V 6: Hologra�e

Toni Baar, Michael Dieblich, Fabian Ganss,

Tobias Sack, Robert Schmidt, Christian Wagner

21. und 28. Mai 2008

Betreuer: Dr. Franke

1

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Theoretische Vorbereitung 4

2.1 Grundlagen der Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Grundlagen der Hologra�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Eigenschaften des Beugungsbildes eines Kosinusgitters . . . . . . . 7

2.3 Aufnahmetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Hologra�sche Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 Doppelbelichtungshologra�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Dynamische Auswertemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3 Statische Auswertemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.4 Zeitmittelungshologra�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.5 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.6 Echtzeithologra�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Arten der Hologra�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5.1 In-Line-Hologramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5.2 O�-Axis-Hologramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5.3 Weiÿlichthologra�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Anwendung der Hologra�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Auswertung zum Versuchsaufbau mit dem 50 mW-Laser 14

3.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Hologra�sche Messung der Amplitude einer Schwingung . . . . . . . . . . 153.3 x-, y- Verschiebung und Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Auswertung zum Versuchsaufbau �Himmelfahrtskommando� 17

4.1 Aufnahme eines ersten Hologramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Interferometrische Vermessung einer x-Verschiebung . . . . . . . . . . . . 184.3 Hologra�e eines dreidimensionalen Objekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Beobachtungen bei der Rekonstruktion der Hologramme 21

5.1 3-Dimensionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Ein�uss des Rekonstruktionsstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 Rekonstruktion durch Teile des Hologramms . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.4 Drehung des Hologramms um 180◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.5 Rekonstruktion des reellen Bildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 25

2

1 Einleitung

Typisch Physik - man versucht etwas vorhandenes zu verbessern, stolpert über etwas an-deres, erhält schlechte Ergebnisse und schlieÿt seine Forschungsarbeit frustriert ab. Undtrotzdem bekommt man den Nobelpreis dafür.Als der ungarische Physiker Dennis Gabor im Jahre 1948 versuchte, das Au�ösungsver-mögen der damals gerade 17 Jahre alt gewordenen Elektronenmikroskopie zu verbessern,ahnte er nicht, dass er damit den Grundstein für eine der populärsten Entdeckungender Physik gelegt hatte: Der Holographie. Dabei zeigte er, dass sich die Phaseninfor-mationen eines Objektes durch die Überlagerung zweier kohärenter Lichtstrahlen, einemungehinderten Referenzstrahl direkt aus der Lichtquelle und einem Objektstrahl, welcherdas Objekt beleuchtet, gleichzeitig mit der Amplitudeninformation (wie bei der konven-tionellen Fotographie) des Objektes auf einem Fotoschirm speichern lassen - jedoch leidernur theoretisch. Gabor scheiterte seinerzeit daran, die Namen Huygens, Young und Fres-nel dreidimensional auf einem Dia zu speichern. Die Ursache war dabei die Lichtquelle,eine Quecksilberdamp�ampe, deren Kohärenz zu schlecht war. Die Namen waren schlechtlesbar und so schloss Gabor seine Arbeit frustriert ab - ohne Gedanken an Anerkennungfür sein Werk.

Dass Gabor jedoch im Jahr 1971 sogar die höchste aller Anerkennungen - den Nobelpreis- erhalten hat, lag vorallem an den beiden Amerikanern Emmett Leith und Juris Upat-nieks. Diese verbanden Gabors Ideen 1960 mit einem gerade erfundenen revolutionärenGerät - dem Laser. Dieser lieferte sehr gut das benötigte kohärente Licht und ermöglich-te es den beiden mit einem ein Jahr vorher von Ihnen entwickelten Verfahren die erstenholographischen Experimente durchzuführen. Dadurch begann die Renaissance der Ho-lographie.Heutzutage ist die Holographie in vielen Bereichen von Kunst und Technik vertreten undnicht mehr wegzudenken. Das bekannteste Verfahren ist das der Regenbogenhologramme,auch Weiÿlichtholgramme genannt. Ihre Popularität, vor allem durch die Verbreitung inder Kunst, rührt daher, dass sich diese Hologramme bei normalem (weiÿem) Licht be-trachten lassen - daher der Name. Dies ist jedoch im allgemeinen nicht der Fall, da dieHologramme bei Licht mit der Wellenlänge des Aufnahmeprozesses betrachtet werdenmüssen. Das zweithäu�gste Verfahren ist das der Transmisionshologramme. Diese wur-den schon von Leith und Upatnieks erstellt, indem das Laserlicht von Quelle und Objektauf der Fotoplatte miteinander interferiert. Dieses Verfahren wird von uns im Praktikumnäher untersucht. Als weitere Verfahren seien der Vollständigkeit halber die Denisjuk-holographie (das Verfahren, welches Gabor ursprünglich benutzte), die Bildebenenholo-graphie, die Multiplexholographie (hier ist sogar die Speicherung der Zeit möglich), diePrägeholographie (Kreditkartenbilder) und die Computergenerierte Holographie genannt.

Dieser Versuch hat prinzipiell zwei Schwerpunkte - zum einen die Herstellung und Be-obachtung von Hologrammen und zum anderen das Verfahren der Holographischen In-terferometrie. Hinzu kommt in unserem Fall jedoch noch der Schwerpunkt des Aufbaus

3

beider Versuchsplätze und die Erstinbetriebnahme nach unserem Umzug in unser neuesPhysikgebäude der TU Chemnitz (zur Beruhigung unseres Praktikumsleiters).

2 Theoretische Vorbereitung

In diesem Versuch geht es um Optik - speziell um Wellenoptik. Es gibt auch noch andereTeilbereiche, die in verschiedenen Fällen Anwendung �nden: Die Strahlenoptik bei derKonstruktion von Abbildungen an Linsen/Spiegeln/. . . im makroskopischen Sinne, dieWellenoptik bei der Beschreibung von Beugungsphänomenen und anderen Welleneigen-schaften des Lichtes und die Quantenoptik, die den Welle-Teilchen-Dualismus auf einerwesentlich anderen Ebene behandelt.

2.1 Grundlagen der Wellenoptik

Bei der Wellenoptik geht man davon aus, dass man das Licht als elektromagnetische Wellebeschreiben kann. Das lässt sich mit Hilfe der Maxwell'schen Gleichungen zeigen, was inentsprechenden Vorlesungen getan wurde. Ergebnis ist die Wellengleichung im Mediummit den Sto�konstanten εr (Dieelektrizitätskonstante) und µr (Permeabilitätszahl)

∂2Ψ(~r, t)∂t2

=1

ε0εrµ0µr︸ ︷︷ ︸= 1

c2

∂2Ψ(~r, t)∂~r2

. (1)

Dabei ist Ψ die komplexe Amplitude (der elektrischen oder magnetischen Feldstärke) amOrt ~r zur Zeit t. c stellt die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Welle dar. Eine möglicheLösung dieser partiellen Di�erentialgleichung ist die ebene Welle

Ψ(~r, t) = Ψ0 · ei(~k~r−ωt). (2)

Dabei symbolisiert ~k den Wellenzahlvektor mit dem Betrag 2πλ und der Ausbreitungs-

richtung der Welle~k

|~k|. ω = 2πf ist die Kreisrequenz der ebenen Welle. Die allgemeinste

Lösung dieser Wellengleichung ist eine beliebige, in Ort und Zeit periodische Funktionbzw. eine beliebige Superposition ebener Wellen (Fourierreihe). Dabei können auch ein-zelne Wellenpakete gebaut werden, die in der Quantenoptik eine entsprechende Rollespielen.

Grundlegendes Ausbreitungsprinzip ebener Wellen ist das Huygens-Fresnel'sche Prinzip.Dabei wird angenommen, dass jeder Punkt der Welle der Ausgangspunkt für eine neueElementarwelle ist - sozusagen eine Anwendung der Di�erentialrechnung auf Wellen-phänomene. Damit können alle Welleneigenschaften erklärt werden - von Beugung überBrechung bis hin zur Dispersion etc.

4

Im Versuch werden wir mit kohärentem Licht arbeiten. Kohärenz zeichnet sich durchMonochromasie (nur eine Wellenlänge) und eine feste Phasenbeziehung der Lichtwelleaus. Damit ist ideal kohärentes Licht eine einzige, ebene Welle. In der Praxis habenLichtquellen keine unendliche Kohärenzlänge. Wir arbeiten mit einem Helium-Neon-Laser(λ = 632, 8nm), bei dem die Kohärenzlänge etwa 20 cm beträgt. Das wird Auswirkungenauf unseren Versuchsaufbau haben.

Weil Beugung im Versuch eine besonders groÿe Rolle spielt, werden wir uns dieser genauerwidmen.

2.1.1 Beugung am Spalt

Bei der Spaltbeugung gibt es folgenden Aufbau:

Abbildung 1: schematische Darstellung eines Beugungsversuches

Ausgehend vom Huygen-Fresnel'schen Prinzip setzt man sich an einem Punkt auf denSchirm und summiert über alle auftre�enden Wellen mit der entsprechenden Phase underhält das Beugungsbild. Sucht man nach einem analytischen Ausdruck für die auftref-fende Feldstärke am Ort ~x (auf dem Schirm), dann erhält man das Kirchho�'sche Beu-gungsintegral

ψP =aQ k0

2π i

∫Blende

dS fSei k0(d+d1)

d · d1

[cos θ + cos θ̃

2

]. (3)

Die Intensität ergibt sich aus dem Betragsquadrat der Feldstärke: I ∼ Ψ∗Ψ = |Ψ|2.Führt man nun eine Reihe von Näherungen durch (insbesondere der Fernfeldnäherung,wobei man von der Fraunhofer-Näherung spricht), erhält man ein interessantes Resultat:Das Beugungsbild wird im Wesentlichen zur Fouriertransformierten der Spaltfunktion:

Ψ ∼∫

Blende

fS(~r)ei~k~r d~r (4)

Je nachdem, ob der Spalt ein 1- oder 2-dimensionales (oder gar 3-d) Objekt ist, wirddas Beugungsbild entsprechende Dimensionen besitzen. Insbesondere bei Festkörperun-tersuchungen hat man das Problem, dass man ein 3d-Objekt untersucht, aber mit einemSchirm nur 2 Dimensionen darstellen kann, so dass die Strukturaufklärung der Materiekomplizierter ist. Aber auch da hat man Möglichkeiten gefunden.

5

2.2 Grundlagen der Hologra�e

Bei der Hologra�e nutzt man ein anderes Verfahren als bei der Fotogra�e. Bei letztererwird ledigleich der Fotolack durch die einfallende Intensität geschwärzt. Es besteht keineMöglichkeit, die Phase der eintre�enden Lichtwelle zu rekonstruieren.

Das erreicht man aber mit Hilfe der Hologra�e. Man behilft sich mit folgendem Trick: Mannimmt nicht das Bild direkt auf, sondern ein Interferenzmuster. Durch die Bestrahlungdieses Interferenzmusters mit Licht entsteht sozusagen wieder das vollständige Objekt inallen 3 Raumdimensionen (aufgrund der Phaseninformation).

Unser Versuchsaufbau sieht dabei wie folgt aus:

Abbildung 2: Aufbau des Versuches zur Messung der x- und y- Verschiebung bzw. zurDrehung

Unsere Lichtquelle wird dabei in zwei kohärente Teilstrahlen aufgeteilt. Eine dieser beidenTeilstrahlen fällt auf das Objekt und wird von dort auf die Fotoplatte gelenkt und derandere dient als Referenz. Letzterer tri�t direkt auf die Fotoplatte.

Es interessiert uns nun, welche Art Gitter auf der Platte entsteht. Dazu betrachten wirdie auf die Platte auftretende Intensität als I ∼ ~E ~E∗ (ϕ ist hier die Phase und E diekomplexe elektrische Feldstärke):

6

I = (E0eiϕ0 + ERe

iϕR) · (E0e−iϕ0 + ERe

−iϕR)

= (E20 + E2

R)

1 +2E0ER

E20

+ E2R︸ ︷︷ ︸

=:K

cos(ϕ0 − ϕR)

(5)

Dabei ist K der auftretende Kontrast und der Kosinusterm beschreibt die Struktur desauftretenden Gitters. Es handelt sich also um ein Kosinusgitter. Welche Eigenschaftenhat ein solches Gitter bei der Lichtbeugung?

2.2.1 Eigenschaften des Beugungsbildes eines Kosinusgitters

Formal lässt sich die Beugung am Gitter durch die Fouriertransformation beschreiben(Fraunhofer-Näherung). Wir betrachten das Beispiel eines 1-d, undendlich ausgedehntenGitters mit k = 2π

λ und dem Spaltabstand a:

f(k) =∞∫−∞

cos2(2πx/a) · eikxdx.

Schreiben wir cos2(2πx/a) =(

12e

2πi/ax + e−2πi/ax)2

= 14

(e4πi/ax + 2 + e−4πi/ax

), erhält

man

f(k) = 14

∞∫−∞

ei(k+4π/a)x + ei(k+4π/a)x + 2eikx dx

Dabei entsteht die Fourierdarstellung der Dirac'schen Deltafunktion δ(x) =∞∫−∞

eikx dx.

Als Ergebnis erhalten wir also:

f(k) =14

(δ

(k +

4πa

)+ 2δ(k) + δ

(k − 4π

a

))(6)

Das cos2-gitter enthält also nur 3 Beugungsmaxima (statt ∞ viele wie beim Rechteck-gitter). Das hat zur Folge, dass man in einem endlichen Raum die volle Information überdas Objekt bekommt und die Lichtbeugung an hohen Gitterfrequenzen nicht unendlichweit weggebeugt werden (diese enthalten vor allem die Bilddetails).

Damit ergibt sich eine Bedingung zur Beobachtung von Hologrammen: Bei der Beugungan einem solchen Film erhält man nur 3 Intensitätsmaxima (Beugungsordnungen), indenen man das Objekt erkennt. Die Frage ist nun: Welches Maximum enthält das Objektoder ist es in allem 3 Maxima enthalten?

Die -1. Beugungsordnung erzeugt ein pseudoskopisches Bild (ein reelles Bild), wobeiVordergrund und Hintergrund miteinander vertauscht sind. Das kann man auch sehen,

7

wenn man den Laser direkt (d.h. unaufgeweitet) durch das Hologramm schickt und aufeinem Schirm abbildet.

Die 0. Beugungsordnung ist einfach die ungebeugte Rekonstruktionswelle, so dass dortkein Bild enthalten ist. Die +1. Beugungsordnung enthält das virtuelle Bild des Objektes.Die ursprüngliche Objektwelle wird hier originalgetreu wiederhergestellt.

Anmerkung: In der Realität besitzt das Gitter nur endliche Ausdehnung, so dass dieδ−Peaks aufgeweitet werden und das Hologramm unter einem endlichen Winkel zu be-obachten ist.

Wieso entsteht für die Beobachtung ein cos2-Gitter und kein cos-Gitter (siehe Abschnitt2.2)? Das hängt damit zusammen, dass beim Belichten zwar eine cos-Verteilung für dieIntensität entsteht, aber das Gitter für die elektrische Feldstärke eine Transmission ∼cos(ϕr−ϕ0) entsteht. Damit ergibt sich für die Intensität eine cos2-Verteilung. Auÿerdemwird eine Cosinusfunktion negativ, aber es gibt keine negative Transmission.

Würde man die Fouriertransformation einer 1/2∗ cos(x)+1/2-Funktion durchführen, er-hält man im Wesentlichen auch 3 Peaks. Aufgrund der Aussteuerkennlinie, die im nächs-ten Kapitel behandelt wird, wird die cos(x)-Funktion sowieso etwas verändert, sodass derUnterschied zur cos2-Funktion eher marginal ist. Der formale Unterschied besteht darin,dass beim einfachen Kosinusgitter der Beugungswinkel verändert ist. Statt δ

(k + 4π

a

)entstehen die Terme δ

(k + 2π

a

)etc.

2.3 Aufnahmetechnik

Zur Aufnahme von Hologrammen verwenden wir einen hochau�ösenden Film. Inzwischenwerden auch entsprechend hochaufgelöste Kameras verwendet und die Bildwiedergabenumerisch mittels PC erzeugt. Das ist jedoch nur mit sehr viel Rechenaufwand möglich.

Bei diesem hochau�ösenden Film ist eine Silberhalogenidverbindung (in der klassischenFotogra�e: AgBr) enthalten. Durch das auftre�ende Licht wird diese Verbindung zu einemkleinen Teil dissoziiert. Das hängt von der eingestrahlten Energie (E ∼ I · t) ab.

Nachdem in Teilen des Filmes Silberionen vorliegen, wird der Film in einem Entwick-lerbad entwickelt (meist eine basische Substanz). Dadurch werden die Silberionen zumKristallwachstum angeregt und es entstehen Silberkristalle auf der Fotoplatte. Das rest-liche Silberbromid muss nun entfernt werden. Das geschieht im Fixierbad.

Es besteht meist aus Ammonium- bzw. Natriumthiosulfatlösung [(Na)2S2O3], die mitdem Silberbromid leicht lösliche Komplexverbindungen eingehen. Damit ist der Filmlichtunemp�ndlich geworden.

Ziel ist es, ein cos2-Gitter zu erzeugen. Für Fotoplatten gibt es eine sog. Aussteuerkenn-linie für die Amlitudentransparenz ta (ta = En

Ev, wobei En die komplexe Amplitude nach

dem Hologramm und Ev vor dem Hologramm ist). Diese sieht in etwa so aus:

8

Abbildung 3: Verlauf der Amlitudentransparenz in Abhängigkeit von der el. Feldstärke,entnommen aus [1], S. 143.

Man sollte also etwa in dem linearen Bereich belichten, so dass die Transmission etwalinear von der eingestrahlten Feldstärke abhängt.

2.4 Hologra�sche Interferometrie

Bei der Hologra�e geht es nicht nur darum, einfach nur Objekte 3-dimensional abzubilden,sondern auch um Messung von Verformungen (Werksto�prüfung) bzw. Messung vonVerschiebungen/Verdrehungen.

Es gibt in der Hologra�e mehrere interferometrische Verfahren. Dazu gehören Echtzeit-hologra�e, Doppelbelichtungshologra�e und Zeitmittelungshologra�e.

Als nächstes soll die sogenannte Grundgleichung der Hologra�e hergeleitet werden, mitHilfe derer sich die quantitative Analyse der Hologramme erschlieÿt:

Wir nehmen an, dass ein Objektpunkt von P nach P' verschoben wurde. Uns interessiertnun der Phasenunterschied dieser Bildpunkte, um Aussagen über die Verschiebung dmachen zu können. Es ergibt sich:

ϕ1 = ~k1~r1 + ~k2(~R+ ~r1) + ϕr ϕ2 = ~k3~r3 + ~k4(~R+ ~r3) + ϕr (7)

Dabei ist ϕr der Phasensprung am Objekt. Weil es sich um den gleichen Objektpunkthandelt, sind die Sprünge identisch. Bildet man nun die ϕ1 − ϕ2, ergibt sich:

ϕ1 − ϕ2 = (~k1 + ~k2)(~r1 − ~r3)−∆~k1~r3 −∆~k2(~r3 + ~R) (8)

9

Abbildung 4: Zur Herleitung der Grundgleichung der Hologra�e, entnommen aus [3],S. 73

Nun kann man nähern: Die ∆~k's sind vergleichsweise klein, weil die Verschiebung ~d kleingegenüber der Entfernung des Objektes ist. Zusätzlich stehen diese Vektoren annäherndsenkrecht auf den Richtungen, so dass diese Terme vernachlässigt werden können. Wirerhalten mit ~d = ~r3 − ~r1 folgende Beziehung:

δ := ϕ1 − ϕ2 = (~k1 + ~k2)~d (9)

Diese wichtige Gleichung heiÿt �Grundgleichung der Hologra�e�. Den Term ~k1 +~k2 =: ~Snennt man auch Sensitivitätsvektor. Dieser gibt an, in welcher Richtung die höchsteMessgenauigkeit zu erwarten ist.

2.4.1 Doppelbelichtungshologra�e

Hierbei werden auf einem Film zwei Bilder desselben Objekts aufgezeichnet, allerdingsmit einer geringfügigen Veränderung (Verschiebung im Bereich einiger Wellenlängen).Dieses Verfahren wird zur Werksto�prüfung eingesetzt, wobei das 2. Bild im Belastungs-fall anstelle der Verschiebung aufgenommen wird.

Zur eigentlichen Belichtung kommt eine zweite Belichtung mit einer leicht modi�ziertenObjektwelle hinzu, so dass für die aufgenommene Intensität folgende Formel entsteht:

I01 = E20 + E2

R + E01E∗R + E∗01ER

I02 = E20 + E2

R + E02E∗R + E∗02ER

I01 + I02 = 2E20 + 2E2

R + (E01 + E02)E∗R + (E01 + E02)∗ER (10)

10

Weil für die Rekonstruktion des virtuellen Bildes der Anteil (E01 +E02)∗ER interessantist (siehe Abschnitt 2.2.1), erhält man (unter Verwendung von δ(~r) = E02(~r) − E01(~r))explizit

I(~r) ∼ 2E20E

4R cos2 δ(~r)

2. (11)

Dieser Term ist dem Interferenzterm ähnlich und führt zu Streifen auf dem Objekt. Damitkann man z.B. eine X−Verschiebung oder eine Drehung des Objektes vermessen.

2.4.2 Dynamische Auswertemethode

Diese Auswertemethode �ndet bei einer Verschiebung Anwendung: Dabei verschiebt manden Betrachtungspunkt um einen bestimmten Betrag zum Bild und schaut, wie vieleInterferenzstriche über einen Bildpunkt wandern. Dabei werten wir nur eine Verschiebungin der x− bzw. y−Richtung aus.

Wir erhalten für unseren Messaufbau unter Anwendung der Gleichung 9 (Grundgleichungder Hologra�e) folgende Formel:

|dx| = N12λe+u√

4c2−e2+(e+u)2− e−u√

4c2−e2+(e−u)2

(12)

Dabei ist u die Verschiebung des Beobachtungspunktes. Die anderen Gröÿen ergeben sichaus der Aufbauskizze in Abb.2.

2.4.3 Statische Auswertemethode

Weil bei einer Drehung des Objektes die Interferenzstriche nicht mitwandern, kann manhier die statische Auswertemethode anwenden. Dabei zählt man in einem bestimmtenBereich des Objektes die Anzahl der Linien N und erhält die Verdrehungsstrecke |d|nach folgender Formel:

|~dN| =N · λ

2√

1− e2

4c2

(13)

11

2.4.4 Zeitmittelungshologra�e

Bei der Zeitmittelungshologra�e wird ein schneller Prozess über eine bestimmte Zeit langaufgenommen. In unserem Versuch erfolgt die Aufnahme einer schwingenden Platte, sodass eine Chladny�gur konstruiert werden kann.

Es ergibt sich die ortsabhängige Intensität zu

I(~r) = I0(~r) ·

1tB

tB∫0

eiδ(~r) sin(ωt) dt

2

(14)

mit δ(~r) = 2πd1a(~r). Dabei ist d1 unten de�niert. Das Integral lässt sich durch Potenz-

reihenentwicklung lösen, wobei die n-ten Koe�zienten Besselfunktionen n-ter Ordnungsind.

2.4.5 Auswertung

Wir erhalten die Schwingungsamplitude a aus

a =Bd12π

=B λ

2

2π√

1− e2

4c2

(15)

Dabei ist B der Wert der Besselfunktion J20(δ) beim N−ten Maximum (B = N+0.5 für

Minimum).

2.4.6 Echtzeithologra�e

Diese wird von uns nicht durchgeführt. Dieses Verfahren beruht darauf, dass das Holo-gramm aufgenommen wird und wieder exakt an die Aufnahmeposition gebracht wird, sodass das Hologramm an der Stelle zu sehen ist, an der auch das Objekt steht. Anschlie-ÿend wird das Objekt bewegt, eine Metallplatte zum Beispiel durch einen Lautsprecher zuSchwingungen angeregt. Als Resultat sieht man, wie beim Doppelbelichtungsverfahren,Interferenzmuster an den bewegten Stellen, sobald die Eigenfrequenz der Platte getro�enwird.

12

2.5 Arten der Hologra�e

Die Arten der Hologra�e unterscheiden sich im experimentellen Aufbau sowie durch dieArt der Aufnahme.

2.5.1 In-Line-Hologramme

Bei diesen Hologrammen wird ein transparentes Objekt abgelichtet, wobei der Objekt-strahl und der Referenzstrahl aus der gleichen Richtung kommen.

2.5.2 O�-Axis-Hologramme

Hierbei fallen Objektstrahl und Referenzstrahl aus zwei unterschiedlichen Winkeln aufdie Fotoplatte. Das wird z.B. mit unserem Aufbau in Abb. 2 realisiert.

2.5.3 Weiÿlichthologra�e

Das ist ein Kapitel für sich. Man unterscheidet zwischen Denisjuk-Hologra�e und Regen-bogenhologrammen.

Beim ersteren Verfahren wird eine transparente Fotoplatte zwischen Objekt und Laser-strahl gestellt. Dadurch interferiert der gestreute/re�ektierte Objektstrahl mit dem ur-spr. Referenzstrahl. Dieses Hologramm kann auch mit einer Weiÿlichtquelle rekonstruiertwerden.

Beim 2. Verfahren wird das Hologramm entwickelt und vor das Objekt in den Objekt-strahl gestellt. Vor dieses wird nun ein Spalt gebracht und der dadurch erzeugte Licht-strahl geht zum Objekt. Dieser modi�zierte Objektstrahl wird nun mit dem Referenz-strahl in einem 2. Hologramm aufgenommen. Bei der Rekonstruktion sieht man das Bildje nach Betrachtungswinkel in einer anderen Farbe.

2.6 Anwendung der Hologra�e

Diese sollen nur genannt werden. Hier ist auch keine Vollständigkeit zu erwarten, da sichAnwendungsgebiete stets weiterentwickeln.

• Werksto�prüfung

• Echtheitsprüfung

• Datenspeicherung

• zukünftig auch für Bildschirme

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3 Auswertung zum Versuchsaufbau mit dem 50 mW-Laser

3.1 Versuchsaufbau

Abbildung 5: Versuchsaufbau mit 50 mW-Laser

Abbildung (5) zeigt den schematischen Aufbau des Versuchs. Der Strahl des Lasers wirdzunächst am Strahlteiler in Objekt- und Referenzstrahl aufgeteilt. Der Objektstrahl wirdüber mehrere Spiegel auf das Objekt geleitet und zuvor mit einem Di�usor aufgeweitet.Der das ganze Objekt beleuchtende Strahl wird am Objekt di�us re�ektiert und tri�tauf das Hologramm (Foto�lm). Der Referenzstrahl wird ebenfalls auf das Hologramm ge-leitet, zuvor jedoch mit einem Mikroobjektiv aufgeweitet und dient als Laufzeitreferenz.Objekt- und Referenzstrahl sollten auf dem Hologramm zeitlich kohärent sein, sodass eszu Interferenzen kommt, welche auf dem Film abgebildet werden. Die beiden Lochblendendienen dazu, Nebenstrahlen herauszu�ltern und die Blende am Mikroobjektiv entferntBeugungsringe, welche am Objektiv entstehen, um eine gleichmäÿigere Ausleuchtung desHologramms zu erreichen. Da Objekt- und Referenzstrahl am Hologramm zeitlich kohä-rent sein müssen, ist es notwendig, dass die Di�erenz zwischen den Wegen, die Objekt-und Referenzstrahl zurücklegen, wesentlich kleiner ist als die Kohärenzlänge des verwen-deten Lasers. (Bei einem HeNe-Laser etwa 20 cm). Zur Durchführung der hologra�schenInterferometrie ist es günstig, wenn die Abstände zwischen Di�usor und Objekt (c) undzwischen Objekt und Hologramm (d) gleich sind, um die Berechnung zu vereinfachen.

14

3.2 Hologra�sche Messung der Amplitude einer Schwingung

In diesem Versuchsteil wird die Amplitude einer schwingenden Metallplatte mit demZeitmittelungsverfahren gemessen.

Die Metallplatte wird mit einer Frequenz zu mechanischen Schwingungen angeregt, so-dass die bei den Resonanzfrequenzen 1150 Hz und 2450 Hz hörbare Töne ausgestrahltwerden. Zur Messung der Amplitude wird die Anzahl der dunklen InterferenzstreifenN von der Mitte nach auÿen zum Rand gezählt. N ist dabei die N -te Nullstelle derBesselfunktion. Mit Hilfe der Abbildung in der Literaturmappe erhält man daraus dieBessel-Koe�zienten B. Daraus kann die maximale Auslenkung der Platten, die Ampli-tude bei 1150 Hz, mit folgender Formel berechnet werden:

a =B · λ

4π√

1− e2

4c2

Die Abbildungen (6) und (7) zeigen die Hologramme für die beiden Frequenzen bei vollerAmplitude.

Abbildung 6: Hologramm der Schwingungmit 1150 Hz

Abbildung 7: Hologramm der Schwingungmit 2450 Hz

Für die Resonanz mit voller (halber) Anregung wurden N = 6 Minima (N = 3 Minima)gezählt. Damit werden die Bessel-Koe�zienten laut Abbildung in der LiteraturmappeB1 = 18, 07 (B 1

2= 11, 97).

15

Daraus ergeben sich Amplituden von:

a1 =B1 · λ

4π√

1− e2

4c2

= 0, 948 µm

a 12

=B 1

2· λ

4π√

1− e2

4c2

= 0, 619 µm

Wie man der Abbildung (6) entnehmen kann, ist die Auszählung der Minima schwierig,da gerade am Rand der Kontrast sehr schwach wird. Unter der Annahme, dass ∆N = ±1erhält man einen relativen Fehler von ≈ 17% für die volle Amplitude bzw. ≈ 40% für diehalbe Amplitude.

Vergleicht man die Werte für a1 und a 12stellt man fest, dass der Wert für die halbe

Amplitude etwas zu groÿ ist. Allerdings liegen die Abweichungen innerhalb der Fehler-grenzen.

3.3 x-, y- Verschiebung und Drehung

Die am ersten Versuchstag aufgenommenen Hologramme zur x- und y- Verschiebungsowie der Drehung können leider nicht ausgewertet werden, da die relevanten Werted = c und e (nicht zu verwechseln mit den oben angegebenen Werten des 2. Tages) andiesem Tag nicht schriftlich festgehalten wurden und der Aufbau zwischen erstem undzweitem Versuchstag verändert wurde.

Abbildung(8) zeigt das erhaltene Bild der Drehung um die senkrechte Achse. Es sinddeutlich die senkrechten Interferenzstreifen zu erkennen, welche jedoch aus Unkenntnisüber die Parameter c, d und e nicht quantitativ ausgewertet werden können.

Die Drehung sollte beispielsweise mit der statischen Methode ausgewertet werden. Dazuzählt man die Anzahl der Interferenzstreifen auf dem Bild und kann nach der Gleichung 13in der theoretischen Vorbetrachtung auf Seite 11 den Drehwinkel berechnen.

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Abbildung 8: Hologramm der Drehung

4 Auswertung zum Versuchsaufbau

�Himmelfahrtskommando�

Ziel dieses Versuchsaufbaus ist es, zu überprüfen, ob die Hologra�e mit einem 5 mW-HeNe-Laser zu realisieren ist. Der Aufbau ist in Abbildung (9) dargestellt. Der Laserist relativ klein und arbeitet vermutlich ohne Etalon, also nicht im Single-Mode-Betrieb.Im Multi-Mode-Betrieb ist die Kohärenzlänge wegen des gröÿeren Wellenlängenbereichsdeutlich geringer. Daher muss der Aufbau kleiner und genauer justiert werden, die Längedes Objektstrahls lO muss sehr gut mit der Länge des Referenzstrahls lR übereinstim-men:

lO = SD +DO +OH = 162, 5 cm

lR = SH = 163, 0 cm

Die Di�erenz der Strahllänge ist etwa 0, 5 cm. Dieser Wert liegt deutlich unter der Ko-härenzlänge, welche bei einem HeNe-Laser selbst im Multi-Mode-Betrieb > 10 cm ist.

Aufgrund der kleinen Ausgangsleistung des Lasers muss die Belichtungszeit des Holo-gramms entsprechend hoch sein. Während dieser Zeit dürfen sich keine Schwingungen

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Abbildung 9: Versuchsaufbau �Himmelfahrtskommando�

auf den Versuchsaufbau übertragen, da sie das Ergebnis stören. Dies ist das Hauptpro-blem beim Hologra�eren mit kleinen Lasern, da der Aufbau schwingungsisoliert gelagertsein muss.

4.1 Aufnahme eines ersten Hologramms

Zu Testzwecken wird das Hologramm einer Metallplatte mit Gravur aufgenommen undauf Detailltreue untersucht. Das Hologramm wird dabei 22 s belichtet. Von diesem Holo-gramm existiert kein Foto, jedoch ist Abbildung (11) das selbe Objekt, aufgenommen mitdem selben Versuchsaufbau. Dabei ist lediglich noch eine x-Verschiebung durchgeführt,wodurch die Interferenzstreifen entstehen.

Das erhaltene Hologramm hat eine sehr gute Qualität, da die Gravur und sogar Kratzerauf der Ober�äche erkennbar sind.

4.2 Interferometrische Vermessung einer x-Verschiebung

Nun wird eine x-Verschiebung der Metallplatte interferometrisch nach dem Doppelbelich-tungsverfahren vermessen. Dazu wird das Hologramm zunächst mit dem Bild der Metall-platte belichtet, die Platte dann um wenige Mikrometer verschoben und das Hologrammerneut belichtet. Auf dem Hologramm erhält man Interferenzstreifen, welche nach demdynamischen Verfahren ausgewertet werden. In Abbildung (10) ist dargestellt, in welcher

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Richtung die x-Verschiebung gemessen wird. Abbildung (11) zeigt das erhaltene Holo-gramm der x-Verschiebung mit den deutlich sichtbaren senkrechten Interferenzstreifen.

Abbildung 10: De�nition des Koordinatensystems für die hologra�sche Interferometrie

Abbildung 11: Hologramm der x-Verschiebung mit deutlich erkennbaren Interferenz-streifen

Mit einer Messuhr wird ein Vergleichswert gemessen. Der Weg, welcher mit dem Augezurückgelegt wird, ist durch eine Blende begrenzt und beträgt u = 7 cm. Nun �xiert maneinen Punkt P ′ auf dem Objekt und fährt mit dem Auge die Strecke u entlang. Dabeizählt man die Anzahl der dunklen Interferenzstreifen n, die durch P ′ laufen. Dabei erhältman folgende Werte:

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n ≈ 1u = 7 cm

e = 33 cm

c = 38 cm

∆xMessuhr = 6 µm

Die Belichtungszeit beträgt pro Belichtung 22 s.

Daraus erhält man für ∆x:

∆x =n · λ

e+u√4c2−e2+(e+u)2

− e−u4c2−e2+(e−u)2

= 4, 2 µm (16)

Vergleicht man ∆xMessuhr und ∆x, stellt man eine deutliche Abweichung fest. Dabei istjedoch zu beachten, dass die Anzahl der Interferenzstreifen auf Ganze gerundet werden.In der Messung lief jedoch etwas mehr als ein Interferenzmaximum durch den �xiertenPunkt P ′. Da die Interferenzstreifen bei dieser Messung deutlich zu erkennen sind, kannman sich auch auf n = 1, 5 festlegen. Damit erhält man ∆x = 6, 3 µm und die Abweichungzum Messuhrwert ist sehr gering.

Im Allgemeinen hängt die Genauigkeit dieser Methode davon ab, wie gut man n bestim-men kann. Alle anderen Werte sind makroskopisch und lassen sich sehr genau vermessen.Selbst die mit dem Auge zurückgelegte Strecke u lässt sich dank einer Blende sehr gutmessen. Beschränkt man sich auf n ∈ Z, sollte man mit |∆n| = 1 rechnen. Dadurchergibt sich ein relativer Fehler von ∆n

n = 1n . Dadurch wird der Messbereich dieser Metho-

de eingeschränkt. Wird n zu groÿ, lassen sich die einzelnen Interferenzstreifen mit demAuge nicht mehr richtig au�ösen. Ist n zu klein, wird der relative Fehler zu groÿ. Um dieminimal au�ösbare Verschiebung zu verbessern, müsste man die Wellenlänge verkleinern,also die Hologra�e beispielsweise mit einem blauen Laser durchführen.

Eine strenge Gröÿtfehlerrechnung durchzuführen hat keinen Sinn, da der Fehler für nwesentlich gröÿer ist als der Fehler der gemessenen Strecken.

4.3 Hologra�e eines dreidimensionalen Objekts

Zum Abschluss wird ein 3-dimensionales Objekt hologra�ert. Abgebildet wird ein etwaskorpulentes Männlein, mit weiÿem Rauschebart und Zipfelmütze. Da dieses das rote La-serlicht nur schwach re�ektiert, wird die Belichtungszeit auf 1 min erhöht. Das erhalteneHologramm ist in Abbildung (12) dargestellt. Bei Verändern des Blickwinkels erkenntman auch deutlich die 3-Dimensionalität des virtuellen Bilds.

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Abbildung 12: Hologramm des 3-dimensionalen Objekts

5 Beobachtungen bei der Rekonstruktion der Hologramme

Bei der Rekonstruktion der Hologramme können einige besondere Eigenschaften beob-achtet werden, unter anderem die echte 3-Dimensionalität des virtuellen Bildes und dasVerhalten bezüglich Drehungen des Hologramms um verschiedene Achsen. Es handelt sichum Transmissionshologramme. Sie werden bei der Rekonstruktion zunächst so beleuchtetwie bei der Aufnahme durch den Referenzstrahl, sodass der Objektstrahl so rekonstruiertwird, wie er bei der Aufnahme war. Es werden die virtuellen Bilder beobachtet.

5.1 3-Dimensionalität

Betrachtet man die Hologramme aus verschiedenen Richtungen, so kann man bei geeigne-ten Objekten, zum Beispiel Figuren wie in Abbildung 12, Details sehen, die bei anderen

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Blickrichtungen verdeckt sind. Bei einer Aufnahme der Metallplatte ist unter einem be-stimmten Winkel durch das Loch hindurch ein Licht�eck zu sehen, wahrscheinlich dasStreulicht von dem dahinter stehenden Spiegel oder einem anderen Element.

Betrachtet man das Hologramm durch eine Kamera, kann man stets nur eine Tiefen-ebene scharf sehen, einzustellen durch den Fokus der Kamera. Stellt man sie auf geringeEntfernung ein, sind die vorderen Elemente scharf, bei gröÿerer Entfernungseinstellungdie hinteren.

5.2 Ein�uss des Rekonstruktionsstrahls

Wird das Hologramm um die senkrechte Achse gedreht, verändert sich zunächst die In-tensität der Abbildung, bevor sie verschwindet. Die Intensität ist o�enbar maximal, wennder Rekonstruktionsstrahl unter dem gleichen Winkel auftri�t wie der Referenzstrahl beider Aufnahme. Wird das Hologramm so weit gedreht, dass der Beobachter auf der an-deren Seite des (verlängert gedachten) Rekonstruktionsstrahls steht, ist das Bild an denAchsen der Ebene gespiegelt.

Da der Rekonstruktionsstrahl durch ein Mikroobjektiv aufgeweitet wird, handelt es sichbei seiner Wellenfront um eine Kugelwelle, deren Krümmungsradius mit der Entfernungvom Objektiv zunimmt. Bei gröÿerem Krümmungsradius sieht das virtuelle Bild gröÿeraus.

5.3 Rekonstruktion durch Teile des Hologramms

Wird ein Hologramm zerteilt, kann das Bild mit jedem einzelnen Bruchstück rekonstru-iert werden, lediglich der Beobachtungswinkel ist dann entsprechend eingeschränkt. DerE�ekt wurde mit einem zerbrochenen Hologramm auf Glas überprüft.

Der Grund dafür ist, dass an jeder Stelle auf dem Hologramm ein vollständiges Bild anHand der Phaseninformationen gespeichert ist, aber an jeder Stelle aus einem anderenBlickwinkel. Abbildung 13 veranschaulicht das an zwei Objekten, aus Sicht des linkenPunktes auf dem Hologramm ist das kleinere Objekt vollständig verdeckt. Das heiÿt,wenn das Hologramm ungefähr halbiert wird, kann das kleinere Objekt mit der linkenHälfte nicht mehr rekonstruiert werden. Alles, was von den Punkten auf dieser Hälfteaus zu sehen war, ist aber weiterhin rekonstruierbar.

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Abbildung 13: Veranschaulichung der verschiedenen Perspektiven auf dem Hologramm

5.4 Drehung des Hologramms um 180◦

Wird das Hologramm von der anderen Seite (�von hinten�) beleuchtet, so ist das Bildsowohl an den Achsen der Ebene als auch in der Tiefe gespiegelt, wie mit einer erneutenBeobachtung mit der Kamera nachgewiesen werden kann. Die tatsächlich hinten stehen-den Objekte erscheinen nah und die tatsächlich nahen fern.

Bei Drehung des Hologramms um die Normale seiner Ebene rotiert das Bild mit doppel-ter Winkelgeschwindigkeit. Deshalb sieht es nach einer 180◦-Drehung wieder so aus wiezuvor.

Bei einem normalen Foto wären solche E�ekte undenkbar.

5.5 Rekonstruktion des reellen Bildes

Wird der Rekonstruktionsstrahl nicht aufgeweitet, sodass er das Hologramm nur an einemkleinen Fleck beleuchtet, dort aber mit entsprechend hoher Intensität, kann auf einemSchirm das reelle Bild gezeigt werden. Dieses ist natürlich nicht mehr 3-dimensional. DieBildgröÿe nimmt mit der Entfernung zwischen Schirm und Hologramm zu, die Schärfe

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nimmt dabei ab. Abbildung 14 zeigt, in welchen Richtungen das virtuelle und das reelleBild entstehen.

Abbildung 14: virtuelles und reelles Bild bei der Rekonstruktion

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6 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse

Ziel dieses Versuches war es, das Verfahren der Hologra�e kennenzulernen und zur Mes-sung von Verschiebungen und Drehungen im µm-Bereich anzuwenden. Dabei war es zu-nächst eine Herausforderung, den Versuch nach dem Umzug in das neue Institut erstmaligin Betrieb zu bringen. Da einer der beiden �groÿen� Laser (50 mW) ausgefallen war, muss-te zunächst geprüft werden, ob die Hologra�e mit einem 5 mW-Laser überhaupt möglichist, was sich als erfolgreich herausstellte. Allerdings war es aufgrund des erhöhten Zeit-aufwands für Aufbau und Justage nicht möglich, den Versuch komplett durchzuführen.

Am kleinen Versuchsaufbau mit dem 5 mW-Laser wurde die hologra�sche Interferometrieeiner x-Verschiebung mittels Doppelbelichtungstechnik durchgeführt und das Hologrammeines 3-dimensionalen Objekts aufgenommen.

Hologra�sch wurde eine x-Verschiebung von ∆x = 4, 2 µm gemessen. Der Vergleichs-wert einer Messuhr ist ∆xMessuhr = 6 µm. Die Di�erenz zwischen hologra�schem undMessuhr-Wert sind im entsprechenden Kapitel der Auswertung diskutiert.

Der Aufbau mit dem stärkeren Laser wurde eingesetzt, um die Schwingungen einer Me-tallplatte mit Frequenzen im hörbaren Bereich sichtbar zu machen. Das Zeitmittelungs-verfahren erzeugte gut zu erkennende Chladny'sche Klang�guren. Auÿerdem wurden diey-Verschiebung und Drehung um die senkrechte Achse untersucht, wobei eigentlich diedynamische bzw. statische Auswertungsmethode angewandt werden sollte.

Bei der Rekonstruktion der Hologramme wurden die 3-Dimensionalität der Bilder unddie Ein�üsse des Rekonstruktionsstrahls und verschiedener Drehungen des Hologrammsuntersucht. Einige der auftretenden E�ekte machen den Unterschied zwischen Hologram-men und Fotogra�en sehr deutlich, in erster Linie natürlich die wirklich 3-dimensionaleDarstellung im virtuellen Bild.

Literatur

[1] Prof. Dipl. Phys. Helmbrecht Bauer �Lasertechnik - Grundlagen und Anwendungen�,Vogel-Verlag

[2] http://www.holographie-online.de/, Stand: 1.06.2008, 17:00 Uhr

[3] Dr.-Ing. Günther Wernicke, Dipl.-phys. Wolfgang Osten �Hologra�sche Interferome-trie�, VEB-Fachbuchverlag Leipzig

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