Uvod u analizu (M3-02)05., 07. i 12. XI 2014.dr Nenad Teofanov

1. Kardinalni broj skupa R

U ovom predavanju se razmatra velicina skupa realnih brojeva. Jasno,taj skup ima beskonacno mnogo elemenata. Pokazace se, medutim da pos-toje razlicite vrste beskonacnih skupova. Osnovna alatka koja se u ovomproucavanju koristi su svojstva injektivnih i sirjektivnih preslikavanja.

1.1. Pojam kardinalnog broja. Pitanje velicine konacnih skupova se obicnovezuje za broj elemenata tog skupa. Pa je, u tom smislu, skup B koji ima melemenata veci od skupa A koji ima n elemenata ako je m ≥ n. U skucajuda je m = n skupovi A i B su jednaki po broju svojih elemenata, pa akosa |A| oznacimo broj elemenata skupa A, a sa |B| broj elemenata skupa B,onda je |A| = |B|.

Dakle, ako je A = {a1, a2, . . . , an} i B = {b1, b2, . . . , bm} i n = m, onda jepreslikavanje f : A → B dato sa f(aj) = bj , j = 1, 2, . . . , n, bijekcija izmeduskupova A i B, a njemu inverzno preslikavanje f−1 : B → A (f−1(bj) = aj ,j = 1, 2, . . . , n) je bijekcija izmedu skupa B i skupa A. U slucaju da jem > n, moze se dokazati da ne postoji injektivno preslikavanje skupa B uskup A.1

Ova primedba motiv je za sledecu definiciju.

Definicija 1.1. Dati su skupovi A,B ⊂ R. Oni su iste moci (ekvipotentni)ako i samo ako postoji bijekcija f : A → B. U tom slucaju pisemo A ∼ B.

Lako se pokazuje da je ∼ relacija ekvivalencije izmedu podskupova skupaR. Klasa ekvivalencije kojoj pripada neki skup A ⊂ R naziva se kardinalnibroj tog skupa i oznacava se sa cardA. Prema tome, A i B su iste moci akoje cardA = cardB, odnosno ako imaju jednake kardinalne brojeve.

Za konacne skupove A = {a1, a2, . . . , an}, n ∈ N, vazi cardA = card{1, 2, . . . , n},pa se kardinalni broj skupa A moze identifikovati sa prirodnim brojem nkoji predstavlja broj elemenata tog skupa. Premda je, u sustini, cardAklasa ekvivalencije kojoj pripada skup A s obzirom na bijekciju izmedu A i{1, 2, . . . , n}. Dakle, moc nekog konacnog podskupa skupa R identifikujemosa brojem njegovih elemenata. Pri tome se kardinalni broj praznog skupaidentifikuje sa nulom.

Dokazali smo da N, skup prirodnih brojeva, nije ogranicen, odakle sledida on nije konacan. (Primetimo da obratno ne mora da vazi, to jest daograniceni podskup skupa R ne mora muzno da bude konacan.) Kardinalnibroj skupa N se oznacava sa ℵ0 (alef nula), a za svaki skup kardinalnosti

1Jedna verzija ove cinjenice je poznata kao ”princip kaveza za golubove”(engl. pigeon-hole principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

1

2

ℵ0 se kaze da je prebrojiv. Ocigledno, neki skup A ⊂ R ako i samo ako senjegovi elementi mogu poredati u niz:

cardA = cardN⇐⇒ A = {a1, a2, . . . , an−1, an, an+1, . . . }.Za razliku od konacnih skupova koji se ne mogu injektivno preslikati na

svoje podksupove, skup prirodnih brojeva se preslikavanjem f definisanimsa f(n) = 2n, n ∈ N, bijektivno preslikava na svoj pravi podskup, skupparnih brojeva. Ovo svojstvo definise beskonacne skupove:

Definicija 1.2. Podskup skupa R je beskonacan (ili beskonacne kardinal-nosti) ako i samo ako se on moze bijektivno preslikati na neki svoj pravipodskup. Dakle, A ⊂ R je beskonacan skup ako postoji bijekcija f : A → B,gde je B ( A.

Dakle, moze se reci i da je skup beskonacan ako i samo ako nije konacan.

1.2. Kardinalnost skupova Z i Q. Jasno, skup celih brojeva je beskonacan.Kardinalni broj skupa Z je alef nula, odnosno Z je prebrojiv skup. Naime,funkcija f : N→ Z data sa

f(n) =14

(1 + (−1)n(2n− 1)

), n ∈ N,

je bijekcija izmedu N i Z (citaocu se ostavlja za vezbu da proveri ovucinjenicu).

S obzirom da je u izvesnim situacijama veoma tesko (mozda i nemoguce)navesti eksplicitno bijekciju izmedu dva prebrojiva skupa, a da smo razumelida je dati skup A prebrojiv ako i samo ako se njegovi elementi mogu poredatiu niz, cesto je, za utvrdivanje prebrojive kardinalnosti dovoljno uociti ilinavesti pravilo kojim se elementi skupa A mogu poredati u niz.

Sa jedne strane, elementi skupa Z se mogu poredati u niz:

{0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, . . . }sto je, dakle dovoljno da zakljucimo da je taj skup prebrojiv.

Sa druge strane, za proizvoljne prebrojive skupove A = {a1, a2, . . . } iB = {b1, b2, . . . } vazi

A ∪B = {a1, b1, a2, b2, . . . } =⇒ card(A ∪B) = ℵ0,

sledi da je cardZ = ℵ0 jer je Z unija dva prebrojiva skupa, N i skupanepozitivnih celih brojeva.

Razumljivo, ako je A = {a1, a2, . . . , an}, dakle konacan skup i ako jeB = {b1, b2, . . . } prebrojiv skup, onda je

card(A ∪B) = card({a1, a2, . . . , anb1, b2, . . . }) = ℵ0.

Unija konacno mnogo prebrojivih skupova je takode prebrojiv skup (citaocuse ostavlja za vezbu da proveri ovu cinjenicu).

Sledeci ovaj tok misli, postavlja se pitanje kardinalnosti prebrojive unijeprebrojivih skupova: ako je cardAj = ℵ0, j ∈ N, da li je ∪j∈NAj prebrojivskup?

3

Ovo pitanje se u nastavku dovodi u vezu sa pitanjem kardinalnosti skuparacionalnih brojeva.

Razlomci iz intervala (0, 1] mogu se poredati u niz na sledeci nacin. Pos-matrajmo semu brojeva oblika p/q u kojoj se dati broj nalazi u p-toj vrsti iq−toj koloni, p, q ∈ N, p ≤ q:

1112

22

13

23

33

14

24

34

44

15

25

35

45

55

....

Jedan nacin da se svi ovi racionalni brojevi poredaju u niz je zapisivanjesvih elemenata iz gornje seme vrstu po vrstu:

Q∩ (0, 1] = {1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 1/5, 2/5, 3/5, . . . }

pa zakljucujemo da razlomaka u intervalu (0, 1] ima prebrojivo mnogo. Sobzirom da je unija konacno mnogo prebrojivih skupova prebrojiv skup,zakljucujemo da prebrojivih brojeva u intervalu (−M, M ] (kao i u [−M, M ])za proizvoljan broj M ∈ N ima prebrojivo mnogo, jer je

(−M, M ] = (−M,−M + 1] ∪ (−M + 1,−M + 2] ∪ · · · ∪ (0, 1] ∪ (1, 2]∪· · · ∪ (M − 2,M − 1] ∪ (M − 1,M ] = ∪M−1

j=−M (j, j + 1].

Ipak, za odredivanje kardinalnosti citavog skupa Q neophodno je odreditikardinalnost prebrojive unije prebrojivih skupova: Q = ∪j∈Z(j, j + 1].

Neka je dat niz prebrojivih skupova Aj , j ∈ N. Za oznacavanje elemenataovih skupova koristicemo dva indeksa, gornji indeks kojim se oznacava kojemod datih skupova pripada uoceni element i donji indeks kojim se oznacavakoji je po redu taj element u nizu elemenata tog skupa. Tako je, dakle,

Aj = {aj1, a

j2, a

j3, . . . }, j ∈ N,

pa, na primer, a3015 oznacava element koji je petnaesti po redu u nizu eleme-

nata tridesetog skupa. Opstije, ajk oznacava element koji je k−ti po redu u

nizu elemenata j−tog po redu skupa u posmatranom nizu skupova.U nastavku se komentarisu dva nacina pokazivanja prebrojivosti prebro-

jive unije prebrojivih skupova, to jest card ∪j∈N Aj = ℵ0, ako su Aj , j ∈ N,prebrojivi.

Prvi nacin je da elemente unije datih skupova poredamo u niz je da ihnajpre napisemo u semi tako da se u vrsti j redaju elementi skupa Aj u niz,a elemente unije zapisujemo redom koji oznacava strelica:

4

A1 : a11 → a1

2 a13 → a1

4 a15 . . .

↙ ↗ ↙ ↗A2 : a2

1 a22 a2

3 a24 a2

5 . . .

↓ ↗ ↙ ↗ ↙A3 : a3

1 a32 a3

3 a34 a3

5 . . .

↙ ↗ ↙ ↗A4 : a4

1 a42 a4

3 a44 a4

5 . . .

↓ ↗ ↙ ↗ ↙A5 : a5

1 a52 a5

3 a54 a5

5 . . .

. . .

Dakle, ∪j∈NAj = {a11, a

12, a

21, a

31, a

22, a

13, a

14, a

23, a

32, . . . }, pa je card ∪j∈N Aj =

ℵ0.Drugi nacin je da se definse injektivno preslikavanje skupa ∪j∈NAj u skup

prirodnih brojeva, odnosno bijekcija izmedu tog skupa i nekog podskupaskupa N. Naknadno ce se dokazati da je beksonacni podskup prebrojivogskupa prebrojiv skup, odakle sledi da je card ∪j∈N Aj = ℵ0. Trazeno in-jektivno preslikavanje f : ∪j∈NAj → B ⊂ N je, na primer: f(aj

k) = 2j3k,

ajk ∈ Aj , j, k ∈ N. Ovo je ocito injektivno preslikavanje, odnosno bijekcija

izmedu ∪j∈NAj i skupa B = {n ∈ N | n = 2j3k, j, k ∈ N}. Preostaje da sedokaze da je B prebrojiv skup. To sledi iz naredne teoreme.

Teorema 1.3. Svaki podskup beskonacnog skupa je konacan ili prebrojiv.Svaki beskonacan skup sadrzi prebrojiv podskup.

Iz ove teoreme sledi da je prebrojivost u izvesnom smislu najmanja mogucabeskonacnost. U literaturi se za skupove koji su konacni ili prebrojivi kazeda su najvise prebrojivi.

Dokaz. Neka je A = {a1, a2, a3, . . . } i neka je B = {am, za neke indeksem ∈N}. Posmatra se skup M = {m ∈ N | am ∈ B} skup indeksa elemenataskupa B. Sa g(m) = am, m ∈ M je definisana bijekcija izmedu skupova Mi B.

Ako postoji maxM onda je B konacan skup. Ako ne postoji maxM ondaskup M nije ogranicen podskup skupa N, pa za svako n ∈ N postoji mn ∈ Mtako da je n ≤ mn i, pri cemu je m1 < m2 < m3 < . . . . Preslikavanjef : N→ M definisano sa f(n) = mn, n ∈ N je bijekcija, pa je g ◦ f : N→ Btakode bijekcija, odakle sledi da je B prebrojiv skup, cime je dokazan prvideo teoreme.

Neka je C0 ⊂ R beskonacan skup. Elementi prebrojivog skupa A ={a1, a2, a3, . . . } biraju se na sledeci nacin. Element a1 je proizvoljan elementskupa C0. Skup C1 = C0 \ {a1} je beskonacan, jer bi u suprotnom skupC0 bio konacan skup. Element a2 je proizvoljan element skupa C1. Skup

5

C2 = C1\{a1} je beskonacan, jer bi u suprotnom skup C1 bio konacan skup.Ovim postupkom se za svako n ∈ N bira element an+1 koji je proizvoljanelement skupa Cn = C0 \ {a1, a2, . . . , an}. Skup Cn je beskonacan, jer biu suprotnom skup C0 = C0 \ {a1, a2, . . . , an} ∪ {a1, a2, . . . , an} bio konacanskup.

Dakle, na navedeni nacin se dobija skup A, prebrojiv podskup proizvoljnogbeskonacnog skupa C0. ¤

Prema tome, skup racionalnih brojeva je prebrojiv. Napomenimo da pos-toje algoritmi za ekplicitnu konstrukciju niza racionalnih brojeva, videti, naprimer: Herbert S. Wilf and Neil Calkin, Recounting the Rationals, Ameri-can Mathematical Monthly, April 2000, str. 360 – 363, i Roland Backhouseand Joao F. Ferreira, Recounting the Rationals: Twice!, Mathematics ofProgram Construction, Springer-Verlag, LNCS 5133, str. 79-91, 2008.

Svi do sada posmatrani skupovi su, dakle, najvise prebrojivi. Preostajeda se ispita kardinalnost skupa realnih brojeva.

1.3. Kardinalnost skupa R. Georg Kantor je 1873. godine dokazao daje skup realnih algebarskih brojeva prebrojiv skup. Dakle, kardinalnostskupa realnih brojeva je u uskoj vezi sa kardinalnoscu skupa transcendentnihbrojeva. Razmotrimo najpre pitanje uporedivanja beskonacnih skupova povelicini, to jest po kardinalnom broju. Relacija poretka koja omogucavanavedeno uporedivanje se definise na sledeci nacin:

cardA ¹ cardB ⇐⇒ postoji bijekcija f : A → B1 ⊂ B.

Ova relacija je ocigledno refleksivna i tranzitivna. Antisimetricnost je posled-ica Sreder-Bernstajnove teoreme koja tvrdi da, ako postoji injektivno pres-likavanje iz skupa X u skup Y i injektivno preslikavanje iz skupa Y u skupX, onda postoji bijekcija izmedu X i Y .

Ako je cardA ¹ cardB kaze se da je kardinalni broj skupa A manjiod kardinalnog broja skupa B. Ako, pri tome, cardA 6= cardB onda jekardinalni broj skupa A strogo manji od kardinalnog broja skupa B, to jestkardinalnost skupa B je strogo veca od kardinalnosti skupa A, u oznaciA ≺ B.

U slucaju da su A i B konacni skupovi, cardA ¹ cardB ako i samo ako jen ≤ m, a A ≺ B ako i samo ako je n < m, gde su n i m brojevi elemenataskupa A i skupa B respektivno. Za ma koji konacan skup A vazi cardA ≺ ℵ0.Takode, ako je A ⊂ B, identicko preslikavanje je bijekcija izmedu A i A ⊂ B,pa je cardA ¹ cardB.

Da je kardinalnost skupa R strogo veca od cardN dokazuje se, dakle, udva koraka. Najpre, cardN ¹ cardR, jer je N ⊂ R. Preostaje da se dokazeda ne postoji bijekcija izmedu skupa N i R. Mi cemo najpre komentarisatikardinalnost intervala u R.

Posmatrajmo intervale (0, 1) i (0, 1]. Vazi card(0, 1) = card(0, 1]. Jednabijekcija izmedu ovih skupova je, na primer, f : (0, 1) → (0, 1] definisana sa

6

f(1/2) = 0, f(1/(n + 2)) = 1/(n + 1), n ∈ N i f(x) = x za sve x ∈ (0, 1),x 6= 1/(n + 1), n ∈ N. Na slican nacin se dokazuje:

card(0, 1) = card(0, 1] = card[0, 1) = card[0, 1].

Posmatrajmo sada intervale (a, b) i (c, d), a < b, c < d. Jedna bijekcijaizmedu njih je data linearnom funkcijom koja je odredena sa f(a) = c if(b) = d:

f(x) =d− c

b− ax +

bc− ad

b− a, x ∈ (a, b).

Prema tome, svi intervali (otvoreni, zatvoreni, poluotvoreni) su iste kar-dinalnosti; za proizvoljan ”mali broj”ε > 0 (na primer ε = 10−10) i ”velikibroj”M > 0 (na primer M = 1010), intervali (−ε, ε) i (−M,M) su istekardinalnosti.

Funkcija f1(x) = tanx, x ∈ (−π/2, π/2) je bijekcija izmedu otvorenogintervala (−π/2, π/2) i R, a funkcija f2(x) = (2x− 1)/(x− x2), x ∈ (0, 1) jebijekcija izmedu otvorenog intervala (0, 1) i R:

Out[6]=-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-6

-4

-2

2

4

6

Slika 1. f1(x)

Out[8]=0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-15

-10

-5

5

10

15

Slika 2. f2(x)

Odavde sledi da je cardR = card(−π/2, π/2) = card(0, 1) = card(a, b)za proizvoljne brojeve a < b. Dakle, u smislu kardinalnosti, realnih brojevaima onoliko koliko ih ima u proizvoljno malom intervalu.

Teorema 1.4. Vazi: cardN ≺ cardR.

Dokaz. Vec smo utvrdili da je cardN ¹ cardR. Kako je cardR = card(0, 1),dovoljno je da se dokaze da se realni brojevi iz intervala (0, 1) ne moguporedati u niz. Pretpostavimo suprotno: Neka je

(0, 1) = {x1, x2, x3, . . . }.Neka je I1 ⊂ (0, 1) zatvoren interval koji ne sadrzi tacku x1 (na primer, I1 =[(5x1+1)/6, (x1+5)/6], citaocu se ostavlja da proveri da je x1 < (5x1+1)/6).Zatim se bira zatvoreni interval I2 ⊂ I1 koji ne sadrzi x2.2 Ovaj postupakse nastavlja za svaki prirodan broj n, cime se dobija niz umetnutih intervala{In}n∈N. Na osnovu Kantorovog principa postoji x ∈ R takav da x ∈ In,

2Neka je I1 = [a1, b1]. Ako x2 6∈ I1 onda biramo I2 = I1. Ako x2 ∈ [a1, b1] onda, slicnoprethodnom slucaju posmatramo d = b−x2 i biramo I2 = [(x2+b)/2−d/3, (x2+b)/2+d/3].

7

za svako n ∈ N. Kako je In ⊂ (0, 1), n ∈ N, sledi da x ∈ (0, 1), pa postojin0 ∈ N takav da je x = xn0 .

Na osnovu izbora zatvorenih intervala, xn 6∈ In za svako n ∈ N, pa x =xn0 6∈ In0 , odakle sledi da x 6∈ ∩n∈NIn, sto je kontradikcija. Prema tome, nepostoji bijekcija izmedu N i (0, 1), to jest

cardN ≺ card(0, 1) = cardR,

sto je i trebalo dokazati.Drugi nacin da se dokaze da realnih brojeva u intervalu (0, 1) nema pre-

brojivo mnogo, to jest da se ne mogu poredati u niz je Kantorov postupakdijagonalizacije koji koristi decimalnu reprezentaciju realnih brojeva.3 ¤

Kardinalnost skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i oznacava se sac.

1.4. Komentari o kardinalnosti partitivnih skupova i c = 2ℵ0. Nekaje A ⊂ R, A 6= ∅. Skup ciji su elementi svi podskupovi skupa A, parti-tivni skup skupa A, ce se oznacavati sa P(A). Ako je cardA = n, onda jecardP(A) = 2n. Ova cinjenica se dokazuje na sledeci nacin. Na osnovuosnovnih kombinatornih principa lako se dokazuje da postoji 2n uredenihn−torki koje se sastoje od cifara 0 i 1. Neka je U skup svih uredenih n−torkikoje se sastoje od cifara 0 i 1 i neka je funkcija f : P(A) → U definisana nasledeci nacin. Ako je B ⊂ A = {a1, a2, . . . , an}, onda je f(B) ∈ U uredenan−torka kod koje je na mestu j ∈ {1, 2, , . . . , n} jedinica ako aj ∈ B, a nulaako aj 6∈ B. Ovako definisana funkcija f : P(A) → U je bijekcija, pa jecardP(A) = 2n.

Prema tome, ako je cardA = card{1, 2, . . . , n}, onda je cardA ≺ cardP(A)jer je n < 2n, za svako n ∈ N. U stvari, za proizvoljan skup A vazicardA ≺ cardP(A). Dokazimo to.

Neka je f : A → P(A). Dakle, f(a) ∈ P(A) za sve a ∈ A. Posmatrajmopodskup skupa A definisan na sledeci nacin:

X = {x ∈ A | x 6∈ f(x)}.Ako je f sirjekcija onda postoji x ∈ A takav da je f(x) = X. Moguce jeda x ∈ X ili da x 6∈ X. U prvom slucaju, po definiciji skupa X ako x ∈ Xonda x 6∈ f(x) = X, sto je kontradikcija. Slicno, ako x 6∈ X = f(x) onda, podefiniciji skupa X vazi x ∈ X, sto je takode kontradikcija. Dakle, nijednopreslikavanje iz A u P(A) nije sirjektivno. S obzirom da je f : A → P(A)definisano sa f(a) = {a} injektovno preslikavanje, sledi da vazi cardA ≺cardP(A).

Dakle, cardN ≺ cardP(N), ali i cardR ≺ cardP(R), pa postoji skup vecekardinalnosti od kardinalnosti skupa R i za skup proizvoljne kardinalnosti,na ovaj nacin se mogu definisati skupovi vece kardinalnosti.

3Videti, na primer, D. Adnadevic, Z. Kadelburg - Matematicka analiza I, Naucnaknjiga, Beograd, 1989.

8

Koristeci binarnu i decimalnu reprezentaciju skupa R i teoremu Sreder-Bernstajn moze se dokazati da je card(P(N) = c, sto se ponekad oznacavasa 2ℵ0 = c. Dokaz se moze naci u M. Kurilic, Osnovi opste topologije,Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 1998.

Sada znamo da je prebrojiva beskonacnost ”najmanja”, a beskonacnostkontinuuma ”veca”od nje, to jest ℵ0 ≺ c. Prirodno je postaviti pitanjeda li postoji skup A za koji vazi ℵ0 ≺ cardA ≺ c. Hipoteza kontinuumaje iskaz: ”Ne postoji skup A takav da je ℵ0 ≺ cardA ≺ c”. Ovaj iskaznije moguce dokazati niti opovrgnuti u okviru teorije skupova zasnovane naaksiomama ZFC sistema, videti, na primer S. Milic, Elementi matematickelogike i teorije skupova, Beograd, 2001.

Na kraju navodimo komentar o kardinalnosti skupa iracionalnih brojeva I.Kako je R = Q∪ I, onda I ne moze biti prebrojiv skup, jer bi u tom slucajuskup R bio prebrojiv skup, kao unija dva prebrojiva skupa. Prema tomeℵ0 ≺ cardI ¹ cardR, pa, ako vazi hipoteza kontinuuma, onda je cardI = c.

Da je cardI = c moze se dokazati i na sledeci nacin. Pre svega, identickopreslikavanje je injektivno preslikavanje iz I u R, to jest cardI ¹ cardR,pa ako postoji injektivno preslikavanje iz R u I, onda na osnovu teoremeSreder-Bernstajn postoji bijekcija izmedu tih skupova. Ovde se koristi dec-imalna reprezentacija brojeva i cinjenica da iracionalni brojevi imaju dec-imalni zapis sa beskonacno mnogo razlicitih cifara iza decimalnog zareza,bez periodicnog ponavljanja neke grupe cifara.

Dakle, ako je decimalni zapis realnog broja dat sa M, b1b2b3b4b5 . . . ondadefinisemo f(M, b1b2b3b4b5 . . . ) na sledeci nacin: iza prve cifre iza deci-malnog zareza (b1) napise se cifra 0, iza druge cifre (b2) napise se 11, iza trece000, iza cetvrte 1111 i tako dalje, iza cifre b2n napise se 2n jedinica, a iza cifreb2n+1 napise se 2n + 1 nula. Pri tome, ako je decimalan zapis datog realnogbroja konacan, onda se koristi zapis istog broja koji se zavrsava beskonacnimponavljanjem cifre 9. Na primer, 3, 1415 = 3, 1414999999. Slika ovog brojabi bila 3, 1041110004111190000091111119000000091 . . . . Ovim se dobija in-jektivno preslikavanje iz R u I, odakle sledi cardR ¹ cardI. Prema tome,cardI = c.