Postopki obdelave signalov

3. vaja – vzorčenje Vzorčenje je postopek, pri katerem iz časovno zveznega (analognega) dobimo časovno diskreten signal. Najpogosteje vzorčimo na enega iz naslednjih načinov:

- z odčitavanjem vrednosti signala v enakomernih časovnih intervalih sT (perioda vzorčenja) [ ] )( STnxnx ⋅= , ∞<<∞− n ,

sfsT 1= - izračunamo iz enačbe (funkcije), postavljene v časovo diskretno domeno

[ ] 122 ++= nnnx

Vzorčen signal predstavimo kot niz vzorčenih vrednosti. Za harmoničen signal lahko zapišemo: [ ] )ˆcos()cos()( φωφω +=+== nAnTAnTxnx ss

sfsT ωωω ==ˆ - normirana kotna hitrost

sss ff

ff

ff ==== ππ

πω

πω

22

22ˆˆ - normirana frekvenca

Teorem vzorčenja (tudi Shannon-ov teorem), ki predstavlja osnovo digitalne obdelave signalov, pravi da mora biti frekvenca vzorčenja sf najmanj dvakrat večja od najvišje frekvenčne komponente signala maxf , če želimo signal pravilno reproducirati. Nyquist-ova frekvenca Nf pa je najnižja frekvenca, ki ustreza

temu pogoju. Pri reprodukciji signala uporabimo samo frekvenčni pas 22NN ff f <<− .

max2 ff s ⋅≥ , max2 ffN ⋅= Postopek vzorčenja s seboj prinese dva pojava, ponavljanje in pregibanje, ki ju moramo poznati, da razumemo omejitve, ki jih postavlja teorem vzorčenja. Za ponazoritev ponavljanja vzemimo signal:

[ ] )2cos( 0 φπ += snTfAnx , Zapišimo sedaj drug signal, ki se od gornjega razlikuje v frekvenci, in sicer ji prištejemo večkratnik vzorčevalne frekvence sflff ⋅+= 0 , ∞<<∞− l :

[ ][ ]nxnTfAnlnTfA

nTlfnTfAnTlffAny

ss

sssss

=+=+⋅+==++=++=

)2cos()22cos()22cos())(2cos(

00

00

φπφππφππφπ

Pokaže se torej, vse signale, katerih frekvenca je vsota osnovne frekvence in večkratnika vzorčevalne frekvence, po vzorčenju zapišemo z enakim nizom vzorcev. Za ponazoritev pregibanja pa se spomnimo, da je kosinusna funkcija soda, ter da velja: )cos()cos( θθ −= Matematično zato lahko predstavimo harmonični signal kot njegov 'negativi dvojček' (neg. frekvenca )

)cos()cos( φωφω −−=+ tAtA Zapišimo sedaj še tretji signal, ki se od 'negativnega dvojčka' prvega signala razlikuje v frekvenci, in sicer ji prištejemo večkratnik vzorčevalne frekvence sflff ⋅+−= 0 , ∞<<∞− l :

[ ][ ]nxnTfAnTfAnlnTfA

nTlfnTfAnTlffAnw

sss

sssss

=+=−−=−⋅+−==−+−=−+−=

)2cos()2cos()22cos()22cos())(2cos(

000

00

φπφπφππφππφπ

Ponovno lahko torej najdemo celo družino signalov, ki jih po vzorčenju zapišemo z enakim nizom vzorcev.

1.) Teorem vzorčenja lahko preverimo kar z naslednjim poizkusom. V Matlab-u vzorčite harmonični signal frekvence 440 Hz, in sicer na dva načina:

• Z običajno uporabljeno vzorčevalno frekvenco 44,1 kHz (ki je bistveno višja od Nf ) • S frekvenco 700 Hz (ki je manjša od Nf )

Vzorčenje naj traja 5 sekund. Dobljena vzorčena zvočna signala poslušajte z uorabo funkcije sound(x,fs).

a) Kolikšna je v našem primeru Nyquist-ova frekvenca? Nf = ________

b) Ali sta dobljena zvočna signala enaka? ________

c) Kolikšna je frekvenca zvočnega signala po vzorčenju v drugem primeru? 2f = ________

2.) Vzemimo še en primer z uporabo zvoka. Tokrat bomo vzorčili harmonični signal, katerega frekvenca s

časom po naslednji enačbi tf *200= . Vzorčimo tako kot v nalogi 1.) : • Z običajno uporabljeno vzorčevalno frekvenco 44,1 kHz (ki je bistveno višja od Nf ) • S frekvenco 700 Hz (ki je manjša od Nf )

Vzorčenje naj traja 5 sekund. Dobljena vzorčena zvočna signala poslušajte z uorabo funkcije sound(x,fs).

a) V prvem primeru je zvočni signal: naraščajoč utripajoč (označi odgovor)

b) V drugem primeru je zvočni signal: naraščajoč utripajoč (označi odgovor)

3.) Oglejmo si, kako vzorčenje vpliva na graf signala. V Matlabu vzorčite dva signala, prvi signal naj ima

frekvenco 1f =20 Hz, drugi pa 2f =30 Hz. Oba naj imata amplitudo A =1, ter fazni zasuk φ = 0 . Vzorčite s frekvenco sf =50 Hz. Vzorčenje naj v obeh primerih traja 4 periode signala 1f . Vzorčen signal si lahko ogledate s uporabo funkcije stem(n,x).

a) Koliko vzorcev ima vzorčeni signal? =N ________

b) Kateri signal je pravilno vzorčen glede na teorem o vzorčenju? 1f 2f (označi odgovor) c) Katere frekvenčne komponente sestavljajo vzorčen signal 1f zaradi ponavljanja in pregibanja?

Skicirajte tako, da ločite med tisitmi ki se pojavijo zaradi ponavljanja in tistimi zaradi pregibanja! Označite interval frekvenc, ki jih uporabimo pri rekonstrukciji.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

d) Katere frekvenčne komponente sestavljajo vzorčen signal 2f zaradi ponavljanja in pregibanja?

Skicirajte tako, da ločite med tisitmi ki se pojavijo zaradi ponavljanja in tistimi zaradi pregibanja! Označite interval frekvenc, ki jih uporabimo pri rekonstrukciji.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e) Iz vzorčenih signalov rekonstruirajte signala *

1f in *2f . Za rekonstrukcijo uporabite funkcijo

SigReconstruction(x) (glej navodila za namestitev spodaj), ki kot vhodni parameter sprejme niz vzorcev. Skicirajte oba rekonstruirana signala. Ocenite frekvenci rekonstruiranih signalov. Komentirajte dobljene rezultate!

Za namestitev funkcije 'SigReconstruction' morate na vaš računalnik namestiti datoteko 'SigReconstruction.m', ki jo najdete na portalu MMK na strani predmeta POS. Datoteko shranite npr. na namizje ali katero drugo dosegljivo mapo. V Matlab-u bodite pozorni na levo zgornje okno. Pojdite na zavihek 'Current Directory', ter preverite, če je na seznamu tudi datoteka 'SigReconstruction.m'. Če ni, prestavite lokacijo na mapo, v katero ste shranili datoteko. Funkcijo kličete tako, da v ukazno okno vpišete >> SigReconstruction(x) kjer je x niz, ki predstavlja vzorčen signal, katerega želite rekonstruirati.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1