Úvod do matematickÉ logiky
DESCRIPTION
ÚVOD DO MATEMATICKÉ LOGIKY. LITERATURA Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007. Svátek J., Dostálová L.: Logika pro humanistiku. Aleš Čeněk, Dobrá Voda 2003 Bokr J.:, Svátek J.: Základy logiky a argumentace. Aleš Čeněk, Plzeň 2000 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
11
ÚVOD DOÚVOD DOMATEMATICKÉ MATEMATICKÉ
LOGIKYLOGIKY
2
LITERATURA
Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007
3
Svátek J., Dostálová L.: Logika pro humanistiku.
Aleš Čeněk, Dobrá Voda 2003
Bokr J.:, Svátek J.: Základy logiky a argumentace.
Aleš Čeněk, Plzeň 2000
Jirků P.: Logika (neformální výklad základů formální logiky). VŠE, Praha 1993
4
Štěpán J.: Klasická logika. Vontobia, Olomouc 1992
Štěpán J.: Logika možných světů I, II, III. Vontobia, Olomouc 1994, 1997
Peregrin J.: Logika a logiky. Academia, Praha 2004
5
Sochor A.: Klasická matematická logika. Karolinum,
Praha 2001
Švejdar V.: Logika – neúplnost, složitost a nutnost.
Academia, Praha 2002
Weinberger O.: Základy právní logiky. MV-Brno 1993
Knapp V., Gerloch A.: Logika v právním myšlení. Eurolex, Praha 2000
Popper K.: Logika vědeckého zkoumání. Praha 1997
6
Věda
abstraktní myšlení
předmětné myšlení
deskripce
Praxe – reálná materiální činnost
7
Logika
Teorie vědy Metodologie vědy
historie vědy filozofie vědy
věda
8
Klasifikace vědT.G.Masaryk – Konkrétní logika
Teoretické Aplikovanépraktické
Abstraktní Konkrétní užitné . . . . . .Aritmetika Geometrie
Zeměměřičství
Logika
9
Co je metodologie?
teorie metod (poznání, vědeckého poznání)
nikoliv: popis metody
teorie „jedné˝ metody
10
METODA = způsob jak získávat poznatky
NIKOLIV: návod
11
Základ metodologie:
LOGIKA:
- zpřesňuje- zajišťuje jednoznačnost- zajišťuje transparentnost- zajišťuje rozumovou evidenci
12
Předmět logiky:
správné usuzování
Usuzování:získávání jedněch poznatků z
jiných (výchozích) „jen˝ pomocí „myšlení˝
13
Zájem logiky:
správné a přesné konstrukce pojmů, správnou výstavbu výroků a tvrzení, spojování
jednoduchých výroků a tvrzení ve složitější, zjišťování obecných podmínek správného
usuzování atd.
14
Vzpomínka na množiny 1
Množina = libovolný soubor objektů, předmětů nebo jevů splňující dvě podmínky:
a) existuje efektivní procedura umožňující o libovolném předmětu jednoznačně rozhodnout, zda do daného souboru patří či nikoliv
b) lze vždy efektivně rozlišit jeden objekt od jiného, patřícího do téhož souboru
15
Vzpomínka na množiny 2
Prvek množiny =
objekt, předmět či jev, který do daného souboru (množiny) patří
16
Vzpomínka na množiny 3
Podmnožina
Množina M2 je podmnožinou množiny M1 tehdy a jedině tehdy, jestliže každý prvek množiny M2
je současně prvkem množiny M1
Tento vztah značíme:M2 M1
17
Vzpomínka na množiny 4
Ekvivalence množin
Je-li množina M2 podmnožinou M1 a současně M1 je podmnožinou M2, jsou množiny M2 a M1
ekvivalentní
Tento vztah značíme
M1 M2
18
Vzpomínka na množiny 5
α) Každá množina je sama svou podmnožinou
β ) Prázdná množina je podmnožinou každé množiny
19
Obor úvahy:
množina, u níž je vždy ji nutno vymezit „s dostatečnou přesností˝ co do ní patří. To
znamená, musí vždy a v každém případě (na daném stupni poznání) být k dispozici
efektivní postup, umožňující rozhodnout o každé věci, problému atd., zda do našeho
„oboru úvahy˝ patří či nikoliv.
20
obecná jména vlastní jména
General Name Individual Name
21
Obecná jména jsou zpravidla jména skupin předmětů, objektů, jevů atd., určených nějakou skutečností (kvalitou, tvarem, obecnou vlastností). Na tyto skupiny předmětů budeme mít při našem zjednodušeném přístupu jednu jedinou podmínku.
U každého libovolného předmětu či objektu musí existovat za každých okolností finitní (konečná) procedura, umožňující jednoznačně rozhodnout zda daný objekt (předmět) do daného „oboru úvahy˝ patří či nikoliv.
22
Vlastní jméno:
Název prvku (objektu), oboru úvahy, který je označován vlastním jménem, a který budeme nazývat denotátem (designátem) vlastního
jména
23
Dva navzájem různé objekty (prvky oboru úvahy) nemohou mít nikdy jedno a
totéž vlastní jméno
24
(z1) Každé vlastní jméno může mít nejvýše jeden denotát (designát)
(z2) Každý denotát (designát) může mít více vlastních jmen
25
Smysl nelze definovat, jen „ilustrovat˝ na
dostatečném množství příkladů
26
„význam˝ získáme spojením denotátu (designátu)
vlastního jména a jeho smyslu
27
Smysl = Sens = Sinn, Význam = Meaning =
Bedeutung
28
Vlastní jméno
označení(denotace) vyjádření
koncept
Denotát(designát) význam Smysl
29
„Porozumět˝ vlastnímu jménu znamená znát
alespoň jeden jeho smysl
30
Abychom (elementárně) porozuměli jazyku,
nemusíme v zásadě vědět nic o denotátech
(designátech) vlastních jmen, která
obsahuje, stačí znát pouze jejich smysl
(u každého jména aspoň jeden)
31
Obecná jména označují celé soubory objektů či
předmětů
32
V případě, že soubor objektů (prvků),
označených obecným jménem, je konečný,
lze jej vymezit uvedením úplného výčtu
jmen (vlastních), označujících jednotlivé
objekty (prvky), které lze pod daný obecný
pojem zařadit
33
Pojmenovat určitou vlastnost názvem,
předpokládá existenci přesného objektivního
vymezení toho, co pod toto jméno můžeme
zahrnout
34
Vždy musí existovat procedura (operace,
soubor operací), umožňující přesně označenou
či pojmenovanou vlastnost jednoznačně
identifikovat
35
Jako názvy vlastností (event. vztahů) budeme
používat pouze takových, které na daném
oboru úvahu vymezují nějakou (libovolnou)
neprázdnou podmnožinu
36
Individuální konstanta
(v1) Za individuální „konstanty˝ budeme považovat vlastní jména, jejichž denotát (designát) reálně existuje. Budeme je symbolicky značit
písmeny „a˝, „b˝, „c˝, ... „a1˝, „b1˝, „c1˝, ... „an˝, „bn˝, „cn˝
37
(v2) Individuální proměnná je proměnná jejímž oborem proměnnosti jsou všechny individuální konstanty
k označení použijeme symbolů „x˝, „y˝, „z˝... „xn˝, „yn˝, „zn˝
38
(v3) Za výrok lze považovat výraz, který individuální konstantně (přesněji jejímu denotátu, designátu) připisuje nějakou vlastnost, nebo popírá, že ji
daná individuální konstanta (její denotát, designát) má
39
Symbolicky pak lze vyjádřit výrok s použitím
symbolů „aP˝, „Pa˝. Tento způsob zápisu pak
budeme označovat jako „standardní˝
40
Výrok, který konstatuje, že jedné individuální
konstantě náleží právě jedna vlastnost (nebo jí
nenáleží), budeme nazývat „elementárním
výrokem˝
41
(v4) Nahradíme-li v elementárním výroku
individuální konstantu za individuální
proměnnou, k jejímuž oboru proměnnosti
daná individuální konstanta patří, získáme
elementární výrokovou formu
42
(v5) Výroková proměnná je proměnná, jejímž oborem proměnnosti je množina
všech výroků a výrokových forem.
K symbolickému zápisu výrokových proměnných budeme používat symbolů:
p,q,r, s, p1, q1, r1, s1, ...pn, qn, rn, sn
43
JAZYKY
přirozenéčeština, angličtina
pseudo-přirozenéesperanto
umělé(formalizované)
44
přirozené - napřed „jazyk˝, pak pravidla
komunikace
pseudo-přirozené - napřed pravidla, pak jazyk
45
umělé – přesnost
jednoznačnost
přesná pravidla ale! v přirozeném jazyce
46
jazyk „objekt˝ o něm „uvažujeme˝
„metajazyk˝
v něm uvažujeme o jazyku „objektu˝
47
K formalizovanému jazyku můžeme přistupovat přibližně ve třech
základních rovinách: syntaktické, sémantické a pragmatické
48
SYNTAX
V syntaktické rovině chápeme jazyk jako soubor symbolů a pravidel, jak z těchto
symbolů tvořit složitější výrazy
49
Na symboly máme ze syntaktického hlediska dva základní požadavky:
1) Jeden a tentýž symbol musíme zaznamenat vždy jedním a tímtéž grafickým způsobem
2) Grafický záznam symbolů musí být volen tak, aby symboly byly od sebe vždy dobře rozlišitelné
50
V sémantické rovině klademe důraz na denotáty (designáty), smysl, význam
symbolů a výrazů, které se ve formalizovaném jazyce vyskytují
„extenzionální sémantika˝
„intenzionální sémantika˝
51
„slovník˝
vypíšeme seznam všech symbolů
„primitivními symboly˝
52
Primitivní symboly budeme považovat za dále nedělitelné, a to ve dvojím smyslu:
1) V jazyce nelze nikdy používat jejich částí
2) Každá konečná lineární posloupnost těchto symbolů může být nahlížena jako posloupnost pouze jedním jediným způsobem
53
Libovolnou konečnou posloupnost
primitivních symbolů budeme nazývat
formulí našeho jazyka
54
Důkazem se nazývá konečná posloupnost správně utvořených formulí tehdy a jedině tehdy, jestliže každá správně utvořená formule v této posloupnosti je:
(i) axiomem, nebo
(ii) vyplývá podle některého z pravidel nebo podle více pravidel odvozování z axiomů nebo ze správně utvořených formulí, které ji v posloupnosti předcházejí
55
Teorémem v axiomatickém systému je
každá správně utvořená formule, k níž
existuje důkaz
56
Požadavek efektivnosti, který musí splňovat:
■ zadání primitivních symbolů - musí být efektivní v tom smyslu, že musí existovat metoda, která umožní konečným počtem kroků rozhodnout o každém symbolu, zda mezi primitivní symboly patří nebo ne
■ vymezení správně utvořené formule - musí být efektivní v tom smyslu, že o každé formuli lze konečným počtem jeho aplikací rozhodnout, zda je správně utvořená či nikoliv
57
■ zadání axiomů - musí být efektivní v tom smyslu, že o každé formuli lze na
jeho základě rozhodnout, zda je axiomem či nikoliv
Zpravidla bývají axiomy explicitně vyjmenovány (vypsány), proto se
požaduje, aby jich byl vždy konečný a velmi malý počet
58
■ pravidla odvozování - musí být efektivní v tom smyslu, že lze na základě jejich zadání vždy rozhodnout, zda nějaká formule, jako závěr, vyplývá z jiných formulí, jako premis
59
Primitivními symboly jazyka „Lo˝ budou:
1)p, q, r, s, ... pn, qn, rn, sn,
2) ‑, , , , ,
3) , ,
60
Formule Lo
Libovolná konečná posloupnost symbolů jazyka Lo je
formulí Lo
61
SUF Lo
■ kterýkoliv ze symbolů skupiny 1), stojící sám o sobě, je SUF Lo
_■ je-li „p˝ SUF Lo, pak i „p˝ je SUF Lo
■ jsou-li „p˝ a „q˝ SUF, pak i (p q), (p q), (p q) a (p q) jsou SUF
■ nic jiného, než to, co bylo uvedeno v bodech 1, - 3, této definice, již není SUF
62
Logické spojky:
Symbol „-˝ označuje negaci
Symboly , , , označují postupně spojky nazvané „konjunkce˝ „disjunkce˝„implikace˝ a „ekvivalence˝. Ve všech případech jde o logické spojky (funktory) binární
63
„negace˝
v přirozeném jazyce odpovídající vyjádření slovy „ne˝,
„neplatí˝, „není pravda, že˝
64
konjunkce
českou spojkou „a˝
65
disjunkce
vyjádřit spojkou „nebo˝
66
implikace
výrazem „z p plyne q˝
67
ekvivalence
„tehdy a jedině tehdy, když ˝
68
Tabulka č. 1
pp ff11 ff22 ff33 ff44
0 0
00 00 11 11
11 00 11 00 11
69
pp qq FF11 FF22 FF33 FF44 FF55 FF66 FF77 FF88 FF99 FF10 FF1111 FF12 FF13
FF1144
FF1155
FF1166
00 00 00 00 00 00 11 00 00 00 11 11 11 00 11 11 11 11
00 11 00 00 00 11 00 00 11 11 00 00 11 11 00 11 11 11
11 00 00 00 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 11 00 11 11
11 11 00 11 00 00 00 11 11 00 11 00 00 11 11 11 00 11
Tabulka č. 2
70
(i) Každá SUF je sama svou podformulí
(ii) Máme-li nějakou SUF „C˝, která má tvar B, pak obsahuje právě dvě podformule „C˝ a „B˝
(iii) Máme-li nějakou SUF výr. logiky „C˝, která má některý z následujících tvarů: A B, A B, A B a A B, pak má právě tyto podformule „A˝, „B˝ a „C˝
(iv) Nic jiného než to, co bylo uvedeno v bodech (i) - (iii) tohoto vymezení, není již podformulí SUF výrokové logiky
71
p__p
0 1
1 0
72
p q (p q)0 0 00 1 01 0 01 1 1
73
p q (p q)0 0 00 1 11 0 11 1 1
74
p q (p q)0 0 10 1 11 0 01 1 1
75
p q p q 0 0 10 1 01 0 01 1 1
76
p q (p q) (p q)0 0 0 1 00 1 1 0 01 0 1 0 01 1 1 1 1
77
p q r p q r q)
0 0 0 1 0 00 0 1 1 1 10 1 0 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 1 01 0 1 0 1 11 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1
78
Takovou SUF, která nabývá výsledného
ohodnocení „1˝ pro všechny distribuce hodnot
výrokovým proměnným, které obsahuje,
nazýváme „vždy pravdivou formulí výrokové
logiky
Formule, které nabývají hodnoty „0˝ pro
všechny distribuce hodnot svým proměnným,
budeme označovat jako „vždy nepravdivé˝
79
Symbol „0˝, „1˝ budeme dále nazývat
pravdivostními hodnotami
80
n(i) Pr = 2 ,
kde „Pr˝ označuje počet řádků, a „n˝ počet
navzájem různých výrokových proměnných
81
Počet „n-arních˝ logických spojek lze stanovit podle vztahu
Pf = 2
kde „Pf je počet „n-arních˝ log. spojek a „n˝ je
počet navzájem různých výrokových proměnných
˝
n(2 ))
82
( zi ) Každou obecně „n-ární˝ logickou spojku lze
vyjádřit pomocí závorek a vhodně volené, konečné
posloupnosti unárních a binárních log. spojek
Způsob „uzávorkování˝ podformulí a jejich
„spojování˝ pomocí negace a binárních spojek pak
označujeme termínem „struktura SUF˝
83
Za „elementární˝ formuli budeme označovat formuli, která již žádnou
logickou strukturu nemá
Každou SUF, která má strukturu, lze rozložit na její podformule
Logickou spojku (funktor), spojující dvě největší podformule, dané SUF,
budeme nazývat „hlavní log. spojkou (funktorem) formule˝
84
FUNKČNÍ ÚPLNOST
Všechny binární (a tím i unární) log. spojky lze
vyjádřit nezávisle na sobě pomocí následujících
dvojic spojek , , a ,
85
Systém log. spojek, kterými lze vyjádřit
všechny binární (a unární) log. spojky
budeme nazývat funkčně úplným
systémem (spojek) výrokové logiky
86
Dvojice log. spojek -, F3, -, F4 a -, F13
tvoří funkčně úplné systémy výrokové logiky
87
Každá z logických spojek F5 a F15 sama o
sobě tvoří funkčně úplný systém výrokové
logiky. Každý z těchto systémů je
minimálním funkčně úplným systémem
výrokové logiky.
88
„Vždy pravdivé formule˝
nazýváme je
„tautologie˝ a jejich množina je spočetně
nekonečná a budeme ji značit symbolem T
89
Zákon vyloučení třetího:
buď platí výrok nebo
jeho negace, symbolicky:
(1) p p
90
„Zákon nepřípustnosti sporu˝
Říká nám, že současně nemůže platit výrok
a jeho negace, symbolicky
(2) ( p p )
91
Zákon „dvojité negace˝
Negujeme-li již jednou negovaný výrok, je pravdivostní hodnota takto vzniklého
výroku stejná jako původního výroku symbolicky
=(3) ( p p)
92
Komutativní zákon pro konjunkci
dovoluje zaměnit ve formuli, kde jedinou binární spojkou je konjunkce, pořadí
podformulí
( p q) ( q p)
Komutativní zákon pro disjunkci
( p q ) ( q p )
93
Asociativní zákon pro konjunkci
Umožňuje nám ve formulích, kde jedinými binárními spojkami jsou
konjunkce, nepřihlížet k uzávorkování
p (q r ) ( p q ) r
Asociativní zákon pro disjunkci
p q r ) ( p q ) r
94
Distributivní zákon pro konjunkci vzhledem k disjunkci
p ( q r ) ( p q ) ( p r )
Distributivní zákonpro disjunkci vzhledem ke konjunkci
p ( q r ) ( p q) ( p r )
95
De Morganovy zákony pro disjunkci a konjunkci
( p q ) ( p q )
( p q ) ( p q )
(p q ) ( p q )
( p q ) ( p q )
96
„Tranzitivita˝ implikace
plyne-li z výroku „p˝ výrok „q˝ a současně z výroku „q˝ plyne výrok „r˝, pak výrok „r˝ plyne rovněž (přímo) z
výroku „p˝
p q) (q r) p r)
(p q) ( q r ) (p r )
97
„Transpozice pro implikaci˝
obrátíme-li pořadí podformulí v implikaci a současně obě podformule
negujeme, výsledná pravdivostní hodnota formule se nemění
(pq) (q p)
98
AXIOMATIZACE
99
Základní charakteristiky
Axiom
Pravidla odvozování
Teorem
Důkaz
100
Axiom je „vždy pravdivou˝ SUF
Platí, že
A T , kde A značí množinu všech (zvolených) axiomů
101
Pravidla odvozování
Jsou to pravidla, která nám zaručují, že v případě, kdy jsou pravdivé (platné)
výchozí formule (nazýváme je premisami), pak jsou pravdivé i
formule, které z nich získáme pomocí těchto pravidel odvozování.
Odvozené formule nazýváme závěry nebo konkluze
102
Pravidlo „dosazení˝
Dosadíme-li za libovolnou výrokovou proměnnou ve vždy pravdivé formuli
výr. logiky jinou výr. proměnnou nebo SUF výr. logiky, a to vždy na všech místech jejího výskytu současně,
získáme opět vždy pravdivou formuli výr. logiky.
103
Pravidlo „odloučení˝„Modus ponens˝
Máme-li nějakou SUF tvaru (A B), která je vždy pravdivá, a je-li současně
pravdivá i formule „A˝, pak je nutně pravdivá i formule „B˝
Symbolicky můžeme toto pravidlo zapsat:
(A B), A
B
104
Jiná „verze˝
(A B), A
B
Pravidlo zvané „Modus tolens˝
( A B ), B A
105
Každý teorém musí být tautologií
iA TT
kde T je množina všech teorémů
106
Pojem struktury formule
Strukturou formule rozumíme uspořádanou posloupnost symbolů
skupin 2) a 3) našeho zadání symbolů jazyka, která vyhovuje podmínce, že všechny podformule jsou SUF a jsou
spojeny ve vyšší formule log. spojkami podle vymezení formule bodu 2)
107
Formuli, která neobsahuje žádnou binární
(nebo vyšší) výrokovou spojku, nazýváme
elementární formulí
108
(ax. 1)
(1) p ( q p )
(2) p q r p q ) ( p r )
(3) ( p q ) ( p q )
(4) ( p q ) ( q p )
(5) ( p q ) ( q p ) (p q )
109
(6) p q ( q p )
(7) ( p q ) ( p p )
(8) ( p ( p q )
(9) p q ) p
(10) ( p q p q ) )
(11) p r ) ( q r) ( p q ) r
110
(12) ( p (q q ) p
(13) ( p p)q
(14) p p
111
Dva axiomatické systémy jsou navzájem ekvivalentní, mají-li stejné soubory teorémů, které v nich lze odvodit
Budeme značit soubor teorémů „Cnq (ax. t), kde „t˝ značí číslo daného
axiomatického systému
Cnq (ax 1) Cnq (ax 2)
112
1) ( p / q / r) ) / (( p1 / ( p1 / p1 ) ) / (( s / q) / (p / s) / (p / s) )
( A / ( B / C ) ),AC
113
„Nezávislost˝ axiomů
Libovolný axiom „A˝ nějakého axiomatického systému „S˝ je nezávislý, není-li teorémem v
axiomatickém systému, který získáme ze systému S vynecháním axiomu A, a po připojení jeho negace, tedy formule „ Ā˝, k takto zúženému axiomatickému
systému získáme opět bezesporný axiomatický systém
114
„Bezespornost˝
Libovolný systém axiomů (teorie) je bezesporný, jestliže v něm není
odvoditelná nějaká formule a současně její negace
Systém je absolutně bezesporný, jestliže v něm existuje nějaká správně
utvořená formule, která není teorémem
115
Úplnost
Systém je úplný v absolutním smyslu, jestliže pro libovolnou formuli B platí, že
je buď teorémem nebo že po jejím připojení k danému systému jako
teorému se tento systém stane sporným v absolutním smyslu
116
Systém je úplný, jestliže každý jeho teorém
je tautalogií a každá tautalogie (vztahující
se k danému systému nebo teorii) je v
daném systému teorémem
(i) T T
117
V predikátové logice
elementární výrok „Pa˝
výroková forma „Px˝
118
Jazyk „L1“
1) a, b, c,... an, bn, cn,
2) x, y, z, ... xn, yn, zn,
3) P, Q, R, S, ... Pn, Qn, Rn, Sn
4) , , , ,
5) V, ,
6) , , ,
119
Libovolnou konečnou posloupnost symbolů skupiny 1) - 6) budeme považovat za formuli
(1)Výrazy „Pa˝ a „Px˝ jsou SUF predikátové logiky
(2) Je-li nějaký výraz „A˝ SUF, pak i výraz „Ā˝ je SUF
(3) Jsou-li výrazy „A˝ a „B˝ SUF predikátové logiky pak i výrazy „A B˝, „A B˝, A B, A B, jsou SUF
(4) Je-li nějaký výraz A SUF pak i výrazy „V A“ a „ A˝ a jsou SUF
(5) Nic jiného než to co bylo uvedeno v tomto vymezení za 1) - 4) již není SUF predikátové logiky
120
Nyní si nazveme jednotlivé symboly
Symboly skupiny 1) jsou individuální konstantySymboly skupiny 2) jsou individuální proměnnéSymboly skupiny 3) jsou konstanty (názvy) predikátůSymboly skupiny 4) jsou nám již známé logické spojkySymboly skupiny 5) nazveme postupně obecný (velký) kvantifikátor, existenční (malý) kvantifikátor Obecný kvantifikátor můžeme vyjádřit slovy „pro všechny ... ... platí, že ...˝Existenční kvantifikátor můžeme vyjádřit slovy: „existuje takové ... ... , že…˝Skupinu symbolů 6) pak tvoří naše známé pomocné symboly, závorky
121
Proměnnou
stojící bezprostředně u znaku kvantifikátoru,
stejně jako proměnnou, stojící
bezprostředně u ní, budeme nazývat
kvantifikovanou proměnnou
122
Formule, která stojí bezprostředně za
poslední kvantifikovanou proměnnou, se
označuje termínem
„pole působnosti kvantifikátoru˝
123
Kvantifikovaná proměnná, která se nachází v
poli působnosti kvantifikátoru, se nazývá
„vázanou˝ proměnnou
124
Proměnná, která není vázanou, se nazývá
„volnou˝
125
Formule, která neobsahuje žádnou volnou
proměnnou, se nazývá
„uzavřenou formulí˝
126
Formule, která obsahuje aspoň jednu volnou
proměnnou se nazývá
„otevřenou formulí˝
127
a) V...( Vx ( A B) ( VxA Vx B ) )b) V...( VxAx Ax )c) V... VxyA VyxAd) V... ( Vxy VxA ) y/x tj. za y
dosadíme na všech místech jejího výskytu xe) V... ( A VxA )f) V... Vx ( A B ) ( xA xB ) )g) V...( Ax xAx )h) V...( xyA yxA )i) V...( xA xyA )j) V...( xA A )
128
Místo Vx Vy … Vxn Vyn budeme psát Vx,y … xn,xn
Místo x y … xn yn budeme psát x, y … xn, yn
129
pravidlo dodání „obecného kvantifikátoru˝
A
VxA
130
vzájemný vztah mezi kvantifikátory
VxPx xPx
VxPx Pa
Pa xPx
131
De Morganovy zákony pro kvantifikátory
_ _ i) Vx Px x Px iii) x Px Vx Px
_ _ ii) Vx Px x Px iv) x Px Vx Px
132
Formule bude splnitelná
existuje-li aspoň jedno
udělení hodnot jejím podformulím, při němž
nabývá výsledného ohodnocení „1˝
133
Formule je vyvratitelná
existuje-li alespoň jedno udílení (distribuce)
hodnot jejím podformulím, při němž nabývá
výsledného ohodnocení „0˝
134
čtyři typy základních soudů
obecné kladné „A˝
obecné záporné „E˝
částečné kladné „I˝
částečné záporné „0˝
135
obecný kladný „VxPx˝
obecný záporný „VxPx˝
částečný kladný „xPx˝
částečný záporný „xPx˝
136
kontrárnost protiva
A E kontradikce
podřízenost podřízenost
subalternost protikladnost subalternost
I Opodprotiva
subkontrárnost
137
Hypotéza
Musí akceptovat obecně dosažený stupeň poznání v dané oblasti. Nemůže být v rozporu s vědecky
prokázanou a potvrzenou strukturou daného oboru a jeho základními
principy. (Pokud svým zaměřením nesměřuje k jejímu popření.)
138
Každé pravdivé tvrzení, které je v teorii obsaženo, musí být vyvoditelné ze
základních principů nebo tvrzení. Jestliže najdeme takové tvrzení, které je
evidentně pravdivé a nelze je vyvodit ze základních tvrzení (axiomů, teorémů,
postulátů), pak je daná teorie neúplná.
139
Teorie je aktuálně bezesporná, jestliže neobsahuje dvě nebo více vzájemně se
vylučujících tvrzení. Obsahuje-li alespoň dvě sporná tvrzení, tj. výrok a jeho
negaci, označujeme takovouto teorii za
spornou - inkonzistentní
140
O teorii říkáme, že je potenciálně bezesporná,
nelze-li z tvrzení, která obsahuje, vyvodit
(pomocí přípustných prostředků) spor, tj.
nějaké tvrzení současně s jeho negací
141
Klasickou ukázkou definice je(1) p q = dfp q
výraz = df značí „je definičně rovno˝
výraz, stojící (nalevo od) před tímto symbolem, nazýváme
„definiendum˝
výraz stojící za (napravo od) tímto symbolem nazýváme
„definiens˝
142
Požadavky na správnou definici
(a) V definiendu se může vyskytovat pouze jeden symbol první skupiny, a
to v nejmenším možném počtu výskytu
(b) V definiens se může vyskytovat více symbolů první skupiny, ale pouze ty, které byly zadány jako „primitivní ˝, nebo byly již dříve
zavedeny správnou definicí
143
(a´) V definiendu správné definice se může vyskytovat pouze jediný odborný termín, a to v nejjednodušším možném
kontextu
(b´) V definiens se mohou vyskytovat pouze ty odborné termíny, které byly zadány jako primitivní, nebo byly již
dříve zavedeny správnou definicí
144
(i) Správná definice musí být v každém případě souměrná, tj. rozsah
definienda musí být stejný jako rozsah definiens
V případě, že rozsah definiens je větší než definienda, nazýváme takovouto
definici „širokou˝
Je-li rozsah definiens menší než rozsah definienda, pak takovou definici
nazýváme „úzkou˝
145
(ii) Je nepřípustné, aby se v definies vyskytovaly nepřesné, neurčité,
metaforické, dvou- či víceznačné nebo nesrozumitelné pojmy
(iii) Definice musí vyjadřovat podstatné znaky definovaného pojmu
(iv) Definiens nesmí obsahovat pojmy vyjadřující negativní znaky, není-li pojem
obsažený v definiendu negativní
146
(v) V definiens nesmí být použity termíny, které byly předtím zavedeny pomocí pojmu, který je uveden v definiendu
(vi) Definiens správné definice má objasňovat význam a smysl pojmů a
nikoliv jen lexikální význam slova, který tento pojem vyjadřuje
147
(a) Definiendum a definiens tvoří úplnou alternativu
(b) Definiens vylučuje všechny prvky této alternativy s výjimkou těch, které jsou
obsaženy v defiendu
(c) Pojem nebo pojmy, které jsou uvedeny v definiens, nesmí být samy před tím zavedeny negativní definicí
148
„klasická definice˝
čtverec je čtyřúhelník pravoúhlý a rovnostranný
druh = rod + druhový rozdíl
149
definice „ostenzí“
rekurentní definice
definice genetické
definice korektivní
definice kontextuální
definici abstrakcí
150
Definice syntetické
Zavádíme jimi nový pojem nebo nový symbol pro již známý (nebo dříve definovaný) pojem nebo termín
V analytické definici
zpravidla u pojmu, který je v definiendu zavádíme v definiens další podstatné charakteristiky rozšiřující
jeho dosavadní význam
151
Konjunktivní a disjunktivní normální formy
152
Konjunkci výrokových proměnných (eventuálně výrokových proměnných s negačním pruhem) budeme nazývat
elementární konjunkcí.
Disjunkci výrokových proměnných (eventuálně výrokových proměnných s negačním pruhem) budeme nazývat
elementární disjunkcí.
153
Disjunktivní normální formou libovolné formule bude formule, která bude
disjunkcí elementárních konjunkcí a která bude mít stejnou pravdivostní hodnotu
jako daná formule.
Konjunktivní normální formou libovolné formule bude formule, která bude
konjunkcí elementárních disjunkcí a která bude mít stejnou pravdivostní hodnotu
jako daná formule.
154
Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky existuje formule, která je
s ní ekvivalentní a je disjunktivní normální formou (konjunktivní normální
formou).
155
Úplnou disjunktivní normální formou budeme nazývat formuli, která je disjunkcí
elementárních konjunkcí, jež jsou stejného řádu, který se rovná počtu navzájem různých
proměnných, jež se ve formuli vyskytují, a v žádné elementární konjunkci se nevyskytují
současně proměnná a tatáž proměnná s negací a přitom jsou v každé elementární konjunkci zastoupeny všechny proměnné, které se ve
formuli vyskytují.
156
Úplnou konjunktivní normální formou budeme nazývat formuli, která je konjunkcí
elementárních disjunkcí, jež jsou stejného řádu, který se rovná počtu navzájem různých
proměnných, jež se ve formuli vyskytují, a v žádné elementární disjunkci se nevyskytuje
současně proměnná a tatáž proměnná s negací a přitom jsou v každé elementární disjunkci zastoupeny všechny proměnné, které se ve
formuli vyskytují.
157
Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky, která není formulí vždy nepravdivou, existuje právě jedna úplná
disjunktivní normální forma.
158
Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky, která není formulí vždy
pravdivou, existuje právě jedna úplná konjunktivní normální forma.
159
(1) (pq) (qp) komutativní
(2) ((pq) r) (p(qr)) asociativní
(3) (pq) (qp)
(4) ((pq) r) (p(qr))
160
(5) (p(qr)) (pq)(pr)
(6) p(qr)) (pq) (pr)
161
(7) (pq) (pq)
(8) (pq) (pq)
(9) (pq) (pq)
(10) (pq) (pq)
162
(11) (pp) p
(12) (pp) p
(13) (p) p
(14) (p λ ) p
163
(15) T =
(16) F = λ
(17) (pp) λ
(18) (pp)
164
(19) (λ p) p
(20) (λ p) λ
(21) ( p)
(22) ( p) p
165
Výskyt kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ v libovolné formuli se nazývá „počátečním“, jestliže stojí na
počátku této formule, (t.j. nevyskytují se před ním žádné jiné
symboly této formule, včetně závorek), nebo jestli mu předcházejí
ze symbolů uvažované formule pouze znaky kvantifikátorů „Vα“ a „„α“, samozřejmě každý se svojí
kvantifikovanou proměnnou.
166
Výskyt kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ v libovolné formuli se nazývá „neúčinným“, jestliže se v jejich
„poli působnosti“ nevyskytuje žádný volný výskyt kvantifikované
proměnné, která stojí u daného kvantifikátoru. (T.j. žádný volný
výskyt proměnné „α“.) V opačném případě se takový to výskyt
kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ (t.j. když se v jeho poli působnosti
vyskytuje „α“ jako volná proměnná) nazývá „neprázdným“.
167
Def. 1.
Jestliže ve formuli „A“ jsou všechny výskyty kvantifikátoru „neprázdné“ a „počáteční“, pak říkáme, že tato
formule se nachází v „prenexní normální formě“.
„α1, α2, ... αn M“
168
Tvrzení 1. Ke každé formuli „A“ naší formulace predikátové logiky existuje konečná posloupnost operací, jejichž pomocí můžeme danou formuli přepracovat na formuli „A´ “, v níž budou všechny kvantifikátory počátečními. Přitom formule „A´“ je jednoznačně určená, je-li dána formule„A“.
Tvrzení 2. Ke každé formuli „A“ systému predikátové logiky lze najít odpovídající formuli „B“,která je v prenexní normální formě.
Tvrzení 3. Je-li formule „B“ prenexní normální formou
formule „A“, pak platí „/_ AB“.
Def. 2 Říkáme, že formule je ve Skolemově normální formě,jestliže je v prenexní formě, neobsahuje žádné volné individuální proměnné a její prefix má tvar: α1, α2, ..., αm, Vβ1, Vβ2,.... Vβn, kde „m ≥1“ a „n = 0“
Tvrzení 5. Jestliže „C“ je Skolemova normální forma formule „A“, pak platí „/_ A“, tehdy a jedině tehdy, jestli platí „/_C“.
169
Def. 5.Budeme říkat, že formule „A“ je
obecně „platná“, je-li „platná“ v libovolné neprázdné oblasti.
Def. 6.
Budeme říkat, že formule „A“ je „obecně splnitelná“, je-li
„splnitelná“ na nějaké neprázdné oblasti.
170
a) Formule „A“ je platná na nějaké neprázdné oblasti, tehdy a jedině tehdy, není-li na této oblasti splnitelná formule „Ā“.
a´) Formule „A“ je obecně platná pouze tehdy, není-li formule „Ā“ obecně splnitelná.
b) Formule „A“ je splnitelná na nějaké oblasti pouze tehdy, není-li na této oblasti formule „Ā“ platná.
b´) Formule „A“ je obecně splnitelná pouze tehdy, není-li formule „Ā“ obecně platná.