urti tra due punti materiali -...

A. Romero Dinamica VII - Urti 1

Urti tra due punti materiali

URTO: evento isolato nel quale una forza relativamente intensa agisce per un

tempo relativamente breve su due o più corpi in contatto tra loro

r risultato di un contatto fisico

r risultato di una interazione

tra particelle

m1111 m2222

21Fr

12Fr

4He

++

p

+

meteor-crater

1200 m

∆∆∆∆t ≈≈≈≈ 4 msαααα ΝΝΝΝ

Urti su scale diverse

Le forze che, come nel caso di un urto

agiscono per un tempo breve rispetto al

tempo di osservazione

sono chiamate forza impulsive


Urti tra due punti materialiL’oggetto L esercita su R una forza F(t)

L’oggetto R esercita su L forza –F(t)

F(t) può avere un’intensità che varia nel tempo

Nelle figure sono rappresentati due possibili andamenti di F(t).

L’azione della forza si esplica nell’intervallo τ τ τ τ =t2-t1

Le forze impulsive che si manifestano durante un urto sono interne al

sistema dei due punti materiali interagenti In assenza di forze esterne si

verifica durante l’urto la conservazione della quantità di moto totale

τ

τ

in,22in,11in vmvmPrrv

+= finfin,22fin,11 Pvmvmvrr

=+=

Durante l’urto la quantità di moto del centro di massa rimane invariata:

CM21 v)mm(Prv

+=

=Pv

tetancosPP finin ===vv



( )f f

i i

t p

f it p

J F t dt dp p p= = = −∫ ∫r

r

r r r r r

Il moto del centro di massa non viene alterato dall’urto. Variano

invece le quantità di moto di ciascun punto materiale per l’effetto

dell’impulso della forza di interazione

( ) 1

t

t

1,2 pdttF2

1

vv∆== ∫1,2in,11fin,11 Jvmvm

rrr=− ( ) 2

t

t

2,1 pdttF2

1

vv∆== ∫2,1in,22fin,22 Jvmvm

rrr=−

1,22,1 JJrr

−=1,22,1 FFvv

−=Dato che :Le variazioni di quantità di moto sono uguali ed

opposte

J1,2 e J2,1, prima considerati, per le forze interne impulsive che

si sviluppano nell’urto, si possono scrivere:

( )∫=∆2

1

t

t

)E( dttFPvr

τ= )E(mFv

( )∫=2

1

t

t

dttFv

Jr

τ= mFr

La conservazione della quantità di moto totale è possibile in presenza di forze esterne?

Si se la durata dell’impulso ττττ è sufficientemente piccola e le forze esterne non sono impulsive.

Infatti la variazione della quantità di moto totale dovuta alle forze esterne:



( )∫=2

1

t

t

dttFv

Jr

τ= mFr

Conservazione della quantità di moto

Fm: valor medio della forza

impulsiva nell’intervallo τ

La forza esterna, se non è impulsiva, non modifica i singoli impulsi durante l’urto e quindi

rimane vera l’uguaglianza J2,1=-J1,2, e valida la conservazione della quantità di moto totale

τ

τ τ

Dato che J assume un valore finito e che τ è molto breve, Fm può assumere valori

estremamente grandi, rispetto a cui Fm(E) è certamente trascurabile

inin PrLrrr

×=

Nel caso dell’urto il principio di conservazione della quantità di moto ed il

principio di conservazione del momento angolare sono equivalenti

Nel caso dell’urto la conservazione del momento angolare non aggiunge alcuna

informazione Infatti: durante l’urto r1=r2=r e quindi se Pin =Pfin

finfin PrLrrr

×==


Urti tra due punti materialiA priori non è noto se le forze interne sono conservative. Non si può assumere la

conservazione dell’energia meccanica del sistema durante l’urto nè che l’Energia

cinetica si conservi

Energia

Dato che la posizione dei punti non varia nell’urto, eventuali energie

potenziali non variano nell’urto e quindi: ∆∆∆∆Em =∆∆∆∆Ek

L’energia cinetica del sistema può essere espressa utilizzando il secondo teorema di Konig:

( ) k2CM21k 'Evmm

2

1E +⋅+=

Energia cinetica del centro di massa: non varia

se vale la conservazione della quantità di moto

Energia cinetica dei due punti

rispetto al sistema del centro di massa.

222

211k 'vm

2

1'vm

2

1'E += Può rimanere costante o variare a seconda che le forze

interne siano conservative o non siano conservative


Sistema del laboratorio e

sistema del centro di massaSistemi di riferimento in cui può essere studiato l’urto:

•Sistema del laboratorio (sistema inerziale)

•Sistema del centro di massa

Legame tra le velocità nei due sistemi, in qualsiasi istante:

CM11 v'vv += CM22 v'vv +=

Come già dimostrato, nel sistema del centro di massa, la quantità

di moto totale è nulla:

fin,22fin,11in,22in,11 'vm'vm'vm'vmrrrr

+=+ 0=

in,2in,1 'p'prr

−=

fin,2fin,1 'p'prr

−=

Dal centro di massa si vedono i punti arrivare verso il centro di massa con

quantità di moto uguali in modulo ed opposte in verso. I punti si urtano

nella posizione occupata dal centro di massa e ripartono dopo l’urto con

quantità di moto ancora uguali in modulo ed opposte in verso.

In generale per ogni punto :finin 'p'p

rr≠


Urto completamente anelastico

L’urto si chiama completamente anelastico quando i due punti

restano attaccati dopo l’urto, formando un unico corpo

puntiforme di massa m1+m2

'v)mm(vmvm 212211

rrr+=+ CM21 v)mm(

r+=

)mm(

vmvmv

21

2211CM +

+=

rrr

Le variazioni di quantità di moto dei singoli punti sono:11CM11 vmvmprrr

−=∆

22CM22 vmvmprrr

−=∆

Si verifica dalla relazione sopra, che queste due variazioni sono uguali ed opposte:

2211 vmvmrr

+ CM21 v)mm(r

+= )vmvm()vmvm( 22CM211CM1

rrrr−−=−

Se v1 e v2 sono le velocità dei due punti prima dell’urto e v’ la velocità

comune immediatamente dopo l’urto si ha:

Subito dopo l’urto i due punti si muovono con la velocità che aveva il

centro di massa un istante prima dell’urto (vCM resta invariata nell’urto)

Urto completamente anelastico

Energia cinetica prima dell’urto:

Applicando il teorema di Konig

Energia cinetica

222

211in,k vm

2

1vm

2

1E += k

2CM21 'Ev)mm(

2

1++=

Energia cinetica nel sistema del

centro di massa

Energia cinetica dopo l’urto:

2CM21fin,k v)mm(

2

1E += in,kE<

In un urto completamente anelastico, l’energia totale diminuisce.

L’energia che viene assorbita è E’k e corrisponde all’energia cinetica rispetto al centro di

massa che i punti hanno prima dell’urto :

in,kfin,kk EEE −=∆ k'E−= 222

211 vm

2

1vm

2

1−−2

CM21 v)mm(2

1+=

NOTA: Dove finisce l’energia persa?.

I due corpi durante l’urto si deformano in modo permanente e restano compenetrati. Il

lavoro compiuto, a spese dell’energia cinetica iniziale, per fare avvenire la deformazione non

viene più recuperato, ovvero le forze interne che si sviluppano non sono conservative.


EsempioUn proiettile di massa mp =10g si muove orizzontalmente con v=400ms-1 e penetra in un

blocco di massa mb=390g inizialmente in quiete su una superficie priva di attrito.Quali sono

le velocità finali del proiettile e del blocco?

131 gms104msg40010 −− ⋅=⋅⋅=

( ) x,finbpx,fin vmmP +=

1x,fin ms10v −=

Sol.:

x,inpx,in vmP = 1mskg4 −⋅=

xo

pmbm

invv

yPrima dell’urto

pm

bm

finvv

Dopo l’urto

Quantità di moto totale iniziale

Quantità di moto totale finale x,finvg400 ⋅= x,finvkg4.0 ⋅=

x,finx,in PP =x,fin

1 vkg4.0mskg4 ⋅=⋅ −


Esempio - continuazione

NOTA 1: J800vm2

1K 2

x,inpi == ( ) J20vmm2

1K 2

x,finbpf =+=

L’ energia non si conserva: calore, deformazione.

Qual è la variazione di quantità di moto del proiettile e del blocco?

1x,fin ms10v

−=

in,pfin,pp ppP −=∆

Blocco: ( )( ) ( )0ms10Kg39.0P 1b −=∆ − Opposti!

xo

pmbm

invv

yPrima dell’urto

pm

bm

finvv

Dopo l’urto

NOTA 2:

( )( ) ( )( )1212 ms400Kg10ms10Kg10 −−−− −= Ns9.3−=Proiettile:

Ns9.3+=


Esempio: pendolo balistico

Dispositivo per determinare la velocità dei proiettili

conservazione della quantità di moto

Una pallottola di massa m1, che viaggia orizzontalmente con velocità v1,in urta il

pendolo di massa m2 rimanendovi conficcata. Nessuna forza esterna agisce sul sistema.

1m

2m

h

0=fvr

per m2:

• v2,in=0

• v del sistema subito dopo l’urto: v2,fin = vfin

per m1:

• v1,in=v1

• v del sistema subito dopo l’urto: v1,fin = vfin

x,finx,in PP =

fin21in,11 v)mm(vm += in,121

1fin v

mm

mv

+=

in,1vr


Esempio: pendolo balistico - continuazione

1min,1v

r2m

h

0=fvr

v del sistema subito dopo l’urto: vfin in,121

1fin v

mm

mv

+=

Conservazione dell’ energia meccanica

Terminata la collisione, il pendolo con la pallottola inizia ad oscillare raggiungendo un’altezza

h, misurata rispetto alla posizione di equilibrio, tale che l’energia potenziale eguagli l’energia

cinetica del sistema subito dopo l’urto

( ) ( ) 2

fin2121v mm

2

1gh mm +=+

( )2

in,1

21

2

1 vmm2

m

+=

gh2m

mmv

1

21in,1

+=

13

Esercizio: urto completamente anelastico

Sol.:

Un blocco di m1=2 kg parte da fermo, senza attrito, lungo un piano inclinato di 22° rispetto al

piano orizzontale dall’altezza di 0,65 m. All’arrivo, sul piano a quota zero, urta, attaccandovisi,

un blocco di massa m2=3,5 kg. I due blocchi congiunti slittano per una distanza di 0,57m sul

piano orizzontale fino ad arrestarsi. Qual è il coefficiente di attrito della superficie orizzontale?

2111 vm

2

1ghm =

fin2111 v)mm(vm += 121

1fin v

mm

mv

+=

22°h=0,65 m

0,57 m

2kg

3,5 kg

Moto del blocco di 2 kg Per trovare la velocità finale di m1, prima dell’urto con m2

applichiamo la conservazione dell’energia

gh2v1 = 65,08,92 ⋅⋅=s

m57,3=

Subito dopo l’urto i due punti blocchi si muovono insieme con la velocità (vf):

57,35,5

2=

s

m3,1=

s

m3,1vfin =


Esercizio: continuazione

22°h=0,65 m

l =0,57 m

2kg

3,5 kg

Moto dei due blocchi

Utilizzando il legame tra variazione dell’energia cinetica e lavoro

Dall’istante dopo l’urto i due blocchi si muovono sul piano orizzontale con velocità

iniziale vf e decelerazione costante data dall’attrito dinamico:

s

m3,1vfin =

lg)mm(v)mm(2

121k

2

f21⋅+µ=+

atkWE =∆

g2

v2

fk

l=µ 15,0=


Esercizio: continuazioneUtilizzo le equazioni del moto

m

fa k=

22°h=0,65 m

l =0,57 m

2kg

3,5 kg

Moto dei due blocchi

Utilizzando le equazioni del moto uniformemente decelerato:

Dall’istante dopo l’urto i due blocchi si muovono sul piano orizzontale con velocità

iniziale vf e decelerazione costante data dall’attrito dinamico:

s

m3,1vfin =

m

mgkµ= ga kµ=

2f at

2

1tv)t(x −=

atv)t(v f −=Per x(t)=l, v(t)=0

( ) 2kf tg

2

1tv µ−=l

( )tgv0 kf µ−=g

vt

k

f

µ=

( )2

k

fk

k

ff

g

vg

2

1

g

vv

µµ−

µ=l

g2

v

k

2f

µ=l

g2

v2

fk

l=µ 15,0=

16

Urto elastico

Si definisce urto elastico, un urto durante il quale si conserva anche

l’energia cinetica del sistema

Le forze interne sono conservative.

I due corpi che urtano subiscono, durante l’urto, delle deformazioni

elastiche, riprendendo la configurazione iniziale subito dopo l’urto.

Nell’urto elastico sono dunque valide le equazioni:

Sistema di riferimento

del laboratorio

Sistema di riferimento

del centro di massa

in,kfin,k EE =

infin PPrr

=


Urto elasticoCaso unidimesionale

I due corpi si muovono prima e dopo l’urto elastico lungo la stessa direzione.

possiamo ricavare il valore delle due velocità finali incognite:

Sistema del laboratorio Sistema del centro di massa

in,kfin,k EE =

Supponendo di conoscere le masse e le velocità iniziali dei due

corpi che urtano, attraverso le due equazioni di conservazione:infin PPrr

=

finin PPrr

= ⇒ fin22fin11in22in11 vmvmvmvmrrrr

+=+ CM21 v)mm(r

+=

in,kfin,k EE = 2fin,22

2fin,11

2in,i22

2in11 vm

2

1vm

2

1vm

2

1vm

2

1+=+⇒

21

in,22in,121

fin,1

mm

vm2v)mm(v

+

+−=

21

in,212in,11

fin,2

mm

v)mm(vm2v

+

−+=

18

Urto elastico Caso unidimesionale

Sistema del centro di massa

21

in,22in,121

fin,1

mm

vm2v)mm(v

+

+−=

21

in,212in,11

fin,2

mm

v)mm(vm2v

+

−+=

Attenzione ai segni delle velocità!Prendendo come riferimento il verso di v1,in, allora v2,in va

considerata con segno positivo se è concorde a v1,in, o negativo se è discorde.

Segno delle velocità finali: - positivo ⇒ velocità concorde a v1,in

- negativo ⇒ velocità discorde a v1,in

Nel sistema del centro di massa per

l’urto elastico si ricava:

Sistema del laboratorio

in,1fin,1 v'vrr

−=

in,2fin,2 v'vrr

−=

Velocità e quantità di moto di ciascun punto rimangono

invariate in modulo, cambiano solo il verso

Esempio – urto elasticoUn neutrone di massa m1 urta frontalmente, in modo elastico un bersaglio costituito da un

nucleo atomico di massa m2 inizialmente fermo. Qual è la diminuzione percentuale

dell’energia del neutrone? Fare il calcolo nei casi in cui il nucleo bersaglio sia:

1) Piombo; (massa atomica: A=206)

2) Carbonio; (massa atomica: A=12)

3) Idrogeno. (massa atomica: A=1)

2in,11in,1,kin,k vm

2

1EE ==

fin,1,kin,1,kfin,2,k EEE −=

A= 206: m2=206m1

in,1vr

Sol.:

dove in questo caso v2,in=0

( )221

2i,1

21

2fin,2,kmm

vm4m

2

1E

+=

( )221

21

in,1,k

fin,2,k

mm

mm4

E

E

+=

21

in,222in,11fin,2

mm

v)mm(vm2v

+

−+= in,1

21

1fin,2 v

mm

m2v

+=

2fin,22fin,2,k vm

2

1E =

( ) in,1,k221

21 Emm

mm4

+=

Caso: 1) ( )221

21

in,1,k

fin,2,k

mm

mm4

E

E

+=

( )2207

2064 ⋅= 02,0=

2fin,22vm

2

1=

%2

A= 12: m2=12m1 Caso: 2) ( )221

21

in,1,k

fin,2,k

mm

mm4

E

E

+=

( )213

124 ⋅= 28,0= %28

A= 1: m2=1m1 Caso: 3) ( )221

21

in,1,k

fin,2,k

mm

mm4

E

E

+=

( )22

14 ⋅= 1= %100


Urti tra punti materiali e corpi rigidi e urti tra corpi rigidiRiassunto per la risoluzione degli esercizi:

Se urto è elastico Conservazione dell’energia cinetica

Se agiscono solo forze interne o

quelle esterne non sono impulsiveConservazione della quantità di moto totale

Se esiste un vincolo che tiene

fermo un punto del corpo rigido

Esiste una forza esterna di

tipo impulsivo

La quantità di moto

non si conserva

Se agiscono solo forze interne o

quelle esterne non sono impulsive

Conservazione del momento angolare L,

indipendentemente dalla scelta del polo O

Se agiscono forze esterne, il cui momento

M è nullo rispetto ad un dato polo

Conservazione del momento angolare L

calcolato rispetto allo stesso polo O

L’effetto complessivo nel brevissimo tempo di durata dell’urto è

dato dall’impulso della forza e dall’impulso angolare:

Quando il corpo urtato è vincolato, il sistema di vincoli può esplicitare, durante l’urto, un

sistema di forze di risultante R e un momento risultante M.

∫= dtRJrr

∫=× dtMJrrrr


Esercizio – urti tra punti materiali e corpo rigido

Una sbarra omogenea di lunghezza L e massa M, è sospesa nel punto O ed è libera di ruotare nel piano

verticale attorno ad un asse orizzontale passante per tale punto. Inizialmente la sbarra è inclinata di un

angolo θ0, rispetto alla direzione verticale (vedi figura) e da questa posizione ad un dato istante viene

lasciata cadere.

Raggiunta la posizione verticale essa colpisce, una massa puntiforme m appoggiata sul piano.

Nell’ipotesi in cui l’asta ruoti attorni ad O senza attrito e che l’urto con la massa m sia completamente

anelastico, calcolare:

•A. Il modulo della velocità angolare ωωωω0 con cui la sbarra urta la massa m appoggiata sul piano.

•B. L’angolo θθθθfin, rispetto alla direzione verticale, del quale si sposta la sbarra, in seguito all’urto con la

massa puntiforme.

θ0



Sol.:

θθθθ0000

Il moto della sbarra può essere schematizzato in 3 fasi:

1. fase di discesa della sbarra

2. urto completamente anelastico con m

3. risalita del sistema sbarra + massa

Fase 1: E’ possibile applicare la conservazione dell’energia

meccanica per la sbarra tra l’istante iniziale in cui la sbarra è

ferma a θ0 rispetto alla direzione verticale e l’istante finale

immediatamente precedente all’urto con la massa m:

fin,pfin,kin,pin,k EEEE +=+ Mgh0 +

L

h

θ−= 0cos

2

LLh

2

LMgI

2

1 2 +ω=

θ− 0cos

2

LLMg

2

LMgI

2

1 200 +ω=

20 ML

3

1I =

θ− 0cos

2

LLMg

2

LMgML

3

1

2

1 20

2 +ω

= ( )00 cos1

L

g3θ−=ω



Sol. - continuazione:

Fase 2: Durante l’urto si ha la CONSERVAZIONE DEL MOMENTO

ANGOLARE TOTALE del sistema barra+massa rispetto al polo O:

)msbarra(L)m(L)sbarra(L fininin +=+

0I 00 +ωθθθθ0000

L

h

')mLI( 20 ω+=

022

2

mLML3

1

ML3

1

' ω+

=ω

20 ML

3

1I =


θθθθ0000

L

h


Sol. - continuazione:

Fase 3: Durante la risalita del sistema sbarra + m si ha la

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

)msbarra(E)msbarra(E)msbarra(E)msbarra(E fin,pfin,kin,pin,k +++=+++

( )2

LMg'mLI

2

1 220 +ω+ )cos

2

LL(Mg)cosLL(mg0 finfin θ−+θ−+=

( )gLm

2

M

'mLI2

1

)cos1(

220

fin

+

ω+=θ−

θθθθfin

urti tra due punti materiali -...

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