uu no 28 tahun 2014 tentang hak cipta
TRANSCRIPT
UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4 Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi. Pembatasan Pelindungan Pasal 26 Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap: i. penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan
peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian
ilmu pengetahuan; iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran,
kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan
iv. penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran.
Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana
dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).
2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
PENGANTAR PELUANG DAN DISTRIBUSI
Jaka Nugraha
Desain Cover : Herlambang Rahmadhani
Sumber :
https://www.shutterstock.com
Tata Letak : Titis Yuliyanti
Proofreader :
Avinda Yuda Wati
Ukuran : xii, 166 hlm, Uk: 15.5x23 cm
ISBN :
No ISBN
Cetakan Pertama : Bulan 2020
Hak Cipta 2020, Pada Penulis
Isi diluar tanggung jawab percetakan
Copyright © 2020 by Deepublish Publisher All Right Reserved
Hak cipta dilindungi undang-undang
Dilarang keras menerjemahkan, memfotokopi, atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini
tanpa izin tertulis dari Penerbit.
PENERBIT DEEPUBLISH (Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)
Anggota IKAPI (076/DIY/2012)
Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581
Telp/Faks: (0274) 4533427 Website: www.deepublish.co.id www.penerbitdeepublish.com E-mail: [email protected]
v
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, penyusunan buku dengan judul Pengantar Peluang
dan Distribusi telah selesai disusun. Pemahaman tentang konsep
probabilitas atau peluang merupakan materi dasar yang wajib dipelajari,
karena konsep probabilitas menjadi dasar dalam merumuskan metode-
metode statistika. Oleh karena itu buku ini ditulis untuk membantu
pembaca dalam memahami konsep probabilitas/peluang dan distribusi.
Buku disusun dalam lima bab dan harus dipelajari secara berurutan
dari bab satu sampai dengan bab lima. Pada setiap bab telah disertai soal
latihan yang dapat digunakan untuk menguji penguasaan materi yang
dibahas pada bab yang bersesuaian. Bab I berisi pembahasan tentang
himpunan dan ruang sampel yang tujuannya adalah pembaca dapat
mendefinisikan kejadian, memahami konsep ruang sampel dan dapat
mencacah anggota ruang sampel. Bab II dibahas materi pembelajaran
tentang peluang kejadian. Tujuan pembelajaran bab II adalah pembaca
memahami dan dapat menghitung peluang suatu kejadian, memahami
sifat-sifat peluang, memahami peluang bersyarat, memahami kaidah
Bayes, memahami konsep dasar probabilitas.
Selanjutnya pada bab III dibahas materi tentang variabel random
dan fungsi distribusi. Tujuan pembelajaran bab III adalah pembaca dapat
mendefinisikan variabel random (diskret dan kontinu), dapat
mendefinisikan distribusi probabilitas, dapat mendefinisikan distribusi
gabungan dan distribusi marginal. Pembahasan tentang distribusi
dilanjutkan pada bab 4 yang berisi fungsi distribusi khusus. Tujuan bab IV
adalah pembaca mengenal dan mengidentifikasi serta menghitung peluang
kejadian pada beberapa distribusi khusus.
Pada bab V berisi pembahasan tentang nilai harapan, transformasi
dan fungsi variabel random, dan fungsi pembangkit momen. Tujuannya
adalah pembaca memahami dan dapat menghitung nilai harapan,
vi
memahami konsep transformasi variabel random dan distribusinya,
memahami konsep dasar fungsi pembangkit momen.
Masih banyak kekurangan dalam penulisan buku ini, sehingga saran
dan kritik sangat penulis harapkan.
Yogyakarta, 24 Februari 2020
Penulis
Jaka Nugraha
vii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................ v
DAFTAR ISI ........................................................................................ vii
DAFTAR TABEL .................................................................................. x
DAFTAR GAMBAR ............................................................................. xi
1. HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL .......................................... 1
1.1. Himpunan ................................................................................. 1
1.2. Ruang Sampel ........................................................................... 7
1.3. Mencacah Titik Sampel ........................................................... 11
1.3.1. Kaidah Penggandaan .................................................. 11
1.3.2. Permutasi.................................................................... 12
1.3.3. Kombinasi .................................................................. 13
1.4. Mencacah Titik Sampel Menggunakan Excel .......................... 17
2. PELUANG KEJADIAN ............................................................... 19
2.1. Definisi Peluang...................................................................... 19
2.2. Peluang Bersyarat ................................................................... 27
2.3. Kaidah Bayes .......................................................................... 37
3. VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI
DISTRIBUSI ................................................................................ 43
3.1. Definisi Variabel Random ....................................................... 43
3.2. Fungsi Peluang dan Fungsi Distribusi ...................................... 44
3.3. Fungsi Kepadatan (Densitas) Peluang...................................... 52
3.4. Distribusi Bersama dan Kebebasan pada Variabel
Random .................................................................................. 57
3.5. Distribusi Campuran ............................................................... 66
3.6. Fungsi dan Persamaan Khusus. ............................................... 69
viii
4. DISTRIBUSI KHUSUS ................................................................ 73
4.1. Distribusi Khusus Variabel Random Diskret ............................ 73
4.1.1. Distribusi Bernouli ...................................................... 73
4.1.2. Distribusi Binomial ..................................................... 74
4.1.3. Distribusi Multinomial ................................................ 79
4.1.4. Distribusi Hipergeometrik ........................................... 80
4.1.5. Distribusi Hipergeometrik Peubah Ganda .................... 81
4.1.6. Distribusi Geometrik ................................................... 83
4.1.7. Distribusi Binomial Negatif ........................................ 85
4.1.8. Distribusi Poisson ....................................................... 87
4.1.9. Distribusi Seragam ...................................................... 90
4.1.10. Hubungan Antara Distribusi ........................................ 90
4.1.11. Menghitung Nilai Peluang Menggunakan Excel
dan Program R ........................................................... 92
4.2. Distribusi Khusus pada Variabel Random Kontinu .................. 93
4.2.1. Distribusi Eksponensial ............................................... 93
4.2.2. Distribusi Normal ....................................................... 94
4.2.3. Distribusi Uniform (Seragam) ..................................... 99
4.2.4. Distribusi Beta B(x|;α) (untuk ;α > -1) ..................... 99
4.2.5. Distribusi Gamma G(x| α; β;A) (untuk α > -1,
β>0 ) ......................................................................... 100
4.2.6. Distribusi Chi Kuadrat .............................................. 101
4.2.7. Distribusi F ............................................................... 102
4.2.8. Distribusi Student-t ................................................... 103
4.2.9. Distribusi Weibull ..................................................... 104
4.2.10. Distribusi Eksponen Rangkap (Laplace) .................... 105
4.2.11. Distribusi Cauchy ..................................................... 106
4.2.12. Distribusi Pareto ....................................................... 107
4.2.13. Distribusi Rayleigh ................................................... 108
4.2.14. Distribusi Logistik Baku ........................................... 109
4.2.15. Menghitung Nilai Densitas dan Peluang dalam
Distribusi Kontinu Menggunakan Excel dan
Program R ................................................................ 110
4.2.16. Invers Fungsi ............................................................ 111
ix
5. HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL
RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN ....................... 117
5.1. Harga Harapan ...................................................................... 117
5.2. Variansi ................................................................................ 118
5.3. Transformasi Variabel Random ............................................. 120
5.4. Kovariansi dan Korelasi ........................................................ 122
5.5. Nilai Pendekatan untuk Mean dan Variansi ........................... 127
5.6. Mean dan Variansi pada Beberapa Distribusi Khusus ............ 130
5.6.1. Distribusi Diskret...................................................... 130
5.6.2. Distribusi Kontinu .................................................... 134
5.7. Distribusi dari Transformasi Variabel Random ...................... 141
5.7.1. Distribusi Transformasi Berdasarkan Fungsi
Distribusi .................................................................. 141
5.7.2. Distribusi Transformasi Berdasarkan Fungsi
Probabilitas............................................................... 144
5.7.3. Distribusi Bivariat (Dua Variabel Random) ............... 149
5.8. Fungsi Pembangkit Momen ................................................... 154
REFERENSI ...................................................................................... 163
GLOSARIUM .................................................................................... 164
INDEKS SUBJEK ............................................................................. 165
1
1. HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL
1. HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL
1.1. Himpunan
Sebelum membahas ruang sampel, kita perlu memahami kembali konsep
himpunan beserta operasi-operasinya. Himpunan adalah kumpulan atau
koleksi objek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan (tak
diperhatikan keberurutan objek–objek anggotanya). Objek–objek itu
disebut anggota atau elemen himpunan. Himpunan dapat juga
didefinisikan sebagai kumpulan objek yang memiliki kesamaan sifat.
Objek dapat berupa orang, binatang atau benda-benda yang dapat
didefinisikan dengan jelas. Kesamaan sifat merupakan syarat keanggotaan
suatu objek menjadi anggota sebuah himpunan. Sebuah himpunan
disimbolkan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya.
Penulisan himpunan dapat dilakukan dengan menuliskan syarat
keanggotaannya atau menyebutkan/menuliskan masing-masing anggota.
Misalkan A adalah himpunan bilangan bulat 1 sampai dengan 10.
Himpunan A dapat dituliskan dengan
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} atau
A = {x| x anggota bilangan bulat 1 sampai dengan 10}
Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca:
a) dapat mendefinisikan percobaan dan kejadian
b) memahami konsep ruang sampel diskret dan kontinu
c) dapat mencacah anggota ruang sampel
19
2. PELUANG KEJADIAN
2. PELUANG KEJADIAN
2.1. Definisi Peluang
Telah didefinisikan bahwa dalam himpunan, S sebagai semesta
pembicaraan. Sedangkan dalam pengamatan suatu percobaan, S sebagai
Ruang sampel, yaitu himpunan semua kemungkinan hasil (dalam
statistika). Setiap s anggota S (s S) disebut kejadian dasar atau unsur.
A S maka A disebut kejadian.
Teori peluang bagi ruang sampel berhingga (finite) memberikan
segugus bilangan nyata yang disebut pembobot atau peluang yang bernilai
0 sampai 1. Peluang merupakan fungsi real dengan domainnya adalah
kejadian. Peluang dapat dituliskan menggunakan simbol P(.). Beberapa
sifat peluang:
a. P(.) disebut fungsi peluang jika untuk setiap kejadian A S maka
0 ≤P(A)≤1, untuk setiap A
P(Ø) = 0 dan P(S) = 1
b. Peluang suatu kejadian A adalah peluang semua titik sampel dalam
A.
Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat:
a) memahami konsep dasar peluang
b) menjelaskan sifat-sifat peluang
c) menghitung peluang suatu kejadian
d) menghitung peluang bersyarat
e) menggunakan kaidah Bayes
f) menjelaskan kejadian bebas
43
3. VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI
DISTRIBUSI 3. VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI DISTRIBUSI
3.1. Definisi Variabel Random
Variabel random adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real
yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel. Variabel random
dapat disimbolkan dengan X(e) = x untuk setiap e S (Ruang Sampel)
dan x R (bilangan Real).
Bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang
terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi
banyaknya sama dengan bilangan cacah, maka variabel randomnya
termasuk dalam variabel random diskret.
Contoh 3.1.
Menguji calon mahasiswa baru, hasilnya lulus (L) dan tidak lulus (G). Jika
terdapat 3 calon maka
Ruang sampel S = {LLL, LLG, LGL, GLL, LGG, GLG, GGL, GGG}
Variabel random X yaitu banyaknya calon yang lulus, maka
X = {0, 1, 2, 3}
Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi dalam bab ini, pembaca dapat:
a) menjelaskan sifat-sifat peluang b) menghitung peluang suatu kejadian
c) menghitung peluang bersyarat
d) menggunakan kaidah Bayes
e) menjelaskan kejadian bebas
73
4. DISTRIBUSI KHUSUS
4. DISTRIBUSI KHUSUS
4.1. Distribusi Khusus Variabel Random Diskret
4.1.1. Distribusi Bernouli
Pengamatan atas kejadian yang dapat diklasifikasikan ke dalam dua sifat
yang umumnya disebut “sukses” dan “gagal”. Variabel random X
menyatakan hasil pengamatan (sukses atau gagal). Hasil sukses dinyatakan
dengan X=1 dan hasil gagal dinyatakan dengan X=0. Peluang sukses
dinyatakan dengan parameter π, sehingga
P(X=1) = π (4.1)
Peluang gagal, dapat dinyatakan sebagai
P(X=0) = 1- π. (4.2)
Variabel random X mempunyai distribusi Bernouli yang dapat dinyatakan
dalam fungsi
1(1 ) ; x 0, 1( )
0 untuk x yang lainnya
x x
f X x
(4.3)
dengan 0 1 .
Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat mengidentifikasi
beberapa distribusi khusus, menghitung peluang kejadian pada distribusi
khusus
117
5. HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL
RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 5. HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL
RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
5.1. Harga Harapan
Harga harapan (expected value) disimbolkan dengan E(.). Jika X adalah
variabel random diskret dengan fungsi probabilitas (pdf: probability
density function) f(x), maka harga harapan untuk X didefinisikan sebagai
.
( ) ( )semua X
E X xf x (5.1)
Jika X adalah variabel random kontinu dengan pdf f(x), maka harga
harapan untuk X didefinisikan sebagai
( ) ( )E X xf x dx
(5.2)
E(X) biasa disebut mean (rata-rata) atau ukuran pemusatan,
E(X) = μ = μX
Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat:
a) menghitung harga harapan, mean dan variansi b) menghitung distribusi pada transformasi variabel random
c) menjelaskan fungsi pembangkit momen.
d) menggunakan fungsi pembangkit momen untuk menghitung mean dan
variansi
164
GLOSARIUM
Fungsi densitas : Disebut juga Probability Density Function (PDF)
atau fungsi kepadatan peluang, adalah fungsi yang
memiliki sifat tertentu yaitu bernilai positif dan nilai
integral atas seluruh domainnya bernilai satu.
Fungsi distribusi : Disebut Cumulative Density Function (CDF) yang
merupakan kumulatif (jumlah atau integral) dari
fungsi densitas.
Fungsi peluang : Fungsi real yang bernilai 0 sampai 1 dengan
domainnya adalah kejadian
Kejadian Hasil pengamatan atas suatu percobaan
Parameter : Sebarang nilai yang menjelaskan ciri populasi
Percobaan Suatu proses untuk mendapatkan hasil pengamatan
atas suatu fenomena
Ruang Sampel : Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu
percobaan atau observasi
Sampel : Suatu himpunan bagian dari populasi
Statistik : Sebarang nilai yang menjelaskan ciri sampel
Variabel random : Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang
ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel
Variabel random
diskret
: Variabel random yang ruang sampelnya mengandung
jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan
unsur yang tidak pernah berakhir tetapi banyaknya
sama dengan bilangan cacah
Variabel random
kontinu
: Variabel random yang ruang sampelnya mengandung
jumlah titik sampel yang tak-terhingga yang sama
dengan banyaknya titik di garis bilangan.
165
INDEKS SUBJEK
B
Binomial, x, 74, 75, 76, 77, 78, 79,
85, 86, 87, 90, 91, 92, 93, 113,
130, 131
C
Cauchy, 106, 107, 161
Chi Kuadrat, 101, 102, 134, 143
D
Distribusi binomial, x, 74, 77, 78,
85, 91, 97, 131
Distribusi F, 102, 135, 144
E
Eksponensial, 93, 94, 111, 112,
134, 159
F
Fungsi densitas, 52, 53, 54, 56, 57,
61, 64, 65, 68, 70, 71, 72, 93,
94, 95, 96, 98, 99, 100, 101,
102, 103, 104, 105, 106, 107,
108, 109, 110, 119, 120, 125,
134, 139, 150, 151, 160, 164
Fungsi distribusi, v, 43, 44, 45, 46,
47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54,
55, 56, 57, 58, 59, 66, 68, 69,
70, 71, 72, 92, 93, 110, 111,
141, 154, 161, 164
Fungsi peluang, 19, 44, 46, 47, 48,
49, 50, 51, 58, 59, 63, 64, 74,
75, 120, 156, 164
G
Gamma, 69, 70, 100, 101, 111, 112,
134, 137, 158
Geometrik, x, 83, 84, 85, 130, 132,
157
K
Kombinasi, 13, 15, 17, 74
L
Laplace, 97, 105, 106
Logistik baku, 109, 110
N
Normal, 94, 96, 97, 98, 104, 110,
111, 112, 114, 116, 134, 138,
145, 146, 150, 159
166
P
Parameter, 73, 79, 80, 92, 93, 94,
99, 100, 110, 111, 112, 146,
148, 157, 159, 164
Pareto, 107, 108, 161
Permutasi, 12, 13, 14, 16, 17
Poisson, x, 87, 88, 89, 90, 91, 92,
93, 113, 130, 132, 146, 148, 157
R
Rayleigh, 108, 109
S
Student-t, 103, 104, 135
V
Variabel random, v, x, 43, 44, 45,
46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 55,
56, 57, 58, 59, 60, 61, 63, 64,
65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74,
75, 76, 79, 83, 84, 85, 86, 88,
89, 90, 92, 93, 94, 97, 98, 99,
100, 101, 102, 103, 104, 105,
106, 107, 108, 109, 110, 111,
112, 113, 114, 117, 118, 119,
120, 121, 122, 123, 124, 125,
127, 128, 129, 130, 134, 139,
140, 141, 142, 143, 144, 146,
147, 148, 149, 150, 151, 152,
153, 154, 156, 161, 162, 164
W
Weibull, 104, 105, 111, 112, 137