Practica 3.− Vaciado de un deposito

Roberto Mota NavarroMayra Patricia Garcıa Alcala

Josafat Jimenez Guzman

20 de Octubre de 2010

1. Introduccion

La mecanica del medio continuo tiene comofinalidad estudiar los esfuerzos que se manifi-estan en el interior de los solidos, lıquidos ygases. La mecanica de medio continuo se ori-gino con los estudios de Galileo y sus discıpu-los. Galileo planteo y resolvio los primerosproblemas de resistencia de materiales en sulibro Discorsi e dimostrazioni matematiche in-torno a due nuo scienze, impreso en 1638.Las dos nuevas ciencias de ese entonces eranprecisamente la mecanica de los solidos de-formables y la cinematica de los proyectilesBenedetto Castelli y Evangelista Torricelli, porsu parte, se ocuparon del movimiento de losfluidos. Torricelli, en la obra De motu gravi-um naturaliter descendentium et proiectorum,publicada en 1644, pudo, con intuicion real-mente genial, deducir la ley de descarga deun lıquido, a traves de un orificio practicadoen un deposito, a partir de la ley de caıda delos solidos. Fue ası como se sentaron, casi si-multaneamente, las bases de la mecanica delmedio continuo relacionada con sus dos obje-tivos principales: el solido deformable y el flu-ido en movimiento.

Para deducir la ley de Torricelli consider-

amos un tanque cilındrico cuyo diametro es Del cual tiene una area transversal es S1 conte-niendo un fluido hasta cierto nivel h por enci-ma de un agujero, como se indica en la Figu-ra 1. Nuestro recipiente drena por un pequenoorificio en la parte inferior de diametro d yseccion S2 de tal forma que (S1� S2). La ve-locidad de evacuacion del fluido a la salida deeste orificio la llamamos v2. Bien si aplicamosla ecuacion de Bernoulli en las dos seccionesdel tanque tenemos lo siguiente:

P1 + gρ1 +ρv1

2

2= P2 + gρ2 +

ρv22

2(1)

Ahora considerando que la presion P queactua en ambas secciones del tanque es la mis-ma presion atmosferica, y del mismo modola densidad ρ es la misma en la ecuacion deBernoulli, la ec. (1) toma la forma:

gh1 +v1

2

2= gh2 +

v22

2, (2)

adeaas sabemos que el caudal que sale deltanque esta dado por C = vS, entonces con-siderando la ecuacion de continuidad v1S1 =v2S2 podemos obtener de esta ultima la sigu-iente expresion:

v1 = v2S2S1

, (3)

1

Figura 1: Ejemplificacion del modelo del que se de-duce la ley de Torricelli.

y de la ec. (2) obtenemos:

v22

2=v1

2

2+ g(h1 − h2) . (4)

Sustituyendo a v1 y despejando a v2 se ob-tiene:

v2 =

√√√√ 2gρ(1− S2

2

S12

) , (5)

donde y = h1−h2, y al aplicar la condicion deS1 � S2 entonces podemosobtener la expre-sion que encontro Torricelli:

v2 =√

2gy . (6)

Por definicion, la velocidad de la superficie delagua se puede escribir como:

v1 = −dydt

. (7)

Con esto, llegamos a la ecuacion:

y(t) =

(√h− S2

S1

√g

2t

)2

. (8)

El tiempo de vaciado del tanque T ocurrecuando la super

cie del agua alcanza la altura cero: y = 0.Ası, calculamos:

T =

√2

2

(S2

2

S12 − 1

)√h ∼=

S1S2

√2

g

√h . (9)

En la aproximacion, no tomamos en cuenta elhecho que la velocidad de salida del lıquido de-crece cuando la altura del lıquido en el tanquedisminuye. Una velocidad de salida mas altaprovoca un tiempo de vaciado menor.

Podemos comprobar que la velocidad v1 esuna funcion lineal del tiempo, pues la funciony(t) es una funcion cuadratica:

v1 = −dydt≈ S2S1

√2g − S2

2

S12 gt . (10)

2. Objetivos

Comprobar la ley de Torricelli y utilizandola ecuacion de continuidad y de Bernoulli cal-cular el tiempo que le toma a un recipiente conlıquido vaciarse como funcion de la altura dedicho lıquido.

3. Protocolo y dispositivos ex-perimentales

3.1. Tiempo de vaciado

Materiales:

- Probeta graduada perforada con un orificioabajo.

2

- Agua.

- Cronometro.

Metodologıa:Primeramente medimos el diametro de am-bos orificios del tubo perforado para obten-er ası los radios r1 y r2. Realizamos medidasdel tiempo que tomaba en vaciarse una probe-ta con diferentes cantidades de lıquido. Real-izamos 9 diferentes mediciones, desde 850 mla 50 ml, en decrementos de 100 ml cada vez.Para contar el tiempo que le llevaba vaciarseal recipiente a cada altura diferente, utilizamosun cronometro. En el momento que veıamosal agua llegar a la base del agujero de sal-ida parabamos la medicion. Realizamos estocon tres cronometros simultaneamente, cadamiembro del equipo manejando uno. Al mo-mento de llenar la probeta tomamos medidasmuy cercanas a la base para asegurarnos queal momento de ajustar linealmente los datos,la recta pasara cerca del origen.

3.2. Evolucion de y(t)

Materiales:

- Tanque cilındrico perforado por orificio aba-jo.

- Agua.

- Sensor de posicion Pasco.

- Interfase DataStudio (500) y computadora.

- Soporte universal.

Metodologıa:

Lo primero que hicimos fue montar elequipo: el sensor de posicion ajustado en el so-porte universal fue colocado a una altura su-ficiente para que este detecte los cambios dealtura de agua contenida en una probeta quepusimos debajo del sensor. Conectamos el sen-sor a la computadora y con la interfase DataS-tudio se hizo la medicion de posicion y de ve-locidad de la caıda de el agua de la probetadesde cierta altura h hasta que se termino devaciar el tanque. Para estas mediciones, previ-amente realizamos distintas pruebas para ase-gurar que el sensor si detectara cambios deposicion del agua, asi como la distancia a lacual empezaba a detectar los cambios.

4. Mediciones:

4.1. Tiempo de vaciado

Radio de la probeta:r1= 0.345 my radio del orificio de debajo de la probeta:r2= 0.00235 m

h± 5× 10−4 [m] T ± 0,005[s]

0.30062607 52.56

0.26525829 48.91

0.22989052 45.19

0.19452275 41.73

0.15915498 37.62

0.1237872 32.94

0.08841943 27.07

0.05305166 20.04

0.01768389 10.57

Tabla 1.-Tiempos de vaciado para las diferentes

alturas que medimos.

3

4.2. Evolucion de y(t)

Altura de la columna de agua en la brobeta:30.00 cm

Las mediciones que obtuvimos con DataStudioestan graficadas en las Figuras 2 y 3.

Figura 2: Resultado de la medicion de posicion conrespecto al tiempo.

Figura 3: Resultado de la medicion de velocidad conrespecto al tiempo.

5. Analisis

5.1. Tiempo de vaciado

Segun la ec. (9) el tiempo T de vaciado debeser proporcional a la raız cuadrada de la altura,

esta relacion se muestra en la grafica Figura 9:

Figura 4: Grafica de tiempo T contra la raiz de alturah con respecto al tiempo.

La interseccion con el eje de las ordenadasno se da en el cero porque el sensor de posicioncomenzo a tomar lecturas solamente hasta queel agua se encontraba a a 12 cm de distanciadel mismo, desplazando el origen de la tomade datos a la derecha del cero.

Segunla ec. (9), la pendiente de la lınea deajuste debe ser:

S2S1

√g

2= 97.31s/m1/2 . (11)

Y nuestro ajuste lineal arroja una pendientede 100.98 s/m1/2 El error relativo de nuestrovalor experimental es de 3.76 % con respecto alvalor teorico. Esta diferencia se debe a los re-tardos en el manejo del cronometro, pues siem-pre parabamos la cuenta despues de ver que yano seguıa fluyendo lıquido.

5.2. Evolucion de y(t)

Como se vio en las tablas de resultados, losvalores obtenidos si tienen el comportamien-to desperado, de acuerdo a las ecuaciones que

4

rigen este comportamiento.

y(t) =

(√h− S2

S1

√g

2t

)2

, (12)

Vemos en esta ecuacion que la forma que debentener los datos es lineal (de la forma y =mx + b) con respecto a

√y(t), la grafica cor-

respondiente (Figura 4) nos muestra el valorde la pendiente que resulta de nuestros datosque es -0,0092m1/2/s, mientras que calculandoeste valor con la ec. (10), nos queda:

m = −S2S1

√g

2= − 0.0037m2

1.73× 10−5

√9.81m/s

2

=-0.0102(m1/2/s

)

Lo cual es muy aproximado a lo que obtubi-mos con nuestros datos experimentales, ya queel error es 9.8 % .

Figura 5: Grafica de Raiz de posicion y(t) ec. vs tiem-po t.

Como vimos, la funcion y(t) es una funcioncuadratica asi que el comportamiento de la ve-locidad es una funcion lineal del tiempo, porlo que nuestros resultados, mostrados en laFigura 3 estan de acuerdo a esta teorıa. La

pendiente que obtubimos con nuestros datos(y = cx + b) es de 0.000196 m/s2 y el espera-do, calculandolo don la ec. jhygb:

c = −S2S1g = 0.0002m/s2.

Como vemos, este nuestro resultado difiere delvalor calculado solamente con un 2 %.

6. Conclusiones

Para la practica de vaciado del tiempo devaciado, de acuerdo con los resultados teoricosel resultado es muy bueno y la diferencia de3.76 % que se obtuvo se la atribuimos a la fal-ta de precision al momento de tomar los tiem-pos de vaciado con el cronometro, esta fuentede error quedo muy patente al comparar eltiempo de vaciado que medimos los diferentesmiembros del equipo, nunca teniendo los tresla misma lectura. A parte de esto era compli-cado determinar cuando se habıa terminado devaciar la probeta y nunca detenıamos la tomade tiempo al mismo nivel de vaciado.La segun-ta parte, de evolucion de y(t) tambien nuestrosresultados se ajustaron a lo calculado de acuer-do a la ecuacion de Bernoullie y a la ley deTorricelli.

Bibliografıa

1. T. E. Faber. Fluid Dynamics for Physicists, Cam-bridge University, 1995.

2. Enzo Levi. Elementos de Mecanica del Medio Con-tinuo, Editorial Limusa, 197 5.

3. R. K. Nagle, E. B. Saff. Fundamentos de ecuacionesdiferenciales, Addison Wesley, Wilmington, 1992 .

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4. Manual de practicas, Laboratorio de Medios Con-tinuos, Anne Cros, Universidad de Guadalajara .

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