Международная научно – практическая конференция

«Первые шаги в науку»Управление образования Брянской городской администрации

МБУ «Брянский городской информационно - методический Центр»

МБОУ «Брянский городской лицей №1 им. А.С. Пушкина»

«Первое знакомство с теоремой Вариньона при решении конкурсных задач»

Направление: информатико - математическая секция

Авторы: Родин Мирон и Полянская Виктория,

8 химико-биологический класс №2

МБОУ «Брянский городской лицей№1 имени А.С.Пушкина»

Руководитель: Ефремова Любовь Ивановна,учитель математики МБОУ «Брянский городской лицей№1 имени А.С.Пушкина»

Брянск2018 год

1

I. Введение……………………………………………………………… 3-4 II. Основная часть 1. Основные теоретические сведения. 1.1. Пьер Вариньон и его теорема. ……………………………… 4-6 1.1.1. Определение бимедианы ……………………………… 4-5 1.1.2. Теорема Вариньона……………………………………… 5-6 1.2. Следствия из теоремы Вариньона……………………… 6-11 1.2.1. Следствие 1……………………………………………… 6-7 1.2.2. Следствие 2……………………………………………… 7-8 1.2.3. Следствие 3……………………………………………… 8-9 1.2.4. Следствие 4…………………………………………… 9 1.2.5. Следствие 5 (Теорема Эйлера)……………………… 9-10 1.2.6. Следствие 6 (Теорема о бабочках)…………………. 10-11 2. Задачи из школьного курса геометрии. …………………… 11 3. Результаты анкетирования…………………………………. 14-17 4.Решение конкурсных задач с помощью параллелограмма Вариньона. ……………………………… 18-19 III. Заключение. …………………………… 11-13IV. Список источников информации. … 13 V. Приложение. …………… 14-19

2

I. Введение «Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что

старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Актуальность данной темы заключается в том, что в последние годы в России, стало проводиться много различных математических олимпиад: очные, заочные, дистанционные и т.д.

Мы являемся учениками Брянского городского лицея №1 имени А.С.Пушкина, который служит площадкой для проведения таких Всероссийских олимпиад, как: Ломоносовский турнир, САММАТ, выездная олимпиада школьников «Физтех». Поэтому приходиться сталкиваться со сложными геометрическими задачами на доказательство, которые порой не знаешь, как доказывать. В этом учебном году при изучении темы «Четырехугольники» (8 класс) и произошло наше первое знакомство с теоремой Вариньона, что послужило главной причиной работы над исследованием и выбором темы «Первое знакомство с теоремой Вариньона при решении конкурсных задач».

Данные проводимого нами исследования являются дополнением и углублением изученного материала в курсе геометрии 8 класса, а применение опыта полученного при решении планиметрических задач с использованием параллелограмма Вариньона и следствий из нее, помогают решать сложные задачи.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым обратил внимание на, казалось бы, довольно очевидный факт: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. В дальнейшем полученный параллелограмм назвали параллелограммом Вариньона [ 1].

Мы захотели убедиться в том, что «Параллелограмм Вариньона» надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности.Проблема: выяснить, действительно ли параллелограмм Вариньона

позволяет рациональней получить решение задачи.

Объект исследования: параллелограмм Вариньона, бимедианы

четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.

Предмет исследования: планиметрические задачи.

Гипотезы исследования: параллелограмм Вариньона – надёжный

помощник в решении планиметрических задач.

3

Цель: исследовать доказательство теоремы Вариньона, ее следствий и

показать, что теорема Вариньона надежный помощник в решении

геометрических задач.

Задачи исследования:

изучить литературу по данной теме исследования;

проанализировать учебники геометрии 7-9 классов двух авторов:

Атанасян Л.С. и Погорелов А.В.;

изучить теорему Вариньона для разных видов четырехугольников

(выпуклых, вогнутых, пространственных);

изучить следствия из теоремы Вариньона;

исследовать применение теоремы Вариньона и её следствий при

решении конкурсных задач;

создать макеты для теоремы Вариньона и её следствий;

провести анкетирование для выяснения значимости теоремы

Вариньона и её следствий при решении конкурсных задач;

выяснить, действительно ли параллелограмм Вариньона позволяет

рациональней получить решение планиметрической задачи;

создать сборник задач – брошюру «Параллелограмм Вариньона решает задачи».II. Основная часть1. Основные теоретические сведения. 1.1. Пьер Вариньон и его теорема.

1.1. 1. Определение бимедианы .

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины

противоположных сторон. EF и GH – бимедианы (рис.1). Одна из основных

теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому

механику и инженеру Пьеру Вариньону(1654–1722), написавшему учебник

по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые

и появилась [10].

4

рис.1 рис.2

Пьер Вариньон (рис.2) родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и  Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и Бернулли [10].1.1.2.Теорема Вариньона.

Формулировка:

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника (рис.3).

рис.3

Дано:ABCD – выпуклый четырехугольникAK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=NDДоказать:1) KLMN – параллелограмм;

2) S(KLMN)= 12S(ABCD)

Доказательство.1) Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL является средней линией треугольника ABC , то KL ║AC . По тем причинам MN ║AC .

Следовательно, KL ║NM и KL= MN=  АС2  . таким образом, KLMN  -

параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника ABCD.

2) Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому

5

сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD. Теорема доказана.

1.2. Следствия из теоремы Вариньона

1.2.1. Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны;

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом (рис.4)

рис.4

Дано:ABCD – четырехугольник;KLMN – параллелограммВариньона;AC=BDДоказать: KLMN – ромб

Доказательство. Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

а) Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом. Дано: ABCD – четырехугольник;KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM LN Доказать: KLMN – ромб рис.5

6

Доказательство. Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).б) Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.1.2.2. Следствие 2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны;

б) бимедианы равны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником (рис.6).

рис.6

Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC BD Доказать:KLMN – прямоугольник

Доказательство. Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.а) Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Дано: четырехугольник ABCD;  KLMN – параллелограмм Вариньона;бимедианы KM и LN – равныДоказать: KLMN – прямоугольник рис.7

7

Доказательство:Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).б) Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.1.2.3. Следствие 3Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике а) диагонали равны и перпендикулярны; б) бимедианы равны и перпендикулярныа) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом (рис.8).

Рис.8

Дано:четырехугольник ABCD;KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC BD; AC=BDДоказать:KLMN – квадрат

Доказательство. Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.а) Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом (рис.9).

Дано: четырехугольник ABCD;

 KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM LN; KM=LNДоказать: KLMN – квадрат

Рис.9 Рис.9Доказательство: бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и

8

перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то бимедианы исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.1.2.4. Следствие 4.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство (рис.10-11).

Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).

Рис.10 рис.11

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем: LQ║ CD║ PN и PL║ AB║ NQ.

Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

1.2.5. Следствие 5 (теорема Эйлера).

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть AB2+BC2+CD2+AD2=AC 2+BD2+4 PQ2.

9

Доказательство (рис.12).

рис.12

Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм.

Поэтому ln 2+PQ2=2 ( LP2+LQ2 )= AB2+CD2

2;

В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQ имеем:

PQ2+KM 2=BC 2+ AD2

2

Кроме того,

KN 2+ KM2= AC2+BD2

2 .

Так как KLMN – параллелограмм Вариньона четырехугольника ABCD . Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера.

1.2.6.Следствие 6 (теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан  LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны (рис.13).

Доказательство (краткое).

10

рис.13

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

sBKL+¿ sDNM=sBAC+sDAC

4=

sABCD

4=

sABD+sCBD

4=s AKN+sCLM

Что и требовалось доказать.

2. Задачи из школьного курса геометрии.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии. Это задачи:№567, 568, 617 в учебнике по геометрии 7-9, автор - Л.С. Атанасян и задача №57

( автор - А.В. Погорелов). В учебнике Атанасяна эти задачи находятся в главе VII «Подобные треугольники», а у Погорелова в теме «Четырехугольники», задачи: 55, 57 и 58.

№567 или №55. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Это сама теорема Вариньона.

№568. Докажите, что четырехугольник - ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

№617.Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. (Задача №58 дублирует задачи №568 и 617(a)). И только задача №57 другая.

У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Такой задачи в учебнике Атанасяна Л.С. нет.

Пояснять решение не будем. Эти задачи не сложные, но к задаче №568, мы еще вернемся.

3. Результаты анкетирования (смотреть приложение). 11

4.Решение конкурсных задач с помощью параллелограмма Вариньона (смотреть приложение). III. Заключение. Математические знания могут применяться умело с пользой лишь в том

случае, если они усвоены творчески.

А.Н. Колмогоров

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки[8]. В ходе исследования мы познакомились с автором замечательной теоремы Пьером Вариньоном и его достижениями.

Как показывает исследование – большинство задач можно решить, зная теорему Вариньона и ее следствия.

В ходе исследования нами были выполнены все поставленные задачи.

Мы убедились в том, что параллелограмм Вариньона - надежный помощник в решении геометрических задач различной направленности и сложности.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение.

Очень тяжело шла работа по поиску конкурсных задач. Хотелось

найти такие задачи в Брянской корпоративной региональной олимпиаде

учащейся молодежи. Увы, нам не удалось. Мы посмотрели все десять

олимпиад, в заданиях 8-9 классов таких задач не нашли. Поэтому такие

задачи мы нашли в сети «Интернет» и подробно разобрали их решение, а

затем пришла мысль сделать сборник задач «Параллелограмм Вариньона

решает задачи», в который мы решили поместить 20 задач. В нем даже есть

задачи с Всероссийской олимпиады школьников и международных

олимпиад. У нас возникли большие трудности при изготовлении брошюры

«Параллелограмм Вариньона решает задачи», так как при переносе

документа из PDF в Word все формулы и рисунки исказились, и мы заново

набирали формулы, а некоторые рисунки рисовали на листах в клеточку,

сканировали и вставляли. Получилось неплохо, даже оригинально.

Выводы:

1. Данная тема является дополнением изученных в курсе геометрии свойств.

12

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень логической культуры.

3. Изучение данной темы поможет подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.

4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ.

5. Мы рекомендуем учителям математики преподавать на уроках или хотя бы на дополнительных занятиях в 8 классе теорему Вариньона. Она пригодится олимпиадникам, да и всем ученикам, особенно ученикам профильных классов, которые очевидно, планируют связать с точными науками свое будущее.

Тема данной работы актуальна, так как решить рационально задачу - это значит выиграть время. Выиграть время в наше время – это значит быть успешным! Тема исследования была избрана так, чтобы более глубоко изучить раздел геометрии «Четырёхугольники». В ходе исследования мы научились работать с литературой, выделяя главные моменты, провели большую работу по сбору и обработке информации. Не плохо ориентируясь в теории, на конкретных примерах показали, как можно выиграть время при решении сложной геометрической задачи. Цель исследования достигнута. 

IV. Список источников информации

1. Вавилов В., П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.

2. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение.

3. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение.

4. Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука.5. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.:

Просвещение.6. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.:

Наука7. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи

//Математика в школе № 4 – 2006.

13

8. Филипповский Г. Б. Издательская группа «Основа». Математика. Все для учителя г. Киев, статья «Параллелограмм Вариньона решает задачи», №9 (33) сентябрь 2013.

9. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. – М.:наука.10.Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер

V. Приложение.

3. Результаты анкетированияВопросы анкетирования:

1.Какие теоремы, названные в честь ученых, вы знаете?

2.Что вам известно о теореме Вариньона?

Варианты ответов:

а) никогда не слышал;

б) слышал, но толком не знаю;

в) знаю формулировку и следствия;

г) знаю и могу доказать;

3.Отметье знакомые слова:

а) бимедиана;

б) средняя линия треугольника;

в) диагональ четырехугольника.

4.Если вы изучали теорему Вариньона, укажите откуда?

Варианты ответов:

а) изучали на уроке;

б) знаю, благодаря дополнительным занятиям;

в) читал (а) в энциклопедии или в Интернете;

г) не знаю теоремы.

14

Анализ результатов анкетирования.

В анкетировании приняли участие: 8 химико-биологический класс №1 и

№2, 8 физико-математический, 8 информационно-математический, 8

социально-экономический, 8 социально-гуманитарный классы, всего - 147

человек.

Фото 1. Обработка соц. данных. Фото 2. Начало работы над

проектной папкой.

Из представленной таблицы наглядно видно, что подавляющее

большинство учащихся физико-математического класса, так или иначе,

знакомы с данной теоремой, при этом было отмечено, что они узнали о

теореме, в основном, благодаря дополнительным занятиям.

Класс Количество респондентов

Никогда не слышал о данной теореме

Что-то слышал

Знают теорему,

но не могут её доказать

Умеют доказать теорему

8 инф-мат. 25 7 13 4 18 соц-гум. 20 15 5 0 0

8 физ-мат. 26 0 8 8 108 соц-экон. 26 9 15 2 08хим-биол.

№126 18 6 0 2

8 хим-биол. №2

24 17 5 1 1

ИТОГО 147 66 52 15 14

15

Учащиеся других классов, в большинстве своем, или вообще не знают о существовании данной теоремы или знакомы с ней весьма поверхностно (62% знающих теорему - ученики физико-математического класса).

Также мы просили учащихся указать другие известные им теоремы, связанные с именами ученых, их доказавших. 78 % респондентов указали теорему Пифагора, изучаемую в 8 классе, на втором месте по популярности оказалась теорема Фалеса (62%). Учащиеся также называли теорему Герона и теорему Архимеда.

Понятие "бимедиана" знают 23% учащихся, из них 74% -ученики физико-математического профиля, которые в полном составе знают о средней линии треугольника. В остальных классах о ней знают не более 1/3 учащихся. Понятие "диагональ четырёхугольника" не знают 5 человек.

Что вам известно о теореме Вариньона?

16

Подводя итоги, мы должны отметить, что знают такую важную теорему (а часть опрошенных и могут её доказать) только около 20% учащихся восьмых классов.

Выводы: анкетирование учащихся показало, что потребность в данном

исследовании, действительно есть, и тут возникла идея создать сборник задач

– брошюру «Параллелограмм Вариньона решает задачи», где будут

изложены некоторые конкурсные задачи с решением.

Изучив теоретический материал, связанный с четырехугольником

Вариньона, мы решили нарисовать четыре эскиза, на которых будет

показано, когда четырехугольник Вариньона будет параллелограммом,

ромбом, прямоугольником и квадратом.

Фото готовых макетов:

17

Параллелограмм Ромб Прямоугольник Квадрат

Так как декада математики и физики традиционно прошла (с 20.11.2017

по 30.11.2017), то пришлось выступать на очередном заседании

математического научного ученического общества «Эрудит» в середине

января, куда были приглашены учащиеся 8-х классов, проявляющие интерес

к геометрии.

4.Решение конкурсных задач с помощью параллелограмма Вариньона.

Мы долго не могли подобрать задачу, которая наглядно продемонстрировала актуальность теоремы Вариньона для нас, восьмиклассников, пока нам не помог случай. Это задача № 568(б) ( Атанасян Л.С.), которую решал наш одноклассник.

«Докажите, что четырехугольник, образованный при соединении середин сторон равнобедренной трапеции, является ромбом».

18

Для решения задачи ученик поочередно рассматривал три пары равных треугольников, искал в них равные элементы, доказывая, таким образом, равенство и параллельность сторон. Его решение (кратко).

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция,

M, N, K, E - середины сторон

AB, BC, CD и AD.

Доказать: MNK E – ромб.

Доказательство.

1)∆MBN =∆NCK по двум сторонам и углу между ними→ MN = NK.

2)∆AME = ∆DKE по двум сторонам и углу между ними→ ME = KE.

3) ∆ MNE = ∆ KNE по трем сторонам →∠1 =∠ 2, ∠ 3 =∠ 4→ NK∥ ME,

MN∥ KE при секущей NE→ MNK E – параллелограмм→ NK= ME, MN= KE (по свойству параллелограмма). Получается, что у параллелограмма все стороны равны, значит, MNK E – ромб.

Решение заняло у него около15 минут. Мы же, однако, можем заметить, что в равнобедренной трапеции диагонали равны, а бимедианы перпендикулярны. Тогда вспомнив первое следствие из теоремы Вариньона, мы сразу можем сказать, что рассматриваемый четырехугольник – ромб. Наше решение требует менее одной минуты.

Приведем другой пример, взяв задачу №23 для самостоятельного решения из нашей брошюры. При последовательном соединении середин сторон

трапеции получили квадрат со стороной a. Найдите площадь трапеции.

Решение (кратко).

1)Дополнительное построение: BD – бимедиана и высота.

2) Рассмотрим ∆ABD: он прямоугольный, по теореме Пифагора BD2 = AD2 + AB2,

BD =√a2+a2 = √2 a2 =a√2.

19

3) Проведем еще одну бимедиану АС, которая является второй диагональю квадрата и средней линией трапеции: АС =a√2 с одной стороны и

АС =В 1С 1+А 1 D 12 .

4) S (A1B1C1D1) = В 1С 1+А 1D 12

∙ BD = AC⋅ BD = a√2 ⋅a√2 = 2a2.

Ответ: 2a2

Решение с применением теоремы Вариньона: найти площадь квадрата очень просто - a2. И, как нам известно, площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника, значит, площадь трапеции - 2 a2 ,не зная теоремы Вариньона, мы бы на решение этой задачи потратили времени гораздо больше.

Таким образом, ясно, что использование теоремы Вариньона помогает сэкономить время на уроке, а некоторые задачи без неё решить невозможно.

20