uog olnione modele uk lad ow sterowania - staff.iiar.pwr...
TRANSCRIPT
Uogolnione modele uk ladow sterowania
Rozniczkowo-algebraiczne modele
uk ladow sterowania
Analiza w lasnosci wielu uk ladow sterowania wymaga uogolnie-
nia modeli procesow zachodzacych w tych uk ladach. Wprowa-
dzane jest pojecie uogolnionego stanu obiektu sterowania
x(t) =
(xr(t)
xa(t)
),
ktory posiada sk ladowa w postaci stanu rozniczkowego xr(t)
oraz sk ladowa w postaci stanu algebraicznego xa(t). Stan
rozniczkowy moze byc zwiazany z wolnozmiennymi sk ladowymi
procesu, zas stan algebraiczny moze byc zwiazany z szybkozmienne
sk ladowymi procesu. Uogolniony model obiektu sterowania obej-
muje rownanie rozniczkowo-algebraiczne (RA) stanu uogol-
nionego
xr(t) = f r(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, tf ], xr(t0) = xr0,
fa(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t) = 0, t ∈ [t0, tf ]
oraz rownanie wyjscia
y(t) = g(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, tf ].
gdzie stan rozniczkowy xr(t) ∈ Rnxr spe lnia rownanie rozniczkowe
jego dynamiki, stan algebraiczny xa(t) ∈ Rnxaspe lnia rownanie
algebraiczne jego dynamiki, u(t) ∈ Rnu jest sterowaniem obiektu,
ξ(t) jest zak loceniem obiektu, a y(t) jest wyjsciem obiektu.
1
Proces sterowania
sterowanie u(t)-
zak locenie ξ(t)-
stan rozniczkowy xr(t)
stan algebraiczny xa(t)
wyjscie y(t)-
Stan rozniczkowy zwany stanem wolnozmiennym opisuje np.
ewolucje inercyjnej ciek lej fazy chemicznego procesu produkcyj-
nego, a stan algebraiczny zwany stanem szybkozmiennym opi-
suje ewolucje jego bezinercyjnej fazy gazowej. Rownanie algebra-
iczne moze okreslac charakterystyczne warunki prowadzenia pro-
cesu np. postulat rownowagi termodynamicznej procesu lub jego
elektroneutralnosci. W innych przypadkach odzwierciedla ono al-
gebraiczne zaleznosci matematyczne miedzy zmiennymi proceso-
wymi. Model rozniczkowo-algebraiczny moze byc reinterpretacja
modelu rozniczkowego. W niektorych przypadkach rownanie RA
odnosi sie tylko do stanu rozniczkowego, a stan algebraiczny nie
jest okreslony lub jest wyeliminowany. Rownanie algebraiczne
jest w tym przypadku narzucone na zmienne rozniczkowe i deter-
minuje charakterystyczny sposob funkcjonowania procesu.
W literaturze anglojezycznej modele procesow sterowania w
postaci rownan rozniczkowych zwyczajnych nazywane sa mode-
lami typu ODE (Ordinary Differential Equation), zas modele pro-
cesow sterowania w postaci rownan rozniczkowo-algebraicznych
nazywane sa modelami typu DAE (Differential Algebraic Equ-
ation).
Z przyk ladami uogolnionych modeli procesow sterowania i pro-
blemow sterowania nimi mamy do czynienia w wielu dziedzinach
techniki i technologii takich jak np. uk lady elektryczne i elek-
2
troniczne, uk lady mechaniczne, chemiczne procesy produkcyjne,
procesy biotechnologiczne, a takze systemy z lozone. W kazdej z
tych dziedzin stosowane sa rozne zwyczajowe oznaczenia wielkosci
fizyko-chemicznych charakteryzujacych proces. Przeprowadzimy
stadaryzacje opisu roznych problemow sterowania z wielu dzie-
dzin pokazujac, ze z punktu widzenia teorii sterowania sa one
szczegolnymi przypadkami ogolnego problemu optymalizacji pro-
cesow rozniczkowo-algebraicznych.
Modele obwodow elektrycznych i elektronicznych przy-
bieraja w wielu przypadkach postac rownan rozniczkowo-algebra-
icznych. Niech bedzie dany obwod elektryczny ze zrod lem napiecia
e(t), rezystancja R, kondensatorami C1 i C2 oraz z indukcyjnoscia
L. Sk lada sie on z dwoch szeregowo po laczonych podobwodow
eRC1 oraz C1LC2. Zmiennymi stanu sa napiecia U1(t) i U2(t)
na kondensatorach oraz natezenia pradu I1 i I2 w rezystancji i
w indukcyjnosci. Wyjsciem jest napiecie U2(t) na kondensatorze
C2.
obwod elektryczny eRC1LC2
©e(t) I1(t) I2(t)
�R L
C1 C2
aaa=6 6U1(t) = U2(t)
Na podstawie praw Kirchhoffa zapisujemy rownania dla napiec
Ui i pradow Ii (i = 1, 2) dla t ≥ t0:
U1(t) =1
C1I1(t),
3
U2(t) =1
C2I2(t),
I2(t) =1
L(U1(t)− U2(t)),
U1(t) +RI1(t) = e(t).
Uzyskujemy trzy rownania rozniczkowe i jedno rownanie algebra-
iczne.
Celem sterowania moze byc zapewnienie przebiegu napiecia
U2(t) zgodnego z programem jego zmiennosci U20(t) przy mini-
malnych stratach energetycznych zrod la napieciowego (zak ladany
jest d lugi horyzont czasowy sterowania [t0, tf ] ≈ [0,∞])∫ ∞0
((U2(t)− U20(t))2 + E2(t))dt
Zmiennymi rozniczkowymi stanu sa napiecia xr1(t).= U1(t) i
xr2(t).= U2(t) oraz prad xr3(t)
.= I2(t). Zmienna algebraiczna stanu
jest prad xa(t).= I1(t), sterowaniem jest napiecie zrod la u(t)
.=
e(t), a wyjsciem jest napiecie y(t).= U2(t) na kondensatorze C2.
Zapisujemy model uk ladu w postaci standardowej
xr1(t) =1
C1xa(t),
xr2(t) =1
C2xr3(t),
xr3(t) =1
L(xr1(t)− xr2(t)),
xr1(t) +Rxa(t)− u(t) = 0.
Rownanie algebraiczne jest bilansem napiec w podobwodzie ze
zrod lem napieciowym. Cel sterowania oznacza minimalizacje funk-
cjona lu kwadratowego
Q(xr, xa, u).=
∫ ∞0
((xr2(t)− xr20(t))2 + u2(t))dt,
4
a problem minimalizacji tego funkcjona lu z uwzglednieniem rownan
stanu mozna okreslic mianem liniowo-kwadratowej optymalizacji
rozniczkowo-algebraicznej (linear-quadratic DAE optimization).
W uk ladach mechanicznych analizowany jest ruch wahad lowy
cia la o masie m podwieszonego za pomoca preta (linki, sprezyny)
o d lugosci l. Niech (p1, p2) beda wspo lrzednymi pozycyjnymi cia la
m (pozioma i pionowa), zas (v1, v2) niech beda jego predkosciami
w kartezjanskim uk ladzie wyroznionej p laszczyzny jego ruchu.
Rownania wahad lowego ruchu cia la m pod wp lywem si ly F (t)
(oddzia lywanie elektromagnetyczne, naprezenie sprezyny) maja
postac dla t ≥ t0
p1(t) = v1(t),
p2(t) = v2(t),
v1(t) = −p1(t)m
F (t),
v2(t) = −p2(t)m
F (t)− g,
gdzie g jest sta la grawitacyjna. Rownania te uzupe lniamy warun-
kiem poruszania sie cia la m po trajektorii ko lowej
p21(t) + p22(t) = l2.
Celem sterowania dla rozwazanego uk ladu mechanicznego moze
byc spe lnienie zadanego programu zmian predkosci ruchu wa-
had lowego przy minimalnych stratach na sterowanie∫ tf
t0
((v1(t)− v10(t))2 + (v2(t)− v20(t))2 + F 2(t))dt.
Oznaczajac rozniczkowe zmienne stanu przez
xr1(t).= p1(t), x
r2(t)
.= p2(t), x
r3(t)
.= v1(t), x
r4(t)
.= v2(t),
5
a przez u(t).= F (t) sterowanie, przekszta lcamy model uk ladu do
postaci standardowej
xr1(t) = xr3(t),
xr2(t) = xr4(t),
xr3(t) = −xr1(t)
mu(t),
xr4(t) = −xr2(t)
mu(t)− g,
xr1(t)2 + xr2(t)
2 = l2.
Uzyskujemy wiec dla opisu ko lowego ruchu wahad la m uk lad
rownan rozniczkowo-algebraicznych okreslony wy lacznie przez roz-
niczkowe zmienne stanu, na ktore jest jednak na lozony warunek
algebraiczny. Cel sterowania oznacza minimalizacje funkcjona lu
kwadratowego
Q(xr, u).=
∫ ∞0
((xr3(t)− xr30(t))2 + (xr4(t)− xr40(t))2 + u2(t))dt
z uwzglednieniem liniowo-kwadratowych ograniczen (generalized
linear-quadratic DAE optimization).
W dziedzinie chemicznych procesow produkcyjnych ana-
lizowane sa procesy realizowane w reaktorach przep lywowych i
wsadowych.
Niech w przep lywowym reaktorze chemicznym bedzie prowa-
dzony proces produkcyjny przemiany substratu A → B → C w
6
produkt uzyteczny C z produktem posrednim B.
izotermiczny przep lywowy reaktor chemiczny
proces przemianyA → B→ C
A-
A,B,C-
Okreslone jest zmienne w czasie zapotrzebowanie na produkt
uzyteczny s(t), t ∈ [t0, tf ], przy czym s(t0) = 0. Model procesu
przybiera postac
cA(t) = q(cA0(t)− cA(t))− k1c2A(t), t ∈ [t0, tf ], cA(t0) = 1,
cB(t) = −qcB(t) + k1c2A(t)− k2cB(t), t ∈ [t0, tf ], cB(t0) = 0,
cA(t) + cB(t) + cC(t) = 1, t ∈ [t0, tf ],
cC(t) = s(t), t ∈ [t0, tf ],
gdzie cA(t), cB(t), cC(t) oznaczaja stezenia substacji A,B,C w re-
aktorze w chwili t, cA0oznacza stezenie wejsciowe substratu, q
jest natezeniem przep lywu mieszaniny reagujacej przez reaktor,
zas k1 i k2 sa wspo lczynnikami szybkosci reakcji. Proces ma cha-
rakter izotermiczny. W modelu tym zmiennymi rozniczkowymi
stanu sa cA(t) i cB(t). Spe lniaja one dwa rownania rozniczkowe
dynamiki procesu. Role algebraicznej zmiennej stanu odgrywa
w rozwazanym modelu zmienna cC(t) pojawiajaca sie w dwoch
rownaniach algebraicznych. Rownanie trzecie jest tzw. rownaniem
zamykajacym procesu, ktore wprowadza normalizacje zmiennych
procesowych -suma stezen sk ladnikow jest sta la i znormalizowana
na poziomie jednostkowym.
7
Warunek poczatkowy dla algebraicznej zmiennej stanu powi-
nien byc zgodny z warunkami poczatkowymi dla rozniczkowych
zmiennych stanu. W rozwazanym przyk ladzie okreslenie tego wa-
runku jest oczywiste cC(t0) = 0, co oznacza, ze w momencie
poczatkowym nie dysponujemy produktem uzytecznym - bedzie
on wytwarzany w trakcie prowadzenia procesu. W innych przyk la-
dach okreslenie warunku zgodnosci rownania algebraicznego moze
byc trudnym zadaniem wymagajacym zastosowania metody New-
tona do rozwiazywania nieliniowych rownan algebraicznych.
Cel sterowania dla rozpatrywanego procesu moze byc okreslony
jako zapewnienie zadanego programu produkcji sk ladnika uzytecznego
z rownoczesna minimalizacja sumarycznego zuzycia surowca∫ tf
t0
qcA0(t)dt.
Wprowadzajac oznaczenia xr1(t).= cA(t), xr2(t)
.= cB(t) dla
rozniczkowych zmiennych stanu i xa(t).= cC(t) dla algebraicznej
zmiennej stanu, zas u(t).= cA0
(t) dla sterowania, przedstawimy
rozpatrywany model w standardowej postaci
xr1(t) = q(u(t)− xr1(t))− k1xr1(t)2, t ∈ [t0, tf ],
xr2(t) = −qxr2(t) + k1xr1(t)
2 − k2xr2(t), t ∈ [t0, tf ],
xr1(t) + xr2(t) + xa(t) = 1, t ∈ [t0, tf ],
xa(t) = s(t), t ∈ [t0, tf ].
Podstawiajac zmienna algebraiczna stanu z czwartego rownania
do trzeciego rownania uzyskujemy model zredukowany
xr1(t) = q(u(t)− xr1(t))− k1xr1(t)2, t ∈ [t0, tf ],
xr2(t) = −qxr2(t) + k1xr1(t)
2 − k2xr2(t), t ∈ [t0, tf ],
xr1(t) + xr2(t) = 1− s(t), t ∈ [t0, tf ].
8
W ostatnim modelu mamy do czynienia tylko z rozniczkowymi
zmiennymi stanu. Oprocz rownan rozniczkowych spe lniaja one
dynamiczne rownanie algebraiczne okreslajace dodatkowy waru-
nek prowadzenia procesu gwarantujacy uzyskiwanie produktu
uzytecznego zgodnie z okreslonym programem. Cel optymalizacji
procesu przybiera postac
Q(xr, xa, u).=
∫ tf
t0
qu(t)dt.
Za lozmy, ze w rozpatrywanym przyk ladzie reakcje A → B i
B → C sa egzotermiczne z ciep lami reakcji h1 i h2, a temperatura
procesu T (t) jest kontrolowana za pomoca czynnika ch lodzacego
przep lywajacego przez p laszcz ch lodzacy reaktora z natezeniem
qc(t) i temperatura Tc(t). Chwilowe zapotrzebowanie na produkt
uzyteczny nie jest zadane.
nieizotermiczny przep lywowy reaktor chemiczny
proces przemianyA → B→ C
A-
obwod grzejny T-
A,B,C-
Model procesu zapisujemy jako uk lad rownan rozniczkowo-
algebraicznych rozpatrywany w przedziale [t0, tf ]
cA(t) = q(cA0(t)− cA(t))− k1e−
β1T (t)c2A(t),
cB(t) = −qcB(t) + k1e− β1T (t)c2A(t)− k2e−
β2T (t)cB(t),
T (t) = q(T0−T (t))+h1e− β1T (t)c2A(t)+h2e
− β2T (t)cB(t)−qc(t)(T (t)−Tc),
cA(t) + cB(t) + cC(t) = 1,
9
gdzie trzecie rownanie opisuje bilans cieplny reactora. W tym
przypadku rownania rozniczkowe procesu okreslone sa za pomoca
skomplikowanych nieliniowych eksponencjalno-potegowych wyrazen
znacznie komplikujacych ich rozwiazywanie. Nasila sie zjawisko
propagacji b ledu i pojawiaja sie niestabilne przebiegi zmiennych
stanu. Dlatego celowe moze byc wprowadzenie algebraicznych
zmiennych stanu oznaczajacych szybkosci reakcji κ1(t) i κ2(t).
Model procesu przepisujemy w postaci rownowaznej
cA(t) = q(cA0(t)− cA(t))− κ1(t),
cB(t) = −qcB(t) + κ1(t)− κ2(t),
T (t) = q(T0 − T (t)) +h1k1
κ1(t) +h2k2
κ2(t)− qc(t)(T (t)− Tc),
cA(t) + cB(t) + cC(t) = 1,
κ1(t) = k1e− β1T (t)c2A(t),
κ2(t) = k2e− β2T (t)cB(t).
Rownania rozniczkowe w przekszta lconym modelu sa liniowe wzgledem
zmiennych stanu, co istotnie u latwia ich rozwiazywanie. Nie-
liniowosci przerzucone sa do rownan algebraicznych. Wskaznik
jakosci procesu obejmuje sumaryczne koszty surowca i ch lodzenia
oraz sumaryczna wartosc produktu uzytecznego∫ tf
t0
(α1qcA0(t) + α2qc(t)− βcC(t))dt,
gdzie α1 i α2 sa wspo lczynnikami kosztow surowca i czynnika
ch lodzacego, a β jest wspo lczynnikiem wartosci produktu.
Wprowadzajac oznaczenia xr1(t).= cA(t), xr2(t)
.= cB(t), xr3(t)
.=
T (t) dla rozniczkowych zmiennych stanu oraz xa1(t).= cC(t), xa2(t)
.=
κ1(t), xa3(t)
.= κ2(t) dla algebraicznych zmiennych stanu, zas u1(t)
.=
10
cA0(t), u2(t)
.= qc(t) dla zmiennych sterujacych, przedstawimy roz-
patrywany model w standardowej postaci
xr1(t) = q(u1(t)− xr1(t))− xa1(t), t ∈ [t0, tf ],
xr2(t) = −qxr2(t) + xa1(t)− xa2(t), t ∈ [t0, tf ],
xr3(t) = q(T0 − xr3(t)) +h1k1xa2(t) +
h2k2xr3(t)− u2(t)(xr3(t)− Tc),
xr1(t) + xr2(t) + xa1(t) = 1,
xa1(t) = k1e− β1xr3(t)xr1(t)
2,
xa2(t) = k2e− β2xa3(t)xr2(t).
Tak wiec czesc rozniczkowa rownan stanu zosta la zasadniczo uprosz-
czona, a czesc algebraiczna uleg la komplikacji. Liczba algebraicz-
nych zmiennych stanu zosta la zwiekszona do trzech zmiennych, a
rownania algebraiczne przybra ly postac nieliniowa. Mozliwe jest
tez podejscie posrednie upraszczajace niektore nieliniowosci czesci
rozniczkowej modelu. Wyroznimy funkcje wp lywu temperatury
na szybkosc reakcji θ1(t).= k1e
− β1T (t) , θ2(t)
.= k2e
− β2T (t) jako alge-
braiczne zmienne stanu. Prowadzi to do rownan rozniczkowych
stanu z nieliniowosciami multiplikatywnymi
cA(t) = q(cA0(t)− cA(t))− θ1(t)c2A(t),
cB(t) = −qcB(t) + θ1(t)c2A(t)− θ2(t)cB(t),
T (t) = q(T0−T (t))+h1k1θ1(t)c
2A(t)+
h2k2θ2(t)cB(t)−qc(t)(T (t)−Tc),
cA(t) + cB(t) + cC(t) = 1,
θ1(t) = k1e− β1T (t) ,
θ2(t) = k2e− β2T (t) .
Wprowadzajac oznaczenia xr1(t).= cA(t), xr2(t)
.= cB(t), xr3(t)
.=
T (t) dla rozniczkowych zmiennych stanu oraz xa1(t).= cC(t), xa2(t)
.=
11
θ1(t), xa3(t)
.= θ2(t) dla algebraicznych zmiennych stanu, zas u1(t)
.=
cA0(t), u2(t)
.= qc(t) dla zmiennych sterujacych, przedstawimy roz-
patrywany model w standardowej postaci
xr1(t) = q(u1(t)− xr1(t))− xa1(t)xa1(t)2, t ∈ [t0, tf ],
xr2(t) = −qxr2(t) + xa1(t)xr1(t)
2 − xa2(t)xr2(t), t ∈ [t0, tf ],
xr3(t) = q(T0−xr3(t))+h1k1xa2(t)x
r2(t)
2+h2k2xa3(t)x
r2(t)−u2(t)(xr3(t)−Tc),
xr1(t) + xr2(t) + xa1(t) = 1,
xa1(t) = k1e− β1xr3(t) ,
xa2(t) = k2e− β2xr3(t) .
Od sposobu wyroznienia czesci rozniczkowej i algebraicznej
modelu procesu moze istotnie zalezec efektywnosc procedur nu-
merycznych dla lacznego rozwiazywania rownan rozniczkowo-al-
gebraicznych. Podkreslimy to jeszcze na przyk ladzie procesow
biotechnologicznych, ktore w wielu przypadkach modelowane sa
z wykorzystaniem skomplikowanych funkcji wymiernych.
Do przep lywowego bioreaktora doprowadzany jest substrat S(t)
(pozywka, odpady, scieki), a w bioreaktorze zainstalowane sa dwie
konkurujace populacje mikrobiologiczne P1(t) i P2(t) przetwa-
rzajce substrat na biomase B(t). Chociaz wymienione wielkosci
traktowane sa jako stezenia, to oznaczaja one odmienne wielkosci
biofizyczne i nie sa normalizowane na poziomie jednostkowym. Sa
one natomiast skalowane za pomoca odpowiednich wspo lczynnikow.
Zaleznosci miedzy wielkosciami biofizycznymi procesu: szybkosci
zmiany stezenia substratu i populacji sa okreslone przez wielkosci
dop lywu i odp lywu biosk ladnikow procesu oraz przez szybkosc
przetwarzania substratu przez populacje
S(t) = q(S0(t)− S(t))− a1S(t)
b10 + b11S(t)P1(t)
12
−a2S(t)
b20 + b21S(t) + b22S2(t)P2(t),
P1(t) = −qP1(t) + a1S(t)
b10 + b11S(t)P1(t),
P2(t) = −qP2(t) + a2S(t)
b20 + b21S(t) + b22S2(t)P2(t),
B(t) = −qB(t) + a1S(t)
b10 + b11S(t)P1(t)
+a2S(t)
b20 + b21S(t) + b22S2(t)P2(t),
gdzie ai, ai, ai i bij sa parametrami funkcji przyrostu populacji,
zas q jest natezeniem przep lywu biomieszaniny przez bioreak-
tor. Model powyzszy jest modelem rozniczkowym z czterema
rozniczkowymi zmiennymi stanu. Prawe strony rownan stanu
maja charakterystyczna dla procesow biotechnologicznych skom-
plikowana postac funkcji wymiernych. Model ten mozna prze-
kszta lcic do nastepujacej postaci rozniczkowo-algebraicznej:
S(t) = q(S0(t)− S(t))− a1 h1(t)P1(t)− a2 h2(t)P2(t),
P1(t) = −qP1(t) + a1 h1P1(t),
P2(t) = −qP2(t) + a2 h2P2(t),
B(t) = −qB(t) + a1 h1(t)P1(t) + a2 h2(t)P2(t),
h1(t).=
S(t)
b10 + b11S(t),
h2(t).=
S(t)
b20 + b21S(t) + b22S2(t),
gdzie h1(t) i h2(t) sa funkcjami przyrostu populacji. Optymaliza-
cji podlega wartosc srednia uzysku biomasy
1
τ
∫ t0+τ
t0
qB(t)dt,
gdzie τ jest d lugoscia cyklu sterowania procesem.
13
Definiujemy rozniczkowe zmienne stanu xr1(t).= S(t), xr2(t)
.=
P1(t), xr3(t)
.= P2(t), x
r4(t)
.= B(t), algebraiczne zmienne stanu
xa1(t).= h1(t), x
a2.= h2(t) i sterowanie u(t)
.= S0(t). Wprowa-
dzamy rozniczkowo-algebraiczna standaryzacje opisu
xr1(t) = q(u(t)− xa1(t))− a1 xa1(t)xr2(t)− a2 xa2(t)xr3(t),
xr2(t) = −qxr2(t) + a1 xa1(t)x
r2(t),
xr3(t) = −qxr3(t) + a2 xa2(t)x
r3(t),
xr4(t) = −qxr4(t) + a1 xa1(t)x
r2(t) + a2 x
a2(t)x
r3(t),
xa1(t) =xr1(t)
b10 + b11xr1(t),
xa2(t) =xr1(t)
b20 + b21xr1(t) + b22xr1(t)2.
Usredniony cel sterowania przybiera postac
1
τ
∫ τ
0
qxr4(t)dt.
Dalszym waznym przyk ladem rownan rozniczkowo-algebraicz-
nych sa rownania dynamiki systemow z lozonych z interak-
cjami. Niech xi(t) oznacza zmienna stanu i-tego podsystemu,
vi(t) - jego zmienna interakcyjna, zas ui(t) - jego zmienna ste-
rujaca. Dla uk ladu N powiazanych podsystemow zapisujemy ich
rownania stanu
xi(t) = fi(xi(t), vi(t), ui(t), t), t ∈ [t0, tf ] (i = 1, ..., N)
oraz ich rownania interakcji
vi(t) =N∑j=1
hij(xj(t), vj(t), uj(t), t), t ∈ [t0, tf ], (i = 1, ..., N).
14
Celem sterowania jest globalny zysk z prowadzenia procesu w
systemie z lozonym
N∑i=1
Qi(xi(t), vi(t), ui(t))dt,
gdzie Qi sa funkcjami zysku dla poszczegolnych podsystemow.
Definiujemy zmienne rozniczkowe stanu jako zmienne stanu
podsystemow xri (t).= xi(t) oraz zmienne algebraiczne jako zmienne
interakcyjne podsystemow xai (t).= vi(t). Model systemu z lozonego
zapisujemy jako uk lad rownan rozniczkowo-algebraicznych
xri (t) = fi(xri (t), x
ai (t), ui(t), t), t ∈ [t0, tf ] (i = 1, ..., N)
xai (t) =N∑j=1
hij(xrj(t), x
aj (t), uj(t), t), t ∈ [t0, tf ], (i = 1, ..., N).
Funkcja celu przybiera postac
N∑i=1
Qi(xri (t), x
ai (t), ui(t))dt.
Problem nie zawiera juz zmiennych interakcyjnych. Zosta ly one
zastapione algebraicznymi zmiennymi stanu. Problem przybra l
postac z lozonej optymalizacji rozniczkowo-algebraicznej (large scale
DAE optimization).
15
Przekszta lcanie i rozwiazywanie
rownan rozniczkowo-algebraicznych
Rownania rozniczkowo-algebraiczne mozna przekszta lcic do po-
staci rozniczkowej rozniczkujac rownanie algebraiczne i wyzna-
czajac pochodna zmiennej algebraicznej w funkcji pozosta lych
zmiennych:d
dtfa(xr(t), xa(t), u(t)) = 0⇒
∂fa
∂xr(t)xr(t) +
∂fa
∂xa(t)xa(t) +
∂fa
∂u(t)u(t) = 0⇒
xa(t) = −[∂fa∂xa
(t)]−1
(∂fa
∂xr(t)xr(t) +
∂fa
∂u(t)u(t)).
Takie przekszta lcenie jest zawsze mozliwe jesli macierz ∂fa
∂xa (t) jest
kwadratowa i nieosobliwa dla kazdego t ∈ [t0, tf ]. W tym przy-
padku jednokrotne rozniczkowanie rownania algebraicznego wy-
starcza do sprowadzenia modelu do postaci rozniczkowej. W
ogolnym przypadku trzeba wykonac wiele takich rozniczkowan,
gdyz macierz ∂fa
∂xa (t) moze byc osobliwa lub osobliwa dla niektorych
t ∈ [t0, tf ], lub tez moze ona byc macierza prostokatna.
Definicja: Najmniejsza liczba rozniczkowan rownania alge-
braicznego procesu pozwalajaca sprowadzic rownanie RA do po-
staci rozniczkowej nazywa sie indeksem rownania RA.
Rozwazany przypadek z nieosobliwa macierza ∂fa
∂xa (t) oznacza,
ze rownanie RA jest indeksu pierwszego. Okreslenie indeksu jest
stosowane do okreslania stopnia trudnosci rozwiazywania rownania
RA. Rownanie takie jest uwazane za tym trudniejsze, im wyzszy
jest jego indeks.
Do wyznaczania rozwiazan rownan rozniczkowo-algebraicznych
stosowana jest metoda Newtona w roznych wersjach. Wersje te
uogolniaja podstawowy wariant metody Newtona dla rozwiazywa-
16
nia nieliniowych rownan skalarnych f(x) = 0. Rownanie to line-
aryzujemy w punkcie poczatkowym x0
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)⇒ x− x0 = −(f ′(x0))−1f(x0).
Obliczamy nowe przyblizenie rozwiazania na podstawie jego line-
aryzacji w punkcie poczatkowym
x1 = x0 − (f ′(x0))−1f(x0).
Dokonujemy linearyzacji rownania w punkcie kolejnym x1
f(x1) + f ′(x1)(x− x1)⇒ x− x1 = −(f ′(x1))−1f(x1).
Obliczamy nowe przyblizenie rozwiazania
x2 = x1 − (f ′(x1))−1f(x1)...
Wynika stad iteracyjna metoda Newtona
xκ+1 = xκ − (f ′(xκ))−1f(xκ), κ = 0, 1, 2, ... .
Dla rownan z argumentem wektorowym x ∈ Rn pochodna
f ′(xκ) oznacza macierz Jacobiego, tj.
f ′(xκ) = (∂f(i)∂x(j)
(xκ))i,j=1,...,n,
gdzie obliczane sa pochodne czastkowe kolejnych sk ladowych rownania
f(i) wzgledem kolejnych sk ladowych argumentu x(i).
Metoda Newtona jest zbiezna jesli znane jest dobre przyblizenie
poczatkowe. Takie przyblizenie wyznaczane jest na podstawie mi-
nimalizacji kwadratowej
minx∈Rn
f 2(x).
17
Dla rownania posiadajacego rozwiazanie minimalna wartosc funk-
cji celu ostatniego problemu jest zerowa. Zastosowanie do tego
problemu np. gradientowego algorytmu optymalizacji pozwala
oszacowac jakosc osiagnietego przyblizenia.
W literaturze anglojezycznej numeryczne procedury rozwiazy-
wania rownan rozniczkowych okreslane sa mianem ODE Solvers,
a rownan rozniczkowo-algebraicznych mianem DAE Solvers. Sto-
suja one dyskretyzacje czasu
t0 < t1 < ... < tk−1 < tk < ... < tf
z d lugoscia kroku hk = tk − tk−1. Proste jednokrokowe proce-
dury tego rodzaju stosuja jawna aproksymacje Eulera dla rownan
rozniczkowych
x(tk)− x(tk−1)
hk− f(x(tk−1), u(tk−1), tk−1) = 0, k = 1, 2, ...,
gdzie k jest numerem iteracji. Tak wiec pochodna aproksymu-
jemy lewostronnym ilorazem roznicowym. Przy zadanym stanie
poczatkowym x(t0) wyznaczamy stan x(t1) z jawnej aproksyma-
cji. Znajac x(t1) w podobny sposob wyznaczamy x(t2) itd. Taka
procedura jest ma lo dok ladna i moze byc praktyczna dla bar-
dzo prostych rownan. Celem uzyskania dok ladniejszych wynikow
stosujemy niejawna (wsteczna) aproksymacje Eulera dla rownan
rozniczkowych
x(tk)− x(tk−1)
hκ− f(x(tk), u(tk), tk) = 0, k = 1, 2, ...,
Przy zadanym stanie poczatkowym x(t0) wyznaczamy stan x(t1)
rozwiazujac rownanie aproksymujace tego stanu metoda New-
tona. Znajac x(t1) w podobny sposob wyznaczamy x(t2) itd.
Dla rownan rozniczkowo-algebraicznych jawna aproksymacja
18
Eulera przybiera postac
xr(tk)− xr(tk−1)hk
−f r(xr(tk−1), xa(tk−1), u(tk−1), tk−1) = 0, k = 1, 2, ...
fa(xr(tk−1), xa(tk−1), u(tk−1), tk−1) = 0, k = 1, 2, ....
W momencie poczatkowym wyznaczamy stan algebraiczny xa(t0)
zgodny z zadanym poczatkowym stanem rozniczkowym xr(t0).
Ogolnie biorac wykorzystujemy w tym celu metode Newtona.
Nastepnie okreslamy x(t1) z jawnej aproksymacji rownania roznicz-
kowego. Postepowanie to powtarzamy dla k = 2, 3....
Celem uzyskania dok ladniejszych wynikow stosujemy niejawna
(wsteczna) aproksymacje Eulera dla rownan rozniczkowo-algebra-
icznych
xr(tk)− xr(tk−1)hk
= f r(xr(tk), xa(tk), u(tk), tk), k = 1, 2, ...
fa(xr(tk), xa(tk), u(tk), tk), k = 1, 2, ....
Rownania RA rozwiazujemy lacznie metoda Newtona wzgledem
lacznego stanu (xr(tk), xa(tk)). Oczywiscie takie postepowanie
daje sie zrealizowac przy spe lnieniu odpowiednich warunkow dla
realizowalnosci metody Newtona (dostatecznie dobre przyblizenia
poczatkowe, odwracalnosc macierzy Jacobiego).
Metody wielokrokowe stosuja dodatkowa dyskretyzacje czasu
pomiedzy punktami tk−1 i tk z drobnym krokiem hkl.= tkl− tk−1,l
tk−1 = tk−1,0 < tk−1,1 < tk−1,2 < ... < tk−1,l < ... < tk−1,m < tk.
Jawna wielokrokowa metoda aproksymacji rownania rozniczkowego
wyznacza wartosc xr(tk) na podstawie znajomosci
xr(tk−1) oraz wielu wartosci posrednich xr(tk−1,l)
xr(tk) = xr(tk−1) +m∑l=1
hklφkl, n = 1, 2, ...,
19
φkl.= f r(xr(tk−1,l), u
r(tk−1,l), tk−1,l), l = 1, 2, ...,m,
gdzie posrednie wartosci stanu rozniczkowego obliczane sa w punk-
tach tk−1,l
xr(tk−1,l) = xr(tk−1) + hklφk,l−1, l = 1, 2, ...,m.
W szczegolnosci zak ladajac m = 4 uzyskujemy przy pew-
nym wyborze drobnych krokow hkl szeroko stosowana metode
Rungego-Kutty czwartego rzedu dla numerycznego rozwiazywania
nieliniowych rownan rozniczkowych.
Jawna wielokrokowa metoda aproksymacji rownania rozniczkowo-
algebraicznego wyznacza wartosc xr(tk) na podstawie znajomosci
xr(tk−1) oraz wielu wartosci posrednich stanu rozniczkowego
xr(tk−1,l) i algebraicznego xa(tk−1,l)
xr(tk) = xr(tk−1) +m∑l=1
hklφkl, k = 1, 2, ...,
φkl.= f r(xr(tk−1,l), x
a(tk−1,l), ur(tk−1,l), tk−1,l), l = 1, 2, ...,m,
gdzie porednie wartosci stanu rozniczkowego i stanu algebraicz-
nego obliczane sa w punktach tk−1,l
xr(tk−1,l) = xr(tk−1) + hklφk,l−1,
φk,l−1.= f r(xr(tk−1,l−1), x
a(tk−1,l−1, ur(tk−1,l−1), tk−1,l−1),
fa(xr(tk−1,l−1), xa(tk−1,l−1, u
r(tk−1,l−1), tk−1,l−1) = 0,
l = 1, 2, ...,m.
Rownanie algebraiczne rozwiazywane jest wzgledem xa(tk−1,l−1)
przy zadanym xr(tk−1,l−1). Mozna wiec powiedziec, ze ostatnia
metoda jest po ljawna. Jawne i po ljawne metody wielokrokowe
daja dobre wyniki dla szerokiej klasy rownan rozniczkowych stanu
i rownan rozniczkowo-algebraicznych stanu.
20
W niejawnych metodach wartosci posrednie zmiennych stanu
wyznaczane sa w rezultacie lacznego rozwiazywania niejawnych
rownan rozniczkowych i algebraicznych wzgledem lacznego ar-
gumentu (xr(tk−1,l), xa(tk−1,l)) obejmujacego stan rozniczkowy i
algebraiczny
xr(tk−1,l) = xr(tk−1) + hklφk,l,
φk,l.= f r(xr(tk−1,l), x
a(tk−1,l, ur(tk−1,l), tk−1,l),
fa(xr(tk−1,l), xa(tk−1,l, u
r(tk−1,l), tk−1,l) = 0, l = 1, 2, ...,m.
Metody takie moga dawac bardzo dok ladne wyniki. Wyma-
gaja jednak duzego nak ladu obliczen. Stosowane sa m.in. do
rozwiazywania tzw. sztywnych uk ladow rozniczkowo-algebraicznych
o ma lo stabilnych przebiegach.
Numeryczne procedury typu ODE Solver i DAE Solver sa
zawarte w uniwersalnych programach obliczeniowych takich jak
MATLAB i MATHEMATICA. Istnieje takze wiele zaawansowa-
nych wersji tych procedur powiazanych z metodami optymaliza-
cji np. program MUSCOD. Szerokie omowienie takich procedur
prezentuja w swoich monografiach Biegler i Betts. Pozwalaja one
rozwiazywac problemy typu DAE Optimization z dziesiatkami, a
nawet setkami tysiecy zmiennych.
21
Singularne modele procesow sterowania
Modele rozniczkowo-algebraiczne procesow sterowania sa szcze-
golnym przypadkiem modeli singularnych. Niech bedzie dany
rozniczkowo-algebraiczny model procesu sterowania
xr(t) = f r(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, tf ], xr(t0) = xr0,
fa(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t) = 0, t ∈ [t0, tf ].
Zestaw stanu rozniczkowego i algebraicznego zapisywany jest w
postaci stanu uogolnionego procesu
x(t) =
(xr(t)
xa(t)
).
Niech funkcja f ma w charakterze sk ladowych prawe strony
rownania rozniczkowo-algebraicznego
f(x(t), u(t), ξ(t), t) =
(f r(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t)
fa(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t)
)
i niech macierz E przyjmuje postac osobliwa
E =
(I O1
O2 O3
),
przy czym I jest macierza jednostkowa o wymiarach nxr × nxr ,
zas zerowe macierze O1, O2 i O3 maja wymiary odpowiednio
nxr×nxa, nxa×nxr i nxa×nxa. Rownanie rozniczkowo-algebraiczne
procesu mozna przepisac w rownowaznej postaci singularnej
Ex(t) = f(x(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, tf ].
22
Ogolne singularne modele sa charakterystyczne dla elektrycz-
nych i elektronicznych uk ladow sterowania, dla uk ladow ze sprze-
zeniem zwrotnym i dla uk ladow z lozonych. Macierz E nie musi
miec struktury zero-jedynkowej zwiazanej z modelami rozniczkowo-
algebraicznymi. Osobliwosc macierzy E moze oznaczac, ze model
uk ladu przybiera postac, ktora nie jest rozwik lywalna wzgledem
pochodnych. Model taki nazywany jest tez uwik lanym modelem
procesu sterowania.
Niech bedzie dany obwod elektryczny ze zrod lem napiecia e(t),
rezystancja R, kondensatorami C1 i C2 oraz z indukcyjnoscia L.
Sk lada sie on z dwoch szeregowo po laczonych podobwodow RLC1
oraz C1eC2. Zmiennymi stanu uogolnionego sa napiecia U1(t)
i U2(t) na kondensatorach oraz natezenie pradu I(t) w induk-
cyjnosci. Sterowaniem jest napiecie zrod lowe e(t). Wyjsciem jest
napiecie U2(t) na kondensatorze C2.
obwod elektryczny RLC1eC2
�R I1(t) I2(t)-©
L e(t)
C1 C2
aaa=6 6U1(t) = U2(t)
Na podstawie praw Kirchhoffa zapisujemy rownania dla podo-
bwodow
RI(t) + LI(t) + U1(t) = 0,
U1(t) + e(t)− U2(t) = 0,
C1U1(t) + C2U2(t)) = I(t).
23
Rownania te zapisujemy w postaci rownowaznej0 0 L
C1 C2 0
0 0 0
U1(t)
U2(t)
I(t)
=
−1 0 −R0 0 1
1 −1 0
U1(t)
U2(t)
I(t)
+
0
0
1
e(t)
Macierz pojawiajaca sie przy wektorze stanu uogolnionego jest
osobliwa, lecz nie ma struktury zero-jedynkowej charakterystycz-
nej dla uk ladow rozniczkowo-algebraicznych. Odzwierciedla ona
uwik lane rownania zmiennych stanu uogolnionego w rozpatrywa-
nym obwodzie elektrycznym.
Oznaczamy zmienne stanu uogolnionego jako
x1(t) = U1(t), x2(t) = U2(t), x3(t) = I(t),
wektor stanu uogolnionego jako
x(t) =
x1(t)
x2(t)
x3(t)
,
sterowanie jako u(t) = e(t), a macierze uogolnionego rownania
stanu jako
E =
0 0 L
C1 C2 0
0 0 0
, A =
−1 0 −R0 0 1
1 −1 0
, B =
0
0
1
.
Zapisujemy model rozpatrywanego uk ladu w postaci liniowego
singularnego rownania stanu
Ex(t) = Ax(t) +Bu(t),
w ktorym detE = 0.
Innym zrod lem uk ladow singularnych sa uk lady z uogolnionym
sprzezeniem zwrotnym. W przypadku podstawowym rownania
24
uk ladu ze sprzezeniem zwrotnym maja postac
x(t) = Ax(t) +Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = Ky(t),
co prowadzi do rownania zamknietego uk ladu sterowania
x(t) = (A+BKC)x(t).
Sterowanie jest ca lkowicie eliminowane przez sprzezenie zwrotne.
Jesli natomiast wprowadzane jest nowe sterowanie zewnetrzne
v(t) , a sprzezenie zwrotne zalezy nie tylko od wyjscia obiektu
lecz takze od jego pochodnej przyspieszajacej dzia lanie uk ladu,
to rownania uk ladu przybieraja postac
x(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = v(t)−K1y(t)−K2y(t).
Prowadzi to do rownania zamknietego uk ladu sterowania
(I +BK2C)x(t) = (A−BK1C)x(t)
lub
Ex(t) = (A−BK1C)x(t), E.= I +BK2C.
Jezeli
detE = det(I +BK2C) = 0,
to uk lad zamkniety staje sie singularnym uk ladem sterowania.
Rozwazane sa rowniez singularne uk lady sterowania z czasem
dyskretnym. Moga one byc bezposrednim wynikiem modelowania
uk ladu funkcjonujacego z pewnym taktem zmiennosci (okresem
zmiennosci) lub moga byc wynikiem dyskretyzacji uk ladu singu-
larnego z czasem ciag lym.
Liniowe singularne uk lady sterowania modelowane sa za po-
moca rownan
Ex(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), k = k0, k0 + 1, k0 + 2, ....
25
Przyk ladem singularnego modelu procesu sterowania w dziedzinie
ekonomii jest model Leontiefa N -sektorowego procesu produkcyj-
nego spe lniajacego rownanie dynamiki
x(k) = Fx(k) + E(x(k + 1)− x(k)) + u(k), k = 0, 1, ...,
gdzie wektor
x(k) = (xT1 (k), xT2 (k), ..., xTN(k))T
opisuje poziomy produkcji w poszczegolnych sektorach w okresie
k-tym (miesiac, kwarta l, rok) w jednostkach monetarnych, ma-
cierz F opisuje nak lady na biezaca produkcje, macierz E opisuje
nak lady na rozwoj produkcji w poszczegolnych sektorach, a wek-
tor
u(k) = (uT1 (k), uT2 (k), ..., uTN(k))T
oznacza zewnetrzne zapotrzebowanie. Uzyskujemy stad po pro-
stych przekszta lceniach rownanie singularnego procesu sterowania
Ex(k + 1) = (I + E − F )x(k)− u(k), k = 0, 1, ...,
gdyz macierz miedzysektorowych przep lywow kapita lowych E jest
w wielu przypadkach osobliwa detE = 0 (macierz E ma z regu ly
wiele elementow zerowych poniewaz kapita l rozwoju produkcji po-
chodzi zwykle tylko z niektorych sektorow).
Bardzo ogolny opis uk ladu sterowania w nieliniowej postaci
uwik lanej wzgledem pochodnych okreslany jest mianem rownania
deskryptorowego
f(x(t), x(t), u(t), t) = 0,
a uogolniony stan uk ladu nazywany jest deskryptorem uk ladu.
26