1979
Łukasiewicz, J.( 1910) O zasadzie sprzeczn’osci u Ariystotelesa tr. it. Del principio
di contraddizione in Aristotele. Quodlibet, Macerata 2003
179
Mangione C. e Franchella M.( 1993) Letture di logica, Led, Milano
Mangione, C. e Bozzi, S. (1993) Storia della logica, Garzanti, Milano
Meinong, A. (1899) tr. it. nga Melandri, E (1979) Gli oggetti di ordine superiore in
rapporto alla percezione interna. Firenze, Faenza Editrice
Mendelson, E. (1964) Introduction to Mathematical Logic Princeton, Van Nostrand,
tr. it. Introduzione alla logica matematica, Torino, Boringhieri,1972
Negri, M. (1994) Elementi di Logica, LED, Milano
Palladino D,C.( 2007) Logiche non clasiche, Carocci, Roma
Pendavinji, Gj. (2002) Metodologjia e kërkimit. Korçë
Pirdeni, L.(2008) Hyrje në Logjikë, Koçi, Tiranë
Poggi, S. (1977) I sistemi dell’esperienza, Il mulino, Bologna
Popper, K (1934) Logik der Forschung Julius Springer, Wien, tr. it. Logica della
scoperta scientifica Enaudi, Torino, 1970
Quine, V. O. ( 1951) Two Dogmas of Empiricism, in “The Philosophical Review‖,
LX, tr.it. Due dogmi dell’empirismo, in Il neoempirismo A. Pascuinelli, UTET,
Torino, 1969
Raspa, V. (1999) In contraddizione, Parnaso,Trieste
Sinani, Gj. (2000) Hyrje në Filozofi, Sh. B Librit Shkollor, Tiranë
Strumia, A. (2007) Il problema dei fondamenti. Da Aristotele, a Tommaso d'Aquino
all'ontologia formale, Cantagalli, Siena
Suppes, P. Logique du probable tr. It. La logica del probabile, Bologna, CLUEB,
1984
Thomson, A. (2002) Critical Reasoning, Routledge, London, tr. it. Argomentare,
Mimesis, Milano-Udine 2009
Trendelenburg F.A. tr. it. Storia della dottrina delle categorie CUEM. Milano1994
Vaughn, L. e Macdonald, C. (2010) Fuqia e të menduarit kritik, CDE, Tiranë
Volpe, G.( 2012) La verità, Carocci, Roma
Volpicelli, I. (1982) Esperienza e metafisica nella psicologjia di J.F.Herbart,
Armando, Roma
Wittgenstein, L. (1922) Tractatus logico-philosophicus, Routledge and Kegan Paul
London, (tr.it. Enaudi, Torino,1964)
NJË REFLEKTIM LOGJIKO-FILOZOFIK MBI MENDIMIN DHE MODALITETIN E TË MUNDURËS
Abstrakt
Duke u nisur nga një këndvështrim historik, në këtë disertacion trajtohet debati filozofik mbi
objektet logjike dhe mënyrën e të arsyetuarit, që është në bazë të logjikës modale dhe të logjikës
polivalente. Debat që përqendrohet tek rrymat filozofike, kryesisht të determinizmit dhe indeterminizmit,
të cilat janë të lidhura ngushtë me modalitetin logjik të mundësisë dhe logjikën polivalente. Vijohet me
kalkulimin propozicional, që ka në bazë tre grupet e teoremave relative të fjalive modale, të shprehur në
simbolikën polake nga përfaqësuesi kryesor i kësaj shkolle, logjicieni Jan Łukasiewicz. Më tej, pas
përcaktimit të konceptit të mundësisë zbuluar nga Tarski, demonstrohet koherenca e këtij kalkulim. Këtë
sistem e kam i përkthyer, nga simbolika origjinale plake në simbolikën e klasike duke sqaruar çdo kalim
apo rrjedhojë logjike. Logjika polivalente ka një vend të veçantë në këtë disertacion. Vlerat që marrin
formulat bazë në logjikën polivalente paraqiten të krahasuara me logjikën bivalente. Sistemet formale
bazë të logjikës klasike do t’i paraprijnë sistemeve të zgjeruar me operatorët modal. Do të përfundohet me
zhvillimet e mëtejshme të mendimit logjik, si logjika deontike, kohore e ato logjika, që përfshijnë pohime
të cilët akoma nuk janë verifikuar, por që mund të verifikohen. Qëllimi i studimit është njohja e
teorive, që bënë të mundur lindjen e logjikës modale, dhe e drejtimeve të zhvillimit bashkëkohor të saj.
Fjalë kyç: objekte logjike, logjika modale, logjika polivalente, determinizmi, simbolika polake, kalkulimi
propozicional
Fusha e studimit: Logjikë
A LOGICAL-PHILOSOPHICAL REFLECTION ON THE THINKING AND MODALITY OF POSSIBILITY
Abstract
Seen from a historical perspective, this dissertation is about the philosophical debate on the
“objects” of logic and the ways of reasoning, the core part of modal logic and the polyvalent logic. The
debate focusses on the philosophical theories, mainly on the determinism and indeterminism, which are
closely connected to the logic modality of possibility and polyvalent logic.
Next it continues with propositional calculus, that has on its bases three groups of relative theorems of
modal proposition, expressed in Polish symbolism by the main exponent of the school, the logician Jan
Lukasiewicz. After that, given the definition of the concept of possibility given by Tarski, the coherence
of this calculus is shown. This system is translated by me, from the original Polish symbolism into
classical symbolism clarifying each step or logical conclusions. Polyvalent logic has a special place in
this dissertation. The values of the main formulas in the polyvalent logic are given compared to the
bivalent logic. Core formal systems of classical logic anticipate expanded systems with modal operators.
It ends with the next developments of the logic as deontic logic, temporal logic and those logics that
include propositions not yet verified, but which can be verified in the future. The aim of the study is the
representation of the theories, that delivered the modal logic, and its modern developments.
Field of study: logic
Key words: logic objects, modal logic, polyvalent logic, determinism, Polish symbolism, propositional
calculus.
Universiteti i Tiranës, Fakulteti i Shkencave Sociale
Bulevardi “Gjergj Fishta”, Tiranë, Shqipëri