univerza v ljubljani pedago ska fakulteta ur sa sega...
TRANSCRIPT
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
URSA SEGA
PALICNO STEVILO IN NJEGOVA UPORABA
DIPLOMSKO DELO
LJUBLJANA, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
DVOPREDMETNI UCITELJ: matematika - racunalnistvo
URSA SEGA
Mentor: Prof. dr. Dusan Repovs
Somentor: Prof. dr. Matija Cencelj
PALICNO STEVILO IN NJEGOVA UPORABA
DIPLOMSKO DELO
LJUBLJANA, 2017
“Najbolje se obrestuje nalozba v znanje.” (Benjamin Franklin)
Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Dusanu Repovsu in somentorju prof. dr. Matiju Cenclju
za vso pomoc pri pisanju diplomskega dela.
Rada bi se zahvalila svojemu ocetu in sestri za vso podporo in razumevanje med casom studija
in pisanjem diplomskega dela.
Hvala vsem mojim prijateljem za vse vzpodbudne besede.
Hvala Ursi za lektoriranje.
Mojim sosolcem pa posebna hvala za vso moralno podporo.
Povzetek
V diplomskem delu obravnavamo vozelno invarianto, ki jo imenujemo palicno stevilo. Izkaze
se za uporabno, ko zelimo ugotoviti, ali gre za dva ekvivalentna vozla.
Pred vpeljavo pojma palicnega stevila ponovimo osnovne definicije teorije vozlov, ki so po-
trebne za razumevanje diplomskega dela.
Nato vpeljemo pojem palicnega stevila in njegovih lastnosti pri razlicnih druzinah vozlov in
ga, za lazje razumevanje, ilustriramo na nekaj primerih.
Navedemo nekaj izrekov, ki nam pomagajo pri dolocanju palicnega stevila in jih prav tako
predstavimo na primerih.
V zadnjem poglavju pa predstavimo vozelno invarianto, imenovano kriziscno stevilo, ki nam
pomaga pri dolocanju palicnega stevila.
Kljucne besede: vozelna invarianta, palicno stevilo, kriziscno stevilo
Abstract
In diploma thesis we will describe concept of a knot invariant known as the stick num-
ber. This concept proves to be useful when we want to determine if two knots are equivalent.
A review of main definitions from knot theory will be made before introducing a concept of
the stick number, which is essential for understanding the thesis.
Furthermore, a concept of the stick number and its features for different knot classes will be
introduced and also, for better understanding, illustrated by few examples. Some theorems
will be given and demonstrated by examples, which can come in handy at finding the stick
number.
Last chapter presents a knot invariant known as the crossing number, which is useful for
determining the stick number.
Key words: knot invariant, stick number, crossing number
Kazalo
1 Uvod 1
2 Osnovni pojmi 2
3 Palicno stevilo 6
3.1 Primeri izracunavanja palicnega stevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Palicno stevilo pravozlov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Palicno stevilo sestavljenih vozlov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Palicno stevilo veriznih kompozicij vozlov deteljic . . . . . . . . . . . 18
3.2 Torusni vozli in palicno stevilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Palicno stevilo torusnih vozlov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Kriziscno stevilo vozla 24
4.1 Kriziscno stevilo nekaterih vozlov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Zakljucek 27
6 Literatura 28
Slike
1 Vozelni diagram vozla 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Reidemeistrovi premiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Prehod iz prvega v drugi vozelni diagram vozla z uporabo Reidemeistrovih
premikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Palicni vozel 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Vozel, konstruiran s 4 ali 5 palicami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Palicni vozel deteljica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Palica sb ima nagnjenost v nasprotni smeri urinega kazalca . . . . . . . . . . 11
8 Valj, ki vsebuje palico Sz in del palic Sx ter Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9 Locitev palic v prostem vozliscu in dodajanje nove palice . . . . . . . . . . . 13
10 Vozel 41 in palicni vozel 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
11 Vozel 52 in palicni vozel 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 Vozel 819 in palicni vozel 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 Sestavljen vozel K1#K2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 Palicni vozel K1#K2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 Verizna kompozicija dveh deteljic iz 8 palic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16 Verizna kompozicija treh deteljic iz 10 palic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 Verizna kompozicija stirih deteljic iz 12 palic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18 Torusni vozel T5,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
19 Ravninska prezentacija torusnega vozla T5,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20 Torusni vozel T2,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
21 Torusni vozel T3,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
22 Kriziscno stevilo vozla 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
23 Kriziscno stevilo vozla 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
24 Kriziscno stevilo vozla 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
25 Kriziscno stevilo sestavljenega vozla 41#52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1 Uvod
Diplomsko delo sodi na podrocje teorije vozlov, ki je dokaj mlada veja matematike, katere
rezultati se uporabljajo tudi na drugih podrocjih.
Ko slisimo besedo vozel, so nase asociacije najverjetneje razlicne, a vendar se skoraj vsak
spomni na grsko zgodovino in slavni gordijski vozel, ki ga je na vozu kralja Midasa zavozlal
kralj Gordios ter ga do prihoda Aleksandra Velikega nihce ni znal odvozlati, on pa se ga je
lotil na drugacen nacin - vzel je mec in vozel enostavno presekal.
Hitro pa se verjetno vsak izmed nas spomni tudi na druge vozle, ki so prisotni v nasem vsak-
danjem zivljenju: mornarski vozel, vozel osmica, bicev vozel, rabljev vozel idr. Navsezadnje
pa se spomnimo, da vozel naredimo tudi na kravati.
Vozli so se kot topoloske strukture v matematiki pojavili relativno pozno oziroma se ma-
tematiki z njimi dolgo casa niso ukvarjali. Leta 1771 je Alexandre-Theophile Vandermonde
zelel definirati pojem vozla v matematiki, a je namero hitro opustil. V 19. stoletju je to
poskusal tudi Carl Friedrich Gauss - prav tako neuspesno. Zdi se, da so pravi zacetki teo-
rije vozlov pravzaprav delo kemikov, saj je v 80-ih letih 19. stoletja Lord Kelvin (William
Thompson) predstavil teorijo, ki pravi, da obstaja snov, imenovana eter, ki zapolnjuje celo
vesolje kot neka tkanina, atome in molekule, ki sestavljajo to snov, pa si lahko predstavljamo
kot vozle v tej tkanini, kjer naj bi razlicni vozli predstavljali razlicne elemente. Ce pa so zeleli
te elemente predstaviti z vozli, so seveda potrebovali toliko razlicnih vozlov, kot je razlicnih
elementov - tega se je lotil fizik Peter Guthrie Tait, ki je zelel klasificirati cim vec razlicnih
vozlov. Ker so cez nekaj casa ovrgli teorijo o obstoju etra in s tem tudi trditev, da naj bi
vozli sestavljali eter, so podrocje teorije vozlov prevzeli matematiki, ki so se sele v 20. sto-
letju resno lotili raziskovanja vozlov. Na zacetku 20. stoletja so topologi Max Dehn, James
Waddel Alexander idr. zaceli raziskovati vozle z vidika grup vozla in invariant vozla, kot je
Alexandrov polinom, kar je bil bistveni prispevek k teoriji vozlov. Kljub temu so matematiki
do sredine 1980-ih let gledali na teorijo vozlov zgolj kot na eno izmed vej topologije in ne kot
na samostojno podrocje matematike [1, 6, 9, 10].
1
Ko je v poznih 70-ih letih 20. stoletja William Thurston uvedel hiperbolicno geometrijo v
teorijo vozlov, se je izkazalo, da je veliko vozlov v resnici hiperbolicnih. S tem je definiral
nove invariante vozlov. Ko je leta 1984 Vaughan Jones odkril Jonesov polinom, se je studija
vozelnih invariant izkazala za pomembno tudi na drugih podrocjih - Jonesov polinom je pove-
zan z drugimi matematicnimi (teorija kit, operatorske algebre) in fizikalnimi vejami (kvantne
grupe, statisticni modeli) [6, 9, 10].
Eno izmed glavnih vprasanj teorije vozlov je, kdaj sta dva vozla ekvivalentna in za lazji
odgovor na to vprasanje se uporabljajo vozelne invariante. Ena izmed vozelnih invariant,
imenovana palicno stevilo, je glavna tema tega diplomskega dela.
2 Osnovni pojmi
Teorija vozlov kot matematicna veda pa seveda ne opisuje samo takih vozlov, kot so mornarski
vozel, bicev vozel, vozel, ki ga naredimo na kravati, ali pa takih vozlov, ki jih uporabljajo
alpinisti, zato vpeljimo matematicno definicijo vozla:
Definicija vozla. Vozel K je vlozitev kroznice S1 v prostor R3 (lahko tudi vlozitev v sfero
S3 = R3∪ ∞). Vlozitev je injektivna funkcija f , ki je homeomorfizem na svojo sliko.
Ce definicijo vozla povzamemo preprostejse: vozel dobimo, ce vzamemo vrv, jo zavozlamo
in prosta konca vrvi zdruzimo skupaj - gre torej za zavozlano enostavno sklenjeno krivuljo v
prostoru R3.
Po Taitu lahko to sklenjeno krivuljo v prostoru R3 predstavimo s pravokotno projekcijo
te krivulje na ravnino R2.
Dobljeno projekcijo imenujemo vozelni diagram, v katerem vsa mesta, kjer se loka vozla
sekata, narisemo kot krizisca v vozlu, tako da na vsakem kriziscu prekinemo crto, ki nam
predstavlja spodnji lok [9, 10].
2
Slika 1: Vozelni diagram vozla 52
Pri proucevanju vozlov in vozelnih diagramov se je pojavilo vprasanje, kdaj sta dva vozla
med seboj enaka in kdaj dve projekciji predstavljata isti vozel. Na tem mestu bomo vpeljali
definicijo ekvivalence vozlov in ekvivalence vozelnih diagramov.
Ekvivalenca vozlov. Vozla K1 in K2 sta ekvivalentna, ce obstaja homeomorfizem h :
R3 → R3, ki ohranja orientacijo vozla in za katerega velja h(K1) = K2 [6].
Ce zelimo vpeljati se definicijo ekvivalence vozelnih diagramov, moramo najprej opisati in
definirati Reidemeistrove premike.
Na vozelnih diagramih lahko namrec naredimo dolocene spremembe, ki spremenijo projek-
cijo vozla in s tem tudi odnos med krizisci vozelnega diagrama. Te spremembe imenujemo
Reidemeistrovi premiki, ki jih oznacimo z Ω1,Ω2,Ω3. Obstajajo tri vrste takih premikov:
• Prvi Reidemeistrov premik Ω1 projekciji vozla doda ali odvzame zanko
• Drugi Reidemeistrov premik Ω2 projekciji vozla doda ali odvzame dve krizisci
• Tretji Reidemeistrov premik Ω3 je prehod tretjega loka (odseka) cez ali pod kriziscem
dveh lokov [2]
3
Slika 2: Reidemeistrovi premiki
Vir slike: https://www.computer.org/csdl/trans/tg/2012/12/ttg2012122051-abs.html
Z Reidemeistrovimi premiki sedaj lahko definiramo ekvivalenco vozelnih diagramov:
Ekvivalenca vozelnih diagramov. Vozelna diagrama vozlov K1 in K2 sta ekvivalentna,
ce obstaja koncno stevilo Reidemeistrovih premikov, s katerimi pridemo iz enega do drugega
vozelnega diagrama vozla [1].
Denimo, da imamo podani dve projekciji vozla oziroma dva vozelna diagrama vozlov K1
in K2, za katera nas zanima, ce sta ekvivalentna. Po definiciji ekvivalence uporabimo Reide-
meistrove premike in poskusamo prvi vozelni diagram preoblikovati v drugega.
Iz Slike 3 vidimo, da lahko iz prvega vozelnega diagrama vozla K1 z nekim koncnim zapo-
redjem Reidemeistrovih premikov pridemo do drugega vozelnega diagrama vozla K2, torej
lahko (po definiciji ekvivalence vozelnih diagramov) trdimo, da gre za ekvivalentna vozelna
diagrama.
Tak postopek je sicer enostaven in casovno nezahteven za preprostejse vozle (tj. za vozle
z dovolj majhnim stevilom krizisc), ce pa za primer vzamemo dva vozla z dovolj velikim
stevilom krizisc, postopek postane veliko bolj kompleksen.
4
Slika 3: Prehod iz prvega v drugi vozelni diagram vozla z uporabo Reidemeistrovih premikov
Vir slike: https://www.computer.org/csdl/trans/tg/2012/12/ttg2012122051-abs.html
Ni dovolj, da poskusamo samo najti nek homeomorfizem med paroma (R3, K1) in (R3, K2),
oziroma ni dovolj, ce ne najdemo nobenega koncnega zaporedja Reidemeistrovih premikov,
s katerimi bi lahko iz vozelnega diagrama vozla K1 prisli do vozelnega diagrama vozla K2.
Ce ne izpolnimo nobenega od teh dveh pogojev, se ne pomeni, da homeomorfizem in tako
zaporedje Reidemeistrovih premikov ne obstajata.
Ravno zato so matematiki zaceli razmisljati, da bi vozlom priredili neko algebraicno vrednost
(npr. stevilo, polinom idr.).
Take algebraicne vrednosti vozla imenujemo vozelne invariante. O vozelnih invariantah lahko
povemo naslednje: ce pri dolocanju oziroma izracunavanju vozelnih invariant dobimo dve
razlicni vrednosti, lahko trdimo, da vozla nista ekvivalentna. Obratno tega moremo trditi,
kajti ce je vrednost vozelnih invariant dveh vozlov ista, vozla se nista nujno ekvivalentna [5,
9, 10].
5
3 Palicno stevilo
Osrednji del diplomskega dela bo poglavje o invarianti vozla, ki se imenuje palicno stevilo
vozla.
Pri razumevanju koncepta palicnega stevila nam pomagata naslednji definiciji:
Palicni vozel. Palicni vozel K je vozel, vlozen v prostor R3, ki je sestavljen iz ravnih se-
gmentov (oziroma crt), imenovanih palice [7].
Krajsi razmislek nam pove, da je vsak vozel v resnici palicni vozel. Sama ponazoritev vozla
s palicami pa je v resnici precej enostavna.
Ce vozel K vlozimo v prostor R3 in ce krivuljo vozla razdelimo na dovolj majhne loke, lahko
vsak tak lok obravnavamo posamezno in ga lahko nadomestimo z ravnimi crtami, ki pred-
stavljajo ravne palice.
S ponavljanjem postopka krivuljo vozla K postopoma zamenjamo z ravnimi crtami in vozel
K res postane palicni vozel.
Slika 4: Palicni vozel 62
Pomembno pri tem pa je, da za vsak vozel K obstaja neko minimalno stevilo palic, s katerimi
lahko predstavimo ta vozel [1, 7].
6
Palicno stevilo vozla. Palicno stevilo s(K) vozla K je najmanjse mozno stevilo palic, s
katerimi lahko vozel K predstavimo v prostoru R3 [7].
Denimo, da imamo pred seboj nabor palic razlicnih dolzin, iz katerih imamo moznost napra-
viti netrivialen vozel.
Tedaj je ocitno, da z eno samo palico ne moremo konstruirati vozla, prav tako je to ocitno
za dve palici.
S tremi palicami pa je situacija drugacna, saj ze lahko konstruiramo trikotnik, ki nam v tem
primeru predstavlja trivialni vozel, ki je enostavna sklenjena krivulja brez zank.
Ce imamo stiri palice, lahko vozel konstruiramo le na dva nacina, ki sta ocitno ekvivalentna
trivialnemu vozlu.
Ce imamo pet palic, si oglejmo vozel, konstruiran iz petih palic, v taki projekciji, da gledamo
vzdolz ene od palic, da le-ta izgleda kot tocka. Pri taki projekciji vidimo tako sliko kot prej,
tj. vozel s stirimi palicami, torej je vozel konstruiran s petimi palicami ekvivalenten trivial-
nemu vozlu.
Slika 5: Vozel, konstruiran s 4 ali 5 palicami
S sestimi palicami pa je ze mogoce konstruirati vozel, ki ni trivialen npr. vozel deteljico [1,
2, 4, 7].
Iz zgornjega razmisleka sledi izrek, ki je ena izmed pomembnejsih lastnosti palicnega stevila:
7
Slika 6: Palicni vozel deteljica
Izrek 3.1. Za katerikoli netrivialen vozel K velja s(K) ≥ 6 [7].
Veliko zanimanje glede palicnega stevila vozlov se kaze na podrocju kemije, kjer DNK pred-
stavljajo kot sestav posameznih elementov, kot sta fosfor in sladkor, ki so prikazani kot ravne,
toge palice. Ker so ciklicne molekule prav tako lahko prikazane s pomocjo ravnih palic, ki
tvorijo cikel, in ker razlicni palicni vozli lahko ponazarjajo razlicne molekule, so spoznali, da
jim palicno stevilo vozla lahko precej olajsa konstrukcije takih molekul. Seveda pa je to le
nek primer v teoriji - v praksi se izkaze, da je veliko zahtevnejse najti palicno stevilo vozla
in dokazati, da je nemogoce konstruirati isti vozel z manj palicami [1, 7].
Mnogi matematiki so poskusali najti nacine, kako poenostaviti postopek iskanja palicnega
stevila vozla. Eden izmed njih je Seiya Negami, ki je dokazal naslednjo neenakost za lazjo
dolocitev palicnega stevila vozla.
Izrek 3.2. Negamijeva neenakost:
5+√
25+8(c(K)−2)2 ≤ s(K) ≤ 2c(K) [8].
Opomba: c(K) je oznaka za kriziscno stevilo vozla K, ki je podrobneje opisano v 4. poglavju.
8
Dokaz.
Leva stran Negamijeve neenakosti: Imejmo poljubni palicni vozel K ′, ki predstavlja vozel K,
in naj bo s(K) = n. Ce palicni vozel K ′ projiciramo na ravnino vzdolz ene od palic tako
da se ta palica projicira v tocko, nam ostane le se n − 1 palic. Razmislimo, da lahko vsaka
palica seka najvec n− 4 ostalih palic, saj sama sebe ne bo nikoli sekala in nikoli ne bo sekala
sosednjih dveh palic, s katerima ima stik v svojih krajiscih. Prav tako ne bo sekala tudi
tiste palice, vzdolz katere smo vozel projicirali na ravnino. Ce torej prestejemo vsa krizanja
posameznih palic, imamo natanko (n− 1)(n− 4) krizisc. Ker pa posamezno krizisce stejemo
dvakrat, saj se v enem kriziscu sekata dve palici, torej dobimo:
(n−1)(n−4)2
≤ c(K ′) = c(K)
n2−5n+42
≤ c(K)
n2 − 5n+ 4 ≤ 2c(K)
n2 − 5n+ 4− 2c(K) ≤ 0
To nam da naslednji rezultat in s tem dokazano levo stran Negamijeve neenakosti:
5+√
25+8(c(K)−2)2
Desna stran Negamijeve neenakosti: Naj bo K∗ vozelni diagram vozla K s pripadajocim
najmanjsim kriziscnim stevilom c(K) = x. Vsako krizisce v K∗ oznacimo kot vozlisce.
Teorija grafov nam zagotavlja, da lahko zamenjamo vsako povezavo krivulje vozla z ravno
povezavo, ne da bi pri tem spremenili graf. Prav tako nam zagotavlja, da z brisanjem dvojnih
povezav dobimo enostaven 4-regularen graf. Pravila teorije grafov nam povejo, da imamo v
tej situaciji dvakrat vec povezav kot vozlisc, torej 2x povezav. Dobljeni graf vlozimo v R3,
kjer ga lahko spreminjamo tako, da odstranimo odvecne povezave in med seboj povezemo
dolocene palice. Ko s tem postopkom zakljucimo, nam ostane natanko palicna prezentacija
vozla, za katero velja:
s(K) ≤ 2x = 2c(K)
Zgornji dokaz je izpeljan iz Negamijevega dokaza [8].
Izrek 3.2 nam daje zgornjo in spodnjo mejo palicnega stevila vozla in nam, v nekaterih
9
primerih, pomaga pri izracunu palicnega stevila.
Kasneje so se drugi matematiki vprasali, ce je mogoce izboljsati ti dve meji za palicno stevilo,
ki jih je postavil Negami. Pojavili sta se naslednji vprasanji:
1. Ali obstaja vozel K, za katerega velja 2s(K) = 5 +√
25 + 8(c(K)− 2)?
2. Ali obstaja vozel K, ki ni vozel deteljica, za katerega velja s(K) = 2c(K)?
Negamijeva spodnja meja za palicno stevilo je bila izboljsana in kasneje je bilo dokazano, da
je odgovor na prvo vprasanje negativen za vse vozle, za katere velja c(K) ≤ 26 [4, 7].
Youngsik Huh in Seungsans Oh [3] pa sta sta izboljsala zgornjo mejo za palicno stevilo
vozla K:
Izrek 3.3. Naj bo K netrivialen vozel. Potem velja s(K) ≤ 32(c(K) + 1) [3].
Opomba: Velja celo s(K) ≤ 32(c(K)), ce je K nealternirajoc pravozel.
Dokaz zgornjega izreka bo zaradi svoje obseznosti v diplomskem delu izpuscen.
Huh in Oh sta celo pokazala, da je odgovor na drugo vprasanje negativen za katerikoli drug
vozel, ki ni deteljica [3].
Palicna stevila vozlov so znana za vec razlicnih vozlov, vendar pod dolocenimi pogoji. Eden
izmed teh razredov so sestavljeni vozli. Najprej vpeljimo definicijo sestavljenega vozla:
Sestavljen vozel. Sestavljen vozel K1#K2 je vozel, ki ga predstavimo kot povezano vsoto
dveh usmerjenih vozlov K1 in K2. Povezano vsoto dobimo tako, da vozla K1 in K2 povezemo
z dvema crtama tako, da se usmerjenost ohrani v sestavljenem vozlu (slika 13). Vozel, ki ni
sestavljen, se imenuje pravozel [1].
Med raziskovanjem na tem podrocju je prislo do nekaterih zanimivih rezultatov. Najprej
sta potrebni dve definiciji in lema [7].
10
Definicija 3.4. Naj bodo palice sa, sb in sc med seboj sosednje. Palica sb ima nagnjenost v
smeri urinega kazalca, ce je kot α, ki ga oklepata palici sa in sc takrat, ko vozel projiciramo
vzdolz palice sb in ga dobimo tako, da palico sa v smeri urinega kazalca zavrtimo okoli palice
sb proti palici sc, manjsi od π. Nagnjenost v nasprotni smeri urinega kazalca definiramo na
podoben nacin (tj. ce palico sa zavrtimo v nasprotni smeri urinega kazalca okoli palice sb).
Ce je kot α med palicama sa in sc enak 0 ali π, potem ima palica sb obe nagnjenosti;
nagnjenost v smeri urinega kazalca in nagnjenost v nasprotni smeri urinega kazalca, saj
lahko kota 0 in π dobimo, ce zavrtimo palico sa okoli palice sb v eno ali drugo smer [7].
Slika 7: Palica sb ima nagnjenost v nasprotni smeri urinega kazalca
Definicija 3.5. Imejmo palicni vozel K v katerem tocke, kjer se stikata dve palici oznacimo
kot vozlisca. Vozel K tedaj vlozimo v kroglo. Krogli enakomerno manjsamo polmer, dokler
se neko vozlisce vozla K ne dotika z robom krogle. To vozlisce imenujemo prosto vozlisce v.
Vozel K ima lahko vec prostih vozlisc [7].
Lema 3.6. Dan naj bo netrivialen palicni vozel K in naj bo Sz ena izmed palic vozla K.
Tedaj obstaja linearna transformacija na ravnino R2, ki ohranja vozel K, stevilo palic iz
katerih je sestavljen vozel K, dve sosednji palici Sx in Sy pa preslika ortogonalno na palico
Sz ter ortogonalno med seboj, ko projiciramo vzdolz palice Sz [7].
11
Sedaj lahko zapisemo dva pomembna rezultata, ki nam pomagata pri dolocanju palicnega
stevila sestavljenih vozlov:
Izrek 3.7. Za poljubna vozla K1 in K2 velja s(K1#K2) ≤ s(K1) + s(K2)− 3 [7].
Dokaz.
Imejmo palicni vozel K1, za katerega naj bo palicno stevilo s(K1) minimalno in poljubno
palico Sz tega vozla, za katero naj velja Lema 3.6. Vozel K1 zavrtimo za toliko, da je palica
Sz vzporedna z osjo z, palica Sx vzporedna z osjo x in palica Sy vzporedna z osjo y. Vozel
K1 tedaj transformiramo tako, da premica, na kateri lezi palica Sz, nikjer ne seka vozla K1.
Vozel K1 razsirimo (povecamo radij in visino valja) navpicno glede na smer palice Sz, dokler
obstaja valj poljubnega radija in neskoncne visine, ki vsebuje le palico Sz in le del palic Sx
in Sy vozla K1 (slika 8).
Slika 8: Valj, ki vsebuje palico Sz in del palic Sx ter Sy
Imejmo tedaj palicni vozel K2, za katerega naj prav tako velja, da je palicno stevilo s(K2)
najmanjse. Izberemo poljubno prosto vozlisce vozla K2, ki ga oznacimo z v, in palici, ki se
12
stikata v vozliscu v, oznacimo s Sa in Sc. V vozliscu v locimo palici Sa in Sc in med njiju
dodamo palico Sb, za katero velja: Sb ∼ Sa, Sb ∼ Sc in ima tako nagnjenost kot palica Sz
(slika 9).
Prav tako za palico Sb velja Lema 3.6. V vozlu K2 palice “podaljsamo” tako, da velja
‖ Sb ‖=‖ Sz ‖. Vozel K2 vlozimo v valj, ki ima zadosti velik radij in visino, da velja nasle-
dnje: Sa in Sz lezita v isti ravnini, Sc in Sy lezita v isti ravnini, Sb in Sz pa zasedata isti
prostor v valju. Odstranimo obe palici Sb in Sz, podaljsamo Sa v Sx, tako da postaneta
ena sama palica in enako storimo s palicama Sc in Sy. Na ta nacin smo uspesno skonstru-
irali vozel K1#K2 in odstranili 4 palice, ampak smo vseeno morali vozlu K2 dodati eno
palico, ki taksno konstrukcijo sploh omogoca, da smo lahko prisli do predvidene neenakosti
s(K1#K2) ≤ s(K1) + s(K2)− 3 [7].
Slika 9: Locitev palic v prostem vozliscu in dodajanje nove palice
Izrek 3.7 je rezultat Definicije 3.4, Definicije 3.5 in Leme 3.6. Govori o izracunu palicnega
stevila za sestavljene vozle in nam zagotavlja, da pri konstrukciji sestavljenih vozlov vedno
izgubimo vsaj 3 palice [7].
Naslednji izmed zanimivih razredov sestavljenih vozlov so verizne kompozicije vozla dete-
ljica in naslednji izrek nam da palicno stevilo za poljubno dolgo verizno kompozicijo vozla
deteljica.
13
Izrek 3.8. Imejmo vozel deteljico, ki ga oznacimo kot T in naj bo nT verizna kompozicija
vozla sestavljenega iz n vozlov deteljic. Potem velja s(nT ) = 2n+ 4 [7].
Dokaz zgornjega izreka bo zaradi svoje obseznosti v diplomskem delu izpuscen.
3.1 Primeri izracunavanja palicnega stevila
V tem podpoglavju bomo na nekaj razlicnih primerih predstavili izracunavanje palicnega
stevila za posamezne vozle. Pri tem bomo uporabili izreke in definicije, ki smo jih predstavili
v diplomskem delu.
3.1.1 Palicno stevilo pravozlov
Ce vzamemo izrek 3.1, vemo, da je katerikoli netrivialen vozel mozno konstruirati z najmanj
sestimi palicami - tako konstrukcijo smo ze srecali (slika 6) in to je konstrukcija vozla deteljica.
Za primer bomo sedaj vzeli vozel 41 oziroma tako imenovan vozel osmico, ki ga bomo oznacili
s K1 in za katerega bomo izracunali palicno stevilo.
1. Najprej bomo s pomocjo Izreka 3.2 izracunali spodnjo in zgornjo mejo za palicno stevilo
vozla K1, da pa lahko to storimo, moramo poznati kriziscno stevilo vozla K1 - tj.
c(K1) = 4 (poglavje 4).
5+√
25+8(4−2)2
≤ s(K1) ≤ 2× 4
5+√41
2≤ s(K1) ≤ 8
6, 41 ≤ s(K1) ≤ 8
S pomocjo Negamijeve neenakosti in dejstva, da je s(K) ∈ Z, lahko sklepamo, da za
palicno stevilo vozla K1 velja: 7 ≤ s(K1) ≤ 8 - kar pomeni, da torej vozel 41 lahko
konstruiramo s 7 ali 8 palicami.
2. Tukaj bomo uporabili Izrek 3.3, za katerega smo v diplomskem delu ze povedali, da
nam izboljsa zgornjo mejo za palicno stevilo vozla:
14
s(K1) ≤ 32(4 + 1)
s(K1) ≤ 32× 5
s(K1) ≤ 152
s(K1) ≤ 7, 5
Lahko sklepamo, da je palicno stevilo vozla 41 torej najvec 7.
Na spodnji sliki je prikazan vozel 41, poleg njega pa palicni vozel 41, ki je res konstruiran
samo iz 7 palic:
Slika 10: Vozel 41 in palicni vozel 41
Za naslednji primer bomo vzeli vozel 52, ki ga bomo oznacili s K2 in mu izracunali palicno
stevilo s(K2) po enakem postopku kot za vozel K1:
1. c(K2) = 5 in sledi Negamijeva neenakost:
5+√
25+8(5−2)2
≤ s(K2) ≤ 2× 5
5+√49
2≤ s(K2) ≤ 10
6 ≤ s(K2) ≤ 10
2. Z Izrekom 3.3 dobimo boljso zgornjo mejo:
s(K2) ≤ 32(5 + 1)
s(K2) ≤ 32× 6
15
s(K2) ≤ 182
s(K2) ≤ 9
Po teh dveh korakih je jasno, da je palicno stevilo vozla K2 najmanj 6 in najvec 9. Ce
poskusamo skonstruirati vozel K2, kmalu vidimo, da ga ni mogoce skonstruirati ne s 6 in ne
s 7 palicami, temvec za konstrukcijo vozla K2 potrebujemo najmanj 8 palic:
Slika 11: Vozel 52 in palicni vozel 52
Predstavili bomo se vozel 819, ki ga bomo oznacili kot vozel K3 in njegovo palicno stevilo:
1. c(K) = 8 in sledi Negamijeva neenakost:
5+√
25+8(8−2)2
≤ s(K3) ≤ 2× 8
5+√48
2≤ s(K3) ≤ 16
6, 77 ≤ s(K3) ≤ 16
2. Izboljsamo zgornjo mejo za palicno stevilo z Izrekom 3.3:
s(K3) ≤ 32(8 + 1)
s(K3) ≤ 32× 8
s(K3) ≤ 242
s(K3) ≤ 12
16
Po podobnem premisleku kot v prejsnjem zgledu zopet sklepamo, da torej velja 7 ≤ s(K3) ≤
12, tj. vozel K3 lahko skonstruiramo z najmanj 7 in najvec 12 palicami.
Ce pa vozel K3 poskusamo skonstruirati, vidimo, da je za konstrukcijo potrebnih 8 palic:
Slika 12: Vozel 819 in palicni vozel 819
3.1.2 Palicno stevilo sestavljenih vozlov
Za primer vzemimo vozla K1 = 41 in K2 = 52 ter imejmo sestavljen vozel K1#K2.
Slika 13: Sestavljen vozel K1#K2
17
Za konstrukcijo sestavljenega vozla K1#K2 si pomagamo z dokazom Izreka 3.7. Konstrukcija
palicnega vozla K1#K2, sestavljenega iz natanko 11 palic, izgleda tako:
Slika 14: Palicni vozel K1#K2
Pri samem izracunu palicnega stevila sestavljenega vozla pa si pomagamo z Izrekom 3.7:
s(K1#K2) ≤ s(K1) + s(K2)− 3
s(K1#K2) ≤ 7 + 8− 3
s(K1)#K2 ≤ 12
Izrek 3.7 nam torej zagotavlja, da za konstrukcijo vozla K1#K2 potrebujemo najvec 12 palic,
iz zgornje slike pa lahko vidimo, da velja s(K1#K2) = 11.
3.1.3 Palicno stevilo veriznih kompozicij vozlov deteljic
V splosnem je palicno stevilo verizne kompozicije n deteljic ze znano, kar nam pove Izrek
3.8. Po Izreku 3.8 je palicno stevilo verizne kompozicije n deteljic T natanko s(nT ) = 2n+4.
18
1. Verizna kompozicija dveh deteljic:
n = 2
s(2T ) = 2× 2 + 4 = 8
Slika 15: Verizna kompozicija dveh deteljic iz 8 palic
2. Verizna kompozicija treh deteljic:
n = 3
s(3T ) = 3× 2 + 4 = 10
Slika 16: Verizna kompozicija treh deteljic iz 10 palic
19
3. Verizna kompozicija stirih deteljic:
n = 4
s(4T ) = 2× 4 + 4 = 12
Slika 17: Verizna kompozicija stirih deteljic iz 12 palic
Ko v verizno kompozicijo dodajamo nove deteljice, za vsako novo deteljico potrebujemo
natanko dve novi palici.
3.2 Torusni vozli in palicno stevilo
Ena od zanimivejsih druzin vozlov so tudi torusni vozli, za katere je palicno stevilo znano,
ampak samo v posebnih primerih. V tem podpoglavju bomo predstavili dva izreka, ki veljata
za palicno stevilo dolocenih torusnih vozlov. Da pa lahko to storimo, bomo najprej vpeljali
definicijo torusnega vozla:
Torusni vozel. Torusni vozel Tp,q je vozel, ki ga lahko vlozimo v torus S1 × S1. Vsak
torusni vozel lahko skonstruiramo s pomocjo naslednjega algoritma:
20
• Izberemo dve tuji si stevili p in q
Opomba: Ce p in q nista tuji stevili, lahko pri tem algoritmu dobimo vec kot le en vozel.
• Na notranjem ekvatorju torusa z xi oznacimo p tock, kjer i = 1, 2, ..., p in na zunanjem
ekvatorju torusa z yi oznacimo p tock, kjer i = 1, 2, ..., p
• Povezemo ustrezne tocke po spodnji strani torusa (tj. tocko xi povezemo s tocko yi)
• Po zgornji strani torusa povezemo vsako tocko yi s tocko x(i+ pq) mod(p) oziroma povezemo
vsako tocko yi s tocko xi, ki je “zamaknjena” za natanko q mest v nasprotni smeri
urinega kazalca
To ponavljamo, dokler niso povezane vse tocke.
Slika 18: Torusni vozel T5,2
Kot drugi nacin za prezentacijo torusnega vozla pa si lahko torus predstavljamo kot pra-
vokotnik, kjer je zgornji rob povezan s spodnjim in lev rob povezan z desnim robom tega
pravokotnika. Tako lahko vozel vlozimo v torus na naslednji nacin:
• Na levem robu pravokotnika oznacimo p tock in na desnem robu oznacimo p tock
• Na levem robu p tock oznacimo z xi, kjer i = 1, 2, ..., p in na desnem robu z yi, kjer je
i = 1, 2, ..., p oznacimo p tock
21
• Vsako tocko xi povezemo s tocko yi+q mod(p) in nobena od povezav ne sme sekati katere
od prejsnjih povezav (ce se katera povezava konca na zgornjem robu pravokotnika, jo
tam zakljucimo in jo nadaljujemo na ustrezni poziciji spodnjega roba pravokotnika)
Ta postopek nam pomaga pri lazji prezentaciji torusnih vozlov [1, 7].
Slika 19: Ravninska prezentacija torusnega vozla T5,2
Prezentacija torusnega vozla kot mnozice ravnih crt v ravnini je zelo uporabna pri delu z
naslednjima izrekoma, katerih dokaza bosta zaradi obseznosti izpuscena:
Izrek 3.9. Ce 2 ≤ p < q ≤ 2p, potem je s(Tp,q) = 2q [7].
Izrek 3.10. s(Tp,p−1) = 2p [7].
3.2.1 Palicno stevilo torusnih vozlov
Ce na koncu za primer vzamemo torusni vozel s(T2,3), lahko uporabimo Izrek 3.9, ker velja
2 ≤ 2 < 3 ≤ 4, ki nam da naslednji rezultat:
s(T2,3) = 4
22
Iz Izreka 3.1 ze vemo, da so 4 palice premalo, da bi lahko konstruirali netrivialen vozel, torej
je torusni vozel T2,3 zagotovo trivialen, kar je razvidno tudi iz spodnje slike:
Slika 20: Torusni vozel T2,3
Za konec si oglejmo se torusni vozel T3,2, za katerega lahko uporabimo Izrek 3.10, ki nam da
rezultat:
s(T3,2) = 6
Prav tako iz Izreka 3.1 vemo, da je s(K) = 6, samo ce je vozel K deteljica. Na spodnji sliki
je deteljica upodobljena kot torusni vozel T3,2:
Slika 21: Torusni vozel T3,2
23
4 Kriziscno stevilo vozla
Kriziscno stevilo vozla. Kriziscno stevilo vozla K, oznaka c(K), je najmanjse stevilo
krizisc, ki se pojavi v katerikoli projekciji vozla K [1, 2].
Trditev 4.1. Denimo, da imamo vozel K. Tedaj velja c(K) ≤ n, kjer je n stevilo krizisc
projekcije vozla K [1, 2].
Za samo dolocitev kriziscnega stevila vozla K moramo najprej poiskati neko projekcijo vozla
K s kriziscnim stevilom n. Vemo, da je lahko c(K) najvec n. Ce poznamo vse vozle, ki imajo
manj kot n krizisc in se vozel K ne pojavi med njimi, potem velja c(K) = n.
Hitro se pojavi naslednji problem: vsi vozli s 14 krizisci do sedaj se niso bili klasificirani - ce
imamo torej vozel s 15 krizisci, ne moremo zagotovo vedeti, ali lahko ta isti vozel narisemo
z manj kot s 15 krizisci. V taki situaciji nam v veliko pomoc pride izrek, ki so ga leta 1986
dokazali matematiki Lou Kauffman, Kunio Murasagi in Morwen Thistlewaite [1,2].
Preden pa zapisemo ta izrek, definirajmo se pojem alternirajocega vozla.
Alternirajoci vozel. Vozel K imenujemo alternirajoci vozel, ce ima projekcijo, pri kateri
se nadvozi in podvozi izmenjujejo, ko se sprehajamo po vozlu [1].
Izrek 4.2. (Kauffman, Murasugi, Thistlethwaite) Reducirana alternirajoca projek-
cija vozla K predstavlja najmanjse kriziscno stevilo projekcij vozla K [1, 2].
Opomba: Projekciji recemo reducirana, ce v projekciji ne moremo odstraniti vec nobenega
krizisca.
Kot pri palicnem stevilu vozla se lahko tudi pri kriziscnem stevilu vozla vprasamo, kaj se
zgodi s kriziscnim stevilom v primeru, ko imamo sestavljen vozel K1#K2?
Izkaze se, da gre za zahteven neresen problem, star vec kot 100 let. Nihce se ni dokazal, da
velja c(K1#K2) = c(K1) + c(K2), oziroma nihce se ni dokazal nasprotnega. Na tem mestu
lahko samo upostevamo, da predpostavke Kauffmana, Murasugija in Thistlethwaitea drzijo
v primeru, da je sestavljen vozel K1#K2 alternirajoci vozel [1, 2].
24
4.1 Kriziscno stevilo nekaterih vozlov
Ce zelimo vozlu K dolociti kriziscno stevilo, to naredimo tako, da poiscemo njegovo reduci-
rano alternirajoco projekcijo, za katero vemo, da nam le-ta po Izreku 4.2 predstavlja kriziscno
stevilo.
Slika 22: Kriziscno stevilo vozla 41
Slika 23: Kriziscno stevilo vozla 52
25
Slika 24: Kriziscno stevilo vozla 819
Slika 25: Kriziscno stevilo sestavljenega vozla 41#52
26
5 Zakljucek
V diplomskem delu smo vpeljali in na nekaj konkretnih zgledih predstavili pojem palicnega
stevila.
Zakljucimo lahko, da za razumevanje palicnega stevila potrebujemo poznavanje nekaterih
definicij iz teorije vozlov.
Ogledali smo si, kako razlicnim druzinam vozlov priredimo palicno stevilo in na zgledih ilu-
strirali, kako izgledajo taki vozli.
Rezultati, zbrani v tem diplomskem delu, so le osnova za studij palicnega stevila, saj ob-
staja se ogromno neresenih vprasanj na tem podrocju. Diplomsko delo lahko razsirimo na
obravnavo tudi drugih vozelnih invariant ali pa za bolj podroben studij te tematike. To di-
plomsko delo naj bo zato v pomoc pri studiju ali pa spodbuda za nadaljnje raziskovanje na
tem podrocju.
27
6 Literatura
1. Adams, C. (2004). The knot book: an elementary introduction to the mathematical
theory of knots. Rhode Island: American Mathematical Society.
2. Adams, C. (2004). Why knot? An introduction to the mathematical theory of knots.
Emeryville: Key College Publishing.
3. An upper bound on stick numbers of knot. Pridobljeno 25. 7. 2017 s strani:
https://arxiv.org/pdf/1512.03592.pdf
4. Cromwell, P. (2004). Knots and links. Cambridge: Cambridge University Press.
5. Knot invariant. Pridobljeno 15. 5. 2017 s strani:
https://en.wikipedia.org/wiki/Knot invariant
6. Knot theory. Pridobljeno 15. 5. 2017 s strani:
https://en.wikipedia.org/wiki/Knot theory
7. Knots and sticks. Pridobljeno 15. 5. 2017 s strani:
http://vrs.amsi.org.au/wp-content/uploads/sites/6/2016/03/MattRyan-Report.pdf
8. Negami, S. (1991). Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs. Transactions
of the American Mathematical Society, 324 (2), 539-541.
9. Sossinsky, A. (2002). Knots: mathematics with a twist. Cambridge: Harvard University
Press.
10. Sossinsky, A. (2011). Vozli: razvoj neke matematicne teorije. Ljubljana: DMFA -
zaloznistvo.
28