v.- experimentos factoriales. los experimentos · pdf filev.- experimentos factoriales. los...

54

V.- EXPERIMENTOS FACTORIALES. Los experimentos factoriales son aquellos en los que se prueban varios niveles de dos o más factores. El número de tratamientos es el resultado de combinar los diferentes niveles de los factores. Un factor es un ingrediente que interviene en un tratamiento, mientras que el nivel es cada una de las dosis o categorías de cada factor. Por ejemplo, el factor A podría ser RAZA con cuatro categorías (las razas de ganado Holstein, Suizo, Charolais y Cebú) y el factor B, DIETA con tres categorías (dieta testigo, una dieta con Canavalia y otra con pollinaza), en este experimento el número de tratamientos es de 12. Todo experimento con dos o más factores tiene un arreglo de tratamientos y un diseño experimental; así, p.e.; hablamos de un experimento con un arreglo factorial en un diseño completamente al azar o en un diseño de bloques al azar. La aleatorización de los tratamientos se lleva a cabo de acuerdo con el diseño experimental de que se trate. Recuerde que aquí el número de tratamientos es la combinación de los niveles de cada uno de los factores. Las tres razones principales para realizar Experimento Factorial son: 1.- Para obtener información de los efectos medios de todos los factores de un experimento simple de tamaño moderado. 2.- Para ampliar la base de las inferencias de un factor para probarlo bajo condiciones variadas de otros. 3.- Para evaluar la manera en la cual los efectos de los factores interactúan con cada uno. Obviamente las razones no son independientes y el énfasis varía con el tipo de experimento. En general un experimento factorial es más completo porque se puede obtener más información y un grado de precisión mayor del mismo número de observaciones. Suponga que desea realizar dos experimentos. En el primero se compararan tres niveles de proteína usando 36 cerdos en total, en un DCA. En el segundo experimento se desea comparar tres niveles de energía también en un DCA con 36 cerdos. El total de cerdos sería de 72 y en cada experimento la varianza de las medias de las dietas (tratamientos) sería igual al cuadrado medio entre 12 (hay 12 cerdos por dieta). Si se hiciera un experimento factorial (de dos vías) con los 72 cerdos, en cada una de las combinaciones habrían 8 cerdos, y por eso en cada nivel de energía y de proteína un total de 24 observaciones. La varianza de las medias de las dietas sería el cuadro medio

55

entre 24, es decir, se reduce la varianza de las medias de interés de CM/12 a CM/24 simplemente por combinar los dos experimentos, y al mismo tiempo, se generaliza el experimento debido a la estimación de algunas interacciones entre niveles de proteína y niveles de energía. 5.1 Modelo estadístico. a)El modelo estadístico para un experimento factorial, con dos factores A y B, en un diseño completamente al azar sería, Yijk= µ + + αi + τj + ατij + eijk donde: Yijk= es la ijk-esima observación en el i-esimo nivel del factor A y j-esimo nivel del factor B; µ= es la media general; αi= es el efecto del j-esimo nivel del factor A; τj= es el efecto del k-esimo nivel del factor B; ατij= es la interacción del i-esimo nivel del factor A con el j-esimo nivel del factor B; y eijk= es el error aleatorio NID (0, σ2). b) El modelo estadístico para un experimento factorial, con dos factores A y B, en un diseño en bloques al azar sería, Yijk= µ + ßi + αj + τk + ατjk + eijk donde: Yijk= es la ijk-esima observación en el i-esimo bloque que contiene el j-ésimo nivel del factor A y el k-esimo nivel del factor B; µ= es la media general; ßi= es el efecto del i-ésimo bloque; αj= es el efecto del j-ésimo nivel del factor A; τk= es el efecto del k-esimo nivel del factor B; ατjk= es la interacción del j-esimo nivel del factor A con el k-esimo nivel del factor B; y eijk= es el error aleatorio NID (0, σ2). 5.2 Ejemplo de un Diseño de Bloques al Azar con un arreglo factorial 2 x 3. Se desea determinar el efecto de dos niveles de proteína (alto y bajo) y tres fuentes de proteína (res, cerdo y vegetal) sobre el aumento de peso (g) de ratas. Los resultados se presentan a continuación,

56

CUADRO 23 Resultados de un experimento factorial. �� Alta Proteína Baja Proteína Res Cerdo Vegetal Res Cerdo Vegetal �� 73 94 98 90 49 108 102 79 74 76 82 95 118 96 56 90 73 97 104 98 111 64 86 80 81 102 95 86 81 98 107 102 88 51 97 74 100 108 82 72 106 74 87 91 77 90 70 67 117 120 86 95 61 89 111 105 92 78 82 58 �� Total 1000 995 859 792 787 839 Cálculo de las sumas de cuadrados. FC= 5272²/60 = 463233.07; SCtotal = (73² + 102² + 118² +...+ 58²) - FC = 479431.77 - 463233.07 = 16198.7; 1000² + 995² + 859² + 792² + 787² + 839² SCtrat = �� - FC 10 = 467846.00 - 463233.07 = 4612.93; SCerror= SCtotal - SCtrat = 16198.70 - 4612.93 = 11585.77; CUADRO 24 Análisis de varianza para un diseño factorial 2x3. �� FV GL SC CM Fc ��

57

Tratamiento: 5 4612.93 Proteína 1 3168.23 3168.23 14.8** Grasa 2 266.50 133.20 0.62ns Interacción 2 1178.20 589.10 2.7ns Error 54 11585.77 214.60 Total 59 16198.70 �� ** P<0.01 El ANOVA indica que existe diferencia entre los niveles de proteína pero no en las fuentes de la misma, ni en la interacción. 5.3 Comparaciones entre tratamientos. La naturaleza del experimento indica que era mejor haber realizado un análisis de contrastes ortogonales de los datos. En este caso algunas comparaciones lógicas o hipótesis a probar son, Ho: No existe diferencia entre los niveles de proteína; Ho: No existe diferencia entre la fuente de proteína animal (res y cerdo) comparado con la fuente vegetal. Ho: No existe interacción entre nivel de proteína y fuente de proteína (animal o vegetal). Ho: No existe diferencia entre las proteínas del cerdo y res. Ho: No existe interacción entre el nivel de proteína y la fuente de proteína animal.

CUADRO 25 Cálculo de los contrates ortogonales. �� Alta Proteína Baja Proteína Res Cerdo Veg. Res Cerdo Veg. 1000 995 859 792 787 839 L rc² SCtrat �� 1) Niveles 1 1 1 -1 -1 -1 436 10(6) 3168.3 2) Animal vs Vegetal 1 1 -2 1 1 -2 188 10(12) 264.0 3) Int. 1 y 2 1 1 -2 -1 -1 2 376 10(12) 1178.1 4) Res vs Cerdo 1 -1 0 1 -1 0 10 10(4) 2.5 5) Int. 1 y 4 1 -1 0 -1 1 0 0 10(4) 0.0

58

�� r= Número de réplicas= 10; 1) L =1000(1) + 995(1)+ 859(1) + 792(-1) + 787(-1)+ 839(-1)= 436 c² = 1² + 1² + 1² + (-1)² + (-1)² + (-1)² =6; SC = L²/rc² = 436²/10(6)= 3168.3; 2) L= 1000(1) + 995(1) + 859(-2)+ 792(1) + 787(1) + 839(-2)= 188 c² = 1² + 1² + (-2)² + 1² + 1² + (-2)² = 12; SC= 188²/10(12) = 264.0; 3) L =1000(1) + 995(1)+ 859(-2) + 792(-1) + 787(-1)+ 839(2)= 376 c² = 1² + 1² + (-2)² + (-1)² + (-1)² + (2)² = 12; SC = L²/rc² = 3766²/10(12)= 1178.1; 4) L= 1000(1) + 995(-1) + 859(0)+ 792(1) + 787(-1) + 839(0)= 10 c² = 1² + (-1)² + (0)² + 1² + (-1)² + (0)² = 4; SC= 102/10(4) = 2.5; 5) L= 1000(1) + 995(-1) + 859(0)+ 792(-1) + 787(1) + 839(0)= 0 c2 = 12 + (-1)2 + (0)2 + 12 + (-1)2 + (0)2 = 4; SC= 0.0;

CUADRO 26 Subdivisión y significancia de la suma de cuadrados de tratamientos para los efectos principales e interacciones. �� GL SC CM �� Tratamiento: 5 4613.0 1)Niveles de Prot. 1 3168.3 3168.3** 2)Animal vs Veg. 1 264.0 264.0ns

59

3)Interacción 1 y 2 1 1178.1 1178.1* 4)Res vsd Cerdo 1 2.5 2.5ns 5)Interacción 1 y 4 1 0.0 0.0ns Error 54 11585.7 214.6 �� La subdivisión de la SCtrat muestra efecto significativo de niveles de proteína como el ANOVA del Cuadro 22. Sin embargo, este análisis muestra además efecto de la interacción nivel de proteína y fuente animal o vegetal de proteína. Esta interacción se puede entender mejor con el siguiente diagrama, Nivel de Fuente de proteína proteína Animal Vegetal Diferencia E.E. Alto 99.8 85.9 + 13.9* ±5.67 Bajo 79.0 83.9 - 4.9 ±5.67 Diferencia +20.8** + 2.0 E.E. ± 4.6 ± 6.5 donde: 99.8= (1000 + 995)/20; 85.8= 859/10; 79.0= (792 + 787)/20; 83.9= 839/10; Los errores estandar (EE) de las diferencias se obtienen como,

EECM

r

CM

rerror error= +1 2

Dif. entre fuentes, nivel alto=214 6

20214 6

10567

. ..+ = ±

Dif. entre fuentes, nivel bajo=214 6

20214 6

10567

. ..+ = ±

Dif. entre niveles, fuente animal=214 6

20214 6

204 63

. ..+ = ±

Dif. entre fuentes, fuente vegetal=214 6

10214 6

106 55

. ..+ = ±

Nota: La interacción se debió al hecho de que la media para fuente animal fue mejor en el nivel alto de proteína; sin embargo, la proteína vegetal lo fue en el nivel bajo. Esta interacción no podría haberse descubierto utilizando el ANOVA convencional del Cuadro 20.

60

5.4 Programa SAS para comparaciones pre-planeadas. Data uno; Input Nivel 1 Fuente 2 a1 4-6 a2 8-10 a3 12-14 a4 16-18 a5 20-22 a6 24-26 a7 28-30 a8 32-34 a9 36-38 a10 40-42 trat 1-2; drop a1-a10; Pesog= a1; a=1; output; Pesog= a2; a=2; output; Pesog= a3; a=3; output; Pesog= a4; a=4; output; Pesog= a5; a=5; output; Pesog= a6; a=6; output; Pesog= a7; a=7; output; Pesog= a8; a=8; output; Pesog= a9; a=9; output; Pesog= a10; a=10; output; *** NIVEL 1=alto 2= bajo FUENTE 1=res 2=cerdo 3=vegetal; Cards; 11 73 102 118 104 81 107 100 87 117 111 12 94 79 96 98 102 102 108 91 120 105 13 98 74 56 111 95 88 82 77 86 92 21 90 76 90 64 86 51 72 90 95 78 22 49 82 73 86 81 97 106 70 61 82 23 108 95 97 80 98 74 74 67 89 58 Title " ANVA para un diseño factorial"; Proc GLM; classes Nivel Fuente; Model Pesog= Nivel Fuente Nivel*Fuente; run; Title "Comparaciones ortogonales para un experimento factorial; Proc GLM; classes trat; Model Pesog= trat; *** T R A T A M I E N T O S; CONTRAST 'ALTA vs BAJA PROTEINA' TRAT 1 1 1 -1 -1 -1; CONTRAST 'PROT. ANIMAL vs VEGETAL' TRAT 1 1 -2 1 1 -2; CONTRAST 'INT. NIVEL-PROT. ANIMAL y VEG.' TRAT 1 1 -2 -1 -1 2; CONTRAST 'RES vs CERDO' TRAT 1 -1 0 1 -1 0; CONTRAST 'INT. NIVEL-PROT. RES y CERDO' TRAT 1 -1 0 -1 1 0; RUN;

61

Ejercicio. Realizar el ANOVA y probar las siguientes hipótesis para los resultados dados abajo. Ho: No existe diferencia entre el control y las semillas tratadas con productos químicos. Ho: No existe diferencia entre productos químicos. Nota ver ANVA en Apéndice. El modelo estadístico para un experimento factorial, con dos factores A y B, en un diseño en bloques al azar sería, Yijk= µ + τi + αj + ßk + αßjk + eijk donde: Yijk= es la ijk-esima observacion en el i-esimo bloque, j-esimo nivel del factor A y k-esimo nivel del factor B; µ= es la media general; τi= es el efecto del i-esimo bloque; αj= es el efecto del j-esimo nivel del factor A; ßk= es el efecto del k-esimo nivel del factor B; αßjk= es la interacción del j-esimo nivel del factor A con el k-esimo nivel del factor B; y eijk= es el error aleatorio NID (0, σ2).

CUADRO 27 ANALISIS DE VARIANZA PARA UN EXPERIMENTO FACTORIAL EN UN DISEÑO DE BLOQUES AL AZAR. �� FV GL SC CM Fc ��

Bloque r-1 Y

abFCi ..

2∑ − SM

rbloque

− 1

CM

CMbloque

error

Factor A a-1 Y

rbFCj. .

2∑ − SCa

A

− 1

CMCM

A

error

Factor B b-1 Y

raFCk. .

2∑ − SCb

B

− 1

CMCM

B

error

62

Interacción (a-1)(b-1) Y

rSC SC FCjk

A B.2∑∑ − − − SC

a bAxB

( )( )− −1 1

CMCM

AxB

error

Error ab(r-1) DIFERENCIA SC

ab rerror

( )− 1

Total abr-1 ΣΣΣYijk

2 - FC �� FC= (ΣΣΣYijk)2/abr; r= número de bloques; a= niveles del factor A; b= niveles del factor B; Ejemplo. VI.- EXPERIMENTOS DE PARCELAS DIVIDIDAS. Los experimentos de parcelas divididas se utilizan cuando se quiere dar mayor precisión o importancia a un factor en comparación con otro. Este diseño se divide en parcelas denominadas grande y chicas correspondiendo a estas últimas la mayor precisión. En algunas ocasiones este es el diseño óptimo a elegir ya sea porque un factor requiere de áreas grandes para su evaluación o por razones económicas; p.e. Láminas de riego y variedades de arroz, sistemas de cultivo y fertilización, etc. Cabe mencionar que la diferencia entre un experimento factorial y uno de parcelas divididas está en el proceso de aleatorización de los tratamientos. Así mientras que en un diseño factorial se hacen todas las combinaciones de tratamientos y se distribuyen aleatoriamente a las unidades experimentales, en el experimento de parcelas divididas primero se distribuyen aleatoriamente los tratamientos de las parcelas grandes y luego los tratamientos de las parcelas chicas dentro de las parcelas grandes. Analice este experimento con un ejemplo. Se desea estudiar el efecto de la frecuencia de corte (parcela grande) y tres alturas de corte (parcela chica ) en la producción de materia seca del pasto Estrella de Africa. El primer paso es localizar el área donde se realizará el experimento. Si el terreno es homogéneo entonces es factible utilizar un diseño completamente al azar; si el terreno muestra un gradiente de variación la solución pudiera ser un diseño de bloques al azar.

63

Suponga que el terreno es homogéneo, entonces se trazan las parcelas grandes y se asignan cada una de las frecuencias de corte a estudiar (Figura 6). Luego se asignan al azar cada una de las alturas de corte dentro de cada una de las parcelas grandes (Figura 6).

64

Figura 6. Ejemplo hipotético de distribución de tratamientos en un experimento de Parcelas Divididas. ��

65

��

CUADRO 28 Resultados del experimento en parcelas divididas. �� Frecuencia Altura de corte de corte R E P L I C A S (días) (cm) I II III IV �� 5 5.69 5.98 5.37 6.30 23.34 20 10 3.72 3.20 3.90 4.51 15.33 15 3.66 2.85 2.60 3.83 12.94 Total PG 13.07 12.03 11.87 14.64 51.61

66

5 6.48 7.92 4.74 6.30 25.44 40 10 3.86 4.54 4.42 5.06 17.88 15 11.15 3.54 3.91 3.66 22.26 Total PG 21.49 16.00 13.07 15.03 65.58 5 4.90 5.73 12.00 8.56 31.19 60 10 5.34 4.28 6.16 6.34 22.12 15 3.40 5.47 4.78 3.75 17.40 Total PG 13.64 15.48 22.94 18.65 70.71 �� Tabla de doble entrada para totales de tratamiento. Frecuencia de corte Altura de corte �� 5 10 15 Total �� 20 23.34 15.33 12.94 51.61 40 25.44 17.88 22.26 65.68 60 31.19 22.12 17.40 70.71 Total 52.60 55.33 79.97 187.90 a) Factor de corrección: (187.90)² 35,306.41 F.C. = �� = �� = 980.73 36 36 b) Suma de cuadrados debida a las réplicas: (48.20)² + (43.51)² + (47.88)² + (48.31)² SCRep = �� - FC 9 8,842.71 = �� - 980.73 = 982.52 - 980.73 = 1.79 9 c) Suma de cuadrados debida a las parcelas grandes (Frecuencia de corte): (51.61)² + (65.58)² + (70.71)² SCPG = �� - FC

67

12 2663.59 + 4300.74 + 4999.90 = �� - FC 12 11,964.23 = �� - 980.73 = 16.29 12 d) Suma de cuadrados debida a las parcelas chicas (Altura de corte): (79.97)² + (55.33)² + (52.60)² SCPCH = �� - FC 12 6,395.20 + 3,061.40 + 2,766.76 = �� - FC 12 12,223.36 = �� - 980.73 = 1018.61 - 980.73 = 37.88 12 e) Suma de cuadrados debida a la interacción de los tratamientos (frecuencia de corte y altura de corte): 23.34² + 15.33² + ... + 17.40² SCInt = �� - FC - SCPG - SCPCH 4 4,174.45 = �� - FC - SCPG - SCPCH 4 = 1,043.61 - 980.73 - 16.29 - 37.88 = 8.71 13.07² + 12.03² + ... + 22.94² + 18.65² SCPG x Replica= �� - FC 3 3084.74 = �� - FC = 1028.25 - 980.73 = 47.52 3

68

SCerror PG= 47.52 - SCRep- SCPG = 47.52 - 1.79 - 16.29 = 29.44 SCTotal = 5.692 + 5.982 + ... + 4.782 + 3.752 - FC = 1129.74 - 980.73 = 149.01 SCerror PCH = SCTotal - SCPG x Replica - SCPCH - SCInt = 149.01 - 47.52 - 37.88 - 8.71 = 54.9

CUADRO 29 Análisis de varianza para un diseño de Parcelas Divididas con cuatro bloques (réplicas). �� FV GL SC CM Fc �� Réplica 3 1.79 0.60 Frec. corte 2 16.29 8.15 1.65 error PG 6 29.44 4.90 Atura corte 2 37.88 18.94 6.21** Interacción (Frec. x Alt) 4 8.71 2.19 0.72 error PCH 18 54.90 3.05 Total 35 149.01 �� ** P<0.01 Nota: Los efectos de bloque (réplica) y frecuencia de corte se prueban utilizando la SCEPG; mientras que los efectos de Altura de corte (parcela chica) y de la interacción de Frecuencia de corte por Altura de corte se prueban utilizando la SCEPCH, i.e. CMFrec. corte 8.15 Fc =�� = ��= 1.65 CMerror PG 4.90 CMAlt. corte 18.94 Fc =�� = ��= 6.21 CMerror PCH 3.05

69

CMInt. 2.19 Fc =�� = �� = 0.72 CMerror PCH 3.05 6.3 programa SAS para un experimento completamente al azar con arreglo de parcelas divididas. Data parcela; Input Frec 1-2 Altura 4-5 r1 7-11 r2 13-17 r3 19-23 r4 25-29; Drop r1 r2 r3 r4; ms= r1; r=1; output; ms= r2; r=2; output; ms= r3; r=3; output; ms= r4; r=4; output; cards; 20 5 5.69 5.98 5.37 6.30 20 10 3.72 3.20 3.90 4.51 20 15 3.66 2.85 2.60 3.83 40 5 6.48 7.92 4.74 6.30 40 10 3.86 4.54 4.42 5.06 40 15 11.15 3.54 3.91 3.66 60 5 4.90 5.73 12.00 8.56 60 10 5.34 4.28 6.16 6.34 60 15 3.40 5.47 4.78 3.75 Title " Diseño completamente al azar con arreglo de parcelas"; proc anova; classes frec altura; model ms= frec r(frec) altura frec*altura; test H=frec E=r(frec); means frec /duncan tukey alpha=0.01 E= r(frec); means altura /duncan tukey; run; 6.4.- Programa SAS para un Diseño de bloques al Azar con arreglo de Parcelas Divididas. Title " Diseño de bloques con arreglo de parcelas; Proc anova; classes pg bloque pch; model Y= pg bloque pg*bloque pch pg*pch; Test H=pg bloque E=pg*bloque; means pg bloque/ duncan E=pg*bloque; means pch pg*pch/duncan; run;

70

VII. ANÁLISIS DE COVARIANZA (ANCOVA). Este análisis es un procedimiento de gran importancia en experimentación y combina el análisis de varianza y de regresión para remover la variabilidad que existe debida a una o más variables cuantitativas, denominadas variables concomitantes o covariables; ajusta las medias de los tratamientos y así estima mucho mejor el efecto de los factores (tratamiento) sobre la variable dependiente o variable de respuesta. En otras palabras, el ANCOVA permite ajustar las respuestas de las unidades experimentales al promedio de un factor medible, que se llama covariable y de esa manera se controlan los factores medibles que no puedan controlarse experimentalmente. Por ejemplo, se quiere probar el efecto de cinco dietas en el aumento de peso en cerdos pero se tiene diferente peso inicial de las unidades experimentales. Aquí el factor peso inicial es medible y no puede utilizarse como un criterio de clase (nivel de un factor) por lo que es mejor utilizar un diseño completamente al azar con peso inicial de las unidades experimentales como covariable. De esta manera se ajusta respecto a peso inicial, se tienen más grados de libertad para el cuadrado medio del error y se maneja un diseño más sencillo. Si además del peso inicial, la edad de los animales fuese otro factor de importancia podría incluirse teniendo así un diseño completamente al azar con dos covariables. Usos del ANCOVA. Los más importantes usos del ANCOVA son: 1.- Para controlar el error y aumentar la precisión, al reducir la variación entre tratamientos debido al efecto de variables concomitantes. 2.- Para ajustar las medias de tratamientos de la variable dependiente por diferencias en conjuntos de valores de la correspondientes variables independientes, es decir como sí el efecto de la variable concomitante no hubiera existido. 3.-Para ayudar en la interpretación de datos, especialmente con respecto a la naturaleza de los efectos de los tratamientos. 4.- Para dividir una covarianza total o suma de productos cruzados en sus componentes. 5.- Para estimar datos perdidos. Suposiciones del ANCOVA: 1.- Tanto la variable independiente X (covariable) como la variable de respuesta (Y) deben tener varianzas homogéneas. 2.- Las variables X e Y deben tener distribución normal.

71

3.- La regresión de Y sobre X debe de ser lineal. 4.- El error debe estar normal e independientemente distribuido con media cero y varianza común. 7.1. Modelos estadísticos. El modelo estadístico para un diseño completamente al azar está dado por la ecuación, Yij= µ + αi + b(Xij - ..X ) + eij Para el diseño de bloques al azar, Yij= µ + αi + ßj + b(Xij - ..X ) + eij Para el diseño cuadro latino, Yij(k)= µ + αi + Hj + Ck + b(Xij(k) - ..X ) + eij(k) Como se podrá apreciar a cada modelo del diseño correspondiente se le agregó el término de ajuste, b(Xij - ..X ) y donde: Y = variable dependiente o de respuesta; µ = media general de Y; Xij o Xij(k) = variable independiente o covariable;

..X = media general de X; α = efecto de tratamientos; ß = efecto de bloques; H = efecto de hilera; C = efecto de columna; eij o eij(k) = error experimental. 7.2.- Ejemplo de un análisis de covarianza. Se presentan los resultados de un diseño de bloques al azar con cinco cerdos (repeticiones) y cuatro dietas (tratamientos), donde: X= peso inicial de los cerdos (variable independiente); Y= peso final de los cerdos (variable dependiente).

73

��- TRATAMIENTOS A B C D Total # cerdo X Y X Y X Y X Y X Y ��- 1 4 10 1 5 2 5 3 5 10 25 2 3 7 3 7 6 12 1 7 13 33 3 4 8 2 5 4 10 4 6 14 29 4 6 15 1 1 6 10 2 9 15 35 5 4 12 3 5 2 8 1 3 10 28 ��- 21 52 10 23 20 45 11 30 62 150

CUADRO 27 Análisis de covarianza para un diseño de bloques al azar �� F.V. G.L. SC(X) SP(XY) SC(Y) ��

Bloques r-1 X

tFCj

X.2∑ − X Y FCj j XY. .∑ ∑ −

Y

tFCj

Y.2∑ −

Tratamiento t-1 X

rFCi

X.2∑ − X Y FCi i XY. .∑ ∑ −

Y

rFCi

Y.2∑ −

Error (t-1)(r-1) D I F E R E N C I A Total tr-1 X ij

2∑∑ - FCX X Yij ij∑∑ -FCXY Yij2∑∑ -FCY

��

FCX= ( )X

Nij∑∑ 2

FCXY=X Y

Nij ij∑∑ FCY=

( )Y

Nij∑∑ 2

CUADRO 28 ANOVA para las variables X e Y. �� ANOVA Y ANOVA X F.V. G.L. SC CM G.L. S.C. C.M. ��

74

Bloque 4 16 4.0 4 5.2 1.3 Trat. 3 85 28.3 3 18.2 6.1 Error 12 122 10.2 12 29.6 2.5 Total 19 223 19 53.0 �� Estos ANOVAs se analizaron como un diseño de bloques al azar normal; uno para X y otro para Y. No se encontró efecto significativo de los tratamientos sobre el peso inicial y final de los cerdos. Cálculo del ANCOVA. Calculamos sólo los términos que faltan en la tabla del análisis de covarianza ya que las SC(X) y SC(Y) ya las conocemos. SP(XY): Total= 4(10) + 2(5) + ... + 2(9) + 1(3) - FC = 85.5 donde: 62(150) 9,300 FC= �� = �� = 465; 4(5) 20 10(25) + 12(33) +...+ 10(28) Bloque= �� - FC 4 = 6.89; 21(50) + 10(25) +...+ 11(30) Trat = �� - FC 5 = 38.5 Error = Total - Bloque - Trat. = 85.3 - 6.89 - 38.5 = 40.23;

CUADRO 29 Análisis de covarianza �� Y ajustado por X FV GL SC(X) SP(XY) SC(Y) GL SC CM F

75

�� Total 19 52.95 85.50 223.0 Bloque 4 5.20 6.75 16.0 Trat. 3 18.15 38.50 85.0 3 9.85 3.28 0.54 Error 12 29.60 40.25 122.0 11 67.27 6.12 �� Trat+Error 15 47.75 78.75 207.0 14 77.12 La reducción en la SCerror de Y debido a la regresión es [SP(XY)]2 40.252 SCerror(corregido)= SC(Y) - ---------- = 122.0 - ------- = 67.27; SC(X) 29.60 [SP(XY)]2 78.752 SC(trat+error)= SC(Y) - -------- = 207.0 - ------- = 77.12 SC(X) 47.75 SC(trat. ajustados) = 77.12 - 67.27 = 9.85; Fc= 3.28/6.12 = 0.54 No significativo ya que Fc < Ft. El ANCOVA confirma el ANOVA que no hay diferencia significativa entre tratamientos, pero no dice si debemos ajustar las medias de tratamientos. Antes de analizar si existe la necesidad de ajustar las medias de tratamientos se calcula el coeficiente de regresión b, b= SP(XY)/SC(X) = 40.25/29.60 = 1.36 es decir, que por cada aumento de una unidad en el peso inicial X hay un aumento de 1.36 unidades en el peso final Y. Luego se prueba la homogeneidad de la regresión, Ho: b=0; si el valor de F es significativo, o sea si se acepta la hipótesis alterna Ha: b Ï 0 entonces se ajustan las medias. [SP(XY)]2 40.252 SC(Reg) = �� = �� = 54.73; SC(X) 29.60

76

CM(Reg) = 54.73/1 =54.73; Fc= CM(Reg)/CMerror= 54.73/6.12 = 8.94; Ft (1,11; 0.05)= Por lo tanto, se acepta Ha: b ≠ 0. Las líneas no son paralelas, no son homogéneas y se deben de hacer los ajustes de medias. Ajuste de medias.

aiY = .iY - b( .iX - ..X ) donde:

.aiY = media ajustada para cada tratamiento;

..iY = media de cada grupo de tratamiento sin ajustar; i.e.; 10, 5, 9 y 6. b= coeficiente de regresión = 1.36; _ Xi. = media de la covariable para cada tratamiento; i.e.; 4,2,4 y 2.2; _ X.. = media general = 62/20= 3.10. _ _ _ _ Tratamiento Yi. - b (Xi. - X..) = Yai. A 10 - 1.36(4.0-3.10) = 8.71 B 5 - 1.36(2.0-3.10) = 6.43 C 9 - 1.36(4.0-3.10) = 7.71 D 6 - 1.36(2.2-3.10) = 7.16 Si se encuentra que las medias de los tratamientos no ajustadas resultan significativas, pero no las ajustadas, ésto quiere decir que las diferencias encontradas entre las no ajustadas sólo reflejaría diferencias entre la covariable, más no entre los tratamientos. La desviación estándar de la diferencia entre dos medias ajustadas es:

( )S S r

X X

SC Xd YX

i

=+ −

2

22. .

( )

77

Por ejemplo la desviación estándar de la diferencia entre las medias de los tratamientos A y B es,

( )Sd =

+ −=612

25

4 0 2 0

29 6328

2

.. .

.. =1.81

Esta ecuación indica que cada Sd es diferente para cada par de medias de tratamientos que se estén comparando. Ganancia en precisión por covarianza. CME(Y) antes del ajuste = 122/12 =10.16 con 12 GL; CME(Y) después del ajuste = 6.12 con 11 GL; Ajustamos este valor (6.12) con la ecuación: CME después del ajuste * ( 1 + CM(X)/SCE)= 6.12 * ( 1 + 6.05/29.60) = 7.37; 10.16/7.37 * 100 = 138% Cien repeticiones con ANCOVA, son tan eficientes como 138 sin covarianza.

78

7.3 Programa SAS para Análisis de Covarianza. Data ancova; Input Cerdo 1-2 Trat$ 4 X 6 Y 8-9; cards; 1 A 4 10 2 B 1 5 3 C 2 5 4 D 3 5 5 A 2 5 6 B 3 9 7 C 6 12 8 D 1 7 9 A 4 8 10 B 2 5 11 C 4 10 12 D 4 6 13 A 6 15 14 B 1 1 15 C 6 10 16 D 2 9 17 A 4 12 18 B 3 5 19 C 2 8 20 D 1 3 PROC GLM; CLASSES TRAT; MODEL Y= X TRAT ; LSMEANS TRAT/PDIFF STDERR; MEANS TRAT; RUN; Nota: La covariable debe ir primero en el modelo.

79

BLOQUES INCOMPLETOS, CUADROS DE YOUDEN Y LATICES. Lo impráctico e inconveniente del diseño cuadro latino es que el número de parcelas por tratamiento debe ser igual al número de hileras y columnas. Esta limitante condujo al desarrollo del diseño de bloques incompletos. Aquí el número de bloques es menor que el número de tratamientos. Sin embargo, cada bloque contiene el mismo número de tratamientos y cada tratamiento aparece con igual frecuencia en el mismo bloque. Cuadro x. Ejemplo de la distribución de tratamientos en un diseño de bloques incompletos aleatorios. Bloque 1 2 3 4 Tratamiento A C A B D B C C B A D D En este diseño el número de observaciones es igual al número de bloques (b) por el número de observaciones por bloque (k) o al número de tratamientos por el número de repeticiones (r). h es el número de veces que pares de tratamientos aparecen juntos en el mismo bloque, es decir, r (k-1)= h (t-1) En el ejemplo de arriba, t=4, r=3, b=4, k=3 y h=2; por lo tanto, tr=bk= 12 y r(k-1)=6. Como el número de tratamientos y el tamaño del bloque normalmente se especifican por las circunstancias experimentales, los valores de los otros parámetros están escogidos para satisfacer los puntos 1 a 3 mencionados anteriormente. Como los bloques son incompletos en estos diseños, las medias observadas por los tratamientos deben ajustarse por las diferencias entre bloques. La media ajustada del i-ésimo tratamiento sería _ _ Xti= X + (kΣtj - Σbi)/ht donde: Σtj es el total del j-esimo tratamiento, bi es el total del i-esimo bloque.

80

La media del i-esimo bloque ajustado esta dado por: Xbi= X + El ANVA es diferente al normal porque las SC de tratamientos, bloque y residual no suman la SC del total. En el cuadro 2 los términos ajustados y no ajustados se refieren a las SC calculadas usando las medias ajustadas y no ajustadas, respectivamente. FC se refiere al factor de corrección. La suma de cada una de las observaciones al cuadrado divido entre el número total de observaciones. FC= (ΣΣYij)2/kr Cuadro 2. Análisis de varianza de un diseño de bloques incompletos.

81

VIII.- ALTERNATIVAS PARA MEJORAR LA PRECISIÓN DE LOS EXPERIMENTOS. Por precisión se entiende que tan lejos o cerca se encuentra un estimador del parámetro; por ejemplo., si se toma una muestra y se encuentra que su media es de 7.8 kg, cuando el valor del parámetro (media de la población) es de 8.3, entonces hay un error de 8.3-7.8=0.5 kg. Recuerde que para poblaciones grandes la precisión se define como d= Z*EE. En el análisis de experimentos, uno de los objetivos es estimar la diferencia entre dos medias y por lo tanto la precisión se entendería como que tan cerca o lejos se encuentra la diferencia entre dos medias de la diferencia real (diferencia entre las dos poblaciones de las cuales se tomaron las muestras). Hay varias alternativas para mejorar la precisión de los experimentos, de las cuales las principales son las siguientes: 1.- La agrupación de las unidades experimentales. 2.- El uso de mayor número de repeticiones. 3.- La selección de tratamientos. 4.- Selección de unidades experimentales. 5.- Tomar mediciones adicionales. 8.1.- Agrupación de las unidades experimentales. La agrupación de las unidades en grupos o bloques de tal manera que la variación entre grupos sea mayor que dentro de ellos, reduce la variación. Esta es la base de la comparación de los diseños: por ejemplo: los diseños completamente al azar y bloques al azar con sus varianzas del error: VCA y VBA, respectivamente. En el Diseño de Bloques al Azar, la varianza de la media de un tratamiento o raíz cuadrada del error estándar (EE) es: = VBA/b; donde b= al número de bloques. Mientras que para obtener la misma varianza en el Diseño Completamente al Azar, el número de repeticiones, r, debe ser: VCA/r = VBA/b o r/b=VCA/VBA Entonces si se usa VCA/VBA para medir la eficiencia relativa de los bloques en los diseños. Se tiene que: VCA (b-1)CMbloque + b(t-1)CMerror ��= �� VBA (bt-1)CMerror

82

Por ejemplo: VCA (5-1)12.46 + 5(5-1)5.41 ��= ��= 1.22 VBA (25-1)5.41 donde: CMbloque=12.46 CMerror=5.41 G.L. bloques= 5-1 G.L. del error= (5(5-1). Es decir, en el Diseño Completamente al Azar se necesitan 1.22 más repeticiones (1.22*5= 6) para obtener el mismo EE. También se debe considerar los GL del error, p.e. se necesitan 20 G.L. con el DCA y 16 para el DBA, para obtener la misma precisión. Una modificación de este método es la aplicación de la fórmula de Fisher que se aplica en los experimentos con pocas observaciones. VCA (GLDBA+1)(GLDCA+3) VDCA ��= �� VBA (GLDBA+3)(GLDCA+1) VDBA En el ejemplo: VCA (16+1)(20+3) ��= �� * 1.22= 1.87 VBA (16+3)(20+1) 8.2.- El uso de más repeticiones. En general un experimento es más preciso con más repeticiones, pero el grado de mejoramiento disminuye a medida que aumentan el número de repeticiones. Por ejemplo, para duplicar la precisión de la estimación de las medias de un experimento con cuatro repeticiones, se necesitan 16 repeticiones. El número de repeticiones requerido para estimar descubrir una diferencia verdadera entre medias se estima a partir de la fórmula:

83

r = 2CVd

2

(t1 + t2)²

donde:

CVDEX

= 100= Coeficiente de variación

t1= el valor de "t" de tablas al 5 o 1 % y los GL del error del ANVA del diseño a utilizar. t2= El valor de "t" para los GL del error y una probabilidad de (1-P), donde P es la probabilidad de descubrir un resultado significativo en un experimento. Si P=0.80, entonces (1-P)=0.20 en la distribución de "t" de una cola. d=/µ-X/= es la precisión requerida. En las ciencias biológicas se utiliza normalmente el 10% de precisión. Para usar la ecuación, se especifica el número de repeticiones que se cree son necesarios (r). Luego se resuelve la ecuación utilizando el valor de r encontrado en cada ocasión esta que este permanezca estable. Ejemplo: Estime el número de réplicas para un diseño completamente al azar con 5 tratamientos, y con los niveles de error tipo I y II de 5 y 10 % respectivamente. Elija según su criterio el coeficiente de variación y la diferencia mínima a detectar (d). Solución: r = 2(CV/d)² (t1 + t2)² gl DCA= t(r-1) t= número de tratamientos a comparar= 5 α=5% ß=10% 1-ß= 90% CV=15% d=10% Tome arbitrariamente r=7 réplicas, lo que da 30 gl para el error, es decir t(r-1)= 5(7-19)=30. t1 (30 gl, α=0.05)= 2.042 (Nota: valor de t de dos colas) t2 = (30 gl, ß=0.10)= 1.310 (Nota: valor de t de una cola)

84

r= 2(15/10)² (2.042+1.310)=2(2.25)(11.22)= 50.5 A continuación se utiliza el valor de r= 50.5 = 51 estimado y se realiza la operación de nuevo: gl= t(r-1)= 5(51-1)= 250 b) r= 2(15/10)² (1.96 + 1.282)² r= 2(2.25) (10.51)= 47.29 c) si se utilizara r= 48 y se realizara la operación de nuevo se encontraría que r= 48; es decir, se estabiliza; por lo tanto, d) De acuerdo a los valores proporcionados se requieren 48 repeticiones. Otro ejemplo. a) Estime el número de réplicas para un diseño de bloques al azar con cuatro tratamientos, y con los niveles de error tipo I y II de 5 y 20 % respectivamente. El coeficiente de variación es del 10% y la diferencia mínima a detectar (d) es también del 10%. b) Estime el número de réplicas para el caso a) pero con una diferencia a detectar del 50% menor que la elegida en a). ¿Que sucedió? ¿Cómo lo explica?. Solución: Primer cálculo; r = 2(CV/d)² (t1 + t2)² gl DBA= (t-1)(r-1) t=4 α=5% ß=20% 1-ß= 80% CV=10% d=10% Considerando arbitrariamente 10 réplicas, daría 30 GL para el error t1 (30 gl, α=0.05)= 2.042 (Nota: valor de t de dos colas)

85

t2 = (30 gl, ß=0.20)= 0.854 (Nota: valor de t de una cola) r= 2(10/10)² (2.042+0.854)²=2(1)(2.896)²= 16.774 = 17 gl= (t-1)(r-1)= 3(17-1)= 48 Segundo cálculo: r= 2(10/10)² (2.011 + 0.850)² r= 2(1) (8.185)= 16.37 = 17 Por lo tanto, de acuerdo a los valores proporcionados se requieren 17 repeticiones. b) en este caso el valor de d=5%, todos los demás valores permanecen iguales. Considerando arbitrariamente 10 réplicas, daría 30 GL para el error t1 (30 gl, α=0.05)= 2.042 (Nota: valor de t de dos colas) t2 = (30 gl, ß=0.20)= 0.854 (Nota: valor de t de una cola) r>= 2(10/5)² (2.042+0.854)²=2(2)(2.896)²= 16.774 = 34 gl= (t-1)(r-1)= 3(34-1)= 99 Segundo cálculo: r= 2(10/5)² (1.982 + 0.846)² r= 2(2) (7.997)= 32 Por lo tanto, de acuerdo a los valores proporcionados se requieren 32 repeticiones. Aproximadamente el doble que se requiere para una precisión del 10%. 8.3.- Selección de tratamientos. La selección cuidadosa de los tratamientos puede aumentar la precisión del experimento. Por ejemplo, al estudiar la curva de respuesta a niveles diferentes de proteína en una dieta, la curva es más importante que la significancia de la diferencia entre dos niveles adyacentes. Así mismo se sabe,

86

que niveles con intervalos iguales son más eficientes para estimar una curva de respuesta. El arreglo de los tratamientos aumenta la precisión en la estimación de los factores principales en los experimentos factoriales. Por ejemplo, la precisión es mayor, si en vez de realizar un experimento en donde se comparan tres niveles de proteína en la dieta, por ejemplo, 16, 17 y 18% se comparan niveles de 16,20 y 24% de proteína. Es decir mientras mayor sea la distancia entre niveles o tratamientos, mayor será la precisión y el coeficiente de determinación (R2) del análisis de varianza. Así mismo, el incluir otros factores puede mejorar el R2 y la precisión, por ejemplo, en experimentos con pollos, el R2 es mayor cuando se utilizan aves machos y hembras (por separado), que si se utilizaran aves mixtas o sólo animales machos o hembras. 8.4.- Selección de las unidades experimentales. La uniformidad de las unidades experimentales es deseable para aumentar la precisión ya que se reduce la variación. Por ejemplo, al utilizar animales con pesos aproximados o distribuirlos de tal manera que la media de los pesos de los tratamientos al inicio del experimento sean lo más aproximados. También se puede mejorar el experimento aumentando el número de unidades experimentales. Es mejor realizar un experimento en donde haya 10 corrales con 2 animales cada uno que un experimento con 5 corrales y 4 animales en cada uno. Aun cuando es el mismo número de animales, el número de repeticiones es menor en el segundo caso. En experimentos agrícolas, la forma y tamaño de la parcela, así como la eliminación de los efectos de borde son importantes para mejorar la precisión. 8.5.- El uso de mediciones adicionales. Se pueden tomar mediciones adicionales de covariables para aumentar la precisión de la estimación de los efectos de tratamientos. Es el uso principal del Análisis de covarianza. Normalmente se mide la covariable antes de aplicar los tratamientos. Se ajustan las observaciones de la variable de respuesta (dependiente) por las diferencias iniciales de la covariable. El ajuste reduce el error experimental y da comparaciones más precisas entre tratamientos.

87

Ejemplo

REFERENCIAS Cochran, W.G. y G.M. Cox. 1976. Diseños Experimentales. Ed.

Trillas, México. Little, T.M. y F.J. Jackson Hills. 1985. Métodos Estadísticos

para la Investigación en Agricultura. Trillas. México. Montgomery, D.C. 1991. Diseño y Análisis de Experimentos.

Grupo Editorial Iberoamérica. México. Snedecor, G.W. y G.W. Cochran. 1981. Métodos Estadísticos. Ed.

CECSA. México. Steel R.D.G. y J.H Torrie. 1985. Bioestadística. Principios y

Procedimientos. 2a. Ed. McGraw-Hill. México. SAS Institute Inc. 1985. SAS Guide User's: Statistics. Cary,

North Carolina, USA.

v.- experimentos factoriales. los experimentos · pdf filev.- experimentos factoriales. los...

Documents