uvod u matematiČke metode u inŽenjerstvu jednodimenzionalna toplinska jednadŽba
DESCRIPTION
UVOD U MATEMATIČKE METODE U INŽENJERSTVU JEDNODIMENZIONALNA TOPLINSKA JEDNADŽBA. FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE SVEUČILIŠNI DIPLOMSKI STUDIJ PRIMIJENJENA KEMIJA ZAVOD ZA MATEMATIKU. Ivica Gusić, red. prof. dr. sc. Miroslav Jerković, dr. sc. Leo Mandić Tomislav Suhina. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
UVOD U MATEMATIČKE METODE U INŽENJERSTVU
JEDNODIMENZIONALNA TOPLINSKA JEDNADŽBA
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJESVEUČILIŠNI DIPLOMSKI STUDIJ PRIMIJENJENA KEMIJA
ZAVOD ZA MATEMATIKU
Leo Mandić
Tomislav Suhina
Ivica Gusić, red. prof. dr. sc.
Miroslav Jerković, dr. sc.
SADRŽAJ
• UVOD
• RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA
• RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA
• MATHEMATICA
• ZAKLJUČAK
• LITERATURA
UVOD
• Parcijalna diferencijalna jednadžba (PDE) jest jednadžba koja uključuje jednu ili više parcijalnih derivacija (nepoznate) funkcije.
• PDE je linearna ako je prvog reda i u zavisnoj varijabli i u njezinim parcijalnim derivacijama.
• U primjenama su najvažnije PDE drugog stupnja.
Važnije PDE
• PDE općenito imaju vrlo velik broj različitih rješenja.
• Jedinstveno rješenje parcijalne diferencijalne jednadţbe može se dobiti korištenjem dodatnih uvjeta koji proizlaze iz problema.
• To mogu biti rubni uvjeti i početni uvjeti.
RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA
• Općenito, toplinska jednadžba glasi:
• Naziva se i difuzijskom jednadžbom.
• Za metalni štap kod kojeg se toplina prenosi samo duž osi apscisa trodimenzionalna toplinska jednadžba prelazi u jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu:
• Uz početni uvjet i rubne uvjete, nakon separacije varijabli, zadovoljavanja rubnih uvjeta, kao i početnog uvjeta, konačno rješenje jednadžbe je:
• Ovo rješenje dobiva se uz pretpostavku da je f(x) kontinuirana po dijelovima na intervalu i da ima jednostrane derivacije u svim nutarnjim točkama tog intervala.
• Zbog eksponencijalnog faktora, svi se članovi u približavaju nuli kako vrijeme teži beskonačnosti.
RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA
• Dosada smo razmatrali jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu za slučaj kada imamo štap konačne duljine.
• U slučaju štapa beskonačnih duljina (odnosno vrlo dugačkih štapova), Fourierove redove potrebno je zamijeniti Fourierovim integralima.
• U tom slučaju, nakon sličnog postupka kao i za štap konačne duljine, rješenje jednodimenzionalne toplinske jednadžbe za beskonačno dugačak štap je:
21( , ) ( 2 ) zu x t f x cz t e dz
MATHEMATICA
• Kao primjer imamo štap koji je uronjen u kupelj temperature 100 °C, a na krajevima je temperatura jednaka nuli.
• Rješenje ima oblik:
• Vrijedi:
1
2
sin),(n
tL
cn
n exL
nBtxu
Algoritam u Mathematici
Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2 = 0.1), različit broj članova Fourierova reda (n))
n=11
n=41
Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2), konstantan broj članova Fourierova reda (n = 15))
c2=0,3 c2=0,5
ZAKLJUČAKZAKLJUČAK
• Parcijalne diferencijalne jednadžbe su modeli za različite fizikalne i geometrijske probleme.
• Jedna od takvih jednadžbi jest i jednodimenzionalna toplinska jednadžba.
• Njezina važna primjena je proučavanje prijenosa topline kroz metalni štap.
LITERATURALITERATURA
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, John Wiley and Sons, Inc., 2006., 535. – 536., 552. – 554. i 562. – 564. str.
• http://demonstrations.wolfram.com/HeatTransferAlongARod/
Zahvaljujemo na pažnji!