vacker och spännande matematik
DESCRIPTION
Vacker och spännande matematik. Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet. http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik. Den Gyllene Kunskapstriangeln. Kunskap. Själv-förtroende. Intresse. Oväntade och vackra resultat väcker intresse…. 10. 10. 10. 10. 2358. 7614. 7. 8. 5. 6. 3. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Vacker och spännande matematik
http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik
Lars-Erik PerssonLuleå Tekniska Universitet
Den Gyllene Kunskapstriangeln
2
Kunskap
IntresseSjälv-
förtroende
3
Oväntade och vackra resultat väcker intresse….
4
Den magiska attraktorn
47167641-1467
1010
47168532-2358
1010
76146174
2358 6174
5
67146642-2466
1010
6642
617447167641-1467
1010
Den magiska attraktorn
667146642-2466
1010
7218
6174
47167641-1467
1010
34478721-1278
1010
69937443-3447
1010
46269963-3699
1010
Den magiska attraktorn
7
• Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror lika) och räkna på!
• Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid till det magiska talet 6174 efter högst 7 upprepningar!
• Vad händer om du gör samma sak med 3-siffriga eller 5 siffriga tal?
Den magiska attraktorn
8
Talet kallas för Kaprekars tal efter den indiska matematikern D.R. Kaprekar (1905-1986), som upptäckte egenskaperna hos talet år 1949.
6174
Den magiska attraktorn - historik
Den magiska attraktorns pedagogiska värde
9
10
Fibonaccis kaninproblem
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144… = Fibonaccitalen
3 5 8 13 21 34 551,5 1,667... 1,6 1,625... 1, 616... 1,619... 1,617...
2 3 5 8́ 13 21 34
89 5 1 5 11,618... 1,618 kallas DET GYLLENE SNITTET
55 2 2
= = = = = = =
+ += »®
http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers3.shtml
11
Pentagon
12
Pentagon och det gyllene snittet
Förhållandet mellan längden av en diagonal och en sida är det Gyllene snittet
Upprepa proceduren i den inre (mindre) pentagonen och du får en ny femuddig stjärna (Självlikformighet)
618.12
15
13
Leonardo da Vinci - Nattvarden
a
b
618.12
15 ab
14
Gyllene snittet hos människanHela längden
gyllene snittetHuvud till fingertopp
Huvud till fingertoppgyllene snittet
Huvud till navel
Huvud till navelgyllene snittet
Bredd mellan axlarna
Bredd mellan axlarnagy
Armbåge till fingertopp
=
=
=
= llene snittet
Huvudet formar en gyllene rektangel och ögonen är mittpunkten
Armens, benens och fingrarnas delning
15
En gyllene rektangel
Höjden är sidan och basen diagonalen i enPentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet
http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm
16
a bGyllene snittet:
aba
ba
sätt xba
xx
11
012 xx
121
21
2
x
251x
17
Att förstå på flera olika sätt (flera sinnen) väcker intresse…
Räkneregler
( )2 2 22+ = + +a b a ab b
a b
a
b
baaa=a2
b2ab
19
”Snickartriangeln”
5
4
3
2 2 23 4 5+ = (9+16=25)
20
Pythagoras sats
2 2 2a b c+ =
c
a
b
21
Finns det fler ”Snickartrianglar”?
Ja tex:
a = 5, b = 12, c = 13
52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169)
men även
a = 99, b = 20, c = 101
(9801 + 400 = 10201)
22
Finns det fler ”Snickartrianglar”? I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar
tex. alla tal av typen:
a = m2 – n2
b = 2mn m > nc = m2 + n2 n = 1,2,…
är snickartrianglar eftersom
a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 Exempel:
m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101
Exempel:
m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101
23
Pythagoras sats
Ett ”vackert” bevis
Pythagoras sats:
a2 + b2 = c2
”Ytan av stora Kvadraten”(a + b)2 = c2 + 4(ab)/2
a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab
a2 + b2 = c2
25
Finns det heltal a, b, c som uppfyllera3 + b3 = c3 ?
Svar: NEJ!
Finns det heltal a, b, c som uppfyllera4 + b4 = c4 ?Svar: NEJ!
osv….
Fermats gåta
Fermats gåta
P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han
bevisat att det inte finns några heltal
a, b, c som uppfyller an+ bn = cn
för n = 3,4,5..osv
Påståendet var sant men kunde
bevisas först 1995 av A. Wiles
27
Lösning av spännande problem väcker intresse…
28
Födelsedagsproblemet
• Hur stor är sannolikheten för att minst två personer i en grupp med n personer har födelsedag samma dag?
29För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer!
n sannolikhet
23 50%
30 70%
41 90%
47 95%
57 99%
Födelsedagsproblemet
30
Lösning födelsedagsproblemet
1 2 3 4
1 2
3 1 2
1 2 3
Personer: A ,A ,A ,A ...
364 Sannolikheten att A och A inte fyller år samma dag är
365363
Sannolikheten att A inte fyller år samma dag som A och A är 365
Sannolikheten att A ,A och A inte fyl
o
o
o
1 2 23
364 363ler år samma dag är
365 365364 363 343
Sannolikheten att A ,A ,...A inte fyller år samma dag är ... 0, 4927365 365 365
Sannolikheten att det finns minst två peroner med samma födelsedag bland
×
× × × »o
o 1 2 23A ,A ,...A
är 1 0,4927 0,5073» - =
31
Schackbrädesproblemet
Schackbräde utan två hörn
Schackbrädet har 64-2 = 62 rutor
Kan vi täcka alla rutor med 31 dominobrickor ?
Svar: Nej! (Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en dominobricka täcker en svart och en vit…)
32
Snabbräkning på Gauss vis
1 2 3 ... 100 ?+ + + + =
C.F. Gauss (1777-1855) fick följande problem som 10-åring
33
1 + 2 + 3 + … + 100
100 + 99 + 98 + … + 1
101 + 101 + 101 + … + 101
Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050)
( )På samma sätt inser man att
11 2 3 ...
2
n nn
++ + + + =
Snabbräkning på Gauss vis
(100·101)/2 = 5050
34
PlattproblemetAntal plattor = N
Hur långt om N = 1 ?• L = ½
Hur långt om N = 2 ?• L = ½ + ¼ = ½ (1+½)...
Hur långt om N är godtyckligt ?
L = ½ (1+ ½ + 1/3 + … + 1/N)
Exempel:
N = 3 L = 11/12
N = 4 L = 25/24
N = 100 L ~ 2.6
N = 1000 L ~ 3.8
35
Spännande exempel från modern matematik väcker intresse…
36
Von Kochs snöflingekurvaEtt exempel på en (fraktal) figur som har oändlig omkrets men ändlig innesluten area.
Area på snöflingan är 8/5 gångerså stor som bastriangelns area.
Längden av kurvan efter n steg = (4/3)n
37
Fler fraktaler….Juliamängder och MandelbrotmängdMandelbrotmängden kan ses som ett register
där varje punkt ger en Juliamängd.
38
Fler fraktaler….Juliamängder och Mandelbrotmängd
• Den vanligaste Juliamängden fås ur den rekursiva ekvationen
f(z) = z2 + c där
z = en punkt i komplexa talplanet och
c = är en punkt i Mandelbrotmängden
• Den franska matematikern Gaston Julia gjorde sin fundamentala upptäckt redan 1918.
• Benoît B. Mandelbrot upptäckte sin mängd först 1976. (Varje c i Mandelbrotmängden ger en Juliamängd).
39
Fler fraktaler….
Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor
40
En resa in i Seahorse Valley…
41
Möbiusband
• Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje!
• Den kan konstrueras genom att en av ändarna på en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan ändarna sätts ihop.
42
• Denna typ av ytor är uppkallade efter den nederländske matematikern och astronomen August F. Möbius (1790-1868).
• Han beskrev den ungefär samtidigt som en annan matematiker, Johann Benedict Listing, år 1858, men de gjorde det oberoende av varandra.
Möbiusband
43
Möbiusband
…i tekniska tillämpningar
44
Möbiusband
…i konsten
”Endless ribbon” av M. Bill 1935
45
Möbiusband
…i konsten
”Immortality” av J. Robinson
46
Möbiusband
…i konsten
”We have died and gone to Mobius heaven” av Teja Krasek & Cliff Pickover
47
Möbiusband
…som frimärksmotiv
48
Referenser
1. Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008
2. Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, 1998
3. Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, 1991
4. Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, 1997
5. Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, 2003
6. Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008
49
7. Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1988
8. Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1989
9. Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, 2001
10. Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, 1998
11. Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998
12. Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982
13. Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993
Referenser
Kunskap
IntresseSjälv-
förtroende
Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!
Den Gyllene Kunskapstriangeln
51
Magisk kvadrat
Känd redan under Zhou-dynastin i Kina 1122-256 f.kr.
=”Mini-Sudoku”
Placera talen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 så att summan i varje rad, kolumn
och diagonal = 15
52
53
Magisk Kvadrat
• Magiska kvadratens historia sträcker sig, enligt flera kinesiska legender, mer än 4 000 år tillbaka, till kejsaren Yu-Huangs tid. I dessa legender fick kejsaren en gång syn på den gudomliga sköldpaddan vid floden Los stränder. På sköldpaddans rygg fanns ett mönster av 3 x 3 rutor, och i rutorna fanns ett antal prickar som symboliserade talen 1 till 9. Summan var densamma på de tre raderna och i de tre kolumnerna och de två diagonalerna. Talen bildade en magisk kvadrat av tredje ordningen - Lo Shu. Det finns bara en möjlig lösning på en sådan kvadrat om man bortser från speglingar och rotationer.
http://fof.se/main/hjarnbruk/01_1bruk2.htm
54
Sudoku - matematik
Suuji wa dokushin ni kagiru
~ ”en siffra som måste förbli ensam”
Su doku ”en ensam siffra”
Sudoku
55
Sudoku - matematik
• New York 1979 (H. Garnes)• Japan 1984 (Nikoli)• 1997 – 2003 W Gould konstruerade ett
datorprogram som genererade sodukun automatiskt
• Han publicerade ett Sodoku i The Times 12 november 2004!
Då EXPLODERADE det!
56
Sudoku - matematik
• Hur hittar man sitt eget Sudoku?Svar: WEBBENhttp://www.goobix.com/games/sudoku/• Hur många Sudokun finns det?Svar 1: Det finns 5 472 730 538 väsentligt olika
slutkonfigurationer!Svar 2: Totalt finns det
6 670 903 752 021 072 936 960 Sudokun!Räknades ut 2005 av B. Felgenhauer
57
Sudoku - matematik
• Hur många rutor med siffror måste det minst finnas i ett Sudoku
Svar: Man vet ej!
Det minsta man hittills hittat är 17
59
Sudokus pedagogiska värde
• JA! ALLA kan träna systematiskt och logiskt tänkande (vilket vi gör för lite) utan att först kunna en massa matematik
• Varför inte en morgonsudoku som träning för hjärnan som komplement till kvällens joggingrunda
60
Referenser1. Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har
en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008
2. Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, 1998
3. Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, 1991
4. Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, 1997
5. Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, 2003
6. Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008
61
7. Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1988
8. Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1989
9. Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, 2001
10. Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, 1998
11. Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998
12. Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982
13. Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993
Referenser
Kunskap
IntresseSjälv-
förtroende
Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!
Den Gyllene Kunskapstriangeln
63
Vacker och spännande matematik
http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik
Lars-Erik PerssonLuleå Tekniska Universitet