utfpr-exercicios limites

5/10/2018 UTFPR-EXERCICIOS LIMITES - slidepdf.com

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UTFPR – Damat - Exercícios - Limites(1) Achar os limites esquerdo e direito das funções abaixo:

(a) f(x)=)3(

1

2

1

−+

x x

quando x→3

Resolução Se x→3-h, então →

−3

1

x- ∞ e )3(

1

2 − x →0. Por conseguinte3

1)(lim

3=

−→

x f h x

. Agora x→3+h,

então3

1

− x→ + ∞ e )3(

1

2 − x → + ∞ e 0)(lim3

=+→

x f h x

.

(b)f(x) = )(

1

a xe

− quando x→ a.

Resolução Se x→ a – h, então →

−a x

1- ∞ e 0)(lim =

−→

x f ha x

. Agora x→ a + h, então →

−a x

1+∞

e )(lim x f ha x +→

= + ∞.

(c)

128

86lim

2

2

2 +−

+−

→

x x

x x

x(d)

x x

x x x x

x −

+−−++

→2

22

0

11lim (e)

9

65lim

2

2

3 −

+−

→

x

x x

x

(f) 23

6116lim

2

23

1 +−

−+−

→ x x

x x x

x (g) (h) (i)

(j) (indicação: fazer ) (l) (m)

(n) (o) (p)

(q) (r) (s) (t)

(u) -

(v))1(lim x sen x sen

x−+

∞→ (w) (x) (y)

(z) (A) (B) (C)

(D) (E) (F)

(G) Achar o∞→t

lim t( t a -1) (onde t>0) Resolução Fazendo x =1/t , onde x 0→ , temos)1(

1

lim

1

0/1−

→

t

x a x

= )ln(1

lim0/1

a x

a x

x=

−

→

.

1



(H) (I) (J) (indicação: Reduzir as frações a ummesmo denominador comum)

(L) (M) (indicação: ter em conta que = ex.ln(x)

(N)

(O) (P) (Q)

(R) Achar

Comparação de infinitésimos

Sejam

1. Se o , então se diz que α é um infinitésimo de ordem superior em comparação com β. Nestecaso se escreve α = 0(β)

2. Se o , onde m é um número distinto de zero, então se diz que α e β são infinitésimos de

mesma ordem . Em particular, se o os infinitésimos α e β se chamam equivalentes. A notação

α β . Se , isto quer dizer que o lim = 0 . Portanto β é um infinitésimo de ordem superior emcomparação com α, ou seja β = 0(α)3. Se e β são infinitésimos de mesma ordem e k > 0, se diz que o infinitésimo β a ordem k emcomparação com α .

Propriedades dos infinitésimos1o O produto de dois infinitésimos é um infinitésimo de ordem superior ao dos fatores, ou seja , se

, então e .

2o Os infinitésimos α e β são equivalentes se, e só se, a diferença α – β = é um infinitésimo de ordemsuperior em comparação com α e β , ou seja , se = 0(α) e = 0(β).3o Se a relação entre dois infinitésimos tem um limite, então este limite não se altera ao substituir cada

um dos infinitésimos por outro equivalente , ou seja, se o = m , α , β , então =mÉ útil ter em conta a equivalência dos infinitésimos seguintes se x , então: ,

,Exercícios(1)Seja t um infinitésimo. Comparar os infinitésimos α = 5 +2 e β = 3 .

Resolução Escrevemos = = = (α e β são de mesma ordem)(2) Compare as magnitudes infinitésimas α = t. e β = 2t. quando t

2



Resolução Escrevemos = = = 0, ou seja α = 0(β).(3) Comparar as magnitudes infinitésimas α = t. e β = t. , quando t .

Resolução Escrevemos = = = = 1, ou seja α

(4) Achar oResolução Substituímos o numerador e o denominador da fração pelos infinitésimos equivalentes

e tg x2 x2 então obteremos

= = 3. = 3.1 = 3

Continuidade de uma função

A função f(x) se chama continua no ponto a se: (1) está definida em certo intervalo onde o ponto a

pertence; (2) existe ; (3) este limite é igual ao valor da função no ponto a, ou seja = f(a)Designando x (incremento do argumento ) e f(x) – f(a) = (incremento da função), a condição

de continuidade se pode escrever assim , ou seja, a função f(x) é continua no ponto a se, e sóse , neste ponto ao incremento infinitésimo do argumento o corresponde incremento infinitésimo dafunção.Se a função é continua em cada ponto de certo campo (intervalo, segmento, etc.) se denomina continuanesse campo.O ponto a que pertence ao campo de definição da função ou que é o de fronteira para este campo sechama ponto de descontinuidad e se neste ponto não se verifica alguma condição de continuidade dafunção.

Se existem os limites finitos = f(a - h) e e nem todo os números f(a), f(a – h) e f(a + h) são iguais entre si, então a se chama ponto de descontinuidade de primeira espécie.Os pontos de descontinuidade de primeira ordem se subdividem, a sua vez em pontos de descontinuidadeevitável (quando f(a – h) = f(a + h) ≠ f(a), ou seja, quando os limites esquerdo e direito da função no

ponto a são iguais entre si, mas não são iguais o valor da função neste ponto e em pontos de salto( quandof(a – h) ≠ f(a + h), ou seja, quando os limites esquerdo e direito da função no ponto a são distintos, noúltimo caso a diferença f(a + h) – f(x – h) se denomina salto da função no ponto a.Os pontos de descontinuidade que não são de primeira espécie se chamam pontos de descontinuidade de

segunda espécie. Nestes pontos de descontinuidade de segunda espécie não existe nem sequer um doslimites lateraisA soma e o produto de um número finito de funções continuas é uma função continua. O quociente

obtido pela divisão de duas funções continuas é uma função continua em todos os pontos em que o

divisor não seja igual a zero.Ex1. Mostrar que quando x = 4 a função y =

4− x

xtem uma descontinuidade.

Resolução Façamos4

lim4 −−→ x

xh x

=44

4lim

0 −−

−

→ h

h

h=

h

h

h −

−

→

4lim

0=

0

04

−

−= - ∞

4lim

4 −+→ x

x

h x=

44

4lim

0 −+

+

→ h

h

h=

h

h

h

+

→

4lim

0=

0

04+= ∞. Assim, pois, a função, se x→ 4, não tem um

limite finito, nem direito, nem esquerdo. Por tanto, x = 4 é um ponto de descontinuidade de segunda

espécie.

Ex2. Mostrar que quando x = 4 a função y = arctg4

1

− xapresenta uma descontinuidade.

Resolução Se x → 4 - h, então0

lim→h

arctg44

1−−h

=0

lim→h

arctgh−1 = arctg (-

01 )= arctg (-∞) = -

2

π

.

Agora x → 4 + h , então0

lim→h

arctg44

1

−+h=

0lim→h

arctgh

1=

0lim→h

arctg (0

1) = arctg (∞) =

2

π

3



De sorte que quando x → 4 a função tem um limite finito, tanto esquerdo como direito, mas sãodiferentes. Logo x = 4 é um ponto de descontinuidade de primeira espécie, ou seja, um ponto de salto. O

salto da função neste ponto é igual a2

π

- (-2

π

) = π.

Ex3. Mostrar que quando x = 5 a função y =5

252

−

−

x

xapresenta uma descontinuidade.

Resolução No ponto x = 5 a função não está definida, já que ao substituirmos, obtemos umaindeterminação 0/0. nos outros pontos a fração se pode simplificar dividindo por x – 5, já que x – 5 ≠ 0.

Por tanto y = x + 5 se x ≠ 5, é fácil ver queh x −→5

lim y =h x +→5

lim y = 10. Deste modo, quando x = 5 a função

tem uma descontinuidade evitável , se convenciona em que y = 10 para x = 5.Por tanto se pode considerar que a função y = (x2 – 25)/(x – 5) é continua para todos os pontos de x se setoma que a igualdade (x2 – 25)/(x – 5) = x + 5 é válida para todos os valores de x nem excluindo tão

pouco x = 5. Neste caso o gráfico da função é a reta y = x + 5.Exercícios I - Achar os pontos de descontinuidade das funções abaixo:

(a) y =

12

12

2

1

2

1

+

−

−

−

x

x

(b) y =)5)(1(

1

−− x x(c) y = xe −

−11

1e dizer qual é o caráter da

descontinuidade. (d) y = x

x sen )(e dizer qual é o caráter da descontinuidade.

II ) Investigar se é continua ou não a função y =)6)(1(

1

−− x xsobre os segmentos:

(a) [2, 5] (b) [4, 10] (c) [0, 7]

Assíntotas horizontais, verticais e obliquas

Dizemos que uma reta é uma assíntota de uma curva quando um ponto ao mover-se ao longo da parteextrema da curva se aproxima desta reta, isto é, a reta assíntota e a curva ficam arbitrariamente próximas

à medida que se afastam da origem do sistema de coordenadas. Assíntota horizontal e vertical ⇒ a reta x = k é uma assíntota vertical do gráfico de f(x) se ao menos um dos limites a seguir acontece:

∞=−→ hk x

x f )(lim , ∞=+→

)(lim x f h x x

, −∞=−→

)(lim x f hk x

, −∞=+→

)(lim x f hk x

⇒ a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f(x) se ao menos um dos limites a seguir acontece:

b x f x

=∞→

)(lim , b x

=−∞→

lim

Ex1. Seja a função f real dada por f(x) = 2

2

1

2

x

x

+

Resolução Como 21

2lim

2

2

=

++∞→ x

x

xou 2

1

2lim

2

2

=

+−∞→ x

x

x, concluímos que y = 2 é a única assíntota

horizontal de f.

Ex2. Seja a função f real dada por f(x) =1

3

− x

x, x ≠ 1.

Resolução Como 31

3lim =

−+∞→ x

x

xou 3

1

3lim =

−−∞→ x

x

x, podemos concluir que y = 3 é a única assíntota

horizontal de f. Além disso, verificamos que +∞=−−→ 1

3lim

1 x

x

h xou que −∞=

−+→ 1

3lim

1 x

x

h xpara concluir

que a reta vertical x = 1 é assíntota vertical. Portanto, esta curva possui duas assíntotas, as retas y = 3 e x= 1.

4



Seja f(x) uma função. Se existir uma reta de equação y = mx + n tal que 0)]()([lim =+−+∞→

nmx x f x

ou

0)]()([lim =+−−∞→

nmx x f x

, então tal reta será dita uma assíntota para f(x). Se , teremos uma

assíntota horizontal, a equação da assíntota do gráfico de tomará a forma y = b, passando a ser

então uma assíntota horizontal do gráfico de e, se m ≠ 0 , teremos uma assíntota oblíqua(também

usualmente designada por assíntota não vertical), isto é, a reta de equação y = mx + n, com m e n

números reais, é assíntota não vertical do gráfico de f(x) se e só se for verificada pelo menos umadas condições acima. Desse modo temos que m =

x

x f x

)(lim±∞→

e n = ])([lim mx x f x

−±∞→

.

Exemplo: Seja a função f(x) =47

32 2

+

−

x

x, x =

7

4−é uma assíntota vertical e y =

49

814 − xé uma

assíntota obliqua.

5

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