Univerza v MariboruPedagoška fakulteta

Oddelek za fiziko

MODELIRANJE DINAMIKE TELES POD VPLIVOM GRAVITACIJSKE SILE

Nataša Medved

Povzetek: V seminarju obravnavam dinamične sisteme, ki se gibljejo pod vplivom gravitacijske sile. Sestavim skupno jedro modelov, ki temelji na drugem Newtonovem zakonu. Ta model nato na različnih primerih nadgrajujem. Podrobneje obravnavam gibanje satelitov okoli Zemlje in gibanje dveh teles okoli masnega središča. Ob posameznem primeru je predstavljen model, ki je izdelan z grafično orientiranim programom Berkeley Madonna. Podane so tudi diferenčne enačbe, numerične rešitve pa so predstavljene grafično.

Mentorja: dr. Marko Marhlmag. Vladimir Grubelnik

Maribor, 17. 5. 2005

KAZALO

1 UVOD.................................................................................................................................3

2 SKUPNO JEDRO MODELOV.......................................................................................4

3 PRIMERI NADGRADNJE JEDRNEGA MODELA....................................................4

3.1 Gibanje satelitov okoli Zemlje....................................................................53.2 Gibanje teles okoli masnega središča.........................................................8

4 ZAKLJUČEK...................................................................................................................12

2

1 UVODModeliranje je znanstveno raziskovalna metoda, ki se uveljavlja povsod, tako na naravoslovnem kot tudi na družboslovnem področju. Najbolj se uporablja v ekonomiji, politiki, prometu in sociologiji. Pri naravoslovju pa ga srečujemo predvsem pri fiziki, biologiji in kemiji. V zadnjih časih je vse bolj prisotno tudi v izobraževanju. V ZDA, Nemčiji in Avstriji so že začeli z uvajanjem modeliranja pri pouku naravoslovja1.

Modeliranje nam v povezavi z eksperimentom omogoča, da naučimo učenca razgradnje problema in smiselne sestave posameznih členov v ustrezno celoto, ki jo imenujemo model. Z modelom opisujemo stanje sistema. Učenec je prisiljen opazovati obnašanje sistema. Preučiti mora, kateri parametri vplivajo na te količine in kakšna je njihova medsebojna povezanost. Zna obravnavanemu problemu oziroma modelu dodajati in odvzemati posamezne člene, ki vplivajo na model.

Modeliranje dinamičnih sistemov je pomembno že na nižji stopnji, kjer poudarimo kvalitativni opis naravnih pojavov. Na višji stopnji pa temu opisu dodamo še matematični opis odnosov med količinami.

Pri fiziki je zelo pomembno predvsem, da preidemo iz klade, klanca, škripca na realne primere iz narave in naravne pojave, s katerimi se učenci in dijaki srečujejo vsak dan. Vendar pa to ni vedno mogoče, ker s tem naletimo na številne probleme, saj so obravnavani sistemi kompleksni in večina primerov analitično nerešljiva. Zato si lahko pri reševanje omenjenih problemov pomagamo z modeliranjem.

Če želimo rešiti problem, moramo narediti ustrezen model, ki bo čim bolj preprost in bo hkrati čim natančneje opisoval problem. Pri tem moramo biti pozorni na količine, ki odločilno vplivajo na obnašanje modela. Njihov vpliv na model zapišemo z ustreznimi matematičnimi enačbami. Časovno spreminjajoče se količine zapišemo v obliki diferencialnih enačb, katerih rešitve nam določajo stanje sistema. Ker sistem diferencialnih enačb običajno analitično ni rešljiv, oziroma je pot do analitične rešitve prezahtevna, da bi jo učenci v osnovni oziroma srednji šoli razumeli, sistem diferencialnih enačb rešimo numerično. Diferencialne enačbe zapišemo kot algebrajske enačbe v diferenčni obliki. Zaradi zamudnega reševanja teh enačb, le-te ponavadi rešujemo s pomočjo računalnika z ustreznimi numeričnimi metodami (Eulerjeva metoda ali metoda Runge Kutta 4. reda). V zadnjem času pa se pojavljajo grafično orientirani programi (Berkeley Madonna2, Dynasys3, Stella4), ki že vsebujejo različne numerične metode, s katerimi pridemo do numeričnih rešitev, ki jih lahko tudi grafično predstavimo. Vsi ti programi s svojo grafično podlago omogočajo, da lahko s posebnimi grafičnimi objekti (slika 1) neposredno izdelamo model dinamičnega sistema. Pri tem je še posebej poudarjen pretok količin, kjer spreminjajoče se količine ponazorimo z rezervoarji (slika 1), dotoke oziroma odtoke pa reguliramo z ustreznimi ventili, na katere lahko vplivamo z določenimi konstantami oziroma spreminjajočimi se količinami (slika 1).

Slika 1: Grafična podlaga računalniškega programa Berkeley Madonna

3

V seminarju se bomo omejili na grafično orientirani program Berkeley Madonna. V naslednjem poglavju bomo predstavili skupno jedro modelov, ki ga bomo v 3. poglavju nadgradili. V slednjem poglavju bomo obravnavali dva primera: gibanje satelitov okoli Zemlje in gibanje teles okoli skupnega masnega središča.

2 SKUPNO JEDRO MODELOV Poglejmo si dinamični sistem, ki se giblje pod vplivom zunanjih sil. Zaradi vpliva zunanjih sil se telo giblje, v skladu z drugim Newtonovim zakonom, s pospeškom (a), ki vpliva na spreminjanje hitrosti (v), ta pa vpliva na spreminjanje lege (x) (slika 2).

Časovno spreminjajoči se količini x in v opišemo s sistemom diferencialnih enačb, ki izhajajo iz drugega Newtonovega zakona:

(1)in

, (2)

kjer je pospešek (a) lahko poljubna funkcija časa, lege in hitrosti.Ker sistem diferencialnih enačb običajno analitično ni rešljiv, ali pa je pot do

analitične rešitve prezahtevna, da bi jo učenci v osnovni oziroma srednji šoli razumeli, sistem diferencialnih enačb rešimo numerično, z ustrezno numerično metodo, npr. z Eulerjevo metodo ali metodo Runge Kutta 4. reda. V nadaljevanju bomo uporabili preprosto Eulerjevo metodo, kjer diferencialni enačbi (1) in (2) zapišemo v diferenčni obliki kot algebrajske enačbe, ki opisujejo stanje sistema v nekem trenutku:

, (3), (4)

ali, (5)

, (6)

kjer je a lahko poljubna funkcija časa, hitrosti oziroma lege, odvisno od posameznega primera. V enačbi (5) in (6) moramo vstaviti še ustrezne začetne pogoje x(0) in v(0). Numerično rešitev lahko predstavimo v ustreznih časovno odvisnih diagramih.

3 PRIMERI NADGRADNJE JEDRNEGA MODELAZačnimo z enostavnejšim primerom, ki ga bomo nato nadgrajevali. Najprej si poglejmo dvodimenzionalno gibanje, kjer si bomo podrobneje pogledali primer gibanja satelitov okoli Zemlje.

Slika 2: Osnovni model za drugi Newtonov zakon

4

3.1 Gibanje satelitov okoli Zemlje

Sateliti so telesa, ki krožijo okoli planeta. Poznamo naravne satelite, kot je npr. Luna in umetne satelite, ki jih je poslal človek v vesolje.

Planet in satelit se privlačita z gravitacijsko silo. Planet z maso M privlači satelit z maso m s silo F (slika 3):

, (7)

kjer je r razdalja med središčem planeta in satelitom, G pa je gravitacijska konstanta, njena vrednost je .

Ker satelit kroži okoli planeta (npr. Zemlje), je gravitacijska sila radialna sila. Zato velja:

, (8)

kjer je ar radialni pospešek:

, (9)

kjer je vk krožilna hitrost satelita. Enačbi (7) in (9) vstavimo v enačbo (8) in iz tega dobimo krožilno hitrost satelita:

. (10)

Če v enačbi (10) vzamemo, da je razdalja (r) enaka polmeru Zemlje ( ) dobimo prvo kozmično hitrost. To je hitrost, s katero satelit kroži okoli Zemlje na višini nič. Podana je z enačbo:

, (11)

kjer smo upoštevali, da je masa Zemlje . Satelite5 izstrelijo običajno v krožne ali eliptične tirnice na višino (h) 200 –350 km,

kjer je krožilna hitrost manjša od prve kozmične hitrosti. Če v enačbo (10) vstavimo, da je , dobimo krožilno hitrost satelita na določeni višini h. Ob upoštevanju enačbe (11) jo

lahko zapišemo kot:

Slika 3: Gravitacijska sila

5

. (12)

Če je začetna vodoravna hitrost (v0) manjša od krožilne hitrosti (vk), telo pade na Zemljo, če je večja ali enaka, pa kroži okoli Zemlje. Telesu lahko povečujemo hitrost tako dolgo, da telo ubeži privlačnosti Zemlje.

Gravitacijska potencialna energija satelita, ki je za r oddaljen od središča Zemlje je: . Če želimo, da ubeži zemeljski privlačnosti, mora na tej višini imeti kinetično

energijo . Ker se satelit premakne daleč od Zemlje v neskončnost, kjer je skupna energija ( ) enaka nič, sledi: in . Iz slednje enačbe izrazimo hitrost satelita, ki ubeži zemeljski privlačnosti:

. (13)

Če v enačbi (13) vzamemo, da je razdalja (r) enaka polmeru Zemlje (R) dobimo drugo kozmično hitrost. To je torej hitrost, s katero satelit ubeži zemeljski privlačnost na višini nič. Podana je z enačbo:

. (14)

Ubežna hitrost za satelite, ki se gibljejo na oddaljenosti h od površja Zemlje, imenujemo parabolična hitrost6. Izračunamo jo tako, da vstavimo v enačbo (13) , upoštevamo enačbo (14) in dobimo:

. (15)

Za izdelavo modela moramo zapisati še enačbe za pospešek. Enačbi (7) in (8) enačimo in izrazimo pospešek a, ki je:

. (16)

Enačbo (16) zapišemo v komponentni obliki kot:

, (17a)

. (17b)

V enačbah (17a) in (17b) nadomestimo in tako dobimo naslednja zapisa enačb za

pospešek v x in y smeri:, (18). (19)

Pospešek (enačbi (18) in (19)) vstavimo v osnovni model (enačbi (5) in (6)), ki smo mu dodali y – os in dobimo model (slika 4), ki ga opisujejo naslednje diferenčne enačbe:

6

, (20a), (20b)

, (21a)(21b)

Enačbi (21a) in (21b) nato vstavimo v model (slika 4) skupaj z začetnimi pogoji.

Poglejmo si primer gibanja satelita okoli Zemlje na razdalji od površja Zemlje. Model izgradimo s pomočjo enačb (21a) in (21b) in začetnih pogojev:

(22)

Pogledali si bomo primere za različne hitrosti vy. Rezultate bomo primerjali glede na hitrosti vk (enačba (12)) in vp (enačba (15)). Gravitacijsko konstanto G zaradi velikega časovnega intervala normiramo in spremenimo enote v . Dobimo

. Numerične rezultate, ki jih dobimo s programom Berkeley Madonna (slika 4)

predstavimo v grafični obliki (sliki 5a, b). Grafi predstavljajo tire satelita, ki kroži okoli Zemlje pri različnih hitrostih.

Slika 4: Model kroženja satelita okoli Zemlje

7

Če mečemo na velike razdalje, je treba

upoštevati, da je težni pospešek usmerjen k središču Zemlje in da se z višino zmanjšuje ter da je Zemlja okrogla. Če sila teže kot vektor ni konstantna, se telo giblje po tiru, ki ga določajo Keplerjevi zakoni6.

Če je začetna hitrost manjša od krožne hitrosti, v0 <vk, dobimo tir elipse, katere gorišče je v središču Zemlje (slika 5a). Elipsa je tem manj sploščena, čim večja je začetna hitrost telesa (v0), ki ga izstrelimo iz Zemlje v vodoravni smeri. Pri v0= vk elipsa postane krožnica (slika 5a). Če je začetna vodoravna hitrost (v0) večja od krožilne hitrosti in manjša od parabolične hitrosti (vp), vk <v0 <vp, se giblje satelit po bolj ali manj sploščenih elipsah, središče Zemlje pa leži v enem od gorišč (slika 5b). Čim bliže je hitrost satelita parabolični hitrosti, tem večja je elipsa in bolj je sploščena. Pri hitrosti v0= vp se satelit ne giblje več po elipsi, ampak po paraboli (slika 5b) in tako pobegne Zemeljski privlačnosti. Če je začetna hitrost večja od parabolične hitrosti, v0 > vp, se parabola še bolj povečuje in na koncu preide v hiperbolo, po kateri se telo giblje (slika 5b). Numerične rešitve so v skladu z analitičnimi rešitvami Keplerjevih zakonov6.

3.2 Gibanje teles okoli masnega središča

V modelu (slika 4), kjer satelit kroži okoli Zemlje, smo zanemarili gibanje Zemlje okoli skupnega masnega središča, saj ima Zemlja v primerjavi s satelitom veliko večjo maso, zato smo predpostavili, da je masno središče kar v središču Zemlje. Poglejmo si sedaj primer, kjer se telesi gibljeta okoli masnega središča (xms) (slika 6), ki ni v središču enega od teles. Kot primer vzemimo Luno, ki nima več zanemarljive nase v primerjavi z Zemljo. Zato upoštevamo tudi vpliv, ki ga ima Luna na premikanje težišča Zemlje. V našem primeru bomo obravnavali sistem Zemlja – Luna. Pri tem bomo predpostavili, da težišče sistema Zemlja – Luna miruje. Model, prikazan na sliki 4, bomo dopolnili in sicer tako, da bomo dodali še koordinate za drugo telo (slika 7).

Sistem Zemlja – Luna:

Poglejmo, kako izgleda model (slika 7), v katerega vstavimo enačbe za pospešek najprej za prvo telo Zemljo, kjer je m1 masa Zemlje in x1, y1 koordinate Zemlje, ter za drugo telo Luno, kjer je m2 masa Lune in x2, y2 koordinate Lune (slika 6).Velikost pospeška Zemlje (smer je označena na sliki 6) je:

, (23)

ki ga v komponentni obliki zapišemo kot:

, (24a)

Slika 5: Tir satelita pri različnih hitrostih.a) Tiri pri hitrostih v0 ≤ vk. Tir a: v0 = 17684000 m/h; tir b: v0 = 22684000 m/h in tir c:v0 = vk = 27684000 m/h.b) Tiri satelita pri hitrosti vk < v0 < vp in v0 ≥ vp. Tir a: v0 = 29150000 m/h; tir b:v0 = 33150000 m/h; tir c: v0 = 35150000 m/h; tir d: v0 = 39150000 m/h in tir e:v0 = 49150000 m/h.

a) b)

8

, (24b)

kjer je , , in (slika 6).

Velikost pospeška Lune je:

. (25)

Enačbi za ax2 in ay2 izpeljemo podobno kot enačbi (24a) in (24b):

,(26a)

.(26b)

V enačbo (6), ki smo ji dodali y – os, vstavimo enačbi (24a) in (24b) in dobimo:

Slika 7: Model sistema Zemlja - Luna

Slika 6: Sistem Zemlja - Luna

9

(27)

Podobno naredimo za drugo telo, le da imamo sedaj hitrosti za drugo telo in v enačbo (6) vstavimo enačbi (26a) in (26b) za pospešek drugega telesa.

Model izgradimo s pomočjo enačb (28), konstant: (gravitacijsko konstanto G, sedaj normiramo in spremenimo enote v : ) in začetnih pogojev za:Prvo telo – Zemlja: Drugo telo – Luna:

(28)

Hitrost vy1 izračunamo po enačbi:

, (29)

ker predpostavimo, da težišče sistema Zemlja – Luna miruje. Hitrost vy2 pa izračunamo po enačbi:

, (30)

kjer je t0 čas, ki ga Luna potrebuje za en obhod okoli Zemlje.Numerične rezultate za tir gibanja Lune in Zemlje, ki jih dobimo z modelom (slika 7), predstavimo v grafični obliki (sliki 8 in 9).

Slika 8: Kroženje Lune okoli Zemlje

10

Iz slik 8 in 9 je razvidno, da se težišče Lune veliko bolj premika, kot težišče Zemlje, kar je pogojeno z masama teles.

Sistem dveh zvezd:

Poglejmo si še primer, ko sta masi teles enaki, med seboj sta oddaljeni za eno astronomsko enoto, za en obhod potrebujeta 500 dni in krožita okoli masnega središča.

Za reševanje sistema dveh zvezd uporabimo model prikazan na sliki 7. Rešujemo enako, kot primer Sistem Zemlja – Luna, le da spremenimo začetne pogoje:Prva zvezda: Druga zvezda:

(31)

Hitrost vy1 izračunamo po enačbi (29), hitrost vy2 pa po enačbi (30).Numerične rešitve predstavimo z grafi (sliki 10 in 11):

Slika 9: Lega Lune in Zemlje v odvisnosti od časa. a) Lega v smeri x v odvisnosti od časa. b) Lega v smeri y v odvisnosti od časa.

b)a)

11

4 ZAKLJUČEK

Z modeliranjem realnih problemov bistveno pripomoremo k razumevanju fizike in naravnih pojavov, ki jih srečujemo na vsakem koraku. S tem postavimo fiziko v naravo med vsakdanje življenje, učenca pa navajamo na problemsko reševanje problemov povezanih z realnim življenjem. Na tak način bo postala fizika zanimivejša, privlačna in tudi bolj uporabna. Pri prenosu fizike v vsakdanje življenje pa ima pomembno vlogo modeliranje.

Pri modeliranju gre za to, da čim bolj smiselno sestavimo model, ga znamo nadgraditi, pogledati, kateri parametri vplivajo na naš sistem. Skratka želimo zgraditi minimalni model, ki zadovoljivo opisuje obnašanje sistema, ki ga obravnavamo.

V našem primeru smo pokazali, da se rešitve skladajo z analitičnimi rešitvami, ki jih dobimo z Kepplerjevimi zakoni.6 Pri uporabi modeliranja vidimo, da lahko te primere uporabimo že na nižjih in višjih stopnjah osnovne šole, saj nam ni potrebno reševati zahtevnih enačb, ki jih drugače zahteva takšen primer.

Dinamično obnašanje modela opišemo z diferencialnimi enačbami, ki pa so v večini primerov analitično nerešljive. V tem primeru se poslužujemo numeričnega reševanja diferencialnih enačb zapisanih v diferenčni obliki. Te enačbe lahko rešimo z ustreznimi računalniškimi programi, ali pa uporabimo posebej za modeliranje prirejene programe, kot je npr. Berkeley Madonna. Z njim enostavno sestavimo model, ki nam omogoči tudi numerične rešitve, katere lahko nato grafično predstavimo.

Programom, ki so prirejeni za modeliranje, je skupno, da imajo grafično podlago, na katero učenci s simboli sestavijo model. Takšen način dela je za učenca preprostejši, predvsem pa nazornejši, saj lahko učenec na grafični površini vidi celotno zgradbo modela z medsebojnimi odvisnostmi posameznih fizikalnih količin.

Slika 10: Tir kroženja zvezd

Slika 11: Legi zvezd v odvisnosti od časa. Sinusni krivulji sta v nasprotni fazi. a) Lega v smeri x v odvisnosti od časa. b) Lega v smeri y v odvisnosti od časa.

a) b)

12

Literatura in viri:

1. Schecker H. P.: Physik – Modellieren, Grafikorientierte Modellbildungssysteme im Physikunterricht (Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1998).

2. Berkeley Madonna: Macea R., Oster G., University of California at Berkeley (grafično orodje za izgradnjo modelov) http://www.berkeleymadonna.com/

3. DYNASYS: Hupfeld W., Bankerheide 2, 59065 Hamm (grafično orodje za izgradnjo modelov) http://www.modsim.de/

4. STELLA: High Performace Systems Inc. Hanover NH USA (grafično orodje ta izgradnjo modelov) http://www.hps-inc.com/edu/stella/demo_gate.htm

5. Kladnik R.: Visokošolska fizika 1. del – Mehanski in toplotni pojavi (DZS, Ljubljana, 1991).

6. Avsec F., Prosen M.: Astronomija za 4. razred gimnazije (DMFA, Ljubljana, 1993).

13

14