uso de maple. - ramos departamento de...

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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Apéndice 2

Uso de Maple en análisis de redes

A2.1 Introducción

La teoría de redes está basada en conceptos físicos que se modelan matemáticamente como

sistemas de ecuaciones diferenciales.

Los cursos básicos de ingeniería modelan sistemas, que han probado ser útiles, mediante

redes eléctricas. Reconocer la utilidad que pueda tener una determinada interconexión de

componentes requiere primero resolver matemáticamente el modelo obtenido y luego una

posterior interpretación de los resultados, ojalá mediante gráficos; ambas capacidades son

objetivos de un curso de redes.

Gran parte del material tradicional que se expone en un curso básico de redes tiene por

objetivo evitar las complicaciones debidas a la manipulación matemática. Los métodos para

resolver con "papel y lápiz" son muchas veces simplificaciones matemáticas del problema, y

dan origen a variados y numerosos procedimientos, con sus excepciones y modificaciones de

acuerdo a las condiciones del problema. Como ejemplos de lo anterior: los métodos de análisis

de redes son útiles en la orientación de la solución de grandes sistemas de ecuaciones; el trabajo

con números complejos se emplea para evitar la difícil manipulación de expresiones algebraicas

trigonométricas; el cálculo de redes equivalentes tiene por objetivo simplificar la determinación

de una variable de la red, en lugar de encontrar la solución general para todas las variables.

Las redes, que normalmente debe estudiar un alumno que sigue una carrera de electrónica,

son generalmente no lineales y con excitaciones continuas y alternas de varias frecuencias;

debido a esto los métodos para papel y lápiz están basados en aproximaciones para simplificar.

En su tiempo las herramientas de apoyo para efectuar cálculos eran la regla de cálculo y las

tablas de logaritmos, luego las calculadoras personales, después los computadores, y

posteriormente las aplicaciones especializadas, como SPICE, que fueron desarrollándose a

través del tiempo.

Sin embargo, el disponer de herramientas computacionales que resuelven, simulan y

despliegan las formas de ondas de las respuestas, puede llevar a desconocer la forma en que

estas herramientas ocupan los conceptos y teorías en que están basados.

Se desea usar herramientas computacionales para resolver los problemas matemáticos

asociados a la teoría de redes y a la vez ilustrar en qué aspectos de la teoría están basados los

programas y aplicaciones de análisis de redes de tipo electrónicas.

2 Teoría de Redes Eléctricas


A través de este apéndice se dará énfasis a la comprensión de cómo han sido desarrollados

estos sistemas a partir de la teoría básica.

Un procesador matemático, como Maple, posibilita el trabajo simbólico y numérico, a la vez

que permite obtener despliegues de las formas de ondas.

Para evitar que la dificultad esté centrada en el dominio del lenguaje de programación, se

muestran sólo algunos comandos básicos que permiten resolver problemas de redes. En

ocasiones se ilustra cómo se puede crear un procedimiento, en otras se efectúan iteraciones o

repeticiones o condicionales, pero se cuida de no distorsionar la oportunidad de aprender redes.

Sin embargo cuando se usa una herramienta es preciso dominar algunos elementos básicos, y

esto no podrá evitarse; de este modo deberán estudiarse las diferencias entre listas y conjuntos;

entre expresiones y funciones; entre asignaciones y ecuaciones, etc. Pero si se aprende a usar

una herramienta como Maple, en el nivel del primer curso de teoría de redes, se la podrá

emplear en sistemas lineales, en los cursos de electrónica, en los de comunicaciones, en los de

control automático, etc.

Demás está decir que se utiliza una parte muy restringida del lenguaje, siendo éste mucho

más poderoso; sólo se emplean algunos recursos que permiten resolver o ilustrar los conceptos

de redes en que estamos interesados.

El objetivo de este apéndice será la utilización de procesadores matemáticos para facilitar la

comprensión de los fundamentos teóricos y también la aplicación práctica de ellos en la

formulación y resolución de problemas de redes electrónicas.

A2.2. Métodos de análisis

Los métodos de análisis de redes se originan en la dificultad, para un ser humano, de resolver

un sistema con un gran número de ecuaciones. Por esta razón se procede a una manipulación

ordenada del sistema para reducir el número de incógnitas.

Básicamente consisten en dejar, mediante eliminación de variables, sistemas de ecuaciones

en variables independientes.

De esta manera se pueden plantear sistemas de ecuaciones cuyas incógnitas son los voltajes

de nodos, o las corrientes de mallas, o los voltajes en ramas, o las corrientes en cuerdas, o una

mezcla de variables independientes.

De este modo devienen diferentes métodos, algunos son más eficientes de acuerdo al tipo de

componentes y presentan dificultades si están presentes otras componentes. Por ejemplo en el

método nodal ofrecen dificultad las fuentes de tensión, ya que introducen ecuaciones de

restricción y agregan nuevas incógnitas; en el de mallas ocurre algo similar si están presentes

fuentes de corriente.

Disponiendo de procesadores matemáticos, la solución de grandes sistemas no ofrece

dificultades; y no se producen las excepciones de los métodos particulares.

Apéndice 2. Uso de Maple 3


A2.3. Análisis continuo o DC

En la red de la Figura A2.1, se han identificado las variables: cuatro voltajes y cuatro

corrientes.

Figura A2.1 Identificación de variables.

El siguiente programa emplea los siguientes elementos del lenguaje:

Se limpia la memoria del procesador con restart.

Se emplea el operador de asignación: dos puntos seguido de igual.

Se definen nombres de variables simbólicas al lado izquierdo de la asignación.

Se emplea notación de conjuntos, separando los elementos por comas, y encerrando a éstos

entre paréntesis cursivos.

Se definen ecuaciones que relacionan símbolos, definidos por identificadores, empleando el

signo igual.

Se terminan las instrucciones por dos puntos, si no se desea que el procesador despliegue los

resultados que genera la sentencia; y un punto y coma, si se desea que la sentencia se ejecute y

muestre un resultado.

Se pueden colocar varias sentencias en un comando, oprimiendo retorno simultáneamente

con la tecla mayúscula.

Luego de una serie de definiciones de símbolos se ejecuta el comando solve que retorna un

conjunto solución; como es conjunto no existe un orden determinado entre los elementos. Solve

resuelve el primer conjunto de ecuaciones en términos de los elementos del segundo conjunto de

incógnitas.

El comando eval evalúa el primer conjunto de ecuaciones reemplazando los valores de las

expresiones del segundo conjunto con los datos.

Se ilustra que la solución puede evaluarse con otro conjunto de datos.

Programa

restart;

ecequilibrio:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, i3=-j, v4=e}:

datos:={R1=5, R2=4, e=10, j=2}:

lck:={i1+i4=0, -i1+i2+i3=0}:

2 1

0

e

R1

j R2

i2 i4

v2

i1 i3

v3

v1

v4



lvk:={v4-v1-v2=0, v2-v3=0}:

ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck

union lvk:

voltajes:={v1, v2, v3, v4}:

corrientes:={i1, i2, i3, i4}:

incógnitas:=voltajes union corrientes:

sol:=solve(ecuacionesdelared, incógnitas);

eval(sol, datos);

datos1:={R1=4.7E3, R2=8E2, e=4, j=17/3};

eval(sol, datos1);

ec1 := {i3 = -17/3, v4 = 4, i4 = .8235151515, v3 = 3874.521211,

v1 = -3870.521213, i2 = 4.843151515, v2 = 3874.521211,

i1 = -.8235151515};

Una vez que se obtiene la solución de la red, pueden efectuarse operaciones sobre las

variables. El comando assign, opera sobre el conjunto de ecuaciones y permite reconocer los

símbolos a la izquierda por su nombre.

assign(sol);

i1;

Si se desea derivar la expresión simbólica asignada a la variable i1, respecto del parámetro

R2, se ejecuta: simplify(diff(i1, R2));

El comando simplify aplica reglas de simplificación algebraicas comunes.

Si se desea efectuar un barrido DC se puede evaluar la solución con los datos, exceptuando

la variable que se desea incrementar; de esta forma la solución queda en términos del parámetro.

Sin embargo si se efectúo una asignación, el procesador almacenó expresiones para las variables

y es preciso quitar esta asociación, esto se logra con el comando unassign.

datos3:={R1=5, R2=4, j=2}:

unassign('v4','i4','v3','i3','v2','i2','v1','i1'):

ec4:=eval(sol, datos3);

assign(ec4):

sol i3 j v4 e i4e R2 j

R1 R2v3

R2 ( )e R1 j

R1 R2v1

R1 ( )e R2 j

R1 R2, , , , ,{ :=

i2e R1 j

R1 R2v2

R2 ( )e R1 j

R1 R2i1

e R2 j

R1 R2, , }

{ }, , , , , , ,i3 -2 v4 10 i4-2

9v3

80

9v1

10

9i2

20

9v2

80

9i1

2

9

:= datos1 { }, , ,R1 4700. R2 800. j17

3e 4

e R2 j

R1 R2

e R1 j

( )R1 R2 2



Mediante el comando plot pueden dibujarse las variables. plot([v2, i1, i2, i4], e=0..10, color=[red, blue, green, magenta]);

Se colocan las variables en una lista, encerradas entre paréntesis cuadrados. Luego el rango

de valores del parámetro, e en este caso. Se especifica un orden para los colores con que se

representaran las variables.

Representación gráfica

Figura A2.2 Barrido DC.

Se pueden generar tablas de valores de las variables, similar a Print en SPICE, mediante:

seq(v2, e=0..10);

O con números en punto flotante, con tres cifras:

evalf(seq(v2, e=0..10), 3);

A2.3. Análisis transitorio

Para efectuar análisis transitorios conviene formular las ecuaciones de estado para la red, y

se aplica el comando dsolve.

Se desea obtener la respuesta transitoria de la red de la Figura A1.3.

ec4 v4 e i3 -2 i4e

9

8

9v3

4 e

9

40

9v1

5 e

9

40

9i2

e

9

10

9, , , , , ,{ :=

v24 e

9

40

9i1

e

9

8

9, }

, , , , , , , , , ,40

9

44

9

16

3

52

9

56

9

20

3

64

9

68

98

76

9

80

9

, , , , , , , , , ,4.44 4.89 5.33 5.78 6.22 6.67 7.11 7.56 8. 8.44 8.89

e

i1

i2 i4

v2



Figura A2.3 Red RLC paralelo

Para la red de la Figura A2.3 la formulación de las ecuaciones de estado lleva a dos

ecuaciones diferenciales de primer orden.

Para completar el análisis se requiere expresar las corrientes o voltajes en los elementos en

términos de las variables de estado; en el caso del ejemplo el voltaje es común a las

componentes, y las corrientes pueden expresarse según:

El siguiente programa Maple, define conjuntos de ecuaciones con: las variables de estado,

las condiciones iniciales, las ecuaciones de estado y las corrientes.

Programa

restart;

estado:={vc(t), il(t)}:

ci:={vc(0)=a, il(0)=b}:

ecestado:= {diff(il(t), t)=-vc(t)/L, diff(vc(t), t)=-vc(t)/(R*C) + il(t)/C};

corrientes:={ir = vc(t)/R, ic=il(t)-vc(t)/R};

Luego de la formulación del problema, el sistema de ecuaciones diferenciales se resuelve

con el comando dsolve:

sol:=dsolve(ecestado union ci, estado);

El cual entrega la solución simbólica del sistema, en términos de los parámetros, se muestra

la solución para el voltaje en el condensador:

,d

d

t( )il t

( )vc t

L d

d

t( )vc t

( )vc t

R C

( )il t

C

,ir( )vc t

Ric ( )il t

( )vc t

R

1

L R C

0



Se evalúa la solución en términos de los datos:

datos:={R=1, L=8E-3, C=10E-3, a=-2, b=10}:

soldatos:=eval(sol, datos);

La expresión para el voltaje resulta:

Donde I es la base de los números imaginarios. Como se conoce que la solución es real,

mediante el comando evalc, que evalúa expresiones complejas, se puede simplificar y obtener

una expresión para las variables de estado con funciones trigonométricas:

soldatos:=simplify(evalc(soldatos));

Para obtener expresiones se asigna los elementos del conjunto solución, a las variables del

lado izquierdo de las ecuaciones. Luego se pueden dibujar las formas de ondas mediante el

comando plot.

assign(soldatos);

plot([vc(t), il(t)], t=0..0.15, color=[red, blue]);

Formas de ondas

( )vc t1

4( )L b 2 a R C L2 4 R2 L C b L2 4 R2 L C

( )L L2 4 R 2 L C e

( )L L2

4 R2

L C t

2 L R CL2 ( )L 4 R 2 C R C( )

1

4

L2 4 R 2 L C ( )L b L2 4 R 2 L C b 2 a R C ( )L L2 4 R 2 L C

e

( )L L2

4 R2

L C t

2 L R CL2 ( )L 4 R2 C R C( ) L

( )vc t ( )1.000000000 5.500000000 I e( )( )-50.00000000 100.0000000 I t

( )1.000000000 5.500000000 I e( )( )-50.00000000 100.0000000 I t

( )vc t 1. e( )50. t

( )2. ( )cos 100. t 11. ( )sin 100. t

( )il t 2.500000000 e( )50. t

( )4. ( )cos 100. t 3. ( )sin 100. t



Figura A2.4 Variables de estado.

Pueden visualizarse el resto de las variables o expresiones que las usen. Se ilustra el

despliegue de las potencias instantáneas que ingresan a las componentes, que emplea las

corrientes en la resistencia y en el condensador.

ec:=eval(corrientes, datos):

assign(ec):

plot([ir*vc(t), -il(t)*vc(t), ic*vc(t)], t=0..0.07,

color=[red, blue, magenta]);

Figura A2.5 Potencias instantáneas.

Ejemplo A2.1.

Obtener las ecuaciones de estado para la red de la Figura A2.6.

C

R

L

iL(t)

vC(t)



Figura A2.6 Ecuaciones de estado.

Las referencias para las polaridades se eligen de tal forma que el producto de la corriente por

el voltaje sea la potencia ingresando a cada componente.

Las variables de estado son los voltajes en los condensadores y las corrientes en los

inductores.

Excepción a lo anterior son: circuitos formados solamente por condensadores y fuentes

independientes de tensión; y conjuntos de corte formados solamente por inductores y fuentes

independientes de corriente. En estos casos puede agregarse una resistencia de muy bajo valor

en el circuito de los condensadores, o una resistencia muy alta en el conjunto de corte formado

por inductores.

Se ilustra un procedimiento para obtener las ecuaciones de estado, está basado en plantear las

ecuaciones de la red y luego eliminar las variables que no sean los voltajes en los condensadores

y las corrientes en los inductores.

Solución transitoria basada en ecuaciones de estado:

Se plantean las ecuaciones de la red y los datos. Las derivadas de las variables de estado con

mayúsculas y con operador D.

ecs:={i1=C*DV1, v2=L*DI2,

v6=e(t), i5=-j(t),

v3=R3*i3, v4=R4*i4,

v2=v4+v6, v3=v1+v4+v6, v5=v1+v4+v6,

i1=-i5-i3, i4=-i5-i3-i2, i6=-i5-i3-i2}:

El conjunto datos permite especificar los parámetros de la red. Se ha elegido un estímulo

continuo para la fuente de corriente y uno sinusoidal para la fuente de tensión. datos:={R3=1, R4=20, L=1, C=1, j(t)=2, e(t)=5*cos(2*t)}:

Se eliminan todas las variables, excepto las de estado. ec1:=eliminate(ecs,{i1, i3, i4, i5, i6, v2, v3, v4, v5, v6}):

El resultado del comando eliminate es una lista, el primer elemento de la lista contiene las

variables eliminadas en función de las que quedan. El segundo elemento de la lista contiene las

ecuaciones en términos de las variables no eliminadas, las variables de estado en este caso; el

segundo elemento de la lista ec1, se obtiene con: ec1[2].

Se resuelve para las derivadas de las variables de estado, formando así el sistema de

ecuaciones diferenciales de primer orden.

R3 e(t) j(t) L

C R4

i1

v2

i4

i3 i6 i2 i5



ec2:=solve(ec1[2], {DV1,DI2}):

Se forman las ecuaciones de estado, dejando como variables dependientes del tiempo a las de

estado. ecestado:=subs(v1=v1(t), i2=i2(t), DV1=diff(v1(t), t), DI2=diff(i2(t), t), ec2);

Se expresan el resto de las variables en función de las variables de estado. El conjunto

solresto contiene todas las variables restantes en términos de las variables de estado.

solresto:=subs(v1=v1(t), i2=i2(t), DV1=diff(v1(t), t), DI2=diff(i2(t), t), ec1[1]):

Se definen las variables de estado y un conjunto de valores iniciales: varestado:={v1(t), i2(t)}:

estadoinicial:={v1(0)=2, i2(0)=1}:

Solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, con el comando dsolve. estado:=dsolve(estadoinicial union eval(ecestado, datos), varestado);

Si se desea expresar mediante números reales, se aplica el comando evalf, con tres cifras;

para la corriente se obtiene:

La visualización de los resultados, se logra asignando las variables y usando el comando

plot. assign(estado):

plot([v1(t), i2(t)], t=0..20, color=[red, blue]);

ecestadod

d

t( )v1 t

( )v1 t R4 ( )i2 t R3 ( )j t ( )e t

C ( )R3 R4,{ :=

d

d

t( )i2 t

( )e t R3 R4 ( )v1 t R4 R3 ( )j t R4 ( )i2 t R3

L ( )R3 R4}

( )i2 t2104

121009e

t

2sin

1239 t

421239

288

293e

t

2cos

1239 t

42

5

293( )cos 2 t

85

586( )sin 2 t

( )v1 t3973

121009e

t

2sin

1239 t

421239

21

293e

t

2cos

1239 t

42

32

293( )sin 2 t

21

293( )cos 2 t 2

( )i2 t 0.612 e( )0.500 t

( )sin 0.838 t 0.983 e( )0.500 t

( )cos 0.838 t

0.0171 ( )cos 2. t 0.145 ( )sin 2. t



Figura A2.7 Variables de estado.

Se puede calcular cualquier variable de la red, en términos de la solución anterior. eval(solresto, estado):

A2.4. Análisis alterno

Se plantean las ecuaciones de equilibrio, empleando s para el operador diferencial. LCK en

nodos y LVK en mallas. Se identifican todas las variables y se resuelve el sistema. Luego se

reemplaza s por j .

Se utiliza el comando interface(imaginaryunit=j): para emplear j en lugar de I para la raíz de

menos uno.

Determinar los voltajes V13 y V34, y la corriente en la red de la Figura A2.8.

Figura A2.8 Análisis alterno.

Se tienen los siguientes datos:

Vs(t) = 200sen(314t) [V];

R1=5[ ]; L=5/314 [Hy]; R2=4[ ]; C=1/1256 [F].

Programa

restart;

interface(imaginaryunit=j):

eceq:={v1=R1*i1, v2=L*s*i2, v3=R3*i3, i4=C*s*v4, v5=Vs}:

v1 v3 i

1 R1 2 3 4

v2 v4

R2 L C

Vs(t) +

i2(t)

v1(t)



lvk:={v5=v1+v2+v3+v4}:

lck:={i5=-i1, i1=i2, i2=i3, i3=i4}:

vars:={i1,i2,i3,i4,i5,v1,v2,v3,v4,v5}:

sol:=solve(eceq union lck union lvk, vars):

rfrec:= subs(s=j*omega,sol);

Se obtienen las respuestas en frecuencia para las variables:

Se especifican los valores de los datos y se asignan variables. Si la excitación tuviera un

ángulo de fase, se especifica Vs mediante un número complejo.

datos:={R1=5, R3=4, L=5/314, C=1/1256, omega=2*Pi*50,Vs=200}:

sol:=eval(rfrec, datos):

assign(sol):

Resultados

Los resultados pueden desplegarse mediante las funciones abs y argument.

v3; evalf(abs(v3)); evalf(argument(v3)*180/Pi);

La función abs calcula el módulo, y argument el ángulo en radianes. El ángulo se ha

convertido de radianes a grados.

Puede diseñarse un procedimiento, llamado MagAng para expresar los resultados como un

par: magnitud, ángulo. Se emplea printf, con la sintaxis del lenguaje C.

La definición del procedimiento comienza con proc y la lista de argumentos; termina con

end proc. El argumento z debe ser un número complejo.

MagAng:=proc(z)

printf("%g|_ %gº \n", evalf(abs(z)), evalf(argument(z)*180/Pi));

end proc:

Entonces las tres invocaciones al procedimiento:

MagAng(v1+v2); MagAng(v3+v4); MagAng(i4);

Producen la siguiente salida:

v3j R3 C Vs

j R1 C L 2 C j R3 C 1

10000

157j

225

314j

3125

246492 1

88.34029298

-6.368890532



156.20466 |_ 38.645636º

124.900377|_ -51.354364º

22.085073|_ -6.368891º

Si se desea obtener los valores de las formas de ondas, se determinan las transformaciones

inversas, obteniendo:

13

30

( ) 156, 2sen(314 38,65º )

( ) 124,9sen(314 51,35º )

( ) 22,09sen(314 6,37º )

v t t

v t t

i t t

Se puede modificar la función para pasar como argumento un conjunto de ecuaciones. Los

diferentes elementos del conjunto se extraen con la notación de arreglos, usando corchetes. La

función lhs extrae lado izquierdo; y rhs el lado derecho. En printf la letra a indica un elemento

algebraico. Se ilustra la sentencia for y el bloque repetitivo empleando los delimitadores do y

end do. El siguiente procedimiento no requiere efectuar la asignación, imprime los símbolos de

las variables y el número complejo polar asociado.

MagAng2:=proc(f,n)

local i;

for i from 1 by 1 to n

do printf("%a = %g |_%gº\n", lhs(f[i]),

abs(rhs(f[i])), (argument(rhs(f[i]) )*180/Pi) );

end do;

end proc:

A2.5. Respuesta en frecuencia

Para la función de transferencia H(j ) se definen las funciones ganancia A y ángulo

según:

y

Ejemplo A2.2.

Con el comando unapply se obtiene la función H(s), para una función de transferencia de

segundo orden, a partir de la expresión expH.

expH:= wn^2/(s^2 + 2*a*wn*s + wn^2);

H:= unapply( expH, s );

( )A ( )H j ( )( )arg ( )H j 180

:= expHwn2

s2 2 a wn s wn2



Las funciones Maple pueden ser evaluadas en términos de su argumento, no así las

expresiones.

Las funciones amplitud y fase, que a su vez son funciones de H, se obtienen en función de

los parámetros a y wn con el comando unapply. De este modo puede visualizarse la influencia

de los parámetros a y wn en la respuesta en frecuencia.

A := unapply( evalc(abs(H(j*omega))), (a, wn));

simplify(A(a, wn));

Phi := unapply(evalc(argument(H(j*omega)))*180/Pi, (a, wn));

Diagramas de Bode

El siguiente comando genera un diagrama de Bode para la ganancia, con a=0,2 y wn=1:

with( plots ):interface(imaginaryunit=j):

semilogplot( 20*log10(A(0.2,1)), omega=0.1..10,

axes=framed, labels=[omega,"Ganancia (dB)"], labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL]);

Figura A2.9 Diagrama de Bode de la ganancia.

El siguiente comando genera un diagrama de Bode para el ángulo de fase, para a=0,5 y

wn=1: semilogplot( Phi(.5,1), omega=0.1..10,

axes=framed,labels=[omega,"Angulo (grados)"], labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL]

);

:= H swn2

s2 2 a wn s wn2

wn4

4 2 2 wn2 wn4 4 a2 wn2 2

:= ( ),a wn 180( )arctan ,2 wn3 a wn2 ( )2 wn2



Figura A2.10 Diagrama de Bode del ángulo.

Diagrama de Nyquist

Además de los diagramas de Bode, existen otras representaciones para mostrar la respuesta

en frecuencia. El diagrama de Nyquist muestra en un plano complejo, la magnitud y ángulo de

la función de transferencia, en función de la frecuencia angular.

Se muestran los comandos para generar el diagrama de Nyquist, para amortiguamiento 0,8 y

frecuencia natural igual a 5.

Se efectúa el comando complexplot para almacenar como una serie de puntos el gráfico en

p1.

Se muestra el punto (-1, j0) con un pequeño círculo mediante el gráfico que se almacena en

p2.

En p3 se almacena un gráfico con el sistema de coordenadas polares para el diagrama de

Nyquist.

Mediante el comando display, se despliegan los tres gráficos, con un título.

expcom:=eval(H(j*omega),{a=0.8,wn=5});

p1 := complexplot(expcom ,omega=0..20, color=BLUE):

p2 := plot([[-1,0]], style=POINT, symbol=circle, symbolsize=14, color=BLACK):

p3 := coordplot(polar, [0..1, 0..2*Pi], grid=[5,13], color=[RED, orange], linestyle=[1,2]):

display({p1, p2, p3}, scaling=constrained, title="Diagrama de Nyquist");

Figura A2.11 Diagrama de Nyquist.



En corriente continua, con =0, se inicia el diagrama en el punto (1,0). Antes se vio, en la

Figura A2.10, que el ángulo tiende a 180º para frecuencias tendiendo a infinito; y la amplitud

tiende a cero, según se observa en la Figura A2.9.

Raíces de la ecuación característica

El siguiente comando calcula las raíces del denominador: raices:=solve(s^2+2*a*wn*s+wn^2=0, s);

Las ubicaciones de las raíces de la ecuación característica de segundo orden se muestran,

variando el parámetro a. Primero son reales diferentes, luego complejas conjugadas. El valor -a es la parte real de las

raíces complejas conjugadas. El caso de oscilación subamortiguada se produce cuando las raíces son complejas. La

oscilación críticamente amortiguada ocurre para raíces iguales. Se tiene oscilación sobre

amortiguada para raíces reales diferentes.

p1:= complexplot(eval(raices[1], wn=1), a=0.1..2, style=point, color=red, axes=normal):

p2:= complexplot(eval(raices[2], wn=1), a=0.1..2, style=point, color=blue):

display(p1, p2);

Figura A2.12 Root locus.

Relación entre la ubicación de las raíces y la respuesta en frecuencia

El siguiente comando muestra en un gráfico tridimensional la magnitud en DB de la función

H( +j ).

plot3d(20*log10(abs(eval(H(sigma+j*omega), {a=0.2,wn=1}))), sigma=2..-2, omega=-3..3,

axes=framed, orientation=[40,60], grid=[20,20], shading=XY);

,( )a a2 1 wn ( )a a2 1 wn



Figura A2.13 Superficie de la Ganancia en el plano complejo.

En las ubicaciones de los polos la ganancia tiende a infinito. Se puede efectuar un corte en

=0, ya que esto permite visualizar el módulo de H(j ). Para lograr esto se varían: entre 0 y -

2, y entre 0 y 3, mostrando sólo una parte de la gráfica tridimensional que se muestra en la

Figura A2.13.

plot3d(20*log10(abs(eval(H(sigma+j*omega), {a=0.2, wn=1}))), sigma=0..-2, omega=0..3,

axes=framed, orientation=[40,60], grid=[20,20], shading=XY);

Figura A2.14 Respuesta en frecuencia.

Mientras más cerca esté la raíz del eje j , más pronunciado será el máximo de la ganancia.

Las gráficas tridimensionales, dentro de Maple, se pueden girar y visualizar desde diferentes

ángulos, logrando una rápida familiarización con las relaciones

La visualización de la ubicación de los polos y la ganancia para un filtro de tipo Butterworth,

de cuarto orden, se logra con:

expH:= 1/sqrt(1+s^(2*n));

H:= unapply( expH, s );

plot3d(20*log10(abs(eval(H(sigma+j*omega),{n=4}))), sigma=0..-2, omega=-2..2,

axes=framed, orientation=[40,60], grid=[15,15], shading=XY, numpoints=1000);

A( )



Figura A2.15 Butterworth cuarto orden. Pasa bajos.

Se muestra entre -2 y +2, para visualizar las raíces formando un semicírculo.

Ejemplo A2.3

Estudiaremos la función de transferencia del filtro pasa bajos que se muestra en la Figura

A2.16.

Se desea calcular el cuociente entre la magnitud del voltaje de salida y la magnitud del

voltaje de entrada; y también la diferencia entre el ángulo de fase del voltaje de salida menos el

ángulo de fase del voltaje de entrada.

Figura A2.16 Filtro pasa bajos.

Se procede en forma similar al análisis alterno, planteando las ecuaciones en función del

operador s. Se resuelve el sistema de ecuaciones y se asignan las expresiones simbólicas a los

identificadores de variables.

Programa

restart:with(plots):

interface(imaginaryunit=j):

ecs:={v1=R1*i1, i2=C*s*v2, v3=vs, i3=i1, i1=i2, v3=v1+v2}:

vars:={i1, i2, i3, v1, v2, v3}:

sol:=solve(ecs, vars):

assign(sol):

Luego se calculan las funciones: de transferencia, la ganancia y el ángulo; se definen los

datos de los parámetros.

R

C Vin

+

Vout

i 1 2

0



expH:=v2/vs:

H := unapply( expH, s ):

A := unapply( evalc(abs(H(j*omega))), (omega)):

Phi := unapply(evalc(argument(H(j*omega)))*180/Pi,(omega)):

datos:={R1=1, C=2.0E-6}:

Resultados

Se obtiene el diagrama de Bode de la Ganancia, empleando:

semilogplot( 20*log10(eval(A(omega),datos)), omega=2*Pi*3000..2*Pi*300000, axes=framed,

labels=[omega,"Ganancia (dB)"], labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL]);

Figura A2.17 Diagrama de Bode de la Ganancia.

Se obtiene el diagrama de Bode del ángulo, empleando:

semilogplot( eval(Phi(omega),datos),

omega=2*Pi*3000..2*Pi*300000, axes=framed,

labels=[omega,"Angulo (grados)"], labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL],

numpoints=200);

Figura A2.18 Diagrama de Bode del Ángulo.



A2.6. Funciones de transferencia. Redes equivalentes

Para encontrar redes equivalentes se procede a plantear las ecuaciones de la red; luego se

eliminan las variables internas, dejando una relación entre las variables terminales: i y v.

Ejemplo A2.4

Se desea calcular la red equivalente Thévenin, vista desde los terminales a y b.

Para lograr la relación (v, i) entre los terminales a y b, agregamos una fuente de corriente i

externamente, desde el terminal a hacia el terminal b, como se indica en la Figura A2.19.

Figura A2.19 Red para ejemplo A2.4.

La red Thévenin equivalente se muestra en la Figura A2.20.

Figura A2.20 Red Thévenin.

En la Figura A2.20 se tiene la siguiente relación entre v e i:

t tv E R i

Los valores de la fuente y resistencia Thévenin se obtienen según:

( 0)tE v i

( 0)t

dv eR

di

El comando eliminate, genera una lista, que en Maple es una secuencia ordenada de

expresiones, encerrada entre paréntesis cuadrados; a diferencia de un conjunto que es una

secuencia no ordenada de expresiones, encerrada entre paréntesis cursivos.

e v R4

+ R1

R3

R2

a

b

i v5

Et v

+ Rt

a

b

i



El primer conjunto de la lista entrega las variables eliminadas en términos del resto de las

variables, el segundo elemento de la lista es la ecuación de equilibrio de la red equivalente entre

los terminales a y b.

El comando solve, obtiene la expresión para el voltaje en términos de las excitaciones, que

en la red del ejemplo son las fuentes independientes e e i.

eceq:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v4=R4*i4, v5=e}:

datos:={R1=4, R2=4, R3=2, R4=4, e=10}:

lck:={i5=i1, i1=i2+i3, i3=i4+i}:

lvk:={v5=v1+v2, v2=v3+v4, v4=v}:

ecs:=eceq union lck union lvk :

vars:={i1, i2, i3, i4, i5, v1, v2, v3, v4, v5}:

lista:=eliminate(ecs, vars):

transferencia:=solve(lista[2] , {v} );

assign(transferencia):

Los valores del equivalente Thévenin se calculan según:

Et:=eval(v, i=0);

Rt:=eval(-diff(v, i), e=0);

Ejemplo A2.5

La determinación del equivalente Thévenin para la red con excitación continua y alterna de

la Figura A2.21, se desarrolla en forma similar al ejemplo anterior, salvo que en el cálculo de la

resistencia Thévenin deben igualarse a cero todas las fuentes internas.

Figura A2.21 Red con fuente alterna y continua.

Se agrega un conjunto de datos para especificar el valor de los parámetros.

eceq:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v4=R4*i4, v5=e1, v6=e2}:

datos:={R1=4, R2=4, R3=2, R4=4, e2=10, e1=1.5*sin(t)}:

lck:={i5=i1, i1=i2+i3, i3=i4+i, i6=i2}:

lvk:={v5=v1+v2+v6, v2+v6=v3+v4, v4=v}:


:= EtR4 e R2

R2 R4 R1 R3 R3 R2 R1 R2 R1 R4

:= RtR4 ( )R1 R3 R3 R2 R1 R2

R2 R4 R1 R3 R3 R2 R1 R2 R1 R4

Vac

0

v R4

+

1

R1

2 R3

R2

3 a

b

4

Vcc +

=



vars:={i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6}:


reeq:=solve(lista[2] , {v} );

assign(reeq);

Et:=eval(v, i=0);

Rt:=eval(-diff(v, i), {e1=0, e2=0} );

eval(Et, datos);

eval(Rt, datos);

2

Ejemplo A2.6

Determinar el equivalente Thévenin, entre los terminales a y b, de la red de la Figura A2.22,

que tiene una fuente controlada.

Figura A2.22 Thévenin con fuentes controladas.

eceq:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v4=R4*i4, v5=e}:

datos:={R1=4, R2=4, R3=2, R4=4, e=10, alpha=1.5}:

lck:={i5=i1, i1=i2+i3, i3=i4-alpha*i2+i}:

lvk:={v5=v1+v2, v2=v3+v4, v4=v}:


vars:={i1, i2, i3, i4, i5, v1, v2, v3, v4, v5}:


reeq:=solve(lista[2] ,{v} );

assign(reeq);

Et:=eval(v, i=0);

Rt:=eval(-diff(v,i), e=0);

eval(Rt, datos);

:= EtR4 ( )e1 R2 R1 e2

R3 R2 R1 R4 R1 R3 R1 R2 R2 R4

:= RtR4 ( )R3 R2 R1 R3 R1 R2

R3 R2 R1 R4 R1 R3 R1 R2 R2 R4

.3750000000 ( )sin t5

2

:= EtR4 ( )R2 e R3 e

R2 R1 R4 R2 R4 R1 R4 R1 R3 R2 R3 R1

:= RtR4 ( )R2 R1 R3 R2 R3 R1

R2 R1 R4 R2 R4 R1 R4 R1 R3 R2 R3 R1

i2 Vs

0

v R4

+

1

R1

2 R3

R2

3 a

b

i2



eval(Et, datos);

La presencia de fuentes controladas dificulta el análisis de redes equivalentes empleando

métodos de papel y lápiz. El uso de Maple permite un tratamiento homogéneo para los

diferentes casos.

A2.7. Estímulos transitorios

En Maple se pueden generar estímulos transitorios con mucha facilidad.

Como ejemplos se desarrollan los estímulos de SPICE.

A2.7.1. Estímulo exponencial

Se desarrolla una función definida por segmentos temporales, que crea una forma de onda

con valor constante <i1> para los primeros <td1> segundos. Luego, los próximos <td2>

segundos a través de una exponencial de constante de tiempo <tc1> pasa desde valor <i1> hasta

valor <i2>. Después hasta <TSTOP> se produce un decaimiento exponencial con constante de

tiempo <tc2>.

Una descripción analítica, más precisa, de lo anterior:

1

1

1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 1

2 1 2 1

0 :

: ( )(1 )

: ( )((1 ) (1 ))

t td

tc

t td t td

tc tc

t td i

td t td i i i e

td t TSTOP i i i e e

Un programa Maple, que crea la función EXP(t) mediante el comando piecewise.

param:={i1=1, i2=10, td1=1, tc1=1, td2=10, tc2=3,

TSTOP=20}:

EXP := t -> piecewise

(0<=t and t<td1, i1,

td1<=t and t<td2, i1+(i2-i1)*(1-exp(-(t-td1)/tc1)),

td2<=t and t<TSTOP, i1+(i2-i1)* ((1-exp(-(t-td1)/tc1))-(1-exp(-(t-td2)/tc2)))

):

El siguiente comando substituye los parámetros en la función EXP, y la despliega en el

intervalo.

plot(subs(param, EXP(t)), t=0..30);

3.200000000

7.000000000



Figura A2.23 EXP (<i1> <i2> <td1> <tc1> <td2> <tc2>)

A2.7.2. Estímulo por secciones lineales

El estímulo PWL describe una forma de onda por segmentos lineales. En SPICE se emplean

pares ordenados para describir los vértices del polígono abierto. El primer elemento del par es el

tiempo, el segundo la amplitud.

Como ejemplo desarrollaremos empleando el comando piecewise el estímulo:

PWL (0, 1) (1.2, 5) (1.4, 2) (2, 4) (3, 1)

Piecewise emplea listas de <condición>, <expresión> para generar los segmentos temporales

de la función.

En el intervalo se representa el segmento recto mediante la ecuación de una línea que pasa

por dos puntos:

( ) ( ) fj fi

f t fi t ti ti t tjtj ti

tj ti

fj

fi

t

Figura A2.24 Recta definida por dos puntos.

El segmento Maple que crea la función: PWL:=t-> piecewise

( t>=0 and t<1, 0,

1.2>t, (5-0)*(t-1)/(1.2-1),

1.4>t, 5+(2-5)*(t-1.2)/(1.4-1.2),

2>=t, 2+(4-2)*(t-1.4)/(2-1.4),



3>=t, 4+(1-4)*(t-2)/(3-2),

t>3, 1

):

Podemos visualizar la función, mediante: plot(PWL(t), t=-1..4, y=-1..6);

Figura A2.25 PWL (0, 1) (1.2, 5) (1.4, 2) (2, 4) (3, 1).

A2.7.3. Estímulo sinusoidal amortiguado

El estímulo SIN está definido según:

( )

0 : sin(2 / 360º )

: sin(2 ( ) / 360º ))

off ampl

off ampl

t td df

t td i i Phase

td t TSTOP i i frec t td Phase e

Genera un sinusoide con offset, que decae exponencialmente.

SINp:= t -> piecewise(

0<=t and t<td, ioff+iampl*sin(2*Pi/360),

td<=t, ioff + iampl*sin(2*Pi*(frec*(t-td) + phase/360))* exp(-(t-td)*df) ):

Se definen parámetros para generar: SIN(2 2 5Hz 1sec 1 30) param:={ioff=2, iampl=2, frec=5, td=1, df=1, phase=30}:

plot(subs(param, SINp(t)), t=0..4);

Figura A2.26 SIN (<ioff> <iampl> <freq> <td> <df> <phase>)



A2.7.4. Estímulo FM

El estímulo SFFM genera una señal modulada en FM por una frecuencia modulante simple,

de acuerdo a la siguiente descripción:

ioff + iampl·sin(2 ·fc·t + modul·sin(2 ·fm·t) )

Donde modul es el índice de modulación.

El commando Maple que genera el estímulo es: SFFM:= t -> ioff + iampl*sin(2*Pi*fc*t+modul*sin(2*Pi*fm*t)):

Se definen parámetros para generar: SFFM(2 1 8Hz 4 1Hz) param:={ioff=2, iampl=1, fc=8, modul=4, fm=1}:

plot(subs(param, SFFM(t)), t=0..2);

Figura A2.27 SFFM (<ioff> <iampl> <fc> <mod> <fm>)

A2.7.5. Estímulo AM

Una señal modulada en amplitud puede definirse en forma similar. Este estímulo no está

implementado en SPICE.

SFAM:= t -> ioff + iampl*sin(2*Pi*fm*t)*sin(2*Pi*fc*t):

Se definen parámetros para generar: SFAM(2 1 8Hz 1Hz) param:={ioff=2, iampl=1, fc=8, fm=1}:

plot(subs(param, SFAM(t)), t=0..2);

Figura A2.28 SFAM (<ioff> <iampl> <fc> <fm>)



A2.7.8. Estímulos periódicos

Definición recursiva

La definición de una señal ( )f t periódica puede efectuarse en términos recursivos mediante

la definición de una señal ( )g t en un intervalo igual a un período:

Es decir si ( )g t es conocida, la función ( )f t periódica puede definirse según:

f := t-> if 0<=t and t<T

then g(t)

elif T<=t

then f(t-T)

elif t<0

then f(t+T) fi;

Se ha usado la construcción if then else. Debe notarse que el else if, se anota elif; y que el if

se termina con fi.

Sin embargo esta definición al ser recursiva es costosa de implementar.

Definición por reducción del argumento

Si ( )f t es igual a ( )g t para el intervalo puede extenderse la definición de f

para todo t, considerando un número k entero. Cuando k es negativo, la forma de onda de g, se

desplaza a la izquierda; si es positivo se desplaza hacia la derecha.

La función periódica se define a través de un procedimiento, que emplea una variable local

y. La función retorna ( )g y . Mediante los lazos while se lleva los valores de t hacia el intervalo

entre 0 y T, donde está definida ( )g t .

f := proc(t)

local y;

y := t;

while y >= T do y := y-T od;

while y < 0 do y := y+T od;

g(y);

end;

( )f t

( )g t and 0 t t T

( )f t T T t

( )f t T t 0

and 0 t t T

( )f t {( )g t and 0 t t T

( )g t k T and k T t t ( )k 1 T



Puede invocarse a la función con llamados tipo: f(1.2). Se le pasa un valor como argumento, y

la función retorna un valor. La función puede emplearse como parte de una expresión.

Ejemplo A2.7

Se define la señal ( )g t entre 0 y 1, por segmentos parabólicos.

T:=1;

g:= t -> piecewise( 0<=t and t<T, 4*t^2-4*t+1 );

Una gráfica de g, se obtiene con: plot(g(t), t=-2..2);

Figura A2.29 2( ) 4 4 1g t t t

Notar que sólo queda definida en el período.

Si ya se encuentra definido el procedimiento para f. El siguiente comando despliega, la señal

periódica, para cualquier intervalo:

plot(f, -4..4);

Figura A2.30 f(t) periódica.



Reducción del argumento mediante floor

La reducción iterativa del argumento puede ser costosa, debido al número de iteraciones para

valores elevados del argumento relativos al período. Tradicionalmente se efectúa la reducción

en una sola operación. Esto suele implementarse en las funciones periódicas más usadas, como

seno y coseno; en las bibliotecas se define un período mediante una serie, y el argumento se

reduce empleando la función estándar floor. Que obtiene el mayor entero menor o igual al

número.

Por ejemplo floor(1.2) es 1; y floor(-1.2) = -2

Figura A2.31 floor(t).

Si estudiamos la forma de onda de t -floor(t), observamos que lleva todos los valores de t al

intervalo entre 0 y 1.

Figura A2.32 t - floor(t).

Entonces: t - T*floor(t-t/T) lleva todos los valores de t al intervalo entre 0 y T.

La siguiente es una definición de una función periódica f, cuya forma está definida por

g(t) entre 0 y T.

Su ventaja es que si t está fuera del intervalo entre 0 y T, en una sola evaluación lleva t al

intervalo entre 0 y T.

( )f t

( )g t and 0 t t T

g t T floort

Totherwise



La siguiente definición, emplea la definición del resto de los casos en piecewise, luego de la

lista de segmentos temporales.

fp := t -> piecewise( 0<=t and t<T, g(t), g(t-floor(t)) );

Ejemplo A2.8

Implementaremos el estímulo periódico PULSE de Spice, empleando los conceptos

anteriores.

tr

i2

i1

t

td pw tf

tper

Figura A2.33 PULSE (<i1> <i2> <td> <tr> <tf> <pw> <per>)

La función en el primer período se define por sus segmentos, según:

pulso:= t -> piecewise

( 0<=t and t<td, i1,

td<=t and t<td+tr, i1+(i2-i1)*(t-td)/tr,

td+tr<=t and t<td+tr+pw, i2,

td+tr+pw<=t and t<td+tr+pw+tf, i1+(i1-i2)*(t-(td+tr+pw+tf))/tf,

td+tr+pw+tf<=t and t<per, i1 ):

Con los siguientes parámetros, puede obtenerse la función en el primer período.

param:={i1=0.8, i2=5, td=1, tr=.5, tf=2, pw=3, per=10};

plot(subs(param, pulso(t)), t=0..20);

Figura A2.34 pulso (1, 5, 1, 5, 3, 10)



La definición del pulso periódico, empleando floor:

PULSE:= t -> piecewise(

0<=t and t<per, pulso(t),

pulso(t-per*floor(t/per)) ):

La visualización de la señal periódica:

plot(subs(param, PULSE(t)), t=-10..20, y=0..6);

Figura A2.35 PULSE (1, 5, 1, 5, 3, 10)

A2.8. Syrup

Joseph Riel desarrolló la aplicación Syrup, como una biblioteca Maple, que permite obtener

las ecuaciones simbólicas de una red empleando un netlist, similar a las descripciones de redes

SPICE.

Permite realizar análisis continuo, alterno y transitorio.

La aplicación puede bajarse del sitio de Maple: www.maplesoft.com.

Si se instala la versión preinstalada, se requiere colocar los siguientes tres archivos:

maple.hdb, maple.ind, maple.lib, en un directorio. Las líneas siguientes asumen que se

colocaron en C:\Documents and Settings\Syrup.

> restart:

bibname:="C:\\Documents and Settings\\Syrup":

libname := libname, bibname:

Luego de esto, pueden describirse redes, con la sintaxis de SPICE. Se ilustra una red RLC

serie.

> with(Syrup):

> circuito := "Red RLC serie

*Comentario.

V 1 0

R 1 2

L 2 3 L ic=a



C 3 0 C ic=b

.end":

El siguiente comando obtiene las transformadas de Laplace de los voltajes de

nodos.

> ecTL:=syrup(circuito, ac);

Si se desea la respuesta en frecuencia, puede ejecutarse:

> respenfrec:= subs(s=j*omega, ecTL);

El siguiente comando obtiene dos conjuntos, el primero con las condiciones iniciales y las

ecuaciones de estado; el segundo con las variables de estado.

> ecs:= syrup(circuito, tran);

Lo cual permite resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, con el

comando:

> sol:= dsolve(ecs):

Luego de esto se tienen disponibles las ecuaciones simbólicas de la red, y se puede continuar

el análisis empleando comandos Maple.

:= ecTL { }, ,v2

V ( )1 s2 L C

s C R 1 s2 L Cv

3

V

s C R 1 s2 L Cv

1V

ecs { }, , ,( )iL

0 a ( )vC

0 bt

( )vC

t( )i

Lt

C t( )i

Lt

( )iL

t R V ( )vC

t

L, :=

{ },( )vC

t ( )iL

t



Índice general

APÉNDICE 2 .......................................................................................................................... 1

USO DE MAPLE EN ANÁLISIS DE REDES ................................................................... 1

A2.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 1 A2.2. MÉTODOS DE ANÁLISIS ............................................................................................... 2 A2.3. ANÁLISIS CONTINUO O DC ......................................................................................... 3

Programa ......................................................................................................................... 3 Representación gráfica .................................................................................................... 5

A2.3. ANÁLISIS TRANSITORIO .............................................................................................. 5 Programa ......................................................................................................................... 6 Formas de ondas .............................................................................................................. 7 Ejemplo A2.1. ................................................................................................................... 8

A2.4. ANÁLISIS ALTERNO ................................................................................................... 11 Programa ....................................................................................................................... 11 Resultados ...................................................................................................................... 12

A2.5. RESPUESTA EN FRECUENCIA ..................................................................................... 13 Ejemplo A2.2. ................................................................................................................. 13 Diagramas de Bode ........................................................................................................ 14 Diagrama de Nyquist ..................................................................................................... 15 Raíces de la ecuación característica .............................................................................. 16 Relación entre la ubicación de las raíces y la respuesta en frecuencia ......................... 16 Ejemplo A2.3 .................................................................................................................. 18

Programa ................................................................................................................................................. 18 Resultados ............................................................................................................................................... 19

A2.6. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. REDES EQUIVALENTES ......................................... 20 Ejemplo A2.4 .................................................................................................................. 20 Ejemplo A2.5 .................................................................................................................. 21 Ejemplo A2.6 .................................................................................................................. 22

A2.7. ESTÍMULOS TRANSITORIOS ....................................................................................... 23 A2.7.1. Estímulo exponencial ......................................................................................... 23 A2.7.2. Estímulo por secciones lineales ......................................................................... 24 A2.7.3. Estímulo sinusoidal amortiguado ...................................................................... 25 A2.7.4. Estímulo FM ...................................................................................................... 26 A2.7.5. Estímulo AM ...................................................................................................... 26 A2.7.8. Estímulos periódicos .......................................................................................... 27

Definición recursiva ................................................................................................................................ 27 Definición por reducción del argumento ................................................................................................. 27 Ejemplo A2.7 ........................................................................................................................................... 28 Reducción del argumento mediante floor ................................................................................................ 29

Ejemplo A2.8 .................................................................................................................. 30 A2.8. SYRUP ....................................................................................................................... 31 ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 33



Índice de Figuras.

Figura A2.1 Identificación de variables. ....................................................................................... 3 Figura A2.2 Barrido DC. ............................................................................................................... 5 Figura A2.3 Red RLC paralelo ...................................................................................................... 6 Figura A2.4 Variables de estado. ................................................................................................... 8 Figura A2.5 Potencias instantáneas. .............................................................................................. 8 Figura A2.6 Ecuaciones de estado. ................................................................................................ 9 Figura A2.7 Variables de estado. ................................................................................................. 11 Figura A2.8 Análisis alterno. ....................................................................................................... 11 Figura A2.9 Diagrama de Bode de la ganancia. .......................................................................... 14 Figura A2.10 Diagrama de Bode del ángulo. .............................................................................. 15 Figura A2.11 Diagrama de Nyquist. ............................................................................................ 15 Figura A2.12 Root locus. ............................................................................................................. 16 Figura A2.13 Superficie de la Ganancia en el plano complejo. .................................................. 17 Figura A2.14 Respuesta en frecuencia. ....................................................................................... 17 Figura A2.15 Butterworth cuarto orden. Pasa bajos. ................................................................... 18 Figura A2.16 Filtro pasa bajos. ................................................................................................... 18 Figura A2.17 Diagrama de Bode de la Ganancia. ....................................................................... 19 Figura A2.18 Diagrama de Bode del Ángulo. ............................................................................. 19 Figura A2.19 Red para ejemplo A2.4. ......................................................................................... 20 Figura A2.20 Red Thévenin. ....................................................................................................... 20 Figura A2.21 Red con fuente alterna y continua. ........................................................................ 21 Figura A2.22 Thévenin con fuentes controladas. ........................................................................ 22 Figura A2.23 EXP (<i1> <i2> <td1> <tc1> <td2> <tc2>) ........................................................ 24 Figura A2.24 Recta definida por dos puntos. ............................................................................. 24 Figura A2.25 PWL (0, 1) (1.2, 5) (1.4, 2) (2, 4) (3, 1). .............................................................. 25 Figura A2.26 SIN (<ioff> <iampl> <freq> <td> <df> <phase>) ............................................... 25 Figura A2.27 SFFM (<ioff> <iampl> <fc> <mod> <fm>) ........................................................ 26 Figura A2.28 SFAM (<ioff> <iampl> <fc> <fm>) .................................................................... 26

Figura A2.29 2( ) 4 4 1g t t t ............................................................................................... 28

Figura A2.30 f(t) periódica. ........................................................................................................ 28 Figura A2.31 floor(t). ................................................................................................................. 29 Figura A2.32 t - floor(t). ............................................................................................................. 29 Figura A2.33 PULSE (<i1> <i2> <td> <tr> <tf> <pw> <per>) ................................................ 30 Figura A2.34 pulso (1, 5, 1, 5, 3, 10) .......................................................................................... 30 Figura A2.35 PULSE (1, 5, 1, 5, 3, 10) ...................................................................................... 31