Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

MECATRONICA IX

ROBOTICA II

Calculo del momento de inercia de un eslabón.Responsable de la asignatura: Dr. Miguel Gabriel Villarreal Cervantes

Alumno: Rodríguez Ramírez Juan de DiosGrupo: 9MV1

México, D.F. 28 de agosto 2010.

Part I

Desarrollo:0.1 Centro de masa:

Para calcular el centro de masa, se divide el eslabón en 12 segmentos, con la siguiente ecuación se puede determinarel centro de masa en Y y en X, siempre y cuando la densidad de masa sea constante por unidad de área:

ATYT =nXi=1

AiYi; ATXT =nXi=1

AiXi;

y1 = 10:625� 2 1:253 = 9: 791 666 7y2 = 10:625� 2 1:253 = 9: 791 666 7

y in x in �area in2

y1 = 9: 791 666 7 x1 = 0:833 333 33 A1 = 0:78125y2 = 9: 791 666 7 x2 = 2: 166 666 7 A2 = 0:78125y3 = 0:833 333 33 x3 = 0:833 333 33 A3 = 0:78125y4 = 0:833 333 33 x4 = 2: 166 666 7 A4 = 0:78125y5 = 10:0 x5 = 1:5 A5 = 0:625y6 = 0:625 x6 = 1:5 A6 = 0:625y7 = 8:75 x7 = 1:5 A7 = 3:75y8 = 2 x8 = 1:5 A8 = 4:5y9 = 5: 437 5 x9 = 0:1875 A9 = 2:015625y10 = 5: 437 5 x10 = 2:8125 A10 = 2:015625y11 = 9:375 x11 = 1:5 A11 = �0:604072y12 = 1:375 x12 = 1:5 A12 = �0:92459035

para obtener el área total se suman todas las áreas:AT = A1 +A2 +A2 +A4 +A5 +A6 +A7 +A8 +A9 +A10 +A11 +A12 = 15: 127 588 in

2

y se obtiene que el área total es AT = 15: 127 588 in2

la placa tiene un espesor de 0:375 in por lo tanto el volumen total es de:AT � 0:375 = 15: 127 588 � 0:375 = 5: 672 845 5 in3 = 5: 672 845 5 � 25:43 = 92961: 282 mm3

si el material es de aluminio�� = 2700 kgm3

�la masa de todo el eslabón es de:

m=2:7� 10�6 � 92961: 282 = 0:250 995 46 kg

y el centro de masa es:AT �xT = A1 �x1+A2 �x2+A3 �x3+A4 �x4+A5 �x5+A6 �x6+A7 �x7+A8 �x8+A9 �x9+A10 �x10+A11 �x11+A12 �x12 =

22: 691 382xT= 22: 691 382

15: 127 588 = 1: 5 inAT �yT = A1 �y1+A2 �y2+A3 �y3+A4 �y4+A5 �y5+A6 �y6+A7 �y7+A8 �y8+A9 �y9+A10 �y10+A11 �y11+A12 �y12 =

80: 040 123yT = 80: 040 123

15: 127 588 = 5: 291 003 6 in

yT = 5: 291 003 6 in xT = 1: 5 inyT = 134: 391 49 mm xT = 38: 1 mm

2

1 Calculo de Momento de inercia:

Por de�nición el momento de inercia de un material se de�ne como I =Rmr2dm donde r es la distancia que existe

entre el centro de giro y el diferencial de masa, si se supone un objeto de 3 dimenciones, en coordenadas cartesianasse obtiene lo siguiente:

IX =R �y2 + z2

�dm si se gira sobre el eje x

IY =R �x2 + z2

�dm si se gira sobre el eje y

IZ =R �x2 + y2

�dm si se gira sobre el eje z

De manera general, si el cuerpo rota sobre el eje "o" se tiene que:

Io =

Z �x2 + y2 + z2

�dm

Para el caso particular cuando el eslabón tiene una distribución lineal por unidad de área constante, debido ala simetría del cuerpo se puede analizar al elemento como si no tuviera espesor, por lo que se pueden hacer lassiguientes simpli�caciones:

IX =R �y2 + z2

�dm =

Ry2dm+

Rz2dm

pero se sabe queRz2dm = 0 por lo tanto:

IX =

Zy2dm

IY =

Zx2dm

IZ =R �x2 + y2

�dm =

Rx2dm+

Rx2dm

IZ = IX + IY

Se puede asignar una distribución de masa lineal en función del área, debido a que el espesor de todo el materiales constante, y también la densidad:I =

Rmr2dm =

Rmr2��areadA = ��area

Rmr2dA; donde

Rmr2dA es el momento de inercia de un área.

para el teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos:

IX =nXi=1

(Ii +mid2i ) ! IX =

nXi=1

(Ii + ��areaAid2i ) ! IX = ��area

nXi=1

(I�area i +Aid2i )

1.1 Para la densidad

Se sabe que la densidad del aluminio es aproximadamente de 2700Kg

m3; también se conoce el espesor del eslabón,

por lo que se puede asignar una densidad lineal a cada in2 del eslabón.

�Al = 2700Kg

m3= 2700 �

�2:54�10�2

1

�3= 4: 424 507 3� 10�2 kgin3 el espesor de la placa de aluminio es de 0:375

inMultiplicando el espesor con la densidad del aluminio se obtiene la densidad lineal de masa por unidad de área:

��areaAl = 4: 424 507 3� 10�2 kgin3 � 0:375in = 1: 659 190 2� 10�2 kg

in2Así se podrán utilizar las formulas de momentos de área para realizar los cálculos, y posteriormente multiplicarlos

por la densidad correspondiente.

3

1.2 Para el eje X:

Calculando los momentos de inercia de cada una de las áreas se tienen los siguientes resultados:I1 = 6: 781 7� 10�2 I2 = 6: 781 7� 10�2 I3 = 6: 781 7� 10�2I4 = 6: 781 7� 10�2 I5 = 8:13802083� 10�2 I6 = 8:13802083� 10�2I7 = 0:48828125 I8 = 0:84375 I9 = 4:852722I10 = 4:852722 I11 = 2:90381� 10�2 I12 = 6:8028179� 10�2y para aplicar el teorema de los ejes paralelos se calcula la distancia de los centroides de cada una de las �guras

hacia el centro de masa:y1 � yT =d1 = 4: 500 663 1 y2 � yT =d2 = 4: 500 663 1 y3 � yT=d3 = �4: 457 670 3y4 � yT =d4 = �4: 457 670 3 y5 � yT =d5 = 4: 708 996 4 y6 � yT =d6 = �4: 666 003 6y7 � yT=d7 = 3: 458 996 4 y8 � yT =d8 = �3: 291 003 6 y9 � yT =d9 = 0:146 496 4y10 � yT = d10 = 0:146 496 4 y11 � yT =d11 = 4: 083 996 4 y12 � yT =d12 = �3: 916 003 6�nalmente se sustituyen los valores:

Ix�area =12Xi=1

(Ii + Aid2i ) = A1d

21 + A2d

22 + A3d

23 + A4d

24 + A5d

25 + A6d

26 + A7d

27 + A8d

28 + A9d

29 + A10d

210 +

A11d211 +A12d

212 + I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 + I8 + I9 + I10 + I11 + I12 = 171: 171 22 in

4

el momento de inercia de el material en el eje X es de:171: 171 22 � 1: 659 190 2� 10�2 = 2: 840 056 1Ix = ��areaAl�Ix�area = 1: 659 190 2�10�2

kg

in2�171: 171 22 in4 = 2: 840 056 1 kg�in2�25:42 mm2

in2 = 1832: 290 6 kg �mm2

1.3 Para el eje Y:

Calculando los momentos de inercia de cada una de las áreas se tienen los siguientes resultados:

I1 = 6: 781 7� 10�2 I2 = 6: 781 7� 10�2 I3 = 6: 781 7� 10�2I4 = 6: 781 7� 10�2 I5 = 1: 302 083 3� 10�2 I6 = 1: 302 083 3� 10�2I7 = 2: 812 5 I8 = 3: 375 I9 = 2: 362 060 5� 10�2I10 = 2: 362 060 5� 10�2 I11 = �2:90381� 10�2 I12 = �6:8028179� 10�2y para aplicar el teorema de los ejes paralelos se calcula la distancia de los centroides de cada una de las �guras

hacia el centro de masa:d1 = x1 � xT = �0:666 666 67 d2 = x2 � xT = 0:666 666 7 d3 = x3 � xT = �0:666 666 67d4 = x4 � xT = 0:666 666 7 d5 = x5 � xT = 0:0 d6 = x6 � xT = 0:0d7 = x7 � xT = 0:0 d8 = x8 � xT = 0:0 d9 = x9 � xT = �1: 312 5d10 = x10 � xT = 1: 312 5 d11 = x11 � xT = 0:0 d12 = x12 � xT = 0:0

Iy�area =

12Xi=1

(Ii+Aid2i ) = A1d

21+A2d

22+A3d

23+A4d

24+A5d

25+A6d

26+A7d

27+A8d

28+A9d

29+A10d

210+A11d

211+

A12d212 + I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 + I8 + I9 + I10 + I11 + I12 = 14: 768 332 in

4

el momento de inercia de el material en el eje Y es de:

Iy = ��areaAl � Iy�area = 1: 659 190 2� 10�2 � 14: 768 332 = 0:245 034 72 kg � in2 = 158: 086 60kg �mm2

1.4 Para el eje Z

Por de�nición, basta con hacer la suma de los momentos de inercia de Ix + IyIz = Ix + Iy; Iz = 1832: 290 6 kg �mm2 + 158: 086 60 kg �mm2 = 1990: 377 2 kg �mm2

1.5 Comprobación con SolidWorks

Se dibujo la pieza en solidworks, se puede observar que los parámetros que se calcularon son muy aproximados alos que aparecen en la imagen.

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