7. การหาอนุพันธและอินทิกรัล โดยวิธีการวิเคราะหเชิงตัวเลข 7.1 การอินทิเกรตเชิงตัวเลข (Numerical Integration)

ถาเราไมสามารถหาปฏิยานุพันธของ f ได เราก็จะไมสามารถหา ∫b

a

xf )( โดยใชทฤษฏีหลัก

มูลของอินทิกรัลได แตอยางไรก็ตามเราสามารถหาคาการประมาณของอินทิกรัลไดดังตอไปนี้ 7.1.1 การหาคาประมาณโดยใชกฎสี่เหลี่ยมคางหมู (Approximations by the Trapezoidal rule)

แบงชวง ],[ ba ออกเปน n ชวงยอยเทาๆ กัน แตละชวงกวาง n

abx −=Δ จะได

bxxnax

xaxxax

ax

n

n

=Δ++=

Δ+=Δ+=

=

+ )1(::

2

1

2

1

0

โดยใชสูตรการหาพื้นที่ส่ีเหลียมคางหมูคือ

×21 ผลบวกของดานคูขนาน × สูง

จะไดพื้นที่ในชวงยอยที่ i + 1 โดยประมาณคือ

))](()([21

111 iiiii xxxfxfA −+≈Δ +++

xxfxf ii Δ+≈ + )]()([21

1

เมื่อรวมพื้นที่ทั้งหมด n ชวงยอย จะไดพื้นที่โดยประมาณคือ

xxfxfxfxfxfxfA nn Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

++

≈ −

2)()(...

2)((

2)()( 12110

นั่นคือ

( )2

)()(2...)(2)(2)()( 1210xxfxfxfxfxfdxxf nn

b

a

Δ+++++≈ −∫

เมื่อ n

abx −=Δ

สูตร การหาคาประมาณอินทิกรัลโดยกฎสี่เหี่ยมคางหมู

( ))()(2...)(2)(2)(2

)( 1210 nn

b

a

xfxfxfxfxfnabdxxf +++++

−≈ −∫

ถา )(xf ′′ เปนฟงกชันตอเนื่อง และ )(xfM ′′≥ สําหรับทุกๆ x บน ],[ ba แลว จะไดวา ความคลาดเคลื่อน TE ของการประมาณโดยวิธีนี้จะสอดคลองอสมการ

2

3

12)(n

MabET−

≤

ตัวอยาง 7.1 จงหาคา ∫2

1

1 dxx

โดยใชกฎสี่เหล่ียมคางหมู

วิธีทํา ใหแบงชวง ]2,1[ ออกเปน 10 ชวงยอย, n = 10 ความกวางแตละชวงยอย

1.010

12=

−=

−=

nab

1)(,1 00 == xfx

6250.0)(,6.16667.0)(,5.1

7143.04.1

1)(,4.1

7692.03.1

1)(,3.1

8333.02.1

1)(,2.1

9091.01.1

1)(,1.1

66

55

44

33

22

11

====

===

===

===

===

xfxxfx

xfx

xfx

xfx

xfx

5000.0)(,0.25263.0)(,9.15556.0)(,8.15882.0)(,7.1

1010

99

88

77

========

xfxxfxxfxxfx

]5000.0)5263.0(2)5556.0(2)5882.0(2

)6250.0(2)6667.0(2)7143.0(2)7692.0(2)8333.0(2)9091.0(21[21.012

1

+++

+++++++≈∫ dxx

69377.0≈

หมายเหตุ คาอินทิกรัล 693147.0212

1

≈=∫ ndxx

l

จะไดวาจากตัวอยาง คาอินทิกรัลที่ไดมีความแมนยําถึงทศนิยมตําแหนงที่ 3 ตัวอยาง 7.2 ในการขับรถตามถนนในเมืองแหงหนึ่ง เครื่องจับความเร็ว อานความเร็วทุก ๆ นาที ระหวางชวง 5 นาที ดังนี้ เวลา (นาที) ความเร็ว (ไมลตอช่ัวโมง) 0 33 1 32 2 28 3 30 4 32 5 35

คือ เมื่อเร่ิมตนจับความเร็ว เครื่องจับความเร็วอานได 33 หลังจาก 1 นาทีอานได 32 และตอๆไป จงใชขอมูลนี้ประมาณระยะทางที่ขับรถไดในชวง 5 นาทีนี้ วิธีทํา ให )(ts แทนระยะทางที่เดินทางในเวลา t

ระยะทางในชวง 5 นาที (121 ช่ัวโมง) คือ )

121(s

เมื่อ ∫==t

tvtstvdt

tds

0

)()(,)()(

)0()121()()(

0

121121

0

sstsdttv −==∫

)121(s=

เราไมสามารถหาคา dttv∫121

0

)( ไดโดยตรง เพราะวาเรารูคา )(tv เมื่อ t = 0 ,

605,

604,

603,

602,

601 ช่ัวโมง แตจะใชกฎสี่เหล่ียมคางหมูดังนี้

ให 601,5 =

−=

nabn จะได

605,

604,

603,

602,

601,0 543210 ====== tttttt

35)(,32)(,30)(,28)(,32)(,33)( 543210 ====== tvtvtvtvtvtv

]35)32(2)30(2)28(2)32(233[1201)(

121

0

+++++≈∫ dttv

6.2≈ นั่นคือ ระยะทางที่เดินทางในชวง 5 นาทีนี้ประมาณ 2.6 ไมล 7.1.2 การหาคาประมาณโดยใชกฎของซิมปสัน (Approximations by Simpson ‘ s rule) การใชกฎของซิมปสันทํานองเดียวกับกฎสี่เหล่ียคางหมู และมีความแมนยํามากกวา กฎของซิมปสันนี้บางครั้งจะถูกเรียกวา กฎพาราโบลิก (Parabolic rule) ทั้งนี้เนื่องจากแนวความคิดเบื้องตนเริ่มจากการประมาณสวนหนึ่งของกราฟ )(xfy = ดวยโคงพาราโบลา ซ่ึงมีสมการในรูปแบบ

cbxaxy ++= 2

เพื่อใหงายในการอธิบายกฎของซิมปสัน จะสมมติให 0)( ≥xf บนชวง ],[ ba และจะ

ตีความหมายของ ∫b

a

dxdxf )( เปนพื้นที่ อยางไรก็ตามวิธีนี้ยังคงเปนไปไดโดยไมมีเงื่อนไข

ใดๆ หัวใจของกฏของซิมปสัน คือ

)1.....().........4(3 210 yyyxA ++Δ

=

ซ่ึงเปนพื้นที่ภายใตกราฟ cbxaxy ++= 2 ในชวงความกวาง xΔ2 ดังรูป ซ่ึงพิสูจนกฏไดดังนี้

รูปที่ 1

ถากราฟ cbxaxy ++= 2 ผาน 3 จุด ),0(,),( 10 yyxΔ− และ ),( 2yxΔ จะได

cxbxay

cycxbxay

+Δ+Δ=

=+Δ−+Δ−=

)()(

)()(

22

1

20

)2.......(..........⎪⎭

⎪⎬

⎫

จากรูป (1.a) จะได

x

xx

x

cxbxaxdxcbxaxΔ−

ΔΔ

Δ−

++=++∫ 23)(

232

]6)(2[3

2 cxax+Δ

Δ=

จากสมการ (2) cxayyy 6)(24 2

210 +Δ=++ ดังนั้น

)4(3

)( 2102 yyyxdxcbxax

x

x

++Δ

=++∫Δ

Δ−

ในทํานองเดียวกัน เมื่อพิจารณารูป (1.b) ก็จะได

)3.........().........4(3

)( 2102

2

0

yyyxdxcbxaxx

x

++Δ

=++∫

กฎของซิมปสัน ถา เปนฟงงกชันที่ตอเนื่องในชวง ถา n เปนเลขจํานวนเต็มคูและแบง ออกเปน n สวนยอยๆ ดังรูป (2) จะได

รูปที่ 2 จากรูปที่ (2) จะได

[ ] )4.........()()(4)(2...)(4)(2)(4)(3

)( 123210∫ +++++++−

≈ −−

b

annn xfxfxfxfxfxfxf

nabdxxf

พิสูจน ให n

abx −=Δ และถา n เปนเลขคู จะได

∫∫∫∫∫∫−

−

−

+++++=n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

b

a

dxdxfdxdxfdxdxfdxdxfdxdxfdxdxf2

2

4

6

4

4

2

2

0

)()(...)()()()(

แตละอินทิกรัล ∫+2

)(i

i

x

x

dxdxf

ประมาณดวยพื้นที่ภายใตกราฟพาราโบลา ซ่ึงผานจุด 3 จุด คือ ))(,(,))(,( 11 ++ iiii xfxxfx และ ))(,( 22 ++ ii xfx ดังนั้นจะได

)]()(4)([3

)( 210

2

0

xfxfxfxdxdxfx

x

++Δ

≈∫

)]()(4)([3

)( 432

4

2

xfxfxfxdxdxfx

x

++Δ

≈∫

: : : : : :

)]()(4)([3

)( 234

2

4

−−− ++Δ

≈∫−

−

nnn

x

x

xfxfxfxdxdxfn

n

)]()(4)([3

)( 12

2

nnn

x

x

xfxfxfxdxdxfi

i

++Δ

≈ −−∫+

เมื่อรวมอินทิกรัลทุกชวง จะไดสมการ (4) สูตร การหาคาประมาณอินทิกรัลโดยใชกฎของซิมปสัน คือ

)5......(....................)]........()(4)(2

...)(4)(2)(4)([3

)(

12

3210

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfxfnabdxxf

++

+++++−

≈

−−

∫

เมื่อ n เปบเลขจํานวนเต็มคู ถา )()4( xf เปนฟงกชันตอเนื่อง และ )()4( xfM ≥ สําหรับทุกๆ x บน [a , b]

แลวจะไดวา ความคลาดเคลื่อน sE เมื่อใชกฎของซิมปสันและสอดคลองกับสมการ

4

5

180)(n

MabEs−

≤

ตัวอยาง 7.3 จงประมาณคา ∫2

1

1 dxx

โดยใชกฎของซิมปสัน เมื่อให n=10

วิธีทํา 1.010

12=

−=

−n

ab

จากกฎของซิมปสัน สมการ (5) จะได

)]2()9.1(4)8.1(2)7.1(4)6.1(2

)5.1(4)4.1(2)3.1(4)2.1(2)1.1(4)1([31.0)(

2

1

fffff

ffffffdxxf

+++++

+++++≈∫

]5000.0)5263.0(4)5556.0(2)5882.0(4)6250.0(2

)6667.0(4)7143.0(2)7692.0(4)8333.20)9091.0(41[301)(

2

1

+++++

+++++≈∫ dxxf

69315.0)7944.20(301

≈≈

เมื่อเปรียบเทียบกับการประมาณโดยใชกฎสี่เหล่ียมคางหมูดังตัวอยางที่ 1.1.1 จะเห็นไดวา การประมาณโดยใชกฎของซิมปสันแมนยํากวา 7.1.3 สูตรอินทิเกรตของนิวตัน-โคตส

สูตรของการอินทิเกรต เร่ิมตนจากการใชกฎสี่เหล่ียมคางหมู กฎของซิมปสัน รวมทั้งสูตรอื่น ๆ ที่เราสามารถสรางขึ้นไดโดยใชฟงกขันพหุนามของลากรองจที่มีอันดับสูงขึ้นเรื่อยๆ สูตร

เหลานี้ตางอยูใน family ของสูตรการอินทิเกรตแบบนิวตัน-โคตส (Newton-Cotes) ซ่ึงสามารถสรุปไดดังนี้

1. 1=n ชวง ซ่ึงประกอบดวย 2 จุด เรียกวากฎสี่เหล่ียมคางหมู

)]()([2

)(10 xfxfab

+−

=Ι

คาความผิดพลาด )()12/1( )2(3 ξfh−= โดย abh −= 2. 2=n ชวง ซ่ึงประกอบดวย 3 จุด เรียกวากฎเศษหนึ่งสวนสามของซิมปสัน

)]()(4)([6

)(210 xfxfxfab

++−

=Ι

คาความผิดพลาด )()90/1( )4(5 ξfh−= โดย 2/)( abh −= 3. 3=n ชวง ซ่ึงประกอบดวย 4 จุด เรียกวากฎเศษสามสวนแปดของซิมปสัน

)]()(3)(3)([8

)(3210 xfxfxfxfab

+++−

=Ι

คาความผิดพลาด )()80/3( )4(5 ξfh−= โดย 3/)( abh −= 4. 4=n ชวง ซ่ึงประกอบดวย 5 จุด เรียกวากฎของบูล (Bool’ s rule)

)](7)(32)(12)(32)(7[90

)(43210 xfxfxfxfxfab

++++−

=Ι

คาความผิดพลาด )()945/8( )6(7 ξfh−= โดย 4/)( abh −= 5. 5=n ชวง ซ่ึงประกอบดวย 6 จุด

)](19)(75)(50)(50)(75)(19[288

)(543210 xfxfxfxfxfxfab

+++++−

=Ι

คาความผิดพลาด )()12096/275( )6(7 ξfh−= โดย 5/)( abh −= 6. 6=n ชวง ซ่ึงประกอบดวย 7 จุด

)](41)(216

)(27)(272)(27)(216)(41[840

)(

65

43210

xfxf

xfxfxfxfxfab

++

++++−

=Ι

คาความผิดพลาด )()1400/9( )8(9 ξfh−= โดย 6/)( abh −= 7. 7=n ชวง ซ่ึงประกอบดวย 8 จุด

)](751)(3577)(1323

)(2989)(2989)(1323)(3577)(751[17280

)(

765

43210

xfxfxf

xfxfxfxfxfab

+++

++++−

=Ι

คาความผิดพลาด )()518400/8123( )8(9 ξfh−= โดย 7/)( abh −=

ถึงแมวาการใชสูตรของนิวตัน-โคดสที่ประกอบดวยหลายชวงและจํานวนจุดมากขึ้นจะสามารถใหคาผลลัพธจากการอินทิเกรตใหมีความเที่ยงตรงสูงมากตามขึ้นไป แตสูตรที่ประกอบดวยหลายชวงดังกลาวกลับแทบไมไดใชกันในทางปฏิบัติ ดังนั้นกฎสี่เหล่ียมคางหมูและกฎของซิมปสันจึงเปนที่นิยมใชกันมากกวา

7.1.4 การหาคาอินทิกรัลแบบรอมเบิรก การหาคาอินทิกรัลแบบรอมเบิรก มีหลักการโดยภาพรวมก็คือ ทําการแบงชวงการอินทิเกรต จาก a ถึง b ออกเปนจํานวนชวงที่ตางกัน 2 คร้ัง ซ่ึงในแตละครั้งจะสามารถหาคาความผิดพลาดได คาความผิดพลาดทั้งสองที่เกิดขึ้นนี้จะนําไปสูผลลัพธที่มีความเที่ยงตรงมากขึ้น คลายกับการทํานายในรูปแบบของการประมาณคานอกชวง ซ่ึงบางครั้งจึงถูกเรียกกันโดยทั่วไปวาเปนการปแระมาณคานอกชวงริชารดสัน (Richardson’ s extrapolation) กลาวคือ ผลลัพธของคาอินทิกรัลคร้ังที่หนึ่งและสองจะนําไปสูผลลัพธของคาอินทิกรัลคร้ังที่สามที่มีความเที่ยงตรงมากขึ้นนั่นเอง การประยุกตวิธีการอินทิเกรตของรอมเบิรกครั้งที่ 1,2 ,3 สามารถเขียนใหอยูในรูปแบบโดยทั่วไปไดคือ

12II2I 2

LM2

−−

= k

k

………………….(1.3.1)

โดย k = 1,2,3,… แทนการประยุกตวิธีการของรอมเบิรกครงที่ สมการนี้สามารถเขียนใหอยูในรูปแบบที่งายแกการสรางโปรแกรมคอมพิวเตอรไดดังนี้

12II4I LM

−−

= k

k

………………….(1.3.2)

ตัวอยาง 7.4 จงใชวิธีการของรอมเบิรกเพื่อหาคาอินทิกรัล

∫=2

0

)1.....(....................sinIπ

dxx

ใหทําการประยุกตวิธีการของรอมเบิรกซ้ําจนกระทั่งคาความผิดพลาดสัมพันธรอยละนั้นนอยกวา 0.0001 % อนึ่งผลลัพธแมนตรงของคาอินทิกรัลในสมการนี้คือ 1 เราจะเริ่มจากการใชกฎสี่เหล่ียมคางหมูในการอินทิกรัลฟงกชัน f(x) = sin x ในชวงลิมิต a = 0 ถึง 2/b π= โดยจะใชจํานวนชวง 1=n และ 2 ตามลําดับ ซ่ึงกอใหเกิดความกวางของ

ชวง 2/1 π=h และ 4/2 π=h ซ่ึงใหผลลัพธ 7853981643.0I)I( L1 ==h

และ 948059449.0I)I( M2 ==h ตามลําดับ ดังนั้นเมื่อเราใชสูตรการอินทิเกรตของรอมเบิรกในสมการ (1.3.2) ผลลัพธของคิอินทิเกรตใหมจากการประยุกตวิธีการของรอมเบิรกครั้งที่ k = 1 คือ

)2.........(....................14

)002279878.1()948059449.0(4I 1

1

−−

=

ขั้นตอนในการคํานวณดังกลาวสามารถเขียนในรูปแบบของตารางเพื่อใหเกิดความเขาใจไดงายดังนี้

.948059449281.002279873.7853981641

1kn =

จากนั้น เราสามารถคํานวณคาความผิดพลาดสัมพัทธรอยละระหวางคาอินทิกรัลใหมที่คํานวณไดกับคาอินทิกรัลเกาที่มีความเที่ยงตรงสูง นั่นคือ

)3.......(..........%.........4097.5%100002279878.1

948059449.0002279878.1=×

−=aε

ซ่ึงเกินกวาคาที่กําหนดไว ดังนั้นเราจึงใชจํานวนชวงใหมากขึ้นไปอีกโดยใช 4=n กอใหเกิดความกวางชวงเทากับ 8/π และผลลัพธของคาอินทิกรัลจากการใชกฎสี่เหล่ียมคางหมูแบบหลายชวงเทากับ 0.987115801 ดังนั้นเราจะใชตารางในรูปแบบใหมดังนี้

.987115801451.00013458.9480594492

550.9999915681.002279873.78539816412k1kn ==

โดยคาอินทิกรัลใหมที่เกิดขึ้นดังแสดงในตารางจากการประยุกตวิธีการของรอมเบิรกครั้งที่ k = 2 นั้นไดมาจากสมการ (1.3.2) เชนกัน ดังนี้

)4.........(....................9999915655.014

)002279878.1()000134585.1(4I 2

2

=−−

=

ดังนั้นคาความผิดพลาดสัมพัทธรอยละระหวางคาที่อินทิกรัลใหมนี้ คือ

)5.......(..........%.........4097.5%1009999915655.0

000134585.19999915655.0=×

−=aε

ซ่ึงยังเกินกวาคาที่กําหนดไว ดังนั้น เราจึงตองประยุกตวิธีการของรอมเบิรกเปนครั้งที่ k = 3 โดยเริ่มจากใชจํานวนชวง 8=n กอใหเกิดความกวางชวงเทากับ 16/π และผลลัพธของคาอินทิกรัลจากการใชกฎสี่เหล่ียมคางหมูแบบหลายชวงเทากับ 0.9967851719 จากนั้น เราจะไดตารางในรูปแบบใหมเพิ่มขึ้นเปนดังนี้

9.996785171861.00000829.9871158014

710.9999998751.00013458.948059449291.00000000550.9999915681.002279873.7853981641

3k2k1kn ===

โดยคาอินทิกรัลใหมที่เกดขึ้นดังแสดงในตารางจากกานประยุกตวิธีการของรอมเบิรกครั้งที่ k = 3 นั้นไดมาจากสมการ (1.3.2) เชนกันดังนี้

)6.........(....................000000009.114

)9999915655.0()999998771.0(4I 3

3

=−−

=

ดังนั้นคาความผิดพลาดสัมพัทธรอยละระหวางคาที่อินทิกรัลใหมนี้ คือ

)7.......(..........%.........00001.0%100000000009.1

9999998771.0000000009.1=×

−=aε

ซ่ึงนอยกวาคาความผิดพลาดสัมพัทธรอยละ 0.0001 % ที่กําหนดมาให ดังนั้น ผลลัพธของคาอินทิกรัลในสมการ (6) จึงเปนคําตอบสําหรับปญหาในตัวอยางนี้

7.2. การหาอนุพันธ ปญหาทางดานวิศวกรรมศาสตรและวิทยาศาสตรในแขนงตางๆ ดังเชนที่เราจะไดพบตอไปนี้ ลวนแตอยูในรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ ความเขาใจในคุณสมบัติทางกายภาพของสมการเหลานี้มีความสําคัญเปนอยางยิ่งที่จะนําไปสูการเลือกใชระเบียบวิธีที่ถูกตองเหมาะสมสําหรับการแกปญหานั้น กอนการเขาใจสมการเชิงอนุพันธดังกลาว เราจําเปนตองเขาใจความหมายของคาอนุพันธ (derivative) คาอนุพันธบงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามตอตัวแปรตน ดังเชนอธิบายในรูป 2.1

(ก) คาอนุพันธโดยประมาณ (ข) คาอนุพันธแทจริง รูปที่ 2.1 ความหมายของคาอนุพันธโดยประมาณและคาอนุพันธแทจริง

รูปที่ 2.1(ก) แสดงลักษณะของตัวแปรตาม y ซ่ึงเปลี่ยนแปลงไปตามตัวแปรตน x คาอนุพันธโดยประมาณ คือ

)1......(....................)()( 11

xxfxxf

xy

Δ−Δ+

=ΔΔ

เมื่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตน xΔ ลูเขาสูศูนย เราจะไดคาอนุพันธที่แทจริงที่จุด 1x นั้น

)2....(....................)()(lim 11

0 xxfxxf

dxdy

x Δ−Δ+

=→Δ

คา dxdy นี้มีความหมายของคาความชันที่จุด 1x นั่นเอง ซ่ึงโดยทั่วไปจะใชสัญลักษณเปน y′

หรือ )(xf ′ ดังแสดงในรูปที่ 2.1 (ข)

ในวิชาแคลคูลัสนั้น หากกําหนดฟงกชัน f(x) มาให เราสามารถหาคาอนุพันธโดยใชสูตรตางๆ เชน ฟงกชันที่กําหนดมาใหอยูในรูปแบบของฟงกชันพหุนามดังนี้

)3........(....................)( nxxfy == เราสามารถหาคาอนุพันธแมนตรงไดโดยตรง คือ

)4.......()( 1−== nxndx

xfddxdy

เปนตน แตในทางฏิบัติโดยทั่วไปแลว ฟงกชันที่กําหนดมาใหนั้นไมอยูในรูปแบบที่งายตอการหาคาอนุพันธ ดังนั้นเราจะทําการหาคาอนุพันธโดยการประมาณ ซ่ึงสามารถทําไดโดยสะดวก เราจะเริ่มจากอนุกรมเทยเลอร

)5(.....)(2

)()()(2

1 +′′+′+=+ iiii xfi

hxfhxfxf

โดย h แทนชวงระหวางตําแหนง ix และ 1+ix เราสามารถหาคาอนุพันธอันดับหนึ่งที่ตําแหนง

ix ไดจากอนุกรมเทยเลอรดังนี้

)6(..............)(2

)()()( 1 +′′−−

=′ +i

iii xf

ih

hxfxfxf

หรือเขียนไดวา

)7........(..........).........()()()( 1 hOh

xfxfxf iii +

−=′ +

โดย )(hO แสดงถึงความผิดพลาดอันดับ h (error of order h) ที่เกิดขึ้น สมการ (7) นี้บางครั้งเรียกวาเปนสมการผลตางจากการแบงยอยไปขางหนาอันดับที่หนึ่ง (first forward divided-difference) ที่เรียกวาเปนผงตางแบบไปขางหนาก็เพราะวาเราใชขอมูลของฟงกชันที่ตําแหนง และ เพื่อคํานวณหาคาอนุพันธอันดับที่หนึ่ง ลักษณะของคาอนุพันธโดยประมาณที่เกิดขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับคาอนุพันธแมนตรงไดแสดงในรูป 2.2 (ก)

(ก) คาอนุพันธโดยประมาณแบบ (ข) คาอนุพันธโดยประมาณ ไปขางหนาและแบบยอนหลัง แบบตรงกลาง

รูป 2.2 การเปรียบเทียบระหวางคาอนุพันธแมนตรงกับคาอนุพันธโดยประมาณแบบตาง ๆ ในทํานองเดียวกันกับสมการ (5) เราสามารถเริ่มจากอนุกรมเทยเลอรอีกครั้ง แตหาคาฟงกชันที่ตําแหนง 1+ix ดังนี้

.....)(2

)()()(2

1 −′′+′−= iiii xfi

hxfhxfxf (8)

ซ่ึงนําไปสูคาอนุพันธอันดับที่หนึ่งที่ตําแหนง ix ไดดังนี้

)9(..............)(2

)()()( 1 −′′+−

=′ +i

iii xf

ih

hxfxfxf

หรือเขียนไดวา

)10(.....).........()()()( 1 hOh

xfxfxf iii +

−=′ +

สมการ (10) นี้ สามารถนําไปใชคํานวณคาอนุพันธโดยประมาณได เปนสมการผลตางจากการแบงยอยยอนหลังอันดับที่หนึ่ง (first backward devided-difference) ลักษณะของคาอนุพันธที่เกิดขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับคาอนุพันธแบบไปขางหนาและคาอนุพันธแมนตรงไดแสดงในรูป

2.2 (ก)

หากเราเอาสมการ (8) ไปลบออกจากสมการที่ (5) เราจะได

)11(.....)(3

2)(2)()(3

11 +′′′+′=− ++ iiii xfihxfhxfxf

ซ่ึงเราสามารถหาคาอนุพันธอันดับหนึ่งที่ตําแหนง ix ไดคือ

)12(..............)(32

)()()(2

11 +′′′+−

=′ −+i

iii xf

ih

hxfxfxf

หรือเขียนวา

)13(.....).........(2

)()()( 211 hOh

xfxfxf iii +

−=′ −+

สมการ (13) นี้ เรียกวาเปนสมการผลตางการแบงยอยแบบตรงกลาง (central devided-difference)ที่ใหคาความผิดพลาดอันดับ 2h ซ่ึงตางจากความผิดพลาดที่เกิดขึ้นในสมการของ 2 แบบที่แลวซ่ึงอยูในอันดับ h ลักษณะของคาอนุพันธที่เกิดขึ้นจากสมการผลตางการแบงยอยแบบตรงกลางนี้ไดเปรียบเทียบกับคาอนุพันธแมนตรงดังแสดงในรูปที่ 2.2 (ข) ในการหาคาอนุพันธที่ทีอันดับสูงขึ้นไป เชน คาอนุพันธอันดับสอง เราสามารถทําไดเชนกัน โดยเริ่มจากอนุกรมเทยเลอรที่ใชคํานวณฟงกชันที่ตําแหนง 2+ix จากคาตางๆ ที่ ix ดังนี้

)14(.....)(2

)2()()2()()(2

2 +′′+′+=+ iiii xfi

hxfhxfxf

หากเราเอา 2 คูณเขาสมการ (5) แลวลบออกจากสมการ (14) นี้จะได

)15..(....................)()()(2)( 2

12 +′′+=− ++ iiii xfhxfxfxf ซ่ึงกอใหเกิดสมการอนุพันธอันดับสองดังนี้

)16(..........).........()()(2)()( 212 hO

hxfxfxfxf iii

i ++−

=′′ ++

สมการ (7) นี้เรียกวาเปนสมการผลตางจากการแบงยอยแบบไปขางหนาอันดับที่สอง (second forward divided-difference) สมการคาอนุพันธที่มีอันดับสูงขึ้นไปสามารถสรางขึ้นไดโดยใชวิธีการในทํานองเดียวกัน รวมทั้งคาอนุพันธอันดับตางๆ เนื่องจากการแบงยอยแบบยอนหลังและแบบตรงกลาง คาอนุพันธอันดับตางๆ เนื่องจากการแบงยอยแบบไปขางหนา แบบยอนหลัง และแบบตรงกลาง ไดสรุปในตาราง 2.1 ,2.2 และ 2.3 ตามลําดับ

ตาราง 2.1 คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบไปขางหนาดวยความผิดพลาด )(hO

41234

3123

212

1

/)]()(4)(6)(4)([)(

/)]()(3)(3)([)(

/)]()(2)([)(

/)]()([)(

hxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxf

hxfxfxfxf

hxfxfxf

iiiiii

iiiii

iiii

iii

+−+−=′′′′

−+−=′′′

+−=′′

−=′

++++

+++

++

+

ตาราง 2.2 คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบยอนหลังดวยความผิดพลาด )(hO

44321

3321

221

1

/)]()(4)(6)(4)([)(

/)]()(3)(3)([)(

/)]()(2)([)(

/)]()([)(

hxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxf

hxfxfxfxf

hxfxfxf

iiiiii

iiiii

iiii

iii

−−−−

−−−

−−

−

+−+−=′′′′

−+−=′′′

+−=′′

−=′

ตาราง 2.3 คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบตรงกลางดวยความผิดพลาด )( 2hO

42112

32112

211

11

/)]()(4)(6)(4)([)(

2/)]()(2)(2)([)(

/)]()(2)([)(

2/)]()([)(

hxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxf

hxfxfxfxf

hxfxfxf

iiiiii

iiiii

iiii

iii

−−++

−−++

−+

−+

+−+−=′′′′

−+−=′′′

+−=′′

−=′

คาอนุพันธอันดับตางๆ ในตาราง 2.1 – 2.3 นี้ตางประกอบดวยคาความผิดพลาด เชน คาอนุพันธอันดับหนึ่งโดยการใชผลตางจากการแบงยอยแบบไปขางหนาดังแสดงในสมการ (7) และในตาราง 2.1 มีคาความผิดพลาด O(h) เราสามารถเพิ่มความเที่ยงตรงของคาอนุพันธไดโดยเริ่มจาก สมการ (6)

)17.....(..........).........()(2

)()()( 21 hOxfhh

xfxfxf iii

i +′′−−

=′ +

แลวแทนคาอนุพันธอันดับสองจากสมการ (16) ลงในสมการนี้แลวจัดพจน จะได

)18.......(..........).........(2

)(3)(4)()( 212 hOh

xfxfxfxf iiii +

−+−=′ ++

สมการของคาอนุพันธอันดับหนึ่งที่ไดใหมนี้มีคาความเที่ยงตรงสูงขึ้น เนื่องจากมีความผิดพลาดอันดับ 2h กระบวนการประกอบดวยขั้นตอนในลักษณะเชนนี้สามารถนําไปสรางคาอนุพันธอันดับตางๆเพื่อใหมีความเที่ยงตรงที่สูงขึ้นได ทั้งในแบบของสมการแบงยอยแบบไปขางหนา แบบยอนหลัง และแบบตรงกลาง ดังแสดงในตาราง 2.4 2.5 และ 2.6 ตามลําดับ ตาราง 2.4 คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบไปขางหนาดวยความผิดพลาด )( 2hO

412345

31234

2123

12

/)](3)(14)(26)(24)(11)(2[)(

2/)](5)(18)(24)(14)(3[)(

/)](2)(5)(4)([)(

2/)](3)(4)([)(

hxfxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxf

hxfxfxfxf

iiiiiii

iiiiii

iiiii

iiii

+−+−+−=′′′′

−+−+−=′′′

+−+−=′′

−+−=′

+++++

++++

+++

++

ตาราง 2.5 คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบยอนหลังดวยความผิดพลาด )( 2hO

454321

34321

2321

21

/)](2)(11)(24)(26)(14)(3[)(

2/)](3)(14)(24)(18)(5[)(

/)]()(4)(5)(2[)(

2/)]()(4)(3[)(

hxfxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxf

hxfxfxfxf

iiiiiii

iiiiii

iiiii

iiii

−−−−−

−−−−

−−−

−−

++−+−=′′′′

+−+−=′′′

−+−=′′

+−=′

ตาราง 2.6 คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบตรงกลางดวยความผิดพลาด )( 4hO

4321123

3321123

22112

2112

6/)]()(12)(39)(56)(39)(12)([)(

8/)]()(8)(13)(13)(8)([)(

12/)]()(16)(30)(16)([)(

12/)]()(8)(8)([)(

hxfxfxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxfxf

hxfxfxfxfxf

iiiiiiii

iiiiiii

iiiiii

iiiii

−−−+++

−−−+++

−−++

−−++

−+−+−+−=′′′′

+−+−+−=′′′

−+−+−=′′

+−+−=′

ตัวอยาง 7.5 จงหาคาอนุพันธอันดับหนึ่งของฟงกชันที่แสดงในรูป

)19(........................................1352)( 23 ++−= xxxxf ที่ 0.1=x โดยใช 1.0=h ดวยวิธีการแบงยอยแบบไปขางหนา )(hO , วิธีการแบงยอยแบบยอนหลัง )(hO ,และวิธีการแบงยอยแบบตรงกลาง )( 2hO เปรียบเทียบผลลัพธที่ไดกับผลลัพธแมนตรง )20.........(..............................3106)( 2 +−=′ xxxf i จากฟงกชันที่กําหนดใหในสมการ (19) สมการอนุพันธแมนตรงคือ ดังนั้น คาอนุพันธแมนตรงที่ x = 1.0 คือ

)21.........(..............................0.13)0.1(10)0.1(6)0.1( 2 −=+−==′ xf เมื่อเราใช 5.0=h ดังนั้น

912.0)(;1.1

000.1)(;0.1108.1)(;9.0

11

11

======

++

−−

ii

ii

ii

xfxxfxxfx

คาเหลานี้สามารถนําไปใชในสมการแรกของตาราง 2.1 ถึง 2.3 กอใหเกิดคาอนุพันธโดยประมาณและความผิดพลาดแทจริงรอยละ ดังนี้ คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบไปขางหนา :

)22..(..............................%12;88.0/)000.1912.0()0.1( =−−=′ tf ε คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบยอนหลัง :

)23.........(..........%.........8;08.11.0/)108.1000.1()0.1( =−=−=′ tf ε

คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบตรงกลาง : )24........(..........%.........12;98.02.0/)108.1912.0()0.1( =−=−=′ tf ε

จากผลลัพธของคาอนุพันธที่ไดจากการแบงยอยในแบบตางๆ ดังแสดงในสมการ (22)-(24) เราจะเห็นวา คาอนุพันธจากการแบงยอยแบบตรงกลางมีคาความเที่ยงตรงสูงกวาคาอนุพันธที่ไดจากการแบงยอยแบบไปขางหนาและยอนหลัง ซ่ึงถูกตองสอดคลองกับความเขาใจจากขั้นตอนที่เราไดสรางสมการเหลานี้มา