uygulamali İstatİstİk - İstanbul...
TRANSCRIPT
-
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
UYGULAMALI İSTATİSTİK
İKTİSAT LİSANS PROGRAMI
PROF. DR. HANDAN YOLSAL
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
-
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
İKTİSAT LİSANS PROGRAMI
UYGULAMALI İSTATİSTİK
Prof. Dr. Handan YOLSAL
-
Yazar Notu
Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için
hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.
-
I
ÖNSÖZ
Uygulamalı İstatistik dersi İktisat bölümü öğrencilerinin 7. yarıyılda aldıkları tek dönemlik bir derstir. Bu ders 3. ve 4. yarıyıllarda alınan İstatistik I ve İstatistik II derslerinde edinilen bilgilerin ekonomi derslerindeki bilgilerle harmanlanılarak, ekonomik serilerin kullanımını göstermek amacını taşımaktadır. Böylece öğrenciler ödev ve projelerinde kullanacakları herhangi bir ekonomik seriyi analiz edereken nasıl bir yol izleyeceklerini görecektir.
Uygulamalı İstatistik dersinde klasik zaman serisi analizleri anlatılacaktır. Klasik zaman serisi analizinde serilerin içerdiği gözlenemeyen unsurların deterministik olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayımla serilerin taşığı trend-konjonktür, mevsimsellik ve rastlantısal unsurlar, bu unsurların özellikleri açıklanacaktır. Zaman serilerinin gözlenemeyen unsurlarının varlığının belirlenmesi için gereken testler, unsurların ayrıştırma modelleri ve serilerin bu unsurlardan arındırılma yöntemleri üzerinde durulacaktır.
Dersin vize dönemine kadar süren bölümünde trend analizi ve ikinci bölümde ise mevsimsellik ve konjonktür analizi açıklanacaktır.
Her hafta ders notlarında teorisi anlatılan konulara ilişkin çok sayıda uygulamaya yer verilecektir. Bu uygulamalarda teoride anlatılan konular tüm ayrıntıları ile çözümlenecektir. Ayrıca ders notlarının ardından verilen çalışma soruların önmeli bir kısmı öğrencilerin özellikle test sınavlarında başarılı olmasını sağlamak amacıyla çoktan seçmeli olarak hazırlanmıştır.
Dersin öğrencilerimize faydalı olması dileğimle….
-
II
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ ........................................................................................................................................ I İÇİNDEKİLER .......................................................................................................................... II KISALTMALAR ..................................................................................................................... VI
YAZAR NOTU ....................................................................................................................... VII
1. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ ................................................................................... 1 1.1. Giriş................................................................................................................................... 7
1.2. Klasik Zaman Serisi Analizi ........................................................................................... 12
1.3. Zaman Serilerinin Unsurları: .......................................................................................... 13
1.3.1. Trend ....................................................................................................................... 13
1.3.2. Konjonktürel Dalgalanmalar ................................................................................... 14
1.3.3. Mevsimsel Etkiler ................................................................................................... 15
1.3.4. Rastlantısal Etkiler .................................................................................................. 16
1.4. Gözlenemeyen Unsurların Ayrıştırma Modelleri ........................................................... 18
1.4.1. Toplamsal Ayrıştırma Modeli ................................................................................. 19
1.4.2. Çarpımsal Ayrıştırma Modeli ................................................................................. 19
1.4.3. Yapay Toplamsal Ayrıştırma Modeli ...................................................................... 20
2. TREND ANALİZİ ............................................................................................................... 29 2.1. Trend Analizi .................................................................................................................. 35
2.2. Parametrik ve Parametrik Olmayan Testler .................................................................... 36
2.2.1. Pearson Korelasyon Katsayısı ................................................................................. 36
2.2.2. Trendin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler ......................... 41
2.2.2.1. Kendall’ın Sıra Korelasyon Testi ............................................................................. 41 2.2.2.2. Spearman Sıra Korelasyon Testi .................................................................................. 43
2.2.2.3. Cox-Stuart Trend Testi ................................................................................................. 44
3. HAREKETLİ ORTALAMALAR YÖNTEMİ .................................................................... 57 3.1. Düzleştirme Yöntemleri .................................................................................................. 63
3.1.1. Hareketli Ortalamalar Yöntemi ............................................................................... 63
3.1.1.1. Basit Hareketli Ortalamalar .......................................................................................... 65
3.1.1.2. Merkezi Hareketli Ortalamalar ..................................................................................... 67
3.1.1.3. İkili Hareketli Ortalamalar ........................................................................................... 69
3.1.1.4. Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar .................................................................................... 70
3.2. Ekonomik Zaman Serilerinde Trend Denkleminin Oluşturulması ................................. 78
3.2.1. Doğrusal Trend Modeli ........................................................................................... 79
-
III
3.2.1.1. En Küçük Kareler Yöntemi .......................................................................................... 80
4. DOĞRUSAL TREND DENKLEMİ .................................................................................... 93 4.1.Orijin Kaydırma Yöntemi ile Trendin Tahmin Edilmesi ................................................. 99
4.1.1. Tek Sayılı Gözlemlerden Oluşan Seriler İçin Orijin Kaydırma .............................. 99
4.1.2. Çift Sayılı Gözlemlerden Oluşan Seriler İçin Orijin Kaydırma ............................ 100
4.2. Doğrusal Trend Denkleminin Parametrelerin Anlamlılık Sınaması ............................. 100
4.2.1. Parametreler için t testi: ........................................................................................ 101
4.2.2. Parametrelerin Birlikte Sınanması : F Testi .......................................................... 103
4.3. Doğrusal Trend Denkleminin Öngörü Amaçlı Kullanımı ............................................ 105
5. ÖZÜNDE DOĞRUSAL TREND MODELLERİ .............................................................. 133 5.1. Doğrusal Olmayan Trend Modelleri ............................................................................. 139
5.1.1. Özünde Doğrusal Olan Trend Modelleri............................................................... 139
5.1.1.1. Polinominal Trend Modelleri ..................................................................................... 139
5.1.1.1.1. Kuadratik Trend Modeli ...................................................................................... 140
5.1.1.1.2. Kübik Trend Modelleri ........................................................................................ 143
5.1.1.2. Üstel Modeller ............................................................................................................ 144
6. ÖZÜNDE DOĞRUSAL OLMAYAN TREND MODELLERİ ......................................... 161 6.1. Özünde Doğrusal Olmayan Trend Modelleri ............................................................... 167
6.1.1. Lojistik Eğri .......................................................................................................... 167
6.1.2. Gompertz Eğrisi .................................................................................................... 169
6.2. Doğrusal Trend Denklemlerinde Yıllık Trend Denkleminin Aylık Değerlere Dönüştürülmesi .................................................................................................................. 170
6.2.1. Yıllık Veriler Aylık Gözlemlerin Ortalaması Olarak Hesaplanmışsa ................... 171
6.2.2. Yıllık Veriler Aylık Gözlemlerin Toplamı Olarak Hesaplanmışsa ....................... 171
6.2.3. Mevsimsel ve Aylık Değerlerin Yıllık Verilere Dönüştürülmesi ......................... 172
7. TREND DENKLEMİNİN ÖNGÖRÜDE KULLANIMI .................................................. 185 7.1. Trend Analizinin Gelecek Tahmininde Kullanımı ....................................................... 191
7.1.1. Ortalama Hata Kare ............................................................................................... 192
7.1.2. Yüzde Hata ............................................................................................................ 193
7.1.3. Ortalama Mutlak Hata ........................................................................................... 193
7.1.4. Ortalama Mutlak Yüzde Hata ............................................................................... 194
7.1.5. Theil’in U Eşitsizliği ............................................................................................. 194
8. MEVSİMSELLİK .............................................................................................................. 207 8.1. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi..................................................................................... 213
8.2. Mevsim Endekslerinin Oluşturulması ...................................................................... 215
-
IV
8.2.1. Mevsim Endeksinin Toplamsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması ......... 215
9. ÇARPIMSAL AYRIŞTIRMA MODELİ ........................................................................... 226 9.1. Mevsim Endeksinin Çarpımsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması .................. 232
9.2. Mevsimselliğin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler .................. 233
10. MEVSİM ENDEKSLERİ ................................................................................................ 255 10.1. Aylık Ortalamaların Genel Ortalamaya Oranı Yöntemi ............................................. 261
10.2. Aylık Ortalamaların Trende Oranı Yöntemi ............................................................... 261
11. MEVSİMSEL DÜZELTME YÖNTEMLERİ ................................................................. 279 11.1. Mevsimsel Düzeltme Gerektiren Nedenler ................................................................. 285
11.1.1. Takvim Etkileri ................................................................................................... 285
11.1.2. Ticari Gün Etkisi ................................................................................................. 286
11.1.3. Hareketli Tatil Etkisi ........................................................................................... 286
11.2. Aykırı Gözlemler ........................................................................................................ 287
11.2.1. Toplamsal Aykırı Gözlemler ............................................................................... 287
11.2.2. Yenileşim Aykırı Gözlemi .................................................................................. 288
11.2.3. Düzey Kayması ................................................................................................... 288
11.2.4. Aykırı Gözlemler ve Müdahale Analizi .............................................................. 289
11.3. İstatistik Ofisleri Tarafından Kullanılan Mevsimsel Düzeltme Yöntemleri ............... 290
11.3.1. Filtre Bazlı Yaklaşımlar ...................................................................................... 291
11.3.1.1. “X-11” Mevsimsel Düzeltme Yöntemi .................................................................... 292
11.3.1.1.1. “X-11” Yönteminde Kullanılan Hareketli Ortalamalar Filtreleri ...................... 294
11.3.1.1.2. “X-11” ve Diğer Mevsimsel Düzeltme Yöntemlerinde Kullanılan Özel Değişkenler .......................................................................................................................... 297
11.3.2. Model Bazlı Yaklaşımlar .................................................................................... 299
12. KONJONKTÜR DALGALANMALARI ........................................................................ 302 12.1. Yıllık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi ................................................................... 310
12.2. Aylık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi ................................................................... 310
12.3. Öncü Göstergeler Yaklaşımı ....................................................................................... 311
13.ARA DEĞER ATAMA (İNTERPOLASYON) ................................................................ 330 13.1. Seçilmiş Noktalara Göre Ara Değer Atama (İnterpolasyon) ..................................... 336
13.2. En Küçük Kareler Yöntemine Göre İnterpolasyon ..................................................... 338
14. ORANLAR ....................................................................................................................... 353
14.1. Oran Çeşitleri .............................................................................................................. 359
14.1.1. İlişkinin Türüne Göre Oranlar ............................................................................. 360
14.1.2. İlişkinin Derecesine Göre Oranlar ...................................................................... 361
-
V
14.2. Endeksler..................................................................................................................... 362
14.2.1. Bileşik Endekslerde Tartı .................................................................................... 363
14.2.2. Laspeyres Fiyat İndeksi ....................................................................................... 364
14.2.3. Paashe Fiyat İndeksi ............................................................................................ 365
14.2.4. Fisher’in İdeal İndeksi ......................................................................................... 365
14.3. Türkiye’de Hesaplanan Fiyat Endeksleri .................................................................... 365
14.4. Reelleştirme ................................................................................................................ 367
KAYNAKÇA ......................................................................................................................... 381
-
VI
KISALTMALAR
BHO: Basit Hareketli Ortalama
DK: Düzey Kayması
EK: Eğim Kayması
GD: Geçici Değişim
GSMH: Gayri Safi Milli Hasıla
GSYH: Gayri Safi Yurt İçi Hasıla
HO: Hareketli Ortalama
KOHK: Kök Ortalama Hata Kare
MHO: Merkezi Hareketli Ortalama
OHK: Ortalama Hata Kare
OMYH: Ortalama Mutlak Yüzde Hata
ÖH: Öngörü Hatası
TAG: Toplamsal Aykırı Gözlem
TÜFE: Tüketici Fiyat Endeksi
TÜİK: Türkiye İstatistik Kurumu
TCMB: Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası
YAG: Yenileşim Aykırı Gözlemi
YH: Yüzde Hata
Yİ-ÜFE:Yurt İçi Üretici Fiyat Endeksi
-
VII
YAZAR NOTU
-
1
1. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ
-
2
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
1. İstatistikte kullanılan veri tipleri
2. Klasik zaman serisi analizi nedir? Ne amaçla yapılır?
3. Klasik zaman serilerinin unsurları nelerdir?
-
3
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Zaman serilerini diğer serilerden farklı kılan nedenler nelerdir?
2) Zaman serisi analizi araştırmacıya ne kazandırır?
-
4
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Klasik zaman serisine giriş Zaman serilerinin
taşıdığı unsurların ne olduğunu görmek
Çeşitli serilerle uygulamalar yaparak, serilerde gözlenemeyen unsurların grafiklerini çizerek
-
5
Anahtar Kavramlar
Zaman serisi analizi
Ayrıştırma analizi
-
6
Giriş
İstatistikte seçilen araştırma yönteminin başarılı olabilmesi derlenen verinin türüne uygun olmasına bağlıdır. İstatistik çalışmalarda kullanılan veri tiplerinden biri de zaman serileridir. Zaman serisi analizleri 19. yy’ın sonundan itibaren geliştirilmiştir. Son yıllarda yaygın bir şekilde kullanılan zaman serisi analizleri, tek değişkenli ve çok değişkenli olarak uygulanabilir. Uygulamalı istatistik dersinin konusu tek değişkenli klasik zaman serilerinin özellikleri ve kullanımıdır. Bu derste öncelikle zaman serisi kavramı, zaman serilerinin gözlenemeyen unsurları, bu unsurları ayrıştırma modelleri açıklanacaktır.
-
7
1.1. Giriş
İstatistik kolektif olaylardaki değişkenlikle ilgilenir. Kolektif olaylarla ilgilenirken asılında iki işlevi gerçekleştirir. Bu işlevlerden ilki tümdengelimci bir yaklaşımla veriyi betimleme ve özetleme işlevidir. Diğeri ise tümevarımcı bir yaklaşımla çıkarsama yapma işlevidir. İstatistiğin ilk işlevi verilerin toplanması, düzenlenerek işlenmesi, tablolar, grafikler halinde sunulması, odaklaşma ve dağılım özelliklerine ait özetleyici istatistiklerinin çıkarılması ve bu istatistikler yardımıyla verilerin çözümlemesinin yapılması aşamalarını kapsayan betimsel istatistiği oluşturur. İkinci işlevi ise toplanan verinin çözümlenmesi ile sonuç çıkarmak ve karar almak amacıyla yorumlanması aşamalarını kapsayan çıkarsamalı istatistik konularını oluşturur. Çıkarsamalı istatistikte örnekleme teknikleri ve örnekleme dağılımlarından yararlanılarak anakütle hakkında varsayımlarda bulunulur. Bu varsayımların geçerliliği parametrik ve parametrik olmayan testlerle sınanır. Tüm bu aşamalarda bir veya çoğu kere birkaç değişken arasındaki ilişkiler incelenir. Tek bir değişkeninin incelenmesi tek değişkenli analizleri, birden çok değişkenin incelenmesi ise çok değişkenli analiz yöntemlerini kullanmayı gerektirir. En basiti iki değişkenli analizler olan çok değişkenli analizlerde iki veya daha çok değişkenin birlikte hareketi, aralarındaki ilişkinin derecesi, neden-sonuç bağlantıları regresyon ve korelasyon analizleri ile incelenir. İstatistiğin konuları arasında yer alan ve bir değişkenin zaman içindeki gelişimini inceleyen zaman serisi analizleri de yer almaktadır. Zaman serileri bir değişkenin inceleme dönemi içindeki gelişimini gösterdiği için araştırmacıya ilgili döneme ait ipuçları vermektedir. Bu nedenle de ekonomide özellikle politika yapıcılar geçmişte gerçekleşen durumlardan yararlanarak, bugünü değerlendirmek ve geleceğe dair öngörüde bulunmak amacıyla zaman serilerinden yararlanmaktadır. Zaman serisi en kaba biçimde bir değişkenin gözlem değerlerinin ardışık olarak zamana bağlı sıralanması şeklinde tanımlanabilir. 19. Yy sonlarından itibaren gelişen zaman serisi analizleri, uzun yıllar tek değişkenli analiz yöntemleri kapsamında yer alan bir analiz türüyken, giderek birden çok zaman serisinin birbirleri ile ilişkilerini de analiz eden çok değişkenli zaman serisi yöntemlerinin geliştiği bir alan haline gelmiştir. Özellikle zaman serisi analizinin ilk geliştirilmeye başlandığı yıllarda serilerdeki kimi gözlenemeyen unsurların deterministik olduğu varsaymaktaydı. İlerleyen yıllarda zaman serilerinde deterministik ögelerin yanı sıra stokastik ögelerin olduğu da varsayılmaya başlandı. Stokastik öğelerin analizi 1970 yılında Box-Jenkins modelleri ile başlamıştır. Bu dönemde yalnızca tek değişkenli zaman serilerindeki deterministik ögeler incelenecektir. Bu nedenle zaman serisi analizlerinin bu ilk aşamaları klasik veya geleneksel zaman serisi analizi olarak adlandırılır. Zaman serisi analizleri meteoroloji, sosyoloji, tıp, biyoloji, jeofizik, ekonomi gibi pek çok alanda çok geniş bir uygulama alanı bulmuş ve özellikle ekonomik zaman serileri ile ilgili giderek büyüyen bir literatür (yazın) oluşmuştur. Bu gelişimin en önemli nedeni gerek tek değişkenli, gerekse çok değişkenli zaman serilerinin gelecek tahmininde başarılı bir şekilde kullanılabilmesidir.
Zaman serisi analizine geçmeden önce istatistikte veri kavramını tekrar hatırlatmak gerekir. Veri, incelenen birimlerin sahip oldukları özellikleri sayarak veya ölçerek elde edilen değerlere verilen addır. Herhangi bir işlem görmemiş, düzenlenmemiş veriye ise ham veri denirken, kullanılabilecek şekilde düzenlenerek işlenen veriye bilgi denilmektedir.
-
8
Araştırmalarda kullanılacak veriler birincil veriler ve ikincil veriler olmak üzere ikiye ayrılmaktadır.
Birincil veriler, araştırma konusu belirlendikten sonra araştırmacının o konuya özel olarak topladığı verilerdir. Genellikle o konu ile ilgili ilk kez veri toplanacaksa birincil verilerden yararlanılır. Birincil veriler deney tasarımı yoluyla, gözlem yoluyla, anket veya görüşme yoluyla derlenebilmektedir.
İkincil veriler ise aslında başka bir araştırma veya amaç için daha önceden başka araştırmacılar tarafından toplanmış verilerdir. Bu tip veriler genellikle TÜİK, TCMB gibi resmi olarak veri üreten resmi kurumlar tarafından yayınlanan veriler olabileceği gibi, çeşitli konularda yazılan kitaplar, tezler, raporlar da olabilir. İkincil veriler kullanılırken özellikle dikkat edilmesi gereken nokta, bu verilerin gerçekte başka bir çalışma için hazırlanmış olduğudur.
Birincil veriler yalnızca yapılan o araştırma için toplandığından araştırmanın amacı ve kısıtlamaları da dikkate alınarak toplanacaktır. Ancak ikincil veriler başka araştırmacılar tarafından daha önce başka bir araştırma için toplandığından hangi kısıtlamalarla ve amaçla toplandıkları tam olarak belirlenmeden kullanılmamaları gerekmektedir. Aksi takdirde araştırma konusuna uygun olmayan bir veri kullanılmış olur ki, bu durumda yanlış toplanmış veri ile araştırma yöntemi ne kadar ileri bir yöntem olursa olsun, o araştırmadan doğru sonuç almak mümkün olmaz. Bu nedenle araştırmacıların verilerini özenle toplaması, birincil ve ikincil veri kaynaklarını iyi kullanması gerekir.
Veri toplama işlemine derleme adı da verilmektedir. Aynı birimin zaman içinde farklı dönemlerde aynı özelliğine ait değişimi gözleniyorsa zaman serisi verileri söz konusu olmaktadır. Örneğin 2000-2017 yılları arasında Türk Ekonomisinin yıllık büyüme hızı araştırılıyorsa, bu araştırmada zaman serisi verilerinden yararlanılacaktır. Ancak 2017 yılında dünyadaki tüm ülke ekonomilerinin yıllık büyüme hızları da araştırılabilir. Bu durumda aynı mekânda birden çok birimin aynı özelliği izlenecektir. İşte bu şekilde aynı özelliğin aynı anda farklı birimlerde nasıl bir görünüme sahip olduğu araştırılmaktaysa, mekân serisi verileri veya çapraz kesit verileri söz konusu olur. Bazı araştırmalarda ise hem çapraz kesit verileri hem de zaman serisi verileri aynı anda kullanılmaktadır. Bu durumda ise karma veriler söz konusu olacaktır. Örneğin dünyadaki tüm ülke ekonomilerinin 2000-2017 yılları arasındaki büyüme hızları ile ilgilenildiğinde karma verilerle çalışılmalıdır. Karma veriler bu örnekte olduğu gibi aynı dönemlerde ve aynı kesitlerde toplandığında panel veriler elde edilmektedir.
Araştırmacı kullanacağı veri tipini yaptığı araştırmaya uygun olarak seçmelidir. Zaman serisi analizi yapıldığında, özellikle makroekomik veriler kullanılacaksa, bu veriler genellikle ikincil veri olacaktır. İkincil veriler ise başka bir araştırmacı tarafından toplandığından, bu tip verileri kendi araştırmalarımızda kullanırken bir takım düzeltmeler yapmak zorunda kalabileceğimiz unutulmamalıdır.
Tüm ekonomik çalışmalarda üç amaç gözetilmektedir. Bunlar; mevcut durumu, yapıyı analiz etmek, politika oluşturmak ve geleceği tahmin (öngörü) etmektir. Bir araştırmada bu
-
9
amaçların biri veya hepsi birden hedeflenebilir. Bir zaman serisinin yapısını analiz etmek için öncelikle serinin taşıdığı çok farklı yapılarda olabilen gözlenemeyen unsurları anlamak, bu yapıları ve davranışlarını sınıflandırmak gerekir. Çoğu kere bu işlem her bir yapıyı ayrı ayrı inceleyecek şekilde çeşitli unsurlara bölmekle mümkündür. Böyle bir işlem yalnızca mevcut yapıyı anlamak da değil, aynı zamanda gelecek tahmini yapmakta da faydalıdır.
Ekonomik zaman serilerinin geçmiş ve günümüzdeki değerlerinden gelecekte alacağı değerin belirlenmesi gelecek tahmini veya öngörü modelleri aracılığıyla olmaktadır. Ekonomik zaman serilerinin öngörüsü, hem makroekonomik ve mikroekonomik düzeyde mevcut durumun belirlenmesi, hem de gelecekteki durumun önceden yaklaşık olarak bilinerek, bir takım hazırlıkların yapılması ve kararların alınması için gereklidir. Makroekonomik açıdan bakıldığında ekonomik zaman serilerinin çoğunun zamana bağlı olarak seyrinin belirlenmesinin önemli olduğu görülmektedir. Bu önem, ekonomik zaman serilerinin ekonominin genel gidişatını gösteren seriler olmasından kaynaklanmaktadır. Bu açıdan devlet, işletmeler ve bireylerden oluşan tüm ekonomik birimler için:
Fiyatlar genel seviyesinin tahmini tüm ekonomik faaliyetlerin fiyat hareketlerine bağlı olması nedeniyle önemlidir. Örneğin işçi-işveren ilişkilerinde maaş ve ücretlerin belirlenmesinde, ev sahibi-kiracı ilişkilerinde kira düzeylerinin belirlenmesinde, kısaca tüm mal ve hizmetlerin fiyatlandırılmasında gereklidir.
Döviz kurunun tahmini uluslararası ilişkilerde, cari açığın oluşumunda, dış ticarette ithalat ihracat hareketlerinde önemlidir.
Borsa endeksleri, pay senedi fiyat hareketleri, faiz oranları, altın fiyatları gibi alternatif yatırım araçlarındaki gelişmeler bireysel yatırımcılar ve tasarruf sahipleri açısından önemlidir. Bu nedenle özellikle pay senedi fiyat hareketlerini incelemek üzere teknik ve temel analizler yapılmaktadır.
Bütün bu ekonomik zaman serileri üreticiler açısından da, üretim politikalarının belirlenmesinde, talep tahmini yapmakta, sermaye ve hammadde temininde, üretimin pazarlanması, nakli ve stoklanmasında önemlidir.
Burada sözü edilen tüm makro ve mikro göstergeler zaman serileri olarak derlenen değişkenlerdir. Zamanın şıkları ile ilişkilendirilerek zaman serisi olarak derlenen serilerin analizlerde kullanılmadan önce zamanın ve zaman içinde ekonomide meydana gelen bazı değişmelerin etkisinden arındırılması gereklidir. Örneğin sanayi üretimi ile ilgili bütün değişkenler aylık zaman serisi olarak derlenmektedir. Bu konuda yapılacak bir araştırmada aylara göre üretim rakamları izlendiğinde, aylardaki gün sayısı farklılığının bu rakamlara yansıdığı görülür. Bazı ayların 30 gün, bazı ayların 31 gün sürmesi, Şubat ayının ise 28 gün ile tüm diğer aylardan kısa olması üretim rakamlarına da yansımaktadır. Sanayi üretim endeksi mevsimlerdeki değişimlerden ve yıl içinde yaşanan tatillerden de etkilenmektedir. Bu gibi aylar arası değişimler, ay uzunluğu etkileri şeklinde kendini gösteren takvim etkilerinin, mevsimsel etkilerin ve tatil etkilerinin düzeltilmesi gerekir.
-
10
Ekonomik zaman serileri miktar veya fiyat cinsinden derlenen serilerdir. Buna göre örneğin bir malın fiyatındaki değişmeleri zamana bağlı olarak izlediğimizde, cari fiyatların enflasyonun etkisini taşıdığını görürüz. Aynı şekilde maaş ve ücretlerin, Gayri Safi Milli Hasıla (GSMH) gibi bir ülke ekonomisinde yıl içindeki mal ve hizmetler toplamını gösteren değişkenlerin cari (nominal) değerleri de enflasyonun etkisini taşımaktadır. Bu nedenle fiyatlar enflasyonun yüksek olduğu dönemlerde yüksek, düşük olduğu dönemlerde ise düşük hissedilecektir. Bu gibi değişkenlerin analizlerde kullanılırken cari değerlerinden ziyade reel değerleri ile kullanılması uygundur. Serilerin uygun bir fiyat endeksine oranlanarak reelleştirilmesine enflasyondan arındırma veya deflate etme denmektedir. GSMH gibi makroekonomik değişkenler yalnızca enflasyonun etkisi altında olmayıp, aynı zamanda nüfusun etkisi altındadır. Ekonomik analizlerde genellikle kişi başına düşen milli gelir, doktor başına düşen hasta sayısı gibi rakamlarına bakılmaktadır. Dolayısıyla ekonomik zaman serilerinin yalnız fiyatların değil, nüfusun etkisinden de arındırılması gereklidir. Aksi takdirde yapılacak zaman serisi çözümlemeleri ve öngörüleri başarılı olmayacaktır. Ekonomik zaman serilerine uygulanması gereken bu düzeltme işlemleri zaman serilerinin fiyat endeksleri ile ilişkilendirilmesine neden olmaktadır. Çoğunlukla resmi istatistik ofisleri tarafından derlenen bu seriler kamuya açıklanmadan önce genellikle düzeltilmektedir. Bu ofisler tarafından çoğu kere serilerin hem düzeltilmemiş, hem de düzeltilmiş hallerinin yayınlandığı görülmektedir.
Bir ekonomik zaman serisinin geçmişteki değerlerinden öngörüde bulunurken, aslında geçmişte olanların gelecekte de aynen veya benzer şekilde olacağına dair gizli veya açık bir varsayımda bulunulmaktadır. Oysa bu varsayım çok da gerçekçi olmadığından, uygun modelin bulunması ve öngörü başarısının ölçülmesi zaman serisi analizlerinde çok büyük bir yer tutar. Uygun modelleme için öncelikle zaman serisinin genel eğilimi olan trend belirlenmelidir. Genel eğilim ile birlikte ekonominin içinde bulunduğu koşullar da, diğer bir ifade ile konjonktür de dikkate alınmalıdır. 1929 yılında Büyük Buhran adı verilen tüm dünyanın sarsıldığı bir finansal kriz yaşanınca ekonomistler gelecekte oluşabilecek krizleri önceden tahmin edip gerekli tedbirleri almak ve hatta mümkünse önleyebilmek amacıyla konjoktürel dalgalanmaları izlemeye başlamıştır. Bu amaçla erken uyarı sistemleri geliştirilmiştir. Bu sistemler yoluyla konjonktürün hep yüksek kalması sağlanmaya çalışılmıştır. Bunun için ekonomideki tüm gösterge değişkenler izlenerek, herhangi bir değişkende bozulma olduğunda anında müdahale edilip, gerekli tedbirlerin alınması istenmektedir. Resmi istatistik ofisleri tüm dünyada genel ekonomik koşulların etkisini öncü göstergeler yaklaşımı ile izlemeye çalışmaktadır. Türkiye’de de benzer yaklaşımlarla endeksler oluşturulmuştur. Özellikle T.C. Merkez Bankası (TCMB) tarafından öncü göstergeler endeksleri hazırlanmakta ve beklenti anketleri ile ekonominin genel eğilimi hakkında ekonomik karar birimlerinin görüşleri alınmaktadır.
Yine bu ofisler tarafından ekonomik zaman serilerinde gözlenen mevsimsel etkiler de izlenmektedir. Tarım, sanayi ve hizmetler sektöründe pek çok ekonomik zaman serisinin mevsimsel dalgalanmalar yaşadığı bilinmektedir. Bu seriler analizlerde kullanılmadan önce doğal olarak taşıdıkları mevsimsel dalgalanmalar düzeltilmeli ve seriler mevsimsel etkilerden arındırılmalıdır.. Mevsimsel dalgalanmaları belirlemek için geliştirilen ve yaygın kullanımı olan ilk model, Amerika Birleşik Devletleri tarafından geliştirilen Census X-11 modelidir. Bu
-
11
model yerini günümüzde X-13 modeline bırakmıştır. Avrupa Topluluğu’nda da benzer çalışmalar Eurostat tarafından yapılmaktadır. Eurostat mevsimsel dalgalanmaları düzeltmede İspanya Merkez Bankası tarafından geliştirilen Tramo-Seats programını kullanmaktadır.
Ekonomik zaman serileri ile ilgili uygun modelin bulunması ve öngörülerinin yapılabilmesi için, bu seriler sürekli izlenirken aynı zamanda serilerin hangi unsurlardan oluştuğunu ve bu unsurların ne şekilde bir araya geldiğini belirlemeli, gerekirse unsurları birbirinden ayrıştırabilmelidir. Zaman serilerini oluşturan unsurlar trend, konjonktür, mevsimsel etkiler ve rastlantısal etkilerdir. Bu unsurlara gözlenemeyen unsurlar denir. TCMB ve Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) gibi kurumlar ve diğer ekonomik karar birimleri, tüm dünyada olduğu gibi Türkiye’de de zaman serilerini oluşturan unsurları dikkatle takip edilmektedir.
Ekonomik zaman serileri taşıdıkları trend ve mevsimselliğin yanı sıra ayrıca,
Etkili veri noktaları,
Zamanda değişen varyans (koşullu heteroskedasite) ve/veya
Doğrusal olmama
gibi özelliklere de sahiptir. Etkili veri noktaları inceleme döneminde ilgili değişkenin gösterdiği düzenli davranıştan, bazı gözlem değerlerinde seyrek olarak meydana gelen güçlü sapmalar olarak tanımlanır. Bu sapmalar sürekli olmak zorunda değildir. Örneğin havayolunu kullanan yolcu sayısında bayram tatili dönemlerinde yılın diğer dönemlerine oranla birden bire yaşanan artış bu tür bir sapma yaratır. Veri kümesini düzenli yapısından uzaklaştıran bu gözlem değerleri farklı tipte olabilir. Etkili veri noktalarına sapan değer veya aykırı gözlem adı verilmektedir.
Bazı ekonomik zaman serilerinde, özellikle pay senedi piyasasında zaman içinde oynaklıklar görülür. Pay senedi piyasasında büyük fiyat değişimlerine bağlı olarak oluşan yüksek getirili dönem ve tersine sakin dönemlerde yaşanan az çok istikrarlı fiyatlar ve bunu sonucunda getirilerde görülen küçük değişiklikler oynaklık olarak adlandırılır. Pay senedi piyasasında görülen bu tip oynaklıklar zaman içinde serinin varyansında değişmelere neden olur. Bu durum zamanda değişen varyans olarak adlandırılır. Yine pek çok ekonomik zaman serisi doğrusal olmayan veya asimetrik davranış sergilemektedir. Örneğin işsizlik verilerinin durgunluk dönemlerinde hızla arttığı, ancak ekonominin büyüme dönemlerinde işsizlikteki artışın yavaşladığı görülmektedir.
Tipik bir ekonomik zaman serisi bu özelliklerden en azından birini, genellikle iki veya daha fazlasını taşır. Bir ekonomik zaman serisinin yapısını anlamak, politika yapımında kullanmak ve özellikle serilerle ilgili öngörüde bulunmak için, serinin taşıdığı trend, mevsimsellik gibi gözlenemeyen unsurları, aykırı gözlemleri, zamanda değişen varyansı ve doğrusallık durumunu ayrıntısı ile incelemek gereklidir. Bu özellikler genellikle basit regresyon modellerine dayanılarak incelenebilir. Diğer bir önemli araç ise grafik yöntemidir. Grafik yönteminde ilgilenilen değişkenin gözlem değerleri veya bu değerlerin bazı dönüştürmeleri
-
12
genellikle Y ekseninde yer alırken, zaman değişkeni X ekseninde yer alır. Böylece bir serpilme diyagramı ile zaman serisinin seyri kolaylıkla incelenebilir. Ayrıca yine aynı bir grafik üzerinde farklı serilerin zamana bağlı olarak değişimleri izlenebilir. Bu yolla serinin hangi unsuru veya unsurları taşıdığı kabaca belirlenerek, daha ayrıntılı analizlere geçilebilir.
Bu derste öncelikle klasik zaman serisi analizleri anlatılacak, zaman serilerini oluşturan trend, konjonktür, mevsimsel etki ve rastlantısal etkiler açıklanacak, ayrıştırma modelleri üzerinde durularak, serilerin bu unsurlardan arındırılma yöntemleri açıklanacaktır. Zaman serilerinin fiyat endeksleri ile yukarıda söz edilen ilişkileri de kurularak, düzeltme yöntemleri gösterilecektir. Uygulamalı istatistik dersinde tüm bu yöntemlerin öğrenci tarafından kavranabilmesi için temel matematik ve istatistik bilgisinin yeterlidir.
1.2. Klasik Zaman Serisi Analizi
Herhangi bir değişkenin değerlerini zamanın yıl, ay, gün gibi şıklarına bağlı olarak almasıyla oluşan serilere zaman serisi adı verilmektedir. Bu tanımın doğal sonucu olarak zaman serileri zamana bağlı olarak sıralanmıştır. Zaman serilerinde hem gözlem değerlerinin, hem de zaman içindeki sıralamanın bir anlamı vardır. Zaman serileri inceleme döneminde değerlerini zaman içinde günlük, haftalık, aylık, üç aylık veya yıllık olarak alan serilerdir. Ekonomik zaman serisi tY ile zaman da T ile gösterildiğinde; 1. dönemden t. döneme tY ,
T Yt
1 y1
2 y2
3 y3
. .
. .
. .
t yt
şeklinde değerlerini zamana bağlı olarak ardışık olarak alıyorsa, T=1,…, t iken tY tek değişkenli zaman serisidir. Pek çok ekonomik değişken zaman serisi olarak farklı sıklıklarda düzenlenmektedir. Döviz kuru, altın fiyatları, borsa endeksleri günlük, yine borsa endeksi ve bankacılıkla ilgili veriler haftalık, sanayi üretimi, ithalat, ihracat gibi dış ticaret verileri aylık, GSMH verileri üç aylık, yine GSMH, yıllık olarak derlenen zaman serilerine örnek olarak verilebilir. Zaman serilerinin değerlerini daha farklı sıklıklarla aldığı da bilinmektedir. Son yıllarda finansal piyasalarda daha yüksek sıklıklarda derlenen verilere de rastlanmaktadır. Örneğin borsada genel endeks veya herhangi bir pay senedine ait fiyat hareketlerine ilişkin veriler 15 dakikalık, hatta 5 dakikalık sıklıklarla derlenmektedir.
Zaman serilerinin değerleri zaman içinde birbirine bağlı olduğundan, serilerin cari t dönemindeki ve gelecekteki t+k döneminde alacakları değerler geçmişte aldıkları değerlerin etkisi altında olacaktır. Bu özellikleri nedeniyle zaman serileri gelecek tahmini yapmak amacıyla kullanılmaktadır. Tek değişkenli zaman serilerini öngörü amacıyla kullanmak için
-
13
öncelikle serinin yapısının incelenmesi gerekir. Zaman serisini oluşturan unsurlar, bu unsurların ne şekilde biraraya geldikleri ve bileşenleri belirlenmelidir. Aksi takdirde seriye uygun bir model belirlenemeyecek ve yapılan öngörü başarısız olacaktır. Zaman serilerini oluşturan unsurlar,
Trend (Tt) ,
Konjonktürel dalgalanmalar (Kt) ,
Mevsimsel etkiler (Mt),
Rastlantısal etkiler (Rt)
şeklinde sıralanabilir. Şimdi sırasıyla bu unsurları açıklayalım.
1.3. Zaman Serilerinin Unsurları:
Gözlenen zaman serisi tY ,
( , , , )t t t t tY f T K M R
şeklinde trend, konjonktür, mevsimsel etkiler ve rastlantısal etkilerin bir fonksiyonudur. Herhangi bir tY zaman serisi derlendiğinde, bu unsurlar gözlem değerleri içinde tek tek ayrılamadığı için, serinin bu unsurlardan hangisini veya hangilerini barındırdığı bilinemez. Bu nedenle zaman serilerini oluşturan unsurlara gözlenemeyen unsurlar adı verilmektedir. Zaman serileri modellenirken öncelikle söz konusu bu unsurların ortaya çıkış nedenleri ve serilerin bu unsurlardan hangisini ne kadar barındırdığı belirlenmelidir. Böylece unsurların her biri ayrı ayrı tahmin edilerek,
ˆ ˆ ˆ ˆ( , , )t t t tY f T K M
zaman serileri rastlantısal etkiler haricindeki diğer unsurlardan ayrıştırılabilir. Burada t̂Y ,
orijinal zaman serisi tY ’nin tahmini değerini, ˆ ˆ ˆ, ,t t tT K M değerleri de sırasıyla Tt, Kt, Mt unsurlarının tahmini değerlerini göstermektedir. Ancak bu tahminlerin ve ayrıştırmanın sağlıklı bir biçimde yapılabilmesi için öncelikle zaman serisini oluşturan unsurların tanımlanması gerekir.
1.3.1. Trend
Ekonomik zaman serilerin hemen hepsinde gözlenen ve serinin uzun dönem eğilimini gösteren düzenli harekete trend adı verilir. Zaman serilerinin ortalama düzeyini gösteren trend, ilgili serinin büyüme ölçüsüdür. Ekonomik zaman serilerinde trend çeşitli şekillerde olabilir. Trend aşağı doğru eğimli veya yukarı doğru eğimli olabileceği gibi, dik veya daha ılımlı, üstel veya yaklaşık olarak doğrusal biçimde olabilir. Trendin yönünün yukarı doğru olması büyümeyi, aşağıya doğru olması ise söz konusu serideki küçülmeyi veya daralmayı gösterir.
-
14
Ekonomik zaman serilerinde kısa dönemli hareketlere sık sık rastlanmaktadır. Ancak gerek makroekonomik gerekse mikroekonomik değişkenlerin karakteristik yapısı bu kısa dönemli hareketlerden bağımsız olarak uzun dönemde aynı kalır. Trend işte bu uzun dönemli harekete verilen addır. Bir ekonomik zaman serisinin trendinin belirlenebilmesi için 10-15 yıllık bir sürecin izlenmesi gerekir. Ekonomik zaman serilerinin zamana bağlı olarak grafikleri çizildiğinde yukarı veya doğru düz bir çizgi gözleniyorsa, doğrusal trend söz konusu olur. Ancak zaman serileri eğrisel trende de sahip olabilir. Bu nedenle zaman serilerinde uygun trendi bulabilmek için öncelikle serinin gözlem değerlerinin serpilme grafiği çizilmelidir.
Grafik1: Trend taşıyan seri örneği
(a) (b)
Kaynak: https://www.rdocumentation.org/packages/spatialEco/versions
Grafik 1’de verinin serpilme grafiğine bakıldığında, genel eğilimin yukarı doğru olduğu, ancak doğrusal olmadığı görülmektedir. Bu durumda bu veri kümesi için grafikte (a) panelinde görülen doğrusal trendin değil, (b) panelinde görülen eğrisel trendin daha uygun olduğu anlaşılmaktadır.
1.3.2. Konjonktürel Dalgalanmalar
Konjonktürel dalgalanmalar veya konjonktür hareketleri zaman serilerinin ekonomik koşullar karşısında yaşadığı değişmeleri gösteren orta vadeli hareketlerdir. Ülke ekonomilerinin de, sektörlerin de her zaman büyümeleri, büyüseler bile aynı sabit hızla büyümeleri mümkün olamayacağı için bazı dönemlerdeki daralmalar veya büyüme hızında meydana gelen azalmalar, buna karşılık bazı dönemlerde yaşanan yüksek büyüme hızları zaman serilerinde devri hareketlere ve dalgalanmalara neden olur.
2 4 6 8 10
02
04
06
08
01
00
x
y
2 4 6 8 10
02
04
06
08
01
00
x
y
https://www.rdocumentation.org/packages/spatialEco/versions
-
15
Grafik 2: Konjonktürel Dalgalanmalar gösteren seri örneği
Kaynak: https://www.r-bloggers.com/forecasting-gdp-with-r-and-dataseries-org/
Grafikte (a) panelinde Y serisinin trendi belirlendikten sonra (b) panelinde trendden
konjonktür dalgalanmaları sıfır etrafında ayrıştırılmıştır. Buradan da görüldüğü gibi serinin uzun dönem eğilimi artış yönünde olsa bile tY serisi orta vadede bazı dönemlerde trendin üstünde, bazı dönemlerde ise altında kalmaktadır. Konjonktür dalgalarının her dönemde farklı olduğu görülmektedir. Konjonktür hareketlerine iş çevrimleri (business cycle) de denilmektedir. Konjonktür hareketleri 3-5 yıllık devri (dairesel) hareketler olup, bir konjonktür dalgası durgunluk, yükselme, refah ve yavaşlama evrelerinden oluşur. Konjonktür hareketlerinde her evre birbirinden farklı uzunluğa sahip olabilir. Bu nedenle konjonktürel dalgalanmalar devri olduğu halde dönemsel değildir.
1.3.3. Mevsimsel Etkiler
Ekonomik zaman serileri aylık veya üç aylık olarak derlendiğinde yıl içinde meydana gelen ve mevsim etkisinden kaynaklanan dönemsel ve devri etkilere mevsimsel etkiler adı verilmektedir. Ekonomik zaman serilerinin arz ve talebinin bazı aylarda mevsime bağlı olarak diğer aylardan daha fazla olduğu bilinmektedir. Örneğin kış aylarında ısınmada kullanılan yakıt talebinin, yaz aylarında dondurma gibi gıdaların daha fazla tüketildiği görülür. İşte mevsimlerin getirdiği bu değişkenlik serilerde sabit dalgalanmalar yaratır. Mevsimsel dalgalanmalar her mevsim yaklaşık olarak sabit bir şekilde tekrarlar. Mevsimsel hareketler bu nedenle aylık veride 12, üç aylık veride 4 dalga uzunluğu boyunca süren dönemsel ve devri hareketlerdir.
Time
Y
1980 1990 2000 2010
10
00
00
12
00
00
14
00
00
16
00
00
TimeK
on
Y
1980 1990 2000 2010 2020
-10
0-5
00
50
https://www.r-bloggers.com/forecasting-gdp-with-r-and-dataseries-org/
-
16
Grafik 3: Mevsimsel Dalgalanma gösteren bir seri örneği
Kaynak: http://a-little-book-of-r-for-time series.readthedocs.io/en/latest/src/timeseries.html
Grafik 3’de yıllar içinde gözlem değerlerinin her ay benzer dalgalanmaları taşıdığı görülmektedir. Yılın yaz aylarına denk gelen dönemlerinde verinin tepe yaptığı, kış dönemlerinde ise dip yaptığı görülmektedir. Bu özelliği ile mevsimsel dalgalar konjonktürel dalgalardan ayrılır. Konjonktürel hareketler de devri hareketlerdir. Ancak her dönem aynı sabit dalgalarla tekrarlanmayan ve bir yılı aşan bir sürede tamamlanan hareketlerdir. Mevsimsel dalgalanmalar çeşitli nedenlerle ortaya çıkabilir. Bu nedenlerin ilki doğal olarak tabiattaki mevsimsel döngüdür. Diğer bir neden ise takvim etkisi adı ile anılan etkilerdir. Takvimle ilgili nedenler toplumlardaki oldukça düzenli seyreden dini, sosyal ve kültürel etkilerdir. Örneğin tarihleri Hicri takvime göre belirlenen Ramazan ve Kurban Bayramları, tarihleri Miladi takvime göre belirlenen Noel ve Paskalya zaman serilerinde mevsimsel etki yaratır. Anneler günü gibi sosyal olaylar, okulların açıldığı ve kapandığı dönemler de mevsimsel etki yaratır. Hükümetlerin aldığı idari ve mali kararlar da örneğin vergi dönemleri zaman serilerinde mevsimsel etki yaratır. Ayrıca yıl içinde ayların farklı sayıda günlere sahip olması nedeniyle ekonomik faaliyetler aydan aya değişeceğinden mevsimsel hareketler oluşur.
1.3.4. Rastlantısal Etkiler
Ortaya çıkış nedeni bilinmeyen, engellenemeyen veya tahmin edilemeyen olaylar nedeniyle zaman serilerinde görülen genellikle çok kısa süreli dalgalanmalara rastlantısal etkiler denilmektedir. Bu etkilerin meydana geldiği dönemler tamamen tesadüfi olduğundan herhangi bir dönemsellik taşımazlar. Bu nedenle önceden tahmin edilmeleri oldukça zordur. Rastlantısal etkilere düzensiz hareketler veya arızi etkiler de denir. Sel baskını, deprem gibi büyük doğa olayları, savaşlar, grevler rastlantısal etkilere yol açar.
Time
y
1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960
20
22
24
26
28
30
-
17
Grafik 4: Rastlantısal Dalgalanmalar
Kaynak: http://a-little-book-of-r-for-time series.readthedocs.io/en/latest/src/timeseries.html
Zaman serisi analizlerinde amaç seriyi yalnızca rastlantısal etkiler kalıncaya dek, veri kümesini önce mevsimsel etkilerden ardından trend ve konjonktürden arındırmak olduğundan, bu etkilere kalıntılar da denilmektedir. Yazın kar yağması gibi mevsim dışında oluşan hava koşulları serilerde aykırı gözlemler oluşturabilir. Bu aykırı gözlemler çok yüksek değerlere ulaşırsa uç değer adını alır. Aykırı ve uç değerler ise zaman serilerinde düzensiz hareketlerin görülmesine yol açar. Bu hareketler çok kuvvetli olduğunda rastlantısal etkiler mevsimsel hareketlerle karıştırılabilir. Grafik 5’te bir aykırı gözlem örneği görülmektedir.
Grafik 5: Aykırı Gözlem Taşıyan Seri Örneği
Buradan da görüldüğü gibi veri kümesi rastlantısal olarak değişmekteyken, birden 13. dönemde 0,83 değerine ulaşmış ve bu değerden tekrar serinin ortalama seyri olan 0,1 civarlarına dönmüştür. Dolayısıyla serilerin yapısının iyi çözümlenmesi ve her unsurun dikkatli bir şekilde
Time
Y
0 10 20 30 40
20
40
60
80
Time
Y
5 10 15
0.2
0.4
0.6
0.8
-
18
ayrıştırılması gereklidir. Ayrıştırma modellerine geçmeden önce bir ekonomik zaman serisini oluşturan unsurları aylık olarak derlenmiş bir seride bir arada görelim.
Grafik 6: Ekonomik Zaman Serilerinin Gözlenemeyen Unsurları
Kaynak: K. Gürtan (1982), İstatistik ve Araştırma Metodları, İstanbul Üniversitesi Yayınları No:2941, s. 423.
Bu grafikten de görüldüğü gibi unsurlardan biri, özellikle ana unsur olan trend yükselirken diğerleri de yükselişte ise serinin yükselme hızı artacaktır. Tersine olarak unsurlardan biri, özellikle trend yükselme eğilimindeyken, diğer unsurlar azalma eğiliminde ise, bunların trend üzerindeki etkisi ters yönlü olacağından, serinin yükselme hızı düşecektir. İşte bu nedenle ekonomik zaman serileri uygulamalarda kullanılmadan önce seriyi oluşturan unsurların analiz edilmesi gerekir. Herhangi bir ekonomik olayın ilgilenilen değişkeni kendi seyrinden ne kadar uzaklaştırdığı belirlenmelidir.
Klasik tek değişkenli zaman serilerinde trend, konjonktür, ve mevsimsel unsurlarının serilerin sistematik kısmını oluştuğu ve bu unsurların zamanın bir fonksiyonu olarak deterministik bir süreci izlediği varsayılmaktadır. Rastlantısal etkilerin ise olasılık kurallarına bağlı olarak değer aldığı, dolayısıyla sıfır ortalama ve sabit varyans ile stokastik bir süreci izlediği varsayılmaktadır. Ancak zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurların yalnızca deterministik süreçlerle açıklanamayacağı ve stokastik süreçleri izlediği de bilinmektedir. Uygulamalı istatistik dersi kapsamında gözlenemeyen unsurlarla ilgili çoğunlukla deterministik süreç izledikleri varsayımı ile çözümlemeler yapılacaktır. Bu çözümlemelerin çoğu ayrıştırma modellerine dayanmaktadır. Ayrıştırma modelleri kısaca gözlenemeyen unsurların tek tek belirlenerek, serilerin bu unsurlardan arındırılmasında kullanılan modellerdir.
1.4. Gözlenemeyen Unsurların Ayrıştırma Modelleri
Ekonomik zaman serilerinin öngörü amacıyla kullanılabilmesi için her şeyden önce serilerin yapısı belirlenerek, serileri oluşturan unsurların açıkça tanımlanması ve serilerin bu unsurlardan arındırılması gerekir. Ayrıştırma için geliştirilen modellerden en bilinenleri toplamsal ayrıştırma ve çarpımsal ayrıştırma modelleridir. Bu modellerin yanı sıra yapay
-
19
toplamsal ayrıştırma modeli gibi alternatif modeller de geliştirilmiştir. Bu modeller zaman serilerindeki unsurları deterministik varsaymaktadır.
1.4.1. Toplamsal Ayrıştırma Modeli
Ekonomik zaman serilerini oluşturan unsurların her birinin birbirinden bağımsız ve aynı büyüklükte olduğunu varsayan toplamsal ayrıştırma modeline göre, herhangi bir tY serisi;
t t t t tY T K M R
şeklinde söz konusu unsurların toplamından oluşmaktadır.
Grafik 7: Gözlenemeyen Unsurları Toplamsal Olan Seri Örneği
Kaynak: https://anomaly.io/seasonal-trend-decomposition-in-r/
Toplamsal modelde unsurların sıfır etrafında değiştiği, bu nedenle toplamlarının sıfır olacağı varsayılmaktadır. Buna göre ayrıştırılmak istenen unsur tahmin edildikten sonra seriden fark alma işlemi ile arındırılır. Seriyi oluşturan unsurların birbirinden bağımsız olduğu varsayımı ekonomik zaman serileri için çok gerçekçi bir varsayım değildir. Bu nedenle başka ayrıştırma modelleri geliştirilmiştir.
1.4.2. Çarpımsal Ayrıştırma Modeli
Çarpımsal ayrıştırma modeli ekonomik zaman serisini oluşturan unsurların her birinin mutlak büyüklüğünün birbiri ile bağımlı olduğu varsayımına dayanmaktadır. Bu varsayıma göre diğer unsurlar serinin ortalamasına, diğer bir deyişle trendine bağlı ve 100 etrafında değiştikleri düşünüldüğünden, ayrıştırma için trendin bir oranı şeklinde alınmaktadırlar. Mevsimsel dalgalanmalar gibi dalgaların toplamı da, çarpımsal modellerde yine bu nedenle 1 olmaktadır. Çarpımsal ayrıştırma modeli tY serisini;
t t t t tY T K M R şeklinde unsurların çarpımı olarak tanımlamaktadır.
Time
Y
1960 1965 1970
25
03
00
35
04
00
45
05
00
https://anomaly.io/seasonal-trend-decomposition-in-r/
-
20
Grafik 8: Gözlenemeyen Unsurları Çarpımsal Olan Seri Örneği
Kaynak: https://anomaly.io/seasonal-trend-decomposition-in-r/
Bu modelde seriye trendin mutlak, diğer unsurların oransal (yüzdelik) etkisi olduğu varsayılmaktadır. Unsurların birbirine bağımlı olduğu varsayımı pek çok zaman serisi için geçerlidir. Bu nedenle zaman serileri ayrıştırılırken genellikle çarpımsal model tercih edilir. Üstelik orijinal tY serisinde sıfır veya negatif değerler yoksa çarpımsal ayrıştırma modeli, logaritma alınarak;
log log log log logt t t t tY T K M R
şeklinde logaritmik toplamsal ayrıştırma modeline dönüştürülebilir.
Logaritmik toplamsal ayrıştırma modeli trendin geometrik ortalama ile büyüdüğü, buna rağmen trend tahminlerinin toplamsal modele göre yapıldığı seriler için uygundur. Aynı şekilde toplamsal ayrıştırma modeli de çarpımsal modele dönüştürülebilir. Bu modellerin kullanımı uygun değilse bu kez hem toplamsal hem de çarpımsal özelliklerden yararlanılarak oluşturulan yapay toplamsal ayrıştırma modeli kullanılmalıdır.
1.4.3. Yapay Toplamsal Ayrıştırma Modeli
Bu ayrıştırma modelinde mevsimsel ve rastlantısal unsurların birbirinden bağımsızken, trend-konjonktüre bağımlı olduğu varsayımı ile geliştirilmiştir. Oluşturulan model mevsimsel ve rastlantısal etkilerin toplamını aldığından serinin değerleri arasında sıfır olması durumunda çarpımsal modelin yaratacağı sakıncayı da ortadan kaldırır. Yapay toplamsal model;
( 1)t t t t tY T K M R
şeklindedir. Model her yıl aynı aylarda periyodik olarak sıfır veya çok küçük değerler alan seriler için uygundur. Yapay toplamsal ayrıştırma modeli, örneğin İtalya’daki otomotiv sektörü gibi kurumsal olarak yaz tatili uygulayan ve üretime uzun süre ara veren sektörlerin
Time
Y
1950 1952 1954 1956 1958 1960
10
02
00
30
04
00
50
06
00
https://anomaly.io/seasonal-trend-decomposition-in-r/
-
21
incelenmesinde kullanılmaktadır. Model genellikle tarımsal üretimle ilgili serilerde kullanılmaktadır.
Ayrıştırma modeli olarak geliştirilmiş başka model seçenekleri de mevcuttur. Örneğin,
( )t t t tY T K M
modelinde trend ve konjonktür unsurlarının toplamsal, buna karşılık mevsimsel etkilerin çarpımsal olduğu varsayılmaktadır.
Genel olarak ayrıştırma modelleri toplamsal seçilmişse, o serideki tüm unsurların ön düzeltmelerinin de toplamsal olarak yapılması önerilmektedir. Ayrıştırma modeli çarpımsal olarak seçilmişse, bu kez tüm ön düzeltmeler çarpımsal olarak yapılmalıdır.
İlgilenilen seri için hangi ayrıştırma modelinin uygun olduğunu anlamanın en basit yolu serinin grafiğinin çizilerek incelenmesidir. Çizilen grafikte mevsimsel dalgaların büyüklüğünün trend ile birlikte yükseldiği ve yine trende bağlı olarak düştüğü görülürse, çarpımsal modelde mevsimsel etkilerin serinin ana unsuru olan trende bağlı olduğu bilindiğinden, çarpımsal ayrıştırma modeli seçilmelidir. Tersine çizilen grafikte mevsimsel dalgaların trendden tamamen bağımsız bir şekilde hareket ettiği görülüyorsa, toplamsal ayrıştırma modeli seçilmelidir.
-
22
Uygulamalar
Aşağıda, Gayrisafi yurtiçi hasıla, harcama yöntemiyle zincirlenmiş hacim endeksi (2009=100) verilmiştir.
Tablo 1: GSYH (2009=100)
Yılar Endeks Hacim
(Bin TL)
1998 71.1 710 091 469
1999 68.7 686 024 304
2000 73.2 731 576 737
2001 68.9 687 957 859
2002 73.3 732 195 466
2003 77.4 773 258 855
2004 84.9 847 834 434
2005 92.5 924 223 073
2006 99.1 989 932 592
2007 104.1 1 039 730 731
2008 104.9 1 048 519 070
2009 100.0 999 191 848
2010 108.5 1 083 996 979
2011 120.5 1 204 466 935
2012 126.3 1 262 160 182
2013 137.0 1 369 334 107
2014 144.1 1 440 083 365
2015 152.9 1 527 725 206
2016 157.8 1 576 365 403
2017 169.5 1 693 310 340
Kaynak: TÜİK, Konularına Göre İstatistikler, Yıllık Hesaplar
Gayrisafi Yurtiçi Hâsıla, harcama yöntemiyle, bir ekonomide belli bir dönemde tüketime ve yatırıma yönelik harcamalar ile ihracat, ithalat farkından oluşur. Bu yöntemin ana bileşenleri, hane halklarının nihai tüketimi, devletin nihai tüketimi, sabit sermaye yatırımları ve net ihracattır (Kaynak: TÜİK, Konularına Göre İstatistikler, Yıllık Hesaplar: MetaVeri: Kapsam, Dönem ve Zamanlama).
GSYH serisi 2009=100 olarak alınmıştır. Zincirlenmiş hacim endeksleriyle GSYH, üretimdeki değişimin daha sağlıklı ölçülebilmesi için enflasyon etkisinin arındırılmasıyla yapılan hesaplamadır. Hesaplamalar, zincirleme indeks yöntemiyle yapılmaktadır (Kaynak: TÜİK, Konularına Göre İstatistikler, Yıllık Hesaplar: MetaVeri: Kapsam, Dönem ve Zamanlama).
-
23
Seriler ele alınırken, genellikle orijinal formunda kullanılırlar. Ancak zaman serileri uygulamalarda genellikle doğal logaritmik dönüşümle kullanılır. Bu dönüşüm orijinal veri Wt ile gösterilirken, Yt= ln(Wt) şeklinde yapılır. Logaritmik dönüşüm;
Serilerdeki üstel trendi doğrusal trend haline getirmek için,
Zaman serisi artan bir değişim gösteriyorsa, logaritmik dönüşümle trendi baskılamak için uygulanır. Veri faiz oranı, büyüme oranı gibi bağıl değişim gösteren bir seri ise, logaritmik dönüşüm uygulanmaz.
Buna göre, GSYH serisinin logaritmik dönüşümünü yaparak zamana bağlı grafiğini çizelim ve verideki gözlenemeyen unsurları inceleyelim.
20.2
20.4
20.6
20.8
21.0
21.2
21.4
1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016
LGAYH
GSYH serisinin grafiğini çizelim. Seride artan bir trend olduğunu görüyoruz. Ancak aynı zamanda trendin tam olarak doğrusal olmadığı görülmekte ve trend ile birlikte konjonktürel dalgalanmalar da gözlenmektedir. Veri kümesi yıllık olduğu için mevsimsel etkiler bu seride araştırılamaz.
-
24
Uygulama Soruları
1) İncelenen GSYH serisi enflasyondan arındırılmış mıdır?
2) GSYH serisine logaritmik dönüşüm uygulanmasının nedeni nedir?
-
25
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Zaman serilerinin kullanımında ne gibi düzeltmeler yapıldığı, serilerin taşıdığı unsurlar, bu unsurların ayrıştırma modelleri üzerine çalıştık.
-
26
Bölüm Soruları
1) Veri incelenen birimlerin sahip oldukları özellikleri ………(1)…… veya ……(2)……… elde edilen değerlere verilen addır.
2) Birincil veriler ……(1)……, ……(2)…….., ……(3)……… veya ……(4)….. yoluyla derlenebilmektedir.
3) Zaman serisi nedir? Zaman serisi analizleri ne amaçla yapılmaktadır?
4) Aşağıdakilerden hangisi zaman serisidir?
a) Zamanda yıllar içinde derlenen seriler
b) Zamanda yıl içinde aylık olarak derlenen seriler
c) Zamanda yıl içinde üç aylık dönemler itibariyle derlenen seriler
d) Günlük olarak derlenen seriler
e) Hepsi
5) Makroekonomik ve mikroekonomik açıdan zaman serisi analizlerinin önemini belirterek, zaman serilerinin fiyat endeksleri ile ilişkisini açıklayınız.
6) Zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurlar nelerdir?
a) Zamanda değişen varyans
b) Trend
c) Aykırı gözlemler
d) Doğrusal olmayan veriler
e) Sapan değerler
7) Konjonktürel dalgalarla mevsimsel dalgaları nasıl ayırırsınız. Konjonktür hareketleri ile mevsimsel etkilerin farkları nelerdir? Açıklayınız.
8) Zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurları açıklamak amacıyla geliştirilen modelleri kısaca anlatınız. Bu modellerdeki temel varsayım nedir?
-
27
9) Aşağıdakilerden hangisi toplamsal ayrışma modelinin özelliklerindendir?
a) Gözlenemeyen unsurlar birbirine bağımlıdır.
b) Gözlenemeyen unsurlar trende bağlıdır.
c) Gözlenemeyen unsurlar bağımsızdır.
d) Dalgaların toplamı birdir.
e) Dalgalar trendin bir oranıdır.
10) Aşağıdakilerden hangisi çarpımsal ayrışma modelinin özelliklerindendir?
a) Gözlenemeyen unsurlar birbirinden bağımsızdır.
b) Gözlenemeyen unsurlar aynı büyüklüktedir.
c) Gözlenemeyen unsurlar sıfır etrafında değişir.
d) Gözlenemeyen unsurlar birbirine bağımlıdır.
e) Ayrıştırma fark alarak yapılır.
Cevaplar
1) (1) sayarak veya (2) ölçerek
2) (1) deney tasarımı, (2) gözlem, (3) anket veya (4) görüşme
3) Herhangi bir değişkenin değerlerini zamanın yıl, ay, gün gibi şıklarına bağlı olarak almasıyla oluşan serilere zaman serisi adı verilmektedir. Zaman serisi analizi öncelikle öngörü amacıyla yapılır (ilgili bölüm açıklamalarını okuyunuz).
4) (e) hepsi
5) Hem makroekonomik, hem de mikroekonomik açıdan temel göstergelerin zamanda değişimini (seyrini) izlemek politika yapıcılar için mevcut durumu belirlemek, yapıyı analiz etmek ve öngörüde bulunmak açısından önemlidir. Zaman serilerini fiyat hareketlerinin etkisinden arındırmak için reelleştirmek gerekir.
6) (b) trend
7) Konjonktürel hareketler de devri hareketlerdir. Ancak her dönem aynı sabit dalgalarla tekrarlanmayan ve bir yılı aşan bir sürede tamamlanan hareketlerdir. Mevsimsel dalgalanmalar ise devri ve dönemsel olup, her mevsimde yaklaşık olarak sabittir (ilgili bölüm açıklamalarını okuyunuz).
-
28
8) Toplamsal ayrıştırma, çarpımsal ayrıştırma modelleri ve logaritmik toplamsal ayrıştırma modeli ile yapay toplamsal ayrıştırma modeli gibi türevleri (ilgili bölüm açıklamalarını okuyunuz).
9) ( c) Gözlenemeyen unsurlar bağımsızdır.
10) (d) Gözlenemeyen unsurlar birbirine bağımlıdır.
-
29
2. TREND ANALİZİ
-
30
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
2.1. Trend nedir?
2.2. Bir ekonomik zaman serisi için trendin belirlenmesi neden önemlidir?
2.3. Trendin varlığı nasıl sınanır?
-
31
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1) Bir zaman serisinin taşıdığı gözlenemyen unsurlar, gözlenemediği halde, trend nasıl ayrıştırılabilmektedir?
2) Bir ekonomik zaman serisinde trendin varlığını nasıl sınarız?
-
32
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Trend analizi Trendin varlığının sistematik bir şekilde sınanması
Parametrik olmayan
sınamalarla trendin varlığının testi
-
33
Anahtar Kavramlar
Trend Analizi
Parametrik testler
Parametrik Olmayan Testler
-
34
Giriş
Bu hafta ekonomik zaman serilerini oluşturan unsurlardan trend unsurunun varlığının tespitinde kullanılan parametrik ve parametrik olmayan testler açıklanacaktır. Ekonomik zaman serisinin zamanla ilişkisi parametrik ve parametrik olmayan korelasyon katsayıları ile ölçülmeye çalışılacaktır. Bu amaçla parametrik Pearson korelasyon katsayısı ile parametrik olmayan Kendall’ın sıra korelasyon testi, Spearman’ın sıra korelasyon testi ve Cox-Stuart testi açıklanmış ve uygulaması yapılmıştır.
-
35
2.1. Trend Analizi
Ülkelerin ekonomi politikalarındaki tarımdan sanayiye geçiş, ihracata yönelik politikalar gibi kararlar uzun dönemde gerçekleşen ve ekonomik yapıyı gösteren kararlar incelenen ekonomik olayın dayandığı temel ve yapısını etkileyerek, bu olaya kısa vadede değişmeyen bir yön verir. Bu şekilde serilerin uzun dönemli eğilimini gösteren seyre trend adı verilir. Ekonomik yapıyı etkileyen bu kararlar genellikle makroekonomik etkiler yaratır. Ancak örneğin bir firmanın üretim kararları, satış ve pazarlama politikaları gibi mikro düzeyde de trend etkisinden söz edilebilir. Ekonomik zaman serilerinin trendinin hep aynı seviyede ve aynı yönde kalması mümkün değildir. Serilerin trendi yükseliş eğiliminde olabileceği gibi azalış eğiliminde de olabilir. Üstelik trendin artışı da, azalışı da hep aynı hızda olmayabilir. Alınan kararlar bir ekonomik zaman serisinde artan bir trende neden olurken, diğer bir zaman serisinde azalan bir trende neden olabilir. Bir ekonomik zaman serisinin trendinin doğrusal olması da gerekmez. Bu nedenle eğrisel veya üstel trend modelleri de geliştirilmiştir. Bir ekonomik zaman serisinin trendinin ortaya çıkarılabilmesi için genellikle 10-15 yıllık verinin izlenmesi gerekir. Trendin belirlenebilmesi için gereğinden uzun bir süre alınırsa, yeni bir trend ile karşılaşılabilir. Gereğinden kısa bir süre incelenirse, bu kez de orta vadeli hareketler olan konjonktür dalgaları ile serinin ana unsuru karıştırılabilir.
Trend analizleri 19. yy. sonlarında sahte korelasyon sorununu çözmek amacıyla geliştirilmiştir. X ve Y gibi iki ekonomik zaman serisi arasındaki ilişki incelenirken, bu değişkenlerin arasındaki korelasyonun, değişkenlerin taşıdıkları trendin etkisi ile gerçekte olduğundan farklı ve genellikle yüksek çıktığı görülür. Bu duruma sahte korelasyon denilmektedir. Söz konusu değişkenler taşıdıkları trendin etkisinden arındırılmadan aralarındaki ilişkinin yönü ve derecesi gerçekte var olduğu gibi belirlenemez. Trend analizi işte bu şekildeki çok değişkenli analizlerde değişkenleri trendden arındırmak amacıyla yapılmaya başlanmıştır. Ancak bir ekonomik zaman serisine diğer analizleri uygulamadan önce seride trendin varlığı test edilmelidir
Ekonomik zaman serisi Yt’nin zaman değişkeni T arasındaki ilişki iki şekilde incelenebilir. Bu analizlerden ilki, Yt ile T arasında doğrusal ve/veya doğrusal olmayan bir fonksiyonel ilişki;
( )t tY f T
şeklinde tanımlanır. Bu tip bir ilişkiyi açıklamak için regresyon analizi gereklidir. Regresyon analizinde T zaman değişkeni modelin bağımsız değişkeni olarak, yukarıdaki kapalı fonksiyonda yerini alır. Regresyon analizinde modelin bağımsız değişkeninin deterministik varsayılmaktadır. Klasik zaman serisi analizinde trend deterministik varsayılarak, regresyon denkleminin sistematik kısmında yer aldığından, regresyonun temel varsayımları ile uyuşur. Yt ile T arasındaki ilişkiyi ölçmekte kullanılan bir diğer analiz yöntemi ise korelasyon analizidir. Ancak korelasyon iki rastlantısal değişken arasındaki ilişkiyi ölçmek için geliştirilmiştir. Oysa trend değişkeni deterministik, diğer bir ifade ile değeri kesin, belli bir değişken sayılmaktadır. Trendin değeri olasılık ilkelerine bağlı olarak belirlenmez. Bu nedenle de rastlantısal (stokastik) değildir. Dolayısıyla Yt değişkeninin taşıdığı trendin varlığını test etmek amacıyla parametrik
-
36
olmayan çeşitli testler önerilmiştir. Trendin varlığını sınamadan önce parametrik ve parametrik olmayan testler hakkında bilgi verelim.
2.2. Parametrik ve Parametrik Olmayan Testler
Parametrik testler, örneklem istatistiğinden yola çıkarak, ilgilenilen anakütle parametresi hakkındaki herhangi bir varsayımı belli bir anlam düzeyinde sınayan testlerdir. Parametrik testler;
Veri eş-aralık veya oran ölçeği ile ölçülmüş olmalıdır.
Anakütle dağılımı hakkında bir varsayımda bulunur.
Örneklem istatistiklerinden yola çıkarak, anakütle parametreleri hakkında tahmin yapar.
Parametrik testlere göre daha güçsüz olan parametrik olmayan ise testler;
Anakütle dağılımı hakkında herhangi bir varsayıma dayanmayan,
İlgili değişkenin yalnızca eş-aralık veya oran ölçeği ile değil, sınıflayıcı veya sıralayıcı ölçekle de ölçüldüğü durumlarda ve
Küçük örneklerde de (n30 ise, genellikle parametrik olmayan testlerden daha güçlü olan parametrik testler tercih edilir.
Trendin varlığını sınamak için geliştirilen parametrik olmayan testler genellikle ekonomik zaman serisi ile zaman arasındaki korelasyon katsayısına dayanır. Trendi sınamadan önce parametrik Pearson korelasyon katsayısı hakkında bilgi verilmelidir.
2.2.1. Pearson Korelasyon Katsayısı
X ve Y gibi iki rastlantısal değişken arasındaki birlikte değişim Kovaryans(X,Y) ile ölçülür. Anakütle kovaryans katsayısı
( , ) i X i Y
X YKov X Y
N
-
37
şeklindedir. Burada X değişkeninin anakütle ortalaması X ve Y değişkeninin anakütle ortalaması Y ’dir. N ise anakütle gözlem sayısını gösterir. Kov(X,Y)>0 ise X ve Y aynı yönde değişecektir. Böylece X artarken, Y artacak veya tersine X azalırken Y azalacaktır. Kov(X,Y)
-
38
Gözlem değerlerinin etkisinden arındırılmıştır.
Bu şekilde tanımlanan korelasyon katsayısı değişkenler arasındaki ilişkinin hem yönünü, hem de derecesini verir. Korelasyon katsayısı ±1’e yaklaştıkça değişkenler arasındaki ilişkinin güçlendiği, sıfıra yaklaştıkça ilişkinin zayıfladığı, ρ=0 ise, tıpkı kovaryans katsayısı gibi değişkenler arasında ya doğrusal ilişki olmadığı veya var olan ilişkinin doğrusal olmayan ilişki olduğu söylenir. Korelasyon katsayısının ρ=0 olması, aynı zamanda Kov(X,Y)=0 olması anlamına da gelir.
Anakütle için tamsayım yapılmadığı sürece anakütle parametreleri olan Kov(X,Y) ve korelasyon katsayısı XY hesaplanamaz. Genellikle bu parametrelerin tahmini örnekleme ile yapılır. Bu durumda n birimli bir örneklemden hesaplanan örnek kütle kovaryans katsayısı;
( , )
1
i iX X Y YKov X Y
n
ve standartlaştırılmış X ve y değişkenleri ile hesaplanan örnek kütle korelasyon katsayısı da;
,XY
X Y
Kov X Yr
s s
şeklinde hesaplanır. Burada Xs ve Ys , sırasıyla X ve Y’nin
21
i
X
X Xs
n
ve 2
1
i
Y
Y Ys
n
örnek kütle standart sapma değerleridir. Böylece
2 2 2 2 2 2
( )
( ) ( )
i i
i i i i
X X Y Y XY nXYr
X X Y Y X nX Y nY
şeklinde hesaplanan örnek kütle korelasyon katsayısı anakütle korelasyon katsayısının bütün özelliklerini taşıyan, ancak etkin ve yeterli olmasına rağmen,
ˆXY XYr
sistematik hatalı bir tahmincisidir. Örnek kütle korelasyon katsayısı n>4 için hesaplanabilir.
Anakütle korelasyon katsayısının 0 ’a eşitliği için hipotez testi ise,
H0: 0
H1: 0
şeklindeki hipotezlerle sınanır. Bu hipotezler örneklem istatistiği r yardımıyla;
-
39
r
rt
s
Test istatistiği ile test edilir. Burada 21
2r
rs
n
ile örnek kütle korelasyon katsayısının
standart hatasıdır. Böylece t istatistiği;
2 2
2
1~ n
r
r r nt t
s r
n-2 serbestlik derecesi ile t dağılımına uyar. Şimdi örnek kütle kovaryans ve korelasyon katsayılarını hesaplayarak, buradan anakütle parametrelerini tahmin edelim.
Örnek: Aşağıda bir firmanın 6 yıllık satışları (milyon TL) ve reklam harcamaları (milyon TL) verilmiştir.
Satışlar Reklam Har.
10 2
13 3
14 5
18 9
20 11 Buna göre;
a) Satışlar ve reklam harcamaları arasındaki kovaryans katsayısını hesaplayınız.
b) Satışlar ve reklam harcamaları arasındaki korelasyon katsayısını hesaplayınız ve yorumlayınız.
c) Korelasyon katsayısının sıfırdan farklılığını % 5 anlam düzeyinde sınayınız.
Çözüm: Firmanın satışları ve reklam harcamaları 6 yıllık bir örneklem için verildiğinden, örnek kütle formüllerini kullanacağız.
a) Kovaryans katsayısı için;
( , )1
i iX X Y YKov X Y
n
Formülünde, satışlara Y ve reklam harcamalarına X dersek, önce değişkenlerin ortalamasını hesaplayalım.
-
40
Satışlar(Y) Reklam Har. (X) iX X iY Y i iX X Y Y
10 2 -5 -4 20
13 3 -2 -3 6
14 5 -1 -1 1
18 9 3 3 9
20 11 5 5 25
∑=75 ∑=30 ∑=0 ∑=0 ∑=61
306
5
iXXn
ve 75 155
iYYn
61( , ) 15,25
1 5 1
i iX X Y YKov X Y
n
Kovaryansın 15,25 olması satışlar ve reklam harcamaları arasındaki ilişkinin pozitif yönlü olduğunu gösterir. Ancak bu ilişkinin gücüne dair bir fikir vermez. Bu nedenle korelasyon katsayısı hesaplanmalıdır.
b) Korelasyon katsayısı için;
2 2
( )
( ) ( )
i i
i i
X X Y Yr
X X Y Y
formülü için gerekli seriler hesaplandığında,
Satışlar (Y)
Reklam Har.(X) iX X iY Y i iX X Y Y
2
iX X 2
iY Y
10 2 -5 -4 20 25 16
13 3 -2 -3 6 4 9
14 5 -1 -1 1 1 1
18 9 3 3 9 9 9
20 11 5 5 25 25 25
∑=75 ∑=30 ∑=0 ∑=0 ∑=61 ∑=64 ∑=60
2 2
( ) 610,984383
64 60( ) ( )
i i
i i
X X Y Yr
X X Y Y
olarak bulunur. Reklam harcamaları ve satışlar arasında pozitif, güçlü ilişki olduğu ve değişkenlerin % 98,44 oranında birlikte hareket ettiği görülür. Ancak korelasyon katsayısını bulmak yeterli değildir. Şimdi de korelasyon katsayısının sıfırdan anlamlılığını sınayalım.
-
41
c) Bir hipotez testinin ilk aşaması hipotezin yazılması aşamasıdır.
H0: 0
H1: 0
İkinci aşamada % 5 anlam düzeyinde n-2 serbestlik derecesinde çift taraflı t tablo değerini bulalım. , 2 0,05,5 2 3,182nt t
Şimdi de standart dönüşüm yapalım ve t istatistik değerini hesaplayalım.
2
0 2
1r r
r r r nt
s s r
2
0,984383 5 29,6853
1 0,984383t
0,05,5 29,6853 3,182hesapt t
olduğundan korelasyon katsayısı sıfırdan anlamlı derecede farklıdır.
Parametrik Pearson korelasyon katsayısı ilgili iki değişkenin de rastlantısal olması gerektiğini varsaydığından, bu varsayım ihmal edilmeden zaman serisi ile zaman arasındaki korelasyonu Pearson katsayısı ile ölçmek çok uygun olmayacaktır. Bu nedenle trendin varlığı çoğunlukla parametrik olmayan testler yardımıyla yapılır. Parametrik korelasyon katsayısı ile ilgili bilgilerimizi tazeledikten sonra, ilgili zaman serisi ile zaman arasındaki trendin varlığını belirlemede geliştirilen parametrik olmayan testleri açıklayalım.
2.2.2. Trendin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler
Trendin varlığını belirlemede pek çok parametrik olmayan test olsa da burada zamanın doğal bir sıra izlemesinden yararlanılarak, sıralama ölçeği ile ölçülmüş değişkenler için kullanılan iki parametrik olmayan test anlatılacaktır. Bu testler Kendall’ın sıra korelasyon testi ve Spearman’ın sıra korelasyon testi ve Cox-Stuart trend testdir..
2.2.2.1. Kendall’ın Sıra Korelasyon Testi
Kendall sıra korelasyon katsayısı, sıralama ölçeği ile ölçülmüş X ve Y gibi değişkenler arasındaki ilişkiyi, bu değişkenlerle oluşturulmuş kontenjans tablolarındaki (Xi, Yi) sıralı ikililer arasındaki ilişkiyi inceleyerek ölçer. Sıralama ölçeğinde değişkenler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralandığından, Kendall sıra korelasyon katsayısı X değişkenini sıraladıktan sonra, Y değişkeninin X’e göre sıralanması ile oluşan (Xi, Yi) gözlem çiftleri arasındaki ilişkinin yönünü incelemiştir. Burada n X ve Y değişkenlerinin gözlem sayısı iken, n(n−1)/2 adet (X,Y) gözlem çifti vardır. Bu testten ekonomik zaman serilerinde trendin
-
42
varlığını belirlemekte de yararlanılmaktadır. Zaman zaten doğal bir sıra izlediğinden, testin uygulanabilmesi için incelenen zaman serisinin gözlem değerlerinin zamana göre derlenmesi yeterli olup, ayrıca sıralanmasına gerek yoktur.
İncelenen ekonomik zaman serisi ile zaman arasındaki ilişkiyi ölçek amacıyla Kendall tarafından geliştirilen sıra korelasyon katsayısı;
2( )
( 1)
S S
t t
şeklinde tanımlanmıştır. Burada S+ zamana göre sıralanan değişkenin ilk gözlem değerinden itibaren sağında sırasıyla kaç değerin ilgili değerden büyük olduğu sayılarak toplamının alınması ile hesaplanır. S− için ise bu kez ilgili değerin solunda o değerden büyük değerler sayılarak toplamları alınır. S’nin pozitif değerleri zaman serisinde artan eğilim olduğunu, negatif değeri ise azalan eğilim olduğunu göstermektedir. Formülde t zaman serisinin gözlem sayısını göstermektedir. Formül yeniden düzenlendiğinde korelasyon katsayısı;
21
1( 1)
2
S
t t
veya 2
11
( 1)2
S
t t
olarak gözlem değerlerinin yalnızca sağındaki veya yalnızca solundaki sıralamalarla da hesaplanabilir. Böylece sağdaki sıralamalar kullanıldığında;
H0: 0 Yt serisi doğrusal trend taşımamaktadır. Yt serisi zamandan bağımsızdır. Rastgele sıralanmıştır.
H1: 0 Yt pozitif trende sahiptir.
veya
H1: 0 Yt negatif trende sahiptir.
şeklindeki tek taraflı hipotezler test edilebilir.
Böylece zaman serisi ile ilgili Kendall korelasyon katsayısı hesaplanarak, 4 10t için Kendall tarafından hazırlanan tablo değerleri ile karşılaştırma yapılmalıdır.
0 0p S S p
ise H0 hipotezi reddedilerek, pozitif trendin varlığı kabul edilir. Trend testinde t>10 için test istatistiği z;
2 2(2 5)
9 ( 1)
t
t t
-
43
varyans değeri ile
2z
şeklinde hesaplanarak, normal dağılım tablosundaki değerler ile karşılaştırılır (M. Genceli, s.404-405).
Veri kümesinde tekrarlayan gözlemler olduğunda, Kendall’ın τ korelasyon katsayısının hesaplama biçimi değişmektedir.
2.2.2.2. Spearman Sıra Korelasyon Testi
Spearman sıra korelasyon testi de trendin varlığını belirlemekte kullanılabilen parametrik olmayan testlerdendir. Spearman sıra korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki ilişkiyi tıpkı Kendall testinde olduğu gibi ölçmektedir. Bu katsayı büyüklüklerine göre sıralanmış değişkenler arasındaki farkın kareleri toplamına dayandırarak ölçmektedir.
Bu testte de trend araştırılırken, değişkenlerden biri zaman olacağından ve T=1,2,3,…,t şeklinde doğal bir sıra izleyeceğinden, zaten büyüklüğüne göre sıralanmış olduğundan, yeniden sıralamaya gerek yoktur. Spearman sıra korelasyonu hesaplanırken ilgilenilen ekonomik serinin zamana göre büyüklük sıralaması yeterlidir.
Test anakütle sıra korelasyon katsayısı s yardımıyla zaman ile ekonomik seri arasında var olduğu düşünülen ilişkiyi;
H0: 0s Trend etkisi yoktur.
H1: 0s Pozitif trend etkisi vardır.
şeklindeki hipotezlerle sınarken;
2
2
61
( 1)s
dr
T T
rs sıra korelasyonunu hesaplar. d değişkenlerin büyüklük sıraları arasındaki fark, T zaman serisindeki gözlem sayısını göstermektedir.
Spearman sıra korelasyon katsayısı rs hesaplandıktan sonra ayrıca istatistiksel olarak anlamlılığı test edilmelidir. rs için;
2
2
1
s
s
r nt
r
-
44
şeklinde hesaplanan thes>ttab= , 2nt ise, Spearman sıra korelasyon katsayısı rs istatistiksel olarak anlamlıdır. Böylece H0 reddedilerek anakütlede pozitif trend etkisi olduğuna karar verilir.
Veri kümesinde tekrarlayan gözlemler olduğunda, Kendall’ın τ korelasyon katsayısında olduğu gibi Spearman Korelasyon katsayısının da hesaplama biçimi değişmektedir.
2.2.2.3. Cox-Stuart Trend Testi
Trendin varlığını sınamak amacıyla geliştirilen Cox-Stuart testi bir işaret testidir. Testi uygulamak için öncelikle inceleme dönemi üçe bölünmelidir. Ardından veri kümesinin ilk üçte birlik kısmındaki gözlemlerin son üçte birlik kısmındaki gözlemlerden daha küçük veya daha büyük olup olmadığı karşılaştırılır. Son üçte birlik kısımdaki kendi karşılığına gelen her gözlem değeri ilk üçte birlik kısımdaki her gözlem değeri ile karşılıklı kıyaslanarak, büyük ise +, küçük ise – işareti verilerek, + işaretlerin sayısına S+ ve – işaretlerin sayısına S− denir. Gözlem sayısı 3’e tam bölünemiyorsa, eksik gözlemler ortada kalan 1/3’lük kısma gelecek şekilde ayarlanmalıdır. Cox-Stuart trend testi
H0: Yt serisi doğrusal trend taşımamaktadır.
H1: Yt trende sahiptir.
şeklindeki çift hipotezleri n>30 için;
6
12
nS
zn
istatistiği ile sınar. Burada S, sırasıyla + veya – işaretlerin maksimum sayısını gösterir. Z istatistiği normal dağılıma uyan testte, 30n iken paya eklenen −0,5 değeri ile süreklilik düzeltmesi yapılmalıdır. Bu durumda
0,56
12
nS
zn
kullanılır. Seride çok sayıda tekrarlayan değer olması H0 hipotezinin reddedilmesine neden olur. Ayrıca seri bölünerek kullanıldığından uzunca bir gözlem sayısını gerektirir.
-
45
Soru: Bir firmanın 15 yıllık satış (milyon TL) rakamları aşağıdaki gibidir.
Yıllar Satışlar
2003 20
2004 23
2005 25
2006 27
2007 28
2008 26
2009 29
2010 31
2011 30
2012 33
2013 32
2014 36
2015 39
2016 40
2017 38
Buna göre satışlar serisinde trendin varlığını
a.) Kendall’ın τ testi ile % 5 anlam düzeyinde sınayınız.
b.) Spearman sıra korelasyon katsayısı ile % 5 anlam düzeyinde sınayınız.
c.) Cox-Stuart testi ile % 5 anlam düzeyinde sınayınız.
Çözüm:
Satışlar serisinin taşıdığı trendi test etmeden önce, veri kümesinin zamana bağlı grafiğini çizerek, trendin varlığı ve yönü hakkında kabaca bir fikir edinelim. Seri 2003-2017 arasında yıllık 15 gözleme sahiptir.
-
46
Grafikten de görüldüğü gibi yıllık olarak verilen bu seride yukarı doğru artış gösteren bir trend söz konusudur. Serideki dalgalanmalar serinin taşıdığı doğrusal olmayan unsurlar olabilir. Bu unsurlar yine konjonktür dalgalanmaları da olabilir.
14.1. Kendall sıra korelasyon testine göre değişkenlerin sıralanması gerekmektedir. Değişkenlerden biri zaman olduğundan ayrıca sıralanmasına gerek yoktur. Zaman serilerinde zamanı gösteren rakamlar büyük olduğundan ve doğal bir sıra izlediğinden, her gözlem değeri arasında doğal olarak yalnızca bir birim fark olduğundan, zaman değişkeni T’nin gözlem değerleri 2003, 2004,2005,… yerine 1,2,3,…şeklinde sıralanabilir. Bu sıralama gerçek değerler kullanıldığında çıkacak sonuç ile aynı sonucu verir. Dolayısıyla satışlar serisi sıralanarak S+ ve/veya S− değerlerini bulmak yeterlidir. Burada sıralanmış satışlar serisinden yalnızca S+ değerleri hesaplanacaktır.
Yıl 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Satış 20 23 25 27 28 26 29 31 30 33 32 36 39 40 38
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Sıra. 1 2 3 5 6 4 7 9 8 11 10 12 14 15 13
Bu sıralamaya göre sıralanmış satışlar (sıra.) serisinin ilk değeri olan 1’in sağında kendisinden büyük 14 değer, daha sonra sıra ile 2’nin sağında 8 değer vardır. Bu şekilde tüm sıralanmış değerlerin sağında toplamda
S+ =14+13+12+10+9+9+8+6+6+4+4+3+1+0=99
olduğu bulunur. S+ yardımıyla Kendall sıra korelasyon katsayısında;
H0: 0
H1: 0
şeklindeki hipotezleri test etmek amacıyla hesaplanan
Time
satışlar
2004 2008 2012 2016
20
25
30
35
40
-
47
21
1( 1)
2
S
t t
2(99)1 0,885714
115(15 1)
2
değeri bulunur. Ancak bu örnekte t>10 olduğu için test istatistiği olarak;
2z
değeri kullanılmalıdır. Formüldeki varyans ise;
2 2(2 5) 2(2 15 5) 0,0370379 ( 1) 9 15(15 1)