utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des …...le problème des options l’option est...

Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options

américainesAnne-Victoire Auriault

1Ensimag - 21 mai 2010

dimanche 30 mai 2010

Plan de la présentation

Introduction

1. Le problème des options

2. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein

3. Les options américaines

4. Les techniques d’amélioration de la convergence

Conclusion



Introduction

• Les Produits dérivés

• Objectif : «Pricer» des produits dérivés vanilles.

• Options européennes : le modèle de Black & Scholes donne une formulation exacte du prix.

• Options américaines : on a recourt à des méthodes numériques.

• Parmi lesquelles on présente la méthode des Arbres Binomiaux introduite par Cox-Ross-Rubinstein.



Le problème des options

L’option est une assurance qui donne à son détenteur le droit d’acheter (Call) ou de vendre (Put) un actif financier (l’actif sous-jacent) à une date convenue (la maturité T) et à un prix fixé à l’avance (le strike K).

Payoff généré par l’exercice d’un Put européen à l’échéance : Pour un Put américain le payoff généré par l’exercice de l’option au moment optimal est

Les deux problématiques liées aux options :

• Le problème du pricing : Trouver le «juste prix» de l’option

• Le problème de la couverture : Comment le vendeur d’un Put qui touche la prime en 0 peut produire la richesse en T.

(K − Sτ )+

(K − ST )+

(K − ST )+


τ ∈ 0,T[ ]


Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein

Les hypothèses économiques :

• Le marché est sans friction• Il y a Absence d’Opportunité d’Arbitrage (AOA)• Les investisseurs sont insatiables

Le modèle de CRR :

• On se place en temps discret. L’intervalle [0,T] est discretisé en N intervalles.• On suppose qu’il n’y a qu’un seul actif à risque qui ne verse pas de dividendes

On note son prix à l’instant n.• Il n’y a qu’un seul actif sans risque de rendement certain sur une période r.

Sn



Le modèle de Cox-Ross-RubinsteinCox, Ross et Rubinstein ont proposé en 1979 de modéliser l’évolution du prix d’un

actif risqué par la dynamique suivante.

L’actif sous-jacent suit asymptotiquement une loi log-normale

Entre 2 périodes consécutives du cours la variation relative du cours est soit a soit b avec b < a < 1

avec une probabilité p

avec une probabilité (1-p)Sn+1 =

(1+ a)Sn(1+ b)Sn

⎧⎨⎪

⎩⎪



Options Américaines : Calcul du prix par récurrence rétrogradeOn note le cours de l’actif sous-jacent en n. le payoff de l’option en n. la valeur de l’option en n.

• On connaît le payoff en N :

• A quel prix faut-il vendre l’option en N-1 ? 1. L’acheteur achète l’option en N-1 et exerce immédiatement. Il gagne Il faut donc au moins vendre l’option 2. L’acheteur achète l’option mais ne l’exerce qu’en N. En N le vendeur devra payer . Il doit donc faire payer à l’acheteur la somme qui permettra en N de fournir c’est à dire

Donc par récurrence on obtient :

SnZnAn

ZN −1

ZN −1

ZN

ZN

(K − SN )+

11+ r

E* ZN | FN −1( )

∀n ∈ 1...N{ } An−1 = max Zn−1,11+ r

E* A n | Fn−1( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟



Options Américaines : Théorème d’arrêt optimal

A quel moment un exercice anticipé est intéressant pour l’acheteur du Put ?

• Il existe une courbe dans l’espace appelée frontière d’exercice telle que dès que le cours de l’actif sous-jacent franchit cette frontière il est intéressant pour l'acheteur d’exercer.

• Cette frontière d’exercice est le lieu d’un temps d’arrêt m tel que le prix actualisé de l’option américaine en m vérifie la propriété de martingale.

• On a notamment :

t,S t( )

∀n ∈ 1...N{ } An−1 = max Zn−1,11+ r

E* A n | Fn−1( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m = min p ∈N (n,N ),Ap = K − Sp( )+{ }

A0 =1

(1+ r)NE* (K − Sn0 )+ | Fn( )

An =1

(1+ r)N −n E* (K − Sm )+ | Fn( )



Techniques d’Amélioration de la Convergence

• Problème majeur du modèle de CRR : La convergence est lente.

• On apporte deux modifications à l’arbre :

1. Méthode BBS : La technique du SmoothingOn force la valeur prise par le prix de l’option à l’avant dernier niveau de l’arbre. On prend comme valeur le prix de put européen équivalent donné par la formule de Black-Scholes.

2. Méthode BBSR : Extrapolation de Richardson. Pour obtenir le prix P pour N pas de temps dans l’arbre, on calcule le prix BBS pour N/2 ( ) et pour N ( ) et on prend comme valeur de P : 2P2 − P1P2P1



Techniques d’Amélioration de la Convergence

Méthode Binomiale Méthode BBS Méthode BBSR



Conclusion

Cette méthode est peu utilisée en pratique.

• Car on lui reproche :Le problème de la vitesse de convergence.Son mauvais fonctionnement lorsqu’il y a plus de 2 actifs.Son mauvais fonctionnement pour les options asiatiques par exemple.

• Elle présente pourtant d’importants avantages :Elle est mathématiquement simple et accessible.Elle est plus fiable que les autres méthodes numériques.



utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des …...le problème des options l’option est...

Documents