valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4...

330

Upload: duonghanh

Post on 18-Aug-2018

241 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ����������� � ��� � ������

������� �������

������ � ����

Page 2: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

Page 3: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��������

� ��� ���� �� �� ��� ������� �

��� ��� ���� �� � � � ����� �� ��� ���� ����� � � � � � � � � � � � � � ���� ��� ������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� ������� �� ��������� ��

��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� ��

��� ����� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� !��"� �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����# !��"� �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$��$ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����% �� �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&��� '�(����� )��"�� * �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��& �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#��� ��� * � '����" * �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� ��!������ "� ��� ��� � + � ��

#�� ,�- � � ��� � ��� .�"/�� )��"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&#���� ,�- � � '�0��"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&#���� ��� � ��� .�"/�� �/� )��"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #

#�� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #�#�� ��� ���� '����" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #�

#���� ��� !��"��"�1� ��/ 2� ��� ���� '����" � � � � � � � � � � � � � #$#���� ��3�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #�#���� ��� .�� '����" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #&

#�# �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $ #�$ )��"� *�� "�"��� � � ��"�"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�#�% �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�

# $����!�� �� %����� ��������������� ##

$�� 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $$$���� 2� �� � ��� * 1��� �� � 4�"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %#

$�� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %�$�� �� �� �� �����"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�# 5������� � � 5�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Page 4: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

# ��������

$�$ � �������"�� �� 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

$�% 4�"���� � � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

$�%�� ��� ������� �������"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

$�%�� ��� ������� �������"�� � ��� ��"�"� � ��"� � � � � � � � � � � � ��

$�� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

& '����������� (�

%�� .���� ���� �3��� � � '���"��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&

%�� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &%

%�� ��� 4�"����"���� ����( �� !�"��� � "� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�

%�# �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

%�$ ��� ��(��( 6����"� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

%�% �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� ��) � �������� ��#

��� ��� �� - �� � 4�"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$

��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� ����� "�( 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��# �� !��������"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��$ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��% �� �� '������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��%�� ��� 5������ �����"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��%�� 4� ���7�"�� '����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$

( � �!���� ������ ���

��� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� � 4�"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� 5��� �������"�� � �� ���� 1����� � � ���� 1��"�� � � � � � � � � � � � � � � �#$

��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#�

��# .���- 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�

��$ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�

��% 5��8� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$#

��� 9����"�� 2��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$&

��� 5��� � !��1�"�1� ���" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

��& ��� ��"���"�� �� ���� 1����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%�

��� ��1� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%#

� *�!��� � �!�� �&�

�+ %����� ��������������� ��#

� �� 4�"�� 4��"������"�� �� � �� �� �� �����"�� � � � � � � � � � � � � � � � ��$

� �� � :��� ; �� � )��"� 5���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$

� �� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� �� �� �� �����"�� � � � � � � � � � � � � ��%

� �# .���- !���� �� 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� �$ ��� 4�"�� �� � �� �� �� �����"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%

� �$�� 5��� <����"�����( !�= �� �� �� �� �����"�� � � � � � � � � � � � �&�

� �$�� ��"�"�� � ���" � <�1� )��"� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&%

� �$�� ��� ���� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&�

� �% �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �� ��� >��� �� � ���� 2�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 5: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�������� $

�� $��,�- ����� �� $�.������ /��!����� �+�

���� ������ 4�-�1 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &���� 4���"�� 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��#���� 4�-�1 ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$���# �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�� "���� /���!� � �!�� ��#

���� ����" �3���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��#���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%���� ��� !�"��� � " � � )����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������# �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#

�� ���� �0���� � ������� � �

���� 5����"� ���� !���� ���7�"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#����� 5���"�� ����( �� 5��� ��0�� " ����"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#$���� '���"�1� � � ����"�1� �� �� �� �����"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$ ���# 2��"�� �� '�/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$����$ '��� !��������"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$����% ��� 5� ���� )���� !��������"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$%���� ��� 4��� '� ��� * 1��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

� ����� 1�� 1����� '���������� *�!��� � �!�� �&�

�#�� ��� �� ��"�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����#�� ��� 5���"�� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����#�� *"��"�1� 4�"���� 2� �� �� 5(�"��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�#���� ����( �� �� 1��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��#�#�# �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%�#�$ ��� '�/� 4�"��� 2� ���� 1����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�#�$�� ��� 5���"�� * 1��� '�/� 4�"��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �& �#�$�� ��� !����"�1� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&#�#�$�� ��� �������" !�����"�� �� ��� 4�"��� � � � � � � � � � � � � � � � � �&%�#�$�# ������� ���� 1����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #�#�$�$ ��(����� 9��"�� "� � � ��"���"�� �� ���� 1����� � � � � � � � � � � � � %

�#�% �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�#�� '���"�1� 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �#�� 2� �"�� � �� 4�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� ��� 1��������� ������� �� ��.���� ��#

Page 6: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

% ��������

Page 7: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��� �� ���

�� ����

��� ��� ����� ��� �� ����� �� ��� ���� ����

���

�� ��� /�"�? �� ���� "�� ��� ����? �� �"�� ( �? �� � �� � ��"� �� � � = �"��( �� � �"� ����"�� �� * "��� ��-? "�� �"�"�� ? � � ����"�� ����"�� � �� �� � ��= ��� ����"�� � "���� �� ��= �� ��

���� � � � �� � �� � � �� �

"�� �"��� ����?

� � ��� �� � � ��

� � "�� �"�� �� ����? ��= �� �� "�� ���� /���� �� "�� 3��"�� " �� "/� � "�����

� ����

���� "��" ��� � �� � �+ �

�� ���� ����"� �� � �� � ����"�� � "�� �����/� � ���"���

���

� � � #�������#��

�� ���/ � "�� ���"��? �� �� ���� /�( �"/�� "�� ��� � � "�� ���? �� .(

� ����(? (�� �� ��� /��� "� ����� ��� "�� �"�� �"�� �� ����� *" �� ������� "��" � ���"�� �����/� � ����� ����"���? ���"�� ��� �� � ������"�� �� ����"�� � ������ ������� ���������"��� /��� �" � ��1�� /���� �� /�( "��( �� ������ ������ �"�� "�� "������� * �� ���? ������ �� �"�"��� "� /���� �� ������ �� "��� ��"� "���� �� "�� �� /������ @���� �1��� "A ��"�� ��� ������ �� � ��� ���� ��" �� � "��"�� �" "��� ���� �"��1� "� � "�� �����

����� �2�2� B + B � ����������� �� �� ���������

����� �2�2� B + � �������� ���������

Page 8: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� ��� ���� ��� ����� � ����

����� �2�2� �� ��� � �� �� ����� � � � ���� ���� B :�; + � ������� ��������� ��� ���

����� �2�2 :B ; B � + B : B �; � :���������� �� �� ����������

����� �2�2# + � :���������� �� �� ��������������

����� �2�2& :; � + :�; � :���������� �� �� ��������������

����� �2�2� � + � :����������� ���������

����� �2�2( �� ��� �+ � �� ����� �� ���� ���� �� + ��:������ �� ������������ ��� ���

����� �2�2� : B �; + B ��:���� ������ ����

����� ������ �� - �/ �� "�� =��� ������ � � � ( ��" :"��� �� �� ( �"��� �������; /���� ��� "/� ���� ����"�� � ��"���(� � "�� ��1� ������ �� ������ � =���� !�1���� � ���"��"�� �� ��= �� � "�� ����� /�( ( � � B:�; � � � �

���

�� *" �� �������

"��" "�� ���� �� ������"��( ������� /�"� "���� ������ � "�� �� �� "��" �� � ��� �� ��"�� ����� ������� �� �����"�� � "����" � ���� ������ � � 0� �� ���� ����� ������� ��������� ���"�� ��1� �� 0��" � ������ �"�"��� " �� ����"�( /��" �� ������( "� ��-� "������� ������� �� �����"�� � 1����� � /�� �� ��1��� ����� � ��1���� � � ��"��"�� �� � ��� ���� ,�� �1� (�� ���� � ��""�� �� ����� ���" � ������� �������� /����� 1��1�� ��1���� � ��"��"�� ? "�� - �� ��1���� �� ���"������"�� ( "�� ���"������"�1�� 1��� �� 0��" � ����"�� � � "�� - �� ��"��"�� �� ����"�� �� "�� ����"�1� � 1���� ����?/�� (�� ��� �� "�� -

���

�� � /�� (�� ��� �� "�� - B:�; � * �� ( ����� "��

����� �� �� ����� /��� �������� �����" ��������(� ��� ���� �� "��� �� "��" ��"��"�� � � ��1���� �� �" ��"���( "�� �������"�1� ��/� ���� ��� � "��� �� � �"��� ������"( � � �������� ��-� %� �� #� !� (�� ��� :%� �;� # + �� � %� :�� #; + %� :��; + �C*" ��-�� � ��D�� �� ���� 8" �"C 6�/�1�? "�� �� ������ � �( ����"�� � �� ����"�� � ����"������"�� �� �������"�1� � � �� � ���� �� ����� /��� ����� *" �� �� 1� "�� �� "������( �� "�� ����"�� � � ��� �� ������ �� ���� � ��� ���" "� ���"� ����? �� (�� ���%� �� #� (�� /���� �����( � "���" �" �� "�� =�" �� "�� ��1� ��"� �"�1���

��� ��� ������� ������

>��" �� � ��� ��� ������ � �� ������ �� � ��� " � "�� �� �? � ������� ��� ���� ������ � ��� " � "�� ��� � /���� �� � ��� "�=�� � "�� ����� /�( ��� � "�� ��"���� ����� �"�� �� "�� ��� "� ���� :�� ; ��� "�=�� � ��� " /���� ����� �"� �� � � � /���� ����� �"� �� � * ����� � /�"� ������� ����? ���� � ��� " �� /�""� �� � B � � ����"������"�� � � ����"�� �� ��= �� � "�� ���" �1���� /�( ��0��" "� "�� �� 1� "�� "��" �� + ��� ����?

:�B � ; B :�B ��; + :�B �; B � : B �;

� �

:�B � ; :�B ��; + ��B ���B � �B �� �

+ :��� �; B � : �B ��; �

�1�( � 7�� ������� ���? �B� � /�"� ��B � �+ � ��� � � �3�� ���"������"�1� � 1����

�B � +

�� �

�� B �+

�� B �� �

�� B ��

E�� ������ ��1� "�� �����/� � "������

Page 9: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ����� � ���� &

������� �2�2� �� ����� ���� � ���� ������������ ��� �������� ���� �� ������ � � �� ���������� � �� �� ������ ���� �� ��� ��

��� =��� �� ������� ���� �� �� �"�� �� � � � ����"� " �� �"��"�� ����� �������� ���� �� "�� ������� �� 0���"� �� �"�� ( � ���7� "�� �� � ��1� "�� ����*" �� ��= �� �� �����/��

�B � � �� � �

,��" �" ���� �� �F��" � ��1� ������� ��� ����� "�� ����� ����������(? "�� �����/� ������� �� ���( "� �"�� � �

�B � �:�B � ; + �� B ��

'�3������ �2�2� ��� �� ������ ��� �� � ����� ���� �� ������

��B � � ���� B ��

���� ������� �� � �� ����� ���� � + �B � �

��� + :��;���

,�"� "��� ��= �"�� ? �" �� ����"� " "� �"� "�� �����/� �� .� ��� "� 1���( "���� *" �� �" "�� ��� �" (�� ��� "� �� �"�

�����, �2�2� ! "� � + �B � ��� � + �B ��� ��� �� � �� +�:�� �;� B : � �;�� ����

�� ������� ���� �� ����� �� �� ��� �� ���� �� �� � � � ��� :�� ; ��� ��� � � ��� :�� �; #��� �� � �� �� � ��� � � �� $��� ��� ����

2� �������? �� ���� "�� ���"� �� �"/�� :�� $; � � :�� �; � 2�� "�� ���"� �� ������

"��� ���"� �� �3����

�:�� �;

�B :$� �;

�+� � � "�� �"�� �� �? ��""� � � + �B �$ � �

� + �B ��� ��� + �� �� � � �� :� � �; :� � �; + :�� ��; :� B ��; + � �� �� � �� + � �"�� ���� "�� � �"�� �� /�"� "�� ���"� �� �������

������� ����? �� ��"� /�""� � "�� �� ������ ���� ��� /���� �� ������� ��"�5������ B � �� � ������� ���� ���

B � +�� B �

��

� B �B �

�� B �

��

��/ �"� "��" ��

� B �

��

B

��

� B �

��

+ �

� � �� ��

� B ��

�� B �

�� � ��� " � "�� � �" ������ �������? "��� ����"� � � �3�� � ���? � � G � ��; ���� "��"

��� � +�

� B �� �� � +

�� B �

Page 10: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� ��� ���� ��� ����� � ����

��� ���� ��� �� "�� ������� ��� �� "��

� :��� � B � �� �;

/��� � �� "��� � ��� 0��" ������� � � � +�� B ��

� �� ���� "�� ��� "�"( �� "�� ������ �� !� 4��1� /���� �����/��

������� �2�2 "� � � � ����� ��� �� � �� � ������� ����

G� :��� �B � �� �;H�+ �� :�����B � �� ��; �

/����4 *" �� ���� "�� ������ ����� �� � + �� 5������ �" �� "�� �� ��

G� :��� �B � �� �;H���

+ G� :��� �B � �� �;H�G� :��� �B � �� �;H

/���� ( � ���"�� �3����

+ ���� :�����B � �� ��; :��� �B � �� �;

+ ���� ::����� ��� �� �� �� �� �; B � :�� �� ��� �B ����� �� �;;

+ ���� :��� :�B �; �B � �� :�B �; �;

( "�� ������� �� "�� ���� � � � �� � �� "�� ��� �� "/� � �����

�������� �2�2# "� � � � ��� % � ����� ���� � ��� �� � ����� ����� � ���

���� �� � �� � �

/����4 ��" � + B � � � ��" � + ��� :��� �B � �� �; � "�� ���� ��� �� "�� ������� ���� .( !� 4��1�8� "�����? � ������� ���?

� :����B � �� �; �

�� � ��� ��" �� � �� � � � �( ��

�� :��� ��B � �� ��; + ��� :��� �B � �� �; �

���� �3���� �� + ��� � � �� � + ������ � � ���� �"� ��� :��; + ��� � � � �� :��; + �� ������ �� � �( ����� ��

�� + �B ���

�� � � � "���� ����

� +�B ���

�� � � �

� � �� "�� ��� ��"� �� � �� �� "�� ���

����������

��B ���

B � ��

��B ���

� � � ��

5� �� "�� ���� � � � �� � �� ������� �� ����� ��� "��� �� ����"�( � ���"� �" ����/���� ����" ��� "��� �������

Page 11: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� ��

���� �� �2�2& ���� �� �� ��� ���� �� ��

2��" �"� "��" � + �����

���

�B � ��

���

��� I�� � "�� ������ � "�� ���� �� "�� ��1�

������(? "�� ��� ��"� �� � ��

����

�:���; B ���

B � ��

�:���; B ���

/��� � + � �� �� �������? "�� ��"� ��

����%

�B � ��

�%

�� ���

�$

%�

B � ��

�$

%�

� �

���

��

��

B � ��

��

��

���� "�� ��� ��"� �� � ����� B �

���

�� �

��

� B ����

�� � � ���

��� ����"( "� = � ��� ��"� �� ���� � ���� "� ���"� ���� ���( �������

���� �� �2�2� ����� �� �������� � � ���

2��" = � "�� ��� ��"� �� ��� .( "�� ��1� �������� ��� � !� 4��1�8� "�����?

"���� ��� ��"� �� �� ���� B �

���

�� � � �

��� � �

���

�� �������? � B �� +

:� �;

�� �

����

B �

���� �

����� �

���

��"� ����� �

��� B �

���

��� �

��� � �

���

��+ � B �B & � � ��

� � �� + :� �;�� B �B &

�/��� "�� 3����"�� ���( �����? � B � B & �� �" � ���"��� /�"���" ��� � ������� �����

��� ��� � � ������� ���� �"� �� =���� ��"���(� � "�� ������ � '��� � � � �" ��������( � � �� "���� "/� =���� /���� �� ���� � �� �� ������ ��� ���� �� ��"� ������������� 6�/�1�? �" "� � ��" "��" ��� ������� �"�� � /�- �� � ( =��� � � "��� ���� ( �"���� 2� "��� ���� ? * /��� ��"� ��� "� "�� =��� �� ������ �� � ��"����� � /���������( � ��"�� "�� ��� � ������� ����� *� "��� �� � ( ���"? ������ �" �� "�� =����� ������� ���� /���� �� ��� "�

��� ��������

�� ��" � + $ B �&� 2� � ����

�� ��" � + � B �� � � ��" � + �� ��� 2� � ��� � B �� ��� � � ����

�� <�1� "�� ������"� ����"�� "� � B �% + �

#� <��� "�� ������� ��� ��"� �� � � "�� ������� ��� �� !� "�� ���� �� "�� ������"� ��"� �� �%�

Page 12: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� ���� ��� ����� � ����

$� *� � �� � ������� ���? ���/ "��� ����"� � � ������� ��� /�"� ��� + � � ��� + ��� �

%� !� 4��1�8� "����� ��(� G� :��� �B � �� �;H� + �� :�����B � �� ��; �� � � ����"�1�� "���� !��� "��� ������ �� "� �� "� ���� �� ��� � "����? �� �1� ���"�1� � "����C������ �

�� E�� �����( - �/ ������� �� ��� :B ; � � �� :B ; � � "���� /�� ���� "� ��1�!� 4��1�8� "������ ��/ ��� � !� 4��1�8� "�����? ���1� � ������ �� �� :$;� � � � �� ��� :$;� 5���4 I�� "�� � ����� "������

�� *� � � � � �� "/� ������� ���� � � "�� ���� ��� �� � � 1��1�� "�� � ��� � /����"�� ���� ��� �� � � 1��1�� "�� � ��� �� ���/ "��" � "�� ���� ��� �� �� "�� � ���� 1��1�� �� � B �� ����? ���/ "��" � "�� ���� ��� �� � ������� ���? �� � + ��� �

&� 2��"� � B � �� � �����" �� �� �� ���"���

� � ,�"� � B�� � "�� ��� :B �;�� B �B

�/��� � B �B �� �" � ���"���

� ( ��� ��� � � �( ��� �����

��� ������"��( ���"� � B �% �� � �����" �� �� �� ���"���

��� 2��"� � B �% �� "�� �����" �� "/� 3����"�� ���( ������ ���� �� /���� �� �" ����"��� ��"�� /�"���" ��� � ������� �����

��� *� �� � �� ������� ���� ��1� �� + �� � � "�� ���/ ( � ���"�� "��" �� � � � �� +�� � � � ��� ���� 1���( "��"

����� �� +

����� ��� * /��� "��� ��(� "�� �� 0���"� �� �

�����" �3���� "�� �����" �� "�� �� 0���"�� � � "�� �� 0���"� �� � ��� �3���� "����� �� "�� �� 0���"���

�#� 5������ � :; + ��� B ������� B � � �B ��B �� /��� ��� "�� �� �� ��� �����

5������ ���� "��" � :�; + �� ���� � � � � 5��/ �" �����/� "��" � :�; + �����

�$� * ����� "��" � + ��� 6�� �� /�(�

�� + �� +���� +

�:��;� +

� + ��

���� �� �����( � ���-��� ����" �" �� "��� ����"�� � /� � /�"� �"C *� ��? /��"�� /� �C

�%� !� 4��1�8� "����� �� ����( � �� � "�� �� * ��� "� ��� �" �/ �� �"�� �� ���� � "�? �" 0��" � "�����

� + ������ + :��� �� B � �� ��;��� + ��� :���; B � �� :���; + ��

�������? �3��� � �"� ����� �" �����/� � + �� �� � "�� ��1���� ������ ,��"���� "��� "��� (�� ���" !� 4��1�8� "�����C *� "��� � ����� � ��D�� �� �"/�� ���� � ���� "� � "��� ��/�� � � ���� � ���� "� � � "��� ��/��C

Page 13: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� � �� ��������

5���"���� �" �� ������( "� ���1� �(�"��� �� �3��"�� �� 2� ������� "�� ����� ����� �"� = � � � ���� "��"

B + � � � �� + �� :���;

��� ��" �� ����� ����? :� ; /���� ���1� �"� �3��"�� � �� ������ "�� ����"�� ��"� 2��������? (�� �� ��� "��" :$� �; + :� ; �� � ����"�� "� "�� ��1� �(�"��� �� ���1� "���? �"� "��" "�� ����"�� ��" ���� �" ��� �� �� � ( �3��"�� �� ������� ( � � 7�� ���"������ �"����� *" ���� ���� �" ��� �� �� � � �3��"�� �� ������� ( �"���� ����� "� � ���"������ "�� �"�� �3��"�� � 2� �������? � � ���1� "�� ��1� �(�"�� �� � � � �( �� � � ���1� "�� �(�"��

B + ��

����� �� ��� B :��; :B ; + � B :��; :�;� :���;

��� ���� � �3��"�� /�� ������� ( �� "���� "�� =�" �3��"�� ����� "� "�� ���� �� ����"�� ����"�� �� + �� ��� �� + �% � � �/? - �/� � + �� �" �����/� ��� "�� �"���3��"�� "��" B � + � � � �� + $�

,�( ����"�( ���� "�� �������� " �� � � �3��"�� /�"� � ���"���� �� � �"�� ����� "��" �" ��� �� "�� ����"�� ��"C ��� "/� �3��"�� � �� :���; �� �� "�� ���

�� + ��� �� + �� :���;

/��� �� � � �� �� �������� � � 1��1� � "�� 1������� ��� ����� �� "��" �� � �� � ���?"�� :���; ��� "�� ���� ����"�� ��" ��

�� + ��� �� B ��� + �� B ���� :��#;

,�( �� "���C*� :� ; ���1�� :���; "�� �" ���1�� "�� =�" �3��"�� � :��#;� ����? �" ��"��=�� ��� + ���

� � ��? �� �� �" ���� ���1�� �� + �� �" ���" ���1� "�� ���� � �3��"�� � :��#;� *� :� ;���1�� :��#; "�� �" ���1�� "�� =�" �3��"�� �� :���;� ���� ��� + ��� � � �" �� ��1� "��""�� ���� � �3��"�� �� :��#; �� 1��=��� �������? �� + �� � � �" �����/� :� ; �� � ����"�� �� "�� ���� � �3��"�� � :���;� ���� ���/� "�� ����"�� � "� :���; � � :��#; �� ����"�( "������ /���� ��� � "��( ��1� "�� ���� ����"�� ��"� �� ����� "�� ���� ���� � � �������/�"� � ��� �� �� "��� �� �� ( ��� 1������ "�� "/� � � �� ( ��� �3��"�� � "�� "/�� *" �� �"��� "�� ���� "��" /�� � � �3��"�� �� ������� /�"� � ���"���� �� � �"�� � ������ "� �"����? "�� ����"�� ��" �� "�� /���� �(�"�� ���� �" ��� ���

��� �"�� "�� � /���� ���� �" ��� �� "�� ����"�� ��" �� � �(�"�� �� �3��"�� � �� ���"��� ���"� � "�� �3��"�� � � � ��D�� " ���� 6�� �� � �"�� ��������

��

Page 14: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�# ������ � �� �����

���� �� �2+2� ���� �� �������� �� �� �����

B � B %� + �$�B � B �#� + $�

� B $� + �&:��$;

�� ���1� "��� �(�"�� ������ "�� ���� � �3��"�� ( :��; "���� "�� =�" �3��"�� �����"� "�� ���� �� ���� (������ "�� �(�"��

B � B %� + �$ B �� + �� B $� + �&

:��%;

��/ "�-� :��; "���� "�� ���� � � � ��� "� "�� "���� 4�� �������(? ������ "�� "����3��"�� /�"� :��; "���� "�� ���� � ����� "� "�� "���� ���� (����� "�� �(�"��

B � B %� + �$ B �� + �� + �

:���;

�" "��� ��� "? (�� �� "��� /��" "�� ����"�� ��� ���� �(�"�� ��� "�� ���� ����"�� �� "������ �� �(�"�� � � � "�� ��1�? � + �� ��� ��� � "��� � "�� ���� � �3��"�� ? �" �����/� B % + � � � �� + �� ��/ ��� � "��� � "�� "�� �3��"�� (����� B % B �� + �$ � � �� + ��

���� ������ �� �" ����( ���� ��D�� " ��� /��" (�� ��1� ��/�(� �� � � ���1� � ��� ��� �3��"�� � 2� �������? ������� (�� /� "�� "� ���1� � B $ + � � %� E�� ��� "������ "�� � "� �"� ����� �� "�� �3��"�� "��� ����1� � "�� ����"�� ��" � "�� (�� �"�� ��� �3��"�� /���� /�� ������ � ���� "� ��1� "�� � �/�� * "��� ����? (�� /���� ��� ��"� �"� ����� � � "�� ��� % "� �"� ������ ���� (����� + ���

* :���; (�� ����� ��1� �� "� ��� �� �����/�� ��� :��; "���� "�� �""�� �3��"�� "�"�� ������ � � "�� ��� :�%; "���� "�� �""�� "� "�� "��� ���� (�����

B � + �& + %� + �

��/ ��� :��; "���� "�� ���� � "� "�� "��� ���� (�����

+ � + %� + �

� �(�"�� /���� ��� "�� ���� ����"�� ��" �� "�� ���� �� �(�"���*" �� ������� "� /�"� "�� 1������ �1�( "��� (�� �� "���� ����"�� �� *" �� ����� "�

/�"� "�� �(�"�� :��$; �� "�� �����/� � @����� "�� ��"��A�� � � % �$� � �# $� � $ �&

�� �

*" ��� ����"�( "�� ���� � ����"�� �� "�� ���� �� �(�"�� �" ��� �" �� � ���"��� "��� ��

� ����� ?

�� ��

�� � � ����� ?

�� ���

�� � � � � ����� ?

�� %�#$

�� � ��� �/� ������ �

Page 15: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$

"� "�� �3��"�� � � "�� �(�"��� ���� "�� "�� �/ � "�� ����� "�� ��"�� ������ �� "�"�� �3��"�� ?

B � B %� + �$�

��/ /�� (�� ������ � �3��"�� /�"� � ���"���� �� � �"�� �3��"�� ����� "� �"����? (���� 0��" "�-� � � �/ �� "��� ����� "�� ��"�� � � ������ � �" /�"� � ���"���� �� � �"���/ ����� "� �"� ���� "�� =�" �"�� � ���1� � :��$; /���� � "� "�-� :��; "���� "�� =�"�/ �� "�� ����� "�� ��"�� ��1� � � ��� �" "� "�� ���� � �/?�� � � % �$

� � � � $ �&

�� �

��"� ��/ "��� ������ �� "� :��%;� ���" "�-� :��; "���� "�� ���� � �/ � � ��� "� "��"���? �� � � % �$

� � � � �

��/���� �� "�� ���� �� :���;� E�� ��" "�� ���� * ����� ,�"� "�� �(�"�� �� � ����� "����"�� � � �����/ "�� �������� �� ��"�� �/�"��� � �/�? ���"���(� � � �/ ( � � 7�� ���? � ������ � � �/ ( � ���"���� �� � �"�� �/ ����� "� �"� ���� �� "��������"�� � ���1�� "�� ����"�� ��" � ��� ���� ����� ����"�� � �� ������ �/ ����"�� ��

'�3������ �2+2� �� �� �� ������ ������� �� �� �������

&� '����� ��� ����

(� )����� � �� �� � ���% � ���� �

*� +��� � �� �� � ����� �� ����� �� ���� �� ���

���� �� �2+2� ,�� �� ����� ������� �� �� ����� �� #������� $B� ��� + ����B # � �� + ��� ��� �B % B $� + &�

��� ����� "�� ��"�� �� "��� �(�"�� ���� � # �� ��$ � �� ��� % $ &

��4��"���( "�� ���� � �/ ( �� "�� =�" �/ ( $? � � "�� "�-� :��; "���� "�� =�" �/ � ���� "� "�� ���� �� ��� ���"���( "�� =�" �/ ( �J$� ���� (������� � # �� ��

� �� % $ &

����/? ���� � � ���� �/ ����"�� �? "�-� :��; "���� "�� =�" �/ � � ��� "��� "� � "����"�� ���" �/ � � ������ "�� ���" �/ /�"� "���� ���� (�������� � # �� ��

� � � ��

�� �

Page 16: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�% ������ � �� �����

'�""� � � "�� 1������? "�� ���" "/� �/� ��( � + � � � � + ��� ���� �� ��������� ��"�� ���" �(�"�� �� �3��"�� � ��"��� �� ( "�� ��1� ����� "�� ��"�� ��� � ����"�� �6�/�1�? �" ��� "�� ���� ����"�� ��" �� "�� =�" �(�"�� �� �3��"�� �� ���� ���/� "��� �� �����"�� "� "�� "��� ��1� �3��"�� �� ,�� "��� ����� �? "�� �(�"�� �� ������ � �� ���"� "�

���� ������ �" � ������ � "��" ����"�� � ��-� "��� �� "�-� ������ *" �� �1� ����� �� � � �3��"�� � � � 1������ �� ���� �� �������? + B�� ���� �� �����( � ����"�� "� "����

���� �� �2+2 ,�� �� ����� ������� �� �� ����� �� #������� � � � $� + &� � � � + � ��� ��B + �%�

��� ����� "�� ��"�� �� "��� �(�"�� ���� � �� �$ & � �� �� � �%

��������� "�� ���" �/ /�"� � "���� "�� "�� �/ ����� "� � "���� "�� �""�� �/� ���� ��1���� � �� �$ &

� �� � ��

�����" "�-� �� "���� "�� ������ �/ � � ��� "� "�� �""����� � �� �$ &

� ��

����-� "�� ������ �/ � � ��� "� "�� "�� � � "�� ��1��� "�� "�� �/ /���� ����"� ( ���� � �$ �

� ��

�� �

���� ��(� + � � � � + � B $�� ����� "�( � �� �3��� � ( ���� �������? "������"�� ��" �� "��� �(�"�� �� + � B $�� + � �� � � � + � /��� � �� ������"��( ��"�(���� �(�"�� ��� � � = �"� ��" �� ����"�� � � � "��� �� � ���� ������"�� �� "�� ����"�� ������ �� /��" �" �� ��� ���"? = �� � "�� ����"�� � "� "�� �(�"���

��� ��� ��� � �� � � = �"� ����"�� ��" ����� � �3��"�� � ��1� � � �( � � 1���������� 2� �������? �� ���� "�� �3��"�� + � *" ���� 8" ��""� /��" �3�����

'�3������ �2+2# - ����� �� ��� #������� �� � ��� �� #�������

�����

��� + �� � � + �� �� �� � � ���

�� �� � ���� � �� �� � ���� ��� �� �� ��� � �� ��� :�� � � �� �; ������ ��� ���� #������� �����

�� �����"�"�� ��1�? ���� � �(�"�� �� �� �� �3��"�� � ��( ��1� � � �3�� ����"�� ? �����"�� ? � � = �"��( �� ( ����"�� �� *" "� � ��" "���� �� "�� � �( "��� ����� /���� �� ���� �� �� �� �(�"���� 2�"�����? (�� �� ����"�( "�� ���� "�� �� "� ���1� � ( �� ���(�"��� E�� /�"� "�� ����� "�� ��"�� � � �� �/ ����"�� � � "�� (�� ��" � �������(�"�� � /���� �" �� ������� "� ��� "�� ����"�� � ��� �� ���� � "�� ���1�"�� "��" "���/ ����"�� � �� �" ��� �� "�� ����"�� ��"� E�� �� ��1� ��� �3��"�� � "�� 1������?��/� �3��"�� � "�� 1������? �"�� *" ���� 8" ��""�� E�� ��/�(� ��" �� "�� ����� "����"�� � � �� "� /�- � �"� ����� "�� �� �� ��� "�� �����

Page 17: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� ��

���� �� �2+2& ,�� �� ����� ������� �� �� ����� �� #������� �#�B �$ + �%��� &� # + �##�� ��B + ��� ��� �B � + ���

��� ����� "�� ��"�� �� �����#� �$ �%�� & �# �##��� � ��� � ��

���� �

�� ���1� "��� ���"���( "�� "�� �/ ( � &� "�� ���� � �/ ( #�� ��� "�� "�� �/ "� "������ � �/? � � ���"���( "�� "�� �/ ( �J� &� ���� (���������

�#� �$ �%� �$ ��$�� � ��� � ��

���� �

��/ "�-� � "���� "�� "��� �/ � � ������ "�� ���"� �/ ( "��� ����� "� � "���� "�����"� �/� ����

�#� �$ �%� �$ ��$�� � �� � � ��

���� �

��-� :�#�; "���� "�� "��� �/ � � ������ "�� =�" �/ ( "��� ����� "� � "���� "�� =�"�/� ��� �/�"�� "�� "��� � � "�� =�" �/������

��� �#� �#&� �$ ��$ # �� � � ��

���� �

��-� ���� "���� "�� "��� �/ � � ��� "� "�� �""�� �/� ��� "�-� $ "���� "�� "����/ � � ��� "� ��� "���� "�� ���� �� 2� ���( "�-� #� "���� "�� "��� �/ � � ��� "� #"���� "�� "�� �/� ���� (����� ����

#&� ��#�% # �� � �$

����*" �����/� + ���

��� + ��� + � � � � + $�E�� ������ ���"��� ���1� � �(�"��� �� �3��"�� �� 6�� �� ���� ���������

��� ��������

�� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? � � B #� + %� B �� + �� � ��B + �#�

�� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �B � + $��� B%� + ��� � � + ��

Page 18: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ������ � �� �����

�� �� ���� "�� �(�"�� �$ B � � � + � � �$� � � � + � .�"� �3��"�� � �3���7�� � � �� �$ B � � � + �$ � � � � /���� �� �3��1��� " "� + � ���� � �� �� �3��� � ("�� �� .�" /�� + �? � + �#� � � + �� ������� � "� "���3��"�� �? �" ���� 8" /�-� ,�(C

#� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �B�#B�$� + ��� �B#B�� + $� � � �B % B � � + ���

$� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �$�� B$� + � �B#�#� +��� � � �#� � B ��� + ��

%� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? &��B#� + ���� ����B%� + ��$� � � ��� � + ��

�� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? &� ��B #� + ���� ���B%� � �#� + �&�� � � ���B # � &� + ��&�

�� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? %$B �# B �%� + $#%� ��B� $B � � + %��� � � �#B �� B ��� + ����

&� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �� B #� + �&� B �� + �� � ��B + %�

� � <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �B�B�� + ��� �B�B�� +��� � � #B B �� + �&�

��� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �� � �# � � � + �����B # B �� + #� � � �B # � �� + �%�

��� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �� B � B $� + ����� B� B $� + ��� � � �#B B $� + �&�

��� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �B��$� + ��� �B��$� +��� � � B � $� + ���

�#� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? � � � �� + �� � #� + �� � ��B + ���

�$� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? � � � �� + %� � #� + �� � ��B + �#�

�%� 2�� "���� "�� /����" �� <��"� �� �$ ��� �� ��� "�� "�� /����" �� *������2�� "���� "�� /����" �� *����� �� %% ��� �� ���� "�� ��1� "�� "���� "�� /����"�� <��"� � 2�� "���� "�� /����" �� <��"� ���� "�� /����" �� 5������� �3���� �& ��� ��� .� ����� /���� ��� �� ��� "��� �� "�� �"���� 2� � "�� /����"� �� "�� ��������

��� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? ��&B� + �� �����B� +�# #� ��B + ���� #B � + �#�

��� <�1� "�� ������"� ����"�� "� "�� �(�"�� �� �3��"�� �? �&B�$ + %%����B�� + �&?�B + #? � � � + ��

Page 19: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��

��� �"�"�� ? � � ���� "� "�� ������"�� �� ����� ���"� �� � ������� ����� 5� �� �1�(��� ��� �� ���� � ������� ���? "��� �����( �� ����7�� "�� ����� �"�� �� �� � "��������"�� �� ��� ����� ���"� �� � ��� ����� * ��� "� �1��� /�(� � ���" /��"���" �� ��� � ������� ���� /���� �� �� � ����� "�? "�� �(��� � /��� � ����� *� �"�� �" ����? ��/�(� ���- � �

'�3������ �2+2� ��� �� � �:�� � � �� �; K � � � �� � + �� � � �� �� � :�� � � �� �; + :�� � � �� �;�� ��� ��� �� �� � � + �� � � �� �� � + � � .�� :�� � � �� �; � �� � �� �� ���������� �� ����� :�� � � �� �; �� �� ���� ��� ��� �� �� �� ���� � � � ��� �� ��� ��������� ��

�: � � � �� � �� � � � �� ; K � � ��

�� � �� �� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ����� ����� �� ����� + � : � � � �� ; �� ��� ��� �����

���� :�� �� #�; � �� � � :�� �� #�; � �� �" :�� �� #�; �+ :�� �� #�; ������? �1� "����� "������ ���� �� � 1��1��? "��( �� 8" ��"�� ��� * ��"�����? "�� =�" � "��� �� �"�3����

��� �����"�� ��� �=�� �� �� �� �� � � ��� �� � ��� "��� �����( � �������� �� ����������� 6�� �� � ���" �1��/� 2��" �� ���� "�� ���� /�� � + �� ��� ��� "����= �"�� ? �� + �� ������ "��" � �� ��� "�=�� /�"� "�� ��� "� �� � �� �� ���- �" "�� ����� � ���� � ���1� "��" "��� ���� "� "� ��� "��(� � � ��� " � "��� �� � /�"� � ��� ����* �"�� /��� � ��� ��� ��"��� �� /��� (�� �� � "��� �� �� ��/ ������� � + �� � �� ���� "/� �� �� /���� � "����" ���� �"�� �" ���" � ���� �� ���/ � "�� �����/� ����"���

% � :�� %;

��

��:��� �;

�&

Page 20: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� ��

��"��� ��/ (�� �� ��� "��( � ��� " ���/ � "�� ��� � /�"� "�� ����� ���? :�� %; �E�� �� "� "�� ���" � ���"� �� �� � � � "�� �� � ���"� �� �� %� 5������(? (�� �� ��� "��(� �"�� ��� " � "�� ��� � /�"� "�� ����� ��� :��� �; � <� "� "�� ���" � ���"� �� �� � � �"�� �� � ���"� �� �� �� ��� ���� (�� �� "� "�� ���" �� "��" "��� �� � � ��� � "�� ����"�2�� "��� ���� � �? �1�( ����� ��� ��"��� �� � � �3�� ��� " � "�� ��� �� �� 1����(?"�-� � � ��� " � "�� ��� �? (�� ����� ��/ "/� �� �� "����� "�� ��� "? � � 1�"���� � � "���"�� ���7� "�� � � ��"��� � � �3�� ��� "�? � � "�� ���7� "�� �� � � "�� ��1� ���"��� � � � "�� 1�"���� �� � � "�� ��1� ���"��? ���� "��" "�� ��� " �� � "���" �� ��� "�=��/�"� "�� ����� ���? :�� �; � * ���"? ��� "� � "�� ��� � �� � ��� "�=�� /�"� ��������� ������ "� "�� /�( "��" ��� "� � "�� ��� �� � �� ��� "�=�� /�"� ��� ����� ��/������� � + �� �� 0��" ������ ��? "�� =�" "/� ����� �"�� ��"��� � � ��� " � � ��� ����""� � "�� "��� ����� � " ��"��� � ��/ �� �� � ��/ (�� ��? ���� �� � � /��"��"��� ��� �� ����"�1� � ���"�1�? "��� ��"��� �� � ��� " � ������ ����? :�� #��$; /������� "� ��"��� � "�� ��� " � "�� ��� � "��" ���� /�"� :�� #; � � "�� "� �� ���/ "������ � � ���"� �� �� $ "� �"�� � � �3�� ��� " � ������ E�� ��� "��" "�� ����� "����������� � "� ��� "� � ����� 0��" �� "�� ����� ���� ������ � "� ��� "� � � ��� � � ��� ��� ��� ���� ������ � "� ��� "� � � �� ��

E�� �� 8" �"�� ��� � � ��( "��" (�� �� � �( � "���"�� � � �� ,��" �� (�� /��� "���"�� � "�� ��"�� �� "/� �0��"�C E�� /���� ��� "��� ����� �"�� "� ������/��� "�� =�" �0��" �� � � (�� /���� ��� � �"�� "��� ����� �"�� "� ������ /���"�� �"�� �0��" �� ����"��� �������? (�� /���� ��� "� � �� ����� � � � *� "�� "/��0��"� ��1�� ��� �? (�� /���� ��� � "��� ����� �"� �� /���� �� � �"�� �������?�� ���� � ��" �0��" /���� �� ����� � � � ������� (�� /� " "�� "�����"�� �� "��� �0��"�6�/ �� ( ����� �"�� /���� � �����C E�� /���� ��� � � �� "�� "�����"��? "����� "�� ����"�� �� "�� ��� " � "�� �0��" � � � � ��� �� "�� "���� ���� (�� /���� ���"� � �� ����� � �� � 4� ( �"�� �������� �� � ��1� � 5���"���� � �� 1�( ����� ������ ��"� "�� ���� � �������"�� � "� ��� ��� /�� "��( �� "(� � "� ������7� ��=" ��0��""� �� �"�� "�� *" ���� ����� � ������� � ��(��� /�� ������ "( "� ���1� ��� ������� � �����"��

���� �� �"�� /�(� "� ��� "��( ��� "� � ����� /�"� "��� ���� �" "�� � � ���� "���� "�� ���" ����� * "��� ����? "�� ����� �"�� �� - �/ �� ��"���� ����� �"�� ��"�!����"��� /�� � 1� "�� "��� ���� � "�� =�" ���� �� "�� ��1� "�� "� �� "�(� * /��� ��"� �" �"�� "� ��/ � ���"� �"�� �"/�� "�� ��� " � � ���� ��� �� ����� � � �"� ��"���� ����� �"���

��� �����"�� ��� �=�� �� �� � � �� � � � �� �" �1������ ������ ���� ���( �� ������� �� "� "�� ��� � � �� �

��� ����� �� ��

���� �� "/� ������� ����"�� � �� � /�"� ����� "� �� �� � � � �� ����"�� � � "�� �"���� ���"������"�� ( ����? ������ ������� * "�� ���� �� � � "�� ������ �� ������� ���� /���� � "�� ���� �� �� "�� � �( ����/�� ������ �� ��� ����� ����? "�� ��������/�(� ���� ��� � � ��"�� �����

'�3������ �2�2� /� � � �� ��� � � � ��� ��� � ���� ��� �� � �� �� ���� ��

�� + � :�� � � �� �; � :��� � � �� ��; � :���;

������ �������� �� � �� �� ���� ������� ��� �������� ������� ������� ������� � ����� �� �����

���� ������� ����� ���� �������� �� ��� �������� �� ���� ������� �� !���" #���������" ��������" ���

#������ ���� ���� �� ���� �� ���� ���� � ����� ��� �� ����� �� ���� � �$#���� �� ��� �� %������

������&������ �������� ����� �# ����� �� '������

Page 21: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� ��

���� �� 0���� �� ���� ������������� /� ��� � �� ��� �B � � �� ��� �� ���� ��

�B � + :�� � � �� �; B :�� � � �� �;� :� B �� � � �� � B �; :���;

,�"� "��� ��= �"�� ? "�� ������� ����"��� ��"���( "�� �� ������ � �� "�� �����/� �"������

������� �2�2� �� -�) � �� ��� �� ���� � � � ���� �� �� ������� ����

- B) + ) B -� :���;

�� ���������� �� �� ��������

:- B); B 6 + -B:) B 6; � :��#;

�� ���������� �� �� ��������

- B + + -� :��$;

�� ������ �� �� ������� �������

-B:�-; + +� :��%;

�� ������ �� �� ������� ��� � -��

� :- B); + �-B�)� :���;

:�B ; - +�-B -� :���;

� : -; + � :-; � :��&;

�- + -� :��� ;

/� �� ���� + + : � � � �� ;�E�� ������ 1���( "���� ����"��� ��� ����� 2� �������? �� ���� :���;

� :- B); + � :!� B ��� � � �� !� B ��;

+ :� :!� B ��; � � � �� � :!� B ��;;

+ :�!� B ���� � � �� �!� B ���;

+ :�!�� � � �� �!�; B :���� � � �� ���;

+ �- B �)�

�� ����� ��"��"�� �� ��= �� �� �� � � �B:��; �

��� ��������

�� )���( ��� "�� ����"��� :���;L:��� ;�

�� �����"� $ :�� � B ��� ����; B % :�� �� ����� �; �

Page 22: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��

�� !�/ � ���"�� �� "�� ��� "� � �� /���� �� ��"��� �� ( "�� �����/� � ����������

:�; :�� �;

:; :�����;:�; :��� �;:�; :���$;

#� !��� �" ��-� �� �� "� /�"� :�� �; B :�� �� �;C ������ �

$� !�/ � ���"�� �� "�� ��� "� � �� /���� �� ��"��� �� ( "�� �����/� � �����"������

:�; :�� �� ;

:; :������ �;:�; :��� ����;

��� ��� ���� �� ��

6�/ �� ���"� �� �"/�� "/� ��� "� � �� ��= ��C

'�3������ �2�2� "� � +:�� � � �� �; ��� � +:�� � � �� �; � ��� ������ �� �� � ������ �� �� �������� �� ������� ���� ��� ������ ��� �� ���� ��

������� ���� � ��� � � ��� �� ��

�����

�� � �������

���� �� ��� �� ������� �� ���� �� ����� " :�� �; �� ���� ��

" :�� �; � �� � �� K ��� �� # �� �

���� �� ��� �� ��� �� �� ����� � ��� � �� �� /� ���� � �� ������ �� �� ����� � ��� �� � ���� ��

2��" �� ��� �"� "��� �� � �� ����7�"�� �� "�� �"�� �� ���"� �� � �� ���� "�� ���"� ���"/�� "/� ��� "�? � � /�� ��1� ( "�� �����"� 1���� �� "��� ��D�� ��� ���� �� ��� �3��� "� "�� ���"� �� �"/�� "���� "/� ��� "� � �� ��/ �� � +

:� ;�

����/���

"�� �3��� ��" �� ��/�(� "�� ����"�1� �3��� ��"� ���� �" �� "�� ���� ������ �� "�� ��1���= �"�� �����" "��� �� � �( � � "�� � "�� ���� <����"�����(? "��� �� "�� ���" /�( "���= � ���"� �� /���� �� ��� ��� "�� '("������ "������ �� ���� "�� �����/� � ���"��

Page 23: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� �������� �� �� ��

� "�� ���� "��" � + ��

:�� �; :�� �;

:�� �;

���� �� "/� ��� "� � "�� ��� � /���� ��"���� ����� �"�� �� :�� �; � � :�� �;�����"�1��(� ��� "�� ����� �� � 0�� � � "���� "/� ��� "� �� "�� �(��"� ��� �� � ���" "�� ���/���� �� ���� �� "�� ��"� ��� ���/ � ��""�� �� ��� ,��" �� �"� �� �"�C ��"� "�� �� �"���� "�� ����� �� "��� "�� ��� �� �� � �� � � �� � �� � �������? "�� '("������ "������������ "�� �� �"� �� "�� �(��"� ��� �3����

�� � ��� B �� � ���

����+

:� � �;

�B :� � �;

�����

/���� �� 0��" "�� ������ �� "�� ���"� �� ��1� ��1��

��/ ������� � + � � � ��" :�� �� �; � � :�� �� �; � "/� ��� "� � �� � �� ���� "�������/� � ���"�� � /���� � � �� "�� ����� �� �� 0�� � "�� "/� ��� "� � � � ��""�� �� � 0�� �"�� ��� "� :�� �� �; � � :�� �� �; �

:�� �� �; :�� �� �;

:�� �� �;

:�� �� �;

.( "�� '("������ "�����? "�� �� �"� �� "�� ��""�� �� � 0�� � � :�� �� �; � �:�� �� �; �3����

:� � �;�B :� � �;

�����

/���� "�� �� �"� �� "�� �� � 0�� � � :�� �� �; "� :�� �� �; �� 0��" �� � �� � �������? ("�� '("������ "����� ���� ? "�� �� �"� �� "�� �� � 0�� � � "�� ��� "� :�� �� �; � �

Page 24: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�# ��

:�� �� �; �3���� ��:� � �;

�B :� � �;

�������

B :� � �;�

����

+:� � �;

�B :� � �;

�B :� � �;

�����

/���� �� ���� 0��" "�� ���"� �� ������ ��1������ ������"�� "�� ����� " "��" "�� ��1� ��= �"�� �� ���� ���� �� ����� (��

�� �" �� "� �� ��/� � ���"��� � �1� ����� ���� ��� � �" "��� �� �" ����� /�"�"�� ������ �� ���"� �� � � ( ��� �� ���� ��� �� 6�� �� � ��������

���� �� �2�2� ���� �� ������� ���� �� ������ �� �� � � +:�� ���#� %; ��� � +:�� ����� ;

I�� "�� ���"� �� ������ � � /�"�

��� ��� + :�� �;�B :�� �;

�B :�#� :��;;� B :%� ;

�+ #�

�������? ��� �� + #����� "��� ���� "� "� ��= � � "�� ���"� �� �"/�� "/� ��� "� �� "�� �� �"� �� � �"����"

�� � 0�� � � "���� "/� ��� "�� 6�/�1�? "��� �� �"�� � ����� ���" ��� � �"����" �� ���� � ����� ��= � "�� ���"� �� "� � "�� �� �"� �� ���� �"�� ��" �� �� � 0�� � � "���� ��� "��*" /� 8" � �� � � "��� ��- �" ����"���� "��� ��" �� "�� � �� �� ��

� �"�� �� 1� "�� /���� �� ������( �����/��? ���������( � �� � � �� �� "� �� �"� "��=�" ����� � " �� � ��� " � �� ( � � "�� ���� � ����� � " ( � * �� �" �� ���"���("� �� �"� "�� =�" � � ���� � ����� � "� �� 0��" ������� /���� "�� "��� ����� � " �������� ��

���� �� �2�2� ��� �� �� ������ ����� � �� �� ��� ������� ���� :�� �� �; ���: � �� �; �

��" :� � �; � ���� � ��� "� ��� �:� �;� B : � �;� B :� � �;� +

�� B : � �;� B :� � �;��

53��� � �"� �����

:� �;�B : � �;

�B :� � �;

�+ � B : � �;

�B :� � �;

� � ��

� � �B �# B � � # B �� � %� + � B � � � B $ B �� � #�

/���� �������

��B �#� # � %� + �� B $� #�

� � ��

�B � B �� + �&� :����;

5� �� "���� �"��� �� �1�����? "�� ��" �� ��� "� /���� �� �" "�� ���� ���"� �� ��� "�� "/���1� ��� "� �� ���"� �� "�� ��� "�? :� � �; ���� "��" :����; ������

Page 25: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� �������� �� �� �$

��! ��� ���� �� ��

6�/ �� ���"� �� �"/�� "/� ��� "� � �� ��= ��C *" �� �� � � ����"�( "�� ���� /�( ���� �

'�3������ �2 2� "� � + :�� � � �� �; ��� � + :�� � � �� �; � ��� ������ �� �� � ���� ����� ��� �� �� �������� �� ������� ���� ��� ������

������� ���� � ��� � � ��� �� ��

�����

�� � �������

���� �� ��� �� ������� �� ���� 1 �� ���� � � ��� � � ����� ���� � ����� � �� � � �� �� ����� ������ ��� ���� � � � ���� �� � + B � � � �

��� ��� B � + :��;

����

2�� ��� + ��� +� ��� ���� �� ������� � �� � �� +� �� ����� " :�� �; �� ���� ��

" :�� �; � �� � �� K ��� �� # �� ����� �� ��� �� ��� �� �� ����� � ��� � �� �� /� ���� � �� ������ �� �� ����� � ��� �� � ���� ��

��� �����/� � ����� �� ������ "�� �����( 5��/�7 � �3����"(� 2��" ��� �� � ����������� /���� ��-�� "�� ���� ������

%���� �2 2� /� � � � �� ����� � � � ���� ���� �� + ��� ��� ��� + ��

/����4 ��" � + � �� � + � � �"��/���? ��" � + �� �

%���� �2 2� "� � + :�� � � �� �; ��� � + :�� � � �� �; � ��� ������ �� �� � ������������

����� ��� ��� � :����;

/����4 ��" � � � ���� "��" ��� + � � �

����

+

���������

���������

����

+

����

��

�+

���������

����� ��� ���� � :�; ���

��

� B ��

� B ��

�/��� � � ��

� :�; +

����

��� B ����

��

����

�B ��

����

���

+ ���� B ��

���������

�����B �� ����

Page 26: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�% ��

*� ��� + "�� :����; �� �1�����( "�� ������ �"� ����� �3��� 7��� �������? ��������� �+ � � "�� � :�; �� � ���( ����� �� ����� "/� /���� ���� ��� � ��� �������? �"��"�� ��� � 7����? "/� 7��� � � � ����"�� 7��� *� �" ��� "/� 7���? "�� ��1� � �3����"(���" � 1����"�� ������ � "��� ���� "�� ���� ���" ��� ���/ "�� ����� �������? �"��"�� ��� � 7��� � ����"�( � �� 2�� "�� 3����"�� ������ "��� ����� � ����"�( /��

#

���������

������

� # ���� ����

� � �� ���������

����� ��� ����� �������� ���� ��1�� "�� � �3����"(�

���� �� ��"�� ����"��� �� "�� ���"� �� /���� �� �1����� �/� �� "��� /���� �����/����"�( ��� "�� ��= �"�� ��

��� �� + �� � �� �

��� �� � � � �3���� � �( �� � + ��

��� "��� �� ���� "�� ����"( �� ���"� �� �� - �/ �� "�� "�� ��� � �3����"(� ������ "��"� � ( "�� ��� "�� ��� �� "�� �� �"�� �� "/� ����� �� ��/�(� �" ����" �� ���� �� "�� "��������

�������� �2 2 "� ��� � ������ �� �� � ���

��B �� ���B ��� �

/����4 I�� � "�� ��1� �����?

��B ��� �����

: B ; : B ;

+����

��� B �������

B����

���

���� B �

���������

�����B ���� ���� B � ��� ���B ����+ :���B ���;�

� � �� ��� "�-� � �3��� ��"� �� �"� �����?

��B �� ���B ���

� � "��� ��1�� "�� ������(�

Page 27: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� ��

��" ��������

�� E�� �� ��1� "/� ��� "� � �� � :#� $��#; � � :�� �� ; � 5��/ "�� ���"� �� ��� "����� "? :�� #���; "� "�� =�" �� "���� ��� "� �� "�� ���� �� "�� ���"� �� ��� "��� ��� ""� "�� ���� � �� "�� ���� �� ��� �� ��� "�� ��"� "��" � + ���

� � # + ���� � �"�� �

"����� /���� /��� � 1���� �� �� ��� ���� �� ��� "�? :� � �; � � :�� �� ��; � ���1� (�� "����� ��� � "�� ���"� �� �������

�� � ����� �� "�� ��" �� ��� ��� "� /���� �� �" � ��1� ���"� �� ��� � �� ��� ��1� ��� "�2� � � �3��"�� �� "�� ����� /���� �� "�� ��" �� ��� ��� "� "��" �� �" � ���"� �� ��# ��� "�� ��� " :�� �� �; � �� �

�� � ����� �� "��� �" "�� ��� " :�� �� ��; � �� ��1� � ����� � �� ���"� �� ��� ��� "�?:� � �; /���� ���"� �� "� :�� �� ��; �3���� �� ,�"� � �3��"�� �� "��� ����� � �� �

#� 5������ "�� ���"� �� �"/�� :� ; � � :�� �; /�� ��= �� "� �3��� "�� ���� �� "��"/� ���� �� �� � � � � �� � !�/ � ���"�� �� "�� ����� �� "��� �" "�� ��� "?: � ; �� "��� �"�� �� ���"� �� �� �����

$� �����" "�� ���� ����� �����" "��� "��� ��" "�� ���"� �� �"/�� "�� "/� ��� "� ��� ��B � � �� �

%� *� :�� �� ��; � � :�� �� ��; �� "/� ��� "� ���� "��" �:� � �;� + � �� � + �� �� ���/"��" � "��� �� "�� ����� ���"� ��?

��������� � ������ � ����

��� # �� ,��" /���� ����� �� (�� ���� "�� /�( �� ������ � ���"� �� ��1� � '���� # :�:� � �;� + ��������� ��� � �� � �� �;C

�� <�1� � ������ ������"�� ��� � "�� ���"� �� ������ �� "�� ��" �� ��� "� /���� �� �"� �3��� ���"� �� �"/�� "�� "/� ��� "� :�� �� ��; � � :�� �� ��; �

�� 5��/ "��" � � �� ���� "����( �3��� "� ��� � � "��" "�� "/� �"�� � �� ���"� �� ��1�����"�( "�� ���� "�� ��

��# ���� �� ��

�� ��� /�"� �� ���� "�� ���� � + �� �� * "�� ���� /��� � + �� "�� � �( �� � �� 0��"�� + �� �������? �� � � � � �� "/� ��D�� " ��� "� � �? �� ����

+ � B � :� � �;

/��� � � � � � "�� "�"���"( �� ��� ���� ��� "� /��� ��1� �� E�� ��� "��" (�� �� ��/�(����1� "�� ��1� �3��"�� �� �� ���/� � "��" �1�( ��� " � � �� �� "��� ���� ��/ �� ����"�� ��� �� !��� � ������ ������ ����C ��" :�� �; � � :�� �; � "/� ��D�� " ��� "�� �� /���� �� �� "�� �� � � �� �? �� 5������ "��" � �+ �� ��� �� :� ; �� � ��"�(��� " � ��

Page 28: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��

����������

:�� �;

:�� �;

:� ;

��/ ( ������ "�� ����?

� � � � �� � �

+ � �� �

� � �� "�� ��� " ����� ��� �� "�� �� �? �� �� ��1� ��

� � + � :� �; �

*� � �� ��= �� (

+ � B � :� � �; �

(�� �"�� "��� �3��"�� ��� � /�"�

+ � B�� :� � �;

+ � B � :� � �; �

�������?

:� ; + :�� �; B � :� � �� � � �; �

*� � + �� "�� � ����� �� "�� ��� " ����� ��� ��1�? + �� 5� �� "�� "/� ��1� ��� "��� ��D�� "? � �+ � � � �� (�� �"��� �"�� "�� ��1� ������ �� "�� �� �� .������ �� "���?"�� �����/� � �� "�� ��= �"�� �� � �� � � �� �

'�3������ �2&2� - �� �� �� ���������� �� ��� ��3 �� ������ �� ��� �� �� �� �������� �� ������ �� �� �� �

� + �� B ���� � ��

��� � � �� ���� �� 0���� �� � �� ��� �� #������ ��� �� �� ��� � �� ��� ���� ��� �

��"� � �� �"�� "��� � �������"�� � "� '�(����� ��"� "��� ��= �"�� ����� /�"� "������� �"�� �� � �� � � "/� ���� ��� � � � �� "��� �� �� ���"� " /�"� ����� �� ���"��

%���� �2&2� "� ��� � �� ���� � �+ +� ��� � + ��B �� � � � �� � ���

/����4 ��" �� + � � � ��" ����� + � �� "��" �� �+ ��� ��� ��B � + ��B ���� � ��

�� � �� � + ��B � �� � �� � �� "�� � � "�� "/� ��D�� " ��� "�? �� � � ��� ���� ��1�� "��������

Page 29: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� �&

'�3������ �2&2� "� ��� � � ��� ������ �� �� � �+ �� �� �� ��� �� ����� � �� �� �� ����� �� �� � �� ���� �� � �� ������� �� ������

� + B � :�� ; � � � G � �H

���� �� �� ����� �� �������� �� ��� ����� ��

��� - �� �� � �� � ��/ /���� ��� " �� � � � � /���� ��� �� �" �� ���/ � "�������/� � ���"���

������

���� �� � ����� " �� � ��" �� � �� � ��� "�� ��1� !�= �"�� �

���� �� �2&2 ���� � �� ��� �� #������ �� �� �� �� ���� �� ������ :�� �� ; ���:���#� %; �

I�� "�� ��= �"�� �� � �� � ��1� ��1� "� /�"�

:� � �; + :�� �� ; B � :���%� %; � � � ��

��� ���� �� "�� /��? @�A? �"�� "�� "�� /��? @"��A �� "��� �� � = �"��( �� (��D�� " �����"�� �3��"�� � �� "�� ���� �� �� �� ��� "��� ������ � /�"� �$� ��� (���"�� � �����"�� �3��"�� �� "�� ���� �� � ������ "�� ���� ��" �� ��� "� �� �"�� ������ ��D�� �� �� "��( �� �"�� �� ��� ��D�� " 1����� �� "�� �����"�� ,��" ����� ��� "���K ��� �� � �� � ��" �� ��� "� �" "�� �����"�� ������"�� ��1�� ��� � ����"�� "�� "��"� *" "���� �� ��/ "�� ��" �� ��� "� �� �"�� ��� �1�����(? "��� �� �� ( /�(� "�"��� ��" � ��1� ��" �� ��� "� � � ���� �� "���� /�(� ������ �� "� � ��D�� " �����"���3��"�� �� "�� �� ��

��$ ��������

�� 5������ (�� �� ��1� "/� ��� "�? :��� ; � � :�� ; � �� � � � ���? � � ��� �����" �� ��� "� ������� (�

:� ; � �� K �:� ;� :��� ;�B �:� ;� :�� ;� + ��

�� - �/ �� � �������� ��� "/� ��1� ��� "� �� - �/ �� "�� ����� ��� "� �� "��

�������� 5������( "��� "� "�� �������

��B

��

��+ �� ���� �� � ��� ������� � ����(

������

�� ��" :�� �; � � :�� �; � "/� ��� "� � �� � <�1� � ������ ������"�� ��� � "�� ���L"� �� ������ �� "�� ���� ������ ����"� �� "�� �� � ����� " 0�� � � "���� "/� ��� "������ (�� /� " ��� ��� "�? :� ; ���� "��" �:� ;� :�� �;� + �:� ;� :�� �;� �

�� 2� � � �����"�� �3��"�� �� "�� �� � "����� "�� ��� "� :�� �� #� $; � � :��� �� � �; �

Page 30: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� ��

#� ��" :� ; + :� ��� :�; � � �� :�;; /��� � � G � ��H � !����� "�� ��" �� ��� "� � ��� L"��� �� � ��� ����

$� ��" :� � �; + :� ��� :�; � � �� :�; � �; /��� � � �� !����� "�� ��" �� ��� "� � ��� "����� � ��� ����

��% &�'����� (�� �� )� ��

5������ (�� ���� � ����"�� �� ,��" �� ����"� "C ���� �� ����( "/� "�� �� /���� ������"� "? ��/ ��� (�� ���� � � "�� ����"�� (�� ����� )��"�� �� ���� "� ����� "����,��" /�� 0��" ������� /���� � ������ � ���� 1��"�� *" ��� "/� ���� "��� � ����� "�?�"� ��� �"��� � � �"� ����"�� � <����"�����( "�� - �� 1��"�� �� ����"�� �� � ����� "� �����/ � "�� �����/� � ���"�� � /���� ��� "�� ����"�� �� � ����� "� �� �� ������ "� �"�� ���� 1��"� ������ "��( ��1� "�� ���� ����"�� ? "�� ����"�� � /���� "�� ��/���� "? � � "�� ���� ��� �"��� :�� �"�;�

����Æ����Æ

����Æ

����Æ

.������ �� "��� ���" "��" � �( ����"�� � � ��� �"��� �� ����"� "? �" �� ��/�(� �������"� ��" � 1��"� � � ��"�� ��"������( ������ ���� ��" �� � � � ����"�� �� � ����� " �1��"�� ��� ��� !�= �"�� ��%�� "��" �� � �� ���"� �� "�� ��� "� �� "�� ���

B � :�� ;

/��� � � G � �H � 5�"��" ��� ��� "���� ��� "� "� �"�� "�� ����"�� �� � ����� " �� L���"� � �� "�� ��� "�

+B � :�� ; � � � G � �H �

��� ��� " � �� ��� � /��� ����� " "�� 1��"��<����"�����(? "�� ��/? �� �� /�� ���� �� �" ��� "� � "�� ���� ����"�� � � "�� ��� ��

�" "�� ���� ? +� 2� �������? ��� "�� �����/� � ���"���

����Æ

����Æ����Æ

* "��� /�( 1��"�� �� � ��� "�=�� /�"� ����� "� �� �� ���� ��� �"��� �� � 1��"� ��"��� �� ( � ����"�� �� � ����� " �� � �� 0��" "�� ���"� ��

�"/�� "�� ��� " � � "�� ��� " �� .( "�� ���"� �� ������ "��� �3�������

���

:%� � ��;�

����

+ � � ��

Page 31: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � �������� ������ �� �� ��

� � �� - � ( 1��"� � �� "�� ��� �"��� �� - �3�������

��� !��

����+ �-� �

,��" �� "�� �����"�� ��� �=�� �� �� ����� ���"������"�� C *� � ����� "� "�� 1��"�? -� "�� �� �� "��" /�� �" �� ���� "� ����� �"� "��� �" "�� ���� ? "�� ����� " �� �� �" �"� ��� "�� �� /��" �� �-C

��-� +�

�����

:��;�

����

+

���

���

�� :�;�

����

+�������� ��

���

��

����

+ ��� �-� �

���� "�� ��� �"��� �� �- �3���� ��� "���� "�� ��� �"��� �� -� *� � �� ����"�1�? "�� "��1��"� ����� "�� ( �- ��� "�� ���� ����"�� �� "�� 1��"�? - ������ ���"���(� � ( "�������? �� � �( ��� "�� �D��" �� ����� � ��� "�� ���"� ���� ���� "�� � �" ���"� �� ��� � � (����� �"� ���� �/ ��� �� �"� � � � � "��� ������� �(�"�� "�� 1��"� �� ����� "�� ( ��*� � # ������ �� �����"�� � ����( �����" � "��� ���� ��� "�� � ���� ��� �� ��� � 2�� �/ � ? � /��� � ����� "� �� � 1��"� � �"��� �� � ����� " �� �� ����� "� � � 1��"��� 0��" �������� ��� �����/� � ���"�� �����"�"�� "�� �D��" �� ����� ���"������"�� �

���Æ

- �����Æ

�- ������

��-

��"� "��� �� � ������� 1��"�� /���� ��� " ��� � "�� ����� �"� ����� ����� ��

� � : � � � �� � �� � � � �� ;

/��� "�� � �� � "�� ��� ���" � � "��� �� 7��� � ��� "�� �"�� ������� 5�� "�� ���"�� � "�� ���� �� �� �

���

��

���

��

��

��

��

��� ����"�� �� � �� ����� "� �� "�� ��� ����"�� � <�1� � 1��"�? - + :��� � � �� ��; ��� �� "�� ��� ����� � " �� "�� 1��"�� ���� �� + : � � � �� � �� � � � �� ; � � �� "���1��"� ��1�� ����"�� � ������( � 7�� � �( � "�� ��� ����"�� � ����? - �/����� �� "�� ���

����� � " �� "�� 1��"� �� �3��1��� " "� - �/����� �� "�� 1��"� ������ �" ��1�� "�� � "(� "�� ��� ���" � � �� - + :��� � � �� ��; �

- +

�����

���

,��" ���� ����"�� �� 1��"�� ��� ��(������(C 5������ "/� ����� �� ������� "� �����0��"� ���� �� "���� /���� � ����� "�� ( � ���� 1��"� � � "�� "/� ����� ��"� �

Page 32: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��

"���"�� /���� (���� � �1���� ���� ��"� � � "�� �0��" /���� /���� ���� � � ���� 1��"�- �/ �� "�� ����"� "� 5������ "�� "/� 1��"�� �� � +

����� �� � � � +

����� ��

��� "�� 1��"�? � � 1��1�� � ����� � " � "�� ��� ����"�� ? �� /���� "�� ����� � " � "�� ��� ����"�� �� � �� �� ��� �" ����� ��(������( ���� ��� "��" "�� ����"� " 1��"������� ��1� � ����� � " � "�� ��� ����"�� �3��� "� :� B ; �� ���� �� ����"�( /��" ���"�� �� /�� "�� 1��"��? � � � � �� ������

�B � + :�� B �� � � �� �� B �; �

+

����

:� B ; ��

���� "�� ����"�� �� 1��"�� ������ � "� "�� ���� �� ����"�� � �� ? (����� "�� ����L���"� 1��"� /���� �������"�� "�� ������"�1� �D��" �� ��� "�� 1��"�� � "�� ����

,��" �� "�� �����"�� ��� �=�� �� �� 1��"� ����"�� C 5������ ��- �� 1��"��?

� +:&�� � � �� &�; �- +:!�� � � �� !�;

��� �B - +:&� B !�� � � �� &� B !�; � 6�/ �� � � �"�� "��� �����"�����(C �� ���� "������"�� �� � ����� "?

��+� � � "�� ? �"�"� � �" "�� � � �� "��� ����"�� �� � ����� "? �����/

"�� ����"�� �� � ����� "�������� :�B -; "� �"� � �? �B -� * �"�� /���? ����� "�� 1��"� � �

�"� ��� ����"�� /�"� �"� ��� �" "�� ���� � � "�� ����� "�� 1��"� - "��� �"� ��� ��� �����/�"� "�� ��� " �� �� ��� ��� " �� "��� ���� 1��"�? ��"��� �� �B -� �� �����"�"�? ��� "�������/� � ���"��

�������Æ

����

��

����

��

��������

-

�B -

��"� "�� 1��"� �B - �� "�� ����� �� �� � ����������� ��"��� �� ��� "�� "/� 1��L"�� � � � - � � "��" ��� "��(� � �B - /�"� "�� ����"�� ����� �� �� "�� �������������"��� �� ( "�� 1��"�� � � � - ���� "� "� "�� ���� "�� � �� "�� ��1� ��������

� �"�� �� �"�"�� ������ � �� "�� �� ���� * "�� ���� �� �� /��� � �� �" ���"� ��� �"�"�� "� ��� � �� ��� 0 �� ��� � � , �� ��� ��/ ��� �� ���� �������"�� � ��1��"� ����"�� "� ���� �������

���� �� �2(2� �� � �� ��� ������� �� � �� ��� �� ��� �� �� ��� ������ � �� � �� � �� � �� ��B�0��, 2����� �� ����� � �� � �� � �� ��B$0B , 2�������� �� ��� � � �� � �� � �� $�� 0B�,� 2������ ���� �� ���� �� � �� �� �� ����� ����

�� = � "�� "�"�� ���� ��� "�� 1��"�� �� ������� ��1�� ���� ��1�� � �B�0B ,

��/"� �� �������? "�� ���� � "�� � ����"�� �� � ��/"� ����� ��/"� �� � � �" �� ���� ��-� ��� ���

���� �� �2(2� -� �� ��� 4�� 2� �� 5��� �� &66 ��� � ��� � . �� ���� �� � ���� �

� ���"�� �� "��� ��"��"�� �����/��

Page 33: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � �������� ������ �� �� ��

�����

��� 1��"� ��� �� �"� � � ��/ ��� � "��" 1��"� �� "�� �(��"� ��� �� � ���" "�� �����1� � �3��� �����? "�� ����� ������ � ���� �� �� �"� � J

�� �������? "�� 1��"� /����

� � ���B � �

�0�

���� �� �2(2� -� �� ��� �� � ����� �� � �B0B, 0���� � � ��� ��� �� � � ����������� �� ��� ��� �������� �� :�� �� �; � 1 ������ � 7� ����� ��� ����� ����� �� ������� ��� � �������� �� ������ ��� �� � �� ��� ����� ��������� � ���� � �� � ��� �� .�� �� 5��� ��� � �� � �� '���� �� 2� ��� ���� �� �������� �� ���� �� ��� ������� �� �

�� ���� "�� 1��"� :�� �� �; � �� "�� � �"��� ����"�� 1��"� �� "�� ����� �� �� �" ��1��?"�� ����"�� 1��"� ��� ���� ��"� � � �� �"� "�� ����� � ��� ��1�� � "�� � ����"�� ����"� �� �� � �

� + �� -�����"�� * "�� 0 ����"�� �" ��� ��1�� �

� -�����"� ��� � "������� "���? /���� �" ��1�� �

� -�����"� � "�� , ����"�� � �������? "�� �/ ���������� "1��"� �� "�� ����� � ��

:�� �� �; B

�$

���

% ��

%

+

��

�����

% ����

%

���� �� �2(2 - � ���� �� �� �� ��� �� ��� ���� � �� �� 4����� �� 8 ��� � ��� � �� 5��� �� .��� - ��� ����� �� ��� ���� � �� ������� ��� � �� �� '�������0 �� �� �� �� � ��� �� * ��� � ��� � 1�� �� ���� �� �� ��� � ��� �������� � ��� ���� �� ���9 1�� �� ��� � �� �� ��������9

�� ���� "�� �����/� � ���"���

� #

E�� ������ /�"� "���� 1��"�� � "��� �� ����� � "�� ��� 1�����"( �� "�� �/���� � �"��� /�"� /���� � �0 /���� "�� 1�����"( �� "�� �1� /���� � �#�� �������? "�� 1�����"(�� "�� �/���� �� �#�B�0� 5� �� "�� ����� � " �� 1�����"( � "�� ����"�� ����� "�� �1��� �� �" �����/� "�� "�� "�-�� ��% ��� � � �� �"��� ��� ����� �" /���� �� "�1��� ��#� B �� + $ ����� �� ��� � � �� �� "�1��� $ �

+ � ������ ��/ "� = � "�� ���"� ��

��/ �"��� �� = �� �������? �"� "��" �� �� "��� ���"� ��? � � ��� �� "/� ���� �� ����" "�� ��� /���� �(��"� ��� �3���� $�% ������ �������? ( "�� '("������ "�����"�� ���"� �� ��/ �"��� �� �

:$�%;� � :���;

�+

�������

Page 34: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�# ��

��* ��������

�� ��� /� � ��/� ���,��" "� ���" �" � ����� �� $ -�����"�� �� ��� � � � ����� ��� ����� � ��"� ,��" �" � ����� �� � M�����"�� �� ���� ,��" �� "�� 1�����"(�� "�� ����� � ���"�1� "� "�� ��� �C ,��" �� "�� ����� � " �� "��� 1�����"( � "������"�� ��"�C

�� * "�� ��"��"�� �� '���� � ��/ �� ( ������ "� "�� ,��" �� ��"� ������ "������� � ���� � ��� "� F( ����"�( ��"�� ,��" /��� � "�� ����� �� "�� ����� �C

�� * "�� ��"��"�� �� � ������� "�� ����� � ���� �# ����� � �� ���� �1�( ��� �" "��" ������� � � "��" �" ���� "� F( ��"� � ���"� �� �� % ������ ,��� "�� ����� � ��1�� ���� ���� "� ��1� �" �"� ���"� �"�� ��1� "��" �" ��� %� ����� � �� ����C

#� � ��"�� �1� �� � � ���� ���� /��� /�"� � ��� " F�/� � �" � ����� �� ��� ������" "� ,��"� � �� �/��� ����"�( "�/�� "�� ������"� ���� ��� "�� 5��"� � -�� "�� �1� �" � ����� �� � ����� �� ���� 6�/ �� ��/ "�� �1� ���� �� = � �������/�� �� ��� �/�� �����C 6�/ �� ���� �� � � �� �/���� �C

$� � ��"�� �1� �� � � ���� ���� /��� /�"� � ��� " F�/� � �" � ����� �� ��� ������" "� ,��"� � �� �� �/�� �" � ����� �� ��� � �"��� /�"�� * /��" ����"�� ������ �� �/�� � ��� "� "�1�� ����"�( ����� "�� �1�C ,��" /���� "�� � �/� "�"��� ����� � �� "�� �1� F�/�� �" � ����� �� ��� � � "�� �� ����� �/�� � �(�" "�� �"� �� � ����� �� ���C

%� ���� ����� �� ������� "� � ��� " /���� ���� �" ��1�� �/� �� "�� ����� ����B 0B �, ��/"� � � � �� �0B �, ��/"� �2 2� � "�� "��� �����

���+ ��� )��� &���� )� ��

���� �� "/� /�(� �� ���"���(� � ����� "� �� �� /���� �� �� ���" ����"� �� � ��L�����"�� �� ��� =�" �� "���� �� ������ "�� ��" �����"? ���� ������ "�� ����� �����" � �����"���� "�� � � �����"�

'�3������ �2�+2� "� ��� � �� ��� � � � ��

� � � ���

���

�� ��

,�"� "��� ��= �"�� ? "��� �� ��1��� ����"� " ����"��� ��"��=�� ( "�� ��" �����"�* "�� �"�"��� " �� "���� ����"���? � � � /��� �� �"� ������ � � ���� ! /��� �� �"�1��"�� � � �"�� /���? ��� "� � �� �

/�� ������� �2�+2� �� ��� � ����� ������� �� ������� � �� ����

� � � +� � � :����;

� � � � ��� #��� % � �� ��� ��� �� � + + :���#;

:��B �; � ! +� :� � !; B :� � !; :���$;

! � :�� B �; + � :! � �; B :! � �; :���%;

���� + � � � :����;

Page 35: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ����� ��� �� �� �� �$

E�� ������ 1���( "���� ����"���� ���� � ��� (�� � ���"� � "��" :���%; �����/� ���"�� =�" "��� � � �� "������ ��� �� "� *" �� ���"�� ��� �� "�� ��-� �� �� 1� �� ���

���� �� �2�+2� ���� :�� �� ���; � : � �� �� �; �

���� �3���� B � :��; B B�� + ��� ����� �����( 5��/�7 � �3����"( "�-�� "�� �����/� � ��� � "��� �� "�� � � �����"�

* /��� ��1� �" ��� �1� ���� ? ��� � � �( "�� ��1� ������ �� "�� ��" �����"�

������� �2�+2 �� ��� � ����� ������� �� ��#�����

�� � �� ��� ��� � :����;

�� �� �� #����� �� ������� �� ��� ��� �� �� �� � � � �� � ���� ����� �� �� ��� �

/����4 2��" ��= � � � � ���� "��"

� :� � �; + �� � �� � ��� + ��

� � ��= � � �� �"�� �� � � �

� :�; + :�B ���; � :�B ���; �

��� ( :���#;? � :�; � �� ��� � � �� ���� ��� :���$;?:���%;?:����;? � � :����;

� :�; + � � :�B ���; B ��� � :�B ���;

+ � � �B �� :� � �; B �� :� � �; B �� ���� � � �+ ���� B ����� :� � �; B ���� ��+ ���� B �� �� � ��B ���� ��

��/ �� ���� + �" ���" � "�� ���� "��" � � � + ������ �"��/���? (�� ����� ���- ���� ���"�1� 1����� �� � � � 1����"� � :�; � � �������? � "��� ����? "�� �����( 5��/�7� �3����"( ������ * "�� ���� "��" ��� �+ � + � :�; �� � ���( ����� /���� ��� � �� � �"������? �� �" �� ��/�(� � ���"�1�? "�� 3����"�� ������ �3���� "��"

�� ������������ �� �# �� � ��� � # ���� ����

�� �� �"��/��� "�� �� �"�� ? � :�; /���� ��1� "/� ��� 7��� � � /���� ��������( ��1� ����� /���� ���� ���/ "�� � ����� ���� ��1�� :����;�

*" �� ���� ��� "�� ������ �� "�� � � �����" "��" �3����"( ����� � :����; /�� �1�� � �� "�� 1��"�� �� � ����� ���"���� �� "�� �"��� *" � �( ���� � "� 1���( "��� �� "�� � �(/�( �3����"( �� ����� *� ��"�� 1��"� �3���� 7��? "�� �3����"( �� �"�� �� � :����; ���" �� � ������� �"� 1��"�� �� � 7��� ��� �� �3����"( �� �����1��? �" �����/� � :�;��� ����"�( � � ��� 7�� ������ "�� ������� � " 1� ������ �������? �� ���� 1���� ���� �B ��� + + ���/� � "��" � �� � ���"���� �� �� ���� ��1�� "�� "������

E�� ������ �"� "��" "�� � "�� ����� " /�� ���� � �( � "�� ����"��� �� "�� ��"�����" ���"�� � :����; L :����;� ���� ��� � "��" /�� �1� ����"�� � ��"��=�� "���� ���L�"���? "�� �����( 5��/�"7 � �3����"( ������ ���� �� �� ( �"�� � �"� ��� �� "��������"��� ������ 1��"�� � �� �

��� �����( 5��/�"7 � �3����"( ����/� � ���� �� "�� "�� ��� � �3����"( �� ���"� ���� �� � ���� "�� ���� /�( �� "�� "�� ��� � �3����"( �� "�� �����"� 1�����

Page 36: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�% ��

������� �2�+2# �� ���� ��#������ �� ��� � ��

��B �� ���B ��� :���&;

��� #����� ���� �� ��� ��� �� �� �� �� ���� � �� � ��������� ���� ����� �� ����� � -��

���� � ���� ��� �� :��� ;

/���� K .( ����"��� �� "�� ��" �����" � � "�� �����( 5��/�"7 � �3����"(?

��B ��� + :�B �; � :�B �;

+ :� � �; B :� � �; B :� � �; B :� � �;+ ���� B ��� :� � �; B ����

���� B � �� � ��B ����

���� B � ��� ���B ����

+ :���B ���;� �

��-� � �3��� ��"� �� �"� ����� (�� �"�� :���&;�

*" ���� � "� �� ���� /�� �3����"( ������ *� ��"�� 1��"� �3���� 7��? "�� "��"1��"� �3���� 7�� "���� "�� �"�� 1��"� � � "�� ����� ���" /�� �3����"( ����� ��1��=��� �������? �" �� � ������� �"� 1��"�� �� � 7��� �� ��" �3����"( � "������ � � �3����"( ��1�? ������ ��� �# ������� � � �� "�� 1��"�� ���" � � ���"���� ��"�� �"��� 5�( � + ��� ����? "� ��" �3����"( � "�� =�" � �3����"(? :� � �; ���" � � � ���"�1� ��� ���� ����

:� � �; + :����; + � ���� �

�������? � ���" � � ��� ��� /���� �� � ���"�1��

�� ��" "�� �"�� ��� �� "�� "�� ��� � �3����"(?

� + �� �B �

��

��� + ��� �B �� ��� ��B ��� �

�������?

��� � ��� ��� �� :����;

5������(?

��� � ��� ��� �� + ��� �� � :����;

*" �����/� ��� :����; � � :����; "��" :��� ; ������ ���� �� ������ ���� � ���� �3���� "�� ���"���� �� ��"�� :����; � :����; � � ��"�� /�(? ���� � ���� ��� �� � ���� ��1�� "�� "������

Page 37: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� ��

���� ��������

�� 2� � :�� �� �� #; � :�� � �� �; ��� 5��/ "�� � ��� �"/�� "/� 1��"��? � � � � �� � ���" � ��� �� � � � �( �� � � � + �

5���4 ���� "��� ����� � /�� ��� �� �� "�� �� �"� �� "�� �(��"� ��� �� � ���""�� ��� ��1� � ��� � � ��� �� �"� ����� ��/ ����( "�� �("������ "����� � � "�����1�"�� "��" ��� �� �� ��= �� ��1� �� "�� �� �"� �� "�� ����� " 0�� � � � � ���

�� I�� "�� ����" �� '���� � "� �� ���� "�� �3��"�� �� � ��� � � �� � � ��� � � �� "����� "�� ��� " � �� "�� ��" �� ��� "�? � ���� "��" �� � � � � ��1� ����1��"�? � ��� � ���" � ���� 5��/ "��" � � :�� �; + �� "�� �3��"�� �� � ��� ����/ = � "�� �3��"�� �� "�� ��� � ���� ������ "� � +:�� �� �; /���� �� "�� � "����� " :�� � �; � <�1� (�� � �/� � "�� ��� �B B �� + � /��� �� � �� � � � �����"��� �� �"� "��

#� 5��/ "��" :� � �; + ��

���B ��� � ��� ���

$� '�1� ��� "�� ������ �� "�� ��" �����" "�� ����������� ��� "�"(? ��B ��� B

��� ��� + � ���� B � ���� �

Page 38: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��

Page 39: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���������� �� ��� ��� � � �

!�� ,�- �� ��� ���� .� /��� (�� ��

����� ���� �� ���� �����

�� =�" �������"�� /��� � "� "�� �� ���" �� /�-� ��� ��(����� �� ���" �� /�- ���� �" � � ( /�( ������ � "� "�� �"�� �� /�- �����(�� � ��� �( �� 1���"�� � 2��������? �� (�� /�� "� ����� � �$ ��� � /����" �D � "��� /���� �� "��� ���" ���� � ����N� ��� � "�� F�� �� $ (���? �/��"� � �������( � � ���"� � ��� (�� �"� �"� "� -���"�� /����" ��� ����� � � (�� ���"? -���� � "�� �����" ��/�(� "��� ���" � � "�� ������""��� /����" � � �"�� "��� ���" ���� "���? "�� ��(����� �� ���" �� /�- /���� � ����"�"��" "�� ���� ���"�� ( (�� ��� ��� � /�- ��� � "��� ��0��" �1� "����� "�� �������� (�� �� �� � � ��� /���� ��-��( � 1�( "���� ��� ���� �� ���� � � ����� ��= �"�� �� "��" �1� "����� (�� ��� ���"�� �� ������� ���� � "�� /����"? � ���� "� -��� �"��� ����� �? "�� ����"�� �� ��"�� /�� �" ���" � ���� "� "�� ���� "��( ���"��� ��� � �(��" �� � ���� /���� ���� /�- � "�� �� �� �� ��(���� �� "�� ����� � " �� "�� ���� � "������"�� �� ��"�� �

������� 2�2� "� 1 ��� ' � ���% � ���� �� ��� �� ���� ���#� ���� � 1�� ���1� ���� ����

1 + 1�� B1� :#��;

�� 1�� �� � ���� ����� �� ' ��� � � �� ��

� �$� :1; �

��� 1� �' + �

/����4 5������ :#��; � � 1�� + �'� ��-� � "�� ��" �����" �� �"� ����� /�"� ' � ���� � 1� �' + � "��� (�����

1 �' + � �'��

/���� �3���� � + 1 �'� �'�� � ���� "��� �� � � ��� "�� � � 1��"�? 1��� *" �����/�1� ���" �3��� 1�1��� ���� 1��=�� "��� �� � � ��� "�� � � ������ �� �"� 1�� � �1��

��/ ��"

1�� � 1 �'�'�� '

�&

Page 40: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

# ����������� �� ��� ���� � � �

� � ��"

1� + 1�1�� + 1�1 �'�'�� '

��� 1�� + � ' /��� � + ������� � *" � �( ���� � "� 1���( 1� �' + � .�"

1� �' + 1 �'�1 �'�'�� ' �'

+ 1 �'� 1 �' + �

���� ��1�� "�� "������

��� �����/� � ��= �� "�� �� ���" �� /�-�

'�3������ 2�2� "� 1 � � �� � ��� � ��� � � ������ �� �� � ��� �� �� 0 �� ����� 1 �� �� ��$�� ����� ���� � �� ����� �� ����� � �� ���� ��

� � � �$��� :1; � � �

� � �� � � ��

+ � �$��� :1; � : � �;

+ 1 � : � �; �

�� ��� #����� ������ ����� 1� � : � �; + ��� 1� B � �$��� :1; + 1�

���� �� 2�2� "� 1 + ��B�0� �, 2������ ���� �� �� 0 ��� �� ���� �� � �� ������� �� �� ����� :�� �� �; �� �� ����� :�&���� #; �� �������� � ���� � �� �� ��

������ � "� "�� ��= �"�� ? "��� /�- ��

:��B�0� �,; � :�� �� $0B ,; + �� B :��$; B :��;+ �$� ��/"� ��"���

��"� "��" �� "�� ���� ��� �� ��1� � ��� �� � � "�� ���"� �� ��� �� ��1� � ���"?"�� � �"� � "�� /�- /���� ��1� �� ���" ��� ��� * �� ���? /�- ��� � �"� �3��� "�� �"� �� � ���� "���� � �"� �� � �� �"�� * �"��� �� /�"� � ��/"� ��"�? ������ /�"� 0���������� � 0���� �� ( ��= �"�� � ��/"� ��"�� ���" /�� �� �� �� ��� @0�/��A � � �" ��"�� � �" �� /�- � "�� ��"�� �(�"�� �� � �"�� ���� � ��� (�� ���1� "��" "�� /�- �� �( "�� ���� �� � ���"�1� �� � "�� ��1� �������� * ���"? /�- �� � ��"�� ����"�1�? ���"�1�? � 7��� E�� 0��" ��1� "� �� "�� �����"�"�� � "� = � ��"�

����� ��� ����� ������� ��� �� ����

<�1� "/� 1��"��? � � � �� "�� � ������ � ��� �� "�� � ��� �"/�� "���� "/� 1��"�� /������ ���� "�� � �3��� "� �� ������� ��� ��" �����" �� � ���� "� ��"��� � "�� � ������� ��� �"/�� "/� 1��"��� �� ��� ��/ "� �� "���? �� ���� "�� �����/� � ���"���

����

��

������

������

�� �

Page 41: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� #�

.( "�� ��/ �� ���� ��?

��� ��� + ���� B ���� � � ��� ��� ��� ������ ��� "�� ����"��� �� "�� ��" �����"?

��� ��� + :�� �; � :�� �;

+ ���� B ���� � �� � �� � �� ������ � "�� ��1� "/� �������?

� � � + ��� ��� ��� �� :#��;

* /���? "�� ��" �����" �� "/� 1��"�� �3���� "�� �����" �� "�� ��� �"��� �� "�� "/�1��"�� ���"������ ( "�� ���� � �� "�� � ������ � ���� ��"� "��� ��1�� � �����"�� ������"�� �� "�� ��" �����" /���� ���� �" ���� � �������"�( � "�� ����� �"�� �� "�� 1��"���

���� �� 2�2 ���� �� ��� ���� �� ���� � ��B 0� , ��� ��B #0B ,�

��� ��" �����" �� "���� "/� 1��"�� �3���� %B#�� + & � � "�� ��� ��# B � B � +

% � �& B �% B � +

�%� �������? ��� :#��; "�� ���� � �� "�� � ������ � ��� �3����

��� � +&�%%+ � �� $�

��/ "�� ���� � �� - �/ ? "�� � ��� �� � ��"��� �� ( ���1� � "�� �3��"�� ? ��� � + ��� $�� ���� /��� � 1��1� ��� � � �������"� � � "��� �� "��� ���"�� �� �"�� �� ��� � �/��� � + � �%% �% ���� � � � "��� �� ������? � + � �%% �% ��

�� + #�� �&�� ������ ��/ "������" �����"�"�� �� �� �� 5�" �� � ����"�� ? �

�� + ���� ������ �% Æ ������ �� "� ��

���� �� 6�/�1�? � ��������? (�� ������ ��" ���� "� "�� -� � � "��� �� ���� � � � �"������� ���� �� ������ ��� "�� ����"� " �������� ������� �� ��= �� � "��� �� ���� ��

5������ �� � � � �� 1��"�� � � �� + �� ��0� :�; � ,��" �� "�� ��� �"��� �� ��C

����� + :�� ��0� :�;; � :�� ��0� :�;;

+

���� � ����� �

������ � ����� �

+ ���� � �:� � �;����� B

�� � �����

��

����

+ ������� :� � �;�

���� �����

+ ���� ��� ���� ��+ ���� �� � :�;

/��� � �� "�� � ������ � ��� �"/�� � � � � /���� �� ���� "�� � ���� �� �������?"�-� � �3��� ��"�?

���� + ��� �� ��

!�� ��������

�� I�� ������ :#��; "� 1���( "�� �����( 5��/�"7 � �3����"( � � "� ���/ "��" �3����"(����� �� � � � �( �� � � �� "�� 1��"�� �� � ����� ���"���� �� "�� �"���

Page 42: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

#� ����������� �� ��� ���� � � �

�� 2� � "�� � ��� �"/�� "�� 1��"�� ��� 0� , � � �B #0B �,�

�� 2� � "�� � ��� �"/�� "�� 1��"�� �� �0B , � � �B �0� �,�

#� *� 1 �� � ���� � � ' �� � 1��"�? ���/ ��0� :1; + :�1� ��� �;� /��� � �� "�� � �"1��"� � "�� ����"�� �� '? � + '� �'� � � � �� "�� � ������ � ��� �"/�� "�� "/�1��"��? 1 � � '�

$� 5��/ "��" "�� /�- �� � ( � ���� 1 � ��1� � � �0��" ��� � "�� �� � ��� "� ��3���� �1� ��� � � � �� � ,��" �� "�� �����"�� ��� �=�� �� �� "�� /�- �� � ���"�1�C,��" �� "�� ��(����� ��� �=�� ��C

%� � �( ���� � ���� �� � ���" ��� � "�� ��� � ( ����� � � � ��� /���� �� � ������ ��� "�� ���7� "�� /�"� � ���� �� � ��� ��� 6�/ ���� /�- ���� "��� ������C

�� � �0��" ��1�� � ��"�� � "�� ����"�� �� 0� ���� �� "/� ����� ��"� � � "����0��"? 1� + � B 0 B �,� � � 1� + �$� B �0�%,� 2� � "�� "�"�� /�- �� � � "���0��" ( "�� "/� ������ 5���4 E�� �� "�-� "�� /�- �� � ( "�� ����"� " �� "��"/� ����� � (�� �� ��� "�� /�- �� � ( ���� �����

�� *� ���� � � ! �� 1��"��� 5��/ "��" :�B !;� + �� B !� /��� �� + ����0� :�; �&� * "�� ��������� �� "�� �F��"� � ��� /���� ����"� ��� �(� "� � ��"����� ��� "?

: � �; � 5��/ "��" �� � ( ������ �� ����"�1� ' "��� ��� " �� "�� ����� �� "�� ������� � "�� ����"�� �� + �� �

� �

� � 5������ (�� /� "�� "� ��-� � ���� ��/��� �1� "� ���- ����� �� "��� ���� ��� ��� � � ��� /���� �� �" �������C ���� ������ ��/ (�� /���� ����� � ����F��� ����" /�"� � ��� /���� ���� �" ����� ��" "�� 3���-�(�

!�� ��� ���� &����

��� ���� �����" �� "�� �"�� /�( �� ���"���(� � "/� 1��"�� � �� � *" �� 1�( ��D�� "��� "�� ��" �����" � �� ( /�(�� 2��" "�� �����"�� ��� � � �� ��������� � � "�� � ������"�� � "��� �� ����� �"�� �� ��1� � .�"� ������"�� � �� "�� ���� �����" ������"� "� ��� �����"�� ������"�� �� ���� "��� � ��� "� � ���"� � "�� �������"�� �"� ��(���� � � �����"( /���� "�� ����� �"� ������"�� �� "�� � �( /�( "� ���"�����(�����"� "�� ���� �����"�

'�3������ 2�2� �� ���� � ���� ! �� � � ���� ����� ����� �� ��� ��� ���� ����� � �� ��� ���� ���� ���� �� ���� � ��� ��� ��� �� �� �� ����� �� �� �� ����������� ����� �� �� �� ����� �� !�

2� � ������� �� � ���" �� ��� �(�"�� �� 1��"��? ��� "�� �����/� � ���"���

�������

�����

�������Æ

!

Page 43: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� ���� ��� �� #�

* "��� ���"�� "�� 1��"� ! ��� "� ��/��� ��� "�� ��� � ��"��� �� ( "�� �"�� "/�1��"��� E�� ������ �� ���� ��/ � ���" �� � �(�"�� /���� ��D� ��� � ���" �� � �(�"����( ��� � (�� ���" �� � � � (�� /��� ��� "��" "�� 1��"�? ! /���� ��� "� ��� " � "��������"� ����"�� �� �" /���� �� � ���" �� � �(�"���

2�� �/ � ? "�� 1��"��? �� 0�, /��� ��/�(� ��� � ���" �� ��� �(�"��� �� ����"? ��(�� ��"� � "�� = ��� �� �� ���" �� � ��� � � � � ����� "��� � "�� ����"�� 0� "�� "������ "� � "�� ����"�� �� ,�

��� �����/� � �� "�� �����"�� ������"�� �� "�� ���� �����"� *" ��1�� �"� "�� ����"�� � � "�� ��� �"��� � � "������ �����=�� "�� 1��"��

'�3������ 2�2� "� � ��� � � ��� ���� � �� �� � ��� � � �� ���� �� �� ���������� ���

&� �� �� + ��� ��� �� � �� � �� �� ������ ����

(� � � � � + � � � � � + � ��� ���� � � �� �� � ���� ���� ������

��� ���� �����" ��"��=�� "�� �����/� � ����"����

� � + � :� �; � � � + +� :#��;

2� � � �����?

:��; � + � :� �; + � :��; � :#�#;

2� ���� � � ! 1��"��? � � �"�� � "�� ���"��"�1� ��/�?

� :�B !; + � �B � !� :#�$;

:�B !; � + � �B ! �� :#�%;

2����� :#��; �����/� �������"��( ��� "�� ��= �"�� � ��� 1��"�� � � � � � �

��1� "�� ���� ��� �"���? ��� ��� �� �� � � � �������"�� �� "�� ���" �� � ��� ���/� "��(��1� ������"� ����"�� � 2����� :#�#; �� ���� ����( ����� *� � �� � � ���"�1� �����?"�� ����"�� �� :��; � �� "�� ���� �� "�� ����"�� �� � ��� :� �; � � � :��; /����"�� ��� �"��� �� 0��" � "���� "�� ��� �"��� �� � � /���� �� "�� ���� �� "�� ��� �"����� � :� �; � � � :��; � I�� � "��� (����� �3����"( � :#�#;� * "�� ���� /��� � # ��1�("�� � /�-� "�� ���� /�( �����" "�� 1��"�� �� ��� ��� "� � � "�� ������"� ����"�� � � (�� ���" ���"���( ( ��� /�� ������ � "��� ��� �"����� ��� ���"��"�1� ��/� ������ ���� "� ��"����� �" "�� ���� � �����/� ��� "�� =�" 3��"� �����(� ����? ������ �"�� =�"? � � ��� � :#��;?

:�B !; � + �� :�B !;

+ � :� �B � !;

+ � �B ! ��

� ���� �� "�� ���"��"�1� ��/ �� ��1� � � ��"� ���"�� �� "���� /�� �� � "���"�����/ ��� "�� ��= �"�� �� "�� ���� �����"?

� 0 + , 0 � + �,, � + 0 � , + �00 , + � , 0 + ��

,�"� "��� � ����"�� ? "�� �����/� � ��1�� "�� ����� �"� ������"�� �� "�� ���� �����"�

Page 44: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

## ����������� �� ��� ���� � � �

/�� ������� 2�2� "� � + ���B ��0B ��, ��� � + ��B �0B �, � ��� ���� �� ���

� � + :�� � � �� �; �B:�� � � �� �; 0B

B :�� � � �� �;,� :#��;

/����4 2�� "�� ��1� "��� � � "�� ����"��� �� "�� ���� �����" ���"��?

:���B ��0B ��,; : ��B �0B �,; +

�� �� 0B �� �� ,B �� �0 �B �� �0 ,B

B�� �, �B �� �, 0

+ �� �,� �� �0� �� �,B �� ��B �� �0� �� ��

+ :�� � � �� �; �B:�� � � �� �; 0B:�� � � �� �;, :#��;

���� ��1�� "�� ������"�� �*" �� ����( ��������� �� ���" ������ "� ����� :#��;� 2�"� �"��(? "��� �� � ����L

/��" ����� /�( "� ����� �"� ���� � 1��1�� "�� �"�� �� � ��"��� � "� � ��"��� � "�� � �� ��� ��� ����� �� "� � �3��� ��( �� ���� �� �����/��

��"

�� � �

���� � � �

���� + ��� ��

���� �� "�� ��= �"�� �� "�� ��"��� � " �� � �3��� ��( �� ���� ��1� � "/� �/� � �"/� ����� �� ��/ ��� � "���? "�� ��"��� � " �� � �3��� ��( �� ���� � /���� "����� "��� �/� � � "��� ����� � �� ��= �� �� �����/��

��"

�� � �� ( �) � �

�� � :��;��� ����� ( �� �

����

B:��;��� ���� � �) �

����B :��;��� ����� � () �

���� ���-� "�� =�" ����� " � "�� "�� �/? �� ���"���( ( :��; ����� "� "�� � B � �� �� � ��� "�� =�" �/ � � "�� =�" ����� ? � � "�� ���"���( ( "�� ��"��� � " �"�� �� (����� � ��" "�� �/ � � "�� ����� � /���� � ������� ��� ��� "� "��� � ������ ����"�� �� ��� "�� ��" ����� " � "�� =�" �/? � ���� "��� ���"���( ( :��;��� ������ �� � "�� ���� � ����� � � "�� =�" �/� ,�� "��� �� �� � �� "�� ���� �� �� "�� ���"����� " � "�� =�" �/ ��� � � ������ ������� I�� � "�� ��= �"�� �� � ��"��� � " ���3��� ��(� �� ���� ��1� � "/� ����� � � � "/� �/�? "��� �3����

� :(� � ��; B :�)� ��; B � :��� (); �

� �������� /����? ��-� "�� � � �� "�� ���� �����" /��� � ��������� "� �����?��"����� "�� ������ "����� /���� �" �� �"�� �� �� �" "�� ��� *" "� � ��" "���� "/���������� "� ����� �������� � �� �� -�� "����� "�� ������ �� = �� � � ��"��� � "

Page 45: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� ���� ��� �� #$

/���� /�� 0��" �������� ��� ���( /�( "� ����� "�� ������"�� �� "�� ���� �����"� "��� �� ����� �"��? �� "� /�"�

� � +

������� 0 ,

�� �� �� � � �

������ :#�&;

� � "�� �����/ "�� ���� ������ /���� /�� 0��" ������� �� �������"� � ��"��� � "���1�� ���� (�����

:�� � � �� �; �� :�� � � �� �; 0B:�� � � �� �;, :#�� ;

/���� �� "�� ���� �� :#��;� ��"� � "�� ��- � ������"� ��������� �� ��"��� � "� �� ��1� �" "��� /��� ���� �� �/�

���� �� 2�2 ���� :�� 0B �,; :��� �0B ,; �

I�� :#�&; "� �����"� "����������� 0 ,

� �� �� �� �

������ +���� �� ��� �

���� �� ���� � �� �

���� 0B ���� � ��� ��

����+ ��B $0B ,�

����� ��� ������������ ��� �� ��� !���� ��� �

���� ���"�� ��1�� � ���� �� :#�$;? � ����( �����" "����� *" �� � ������ ��� �� "��� "���"�� �"��� "� *� (�� �� ��"��=�� /�"� "�-� � "�� ���"��"�1� ��/ � ���"�? �" �� �" ������( "� ��� "��� ���"�� � ��� ���� ��1� ��� �� 3��"� ���1� � � �����/� "�� � ���1� � G�H� � �"�� �������? ���� � 1������ �� �������������� �� ��� � � G��H � � ����������� � ��""�� ��"��

%���� 2�2# "� � ��� ! � ��� ���� �� ��� � ! + � !� �� !�� B !� + ! ���!� � � + �

/����4 �� ���� "�� �����/� � ���"���

��

����

!�!�

��/ !� + !� !� ���� ���� � � �� !� �� � "�� ��� � ��"��� �� ( ! � � �� �������? ���

"�� �����"�� ��= �"�� �� "�� ���� �����"? � ! � � � !� ��1� "�� ���� ����"�� ���/? ���� � "� "�� ���"��?

�� !�� + ��� �!��+ ��� �!� �� �+ �� !� �

�������? � ! � � � !� ���� ��1� "�� ���� ��� �"��� � � �� "��( �� "�� ���� 1��"��,�"� "���? "�� ���� �� "�� ���"��"�1� ��/ �� � "�� �����/� � "������

Page 46: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

#% ����������� �� ��� ���� � � �

������� 2�2& "� ���� ��� ! � ���� � �� �� � ���

� :�B !; + � �B � ! :#���;

/����4 5������ =�" "��" � � � + � � ! + � ��/ ����� � � �� � 1��"� ���� � ��" �� "������ � � ��" �� ! � � �B ! � �� ���/ � "�� �����/� � ���"���

��

���!

����

����

�B !��

�� �

�����������������

� :�B !;

��

��

��� !

��� � �� � :�B !; � � � � ! �� ���� 1��"�� � "�� ���� ��� �? ���� ������ "� ��� ���/ � ���� � ! � ! + � � :�B !; � :�B !; + � � � � � � � + � ���� ������� "��""� ��" � � (�� ��1� ��� "�����-/��� "����� � � ��� �� ��� ���� � ��� "�� 1��"�? ��5����� ���"�� ����� ����" �"/�� "�� 1��"�� � :�B !; � � �B ! � � "�� 1��"�� � !

� � !� ���� "�� � ��� �"/�� � � � � � :�B !; �� "�� ���� �� "�� � ��� �"/�� �B !

� � � � � "�� � ��� �"/�� � ! � � � :�B !; �� "�� ���� �� "�� � ��� �"/�� ! � ��B !� * ����"�� "� "���? �� �� � �� ���� ������ "� "���� 1��"��?

�� �� + ��� ��� � �� :�B !;� + ��� ��B !� � � �

�� !� + ��� �!� ��������?

�� :�B !;���B !� +

�� !��!� +

�� ����� + ���

� � ��

�� :�B !;��� !� +

��B !��!� �

�� :�B !;��� �� +

��B !����

���/� � "�� "�� ���� ��-� � �� "�� ����������� � "�� ���" � � "�� ��� ����� =��� � "�� ���" � "�� ��1� ���"�� �� ������� *" �����/� "�� ��� ����� =��� � "�� ���" �� � ���"� ����������� � � "��� ������� "�� ����� �� �� "�� 1��"� ��� �� "�� 1��"�� � "�� �����?(����� � :#���;�

��/ ������� �" �� �" ��������( "�� ���� "��" � � � + � � ! + � ��� /�"� � + ���B��/��� �� � � + � 5������( ! + !�� B !�� .( "�� ��1� ����� � � /��" /�� 0��" ���/ ?

� :�B !; + � :�B !;�+ � :�� B !�;

+ � �� B � !�+ � �B � !�

Page 47: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� ���� ��� �� #�

���� ��1�� "�� "��������� ����" �� '���� � �� "�� �������� #�� �� ���� "� �� ��� "�� =�" "� "�� ���� �

�� ��

����� ���"��

*���� � (�� �� ��� � � /� �� "� ����� � �"� ��� ���� �� "� "� "�� �" ( ����(� � ����� "� "�� � � �� "�� /� ��� *� (�� ���� � ���� "�� /� �� ����"�( "�/�� � �/�( ���"�� �"? �" ������ � �1���� ��� ������ �� "��" � ������ /��� � ���� � "� � � "�� �"� ��� ����"� " "�� � �� "�� ����� � " �� ���� ���� ������ "� "�� /� ��� *" �� "�������� � " �� ���� /���� /��� ����� "�� �" "� "� � 2� ������� ��� "�� �����/� � ���"���

����

����

�������Æ

1

�����Æ

���

1

����1� �

* "�� ���"�� � ����? 1 �� ������� �" "�� � � �� � /� �� ����� "�� ( "�� ����"�� 1��"�?� � � "�� � ��� �"/�� "���� "/� �� �� ��� "�� "� �� �( "� "� /��� � ��� �1�� +��� �1� �� �� /���� (�� ���� �7� �� "�� ��� �"��� �� "�� ���� �����" �� � � � 1� *� "���/�� 0��" � � ���� ��"� � �" � � ��� " /���� ����"�� 1��"� �� �� ������ "��� /���� ������ "? �" /��" �� "��� �� ������ ����� ��"� � �" �� ( ��D�� " ��� "� /�"� ��"��"�� ����"�� 1��"�� � "�� ���� 1��"�� � "�� ���� ��� �O /��" "�� C �� -��� "��- ��"��� ��" �� "�� �? ��= � �� ���� � � � 1� "�� ��3�� 1��"�?

* � � 1�

���" /�(? �� "��� �� ��1��� ����� ��"� � �" ��1��� ��� "�? "�� "�"�� "�3�� �� � �"�� ��( �����( ���� � �� "�� "�3��� �������"�� /�"� "�� ��D�� " ����� � � ����"�� ��

���� �� 2�2� '����� �� + �� � 0B�,��� + �B�0�%, �� � ��� �� �� ������ ��� ���� �� ��� ���� � �� � �� �� 1� + � � 0B�, ��� 1� + � � $0B , 2����� �������� ���� �� ���� �� #� ����� �� � ���� � ����� �� ��� �� �� ������ �� ������ �������

*" �� ������( "� "�-� �� 1� B�� 1�� ���� "�� "�"�� "�3�� �3����������� 0 ,

� �� �� �� �

������B������� 0 ,

� � �%� �$ �

������ + ����� �0� �, ��/"� ��"��

���� �� 2�2( ���� �� ������ � ���� �� � ���� 1 ����� �� ����� �� �� ������B 0B , �� � ���� �� ��� �� #� �� �� ���� ��� �� �� ������ �� �� ���� �������

���� �� ����( ��"� �� ��� ����� �� "� = � 1 + +��B +�0 B +�, /���� ������� "����1� "�3�� 1��"�� �������?������

� 0 ,

� � �+� +� +�

������ + ����� �0� �,

Page 48: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

#� ����������� �� ��� ���� � � �

/���� ������ "� :+� � +�; �B:+� � +�; 0B:+� � +�;, +� ���� �0� �,� ���� ���� "� "����1� � "�� �(�"�� �� "��� �3��"�� � � "��� � - �/ �? +�� +�� � � +��

+� � +� + ���+� � +� + ��+� � +� + ��

6�/�1�? "��� �� � ����"�� "� "���� "��� �3��"�� �� :,�(C; ������� � �� ��� ������"� � �" "�� ��� " �B 0B , /��� ������ "�� ��1� "�3���

��� ���� �� � �0��" �� � ������ �� ��/ ���� �"�D "��� �� � "�� �0��"� � �0��"��� ���� �3��� "� � � -������? � � �" �� ���� � "�� ��"�� �(�"��? �� �" /���� ����"�(��� �� � - �/ � � -������ �0��" /�� ������ � � ��� ��� ��� - �/ �0��" �� � �-������ ( ��= �"�� � ��� ���� �� � �0��" ���� �" ���� � � /��� "�� ��� �� �� �����*" /���� � � � -������ � "�� ��� �� /��� �� � "�� ��"�� ��� /����" �� � �0��"�� ����"�� � ����� *" �� "�� ���� ���"�� � "�� �0��" ( ��1�"( � � ��� ��� �"��� ,�/��� , �� � �� �"� " ������ "�� �������"�� �� ��1�"(� ���� "�� /����" �� � � � -�������0��" /���� � ��D�� " � "�� ��� /���� ��� ���� ���� ��1�"(? ������ ,� "�� � "����"�� � ����"� " ���� �� "��" �� "�� �� "� �� ����� ���� �� "�� ��� " �" /���� � �0��"/��� ��� �� � ��""� ��/ �" �� "� ���

'�3������ 2�2� "� �� ��$�� ������� �� � ����� ����� ��� � � ����� ���� �� �������� ���� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ���� �� ���� ��$�� �� �� �� ����� ����������

�����

:�� ���; ,��� + +

�� � ���� ���� � ��

��� ��1� ��= �"�� � ����"�� "��" � ��""� ��/ "�� �0��" �� ����� ���? "�� "�"��"�3�� � �" ��� "� ��1�"( �� ���� "��" � �"�"�� ������ I�� � "�� ����"��� �� "�� ���������"? �

�����

��,�� ���

�����

,��

� � + + :#���;

�� � ( ������ �� � �" 1��"�? �� E�� ������ 1���( "��" �� � � + + �� ��� �� "�� �" ���"� "�� ���� "��" � + +� ��� "�� ��1� ������ �3���� "��"

�����

��,�� ���

�����

,��+ +�

��1��� � ( ,� � � "�� (��

������

�� +

����������������

� :#���;

���� �� "�� ������ �� "�� �� "� �� ���� �� � ������"�� �� ��� " ������� �� �� ���� "���� "� �� ���� �� � ����� �� ���"� � �� �� "� �����( ���"��"�� ������? (�� ��� "�� ��"������ ���������

���� �� 2�2�+ "� �� + $��� + %� ��� �� + � �� �� ����� � �� 0��� ����'����� �� �� ����� �� �� B �0 B ,� �� �� ����� �� � � �0 B �, ��� �� �� ����� ����� 0B �,� ���� �� ��� �� ���� �� ��� �� ������

Page 49: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� ���� ��� �� #&

I�� � :#���;

�� +$ :��B �0B ,; B % :�� �0B �,; B � :��� 0B �,;

$ B % B �

+��

��� �

�0B

��

�,

����� ��� ��# ��� �

'�3������ 2�2�� - �� ����� �� ���� �� �� �� ���� � ���� ��� ! �������� ��

���B$�B �� K �� $� � � G � �H� ����� �� �� ��� ���0 �� ���� � �� $� ��� � ��� �� G � �H ��� �� � ��B$�B ��� ��� ��������� �� � ���� ������ �� ���� �� ���� �� �� �� ����� �� ���� �� ��� �� ���� ��

��� �����/� � �� � ���"�� �� ���� � "�� ��

����

���

!

����������Æ

����������

����������

����

��

����

��

�������������

� !

E�� �"��� "�� ��� �� "�� ��� �� "�� �������������? "�� ����������� ��"��� �� ("�� 1��"��? � � � ! ��� ��� �3��� "� �� !� /���� "�� ��"�"��� �� "�� ������������� ����� ��� � /��� � �� "�� � ��� ���/ � "�� ���"�� �"/�� � � � � !� �������? "��1����� �� "��� ������������� �� "�� ��� �� "�� ��� "���� "�� ��"�"��� /���� �� 0��"

�� !� ��� ��� � + � ! � ������ �������� �� - �/ �� "�� �� �����" � � �� ����"���� /�""� �� G�� !��H � E�������� �� ���� /��" ����� � �� (�� � "���� �� "�� � /�"� "�� ! � "�� � /�"� "�� !� E���� ��� �����"�����( ��� ��/� � ���"��� "��" "��� ����( � "������ � �� �� ��� � * � (���� "�� �� �����" �� "��� 1��"�� ��/�(� �3���� ��"�� "�� 1����� �� "�� ���������������"��� �� ( "�� "��� 1��"�� � ���� �� �� "��� 1������

���� �� 2�2�� ���� �� ���� �� �� �� ����� �� ���� �� �� ���� � �B �0�$,� �B �0� %,���B �0B �,�

������ � "� "�� ��1� ��������� ? ���- � ( "/� �� "����? "�-� "�� ���� �����" � �"�� "�-� "�� ��" �����" �� "��� /�"� "�� "��� �� "���� 1��"��� ��� ����" /��� � ��"��"�� ������ 1����� � �� �� "�� ������ 1������

:�B �0� $,; :�B �0� %,; +

������� 0 ,

� � �$� � �%

������+ ��B 0B ,

Page 50: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

$ ����������� �� ��� ���� � � �

��/ "�-� "�� ��" �����" �� "��� 1��"� /�"� "�� "��� /���� (�����

:��B 0B ,; � :��B �0B �,; + & B � B � + �#�

���� ���/� "�� 1����� �� "��� ������������� �� �# ���� � �"��6�� �� � �"�� ���� �� "�� ���"��"�1� ��/ �� "�� ���� �����"� 2�� "�� ��1� ���L

"�� :� �; �! + �� :� !; ������ �"� �� "���� ��1� ��"�� "�� 1����� �� � ���������������"��� �� ( "�� 1��"�� ���� ! � L� "���� "�� 1����� �� "��� �������������� ��/ "� ��1�"�� ���"��"�1� ��/? ��" � � � 1��"�� 2�� "�� ��1� ���1�"�� ?

� � � :�B !; + :� �; � :�B !;

+ :� �; � �B:� �; � !+ � � � �B � � � !

+ �� :� �B � !; �

�������?

�� G� :�B !;� :� �B � !;H +

�� ��� �� * ��"�����? "��� ����� �� � + � :�B !; � :� �B � !; ���/� � "��"� :�B !; + � �B � ! � � "��� ��1�� "�� ���"��"�1� ��/ �� "�� ���� �����" � �"��/�(�

!�! ��������

�� 5��/ "��" �� � � + + �� ��� � �" 1��"��? �� "�� � + +�

�� *� (�� � �( ������ :#���; ����� �� � + �� 0�,� ���/ "��" "��� ������� :#���; ����� ����� � �" 1��"��? ��

�� ��" �� + $��� + �� � � �� + # /��� "�� ������ �� � -������� � � "�� ���"� ���� � ��"��� 5������ �� �� ����"�� �" ��� �0 B ,� �� �� ����"�� �" � � �0 B %, � ��� �� ����"�� �" ��B 0B �,� 2� � "�� �� "� �� ���� �� "���� "��� �������

#� ��" �� + ���� + �� � � �� + � /��� "�� ������ �� � -������� � � "�� ���"� ���� � ��"��� 5������ �� �� ����"�� �" ��� 0B ,� �� �� ����"�� �" �� �0B , � � ��

�� ����"�� �" #�B 0B �,� 2� � "�� �� "� �� ���� �� "���� "��� �������

$� 2� � "�� 1����� �� "�� ������������� ��"��� �� ( "�� 1��"��? �� �0� $,� �� �0�%,���B �0B �,�

%� 5������ ���� � � ! �� "��� 1��"�� /���� ����� � "� �� ��� � "����� �� (���� ����� "�� 1����� �� "�� ������������� ��"��� �� ��� "���� "��� 1��"�� /�����/�(� � � � "���C

�� ,��" ���� �" ��� �����"�����( �� "�� �� �����" �� "��� 1��"�� ��1�� 7��C

�� 5������ � +:��� ��� ��; �� +: �� �� �; � � � ! +:��� ��� ��; � 5��/ "�� �� �����"?G���� !H �3���� "�� ��"��� � " ������

�� �� ���� �� �� � � �

������ �

Page 51: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ����� ���������� ��� ������ $�

&� *" �� ������ "� = � � �3��"�� �� � ��� � �� "�� � � "�� "/� 1��"��? � � � �� I�� �'���� �? ���/ � �3��"�� �� "��� ��� � ��������

��� �� �� � � �

������ +

���" ��? "�� ��" �� ��� :� � �; ���� "��" "�� ��1� �������� �3���� 7���

� � I�� � "�� �"�� �� "�� �� �����" (����� � ��"�� ���� � �� �� "�� 1����� �� "��������������� ��"��� �� ( "�� ��1� "��� 1��"��? ���/ "��"

:� �; �! + �� :� !;

* �"�� /���? "�� ��" � � "�� ���� �� � �/�"���� �� �� � �� "�� ��� �� "��1��"�� ���� � "�� ����� 5���4 ���� �� "/� /�(� "� �� "���? ( "�� ����� �"�������"�� �� "�� ��" � � ���� �����" � � ( �����"�� ���� � ��

��� )���( ����"�( "��" "�� ����� �"� ������"�� �� "�� ���� �����"? � � ��� "������"( "��" �" �� ���� ������ "� �"� � � � �� ��� ���/ ( ����" �����"�"�� "��" "��� ����� �"� ������"�� ��"��=��

�� ��� + ���� ���� � :� � �;�

+ ���� ���� ��� ���� :�;�

/��� � �� "�� � ��� � ������ �"/�� "�� "/� 1��"��� ������ /�( �� �� ��� "������" ��� �"���� ��� "��" �� ����� � �� "�� ��"���� ���" "�� ���" �� � ����)���( ����"�( ��� "�� ����� �"� ������"�� �� "�� ���� �����" "��" "�� ���""�� � ����� � /�"� ����� "� "�� 1��"�� �� 0�,� ���" 1���( "��" "�� ���"��"�1� ��/����� �� "�� ����� �"� ������"�� �� "�� ���� �����"� ���� ��1�� � �"�� /�( "�������� "�� ���� �����"� 2��" ��= � �" � "��� �� ����� �"�� � � "�� ��" "�������"�� ����"��� ��� "����

!�" (�� � )��� � ��� �� �� � ���

���� �� "/� ������� �(����? � � � -�� /���� �� 1�( ������ � ����� � /�"� 1��"���� "�"���� �� ��� /�"�? ��� �� "�� ��= �"�� �� "���� �(�����

'�3������ 2#2� �� ����� � � ��� �� : ��0 ��� ����� �� ���� �� ������

� �!

� �� � + � �� � �+ �

.��� �� : ��0 ����� � ��� � ��� #�� ��� ���� �� ��� �� � � �� �� �� ��� � � ��

'�3������ 2#2� �� �� �� ��� � ���� � �� �� �� ��� �� �� � -�� �� ���� �� ������

-�� �"#$

� �� :�� �� �; + :�� �� �; � :�� �� �; � � :�� �� �;�� �� :�� �� �; + :�� �� �; � :�� �� �; � � :�� �� �; �� �� � ��� ���� ���� �

�� ����� ���� ��� ��� �� �� �� ���� � ��� ������� - ���� �� �� ��� �� ��������� ����� -�� �� ��� ��� �� � �������� ������

Page 52: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

$� ����������� �� ��� ���� � � �

��� /�( "� "�� - �� -�� �� "��" -��� + � � � �� (�� �/�"�� � ( "/� �� "�� ���� � "�� ���" �� �� �� �" ��� ��� "�� ��� � ���� -�� + �-�� � � -�� + �-�� �"�� E�� ����������- "��" "��� ��� ������ "� "�� ��1� ��= �"�� � 2� �������? �" �������"��( �������"��" �� "��� �� � ����"�� � ���? "�� � �/� �� 7��� ���� �����/� ������ -� + �-� � ��� -� + �

*" �� ������ "� ��� "�� �� �"�� �����"�� �� 1� "�� /�� ����� � /�"� "���� �(�����5����( �"�"��? "�� �� 1� "�� �� "��" (�� ��� �1� "�� ����"�� � ���� ���� � ��� ��

� � ����? �� ��� ��

� �� + � ,�� (�� ��� "��� �� 1� "�� ? "��� �� � � 1�(����"� " "�� � "� �1� ����"� *" �� "���K ��1� ��1� � � ��� � ����"�� ��� "�� � ������� � �� ��� ���" �" � �� �"� ��� ���� �� "��� �� "��" (�� � � �� ��""� � �� ��������" /��" �� ��� "� *� (�� /� " "� /�"�

� � � �" �� ��" "� �����( ��� "�� �����"��

�"�"�� � ���� �� � 1�( ����"� " ����"�� ��� "�"( �� ��"� � "���� "/� �(�����

%���� 2#2� �� ������� �����

-��-�� + :���� � ����; �

/����4 *� ��� �� �+ ��� $� "�� �1�( "�� � "�� ��� � "�� ���" ���" ��1� ��"�� -��� -�� �� "�� � � ����"�� � ���� �������? "�� ���" ���� �3���� 7��� ��� ���" ���� �����3���� 7�� � "��� ����� �� ��� "���? �"� "��" �� "�� "/� ��"� �� �" �3���? "�� "��� ��� � �� "�� � ����� � � � �� "�� ��"� /���� �� �" � "�� �"�� ��"� 2� �������? �" ����� �"��" � �� �" �3��� "� ��"�� � � $� ��� "�� ���" ���� �3���� 7���

�������? �" �� � ������� ��� �� + ��� $� � *� � + � � � � + $ �� $ �+ �� "�� "����� ����"�( � � "�� � "�� ��� � "�� ���" � � �" �3���� �� ��� ���" ���� ������ "� � � "��� ����� *� � + $ � � � + �� "��� �� ����"�( � � "�� � "�� ��� � "�� ���" /���� �� � 7�� � � �" ���" �3��� L�� ��� ���" ���� ���� ������ "� L� � "��� ����� *� "��� ��� ����"�� � ��� � ��� �� � "�� �1�( "�� � "�� ��� � "�� ���" �3���� 7��� ��� ���"���� ������ "� 7�� � "��� ���� ������ "�� � + � + � + $ � � �� "�� ���" ���� ������:�; :�;� :��; :��; + �

/�� ������� 2#2 "� ��- � ���� � �� �� �� �� 7� ����� ��� ������ �� � � :&�� � � �� &�; ��� �� 7� ����� ��� ������ �� - � :!�� � � �� !�;� ��� � � - + &!� /� ��-� ���� � �� �� � ���

:� -; + -��&�!��

-�� ��� + ��

/����4 ��� =�" ����� �� �1���� ��� "�� ��= �"�� �� "�� ��" �����"� ��� ���� � ��1��=�� ( �����( ����-� � �" /�-�� 2� �������?

� - �������

� 0 ,

&� &� &�!� !� !�

������� � ��

:� -;� + :&�!� � &�!�; �

2�� "�� ��1� ������ � "�� ������"�� ?

-���&�!� � &�!� � &�!��

"�� ���� "�� �� ��� ����� �� :� -;� � � :� -;� �� 1��=�� �������(� ��� ���" ����������/� ����"�( ��� "�� ��= �"�� �

,�"� "��� �"�"�� ? (�� �� �����( �����1� 1��"� ��� "�"��� � � �������( �������� �/���� � 1��1� "�� ���� �����"�

Page 53: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� $�

���� �� 2#2# ������ � �� ��� ����� ������� :� -; )�

2�� "�� ��1� ����"�� ������?

::� -; ); + -�� :� -;� ��

+ -��-���&�!���

+ �-��-���&�!���

+ � :��� � ���;&�!���

+ � :&!��� � &�!��;

+ � �)! � - �)&+ ::� �); - � :- �);�; �

5� �� "��� ����� �� ��� �� �" �����/� "��"

:� -; ) +:� �);- � :- �);��

���� �� ���� �"�"�� � � �" /��� � ���� � "�� ��" �� "�� ��- /�� �1� �� 1� �� "���"����(? "��� �"�"�� �� � ������� ���� �� ����"�� � ��� �����"� � /���� "�� ��1�� ��"�� � ����� �� ���� ����"� "? �" "��� �� "��� �� "��� ��� �� ��� �"�� ��"�� E�� /������ �" � ��1� ��� ��-� � ����� ��� � ��(���� � � � �� ��� �� *" ���� ����� � "����0��" �� ��D�� "��� �����"(�

!�# ��������

�� !����1� � 1��"� ��� "�"( �� � :- ); �

�� !����1� � 1��"� ��� "�"( �� :� -; � :6 ); �

�� !����1� � 1��"� ��� "�"( �� :� -; :6 ); � "��� �� �� �����"��

#� 5������( :� -; � :- ); :) 6; �

$� 5������( �� -�� B :� -;� � ���� �-�� �

%� '�1� "��" -��-�� + ����

Page 54: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

$# ����������� �� ��� ���� � � �

Page 55: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

������� ��� �����

������� �����

"�� 0� ����

E�� ��1� �/ ���1�� �(�"��� �� �3��"�� � ( /�"� � "��� � "��� �� � ����� "�� ��"��� � "�� ��� � �/ ����"�� � � "��� ����� "�� ��"��� *" "� � ��" ���� ��"� ������(� �� ���� �� ����"� " ��� �� ( �"�� ��D�� " ��� "� �� 1��/� ����� ������ ������ ������� * "���� �"�� ���� /��� ��/�(� � ��"�� ��� � ������� �����

� ��"�� �� � ��"� ���� ��( ����� 5�1��� �� "��� �� ����� "� �� ��"�����2� �������? ��� �� � ��"��� �� � � � #

$ � � �% �& � �

������ ��"�� �� � � # ��"�� ������ "��� �� "��� �/� � � ��� ����� �� ��� =�"

�/ �� :� � � #; � "�� ���� � �/ �� :$ � � �; � � �� ��"�� ��� =�" ����� ��

�� �$%

�� � ���

�� 1� "�� � ����� � /�"� ��"���� �� "� ��/�(� ���" "�� �/� =�" � � "�� "�� ����� ������? (�� �� ����� "�� ����� � �� ��-� ����� � � � <��- "������ ���( �"� � �����" /���� "�� �/� 0��" ��( "��� ��-� �/� ���� ( � "��"� � � ���/�� =���� ����� "� ��"�� ��"�� �� ��� "�=�� ������ � "� ����"�� � "�� ��"��� 2� �������? � �� � ����"�� �� � ������ �" �� � "�� ���� � �/ � � "�� "��� ����� � E�� ����" ����� "��" (����/�(� ���" "�� �/� ���� "�� ����� � ( ��� � "�� �������)�� �"������ ��� �(���?:��; ���� "� � ��"�� � /���� "�� � �� �"�� "�� �/ � � "�� � �� �"�� "�� ����� � I�� �"��� �"�"�� � "�� ��1� ��"��? ��� + �� ��� + �&� ��� + �� �"��

���� �� 1����� ����"�� � /���� �� �� � � ��"����� ���( �� ����"���� � �����?���"������ ( � ����� � � ����"���� ���"������� �� �����"�"� ����� ���"������"�� ? �� ����"�� �����/� � ��������

�� � � � #$ � � �% �& � �

�� +

�� � % & ���$ % �# ���� ��� � %

�� �

��� �/ ��"�� �� �"�� �� ( ���"���(� � �1�( � "( �� "�� ���� �� ��"�� ( "�� ��1� ������ *� . �� � � � ��"��? �. �� ��= �� "� �3��� :��;.�

�/� ��"���� /���� �� "�� ���� ��7� �� � ������ ,�� "��� �� �� �? "�� ����" �� "��

$$

Page 56: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

$% ������� ��� ������ ������������

��"�� /���� �� �"�� �� ( ���� � ������ �� � � "���� ������ � �� #$ �

��B

�� �� #� �% �#

�� +

�� %$ ���� ��

�� �

�/� ��"���� �� �3��� ����"�( /�� "��( �� "�� ���� ��7� � � "�� ������ �� � � "����� ��� "����� ���� ��

�� �+�

������ "��( �� ��D�� " ��7��� �� �"�� ��1�? (�� /�"� :��; �� "�� ��"�� ' /�������� � "( �� �� � * ��� � ��"���"�� /�"� ��"���� (�� ���" ��= � /��" ����� � � "����� "�� �� ����"���� ������ "�� � "��� �� "�� ��"�� � "�� ����� � "� �� "�� ��"���

��� ��1� ��������� �"�"�� �� �� ��� ��"���� �� ��1� � "�� �����/� � ��= �"�� �

'�3������ #2�2� "� . + :��; ��� " + : �; � ��� � � ��� ���� ��� . B " + '��

' + :��;

�� �� + �� B � � -�� �� �� � ����

. + :��;

�� �� + �� � �� ���� .� �� ������� � �� �� ���� �� � �� �� ��� �� .� ��% � ��� �� ����� �� �� � �� ��� �� ���������� �� � % ���

!� �" � ����" ( "�� ��� �� "�� ������"�? ��� ��� �������� �� + �� B � �� 0��"��(� � "��" (�� ��� ������ �� � � "��� "� ��" "�� ����" �� ����� � "/� ��"���� ����������� ��1��

��"� "��� �� � � 7�� ��"����? � # 7�� ��"����? �"�� * ���" �� �1�( ��7� "����� � 7�� ��"���

,�"� "��� ��= �"�� ? "�� �����/� � ����"��� �� ��� �1���� �" (�� ������ 1���( ��� ��"���� ����"��� �� 1���� �� .? "� � � '� � � ��"���� � � � � � 7�� ��"��?

.B" + " B.� :$��;

"�� �����"�"�1� ��/ �� ����"�� ?

:.B"; B ' + .B :" B '; � :$��;

"�� �������"�1� ��/ �� ����"�� ?

.B + .� :$��;

"�� ����"� �� �� � ����"�1� ��� "�"(?

.B :�.; + � :$�#;

"�� ����"� �� �� � ����"�1� � 1���� ����? �� �� ������? "�� �����/� � ���� �����

� :.B"; + �.B �"� :$�$;

Page 57: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� $�

:�B ;. + �.B .� :$�%;

� : .; + � :.; � :$��;

�. + .� :$��;

��� ��1� ����"���? :$��; L :$��; �� - �/ �� "�� 1��"� ����� ������ � � "�� ���""��" "�� � � ��"���� ��"���( "���� ������ �� /��" �� ��� " ( ��(� � "��� ��" �� ��"�������� � 1��"� ������ E�� ��( ��� "� �"��( "���� ��"��

'�3������ #2�2� )�� ��� ����� � � � � � � � ������ ��� ���� � ��� � ���� ����� �� � ��� �� � ����

� +

��� �����

����� � � � ��� �� ��� ��� � ����� ���� ��� � � � ��� �� �� �� �� � :� � � � �; �� � � �� �� � �� ���� �

��� "�� ��1� �� = �? �" "�� ��� ���� �� �� ����� � ��"���� �� "��" "��( �� ����"������� ���� �� /��� "�� �� 3��" �� � � ���

2��" �� ���� "�� ����� �� ���"���(� � � � � ��"�� ( � � � ����� 1��"���� ���� "�� �����/� � �������

�� � �# $ %

�� ��&

�� +C

��� /�( * ��-� "� ����� "��� �� �� �����/�� 5���� "�� 1��"�? ����� � �" � "�� "�� "/��/� �� ���/ ��

���

��

#

�$

�%

�� �

���"���( "�� ���� � "�� "�� ( "�� ���� � "�� �""�� � � ��� "��� �� "� ��"� �� ��� ��� �� ���� �/ �� "�� ��"��� ����� ���� �� ���"�� � "�� ���� �����1� �? � "��� ����? � � � ��"��� ����

�� � �# $ %

�� ��&

�� +

�� � B � � B & �� # B � $ B & %

+

�$ ���

* ��� �� ��� "���?

���� ��� ������ ��� ���

�� ���

�� +

����� B ���� B �������� B ���� B ����

4�"�1�"�� ( "��� �������? ��� �� "�� ��= �"�� �� ��/ "� ���"���( � � � ��"�� ( � � � ��"��� :1��"�;

Page 58: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

$� ������� ��� ������ ������������

'�3������ #2�2� "� . + .� � �� � � ��� �� ��� � - � �� � � ��� ��

- +

��� !����!�

������ .- �� �� � � ��� �� ��� �� ��� �������� �� ���� ��� �� ��

:.-; +

�����

.�!� �

����

.- +

�����

��� .��!������

���.��!�

��� � :$�&;

/� ��� �� �� ��

. + :��� � � �� ��;

�� �� �� � �� ������

.- +

�����

!���

���� ����� � �� �;�<� ��� �� ��� ������ ���� �� ��� ����� �� . �������.��

.��

���.��

������� �;�<� ���� ��

!�

�����.��

.��

���.��

�����B !�

�����.��

.��

���.��

�����B � � �B !�

�����.��

.��

���.��

�����2�� ��� ���� ������������ �� �� � � ��� �� ��0� �� � � ��� �� ��� � ����� ��� � ��� ���

6�� �� � �"�� ��������

���� �� #2�2 7�����

�� � � � � � � ��� � # �

������

�� �

���� �

Page 59: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� $&

2��" �� ��� "��� �� �� "�� ��� :� #; :# �; � � �� "�� ����" ������ � � :� �; � ��"���/ "�� � ���� ���� �� ���� �� ��" "�� ����� " � "�� ���� � �/ � � =�" � � � �(����� ? �����"�

�����

���!� + ���!� B ���!� B ���!� B ���!�

+ � B � � B � B :��; � + ��

E�� ������ �� "�� ��" �� "�� ����� � � 1���(

�� � � � � � � ��� � # �

������

�� �

���� +

�� ��$

�� �

,�"� "��� �� �? "�� ��" "��- �� "� ���"���( � � � ��"�� "���� � � � ��"���.���� ��� � ��? "�� �����/� � ��( � ��������

:� ����� ���� �����

��; :� � ; + � �

"� ��� �)� ���� ������� ��7� ���!�8 ��� !��7� ����� �� ��� �����!��9

��" . � � � � ��"�� � � ��" " � � � � ��"��� ��� " �� �� "�� ���

" + :��� � � ����;

/��� �� �� � � � ��"��� ��� � � � ��"��? ." �� ��= �� �� �����/�K

." � :.��� � � �� .��; :$�� ;

/��� .�� �� � � � ��"��� 6� �� ." �� 0��" ��= �� �� � � � ��"��� 2� �������?

���� �� #2�2# )����� �� ��������

�� � � � �

�� � � � ��� � �

����� =�" "�� � (�� ��� "� ����- ���� ��� � � ("�� � ���� �� /��"�� �" �� ������� "�

�� "�� ���"������"�� � ��� =�" ��"�� �� � � � � � "�� ���� � ��"�� �� � � �� �������?�� �" ������� "� ���"���( "���� ��"����� ������ � "� "�� ��1� ��������� �" ������ � �� � ��"�� �� "�� ����������

����� ������ �� ��� � � � �

�� � ��

���

������ ������ �� ��� � � � �

�� ���

���

���� ������ �� ��� � � � �

�� ��

���������

Page 60: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

% ������� ��� ������ ������������

E�� - �/ ��/ "� ���"���( � ��"�� "���� � 1��"� � � �� (�� �� �� "� �"�� ���� �� "��"��� ����� �� �����

� � � � �

�� � � � ��� � �

�� +

� �� & ��� � �

6�� �� � �"�� ��������

���� �� #2�2& )����� �� ���������� � � � ��� � �

���� � � � �

2��" ����- �� �" �� �������� ���� �� �� "�� ��� :� �; :� �; � ��� � ���� ���� �� �"��"�� � � �� (�� �� 8" �� "��� ���"������"�� � ���� ��� � "��" � ("�� � (�� /�"� /��� ������"� � �� �� ������ �" �� ��������� "� ���"���( "���� ��"���� � "��� ���� �� 8""��( "�� ���� "/� ��"���� �� ������ � "�� ��1���� �������C E�� "��( ��� *" �� 0��""��" ��� "��( �� � � ��D�� " ���� ���� ���/� ����"�� � (�� ���" ��/�(� ��������" ��"�� ���"������"�� �

���� $������9

4�"�� ���"������"�� �� �" �����"�"�1�� ���� �� 1�( ��D�� " "�� ���"������"�� �� ����P

*" �� ����"� " "� ������ ��"�� ���"������"�� � "��� �� � "��� �� "�� ��"�����,��" �� "�� ���� � "( �� ."C *" /���� � "�� ��� � "( �� "�� ��� ����� �� ."� ���� �"/���� � "�� ��� � "( �� .�� � ��/

�� +

��� "��

���"��

���� � ��� "�� ��1� ��= �"�� ? "�� ��� � "( ��

�����

.�"�� � :$���;

���� ��"�1�"�� "�� ��= �"�� �� ��"�� ���"������"�� /���� ��� "�=�� "�� ���� � "��� ��"�� �����"�

'�3������ #2�2� "� . + :.�; � �� � � ��� �� ��� � " + :"�; � �� � � ��� ������ ." �� �� � � ��� �� ���

:.";� +

�����

.�"�� � :$���;

��� ��� ��� . ��� " � ���� �� � ����� ��� �� � �� ����� � � �� ��� ��� �������� �� ���� � � � ���� �� . �� �� � $ ��� �� ��� " �� � $ � ��� . ��� " � ����� ��� �� �� � � ."�

���� �� #2�2( )����� �� ������

�� � �� �� %

���� � �� % �

Page 61: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� %�

2��" ����- "� ��� �� "��� �� �������� *" �� �� "�� ��� :� �; :� �; � � �� �� "�� � ���� ���� ��"��? �" ���" � ������� "� �� "��� � � "�� ����" ������ � � � � ��"��� ���� �/� �� �� "�� ������� � �

� �� %

�����

�� � �� �� %

����%

�� � �� �� %

�����

��/��� "�� ������ �����"� "�� ����� � � "�� ����"� � �����"� ���� "�� ��1� �����"�3���� �� �% �$ $

�� �$ $#% #� �#

�� �

� � � ��"�� �� ������� * "��� �� "�� ���� � "��� � � "�� ��1� ��= �"�� ? "�� � "( � "�� "��� �/ � � ���� � ����� �� "�� �����" ������ �3����

��� �� + ��� �� B ��� ��

+ � � B % % + #��

E�� ������ "( � ��/ ��� ���� �������� "� 1���( "�� ��1� ��= �"�� � "��� �� "�� ����

� "��� /�-� �� �"�� � "����

���� �� #2�2� )����� �� ������

�� � �� �� %

���� � � �� % �

�� �

���� �� �" ������� ������ �" �� �� "�� ��� :� �; :� �; � � "�� ������ ������ 8" ��"���

���� �� #2�2�+ )����� �� ������

�� � � �� % �

���� � �� �� %

�� �

���� �� ������� ������ � "��� ���� �" �� �� "�� ��� :� �; :� �; � � "�� ������ ���� �� ��"��� ,�� "�� ���"������"�� �� �� � �" �3������ �� ��

�& ��

�� �

����- "��� � � � ��� (�� ���� �� /�"� "�� ���� � �/��

���� �� #2�2�� )����� �� ������

�� ���

���� � �

��

* "��� ���� (�� �� "(� � "� �� :� �; :� #; � ��� � ���� ���� ��"�� �� (�� �� �� �"� )���( �� �

��

���� � �

�+

�� � � � � # � � � �

���� ��� "�� ��" ��1�? ����"���� �" �� ������� "� ���"���( ��"���� � � � ��� �" �"

� "�� �"�� ���� ,��" �� �" ��-�� �� �� "� ���"���( "��� � ��"�� ���C ,��� "��( ��3��� "�� C

Page 62: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

%� ������� ��� ������ ������������

���� �� #2�2�� 7����

�� �� #

� ��

���

� ��

�� �� #

��� =�" �����" �� �� �� #

� ��

+

�� �# �

"�� ���� � �����" �� � ��

�� �� #

+

�� #� �

� � (�� ��� "���� �� �" �3���� �������? (�� �� �" �� ����� "��" ." + ". �� ��"�����"������"�� � 6�/�1�? "��� �� ���� ����"��� /���� �� �����

/�� ������� #2�2�� /� � ������������� ��� ��������� ��0 ��� �� ������� ��� �� ��� ��� .�"�' ��� �� ���� ��

. :�" B '; + � :."; B :.'; :$���;

:" B ';. + ".B '. :$��#;

. :"'; + :.";' :$��$;

/����4 I�� � "�� ����"�� � ��� �����"�� �� 1� "�� � � "�� ��1� ��= �"�� ����"�� ���"������"�� ?

:. :�" B ';;� +��

.� :�" B ';��

+��

.� :�"�� B '��;

+ ���

.�"�� B ��

.�'��

+ � :.";� B :.';�+ :� :."; B :.';;�

���/� � "��" . :" B '; + ." B.' �� �������� 2����� :$��#; �� � "���( ��������� ���� :$��$;? "�� �������"�1� ��/ �� ���"������"�� � .���� ���� � "���? �1��/ "��

��= �"�� �� ��"�� ���"������"�� � "��� �� � "��� �� "�� ��"�����

:. :"';;� +��

.� :"';��

+��

.�

��

"��'��

+��

:.";� '��

+ ::.";';� �

���� ��1�� :$��$;�

Page 63: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� %�

� �"�� ����"� " ����"�� � ��"���� �� "��" �� "�-� � "�� "� ������ ��� �����/� �������� ���/� /��" �� ��� " ( "��� ����"�� ? �� �"�� ( ����� � � / �� � ���� � " � "�� ��"��� �� � � B ��

� �� %

���

+

�� � �

� B �� � %

,��" ����� ��C ��� =�" ����� ����� "�� =�" �/ � � "�� ���� � ����� �����"�� ���� � �/� ���� "�� � � ��"�� ����� � � � ��"��� ��� ��� � /�� � "������ � �/ � � "�� =�" ����� � � �" � ��� �� � "�� =�" �/ � � ���� � ����� � ������"�1�"�� "�� �����/� � ��= �"�� �� "�� "� ����� �� � ��"���

'�3������ #2�2� "� . � �� � � ��� ��� ��� .� ����� �� � � ��� �� ������� ���� �� ������ �

.���+ .�

��� "� ����� �� � ��"�� ��� "�� �����/� � ����"� " ����"(�

%���� #2�2�# "� . � �� � � ��� �� ��� � " � � � � ��� ��� ���

:.";�+ "�.� :$��%;

��� �� � ��� � ���� �

:�.B ";�+ �.� B "� :$���;

/����4 2�� "�� ��= �"�� ?:.";

���

+ :.";�

+��

.��"�

+��

�"�

��

�.�

���

+�"�.�

��

:$���; �� ���" �� � ������� � � "��� ��1�� "�� ������

'�3������ #2�2�& -� � � ��� �� . �� ���� �� � ����� �� �� . + .� � /� �� ���� �� ��0� ����� �� �� .� + �.� �

���� �� #2�2�� "�

. +

�� � � �� $ ��� �� �

�� �

��� . �� ����� ���

���� �� #2�2�( "�

. +

�� � ��� ��� ��

����� . �� �0� ����� ���

Page 64: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

%# ������� ��� ������ ������������

���� �� � ������� ��"�� ������ 0 � � ��= �� (

0� + �

/��� � �� "�� M� �-� �(��� ��= �� (

� +

!� �� � + � �� � �+ �

*" �� ������ "�� ��� "�"( ��"�� ������ �" �� � ���"������"�1� ��� "�"( � "�� �����/� � �� ���

%���� #2�2�� '����� . �� �� � � ��� �� ��� 0� �� �� � � ������� ��� ��� ���.0� + .� /� 0� �� �� � � ������� ��� �� �� ��� ����� ���� 0�. + .�

/����4

:.0�;� +��

.���

+ .�

� � �� .0� + .� ��� �"�� ���� �� ���" �� � ������� �� (���

'�3������ #2�2�+ -� � � ��� �� . ��� �� ��� � .�� �� ��� ��� �� ..�� + .��. +0 �� 0 + :�; ��

� �!

� �� � + � �� � �+ �

'��� � ��� �� �� ��� ��� ����

$���� ����� ��� %������ &' � (����#

� ��""�� ��"� � ������ �� ��1� �� "�� � 1��� �� � ��"��� 6�/�1�? �" �� �" � ���� /�("� = � "�� � 1��� �� � ��"��� ���� �� � ���� ����� /�( � � �" �� "��� /���� �� ���� "������ *" �� ���� ����"� " "� �"� "��" �" ��� ��"���� ��1� � 1�����

���� �� #2�2�� "� . +

�� �� �

� ��� . ��� �� ��� �9

� � ����" "�� - . /���� ��1� � � 1��� ������ �" ���� �" �3��� 7��� 6�/�1�?�� �� �

� ���

+

� � �� .�� ����"��? "��� ����� �" ����� ������ (�� ����� /�"��

+ .��

��

+ .��

�.

� ���

+

+�.��.

�� ���

+ 0

� ���

+

� ���

� �� "����"�� � ���� "�� � �/� �� "��" . ���� �" ��1� � � 1����

Page 65: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� %$

���� �� #2�2�� "� . +

�� �� �

� '���

�� ���� �

�� �� ��� � �� .�

�� ����- "���? ���"���(�� �� �

�� ���� �

+

�� �

� � �

� ���� �

�� �� �

+

�� �

���/� � "��" "��� ��"�� �� � ���� "�� � 1��� �� .�

* "�� ���" �������? ��/ /���� (�� = � .��C E�� /��� "� = � � ��"��?

� � �

���� "��" �

� �� �

� � �

+

�� �

���� �3���� "�� ����"�� �� "�� �(�"��� �� �3��"�� �?

B + �� B � +

� �

� B � + � � B �� + ��

,�"� � "�� ����� "�� ��"�� �� "���� "/� �(�"��� ��1���� � �� �

:$���;

�� "�� =�" �(�"�� � � �� � � � �

:$��&;

�� "�� ���� �� ��"� ���1� "�� =�" �(�"��� ��-� :��; "���� "�� =�" �/ � � ��� "� "������ � "� ��" �

� � � � ��

��/ "�-� :��; "���� "�� ���� � �/ � � ��� "� "�� =�" "� ��"�

� � � ��

'�""� � � "�� 1������? "��� ��(� + � � � + �����/ ���1� "�� ���� � �(�"��? :$��&; "� = � � � � �� ��-� :��; "���� "�� =�" �/ � �

��� "� "�� ���� � "� ��" �� � � �

Page 66: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

%% ������� ��� ������ ������������

��/ "�-� :��; "���� "�� ���� � �/ � � ��� "� "�� =�" "� ��"�� �� � �

'�""� � � "�� 1������? "��� ��(� � + �� � � � + �� �������? "�� � 1��� ���� ���� �

!�� 8" "�� ��1� ���� �"�� ���"�"�1�C ��"� "��" ����"�( "�� ���� �/ ����"�� �/�� ���� � �"� �(�"���� * ���� ����? "�� � � ����" /�� ����"�� � �� "�� ��� :0 �-;/��� 0 �� "�� ��� "�"( � � - ��1� � ����� �� "�� � 1���� * "�� ��1�?

� "�� =�"

����� �� "�� � 1��� /�� �"�� �� =�" � � "�� "�� ���� � �����

���

���� �� "�� ���� �� "�� �����/� � ������ ������� �� = �� � "�� � 1��� �� � ��"������� ������� �� ������ "�� <���� >��� ��������

/��!���� #2�2�� '����� . �� �� � � ��� ��� �� ��� .�� �� �� ����� �� � ��������� � �� ��� ��

:.�0;

��� ��� �� �� �� ������ ���� ��� ������ �� � �� ��� �� �� �� �� �

:0 �"; :$�� ;

�� ������� .�� ���� ��� �� ��� " + .��� �� ��� �� . ��� �� ��� � ����� ����� �� �������� �� �� �� �� ������ ��� �� �� ���� �� �0 �;�(6��

���� �� #2�2� "� . +

�� � �� �� �� � ��

��� ���� .���

2�� "�� ����� "�� ��"��?�� � � � � �� � � � � �� �

�� �

��/ �� �/ ����"�� � � "��� "�� � � ��"�� � "�� ���" ������ "�� ��� "�"( ��"��� ����(����� ��"� ���� �����"�"�� �?�� � �

���

� � �� � � � �

� � ��

��� � �� "�� � 1��� �� . �� "�� ��"�� � "�� ���"?�� �

���

� �� � � �

� � ��

�� �

Page 67: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� %�

����-� � "�� � �/� �� ���(� >��" ���"���( "�� ��"���� � � ��� �� �" /�-���� � �� �� �� � ��

���� ��

��

� �� � � �

� � ��

�� +

�� � � �

�� �

��/�(� ����- (�� � �/� ������ �� (�� �� ��-� ���� �� ��? (�� /��� ������( ��1� ���� ����"�-��

���� �� #2�2�# "� . +

�� � � �� �� � ��

��� ���� .���

5�" �� "�� ����� "�� ��"��? :.�0;�� � � � � � � � � � �� �

�����" "�-� :��; "���� "�� =�" �/ � � ��� "� "�� ���� � �����/�� ( :��; "���� "�� =�"�/ ����� "� "�� ���"� ���� (������� � � � �

�� �� � �$ �� �� �

�� �

��� "�-� $ "���� "�� ���� � �/ � � ��� "� L� "���� "�� ���" �/��� � � � � �� �$ $ �# � $ ��

�����" "�-� "�� ���" �/ � � ��� "� :��; "���� "�� "�� �/� ���� (������� �� ��# �% $ ��

�� �$ $ �# � $ ��

�� �

��/ "�-� :���$; "���� "�� ���� � �/ � � ��� "� "�� "����� �� � �� �� �� �$ $ �# � $ ��

�� �

2� ���( ��1��� "�� "�� �/ ( L�? "�� ���� � �/ ( L� � � "�� �""�� �/ ( �# /����(����� �� � � �

� �� � �

� � �

����� � �

�� �

�������? "�� � 1��� �� �� � �

�� � �

� ���

��� � �

��

Page 68: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

%� ������� ��� ������ ������������

���� �� #2�2�& "� . +

�� � � �� �� � #

��� ���� .���

,�"� "�� ����� "�� ��"��? :.�0;�� � � � � � � � � � # �

��� � ������ "� �� �/ ����"�� � �""���"� � "� �"��

�0 �.��� � ��-� :��; "���� "�� "��

�/ � � ��� "� "�� ���� �� ��� "�-� :��; "���� "�� "�� �/ � � ��� "� "�� �""����� � � � � �� �� � �� �� �

�����" ��� :��; "���� "�� ���� � �/ "� "�� �""�� �/��� � � � �

�� �� � �� �� �

���" "��� ��� "? (�� �� ��� "��� /��� � � � 1��� ������ (�� ��1� �"�� �� � �/ �� 7���� "�� ���" ���� �� "�� ����� "�� ��"��? :.�0; � ���� "��� /��� � � /�( "� �"�� 0 � "�� ���"� * �"�� /���? "�� "��� �(�"��� �� �3��"�� � (�� ���" ���1� "� = � "�� � 1�����1� � ����"�� � * ��"�����? "��� �� � ����"�� �� "�� =�" ����� �� .�� /���� ���"���1�

.

�� �

�� +

�� �

�������� � ��3�� �� �� �/ ����"�� � ����� "� "�� ��������� �3��"�� ? B B � + ���

"�� ��������

�� * :$��; L :$��; ������ �. � � �

�� ��" . � � � ���"��� 5��/ . �3���� "�� ��� �� � �(���"�� � � � �-�/ �(���"����"���

�� 5��/ �1�( �-�/ �(���"�� ��"�� ��� ��� 7��� ��/ "�� ��� ����� ��� ��� ��� ����� �� �� ���"� �� �1�( � "( �� "�� ��"�� /���� �� �� "�� ��� �� *" � � ���"�� ���� ���" ��/ "� "�� ��/� ���"�

#� I�� � � �( "�� ����"��� :$��; L :$��; ���/ �. �� � �3���

$� I�� � � �( "�� ����"��� :$��; L :$��; ���/ �� � �3���

%� I�� � � �( "�� ����"��� :$��; L :$��; ���/ . + � 6�� "�� � "�� ���" �� "�� ����� � � "�� � "�� ���" �� "�� 7�� �� � � ��"�����

�� I�� � � �( "�� ����"��� :$��; L :$��; � � ��1���� ������ ���/ :��;. + �.�

Page 69: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� %&

�� '�1� :$���;�

&� '�1� "��" 0�. + . /��� . �� � � � ��"���

� � ��" . � � � � ��� � � ��"�� � � ��" � � �� � � � � �� � 5��/ :.���;��

+���.��

���

/��� :�� �;��

�� �"�� "�� ��" �����" � �� �

��� I�� "�� ����" �� '���� � "� 1���( ����"�( "��" :.";�+ "�.� /�"���" ��-� �

� ( ���� �� "� ������"��

��� ��" � +:������ �; � � � +: � �� �; � 2� � ��� � � ��� �� ��������

��� <�1� � ������� �� ��"����? .�"�' ���� "��" " �+ '? . �+ � � � (�" ." + .'�

�#� ��" . +

�� � ��� ��� �

��? " +

�� �� ��� � ��

� � � ' +

�� � � ���� � �� ��

�� � 2� �

�� ��������

:�; ."

:; ".

:�; .'

:�; '.

:�; '"

:�; "'

�$� 5��/ "��" �� .�� ����"� �� � � � ��"��? "�� �" �� � �3��� ���" ��? �� ". + 0 � �." + 0� "�� " + .���

�%� 5��/ :.";��

+ "��.���

��� 5��/ "��" �� . �� � � 1�"��� � � ��"��? "�� �� �� .� � ��.�

���+

�.��

���

��� 5��/ "��" �� . �� � � � � 1�"��� ��"�� � � � �� � � � ��"�� ���� "��" .� + �

�� � � � � ��"��? "�� � + .����

�&� <�1� � ������� �� � ��"��? . ���� "��" .� + 0 � � (�" . �+ 0 � � . �+ �0�� � <�1� � ������� �� ��"����? .�" ���� "��" ��"�� . � " �3���� 7�� � � (�"

." + �

��� ,�"�

����� � � B ��

�� B ���

�� B �� B �

���� � "�� ��� .

��������

���� /��� . �� � �������"� ��"���

��� <�1� � �"�� ������� �"�� "�� "�� � � ��1� � "��� ���"�� �� "/� �3��� ��"����?. � � " ���� "��" ." �+ ".�

��� 5������ . � � " �� �3��� ��"���� �� "�� ���� ��7�� ,���� �� "�� �����/� � ������"C

:�; :.�";� + .� � �." B"�

:; :.";�+ .�"�

Page 70: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� ������� ��� ������ ������������

:�; :.B";�+ .� B �." B"�

:�; :.B";� + .� B." B".B"�

:�; .�"� + . :.";"

:�; :.B";� + .� B �.�" B �."� B"�

:�; :.B"; :.� "; + .� �"�

:�; �� � �� "�� ��1�� ���( �� ��� /� ��

:�; ��� �� "�� ��1�� ���( �� ��� ���"�

�#� ��" . +

� �� ��� �

� 2� � ��� � � ��"����? " ���� "��" ." + �

�$� '�1� "��" �� .�� ����"� � � .� + + "�� � + +�

�%� ��"

. +

�� � � �� � #� �

�� �

2� � .�� �� �������� *� .�� ���� �" ����"? ��"��� � /�(�

��� ��"

. +

�� � �� � #� �

�� �

2� � .�� �� �������� *� .�� ���� �" ����"? ��"��� � /�(�

��� ��"

. +

�� � � �� � ## $ �

�� �

2� � .�� �� �������� *� .�� ���� �" ����"? ��"��� � /�(�

�&� ��"

. +

����� � �� � � � � �� �� � � �

����2� � .�� �� �������� *� .�� ���� �" ����"? ��"��� � /�(�

"�� ���� �������� ����

.( :$���;? �� . �� � � � ��"��? "�� �� -�� 1��"�� � �� � � �� ������?

.

�� ��� �� ���B -

�� + �.�B .- � �� :$���;

Page 71: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ������ ������������ ��

'�3������ #2�2� - �������� . K �� � �� �� ��� � ��� � ����� ������ �� �� ���- � �� ��� �� ���� � �;�(&� �����

2�� :$���;? ��"�� ���"������"�� ��= �� � �� �� "� �����"�� �� 0��" ��= ��� *""� � ��" "��� �� "�� � �( "(�� �� �� �� "� �����"�� �1������� ���� �� . �� � �� ��"� �����"�� ��� �� "� �� � "��� �� ��/�(� � ��"�� /���� ������� .� .���� ���/� �"���? ��� �� � ������ ��= �"�� �

'�3������ #2�2� - ���� � � �� �� ���� �� �����!

� �

��������

�������

�������� �

�� �� & �� �� �� ��� �������� ��� �� � % �� � ��� �� ����

� + : � � � �� � �� � � � �� ;� ��� ����� "�� � �� � ��"����� 1���� �� � � �� /���� � ��D�� " "�� "�� � �� "��"

���� 1���� �� � � �� �� � �+ �� � � �� "��� �� �� �� "�� "�� �"��� 6�/�1�? /���� � ��� ��� " /��� � ��"��� �� ( "�� �� "��" � /���� "��( �����

����� 1��"�� ��1� � ��� �=�� " ����"(�

%���� #2�2� "� - � �� � ���� - �� � ��� �� ���� � � ���� � ����� !�� � � �� !�� ���

�� - + !� :$���;

-�� �� . �� �� � � ��� �� ��� ����� � � �� ��� �� � �� ��� .�� + .� :$���;

/����4 2��" �"� "��" �� �� � � � ��"�� � � - �� � � � ��"�� �� "�� ��1����"������"�� � :$���; ��-�� �����" �� ��� *" �3����

: � � � �� �� � � � ;

��������

!����!���!�

�������� + !

�� ���������� ���� :$���;� 2�� "�� ��= �"�� �� ��"�� ���"������"�� ��� � "�� ����"�� � ���

�����"�� �� 1� "�� ? � � �"� � "��" :��;� + ��

�� .�� + ��

��������

.�� :��;����

.� :��;����

.�� :��;�

�������� + ��

��������

.��

���.�

���.��

�������� + .�

( "�� =�" ��" �� "�� ������ ���� ��1�� "�� ������

Page 72: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ������� ��� ������ ������������

������� #2�2 "� � K �� � �� � � ��� � ����� ������� ��� �� ����� � ���#�� � ��� �� . ���� ����

.� + ��

�� � � � �� � �� ���� �� � �� ���� ��� �� �� ���� ��

�� ��� :$��#;

/����4 .( "�� �����?

:��; + �� �� + �� ���� +��� ���

���

��" .� + �� ���� "� ��1� "�� ����"� �� ��" �� "�� "�������� 1���( � �3�� ���? ������� "� + .� + �� �� ��� � � �� � ��� � ��"�����? "��� ��

"�� �� � + �� � � "�� ���"���( � "�� ���" ( �� "� �"��

"� + �� "�� + �� .�� + .�

���/� � . + "� ���� ��1�� � �3�� ����

�������� #2�2# - ��� � ����� ������ � K �� � �� �� ������ �� ���� �� ������ � ����� � � �� ���� �

/����4 ���� �����/� �������"��( ��� "�� ��1� "������ ��� � �3�� ��"�� ��"��� L� � "�� �� �� "� �����"�� /���� �� ��1� � :$��#; ���� �� � �( � "���� 1��"���

���� "����� ���/� "��" � ( �� �� "� �����"�� ��= �� � �� �� ��/�(� � �� ���L��� �� � ��"��� �������? "�� "��� @�� �� "� �����"�� A � � @��"��A /��� � ����� "���� ����(� 2� �������? "� ��( � ��"�� �� � � "� � �? ��� � "�� �� �� "� �����"�� ��"��� �� ( "�� ��"�� �� � � "� � ��

���� �� #2�2& ���� �� ��� � ����� ������ � K �� � �� ����� ��� �� � �� �� ����

��� +

���

��� ��� +

���

� � �� �� ���� ��� � ��� �� �� � ���� ��� � ����

�� ������ �� ���� �� ���� �� ��� �� ������������ �� �� ��� ���� �� �

"�! 1�������� �� 1����

'�3������ #2 2� "� ���� � � ����� � ���� � �� �� � - ��� ����������� �� ��� �� ������� �� �� �

����

��

�� �� � � ���� �� �� �� �� � ��� ������������ �� ��� ���� � �� ������� :��� � � ����; � /� � � �� � ��� � �� ��� � ������� �� ���� �� � ���� � ���� ��� - � ���� � �� �� �� ����� ��B - � � � ���� �� �� �� =���� ��� �� ��� ����� ������ �� ���� �������� ��� ���� ������������>� - ��� ����������� �� ���� ��� ���� �� � � ���� �� � �� ���� � �� �� ��� ����������� #�� % �� - �� �� ����� � �� ���� �� � ��� � �������� �� �� ��� ��� ����������� �� ��� ���� � �����

Page 73: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� � ������� ��� ����� ��

#��� �� % � ���� �� �� � ���� ��� ������������ ���� ���� � � ����� �� ��� ��� ��������� �� ����

�����

���� + +

�� ����� ���� � �� ���� � �� #�� % �� - �� �� ���� � ���� � � ����� � �� ��� ��� ������� �� �� �� ��� ��� � ��������� ���� �� �� �� ���� � �� ��� � ������ ���� ���� ���� � �� � + �� � � �� �� ��� � % � ���� ����

����� ���� + +�

%���� #2 2� - �� �� ���� � ���� � � ����� �� ��� � �������� �� ��� ��� �� ��� ���� ���� � ��� � ������� �� � ��� ����������� �� �� ��� ��

/����4 5������ =�" "��" ���� � � ����� �� �� ���( � ���� �� "� *� �� +�

� ��� ���� � "��

+ + ��� B�� ���

:���;�� �

� � "�1��� �� �� ���� �"�� ? �� "�( "� ������"�� � ���� ���/� "��" �� "�� ��" �� �� ���(� ���� �� "? "�� � � �� "�� 1��"�� �� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"����

��/ ������� � 1��"� �� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"���� *� ���� � � ����� �� ���(� ���� �� "C *� �" �� �" "��� ����" ������? �� �" ��� 7�� ���� "��"

����

�� + +�

5�( �� �+ � ��� (�� �� ���1� �� �� ��

�� +�� ���

:���; �����

�� "�( "� ������"�� � ���� ��1�� "�� ��������� �����/� � �� ������ "�� ����� �� "������

������� #2 2� �5������ ��� �� "� ���� � � ����� � � ��� � �������� �� �� ����� � ���� ���� ��� � �� �� ����:��� � � ����; � ��� � $�

/����4 !�= � ��� ���� � � ����� � �� �" �����/� "��� ����" ������? ��� � � �� �� ���� "��"

�� +

����

��� :$��$;

��" ��� �� "���� ������ �� �3��� 7�� ������ �� "��� /�� "�� ����? �" /���� �����/ "��"�� + � � �� ���� � � ����� /���� �" � �� ���( � ���� �� "� * ����? �� �� + +? ��� B��

�� � + �� + + � � �� "��� /���� ����" � � "�1��� �� �� ���� �"�� �� "�� 1��"������ � � ����� /���� �3���� 7���

5�( �� �+ � ��� ���1� ::$��$;; �� �� � � �"��

�� � ���

�����

��� ������ ���� �� ���� � � ������������ � � ����

�� �

!�= � �6�� � � �� 6���� (

�6�� � � �� 6���� � ���� � � ������������ � � �����

Page 74: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�# ������� ��� ������ ������������

�������? ��� ���� 6�� � � �� 6���� + � ������ �� - � �� "��� ����" �� �"� "� ��� � � �� �� ����"��"

- +

������

�6 B �����

��/ ������ "�� �� � "�� ��1� /�"� � �� �� ���� �"�� �� "�� 1��"��? ���� 6�� � � �� 6����"� �"�� - � ��� ���� 6�� � � �� 6���� � ��� 1��"� ��� � "�� ���" ���� � � ����� � ��� �/ �� ������� /�"� "�� 1��"� �� � � "�� ����"� � ����=�� ���" �� 1��"�� ��� "�� ���� ��� ��"�� ���� �� ���" �� 1��"��? ���� � � ����� �

��/ ������� "��" � � $ � � "��" ��� ���� � � ����� 6�� � � �� 6�� + � /��� "�� 1��"��?6�� � � �� 6� �� ���� "�-� ��� "�� ��"? ���� � � ����� � � � B � + $� ���� ��� �/ �� �� ��� � + � ��1�� ��� �� �� � � $� �" �����/� "��" � $ # � � � �� � B � �� �������?���� �� � 1��"� �" � "�� ���"? ���� � � ����� � � �� �� ��� ���� � � ����� 6�� � � �� 6�� + �� "�������" ������? � � � �� ���� "��"

���� +��

��

�� B

�����

��6� � :$��%;

��/ �" ��� "�� �� �� �3��� 7�� ������ �� "��� /�� ��? �" /���� �����/ "��" ���� � � �����/���� � � �� ���( ���� �� " ��" ������ � � �� "�� 1��"�� /���� �3��� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"���� �������? ::$��%;; �� � ���1�� �� � � �� "�� 6� ��( 6�� � "��� �� ����� � "�� �"�� 6 � � 0��" �� � "�� ��1� ����� "? ������ "��" 6 /�"� ���� "� �"��

���

"#$��� � � ���������!�� ������ ���� �� �

6�� � � �6���� 6���� � � �� 6�

%&' + ��

�� "� �� "��� /�(? �1� "����( �"�� � �

��� ���� � � ����� + ��

.�" "�� �� � ��� ���� � � ����� �� "�( "� "�� ������"�� "��" ���� � � ����� �� �� ���(� ���� �� "� �������? � $ �� ��������

'�3������ #2 2 - ���� �� �� ���� � ���� � � ����� �� � ����� �� �� �� ���� :��� � � ����; +�� ��� ���� � � ����� �� ��� � ���������

�������� #2 2# "� ���� � � ����� ��� ���� � � ����� � ��� ����� �� �� � ��� � + $ + ��

/����4 2�� "�� ����� �� "�����? � $ � � $ �� ��/ �"� "�� 1��"��?

� +

� �� �� ��� �� ���� �� �: � � � �� � �� � ��� ;

�� � + �� �� � � �� � �� � ���� �� �� � ���� ��1�� "�� ������(�

%���� #2 2& "� �-�� � � ��-�� � � �� �� ���� �� ��� � � ���� :-�� � � ��-�; �� � ���������

�(��� �� �� #����� ���� �� ����� )� ����� ��� ����� � � ����� ������� �� ��������� ����� ��

������� �� �� *(�� ��$� �����+� ��$� ����# �� ����,� (��� �� �� ������ �� ���� �� ���� ������ �� ������

Page 75: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� � ������� ��� ����� �$

/����4 5������ �� �� "/� ������ � � ��"��

��� ��-� � ���

��� ��-� �� "/� ����� "��� �� ,��" ���"

���

���

��-� B ��

���

��-�C

*� �" ���� � � C

�����

��-� B

�����

��-� +

�����

:��� B ��;-� � �

�� "�� � �/� �� (��� ���� ��1�� "�� ������

'�3������ #2 2� - ���� �� �� ���� � ���� � � ����� �� � ����� �� � ������� � �� �� ������ :��� � � ����; + � ��� ���� � � ����� �� ��� � ���������

�������� #2 2( "� ���� � � ����� ��� ���� � � ����� � ��� ���� �� � � ��� � + $�

/����4 2�� "�� ����� �� "�����? � $ � � $ �� �������? "��� ��1�� "��������(�

'�3������ #2 2� "� � � � ������� �� �� � ��� ��� :� ; �� �� �� �������� �� � ���� ���� �� ���� � �� � ������

�� ����� (�� ������ /� �� ���" �/ /��"�� � ��"�( ������� �1� ��� � �����* ���" �" ���� � � "��� �� � "�� ��" "������ 2��"? ��� �� � � "���"� � ������

%���� #2 2�+ '����� - �� ���� :��� � � ����; ��� ���� � � ����� �� ��� � ������������ ���� � � �����-� �� ��� ��� � ���������

/����4 5��������

�� �� B �- + +� *" �� �3���� "� 1���( "��" ���� � + � �"��" � + � .�" �� � �+ � "�� (�� �� ���1� �� - �� � �� �� ���� �"�� �� "�� 1��"��?���� � � �����?

- + ���

��

��

��

�� "�( "� ������"�� � �������? � + � .�" "�� ��

�� �� + � � "�� �� �� � ���� L�� �� �� ���� � � ����� ������� ���� � + ����� ���� ��1�� "�� ������

������� #2 2�� "� � � � ���% � ������� �� �� � ��� � ��� � ������

/����4 ��" -� � � /��� -� �+ � *� ��� �-�� + �� �"��� �-�� �� � ���� �� � ��"��/���? "��� ����"� -� � � /���� �� �" � ��� �-�� � .( ����� $�#�� �-��-�� �� ��� ���( � ���� �� " ��" �� 1��"��� *� ��� �-��-�� + � �"��? �-��-�� �� � ���� �� �� *���� �-��-�� �+ �� "�� "��� ����"� -� �� ��� �-��-�� � � �-��-��-�� �� � ���� �� ���(� ���� �� " ��" �� 1��"��� �� "� �� � "��� /�(? "�� ������ ���" �"�� ���� � B � �"��������� �� �"? �" /���� � ������� "� �"�� �B� �� ���( � ���� �� " 1��"�� �� "�( "�"�� ����� �� "������ ���� ��1�� "�� "������

* /��� "�� �����/� � ������( �"�"�� "��" � ( �� ���( � ���� �� " ��" �� 1��"�� �� � � ����� "� ��� � �����

�������� #2 2�� "� � � � ������� �� �� ��� � �-�� � � ��-�� � � ��� � ���������� �� ���� � �� � � ��� ��� �� �� � ����� �� � � �� ���� ���� � -���� � � ��-� �������� �-�� � � ��-��-���� � � ��-�� �� � ����� �� ��

Page 76: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�% ������� ��� ������ ������������

/����4 ���� �����/� �������"��( ��� "�� ���� �� ������ $�#���� E�� �� ����"�( "������ ����� " �����" (�� �"�" /�"� �-�� � � ��-�� �"�� "�� �-���

*" �� ���� "�� "��" � ( ��� � � ��" �� 1��"�� �� � ��"��"�� "� �"�� � �����

������� #2 2�� "� � � � ������� �� �� ��� ������ ���� :�� � �����; + � �� �� � � ���% � ���� �� ��� �� ���� ���� � �-� � ���-�� ���� ���� �-� � ���-�� ���� � ������ ��� �-� � ���-�� �� � ����� �� � �

/����4 ��" � � "�� �������" ����"�1� � "��� /�"� "�� ����"( "��" �� ���� ��"?�-� � ���-�� � ��� � ������ �

��� :-� � ���-�; + ��

��� � � � � �" ���" � "�� ���� "��" �-� � ���-�� �� �� ���( � ���� �� " ������ �� �"/�� �" ��? � � �� "�� 1��"��? ��( -� /���� � � �� �� ���� �"�� �� "�� �"���� .�""�� (�� ����� ����"� "��� 1��"� ��� �-� � ���-�� � � "�� ����"� � ���" �� � � � 1��"��/���� �"��� ��� � �� "�( "� "�� ��= �"�� �� �� ���� ��1�� "�� "������

"�" � ������ ��� �� 0� ����

��� �����/� � �� � "����� �� ��0� ��� �=�� ���

������� #2#2� '����� . �� �� � � ��� ��� ��� . �� �� �� �� �� ��� ��� �� . ������� -�� �� " �� �� � � ��� �� ��� ." + 0� ��� �� ����� ". + 0�

/����4 2��" ������� . �� � � "� � �� �� ���� "�� 1��"��? �.��� � � �� .��� /��� �� ��"�� ����� 1��"� /���� �� ��� 7��� �����" �� � � � "�� ��� ����"�� � ���� ��" �� 1��"�� ���� ���( � ���� �� " ������ ��

�����

��.�� + +�

"�� �� �� . �� �� ��?

.

���

���

����

�+ +

� � �� �� . �� � � "� � �? �" �����/�

�����

���� + +�

/���� ������� ���� �� + � �������? �.��� � � �� .��� ���" � � ���� �� �� �������� �" "��� /���� ����" � 1��"�? � �� ��� :.��� � � �� .��; � � "�� ( ����� $�#�� ?�.��� � � �� .����� /���� � � � ���� �� " ��" �� 1��"�� ��1� � �B� 1��"�� � �"? �� "�("� "�� ����� �� "������ *" �����/� "��" �� � � �� "��� ����" �� �"� "�? � ���� "��"

� +

�����

��.�� + .

���

���

����

���/� � "��"? �� �� � /�� ��"�(? . �� � "��

Page 77: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ��� ���� � � ��

���" ������� . �� � "�� ���� ��� � "�� ��� �� "�� ����� � �� . �3���� �� � *� "��������� � �� �" �� ���( � ���� �� "? "�� ( ����� $�#�� � '��� ��? � � �� "�� ����� ��� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"��� � � �� "�� ��� �� "�� ����� � �� . �3���� "�� ��� ��"�� �� � �"�� ����� �� ���� 1����"�� "�� ����� �� "����� ������ ���� � � �� ��� /���� �� �� ���( � ���� �� " ��" �� 1��"�� �� "�� �� � "�� ��� �� � �( �� � 1��"��� �������?"�� ����� � �� . ���" � � ���� �� " � � "��� �3��1��� " "� ��(� � "��" .� + + �� � �� �( �� � + +� ���� ������� . �� � � "� � � ������ �� .� + .�� "�� . :�� �; + + � � ���� � + +�

��/ ������� ." + 0� ,�( �� ". + 0C 5� �� ." + 0 �" �����/� " �� � � "� � � �� ���"��/���? "��� /���� ����"? � �+ + ���� "��" "� + + � � "�� ."� + .+ + + �+ 0���������? ��� /��" /�� 0��" ���/ ? " �� ���� � "�� * ����"�� "� "���? . ���" � � �"� � � ������ �� .� + +� "�� � + "� �� ���� � � � "�� � + ."� + .� + + ���/� �� + +� ��/ ��� /��" �� ��1� "� � ��? �" �����/� :.";. + . � � �� ��� � "�� �������"�1���/ �� ��"�� ���"������"�� ?

. :".;�. + . :".� 0; + �

.�" "��� ��� � :".� 0;� + + �� ��� � �� �� �"��/���? . /���� �" � � � "� � �� 6� ��". + 0 �� �������� ���� ��1�� "�� "������

���� "����� ���/� "��" �� � � � ��"��? " ��"� ��-� � � 1��� /�� ���"������ � � � ���� �� . �" �����/� "��" " + .��� � �" /��� ��" ��-� � � 1��� � �"� ����� �� .�

��� �� ������ �� "��� "����� ��"�� � "� �3��� ��"���� � �(� 2� �������? ��"

. +

�� � ��

�� � " +

�� � � ��

:$���;

���

". +

�� �

�"

." +

�� � � � ���

�� �

"�# 0� ���� �� ��������

��� �"��( �� ��1� � ����� �"� �(�"��� ��1�� � � "�1��� ������� �� "�� ������ ��� �� "������� � 1��1� � �� �� "� �����"�� � � � ��"����� �� ��� /�"�? ��� �� "�� �� ���" ��"�� �����" ��� ��"� ��� "� ��"�� ���"������"�� �

'�3������ #2&2� "� . :�; � �� � � ��� ��� '�� . :�; + :.� :�;; � '����� ��� ����.� :�; �� � ��3 ����� �������� �� � �� �� ��� ��� .� :�; � �

.�� :�;�� ���� �� .� :�;

�� �� ��� �� ����� �������� �� ������ ��� �� � �� ��� � ������� '��� �� � � ��� ���� ����� �� �� �� � ��3 ����� ��������� �� ��� � ��3 ����� ��� ���

��� ��" ����� �� 0��" � 1���� �� "�� �����" ����

%���� #2&2� "� . :�; � �� � � ��� �� ��� � " :�; � �� � � ��� �� ���� ��� �� �� ���� � �� �� �� �� ��� ��� ��� � ��3 ����� ���������� ���

:. :�;" :�;;�+ .� :�;" :�; B. :�;"� :�; �

Page 78: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ������� ��� ������ ������������

/����4 :. :�;" :�;;�+

�' �� :�;

�/��� '� :�; + .� :�;"�� :�; � � "�� ����"�� � ���

�����"�� �� 1� "�� �� �� � ����� �������?

' �� :�; + .�� :�;"�� :�; B.� :�;"��� :�;

+ :.� :�;" :�;;� B :. :�;"� :�;;�+ :.� :�;" :�; B. :�;"� :�;;�

�������? "�� ���� � "( �� . :�;" :�; �3���� "�� ���� � "( �� .� :�;" :�; B. :�;"� :�; � �"��� ��1�� "�� ������

$�)�� ��� !������� � ���������

*���� � � ��� " � "�� ������ �� "�� ��"�� ��/ �� ���� � �" 1��"��? � � ��� "� � 5��"�?� � ��� "� � ���" � � � � ��� "� � ����"�( �/�( ��� "�� �� "� �� "�� ��"��

������

�, ����0

!� �"� "�� =�" �� �? "�� ���� � �� 0 � � "�� "��� �� ,� *� (�� �� �"� �� � � "�� ��"�(�� /��� �� ���� "���� 1��"�� �� =���? �" �� ����� "��( �� �"� �� "�� ��"� "� �? "��(��� �� ����"�� � � �� ���� �� � ����"( � �� �"�� �� �� ��1�"������? �" �� /�"� �����""� "���� ����� "�( =��� 1��"�� "��" (�� /��� "� � ���"� � �������"�� ? 1�����"���? � ����������� "��

* �� ���? ��" ��� 0��,� � "�� ����� =��� 1��"�� � ����� � � ��" � :�; � 0 :�; �, :�; � � �"�� ���� ���� �� 1��"�� �� ���� �� ��-� "�� 1��"�� ������� � "�� =�" ��������*" �� ������� "���� 1��"�� �� '� �� �"�� � �� �� ��""� � "�� ����"�1� ���� ��"� � � "������"�� �� � :�; � "�� ����"�1� ���� ��"� � � "�� ����"�� �� 0 :�;? � � "�� ����"�1� � ������"� � � "�� ����"�� �� , :�; � (����� � ��1� � ����� �"� �(�"��� ��/ ��" � � � 1��"�� � ��" �� � ���� ���� �� "���� 2� ������� (�� ����� ��" �� + � ��� ��= � "������� � "� �� � /�"� �����" "� "���� 1��"��? �� 0�, �" "��� �� ��

� �&�� :��; B &�0 :��; B &�, :��; �

��" � :�; � ��= �� �� "�� 1��"� /���� ��� "�� ���� ����� � "� /�"� �����" "� �� 0�, �"�" "��� �� ����

� :�; � &�� :�; B &�0 :�; B &�, :�; �

� � "�� 1��"� ��� ��� ��� ��"����� "�� ����� � "� ��1� �"����� �� ����"�( "�� ��"��"�� � "�� ���� �� "�� ����� "�( =��� ���� 1��"�� � "�� ��"�

�� � �� � ����"�� 1��"� ��� "�� ��1� ���" � "�� ��"�8� ������ "� � ��� " ������ ��=��� /�"� "�� ��"� ��� "� �"� -���� � "�� ���� ����� �"�� ���"�1� "� "�� ����� �"� ����

Page 79: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ��� ���� � � �&

/���� �� =��� /�"� "�� ��"�� ��/ ��= � � �� �� "� �����"�� 1 :�; ����� � �� "� ��

(

1 :�;� � &�� :�; B &�0 :�; B &�, :�;

/���

� � &�� :��; B &�0 :��; B &�, :��;

���� ��""� � - � � 1��"� ��= �� � "�� ���� �� � �� � � � �� � ������?

1 :�; :��B -; � ��&� B !�

�� :�; B

��&� B !�

�0 :�; B

��&� B !�

�, :�;

+��&�� :�; B �&�0 :�; B �&�, :�;

�B

� !�� :�; B !�0 :�; B !�, :�;

�+ �

�&�� :�; B &�0 :�; B &�, :�;

�B

�!�� :�; B !�0 :�; B !�, :�;

�� �1 :�;�B 1 :�;-

���/� � "��" 1 :�; �� � �� �� "� �����"�� � ����? 1 :�; ����1�� ��� ���"� ��� ������?�� �� "�� 1��"��? � :�; � 0 :�; �, :�; ��� � �"�� ���� ��"?

�1 :�;�� +�

����

�&������

+ ��� �

%���� #2&2� '����� 1 :�; �� � � ��3 ����� � � ��� �� ����� � � �� ���������

��� 1 :�;1 :�;�+ 1 :�;

�1 :�; + 0� -�� �� � :�; � 1 :�;�� ��� �� ����� � ���� Q :�;

���� ����

�� :�; + Q :�; � :�; �

/����4 ������ "��" :6 �); + ��

�6B)�� � �6�)��

�� �������?

:1 :�;��1 :�;); +�

#

�1 :�; :�B);�� � �1 :�; :��);��

�+

#

��B)�� � ���)��

�+ :� �); �

���� ������� 1 :�;

�1 :�;� �)

�+ :� �);

�� ��� ��)� �������? 1 :�;�1 :�;� + � � � �� 1 :�;

�1 :�; + 1 :�;1 :�;

�+ 0� ���� ��1��

"�� =�" ��" �� "�� ������*" �����/� ��� "�� �����" ���? ����� $�%�� "��"

1� :�;1 :�;� B1 :�;1� :�;� +

� � ��

1� :�;1 :�;�+ �

1� :�;1 :�;

���

� :$���;

Page 80: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� ������� ��� ������ ������������

2�� "�� ��= �"�� ? 1 :�;� + � :�; �

�� :�; + 1� :�;� +1� :�;

�� �� �1 :�;

�� :�;�

��� /�"� � "�� ��"�� �� 1� :�;1 :�;�

/�"� �����" "� =��� � ����� �"�� ���� ����1��"��? ��� 0��,�� /��� "���� �� "�� ����� ���� 1��"�� �� �� � �" �����/� ��� :$���; "��"

"�� ��"�� �� 1� :�;1 :�;� �� �� "�� ����� ��� :�; �� :�;�� :�; ��� :�;��� :�; �� :�;

���� ���� "��� ���� �� " ������? �� �������?�� &�

&�

&�

���

:�; +

�� ��� :�; �� :�;�� :�; ��� :�;��� :�; �� :�;

���� &�

&�

&�

�� :�;

/��� "�� & �� "�� ����� � "� �� "�� 1��"� � :�; � "��� �� "�� =��� 1��"�� ��� 0��,���������?

�� :�; + Q :�; � :�; + 1� :�;1 :�;�� :�; :$��&;

/���

Q :�; + �� :�; ��B�� :�; 0�B�� :�;,��

������

Q :�; � :�; ��������� 0� ,�

�� �� ��

&� &� &�

������ ������&

� � ��&��B 0�

���&

� � ���

�B ,�

���&

� � ��&���

���� ��1�� "�� ����� � � (����� "�� ����"� �� ��" �� "�� �����/� � "������

������� #2&2 "� � :�; � 0 :�; �, :�; � �� ��� ���� ��� �� ����� � ���#� ���� Q :�;���� ���� �� � :�; �� � ���� ���� ��������� � �������� ���� ���� �� � :�; � 0 :�; �, :�; ����

�� :�; + Q :�; � :�; �

/����4 *" � �( ���� � "� ��1� � �3�� ���� 5������ Q� ���� /�-�� ��� � :�; + 1 :�;�� � �� �� :�; + 1� :�;� � �

1� :�;� + Q 1 :�;� + Q� 1 :�;�

�� ��� �� �������?

:Q�Q�; 1 :�;� + +

�� ��� � � � �� �� 1 :�; �� � � "� � � � � � "�? "��� ������� :Q�Q�; ) + + �� ��� ) � �"��� Q�Q� + +� ���� ��1�� "�� "������

Page 81: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ��� ���� � � ��

��/ ��" � :�; � � ����"�� 1��"� � � ��"

� :�; + � :�; B �� :�;

/���

�� :�; � :�; � :�;B :�; 0 :�; B� :�;, :�; �

�����Æ

����

��

�:�;

��:�;

�:�;

* "�� ������� �� "�� ��"�? � :�; �� "�� ����"�� 1��"� �� � ��� " :�; � "�� ��"�8������� � � �� :�; �� "�� ����"�� 1��"� �� � �"�� ��� " ��� :�; � "��� ����� � :�;�� "�� ���� � �� :�; �� "�� ����"�� 1��"� �� � ��� " �� �����1�� ( "�� ���1� � "����"� /�"� �����" "� "�� 1��"�� �� "�� -� �� �� =���� 5������(? -� :�; � � �� :�; /��� �"�� 1�����"( � � �������"�� ���"�1� "� � :�; � 0 :�; �, :�;? � � �� -� + �� B �0 B ��, � ��� + ��� B ��0 B ���,� ���

- � �� + �� B ��B �0B ��,B�� B 0� B �,��

.( ? :$��&;? �� � � ��� 0�,� � �� + Q � ������ "�� ����� � "� �� "���� 1��"�� /�"� �����""� �� 0�, �� �� �"� "� �������?

�� B 0� B �,� + Q �B Q 0B �Q ,

+ Q:�B 0B �,;

� � �� ��3�� "�(?

- + �� B ��B �0B ��,BQ �� + �� B ��B �0B ��,BQ :�B 0B �,; �

��/ �� ���� "�� �������"�� � 9�� "�"��� /���� �� ���"�1� "� "�� ��1� � ����� �"��(�"�� � � 3�� "�"��� /���� �� ���"�1� "� � =��� ����� �"� �(�"�� �� ���"� ������� (��� � "�� ������"? " � "���� ���"�1� "� "�� ��1� � ����� �"�� �(�"���

� + -� + ��� B ���B ��0B ���,B

"�� �� ���� B �0� B ��,� BQ� ��

BQ

��� �� �� ���B �0B ��,B

"����� �� ��� B 0� B �,�

���

+ ��� B �� BQ� �� B �Q -� BQ :Q ��; �

��� �������"�� �� �� "��" �����1�� ( � ���1� /�� �� ��1� � /�"� "�� ��1� � ���L�� �"� �(�"�� � � �� /��� "�� ��1� � ����� �"� �(�"�� �� =���� ��� "�� Q :Q ��;�� ������ "�� �� "���"�� �������"�� � 5��1� � �� �� �

�� + ����� �Q� �� � �Q -� �Q :Q ��; � :$�� ;

Page 82: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ������� ��� ������ ������������

6�� "�� "�� � :Q :Q ��;; �� ������ "�� �� "������ �������"�� ? �" �� � � �������"�� ���" ( "�� ���1� ���"�1� "� "�� ��1� � ����� �"� �(�"�� /���� �� ����� �� =���? � �"�� "�� ��Q -� �� ������ "�� ������� �������"�� ? � �������"�� ������ ��� ( "�����1� �� �� ��1�� ���"�1� "� "�� ��1� � ����� �"� �(�"��� ��� ���� ���"������ ( "��������� �������"�� ��= �� "�� ������� �����

���� �� � ��� ��� � � ���� ������� " ��-� � /���� "�� 1��"��� �"� � ��" "� ������� /��� ��1��� /�"� � ����" � ���� ���� ��"����� ��� "�� /���� ������ ������ � "� �1��1� ���"� � � ���"�� �" ���� ��� "? "�� �""�� ���� ��" � � "�� 1��"����� ���� � ����� ( ���"�� � ��� ���� "��( ���� �� ������ �� "������ ���� � � �" �������� "������ �������"�� � *" �� �" ������( "� ��1� ���"�1� "� ����� �"�� =��� /�"� "���1��1� � /��� � ��� "� ���� "��� ���� � � �" �� �� ��""( �����"���� 6�/�1�? �� "�� �����"�� 1��"�� ��1�� ���"�1� "� "�� �"�"� � /���? �� /��� ���� "�� �D��"� �� "�� ����������� � � "��� ���� �� ����( �"� ��� ��� ��D�� �� �"/�� "���� ����� �� "��" "�� ����������� �� ������ ( ��1��� " ���"�1� "� "�� ��1� � ����� �"� �(�"�� � � "�� �� "���������� �� �"�

$�)�� ��� !������� � ��������� &� ��� *������� +����

��/ �� ���� "�� ��"�� ��" ��� 0��,�� � "�� ����� ���� 1��"�� =��� � ����� /�"� ,�

��� "� � � "�� ����"�� �� "�� �"� ���� ��� "�� �� "� �� "�� ��"� � � ��" �� 0�, � "��� �" 1��"�� ������� ����� /�"� � ��� "� � 5��"�? 0 ��� "� � ���"? � � , ��� "� � �/�(��� "�� �� "� �� "�� ��"� �" ���� ��� " �� "�� �"�"� � ��"�8� ������? � ��""� � � :�;� "�� ����"�� 1��"� �� "�� ��� " � ��� "�� �� "� �� "�� ��"�? ���1� "�� ����� �"�� ��� :�; �� �� �"� " /�"� �����" "� � :�; � 0 :�; �, :�; � ����? �� �� "�� ��"� �"�"�� ��� ,��""� ���" � � "�� ����� �� � ��� " � "�� ������ �� "�� ��"� ���"�1� "� � ���1� =���� ����� �� � ��� �� � /��� � �� "�� � ���� ����� �� "�� ��"� ���" � ���� "����� "�������? �" �����/� ��� "�� �����"�� ��= �"�� �� "�� ���� �����" "��"

�� + �,� �

�������? "�� 1��"� �� ������ $�%�# �� Q + �,� � � ��

��� +

� �� �Q� �BQ �� + Q :Q �;

�� �� Q ���� �" ���� � � �� 2����� :$�� ; �������

�� + ��Q :Q �;� �Q -� �Q :Q ��; � :$���;

* "��� ������? (�� �� "�"���( �� �� "�� "�� Q :Q ��; ������ �" �� �� ����� /�� L�1� (�� �� �� ����� � ��"�� �� ���� ��� " � "�� ��"�8� ������� �� ��� "���? �"�

������� �� � ��# �� �:�#; :�% ; + ��? � � �� � + ������ � �� � ���� � �� ���� �� *� (�� �� ��� �

���� �� "� ������ "��� � � ���" "� ������ ���"� ��? "��� "�� �� "������? � ���� "�� ������� � ��

�� ��� � ������( "��� �� �" /�"� �� ����� � � "�� ���� �� �� "�� �������"�� ��� "� ��1�"( /������ ��������"��( �� ���" �� ���� � �3���� �� "�� ������ �� "�� ��"��

*� "�� �������"�� �� �� ��� "� ��1�"(? "��

�� + ��Q :Q �;� �Q -� +

Page 83: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ��� ���� � � ��

�� ��23 :�B ��;

��B �� ��� Q :Q �;� �Q -� � .� �Q -��

��"� "��"

Q :Q �; + :Q ��; Q��Q���

� � �� .� "�� �������"�� ���"�1� "� "�� ��1� � ����� �"� �(�"�� � "�� ��"� �� �"����"�� ����"�( "�/�� "�� �� "� �� "�� ��"� �����" �" "�� ����� � � �" "�� �3��"�?��"����� "�� ����� � "� �� �������"�� /���� �� � �"�� ����"�� � �� 1�( ����� /�� ������� /�"� "�� �������"�� ��� "� "�� ���� �� ��1�"( � � �� ��"� �����"��� ����L���? �� "�� � �( ���� ��"� � � � �0��" �� ��� "� ��1�"(? "�� �����/� � ������ �������"�� �������"�� ���"�1� "� � ����� �"� �(�"�� ��1� � /�"� "�� ��"�8� �������

�� + .�� :Q -�;

,���� "�� 1��"�? Q �� 3��"� �����? �� "�� ���"�1� 1�����"(? -� �� ����? "�� ������� �������"�� ����� � ��� �=�� "� ���� �� ������� � "��� �� "�� 1��"�� � :�; � 0 :�; �, :�; ��"�

��""� � :4� �� �; � "�� ����� �������� ����� �"�� �� "�� ��� " :�; � "�� ������"�-� /�"� �����" "� ��� 0��,� "�� ����� /�( /�"� � "�� ���� � ���? �" �����/� "�� ��� 0��,�

����� �"�� �� "��� ��� " �� �� 4 �� :�; ��� :�;4 �� :�; �� :�;

4 ��� :�;

�� �

*" �����/�?

� +��� :�; ��� :�; �� B ��� :�; �� :�; 0� � �� :�;,�

0 + � �� :�; �� B ��� :�; 0� B ,�

� �

, +�� :�; ��� :�; �� B �� :�; �� :�; 0� B ��� :�; ,��

*" �� ������( "� �"�� ,� � "��� �� "�� 1��"��? �� 0�,� ���� "�� �����/� � �3��"�� ���� "� � ���1�� �� �� � � "� = � ,� + ��B 0B�,

�� �� ��� �

�� +

�� ��� :�; ��� :�; � �� :�; �� :�; ��� :�;��� :�; �� :�; ��� :�; �� :�; �� :�;� �� :�; ��� :�;

���� � �

�� :$���;

��� =�" ����� �� �� "�� ���� � �� 0 � � "�� "��� �� , � "�� ��1� ��"��� ��� ����"�� �� � + � �� :�; � + � � � � + ��� :�; �

��/ "�� ������� �������"�� � "�� ��"� �3����

� :Q -�; + ��

��� �� �� �� �� :�; �B 0B��� :�;,

��� :��B�0B��,; �

Page 84: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�# ������� ��� ������ ������������

���� �3����

�� G:�� ����; �B:� ����B �� �� �; 0� :� �� �;,H � :$���;

������ � �� =��� � � ��"�� � "� "�� =��� ��� "? :�; � "�� ��"�8� ������� �������?�� "�� �������"�� ? � �� ��� "� ��1�"(?

�� + .��� G:�� ����; �B:� ����B �� �� �; 0� :� �� �; ,H

/��� . + ���� ����

� ����� �Q :Q �; �� ������ �� ��1�� ��� "�� Q :Q �; �� ��""(

����� � � �� �" /��� � �����"��� 6�/�1�? "�� ������� ���� /��� �" � �����"���

���� �� #2&2# '����� � ��0 �� � ���� � �� � �� �������� .� �� �� ���09

������ � + �,, � � "�� 0 ����� � " �� �� �� ��������"��(

��� :� ����B �� �� �; �

��� ���� � " "�� � "��� �������� �� �����( "�� ���� � � � ������ � /��� � ����������? "�� � � � , �� "��"�� � /��� � 1�( ������ �������? "�� �����/� � �3��"�� ��������"�1� �� "�� ��"��"�� �

�� + �,,����� �� �0�

�� + �,� ��������"��(� �������? �� ����� � "�� 0 ����� � "? "��� ��

�,�� �� ��

�/� � "���"�� � ��1���,����

��� � �� "�� 0 ����� � " �� "�� ���"�1� ���������� " �"

"��� ������ ���/� "�� ��- ���� �" ���� ����"�( "�/��� "�� �� "� �� "�� ��"� �� �����"��

�" �����"�( "� "�� ���"�

���� �� #2&2& /� &?;& ������� �� � ������ ��� ����� ��� ��� �� �� � �� ������� � �� ��� ��� /� ��� � � � ��� ������ ���� � ���� ����� �� �� �� �� ���� ������ ��� �� �� � ��� ��� ������� ���������� ���� �� ���� ���� ��� �� ��� � ��� �� ���� ��� � �� ��� ��� 7� � ���� � ������ �� ��0 (8 ��� � �� �� ��� ����� ����� �� ���� �� ��0 �� ����� ������� �� �� �� �� ��� /� �� ��� �������� ���� ���� �� ���� ��� �� ������� ���� ��0 ��� �� �� #���� � /� �� ������ ��� ���� ���� �� ��0 ��� �� �� ���� �������9

I�� � :$���;? � :$���;?

�� + ��Q :Q �;

��� G:�� ����; �B:� ����B �� �� �; 0� :� �� �;,H �

������"� � "�� ����� "��? Q :Q �; � "��� ������

+ �,,B������ G:�� ����; �B:� ����B �� �� �; 0� :� �� �; ,H

�(���� �� ���� � #������� �� �� -����� ������� � ./0 ��� � ���# #��#�� ���� ������� �" ���� ��

� ���� ���� ����� ���� )������1 ��� �����

Page 85: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ��� ���� � � �$

/��� �? "�� "� ��� � "�� �"� � �� "�� �� �����? �� ����"�� "�/��� "�� ��� " �" /����"�� �� ����� �� �����"��? � � � �� "�� ���� �� "�� �� ����� �� ��� �� ����� �� �"�����" �� �� "�� ����"�� 1��"� ��� : � � �; "� "�� ������ �� "�� ����� �B�B:� � �;

�+

��� �������?

� + �/ ���/

�0B/

�� �

�,

� � �� ��3�� "�(? "�� ��D�� "��� �3��"�� � �� ���"�1� ��"�� ��

�� + �/

��B ��� ����

�� + �/

��� �� :� ����B �� �� �;

� �

��� + /� � �

��� , B ��� �� ��

*� "�� 1��"�� � �� "�� �� ����� �� ����� �� "��" �� ���"���� �������? ��� + � + � "�����" �3��"�� ��( � ���1�� �� / "� ��"

,�� ��� �� :�;� + /�

�������? "�� =�" "/� �3��"�� � �����

�� + � :,�� ���� �� �;

��B ��� ����

� �

�� + � :,�� ���� �� �;

��� �� :� ����B �� �� �; �

��� "��� �� "�� ��� � � � �� � �����"�� ������ �" �� ������� � � ���� ������ ����? "�� �� ����� �� ������� "� � �� � /�"� � ���1( /����" �� "��" � � � � ������ ������ ,�"� "���� �������(� � ������"�� �? "�� �3��"�� � �� ��"�� �����

�� B ,

�+ ��� ����

� �

�� B ,

�+ ���� �����

����� �3��"�� � �� �� "�� ���

�� B �� + �� �� B �� + � � :$��#;

/��� �� + �� � � + �� ����� ��� �" �� ����( "������ �" ��"� � "� 1���( "��" �� ����

�� �"� "? ��

+ � ��

� �

��

� � B #��

��

�� + � ���

� �

��

� � B #��

��

�:$��$;

Page 86: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�% ������� ��� ������ ������������

(����� � ����"�� "� :$��#; ��� � /�"� "�� � �"��� �� ��"�� �?

: ; + � : ; + � � : ; + � � : ; +� � B #��

�� :$��%;

*" �� ���� ��� ������� "� /�"� "�� �� ����� "��" "�� ��"� ���� � ���� �"�"� ��" ���� �� �" ����� � "�� ��� � �� 1��"�� �� "�� �� ����� "� ����� "� �"�"�� ��� �������� "��� ��������� �� �" "� ��"����� "���� ���� �1��� " ���"� �" "� �����" ��/ �� � �" "�-���� "�� ��� � �� 1��"�� "� ��-� � � �1���"�� � �������? "��� /��� � ���� � �"� " � "��� �" /���� "�� �� ����� /��� � 1��"� � � � ��� � ��"��� �� ( , � � 0� :������, ��� "� �/�( ��� "�� �� "� �� "�� ��"� � � 0 ��� "� ���"� ; �" "��� � �"� " � "���?��= �� �� � + � "�� �� ��"�� � �� :$��%; /��� ���� �� ���� 1���� �� � � � �� "�� ����"�� "� :$��#; ��1� � "���� � �"��� �� ��"�� � /��� � "���� �� :$��$; ( � �3�� ��� �� "�� � �"���1���� ������ ,�"� � "���� ����"�� � ��D�� "�(?�

:�; :�;

+ �

���

����

����

����

� ��

� � B #��

��

���� �� 1�( � "���"� �P ��� 1��"�? �

���

����

����

����

� ��/�(� ��� ��� �"��� �3��� "� ���

�" �"� ����"�� ��� ��� 1�( ���/�( ������ �� 1�( ������ ��� ��� � �� 1��"�� ��

��"��� �� ( "��� 1��"� � � "�� 1��"� ,� ��� "�� �� �

������

� ����� ��� ���"�1��( ���"

� � "�-�� 1����� �"/�� �� � � �� ���� �� /��" ������� "�� ��"��� ���1�� 1��"�� ��� "�� �� ������ ���� "�� ��� � �� 1��"�� /��� ��1� ���� � � ������"� �1���"�� /�� � + / ��

/

�� ���

�������? "�� "��� �" "�-�� �� "�� ��"� "� "� ��" ��� � �� "�� �� ����� ��

/ +#�

�� ����+

��

������

5� �� � �� "�� � ���� ����� �� "�� �"�"� � ��"�? �" �����/� � + ���� + �

�� � ���� � ������ �������? "�� ��1� ������ �������

/ + �# �����

* "�� - "��� �� ����( ���7� �� E�� ����� ��"����( ��"��� � ��"�"���? �" ( "�-� � ���� ��/�"� � �"��� "� ��� � "�� ��"� 5"� �" ( ��� � � ������� " /�"� � �� �� ������E�� /���� ��" �" 1��"� �? ���1� / � ����? � � "�� ���1� "�� ��1� �3��"�� �� ������ �"� "�� �� ����� /���� �" ����� "� ��� �� �"� ��� � �� 1��"�� �" "�� �3��"������� �������� ���� +��

��� ������� �������"�� �� ���� ���� ���� �� "�� ��� ��� � �� "�� ��" ��������

���� �� #2&2� /� �� 0���� ���� �� � ��� � �� ���� ����� ���0��� �� �� � ������ �� �� 2� �� � ������ ��� ���0��� �� �� '���� � ������ � .��9

������" �������"�� � �"�� "�� "�� ������� �������"�� � � "�� �����/� � �������"�� /���� ����� ��� � ������"�� "��" "�� ��� " :�; �� "�� ����"�� �� "�� ��/��" �������

� + �� :��; ��

Page 87: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� ��

/��� �� + � /��� �� �"� "�� ���"� �� ��� "�� =��� ��� " :�; � "�� ��"�8� ������ /������ ���� "�� ��/��" ������ ��� "� �� ����� "�� ��"��"�� ����� � ��� ��������"�� �""��� /��� ���� "� ����� "�� ��1� 3���"�� � ��� "�� �������"�� ���1�� ( � ���� � "�� ��"� ���"�1� "� "�� ����� "�( =��� 1��"��? ��,� 0� ��

�� + �� :��; :�B0B�,;� �� G�� ��� :�; �B:� ��� :�; B �� �� :�;; 0� :� �� :�; ,;H

�������? � � �"�� � ���� ��D�� "��� �3��"�� � ��� �� + ���B ��0B ���, ( ��"��� �"�� ����� � "�� ����� ��

�� B � :��; + ��� ����

�� B � :��; + ���� ����� ���� �� :�;

��� B � :��; � + ��� �� �

��/ �����? "�� 1��"��? �� 0�, �� =��� ���"�1� "� "�� ��"� � � �� �� �� �"� " 1��"����������? ��� "�� ����"��� �� "�� ��"��� � " � � "�� ��1� ��D�� "��� �3��"�� �?

:��� ��;�+

������� 0 ,

� � ��

�������

+

������� 0 ,

�� �� ���

������+

������� 0 ,

�� :��;B ��� ���� �� :��; � ��� ����� ���� �� :�; �� :��; � B ��� �� � �

��������� "�� ,�� ����� � " �� "��� ���� �����" �3����

� ��� :�;�� B �

��B ���� �� :�; �

��� =�" "�� /��� � ���"�1� ������ �" �� ������� :�; �� "�� ����"�� �� ��/ ����������� � �B� "� � � ������� � �� �"�� � *� �" �� ������� "��� �� �" � ���"� "��� ��"�� � "�� , ����"�� ? �� "��" � �� ����( �� �"� " � � "�� ���" "�� �� � �����"��? "�� "��,�� ����� � " �� :��� ��;

��� ���"�1� ��1���� � � �

� ���� � ����"�1� �� � � �

�� � �

��

.��� � � /�"� � ��� " �" ��"? "��� ������� ��� �� + + � �"����( � � "�� "�� ��1� ��������"� ,�� ����� � " �� ���"�1� � "�� ���� ��������� /�� � # ��� � � ����"�1� � "����/� ��������� /�� � � ���� I�� � "�� ���" �� � � � "�� �����"�� ��= �"�� �� "������ �����"? "��� ���/� ����-/��� �"�"�� � "�� ��/� ��������� � � ��� "� ����-/����"�"�� � "�� ���� ����������

��"� ���� "��" �� � ��"� ����� "� ��� �� "�� �3��"�? "�� ��1� ���� � � "� �� "���- ��/ ������ ��� :�; ������ ����� "� 7��� �������? "�� ��"�� "�/��� "�� ��/������ ��� "� � ��� �� �� ��� � �������� /�"� "�� ��"�� � "�� , ����"�� � ��� "� ��/ "��� �� ������ �

"�$ ��������

�� ������ "�� ������� ���� /�� �Q -� /��� Q /�� � ��"����� 1��"� /���� ������� "�� ��"��? 1 :�; �� ������� ��1�� 5��/ "��"

1 :�; +

�� � :�; � � :��; 0 :�; � � :��; , :�; � � :��;� :�; � 0 :��; 0 :�; � 0 :��; , :�; � 0 :��;� :�; � , :��; 0 :�; � , :��; , :�; � , :��;

�� �

Page 88: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ������� ��� ������ ������������

���� /��� � � ������� ���� ����"�( /�� Q + + /���� ������ �� "� 1� :�; + �,�� /��� 1� :�; + C

�� � �����"�"�� ���� � �� ( ��� � � ��(���� ��-� �� "��" �� =� � � �F� ���L7� "���( � � ����� � � ��� "���� ����" ��� "�� ���� �����" ��1� "�� �����"�(F�" ��� � �����/�� ( � ����"�� "��" "�� "/� ����"� /��� ��" "�� ��� � �" ��L��"�( "�� ���� "���� *� "��� "�� � "�� �"�"� � ��"� ������ � "�� ������� ""�-�� ����� �1� � ���� �����"�( F�" =��� �� "�� ��1�"�� �� "�� ��"� �� �" � �����C ������ � ,��" �"�� �������"��� /��� ����C ������ "�� ������� ���� ���� G:�� ����; �B:� ����B �� �� �; 0� :� �� �;,H /��� , ��� "� �/�( ��� "�� �� L"� �� "�� ��"�? 0 ��� "� ���"? � � � ��� "� 5��"��

Page 89: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� �����

#�� .���� ������2��� �� &��� ���

��" . � � � � ��"��� ��� ��"��� � " �� .? �� �"�� �� ��" :.; �� � ���� *� "����"�� �� � � � ��"��? "��� ��� �� 1�( ���( "� = ��

'�3������ &2�2� "� . +

�� � �

� ���

��" :.; � ��� � �

�� �� ������ �� ��� ���� ����� �� ������� �� ��� �� ���� ��� � ���� ���� ����

��"

�� � �

+

���� � � �

���� ����� �� &2�2� ���� ��"

�� #�� %

2�� "�� ��= �"�� "��� �� 0��" :�; :%;� :��; :#; + �%�6�1� � ��= �� /��" �� ��� " ( "�� ��"��� � " �� � � � ��"��? /��" ���" � � �

��"��C

���� �� &2�2� ���� �� �� ������ ���� � � �# � �� � �

�� �

6�� �� ��/ �" �� �� � ( @���� �� � ��� � "�� =�" ����� A�

:��;��� ����� � �� �

����B :��;��� #���� � �� �

����B :��;��� ����� � �� �

���� + �

,��" �� ��� � � ���C ��-� "�� � � "�� ���� ���" �� � � � ���� ��" "�� �/ � � "������� �� "�� � � "�� �� ��� "�-� "�� ��"��� � " �� "�� ����"� � � � ��"��� ��/���"���( "��� ��"��� � " ( � � � "�� ���"���( ( :��;��� ������ "��� � �� � "�� =�"�/ � � "�� =�" ����� � ���� ��1�� "�� =�" "�� � "�� ��1� ���� ��/ �� "� "�� #����� ��" "�� �/ � � "�� ����� /���� �� "�� # � � "�-� "�� ��"��� � " �� "�� � ���"�� /���� ���� �� 4��"���( "��� ( # � � "�� ( :��;��� ������ "�� # �� � "�� =�"����� � � "�� ���� � �/� 2� ���( �� ���� "�� � � "�� �""�� �� "�� =�" ����� � ������" "�� �/ � � ����� �� "�� � � "��� � � � "�-� "�� ��"��� � " �� /��" �� ���"� ���

�&

Page 90: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

& �����������

���"���( "��� ( � � � ( :��;��� ������ "��� � �� � "�� "��� �/ � � "�� =�" ����� ����� �� "�� ��""� ���� "� �1����"� "�� ��"��� � " ( ���� ��� ��� � "�� =�" ����� �

E�� ����� ���� ���� � "�� ��"��� � " ��� � "�� ���� � �/ �� �����/��

:��;��� #���� � �� �

����B :��;��� ����� � �� �

����B :��;��� ����� � �� �

���� + �

*" �����/� ����"�( "�� ���� ��""� � � (�� ��� �" ��1� "�� ���� � �/�� E�� ���- � �/� ����� � � ������ �� � "� ���� ��� � "��" �/ � ����� ? (�� ���� ��" "�� �/� � ����� �� "�� � � �"? "�-� "�� ��"��� � " �� /��" �� ���"? ���"���( "��� ( "�� ���� � ( :��;�� ������ � "�� ��� �� � "�� ��� �/ � � "�� ��� ����� � ��� ���� �"���� ��1�� "�� 1���� �� "�� ��"��� � "�

,��" ���" � # # ��"��C

���� �� &2�2 ���� ��" :.; ��

. +

����� � � #$ # � �� � # $� # � �

������ � "�� ���� �� � � � ��"��? (�� �� ���� � "��� ��� � � ( �/ � ����� � ��"�

���- "�� "��� ����� � ��" :.; +

� :��;���������$ # �� � $� # �

������B � :��;���������� � #� � $� # �

������B

# :��;���������� � #$ # �� # �

������B � :��;���������� � #$ # �� � $

������ ���/ (�� - �/ ��/ "� ���� � ���� �� "���� � � ��"���� ��� � � �/ � � ����� � *�(�� �� ��? (�� /��� ��" ��� ������ � (�� ��-� � ���"�-��� E�� ����� ���� � "��� ��"����� � � ( �/ � � ( ����� � � ������ � (�� ��-� � ���"�-��? (�� /��� ��/�(� ��""�� ���� "�� � /���� �� ��= �� "� � "�� ��"��� � " �� "�� ��"��? .� ���� ��"��� ���1����"� � � ��"��� � " ( ���� �� � ��� � � �/ � � ����� �� ������ "�� ��"��� ��������� ���� ��� �

��"� "��" ���� �� "�� ��� "��� ��1� � 1��1�� "��� "��� �� ���"� � �� ��"��� � "��� � � ��"���� � � ���� �� "���� /��� ��� � "���� �������? "��� /��� � # � � + �#"��� "� �1����"� � ��� "� = � "�� ��"��� � " ��� � "�� ��"��� �� ������� ���� ��� �5������ �/ (�� ��1� � � � ��"��� * ���� (�� ��� "��" ��� "�� ��1� ��""� "���/��� � � P + �� %�� � � "��� � 1��1�� � "�� �1����"�� �� ���� � ��"��� � " ( ����������� ��� ��� � � �/ � ����� � ���� �� � ��" �� "����

* ����"�� "� "�� �����"��� 0��" ���������? * "�� - (�� ������ ���� "�� ��1� �����"��" (�� ��/�(� ��" "�� ���� � �/� ( ���-� � � ( �/ � ����� /�"� �� ��������-��"������ *" �� � ������ � � �" �" ��� �1����� 6�/�1�? �" �3���� � ��""�� �D�" "���"����� �"� ���� �� �� � � "�� ���"�� � "�� "���( �� "�� ��"��� � " /���� �����/�� �����1� �������� ��"�1�"� "�� �����/� � � ������ "����� � � ��= �"�� �

'�3������ &2�2# "� . + :��; � �� � � ��� ��� ��� � �� ��� �� ��� �� ������� ��� �� ��� :.; �� ���� �� ��� :.; + :��; �� �� ������ �� �� �� ��� �� ��� ����� ����� �� . ��0 �� �� ������ �� �� :�� �; :�� �; ��� �� ����� ���� �����

�� ��� �� ���� ���� �� .� � ��� ��� ������ ���� ���� �� :��;�� � �� ��0 ���� ���� ��� �� ��� ��� :.;� �� ���� �� ���� �� � �� �� ������� ��� ���

Page 91: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ����� ������� �� ��� ��������� &�

������� &2�2& "� . � �� � � ��� �� �� � � �� ���

��" :.; +

�����

����� :.;� +

����

����� :.;� � :%��;

�� � �� �� ��� �������� �� �������� �� �� ������ ���� �� ��� �� ��� �� ����������� �� �� ������ ���� �� ��� ������

��"/�"��"� �� � "�� �����"��� � 1��1�� � ��� � "�� ��"��� �� ������� ���� ��� ?��"�� "(��� �� ��"���� �� 1�( ���( "� ���� /�"��

'�3������ &2�2� - ��� �� 3 �� ��� � ������ �� 3� + ���� � � �� ���� ����� ��� �� #��� % � ��� �� ���� ������� �� �� �� �� �� �� � 3� �� ������������

� � � � � � � � � �

������

� � �� � � �

� � � �

������- �� � ������ ��� �� �� ���� ����� � �� � ��� �� �� ����� � �� �� ���� ������ ������� � #�� �� % ��

E�� ������ 1���( "�� �����/� � ��� � "�� ��1� "����� � ������� ���� ��� �

�������� &2�2( "� 3 � �� ��� ��� � � ������ ��� ��� ��� ��" :3; �� ��������� ��0��� �� � ����� �� �� �� �� �� �� ���� ��������

���� �� &2�2� "�

. +

����� � � �� � % � � ���� ��

�������� ��" :.; �

2�� "�� ��1� ������(? �" ����� "� "�-� "�� �����" �� "�� ����� �� ����� "�� ������" :.; + � � � �� + �%� ,�"���" ��� � "�� ������(? (�� ����� ���� � ��� � "��=�" ����� � ���� ��1��

������� % � � ���� ��

������� � �/ ���� � "��� ��� � "�� =�" ����� "� ��" "��� �3����

� � ���� � ���� ��

�������" ���� � "�� ���" ��� � "�� =�" ����� /���� ������ "� "�� �����" �� "�� ��� ����� �� ����� "� �� �������� ���� ������� ���� ���� �"�"�� /�( "�� ��1� ������( ��"���

���� �� �� ( ����"��� ��"��=�� ( ��"��� � "�� 5��� �� "�� ���" ����"� " �����"�� � "�� �����/� � "������

Page 92: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

&� �����������

������� &2�2�+ /� ��� ��� � ��� ������ �� �� � � ��� �� . � ������� ���� ������ �� �� ������ ��� �� #��� :��; ���� �� �� ������ �� �� � ����� ��� ���/� . �� �� � � ��� �� �� ����� ��� ��� � #�� � ��� ������ � #�� ��� ��" :.; + �'����� �� ��� �� �� . #��� :�� B �� � � �� �� B �;� ���

��" :.; + ��" :.�; B ��" :.�;

�� �� ��� �� �� .� �� :��� � � �� ��; ��� �� ��� �� �� .� �� : �� � � �� �; � � ��� ����� .� ��� .� ���������� ���� ���� �� .� /� ��� �� �� ��" �� � ��� �������� �� ��� �� .� �� ��� �� � � ���� �� �� � = ��> ���� ���� �� �� � =�����>� /� ���������� ���� �� . ��� " � � � ��� ��� ���

��" :."; + ��" :.; ��" :"; �

��� �� . �� �� � � ��� �� ���

��" :.; + ��"�.�

��

���� "����� ������� "�� �����/� � ������( /���� ��1�� � /�( "� = � ��"��� � "�� ��* ��� "�� ��" ��1�? "�� ��"��� �� ������� ���� ��� /��� �" � ���"���� �� � ( ��"���� ���� ��7��

�������� &2�2�� "� . � �� � � ��� �� ��� � " � �� ��� �� ������� �� �������� ��� �� ������� �� . ���� �� ��� �� �� ��� �� ������� ���� �� � ����� �� ����� �� �������� ��� ��" :.; + ��" :"; � /� " �� �� ��� �� ������� � �� . � ������ ����� �� ������� �� . �� � ���� �� ��� �� ������� ��� � ��" :.; + ��" :"; �

6�� �� � ������� /���� ���/� ��/ "� ��� "��� ������( "� = � � ��"��� � "�

���� �� &2�2�� ���� �� �� ������ �� �� ��� ��

. +

����� � � #$ � � �# $ # �� � �# $

����������� "�� ���� � �/ ( :�$; "���� "�� =�" �/ ����� "� �"� ��� ������ "�� "���

�/ ( :�#; "���� "�� =�" �/ ����� "� �"� 2� ���(? ������ "�� ���"� �/ ( :��; "����"�� =�" �/ ����� "� �"� ���� (����� "�� ��"��?

" +

����� � � # �& ��� ��� �� �� ��� �� �� ��

����� � ��� "�� ��1� ������(? �" ��� "�� ���� ��"��� � " �� .� ��/ ��� � "�� ������(���� ���? ��" :"; +

����

���" :'; /���

' +

����� � � # �� �� �� �� ��� % � &

���� �

Page 93: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ����� ������� �� ��� ��������� &�

��� ���� � �/ /�� ������� ( :��; "���� "�� "��� �/ ����� "� "�� ���� � �/ � � "�� "�� ���" �/ /�� ���"������ ( :��; � ��/ ������ "�� ���" �/ /�"� � "���� "�� "��� �����"� �" � � "�� �/�"�� "�� "��� � � ���� � �/�� ��� ��" :'; + � ��" :5; /���

5 +

����� � � # �� �� ��� �� �� �# ���

����E�� ����� �� ��� �/ ����"�� � � (�� ����� �"� "��" "��� �� � �����( ���� ��� ��� �"�� =�" ����� �����/�� ( ���� �� � "�� � � ��"�� /���� ����"� ��� � �"� =�" ����� �����

��" :5; + � :��;���� �� ���# ���

���� + �#�$

� � �� ��" :'; + ��#�$ � � ��" :.; + ��" :"; +���

�:��#�$; + #&$�

��� "����� ���" ���� �� � � ��"�� ��� � � ( �/ � ����� ���� ��1���� � /�( "���1� � ������ �� "�� � 1��� �� � ��"��� ������ "�� ��= �"�� �� "�� � 1��� �� � ��"�� � !�= �"�� $���� � '��� %#�

������� &2�2�� .�� ����� �� ��� ��� �� ��":.; �+ � /� ��":.; �+ ��� .�� +�����

���

���� + ��":.;����� :.;�

�� ��� :.;� �� ���� ������� �� .�

/����4 .( ������ %���% � � ��""� � :��; + .? �� ��" :.; �+ ?

����

����� :.;� ��":.;�� + ��":.; ��":.;�� + ��

��/ �� ����

����

����� :.;� ��":.;��

/�� � �+ �� ������� "�� ��� ����� /�"� "�� ��� ����� "� �"�� � ��"��? "� /������"��� � " �3���� 7�� ( ������ %���� � 6�/�1�? ���� �� � "��� ��"�� ��� � "�� ���

����� (�����

+ ��" :"�; ��" :.;��

+

����

����� :.;� ��" :.;��

5�����7� �?

����

����� :.;� ��" :.;��

+ ���

��/

����

����� :.;� +����

����� :.;��

Page 94: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

&# �����������

/���� �� "�� ���� � "( �� ��� :.;�.� �������?

��� :.;�

��" :.;. + 0� :%��;

I�� � "�� �"�� ������ � ������ %���%? � � ������ ���� � �?

�����

������ :.;�� ��" :.;��

+ ��

��/

�����

������ :.;�� +

�����

������ :.;���

/���� �� "�� ���� � "( �� .��� :.;�� �������?

.��� :.;

��" :.;+ 0� :%��;

� � �" �����/� ��� :%��; � � :%��; "��" .�� +�����

�? /���

���� + ��� :.;� ��" :.;��

* �"�� /���?

.�� +��� :.;�

��" :.;�

��/ ������� .�� ����"�� ��� ( ������ %���� ?

� + ��" :0; + ��"�..��

�+ ��" :.; ��"

�.��

��� ��" :.; �+ � ���� ��1�� "�� "������

������ %����� ��(� "��" "� = � "�� � 1���? "�-� "�� "� ����� �� "�� �����"� ��"��� � ��1��� ( "�� ��"��� � "� ��� "� ����� �� "�� �����"� ��"�� �� ������ "�� ��0���"�� ����"���� "�� ��������� ��0�� " �� "�� ��"�� .� *" �� � ���� �"�� "� ���� �" "�� ��0�� "��"����� (�� �� ����"���� ��� �" ����� "� � "��� /�(� * /���? .�� �� �3��� "� � � �1�"�� ��"��� � " �� . "���� "�� ��0���"� ��"�� �� .�

���� �� &2�2� ���� �� ��� � �� �� ��� ��

. +

�� � � �� �� � �

��2��" = � "�� ��"��� � " �� "��� ��"��� I�� � ������( %����� � '��� &�? "�� ��"�L

�� � " �� "��� ��"�� �3���� "�� ��"��� � " �� "�� ��"��?�� � � � �% �� ��

��

Page 95: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ����� ������� �� ��� ��������� &$

/���� �3���� ��� ��� �����"� ��"�� �� . ���� �� �� %# �� � � �%

�� �

���� � "( �� . /�� ������� ( �"� �����"�� �������? ��� "�� ��1� "�����? "�� � 1����� . ������ �3���

��

�� �� �� %# �� � � �%

���

+

�� � �

��

�� �

� �

��

�� � �

�� �

���� /�( �� = �� � � 1���� �� ���������( ������ � "�� ���� /��� �" �� ������ "� = � "��� 1��� �� � ��"�� /���� � "��� �� �� �"�� ��

���� �� &2�2�# '�����

. :�; +

�� (� ��� � �� � � �� � ��� �

������ . :�;�� �

2��" �"� ��" :. :�;; + (�� ��� �����"� ��"�� ��

' :�; +

�� � (� ��� � (� �� � �(� �� � (� ��� �

��� � �� "�� � 1��� ��

(�

�� � (� ��� � (� �� � �(� �� � (� ��� �

���

+

�� (�� ��� � � �� � �� � ��� �

�� �

���� ������ �� "�� � 1��� ���� ������� � ������ �������� - �/ �� ����8� ��������8� ��� ��1�� � ������ �� "�� ����"�� �? �� "� � �(�"�� �� �3��"�� �? .� + ��

* ���� (�� �� ���1� � � �(�"�� �� �3��"�� �? .� + � �� �� �" �����/� "��" �� .�� ����"�?

� +�.��.

�� + .�� :.�; + .���

"��� ���1� � "�� �(�"��� ��/ � "�� ���� "��" .�� ����"�? "��� �� � ������ �� .�� ��1� ��1�� I�� � "��� ������?

+

�����

���� � +��

���

��" :.;��� :.;� � �

.( "�� ������ �� "�� ���� ��� �� � ��"��� � " ��� � � ����� ?

+�

��" :.;��"

��� � � � � � � � � ����

������

� � � � � � � � �

��� �

/��� ��� "�� ��� ����� �� . �� ������� /�"� "�� ����� 1��"�? :� � � � �� �;� ? � � "����"��� � " �� "��� ����=�� ��"�� �� "�-� � � ��1���� ( ��" :.;� ���� ������ �� - �/ �� ����8� ����

Page 96: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

&% �����������

/��!���� &2�2�& '����� . �� �� � � ��� �� ��� �� �� ��� � �� ��� �� �����.� + ��� + :�� � � �� �;� �� � + :�� � � �� �;� � ��� 7 �� @� � ����

+��".

��".

�� . �� ������� � �� . �� ������ �� ��� ����� �� . ���� �� ����� :�� � � �� �;� �

��� �����/� � "����� �� �� �� ���� "�� ����"� �� � � "��� "���"�� �� ( �� "�� ��������� "�� ��1�� *" �� ��1�� � "�� ��" ���"�� �

������� &2�2�� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ������� � #�������

&� . �� �� �� ���

(� . �� �����

*� ��" :.; �+ �

#�� ��������

�� 2� � "�� ��"��� � "� �� "�� �����/� � ��"�����

:�;

�� � � �� � � & �

�� :��� � �/� �� ���;

:;

�� # � �� � �� �& �

��:��� � �/� �� ��$�;

:�;

����� � � �� � � �# � $ � � � �

����? :��� � �/� �� ���;

�� � ��"�� �� ���� "� � �"���� �� �� .�. + 0� ���� "�� � 1��� �� � �"���� �� ��"���� 0��" �"� "� ������ ,��" �� "�� ������� 1����� �� ��" :.; �� . �� � �"���� ����"��C

�� *� .�� ����"? /��" �� "�� ���"�� ���� �"/�� ��" :.; � � ��"�.��

�� ������ (��

� �/��

#� *� �" "�� "��" ��" :.B"; + ��" :.; B ��" :";C *� "��� �� ��? ������ /�( �" �� �� � ��� �" �� �" ��? ��1� � ��� "� ��������

$� ��" . � � � � ��"�� � � ������� "��� �� ��� �/� :����� �; ���� "��" ��� �/�:����� �; �� �� �� ���� �"�� � �� "���� � � � �/� :����� �;� 5��/ ��" :.; + �

%� 5��/ ��" :�.; + �� ��" :.; /��� ��� . �� � � � ��"�� � � � �� � ������

�� 5������ . �� � ���� "�� ���� ��"��� 5��/ "��" .�� ����"� �� � � � �( �� �������� "� �� "�� ��� ����� �� �� � 7��� *� �" "�� "��" .�� /��� ���� � ����"�� ����C ������ � *� �1�("�� � "�� ���� �� ��/� "�� ���� ��"����C

Page 97: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� &�

�� ��" . � � " � "/� � � ��"����� . � " :. �� ������ "� "; ��� � "��� ����"� � � 1�"��� ��"��? 6 ���� "��" . + 6��"6� 5��/ "��" �� . � "� "�� " � .� 5��/���� "��" . � . � � "��" �� . � " � � " � '� "�� . � '�

&� * "�� �� "��" �� '���� � ���/ "��" �� . � "� "�� ��" :.; + ��" :"; �

� � ��" . � � � � ��"�� � � ��" � � � � 7�� 1��"� ���� "��" .� + 7� �� ���������? 7� ,�� "��� �����? "�� 1��"�? � �� ������ � ���� 1��"� � � "�� �����? 7�� ������ � ���� 1����� *" "� � ��" "��" �" �1�( ��� �� � ���� 1����� � �(��"�� � �� ��� ,�(C 5���4 5��/ "��" �� .� + 7�� "�� :70 �.;� + +� ������ /�( "��� ���/� "��" :70 �.; �� �" � � "� � � � � �" � "�� ��/ ��� ������ %�����"� ���� ��" :70 �.; + � ,��" ��" �� �3��"�� �� "���C 6�/ �� ( ����"�� � ���� �"��1�C

��� 5������ ��" :70 �.; + � 5��/ ��� � ������ %����� "��� ����"� � �+ + ���� "��":70 �.;� + +�

��� ��" + :�; + ��"

�� :�; :�;� :�; � :�;

� )���(

+ � :�; + ��"

��� :�; � :�;� :�; � :�;

B ��"

�� :�; :�;�� :�; �� :�;

��/ �������

+ :�; + ��"

�� � :�; :�; � :�;� :�; ( :�; � :�;, :�; ) :�; � :�;

�� �

I�� ������� ���� ��� � � "�� =�" ��" "� 1���( + � :�; +

��"

�� �� :�; � :�; �� :�;� :�; ( :�; � :�;, :�; ) :�; � :�;

��B ��"

�� � :�; :�; � :�;�� :�; (� :�; � � :�;, :�; ) :�; � :�;

��B��"

�� � :�; :�; � :�;� :�; ( :�; � :�;,� :�; )� :�; �� :�;

�� �

�� 0��"�� � �� ��� ����" 1���� �� � � ��"���� � � ������ /�( �" /��� � "����� � ������ "�� � � �� � /�"� "�� ����� �C

��� I�� "�� ������ �� "�� � 1��� � "��� �� "�� �����"� ��"�� "� = � "�� � 1��� ��"�� ��"��?

. +

�� (� (� ��� � (� �� � (� ��� �� (� �� � (� ��� �B (� �� �

�� �

�#� ��" . � � � � ��"�� � � ��" " � � � � ��"�� ���� "��" �B� + �� �� ����"�� �����/� � � � ���- ��"��

' +

�. 5 "

Page 98: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

&� �����������

/��� "�� 5 �� � � � ��"��? � � "�� �� � � � ��"��� ��""� � 0� �� �"� "��� � ��� "�"( ��"��? "��� /�(

' +

�. 5 0�

�0� "

��/ ������ /�( ��" :'; + ��" :.; ��" :"; � 5���4 '�" �� "��� /��� �3��� � ����� L"�� �� /�(

��"

�. 5 0�

+ ��" :.; �

5�� ������( %������

#�� ��� 0� ���� ���� ����' �� �� ������ �

*" �� ������" "� ��1� � ��D�� " ��= �"�� �� "�� ��"��� � " /���� �� �����( /��� ��= ��� � "�� ��1� "�� ����� � � � "��� �� ������� ���� ��� � ��" :��� � � �� ��; � � ��������" �� ���� ��� ��� � � �� �� � ���� ��� � "�� ��� �� ����"� " �� :�� �� �; � � :�� �� �;�� ��D�� "� ���� /��� � ���� ���"�"�� �"/�� "��� ���"�� � � "�� ����� ���"�� � ��"��� � "�� ��� ��� ������ �� "� ��1� ��� "�� ����� � ������ �/� ��-� /���� ��1�� ���� � "����"�� "� ��"��� � "� �� ����"�� G�H � � ���� G� H� � ��� " ��- /�������� ��� � ���� � "����"�� �� .�-� G�H

��� �����/� � ����� /��� � ���� "��� � "�� ��= �"�� �� "�� ��"��� � "�

%���� &2�2� �� ����� � ���#� �������� ���� ����� ���� ��� ��� �� ���� � � ����� � � �� �� �� �� �� �� �� ���� � � �� � �� ����� ��� ��� �� ������� � �� ����

���� :�� � � �� �; + � :%�#;

���� :��� � � �� �� � � �� %� � � �� ��; + ����� :��� � � �� %� � � �� �� � � �� ��; :%�$;

/� �� �� �� ����� � �� �� ����� ���� �� ��� �� �� ���� � � ������� �� ��� �� ���������� �� ������� �� ��� -�� �� �� ��� �� � � � ��� ���� � � �� ��� + ��� � � �� �� ������ � � ���� � �� ��� � � �� �� ���� � �� �� � � � ��� :��� � � �� ��; �

���� :��� � � �� ����� �� ����� � � �� ��; �

:��;��� ������ :��� � � �� ����� ����� � � �� ��; :%�%;

�� � + �� �� �� � � � ��� :��� � � �� ��; �/����4 �� ��� /�"�? �" �� ������( "� ���/ "�� ����"� �� �� ���� � �� �"�� � ���� ��

�����( "�� �� � + �� !�= � �� � :�; � � � � ���1� "��" �" /�-�� �� �/�"��� � �� ��������* "�� ���� /��� � + �� �" �� ���� �����( "��� ��" �� � :�� �; + � � � �� � :�� �; + /������ � :�� �; + �� � :�� �; + � � 1���( �" /�-�� ������ � ���� � �� �"�� ����"� �� ���� ��� /��� � ��= �� � "��� �� �� �� *� "��� �� � ( ����"�� ���� � :��� � � �� ����; ��� ��� :��� � � �� ����; � � *� "��� �� � ����"�? "�� � B � ������ ����/��� � "������� ���"� ��" � � "�� ����"�� �� "�� ��� � B � � "�� ���"� ����? "�� ���" �� �� "����� :��� � � �� ����� �B �� ����� � � �� ����; � 2�� :%�%; �" ���" � "��"

�� ��� :��� � � �� ����� �B �� ����� � � �� ����; �

Page 99: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� ���������� ����� � ����������� &&

:��;����� �� � :��� � � �� ����� ����� � � �� ����; �

*" �� ������( "� 1���( "��� ��"��=�� :%�#; � � :%�$; /�"� � ������� /�"� �B�� ��� =�" ��"���� �� �1�����( "�� ������

�� ��� :�� � � �� �� �B �; � :��;��������� �� � :�� � � �� �; + ��

*� "��� �� ����"�� ���� � :��� � � �� ����; � "�� �" �� �1���� :%�$; ����� ������ �"������ /���� �3��� 7�� ��� "�� ��1� ��= �"�� � *" ���� � "� 1���( :%�$; � "�� ���� /���"��� �� � ���� ����"�� � :��� � � �� ����; � �� ����

�� ���

��� � � �� ��� � � �� �%� � � �� ����

��

/��� "�� � ��1� "�� � � ����"�� "�� ���? � �� � "�� ��� ����"�� � � "�� $ ��1� "��% � ����"�� "��" "�� ���? % �� � "�� $�� ����"�� � 5������ =�" "��" � # � # $� ���

�� ���

���� � � �� ��� � � ��

��B �� � � �� �%� � � �� ����

:��;����� �� ���� � � �� ��� � � �� ���% � � � �� ����

�/����

�� ���

���� � � �� �%� � � ��

��B �� � � �� ��� � � �� ����

+

:��;����� �� ���� � � �� �%� � � �� ���� � � � �� ����

�� � ��? ( � ���"�� ? � �/�"�� �� � � � % � "������ � �� �� ��� � "�� ����"� 5������(?�� � � $ � �� � # � �" ���� �����/� "��" :%�$; ������ ��� � "���"� � ���� �� /�� � + � �� + $� �� ���� "�� ���� /��� � + � � � �"� "�� �"�� ���� �� � "���( �������

�� ���

��� � � ��

��B �� � � �� �%� � � �� ����

�+

:��;����� �� ���� � � �� ���% � � � �� ����

�:%��;

/����

�� ���

��� � � �� �%� � � ��

��B �� � � �� ����

�+

:��;����� �� ���� � � �� �%� � � �� ����

�� :%��;

.( ��-� � $� �� � �/�"����? ��1� "�� % /���� �� � "�� $� ��� ����"�� � :%��; "� "�� ���

����"�� � :%��;� .( � ���"�� ? ���� �� "���� �/�"���� � "������ � ���"� �� �� � � ��

�� �

��� � � �� ���% � � � �� ����

�+ :��;����� �� �

��� � � �� �%� � � �� ����

��

Page 100: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� �����������

�������?

�� ���

��� � � ��

��B �� � � �� �%� � � �� ����

�+ :��;����� �� �

��� � � �� ���% � � � �� ����

�+ :��;����� :��;����� �� �

��� � � �� �%� � � �� ����

�+ :��;��� �� �

��� � � �� �%� � � �� ����

�+ :��;���� :��;����� �� �

��� � � �� �%� � � �� ����

+ ��� ������ � � �� �%� � � ��

��B �� � � �� ����

��

���� ��1�� "�� ����"� �� �� "�� ������ �� �"�� ��� ��� "��� �� �"�� �� � �3��? �"� "��" (�� �� �"�� � ( ����� ���" �� ���"� �"

���� ��� � ��3�� �� �� �/�"����� *� "��� ����" "/� �� �"�� �? � � � , �"� ��"���(� �:%�#; � � :%�$;? (�� ����� �"�" /�"� � :�� � � �� �; + , :�� � � �� �; � � ����(� � "�� ������3�� �� �� �/�"����? �1� "����( ��1� �" � :��� � � �� ��; + , :��� � � �� ��; � *� � ( ���� ������"��? "�� :%�$; ��1�� �"� �� �"�� � �� �3��� "� 7�� �� "��" ����� ���"� ���� ��1��"�� ������

* /��" �����/� �� /��� ��"� � ���� �"�� "�� �� � ������ "�� �� "��" �������� "���������"� ��

'�3������ &2�2� "� � � � � ���� �������� ����� ��� �� �� �� � � � ���� �� ���� �� �� ��� � � �� �� �� ��� ������� ����

������������ :�� � � � ��;

�� � �� ��� �� � �� � :�� � � � ��; �� � ������ ������ �� � � � ���� :��� � � �� ��; ������ � �� ��� � � �� �� � �� ���� �

�������

� :��� ��; + � :�� �; B � :�� �; B � :�� �; B � :�� �; �

'�3������ &2�2� "� :��; + . ���� �� � � ��� ��� �� �� ������ �� .� ������� ��" :.; �� ���� ��

��" :.; ��

�������������� :��� � � �� ��; ���� � � � ����

�� �� ��� �� ��0� �� � � � � ���� �� ���� � � �� ��� � � �� ��� 2�� �� ���� ����0 �� ��� �� ��� ���� � � � ���� �� ����� �� � �� ���� ����� �� �� � ��� :��� � � �� ��; + ��� �� ���� � � ���� ����� 6 �� �� ����

��" . � � � � ��"��? . + :��; � � ��" :��� � � �� ��; �� �"� � ����� ���" �� � ���� ��� ��� � � �� ��� ��" . :��� � � �� ��; �� �"� "�� ��"�� /���� ��� �/ �� "�� �� �/�� "�� ��"��? .� ����

��" :. :��� � � �� ��;; +�

������������� :��� � � �� ��; ����� � � � ����� :%�&;

� �

. :�� � � �� �; + .�

Page 101: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� ���������� ����� � ����������� � �

/�� ������� &2�2 "�

:��� � � �� ��;

� �� � � � ��� �� ���� � � �� ��� � � �� ��� ���

��� :��� � � �� ��; ��" :.;

+�

�������������� :��� � � �� ��; ����� � � � ����� :%�� ;

+ ��" :. :��� � � �� ��;; � :%���;

/����4 ��" :�� � � �� �; + :�� � � �� �� � � �$� � � �� �; �� � # $�

��" :. :�� � � �� �� � � �� $� � � �� �;; + :%���;

������������

�� :��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��; ���� � � � ���� � � � ���� � � � ���� �

� � � ��� � "�� 1������? ����� � ��� �� � � ��� ��� "��� �3����

+�

������������� :��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��; ���� � � � ���� � � � ���� � � � ����

+�

��������������

����� � � �� ���� $�� �%������ �� �

��� � � �� �� � � � �� �������� � � � ���� � � � ���� � � � ����

+ � ��" :. :�� � � �� $� � � �� �� � � �� �;; � :%���;

�� ��3�� "�(?

��" :. :�� � � �� $� � � �� �� � � �� �;; +

� ��" :. :�� � � �� �� � � �� $� � � �� �;; + � ��" :.;

��/ ��""� � . :�� � � �� $� � � �� �� � � �� �; ���( "�� ��� �� .? � � �� "� �� � � "��� /�(? �/�"��� ����� �� ����?

��" :. :��� � � �� ��;; + :��;� ��" :.;/��� �" "��- � �/�"���� "� �"�� :��� � � �� ��; ��� :�� � � �� �;� .( ����� %����? "��� �������

��" :. :��� � � �� ��;; + :��;� ��" :.; + �� :��� � � �� ��; ��" :.;

� � ��1�� "�� ������"�� � "�� ���� /�� "��� �� � ����"�� ���� � "�� ��������"? :��� � � �� ��;� 6�/�1�? �� "��� �� � ����"? ��( "�� ��� �/ �3���� "�� $�� �/? "�� "������ � � �� :%���; L:%���; ���/� "��" . :��� � � �� ��; + � � ���� �� :��� � � �� ��; + �� "�������� ����� � "��� ���� �����

Page 102: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � �����������

�����-����� &2�2# �� � �P � � � ���� �� �������� ���� � � �� ��� � � �� �� ��� ��� "���? �� ���� � ���"� ������ � ���� ���� �� � ������� �� "�� =�" ���"� 2�

���� �� "���� �������? "��� �� �� � ������� �� "�� ���� �� ���� "��� �� � :�� �; /�(�"� =�� "�� =�" "/� ���"�� ��� �� ���� �� "���� /�(� "��� �� ��� ������� ���" �� "�� "������"� �� "� �� � "��� /�(? "��� �� �P ����� ���"� �� ���"� �" ���� ��� ��� � � �� �� ���"�"�� � "�� ���1�"�� �

,�"� "�� ��1�? �" �� ������� "� ��1� � ��� �(���"�� ������"�� �� "�� ��"��� � "��� /���� �" /��� �����/ "��" ��" :.; + ��"

�.�

��

�������� &2�2& �� ������� �� ��� �� ��" :.; �� �����

��" :.; +�

�P�

������������

������������

��� :��� � � �� ��; ��� :��� � � �� ��; ����� � � � ����� � :%��#;

-�� ��� ��"�.�

�+ ��" :.; �� .� �� �� � ������ �� .� �+�� ���� �� .� +

����

��� + ����

/����4 2�� '�����"�� %���#? �� "�� � �� ���"� �"?

��" :.; +�

������������� :��� � � �� ��; �� :��� � � �� ��; ����� � � � ����� �

5���� � �1� ��� ����� ���"�? :��� � � �� ��; /��� "�� � �� ���"� �"? :*� "�� � �� �"���"� �"? �� :��� � � �� ��; + � � �� "��� �� � �� "��"�� "� "�� ����;

�P ��" :.; +

������������

������������

�� :��� � � �� ��; �� :��� � � �� ��; ����� � � � ����� �

���� ��1�� "�� ������( �� �� "�� ������ ��1�� "�� ���� ��� �� . �� �" ���� �� .� �

�������� &2�2� /� ��� ��� � ��� ������ �� �� � � ��� �� . � ������� ���� ������ �� �� ������ ��� �� #��� :��; ���� �� �� ������ �� �� � ����� ��� ���/� . �� �� � � ��� �� �� ����� ��� ��� � #�� � ��� ������ � #�� ��� ��" :.; + �'����� �� ��� �� �� . #��� :�� B �� � � �� �� B �;� ���

��" :.; + ��" :.�; B ��" :.�;

�� �� ��� �� �� .� �� :��� � � �� ��; ��� �� ��� �� �� .� �� : �� � � �� �; � � ��� ����� .� ��� .� ���������� ���� ���� �� .� /� ��� �� �� ��" �� � ��� �������� �� ��� �� .� �� ��� �� � � ���� �� �� � = ��> ���� ���� �� �� � =�����>�

/����4 .( '�����"�� %���# /�� "/� �/� �� �/�"����? "�� ��"��� � " �� "�� �L���"� � ��"�� �� :��; "���� "�� ��"��� � " �� "�� ���� �� ��"��� .( ������( %���% "������ ����� �� ����� � ������ "�� ����� � �� "�� ��"�� �3��� "�� �/� �� "�� "� ��������"��� ���� �� .� �� "�� ��"�� �"�� �� ��� . ( �/�"��� � "/� ����� �?

��" :.; + ��"�.�

�+ � ��"

�.��

�+ � ��" :.�; �

Page 103: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� ���������� ����� � ����������� � �

*� . ��� "/� �3��� ����� � � "/� �3��� �/�? "�� �/�"��� � "��� ����"� � "�� ������"��� �������? ��" :.; + � ��" :.; � � �� ��" :.; + �

*" ���� � "� 1���( "�� ���" ����"�� �

��" :.; ��

������������� :��� � � �� ��; ���� � � � :��� B ��; � � � ����

+ �

������������� :��� � � �� ��; ���� � � � ��� � � � ����

B�

������������� :��� � � �� ��; ���� � � � �� � � � ����

� ��" :.�; B ��" :.�; �

��� ���� �� "�� �� ����� � ������ ��"�.�

�+ ��" :.; � � "�� �/� �� .� �� "�� ����� �

�� .�

'�3������ &2�2( - ���� ) �� � ��� ����������� �� �� ���� � �-�� � � ��-�� �� �� ����� ���� � ��� ����� ���� ���� ) +

����� ��-�� ���� �� �� ��� �� ������ ) � ���� �-�� � � ��-�� �

��� �����/� � ������( �� ���� �� ���" ����

�������� &2�2� '����� . �� �� � � ��� �� ��� ��� ����� � ��� �� � ��� ������������ �� � ��� ������ � ����� ��� ��" :.; + �

/����4 ��" . +��� � � � ��

�� "�� ����� � �� . � � ������� "�� �� ��"�� "��"

� � ����� �� � �� �� ���� �"�� �� � �� "�� �"��� �� ��"��=��� ��� ( ��� � ������(%���� (�� ��( ��� �� "�� ����� � "� ��1� "�� ��� ����� � �� �� ���� �"�� �� "��=�" � ����� �� ���� �� +

����� ���� � � ��

��" :.; + ��"��� � � � �� � � � ����

����� ����

��

.( ������( %����

��" :.; +

�����

�� ��"��� � � � �� � � � ���� ��

�+ �

��� ���� �� �/� �����/� ��� "�� ���" "��" ��" :.; + ��"�.�

�� ���� ��1�� "�� ������(�

������ "�� �����/� � ��= �"�� �� ��"�� ���"������"�� �

'�3������ &2�2�+ /� . ��� " � � � ��� ��� . + :��; ��� " + : �; ." + :��;��

�� ���

���

�� �� �

� � �� "�� ���" ����"� " ���� ���" ��"��� � "� �� "��" "�� ��"��� � " �� � �����"�3���� "�� �����" �� "�� ��"��� � "��

Page 104: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� # �����������

������� &2�2�� "� . ��� " � � � ��� ���� ���

��" :."; + ��" :.; ��" :"; �

/����4 ��" �� � "�� ���� � "( �� ."� ��� ( '�����"�� %���#?

��" :."; +

������������

�� :��� � � �� ��; ���� � � � ����

+�

������������� :��� � � �� ��;

����

���� ����

�� � �

����

���� ����

+�

����������

������������

�� :��� � � �� ��; ���� � � � ���� :���� � � � ����;

+�

������������ :�� � � � ��; ���� � � � ���� ��" :"; + ��" :.; ��" :"; �

���� ��1�� "�� "������

%���� &2�2�� '����� � ��� �� �� �� �� �� �

3 +

�. �+ �

:%��$;

3 +

�. +

� �

:%��%;

�� � �� � ���� ��� . �� �� :�� �; :�� �; ��� �� ��� � ����� ��� � ������ � �� ������ ���� � � � ��� �� � ����� ��� � ����� � � �� �� ���� � � ����������� ��� � �� % ��� ���

��" :3; + � ��" :.; �

/����4 !� �"� 3 ( :��; � ���� � "�� =�" ����? ��� + � � � �� + �� � �+ � /����� "�� ���� � ����? ��� + � � � �� + �� � �+ �� 2�� "�� ��= �"�� �� "�� ��"��� � "?

��" :3; ��

������������� � :��� � � �� ��;���� � � �����

��""� � � �� �"� "�� ����"�� �� � � "�� ����� ���"? :��� � � �� ��; "�� ��� � "�� ������� 1� "�� � ���� "� ��1� ����� %����? ��" :3; �3�����

�����������:��;��� �� ���

���� � � �� �����

����� � � �������

���� � � �����

��/ ������� :%��%;� ��� �� �� �+ �� "�� "�� � 1��1� � ���� � "�� ��1� �������� �3���� 7��� �������? "�� � �( "��� /���� ��1�1� �� "���� �� /���� � + � � � �"��/���? "���� �� /���� �� + �� �������? "�� ��1� �������� ������ "�

��

�������������

�� ��� :��� � � �����;���� � � �����������+ � ��" :.; �

Page 105: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� ���������� ����� � ����������� � $

�� ��" "�� ����"�� � "�� ��"��"�� �� :%��$; ��� ������( %���% � � :%��%; "� /�"�

��" :3; + ��"�3�

�+ ��"

��.� +

� �

+ � ��"

�.�

�+ � ��" :.; �

���� ��1�� "�� ������* "��� �� "�� "���( �� ��"��� � "�? �����( "�� ���" ����"� " ���� �� "��" ��

������� ���� ��� ��� � � �/ � � ����� � ���� /��� �����/ ��� "�� ��1� ��= �"�� �� ���"��� � "�

'�3������ &2�2�� "� . + :��; � �� � � ��� ��� ��� � �� ��� �� ��� �� ������� ��� �� ��� :.; �� ���� �� ��� :.; + :��; �� �� ������ �� �� �� ��� �� ��� ����� ����� �� . ��0 �� �� ������ �� �� :�� �; :�� �; ��� �� ����� ���� �����

�� ��� �� ���� ���� �� .� � ��� ��� ������ ���� ���� �� :��;�� � �� ��0 ���� ���� ��� �� ��� ��� :.;� �� ���� �� ���� �� � �� �� ������� ��� ���

��� �����/� � �� "�� ��� ����"� ����� "��� /�� ��1� �� � ��= �"�� � � "�� ��"������"�"���( � 0��"�=�� ����"�� /�� ���� "��" "�� ���� ��� /���� � �"�� �� ( ���� �� �"�� ��"��� � " ��� � � ( �/ � ����� � ��� �����/� � "����� ��1�� "��� ����"�� �

������� &2�2� "� . � �� � � ��� �� �� � � �� ���

��" :.; +

�����

����� :.;� +

����

����� :.;� � :%���;

�� � �� �� ��� �������� �� �������� �� �� ������ ���� �� ��� �� ��� �� ����������� �� �� ������ ���� �� ��� ������

/����4 ��" :��� � � �� ��; � "�� ��� �/ �� .� ��" "� � "�� ��"�� �"�� �� ��� .( ���1� � �1�( �/ "�� ���� �����" "�� ��� �/ /���� � "� �3���� : � � � �� � �� � � � � �� ; ���� ( ������( %����?

��" :.; +

�����

��" :"�;

!� �"� ( .� "�� :�� �; :�� �; ��"�� �"�� �� ( ����"� � "�� ��� �/ � � "�� ���

����� �� .� ���� ��� :.;� � :��;�� ��" �.��� �" "��� ��� "? ����� "��" ��� '�����"��

%���#? /�� "/� �/� � "/� ����� � � � ��"��?3� �� �/�"����? "��� ����"� � ���"���(� �"�� ��"��� � " �� "�� ��� ��"�� (�� "� ��" "�� ��"��� � " �� "�� �/ ��"��� �������?( ����� %�����?

��" :"�; + :��;��� :��;�� ��"��

.� �+ ��

+ :��;�� ��"

��.� �+ ��

+ ����� :.;� �

�������?

��" :.; +

�����

����� :.;�

Page 106: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� % �����������

/���� �� "�� ������ �� ���� �� � ��" :.; ��� � "�� ��� �/� ����?

��" :.; + ��"�.�

�+

�����

�������.�

��

+

�����

����� :.;�

/���� �� "�� ������ �� ���� �� � ��" :.; ��� � "�� ��� ����� � ���� ��1�� "�� "��������"� "��" "��� ��1�� � ���( /�( "� /�"� � ������ �� "�� � 1��� �� � � � ��"���

������ "�� ��= �"�� �� "�� � 1��� �� � ��"�� � !�= �"�� $���� � '��� %#�

������� &2�2�# .�� ����� �� ��� ��� �� ��":.; �+ � /� ��":.; �+ ��� .�� +�����

���

���� + ��":.;����� :.;�

�� ��� :.;� �� ���� ������� �� .�

/����4 .( ������ %����# � � ��""� � :��; + .? �� ��" :.; �+ ?

����

����� :.;� ��":.;�� + ��":.; ��":.;�� + ��

��/ �� ��������

����� :.;� ��":.;��

/�� � �+ �� ������� "�� ��� ����� /�"� "�� ��� ����� "� �"�� � ��"��? "� /������"��� � " �3���� 7�� ( ������( %����� 6�/�1�? ���� �� � "��� ��"�� ��� � "�� ���

����� (�����

+ ��" :"�; ��" :.;��

+

����

����� :.;� ��" :.;��

5�����7� �?

����

����� :.;� ��" :.;�� + ���

I�� � "�� �"�� ������ � ������ %����#? � � ������ ���� � �?

�����

������ :.;�� ��" :.;��

+ ��

���� ��1�� "��" �� ��" :.; �+ ? "�� .�� ����"� /�"� .�� +�����

�? /���

���� + ��� :.;� ��" :.;��

��/ ������� .�� ����"�� ��� ( ������ %�����?

� + ��" :0; + ��"�..��

�+ ��" :.; ��"

�.��

��� ��" :.; �+ � ���� ��1�� "�� "������

��� ��" ������( ��� "� ��" "��" �� � � � ��"��? . ��� � ���" � � ���" � 1���?"�� �" ��� � � 1����

Page 107: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� ���������� ����� � ����������� � �

�������� &2�2�& "� . � �� � � ��� �� ��� ������ �� ����� �� � � ��� �� "���� ���� ". + 0� ��� .�� ����� ��� .�� + "� -�� �� �� ����� ' �� � � ��� ������ ���� .' + 0� ��� .�� ����� ��� .�� + '�

/����4 5� �� ". + 0� ������ %����� �������

��"" ��". + �

� � �� ��". �+ � ������� ��� ������ %����$? .�� ����"�� �������?

.�� + :".;.�� + "�..��

�+ "0 + "�

��� ���� /��� '. + 0 �� �� ���� �������(���� �� ������ �� "��� ������( �� "��" ���" � 1����? ���" � 1���� � � � 1���� �� ���

"�� ���� � "�� �� "��" �� � � ��"����������� %����$ ��(� "��" "� = � "�� � 1���? "�-� "�� "� ����� �� "�� �����"� ��"��

� � ��1��� ( "�� ��"��� � "� ��� "� ����� �� "�� �����"� ��"�� �� ������ "�� ��0���"�� ����"���� "�� ��������� ��0�� " �� "�� ��"�� .� *" �� � ���� �"�� "� ���� �" "�� ��0�� "��"����� (�� �� ����"���� ��� �" ����� "� � "��� /�(� * /���? .�� �� �3��� "� � � �1�"�� ��"��� � " �� . "���� "�� ��0���"� ��"�� �� .�

* ���� (�� �� ���1� � � �(�"�� �� �3��"�� �? .� + � �� �� �" �����/� "��" �� .�� ����"�?

� +�.��.

�� + .�� :.�; + .���

"��� ���1� � "�� �(�"��� ��/ � "�� ���� "��" .�� ����"�? "��� �� � ������ �� .�� ��1� ��1�� I�� � "��� ������?

+��

���

���� � +��

���

��" :.;��� :.;� � �

.( "�� ������ �� "�� ���� ��� �� � ��"��� � " ��� � � ����� ?

+�

��" :.;��"

��� � � � � � � � � ����

������

� � � � � � � � �

��� �

/��� ��� "�� ��� ����� �� . �� ������� /�"� "�� ����� 1��"�? :� � � � �� �;� ? � � "����"��� � " �� "��� ����=�� ��"�� �� "�-� � � ��1���� ( ��" :.;� ���� ������ �� - �/ �� ����8� ����

'�3������ &2�2�� - ��� �� 3 �� ��� � ������ �� 3� + ���� � � �� ���� ����� ��� �� #��� % � ��� �� ���� ������� �� �� �� �� �� �� � 3 �� ������������

� � � � � � � � � �

������

� � �� � � �

� � � �

������- �� � ������ ��� �� �� ���� ����� � �� � ��� �� �� ����� � �� �� ���� ������ ������� � #�� �� % ��

,�"� "��� ��= �"�� ? ��� �� � ������ ������( �� ������ %����#�

Page 108: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � �����������

�������� &2�2�( "� 3 � �� ��� ��� � � ������ ��� ��� ��� ��" :3; �� ��������� ��0��� �� � ����� �� �� �� �� �� �� ���� ��������

'�3������ &2�2�� - ������ �� �� � ��� �� . �� �� ������� � �� �� ���� � ��������� ����� ��� ��� ��� ������ �� .� "� . � �� � � ��� ��� �� �����������

��� �� �� ��� �� #��� � �� � �� �� � ��� ���� ���� ���� ��� � � ������ ���� . ��� � ��� % � �� ������� �� �� ��� �� ���� �� � �� �������� �� �� ������ �� ���� �� � ��� ��� �� ���� �� � �� �������� �� �� ���� �� �� �������

������� &2�2�+ /� . ��� �� ������ ��0 �� ��� �� ���� � ��� �� �� ��� �� �������� � � ��� �� �� � ��� ����������� �� ��� � ����

/����4 5������ "�� ��"��� � " � - �� . + :��; �3���� �� *� �/� � � ����� � ��� "���� ���? "�� ��"��� � " � - �� "�� ����=�� ��"�� �� � ��� ���� ���� �/� � ������ � �� � � "���� ��� "� ������ � � � ��"�� � "�� ���� ���" �� � �� "����"�� /���� ��� � 7�� ��"��� � "� ��/ �� ���� "�� � B � � B � ��"��? 3������

��� � � � ��� ������

������

��� � � � ��� ������ � � � ��� ���

�����/��� ' /��� �� �"� "�� � � ��"�� � "�� ���� ���" �� � /���� ��� � 7�� ��"��� � "�* ����� ��" :3; + �

���� �� "/� ����� "� �� ���� � 1���(� � "��� ������ 2��"? ������� � � �� ��� "������� �����/� ��� "�� ������"�� "��" . ��� ��"��� � " � - �� � "�� �"�� �� �? ��� # �? "�� "�� ��"��� � " �� 7�� ������ "��� �� "/� ��� "���� ����� �� ���� � "����"��� � " ��� � "�� ���" ����� � � ��1��� ( ��" :'; "� �"��

��� + ���

��

��� :3;���" :';

���

��/ �"� "��" ��� :3;� ���� �" ���� � � �� ������� "�� ��1� ��� �� �� "�� ���

��� +

����

���

/���� ���/� "�� ��� �/ �� � �� �� ���� �"�� �� "�� =�" � �/� �� .� 5� �� � �� ��"�(?"��� ��1�� "�� "������

�������� &2�2�� �� �� ������ ��0 #��� �� �� ��0�

/����4 2�� ������ %���� ? "�� �/ � - �� � ���� "�� "�� ��"��� � " � -������ "�� �/ � - � ������ "�� "�� ��"��� � " � -C *� ��? "��� ����" � �/� ��� # � ���� "��" "�� ��� �� "���� � �/� �3���� "�� �/ ������ .�" "��� ������� "��" "��� � ����"�� /���� ��"��� � " �� � 7�� ���� ��� �/ � - � ���� "�� � /���� ����������� �� �"� ��"��� � " �� "� � � 7�� ������ �" ����" � � �/ �� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"����

�������� &2�2�� /� . ��� �� ������ ��0 �� ��� �� ���� � ������ �� �� ��� ������ ���� � � ��� ����� �� � ��� ����������� �� ��� � ������� -�� �� ����� ��0 #��� �� �� ������ ��0�

Page 109: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� ���������� ����� � ����������� � &

/����4 ���� �����/� ��� "�� ��1� ( �� ����� � .� � ��� �/� �� .� �� "�� ����� ��� . � � "�� ��"��� � " � - �� .� � � . �� "�� ����� �������? ��� ������( %�����?����� � - �� . + �/ � - �� .� + ��"��� � " � - �� .� + ��"��� � " � - �� .�

��� �����/� � "����� �� �� �� ���� "�� ����"� �� � � "��� "���"�� �� ( �� "�� ��������� "�� ��1��

������� &2�2�� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ������� � #�������

&� ��" :.; + �

(� .�.� � ��� �� �� ���

*� . �� ��� �����

/����4 5������ ��" :.; + � ��� "�� ��"��� � " � - �� . + � # �� �������?"��� ����" � ����� � ���� "��" �1�( �"�� ����� �� � �� �� ���� �"�� �� "���� ����� �( ������ %���� � * ��"�����? �" �����/� "��" �� ���� �� "�� ��� ����� �� � �� ������ �"�� �� ��� "�� �"���� ���� ��""� � . +

��� � � � �� � � � ��

�/��� "��

����� � �� �� �"�� ( �� "��� ����"� ������? � ���� "��"

�� +�� ���

�����

��/ �� ���� "�� ����� 1��"�? � � ��� � � � �� � � � ��

��� ���

.� + ��� B�� ���

���� + +�

5� �� ���� .+ + +� �" �����/� . �� �" � � "� � �� 5������(? .� �� �" � � "� � � ( "������ ����� " ������� "� .� � ���� 1��=�� "��" ��; ������� ��;�

��/ ������� ��;� ��� �� �� .� �� �" � � "� � �? �" �����/� "��� ����"� � �+ + ���� "��"

.�� + +�

��-� � "�� "� ����� �� �"� ����� (�����

��. + +

/��� "�� + �� � � � ��"�� � �/ 1��"�� ��/ �� .� + �� "��

����+ �� :.�; +���.

�� + +� +

�� "�( "� � �+ +� �� ��3�� "�( "��� �� � � � ���� "��" .� + � � � �� . �� �" � "������ ���/� "��" ��; ������� ��;�

2� ���(? ������� ��;� *� ��; ���� �" ����? "�� ��" :.; �+ �" "�� ��� ������ %����$.�� ����"� � � �� �� �1�( � � �� "��� ����"� � � �3�� � � �� ���� "��" .� + �� * ���"� + .���� ���� . /���� � � "� �� "�( "� ��;� ���� ���/� ��; ������� ��; � � ��1�� "��"������

�������� &2�2� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ������� � #�������

&� ��:.; �+ �

(� . ��� .� � �� �� ���

*� . �� �����

/����4 ���� �����/� �������"��( ��� "�� ��1� "������

Page 110: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� �����������

#�! ��������

�� ��" � # � � � ��" . � � � � ��"��� 5��/ "��" . �� ��� � � "� � �� 5���4

�� ���� "�� � � ��"��? .� /���� �� �� "�� ���

.� ��

.

/��� "�� �� �"�� � :���; � ��"�� �� 7���� ���� ��".� + � � �� .� �� �" � � "� � �� ��/ ���1� "��" .�� �� "�� 1��"�?

.�� +

�.�+

/���� �3���� 7�� �� � � � �( �� .� + +�

#�" ��� ��'��' 3���� �� ������

'�3������ &2#2� "� . � �� � � ��� ��� �� ��� ��� ����� �������� �� ���� ��

�� :�; � ��" :�0 �.; �

�� . � ��� �� ��� � :�; + ��B��������B � � �B���B��� ���� �� � :.; �� ��� �� ������

� :.; � .� B ����.��� B � � �B ��.B ��0�

�� ��������� �� �� ��� � � �� ���� .� �� ��� � �� �� 0� �� ������� ��� ���

��� ��(��( 6����"� "����� �"�"�� "��" �1�( ��"�� ��"��=�� �"� �����"���"�� �3��L"�� ? "��" �3��"�� ��= �� ( 8� :�; + � *" �� � � �� "�� ���" ����"� " "������ � �� �������� ��� �����/� � ����� /��� ���� /�"� �"� �����

%���� &2#2� '����� �� � �7� � � �����

.� B.�7B � � �B.�7� + �

�� �� . � � � ��� ���� ��� ��� . + �

/����4 4��"���( ( 7�� "� �"��

.�7�� B.�7

���� B � � �B.���7�� B.� + �

��/ ��" �7� � � "� �"�� .� + � ,�"� "���? ���"���( ( 7 "� �"��

.�7���� B.�7

���� B � � �B.��� + �

��/ ��" �7� � � "� �"�� .��� + � �� "� �� ���"���(� � ( 7 � � ��""� � 7 � � "��"�� "��" ��� "�� . + � ���� ��1�� "�� ������

,�"� "�� �����? ��� �� � ������ ������(�

�������� &2#2� "� . ��� " � � � ��� ��� ��� ������

.� B.�7B � � �B.�7� + "� B"�7B � � �B"�7

�� � �7� � � ������ ��� . + " �� � �� 7���#���� �� 7 �� ���� �� ��� � ���� �� �� ��� ���� �� � #��� ���� �� �� ' ��� � � ��� ��

.� B.�' B � � �B.�'� + "� B"�' B � � �B"�'

��

Page 111: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� ���

/����4 5�"��" � � ��� "�� ����" �� "�� ������,�"� "��� �����"�� ? ��� �� � ���"�1��( ���( ���� �� "�� ��(��( 6����"� "������

������� &2#2 "� . � �� � � ��� �� ��� � � :7; � ��" :70 �.; � �� ��� ��� �������������� ��� � :.; + �

/����4 ��" ' :7; �3��� "�� "� ����� �� "�� �����"� ��"�� �� :70 �.; �� �7� �����:*� �7� �� ���� � ����? "�� 7 �� �" � � "�� = �"� ���" �� ���� 1����� �� . � � �� �� ����

7� :70 �.;��

����"��; �������? ( ������ %����$

' :7; + � :7; :70 �.;��

��"� "��" ���� � "( � ' :7; �� � ���( ����� � 7 ��1� � ����� � ��� "�� � � ���������? ������"� � "�� "���?

' :7; + '� B '�7B � � �B '���7���

�� '� ���� � � ��"��� *" �����/� "��" �� ��� �7� ���� � ����?

:.� 70;�'� B '�7B � � �B '���7���

�+ � :7; 0

� � �� ������( %�$�� ��( � ����� *" �����/� "�� ��"�� ������ "� ������ �� � "� �3�����/�� �� 7 �� �3��� � �"� ����� �� "��� �3��"�� � �������? �� 7 �� ������� /�"� .� "��"/� ����� /��� � �3���� ����

+ :.�.;�'� B '�.B � � �B '���.���� + � :.; 0 + � :.; �

���� ��1�� "�� ��(��( 6����"� "������

#�# ��������

�� 5��/ "��" ��"�� ���"������"�� �� �������"�1�� ���" ��? :.";' + . :"'; �

�� 5��/ "�� � 1��� �� � ��"��? �� �" ����"�? �� � �3��� ���� �� ." + ". + 0� "�� " + .���

�� * "�� ���� �� ������ %����$ �" /�� ������� "��" ��" :0; + �� 6�� 0 + :�; � '�1�"��� ����"�� � ���� ��1� ������( %������

#� ��" -�� � � ��-� � 1��"�� � �� � � ��" 3 :-�� � � ��-�; �� �"� "�� ��"�� /���� ���

����� �3���� -� !�= �

� :-�� � � ��-�; � ��" :3 :-�� � � ��-�;; �

'�1� "��" � �� �� �� � ���� 1�����? :���"��� ��;? "��"

� :-�� � � ��-� � � ��-� � � � ��-�; + �� :-�� � � ��-� � � � ��-� � � ��-�; � :%���;

� �

� :��� � � �� ��; + � :%��&;

/��� ��� �� �� "�� 1��"� � �� /���� ��� � 7�� � �1�( ����"�� �����" "�� ���

����"�� � /���� �" ��� � � ��

Page 112: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �����������

$� 5������ � K �� �� � �� � � ��"��=�� :%���; � � :%��&; � � �� �� �� � ���� 1������5��/ "��" � + ��

%� 5��/ "��" �� (�� ������ � �/ :����� ; �� � � � ��"�� . /�"� �"���� ����� "����� ���"���� �� � �"�� �/ :����� ; "�� "�� �/ ��"�� ��� "�� ���� ��"��� � "�� "�� ���� �� � ��

�� *� . + :��; � ���/ ��" :.; +�

����������� �� :��� � � �� ��; ���� � � � ������� I�� "�� ����" �� '���� % "� �1����"� ( �� � "�� ��"��� � "

��"

����� � � ��% � � �$ � � �� # % #

���� �

&� 2� � "�� � 1��� �� �" ����"� �� "�� ��"��?�� (� ��� � �� �(� � �� � ��� �(� � ��� � � �� �

�� �

� � ��" � + ��� B ���� :; ����� B � � � B �� :; � B �� :; /��� "�� � �� ��1�

�� "� ���� �� �"�� � ��= �� � � ������ � "�1��? :�� ; � � �� ���� �� �"�� /������� � ���1�"�1�� �� �" ��-�� �� �� "� /�"� �� 5������ �� + �� � + �� �� � � �� ����� ,� �-�� �� "���� �� �"�� �? �� ��= �� ��

� :�� � � �� �; :; � ��"

������ :; � � � � :;�� :; � � � �� :;

������

������ :; � � �

������ :;

�����5��/ "��" �� � :; + � :�� � � �� �; :; "� ��1� �����?

� � :; + ��"

������ :; � � � � :;�� :; � � � �� :;

������

���� :; � � �

���� :;

����� �

��/ ��� "�� ��D�� "��� �3��"�� ? � + /���� �� ��"��=�� ( ���� �� "���� �� �"�� �? � � ����"��� �� ��"��� � "� ���� "�� ��1� "� 1���( "��" � �B���� :;� + �<�1� � �������" ����"�� �� "��� �� �� ��D�� "��� �3��"�� ? ���8� ������? � � ���(�� � �/� "� 1���( "��" "�� ,� �-�� �� "���� ����"�� � "� "�� �3��"�� ? � + ��"�� 1� ����� ��� "�����( � :�� ; � �1��

��� �/� � � ��"����? . � � "� �� ������ �� " + 6��.6 �� ���� � 1�"��� � ���"��? 6� 5��/ "��" �� "/� ��"���� �� ������? "��( ��1� "�� ���� �����"���"�����( �������

��� 5������ "�� �����"���"�� ���( ����� �� � � � ��"��? . �� �� "�� ���

�� B �������� B � � �B ���B ��

� � "��" �� �+ � 2� � � ������ .�� � "��� �� ��/�� �� "�� ��"��? .� 5��/ "��".�� ����"� �� � � � �( �� �� �+ �

Page 113: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� ���

��� * �� �"�"�"�1� ������ � �� "�� �"��� � � �"�� "� ���? � � ����"���� �� ����� ������ "�� ���

����� ��.

� /��� . �� � � � ��"��� 5��/ ��� � "�� ��(��( 6����"� "����� "��" �� ���� � "�� � ��-�� � ( �� ��? (�� �� ��/�(� �"�� �" �� � = �"� �����1� � � ��� "�� � "����

Page 114: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# �����������

Page 115: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ���������

$�� ��� ���- �� 0� ��

�� ��� /�"� "��� �� � ��= �"�� /���� � ������ ���� "��� ����(�

'�3������ �2�2� "� . � �� � � ��� ��� �� ����� ���� �� . �� �� ������� �� ��

������ �� �� ������� �� �� ���� �� �� ������� �� �� ������ �� �� ����

���� �� "��� ��= �"�� � �� "�� � - �� � ��"�� /���� �� ������ � � "�� �� ���" ��� - �� ��= �� � "�� �����/� � ��= �"�� �

'�3������ �2�2� - ������ �� �� � ��� �� . �� � ������� � �� �� ���� � ������� ������� ��� ��� ��� ������ �� .� "� . � �� � � ��� ��� �� �� ������ ��0 ���� ��� �� #��� � �� � �� �� � ��� ���� ���� ���� ��� � � ������ �� �� . ���� ��� % � �� ������� - ���� �� �� �� � ��� �� . �� � ��� ����������� �� ����� � � � �� �� �� �� � ���� � �� ���� ���� �� +

����� ��� � �� �� ��0 �� � ��� �� �� ��

����� ���� � ���� ���� � � �� �� � ��� ����������� �� ��� � ���� �� ����� ��0 �� � ��� �� �� �� ����� ���� �� ���� ���� � � ����� �� � ��� ������������� ��� � ������� ���� �� �� ��0 �� �� �������� �� �� �� ���� ��� �� ����� ��0 �� �� �������� �� �� ����� ����� �� ��0 �� � ��� �� . �� ����� �� ��0 :.; �

��� �����/� � "����� �� ��1�� � "�� ���"�� � "�� "���( �� "�� ��"��� � " � � ����"�"�� ��� �� �� 1� �� ���

������� �2�2� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� �� ��0 ����� ��0 ��� �� ������� ��0 � � �� ����

�� � ����"�� ��1�? "�� �/ ����� ? � � ��"��� � " � - �� � ��"�� �� ��� "�� �����6�/ �� (�� �����"� "�� � - �� � ��"��C *" "� � ��" "��" "��� �� � ���( ������ �� (����� �/ ����"�� �� ������ "�� �/ ����"�� � ���� "� ���1� � �(�"�� �� �3��"�� � /����/�� ���� "�� ������

'�3������ �2�2 �� �� �� ������ ������� �� �� �������

&� '����� ��� ����

(� )����� � �� �� � ���% � ���� �

*� +��� � �� �� � ����� �� ����� �� ���� �� �����

��$

Page 116: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% �� ��������

����� �/ ����"�� � /�� =�" ���� "� ���1� �(�"��� �� �3��"�� �� ���" "��( /�� ����"� = � "�� � 1��� �� � ��"�� � � "��� /�� ������( ���"�� "� "�� =�" �������"�� � 2� ���("��( /�� ���/ "� � "�� � �( ���"���� /�( "� �1����"� � ��"��� � "� *" "� � ��" "��"�/ ����"�� � �� ���� "�� -�( "� "�� ���"���� �����"�"�� �� "�� � - �� � ��"���

* ���� "���? "�� �����/� � ����� �"�"�� "��" �� �� ���"�� ����� �"/�� ����� � � � ��"�� �� ����1�� ( �/ ����"�� ��

%���� �2�2# "� " ��� . � ��� � � ��� ��� ��� ������ " ���� � �� � ���� ����� ����� �� .� ��� �� ��� ����� �� " �� � ��� ����������� �� �� ��� � � �� �������� �� " �� ��� ��� �� �� ��� ����� �� . �� � ��� ����������� �� �� ��� � � �� �������� �� .� �� �� �� �� ���� � �� �� ��� ����������� � �� ���� ��� ��� ��������� ���� �� ��� ����� �� . ��� �� ��� � � �� �� ������ �� . �� �� ��� �� ����� ��������� ���� �� ��� ����� �� " ��� �� ��� � � �� �� ������ �� "��

/����4 ���� �� �1���� � "�� ���� �� "�� =�" "/� �/ ����"�� � � � � ��""�� ���� �1����� "�� ���� �� "�� "���� �������? �� ���� "�� "���� 5������ "�� $�� �/ �� " �3���� "��$�� �/ �� . ����� "� � "���� "�� %�� �/ �� .� �������?

"� + .� �� � �+ $�"�� + .�� B �.�� �

��� ������"�� ���" "�� ��� ����� �� " �� �3��1��� " "� ��(� � "��" �� ���� ��

"�� +

�����

��"� � :���;

2� � �+ $� "��� �� �3��1��� " "� ��(� �

.�� +��

���

��.� :���;

������ �� "���� 1����� �� �� "�� + .�� � 2� � + $� "��� �� �3��1��� " "� ��(� �

.�� B �.�� +

�����

���.� B �.�

�� :���;

�" ��� :���;? ������� "� � + %�

�.�� + �

�����

��.�

� � �� ��� :���;? �" �����/� :���; �� �3��1��� " "� :���; �� ��� �� � ����� � � + $� ���� ��1��"�� ������

�������� �2�2& "� . ��� " � ��� � � ��� ��� ���� ���� " �� ������� �� �������� �� �� ����� �� .� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��0�

/����4 5������ "�� ����� � - �� " �� �� ���� ��� � "��� �� � ����� � /���� ��� (����� ��� "�� ����� � �� "� .( ����� ����$ �1�( ����� �� . �� � �� �� ���� �"�� �� "�� ������ �� � ����� � � .� �������? "�� � - �� . �� � ���� "�� "�� � - ��"� .�" . ��( ���� � �"�� �� ��� " ( � �/ ����"�� � :,�(C; �������? "�� �������� � � ������� "�� � - �� " �� � ���� "�� "�� � - �� .� ���� ��1�� "�� ������(�

���� ������"� "��" "� = � "�� � - �� � ��"��? � � ������ �� �/ ����"�� � � "��� ���"�� �� �"�� �� � /���� �"� � - �� �1�����

Page 117: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� � � ����� ���

���� �� �2�2� ���� �� ��0 �� �� ������� ��� �� ��� ������� ������ ���� ��� ������������ ��� � �� ��� ��������� � � � � �

� � % �� � � % %

�� :��#;

��-� :��; "���� "�� =�" �/ � � ��� "� "�� ���� � � � "�� "�-� :��; "���� "�� =�"�/ � � ��� "� "�� "���� ���� (������� � � � � �

� $ �� � $ ��

��.( "�� ��1� ������(? "��� ��"�� ��� "�� ���� � - �� "�� =�" ��"��� ��/ "�-� :��;"���� "�� ���� � �/ � � ��� "� "�� "��� �/ (����� ��� � � � � �

� $ ��

�����" "�-� :��; "���� "�� ���� � �/ � � ��� "� "�� =�" �/� "� �"�� �� � �& & �

� $ ��

�� :��$;

���� �� "���� �/ ����"�� � ��� �" ��� �� "�� � - �� "�� ��"��� *" �� ���� "��" �� ������ �"�� � �� "�� =�" "/� ����� � (���� �1�( �"�� ����� �� "�� � - �� "�� ��"�� �� � ���� "�� �� 6�/�1�? �" �� ���� ���� "��" "�� ��"��� � " � - �� �" ����" � ������?����"� � �1�( ����� �"�� "�� "�� =�" "/� � � �1�( 7�� �/ (����� "�� � � ��� "�"(��"�� ��1� � ��"��� � " ��

.( ����� ����$ "�� =�" "/� ����� � �� "�� ���� �� ��"�� (���� ��� �"�� ����� � ���� �� ���� �"�� ��

���� �� �2�2( ���� �� ��0 �� �� ������� ��� �� ��� ������� ������ ���� ��� ������������ ��� � �� ��� ��������� � � � � �

� � % �� % � % %

�� :��%;

��-� :��; "���� "�� =�" �/ � � ��� "� "�� ���� � � � "�� "�-� :��; "���� "�� =�"�/ � � ��� "� "�� ���" �/� ���� (������� � � � � �

$ �� $ ��

����/ ���"���( "�� ���� � �/ ( ��$ � � ��� $ "���� �" "� "�� ���" �/��� � � � � �

� ���$

��

Page 118: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��������

��� :��; "���� "�� ���� � �/ "� "�� =�"��� � � ��� �

� ���$

�� :���;

��� ��"��� � " � - �� �" ����" � ������ ����"� � "�� ���� �? "��� � � =�"� ����� ��� /��� �� "�� ���" �/ (����� "�� � � ��� "�"( ��"��� � "�� �"�� �� �? "�� � - �� � ��� "�� "/� ������ �����( �1�( ����� �� � �"�� �� �� � �� �� ���� �"�� ��"�� =�" � � "��� ����� �� ����? ( ����� ����$ �1�( ����� �� "�� ���� �� ��"�� �� ��� �� ���� �"�� �� "�� =�" � � "��� ����� � �� "��" ��"���

��� ��"��? :���; �� "�� �/ ������ ������ ��� �� "�� ��"��? :��%; � � :��$; �� "���/ ������ ������ ��� �� :��#;�

'�3������ �2�2� "� � ���� �� ����� ���� ����� ��� � % � �� �� ���� �� ����� ��� ����� �� ��� -� � � ��� �� �� ���� �� � �� �� ���� ���� �� � �� �� ������������� ������ � �� �� �� ���� �� � �� ���% � ����� ������ � �� �� ��� �� ������ ������ � ��� ��� � � �� ��� �� ��� ����� �� ��� ���� � �� � ��� ����������� ���� ���� � ��� ��� � � �� ���

������� �2�2�+ "� . � �� � � ��� ��� ��� . ��� � �� ���� ���� �� ��� ���� �� � ���� � �����

/����4 )��/� � "�� ����� � �� . ��� ���" "� ���" "�-� "�� =�" � 7�� ����� � '��-� � 7�� � "( � "��� ����� � � �/�"�� "�� �/ �� "�� � � "��� � "( /�"� "�� "�� �/ ��.� ��/ ��1��� "��� �/ "�� �/ ( "�� 1���� �� "��� � 7�� � "( "� ��" � � � "��� ����"�� � � "�� ��� �/ ����"�� � "� ��-� ��� � "��� ���/ "��� ����� " �3��� "� 7��� ���� "��=�" � 7�� ����� �� �/ ��� !� �"� "�� ����"� � ��"�� ( .�� �� ���� "�� ����"���� .� "� "�� ���" �� "��� ����� � � ���/ "�� =�" �/� !� ����"�( "�� ���� "�� � �� �""��" /�� �� � �� .� ���� "��� "�� �� /��� ��� "� ���� � I�� "��� � � � �/ ����"�� � "�7�� ��" �1�( ����� " ��1� �" � "�� �/� �� .�� ���� "�� ����"� � ��"��? .�� ���� .�

��"��=�� "�� �� ��"�� � �� "�� ��1� ��= �"�� �� "� "�� ����� 0��" � ��� "���� �� "� ��"��� /�( "��� �1�( ����� ��� �� ����" /�"� � � "�� ����" ���" � � �/ ������ ������ ����

��� �����/� � ������ �����"�"�� "�� ��1� �������� 5�( "�� ��"�� ���-�� ����"�� ���-� "�� �����/� �� �����

� � � � � � � � � � � ����

������

������

������

� � � � � �

�����2��" �"�� /���� (���� ����"�� � ��-������

� � � � � � � � � � ����

������

������

������

� � � � �

�����2� "�� ���� � �"�� (�� ���- �" "�� ��/� ���" �� � �� �������?��� � � � � �

������

������

���� � � � �

���

Page 119: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� � � ����� ��&

� � �� "�� =�" ����� �� ���"� �� ��� 7��� �" "�� ��" � � �� �" ��� 7���? (�� /���� ��"����"�� � ��-� "���� ��� � � � �

������

������

��� � � �

�������? ��"� 7��� � ��" "�� "�� � "�� "�� �/ ��1� "�� �� (�� ��" "�� �����/� � �� "�� ��" �"�� � "�� �����"�"�� �� "�� �/ ������ ������ ��� �� "�� ���� �� ��"��������

� � � � � � � � ����

������

������

������

� � �

����� �

���" (�� ���- �" "�� ��/� ���" ��"�� ���/ "�� "�� "/� �/� � � "� "�� ���" �� "�� =�"��� ����� � � � ����" "�� �������

'�3������ �2�2�� �� � �� ����� ����� �� . �� �� � �� ���% � ����� �� .� �� �������� ����� �� �� � �� ����� ��� ���� ����� ����� �� �� �� �� ���� ���� �� ���� ��� � �� �� ��� ����� ����� ����� �� �� �� �� ���� ���� �� � ��� �� �� ���

���� �� "��� ������� �� �/ ����"�� � �" ���� �"�� � "�� ��1� "������ � �"���3���"�� �� /��"�� "�� ���� �/ ������ ������ ��"�� ��/�(� ����"� � "�� � � ��������/� � "�� ��1� �����"�� ������� � � ( /�(� ��� ��" ������( ��(� "��� �� "�� �����

�������� �2�2�� �� �� ���� ���� �� � �� ���#� �� �� ��� ���� �� ��� ������� ��� �� ��� � ��&�&6 ����� ��� �� �� ��� ��� ���

/����4 5������ " � � ' �� �"� �/ ������ ������ ���� �� "�� ��"��? .� ��� "��( �����( ��1� "�� ���� 7�� ����� � �� �� "�� ��1� ������� ���� �"�� � "� "�� 7������� �� ��� ��1�" ����� � �� . �� /��� ��= �� ( "�� ��1� ������� � � �� " � � '�"� ��1� "�� ��3�� �� ��� ��� � � � ����� � �� "�� =�" "��� � "�� ���� ����"�� �? ��( � ����"�� ? ��� ��� � � �� �� /��� � �� "�� � - �� .� ��� ��� ����� ����$ �1�( ����� � "� � ' �"/�� "�� �� � � ���� ����"�� �� � �� �� ���� �"�� � 1��1� � "�� ���� �������� "�� ����� � � "�� ��� � � �� �� ����"�� � ���� �� �3��1��� " "� "�� ����"�� "��" ���� ��"���� ����� � �� ��� "���� � � "��� ��1�� "�� ������(�

�������� �2�2�� �� ��0 �� � ��� �� #��� �� ���� �� ���% � ����� ������� �� ��� �� � � ����� �� �������� �� �� ���� �� �� ����� �������

/����4 ��/ � -? ��"��� � " � -? � � ����� � - �� ��� "�� ���� �� �" �����"� �� ���� � �( ����� � -� ,�"� "�� �/ ������ ������ ��� �� "�� ��"��� 2��������( ����% "��� �/ ������ ��"�� ��� "�� ���� � - �� "�� ���� �� ��"��� !���"� � ���"�� 7�� �/� � � ��� "�� ����� � � "�� �/ ������ ������ ��� /���� �� �" ������ �"� � ��1�" ����� ? (����� � � � ��� "�"( ����"�� � /���� � �� "�� ��� �� ��1�"����� �� ���� "�� � - �� �" ����" �� ��/ ��� "�� �� �"��"�� �� "�� �/ ������ ������ ���? �1�( ����� �� � �� �� ���� �"�� �� "���� � ����� �� �������? "�� � - �� ���� "�� �� ���� ��1�� "�� ������(�

'�3������ �2�2� "� . � �� � � ��� �� ������ ��0 �� ��� �� ����� �� . �� ������ � �� �� -�� ��� -� :.; � �� � �� K .� + +� �

Page 120: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� �� ��������

�����-����� �2�2�# 2�� ���� -� :.; �� � ������� ����� �� �� � ���� � ��� ��� � ���� � �� -� :.; ���

. :��B �; + �.�B .� + +B + + +

������ "��" "�� ���� ��� �� "�� ����� ����� �� � ��"�� �3���� �"� � - � � �� �� "������� ����� �� 0��" . :�� ; � "�� � - �� 0��" "�� ���� ��� �� . :�� ;� ��� ��" "��������/� "��" "�� �����"( �3���� "�� ���� ��� �� -� :.;�

������� �2�2�& "� . � �� � � ��� ��� ��� ��0 :.; B ��� :-� :.;; + ���

/����4 5� �� -� :.; �� � �������? "��� ����"� � ���� �� -� :.; � ���� � � ����� � ��/"��� ���� ��( � ��"� ��� "� � ���� �� �� � ���� � � �������� � � ������� � *� 6 � . :�� ; � "�� "��� ����" ������? �� � + �� � � �� � � � �� � + �� � � �� �� � ���� "��"

6 + .

�����

�� B������

��

+

����

�.� B

������

�.� +

������

�.�

� � "��� ���/� ��� :.��� � � �� .����; + . :�� ; � �� "�� 1��"��? �.��� � � �� .����� � ��L�� �� "C 5������

������

�.� + +�

��� �� �� . �� �� ��? �" �����/�

.

�������

��

�+ +

���/� � "��"����

�� �� � -� :.; � �������? "��� ����"� �� �"� "�? �� � + �� � � �� � ����"��"

������

�� +

�����

���� � :���;

*� � ( �� "���� �� �"� "�? � � � �� �" �3��� "� 7�� "��

+ +��

���

���� B��

��

:��;�

� � "��� /���� � � � "�1��� �� �� ���� �"�� �� "�� 1��"��? ���� � � �������� � � �������/���� �3���� 7�� �� "�( "� "�� ���" "��" ���� � � �������� � � ������� �� � ����� �������?��� "�� �� �"� "�? � � � � � :���; ���" �3��� 7��� *" �����/� "�� 1��"��? �.��� � � �� .������� �� ���( � ���� �� " � � �� "��( ���" � � ����. :�� ; ��������? � - :.;B��� :-� :.;; +�� � B � + �� ���� ��1�� "�� "������

Page 121: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� ���

$�� ��������

�� 2� � "�� � - � � ����"( �� "�� �����/� � ��"����� *� "�� � - �� �� ��� "��( � ����� ��� ��� ���.���� ������ /���� ��1� "�� ����"( "��" �1�( �"�� ����� ��( �/�""� �� � �� �� ���� �"�� �� "�����

:�;

���� � � � � � � � �� � % � � � $ � � � � � � #

����

:;

���� � � � � � % $ # � � � � � � � # � �

����

:�;

���� � � � � � � � % � $ � � � � � � � � # � �

������ 5������ . �� � � � ��"��� ������ /�( "�� � - �� . �� ��/�(� � ���� "��

�� :���; �

�� 5������ . �� � � � ��"�� � /���� � �� 5������ ���� "��" "�� � - �� . �3������ 5��/ "��" . ���� �� � "� �� � 5���4 ��� 1��"�� ��� � � �� �� ���� �� ����� �� "�� �/ ������ ������ ��� �� .�

#� 5������ . �� � � � ��"�� � /���� � � �� 5������ ���� "��" "�� � - �� . �3������ 5��/ "��" . �� � � "� � �� 5���4 *� �"? "��� ����"� � 1��"�? � ���� "��" .� + +?� � "��� ������� �" ����" � � ����� �� . �� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"���� 5��/"��� /���� �3��� "�� ����� � - "� � ���� "�� ��

$� ������ /�( � � � ��"��? . �� �"� � � "� � � � � � "� �� � � � �( �� �"� � - ����

%� 5������ . �� � � � ��"�� � � �)�� � � ��)�� �� � �� ���( � ���� �� " ��" �� 1��"��� . :�� ; � �� � ��/ ������� . :6; + )� 5��/ �6�� � � �� 6�� �� ���� � ���� �� "�

�� 5������ . �� � � � ��"�� � � " �� � � � ��"��� 5��/ "��"

��� :-� :.";; ��� :-� :.;; B ��� :-� :";; �

5���4 �� ���� "�� �������? " :�� ; � -� :.; � � ������� � ���� �� "��� ��������� �)�� � � ��)�� � ��/ ������� ���� � � ����� �� � ���� �� -� :"; � ��" �6�� � � �� 6�� ����� "��" "6 + ) � � ���� "��"

-� :."; � ��� :��� � � ����� 6�� � � �� 6�; �

6�� �� ��/ (�� �� "���� 5������ ."� + +� ��� "� � -� :.; � " :�� ; � � ��

"� +��

�� "6 ���/� � "��"

����

��

6 � -� :"; �

Page 122: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��������

$�� ������ �' 0� ����

2��" ����� "�� �/ ����"�� ��

'�3������ �2�2� �� �� �� ������ ������� �� �� �������

&� '����� ��� ����

(� )����� � �� �� � ���% � ���� �

*� +��� � �� �� � ����� �� ����� �� ���� �� ���

��/ /�"� "���� �/ ����"�� � ��= ��? "�� ����� "�( ��"���� �� ��1� � "�� �����/� ���= �"�� �

'�3������ �2�2� �� ���� � ��� ��� ������� �� ���� ��� ��� ����� ��� �� �������� � �� �� ����� �� �� ������� ��� ��� ���� ����� ����� ��������� ��� �� �� �������� ��� � �������� ��� �����

�� � ������� �� /�( "���� ����� "�( ��"���� �� � "���"� �? �� ���� "�� �����/� ���� � � �

���� � � � � �� , ) �

�� +

�� � �� � �� , ) �

��� � # ��"�� /�� ���"������ � "�� ���" ( � ����� "�( ��"�� /���� /�� �"�� �� ����/ ����"�� � ������� "� "�� ��� "�"( ��"��� ���� ����"�� � ����(� � "�� ����"�� �"� "�� ��1� ��"��� ���� �� /��" ����� � � �� ����

������� �2�2� "� 8 � � �� ���� � ��� �� ����� �� ������� � �� ��������� �� ���

��� �� ��� ��� �� �� ������� ��� ��� "� �� ���� �� ���� � ��� �� ����� ����� �� ��������� �� ��� �� �� �� ���% � ���� �� ��� � ���� ���� �� ���� ���� �� ������� � �� ������ �� ��� �� ���� � ���� �� ��� �� ���� �� �� ��� ������ �� . �� �� � � ��� �� ������������ �� �� �� �� ��� �� ��� ���� � ��� ��� ����� �� �� �������� �� �� ����� �� .�

/����4 ���� �� ��"�( ���" �� (��� ��� ���� �� �� � � 8 � �� ��""( �"����"��/����� ���� "�� ���� �� ���� � ��� �/� �� ���� �� � ��� ��� �����" �� "�� ��� �/� ������ � "( �� "��� �/ �� ��B��� �������? "�� �

�� � "( �� "�� ��� �/ �� ����. ��? ��� �"�� ����"�� �����"�� �� 1� "�� �

�������.�� + :�� B ��;.�� + .�� B �.�

��� �"�� �/� �� ����. ���� � ��� ���� ���� 1��=�� "�� "����� �� "�� ���� ������"�� ��

���� ��1�� "�� �����/� � ������(�

�������� �2�2 "� . � �� � � ��� �� ��� � 9 ���� �� �� ���� ���� �� �������� � �� . �� �� �� ������� ��� �� ����� � �#��� �� ���� � ��� ��� ��� � � �� �� ���� ����

:������ � � � ��;. + 9�

�2��� ���������" � #�������� ����$ �� � ����$ ����� ����� � #������� �� ���� �� �� ������

����$" �� !�� �������� �� �����

Page 123: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��������� ���

��� �����/� � "����� �� ���� 1�( ����"� "�

������� �2�2# "� 8 � � ��� ��� ���� � ���� �� ��� � ��*�*� ����8 �

���+ 8 � �

���

���+ �����

�����

���+ ����� �

/� �� ����� �� ��� � �� �� ���� � ��� �� �� �� ���� � ��� ���

/����4 ��� � �( ���� * /��� 1���( �� "�� ���" � �� ��� �"�� "/� �� ��""( ���� � ��� ���" "� (��� 2�� ������ ����� ��������� � 1��1�� "�-� � �� "���� "�� ��� �/ �� 0� � ���� � �" "� "�� ����" �� ���� � � "���� "�� ��� �/ �� 0 "� "�� ��� �/ �� 0� �����( "���� ���� /��" /�� �� � "� �"�� ���� ��� 0 � � ��1�� ��������� + 0� ���� ��1��"�� "������

�������� �2�2& "� . � �� ��� ��� � � ��� ��� ��� . #��� � ���� � ����� ������ � ��� ����

/����4 5� �� .�� �� ��1� "� ����"? �" �����/� . ���" ��1� � - � � � �� "�� �/ ������������ ��� �� . �� 0� �������? ( ������( ����# "��� �� � ��3�� �� �� ����� "�(��"����? ��� � � �� �� ���� "��"

:������ � � � ��;. + 0�

.�" �/ ���"���( � "�� ���" � �"� ����� ( ���� "�� ( ������ � � "�� ( ������ �"��� "�� (�� ��"

. + ���� ���� � � �����������

� � ( ������ ����$ ���� �� "���� � "��� �����" �� � ����� "�( ��"���

$�! �� ��������� ���

� �� ���������"�� �� � ��"�� � 1��1�� /�"� � "�� ��1� ��"�� �� "�� �����" �� ���/� "�� ���� ��"�� /���� ��� "�� ��� ����� �� �� ���"� � � "���( �� � ��? �� � � � ���� "�� ���� ��"��? � � "�� � ����"�� ���� ��� � ���� /�"� @��/�A � � "�� � /�"�@����A� *" "� � ��" �� ( ��"���� �� � /�""� � "��� /�( � � /�� "��� �� �������?������ ��" ����"�� ���" ����- /�(� �� ���1� � "�� �(�"�� �� �3��"�� �? .� + �� ��� ��"������-� �� ����"( ������ �" ���� �" ��/�(� ����( � � �� * /��� �������7� "�� "��� �3��� �������1� � �" �"�� "�� ����� ������

���� �� �2 2� 7�� ��� � ��

� ��

�� �� �� � �� �� $��� ��� ���9

�� �� �� (�� /���� ����� �

�� �

+

�� � B �

+

� ��

�������? + � � � � + � ����? ��� "�� �""�� �/�? � + � /���� �� 8" ����� � � ��1� � + � �������? (�� �� 8" /�"� "��� ��"�� � "�� ��� ��� *" ��� � �����������"�� � ���� �� /��" * ��� ��1� ( ��(� � "�� ��"��� ���-� �� ����"(�

,���� ��"���� ��1� � �� ���������"�� C *" "� � ��" �" �� "���� /���� �/ ������������ ��� �� � �����1�� /�"���" �/�"��� � �/� � � /���� � �( � 1��1� �/ ����"�� ��� "(�� � � /���� �/ � �� ������� /�"� � ���"���� �� �/ � ����� "� �/ � �� � # ��

Page 124: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# �� ��������

���� �� �2 2� ���� �� �� ������������ �� . +

�� � � �� � � �� � #

�� �

�� �� "���? "( "� ��" "�� ��"�� � �/ ������ ������ ��� /�"���" �/�"��� � � (�/�� 2��" (�� "�-� :��; "���� "�� =�" �/ � � ��� "� "�� ���� � � � "�� "�-� :��;"���� "�� =�" � � ��� "� "�� "���� ���� (����� "�� ��"������ � � �

� � �� �� # �#

�� �

�� � � � �

�� �

�� � � � �

��* 0��" ��� "�� � 1��� �� "�� �������"� �/ ����"�� "� "�� ��� "�"( ��"�� � � "�������"�� � "�� ���� � ��"��� ���" "�-� � "���� "�� ���� � �/ � "�� =�" �� "�� ��"������1� � � ��� "� "�� "��� �/� ���� (����� � "�� ���� /�( "�� �����/� � "/� ��"������� � � �

� � �� % �$

�� �

�� � � �� �

�� �

�� � � � �

�� �

�� � � � �

����� ��"�� � "�� ���" �� ���� "�� ���� � � �� �" �� "��� "� �"��� ��� �� ���������"�� �� �� �

� � � �� �

���� � � � � � �� % �$

�� �

�� ����� /��" �� ����� � � �� * �� ���"� � "�� � 1���� �� "�� ����� "�( ��"���� ��L���� �� � "� "�� ��3�� �� �� �/ ����"�� � ���� "� �/ ����� . ��"� ��� � "�� �/����"�� � �1��� ���� ��� ���� �� �� � � ���. + � /��� � �� "�� ���� "�� ���� ��L"�� � � ���� � �� � ��/� "�� ���� ����� "�( ��"��� �������? . + ���� ������ � � ����� ��

E�� ���"���( "�� � 1���� � "�� �1��� ���� ��/ ���� �� "�� ��� /��� � ��/� "�� ����/�"� � ��/ "�� ��� ����� ��� ������� "��� �����" ���� ��� "��� ����"(� ���� ��� �"�� � "���"� � "�� � ���" "��� /���� ������ � �"��� ,�"� "���� ��"���� � �1������ � � ���"���(��� �

� � �

���� � � � �

���� � � �� �

�� +

�� � � � � �� �

�� �

��"� ��/ "�� ���� ���/ "�� ��� ����� �� � "�� = �� ����" �� "�� ���� �� "�� ���� ���/ "�� ��� ����� �� � "�� ��"���� /���� ��� "�� �����"� ����� ������ 0��" �� "���� "�� �������"� ���"������ ���� "� �/ ������ * �� ���?�� �

� � �

���� � � �

���� � � � �

�� +

�� � � � � �

�� �

���� ���/� �" �� �" ������( "� �� ��� "��� �"�D /�"� ��"���� � ��� "� = � � �����������"�� � ��� (�� ��1� "� �� �� ��" �� "���� "�� �������"� ���"����� � "�� ����L���"� ���" "� ��" �� 2�����(? (�� /�"� "�� �������"� ��7� ��� "�"( ��"�� � "�� ���" � �����"� �" ��� � "�� ���"������ ���� "� �"�� "�� �/ ������ ������ ��� �� �����"�"�����/�

Page 125: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��������� ��$

���� �� �2 2� ���� �� �� ������������ �� . +

����� � � � �� � � �� � � � �� � � �

���� �

2��" ���"���( "�� =�" �/ ( :��; � � "�� ��� "� "�� ���" �/� ���" "�-� :��; "����"�� =�" � � ��� "� "�� ���� � � � "�� :��; "���� "�� =�" � � ��� "� "�� "��������

� � � � � � �

��������

� � � � � �# �� �� �� �� �� �� �� �

���� �

���� = ����� "�� =�" ����� �� � � � "�� =�" ����� �� �� ��/ "�-� � :��#; "���� "������ � �/ � � ��� "� "�� "��� �����/�� ( � :���; "���� "�� ���� � ����� "� "�� ���"�����

� � � � ��# � � ��� �

��������

� � � � � �# �� �� �� ���# ��# ��� ���

�������� = ����� "�� ���� � ����� �� � �� /��� �� "�� ���� � ����� �� � � 5� �� "�� ��"��� "�� ���" �� ���� "�� ����? �"��� ��� �� ���������"�� ������

� � � � ��# � � ��� �

��������

� � � � � �# �� �� �� ���# ��# ��� ���

���� �

��� ������ �� ���"� �� ����� � "�� ��"��? � ( =��� � � "�� �������"� ������ /�"�:��; "���� "�� ���"����� ���� � "�� �/ ����"�� � ��� ��"�� � �� 0��" "�� =�" ����"�� ���� ��"�� (�� ���� "� � (�� 3���" �� "�� �/ ������ ������ ��� ��� � � �("�� �/ ����"�� /���� � 1��1�� ������ � � �/ ( �"���� ����� "� � ���"���� �� � �"���/�

��� ���� ������ ��� ���" "�� �� ���������"�� �� �" ����/� "�� 3���- ����"�� ���(�"��� �� �3��"�� �� 6�� �� � ��������

���� �� �2 2 '����� ��� ���� �� ��� �� �������� ��

�� � � � �# � � �� � �

������

��

���� +

�� ���

�� �

�� ����� � � /�( �� "� /�"� "�� ����� "�� ��"�� � � �� � �/�(� 6�/�1�? "���� 1��1�� ��� �/ ����"�� � "�� "�� �����"�"�� �� "�� �� ���������"�� � � �" "� ���" "��" "�� �� ���������"�� �� ��1� "�� ����"�� 3���-�(� 6�� �� ��/� ��� �����/� � ��� �� ���������"�� �� "�� ��"����� � � � �

# � � �� � �

�� +

�� � # � � �

���� � � � � �$ ��� �� ��

�� �

Page 126: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% �� ��������

��" �� + � � � �� ���� �� + � /��� � "��� ����? � +:�� �� �;�� ������ �

# � � �

���� ���

�� +

�� ���

��

/���� (����� 1�( 3���-�( "��" � +

�� ����

�� � ��/ (�� �� = � � ( ���1� � �� + �� ����

� "��� ����?

�� � � � � �$ ��� �� ��

������

��

���� +

�� ����

��/���� (�����

� +

����� �

� B� �

�� � ��

� ����

���� � � � ��

,�- "��� ��" ( �� � � � (�� /��� ��� "�� ��1� "��� �� /�-� � � �( /�"� "�� ������"�����

*" ��( ���� ��-� � "�1��� "�� � �" �" �� ���� ������ �" ��"� ��/ � "�� ��� ������"�� � � 1��1�� � = �� � � ����"�� "� � �(�"�� �� �3��"�� � � ���� "��" �" ��-�� ���D�� �� �� ���� �(�"����

�� � ����"�� ��1�? ���� ��"���� �� 8" ��1� � �� ���������"�� � 6�� �� � ��������

3 +

�� � � � �� � � # � � �

�� :��&;

* "��� ����? "��� �� � �"�� ���������"�� /���� �� ������ ������ � 8�� ���������"�� �6�� 8 �� � ����"�"�� ��"���

���� �� �2 2# ���� � 8�� ������������ �� �� ���� ��� �� �� ���<��

'����� �� ���� "(� � "� = � "�� �/ ������ ��� �� "�� ��"��� 2��" ��� �� "����"�� =�" �/ "� "�� ���� � �/ � � "�� ��� �# "���� "�� =�" "� "�� "���� ���� (������� �

� � # �

���� � � � � �� �$ ��� ��

������ �� � /�( "� �� � �( �/ ����"�� � � 1��1� � ������ � � �/ /�"� �"���� ����� "� ����"���� �� � �"�� �/ "� "�� ���� � ��"�� � ���� � /�( �� "� �"�� � ���� "�� ������"��� �������? �� ���� 3 /�"� "�� �""�� "/� �/� �/�"�����

3 � +

�� � � � �# � � �� � �

�� �

Page 127: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��������� ���

��/ "( ���� /�"� "��� ��"��� 2��" "�-� �� "���� "�� =�" �/ � � ��� "� "�� �""���/ � � "�� "�-� �# "���� "�� =�" �/ � � ��� "� "�� ���� � �/� ���� (������� �

# � � �

���� � � � � �$ ��� �� ��

����� ���� � ��"�� �� ���� "�� ���� � � �� "�� �� ���������"�� �� "�� ��"��? 3 � ���� �

# � � �

���� � � � � �$ ��� �� ��

�� �

���� 3 � + 83 + �� /��� � � � � �� ��1� ��1�� �������? 3 + 8 �3 + 8�� � ��� �� � � � �

� � � # � � �

�� +

�� � � �

���� � # � � �

���� � � � � �$ ��� �� ��

������ ������ �� ��/�(� � �����/�� � � �� "��� ��/�(� ����"� � 8�� ���������"�� ��

� ��1� ��"�� �1� "����� "��� �� 8" ��/�(� � �� ���������"�� �

���� �� �2 2& A� �� 8�� ������������ �� 3 ��� � � � �

� � � # � � �

�� �� ��� �� �����

3� + � �� � +:�� �� �;��

��" �� + � � � �� ���� 8�� + �� * �"�� /���? ���1�?�� � � �

���� � # � � �

���� ���

�� +

�� ���

�� �

��� ���"���(� � �"� ����� ( 8 ��1���� � # � � �

���� ���

�� +

�� ���

��� � ��

� +

�� ���

�� +

�� ����

�� �

��/ �� + � � � �� �" � �( ���� � "� ���1��� � � � � �$ ��� �� ��

������

����

���� +

�� ����

��/���� (����� ����

����

���� +

������ B

� ���� � ��

� ��� �

���� K � � ��

Page 128: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��������

$�" ��������

�� 2� � � �� ���������"�� ��

�� � � � � �� � �

�� �

�� 2� � � �� ���������"�� ��

�� � � � �� � � �$ � �

�� �

�� 2� � � 8�� ���������"�� ��

�� � � �� � �� � �

�� �

#� 2� � � 8�� ���������"�� ��

�� � � � � �� # � # �� � � � �

�� �

$� 2� � � 8�� ���������"�� ��

����� � �� � �� # �� � �

���� �

%� *� "��� � �( � � �� ���������"�� �� � ��1� ��"��C 5���4 �� ���� "�� �3��"�� � � �

+

�� � �

� �

$�# ���� &��������

,�)�� ��� -�./��# ��������.

� � �� "�� ���" ����"� " ���� �� �/ ����"�� � �� � ���1� � �� �� ����� ������/���� � 1��1� ������7� � � �� �� �� �"�� ��0��" "� � �3����"( �� �"�� "� ��"��� ����� �� �� �3��"�� �� 6�� �� � �������� � ��"�� ������ �"�� ��� & ��������""(� "� ��� � � � /��- � � � ����"���� �����( �� ������� �����? ��""���? "���"��? � �� �?� � � �� ���( ���� "/� "(��� �� �������? "�� �� �"��- � � "�� ���� ���� *" ������� �� ��"��� �� "��" "�� �����(��� �� �" ����� ��� "�� & �� ��"�� "(�� � � � /��-� ��� �� �"��-? ������ /�"� "�� "�� ���� ��� "�� ����� ���� ������? � 1��1��"/� ��""(�? ��"� �� ��������� �����? �� ���� "� �����? � � � ��1��� �"/�� "�� "/� ��""(����� ���� ���? 1�( ������ /�"� ������ ? � 1��1�� � �( � � ��""( � � ���� ���-���� � -�"����� !��� � �� "�� ���� ��� �� "/��� /��" �" �� �� "�� �� �"��-� ,��"�� "�� ������� ��� �� ������� /���� ����� � ���� � � � /��- ��1� "�� ��1�����"�"�� �C

��" � "�� ��� �� ���� ���� � � "�� ��� �� �� �"��-� /���� ����� � ����� � /��-� ���� �" �� ������ "� ������7� � + B ��0��" "� "�� ��1� �� �"�� "�� ���"�"�� ��� �� ��""(� �� & � � �� "�� ��� �� ��""(� ���� �� B�� ���� ��� ���"��"���( B� & ������ "��� �� � �( & ��""(� �1������� .������ �� "�� ����"�"�� � "�� ��� "�� �����(��� �� ����� � � "�� ���� �? �" �����/� � B & �E�� �1� ���� � ���"�1� ��� �� ������� � � �� � � � * ������ "��� "������� ������ "� ������7� � � + B ��0��" "� "�� "/� �� �"�� "�? B� & � �� B & � ���� ����� �� ��""( ���( "� ���1� �����"�����(� �� ���� "�� �����/� �

Page 129: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������ �������� ��&

���"�� � /���� 9 ����� "�� ���� ������� ( "�� ��1� � �3����"��� � � "�� �� � � + B�� ���/ �� � ��"����� 1���� �� ��

����������

B � + #

�B + #

9

�������

B + �

�� (�� ��-� � ���� "��� �� � ��1�� �/�( ��� "�� ���� ? ��/�(� ��1� � "�� ���� ������ � "�� ������ ����"�� /���� �� ���" �� � ��� " � "�� ���� ? 9 /���� ��-�� � �� ���� ��������� � �3��1��� "�( � � �� /���� "�� �� � �� �� �� �� ������� ��� "�� ���� � �����("��� ��� " �� "�� ��� " �� � "����"�� �� "�� "/� �� ��? :� � � ; � � �� "�� �������1���� �� "�� ��1� �� �"�� �� % � �� ����� "��� "(�� �� ������� �� = � �� � ��"��"�� � /���� "��� �� � �( "/� 1������ �" /��" ���" � ������ ����� � /���� "��� �� 1�(�� ( 1������� * ����"(? "��� ������ �"�� ��-�� �� ( ��� "(��� �� ���� "�� "���� "/� � � "��� �� �� ( �� �����"�� � �"�� "�� ���� � � � �1������ ��""(�� ����/��� ��-��( ��1� (�� � �� �"�� " /���� ���" � �� ������ � ��� "� ���1� � ��� �����"������� � � "�� � � ����" /��� ��-��( � � ����� � �� ( ���� ��� �? ����( �� (��� "�� "��� �� (�� ����"( "� ��/ � ���"�� /��� ��" (�� �/��� �� ���� � ������� �"�� ��"��� �� ������ ���� ��"��� �� "�� "���� �� "��� ���"�� � * /��� �����"�"� /�"�"��� ��"����� ������ ��" � + � � + �� ���� ��" � � � � � � ���"�1� 1���������� "��"

� B �� B � + & � �� B � B � + & �

�� ��( "��" � � � � �� � ���"�1� �� "�� ���� �� ��(� � �B�� & � � ��B� & � � "���� 1������ �� ������ ����- 1������ �" "��� ��� "� ���( �� ������ "��� ������"��( @"�-� �� "�� ����-A� ��� �""�� "��� �/� �� "�� �����/� � �� ������ "�� ������� "���� ��"� "�� ������� "����������

� � � � �� �� �� � � � & � � � &

���� :��� ;

E�� ��� "�� �""�� "��� �/� �� "�� ��1� "��� �� ����( "�� ����� "�� ��"�� �� "���(�"�� �� �3��"�� �?

� � � � � + � � B �� B � + & �

� �

�� B � B � + & �

4�� �� ����(? ���� � ������7�"�� ����� �� �� "�� ���

� + ����� � +� ��� � � � � �� � � �� � � +�

Page 130: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� �� ��������

/��� ( � � + �" �� ��� " "��" � � �� ���� � + �� �� � � �� � /�"� ������ ����� ��� ��"��� �(��� � �� � ��= �� ( � ����(� * "����� � ����- 1������ ( � ����( "� "����1� (����� � ������� "��� �� "�� �����/� � ���- ��"�� �����

� �� &+ '

� :����;

���� �� �� � � �B� ��"��? ' + :��; �� � � �B� ��"��? & �� � �����? � � �+ ��� � ��"�����

2������ ����"�� � �� "���� ����"�� � "� "�� �3��"�� � ����� "�� ( "�� �/� � "������� "�� ��"�� � /���� ��� "�� 1������ �� � ���"�1�� * "�� ��1� �������? � � �� �� � � ���"�1� � ��� "��" "�� ��1� � �3����"( �� �"�� "� �� ��"��=��� ��� ���� ��"� ��� "�� "��� �/ ����"�� ����"���( /���� � 1��1�� ������ � � �/ /�"� � ���"���� ��� �"�� �/ ����� "� �"���� "� �� ��� � � ������� ����"�� "� � �"�� ������� ����"�� � ���� � /�( "��" � ��"� ����� ���� �3���� ���� ���� 2��" �� ���? "�� �3��"�� � ��"��� ��( "�� �/� � "�� ��1� "��� ��1� � �����"� ���� ����"�� /���� �� ���� ����" �� �� � �"�� /���� ��� " �� ��� � �/ ����"�� � /���� /�� ��������� �" �� �"� ����� �� "��" "�������"�� ��" ���� �" ��� �� /�� � �/ ����"�� �� �������� 6�/�1�? �" �� ������( "���/�(� �� ���� � �( ������� ����"�� �� * "�� ��1� �������? (�� �� 8" ��� ��� "�� & ��""(� ������ "��� �� 8" � ( ��� "�� "��" � � �� �� � � � 6�1� � ������ � � � �����- 1������ "�� ��" �"�� �� "� � ��� "���� .���� 1������ �� "���� /���� ����� �� "�� � � �( � � � 7�� � "(� ���� "�� "/� ����- 1������? � � � � �� ���� 1������� :��� ;� ��� �"�� 1������ /���� ��1� ��� "�� � � � 7�� � "( � "��� ����� �������� � ���� 1������� �� (�� �� �/ ����"�� �? "�� ���� 1������ /��� ��� ��� ����� � � � �"�" ��" �� � ���� 1������ �" "��� /���� ��� �� �� * ��� � �/ ����"�� /���� ���� "�� � � "�� �""�� �/ � � ���� � ����� "� 7�� ��" ��� �"�� � "��� ��1��"� ���� /���� ��� �� � ��� � � ���� 1����� "� � ���� 1������

� ���� ����"�� �� � � � /���� ��� "�� � ���� 1������ �� ����� �� "�� 1���� � ����� :��� ; � ���� ����"�� �� � + + � � � � + & /���� � + & � � � + � ����� ������� ����"�� �� � ���� ����"�� /���� �� ���� �������� ���� "��� ����"�� �� � ����������� ����"�� ������ ��� "�� 1������ �� � ���"�1�� ��� ������� �����"�� � 1��1����� � ��� � � ���� ������� ����"�� "� � �"�� /���� ��-� � � � �������

5������ "��" /�� (�� ��" ��� � ���� 1������ �3��� "� 7�� "�� ����"� � ����"�� ���������? � ���� ������� ����"�� �� E�� ���- ��� � "�� "�� �/ �� "�� ������� "��� � � = �� ���"�1� � "(� 2� �������? � :��� ; (�� � ��� "� ��� ���� ��� "�=�� � ��1�" ����� ?:��;

���� *� ��� "�� � "��� � "��� ��1�" ����� �� � ����"�1�? (�� �� �� ����� "��� �� �

������� � � (�� �� �� �� 6�� �� /�(� ��� "�� �/? /�""� � "��� �� "�� 1������ ���� "�� ���

� � �� B�� ���

�� + &� � �

� � "�� � �( � /���� �� � 7�� �� ���� 1������ �� "�� ������ �� � � � "�� ��1���� �3���� 7��� * �"�� /���? (�� �� ��� �� "�� ���� 1������ /�"���" ��� �� � "����1� ���� ��/ ��-� � ���� � � ����"�1� � � ��0��" "�� ���� 1������ ( ��-� � "������� "��� ��"���(� � ��� "�� �� �"�� "� � � (����� � ������� ����"�� �� ���� /��� �" �D��""�� "��� � 1��1�� � "�� ��1� ��� ������? �� 0��" �"��? "�� � /���� �� /�"� "���� ����1������ �� �3��� "� 7��� �������? * �� = � ������� ����"�� � �� /���� � �� ��"���(���� � � "��� �� � ������� �� ��������

�3������� � 4 ���3� ��� �� �� �� ����" ��� ���� � �� �������� ���� ����� �� ��������� ����� 5�� ��� �� �� ���� ���

�� � ��� �#����� #�� ����

Page 131: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������ �������� ���

* ���� "��� �� ����"�1� ���� � "�� ��1�" ����� ? �" �� ������ "� ��� "��( �� � ���� "��" �� "��� ����� " �� ���� � "�� �/ ����"�� �� "(�� "��� "� 7�� ��" ��� �"������� "� �� "�� ��� ����� ? "�� ����"� � ���� ����"�� �� �"��� �������� * �"�� /��� (�� ���

�������

B �� �

������ "��� /��� ����1� "�� � ���"�1�"( �� "�� 1��"�? � � � ��� "�� ���� ����"�� ����� �������� * �"�� /���? "�� �����/� � � �3����"( �� �3���� �� �1�( ����"�1� ��� �

��� ��

���

���� � �3����"( �� ��/ (�� ����"� "�� ������� �� ������ � ��1�"�E�� ���- �" ��� "�� 3��"�� "��� "�� ��� �

!��� /���� ��� � � � (�� ���- "�� � �? �

!�� /���� �� �������"� ��� �� ��

"�� ��1�"� E�� ��� �/ ����"�� "��� "� 7�� ��" �1�("�� � ��1� �� � � ���/ �"� ������ 1����� �/ ������ � ���� 1����� � � "(������( ���� �"�� 1����� ������ "� �� ���� 1����� � � "�� ���� ����"�� �"�� �� ( ��""� � ��� � ���� 1������ �3��� "�7�� �� �������� E�� �� "� �� /�"� "��� ������ � "�� ��"�� (�� = � � ��1�" ����� /���� �� � ����"�1� � "��� �� � ���"�1� ���� ���" � "�� "�� �� � �� "�� ������� "���� ������ /�� (�� �"�� � � � "���" "�� ����"��

* "�� ��1� �������? "�� ������� "��� ���� � �� �� � � � & � � � &

��� � "��� �� "/� ����� � /���� ����� ��1� �� � ��1�" ����� �� �� "��� �� "/� ���"�1� ���� � "�� "�� �/� '��- "�� =�"� ��� "�� ��1�" ����� " �� � ������ & J� �������� "�� & J�� I�� � �/ ����"�� �� "(�� � 7�� ��" "�� �"�� � "��� � "�� ��1�"����� � ���� (����� �� � ���� ��� & ��

��� � ���� & �� � � � &

�� �

���� �� �"��� � ���"�1� ��� � "�� "�� �/ � � �� "�� ������ �� �� � ���� � ���� "���"�� ��1�" �� ���� I�� � "��� "� 7�� ��" "�� �"�� ����� "� �� "�� ����� ��1���� � ��� ��� �� ��

��� � ���� & �� � ���� #�� ��

�� �

5� �� "��� �� � ���"�1� ���� ���"? "�� ������ �"���� ��� ���� ����"�� �� ������������� "�� �����"�� /�� ����� �� "� ������ ���� ���� ������� ����"�� �� ���� ����"�� �� � + % � � + % � � + � � � � � + � + � 2�� "�� �����"�� "��� �3��? "��� ��"�� � �/� "� "�� ����� �" ��/ �� (�� ��� "��� �� "�� ����" � �/� /�"���" � ������"� �����"(C ��� "�� �� � �� "�� ��1� "��� ��(� �B �

��B��� + % � �����( "�� �����"

� �� � �� /�� �"� � � � � �3��� 7��� ���� �3���� � + � � � � + % � ����"�� ������� ������� ��� ������� � � 1��=�� "�� � �/��

���� �� �2&2� )�����% � + � B � � �� B �� ���$�� �� �� ����� ����� � �� � + �� �� �� #� ��� �� ������� �� ����� ����� �B��B��B� #� �B�B�B$� $� � B �� B � B � ��

Page 132: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��������

E�� /���� 8" /� " "� "( "� �� "��� � � ( ��/� � � ���"��� ��� ������� "��� ������� �� �� � �� � � � � � # � � � $ � $

� � � � � �

���������( "�� ���� ����"�� �� ������� � � �� �" �� �������"� "� ��� "�� �����"��� ������ � �� � "�� ���� � ����� � � �� �" �� ��1� �� � ��1�" ����� � ��� ��1�" ����� " ��"�� � � ���� � � ���� �� ���� "� 7�� ��" "�� �"�� ����� "� �� "��" ����� ��� � "�� "���"(�� �� �/ ����"�� �� ������� ��1������

� � # �� � � � � �� �

�� # � �� � � � � � � �

������� ��" ��1�" ����� �� "�� � � /���� ��� � �� � "�� "��� ��� ��1�" ����� " �� ����� � ����(� � "�� �����"�� ���� (����������

� ��� # ��# ��# ��� � � �� � �� # � �� � � ��� � ���# $�# $��

����� � �" "��� ��� " "�� ������ �"���� ��� ������� 1���� �� � + ��� � � �" ����� /��

� + � + + +

� � � + $��� � + ���� � + ��

���� �� �2&2� - ������� ��0� ������� ������� ��� ��%��� ��� �� ������� �� ��� �� $�� - ������ �� ������� �� �� ����� �� ������� �� ����� �� �� ������ #�� �� �� �� $��� - ������ ��� ��� ����� �� ������� ��� �� #�� �� �� ��$� ��� � ��%�� ��� �� ����� �� ������� ��� ��� ������ �� ��� ������� � �� �( ������� �� �* ��� ��%��� �� �8� B� ����� �� ������� ����� R$� �� ����� �� ������� �* ��� �� #�� � �� �� $� ����� �&� �� ������� ��� �&66 �� ���� �� ��� ����1�� ���� �� ��� � ����� ����� ��� � ���� �� � � �� ������% ���9

��� ����� �� "� ������7� � + �B � B #� ��0��" "� "�� �� �"�� "?

$

�� �������� �� �B � B �

��B �

�� ����� �� �B �

��B

�� &���� �� ��B �

�� � �

5������(� � "��� (����� � B �& B $� � � ���� "�� ������� "��� ���� �� �� �# � �& $ � �

'��- "�� ���"� ����� �� "�� ��1�" ����� � * "��� ���� "�� ��1�" ���" � $� I�� � "�������"��? �

� % %��$ #�$ � � �& $ � �

� � �" �� ��� "�� ������� �1� �� �� R� ����� � /�� � ��7��� �� ���� � � � �"�������"��

5���"���� "��� ��( � �� ( ����"�� � "� � � �� "���� ������7�"�� �������

Page 133: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������ �������� ���

���� �� �2&2� )�����% � + B ���$�� �� B �� %� %� � � �

*� (�� ���1� "��� ���������(? (�� ��� "��� �� � = �"��( �� ( ����"�� � "� "�� ������7�L"�� ������ ��� ������� "��� ������

� �� �� � � � �

� � % � � %

����� � "�� ��" �"�� (����� ����

� �� � % � � �� �

� � % � � %

������� "�� ��" �"�� �� ����

� � �

� � �� �

� � % �� � � #

������� ������� ��"��� ��1�� "�� � �/� + �� + %� � � � + �� E�� ����� ��1� ���� "��"��� ����� �� � ��1�" ����� ����� ��� ��� � "�� ������� �����"��?����

� �� � % � � �� � � � %

� � %

����� � "�� "�� ��" �"�� (���������

� � �

� � �� � �� � � #

� � %

����/���� (����� + �� + %� � � � + �� 5� �� "�� �� �"�� ? � + B �� �� ��? �" �����/� "��"� ( ����"�� �� "�� ���

��%

B :�� �;

�%�

/��� ���� � � ����"�� � :,�(C;

���� �� �� ����( "�� ���� "��" �� "�� ������� ����� �" ��� � + �� � � ���� "�� �� � � � �

���� � + �� "�� ������� ��0��" "� "�� ��1� �� �"�� "� /��� ���� �"

����� �����

5��� � ��� �� ������ � �� 1�� ���� �"�� � E�� ������ "�� - /�( "��� �� "��� �� "� "��������� ��"���? "��� �����"�"�� "��" "�� ��"��� �� ���� �� = �� � � � �/� �" �" ����" �" (���� ��� "�� � �/��� 4��� ��� ����� � ���� � "��� ���� �" "��� ���� /��� �����

��� ������� ��"��� /�-� ( "�-� � (�� ��� � ���� ������� ����"�� "� � �"�� ����������� ����"�� � 5���"���� /�� (�� �"�" "�� ������? "�� ���� ����"�� �� �" ��������* "��� ����? "��� �� � ���( /�( "� ��� �� "�� ����� � "� � � �� /���� "�� ���� ����"�� �� �������� * /��� �����"�"� � "�� �����/� � ��������

Page 134: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# �� ��������

���� �� �2&2 )�����% � + � B � B � ���$�� �� �� B � B �� �� �� B �� ��� � %� ��� �� �� � � �

6�� "�� ������� "��� ������� �� �� �� � � � � � � � �� � � � %

������� �� � "�� ���"� ����� ����"� ��� "�� ���� � �� �"�� " � /���� (�� ���" ��"��"� ����"�1� 1����� � ��� "� ��" �� ��/ � "��� ���� "�� ���� ����"�� �� �" �������� � ���( /�( "� ��" ��� � "��� �����"( �� "� ���1� � �� � ���� 1����� � "�� �����/� �/�(� ��� � �"�� �� �"�� " �� "�� ���

�� B �� � :� � ; � �

/��� ��-� "�� �"�� 1������? � � *" �� ������� �/ "� ��1� �"� � � � � ���"�1�� � (�" "��� ��D�� �� �3���� � � � ���"�1� ���� ,�"� "��� �/ �� �"�� "? "��������� "��� ������ ������

� �� �� ��

� � � � � � � �� � � � % � � �� � �

��������/ "�� ���� ����"�� �� ������� � � �� (�� �� �"�" ��� � "�� ������� �����"��� I��"�� ���� � ����� �� "�� ��1�" ����� � ��� "�� ��1�" �� "�� � � "��� ����� � I�� � "�������"��? ����� "� ������

� ���� ��� ��� #

� � � � � � � �� � � � %

� � �� � �

������� �"�� �������"�� �� "�� �����"�� ��1���������

� $�# ��� ���# ��# &��

� ��� � ��� ���� � ��

���� �J� � ���� $

� � �� � �

�������� � "�� �������

� ��� ��� ��� �

� � � �� � ��

���� �J� � ���� $

� � ��

������� �

5� �� ��� "�� ����� "� � "�� "�� �/ �� � ���"�1�? "�� ������ �"��� � � "�� ��������� � + � /���� ����� /�� � + �� � + %� � + � � � � "�� �"�� + �

Page 135: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������ �������� ��$

,�)�� (���.�0����� �����.�

� � /�( "� �� �� ���7�"�� ������ �� "� �/�"� � "��� �� � ������7�"�� ������ */��� �����"�"� "��� /�"� � �������� �"�� �������� �� � �� � �������(�

���� �� �2&2# )�����% � + �B�� ���$�� �� �� ����� ����� �B�� � �� ��B� � $

E�� �� ���1� "��� � � �����"�����( ( ��/� � � ���� �� ������ ���� (����� "���� ���� ����� �" :��$� ���$; � ��/ �" �� ����"� " "� �� ���� ��/ "� = � "��� ��� � "��������� �����"��� ������ � � �� ���� ����"� �" � ��� " :�� ;? "��� ����"� � �� �"� "3 ���� "��" 3 � � � � 3 � � * �� 8" - �/ /��" 3 �� �" * �� - �/ �" ����"� ������ � �� ���� ����"�� *" "� � ��" �"� 1���� �� � ����"� "� !�= � �/ 1������? � +3 � � � � � + 3 � �� ���� �" "�� ��� " �" /���� "�� �� ���� �����? �"� ������"�1�� *" �� ������ "� �� ���7� � + :3 � �; B � :3 � �; ��0��" "� "�� �� �"�� "�:3 � �;B� :3 � �; � � � � � :3 � �;B:3 � �; � $ � � �" �� � �( ������( "� �� ���� � �� �� ��� ���� � �3��1��� " ������7�"�� ����� �� "� ������7� � + � B ����0��" "� "�� �� �"�� "� #3 � � � � B �� � � �3 � $ � �� B �� 6�� 3 �� �� ������ �" ���� "� � "� ��1� #3 � � � � � �3 � $ � � ��� "�� ������� "��� �� "����3��1��� " ������7�"�� ����� ���� � �� ��

� � � #3 � �

� � � �3 � $

��2� ���� 3� �" �� ���� "�� ��1�" ����� " �� "�� =�" ����� �� "�� �� ���� "�� �����"��(����� ��� � ���� ��� :�3 � $; ��

$J� � ���� ��3 � ��

� � � �3 � $

������ ��" �"�� (����� ��� � ��$ ��$ �3 � ��

$J� � ���� ��3 � ��

� ���$ %�$ �3 � ���

��� �

��� ������ ��� �"����� � � �� "�� ��"���� 1����� �� �� � +��3 � ��

��� � �

� +��

���3 � �

�� ����� ������ � "�

��3 � ��

��� + 3 � � � � �� � +

� � ���� � +

3 � ��

���3 � ��

�+ ��

� � ���� "�� �� ���� 1���� �� � �� � B �

����

�+ ��

� �� ���1�� ("�� �����"�� �������� ��"� ��/ "�� 3 ���������� � "�� = �� � �/�� 5� �� �" �� � ��"�( ���� �� �"� "? "��� ���" "�-� ������

Page 136: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% �� ��������

Page 137: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

������ ������

5���"�� ����( ���� "� "�� �"��( �� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� � ��"��� *" �� ���� ���� "�� ����"� �� � �� ( ����� ��/ ����"�� � /��� � �� �� � ���� � ������ "���� "��� ��0��"�

%�� �����4����� �� �����4�� �� �� 0� ��

��� =��� �� ������ � ����"�� "���( �� ��" "�-� "� �3��� � ��"����� * /��� ����"������� "� �" �� ��

'�3������ (2�2� "� 3 � �� � � ��� �� ��� � � � � � � � ���% � ���� �� �����

3� + 7� :���;

�� ��� ���� 7� ��� � �� ��� �� ������� ��� 7 �� ��� �� ������ ���� ���� ����� ���� �� �� ��� �� 3�

����������� ��� ����� ���� � ����

�� �� �� � ������� �� �� � � ��� �� 3� �� ����� �� : :3; ��� �� � � �� ���� ���� �� �� 3�

���� 1��"�� �� 1��"�� /���� �� ��� -? �"�"���� � �F��"�� ��� ���"������"�� (� ��"��� 6�/ �� "��( � ��� "�=��C 5������ � ��"��=�� :���;� ���

:70 �3;� + +

�� ���� � �+ +� �������? "�� ��"�� 3 � 70 �� �" ��1� � � 1��� � � �� ( ������%����$

��" :70 �3; + � :���;

* �"�� /���? 7���" � � 7�� �� "�� �����"���"�� ���( ������ 5� ��3 �� � � ���"��?�" �����/� ��� "�� "����� � ���� �� � � ��"�� ( �"� �����"� "��" "��� �� � ���( ������3��"�� �� ����� �� �� ����? �" ��� � ����"�� ? 7 � � � *� �" ��"����( � ���� 1����C ���� �/� �� (�� � � "��� �����/� ��� ������ %����� � '��� � &� 5� �� ��" :70 �3; + "�� ��"��? 70 �3 �� �" � � � "� � � � � �� "��� ����"� � � 7�� 1��"�? � ���� "��":70 �3;� + +� ���� ��1�� "�� �����/� � ������(�

�������� (2�2� "� 3 � �� � � ��� �� ��� ��" :3 � 70; + � ��� �� ����� � � � ����� ���� :3 � 70;� + +�

���

Page 138: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �������� �����

�� � �������? �� ���� "�� �����/� ��

���� �� (2�2� ���� �� ������� ��� ������� � �� �� ��� ��

. +

�� $ �� �$� �# ��# �� %

�� �

E�� =�" ��� "� ��� "��( "�� ���� 1������ ������ "��� �3���� "�� ����"�� �� "�� �3��"��

��"

��7

�� � � �

����� $ �� �$

� �# ��# �� %

���� +

,�� (�� ���� � "��� ��"��� � "? (�� = � "�� �3��"�� ��

:7� $;�7� � � 7B �

�+

� � �� "�� ���� 1����� ��

$� � � � �

* ��1� ���"�� � "/��� ������ �" �� � 7�� �� ���"������"( "/� ��� "�

7� � � 7B � + :7� � ;��

6�1� � ��� � "�� ���� 1�����? �" � �( ���� � "� = � "�� ���� 1��"��� 2��" = � "������ 1��"�� �� 7 + $� �� ������ �� ��1�? "��� �3���� (�� "� ���1� "�� �3��"�� ?��$

�� � � �

����� $ �� �$

� �# ��# �� %

������ �

�� +

��

�� �

���" �� (�� ��� "� = � "�� ����"�� "��� � $�� �& ��# � ��

���� �

�� +

��

��.( �/ "��� �� � ��� ������ E�� ��" �� "�� ����� "�� ��"�� � � �/ ����� "� ��" "������"�� � ���� "�� ��"�� (�� ���" �/ ����� ���� � $

�� �& �� # � ��

�� � :���;

��� ������ �/ ������ ��� �� �� � � ��

� ��

��� � �� "�� ����"�� �� � ( 1��"� �� "�� ����� �

����� ��

�� + �

�� ������

��

Page 139: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �������� �� ��� ����������� � � ����� ��&

/��� � � �� E�� /���� �"�� "�� ���� ������"�� �� 1��"�� �� (�� ������� � /�"� #������ � ������ ������"�� �� "�� ����"�� � "� "��� �(�"�� �� �3��"�� � /���� ����� "����"�� �� � :���; ��

�� $��#

�� :��#;

/��� � � �� ��/ (�� ��� "� ����� "��" (�� �� 8" "�-� � + ������ "��� /��������" � "�� 7�� 1��"� � �

��.��-�!���� ��� ��-�� ����� �� 6���9

�"�� "�� "��� 1����? �1�( �"�� ������ �� � � :��#; ����"� � � ���� 1��"�� *" �� � �������� "� ����- (�� /�-P �� �� ��? * /��� "�-� "�� ���� �� ��"�� � � ���"���( ( "��� 1��"�� � ��� �� * ��" $ "���� "��� 1��"���� $ �� �$

� �# ��# �� %

���� $��#

�� +

�� �$�� �

�� + $

�� $��#

���� �" ������ "��� �� ����"� ��/�(� ����- (�� /�- � "���� ������ �� (�� ��� ���"��""� � "�� � �/� ���"�

��� 1�����? � �� ������ � ��� 1����� � ����"���� � �����"�� ��� ��" �� 1��"�� � :��#; �� ������ "�� ���� ����� � � �" �3���� -� :70 � .; � E�� ������ ���1� "��" � "��� ����"�� ���� ����� ��� ���� ��� � ������ "��� �� � � 1��"� /���� ��� � "�� ���� ������ * �� ���? (�� �"�� "�� ����"�� ��� "�� �/ ������ ��� � � "�� ��� �� ��D�� " ���1������ ��1�� (�� "�� ���� ��� �� "�� ���� ������ >��" ����� "��" �" �1�( 1��"�� "�� ���� ����� �� � ���� 1��"�� ��� 1��"�? + �� �" � ���� 1��"� ��"����� �" �� � "������ ����� ������

��.��-�!���� ��� ��-�� ����� �� 6���9

���" �� ���� "�� ���� 1��"�� �� 7 + � � ����� 1��"�� �� ����"�� � "� "�� �3��"�� ?���

�� � � �

����� $ �� �$

� �# ��# �� %

������ �

�� +

��

�����" �� (�� ���" = � "�� ����"�� � "��� $ � $

�� �# ��# � #

���� �

�� +

��

��/���� ������ "� �� �����"�� �� "�� ����� "�� ��"��?�� $ � $

�� �# �� # � #

����� �/ ������ ������ ��� �� "��� ��"�� ���� � � �

��

Page 140: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�# �������� �����

� � �� "�� ���� 1��"�� �� �� "�� ����� �� � ��

�� +

�� ���

��B �

�� �� �

�� �

E�� �� 8" ���- � � � �"� �3��� "� 7�� ������ "��� /���� ����" � "�� 7�� 1��"� � �

��.��-�!���� ��� ��-�� ����� �� 6���9

6�/�1�? �1�( �"�� ������ �� � � � ���� ����" � � ���� 1��"� �� "�� ���� 1����7 + � � �� � "�� ���� �� 7 + $ (�� ������ ����- (�� /�- �� (�� ��� ���" ��""� � �"���"� �� $ �� �$

� �# ��# �� %

���� �� �

�� +

�� �� �

�� + �

�� �� �

���� �" /�-��� ��� �"�� 1��"� /��� ���� /�-� ����- �"�

��� ��1� ������� ���/� ��/ "� = � ���� 1��"�� � � ���� 1����� ����������(� E����( ��1� �"���� �" �� � �" �� �� 5���"���� �"��� "� "( "� =�" �/ ����� "�� ��"������ ���-� � �� ���� 1������ ���� �� � "���� ���� ������ �/ ����"�� � ���"�( "��1���� �� "�� ���� 1������ ��� ���� 1���� ����� �� ����( �" ���" �/ ����"�� �� ��� ��� ��� "� ����� ���" "�� ���� 1���� ����� �� "����

"� �� �� ��� ���. �� ��� �� �� ������� )���.9

��� ���� 1���� ����� �� "�� �����" ����� � ����� � � ������ �"��� �� ������ � /�(� "� = � ���� 1������ ��/ �� (�� �� �� ��"� �"� �� "� = � "�� ���� 1����� �� � "����1� �������? "�� = �� � "�� ���� 1��"�� ���� ����� "� �/ ����"�� � � � "��� ��"�� "�� ����� �� ���(� 6�/�1�? = �� � "�� ���� 1����� �� � ("�� � �" ���( ������ ��� � � ��"��? �" � 1��1�� ���1� � � ���( ����� �3��"�� �� ����� � � � � � �� �� ��1�( ���� �" ��� � "���� *� (�� � �( = � � ���� ��������"�� "� "�� ���� 1����? �" /� 8"/�-� *" ��"�� �� � �� �" � ���� 1���� � � �� �" �� �"? "�� � �( ����"�� "� "�� �3��"�� ?:70 �3;� + + /��� � "�� 7�� ����"�� �� ������ �� ��1� � �

��.��-�!���� ��� ��-�� ����� �� 6���9

6�� �� � �"�� ��������

���� �� (2�2 "�

. +

�� � � ��� � ���� � �

��2��" = � "�� ���� 1������

��"

��7

�� � � �

����� � � ��

� � ���� � �

���� +

���� �� 7� � %7� B �7 + � � "�� ����"�� � �� ? �? � � #�

+ �� �� �� ��.��-����9

Page 141: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �������� �� ��� ����������� � � ����� �#�

��/ = � "�� ���� 1��"��� 2� 7 + "�� ����� "�� ��"�� �� = �� � "�� ����"�� � ���� � � �� � � �� �� � �

��� � "�� �/ ������ ������ ��� ���� � ��

���������? "�� ���� 1��"�� �� �� "�� ���

�� � �

��/��� � �+ �

���" = � "�� ���� 1��"�� �� 7 + �� ��� ����� "�� ��"�� �� "�� �(�"�� �� �3��"�� � ����� "� = � "���� ���� 1��"�� ���� �� �

�� �� � � �� �

��� � "�� �/ ������ ������ ��� ���� �

� ��

��� � �� "�� ���� 1��"�� �� �� "�� ���

�� ��

��/��� � �+ �

2� ���( = � "�� ���� 1��"�� �� 7 + #� ��� ����� "�� ��"�� �� "�� �(�"�� �� �3��"�� � ����� "� = � "���� ���� 1��"�� ���� � �� �

�� � � � �� �

��� � "�� �/ ������ ������ ��� ���� � ��

�� �

�������? "�� ���� 1��"�� �� �� "�� ���

�� ��

��/��� �+ �

Page 142: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�#� �������� �����

���� �� (2�2# "�

. +

�� � �� ���� �� ���# �$ �#

�� �

���� �� ������� � ��� ��������

* "��� ���� "�� ���� 1����� �� �� %� % /��� * ��1� ���"�� % "/��� ������ �" �� � 7�� ��������� ���"������"( "/�? "�� �����"���"�� �3��"�� �� �

:7� �; :7� %;�+ �

*" ���� � "� = � "�� ���� 1��"�� �� "���� ���� 1������ 2��" �� ���� "�� ���� 1��"�� ��7 + �� E�� ���" ���1����

�� � � �

����� � �� ���� �� ���# �$ �#

������ �

�� +

��

�� �

��� ����� "�� ��"�� �� �� � � � � # � ��# ��$ ���

��� � "�� �/ ������ ������ ��� ���� � ��

� �

���� "�� ���� 1��"�� �� � 7�� 1��"�� �� "�� ����� �

���

�� + �

�� ����

�����" �� ���� "�� ���� 1��"�� �� 7 + %� ���� �3���� (�� "� ���1���%

�� � � �

����� � �� ���� �� ���# �$ �#

������ �

�� +

��

��� � "�� ����� "�� ��"�� �� "��� �(�"�� �� �3��"�� � ���� # � �

� � � ��# ��$ ��

����� �/ ������ ������ ��� �� �� � �

� � �

��

Page 143: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �������� �� ��� ����������� � � ����� �#�

� � �� "�� ���� 1��"�� �� 7 + % �� �� "�� ���

�� � ��� ���

��� /�""� ��� �����(?

�� �����

��/��� � � ��

��"� "��" � "��� ������� "�� ���� ����� �� "�� ���� 1����? 7 + % �� �� ���� ��� ������� "��� �� � �( � � �����"� /���� �� � ����� � 6�/�1�? "��� ���� 1���� �� �����"������"( "/� �� � ��" "� "�� �����"���"�� �3��"�� �

'�3������ (2�2& /� . �� �� � � ��� �� ���� �� � �� �� ���� ��� ������ ��� ���� ��� ���������� �� � ��� �� �� ��� ��� ����� #������ ����� �� � �� ���� �� ���������� �� ������� ��������� ���� ���� ������ ��� �� ��� �� �� ��� �������

���� ��( � ����"�� ��"� "� "�� �����"���"�� �3��"�� ? :���; � � �" �� �" - �/ /��"�� "�� ���� ��� �� "�� ���� ����� �3���� "�� ���"������"( �� "�� ���� 1����� 6�/�1�?"�� �����/� � "����� �� �1�������

������� (2�2� '����� 3- + 7-� � + �� � � �� � - �+ � ��� ���� �� � �+ �� ��� 7 �+ 7� ���� �� �� �� ������� � �-���� �� ��� � ���������

/����4 *� "�� �� ������ �� "��� "����� �� �" "��? "�� "��� ����" � 7�� ������?�� ���� "��"

�����

��-� + +� :��$;

5� �� � ( � ���"( ��" �� � ���"�1� � "���� ��� � �������" � "��� � "�� ��"? "�-� � ���� ����� �� ������� �� "��� "� "�-� ������ ��� ���1� � �� -��

-�� +�� ����

��-� :��%;

/��� �� + ������ �+ � 4��"���(� � �"� ����� ( 3�

7��-�� +�� ����

��7�-� �

/���� ��� :��%; (����� �� ����

��7��-� +�� ����

��7�-�

� � "������?

+ +�� ����

���7�� � 7�

�-� �

Page 144: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�## �������� �����

� ��� ��1� � ��/� "�� � "���� 6�/�1�? ��� "�� ������"�� "��" � �� �� ����� ��������� �� :��$; "� ���� /�"� ��� "�� ������? �� � 7��? �" �����/� "��" �� ���� � �+ ��

���7�� � 7�

�+

/���� ������� 7�� + 7� � � �� "����"�� �* /���? "��� "����� ��(� "��" ���� 1��"�� �������"�� /�"� ���"� �" ���� 1����� ��

�� ���( � ���� �� "�5���"���� (�� ��1� "� �� ���� ���� 1����� /���� �� ������� ����� ���� ����� �

��D�� "��� �3��"�� � �� �������� E�� �� "���� ������ ����"�( "�� ���� /�( �� (�� ��"�� � �� � /���� "�� ���� 1����� �� ���� 6�� �� � ��������

���� �� (2�2( ���� �� ������� ��� ������� � �� �� ��� ��

. +

�� � � �� � �

�� �

E�� ��� "� = � "�� ���� 1������ 5��1�

��"

��7

�� � � �

����� �

� �� � �

���� + �

���� ������ "� :7� �;�7� � #7B $

�+ � ��� ����"�� � �� 7 + �� 7 + � B �� 7 + �� ��

���� �� �"�� � �/ ���" = �� � "�� ���� 1��"�� �� 7 + � �� �� ���� "�� ���� 1����7 + � B �� E�� ��� "� ���1���:� B �;

�� � � �

����� �

� �� � �

������ �

�� +

��

��* �"�� /���? (�� ���" �� ���� "�� ����� "�� ��"��?�� � B �

� � �� �

���� "�� ����"�� � !�1��� "�� "�� �/ ( :� B �; � � "�� "�-� �� "���� "�� ���� � �/ � ���� "� "�� �""��� ���� (����� �� �

� �

����/ ���"���( "�� ���� � �/ ( �� "� �"�� �� �

� ��

���������? "�� ���� 1��"�� �� �� "�� ���

�� ��

�� �

Page 145: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ����������� � �������� �� ��� ����������� �#$

E�� ������ = � "�� ���� 1��"�� �� 7 + �� �� ����� ��

�� ���

�� �

�� �����? �� (�� /� " "� ��" �" ���" (�� ��� �""� ����- �"��� � � �� � �

���� ���

�� +

�� ��� ���� �

�� + :�� �;

�� ���

���� �" /�-���

%�� 1��� ������ ���� �� �����4����� �� �����4���

��

������ "��" � � ��"���� �� � �� ������ �� �� �� "� �����"�� �� *� + �� � � � �����"�� ��1� � ����"�1� ��"��� � "? �" �� � ���/ "��" + + 9� /��� 9 �� � �"�"�� ��"�� � � � �� � �(���"�� ��� ��"�� ��1� � ����"�1� ���� 1������ � �������"�� ��"��� /� ����� ����"? - �/ "� ��"����"���� � �� "�� ���" ���� ���������"�� ? �� "��� "� ��� ����� ��� /��� � ��� - �� ��"���� �� ��� "�=�� /�"� � ��" �� ��� "� � "������� ��� �� ������

��� �� �� "� �����"�� ? + � "��� �� "��" �� ������ "�� ������"�� ����� " � ��" ������� "�� ����� ������"�� �� "�� ��"����� ���� �" �� ������� "� �� ���� "���������"�� � "��� �� "/� ��������? � � /���� ���"�"� "�� ��"���� � � "�� �"�� /����0��" �"�"�� �"� *" �� "�� ��"��? � /���� �� ���� ���� �� �"�"��� � � � �������� �� ������ /�( � �� "� ��� ����� ���? "�� �"��� �� ��"� "�-� "� ���� � � � /���� �� - �/ � "��� �� "��" �� "�� ���" �����( <�� �"�� "� ��� ���� ������ �� /�"� � � ��"�� �� ������" �� "/� ���� ��"����? � � �� /���� ����1�� ���"� �� � � "�� �"�� /���� ���"�"��� ���� ����"� " � �������"�� � "� �����"�� ������ "���( � � "���"� � =��� �� �"��(� ��"����"��� � � "� "�� �"��( �� 3����"�� ���� /���� ���� � �� ( �������"�� � ������ �"�"��"���� 6�� * �� �������7� � "�� �������"�� "� ����� ��� � /���� "�� ���� 1��"���� � ��"��� � "�� �� ����� ����"�� �? "���� ����"�� � � /���� "�� ��"���� �� �"�"����� ��������� "� "�� ������� ��"� "�

���� �� (2�2� ���� �� � ����� �� ������ �� ���� �� �� ��� �� �� ����

��

��

��

����

����

��

����

����

���� ������� � �� �� ��� �

� �

*" �� ��� "� � ��1� "�� ���� 1������ ��� �����" ���� 1���� �� � /���� ��� � "��" � "�� ����"�� ��"��� �� ( "�� ���� 1��"� �������"�� /�"� � "�� �"�"�� �� "��� "���� ������� ��� �������" ���� 1���� �� ��� � � �� � "�� ����"�� ��"��� �� ( "�� ���� 1��"��� ��� "�� ��"���� �� ���������? ����� � ������( ���� �� �� �� *" ���� � "� = � "��������"�� �� 2��" �� ���� "�� ���� 1��"� �� �� *" �� ������( "� ���1����

�� � � �

����� ��

����

��

��

����

����

��

����

����

������ �

�� +

��

��

Page 146: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�#% �������� �����

���� "�� ����� "�� ��"�� �� "��� �(�"�� �� �3��"�� � ��

�� ��� �

�� � ��

� ��

���� � ��

�� �

�� � ����

����

����� �/ ������ ������ ��� �� �� � ��

� ��

��� � �� "�� �� ����� ����"�� �� "�� ���� 1����? � � /���� "�� ��"���� �� �"�"���� "� "��������� ��"� " �� �� �

��

�� �

� ����"�� 1��"� � "��� ����"�� �� �� ����

����

����

�� �

E�� ������ ���/ "��" "�� ����"�� � /���� "�� ��"���� �� ��������� "�� ���" �� � "������"�� ��

�������

����"� "��� �� ��� � ���� � ����"�� /���� (�� /���� ��1� � ��� "��� = �� � /�"���"

"�� "���( �� ���� 1��"�� � � ���� 1������� �"�� �������"�� �� "� "�� ����� �� = �� � ����"�� � "� �(�"��� �� ��D�� "���

�3��"�� �� *" "� � ��" "��" 1��"� � �(�"��� � 1��1� � ������ � � ��� �� �� � �"������ "�� ���

��� + .� :���;

/��� . �� � ��� �(���"�� � � ��"�� /���� ��� � ����"�1� ���� 1������ ���� ��� ������� "� "�� ���� �� "�� ����� �3��"�� �� � ������ �������"�� ? � B �� + � ������ ��D�� �� �� "��" ��� "�� ����� �� �� ������� /�"� "�� ��"��? �.� �� ���� "������� �� = �� � ����"�� � "� :���;� E�� ���- �� � ����"�� /���� �� � "�� ���

� :�; + -("� :���;

� � ���"�"�"� "��� � "� :���;� ����

��� + -7�("� + ("�.-

� � ��

7�- + .-�

Page 147: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ����������� � �������� �� ��� ����������� �#�

�������? 7� ���� "� � � ���� 1���� �� . � � - ���� "� � � ���� 1��"�� 5� �� .��� � ����"�1� ���� 1�����? 7� + ��� � � �� 7 + ��� /��� ��� �� � ���� 1���� �� .������� �� � "� "��� (�� �"�� ����"�� � �� "�� ���

� :�; + - ��� :��; �- �� :��; �

��"� "���� ����"�� � �������"� ������ �� "�� ��� :��; � � �� :��; � "�� ����"�� �� 6�� ��� ��������

���� �� (2�2� ���� ������� � �������� �� �� ����� �� ��3 ���� #������� ��� + .���

. +

�� � �� � �

� � ��� �

� � ��

�� �

�� � ��

�� �

�� ������� � ������ ��� ���

������ � "� "�� ��1�? (�� �� = � ����"�� � ( ���-� � �� "�� ���� 1��"��� �� ����"�� ���� 1��"�� �� ��� ��� ����� "�� ��"�� �� = �� � "�� ���� 1��"�� ���� � �

���

��

�� � �

� �

�� � �

� �

��� � �"� �/ ������ ��� �� �� �

� �

�� �

�������? "�� ���� 1��"�� �� �� "�� ���

- + �

�� ���

�� �

*" �����/� �� ���

�� ���

����

�� ���

�� ��

���

�� �"� ����"�� � "� "�� �(�"�� �� ��D�� "��� �3��"�� �� E�� �� = � �"�� �������"�(����"�� � � "�� ���� /�( ( �� ����� � "�� �"�� ���� 1������ E�� ����" "( ����-� �"���� � �/�� "� 1���( "��( /�-�

���� �� 0��" � ������� ���� �� � ������� ���� � ��D�� "��� �3��"�� � "� �"�� ��������� ����"�� � "� �(�"��� �� ��D�� "��� �3��"�� � ��� � �� �� ������ ��� �1���� ������L���( �� "� "�-� � � �� "�� ������" ������ � � ��(��� � � ��� �� �" � "� "�� ���� 1��������� /���� �� "�� ���" �����" ����� � ������ 6�/�1�? /�� �" /�-�? �" ��1�������� ����"�� � � "��� �� - �/ �� �"�� ��

Page 148: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�#� �������� �����

%�� ��������

�� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� ��& ��# ��� # ��$ � ��

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

�� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� �� �� �$ �� �$ � ��

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

�� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� � # $ �� &�� � �

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

#� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� �� ��� % �� % �� ��

��$� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� �$ �� �

��$ & �%� �� �

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

%� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� �� �� ��# ��# �# ���

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

�� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� � �% ���# �# #�& ��� &

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

Page 149: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��������� �#&

�� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� � # $ �� &�� � �

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

&� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� & % �� % �� �% &

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

� � 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� �� �� ����� % �&� �� ��

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

��� 2� � "�� ������� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"��

�� # �� �� � ��� �

�� � !�L

"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

��� 2� � "�� ������� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"��

�� �# � � �# �� � ��

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

��� 2� � "�� ������� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"��

�� � � �%� �$ �%�� � �

�� �

!�"��� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

�#� 2� � "�� ������� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"��

�� # � � # �� � %

�� � !�"�L

�� � /��"�� "�� ��"�� �� �����"�1��

�$� 5������ . �� � � � ��"�� �� ���"� � � "���( �� ��� � "��� �" �B � �� � ����������� 1���� ��1� � "�� ���� 1��"�? � B ��� 6�� � � � � �� ��� 1��"��� 5��/ "��""�� � � � �� ���� � ���� 1���� /�"� "�� ���� 1��"�? � � ��� 5���4 E�� ����������� "��" "�� �� 0���"� �� � �����" �� ������� ���� �3���� "�� �����" ��"�� �� 0���"��� 6�� �B � �� � ������� ��� /���� �� 0���"� �3���� �� � �

�%� ������ � � � ��"�� �� ���� "� � �(���"�� �� �" ��� ��� ��� � "��� � � �� . + .� �5��/ "�� ���� 1��"�� � � ���� 1����� �� � ��� �(���"�� ��"�� �� ����

��� ������ � � � ��"�� �� ���� "� � �-�/ �(���"�� �� �" ��� ��� ��� � "��� � � ��. + �.� � 5��/ "��" � ( � 7�� ���� 1����� ���" � �� "�� ��� � /��� �� + ��� * /���? "�� ���� 1����� �� ��"�� � ��� ����� �(� 5��/ ���� "��" "�� ���� 1��"�������� �� � "� "�� ��� ����� �( ���� 1����� �� ����� �( � "�� �� �� "��" �1�(� "( �� �� "�� ��� � �� � ��

Page 150: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$ �������� �����

��� *� �" ������� �� � � 7�� ��"�� "� ��1� � �( �� � ���� 1����C

�&� 5��/ "��" �� .� + 7� � � .� + 7�� "�� /�� �1� �� �� ������?

. :��B �; + 7 :��B �; �

� � ��" 3 � � � � ��"��� ��� ��= � "�� ��0�� " �� 3��� �"�� ( 3� "� � "��"� ����� �� "�� �� 0���"� �� 3� 2� �������?�

� �� B � �

�+

�� �� ��� �

� ��"��? 3� �� ���� ��0�� " �� 3� + 3� 5��/ "�� ���� 1����� �� � ���� ��0�� " ��"���� ��� ����

��� 5��/ "��" "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� � ��� ��"�� ���� � �� 0���"� �����

��� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� � �� � �� �� # %

�� �

�� (�� = � "��� � ���� �� " ���� 1��"��C

��� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"���� � �� �� $ � � #

�� �

�� (�� = � "��� � ���� �� " ���� 1��"�� � "��� ����C

�#� ��" 3 � � � � ��"�� � � ������� ��� � � ���� �� � ���� 1��"�� /���� ��� ��� ���( � ���� �� " ��"� 2�� "�� ��"�� 6 ( ��-� � "�� ����� � "���� 1��"���5��/ "��" 6�� ����"� � � "��" 6��36 �� � ����� �� ��"�� :� � ��1� � 7��� �1�(L/��� �����" � "�� ��� ����� ��; ��1� � "�� ���� 1����� ��3 � "�� ��� ����� ���,�� "��� �� � �� � "�� ��"�� �� ����� ���7����

�$� 5��/ "��" � ��"��? 3 �� ����� ���7��� �� � � � �( �� �" ��� � ���� �� ���� 1��"���5���4 ��� =�" ��" �� �� � � '���� �� *" � �( ���� � "� ���/ "��" �� "�� ��"���� � ����� ���7�� ( ���� ��"��? 6 ��1� � 5 + 6��36 �� 5 � ����� �� ��"��?"�� �" ��� � ���� �� ���� 1��"��� �( ��� � "�� ����� � �� "�� ��"�� 6�

�%� 2� � "�� �� ����� ����"�� � ��"��� �� ( "�� ��"��?

�� �� � �

��� �

��� � �

� � �

��

�� � ���

���� 1����� �� �� � �� � �

�� ���"�� ������ � "� ���"������"(�

��� 2� � "�� �� ����� ����"�� � ��"��� �� ( "�� ��"��?�� �� � �

� � ��� �

�� �

��

�� ��� ���� 1����� �� �� �� � � �� ,��" �� "�� ��(����� � "���"�L

"�� �� "�� ����"�� ���� 1����C

Page 151: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ���� ������� �$�

��� 2� � "�� �� ����� ����"�� � ��"��� �� ( "�� ��"��?�� ����

��

��

��

���

��

��

��

���

�� ��� ���� 1����� �� �� �

�� � � �

�� �

�&� 2� � "�� �� ����� ����"�� � ��"��� �� ( "�� ��"��?�� ��

��

��

��

�� � �

��� � �

���

�� ��� ���� 1����� �� �� �� � � � ��,��" �� "�� ��(����� � "���"�"��

�� "�� ����"�� ���� 1����C

� � 2� � �������"�( ����"�� � "� "�� �(�"�� �� ��D�� "��� �3��"�� �? ��� + .� /��� . +�� �� �� ���� �� �� ��

�� ��� ���� 1����� �� ����#� � � ���

��� 2� � �������"�( ����"�� � "� "�� �(�"�� �� ��D�� "��� �3��"�� �? ��� + .� /��� . +�� � � � �

� � ��� �

� � ��

�� �

�� � ��

�� ��� ���� 1����� �� ������ � � ���

%�! .���- 0� ����

5������ . �� � ��"�� �� "�� ������ .�� � � � .��

������

.�� � � � .��

���/��� ���� .� �� �"���� � ��"��� 5��� � ��"�� �� ������ � ���- ��"���

5������ ���� "��" " �� ���� � ���- ��"�� �� "�� ������ "�� � � � "��

������

"�� � � � "��

���� � "��" �� ��� �� �� �" ��-�� �� �� "� ���"���( .�"�� �� ��� � � ��� � � ���� :���" �� "��"/� ��"���� �� �� �������; � � "��" �� ���� ��.�"�� �� "�� ���� ��7�� ��� (�� �� �"�� ." �� � ���- ��"�� �� �����/�� ." + ' /��� ' �� � ���- ��"�� ��1� � � ����-� ���� "��" "�� ���� ���- �� �� "�� ���

'� +

�����

.�"�� �

���� �� 0��" ��-� ��"�� ���"������"�� �� ��"���� /���� � "��� �� ������ �����" (�����" /�( ���" "�� ��� �� "�� ���"�� � � (�� ��� ��"���� �"�� "�� ����� ,�(������ "��� ������ ����C *� � + �� "�� �����" �� �� "�� ������ .��

���.��

����"�� � � � "��

Page 152: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$� �������� �����

�� ����� � "�� ����� � �� " � � "�� �/� �� . � "�� ����� �� �? :������ "�� ���� ������ "( �� ." �3���� "�� ��" �����" �� "�� ��� �/ �� . /�"� "�� ��� ����� �� "�; �" �����/�"�� ������ /��� ���� � "��� ����� *� � + �� "�� ����� �� �� "�� ������ .�� .��

������

.�� .��

����"�� � � � "��

"�� � � � "��

6�/�1�? ��""� � (.�� +�.�� .��

�� � ("�� +

�"��

"��

"�� "��� ������ � "�� ���

���(.��

���(.��

��� ("�� � � � ("��

��/ �" �� ���� �" ��� "� ��� "��"

(.��("�� +

�.�� .��

�� "��

"��

+ :.��"�� B.��"��; +

����

.�"�

� � ( "�� =�" ��"? "��� /���� � "�� �$�� � "(� �� "� �� � "��� /�(? 1��=�� "�� ����"�� ���" ���- ���"������"�� � ��� ���� �� � 1�"�� "� ��1� � ��� ������"� ���� �� �������

���� ������ ���� �� ���- ���"������"�� "� � ��" "� � 1�( ������ ��"�� 2� �/ ����� � � "���"� � �������"�� �

������� (2 2� "� . � �� � � ��� �� ��� � " � �� � � ��� �� �� � �� ���

��� :�; + ������� :�; �

�� �� ������� �� ". ��� ." � �� ��� �������� ����������� ���� ���� ". ������ �� � % � ��������

/����4 I�� ���- ���"������"�� "� /�"��." "

�0 . 0

+

�." ."." ".

0 . 0

� " ".

+

�." ."." ".

�������? �0 . 0

���." "

�0 . 0

+

� " ".

.( '���� �� �� '��� ���? �" �����/� "��"

� " ".

� �

�." "

��1� "�� ����

�����"���"�� ���( ������� �������? �"� � "��" ". �� � � � ��"�� � � ." �� � � � ��"��?

�� ��" :�0 �".; + �� ��" :�0 �.";

� � �� ��" :�0 �".; + ��� :�; + ���� ��" :�0 �."; + ������� :�; � ���� ��1�� "��"������

Page 153: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� �$�

%�" ��������

�� ��" . � � " � � � ��"���� � � ��" "�� ����� � �� " �

��� � � ����� � "�� �/� �� . ��

��� � � � �� ��� �5��/ "�� ����� � �� ." ��

.�� � � �.��� � "�� �/� �� ." ��

��� " � � � ���"�

�� ��" 3 � � � � ��"��� ��� ��= � "�� ��0�� " �� 3��� �"�� ( 3� "� � "��"� ����� �� "�� �� 0���"� �� 3� 2� �������?�

� �� B � �

�+

�� �� ��� �

� ��"��? 3� �� ���� ��0�� " �� 3� + 3� 5��/ "�� ���� 1����� �� � ���� ��0�� " ��"���� ��� ���� *� "�� ���� ��0�� " ��"�� ��� ��� ��� � "���? �" �� ������ �(���"��� 5��/"��" "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� � �(���"�� ��"�� ���� � �� 0���"� �����

�� ��" 3 � � � � ��"�� � � ������� ��� � � ���� �� � ���� 1��"�� /���� ��� ��� ���( � ���� �� " ��"� 2�� "�� ��"�� 6 ( ��-� � "�� ����� � "���� 1��"���5��/ "��" 6�� ����"� � � "��" 6��36 �� � ����� �� ��"�� :� � ��1� � 7��� �1�(L/��� �����" � "�� ��� ����� ��; ��1� � "�� ���� 1����� ��3 � "�� ��� ����� ���,�� "��� �� � �� � "�� ��"�� �� ����� ���7����

#� 5��/ "��" � ��"��? 3 �� ����� ���7��� �� � � � �( �� �" ��� � ���� �� ���� 1��"���5���4 ��� =�" ��" �� �� � � '���� �� *" � �( ���� � "� ���/ "��" �� "�� ��"���� � ����� ���7�� ( ���� ��"��? 6 ��1� � 5 + 6��36 �� 5 � ����� �� ��"��?"�� �" ��� � ���� �� ���� 1��"��� �( ��� � "�� ����� � �� "�� ��"�� 6�

$� ��"

. +

��� � �� #

� �

���� � ��"

" +

��� �� �

� �

���4��"���( ." 1���(� � "�� ���- ���"������"�� ������� 6��.�� +

�� �� #

� .�� +�

� .�� +

� �

�� � .�� + :�; �

Page 154: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$# �������� �����

%�# 1��5� ������

�1�( ��"�� �� ���"�� "� � ���� "�� ���� ��"�� � � ��"������( ��� �=�� " /�(� ������ 5��8� "����� � � �" �� "�� ���" ����"� " "����� � "�� ����"�� "���( �� ��"�����

%���� (2&2� "� ���� � � ����� � � ����� �� �� � ��� �� ����� �� � ����� �� ������ �� �� � ���� � � ����� ����� ��� �� � �� �� ���� �� ��� � �� ����:��� � � ����; +���� :��� � � ����; �

/����4 ��" ���� � � ����� � � ���� �� �� � ��" �� � ��� ���� � ���� �� � + �� ��� :��; +��� :��; � � ���� �� � �"�� ���� ��"� ��/ ������� �� ���� � # �� ��? � � �? �� ��1��� ����� ���� "��" :�� � ��; + �� � � ��� :��� � � ����; + ��� :��� � � ����;� ��� ��= �

���� ����� �

����� :���� � ��;��������� ������ :���� � ��;��

��� � :��&;

/��� "�� �� ��� �"� �� �" �3��� "� 7�� ������ "�� �� ��� � ���� � � ��

���� �� ��� :��� � � ����; + ��� :��� � � ����;

���� ( � ���"�� ?

���� � ��� :��� � � ���������; + ��� :��� � � ���� �����; �

����? ���� � ��� :��� � � ���������; /���� �� ��� �����( ( ���1� � :��&; �� ���� � � �"�����/�

��� :��� � � ���������; + ��� :��� � � ���������; �

*� � ��

:���� � ��; + '

��:���� � ��;���

���

:���� � ��; :�� � ��;��

+ '

��:���� � ��;���

���

:���� � ��; ����

+ ' ::���� � ��;� :���� � ��;; + �

��� 1��"��? �������� � �� ��"�� � "��� /�( �� "������ � �"�� ���� ���� ���������� 1��"� ��� � �" �� �"��

��� ������ ( /���� "���� 1��"�� /�� �� ��"�� �� ������ "�� <�� 5�����" ������������� "�� �����/� � ��= �"�� �

'�3������ (2&2� -� � � ��� �� �� �� ����� � �� ��� + 0 + ��� �� �� �� ������ � �� � ������ �� �� ���$���� �� ��

������� (2&2� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ����� � ����� � ��� �� � ���� ����

��.� + /� :��� ;

�� / �� �� ��� � ������ ��� �� ������ �� ������� �� . �� �� ���� ����������� ���� ���� �� ���������� �� ���� �� �� ��� ��� ����� #�������

Page 155: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��� ����� �$$

/����4 ��" -� � � � �" ���� 1��"� �� . � ��� "��� ����"� 7� ���� "��"

.-� + 7�-�� �-�� + ��

��"� � �-�� "� � ���� � � "�� ��� ����� ��%�� "� �"�� �-�� � � ��-��? � �"�� �������� � �� � ��" �� � � ��"�� /���� ��� ����� �� -� ��� ��� "�� ��1�? �" �����/� ��

�� � �"�(� ��� ���.�� �� �� "�� ��������7� � � � � � ��� .�

�����/��� .� �� � �� � �� � ��"��� �����" "�� ������ �� "�� ��"��? .� ��1�� ��������"� � � �"�( ��"�� )�� ���� "��" )���.�

)�� �� �� "�� ��������7� � � � � � ��� .�

����� �

��/ ��" �� � "�� � � ��"�� �� "�� ����� +

+ )��

���� �� ���� � � �"�( ��"�� ������ ( ���- ���"������"�� ?�� +

+ )��

��� +

+ )��

+

�� +

+ )����

� +

+ )��

+

�� +

+ )��� )��

+

�� +

+ 0

��� ��� � ���- ���"������"�� ? ����

��.���� �� �� "�� ����������

7� � � � � � � 7� � � � � � ���

��� .�

�������/��� .� �� � �� � �� � ��"��� �� "� �� � � "��� /�(? "��� ����"� � � �"�( ��"��?� ��1� �� "�� �����" �� "�� � � "�� ��1� �� �"��"�� ���� "��"

��.� + /

/��� / �� ���� ���� "�� ���� ��"��� 5� �� "�� ��"�� �� ���� "�� ����? "�� �����L"���"�� �3��"�� ��

*��� :7� 7; /��� "�� 7 �� "�� ����� �� � "��� �� /� �������? "��

7 �� "�� ���� 1������

,��" �� . �� � ��� ��"�� � � (�� � �( /� " "� �� ���� ��� � �"�( ��"����C

Page 156: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$% �������� �����

������� (2&2 "� . � � � � � ��� ��� ��� �� ����� � � ����� � ��� �� 1��� � ��� �� / �� �� �� �

/ +

��� 8� � � � �� � �

��� 8�

��� :����;

�� 8 #��� ��� � � � � ��� �� � 8 #��� � � � � ��� �� ������ ��� ������������ �� . ���� ���� 1�.1 + /� �� ��� �� / �� ��� �� � '��� �� � �� ����� �� .�

/����4 5������

.-� + 7�-�� �-�� + �

/��� 7� �� ���� ��� ��" �-�� � � ��-�� � � �"�� ���� ���� �� 1��"�� � �� � ��" 1�

� � ��"�� /���� ��� ����� �� -� ��� 1��.1� �� �� "�� ��������7� � � � � � ��� .�

�����/��� .� �� � ��� �� � �� � ��"��� ���� �� 0��" ��-� "�� ���� �� ������ ��%�� �� "�"��� ��� "�

��/ � ���� 7� + �B� � �" �����/� �� ��. �� ��� "��" -� + 6�B�)� � � "��" -� + 6���)�

�� � ���� 1��"� �� "�� ���� 1����? �� � � 6�� 6� � � )� �� ��� 1��"��� *" �� ���� "��"�6��)�� �� � � ���� �� " ��" �� 1��"�� � �� � * ����?�-��-�� �� � � ���� �� " ��" � ��" �����/� ��� :-��-�; + ��� :6��)�; � ��/ ��� � "�� <�� 5�����" "����� � �� � "�������"� ������� � � �"�� ���� ��" �� ��� 1��"�� ���� "��" ��� :�����; + ��� :-��-�; ���/ ��" ������� � � ����� � � �"�� ���� ���� � �� � � ��" 1� � � � �"�( ��"��/���� ��� ����� �� �� ��� .�� �� �"� � ��� :�����; �� � + �� � � � �� ���.�� + /�� �1� � � �� *" �����/� "��" 1��.1� �� �� "�� ����������

� � � � � �� � ��� .�

�������/��� .� �� �/ � �� � �� � ��"��� * "��� ����? = � )1� � �� � �� � ��"�� "���" .� � � �������"� ��� �� ��1� � � ���� �� /�"� .� ��"�� � ��# ��# ��"��� � �� � �� � ��"��� ��� "�� � �( �"�� ��D�� �� �� "� ��"

1� +

�������� � � � � � � � ���

��� )1�

�������

Page 157: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� �� ��� ����� �$�

"��� ��""� � � � � ��� "�"( ��"�� � "�� ���� ���" �� � �"�� "�� � � �� �����"� � "��������� /�"� "�� ��1� ����=��"�� �� "�� ���� �� � ������� ���� 1���� ����� �1� "����("� :����; /��� 1 �� "�� �����" �� ��� � �"�( ��"���� 1 ��1�� 2� ���(?

70 � / +

��� 70� � 8� � � � �� � �

��� 70� � 8�

���/��� 0� �� "�� � � ��� "�"( ��"�� � "�� ���� "��" 8� �� � � � � �� "�� ��� � � "������ /��� 8� �� � � � ��"��� ��/? �" �����/� "��" ��" :70 � / ; +

*���� ��" :70� � 8�; �

�������? 7 �� � ���� 1���� �� / �� � � � �( �� �" �� � ���� 1���� �� ���� 8�� ���� ��1��"�� "����� �� �� "�� ���� 1����� �� / �� "�� ���� �� "���� �� . ������ "��( ��1� "������ �����"���"�� ���( ����� ��� "� "�� �������"( �� . � � /�

'�3������ (2&2# .�� � ��� � ����� ������ .� ������� � ��� ���� � �� � ���� ����� �� ������� � �� ��� � ����� ������ �� ��� ��� ������� B�� ��� �� ����� ������� -� � � ��� �� .� �� ��� �� �� �� ..� + .�.� -� ���� ���� ������ �� �� ��� ��� �� ���� �� �� 1 ������ � �� ��$���� ��� ���� -� � � ��� �� . ���� ��$���� � 1 ������ �� . + .��

��� ��" ����� �� "�� ���� �� �� ����� � "��" �1�( ���� ��"�� �� � �"���( ������"� � ����� �� ��"���

%���� (2&2& /� / �� ��� � ������ ��� �� �� ��� / �� � ������� ��� ���

/����4 5� �� / �� ����? / �/ + // �� ,�"� � "��� � "��� �� ����� � "� � � ��� �"�� ������"�� �� "�� ��0�� " �� "�� "� ����� �� "�� �� 0���"�? (����� "�� �����/� � �� "������ � "( �� / �/ + // ���

������ +

��

����� +��

������ +��

������

��/ ��� "�� ���" "��" / �� ���� "�� ���� � � ��" � + � + � "� �"�� "�� �����/� � ���"�� ��1�� �

���� �� +��

������ + ������

E�� ���? ��� + � ���� � + � ��� "� "�� ������"�� "��" / �� ���� "�� ����� ���� ���/�/ �� �� "�� ��� �����

� � � � � � � � ����

� � �� � �

��� � � � �

����� �

��/ �� "�� ���� "�� � � �( "��� "��� "�-� � + � + � � � ��� "�� ����" 0��" ��"������������? ��� "�� ��1�? �

���� �� +��

������ + ������ �

Page 158: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$� �������� �����

���/� � "��" ��� + �� � � � /���� ��� � / ��� "�� ����������� � � � � � � � � � � � ����

���� � �

� � ����

������� �

���" ��" � + � + � � � �"�� "��" / ���-� ��-� � ����� �� ��"�� � �� �� �� "�� =�" ��/� � � ����� � �� �� �� ��� �� "� �� � � "��� /�( �" �����/� / �� � ����� �� ��"���

������� (2&2� "� . � � �� �� ��� ��� ��� �� ����� � ����� � ��� �� � �������� ��.� �� � ������� ��� ���

/����4 2�� ������ ��%�� "��� ����"� � � �"�( ��"��? � ���� "��" ��.� �3����� ���� "�� ���� ��"��� ��� "����� �� �/ ��1�� �� �" �� ���/ "��" "�� ����"( ���� � ���� �� ����1�� � �� � �"�( �������"( "� �����"�� �� ���" ��? 1���( "��" ��. �� ���� � � �� " + ��.�� "�� " �� ���� ����� .�" "��� �� ���(�

"�" + ��.����.� + ��.�.�

+ ��..�� + ��.���.�� + ""��

�������? ��.� �� � ���� � � ���� "�� ���� ��"�� � � ( ����� ��%�% �" ���" �� ����� �� ��"��� ���� ��1�� "�� "������

�������� (2&2( /� . �� 1 ������ ��� � �� ������� �� . � � ��� �� ������� � ����� �� ����� �� ������� ��

/����4 5� �� . �� ����? "��� ����"� � �"�(? � ���� "��" ��.� + 5� � ����� ����"�� /���� ����� �� � "��� �� "�� ���� 1����� �� .� �������? 5� + ��.�� + ��.� +5 ���/� � 5 �� ����

2� ���(? ��"

� +��� �� � � � ��

�/��� "�� � �� �"� "�� ����� � �� � � �

5 +

��� 7� � � �

7�

������ �3��"�� ? ��.� + 5 �������

.� +�.�� .�� � � � .��

�+ �5 +

�7��� 7��� � � � 7���

�/��� "�� � "��� �� �"� "�� ����� � �� .� � � �5 �����"�1��(� �������? .� + 7�� � �� �� "�� ��"�� �� � �"�(? "�� ���� � "( �� ��� �3���� � � � ��

� + �� �� + �� �� + � � �� ����� ��1�� "�� ������( ������ �" ���/� "�� 1��"�� ��� ��� � �"�� ���� �����

�������� (2&2� /� . �� � � ����� �� ��� �� ��� . �� 1 ������ ��� �� ����� � � ����� � ��� �� � ���� ���� ��.� + 5 �� 5 �� � ������� ��� ���

/����4 ���� �����/� ��� ������ ��%�# � � ������( ��%���

Page 159: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� � ������� ��� �$&

%�$ 6���� �� 7���

'�3������ (2�2� - #��� ���� �� � �� �� ��������� �� �� �� ����� �� �� �� �

� �

�.

�� �

�� :����;

�� . �� � � � ����� �� ��� ��� /� ���� ��������� �� ��� �� �� ��� ���� ����� � � � ����� �� ��� �� �� ��� �� .� /� ��� ��������� . �� � � � ��� ���

2� �������? �� ����

� �

��� � �# ��# �#� �# �

���� �

�� :����;

/���� �3���� ����B�����B���� ���� �� 1�( �/-/�� ������ �� "�� ����� "������� �� ��� ��� ���� �� "� ���- ��D�� " ���� ���� "��" �� � � � �� "�-� /�"� �����""� "���� ����? "�� 3����"�� ��� �� ���� ������� * �"�� /���? ���- �� �/ 1������?�� �� � � �� � � � � �"�( ��"��? � ���� "��"

�� �

��

�� +

�� �

�� :���#;

� � �� (�� /�"� "�� 3����"�� ��� � "��� �� "�� ����� 1������? "��� /��� � � �����"���� � ( �(���"�� ��� ��"�� �� 6���"�� � � �� "������ ����� 2�� ������(��%�&? �" �����/� "��� ����"� � ��� � �"�( ��"��? �� :� �"���� �� ��"��; ���� "��"��.� + 5 � ����� �� ��"��� ���� � "�� 3����"�� ���? :����;

� �

�.

�� �

�� +�� � ��

���.�

�� �

��

��+

�� � ��

�5

�� �

��

��� � � "��� �� "���� �/ 1������? "�� 3����"�� ��� ������

7� :�;� B 7� :

�;� B 7� :��;�

/��� 5 + ���� :7�� 7�� 7�; � 5����� �� �����"�� � ����( �3����( /��� � � ( �"�� ���� L��� � 2� "�� ��1� �������?

�� � ��

� �

% �

% �

%

��

� � �

� �

���� � �# ��# �#� �# �

�� �

��� � ���

��

���

��� ��

����

��

���

��� +

�� � �# �

��

Page 160: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�% �������� �����

� � �� �� "�� �/ 1������ �� ��1� (��� � ���

��

���

��� ��

����

��

���

����� �

��

�� +

�� �

�� �

�" �����/� "��" � "��� �� "�� �/ 1������ "�� 3����"�� ��� �� � :�;� � # :�;� B� :��;� �E�� �� /�- �"�� �������� "�� ���� /�(�

%�% 1����� ���4� �4� ���

6�� �� � ���� � ���1�"�1� "��" �� �� �"�� � �� � 1�������

������� (2(2� '����� � K � � ; � < �� ; ��� < � ��� � ����� ����� 5�� :�;����� �� � � �� ��� 5�� �� ���������� �� � ��� ���

5�� :�; :�; :-; + 5�� :�; :-; :�; �

/����4 ��" " :���; � � � � ��" �� $ � : � ���H� ��/ ��" 6 � < � � ��= �

S :$� �; � ��

��

$��� :�B��B$-;� � :�B��;� :� :�B$-;� � :�;;�� 6

� :���$;

��" ) :�; + �� :� :�B$-B��;� � :�B��; � 6; � ��� ( "�� ��� 1���� "�����?

S :$� �; +�

$�:) :�;� ) : ;; +

$�)� :��; �

+�

$�� :5� :�B$- B ���;��5� :�B ���;�� 6; �

����(� � "�� ��� 1���� "����� ���� ?

S :$� �; + ���5�� :�B $-B���; :-; :�; � 6

�/��� �� � : � �; � *� "�� "��� � :�B��; � � � :�B$-; �� � "���� ��� � :���$;? S :$� �;�� ���� � ��� ��� � � "�� ��1� ����� " ���/� "��� ����" =� Æ � : � �; ���� "��"

S :$� �; + ���5�� :�B=$-B��; :�; :-; � 6

��

��""� � :$� �;� : � ; � � ��� � "�� �� "� ��"( �� 5�� �" ��

��������������

S:$� �; + ���5�� :�; :�; :-; � 6

�+ ��

�5�� :�; :-; :�; � 6

��

5� �� 6 �� ��"�(? "��� ���� �"�"�� "�� �� ������ �� "�� "�������� ���� "�� ����"� " ������� ���� /�� ; + �� � � < + �� *� � �� "�� �"� ���

���� 1��"��? /��" ��

5�� :�; :�; :��;C

�� ��� /��" "��� ��? ��� "�� ��= �"�� "� /�"�

5�� :�; :�; :��; + ���$��5�� :�; :��; :$��;

+ ���$�� :5� :�B��;�5� :�; B > :�;; :$��;

Page 161: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � ����� ���������� ���� �%�

+ ���$�� :� :�B�� B $��;� � :�B��;

B> :$;� :� :�B$��;� � :�; B > :$;; B > :�; $; �

2��" ��" $� "� ��"

����?�

?�:�B��;� ?�

?�:�; B > :�;

� � "�� ��" �� "� �"��

5�� :�; :�; :��; +?��

??�:�; :���%;

���� "�� "����� ����"� "��" � "��� ������� ���� "�� ����� ��"��� ���1�"�1�� �� �3��� �"� �� "��( �� ��= �� �� � � � �� "� ���� �" ��

'�3������ (2(2� �� ��� ��

#�$#��#�

:�;�

�� ��� �� 1����� ��� ���

��/ ����� "�� ��(�� ������ /�"� "�� ���� �� ��� �� "�� ���� ��� 5�� � ( ���� � ������ �������� ��- �� � ���� �� "��� "������ ����� � � <�����- ��� � ���� �����

������� (2(2� "� ) K :�Æ� � B Æ;� � ��� �B� � �������� ��� �� ����� � � G � �H���� ����

) :�; + ) : ; B

�����

)��� : ;

�PB)����� :�;

:�B �;P�

��/ ��" � K � � � /��� � � ; � ���� �� �� ����� � � ������� � � '� :�; � ��"� �� � � ��" � � � ���� "��"

" :���; � ��

��� �� ��-�� # �� �� ����

� :�B�-;� � :�; � ) :�;

�� � � G � �H � ���

)� :�; + 5� :�B�-; :-; � )�� :�; + 5�� :�B�-; :-; :-;

� � �� "� �� � � "��� /�(?

)��� :�; + 5���� :�B�-; :-; :-; � � � :-; � 5���� :�B�-;-� �

*" �����/� ��� ��(��8� ������ �� � �� �"�� �� � � 1�����?

� :�B -; + � :�; B

�����

5���� :�;-�

�PB5������ :�B�-;-���

:�B �;P� :����;

���� ��1�� "�� �����/� � "������

������� (2(2 "� � K � � � ��� � � � '��� :�; � ��� ��

" :���; � ��

��� ��-�� # �� �� ����� � � : � �; ���� ���� �?�&�� �����

Page 162: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%� �������� �����

��/ �� ���� "�� ���� /��� � � �� � � � K � � � �� '� :�; � ��� ��� ��(��8�"�����? �� - �� ����� � ����? "��� ����"� � � : � �; ���� "��"

� :�B -; + � :�; B5� :�;-B5�� :�B�-; -�

��

��""� �

- +����

!��

/��� � �� "�� ����� ���� 1��"��? "�� ���� � ���1�"�1� "�� ������ "�

���

5�� :�B�-; :�; :��; !!� +�

���

@� :�B�-; !!�

/���

@� :�B�-; + 5�� :�B�-; :�; :��; +?�� :�B�-;

?�?�

"�� 6����� ��"��� 2�� ������ �����? "��� �� � �(���"�� ��"��� .( "�� �� "� ��"( ��"�� ���� � ��"��� ���1�"�1� � � "���?

� :�B -; + � :�; B5� :�;-B�

�-�@ :�; -B

�-� :@ :�B�-;�@ :�;;-

�� :����;

/��� "�� ���" "/� "��� � 1��1� ��� �( ��"�� ���"������"�� � �

-� + :!�� � � �� !�;�� ! "�� ����� � "� �� - ���"�1� "� "�� �"� ��� �����

������� (2(2# /� �� ���� ��������� ������ 5� :�; + � ��� �� @ :�; ��� � �������������� � �� � ��� �������� /� @ :�; ��� � ������ ������� ��� � �� � ����������� /� @ :�; ��� � ������� ������ ��� �� ����� � �� ����� �� ����� � ���� ��� ������� �� �� ��� �� @ :�; ��� � ������ ������ �� ����� � �� ����� ������� @ :�; ��� � ��� ������� �� ��

/����4 5� �� 5� :�; + � ������ :����; ����� � � ( �� "� ��"( �� "�� ���� � ���1�L"�1�? @ :�; �� � �(���"�� ��"��� ����? ( ������( ��%�� @ :�; ��� ��� ��� ���� 1������5������ =�" "��" @ :�; ��� ��� ����"�1� ���� 1����� � � "��" ��� �� ���� "�� � � ���� @ :�; ��� � �"�� ���� ���� �� ���� 1��"��? �-���� � � �� � �� � ��"�( 1��"�?� +

����� &�-� /��� &� + � � -� � ����

��@ :�;� +

���

���

&�-��

�@ :�;

�� �����

&�-�

��

+

�����

&��7� � ���

���

&�� + � ���� �

Page 163: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� �������� � �������� �� �%�

2�� :����; � � "�� �� "� ��"( �� @� �� - �� ����� � ����?

� :�B -; � � :�; B�

�� �-�� � �

#� �-�� + � :�; B

�

#�-�� �

���� ���/� "�� =�" ����� �� "�� "������ ��� ���� � ����� �����/� ��� ������ ���� � ��5������ @ :�; ��� � ����"�1� ���� 1���� 7�� ��� ��" - � � ���� 1��"� �� "��� ���� 1�����2�� :����;?

� :�B�-; + � :�; B�

���-�@ :�;-B

���

�-� :@ :�B�-;�@ :�;;-

�/���� �������

� :�B�-; + � :�; B�

���7� �-��B�

���

�-� :@ :�B�-;�@ :�;;-

�� � :�; B

#��7� �-��

/�� �1� � �� ����� � ����� ���� � "�� ����"�� - "�� �� �"�� ��� � ����� �� ���� �"�� ��� ����"�� ���" "�� ����� ������� � ���� ����"�� �����/� �������(� ���� ��1��"�� "������

���� "����� �� � � ������ �� "�� ���� � ���1�"�1� "��" �� ����� ���� ��� �� �� � � � ���� ��� ? /�� "��� �� � 7�� ���� 1����? �" ��( � ��������� "� ��"��� � ��� "��6����� ��"�� /��" "�� ����� 3����"�"�1� ���1�� �� "�� �� �"�� ��� 2� �������? �� ����

�� :� ; + � B �� �� :� ; + �� B ��

��� 5� : � ; + + � � �� �"� �� �"�� �? "�� 6����� ��"�� �1����"�� �" : � ; �3����� �

�" "�� ���1�� �� "�� "/� �� �"�� � �� 1�( ��D�� " �� "�� ���� � ��� ���� � ��� ������� ��� " /���� "�� =�" ��� � �� ���� "����

%�* ��� �� ��� ��� �� �����4�����

���� �� /�(� "� ��"���"� "�� ���� 1����� �� ��"����� ��� ���" ������ �� - �/ ��<������� 8� "������ ���� "����� ��1�� � ���� ���� /��� "�� ���� 1����� �� 0��" ������-� � �" "�� ��"���

������� (2�2� "� . � �� � � ��� ��� 7����� �� � , ����� �� ����� ���� ��

5 �"#$7 � � K �7� ��

�� ����� �

%&' �

��� � � ������ �� �������� �� ��� , ����� �� �����

Page 164: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%# �������� �����

���� "����� ��(� "� ��� �� "�� �����"� 1����� �� "�� � "��� �� "�� ��� �/ /���� ���D "�� ��� ����� �� � � ��� "�� ���� �� "��� �" � ��1� � "��� ������ ��� � �� ��"���� ����� �� "�� � : :.; �

/����4 5������ .� + 7� /��� � �+ +� ��� �� . + :��;�� ��

��� + :7� �;�

�������? ���-� � � ���� "��" ��� � �� � �� ��� � � �" �����/� "��" ��� �+ �� �� ��� �+ � �

����� ������ � �

�� ������ � �� � � �7� �� �� � �

��/ ��1��� � ( ���? �" �����/� 7 �� �� "�� �� � "�� ��� <������� �����

%��+ �4����� �������

4�� �� � ���� �" "��� �3���� ���� "���( ��� ������� 1�������� ��� �����/� � �� ��� ���� "�� "����� ���" ��� "� � 7����

������� (2�+2� "� � � � ���� ��� � = K G�� H � � � ���� ���������� �������� ������ ��� �� ������� ���� � :=� �; + �� � � �� �� '����� ��� ���� � ��������� �� � ������ % �� ��� � � �� �� �� �� % �� � ���� ���� ���� �� ���������� ��� ������ ���� ��� �� ��� % �� � �� = :G�� H; � ���

���

+%

� � :�;� :�;

�� +�����

� :=� ��; �

/����4 *" �� ��1� "��" � :�; +*�

��� :� � ��; , :�; /��� , :�; �+ � �� 6� �� ��� �"�� �����" ���?

� � :�;� :�;

+�����

� � ��B,� :�;, :�;

/��� ������� �� � ��("�� � � � � ��

���

+%

� � :�;� :�;

�� +�����

� :=� ��; B�

���

+%

,� :�;, :�;

��

+�����

� :=� ��; �

�������? "��� ��1�� "�� "��������/ ��" . � � � � ��"��� ������ "��" "�� ���� 1����� �� . �� ��1� ( "�� 7���

�� "�� ���( �����? �� :�; + ��" :�0 �.; /��� 0 �� "�� � � ��� "�"(� E�� �� ����"��" ����� ��� ��� � . /��� ������ ����� ��� ��� � �� :�; � � ��� :�; � ��" =� �� �"� �1�( ����� ������ ����� /���� /� �� ��� � ��� � � �� "�� ���� 1����� �� .� � "�� ��� "�

�3� ��� �����+ ������ �� ����� �� � ���#��$ ����� ��" ��� ������ ���# ��� ������ ������ ��� ���+

��������� ��� �� ��

Page 165: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� �������� ������ �%$

����-/��� ����"�� �� "��" � :=�� ��; + �� ���� ����� �� "� � ����� � �( �� � � �� "� ��1� ��"�� ���� 1���� � �"� ��� ����( ������ ��� ��� ������ � "� "��� "�����

���

+%

��� :�;

�� :�;��

�� ��/�(� � � "��� �3��� "� "�� ���"������"( �� �� �� � ��" �� �� :�; � �������? �������� ��� � . ����" � � ��� �� "� "�� ��1� �� "�� � "���� ������ �" ���" � � � "���� � ����� ��� ��� � . ����" � ����� ��� ��� � "�� � "����� ������� /�� �1� " ������� � ���� "� .� "�� "/� ��"���� ��1� "�� ���� ��� �� 7��� � ���� =�? "�� 7��� �� ���� "�� ������ � "� ���"������"(� .( ��-� � "�� ����� �� "�� ����� ����� �3��� "� - /���- �� ���� "�� "�� �� ���� ���"� �� �"/�� � ( "/� ���"� �" ���� 1����� �� .� "��� ���/�"��" �� " �� ����� � ���� "� .� �1�( ���� 1���� �� " �� ����� "�� - "� ���� ���� 1���� ��.�

������� (2�+2� /� 7 �� �� ������ �� .� ��� �� � �� �� �� �� " � ��� ������� �� �� �������� �� �� �� .� ��� ������ �� " �� � ������ - �� 7�

�� ���� "�� ��"��"�� "��" . :�; �� � � � ��"�� � � "��" �� . :�; �� �� "� ���� ��� � G � �H �

%���� (2�+2� "� 7 :�; � : :. :�;; �� � # � ��� � T� + �� �: :. :$;; � -�� � A� ��� ������� �������� �� 7 :�; �� T�� ��� �� ����� B � ���� ���� A� �: :. :$;; �+ ��� � $ � G�� �B BH �

/����4 !� �"� ( 5 :7 :�; � Æ; "�� ���� �� "��� �" 7 :�; ��1� � ����� Æ � � /�"� �"������� ��� �� "��� �"�"�� �� � ��= �� �������(� ����

5 :7 :�; � Æ; � �� � � K �7 :�;� �� Æ� �5������ Æ � �� ����� � ���� "��" 7 :�; �� "�� � �( ����� " �� : :. :�;; �� "�� �� � 5 :7 :�; � Æ; � � "��" ����� ��� � 7���� � "�� �� ��( �� "��� ����� ��� ( �� "� ��"(? � �"�� ��1� ��������� � � "�����? "��� ����"� B � � �B B # �� ���� "��" �� $ � G�� �B BH ������ ���� ��� � 7���� � "�� �� ��( �� "��� ���� � � . :$; ��� "�� ���� ����� ���� 1�����? ��� "�� ������ � "� ���"������"(? � "�� ���� �� . :�; � ���� : :. :$;; �5 :7 :�; � Æ; �+ � �� ��� $ � G�� �B BH � ��/ ��"

@ +,

��'����&(: :. :$;; �5 :7 :�; � Æ; �

*" /��� � ���/ "��" @ �� �� ��"��� 5������ �"� ��� @ + 8 � 1 /��� 8�1 �������"�� � � 7 :�; � 8� ��" $� � � � �$ K 7 :$; � 1 �� ���� 7 :$; � : :. :$;;� � ���� ����"�7 :$�; � : :. :$�;; � 5 :7 :�; � Æ; � *� 7 :$�; �� 1� "�� ��� "�� ��1� ��������� "��� ��7 :$; � : :. :$;;�1 �� $ � $� ��"���( ����� "� 7 :$�; � �������? 7 :$�; � 1 /���� ���/�"��" $� � � ������ 7 :�; �� "�� � �( ����� " �� : :. :�;; � 5 :7 :�; � Æ; � � 7 :�; � 8� ��/��" $� � $�� ��� 7 :$�; � 8 �� � ( 7 :$�; � : :. :$�;;�5 :7 :�; � Æ; � � ���� �" �����/� ���"�� ��1� ��������� "��" �� ���� ������ �� $� � $�� 7 :$�; � 7 :$�; /���� �� "����"� 8� � 1 �����"�� � � � ���"(� 5� �� 8 �� � ���"(? "��� ���/� 1 + �� �������? @ ���� ��"�� �� �������� .�" A� � @ � � �� A� � : :. :$;; �+ � �� ��� $ � G�� �B BH � ������1�� "�� ������

������� (2�+2 '����� . :�; �� �� � � ��� �� ��� ���� � � . :�; �� ���������� �� � � G � �H � "� 7 : ; � : :. : ;; ��� ��� T � ���'���(: :. :�;; � "� A"��� + A� ���� ��������� �������� �� 7 : ; �� T� ��� A� � : :. :�;; �+ � �� � � � G � �H �

Page 166: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%% �������� �����

/����4 ��" 6 � �� � G � �H K A� � : :. :$;; �+ � �� ��� $ � G � �H� � ��� � 6� ��" �� +��� :6; � 5�( : :. :��;; + 7� :��; � � � �� 7� :��; �

����4 �" ����" � � �� "���� �� � ����" ��� " �� A� � � �� ��3�� "�( ���" � � A�

/���� ���/� "��" 6 ��� � ���" ��� "� ,�( �� "��� ����� "��C ��" $� � �� �� $� � 6� ��/��" "�� �����? 5 :7 :��; � Æ; � � + �� � � �� � � ���0�� " /�"� ������ ��1� � � 7���� � = "���� ��( �� 5 :7 :��; � Æ; � ��� �� � ���� � ���� �" �����/� ��� ������ ��� �� � �"�� ��������� �����/� � �" "��" : :. :$�;; �� �� "�� �� � ����5 :7 :��; � Æ;� *" �����/� "��"A� � :: :. :��;; B5 : � Æ;; �+ � �� ��� Æ ����� � ����� ���� �3���� �" ����" � � �� "��7 :��; "� � � A�� �������? �� � 6 � � 6 ��� � ���" ��� "�

��/ ( ����� ��� ��? �� �� # �� "�� A� �A� /���� � � �"��"�( ���� �� ��"�� ��"�� "�� � � 7 : ; � :��� ���� "��� /���� � �"��"�( ���� �� "��" A� � : :. :$;; + � ������ $ � :�� �B B; /���� A� � : :. :$;; �+ � �� ��� $ � G�� �B BH�; �������? �� + � � � "�����1�� "�� "������

�������� (2�+2# '����� �� �� �� , ����� �� ����� 5 �� ���$���� � �� �� ����� ���� ��� �� ��� 5 �������� �� ������ �� .� -�� �� �� � � ���$���� , ����� ������� ��� ��� �� �������� �� ������ �� .�

/����4 !� �"� ( . :�; "�� ��"������

�/��� �� � �+ �? ��� + ��� � � �� + �� ���� "�

��" . :�; ���"���( ��� � ����� �� "��� ( �� ��" � � G � �H � ��� . : ; + ���� :���� � � �� ���;� � . :�; + .� 2�"�����? "�� ���? � � . :�; �� �� "� ����� !� �"� ( 5�

� "�� <�L

������ ���� �"�� �� ��� "�� ��� �/ �� "�� ��"��? . :�;� ��� �" �� ���� "��" 5�� � 5�

"�� ��� <������� ���� �� .� *" �����/� � �� "�� ���� 1���� �� . : ; /���� �� �� "�� ��� "�� ����? �� ���"� � �� "�� �� ��� ��� " � /���� �� �� "�� �� � 5� ��""� � A � "���� ��"�� ����� � " � T �� T ��= �� � ������ ��� �# /���� �� ��"��� �� ( ��<������� 8� "����� ������� "��" A � : :. :�;; � �����5�

� � �����5� + 5 � :�� ��5�;� � ����? �� �� A �� �� ��"��? "��� �� �" ��� "� �� A � �"� 5 � � :�� ��5�; � 5� ���" ����" � � ��� " �� A �� � 5�:�;? �" �����/� ��� �� A ���" � �� "�� �� � 5� ��/ (������ ��� �# "��� ���/� "��� �� ��� "� �� A � : :.; � 5� ��� ���" ����"�� �����/��������"��(�

���� �� � ����1�� �1� ���� ���� � 1��1�� "�� �����/� � ������

%���� (2�+2& /� �� ��������� �� ��� � ?�&6�8 ������ 7 : ; + A� �: :. : ;; ��� ����7 : ; �� � ���� ��� �� �� ��� ��� ����� #������ �� . : ;� ��� �� � � � G � �H �

: :. :�;; �A� + 7 :�;

�� 7 :�; �� � ���� ��� �� �� ��� ��� ����� #������ �� . :�; �

/����4 ��" 6 � �� � G � �H K A� � : :. :$;; + 7 :$; � � ������ ���� 1���� �� ��� $ � G � �H� ���� � 6 �� �" �� � ���"(� ��" �� + ��� :6; � � ������� 7� �+ 7� �� "/� ����� "� ��: :. :��;;�A�� ��� ������ � B � ����� � ����? � � ��""� � 5 � ���0�� " ����� �� "�� � �7 �����"�1��(? ������ ����� "� "� "���� �� ����� ��� �� �� � ���� "� �� �����

@ � ���'���&���(: :. :$;; �5

�� � �� ��"�� � � � ���"( ��" �� � + �� � /���� /���� �3��� "��" @ � A�� .�""�� "��� /���� � "/� ��D�� " ���� 1����� �� . :$; �� "�� �� � A�� �� "�( "� "����= �"�� �� ��� �������? "��� �� �" ���" � � ���� 1����? 7 :��; � A� � : :. :��;; � ������" � � ����"�� ��" �� "�� �����"���"�� �3��"�� C 5������ 7 :��; �� � ����"�� ��" ��"�� �����"���"�� �3��"�� � �� ����? ������ � ����� ����? 5 �� "��� �" 7 :��; � � B ������ ���� "��"

@ � ���'���&���(: :. :$;; �5

Page 167: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� �������� ������ �%�

�� � � ���"( �� ��"�� ��" �� "�� � � ��"�� ���"���� ���� 1����� �� . :$; � ���� � �� �������"�� ��" "� "�� �����"���"�� �3��"�� �� . :$; � .�" �� �� @ �� �� ��"�� � � �� "�� �7 :��; �" ���" � �� "�� �� � A� /���� �� "����"� "�� �� ��"�� �� $ � 6 �� ��� "����$ � G�� � B� ��H � �������? �� � 6 �� ������ *� �� # �� "��� ����"� � ����� ���� �� "����" 7 :��; � � B � ���� "��" �� ��� $ � G��� �� B BH � . :$; ��� � �( ������ ���� 1����� � 5 � � "�� � �( ���� 1����� �� . :$; /���� ����� � � A� �� � 5� :���� ���" ����"�� �����/� ��� �"� � "��" 7 :��; �� "�� � �( ���� 1���� �� . :��; � A� � � �� "�� �"��� ���" � ����"�1� ���"� �� ��� A�� 2� $ ����� � ���� "� ��� "�� ���� 1����� �� . :$; �� ��"������� "� "���� ���� 1����� �� . :��; �" � ����"�1� ���"� �� ��� A� � "��( �� ����� "� "������ 1����? 7 :��; � /���� ���� �" �� � ������� "��( �� � 5�; .�" "��� ���/� "��" �� �� �" ����( � ���� �� � "� 6� �������? �� + � � � "�� ����� �� ��1���

,�"� "��� �����? "�� �� ������ �� "�� ��1� ������( �� � ����� ���

�������� (2�+2� '����� �� �� �� , ����� �� ����� 5 �� ���$���� � �� �� ����� ���� ��� �� ��� 5 �������� ����� �� ������ �� . ��� ���� ������ �� � ���� ��� �� �� ��� ��� ����� �������� �� .�

/����4 * "�� ���� �� ������( ��� �$? �"� "��" � �� � ������ ��" �� . : ; �� ���"��/��� "�� ��� <������� ���� /���� �" � ���0�� " ��� "�� �"���� ����? A� "���� ��"�� ����� � " ��"��� �� ( � ���" � �� "�� �� � 5 ������ �" �� �� ��"��� � ( <������� 8� "����� ��1�? A � : :. :�;; ���" � �� "�� �� � "�� � �� �� "��<������� ������ 5� �� ��� "�� �"�� ���� 1����� �� . : ; � "�� ��� � �� ��"���� 5� �" �����/�"��" A �: :. : ;; + �� �������? ( ����� ��� �%? A � : :. :�;; + A � : :.; �� ���"� ��� �� ��� ������ ���� 1����� ���� ��1�� "�� ������(�

���� �� (2�+2( 7����� �� ��� �� �� $ � � � � �

����� <������� ����� �� 5 :$� �; � 5 :�� �; � � � 5 : � �; � ���1� 5 :$� �; �� ���0�� "

��� "�� �"�� ������ �������? "��� ������ � � ���� 1���� � 5 :$� �; � ��� ��"������� 1����� �� �" ���( "� = �� ���( �� "�� ��"� �� "�� �����"���"�� �3��"�� ? ���%��B��B $ + � ��� ������� 1����� �� "���� �� �� %%& %%� �� #�� �� � � $� �#% $$� 1���(� � "�������"�� � �� <������� 8� "������

Page 168: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%� �������� �����

Page 169: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

!����� �����

*" �� "��� "� �� ���� "�� ���� �� � )��"� ������

'�3������ �2+2� - ���� ���� �� �� -���� � ��� �� =���� �> ���������� �� ������ ���� -���� � ���

- B) + ) B -�

�� ���������� �� �� ��������

:- B); B 6 + -B:) B 6; �

�� ���������� �� �� ��������

- B + + -�

�� ������ �� �� ������� �������

-B:�-; + +�

�� ������ �� �� ������� ��� � ���� ���� � �� �� =���� �> � ����� � ���� �������� �� ���� � ���� ���� �� �� ������� ��� ��� , 0 �� � ���� ���� ���

� :- B); + �-B�)� :&��;

:�B ; - +�-B -� :&��;

� : -; + � :-; � :&��;

�- + -� :&�#;

�� �� �� ���� � �� ����� � � � ��� �� ���� ���� �� � ��� � � ������������ �� ���� �� �� �� � � � � 1��� ��� ��� � ��� ������� �� ���� �� ���� �� �� �� �� ������ ���� � � �� �� �� �� �� ���� � ��� ��� � � � ��� - ���� ���� �� ��� ��� � ��� �����

2� �������? �� /�"� "�� ����� �� 1� "�� � �� � ������� �� � ��� 1��"� ����� � � � �

�� � ������� �� � ������� 1��"� ������ I� "� �/? "�� ��������� ��� �� �� �� � � �

� � ��� "��" �� "�-� � ����� �� � � ����� � �� ����"( � � ��"��"�� �

�%&

Page 170: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ����� ������

'�3������ �2+2�+ /� �-�� � � ��-�� � �� � ���� ���� ���

���� :-�� � � ��-�; ��

����

�- K � � ��

- ����� � � � �� ���� �� � � ������� �� �� �� ��� � ���� ���� ���� �� ��� �� ������ �� ���� � � � �� � ������� �� � B � � ���� �� � � ��� � � �� ������ �� � �� �� ���� � �� $��� ��� ��� �� �� ���� �� � ��������

'�3������ �2+2�� /� �-�� � � ��-�� � �� �� �� �� ���� � �� ��� � �������� ��

����

�- + +

�����

�� + � � � + �� +

��� �-�� � � ��-�� �� ��� � ����� �� � ��

���� :-�� � � ��-�; + �

��� �-�� � � ��-�� �� ��� � ��������� �� �� �� ���� � �� ��� � ������ �� �� �� ������ � ���������

��� ��" "����� �� ������ "�� ����� �� "������ *" �� 1�( ����"� " "��" (�� � ��L�"� � "��� "������ *" �� �� ����"� " "��" * ��1� ��1� "��� ����� �� �"� ��� =�" "/������ ���� " "� "�� ���� "�� � �" �� /���� �����"�( ��D�� "�(�

������� �2+2�� "� ���� � � ����� � � ��� � �������� �� �� ���� � ���� ���� ���� �� �� �� �������� � � ����� � ��� � $�

/����4 !�= � ��� ���� � � ����� � �� �" �����/� "��� ����" ������? ��� � � �� �� ���� "��"

�� +

����

��� :&�$;

��" ��� �� "���� ������ �� �3��� 7�� ������ �� "��� /�� "�� ����? �" /���� �����/ "��"�� + � � �� ���� � � ����� /���� �" � �� ���( � ���� �� "� * ����? �� �� + ? ��� B��

�� � + �� + � � �� "��� /���� ����" � � "�1��� �� �� ���� �"�� �� "�� 1��"������ � � ����� /���� �3���� 7���

5�( �� �+ ���� ���1� ::&�$;; �� �� � � �"�� �� � ���

�����

��� ������ ���� �� ���� � � ������������ � � ����

�� �

!�= � �6�� � � �� 6���� (

�6�� � � �� 6���� � ���� � � ������������ � � ������������? ��� ���� 6�� � � �� 6���� + � ������ �� - � �� "��� ����" �� �"� "� ��� � � �� �� ����"��"

- +������

�6 B �����

Page 171: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���

��/ ������ "�� �� � "�� ��1� /�"� � �� �� ���� �"�� �� "�� 1��"��? ���� 6�� � � �� 6����"� �"�� - � ��� ���� 6�� � � �� 6���� � ��� 1��"� ��� � "�� ���" ���� � � ����� � ��� �/ �� ������� /�"� "�� 1��"� �� � � "�� ����"� � ����=�� ���" �� 1��"�� ��� "�� ���� ��� ��"�� ���� �� ���" �� 1��"��? ���� � � ����� �

��/ ������� "��" � � $ � � "��" ��� ���� � � ����� 6�� � � �� 6�� + � /��� "�� 1��"��?6�� � � �� 6� �� ���� "�-� ��� "�� ��"? ���� � � ����� � � � B � + $� ���� ��� �/ �� �� ��� � + � ��1�� ��� �� �� � � $� �" �����/� "��" � $ # � � � �� � B � �� �������?���� �� � 1��"� �" � "�� ���"? ���� � � ����� � � �� �� ��� ���� � � ����� 6�� � � �� 6�� + � "�������" ������? � � � �� ���� "��"

���� +

����

�� B

�����

��6� � :&�%;

��/ �" ��� "�� �� �� �3��� 7�� ������ �� "��� /�� ��? �" /���� �����/ "��" ���� � � �����/���� � � �� ���( ���� �� " ��" ������ � � �� "�� 1��"�� /���� �3��� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"���� �������? ::&�%;; �� � ���1�� �� � � �� "�� 6� ��( 6� � � "��� �� ���� � �"�� �"�� 6 � � 0��" �� � "�� ��1� ����� "? ������ "��" 6 /�"� ���� "� �"��

���

����� � � ���������!�� ������ ���� �� �

6�� � � �6���� 6���� � � �� 6��� + ��

�� "� �� "��� /�(? �1� "����( �"�� � �

��� :��� � � ����; + ��

.�" "�� �� � ��� ���� � � ����� �� "�( "� "�� ������"�� "��" ���� � � ����� �� �� ���(� ���� �� "� �������? � $ �� ��������

������� �2+2�� /�

���� :��� � � ����; � ���� :-�� � � ��-�;

��� ���� � � ����� � ��� � �������� ��� � $�

/����4 ��" � � ��� :-�� � � ��-�; � � ������� � � $� ��" .� � ���� � � ����� � .� + ��� � ��" "��� �� �"� � ����" �� "�� 1��"��? �-�� � � ��-�� /���� �� "�� � $ � � 1��"�� � ���� "�� ����"( "��" ��� :.�� "���; + �� ��"� "��" "�� ������"�� �� "�� "����� ��(���� :.�� "�; + ��

��/ � ����� �� ����"�� �� ��1� �� ��� :.�� "���; + � � 5� �� � � $� �" �����/�� # �� ��""� �

"��� � �6�� � � �� 6���� � �-�� � � ��-�� �

�" �����/� "��� ����" �� �"� "�? � � � � ���� "��"

���� +

����

�� B

������

�6�

� � �" ��� "�� � �� �3��� 7��� :*� "��( /�� ��� �3��� "� 7��? �" /���� �����/ "��" "�� ��"?���� � � ����� /���� � ���� �� " �� �� � � �� "�� 1��"�� � �" /���� � � �� �� ���� �"�� �� "�� �"����;

Page 172: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ����� ������

��" �� �+ � ��� 6� �� � ���1�� �� �� �����/��

6� +�

������ �

����

���� �

����

���6�

���� ������� � + ��� :.���� "�����;? /��� "����� � "��� ��6�� � � ��" �"�� �� ( ����"L� � 6� ��� "���� E�� ���? "�� ������ ����� ��� � 1��"� � "��� /�"� � � ��� ���� � � ������ � -��" "�� ��� "�� ����� 5"�"� � /�"� � + ��� :.�� "�; � �� "�� ����� �� ����"�� � "�� � + ��� :.���� 6; /��� 6 � �-�� � � ��-�� � ��� � � ��� �������"�� �� "�� ����� ������"�� (����� � + ��� :.�; � .�" "��� ������� �� � ��� :.�; + ��� :��� � � ����; � �� L"����"� � "�� �� �� � ���� �� �� �� ���� � � ����� � *" �����/� "��" � $ �� ��������

6�� �� (�" � �"�� ���� � ���� (�� ��� 8" ��-� ��"�� �� "�� ���" "/��

������� �2+2� /�

���� :��� � � ����; � ���� :-�� � � ��-�;��� ���� � � ����� � ��� � �������� ��� � $�

/����4 5������ � � $� 5� �� ���� �� � ��� :-�� � � ��-�; � �" �����/� ��� :��� � � �����-�� � � ��-�; +��� :-�� � � ��-�; � ��"

�-�� � � � ��-�

��� �"� � ����" �� "�� ��" �-� � ���-�� /���� ��� � ��L

��� "� � �"� *� � + � "��� ��� � � 1��"�� ��� �-� � ���-�� �� � �����������4 � + �/���� �� !����4 ��" � � "�� �������" � ���"�1� � "��� ���� "��"

��� ���� � � �����-�� � � � ��-�

�+ ��� :-�� � � ��-�; :&��;

� � ������� � � �� ��� �� �� $ # �� "��� ����" ������? �� � � ���� "��"

���� +

�����

���� B

����

-�� �

.( �� �� � ���� �� �� �� "�� ��� �" ��� "�� �� �3��� 7��� �������? � � �� "�� -�� ��� "�� ��� �� "�� �"�� 1��"�� � "�� ��1� ���� ���� "��� ����" ��� � � �� ���� ���� "��"

-�� � ��� ���� � � ����������-�� � � � ��-���

�� � �� ��� :&��;?

��� ���� � � ����������-�� � � � ��-���

�+ ��� :-�� � � ��-�;

�� "�( "� "�� ��= �"�� �� �� �������? � + � � "��� ��1�� "�� ������*" �����/� ��� "�� ����� "��" ��� :��� � � ����; + ��� :-�� � � ��-�; /���� �������

���� � ��� :��� � � ����;�� "�( "� "�� ������"�� "�� �� �� �� ���( � ���� �� "� �������? � $ �� ��������

�������� �2+2�# /� ���� � � ����� ��� �-�� � � ��-�� � ��� ���� �� �� ��� � + ��

/����4 .( ������ &� ���? � � � � � ��

'�3������ �2+2�& - ���� ���� � �� �� �������� � �� �� ��� � ����� ���������� �� ����� �� ���� �� � ���� ����0� �� 7� �� � <�6�&;� /� �� ����� ������ � ����� #� �� ���� ��� ���� � ���� ���� �� ���� �� � ���� ����������

Page 173: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���

������� �2+2�� /� � + ���� :��� � � ����; ��� ��� ����� �� ���� ������� �� � ����� �� ��-�� �� ���� � � ����� � � �� ��� � �������� ��� �� ���� ���� �� ���� ��������� ��� �� �� ���� � � ������ ��� � �� �� �� ������ � ����� �� ��

/����4 ��"

6 + �� � ���� � � ����� ���� "��" ��� :�; + � ��2� � � 6� ��" ��� �� �"� "�� ��� �� ����� "� �� �� ��"

� � �� ���� ���� "��" � � 6������ "��� ����" 1��"��

�-�� � � ��-�� � ���� � � ��������� "��"

��� :-�� � � ��-�; + �

� � � �� �� ����� �� ������� �� "��� "� ����� � *� "��� ��" �� �� ���( � ���� �� "? �" �����/��" �� � ���� �� � � � "�� "����� �� ��1��� � "�� �"�� �� �? �� "�� ��" �� �" �� ���(� ���� �� "? "�� "��� ����" ������?

��� � � �� ������ "��"

+ +

����

�-

� � �" ��� "�� � �� �3��� "� 7��� 5������ �� �+ � ��� "�� 1��"�? -� ��( � ���1�� ��� "��� �� "�� �"�� 1��"��� �� ��3�� "�(?

� + ��� :-�� � � ��-����-���� � � ��-�;

�� "����"� � "�� ��= �"�� �� �� ���� ��1�� "�� =�" ��" �� "�� "�������� �"�� "�� ���� � ��"? ��� /�"� ���� � � ����� � � ������� � ���� �� � ��

�-�� � � ��-��� *���� :��� � � ����; + ��

"�� � + �� *� �"? "��� ����"� � 1��"�?

���� �� ��� :��� � � ����; ���� ���� � � ���������� �� ���� �� ���( � ���� �� "� �� "� �� ���� � 1��"�� � "��� /�(� "�� � �� ���( � ���� �� " 1��"�� ��1� �� �"�� ��� ��� ��� :��� � � ����; + � �L����� �� �" ��� �" �� ��? "��� /���� ����" ���� �� 0��" ������� � � ���� � � ������� /����� � �� ���( � ���� �� " ��" �� 1��"�� ��1� � �B� ����� "� �1� "����� �-�� � � �� !�� �� ������ ���� /���� �� "����" ������� &� ��� � � &� ���� �������? "��� ���" �� � ���� � �"��� ��1�� "�� "������

*" �� ������ "� �������7� ���� �� "�� ����� ���� � "�� ��1� �����

%���� �2+2�( '����� - �� ���� :��� � � ����; ��� ���� � � ����� �� ��� � ������������ ���� � � �����-� �� ��� ��� � ���������

Page 174: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ����� ������

/����4 5��������

�� �� B �- + � *" �� �3���� "� 1���( "��" ���� � + � � "��"� + � .�" �� � �+ � "�� (�� �� ���1� �� - �� � �� �� ���� �"�� �� "�� 1��"��?���� � � �����?

- + ���

��

��

��

�� "�( "� ������"�� � �������? � + � .�" "�� ��

�� �� + � � "�� �� �� � ���� L�� �� �� ���� � � ����� ������� ���� � + ����� ���� ��1�� "�� ������

������� �2+2�� "� � � � ���% � ������� �� � ���� ��������� ���� ���� � ���������� �� ��� � ��� � ����� ���� �� �� ���� � ���� ��

/����4 ��" -� � � /��� -� �+ � *� ��� �-�� + �� �"��� �-�� �� � ���� �� � ��"��/���? "��� ����"� -� � � /���� �� �" � ��� �-�� � .( ����� &� ��� �-��-�� �� ��� ���( � ���� �� " ��" �� 1��"��� *� ��� �-��-�� + � �"��? �-��-�� �� � ���� �� �� *���� �-��-�� �+ �� "�� "��� ����"� -� �� ��� �-��-�� � � �-��-��-�� �� � ���� �� ���(� ���� �� " ��" �� 1��"��� �� "� �� � "��� /�(? "�� ������ ���" �"�� ���� � B � �"��������� �� �"? �" /���� � ������� "� �"�� �B� �� ���( � ���� �� " 1��"�� �� "�( "�"�� ����� �� "�����? ������� &� ��� � � &� ���� ���� ��1�� "�� "������

Page 175: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ������� �����

�+�� 0� �� 0�� ������ ��� � ���� ���������

���

'�3������ �+2�2� "� � ��� � � ��� ���� ��������� ���� ������ - �������� ������ ���� � �� � �� ��� � ��� � ����� ������ ��� � � � :��� ; �� �� � ���� � ���� � ��� ���� � -�)�

� :�-B ); + �� :-; B � :); �

� ������� �� � �� �� "� �����"�� �� ������� ��"�� ���"������"�� � ��" . + :��;� � � � ��"��� ��� � ������� �� � �� �� "� �����"�� � K �� � �� �� ��1� (

:�-; ���

���

��!� �

6��

- �

��� !����!�

��� � �� �

�+�� � ���� � � (�� � 1����

'�3������ �+2�2� ,��� ��3 � � :��� ; ��� � �� ��� �� � :��� ; � ����� ���B3 ���� ���� �� �� �

:�B3;- � �- B3-�

�� � � ���� ��� � � � :��� ; � ��� �� � � :��� ; ��

�� :-; � � :�-; �

E�� ������ 1���( "��" ��� "�� ������ �� � 1��"� ����� ���� �� � :��� ; /�"� "����1� ��= �"�� � �� 1��"� ����"�� � � ����� ���"������"�� � ,��" ���" "�� ���� ��� �� � :��� ;C

������� �+2�2� "� � ��� � � ���� ��������� �� �� ��� ����� �� �������� ���� � ������� ��� ��� :� :��� ;; + ���

��$

Page 176: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ������ ������������

/����4 ��" "�� "/� ��"� �� ���� �

�-�� � � ��-�� � � �)�� � � ��)��

�� ; � � < �����"�1��(� ��" �� � � :��� ; � "�� �� �� "� �����"�� ��= �� � "������? �-�� � � ��-��� (

��-� � )��

/��� � + � �� � + � � � �� � �+ �� ��� ��" � � � :��� ;� 5� �� �)�� � � ��)�� �� � ����?"��� ����" �� �"� "�? ��� ���� "��"

�-� +

�����

���)�

����

�����

�����

������ :-�; +

�����

���)� �

*" �����/� "��"

� +

�����

�����

������

������ "�� "/� �� �� "� �����"�� � ���� � � ����� 5� �� � �� ��"�( "��� ���/�

��� K � + �� � � ���� � + �� � � �� ��

��� � � :��� ;�

*� ���

���� + +�

"��

+ +���

���� :-�; +����

��)

� � ��? �� �� �)�� � � ��)�� �� � ����? �� + �� ���� � + �� � � ���� 5� �� � �� ��"�(? "������/� �� + �� ��� � � � �� ���� "���� �� �� "� �����"�� � ��� � ���� � � "��� ���/�"�� ���� ��� �� � :��� ; �� �� �� ��������

�+�� �����4����� �� �����4�� �� �� ���� �������

�� ����

��" � � � = �"� ���� ��� �� 1��"� ������ 2� �������? �" ����� � � ������� �� � � � ����������� . � � :�� � ; � !��� . ��1� ���� 1����� � � ���� 1��"�� 0��" ��-� "�� ���� /��� .�� � � � ��"��C

Page 177: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� �������� �� ��� ����������� � ������ ������������ ���

������� �+2�2� "� � � � ���% � ���� ��������� ����� ���� ���� �� ���������� '����� ��� �� �� �� ���� � #��� � �� '����� . � � :�� � ; � ��� �� �����! �+ ��� 7 � � ���� ����

.! + 7!�

/����4 �� ���� "�� �� �� "� �����"�� �? 0� .�.�� � � �� .�� � ���� �� ��B� �� "����"� �����"�� � � � �� ( ������ � ���� "�� ��" �� �� ���( ���� �� "� ���� "��� ����"�� �"� "�? � � � ���� "��"

��0 B������

��.� + �

���� ������� "��� ����"� � ���( �����? % :7; /���� ��� "�� ����"( "��" % :.; + � * ���"?

% :7; � ��B���

��� ��7�� !�1��� � ( "�� ����� � "��? �" �� � ������� "��� ���( ����� ��

�� "�� ��� 7� B ����7��� B � � � B ��7 B ��� � �� �� ���( ������ ��/ �� ���� ��� ������ �� ���( ������? % ���� "��" % :.; + � � ���- � � /���� ��� "�� �������" ������ ������ ������ "�� �� ����� ���( ����� � � /��� � �� �"�� ��� ( � :7; � .( "�� �� ���� "��"����� �� �����? � :7; �� �� "�� ���

� :7; +

�-���

:7� 7�; �

����? �� �� � ��� �� ����� �����?

�-���

:.� 7�0; + � �"

���-���

:.� 7�0; �+ �

�������? "��� ����"� & �+ ���� "��"

! �����-���

:.� 7�0;

�:&; �+ �

.�" "��

:.� 7�0; ! + :.� 7�0;

����-���

:.� 7�0;

�:&; + �

���� ��1�� "�� "������

�������� �+2�2� /� �� ���� ��� � ��� �� �� ���� � 7� ��� �� � �� �� ���� �� ����� � ���% � ! ���� ���� :.� 70; ! + � �� �� �� �� 7 � �� ��� ���� � �������� � �� ���

�6�� �� �� ������ ������ �� �� �� ������� #��������� ��� � ���#����� ������� �� �� ����� &����

(�� ���#��$ ��� ��� ���� ��� #��#��� ���� �� ���������� ������ �� ���� ���

Page 178: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ������ ������������

/����4 2� "�� =�" �����? 0��" ���"� ��" :.� 70; � �"��� �� :.� 7�0; � ���" �������:.� C0; ! + �� ���� C � � ! �+ � ���

+

�-���

:.� 7�0; ! +

���-���

:.� 7�0; :.! � 7�!;

+ :C� 7�;

����-���

:.� 7�0;

�!

+ :C� 7�;

����-���

:.� 7�0;

�:.! � 7���!;

+ :C� 7�; :C� 7���;

����-���

:.� 7�0;

�� "� �� � "��� /�( (�����

+

�-���

:C� 7�; !�

� �� "����"�� � ���� C + 7� �� ���� ��

�������? "���� �� ���� 1��"�� � � ���� 1����� /�"� "�� ����� ��� � � � � "�� 7� ����� �� "�� ���� 1������

'�3������ �+2�2� �� . � � :�� � ; �� ��� :� ; + �� �� ���� � 7� �� �� ��������������

� :7; +

�-���

:7� 7�;

� ��� �� ������� �� .� �� ������� �� ������� �� . �� ����� �� : :.;� �� 7 �� ������ �� . � � :�� � ; � �� �� ��%� ������� �� ���� ��

�" � � � � K :.� 70;� + �� ��� � � ��

��� �� ������� �� ���� ��

� � � K :.� 70; + � � -� :.� 70; �

-�� �� �������� �� �� ��� ��� � � �� ��� �� ����� �� B �� B � � � B �� � �� ��� ���� ����

���� � �� ���� �� �� �� � ���� � �� �� �� �

���� ! �� ! � ��

%���� �+2�2 �� �� ��%� ������� �� 7 � : :.; �� . � � :�� � ; �� � �� ���������� ���� ���� �� � ������� �� � ����������

. K �" � �"�

��� �� ����� � ����� ���� � ���� �� � �� �� ����

-� :.� 70;�

+ � � � K :.� 70;� + �� ��� � � �� � :� ��;

Page 179: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� �������� �� ��� ����������� � ������ ������������ ��&

/����4 ��� ����� "��" "�� �� ����7�� ���� ����� �� � ������� �� �1����� �� ��"�����"�� ���� � ��"? �"� "��" �

-� :.� 70;��

(����� � � ����� � ��3�� �� �� ��������� �1� "����(

��� :-� :.� 70;�; + ���-� :.� 70;���

�� � �� -� :.� 70;� + -� :.� 70;���� ��/ �� � � -� :.� 70;��� � "��

:.� 70;� � -� :.� 70;���

+ -� :.� 70;�

� � �� "��� ����"� � � -� :.� 70;�

���� "��" :.� 70; � + � � � �� ��3�� "�(

:.� 70;���

� + :.� 70;�� + +

���/� � "��" � � -� :.� 70;���

� �������? �� "� �� � "��� /�(? �" �����/� "��" �� ���� � �?

-� :.� 70;�

+ -� :.� 70;���

�������? "��� ���/� :� ��;���� �����/� � "����� �� �� ��0� ����"� �� � � /��� � "�� ���� �� "�� 1�( ����"� "

"������ �� �� � � ���- ����� �� ��"�����

������� �+2�2# "� � � � ����� ���� ���� �� �������� � ��� ������ : :.; +�7�� � � �� 7�� �� �� 7 � �� �������� ������� �� .� ���� �� � �� �� ��%�������� �� 7 ��� � � � �� ���������� �� 7� C� ���� �� ���� ����

� + -� :.� 70;�� :� ��;

��� � �� �� ����� ���� ���� ���� � �� ��� ���

� +

����

�� :� ��;

/����4 ���� �� ��1�� ( � ���"�� � �� 2��" ������� "��� �� � �( � � ���� 1����? 7��� ���"������"( �� ��� ( "�� ��= �"�� �� ���� 1����� ��1� � !�= �"�� � ����? . ��"��=��� �3��"�� �� "�� ���

:.� 7�0;�+

/��� � �� �� ����� �� ������� �� "��� "� "�-� ������ ���� -� :.� 7�0;� + � � � "��

"����� �� ��1�� � "�� ���� �� � � ���� 1�������/ ������� "�� "����� �� "�� �� � ( � � � � /��� � � � � � ������� : :.; +

�7�� � � �� 7�� ����� �4 ��" C �+ 7� ��� :.� C0;

�K � � � � � �� � � "� � � � � � "� �� �1�(

� � ��/����4 *" �� ���� "��" :.� C0;

����� � "� � ������ �� ! � � "�� :.� 70;

�! +

�� ���� � � �� �� ��3�� "�(?

:.� 70;�:.� C0;

�! + :.� C0;

�:.� 70;

�! + :.� C0;

� +

Page 180: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ������ ������������

/���� ���/� "��" :.� C0;�! � ��

*" ���� � "� 1���( "��" :.� C0;� �� � � "� � �� ���� /��� � �� � ( ���/� � "��":.� C0; �� � � "� � �� ��" � � � � � ������� :.� C0;� + �� "��" .� + C�� ��� ������ � � �? :.� 70;

�� + � � �� ( "�� � ����� "�����?

:C� 7;�� +

�����

��

:�7;��� C��

�����

��

:�7;���.�� + :.� 70;

� � + �

�������? �� �� C �+ 7� �" �����/� � + � � "��� 1��=�� :.� C0; �� � � "� � �� ����:.� C0;

��� ���� � � "� � � � � ��""� �

�&�� � � �� &��

�� � ���� �� �� �" �����/��

:.� C0;�&�� � � �� :.� C0;

�&��

��� ���� � ���� � � �� :.� C0;

��� ���� � "��

��" � � "�� �������" � "��� ���� "��" -� :.� 7�0;�+ �� � � ��= �

� � :.� 7�0;�:� ; �

���� �4 . K � �� � � 7� �� �" � ���� 1���� �� . ��"��"�� "� ��/����4 5������ "� "�� �� "�( "��" . :.� 7�0;

� & + 7� :.� 7�0;� &/��� :.� 7�0;

� & �+ � ��� ��"��"� � 7� :.� 7�0;

�& ��� �"� ����� (�����

:.� 7�0;��� & +

� � �� & � -� ::.� 7�0;�; ��� "�� ��= �"�� �� �� .�" "��� �3���� :.� 7�0;

�& +

�� "�( "� :.� 7�0;�& �+ � ���� ��� 1��=�� "�� ������

*" �����/� ��� "��� ����� "��" "�� ���� 1����� �� . ��"��"�� "� � �� � ����" ���7�� � � �� 7���� � ��""� �

� � ��� �� K :.� 7;

� � + �� ���� � � ���

�" �����/� ��� "�� � ���"�� �(��"����� "��"

� +

������

� � �������

��

2�� ����� �? :.� 7�0;����� � � � "� � � � � � "� �� �������? �� � �� "��

:.� 7�0;� � �� *" �����/� "��� ����" � � ���� "��"

:.� 7�0;� +

������

�'� �� �:.� 7�0;

� �

�� ��3�� "�(

:.� 7�0;�

�������'� �� �

�������

������ +

Page 181: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� �������� �� ��� ����������� � ������ ������������ ���

� � �� "��� ����"� � � �� ���� "��"

�������

+ �

� � "��� ��1�� "�� "������

'�3������ �+2�2& "� ������ � �������� �� � ����� ��� �� � �� �� ���� �� ! � ����

����

! + � :� �#;

��� ! + �� ��� �� A�� ���� ��������� � ����� �������� �� ��� �� ������

�� ������ �������� ��

�� � � � � � ��

��� �� �� ��� � �� �� ��� �� ���������

������� �+2�2� "� ������ � �������� �� � ����� ��� �� � �� �� �&6�8� ��� �" +

�&�� � � �� &��

�� � ����� �� �� ��� �"�� � � �� "�� �� � ����� �� ��������� +

���� ��

/����4 *" �� ���� "��" ��� :"�� � � �� "�; + ���� � � ���� *" � �( ���� � "� 1���( "��"�"�� � � �� "�� �� �� ���( � ���� �� "� ��"�( ����� "� �� ��� :"�� � � �� "�; �� �� "�����

�����

�����

�� &� �

5������ "�� "��"

�����

�����

�� &� + �

5� �����

�� �� &

� � �� �" �����/�

����� �

� &

� + �� ���� �� .�" "�� �� + �� ����

� + �� � � �� �� ���� ��1�� "�� "��������� �����/� � ������( �� "�� ��� ����"�

�������� �+2�2( "� � � � ����� ���� ���� �� �������� � ��� � . � � :�� � ; �-�� ������ : :.; + �7�� � � �� 7�� �� �� 7 � ��������� ��� ����� �"� ���� ���� ��%� ������� �� 7�

� + �"� � � � � � �"�

��� �� " �� � ����� �� �"� � ��� �"�� "�� � � �� "�� �� � ����� �� ��

/����4 *" �� ������( "� 1���( "��" "�� �"� ��"���( �� ��"�� :� �#;� ��" �"� +

-� :.� 70;�� � � ������� ! � �"� � �

���� ! + /��� � $� *" �� ������ "� ���/

"��� ������� ���� ! + � *" �� �����( "�� �� � + �� 5������ "�� "��" "�� �� ��"�� ������� � � � � �

����

! +

Page 182: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ������ ������������

� � �" ��� "�� ! + � .( ����� � � "�� ���� �� ������ � ���$? ���"���(� � ( :.� 7�0;��

(�����

������

:.� 7�0;�� ! +

������

!� +

/��� !� � �"� � ��/ ( � ���"�� ? ���� !� + � � �� ���� ! + �� � � � �� �������?

"�� ���?��

�� ! ������ "� !� � � �� !� + �����.( ������ � ���$?

���� �"� + �"�������"� + � � � ( ������ � ���� �"�� "�� � � �� "��

�� � ���� �� �� ���� ��1�� "�� ������(�

�+�! .���- �������� 0� ����

* "��� ���"�� "�� 1��"� ����� /��� � � � � � "�� �� �� "� �����"�� � /��� � � ���"�����

'�3������ �+2 2� "� . ��� " � ��� � � ��� ���� ��� . �� ����� �� "� � ���� ��. � " ��� �� ����� �� ��� ��� ��� �� 6 ���� ���� . + 6��"6�

������� �+2 2� "� . � �� � � ��� ��� "����� 7�� 7�� � � �� 7� � �� �������� ��������� .�� ���� �� ��� � � �� ���� �#�� ��� ��� 8�� � � �� 8� ���� ���� . �� ����� ���� ���0 ������� ��� ��

8 +

��� 8� � � � ���

� � ����

� � � 8�

����� ����� 8� ��� �� ���� ������ 7�� ������� �� �� �� ��% �� 8� �� ����� ���� ��#��� �� �������� �� �� �� ��%� ������� �� 7��

�� + ��� �� K :.� 7�0;�

+ �� ��� �� � ��� :�"� ;

�� �� �� �� 6 �� �� ��� �� ���������� 6��.6 + 8� ��� 6 �� �� �� �� ��"� � � � "�

��� "� +

���� � � � ����

��� ����� �� ������

���� � � � ������

�+ 5� ��������� � �����

�� �"� �

/����4 .( ������( � ���� � � + �"� � � � � � �"� � � � ���� �� � � �� �5�� � � �� 5��/��� 5� �� � ���� �� �"� �

��"

6 +�"� � � � "�

�/��� "�� " �� "�� ��"���� ������� � "�� �"�"��� " �� "�� "������ ��� 6�� ���"� �� "�� ���

6�� +

��� '�

���'�

���

Page 183: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ���� ������� ������� ���

/��� '" + 0���� � ����? �� � �+ �� "�� '."� + "�� ���" ����� ����� � ������. K �� � �� �� "�� ����� � �� ."� �� �� �� ���� �"�� � �� "�� ����� � �� "� � � ������ "���� ����� � �� �"���� �� "� "�� �/� �� '� �������?

6��.6 +

��� '�

���'�

���.�"� � � � "�

+

��� '�

���'�

����."� � � � ."�

+

�����'�."� � � �

'�."� � � � ���

� � � � � � '�."�

������ � '��."�� �� � �� �� ��"���

,��" ���" "�� ���� 1����� �� '��."��C ��� � �( ���� 1���� �� . ��"��"�� "� �"� ��7� ������ �� .� + C� �� ���� � � �"� � � C �+ 7� � "�� �� � ����� � �� ������ � ���$?

:.� 7�0;�� � �+ +

�� "�( "� "�� ������"�� "��" � � �"� � 5������ "�� "��" '��."��� + 7� /��� � �+ +�,�( �� 7 + 7�C ��" � + "��� �� � � �"� � ���

6��.� + 6��.6

��������

+�������+

�������� +

��������

+���

'��."������+

�������� + 7

��������

+�������+

��������� � ��

.� + 76

��������

+�������+

�������� + 7��

�������? 7 + 7� ������? �� �"�� ��1�? 7� �� "�� � �( ���� 1���� �� . ��"��"�� "� �"� ���/ ��""� � 8� + '��."�� � "��� ��1�� "�� "������

��� ��1� "����� �� "�� � � ����" /���� �� �� ����� " ����"� �� "� �"�"� �� �������(�

�������� �+2 2� "� . � �� � � ��� �� ��� � 5� ���� � ����� �� �� �� ��%�������� �� 7�� ��� �5�� � � �� 5�� �� � ����� �� � � �

4�� �� � ����� ������ ������ ��%�� � '��� �$#� 2�� "��� "�����? "��� ����"� �"�( ��"����? �� ���� "��" ���8��� + /� /��� /� �� � ���� "�� ���� ��"�� �� "��

Page 184: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ������ ������������

��� ��� 7� � � � ����

� � ����

� � � 7�

��� � /�

��/ ��" � � "�� ���- ����� �� ��"�� ��= �� (

� �

��� �� � � � ���

� � ����

� � � ��

��� �

.( ������ � �#�� "��� ����"� 6 ���� "��"

6��.6 +

��� 8� � � � ���

� � ����

� � � 8�

��� �

�������?

��6.6� +

��� ��� � � � ���

� � ����

� � � ���

������ 8� � � �

���� � �

��� � � � 8�

������ �� � � �

���� � �

��� � � � ��

���+

��� ���8��� � � � ���

� � ����

� � � ��� 8���

��� +

��� /� � � � ���

� � ����

� � � /�

��� �

���� ��1�� ���" �� "�� �����/� � ������( �� ������ � �#���

�������� �+2 2 "� . � �� � � ��� ��� ��� . �� ����� �� �� ��� � ������ ���0 ������� ��� �� �� �� �� �

/ �

��� /� � � � ���

� � ����

� � � /�

����� /� �� �� ��� � ������ ��� �� ������ ��� 7� �� �� ���� �������� �� ����������0� ��� � � ���� �� ��� � � ��� �� /� /� �� �� �� �� ��� �� ���

�� + ��� �� K :.� 7�0;�

+ �� ��� � � �� ��� �� �� �� �� �� ���������� �� 7� �� � % � �� �� ��� ��� ����� �������� �� .�

/����4 ��� � �( "�� � /���� ���� � �� "�� ����"�� "��" �� �3���� "�� ���"������"( ��7� �� � 7�� �� "�� �����"���"�� ���( ������ 6�/�1�? "��� �� ���� ��� "�� ����1�"�� "��" �� �� / �� ������ "� . "��( ��1� "�� ���� �����"���"�� ���( ����� ������

��" :.� 70; + ��"�6 :/ � 70;6��

�+ ��" :6; ��"

�6��

���" :/ � 70;

+ ��"�66��

���" :/ � 70;

+ ��" :/ � 70;

Page 185: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ���� ������� ������� ��$

� � "�� ���1�"�� "��" �� �� / �� ���� "�� ����? "�� �����"���"�� ���( ����� �� / ���� "�� ���

�-���

:7� � 7;�� �

��� ��1� ������( ��� "��� ���� ��� �=�� �� ���������( �� �" �� ������ �1� ��"������"� � � "�� >��� �� � ���� ���� ���� ��� � 1��1�� �"��� ��� �������"( "� �����L"�� � ����"� � � � ���������( �1���� � � � ������ ��� �� ���� �� "�� /�� �" "�� ����"�� "�� ��1� ������( �� ����� " �� ���" �������"�� ��

*" �� ��� �=�� " ������ �" � ���� � � "� �"�� ���" � ���"� �� � �� ��/�� �� . (��� � "�� ��"�� /� 2�� ������( � �#�# "��� ����"� � � � ��"��? 6� ���� "��"

. + 6��/6�

�������? .� + 6��/66��/6 + 6��/ �6 � � �� "� �� � "��� /�(? �" �����/�

.� + 6��/ �6�

/��� / �� ��1� � "�� ��1� ������(� �� ���� / �� .( ���- ���"������"�� ?

/ � +

��� / ��

� � �

/ ��

��� �

��� ��"��? /� �� � �� �� ��"�� /���� �� �� "�� ���

/� +

��� � � � � ����

� � ����

� � � �

��� :� �$;

/���� �� � /�""� � "�� ���

/� + 5 BD

�� 5 � ���"���� �� "�� ��� "�"( � � D � ���� "�� ���� ��"�� /�"� 7��� ��/ "�� ��� ����� ��� �������? ( "�� ��(��( 6����"� "�����? D�� + ������ "�� �����"���"���3��"�� �� D �� 0��" 7�� + � 5��� � "� �����"�� �� ������ ����"� "� E�� �� ���D�� + ����"�( ����? /�"���" ��1� � "� ��� "�� ��(��( 6����"� "������ ��/ �� �� 5�� 0��" � ���"���� �� "�� ��� "�"(? �" �����/� "��" 5D + D5� �������? "�� ����� � �����"����� ��( � ������� � � "��� (����� "�� �����/� � �3��"�� � �� � � ���

/ �� + :5 BD;

�+

�����

��

5���D �

+

������

��

5���D � � :� �%;

"�� "��� �3��"�� ����� � ������ D�� + � ���� / �� �� �� "�� ���

/ �� +

��� �� � � � ����

� � ����

� � � ��

��� �

�(�� � ���� �� ����� �� ��� �� �� ����������

Page 186: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ������ ������������

%���� �+2 2# '����� / �� �� �� �� � /� ��� ��� ���� �� �&6�;� �� �� �������� �� �� �� ���� ������� �� �� ���� �� �� ������ ���� ���

������

�/ �

��+ �

/����4 2�� :� �%;? �" �����/� "��" �� ���� �� � � � �����

� :� � �; � � � :� ��� B �;

��P�

�������? ��""� � ' � "�� �����" 1���� ������D �

���

��� �� � ���

����/ ����

��� ��'

�� :� � �; � � � :� ��� B �;

��P

�������

/���� �� 1���� "� 7�� �� � � �� ���� �� ���" �����( ��� ( ����(� � "�� �"�� "��" "�"�� �����

������

�� :� � �; � � � :� ��� B �;

��P

�������

� � "�� �"� � "��" �� � ����� �� 1����? "�� "�� ��� "�� �� 1���� "� 7���

�+�" ��� 0� �� �� ���� �������� ���

*� � �� � � ���� ��� �� 1��"� ����� � � �-�� � � ��-�� �� � ���� �� �� "��� ����"� � �� �����

% K �� � �

��= �� ��

% :�; �����

�-

/���

� +

����

���

�� � "�� �"� ��� ���� 1��"�� �� �� �� ���"� � ��

� �

��������

�������

��������/��� "�� � � �� � "�� ��� ���"� *" �� ���� "��" % ��= �� � "��� /�(? �� � � "� � �? � "�?� � �� ��� 2� - � �� %�� :-; �� � ���" �� ������ ������ "�� ����� � "� �� - /�"� �����" "�"�� ���� �-�� � � ��-���

Page 187: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� � � ������ ����������� ���

'�3������ �+2#2� ,��� � ��� � ����� ������ �� ������� � �� �� �� �-�� � � ��-���� � ����� �� � ��� �)�� � � ��)�� �� � ����� �� �� �� � � ��� �� . + :��;�� ��� ����� �� �� �� � ����� ������ � ���� ���� �� �� ���� ����� �� ���� �� � ��� � ������ - � �� ��� ������������ �� �� ��������� �� - �� :��; ���� �� ����������� �-�

��� �����/� � ������ �� ������"�1� �� "�� ��= �"�� � 6�� %' � � %( �� "�� ������= �� ��1� /�"� ���� �� "� "�� ����? �-�� � � ��-�� � � �)�� � � ��)�� �����"�1��(�

��-�� � � ��-�� � � � �)�� � � ��)��

%' � Æ � %(�� � ��

.

:� ��;

��""� � � � �� � "��� �3�������

�� �) + ���

�-� +��

��-� �

��/

�-� +�

��) :� ��;

�� ���� ������ �� ������ �� ������ �)�� � � ��)�� �� � ���� �� �� 6� �����

�� �) +��

��

��) +���

�� �)�

*" �����/� ��� "�� �� �� � ���� �� �� �� �)�� � � ��)�� "��"��

�� � +��

�� �

�� � ( ������ �� � � �� � � �� ��3�� "�(

�� + ��

/��� �� �� ��= �� ( :� ��;� *" ��( ���� "� /�"� :� ��; � "�� �����-� � � � �-�

�+

�)� � � � )�

�' +

�)� � � � )�

�. :� �&;

/��� ' + :��; � . + :��; �

���� �� �+2#2� "�

� � � ��������� �� �� * � ����

� � � ��������� �� �� ( � ����

��� � � 5 �� 5 �� �� ��3 �������� �� ��� � - ����� �� � �� �� � �� ��� ������ �� � �� ��� ���

Page 188: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ������ ������������

,��" �� "�� ��"�� �� "��� �� �� "� �����"�� /�"� �����" "� "��� ����C I�� � :� �&;?� � � ��

�+

�� �

�'�

*" �����/� ��� "��� "��"

' +

�� � � �

�� �

��/ �� ���� "�� ����"� " ���� /��� � + �� ? � + �� � � � "�� ���� ����� �� "���"� ��� ���� �� 1��"�� � ������� ��1�� ��" � � � �� �� "� �����"�� ��� �� "��� � � ��" . � "�� ��"�� �� "�� "� �����"�� /�"� �����" "� "���� ����� * "��� ����"�� ����� �"� ���� %' � � %( �� �����( "�� ��� "�"( ��� � � "�� �3����� " "��" . ��"�� ��"�� �� "�� "� �����"�� ���� "� "�

� :��; + � :.�;

/��� � �� �"�� "�� ��� /���� "�-�� � 1��"� � �� � � �"� � "�� ��� � "( � "�� 1��"�?"�� ��� ����� � " �� "�� 1��"� /�"� �����" "� "�� �"� ��� ���� 1��"��� ����? �� "������� � "� �� "�� 1��"� � �� /�"� �����" "� "�� �"� ��� ���� �� : �� � � �� �; �

� +� � � � � �

��+

��

"��

� :��; � :��; +��

�� � �

,��" ���" "�� ��"��"�� /��� ��D�� " ���� �� ���� �� ����� �� � � � � C 6�/�� "�� "/� ��"���� /�"� �����" "� "���� ������� ���"��C �� ���� "�� �����/� � ������/���� �����"�"�� "�� ��"��"�� �

�� .��� ��

%� � Æ �� �� ��� �

%� � Æ �� ��� .��� ��

* "��� ������ % � � � �� ����� �"� ���� �� ������� ��1�� 2�� "�� ������?

���� ��.�%��� %� + .��

/��� %��� %� � � ���� �� �� � � "� � �? � "�? � � �� �� �����

'�3������ �+2#2� /� �� ����� ��� �� � + � ��� ��� �� ����� �� ��� �� � + ������ �����

%��� %�.�%��� %� + .��

"����� 6 � �� ��� �� �� �� ��� � ����� ������ %��� %� ���� ���� �� �� ������ � ��������� � �� ��

6��.�6 + .�� :� �� ;

.�� ���� ���� � .� �� ���� �� � ����� �� .� ��� . � 6��.6 �� ��� � ����� ���� ����� �������

Page 189: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� � � ������ ����������� ��&

6�� �� ���� "��� ����(�

'�3������ �+2#2 "� 6 � � ��� �� ����� � �� ��� �� #������ ����� �� 6 ���� ������� �� ������� �������

&� � �� � � 6� �+4����

(� /� � ��� � � �'���� ���

*� /� � ��� � � ��� � �� �� ��������

'�3������ �+2#2# GH ����� �� �� �� � ���� �� 6 ����� � #������ �� ���GH �� ��� �� #������ ���� �� ���� �� � $��� �� #������ ���� �� �

,�"� "�� ��1� ��= �"�� � � �� ��1� "�� �����/� � ������ "����� /���� (�� �������� �� (�� ��1� �" ��� �"�

������� �+2#2& "� � � �� #������ ���� ���� �� � �� 6 ��� � � ���� ���� �� #������ ������ ��� �� GH ��� GH � ��� �� ��� #������ ����� ��� � ��� GH + GH � �� �� ��� � � ���� � ��� GH � GH + ��

������� �+2#2� /� �� ���� ���� �� � � ��� ��� ���

. � "

�� �� ����� �� ��� ��� ��� �� 6 ���� ����

. + 6��"6�

��� � �� �� #������ ����� ��� . � " �� ��� ��� �� ���� � �� �� � ������������� ���� �� ����� � � � :�� � ; ��� ���� �-�� � � ��-�� ��� �)�� � � ��)�� ���� ����. �� �� ��� �� �� � ���� ���� �� �-�� � � ��-�� ��� " �� �� ��� �� �� � ���� ���� ���)�� � � ��)���

/����4 . � . ������ 6 + 0 /�-� � "�� ��= �"�� � *� . � " ? "�� " � .� ������

. + 6��"6

�������

" + 6.6���

*� . � " � � " � '� "��

. + 6��"6� " + /��'/

� � ��

. + 6��/��'/6 + :/6;��

'/6

/���� ������� . � '� ���� 1��=�� "�� =�" ��" �� "�� �� ������ ���/ ��" � � � � ���� ��� �� 1��"� �����? . � " � � ���- � ���� �� ��

�-�� � � ��-���

Page 190: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�& ������ ������������

!�= � � � � :�� � ; (

�- ���

��-�

/��� . + :��; � ��� �� " + : �; � � � 6 + :$�; �� "�� ��"�� /���� ��1���� "�� �������"("� �����"�� ?

. + 6��"6�

�"/�� . � � "� �" �����/� "��"

�- +������

$� ���$��

���-� � :� ���;

��/ ��= �

) ���

�$��

��-� �

��� ��� :� ���;? �

�$��

���- +

�������

�$��

��$� ��

�$��

���-�

� � ��

�)� +��

��)��

���� ��1�� "�� "����� ������ "�� �� ��" �� "�� �� ������ /�� ��"������� ������

'�3������ �+2#2( -� � � ��� �� .� �� ��������%�� �� �� ����� �� ��� ��� � ���� �� 6 ���� ���� 6��.6 + 5� �� 5 �� � ������� ��� ��� ���� 5 ��� % � �� ��� ��� ���� �� �� ���� �������� . �� ���� :7� � ��� 7�; �� ���� �� ������� ��� �������� �� 7 ���� �� ���� ��������

��� �����/� � "����� �� �� ���" ��� �=�� ���

������� �+2#2� "� . � �� � � ��� ��� ��� . �� ��������%�� �� ��� ��� �� �� ���� ����� �� ������� � �� .� /� ���� ��� 6 �� �������� &6�;�? �������� �� �� � � ��� ������ ������ � �� ������� � �� . ��� 5 + ���� :7�� � � �� 7�; �

/����4 5������ =�" "��" �� ��� � ���� �� ���� 1��"��? �-�� � � ��-�� /��� .- + 7-�

��� ��" 6 �� �"� "�� ��"�� :-� � � � -�; � � ��" 6�� �

��� ���������

��� /��� �� -� + � �!

� �� � + � �� � �+ �

� 6�� ����"� ������ 6 ��� � - �� ��� ��� ���- ���"������"�� ?

6��.6 +

��� ���������

��� :.-� � � �.-�;

Page 191: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� � � ������ ����������� �&�

+

��� ���������

��� :7�-� � � � 7�-�;

+

�����7� � � � 7� � � ����

� � �� � �

� � �

� � � 7�

����� + 5�

���" ������� . �� ����� ���7��� �� 6��.6 + 5 � ���� :7�� � � �� 7�; � ��� "�� ����� ��� 6 ��� � ���� ������ 6�� �� ��1� "� ����"� *" � �( ���� � "� 1���( "��" "���� ����� ��� . �� ���� 1��"��� .�" ��""� � 6 + :-� � � � -�; � .6 + 65 � � �� :.-� � � �.-�; +:7�-� � � � 7�-�; /���� ���/� "��" .- + 7-� ���� ��1�� "�� "������

*" ��-�� �� �� "� ����- �� "�� ��"��� � " �� � �� �� "� �����"�� �� ������� � "�������/� � ������(�

�������� �+2#2�+ "� � � � :�� � ; �� � �� �� � ��������� ���� ���� ��� � .� �� ��� �� �� ���� ��� � ����� ������ ���� ���� �� � ����� �� �� ��� �� �� �������� ���

��" :�; � ��" :.; �

/����4 ���� ������ �� ���� �� � ��"��� �� � ��"�� �� � /�"� �����" "� "�� �����*� . � � " �� "/� ���� ��"����? �" �����/� ��� ������ � �$�� "��"

. + 6��"6

� � ��

��" :.; + ��"�6��

���" :"; ��" :6; �

.�"

� + ��" :0; + ��"�6��6

�+ ��" :6; ��"

�6��

�� � ��

��" :.; + ��" :";

/���� ��1�� "�� ������(�

'�3������ �+2#2�� "� . � � :;�< ; �� ; ��� < � ���� ��������� ���� ��������� ��0 :.; �� #�� �� �������� �� . :;; �

��� �����/� � "����� ������ � ��/ "�� � - �� . �� ���"�� "� "�� � - �� "�� ��"���� .�

������� �+2#2�� "� . � � :;�< ;� ��� ��0 :.; + ��0 :3; �� 3 �� �� ��� �� ��. ��0� ���� ���� �� � ��� �� ���� �� �� ���� ����� ;� ��� <�

/����4 ������ "�� ������ /���� ������� /��" �� ��� " ( "�� ��"�� �� .� 6�� "��"/� ���� �� �� � ����"���

�!�� � � �� !�� ; .�� < ���� � � �� ���%) � Æ � %*�� 3�� ��

Page 192: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�&� ������ ������������

��" ���� � � �� ��� � � ���� �� . :;; � ��� �� �� "�� �� �� "� �����"�� ? %* �� � � "� � �� � � "�?

�%��* ��� � � �� %��* ��

��� � �� ���( � ���� �� " ��" �� 1��"�� � �� � ��" .& + ��

���

3%��) & + %��* �

� � �� "�� ���� ��� �� 3 :�� ; � �� ��/ �� 3 :�� ; # � "�� "��� ����"�

� �3 :�� ; � ��� �%��* ��� � � �� %��* ����

.�" "�� "��� ����"� � � �� /�"� 3� + �� 6� ��

� +3� + %��* .%)� � ��� �%��* ��� � � �� %��* ��

�� �� "����"�� � ���� ��1�� "�� "������

��� �����/� � ����" �� � �����( �� �� ( �� ���"��

������� �+2#2�� "� � � � :�� � ; �� � �� � ���� ��������� ���� ����� ����� ������� � #�������

&� � �� �� �� ���

(� � ���� � ����� �� � ������

*� � �� �����

8� ��" :�; �+

;� /� �! + ��� ! + �

/����4 5������ =�" � �� � � "� � � � � ��" �!���� � � ����� ��� ����

�� ��! + �" �����/� � :

���� �!; + /���� ��� � "��" �� �� � : ; + � � � � �� � � "� � �? �" ���"

� "�� ���� "��"��

�� �! + � 5� �� �!� �� � ����? ���� � + /���� ���/� ��!� �� ��� ���( � ���� �� " ��"� 5� �� "��� �� � �� "����? �" ���" � "��" "��� �� � �����

��/ ������� ��;� ��� ��""� � �!� � � ����? � � � �� �" �����/� ��� ��" ��; "��""��� �� �� �"� "�? ��� ���� "��" +

���� ��! + � :

���� �!; � ���� � �� � "�� *" ���

�� ���/ "��" ��; ������� ��;�

��/ ������� ��;� ��� "�� ����"�� �� ���"� � �� ���"������"�� ( "�� ��"�� �� ��3+?���" � � "�� 6�/�1�? "�� 1��"�� � �� �� �"�� ��? �� ���" �� �� �� ���� �"�� � �� "������� � �� 3+� �������? "�� ����� � - �� 3+ �� �� .( ������ %���� "��� �3���� "����"��� � " � - � � �� ��" :3+; � ��" :�; �+ �

��/ ������ #�; *� �! + �� ���� ! �+ � �" �����/� "��" 3+� + �� ���� � �+ +��������? "�� ����� � �� 3+ �� �� ���( ���� �� " � � �� ( ������ %���� ? ��" :3+; +��" :�; + �� "�( "� #�;� �������? #�; ������� $�;�

��/ ������� $�; � � ������� �! + ��� ��� � :! � �; + � � �� ( $�;? ! � � + ���/� � "��" � �� � � "� � �� ���� ��1�� "�� "������

���� �" �� ����"� " "� �"� "��" �������"�� �� �� �� "� �����"�� ������ �� "����"������"�� �� "�� ��"����� �� ���� "�� �����/� � �������

; .�� < "�� E%) � Æ � %* Æ � %,�� 3��� �� 3��� ��

Page 193: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� � � ������ ����������� �&�

/��� . � � " �� "/� �� �� "� �����"�� �? . � � :;�< ; � � " � � :<� E; � ��� " Æ . � � :;�E; � � �� �" ��� � ��"�� /�"� �����" "� ���� ��1� � ; � � E� "������� �"� ���� �� "���� ���� �� � %) � � %, �����"�1��(� ���

" Æ. + %,3�%* %��* 3�%

��) + %,3�3�%

��) �

.�" "��� ���/� "��" 3�3� ���(� "�� ��� �� 3�Æ�� "�� ��"�� �� " Æ.� 6� �� "�� ��"���� " Æ . �3���� "�� �����" �� "�� "/� ��"���� 3� � � 3�� �� ����� �" �� � "���"� �"� �"� "��" ��"����� 3�Æ� ���" � � �3��? "�� ��"����? 3� � � 3� �� �" � �3��?���� �� � � "�� ���� ����� �� < �

������� �+2#2� �� ��� �� �� �� ����������� �� ��� � ����� ������� #��� �� � ������ �� �� �� ��� ��� �� ��� ��� � ����� ��������

�1�$�� -�.� 2��.���� ���3 ��4�� ������ �����'��.������

*� / �� � ( �� �� "� �����"�� /���� ���� �� "� �� � "��� �� ��/�(� � � � ��"��? ./�"� "�� ����"( "��"

.� + /� :� ���;

�� ��� � � �� � E�� �����( "�-� "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /�"� �����" "� "���"� ��� ����� ,��" �� "�� ��� �� .C 5������ / K �� � �� �� � �� �� "� �����"�� � �(�� /� " "� = � "�� ��"�� ��= �� ( "��� �� �� "� �����"�� �� ������� � :� ���;���� �� � � �� �" �����/�

� +

����

/��� � �� "�� 1��"� /���� ��� 7��� � �1�( ���" �" "�� ��� � � � � � "��� ���"� ��� �� �� / �� �� ��?

/� +����

/ :�;

+

�� � �/ :��; � � � / :��;� �

����� �

����

���� .

��� �����

���� � �� (�� ��� "��" "�� ��"�� ������ �� �"�� �� ��� ��""� � "�� ��� ����� �3��� / :�; ����� ��1�� "�� �����/� � "������

������� �+2#2�# "� / � � ��� � ����� ������ � �� �� �� �� � ��� �� ��� �� .���������� �&6�&(� �� ���� �� �� � �

/ :��; � � � / :��;� �

���� /� �� �� ��� ����� �� .�

Page 194: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�&# ������ ������������

���� �� �+2#2�& �� ��� �� ��� �� �� �� � ����� ������ ������� �� �� �� ������������� �� ������� � � ���� ����� ���0��� �� ���� �� ��� �� ��

��" �� ��

� � �� �

� �

� ����� ��� "��( "�� �����"�� 1��"�� /���� ��� "

��� � "�� ����"�1� ���� � � ����"�1� ���� �� ���/ �

��

��

2�� ������ � �$��$? (�� � �( ��� "� = � /�� � � /��� "�� =�" �� � "�� =�"����� �� "�� ������ ��"��? . � � "�� ���� � �� � "�� ���� � ����� � 2�� ��/� � ����"�� � � ��� � � ��""�� �����"(? (�� ��� "��"

/�� +

���� ��� �

� /�� +

� � �� ���� �

�������? ��� ������ � �$��$?

. +

���� � � �� ��� � ��� �

���� �� �+2#2�� ���� �� ��� �� �� �� ��� � ����� ������ ����� �� ������� �� � �� ������� � ���� � �� ���� �� ��� �� � ��� ��� �� ���� �� ��� �� ���� ��� ���� ����� � ����� ������ ����� ����� � ���� �� ���� �� ��� �� � B ��

��" /��� �� �"� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� "����� � � ����� � B �� ��� "� ��" /���� (�� ����� =�" �� /� � � "�� �� /� /��� /� �� "�� �� ��"� �����"�� /���� �"�"�� "����� � � ��� �� � � � /� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� "����� � � ��� �� �� !� �"� � "�� ������ �� � ��"���� ( .���? .��� � .�� (�� ���" ��1� �� �1�( �

.���� + /���� + /�/�� + .�.���

�� ��3�� "�(? (�� ���" ��1�

.��� +

���� :� B �; � �� :� B �;�� :� B �; ��� :� B �;

+ .�.�

+

���� � � �� ��� � ��� �

����� � �� ��� � ����

�������?���� :� B �; � �� :� B �;�� :� B �; ��� :� B �;

+

���� � ����� �� � �� � � ��� � �� �� �� � ������ � ����B ��� � �� � ��� � ����� �� � �� �

Page 195: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� � � ������ ����������� �&$

!� 8" "���� ���- �������C ���( �� "�� ����� "��� ��� "�"��� �� "�� ��� �� "/� � �������1�� ��� ��� � �� �� ����� �� ���"��

���� �� �+2#2�( ���� �� ��� �� �� �� ��� � ����� ������ ����� ����� ���� � ��������� ���0��� ����� �� ������� � �����

��" / � "�� ��� �� "��� �� �� "� �����"�� � * "��� ����? /�� + ��� /�� +:��� �� �� �� ;

�� � � /�� + :� �� �� ��� �� ;

�� �������? "�� ��"�� �� "��� "� �����"��

�� 0��" �� ��� � � �� � �� � ��� � �

�� :� ���;

* '�(���� �" �� ����"� " "� �� ���� "�� /�- �� � ( � ���� =��� � � �0��"� ����� 1��1�� "�� �� ���" �� ��0��"�� � "� � 1��"�� 5������ (�� /� " "� = � "�� ��0��"�� �� � 1��"�? - � "� "�� ��1� 1��"�? �� �� �"�� ( ��0� :-; ���� �� �� � ��� � "�� ��"�����" �� �����/��

��0� :-; +- � �� � �

��

.������ �� ����"��� �� "�� ��" �����"? "�� ��� - ���0� :-; �� �� ��?

��0� :�-B ); +

��-B ) � �

� � �� + �

- � �� � �

��B

) � �� � �

��

+ ���0� :-; B ��0� :); �

���� �� �+2#2�� "� �� � �$����� ��� � ���� ���� ��� � � +:�� �� �;�� ���� ��

��� �� �� ���� ��� � ����� ������ ���� ���� �� �� ���� ������

E�� �� = � "��� ��"�� � "�� ���� /�( �� � ����� ��������� ��0� :�; ��1�� "�� ���

����� �� "�� ������ ��"��� �������? �" �� � �( ������( "� = �

��0� :�; � ���� � �

��

2� "�� ��1� 1��"� � "�� �������? "��� ������� "�� ����� � �� "�� ������ ��"�� ��

�#

�� ���

�� ��

�#

�� ���

�� ��

�#

�� ���

�� �

6� �� "�� ��"�� ��

�#

�� � � �� # %� % &

�� �

���� �� �+2#2�+ ���� �� ��� �� �� �� ��� � ����� ������ ����� 4��� � ���� ��� �� �� ���� �� � ����

�� �����"�"�� ��1�? (�� 0��" ��� "� = � /� /��� / �� "�� ��� �� "�� "� �����"�� �.�" /�� + ��� /�� + ��� � � /�� + ��� �� "�� ��"�� ���� �

�� �

�� �

Page 196: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�&% ������ ������������

���� �� �+2#2�� ���� �� ��� �� �� �� ��� � ����� ������ ����� � �� ����� ����� ���0��� ����� �� ������� � ���� ��� ��� 4��� �� ���� �� � ����

���� �� �� "� �����"�� �� 0��" "�� �������"�� �� "/� �� �� "� �����"�� � ��1� ���"���� �� ��� � � �� �

�� � ��� � �

�� �

�� � �� �

�������"�1��(� ���� "�� ��"�� ������ ���� �

�� �

���� ��� � � �� � �� � ��� � �

��

+

�� ��� � � �� � � �� � � ��� �

�� �

�1�$�� *�������� ����� � 2���� �� ���

�� � �������"�� ? * /��� �� ���� "�� ����� �� �"�"� � ��� "� ����-/��� ���" � ��1� � �" 1��"� /���� �� ������( �" � � �� "�� � �" 1��"�� � ����� �"� ����"�� �� 2��"�� ���� � ��� �� ���� ������ ����� �"� 1��"��? �� � � �� � � "�� ����� �� �"�"� �"�� � "�� ��� "�����-/��� ����"�� ���" �� /��� �� + �� �� �� "��" �������� ����� ���" �� ��� �"���� �� ����� �"� �(�"��� ��" / �� �"� "�� ������ �"�"�� � ���

/ :��� B �� B ���; + �/�� B /�� B �/��

+ :� ��� � � �� �;�� B :� �� � B ��� �;�� B ����

���� � "��� �� "�� ���� ���������� � "�� ��"�� �� "��� "� �����"�� ���� ��� � � �� � �� � ��� � �

�� �

* /� " "� /�"� "��� "� �����"�� � "��� �� "�� ����� ���� 1��"��? ���� ��� ����

����� ��

�� � Æ � ����

�� ��

�� � Æ � ����

��� ��

* "�� ��1�? �� �� � �� ������ �� "�� ��"�� /���� ��� "�� � ����"�� ����� � ���/������ ��� �

� � �� "��" �� :�; + �� ��� ��"�� 3�� �� �"�� "�� ��"�� �� "��

"� �����"�� / "�-� /�"� �����" "� "�� ���� ���� ��� ��� /���� "�� ��"��? 3�� �� �"��"�� ��"�� �� "�� "� ����"�� / "�-� /�"� �����" "� "�� ���� ���������� �

�� +

�� � � ��� �� ��� � �

��

Page 197: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� � � ������ ����������� �&�

5� �� "��� �� � �"���� �� ��"��? �" �����/� "��"

���� + ��� +

�� ���������

�� �

����? �� �� 0��" "�� ��� "�"( ��"��� �������? ��� "�� ��1� ������?

3�� + ��3������

+��� �� ��

��� ��� � � �� � �� � ��� � �

���� ���������

�� �

��/ ������� "�� � �" 1��"� ���" /���� "�� ��� "�����-/��� �"�"�� "�-�� ����� ����� � ��� ��� * �"�� 1��"��? �� � � �� ���� "��" ���������� �� � ���" �� ��� �"���� ���(�"�� /�"� �� + ��� � �� � � "�� ��� "�� ��1� ����"� *" �� �� ����� ����/��" ��"�(��/ "��� �� ������������� * /��� ������? ��/�1� "��" ��� �+ � �� �� �� "��� �� ��"�� �����?"�� (�� �� ���-� � �" ��"�� ����-/��� � ��� "� ����-/��� �"�"�� ���" "�� ����"�1�� ���� � � "��� �� � ����� /���� ��� �� ����" /�"� ������ :*� � + ��� �" ���� "� "�����-/��� �"�"�� ���" "�� ����"�1� � ���� /���� �� � + �� �" �� ��� "�����-/��� ��"�� ���" "�� ����"�1� � �����; ��� ��" �� + ��� � �� � � �� � ��

������ ���� � � *� ����������

�� "� � � ���" �� � �(�"�� �" �� ������( "� ��1�

�� + �� �� +��

:�� B �; :�� B � B ��;

.����� �� �� B �/

+��

:�� B �;

.����� �� �� B �/

��� ��� "�� ��1�? "�� ��"�� �� "�� "� �����"�� � "��� �� "�� �"� ��� ���� ����1� (

����� �!

�������

��������

� �!�������

� ��������

�:�� B �; �

������ ��� � � �� �

�� � ��� � �

������

��!�������

��!�������

�:�� B �;

��������

���������

� �

����/���� ��"� ������=��"�� �3����

+

�� �� B��� ��

���� � � :�� ��� �;� � �� � �� :�� ��� �; B �� �

� :�� ��� �; B � �� � � B��� �

���� � � :�� ��� �;� � �� �

�� :�� ��� �;� �� � � :�� ��� �; B � �� � �� B��� ��

���� �

�� � :� ��#;

,�"� "���? �" �� ���� ��/ "� �"�"� ����-/��� ���" "�� "�� � �" 1��"�? ��� � �� � >��"�"�"� ��� "� ����-/��� "����� � � ��� �� ��� ���� "�� ��"�� �� "��� ����-/��� ��"�� �� 0��"

+

�� �� B��� ��

���� � � :�� ��� �; B � �� � �� :�� ��� �;� �� �

� :�� ��� �;� � �� � � B��� �

���� � � :�� ��� �; B � �� �

�� :�� ��� �; B �� � � :�� ��� �;� � �� � �� B��� ��

���� �

�� �

Page 198: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�&� ������ ������������

* ���1� � :� ��#; �" /�� ������� "��" � �+ �� �" �1� � "��� ����? �" ��1�� "������" � �/�� 5������ �� ������� "��" � + � �� (�� �� �"�"� � � "�� ��� "� ����-/�������"�� ���" "�� ����"�1� � ����� ��� �� �� �"� �3��� "� 7�� � � :� ��#; ������ "�:� ���;�

�1�$�� ��� +���� ������

� ����"� " �������"�� �� "�� ��1� "���( �� "� "�� ���� � ����? ����"� " � "������� ��� �� �"�"� � ������ ���� �� �"����� "���� "�� �� ��- � "�� �� 8�� �� ������"�� ���� � ���� �� ���� "�� �����/� � ���"�� � /���� �� � � � � �� "�� ����� ����� �"����� =��� � ����� � � "�� ���� ������ /�"� � ��������" �� �"� �"�� ����� �"� �����6�� �� "�� ���"���

���

����

� + ��

���

��

���

��

�����

����

�� + ��

��

��

���

����

F

F

�� + ��

����

��

��

,� �"�� � ( �"�"� � ��� "� ����-/��� ���" "�� =��� � ����� ���� "��� �"�"�� ��� "�� ��"�� �� ���� � �� �

�� � ���� �

�� �3� :�;

���" �"�"� ��� "� ����-/��� ���" "�� �� ���� /���� ����"� ��� "�� =�" �"�"�� "������ � ��� �� �� ���� �" �� ������ "� �"�"� ��� "� ����-/��� "����� � � ��� � ���" "��� �" 1��"� �� ���� � �� �

�� � ���� �

���� �

�� +

�� ������ �

�� �

�������? � :� ��#;? � + ����� + �� �� � � � + � *" �����/� "�� ��"�� �� "��� "� ���L

Page 199: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� � � ������ ����������� �&&

��"�� /�"� �����" "� "�� ����� ���� ���� ���� �B��� ���� �

���� � ���� �� � :�� ��� �; �� � �� �

���� �� � :�� ��� �; �� � �B��� �� � �

���� � � ���� �� �

� �� � �� � ���� �� � ��� �

�� �3� :�� �;

2� ���(? /� �"�"� ��� "� ����-/��� ���" "�� ����"�1� �� ���� ( F� ��� 1��"� � "������"�1� �� ���� �� "�� ���� �� "�� 1��"� � "�� =��� � ����� ���� "�� � �" 1��"� � "������"�1� ����"�� �� "�� �� ���� ���� ���� �B

��� ���� �

���� � ���� �� � :�� ��� �; �� � �� �

���� �� � :�� ��� �; �� � �B��� �� � �

���� � � ���� �� �

� �� � �� � ���� �� � ��� �

���� �

��+

�� ���� �B��� ���� �

���� �

���� �� � :�� ��� �;� �� � �� �

�� +

�� ���� �B �� � � ��� ����� �� � :�� ��� �;

� �� � �� �

��� � �" �� ������ "� �"�"� ��� "� ����-/��� "����� � � ��� �� F ���" "��� 1��"�� ����?� "��� ����?

� + ���� �B �� � � ��� �� + ���� �� � :�� ��� �; � � + � �� � �� ��

� � (�� ����� ���"�"�"� � "� "�� ������ �� ������ :� ��#; � � �"�� � ��"�� /��������� "� "�� �� �� "� �����"�� �"�� �� ( �"�"� � ��� "� ����-/��� ���" "�� ���L�"�1� �� ����? 3� :�� �� F; � ��� /��" /���� � "�� ��"�� /�"� �����" "� "�� ����� ������ "�� �� �� "� �����"�� /���� �� �"�� �� �� � �������"�� �� "�� "��� 0��" �������C.( ������ � �$��#? "��� ��"�� �3���� "�� �����" �� "���� "���?

3� :�� �� F;3� :�� �;3� :�; �

* ���1� "�� ��"���� "� (��� ���� �� �������� ��� "� ���� �� /���� /��� ����/ (�� "�/�"� ��D�� "��� �3��"�� � �� "�� ���� � ���� � � �"�"� � ��(� �� ��1� � ���� ��/"���� � ���� ����(? �� ���� "�� �����/� � ���"���

��

��

��

��

���

F

�:�;

Page 200: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� ������ ������������

���� �� �� �� �� * /��� �� � "��� "����� ��� ��� " ��? �" �� ������� "� ��1� � �(�"���"��������"�� � "��� �� ��"�� ���"������"�� �� � 1�( �����"� �����"���� ������"�� ��� �������"�� �� �� �� "� �����"�� �� E�� ��� ��� "�� ���"�� �" �� ������� "� ������"�� ��"�� �� "�� ��� � � "�� ���/ � "��� �� "���� ���� � ����� ���� �� ��� �" � �� �"��� ����

��" ������ ��(? "��� ���� ��� �������"�� � "� �����"� ��������

�+�# ��������

�� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� ����

�� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� ��#�

�� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� �����

#� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� �����

$� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� ����� 5���4 ��"� "��" ���� + ���� ��#�

%� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� ���� � � "�� �F��"� ����� "�� �����

�� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� ��� � � "�� �F��"� ����� "�� �����

�� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� ��# � � "�� �F��"� ����� "�� �����

&� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� ��% � � "�� �F��"� ����� "�� ���� �����/�� ( � �F��"�� ����� "�� �����

� � 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �F��"� �1�( 1��"� � �� �����"�� ���� � � "�� �"�"�� �1�( 1��"� "����� � � ��� �� ��#�

��� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �F��"� �1�( 1��"� � �� �����"�� ���� � � "�� �"�"�� �1�( 1��"� "����� � � ��� �� ��#�

��� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �F��"� �1�( 1��"� � �� �����"�� ���� � � "�� �"�"�� �1�( 1��"� "����� � � ��� �� ��%�

��� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �F��"� �1�( 1��"� � �� �����"�� ���� � � "�� �"�"�� �1�( 1��"� "����� � � ��� �� ��%�

�#� 2� � "�� ��"�� �� "�� �� �� "� �����"�� /���� �"�"�� �1�( 1��"� � �� "������ � ��� �� $����� 5���4 ��"� "��" $���� + ����� ��#�

�$� 2� � "�� ��"�� �� ��0� :-; /��� � + :����� �;� �

�%� 2� � "�� ��"�� �� ��0� :-; /��� � + :�� $� �;��

Page 201: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��������� � �

��� 2� � "�� ��"�� �� ��0� :-; /��� � + :�� � �;��

��� 5��/ "��" "�� �� �"�� /� ��= �� ( /� :-; � - � ��0� :-; �� ���� � �� �� "� ���L��"�� �

�&� *� � + :�� �� �;�? �� � ������� � �$��& � � /� �� ��1� � "�� ��1� �����? = � "��

��"��? .� /���� ��"��=�� .�� + / :�;�

� � *� .�"� � � ' �� ���� � � ��"���� � � ."' �� � 1�"���? /�( �� ���� �� .�"�� � ' � 1�"����

��� 5��/ "��" :."';��

+ '��"��.�� ( ��� � "�� �����"�"�� ."'�'��"��.��

��

��� *� . �� � 1�"���? ���/�.�

���+

�.��

���

��� *� . �� � 1�"���? ���/�.�

���+

�.��

���

�#� *� . �� � 1�"���? ���/�.��

���+ .�

�$� <�1� � ������� �� � � � ��"�� /�"� "�� ����"( "��" "�� �� �� "� �����"�� ��"��� �� ( "��� ��"�� �� � � "� � � �" �" � "��

�%� ������ /�( .� + + ��/�(� ��� � ����"�� �

��� ��1��/ �����K 5������ ��" :.� 70; + � 5��/ ��� � ������ %����� "��� ����"�� �+ + ���� "��" :.� 70;� + +�

��� ��" � # � � � ��" . � � � � ��"��� 5��/ "��" . �� ��� � � "� � �� 5���4

�� ���� "�� � � ��"��? .� /���� �� �� "�� ���

.� ��

.

/��� "�� �� �"�� � :���; � ��"�� �� 7���� ���� ��".� + � � �� .� �� �" � � "� � �� ��/ ���1� "��" .�� �� "�� 1��"�?

.�� +

�.�+

/���� �3���� 7�� �� � � � �( �� .� + +�

�&� 2� � -� :.; ��

. +

����� � � � � � � � �� # # � � � � � �

���� �

������ -� :.; �� 0��" "�� ��" �� ����"�� � "� .� + +�

� � 5������ .� + � ��� � ����"�� � ������ /�( "�� ����"�� �� � �3�� �������( /�� .� + + ��� � �( "�� "�1��� :7��; ����"�� �

��� I�� � '���� �&? = � "�� �� ��� ����"�� "� "�� �����/� � �� �� �(�"�������� � � � � � � � �� # # � � � � � �

����������

�����

������ +

����������

����

Page 202: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � ������ ������������

��� I�� � '���� �&? = � "�� �� ��� ����"�� "� "�� �����/� � �� �� �(�"���

����� � � � � � � � �� # # � � � � � �

����������

�����

������ +

����%����

����

��� 5��/ "��" �� . �� � � � ��"��? "�� -� :.; �� � ��������

�#� )���( "�� �� �� "� �����"�� ��"��� �� ( "�� ��"�� �� :$���; ���� �� � "� ��

�" "�� �� �� "� �����"�� ��"��� �� ( "��� ��"�� �� �" � � "� � ��

�+�$ ��� 8���� ��������� 7��

������ ������( � �#�#� 2� �� 1� �� ��? "��� ������( �� �"�"�� ���/�

�������� �+2�2� "� . � �� � � ��� ��� ��� . �� ����� �� �� ��� � ������ ���0 ������� ��� �� �� �� �� �

/ �

��� /� � � � ���

� � ����

� � � /�

����� /� �� �� ��� � ������ ��� �� ������ ��� 7� �� �� ���� �������� �� ����������0� ��� � � ���� �� ��� � � ��� �� /� /� �� �� �� �� ��� �� ���

�� + ��� �� K :.� 7�0;� + �� ��� � � �� �

��� >��� �� � ���� ��� � 1��1�� � ��"�� ����"�� � /���� "�� ���� "�� ������"����? /� ������ � ��"������( �1���� � � � ������ ����

'�3������ �+2�2� G� :�; �� � D� ��� ���0 �� �� �� � � � ��� �� �� �� �� �

G� :�; +

������� �

� � �

� � ����

� � �� � � �

� � � �

������/� �� �� �� �� �� ��� �0� �� ��� �� ��� ���� �� ��� ������� ��� �� ���� ����� � � ���� �� �� ���� ������� ���� % �� � ��� �� - ��� �� �� �� ������� � ������ �� �� �� �� �� �� � ��� � �

���� � � �

� � �

��� �

�� �� � % �� �� �� ���� ������� ��� ��� �� ���� ��������

Page 203: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� �������� �� � �

��� >��� �� � ���� ��� � 1��1�� ���� �� "�� ���� "�� ���� ��"���� � "�� �� ���L��� �� ������( � �#�# �� � � ���- ����� �� ��"�� /�"� "�� ���-� �� � >��� ���-�� /���� "�� ��7� �� "�� ���-� �������� ��� "�� ���� ���" "� "�� ��/� ���"� ��� ������ "� ���/ "��" �1�( �3��� ��"�� �� ������ "� � � �3�� ���� ��"�� /���� �� � >��� �� � ���� ����

��"� "��" � "�� �� ������ �� ������( � �#�# ���� �� "�� "�� ���� ��"���� �� �� "����� �0 B D /��� D �� � �"��"�( ���� "�� ���� ��"��� ��� ����"� �� �� "�� >��� �� � ���� ��� �����/� 3���-�( ��� "�� �����/� � ������

%���� �+2�2� "� D � �� � � ��� �� ����� �� �� ���� ��� � ������ � ��� �� ����� �� ��� ��� ��� �� 6 ���� ����

6��D6 +

�����G�� : ;

G�� : ;� � �

G�� : ;

������� �� � �� � � � � � �� � � ���

���� � + ��

/����4 2��" �"� "�� � �( ���� 1���� �� D �� � ��" -� � � ���� 1��"�� ��� �-��-�� � � ��-�� �� ������ � ���� ���� � -� �� D-��� + -� �� ��� � + �� �� � � �� �� *"/��� � ������ � ������� ���� �� "��� �� � ����"�� ? -� "� "�� �3��"�� ? D- + -��

���� �4 ��� 1��"�� � � ( ���� �� �� ���( � ���� �� " � � �� �-��-�� � � ��-�� ����� ���� � -��

D K ��� :-��-�� � � ��-�;� ��� :-��-�� � � ��-�; � :� ��$;

���� �� �-��-�� � � ��-�� �� � ���� ? "�� � ��/����4 2��" �"� "��" :� ��$; �� �1���� ������

D

����

�- +

����

�-���

*" � �( ���� � "� 1���( "�� 1��"�� �� � ���� �� � ���� �� "� *� "��� �� �" "��? (�� ������� ���� "�� ��" �� ��� ���� �� " ���� � � � ���- � �? �-��-�� � � ��-�� � /���� �� ���"��"����� �-��-�� � � ��-�� �� � ���� /���� �� ���� �� " � � � �� �� ����� �� �������� 5������"�� "��"

���� �- + + � � �" ��� "�� � + � *" �����/� ��� � �� � "�� �������" �� �"�

�� � ( ���� �� " ���� "��" ��� "�� � �+ � ��/ + + D��� :��

�� �-; + ��-� ���/� � "��"�� + � � �� "����"�� � �������? "�� ���" ����� �� �1����� ���� ��1�� "�� ������

�� ���� "�� ��" �� ��� ���� � ���� � ���� 1��"��� 5� �� ��� ��1� "�"�� �� �"� ����� "�� � �" �����/� "��� ����"� � � /���� ��� ������� �� �"�?

�-��� � � ��-���

� � "�� *���� :"�; �� "�� � ��� ���� 1��"�� �� D� "�� �"��� �"��/���? �� ���� ��� ���� � ���� � ���� 1��"�� �" � ��� :"�; � � ���- � �? "� �

�-��� � � ��-���

�/���� �� �� �� � �� ��������

���� �� ��� *� ��� :"�� "�; �� "�� � ��� ���� 1��"�� �� D� �"��� �"��/���? �� ���� ������� � ���� � ���� 1��"�� �" � ��� :"�� "�; � � ���- � �? "� �

�-��� � � ��-���

�����

"��" �� �� �� ���� �� �������� �� "� �� "��� /�(� ���� �� � ��������� �4 ��� ��1� ������ "��� �"�� /�"� � = �"� ���" �� ���� �? �"�� � � �� "�� ������

�� � ( �� �"�� � � �� "�� �� �� ���( � ���� �� "�/���� �� ���� �4 *" ����� "� 1���( "��" �"�� � � �� "�� �� �� ���( � ���� �� "� ����

/��� � ������������ �� �" �� � ���/ "��" � 1��"� ��( � /�""� �� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"�� 1��"��� 5������ "�� "��" � �� ���� "��" -� �� � �� �� ���� �"�� �� "�� �"��

Page 204: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� # ������ ������������

1��"�� � �"�� � � �� "�� � � "��" � � �� �� ���� �� ������� �� "��� "� ����� � ����������� "��" �� "�� 1��"��? -� � "� ���� "��" "��� �����? � �� �� ���� �� �������� ���

-� +

�����

��)�

/��� "�� )� �� 1��"�� �� �"�� � � �� "�� �" �3��� "� -� � 5� �� � �� �� ���� �� �������? �"

�����/� ��� "�� )� ���� ��� �"�� � � �� "�� � � "��" "���� 1��"��? -�� � /���� �� ��� "�

��1� "�� ����"( "��" � # �� �������?

-�� + D ��-� +

�����

��D��)�

� � "��� ���" ��� �� ���"� �� 1��"�� � ��� :"�� � � �� "���; �� "�( "� "�� ��1� �� �"��L"�� � �������? "��� ��1�� "�� ������

���� �4 5������ D) + +� ��� "��� ����"� ������? � ���� "��"

) +��

��

�-��

������ "��" -� �� "�� ���� 1��"� � "�� ��� ���� � /���� "��� ���� �� �����/���� �� ���� �4 2�� "�� �� �"��"�� ? ) � ��� :"�� � � �� "�; � �������?

) +

����

������

�� -� �

��/ ����( D "� �"� ����� "� = �

+ +

����

������

�� -���

� � �� �� + �� � � �� �������?

) +

����

��-�

� � "��� ��1�� "�� ������*" ���� � "� 1���( "��" ��� :"�� � � �� "�; + �� � 5������ ) �� ��� :"�� � � �� "�; � 5� ��

D� + � "��� ����"� � �������" � "���? � ���� "��" D�) + + �" D���) �+ +� ��� � �� :��� � � �� ��; ������ "��� ����"� � ���� �� �� �"� � ���� � "�� ���� 1��"�?D���)� ����(

D���)�D���)�D���)� � � ��)

� � "��� ���� ���" � � �� �� "�� "�� ������� � ���� �� 5� �� D���) �� � ���� 1��"�?�" �����/� ��� ����� � "��"

D���) +��

��

�-� +

����

�D���-� �

Page 205: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� �������� �� � $

�������?

D����)�

����

�-�

�+ +

� � ��?

DD����)�

����

�-�

�+ +

/���� ������� ( ����� � "��"

D����)�

����

�-�

�+

����

�-� +

����

�D���-���

� � ��

D����)�

����

�-� �

����

�-���

�+ +�

�� "� �� � "��� /�( �" �����/� "��" �� ���� � # �� "��� ����"� � 1��"�? 6� � ��� :"�� � � �� "�;���� "��"

D��� :) � 6�; + +�

* ��"�����? "�-� � � + :� � �; (�����

D :)� 6���; + +

� � �/ ��� � ����� � ���� (����� ) � ��� :"�� � � �� "�;? � �� "����"�� � �������?��� :"�� � � �� "�; + �� ��"� ��� � � �� �"�� � � �� "�� �� � ���� �� �� �

��/ �� ���� "�� ���- ��"��?

6 +�"� � � � "�

�/���

"� +�-�� � � � -���

��

����

6�� +

��� '�

���'�

���/��� '" + 0���� � � 'D"� + �� � �+ �� ��"

'� +

��� ������

����

��� �

Page 206: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� % ������ ������������

���

'�D"� +

��� ������

����

����D-�� � � � D-���

+

��� ������

����

����+ -�� � � � -�����

�/���� �3���� � �� �� ��"�� �� "�� ���

G�� : ; +

������ � � � � ���

� � �� � �

������

� � � � � � � � � �

���������" ��? �" ��� � �� ��/ "�� ���� ����� �� � � 7��� �1�(/��� ����� *" �����/�

6��D6 +

��� '�

���'�

���D�"� � � � "�

+

�����G�� : ;

G�� : ;� � �

G�� : ;

������� �������� ���� ��1�� "�� ������

��/ ��" "�� ���� "�� ���� ��"����? /� � ��1� � "�� �� ������ �� ������( � �#�#�����? �� �"�� �����?

/� + 7�0���� BD�

/��� D� �� � �"��"�( ���� "�� ���� ��"�� �� "�� ��" 0��" ��������� � ����� � ������������? "��� ����"� 6� ���� "��" 6��� D�6� �� �� "�� ��� ��1� � ����� � ����� ��/6��� 7�0����6� + 7�0���� � � �� 6��� /�6� �� �� "�� ��������

G� :7�; G� :7�;

� � �

G� :7�;

�����/��� �� � �� � � � � � �� � �

����� �� + ��� ���� ��1�� "�� �����/� � ������(�

�������� �+2�2 '����� . �� �� ��� � ������ � � ��� �� ������ � �� � � ���������� �� ���� �������� ��� �� ����� �� ��� ��� ��� �� 6 ���� ����

6��.6 +

�����G�� :�;

G�� :�;� � �

G�� :�;

������� �� � �� � � � � � �� � � ���

���� � + ��

Page 207: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ����� �������� �� � �

��� ��" "����� �� "�� � � ���" "�� ����"� �� �� "�� >��� �� � ���� ����

������� �+2�2# "� . � �� � � ��� �� ������ ������� 7�� � � �� 7� �� �� ����������� �� 7 �� � % � �� �� ��� ��� ����� �������� #��� �� ��� �� ����� ����� ��� ��� �� 6 ���� ����

6��.6 +

��� G :7�; � � �

G :7�;

��� :� ��%;

�� G :7�; �� �� �� �� ��� �� �� �� �� ������G�� :7�;

G�� :7�;� � �

G�� :7�;

����� :� ���;

�� �� � �� � � � � � �� � � �����

�� � + ���

/����4 2�� ������( � �#�#? "��� ����"� 6 ���� "��" 6��.6 �� �� "�� ���

/ �

��� /� � � � ���

� � ����

� � � /�

���/��� /� �� � ���� "�� ���� �� �� ��"�� ��1� � � �( 7� � "�� ��� ����� ���.( ������( � ���# ���� ����" ��"����? 6� ���� "��" 6��� /�6� + G :7�; /��� G :7�; ��������� � :� ���;� ��/ ��" 3 � "�� ���- ����� �� ��"�� ��1� (

3 +

��� 6� � � �

6�

��� �

*" �����/� "��" 3��6��.63 + 3��/3 � � "��� �� �� "�� ������ ���� ���� ��1�� "��"������

,��" ���" "�� � �3�� ��� �� "�� >��� �� � ���� ���C �1�����( �� (�� ��� �� "����� �� "�� ���� 1�����? (�� ��" � ��D�� " >��� �� � ���� ��� �" �" "� � ��" "��" ��"�� ��� �� "�� ���� 1����� �� "�� ����? "�� "�� >��� �� � ���� ��� �� � �3��� * ���"?�" �� "�� ���� �� � ( "/� ������ ��"�����

������� �+2�2& "� . ��� " � ��� ����� ��� ���� "� G� ��� G� � D� ��� �� �� ��. ��� " ������� ��� �� �� �� ���0� G� :7; ��� G� :7; �������� ��� G� ���G� � ������� ���� ������� �� �� � � �� �� G :7; �� �� 7 � ���� �����

/����4 2��" �"� "��" �� 7 � ���� 1����? "�� ��"���� G� :7; � � G� :7; �� �"��� ��7� � � ������ "�� "/� ��"���� . � � "? �� � ������? ��1� ����"�( "�� ���������"���"�� �3��"�� � � "�� ��7� �� � ���- �3���� "�� ������� ���"������"( �� "�� ���� L1���� �� � 7�� �� "�� �����"���"�� �3��"�� � *" �� � �( ������( "� /�( ���" "�� ��� � � ��7� �� "�� >��� ���-� ��-� � �� G� :7; � � G� :7; � ��" "�� ���� 1������� . � � " � �7�� � � �� 7�� � �� ���� "�� "/� ��3�� ��� �� ���� �� - :.� 70;

�� � ��� - :" � 70;

��� 5� �� . � � " �� ������? "���� "/� ��3�� ��� ��� ����� :,�(C; ����?

Page 208: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � ������ ������������

�� "�� ���� ���� ? �� - :G� � 70;�� ��� ����� /�"� �� - :G� � 70;

�� � ��/ ���- 7� � ���� 1���� � � �� ���� �� - :G� � 7�0;

�� � � �� - :G� � 7�0;�� � ���

G� � 7�0 +

��������

G� :7� � 7�; � � �

G� : ;� � �

G� :7� � 7�;

��������� � � ������ ������ ����� �� G� � 7�0� 6��

G� : ; +

�����G�� : ;

G�� : ;� � �

G�� : ;

������ �

G� : ; +

�����G�� : ;

G�� : ;� � �

G�� : ;

������ � �" ����� "� 1���( "��" � + � �� ��� �� �� �"�� ��1�?

�� +

��� ��/ ��� "��

��1� �������?

� - :G� � 7�0;�

+����

� B � - :G� : ;�;

+����

� B � - :G� : ;�;

+ � - :G� � 7�0;��

/���� ���/� � - :G� : ;�; + � - :G� : ;

�; �� ��� �� 6�/�1�?

G� : ;�

+

�����G�� : ;

G�� : ;�

� � �

G�� : ;�

�����/�"� � ������ ������ ����� � �� G� : ;

�� � � - :G� : ;

�; +

���� � - :G�� : ;

�; � ���L

��� �� � - :G� : ;�; � * ��� � ��� � "� �B ��

� - :G�� : ;�;� � + � -

G�� : ;

����

� "��� � + � �" /���� "��� "��� �� � ��"�� ��� ��� �������? � + � �� �� �"��/���?"��� /���� ����" � ������� �( ���" �/�( � ��� � ��� � + � "� � + �� ��/ ������� "����3�� �� ��� �� �" �3��� "� "�� ��3�� ��? ���� ��� ���� �+ ���� �� ���� � � ���"�1�� "��� "�-� "� � � ����� �� �������� 5�( ���� � ����� ��� ? ��""� � � + �����

����

� - :G�� : ;�; +

����

� - :G�� : ;�;

� � � ��� � "� �B� � ������� �( ���" ���� ������ "�� ��� � "�� ���" /��� �� "��"����� "� "�� ������� � � - "�� "�� ��� � "�� ���"� ���� ��1�� "�� "������

Page 209: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��"�# ����� ��� ��$�����

%��������

���� ������ 0�-�4 0� ����

��� "����� "��" � ( ��"�� �� ������ "� � �������"� ���- ����� �� ��"�� �� "�� ������ "�� ���� �� ����" "������ �� ��"�� -� �� �� ��"���� ������ 4�-�1 ��"�����

'�3������ ��2�2� -� � � ��� �� . + :��; � �� � )� 0�� ��� �� �� �� � �� � �� ���� �

�� + ��

- )� 0�� ��� �� �� ��� ��� �� ��� ��� �� . ��� � �� �� �� ���� �������� -���� - � �� � �� � ����� ���� �� .- + -�

%���� ��2�2� '����� . + :��; �� � )� 0�� ��� �� �� ����� �� � �� � �� �� ��� ��C �� �� ������ �� .� ��� �C� # � � C + �� /� �������� �� ���� �� .- + - �� � ���% ����� - � �� � ��� !�! � �� � �� � �� �� ��������� �� - ��� �� ��� �����

/����4 ��"�

� ��!� + C! /��� - � :!�� � � �� !�;� �+ +� ��� ��

��!�C! + �C�� �!��

� � ��

�C�� �!�� +��

���� :!�C!; ��

�� �!� � �C� �!� :����;

��

�C� �!� ��

�� �!� � � :����;

5���� � � ��

�C��

�!� �

��

�� �!� � +��

�� �!� � +��

�!� � � :����;

�������? �C� ��

� &

Page 210: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ���� ������ ��� ������� ��������

*� �C� + �� "�� ��� :����;?

�!� ��

�� �!� �

� � �� � �3����"( ����� �� � ( �� "�� (�� ����� ��� � � � � �"�� �

�!� #�

��

�� �!� � +��

�� �!� � +��

�!� � �

� �� "����"�� � �������?

�!�� +��

���� :!�C!; +��

�� �!� � �!�

�3����"( ���" ���� � :����; �� ���� � � � �� �� �� �� � � !�C! ���" � ��� � � � ��L

�"�1� �� ��� �� * ��"�����? �� � + �� �" �����/� �!�� C � �� ���� �� 6� �� C ���" � ���� � � ���"�1�� ���� C + ��

*� .- + - �� � 7�� - � �� ?

! +��

��!�

� � ��

�!�� +��

��!�! +��

��!�!

��

�� �!� � �!� �

!�1��� � ( �!� � � ����� � � �� (������

�!� �

��

�� �!� � +��

�!� �

/���� ���/� �� �� �� � "��" �� ��� ��

!�! + �!� � �!�� � �� !�! ���" � ��� � � � ���"�1� ���/� � "�� ��� �� ! �� �� �"� "� ���� ��1��"�� ������

%���� ��2�2� /� . �� ��� )� 0�� ��� �� �� ����� - � �� � �+� ���� .- + -� -�� �� . �� � )� 0�� ��� �� �� ����� �� � �� � �� �� ���

;� � �� K :.� 0;�� + + �� ��� �� �

��� �� �������� �� ;� + ��

/����4 ��" � +:�� � � �� �;� � "�� 1��"� � /���� "��� �� � � � �� �1�( � "(� ��� �� �� . �� � 4�-�1 ��"��?

��. + �� �

�������? .�� + � ���/� � "��" � �� � ���� 1���� �� .� � *" �����/� � ���" ���� � � ���� 1���� �� . �� �� . � � .� ��1� "�� ���� �����"���"�� �3��"�� ��� "� "�� ���" "��

Page 211: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ��� ���� ������� ���

��"��� � " �� � ��"�� �3���� "�� ��"��� � " �� �"� "� ������ 5� �� . �� � ��� ��"��?�" �����/� "��� ����"� - � �� � �+� ���� "��" :.� 0;- + +� .( ����� ������? ! ��� "������ ��� �� ��� �� ,�"���" ���� �� �� ����"( ������

� ! + � � � �� ! � �� ��� ��

��/ ������� . �� � 4�-�1 ��"�� � /���� �� � �� ��� �� � � � ������� ) � � � ��+���"��=�� .) + )� ��� ���� �� �+ � � �3����"( ����� � :����;� �������?

���� � �� � �

��� ��""� � � � :��� � � �� ��;� �.� + .)�� + )�� + ��

��/ ��= � � ������ ��

��� ��

��������

�+ �� ����?

.

��

������� -

+

������� -

� � ��? �� �� ��� ���� 1��"�� �� 7 + � ��1� ��� � "��� "�� ���� ��� ? � ��

��������

� !

+ �� � + �

�" �����/� "��" �� ��� ��

�������

+ !

� � �� ������� +

�-�

������ + - ���/� � "��"

) +��������

-�

���� ���/� "��" ��� ���� 1��"�� �� "�� ���� 1���� � �� ���"����� �� "�� �� ��� ���� 1��"�?-? ������� ��1��

��/ ������� "��"

:.� 0;) + 6

/��� 6 �� � ���� 1��"�� ��� ��� /��" /�� 0��" ���/ ? 6 + �- /��� !� � �� ��� ��� �

�� !� + �� *" �����/� "��" �

���� � � + � + �!�

��� ����� � � �� ��

�� ��

� + + ��

!�

.�"�

! + �� �������? � + � � �� 6 �� �" � ���� 1��"�� �������? �� :.� 0;�) + +�

�" �����/� :.� 0;) + + � � �� � ���"?

;� + �) K :.� 0;) + +�� � "��� /�� 0��" ���/ "� � � � ���� ��� ��� ���� ��1�� "�� ������

��� �����/� � ����� �� �� ���� "�� "� /��" �����/��

Page 212: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ���� ������ ��� ������� ��������

%���� ��2�2 "� . � � )� 0�� ��� �� �� ����� �� � �� � �� �� ��� �� ������ ����� �� � � ���� ���� ���� ���� �� ���� ����� �� ��� �� �� . �� �� ��� � ������ ���0 ������� ��� ��

/ +

������� � � �

/����

���� � �

� � � /�

�������� /� �� �� ��� � ������ ��� �� �� �� �� �

/� +

��� C� � � � ����

� � ����

� � � C�

����� �C�� # ��

/����4 ���� �����/� ��� ����� ������ � � ������( � �#�#� ��� ����"�� ���" �C�������/� ��� ����� �������

%���� ��2�2# "� . � ��� )� 0�� ��� �� ��� � - � � ���� ������ � ��� ������������ ������ ��� ������

� ! + �� ��� �� ) + .-� �� ����� � � �� � � ����

� + ��

/����4 2�� "�� ��= �"�� �� )?

� ���

��!� � �

���� �

� +�

��

��!� +��

��!� +��

!� + ��

��� �����/� � "�����? � ������� ���� �� "�� '�� 2�� ��� "����� �� �/ ���1���

������� ��2�2& '����� . �� � )� 0�� ��� �� �� ����� �� � �� � �� � ��� ������) �� � ���� � ��� �� ��� ��

������

�.�)

�+ !

�� .- + -� /� �� �� .�) ����� ���� �� �� � ����� ����� /� �������� �� ���� ���� ���� ) ������� � � �� � � ���

� � + �� ��� �� ���� - �� ��� �������

�� ���������� ! � �

! + ��

/����4 ���� ����"� � ��"��? 6 ���� "��"

. + 6��/6

/��� / �� ��= �� ��1�� �������?

.� + 6��/ �6

Page 213: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��� ��� ���� ������� ���

.( ����� � �#�$? "�� ����� � "� �� "�� ��"��? .� �� 1��� "� "�� ����� � "� �� "����"��

6���6

/��� � �� � � � ��"�� �� "�� ���

� +

������� � � �

���

���� � �

� � �

������ �

� ��"�� /�"� � � � � "�� ���� ���" �� � � � 7��� ����/���� *" �����/� "��" "��� ����"�� 1��"� - � �� ���� "��"

������

�.�)

�+ !�

� �

! + ������

�..�)

�+ ���

���

��

���.�)

��+

��

��!� + :.-;

5� �� � �� ��"�(? "��� ������� .- + - �� ����������/ �� � � � �

� � + �� "�� ( ����� �����$?

�.�)

�� � ��

�.�)

�+ ��

�������? - ���� ��"��=�� "���� �� ��"�� �� ���� ��1�� "�� "��������� �����/� � ������( �� "�� �� ���� "�� ����" �� "��� ���"�� � ���� ������( �� �

������ �� ��3�� �� �� "�� �����/� � � "���"� � ������

'�3������ ��2�2� "� C � �� ������ �� �� � � ��� �� .� �� �� ��%� �������#���

; � �� K :.� C0;�� + + �� ��� � � ��

%���� ��2�2( "� . � �� � � ��� �� ������ �������� ������� �C�� � � �� C�� � �������� ; ���� �� �� ��%� ������� �� �������� �� C�

; � ;�

��

;� �

�� K

�.� � C� 0

��� + + �� ��� � � �

�/����4 ��" � � ; �� "��" :.� C0;

�� + + �� ���� ����"�1� � "���? �� ��� ���"�L

��(� � �"� ����� ( �.��� B C. � � �BC��� .B C��� 0

���

�" �����/��.� � C� 0

��� + + ���/� � "��" � � ;�

�� ��������

�������� ��2�2� '����� . �� � ��� )� 0�� ��� ��� ��� �� ���������� �� ��� �&&�&�E �����

Page 214: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ���� ������ ��� ������� ��������

/����4 * "�� ���� �� ������ �����% "�� � �( "�� � ����� /�� "��" . /�� ������"� � ���� "�� ����? ���- ����� �� ��"�� �� "�� ��� ������� � ����� �����#� ����������( �� ��1�� ( ���/� � "��" . �� ������ "� ���� � ��"��� 2�� "�� ������"�� "��" . �� �����? ���� ��/� �� .? ��( .� �� ������ "� � ��"�� �� "��� ���? ��1� � � � �� "�� ���� ���" ����"�� � � ��1� � "�� ����� �� ���-� �� "�� ��� ������� � ����������# /��� "�� ����� �� � "��� � "���� ���-� ��1� �����"� 1���� ���� "�� � �� ��/���1� "��" �� . � � " �� "/� 4�-�1 ��"���� ���� "��" "�� � "��� �� . �� ��� ����"�1�?"�� ." �� ���� � 4�-�1 ��"�� ��1� � ��� ����"�1� � "���� ���� .��� �� � 4�-�1 ��"����1� � ��� ����"�1� � "��� �� �1�( � � �� �������? ���� �� "���� 4�-�1 ��"���� ���� �� � ���� 1���� � � "�� �� ����7�� ���� ����� �������"�� /�"� � �� �� ���� ��� �� .(����� ������? � �� � ���� 1���� �� .� .( ����� ������ � � ����� ������? "�� �� ����7������ ����� �� � �� �� ���� ��� �� *� C �� � ���� 1���� �� .� "�� �" �� ���� "��" C��� ��� ���� 1���� �� .��� � � �� �� "���� �� ��� 4�-�1 ��"���� ��1� � ��� ����"�1� � "���?����� ������ ������� "��" �� ��� � � �? ��"�� C��� + � �

��C����� # �� �������? �� �� �

�� ��"�(? �" �����/� "��" ��"�� C + � � � "�� ���� "��"��C����� # �� �C� # �� �������?

. �� ������ "� � ���� "�� ���� ��"�� ������� � ����� �����# � � "��� ��1�� "��������(�

���� 0��� ��� 0� ����

'�3������ ��2�2� "� � �������� � ����� �� �� ���� � �� �� � � �� �� -�� ������ �� ���� ��� ���� ��� �� �� ����� �� � ��� ���� �� ������ �� ������� � ����� ��� ��������� �� -�� ������ �� �� ����� � ��� ��� � �� ������� ��� � ��������� ���� ������������� #�� �

� �� + �� ���� :��; �� � )� 0�� ��� �� � � �� �� � ��� �����

��� ���

*� - +:�� � � �� �;� /��� �� "�� ������"�� �� ����"�� � �" � ��1� � �"� "? (�� �"�� "�� ������"�� �� ����"�� � � � (�� ��"� ( �����"� �

�� ��� + :.-; � �������? "��

������"�� �� ����"�� � ��"� � (��� ���.�-

�� 2�"�����? ������( �����& �� � ����

"� �����" � "�� ���� /��� . �� ����� /��" "�� �� � "��� ������"�� /��� � �� "�� ��1� ����"�� ��

�� � ������� �� "�� ��1�? �� ���� "�� ���� /��� � + � � � "�� ����"�� ��"�� ���� "�� ��� �� �% ��

�� �� �� �� �&

�� �

��/ �� �% ���� �� �� �� �&

���

+

�� � �� � � � �$� �� � %# � �� �# � �# � ��

��� � �� "�� 4�-�1 ��"�� �� ������ �������?

�.�-

�/��� �� 1��� "� "�� ��� ����� � "

�� � �"���( �"�"�� *" �����/� "�� �"���( �"�"� �� � �"�� �� ��� ���1� � "�� �(�"��

� %B � �� + � �B � � +

� �B � � B � &� + �

Page 215: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ���� ������ ��$

��� � /�"� "�� �"�����"�� "��" "�� ��� �� � � � � � ���" �3��� "�� �� �"� " 1���� ���� "�" "�� ��� � � �� "�� ������� ��� ����"�� "� "��� �(�"�� ��

� + � � + #� + � �

*� "�� "�"�� ������"�� �" "�� ��� � � �� � ? ? "�� (�� ���1� "�� �����/� � �(�"��

+ � + #

B B � + �$

/���� ����"�� �� �����( ��� "� � � + �$ � � + � � + �$ � � ����? ��"� � �� �"��� "��� /���� � ���" ��� "���� �� �� ( ������ � "�� "��� ����"�� �� � ��"�� ��"�� �"�� "/��

���� 0�-�4 ������

� � ��� 1����� �� 0��" � �� �"�� /���� �� ��1� ��"�� 1����� /���� ��1� ������"����������"�� /�"� "���� ���� �" ��-�� �� �� "� �� ���� "�� ������"( "�� � ��� 1�������� � ��"�� 1���� � �� � ���� ��"� ��� ���� �� � 4�-�1 ���� �� � ��3�� �� �� � ���1������? �;�� /���� �� � � � ( �� � ������"�� �� �"�"�� /���� �� � ������ /�"� � ���"�1� � "����� ���� (�� �� ����- �� "�� ������"( "�� � ��� 1�����? ;� �� � �"�"� �� ��� ������"( "��" ;��� �� � �"�"� � ��1� "��" ;� �� � �"�"� � �� ������ � � � �"��"� ��"�� ������"(� ,�� "��� ������"( ���� �" ���� � � � �" �� ������ �"�"�� �(� � "��� �� "�� ���� �� � "���" ���� 5� �� "��� ������"( ���� �" ���� � � � �" �� ��� �"�� ( �� � 6�� �� � ������ ������� ������ � � ��� /��-�

���� �� ��2�2� "� �� � � ������ � ��� ������ � � ���� �� �������� ������ ������ � �� �� ����� �� ����� � '����� ;� �� � �#��� �� ����� �� ���� �������� ���� ��� �� � � �� �� �� ;� + � �������� �� � ���� ��� � ��� �� �� ��� ������ "��� � �� � �������� ���� ;��� ��� �� ��� � ���� ���� ;� ��� �� ��� �� '��� ;���

���� ��� ��� ��� �� ���� � �� ��� �����

� �� + �� 2�� ���� ���� �� ��� �� � �� #��� & ��� �� �� ��������� �� � ��� ��3 �� ���� �� ���� �� ����� �� ��� ����� � ������

�� � �������? ��" �� �� �� � � ��� ��� "� "�-� � ��� � � � � ������� �� � � �� ���� �� ���� ��� � "��" ��� + �� ��� � �+ # � � ��� + �� ��� � �+ ���"��/���? (�� �� ��1� ��"�� "� "�� ���" � "� "�� ���" /�"� ������"( �

� � ��� 4�-�1��"�� �������"�� /�"� "��� ��"��"�� ������

� �$ �$ �$ �$ �

���� �

'�3������ ��2�2� "� �� �������� � � �������� � ��������� �� � ���� ����� �� ������ ��� �� ������ �� �� ��� ���� �� � �� ��� �� ��� �� �� � �������� � ������������ �#��� �� ����� �� ���� �� ����� ��� �� � �� � �������� � ��������� �� ���� )� 0�� ������ �� ��� �� �� � �������� � ��������� �� ��� � '��������� ��� ���

��� ��" ������"�� �� �� ���� "�� � � ���/� "�� ��� �=�� �� �� "�� ��/�� �� "����"�� �� "� ��"�� ������"����

Page 216: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ���� ������ ��� ������� ��������

/�� ������� ��2�2� "� ��� ���� �� � �������� ���� ;� �� �� ���� � ���� ���� ;� ���

�� ���� �� ��� ��� �� �� ���� �� � �� �� ��� �� 8� �� 8 + :��; �

/����4 ���� �� �����( "�� �� � + � � � �����/� ��� "�� ��= �"�� �� "�� �� � 5������"�� �� �� ��� "�� ������"( "��" ;��� �� �" � ��1� "��" ;� /�� �" � �3����

�� �

�����

������ ;� ���" ��1� ���� 1����? �? � � �� "��� ����� "� ��� ������� /�(� "� �� ��� �"� �� E�� �� �� ��� � "� � � � �"��� /�"� ������"( �� � � "�� ��� � "� � � � � �"��/�"� ������"( ��� � � �� "�� ������"( �� "��� �� ������ �" (�� �� ���� �� ��� � "� �� � "�� ��� � "� � � � ��� � "� � � � "�� ��� � "� � �"�� ���� "�� ��� �� "���� ��0��" /��" �� ��1� � � ����� "� "�� ������"( �� ;��� ��1� � "�� 1���� � ��1� ;� ���"�� 1���� ��

* "�� ��1� � ��� /��- �������? ��"� "�-� � ��/� �� "�� "� ��"�� ������"( ��"��"� ��"��� � /��" ����� �� ��� �� � �D "� "/� ������� ������?����

� �$ �$ �$ �$ �

������

+

����� � %� &� $ � � � ��� �� &� $ � � � %� �

���� �

���� ��� �� ���" ��� /���� ��� �� ���" �J� � � "��� ��-� ��� �� 1�( ������ E�� ��� "�������� "� � �� 1��� � "� "�� ��"��?����

� �� �

��� �

� �

���� �

��"� �� ( �"��"�� � �� "�� ������? �� (�� �"�" �" � (�� /��� � � �� �" � /�"� ������"(��� � � �" # /�"� ������"( ���� ���� ��-�� ���� � "��"�1� �� �� ������ �" �� "/��� �� ����� � "� # �� �" �� ��� � "� ��

,��" "������ �� � ��1�� ���" ����"� �� ��/�� �� ���� ��"����C ������ "�������/� � ��= �"�� �� "����

'�3������ ��2�2 "� . � �� � � ��� ��� ���

-� :.; � �� K .� + +� �/� 7 �� �� ������ �� ������� ��������� ���� 7 �� ���� �� -� :.� 70; ��� ���� ��%� ������� �� ���� ��

�� K :.� 70;�� + + �� ��� � � �� �

*" �� ���� "��" -� :.; �� � ������� �� �� �� ��� � /��� ��= �� ���� ��� � � ���� �" ��� ������� �� "�� �� ����7�� ���� ����� �� 7�

%���� ��2�2# '����� . �� �� � � ��� �� ��� �� ����� �� ��� ��� ��� �� 6���� ���� 6��.6 + /� ��� �� �� ���� � ��� � �������� ������� � �� . ���������� ���� �� ������ 7� �� ����� �� ���� � ��� � �������� ������� � �� / ��������� ���� �� ������ 7�

/����4 5������ "�� � ���� �� " ��" �� ���� 1��"�� �� . �� �-�� � � ��-�� � ��� �� L����

�6��-�� � � �� 6��-�

��

.-� + 6/6��-� + 7-�

Page 217: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ���� ������ ���

� � ��

/6��-� + 76��-��

�������?�6��-�� � � �� 6��-�

��� � ��" �� ���� 1��"��� 5������

�����

��6��-� + +�

���

6���

�����

��-�

�+ +

� � �� �� 6�� �� � � "� � �? �" �����/���

��� ��-� + + /���� �3���� ���� �� + ��� "�"�� �� �� � ���� �� �� �� "�� -��

%���� ��2�2& '����� 7 �� �� ������ �� �� � � ��� ��� ��� �� �������� �� ���� ��%� ������� �� 7 #��� �� ��� ��� ���������� �� 7� �� � ��� �� �� ��� ��� ������ #������� /� �� ��� ��� ���������� �� �� ������ �� � ��� �� �� ��� ��� �����#������ #��� �� �������� �� �� ������� ��� �� ������� #��� �� �� ��%���������

/����4 .( ������( � �#�# � '��� ��# "��� ����"� � � 1�"��� ��"��? 6 ���� "��"

6��.6 + / +

������/� � � �

� � �

������ /��� � � � /�

������/��� "�� � �( ���� 1���� �� /� �� 7� � � "�� ���� ��� �� "�� �� ����7�� ���� ����� ��7� �3���� �� /��� /� �� � �� �� ��"��� 6�/�1�? "�� ������� ���"������"( �� 7��� ���� �3��� "� �� ������ �"� / � � . ��1� "�� ���� �����"���"�� �3��"�� � � "�������"���"�� �3��"�� �� / �� �� "�� ���

*��� :7� 7�;

�� � ���� ��1�� "�� =�" ��" ��"�� ������ ��� ���� � �����/� �������"��( ������ "�� ���� ����� �� � ������� �� "���� ����7�� ���� ����� � � �� �� "��( ��1� "�� ���� ���� ��� ? "��( ���" � �3�����

������� ��2�2� '����� �� � 7 �� ������ �� . ��� �7� # � � 7 + � ��� ���� ���������� �� �� ������� �� 7 + � #��� �� ��� ��� ���������� �� � �� �� �������� .� ��� ������ .� ������� /� �� � ������� 7� �� �� �� ��� ���� �7� # �� ��������� .� + �

/����4 2�� ������( � �#�# � '��� ��# "��� ����"� � � 1�"��� ��"��? 6 ���� "��"

6��.6 + / +

������/� � � �

� � �

������ /��� � � � /�

������ :���#;

�6�� ���� ��� �� ������#��� ��� � � ���� ��� �� ��������7�� ������#��� ������ �� ��" ��� �����

������� � ����� ���� �� ��������7�� ������#��� ����� �� �� �� �� ������#��� ��� �� �������� ��� �����

� �������� ����#�����" ������� �� ��������� �� �� ��������7�� ������#��� �� ������ ��� �� ���������

�� �� ������#��� ������� � �� �������� �� �� �� ���� �� ���� �����������(�� �������� �� ��� ������ ���� �� ���� /�� ������ �� � #���� �� ���������

Page 218: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ���� ������ ��� ������� ��������

/��� /� ��� � �( � � "�� ��� ����� �� � � "�� ��"����? /�� ��1� � �( 7� � "�� ��� ����� �� /��� �7�� # �� ��""� � �� �� �"� "�� ��7� �� /�� �" �����/� "�� ���"������"( �� � ��� ���� 1���� �3���� �� � � �" �� ������� "�� ���� ��� �� -� :.� 0; �3���� ��� 2�� "��������"�� ? "��� ����" �� �� ���( � ���� �� " ���� 1��"�� �� . ������ �� � "� 7 + ���������? "��� ����" �� �� ���( � ���� �� " ���� 1��"�� �� / ������ �� � "� 7 + ��*� - �� � � �� "���� ���� 1��"��? "��

- +

��������������

�����/��� "�� �� �� �� ������ /�"� "�� ��"���� /�� �������?

/- +

�������7������

7���

����� + �

��������������

������ � �� - ���" ��"����( � �� "�� ���

- +

�������+���+

����� �

*" �����/� "��� ����"� � ���� �� ���� 1��"�� �� "�� ��"�� /� � ��� � ���� � � ������ �!�= � "�� �� �� ��"��? 3 (

3 +��� � � � ���

�/��� "�� �� �� "�� ����� � �� "��� ��"��� ���

3��/�3 + 3�� � /��� � � � /����

�+ 3�� � �� � � � ���

�+ 3��3 + 0�

��/ ��" 8 �� �"� "�� ���- ��"�� ��1� ��

8 +

������3 � � �

� � �

� � ����

���� � � 0

� � � 0

�������� "��"

8�� +

������3�� � � �

� � �

� � ����

���� � � 0

� � � 0

������

Page 219: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ���� ������ ��&

� � ��" 6 �� �"� "�� � � ��"�� ���� "��" 6��.6 + /� ��� 8��6��.68 ���" � ��"�� ���

8��6��.68 + :68 ;��.68 +

2 +

������0 � � �

� � �

� � ����

���� � � /���

� � � /�

������ �

�������?

.� +682 :68 ;

����

+ 682� :68 ;��

� � ( ����� � �#�$ � '��� ��% "�� � "��� �� "�� ��"��?

2� +

������0 � � �

� � �

������ /�

��� � � � /�

�������� 1��� "� "�� � "��� �� "�� ��"��?

� �

������0 � � �

� � �

� � ����

���� � �

� � �

������� � �� "�� � "��� �� "�� ��"��? .� �� 1��� "� "�� � "��� �� "�� ��"��

68� :68 ;��

��� ���" ����� ���� �����/� �� �� � "��� ����? "�� ��"����? /� � :���#; ��� ��1� ����� ��� "��� /���� �����"� 1����� �� ���� "�� �� ���� ��1�� "�� "������

�������� ��2�2( "� . � �� � � ��� �� ���� �� � �� �� ���� ���� 7 �� �� ������� �� .� ��� �7� # � � 7 + � ��� �� �������� �� �� ������� �� 7 + � #����� ��� ��� ���������� �� � �� �� ������ �� .� '����� ��� ���� � ����� �� ��������� �� 7 + � �� 5� + ���� � � ����� ��� � ����� �� �� �� ��%� ������� �� 7����� �7� � # � �� 5� �� � + �� � � �� �� ��� ����� � � ��� ���� ���� �� ����� ����� - � ���� :5�� � � �� 5�; ��� ���� � � ���� ����

� +

����

�� B - :���$;

���

������

.�� + � :���%;

��

� +����

��� :����;

Page 220: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ���� ������ ��� ������� ��������

/����4 ��� =�" ����� �����/� ��� ������( � �#�� � '��� ���� .( ������ ������?"�� ����" � :���%; ����"� � � ��""� � � � "��� ����"? �" �����/�

� + ������

.���� + . ������

.�� + .��

�������? "��� ����" �� �"� "�? �� ���� "��"

� +

����

����

�� "���� �� �"� "� "�� ���� �� "�� �C ���� /��� � "�� �� .�- � +� .�" . ��� � �(���� 1����� /���� ��1� �����"� 1���� ���� "�� � � ��� :5�� � � �� 5�; � � �� "�� ������ "�� �� � ��"�� �� . ���"�1� "� "�� ���� �5�� � � �� 5�� � �������? "�� ������ ����"�����/� ��� ������ �������

���� �� ��2�2� /� �� ���� @� ��� � ��� � ���� ���� � ��� ���� ����� ���� ������ ���� � ��� ���� � �� ��� @� ���� � ��� � �� ��� ���� - ���� � ������ ���� �� �� ������ "� ;� ���� �� ������ �� ���� �� ���� ���� 5��� ��� ����� �� ���� � ���� ���� � �������� � � : � �; � ��� ���� � �������� :�� �; � %� /���� � ���� ��� ���� ��� ��� �� ;� B� ��� �� � ��� ��� ���� �� ��� �� ;� � ��

��� "� ��"�� ������"( ��"��? 8� ������ � "��� ��"��"�� �� �� �����/����������������

� � � � % � � � �

% � � � � ���

% � � �

��� ���

��� � � �

� � � �

��� % �

��������������:����;

6�� "�� ��"�� �� B� B� ������ "�� ������� 1����� �� ;� �� ��� � "���� ��� ��"� � ��� � � "�� ���� ���" �� � ������ �� "� "�� ������8� �� � *" � 1��1�� ;� + �� �� ��� � �� �( ���"� � �� "��� �"�"� ��� �� ������? �" �� �" ������� "� �1� ���1��"? �1� �� (�� �� ��1� � ���" ����"�1� �""�"���� ���� �� � ����"�� ( "�� �/ �� 7��� "� "�����" �� "��� � "( "�� ��� �� /���� ��1�� "�� ������"( �� ��� � ��� �"�"� � ������ �� �"� � �� �( "� �"�"� ���

* "��� ���� � �� � ����"�� ��" �� "�� �����"���"�� �3��"�� �� ���"������"( � � � ���"�� �"�� ���� 1����� ��1� �����"� 1���� ���� "�� �� �� ��� "��" "��� �� "�� ����? �"� "�������"���"�� ���( ����� �� �� "�� ���

:�� 7;���"

���������

�7 � � � � % �7 � � � �

% �7 � � ����

��� � � �

� � � �

��� % �7

����������5� ��� ���� ���� �� ��� ��� ������ (��� �� ��� �� ���� ������� �� ��� �� ��� ������ �� ��� ��� �

�� ���� �� �� ��

Page 221: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ���� ������ ���

� � "�� ���"� ��"� :�� 7;���� � �( 7��� /���� �� � �����"� 1���� ���� "�� �� :5��

'���� # � '��� ����; *" �� ���� �1���� "��" �"�

�� +

��� ����

��� � � � �� +

��� ����

����� ���� 1��"�� /���� ������ � "� 7 + � � � �� "�� ���� ��� �� "�� ���� ����� �3����"�� ���"������"( �� "�� ���� 1����� �������? ��� ������ ������ ������ ��� ����"� ���1�( �� �� ��� ���� �� ������ ���� �� ��"������( � "���"� � ������ �" ��1�� "�� ������"("��"? �"�"� � /�"� � ���� " �� "�� ����� �� �1� "����( �� ��� 2�� '�����"�� ������� � :����;?

���� + %���������� B ����������� �� � � G�� H �

���� + �� � � �������� + �

�� �������( "�� �"�"�� ? ��= � 8� � ������ ���� �� "�� ������"( �� �� ��1� "�� � �"�����"� � �� "�� ����� �3���� �� ��� "�� ��1� ������=�� "�

8� + %8��� B �8��� �� � � G�� H � :���&;

8� + �� � � 8��� + �

��/? - �/� � "��" 8� ����"�? �" �� �" "�� ��� "� = � �" ��� :���&;� ���� �3��"�� �������� � ��D�� �� �3��"�� � � "��� �� � �"� ��� ������� �� = �� � ����"�� � �� "�����E�� "( � ����"�� �� "�� ��� 8� + � � � "�� "( "� = � ���� "��" "�� �� /�- ��"��������? ���"�"�"� "��� � "� "�� =�" �3��"�� �� :���&; � � �"��

� + %��� B �����

�������?

�� � B % +

� � �� � ���� � �+ %� (�� �� ��� "�� ���" "��" �B % + � "� �"��

+�

��

� B

�:�� #�%;

��

��

��

�:�� #�%;

�+

��

� B

�:�� #� :�� �;;

��

��

��

�:�� #� :�� �;;

�+ � �

%

��

��/ �" �����/� "��" �"� 8� + � � � 8� +��

����"���( "�� =�" �3��"�� �� :���&;� �������?

� ("�� � �� "�� ���

�B

�%

:���� ;

/��� ��"���( "��� �3��"�� � ��/ = � �� ���� "��" "��� ���� ��"��=�� "�� ���� � �3��"�� ��:���&;� ���� �" �� �3���� "��"

�B

�%

+ �� �B

�%

���

+

Page 222: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ���� ������ ��� ������� ��������

� � ��

+�

���

�����B %

� � + � �

���

�����B %

�%

���

5��"�"�"� � "��� � "� :���� ; � � �������(� � (����� "�� �����/� � � "�� ���� "��" � �+ %�

8� +%���������� � %�

�� � %�� :�����;

���" �� ���� "�� ���� /��� � + % + ���� * "��� ����? (�� �� ��� "��" � ����"�� "�:���&; ��

8� + B �� �

� :�����;

���� ���" ���� �� ��""( � "���"� � ������ �" ���/�? �� ������� "��" �� "�� ������"�"� /�"� � ��"� � �� � �� "��" �� �"�"� �" �"�"� � + �� "�� ��� ������"( �� ���� � ����� ���

� /���� ����" � 3��"� ���� ���������( �� "�� �"�� ���(� ��� � ��" �� �� �( "� ��� /�"�� �� "�� ����� �"�"� /�"� ��� � � ��� �� �(? ��� ������"( �� ���� � �1�("�� ����� ��������

5�� "�� ��- ( M��� � � ��(�� �� ��� � "��� ��" �� "�� � G�H�

���! ��������

�� 5������ " � � :;�;; /��� ; �� � = �"� ���� ��� �� 1��"� ����� � � "� + ������ � � ����"�1� � "���� ��""� � ! � ;� �� ���� "�� �"� � �� 1��"��? !�"!�"�!� � ��� "�!� 5��/ "��� �"� � �� 1��"�� �� � �� ���( � ���� �� " ��" �� � � � �( �� "�! �+ �

�� 5������ "�� ����"�� ��"�� �� "��� ����"�� � ���� �$ ���� �� �� �� ��

�� �

2� � � �������� �� "�� ������"�� � � "�� "��� ����"�� � ��"� � �� � "����

�� 2� � ( � � ��"��? /�( �� "�� ���� ��� �� "�� ���� ����� ��/�(� ���� "�� � �3���"� "�� ������� ���"������"( �� "�� ���� 1���� �� � ��" �� "�� �����"���"�� �3��"�� C5���4 5�� "�� ���� �� ������ ������� ��"� "�� ������� ���"������"( �� "�� ��7� ��"�� �������"� ���- � "�� ��"��? / � � "��" "�� ���� 1��"�� �� / ���" ��1� ���"�� ������ ��� �� � "�� ���� �� "��" "������

#� �� ���� "�� �����/� � � � ��"�� � /���� �B % + � � � �"� � � � % �� ����"�1� ����� ���������

� � � � % � � � �

% � � �

������

� � �� � � �

��� %

���������

Page 223: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� ���

5��/ �� � +:�� � � �� �; �� � ���� 1��"�? "�� "�� �� �� �" � �� �"� "� I�� � "������/ "��" �� C �� � ���� 1����? �" ���" � "�� ���� "��" �C� # �� 5���4 �� 1���( "��=�" ��" �� "���? ��� <������� 8� "����� "� ���1� "��" �� 7 �� � ���� 1����? �7� �� �� 1���( "��� ���" ��"? "��� ���" ����" � ���� "��" �� + ��� ��� � K � + �� � � ����� � ��"�� ���� # �� � ���� # �� � ��� �� ���� /��" �" ��� � "� ��( "��".� + C��

Page 224: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ���� ������ ��� ������� ��������

Page 225: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� %������ �����

��� ����� ������� �� � � � �����" ����� �� � � � �� /�"� "�� ��" �����"� 6�/�1�?"��� �� �� ( �"�� � � �����" ������ � � "�� "���� �� �� ���� ����"� �� "��" �" ������������"� "� ������� "�� �� ��� "���( �� "���� �������

'�3������ ��2+2� - ���� ���� ; �� ���� �� � � �� �� ��� ���� �� �� ����� ��������� ����� �� ��� ! ; � G ��; ����� ������� �� ������� �������

&� �� � �� � � ;� ��� �� + �� ��� ��� �� + �

(� ��� + ��� �� �� � � � ��*� �B � ��B �� ���� �"�"�� ���� �� ���� ��"� ����� ��" ��� ��� �� ���"�� �3���� ���� �� �� (

�����"�� ����"��� /���� "��( ��( � ��( �" �������� ���� �� ���� � �� ���" ������ � � � �����" /���� �� ��������� ��"� *" "� � ��" "��" "�� ��" ��� ���� ��� � � ������"�

'�3������ ��2+2� - ������� :�� �; K � � � � �� ��� �� ��� � ����� �� �� ��������� ������� �������

&� :� ; + :� ;�

(� :� ; � �� � � � ��� #��� % � �� ��� ��� �� + �

*� :�B � �; + � :� �; B :� �; ���� �� � ����"� "��" � � � � ����( :� � B �; + �:� ; B :� �;���� � �� �� ��1� (

:� ;��� � �� �

*" ���� � "� 1���( "��� ����( �� � ���

'�3������ ��2+2� - �� �� ��� ���� �� ����� �� �� � ���� � �� �� ��� � ������� $��� ��� ��� �� ��� �� ��� � ����� �����

���� �� ��2+2 "� � + � � ���� �� ��� � ����� ���� ��

:���; ���

���

���

���� �� �� ���� �� � ����� ��� � ����� ���� � ��� ���������

��$

Page 226: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ����� ��� �� ������

���� �� ��2+2# "� � + ���

:���; + � � � ���

���

�� �

���� �� �� ���� �� � � ��� � ����� �����

���� �� ��2+2& "� � � ��� ���� ��������� ���� ���� ��� � �!�� � � �� !�� � ������� �� ����

:!� !�; � � �!

� �� � + � �� � �+ �

��� ��� �� ��� � ����� ��

:� ; �����

��

��

+

����

!� +

����

!�

��� ��1� �� /��� ��= �� ������ �!�� � � �� !�� �� � ����� ���� "�� ����� � "�? �������"�� /�"� � ( ��1� � � �� � �3���( ��"��� ���

���� ������� ���/� "��� �� � ���� �� �� ����"( /�� �"��(� � = �"� ���� ��� �� 1��"������� � ������ � "�� 1��"� ����� �� ��"����( � � � �����" ������ ��� �����/� �"����� /�� ���� "�� ����� /�"� �����"�( ��D�� " �"�"�� �

������� ��2+2� �7����� '���� %� /� ��� ��� � ����� ����

�:� ;� �����

�� �� � :� ;����

/����4 ��" � � � � ��� + �? � � �:� ; + �:� ;� + ��:� �;� ��"

+ :�; + :B ��� B ��;�

*� + "��� �� �"�� � "� ��1� ������

:� ; + :� B ; + :� ; B :� ;

� � �� :� ; + � ����? "��� �� � ���� �� �� ����"( � ������ � �+ � ��� ��� "�������� �� "�� � � �����"?

+ :�; + ��� B ����:� �; B ����� � �

���� (�����

��� B ���:� ;�B ����� � �

5� �� "��� � �3����"( ����� �� ��� � � �? �" �����/� ��� "�� 3����"�� ������ "��"

#�:� ;�� � #������ �

���� (����� "�� �� ������ � � ��1�� "�� "����������� �" /�� ������� "��" "�� � � �����" ��= �� � ��� * "��� ��" ������"��

"��� ����� �� ��1���

Page 227: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���

/�� ������� ��2+2( �� �� ��� � ����� ���� �� � :� ;���

��� ������ � �� ��

/����4 ��� "�� ������ �� �1���� �����" "�� "�� ��� � �3����"(� �� 1���( "���?

�B �� � :B � B ; � ��� B ��� B ��� :� ;

��� B ��� B � �:� ;� ��� B ��� B � �� �� + :��B ��;��

��� ��" ��� �� ��� �� "���� /���� ���� ��� � � � �����" ������ �� "�� �����/� ���� "�"( /���� �� - �/ �� "�� ����������� ��� "�"(�

/�� ������� ��2+2� /� :�� :�� �;; �� �� ��� � ����� ���� ��� �� �� � :� ;���� ��������� ������� �����

�B �� B �� �� + � ��� B � ��� �

*" "� � ��" "��" "�� 1�����"( �� "��� ��� "�"( �� �3��1��� " "� "�� ����"� �� �� � � ������" /���� ��"��� �� "�� �� �� ������� ��1�� ����� ��"� �� �� �����"�� � ��"����� �� ��� ��1� ��� ������ � �� �"�� �� � ��(����

'�3������ ��2+2�+ - ����� �� �� ��� � ����� ���� �&�� � � �� &�� �� �� � ����� ������� ��

:&�� &�; + �� �!

� �� � + � �� � �+ �

��"� "��" �� � ���" �� 1��"�� ��"��=�� "�� ��1� �� ��"�� �� �� � � �"�� ���� ��"?"�� "�� ���" �� 1��"�� �� ��"���"�����( �� ���( � ���� �� "� �� ��� "���? �������

�����

��&� +

��� "�-� � "�� � � �����" �� �"� ����� /�"� &��

+

�����

�� :&� � &�; +

�����

���� + ���

%���� ��2+2�� "� ; � � ���� ��������� ��� � ����� ���� �� �������� � ��������� �� ��� � � �� �� � ��� �� ����� �� � ����� �� ����� �� ;� �&�� � � �� &�� ����� ����� � �� �� ���� �� ��� � �� ����:�� � � �� �; + ���� :&�� � � �� &�; �

/����4 ��" ��� � � �� �� � � ���� �� ;� ��" &� � �� ��� � ���� �� � + �� ��� :&�; +��� :�; � � �&�� �� � �"�� ���� ��"� ��/ ������� �� ���� � # �� &�? � � �? &� ��1��� ����� ���� "��" :&� � &�; + �� � � ��� :�� � � �� �; + ��� :&�� � � �� &�;� ��� ��= �

&��� ���� �

����� :���� &�;&������� ������ :���� &�;&�

��� � :����;

/��� "�� �� ��� �"� �� �" �3��� "� 7�� ������ "�� � ��� � ���� � � ��

��� �� ��� :�� � � �� �; + ��� :&�� � � �� &�;

Page 228: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ����� ��� �� ������

���� ( � ���"�� ?

&��� � ��� :&�� � � �� &�� ���; + ��� :�� � � �� �� ���; �

����? ��� � ��� :&�� � � �� &�� &���; /���� �� ��� �����( ( ���1� � :����; �� ��� � � �"�����/�

��� :�� � � �� � � ���; + ��� :&�� � � �� &�� &���; �

*� � ��

:&���� &�; + '

��:���� &�;���

���

:���� &�; :&� � &�;

��+ '

��:���� &�;���

���

:���� &�; ��

��+ ' ::���� &�;� :���� &�;; + �

��� 1��"��? �&������ � �� ��"�� � "��� /�( �� "������ � �"�� ���� ���� ���������� 1��"� ��� � �" �� �"��

��� ������ ( /���� "���� 1��"�� /�� �� ��"�� �� ������ "�� <�� 5�����" �������

%���� ��2+2�� '����� �&������ �� �� � ����� �� ����� �� �� ��� � ����� ���� ;���� �� � � ;�

+��

���

:� &�;&� �

/����4 .( ������"�� "��" "��� �� � �"�� ���� ����?

�����

:� &�;

� �� �:&� � &�; + :� &�; �

��""� � +��

��� :� &�; &�� �" �����/�

:� � &�; + :� &�;���

���

:� &�; :&�� &�;

+ :� &�;� :� &�; +

�� ��� �� 6� ��? �� � ( ������ �� ������? ��? � � �? ������ �

�����

��&�

�� +

� � �� :� � �; + �� ��� � � ;� ���� "��� ����� � ��"����� �� � + � � �������? + � � "��� ��1�� "�� "������

��� �����/� � "����� �� �� �� ���� "�� ����"� ��� 2��" �"� "��" � ������� �� � � � �����" ����� �� ���� � � � �����" ����� ������ (�� �� ��� "�� ���� � ������"�

Page 229: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��&

������� ��2+2�� "� 3 � � ������� �� ;� � ���� ��������� ��� � ����� ���� ���� ����� � �� � ����� �� ����� �� 3 � ��� �� � ; ��� � �3�

� � ��� + � ��� � ��� K � �3

�:����;

�� ��� ��� ��

: � �� �; + :����;

�� � � �3� �� �� ��

� +

����

:� ; :���#;

�� �� ���#� ��� �� 3 ����� ��� ���� � �� ���

/����4 ��" � � �� ��� ��� "�� ����"��� �� "�� � � �����"?

� � :� B � :� � �;;�� + � � ��� B ���� : � ��� � �; B �� �� � ��� � :���$;

*� : � �� �; + �� ��� � � 3� "�� ��""� � � + �� "�� ������ "�� � "�� ��1� ��������

1� ����� � � �� � � ��� �� �� ���7�� /�� � + ���� 1����(? �� :����; �����? "�� "�� ������ "�� �� :���$; ���" ���� 1� ��� �� �� �"��L

/���? (�� ����� ������ ����� ��� � ���� "��"

� � ��� � � � :� B � :� � �;;�� �

6�� �� /�(� *� �� : � ��� � �; # � "�� ��" � � 1�( ����� � � ����"�1�� ��� ������"�� � :���$; /��� "�� � ��� ���"�1� "�� "�� ���" "�� �� ����"�1� � � "�� ���" ����

�� "��� ������ /��� "�� � ���� "�� � � ���� *� �� : � ��� � �; � "�� ������ � ������ � ���"�1� "� �����1� "�� ���� ����"�

*" �����/�? ��""� � �� + � � � "��"

�� : � �� ��; +

�� ��� �� �3� ��/ ��""� � � � � � ���� "��" � : � �� ��; + �: � �� ��;� �

�: � �� ��;� + : � �� ���; + �� : � �� ���; + �

/���� ��1�� "�� =�" ��" �� "�� "����� �� �� �� �� ��"�(�*" � �( ���� � "� 1���( "��" � ��1� � :���#; ��"��=�� :����; � � �� "�� � �( ��� " ��

3 /���� ���� ��� �� �� "���? �"� "��" �� �� � �� ������? "�� "�� ����"��� �� "�� � ������" � � "�� ���" "�� �� �� �"�� ���� ��������� ��

��

��

�����

���

�� +�

���

.( ����� ��� ���?

� +�

:�� ;

Page 230: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ����� ��� �� ������

� � �� � �

����

:� ;� �

�+

� �

����

:� ; �����

:�� ;

+����

:�� ; :� ;��� ��

��

:� ;������

:�� �; �

��

+

����

:�� ; :� ;�����

:� ; :�� ; + �

���� ���/� � ��1� � :���#; ���� �� ���7� "�� �� �"�� ? � � � � ��� �� � � 3� *" � �(���� � "� 1���( � �3�� ���� 5������ "�� "��" �� � + �� � �� ���7�� "��� �� �"�� �� ��� � �3� ��� ��� /��" /�� ���/ ��1�?

� � ���� + � � �� B �� � ����+ � � ���� B ��� : � ��� �� � ��; B ��� � ����+ � � ���� B ��� � ���� � � ���� �

"�� ���" �3��� ��� ����� � ������ �� �� � �� ���7� � � "�� ���" � �3����"( ����� � �������� �� ���7���

��� ��" "����� �� � � �� "�� ���" ����"� " ����"� � "�� "���( �� � � �����"������� *" �� ������ "�� ����7 ����� "�"�� "������

������� ��2+2� "� � � � :;� �; �� ; �� �� ��� � ����� ���� �� �������� ����� �� ����� � ���#� � � ; ���� ���� �� � � ;�

� :; + :� �; �

/����4 2��" * /��� 1���( � �3�� ���� 5������ �� /�-� �� � + �� �� ��� �� ��� � ;�

+ � :; � � :; + :� �� � ��;

� � �� �� + ���*" ���� � "� 1���( ����"� ��� .( ����� ��� ���? "��� ����"� � �"�� ���� ����?

�&������ � !�= �

� ���

���

� :&�;&� �

��� ��� � ����� ��� ���?

:� �; +

���

�����

� :&�;&�

�� +

�����

� :&�; :� &�;

+ �

�� �����

:� &�;&�

�� + � :; �

���� ��1�� "�� "������

Page 231: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���

�������� ��2+2�# "� . � � :;�< ; �� ; ��� < � ��� ��� � ����� ����� �� ������������� ��� �� ����� � ���#� .� � � :<�;; ���� ����

:.� ;* + :�.�;) :���%;

�� � � ; ��� � <� �� ������� �� ��� ����

:�.B ";� + �.� B "�

/����4 ��" �� � � :;� �; � ��= �� ��

�� :; � :.� ;* �

��� ( "�� ����7 ����� "�"�� "�����? "��� ����"� � � �3�� ����� " �� ;� .� :; ����"��"

:.� ;* + :�.� :;;) �

*" � �( ���� � "� 1���( "��" .� �� �� ��� ��" � � � � ������� ��� �� ��� � ;�

:�.� :�� B �;;) � � :.� �; B :.� �;

� :�.� :�;; B :�.� :�;; + :� �.� :�; B .� :�;; �

.( � �3�� ���? .� :�� B �; + �.� :�; B .� :�; /���� ���/� .� �� �� �� �� ����������� ���" ����"�� ���" "�� ��� /���� �� �� � �� �� "� �����"�� ? . "� .������/� ���

:�.� B.�; + :.� ; B :"� ; + ::.B"; � ; � �� :.B";�

�� � �� � � �����? �

� :�.;��+ :�.� ; + � :�.�; + :� �.�; �

���� ��1�� "�� ������(���� �� �� ���? .� �� ������ "�� ��0�� " �� .� * "�� ���� /�� . K ; � ; � � . + .��

. �� ������ � ���� ��0�� " ����

������� ��2+2�& "� 3 � �� � � ��� ��� ��� 3� +�3

���� �� �� �� � ������

�� �� ���$���� �� 3 �� #�� �� �� ��$�����

/����4 I�� � "�� ��= �"�� �� "�� � � �����" � � � �

:3���; + :��3��; ��

��

:3�;� � +���

:3�;�� �

����

:3���; +��

3�� �

5� �� ��� �� ��"�( 1��"��? �" �����/� "��" 3� + :3�;� � � ��? "�-� � �� 0���"�� ���"� �����?

3�� +3�

/���� ��1�� "�� �� ������ �� "�� "��������� ��" "����� �� � "���"� ��

Page 232: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ����� ��� �� ������

������� ��2+2�� '����� � �� � ������� �� �� ������ �������� � �� ��� �� ����� � 1 � � :�� � �� ; ���� ���� 1� � �� ��� �1�� + ��� �� � �� -��

1�1 + 11� + 0�

/����4 .( ����� ��� ��� "��� ����"� � �"�� ���� ���� �� �� �-���� � .( ��� � "��<�� 5�����" ������ "��� ��( � ��"� ��� "� � �"�� ���� ���� �� "�� /���� �����?�� �

�-�� � � ��-��-���� � � ��-�� ���/ ��= � 1 � � :�� � �� ; ( 1 :-; � � � � ��"� � �� ���(� *�

���� - �� � ��"�(

����� " �� �� � �����1�

����

-

�������

+

���������

������

+����

��� +���������

-

������

*" ���� � "� 1���( "��" 1�1 + 11� + 0� �� �� ��? ��" ��� � �� � ��� :1 :�B �; � 1 :�B �;; + :�B ���B �; �

����

�1��� B �1��� B ��� :1��1�; + ���� B ���� B ��� :���;

� � �� �� 1 ����1�� ���? �" �����/� "��" �� ��� ��� � �� ��� :1��1�; + �� :��1�1�; + �� :���; �

�������? �� �� "��� ����� �� ��� �� �" �����/� "��" 1�1� + � ���/� � 1�1 + 0� ��/

1 + 1 :1�1; + :11�;1�

5� �� 1 �� � � "� � �? "��� �������

0 + 11�

� � ��1�� "�� "������

'�3������ ��2+2�( "� ; ��� < � ��� � ����� ����� ��� � � ; ��� � <� ����� ���� � ����� �� ��� ��� ���� � � �� ��� �� � :;�< ; ��

� :&; � :&� ;) �

���� �� ��� ��� � ��0 �� � ����� ������ ����� �� ���� �� ���� � ����� ������ ���������� �� �� ���� �� �� ���� �

��� 1��=��"�� "��" "��� �� � �� �� ��� �� ���" "� (��� .� ��� "� 1���( "���P ��������/� � ����� ��� ���� �� "�� ���" ����"� " ����"��� �� "��� �� �� "� �����"�� �

%���� ��2+2�� "� ;�<� E � ��� � ����� ������ ��� �� � � ����

:� : � ;;�+ �� :����;

:� � �; :� � ; + :�� �; � � :����;

Page 233: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���

/����4 ��" & � ; � � ! � <� ���

:� : � ; &� !; + :� :&� ; � !; + � :&� ; :� !;

� �

:&� �� :!;; + :&� � :!� ;; + � :� !; :&� ; �

�������? "��� 1��=�� :����;��� 1���( :����;? ��" & � ;�

:� � �; :� � ; :&; + :&� ; :� � �; :�; + :&� ; :�� �; �

� �

:�� �; � � :&; + :�� �; :&� ; ��

5� �� "�� "/� �� �� "� �����"�� � � �"� ����� �� :����; ��1� "�� ���� � �/� �� �1�(& � ;� �" �����/� "�� "/� "� �����"�� � �� "�� ����� ���� ��1�� "�� ������

'�3������ ��2+2�+ "� ;�< � ��� ���� ������ ��� ��� �� .�" � � :;�< ; ���� � �� �� ���� �� � :;�< ; ����� �� .B" ��� �. �� ������

:.B"; :; � .B"� :�.; � � :.; �

������� ��2+2�� "� ; ��� < � ���� ��������� ��� � ����� ������ ��� � :;�< ;�� � ���� ���� ���� �� ���� �������� �� ���� �� ���� �� ������ �� � ���� ��� ����"� �!�� � � �� !�� � �� � ����� �� ����� �� ; ��� ���� � � �� ��� � �� � ����� �� ������� <� ��� � ����� �� � :;�< ; �� �! � �� K � + �� � � �� �� � + �� � � ���� �

/����4 *" �� �1���� "��" � :;�< ; �� � 1��"� ������ *" ���� � "� 1���( "�� ��1� ��"�� � ����� �� ���� "�� �����/� �K����.�

����

:.!� � ��;�� � !�

�� !�� ��

�� + :.!�� ��;�

����

:.!�� ��; :!�� !�; :��� ��;

+ :.!�� ��;�����

:.!�� ��; ����

+ :.!�� ��;� :.!�� ��; + �

��""� � . ����� :.!�� ��;�� � !� + "� "��� ���/� "��" "!� + �� �� �� �� � ��"�(

����� " �� "�� ���� �� <� 5� �� !� �� � ��"�( ����� " �� "�� ���� �� ;� �" �����/�" + �� ������ ���� ��� ���/ �! � �� K � + �� � � �� �� � + �� � � ���� ��� � � :;�< ; �

*" � �( ���� � "� 1���( "�� ! � �� �� �� ���( � ���� �� "� 5������ "�� "��"���

��! � �� +

Page 234: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ����� ��� �� ������

��� ?

+

��!�����

��! � �� :��;

�� +

��!�����

��! :��� ��;

��

+���

:!�� ��!; :��� ��; +���

����� + ���

���/� � ��� "�� ������ "� �3��� 7��� ���� ��1�� � ���� �� �����"� "��� ���/� "�� ���� ��� �� � :;�< ; + ��� ��� "����� �� ���� �� � �����

����"� �� ������ �" ���/� (�� �� ��/�(� �� ���� � ��"�( �� �� "� �����"�� ��� ��� �� � - � � "� �����"�� � /���� ����"��� �� �����( � ���"���� ��� �����/� �"����� �� ���� �� ���" � "���"�

������� ��2+2�� "� . +�

�� ��� � !� � � :;�< ; �� �� ��� �� ���� � ���� �� � ����� �� ����� �� < ��� �� ���� � �!�� � �� � ����� �� ����� �� ;� ����� �� ��� �� �� . ��� ��������� 3� � �� ����� ���� 3� + �� �

/����4 ������ "�� ������ /���� ������� /��" "�� ��"�� �� � �� �� "� �����"�� ���

�!�� � � �� !�� ; .�� < ���� � � �� ���%' � Æ � %(�� 3�� ��

����? ���"������"�� ( "�� ��"��? 3 �����/�� ( "�� ���? %( �� "�� ���� �� %' �����/��( "�� �� �� "� �����"�� ? .� !� �"� � ( 3� "�� ����� � "� �� "�� ��"��? 3� � ���""� � � + :�� � � �� �; � �� �

��

3�� + .

���

�!�

+���

��

������ +�

��

��� �

*" �����/� ��� "�� �� �� � ���� �� �� �� "�� � "��" �� � ( � � �� ���

3�� +��

���

/���� ��"������� "�� "������

���� ��� �2����

� ����� ����� � ������� "�� /�- �� "� = � � �"����" �� � /���� ��������"�� ��/��� �� ������� � ������"�� �� ��� "� � "�� ��� � �:� ;����� ��� ����� /�( �� ����� �/�"� "���� ������ �� ( "�� ��"��� �� ����" �3���� � � �" "� � ��" "��" ��� "���� ��"��� ��������"�� ������ �� � ������ "� .� + � /��� "�� ����� �� "� = � "�� ��"� �� ���1� � "��� �3��"�� �1� /�� "��� �� � ����"�� �

Page 235: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ����� �� ���� ��$

%���� ��2�2� "� � ��� � � ���� ��������� ��� � ����� ����� ��� � . K � ��� ��� � �� ��� �� �� ����� � � ���� ����

�.� � �.� � ��� � � � �� -�� � � �� � ������� �� ���� ������%����� � ��� �� ��� ��� �� �� �������� �� �� #������ .�. + .��

/����4 .( ������ ��� ��� � '��� ��& "��� ����"� � ��� "? .�� � "�� = �"� ���� L��� �� �������? . :� ; � �� � ���� "��" �� ��� � �� �.� �� � �.� � �� � ����? ���"��� "�����? "��� ����� � �� � � � �( �� .� � �� ���� ������ "� �1�( . � . :� ; ��������? "�� ����"�� �� �����"��7�� ( :.� � �.; + �� ��� � � /���� �� "������ �� ��(� � :.�.� �.�� ; + �� ��� � �� * �"�� /��� "�� ����"�� �� �"�� ��( ���1� � .�.� + .� �� ��

�� ���� "�� ����� �� = �� � "�� ����" �3���� ������� �� � � �"�"��"���� 5������(�� ��1� ��1� ��� "� � "�� ��� �? �:� ;���� � � (�� /���� ��-� "� = � �� �"� "� �� � ���� "��" "�� �� � + � B ���� "����� ��� "���� ��� "�� �� ����� "��� /��� ���������� � �� ���� �������? "( "� = � �� ���� "��" (�� �� "�� ��" (�� �� "� ���1�"�� �(�"�� ��� �

����

��� +

��� � ����

���� �

�����

/���� �� �� "�� ��� � + .�� * �"�� /��� "( "� ��-�

�������.�

��� �����

�����������

�� �����

�� �������� ������ � "� /��" /�� 0��" ���/ ? �" �� ������ "� ���1� "�� �����/� � �� � � � �

.�.�

+ .�

��� �����

��� �

5� �� .� + .� � "��� ����?� ����

���� ��

�� �

��

+

� ���� ����

5��1� � "��� �(�"�� �� �3��"�� � �� � � � �

� +� :

���� ; :

���� ; B :

���� ;�

:��

�� � ;�� :

���� ;

� �

+� :

���� ;

���� B :

���� ;

����

:��

�� � ;�� :

���� ;

� �

� � ����� �����( �� � ����" �3���� =" �� ��1�� �� "�� ��� + �� B B � � "������ /�(� * "��� ���� (�� ���1� �� /��� �� ������� �� �� � � � � "�� �(�"����� �� � �

������

����� � �

����� �

�� +

��� �����

������ � "�� ���� "��� �3����

Page 236: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ����� ��� �� ������

'�3������ ��2�2� "� 6 � � ����� �� �� ��� � ����� ���� ;� ���

6� � � � ; K :� $; + �� � $ � 6� �

��� �����/� � "����� ���� �����/� ��� "�� ��1� ������ *" �� ����"���� ������ "��2������ ��"� �"�1��

������� ��2�2� "� . K � �� �� . �� ��� ��� � ��� � � ��� � ����� ��������� . :� ; + -� :.�;� �

/����4 ��" + . �� � . :� ; � ��� �� .�� + �

:� �; + :.� �; + :�.��; +

���/� � "��" � -� :.�;� � ���� . :� ; � -� :.�;� �

��/ ������� � -� :.�;� � !��� "��� ����"� ���� "��" . + C 5� �� "��� ����" �"� ������"��( ����? "�-� "�� ����" �3���� ����"�� "� "�� ������ ���� ��" � � ����"�� "� .�. + .�� *" �����/� .� : �.; + � � �� �. � -� :.�; /���� ������� ��� "��������"�� ���" "��" : �.� ; + � ����? �� �� . �� "�� ������" ��� " "� � . :� ; ������� ��� ��� � '��� ��& ������� "��" : �.�.�; + �� ��� � � �� * ��"�����

"��� �� "�� �� � + � � �� + : �.� ; � : �.�.; + � �.�� � ���/� � "��"

+ .� ���� . :� ; � -� :.�;� � � "��� ��1�� "�� �������

�������� ��2�2 "� .� �� ��� � � �� ��� ��� ����� /� �� ��� ������� �� .� + �� + � ��� . �� ���� ��

/����4 *� "�� � �( ����"�� "� .� + �� + � "�� -� :.�; + � � � � �� �1�( 1��"�

��� � �� �� "�� �� � -� :.�;� � � ( "�� ��1� "�����? "��� ���/� . :� ; +��

���� ��������

�� 2� � "�� ��" ����"�� "� "�� �(�"��

B � + %�� + $�B � +

�� 5������ (�� �� ��1� "�� ��"�? :�� �; � :�� #; � :�� �; � : � ; � 2� � "�� �� �� ������� �� � ��� � (�� ������� ���1�� ��1�� ��� ���� (�� ��"� ��� � /�"� (�� ����L��� �� ��

�� <� ����7� "�� ����" �3���� ������� "� "�� ��"��"�� � /���� ��"� �� ��1� � � (������� "� =" �" /�"� � �������� �� "�� ��� + �� :;B , :;B� /��� "�� �����/���� � "� = � �� � � � � ��� "� �� ���7� "�� ��� ����� "��� � �� ����7��"� ����� ���� ��� �C 6�/ ���" ��� �� �"�� �C

#� ��" . � � :;�< ; /��� ; � � < �� = �"� ���� ��� �� 1��"� ������ /�"� "�� ���� L��� �� ; �3��� "� �� !�= � � - :.; � ��� :. :;;; � � ����"(:.; � ��� :-� :.;; �5��/ "��" ����"(:.; B � - :.; + ��� :;; � 5���4 ��" ����� � � ���� �� -� :.;

� � ��" ����� � ������� � � ���� �� ;� ��� ���/ "��" �.������ �� �� ���(� ���� �� " � � ��� � .;�

Page 237: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���������� ��� �� � ���

$� ��" . � � � � ��"��� 5��/ "�� ����� � - �� . �3���� "�� ����� � - �� .�.����" 1���( ����� � - �� .�. �� � ���� "�� ����� � - �� .�� ���" 0��"��( "�������/� � � �3����"( "� �� ����� "�� ����� � - �� . �3���� "�� ����� � - �� .��

� - :.; + � - :.�.; � - :.�;

+ � - :..�; � - :.; �

5���4 5"�" /�"� � �"�� ���� ����? �.������� �� . :�� ; � � 1���( �.�.��������� � ���� �� .�. :�� ; �

���� ��� �� ������ �� (�����

��� ��"��� � " �� "�� ���� "��� ������� "��� /���� ��1���� � /�( "� ��1� � � �=�� "��"L�� " �� "�� �� ���" �� 1������ ,�"� "�� ��1� �����"�� "�� �� ���" �� 1����� ���� ������ � "��� ���"�� � ��� �����/� � ����� �� �" ��� "� �"�� ��� ����� "������

%���� ��2�2� '����� . �� �� � � ��� �� �� � � �� ��� . ��� ��� ��� ��

���� �� �

/����4 2��" �"� "��" . :�� ; ��� ���� ��� � ��� "�� � ������ � ��� � � ��" ���.��� � � �� .��� � � �� �" �� 8" ������( � ����� ��� �� �� �� � � � ������ "�� ���� ��� �� �� + �� ���� ��1�� "�� ������ 6�� �� � �"�� ���� /���� ���� ��"��� � "��

5������ . ��� ��� �� � "� �� � ��� �� ���� "�� � � ��"��?

.� ��.

�/��� ���� "� � � :�� �; ��"��� ���� .� �� �" � � "� �� ������ �" ��� �"����" � � ����� �� 7��� � � �� �"� ��"��� � " �3���� 7��� 6�/�1�? �� � � �� � � . ��� "�? "�� "��� ����"� � � �� ���� "��" .� + �� ���

.�

��

+

+ .� B + + .� + ��

5� �� � /�� ��"�(? �" �����/� .� /���� ��1� "� � � "����� �����/� � ������"�� �� � ������� ���� �� "�� ����� �� "����� �" * /��� ��1� �

��D�� " ���� ���� � "�� ��1� ������

/�� ������� ��2�2� '����� �-�� � � ��-�� � ���� � �� �� ��� ���� �-�� � � ��-�� + �� ���� � � ��

/����4 !�= � � �� �� "� �����"�� ��� �� "� �� �� �����/��

.� ���

��

-�

:,�( �� "��� � �� �� "� �����"�� C; ���� . :�� ; + ��� �-�� � � ��-�� + �� � ��� ���"�� ��1� �����? � � � �� �� �� "��� �� �" ��? . ����� �" � � "��

/�� ������� ��2�2� '����� �-�� � � ��-�� � ���� � �� �� ���� ���� � # �� ��� �� ���� �� ��� ��� ���� � �)���� � � ��)�� ���� ���� ) �)� + � ��� )� �-� + �� � �� + �� � � ��-��

Page 238: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ����� ��� �� ������

/����4 ��" . K �� � ��� �-�� � � ��-�� � ��= �� �� � "�� ��1� ������"�� �� "��". :�� ; + ��� :-�� � � ��-�; � 5� �� � # � "��� ����"� 6��� �� . :�� ; � ��� ( ��������� ��� � '��� ��& ������� "� "�� ������� . :�� ; "��� ����"� ���� ���� "��"

:6��� � ����� .�; +

�� ��� � � �� � ��" )��� � :6��� � ����; � �6��� � ����� � ��/ �� �B � + �� �"��� �)������ "�� ������ ���" �� 1��"��� �"��/���? �� �� ��� �-�� � � ��-��)���� /��" /�� �� ��� ��� �-�� � � ��-�� ��� � ���� � �"��� �� �� � � �"�� )��� � "��� /�( ���� "��")��� �)��� + � � )��� � -� + �� ��� �� �� "� �� "��� � ���" �� �� � 1��"�� ��1� �� ��� ��

������ "�� �����"�� ��= �"�� �� "�� ���� �����" �� "/� 1��"�� ��� � � '��� #���� ������ �� "���? "�� ��� �"��� �� "�� ���� �����" �� "/� 1��"�� /�� "�� ��� �� "������������� ��"��� �� ( "�� "/� 1��"��� ���� /�� ���� � ����� �"� ������"�� �� "������ �����"� * "��� �� "�� �"�"�� �� '�����"�� #�$�# � '��� $� "�� ��� ����� �"��� "�� ���� �����" �� ��1� (

-��&�!�

/��� "�� "/� 1��"�� �� :&�� &�� &�; � � :!�� !�� !�; � �������? ��� � "�� ����"�� ��� "�"(�� ����� #�$�� � '��� $�

�� -�� + -��&�!�-��&�!�

+ :���� � ����;&�!�&�!�

+ &�!�&�!� � &�!�&�!�

+ :� � �; :- � -;� :� � -;�

/���� �3����

��"

�� � � � � -� � - - � -

��/ ����� "�� �� �����" � � ��/ "�� �� �����" /�� � "�� 1����� �� "�� ���������������� �� ( "�� "��� 1��"��� 2�� "�� ��= �"�� �� "�� �� �����"

� - �) +

������� 0 ,

&� &� &�!� !� !�

������ � :���B ��0B ��,;

+ ��"

�� �� �� ��

&� &� &�!� !� !�

�� �

�������?

�� - �)�� + ��"

�� �� �� ��

&� &� &�!� !� !�

���

/���� ��� "�� "���( �� ��"��� � "� �3����

��"

�� &� &� &�!� !� !��� �� ��

����"

�� &� !� ��

&� !� ��

&� !� ��

�� +

Page 239: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���������� ��� �� � ��&

��"

���� &� &� &�!� !� !��� �� ��

���� &� !� ��

&� !� ��

&� !� ��

���� +

��"

�� &�� B &�� B &�� &�!� B &�!� B &�!� &��� B &��� B &���

&�!� B &�!� B &�!� !�� B !�� B !�� !��� B !��� B !���

&��� B &��� B &��� !��� B !��� B !��� ��� B ��

� B ���

��

+ ��"

�� � � � � � - � �)� � - - � - - �)� �) - �) ) �)

��E�� ��� "��� �� � ��= �"� ��""� ����� � ���� ����� ����� ����� /�� �� � ���������������"��� �� ( ��"�� "/� � "��� 1��"�� � �� � *" ��-�� �� �� "� ����- �� � �������������� � ( ��� �� ���� ��� ��

'�3������ ��2�2 "� ��� � � ���� � ���� � �� �� � �� �� ����� �� ���� �� ������� � �� � ����� �� 8 :��� � � ����; ��� �� �� ���� ��

8 :��� � � ����; �"#$

�����

$��� K $� � G � �H

%&' �

�� ���� �� ���� �� ����� �� ���� ��

���� �� 8 :��� � � ����; � :��" :� � ��;;��� �

* "��� ��= �"�� ? � ��� �� "�� ���� � "( �� � � ���"��� ��"� "��� ��= �"�� ����� /�"���� ����� �"�� � �� ��� � � 1����� �� �������������� � � �" ��-�� �� �� � � ( ����� ���� ��� �� 6�/�1�? �" �� ����"� " "� 1���( "�� ��1� ��"��� � " �� � ���"�1����"� ���? "�� ��1� ��= �"�� �3���� � �3��� ��" �� "��� ��"��� � "�

%���� ��2�2# "� ��� � � ���� � ���� � �� �� �� ��� �� ��� ��" :� � ��; � �

/����4 ������ - �) + -�)� �������? � "��� �� ��"�� ���"������"�� ? "�� ��"��:� � ��; �� 0��" "�� �����/� �

�� �� ���� ���������

����� �� ��

�� � � � ���

/���� �� �� "�� ���

����

2��" �" �� ������( "� ���/ ��"����

� � � *� � /�� � �3��� ��"��? "��� /���� �������"� �" �" �� 8"� 6�/�1�? ( '�����"�� ������ "��� �� 1��"��? )���� � � ��)� ����"��" ) �)� + � � � �� ��� � + �� � � �� �� � � � + �B �� � � �� �� )� � � + � ��� �� ����

�� + :��� � � �����)���� � � ��)�; ��� �

Page 240: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�# ����� ��� �� ������

/��� � �� + 0� ���

��� �� +

���

� �

�� �

�+

���� 0

� :,�(C;

��/ ��� � "�� �����"� ���� ��� ��"���? "��� ���" � � ��"�� ��� ��"��� � " �3���"� ��"

����

�:,�(C; � "�� �"�� �� � "��� �3���� ��"

���� ��

�+ ��" :��; ��"

����

�+

��" :��;� � �

* "�� ���� /��� � # �� ��� ��� "�� ��� �� � /��� � + �� ��� ��� �/� "�� ����� �� ���� (�� �� ��= � "�� � � ��"��?

�� ���

��

� � � "��� ����?

+ ��"����� + ��"

��

�� � �

+ ��"�� � + ��"����

���� ��1�� "�� ����� � � ���/� "�� ��= �"�� �� 1����� �� /��� ��= �����"� �" ��1�� "�� ���" � �/� � "�� ���� /��� ��� "�� 1��"�� �� ���� ������� 6��

�� /�(� 5������ ���� � � ����� �� 1��"�� /���� ��1� "�� ����"( "��" � � �� + �� � �+ ������ 8 :��� � � ����; �� � �� /���� ��� ��� � ����� ���� ������� ,��" ������ �"� 1������C 5����� 8" �" �3��� "�� �����" �� "�� �� �"�� �� "�� �����C ,��" ���� ��" :� � ��; ��1�C��� ��"�� :� � ��; �� � ����� �� ��"�� ��1� � "�� �3���� �� "�� ��� �"���� �� "�� �����

��/ "�� ����� ��� �������? ��" :� � ��;��� �3���� "�� �����" �� "�� �� �"�� �� "�� ������� �" ������� ��� ��"��? :� � ��; /���� ��"��� � " ��1�� "�� �3��� �� "�� 1����� ��"�� ������������� ��� �� ( "�� 1��"��? ���� � � ����� �� ������ "�� <���� ��"�� � �����"���� "�� ��"�� "� ���

����� �� �����"�� � �� �� ���" ��� �=�� �� ������ "��( ����/ "�� �����"�"�� � ��(�"���"�� �� � �� � ���� ��� �� 1������ �� �������������� /���� ����� "� � � �� ��� �+ �� ��� - �� ������� �� � ��� � � �� � � "�� ����� �� = �� � "�� ��� �� ����"�� �� "��� ��� ��

���� �� ��2�2& ���� �� #������ �� �� ��� ���������� �� �� ������ :�� �� �; � : � �� �; ���� :�� �� ; �

����� "��� ��� "� ��"��� � "/� 1��"��? "�� � � ��� : � �� �; "� :�� �� �; � �B 0B �,�� � "�� � � ��� : � �� �; "� :�� �� ; � ��B :��; 0B:��;,� *� :� � �; �� �"�� � ��� " � "����� �? "�� "�� 1����� �� "�� ������������� ��� �� ( "�� 1��"� ��� : � �� �; "� :� � �;� � "���� �"�� "/� 1��"�� ���" � 7��� ����

��"

�� � � � � �� �� ��� �

�� +

�������? ��� �B��B � + �� "�� �3��"�� �� "�� ��� �� E�� ������ ����- �" �� "�� ���� "��� ��� "��

���! ��������

�� 6�� �� "��� 1��"�� � �� K :�� �� � �;�� :�� ����� �;� � : � � �� �;� � 2� � "�� 1�����

�� "�� ������������� ��"��� �� ( "���� "��� 1��"���

Page 241: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� �#�

�� 6�� �� "/� 1��"�� � �� K :�� �� � �;�� :�� ����� �;� � 2� � "�� 1����� �� "�� ����L

��������� ��"��� �� ( "���� "/� 1��"���

�� 6�� �� "��� 1��"�� � �� K :�� �;� � :�� �;� � : � �;� � 2� � "�� 1����� �� "�� ����L��������� ��"��� �� ( "���� "��� 1��"��� ������ "��" ��� "�� ��1� "�����? "��������� �3��� �

#� *� "��� �� � B � � ��� 1��"�� � �� � ����� �����$ ������� "�� ���������������"��� �� ( "���� � B � 1��"�� ���" ��1� 7�� 1������ ,��" �� "�� �����"����� �=�� �� �� "��� ����"�� C

$� 2� � "�� �3��"�� �� "�� ��� � "����� "�� "��� ��� "� :�� �� �; � :����� �; � :�� �� �; �

Page 242: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�#� ����� ��� �� ������

Page 243: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��&���� ��������

���� 1���� ������ ���������9� ���

*" �� ����"���� � "���"� � "� �� ���� "�� ����� �� = �� � � �� ��� �������"( "� �����L"�� /���� /��� ����� ���7� ��� "�� ��"���� � ���� ��"�

%���� ��2�2� "� . � �� � � ��� �� ��� � " � �� � � ��� ��� ���� �� ' ����� ��

' ��

. "

��� ' �� ��������%�� �� ��� ��� �� ���� . ��� " � ��������%���

/����4 5������ 6��� .6� + 5� � � 6��� "6� + 5� /��� 5� � � 5� �� ����� ��

��"����� E�� ������ ��� ���- ���"������"�� "� 1���( "��" 6 ��

6� 6�

�� ���� "��"

6��'6 + 5� � � ����� �� ��"����� 1����(? ������� ' �� ����� ���7�� ( 6 + :��� � � �� ����; � ���� 6 ��� ����� � ��

2� ���� �� "���� ����� �? /�"� � "�� ���

� +

���

/��� � � �� � � /��� � � �� � *" �����/� ���� �� "�� � �� � ���� 1��"� �� . � � "��"���� �� "�� � �� � ���� 1��"� �� "� *� "��� �� � �� ���( � ���� �� " �� "�� . �� ����L� ���7��� ( ������ � �$�& � '��� � �$�&� ��� �/ � - �� "�� ��"��? :��� � � ������;���" � � ������ �� "��� �� �" ��? "�� � - �� 6 /���� � ���� "�� � B� /���� /������� 6�� ���� �" ����"� �������? �� �� "�� ����� � - �3���� "�� �/ � -? "��� ��"����� ����� � - �3��� "� � � � "��� ��� � "��� �� � �� ���( � ���� �� " ���� 1��"�� ��. ����(� � "��" . �� ����� ���7���� 5����� ���� � � ������� "� "� ���� ��1�� "�� ������

��� �����/� � ������( �����/� ��� "�� ���� "(�� �� ����� " �� "�� ��1��

�������� ��2�2� "� .� � �� �� �� ��� �� ��� � ' ���� �� ���0 ������� :��

��� ��; :��

��� ��; ��� �� ���� ����

' �

��� .� � � �

.�

��� �

��� ' �� ��������%�� �� ��� ��� �� ��� .� �� ��������%���

�#�

Page 244: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�## ���� ������ �������

'�3������ ��2�2� - �� � �� � � ��� ��� �� ����������� ��������%�� �� ��� ����� �� ����� � ���� ��� ��� ��� �� 6 ���� ���� 6��.6 + 5� � ������� ��� �� �� �. � � �

%���� ��2�2 /� � �� � �� �� � � ��� ��� ����� �� ����������� ��������%�� ���� �� � ��������� ����� �� ��� ����

/����4 ��" .�" � � � � ��" 6 � � ��"�� /���� ��� "�� ����"( "��" 6��.6 �� ������ �� ��"�� �� ��� . � � � ��� 6��.6 + 5� � � 6��"6 + 5� /��� 5� � � 5�

�� ����� �� ��"����� 5� �� ����� �� ��"���� �����"�?

." + 65�6��65�6

�� + 65�5�6��

+ 65�5�6�� + 65�6

��65�6�� + ".�

%���� ��2�2# "� 5 � � ������� ��� �� �� �� �� �

5 �

������7�0�� � � �

7�0��� � �

������

� � �� � �

� � � 7�0��

������ � :����;

�� 0�� ����� �� � � ������� ��� �� ��� ������ " �� � ��� �� ����� ����������� 5� ��� " �� � ���0 ������� ��� �� �� �� �� �

" +

������"� � � �

"�� � �

������

� � �� � �

� � � "�

������ :����;

�� " �� �� � � ��� ���

/����4 5������ " + : �; � ��� �� �� �" �� ��1� "� �����"� /�"� 5? 7 � + �7� �.�" "��� ���/� "��" �� 7 �+ 7� � "�� "��� ����� �" ���� � ���� � + � �������? " ���"� �� "�� ������� ����

%���� ��2�2& "� � ���� � ��������� ����� �� � � ��� ��� ���� ���� ��� . � ��� ��������%��� ��� � �� ����������� ��������%���

/����4 ���� �� ��1�� ( � ���"�� � �� *� � + �� "��� �� �"�� � "� ��1� ������ ���"�� � � ��"���� �� �����( ����� �� ��"����� 5������ "�� "��" "�� "����� �� "�� ����� � ��� /��� � � � � � ��" � � � �����"� � �����( �� ����� ���7��� � � ��"�����'��- . � � � � ��" 6 � � � 1�"��� ��"�� ���� "��" 6��.6 + 5 /��� 5 �� �� "�� �����1� � :����;� ��/ �� �"� ( )� "�� ������"�� �� ��"����?

�6��"6 K " � ��

� *" �����/�

�����( "��" )� �� ���� � �����"� � �����( �� ����� ���7��� ��"����� .( ����� �����$ �1�(" � )� �� �� "�� ��� ��1� � :����; � � ( ���- ���"������"�� ? "�� " ������ �� � "�

��D�� " " � )� �����"�� �������? ( "�� � ���"�� �(��"�����? "�� - �/����� "��" ����" � )� �� ����� ���7���? � � ������( ������? "��� ����" � 1�"��� � � ��"����? /���� "��" /�� "/ �� � ����� �� ��"�� /�� �1� " �� � � �� "�� ��"���� ��-� � �� "�����- ����� �� �� � ( " � � � *" �����/� "��" �� / ��= �� (

/ �

������/� � � �

/�� � �

������

� � �� � �

� � � /�

������ �

Page 245: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� �������� ����� � ���� ������ ������� �#$

"�� /��"/ + � ����� �� ��"�� �� �1�( " � )� � ����� � 5� �� ���� 6/� *" �����/�"��" �� ��� " � � �

/��6��"6/ + :6/ ;��

" :6/ ; + � ����� �� ��"���

���� ��1�� "�� ������

������� ��2�2� "� � ���� � ����� �� ��� ��� ����� � ��������%��� ��� � ������������� ��������%�� �� ��� ��� �� � �� � ��������� ������

/����4 *� � �� � �����"� � �����(? �" �����/� ��� ����� �����% "��" �" �� �����"� �����(����� ���7���� *� �" �� �����"� �����( ����� ���7���? "�� �" �����/� ��� ����� �����# "��"�" �� � �����"� � �����(� ���� ��1�� "�� "������

���� 1��� �� ����' �� 1��� �:��� ���� ��

��� �����/� � "����� �� ���" "�� ���� 1��"�� � � ���� 1����� �� � ���� ��0�� " ����"����� ���� ��1� �� ����7�� "� "�� ��"��"�� �� � ������" ���� ��0�� " ����"� � � 6���"����� � � ����� "� �� ( 1�( ������ ����"�� *" �� ���� � 1�( ����� "�( ���� ������ �"���� �" ��� "�� �� ���� "�� "����� �� ����� � � �" �� "�� � � /�(? 1�( ����"� " � �������"�� �? �� = �� � "�� ���� 1������ ���� ���� ���� �� ��� ����"�( � "�� ��"������ � ��(��� "�� "�� ������ � ��"����� ��� �����/� � �� ������ �"�"�� �

'�3������ ��2�2� "� ; � �� ��� � ����� ���� ��� � 6 � ;� ���

6� � � � ; K :� $; + �� � $ � 6� �

��"� "��" �1� �� 6 �� �" � �������? 6� ���

'�3������ ��2�2� - 1�� � ���� �� � ����� ��� � ����� ����� +�� ���� �������� � � 7����� �#��� ��� � �� ����� �������

�������� �� � �� + �

���� ��� /� ��� � ����� ������� / �� ��� �� �� � ���� �� �� �� �� ���� � ��� � � � ��� ���� ��������� ��� � ����� ���� �� ����������� ������

������� ��2�2� "� . � � :;�;; � �� ��$���� �� ; �� � ���� ��������� 1�� ������ ���� . + .�� ��� �� ����� �� � ����� �� ����� �� ������� � �&������ �

/����4 �� ���� :.� ; � ���� 3�� "�"( �� ��/�(� � ��� ��� ������

:.� ; + :�.; + :�.�; + :.� ;

"�� -� "� "�� ������"�� "��" . �� ���� ��0�� "� ��/ ��= �

7� � � � �:.� ; K �� + �� � ;� � ;� �����4 7� �� = �"� � � "��� ����"� !� � ; /�"� �!�� + � ���� "��" :.!�� !�; + 7��

/���� �� !����4 ��" �&������ � � �"�� ���� ���� �� ; � � �� � ;� ��" :�? � � �?�; � ��= �� �� "�� ����� � "� �� "�� 1��"� � ����?

+

�����

�&� �

Page 246: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�#% ���� ������ �������

5� �� "��� �� � �"�� ���� ����? �" �����/� ��� "�� ������ �� "�� � � �����" "��"

��� +��

���

�� �� �

����

:.� ; +

�� �����

�.&������

�&�

�� +����

�� :.&�� &�; �

� �� "� ���� �� �"�� �� :�? � � �? �;� ���� "��� �� �"�� �����1�� �"� �� ���� � "�� ������� � �� ��� ����" �� �� ��1� (

�:�� � � �� �; � �� K

�����

�� �� + ���

��� !� ���

��� �&� /��� :�� � � �� �; �� "�� ��� " �� �� �" /���� "�� ��1� �� �"�� �����1�� �"� �� ����� ���� ��1�� "�� ������

�� "� �� � /�"� "�� ���� �� "�� "�����? ��" ;� � �!��� � � ��"

7� � � � �:.� ; K �� + �� � ;��

�� ����? "��� ����"� !� � ;� ���� "��" :.!�� !�; + 7�� ��/ ��" ;� � �!�� !��� � ��� "� �� � "��� /�(� ���� ����� "� � � ����� � ��3�� �� �� ��� ����? �7������ � � � �"�� ���� ��" �� 1��"��? �!�? � � �? !��� *" � �( ���� � "� ���/ "���� �� ���� 1��"�� � �"��" "�� 7� �� ���� 1������

�� ���� "�� =�" �� "���� 1��"��� ��""� � � � ;� � ;� "�� �� �"�� �� "�� ��� 1�����?�� ��1� (

� :�; � :. :!� B ��; � !� B ��;

�!� B ����

+:.!�� !�; B ���� :.!�� �; B �� :.���;

�!��� B ���� :!�� �; B �� ����

�����1�� �"� �� ���� /�� � + � �������? "�� ���1�"�1� �� "��� �� �"�� �1����"�� �"� + ���" �3��� 7��� I�� � "�� 3��"�� " ���? "��� �������

��� :.!�� �; � ��� :!�� �; :.!�� !�;

+ � :�� :.!�� �;��� :!�� �;7�; + �

���� �� :.!� � 7�!�� �; + �� ��� � � ;� ���� ������� .!� + 7�!�� �� ��� "���? ��" � � ;� ��"�( � � ��" � � � ������� ��� /�"� ��� + � � �

�:.!� � 7�!�� �;� + � :.!� � 7�!�� �; �

���

�:.!� � 7�!�� �;� + ���.!� � 7�!�� ��

�+ �

Page 247: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� �������� ����� � ���� ������ ������� �#�

5� �� "��� ����� �� ��� �� .!� + 7�!�� ��/ ������� .!� + 7�!� �� ��� � # �� ���1�"��" . K ;� � ;� ������ �� � ;� � � � # ��

:.� !�; + :�.!�; + :� 7�!�; + �

���/� � "��" . � �!�� � � �� !����� � ;�� ���� "�� ���� ����� " 0��" ��1� ���/� "��"�� ��� � � ;��

:.!� � 7�!�� �; + � :����;

2� ��"�( � � ;�

� +

�� �

�������

:�� !�; !�

�B

�������

:�� !�; !� � �� B ��

� � "�� "�� � ��� "����� �� � �!�� � � �� !����� � ;� /���� "�� �"�� "�� �� �� "�� ��� "�� ��� �� "�� 1��"��? �!�? � � �? !����� ���� ( :����;?

:.!� � 7�!�� �; + :.!� � 7�!�� �� B ��;

+ :.!� � 7�!�� ��; +

������

. K ;� � ;� � �!�� � � �� !�����

� � �� � ��� :!�� � � �� !���; � �������? .!� + 7�!� �� ��� �� ���� ��1�� "�� "�������� "�� �� � "�� ���� �� "��� "����� �� "�� �����/� � ����"� " ������(�

�������� ��2�2 "� . � � :;�;; � �� ��$���� �� ; �� � ���� ��������� 1�� ������ ��� � �� ������� � � ��� �� 7� 7� � � � 7� �� ������� �� .��� ���� � ����� �� ���� � �&�� � � �� &�� �� �����

.&� + 7�&��

�� �� ��

7� � � � �:.� ; K �� + �� � ;����

;� � �&�� � � �� &����� � ;� � ;�

�������� ��2�2# "� . � � :;�;; � �� ��$���� �� ; �� � ���� ��������� 1�� ������ ��� �� � ��� ������ �� . �� ���� ��

��� �:.���; K ��� + �� :���#;

��� �� ������� ������ �� . �� ���� ��

�� �:.���; K ��� + �� � :���$;

/����4 ��� ���� �� "��� �� 0��" ��-� "�� ���� �� ������ ������� 5����( ������ � �/�"� ��� � � �"�� � ������� � ���" �� ���� 1������ ���� ��"������� :���#;� ��� �����:���$; �����/� ��� ������ �������

� �"�� ����"� " ���1�"�� �� ��� � � "�� �����/� � ������(�

Page 248: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�#� ���� ������ �������

�������� ��2�2& "� . � � :;�;; �� . �� �� ��$����� ��� . +�

7!�! �� .! + 7! ��� �!���� �� �� � ����� �� ������

/���� 4 *� !� �� � � �� "�� �"�� ���� ���� 1��"��? .!� + 7�!� � ����?�

7! � ! :!�; +�

7! :!�� !;

+�

7�! + 7�!��

5� �� "�� "/� �� �� "� �����"�� � ���� � � ����? �" �����/� "��( ���" ��� ����� ������1�� "�� ������(�

��� ����" �� ���� " � � 2����� /���� �����/� ������� ������( �����# �" �� ��������� ������ �" ���� �" ���� � � � - �/����� �� "�� ���� 1��"���

������� ��2�2� "� . � � :;�;; � �� ��$���� �� ; �� � ���� ��������� 1�� ������ ��� �� 7� 7� � � � 7� �� ������� �� .� �� ���� � ����� �� ���� ��&�� � � �� &�� �� �����

.&� + 7�&��

�� �� ��

7� � ���-������-���

���

�:.� ; K �� + �� � ���� � � �� ������

��:���%;

�� �� � + �� ���� � � �� ������ � ;�

/����4 2�� ������ ������? "��� ����" ���� 1����� � � ���� 1��"�� /�"� �&�� � � �� &���"�� ���� � � 7 7��� �������? ( ������( �����%

. +

�����

7�&� � &�

2�� ���� � � �� ������

:.� ; +

�����

7� :� &�; :&� � ;

+

�����

7� �:� &�;��

��� ��" < + ���� � � �� ������

� � �:.� ; K �� + �� � < �

+ � �

"#$��

���

7� �:� &�;�� K �� + �� � <

%&'

� �

"#$��

���

7� �:� &�;�� K �� + �� :� &�; + �� � � �� � � � <

%&' � :����;

Page 249: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� �������� ����� � ���� ������ ������� �#&

��� ���� "��� �� �� �� "��" "�� � =��� �� "�-� �1� � ������ ��"� �������? "�� � =�����"� ����� ��/ :����; �� � ���� "��

� �

"#$7�

�����

�:� &�;�� K �� + �� :� &�; + �� � � �� � � � <

%&' + 7�

������ �� �� �&�� � � �� &�� �� � �"�� ���� ����? ��� +��

��� �:� &�;�� � *" �����/� �� ������ � � �� ����� �� ��"�(?

���-������-���

�� �

�:.� ; K �� + �� � ���� � � �� ������

�� 7�� :����;

6�/�1�? �� ���� ��� � � �� ����� "�� � =��� �� �����1�� �� (�� �� ������ "�� � � � "����1� /�"� �� � * ����"�� "� "���? �" �����/� ��� ������( �����# "��" "��� ����"� � ��"?���� � � �� ����� �� /����

� ��:.� ; K �� + �� � ���� � � �� ������

�+ 7��

'��- ���� � � �� ����� + �&�� � � �� &���� � �������? "�� ��� � :����; �� �����1�� � � �3����7� � � :���%; �����/�� ���� ��1�� "�� "������

��� �����/� � ������( �� �������"��

�������� ��2�2( "� . � � :;�;; � �� ��$���� �� ; �� � ���� ��������� 1�� ������ ��� �� 7� 7� � � � 7� �� ������� �� .� �� ���� � ����� �� ���� ��&�� � � �� &�� �� �����

.&� + 7�&��

�� �� ��

7� � ���-������-���

���

�:.� ;

��� K �+ � � ���� � � �� ��������

:���&;

�� �� � + �� ���� � � �� ������ � ;�

6�� �� � 1���� �� "��� �� /���� "�� ���� �� ��� � � �� �� �1�����

�������� ��2�2� "� . � � :;�;; � �� ��$���� �� ; �� � ���� ��������� 1�� ������ ��� �� 7� 7� � � � 7� �� ������� �� .� �� ���� � ����� �� ���� ��&�� � � �� &�� �� �����

.&� + 7�&��

�� �� ��

7� � �� -������-���

����

�:.� ;

��� K �+ � � ���� � � �� ��������

:���� ;

�� �� � + �� ���� � � �� ������ � ;�

Page 250: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$ ���� ������ �������

���� &��� �4� �� ���� �4� ���� �������� ����

��� �"�� �� � ����"�1� ��= �"� � ���"�1� ��= �"� �� �� "� �����"�� �� 1�( ����"� "� �� ( �������"�� �� * ��"����� �" �� ���� � 1���� � �� "�� ���� � ���1�"�1� "��" ���� �"�� � �� �� ( 1������� 6�� "�� ��� � "���" �� "�� ���� �� � �� �� "� �����"�� /���� �� � � � ��"�� �" "�� "����� �� �"�"�� � � ��1�� ��� � � ��� �� ��� �"�"�� ������ ��� "���� ������ ��������� ��� ��1� � "���"� � �� ����7�"�� � "� �� �"�� �� � ��(����

%���� ��2�2� "� ; � � ���� ��������� 1�� � ���� ��� � . � � :;�;; � ����� �!�� � � �� !�� �� �� � ����� �� ����� �� ; ��� 3 :.; ����� �� ��� �� �� �� ��� � ����� ������ . ��� 3 :.�; + 3 :.;

�� /� �� ����� . �� �� ��$���� �� ��� ��� ��

3 :.; ���

/����4 �� ���� "�� �����/� � ���"��

.; � ;% � Æ � %�� � ��

3 :.;

/��� % �� "�� ����� �"� ��� /���� ��"��=�� % :�; �� !� �������? �� �� �!�� � � �� !��

�� �"�� ����? �" �� ���� "��" ��� + �% :�;� � �������?���� B ���� B ��� :���; + ��B ��� + �% :�B �;��

+ �% :�;�� B �% :�;�� B ��� :% :�; � % :�;; :�����;

��/ � � ( � � �����" �����?

:� �; + �� :� �; B �*� :� �; �

����

:� �; + :��; :� ; + :��;�� :� ; B *� :� ; �

�������? �3��"� � "�� ��� ��"�? *� :� ; + �� :� �; � � ��

:� ; + �� :� ; B ��� :� �; :�����;

��/ ��� :�����;? �� �� % ����1�� ���"� ���? ��� :% :�; � % :�;; + �� :���; /���� ���������� :�����; "��"

:���; + :% :�; � % :�;; � :�����;

��/ �� ���"� � "�� ������ /���� ��1�� "�� ��� � � �� "�� ��"�� �� � �� �� "� �����L"�� ? ���1� "��" % Æ3 :.; + . Æ % � � % Æ3 :.�; + .� Æ %� �������? ��� :�����;

:. :% :�;; � % :�;; + :% :�; � .�% :�;; + :% :�; � % :3 :.�; :�;;; + :��3 :.�; :�;;

�" ����

:. :% :�;; � % :�;; + :% :3 :.; :�;; � % :�;; + :3 :.; :�; ��; +���3 :.;

�:�;

��

5� �� ��� �� ��"�(? "��� ���/� "��" 3 :.�; +3 :.;��� �������� �������? �� . �� ����

��0�� "? 3 :.; + 3 :.�; + 3 :.;� � � �� 3 :.; �� ���� ���� ��0�� "� *� 3 :.; + 3 :.;�

"�� 3 :.; + 3 :.�; � � �� . + .�� ���� ��1�� "�� ��������� �����/� � ������( �� � � �� "�� �"��� � "�� ��1� �����

Page 251: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ������� ��� �������� ������ ������������ �$�

�������� ��2�2� "� ; � � ���� ��������� 1�� � ���� ��� � �!�� � � �� !�� � ��� ����� �� ����� �� ;� -�� � % � �� ��� ����� ��� ��������� ���� ���� ����� ����������� % :�; � �

!� ��� :���;��

+ :% :�; � % :�;;) � -�� �� . � � :;�;; � ��� 3 :.;�� �� ��� �� �� . ���� ���� �� ���� �����

:.% :�; � % :�;;) + :3 :.;���;��

'�3������ ��2�2� - �� ��$���� . � � :;�;; � �� ������� ����� �� ���� � �+ +�:.���; � ��� . �� ������ ����� �� �� � � �+ +� :.���; # � . �� ������� ���������� � $��� ��������� �� ��� � �� �� � �� :.���; � � . �� ������ �������� � ���������� �� ��� � �� �� � �� :.���; �

��� �����/� � ����� �� �� �� ���� "�� ����"� �� � ��"��� � � /���� �� �� "� �L����"�� � �� ����"�1� � ���"�1� ��= �"��

%���� ��2�2 "� ; � � ���� ��������� 1�� � ����� - �� ��$���� . � � :;�;;�� ������� ����� �� ��� ��� �� � ��� ������� � ������� ��� ������ ����� �� ������ �� � ��� ������� � ������� /� �� ������� �������� �� � �� ������� � ��������� ��� �� �� ������ �������� �� � �� ������� � �����������

/����4 5������ =�" "��" . �� ����"�1� ��= �"� � � ��" 7 � � ���� 1����� ��� �� �� ���� 1��"� ������ �� � "� 7� 7 :���; + :7���; + :.���; � � �������? 7 � ����������

��/ ������� ��� "�� ���� 1����� �� . �� ����"�1�� 2�� ������ ������ � � ������(�����%? . +

���� 7� � � /��� "�� 7 �� "�� ����"�1� ���� 1����� � � ��� �� � �L

"�� ���� ��" �� ���� 1��"��� �������? ��""� � � �+ +� :.���; + ::��

�� 7� � �;���; +

:��

�� 7 :���; :���;; +��

�� 7

���:���;���� � ������? �� �� ��� �� � �"�� ���� �L

���? ���� + ����

���:���;���� ��� ��"����� "�� ����� ���" ���"�1� ��= �"�? �" ����� "� �"� "��" . �� ���"�1�

��= �"� �� � � � �( �� �. �� ����"�1� ��= �"� � � "�� ���� 1����� �� . �� :��; "���� "������ 1����� �� �.� ��� ������ ���" ����"�1� ������= �"� � � ���"�1� ������= �"� ���"�� �� �������(� ���� ��1�� "�� ������

��� ��" "����� �� ���" � /�( "� ���� �7� /��"�� � ���� ��0�� " . � � :;�;; ������"�1� � ���"�1� ��= �"� /�"���" ��1� � "� = � "�� ���� 1������ * ��� "� �"�"� "���"�����? ��� �� ���� �"�"�� �

'�3������ ��2�2# "� . � �� � � ��� ��� ���� �� .� �� � � ��� �� ������� ������� �� �B�� � � �� � ������ ��� �� �B�� � � �� � ��� � �� .� ���� .� + . ��� .� ���� � � ������ �� �� . ����� ������� �� ��� �� �� � �� .�

��� �����/� � "����� �� ��1�� � G#H

������� ��2�2& "� ; � � ���� ��������� 1�� � ���� ��� � . � � :;�;; � ����$����� ��� . �� ������� ����� �� ��� ��� �� ��" :3 :.;�; � �� � � � + �� � � �� ��1 3 :.; ����� �� ��� �� �� . ���� ���� �� ��� ��� � ����� �� ����� �� ;�

/����4 ���� "����� �� ��1�� ( � ���"�� � �� *" �� �����( "�� �� � + �� 5������ "�� "��" �" �� "�� �� ��� /��� � � �� 5� �� ��" :3 :.;; � � �" �����/� "��" ��� "�� ���� 1������� � 7��� �� "��( ��� ����"�1�C 5������ �"� ��� "��� �� ���� �1� ��� �� "���/���� �� ���"�1�? �1� ������ "�� �����" �� ��� "�� ���� 1����� �� - �/ "� � ����"�1�?�3���� � ��" :3 :.;;� '��- "/�? 7� � � 7� � � ��" 3 :.;� + 7� /��� � �+ + �� � + �� �

Page 252: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$� ���� ������ �������

� � :�����; + � ��/ �� � � ���� B ���� �� � ����� " �� ��� :�����; � "�� �� �� "������ ���� 1����� � � :�����; + � � ���" �����"�"�� ���/�

:3 :.; :���� B ����; � ���� B ����;

+ ����� 7� ����� B ����� 7� ����� # �

��/ ��""� � � � � ��� � "�� � ���"�� �(��"����� �������

:��� ;3 :.;

��

+ ��3 :.;��� � + :3 :.;���; � �

��/ "�� ���� ��� �� �6 � � � K �� + � �� ��� � � "�� ���� ��� �� ��� :�����; + � � ��� "��� ���" � ���� � 7�� � � � � /���� �� � �"� �� "���� �������� �� � � � 6�/�1�?"�� =�" �����"�"�� /���� �3��� "��" :3 :.;���; # /���� "�� ���� � /���� �3���"��" :3 :.;���; � � ���� �� "����"�� ���/� "��" ��� "�� ���� 1����� ���" � ����"�1������ ��1�� "�� �� ��" �� "�� "������ ��� � �( �� ��" �� ���" "� "�� �����

�������� ��2�2� "� ; � � ���� ��������� 1�� � ���� ��� � . � � :;�;; �

�� ��$����� ��� . �� ������ ����� �� ��� ��� �� ��" :3 :.;�; :��;� � �� � �� + �� � � �� �� 1 3 :.; ����� �� ��� �� �� . ���� ���� �� ��� ��� � ����� ������� �� ;�

/����4 ���� �� �������"� ��� "�� ��1� "����� ( �"� � "��"? �� � "�� ���� ������� �����#? . �� ���"�1� ��= �"� �� � � � �( �� �. �� ����"�1� ��= �"�� �������? ����" :�3 :.;�; � �� ��� � + �� � � �� �� �" �����/� "��" . �� ���"�1� ��= �"�� 6�/�1�?

��" :�3 :.;�; + :��;� ��" :3 :.;�; � ���� ��1�� "�� ������(�

���! 7�� ����� &�/��

,�"� "�� ��1� "���(? �" �� ������� "� "�-� ���"�� �� ��/�� �� ��"�� ����� "� �� � :;�;;/��� ; �� � = �"� ���� ��� �� 6���" ������ ��� ��� ����" �� "�� �����/� � "������

������� ��2 2� "� . � � :;�;; � �� ��$���� ��� ��������� ��� � � � � ����������� � ��� �� ����� � ���#� �� ��$���� ��������� " � � :;�;; ���� ���� "� + .�

/����4 .( ������ ������? "��� ����"� � �"�� ���� ���� �� ���� 1��"�� �� .� ��(�!���� ���� "��" .! + 7!� �������? ( ������( �����%? . +

� 7! � !�

��/ ( ����� �����#? ���� 7 � � �������? �" ��-�� �� �� "� ��= �

" ��

7��� ! � !�

*" �� ���( "� 1���( "��"

:! � !; :!� � !�; +

! �� � �+ �! � ! �� � + �

�������? � ���" �����"�"�� 1��=�� "��" "� +�

7! � ! + .� ���� ��1�� ����"� ���* ��� "� ��1� � �3�� ���? ��" � :�; � � ���( ����� /���� ��� "�� ����"( "��"

� :7; + 7��� � ��� � ������ ���" �����"�"�� ���/�

� :.; +�

� :7; ! � ! +�

7��� ! � ! + "�

Page 253: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ���� ���������� �$�

��/ ������� '� + . /��� ' � � :;�;; �� ���� ��0�� " � � � ���"�1�� ���

'" + '� :.; + '��'�

�+ �

�'�

�' + "'�

�������? �"�'� �� � �����"� � �����( �� �� �� "� �����"�� � /���� �� �"� ������0�� "� ��""� � 3 :"; � � 3 :'; �� �"� ��"���� �� "���� �� �� "� �����"�� � "�-� /�"� �����" "� ���� =��� �"�� ���� ����? �-�� � � ��-��� �" �����/� "��" 3 :"; � � 3 :';�����"� � � "��" �"� �� � ����� ���7�� :����� ������;� 5�� "�� ������ �� � ���"1��=��"�� �� "�� ����� "�� "/� ��"���� �����"���

" '; � ; � ;% � Æ � % Æ � %�� � �� � ��

3 :"; 3 :';

�������? ( ������ ������? "���� "/� ��"���� �� � �����"� �����( ����� ���7��� ����

���3 :";� + 5�� ���3 :';� + 5�

/��� "�� 5 �� � ����� �� ��"�� �� ���"� � �� "�� ���� 1����� �� "� ��� ���� � "���� "���/��?

���3 :.;� + ���3 :";�� + 5�

� �

���3 :.;� + ���3 :';�� + 5�

� �

�������? 5�� + 5�

� � � �� �� "�� ����� �� � "��� �� 5 �� � ���"�1�? "��� �3���� "��"5� + 5�� �������? 3 :"; + 3 :'; � � �� " + '� ���� ��1�� "�� "������

���" &��� ��������� ����

� �������"�� �� ������ ������? �� "�� �����/� � �� ���� "�� ����"? ����"� " � ���L��"�� ������ "���( � � �� "� ��� ����� ���� *" �� ����"���� ������ "�� ���" �������������"�� � ��� �"�"�� ���� �� "��" /���� �� ��� � �� "� ��� ����� ���? ��� ��������� <�"� G$H� !� 8" �� ���� "�� � � "��� "����� /�"� � � �"�( "� �����"�� � *"�� �" ��� ,�� "�� �����/� � "����� �� ������� � �� "� ��� ����� ���? + �� �����( "��������"�� ����� "? "�� ���1�"�1� �� � � �� �� ��� ��� ���� ����" �� "��� ���� L��� �� ����� "� "��� ���� ��� �� ������ * "��� �� "��"? � �� ������ "�� ���" �����( <�� �"�� "� ��� *" �� � ������ �� ��/ � ��( �� �"�"���� � ���� �� " �� ���� ��"�� ��

������� ��2#2� "� ; � � 1�� � ���� �� �������� � ��� � < � � 1�� � ���� ���������� � � � ��� � + � � :;�< ;� ��� �� ����� 9 � � :;�< ; ��� � � � :;�;;���� ����

+ + 9�� � + ���

� ������� �� � � ��� ������

�� + + �+�9�9 + 0�

��� �9�� + ��� �

Page 254: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$# ���� ������ �������

/����4 :+ �+ ;�+ + �+ � � �� ( ������ ������? "��� �� � �"�� ���� ���� ��

���� 1��"��? �-�� � � ��-�� ���� "��"

+ �+- + 7-�

*" �� ���� ���� "��" 7 � ������

7 :-�-; + :+ �+-�-; + :+-� +-; � �

��"

� �����

7��� - � -�

��� �� + + �+� � + ��� � � "�� ���� 1����� �� ���7���

��

���� ��� � ���"�1��

��/ 9 �� ��= �� � � :;; (

9�� � +��

���� �� /��� ��= �� ������ �� ��� + ���� "�� �� :�� � ��; + � � ��

+ :+ �+ :�� � ��; ��� � ��; + �+ :�� � ��;�� �

��/ �9���� + ����� ������

�9���� + �+��� + :+��+�;

+ :+ �+���; +������

�+ :�����; + ����� �

��" ���� � � ����� � � �"�� ���� ���� ��

� :;;� � �� � ; K :�� 6; + �� ��� 6 � � :;;�

� � ��" ���� � � ����� � � �"�� ���� ���� �� + :;;�� ��� � � � ������ �� �+ :6;����

�� � �"�� ���� ���� �� + :;; � �" �����/� "��" �� :6;���� �� �"�� ���� � � :;;������

:�6� �6�; +���6� 6�

�+ :+ �+6� 6�; + :+6� +6�; �

�������?

�B $ + � � � + � B ���� :;; � � B $�

��/ ��= � 9 � � :;�< ; ( 9� � �� � + �� � � �� �� ��"� "��" 9 �� �����( ��= �� � � :;; �

*" ��� �� ��"� ��� ( "���� � /��" 9 ���� "� � ���� �� � :;;�� ���������9

���

��

�� B �-

�������

+

�������

��

�� B +-

������

+

����

���� B �+-��

+��

��

���� B ��-�� +�����

����

�� B �-

������

Page 255: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ���� ���������� �$$

� � �� �96� + �6� /���� ������� "��" �� ��� ����

���� B ���� B ��� :���; + ��B ���

+ �9 :�B �;�� + ���� B ���� B ��� :9��9�; �

�������? �� � ����� ������?

:���; + :9��9�; + :9�9���;

�� ��� ��� � � �� 9�9 + 0 �� �������� ���� ��1�� "�� "��������� �����/� � ������( �����/� �� � ������ �� ��3�� �� �� "��� "������ *" �� ������ "��

���" ���� ���������"�� �

�������� ��2#2� "� + � � :;�< ; ��� ������ � � � �� ; �� � 1�� � ���� ���������� � ��� < �� � 1�� � ���� �� �������� �� ��� �� ����� � ����� ����������� ��� �� � :;�;; � �� ��� �� ��� �� � :;�< ; � 9� ���� ����

+ + �9� 99� + 0�

/����4 ������ "��" ��� + � � � :3�;�+ ��3�� ��/ ����( ������ ���$�� "�

+ � � � :;�< ;� ����?

+ � + 9��

/��� 9� � � � ��"���( "�� �� ��"�� � �� "��" "������ ���

+ + �9

� � 99� + 9��9� + 0 � ���� ��1�� "�� ������(���� �����/� � ����"� �� "����� �� "�� ���� ���������"�� �� � ����� " �� � :;�;;

�� � ������(�

�������� ��2#2� "� + � � :;�;;� ��� �� ����� � ����� �� ��������� ����� � :;�;; � �� ��� � ����� � ��� �� 1 ���� ���� + +�1� ��� �� ����� � ����� ����������� ��� �� � :;�;; � �� ��� � ����� � 9� ���� ���� + + 9��

���� ������( ��� � ����� �"� � ���"�� "� "�� 3���"�� /��"�� � ��1� �� �� "� �L����"�� �� ����� ������ "��" � � � ��"��? .� �� ���� �� ..� + .�.� ��"�� "������ ��= �"�� �� � ����� " �� � :;�;; �

������� ��2#2 "� + � � :;�;; � ��� + �� �� �� �� ��� ��� �� �� 7� �� � &*�;�*9� + �9 ��� 1� + �1�

/����4 * /��� ��1� "�� �"�"��� " ���" 9� + �9 � � ���1� "�� �"�� ��" �� � �������� 2��" ������� "��" 9� + �9 � � ���/ + �� ����� �� ��� /�"�?

�9� + :9�;�+ :�9;

�+ 9���

�������?

+ �+ + �9�9� + ��

++ � + 9��9� + �99�� + ��

Page 256: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$% ���� ������ �������

/���� ���/� + �� �������/ ������� + �� ����� *� 9� + �9C 5� �� + �� ����?

++ � + 9��9� + 9��9�

� �

+ �+ + �9�9� + ���

�������? 9��9� + ��� � � �"� �� � ���"�1� � � ���� ��0�� "� �������? "�� �3�����"� �� �"� ����� ���" � �3��� ( "�� � �3�� ��� ��" �� "�� "����� � ���"�� �� ��/���*" �����/� "��" "�� �3��� ��" �� "�� =�"? 9�9� ���" �3��� "�� �3��� ��" �� "�� ���� �?�� �������? 9�9� + � � � �� 9� + �9� ���� ��1�� "�� "����� � � � ����� ��� �"������ � /���� � � � 1 �����"� �� ���" �� � ��������

���# ��� 1������ (���� ��������� ���

* "��� ���"�� ? . /��� � � � � ��"��� �� ��� /�"�? ��� �� � ������ ������

%���� ��2&2� "� . � �� � � ��� ��� ��� .�. �� �� ��$���� ��� � ��� �������� ����������

/����4 *" �� �1���� "��" .�. �� ���� ��0�� "� 5������ .�.� + 7�� ��� 7 ���� +:7���; + :.�.���; + :.��.�; � �

'�3������ ��2&2� "� . � �� � � ��� ��� �� ������ ���� �� . � �� �#�� ������ �� ������� ������� �� .�.�

,�"� "��� ��= �"�� � � ����� ��� �� "�� ��� "����� � "�� �� ���� 1���� �����L����"�� �

������� ��2&2� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ���� ����� � ��� ��� � ��� ��� �� ��� �� ��� ��% ���� ����

��.� +

�:

�� : �� �� �� �� �

: +

��� :� � � �

:�

����� �� : �� ������ ���� �� .�

/����4 .( "�� ��1� ����� � � ������ ������ "��� ����"� � �"�� ���� ����?�-���� ���� "��" .�.- + :� - /��� :� � �� � + �� � � �� � � � �3���� 7�� �� � � ������ �� � � �� .- + + ������

:.-� .-; + :.�.-�-; + :+�-; + �

2� � + �� � � �� �� ��= � � � �� (

� � :�� .-�

Page 257: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ��� ��� � ��������� �$�

���� .- + :�� ��/

:����; +�:�� .-� :

��� .-�

�+

�:�� -� :

��� .�.-�

�+

�:�� -� :

��� :��-�

�+

:�:

:-�-�; + � �

���� ������ �� � �"�� ���� ��" �� 1��"�� � �� � ����?

..�� + ..�:�� .- + :�� ..�.- + :�� .:� - + :� ��

��/ ��"� � ������ "� � �"�� ���� ���� �� ��� �� �� � ������ � � ��" � � :�� � � � ��;/���� � � :-� � � � -�; � ���� � �� "�� ��"�� /���� ��� "�� � �� ����� � � � � �� ��= ���� "�� ��"�� /���� ��� "�� - �� ����� �� ���

��.� +

��������

���������������

��������. :-� � � � -�;

+

��������

���������������

�������� ::��� � � � :���+ � � � +;

+

�:

/��� : �� ��1� � "�� �"�"��� " �� "�� "������

��� �� ���� 1���� ���������"�� ��� �� � �������"� ������( "�� �����/� � � "���"� �����"�

�������� ��2&2 "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ��0 �� . ��� .�#��� �� ���� �� ������ �����

/����4 5� �� � � � � �� � �"�(? �" �����/� "��" � - :.; + � - :��.� ; + � -

�:

+

��� �� �� ���� 1������ � ������ ����� " ����� �� .����� �� ���� 1���� ���������"�� ���� ��� � 1�( � "���"� � �� ��"�� "� "�� �����

�� ����" �3���� ����"�� �� ������ "��" �" /�� ������ "� = � � ���� "��" �.�� �� �� �� ������� �������� ����� ������ ���/� "��" "��� �� � ����"�� "� "��� ����� /���� �� � ��� �( ���1� � "�� �(�"�� .�.� + .��� ���� � /���� ���1�� "��� �(�"�� ���1�� "�� �� ���7�"�� ����� �� /�� ���/ � "�� ����� 0��" �� "�� ��� ��/ �� ���� "��� �3��"�� �� "������"�� � �� "�� �� ���7�"�� ����� � "��� �� "�� �� ���� 1���� ���������"�� �

�� �� ��

�:

��

� �� ��

�:

� �� +

�� �� ��

�:

����

�������? "��� (����� "�� �����/� � ��� ��� � ���- ���"������"�� � � ���"���(� � � "�����" ( � �� �

:�

� �� +

�:

���� :����#;

Page 258: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�$� ���� ������ �������

� � ����"�� "� "��� �3��"�� /���� �� 1�( ���( "� ���" ��

� + �

�:��

���� :����$;

���$ ��� 0��� &����� )�4���

���� ��"����� ����"�� �� ����"� " � ���� "��" �" ��"�1�"�� "�� �����/� � ��= � "�� �

'�3������ ��2�2� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� )�� �� �� ��� � �� .������ �� .� �� ���� ��

.� � �

�:��

���

���� .�� �� � ����"�� "� "�� �� ���7�"�� ����� "� = � � /���� �� ���7�� �.�� �� �* ���"? � � �� ��( ��� ���" "����

/�� ������� ��2�2� .�� �� �� ������� �� �� � ��� �� ������%��� �.�� �� �� � ������ ��� ����� �� �� ������..�� � �

�� �.�� �� �� � �

��� �� �� ������� �.�� � �� �.�� �� �� � �� ��� �.��� ���� �

/����4 �� ���� � ��"���(� � :����#; /���� ��� �������" ��� ���� �� �3��1��� " "���-� � �� ��� �� ����� �� ������� ������ � � �� � �"�( � � �� �" ����1�� ���� 2� 6 �1��"�? �� �"� ( :6;� "�� 1��"� � �� /���� �� ���"� �� "�� =�" � � "��� �� 6� ��� �� ��� � ����"�� "� :����#; �

:� :� ��;�+

+

�: :���;�

+

� � �� :� ��;� + :�� :���;� � ���� "�� =�" � � "��� �� � �� �� ��"��� ��� * ��� "���-� �� ��� �� ����� �� �������? "�� ���� � � �� � � "��� ������ �3��� 7��� �������?

� �� +

�:��

���

/���� ���/� "��" .�� + �� ���� ��1�� "�� ������"�� �

%���� ��2�2� �� ��� �� .� ������� �� ������� �����������

..�. + .� .�..� + .�� .�. ��� ..� � 1 ������� :����%;

/����4 ��� ���� �� ������"��( ��"� � � � �� ���" "� "�� ������ ���� ��� � "���"� � ���1�"�� �� "��" .� �� �����"��7�� �� �� � "�� � �3��

��"�� /���� ��"��=�� :����%;� ���� �� "�� �� "� " �� "�� �����/� � �������

������� ��2�2 "� . � �� � � ��� ��� ��� � ��� �� .�� �� �� )�� �� ����� � �� . �� ��� ��� �� .� �������

..�. + .� .�..� + .�� .�. ��� ..� � 1 ������� :�����;

Page 259: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� �� ������ ������� �$&

/����4 2�� "�� ��1� �����? "�� 4��� '� ��� � 1��� ��"��=�� :�����;� 5������"�� "��" .� ��"��=�� :�����;� *" �� ������( "� 1���( .� + .�� ������ "��" ��� "���� ���� 1���� ���������"�� ? "��� ����" � �"�( ��"����? � � � � ���� "��"

��.� + T ��

:

� . + �T� ��

��"

� �.�� +

�8 19 6

:�����;

/��� 8 �� � �����" ��� "�� =�" �3��"�� �� :�����; "� /�"�

� �� ��T� �

�� �� ��

�8 19 6

��

� �� ��T� � +

� �� ��T� ��

��� ���"���(� � �"� ����� � "�� ���" ( � � � � � "�� ���" ( ���:

�8 19 6

�:

+

�:

��/ "��� �3���� �

:8:

+

�:

� :����&;

�������? 8 + :��� ��/ ��� "�� �3����� " "��" ..� �� 6���"�� ?

� �� ��T� �

�� �� ��

�8 19 6

�� + �

�:

�8 19 6

��

���" � 6���"�� � �������? �" �� ������( "��"�:

�8 19 6

+

�:8 :1

+

�0 :1

�� 6���"�� � ��� �

0 :1

+

�0 �

1��

:

/���� �3���� "��" 1 + � 2�� "�� �3����� " "��" .�. �� 6���"�� ? �" �� ������("��"

�� �� ��

�8 19 6

��

� �� ��T� � + �

�8: 9:

� �

+ �

�0 9:

� �

Page 260: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�% ���� ������ �������

�� 6���"�� � �������? ���� �0 9:

�� 6���"�� � ���� 9 + ( ���� � � ������ "� "��" ���� "� ���/ 1 + �

I�� :�����; � � "�� ���� � �3��"�� �� :�����; "� /�"�

�� �� ��

�8 19 6

��

� �� ��T� �

�� �� ��

�8 19 6

�� +

�� �� ��

�8 19 6

���

/���� ������� �8 19 6

�:

�8 19 6

+

�8 19 6

���� (����� �:�� 6

�:

�:�� 6

+

�:��

:���� ;

+

�:�� 6

� :�����;

�������? 6 + ���� � � ��

� �.�� +

�:��

/���� ��(�

.� + �

�:��

�� � .��

���� ��1�� "�� "��������� "����� �� ��� �=�� " ������ "��� �� � �� "�� �� ���� 1����� � ���� 1��"�� �

"�� �����"��7�"�� �� "�� 4��� '� ��� � 1��� ��1� � :�����;� *" ���� ���/� �������"��("��" "�� 4��� '� ��� � 1��� �� � �� ����7�"�� �� "�� ����� � 1���� 5�� '���� #�

���% ��������

�� 5��/ :.�;� + . � � :.";�+ "�.��

�� 5������ . K ; � ;� � � � �����" �����? � � . � � ���� ��� � :.� ; � ����� � ; � � . + .�� 5��/ "��" . ��� � �3��� ��"? �� ���� "��" �� + .� 5���4

��" �&������ � � �"�� ���� ���� �� ���� 1��"�� /�"� .&� + 7�&�� 5��/ ����7� � � � �� ����

� ���

���

7���� &� � &�

�� '�1� ������( �����&�

#� 5��/ "��" �� . �� � � � ��"�� /���� ��� � � 1��� "�� .� + .���

Page 261: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� � ��������� �%�

$� I�� � "�� �� ���� 1���� ���������"�� ? ���/ "��" �� � ( �3��� ��"��? .� �" �����/�"��" .�. �� � �"���( ������ "� ..��

%� '�1� "��" ������ �����% � � ������( ������ �� � �"� �"�� �� �� "��" "���� ��"�� � "�� .� �� ������( �� /��� �� ����� "� 5���4 �� ���� 1��"�� �� "��

���

��

+

/��� � � �� �

�� 5��/ ����"�( "��" �� . �� � � � ��"�� � � . + .� :. �� 6���"�� ; "�� ��� "������ 1����� � � ���� 1��"�� �� ��� � � "��" ���� 1��"�� �������"�� /�"� ���"� �"���� 1����� �� �"���� ��? :"��� � � �����" �� 7��;�

�� ��" -�� � � ��-� � � �"�� ���� ���� �� �� � ��" 1 � � ��"�� /���� ��� ����� ��-� 5��/

1�1 + 11� + 0�

&� 5��/ "��" � ��"��? 1 �� � �"�( �� � � � �( �� �" ����1�� ���"� ���� ���� ��� ��1-� + �-� �

� � 5������ �-�� � � ��-�� � � �)�� � � ��)�� �� "/� �"�� ���� ���� �� �� � � �������1 �� � � � ��"�� ��"���(� � 1- + )� ��� ���/ 1 �� � �"�(� *� �-� + �? ���/"��� �� � � �"�( "� �����"�� /���� ���� - "� ���

��� 2� ��� "�� ���� �� ������ ���$�#�

��� ��" . � � 6���"�� ��"�� �� . + .� � � ������� ��� ���� 1����� �� . �� ����"�� �� 5��/

:.-�-; � � �-��

,��� ���? "�� � � �����" ��

:-��; ���

���

!�&� �

��� ��" ; � � � � �����" ������ 5��/ �B �� B �� �� + � ��� B � ��� � ���� �������� "�� ����������� ��� "�"(�

Page 262: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%� ���� ������ �������

Page 263: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� � '�� '����� �� ������

!����� �����

* "��� ����"�? ; � � < �� = �"� ���� ��� �� 1��"� ������ /���� ��1� � ��� ��������/� � �� � ��= �"�� �

'�3������ � 2+2� - ��� ���� ; �� � �� �� ��� ���� �� �� �� � �� � ���� ��;� ����� ����������

����� � � ����� + �� ��� ��� �� � + �

���B ��� �����B ����� �

������ + ��� ��������� � �� � ���� � - �� � � ;� � �� �� ��� ���� �� ��� �� �� � � � � ���� ����� Æ � ���� ����

" :�� Æ; � � K ��� ��� # Æ� � ��

���� � �� �� ��� �� � � ����� �� �� �� �� �� ��� �� ������

�� ��� /�"� ����� "�� �����( 5��/�7 � �3����"( /���� �� �"�"�� ��� �� �� 1� �� ��� "��� �� "�� � � �����" �����? � � �

������� � 2+2� �� ������� ��#����� ���� �� � ��� � � ����������

����� �

����

��������� ��

��

� ������

� :�#��;

'�3������ � 2+2� "� :;� �����; � � �� �� ��� ���� ��� � ������� � � �#��� ������ �� ��� ���� �� ��� � 7����� �#��� �� �� � - � �� ����� D ���� ���� ����� � D� ���

��� � ��� # -�

���� �� � ���� �� � �4� ��

��������

��� � ��� + �

�%�

Page 264: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%# ��� �� ������ ��������� ����� ������

'�3������ � 2+2 - �� �� ��� ���� :;� �����; �� ��� � C����� ���� �� �� �� ������� ���� ���� ���� ���� ���� �� � 7����� �#��� �� ����� � ���#� � � ;���� ���� ������ ���� ���� + �

��" ; � � = �"� ���� ��� �� ���� �� �� ����� /�"� �� ����� /��� "�� =��� �������� �� �� �"�� ( � � � �� � ���"��� "� � ��"�� � � � � ��" �-�� � � ��-�� � � ������ ;� *� � � ;� �� �"� ( "�� �

�� ����� � " �� � /�"� �����" "� "��� ����� ����

� +

����

-�

'�3������ � 2+2# �� � � ; ��� �-�� � � ��-�� � ����� ��� � �� �� � ��

��� ��

����

�������

'���� � �� � � < ���� ����� �)�� � � ��)��� ��� ��� ��������� ���� ���� �� ���������

��� ��

����

�������

�� . � � :;�< ; � �� ���� �� ��� �������� � �� ; �� <�

��.�� � �����.�� K ��� ��� :�#��;

��� =�" "�� � "� ���/ �� "��" "�� "/� ���? ����� � � ��� � �� �3��1��� "� ���� ��� �"�� �� ������ �� "�� �����/� � "����� ������

������� � 2+2& "� :;� �����; � � ���� ��������� �� �� ��� ���� ��� � ��� ���� ��� ���� ���� �� � ���� ����� �-�� � � ��-�� � ��� ��� �� � �� � ��� �� ������������� �S � �������� �� � ���� ����

Æ ����� ��� S ����� � :�#��;

/����4 ��� �� "�� ��1� ����"��� �� � �� �� �1���� �����" "�� ���� �? "�� "�� ���� �3����"(� �� ��"����� "��� � �3����"(? ��� "�� �����( 5��/�"7 � �3����"( "� /�"�

��B ��� �����

� B �� ����

��� B����

��� B �������

���� B ���� B �

�����

�������� ��

��

�������

+ ���� B ���� B � ��� ��� + :���B ���;�

� � "��� ��1�� "�� ���� � ����"( ��1��*" ���� � "� ���/ "�� �3��1��� �� �� "�� "/� ���� .( "�� �����( 5��/�"7 � �3����"(

���� ?

����� ���������������

-

����������

����

�� ��-�� ����

����

��-�������

� �� ��� �

Page 265: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%$

���� ��1�� "�� =�" ���� �� "�� � �3����"(�5������ "�� ���� � ���� �� "�� � �3����"( �� �" 1����� ��� "��� ����"� � ��3�� ��

�� � ; ���� "��" ������ � ����������� � � + �� �� � � ��

��� ��= �

�� � ��

��� � �

*" �����/� ������ + �������� � �

���������� � :�#�#;

��""� � � � "�� ����� � "� �� �� /�"� �����" "� "�� ��1� ����? �" �����/� "�� 1��"���� � � � �� ��

��� � � �" 1��"� � �� � .( "�� 6�� � .��� "�����? "��� ����"� � ����3�� ��? �"��� �� �"��( � ���� "��" �

�� � � � �� ���� :�� � � �� �; �

*" �����/� ��� :�#�#; � � "��� "��" ��

� +

����

-�

+ ������

���������� + ������

��������������

� -

���������� +

��������������

-

����������

�" �" ��� "�� �3��� 7��� ���� �� "����"� "�� ������"�� "��" �-�� � � ��-�� �� � ����� � ��1�� "�� ���� � ���� �� "�� � �3����"(�

�������� � 2+2� /� :;� �����; �� � ���� ��������� �� �� ��� ���� ���� �� �� ������ � � + � � � ��� ; �� ������

/����4 ��" ���� � � �����( ��3�� ��� ��� ��""� � "�� ����� � "� �� �� /�"� �����""� "�� ��1� ���� �

�� � � � �� ����" �����/� ��� ������ �#� �%? "��" �

�� � � � �� ���

�� � �����( ��3�� �� � �� � � ����� � � � �� ��

�� :�� � � �� �; � �� �����?

�� +

����

� - �����

- � ;�

���� ��1�� "�� ������(�

Page 266: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%% ��� �� ������ ��������� ����� ������

�������� � 2+2( '����� ; �� � ���� ��������� ��� ���� ���� �� �� �� ���� ���� � � � ��� ����� ��� ������� � ��� �� �� �� ;� ��� �� ���� ������� ��������� ��� S� �������� �� � � ; ���� ����

Æ ������� ����� S ������� �

���� ��� ��� �� �� � #�������

/����4 ��" �-�� � � ��-�� � � ���� �� ; � � ��" ��� � "�� �� "�-� /�"� �����" "�"��� ���� /���� /�� ������� ������ ��� ( ������ �#� �%? "��� �� ����"�1� �� �"� "���S�� ��S�� ��� � ���� �� " �� � �; ���� "��"

� ������� ��� S� ������� �

� ����� ��� S� ����� �

���

� ������� ��� S� ����� S�

���� S�S�

��������

� � ��

�S�

������� ����� S�

��������

/���� ��1�� "�� ������(�

'�3������ � 2+2� "� ; ��� < � �� �� ��� ����� ���� �� �� �����) ��� �����* ��������� ��� � :;�< ; ����� �� ���� �� ��� � ����� ������� ��� ������ ��� � ����� ������� ������� ; �� < ����� ��� �� � �� �� ����

��.�� � ��� ���.��* K ����) �� #��

��� ��.�� �� � � �� �� �� �� ��� �� � �� �� ������ ��� � ����� ������ .�

*" �� � ���( ������� "� 1���( "��" ����� �� � �� � � :;�< ; � � �" �� ��/�(� "�� ����"��"

��.��* ��.�� ����) �

������� � 2+2�+ "� ; ��� < � ���� ��������� �� �� ��� ����� �� ��������� ��� � ������� ��� ���� �� ����� �� �� � �� ��� ; � < � ��� �� . �� ��� ��� �������� ������� ; �� <� ��� . � � :;�< ; ��� :� :;�< ; � �����; �� � ����� �� ����� ���� �� �������� �� ����

��.��� ��.�� ����� �

/����4 *" �� ������( "� ���/ "�� �� ��= �� � �� �� "� �����"�� � ����( �� � ��� ���� "�� =�" � � "��� ����"��� ���"�� ��1� �� ��� �� �1����� *" ���� � "����/ "�� ���� � � � 1���( ��.�� # �� ��""� � �-�� � � ��-�� � � ���� � � ��� ��= �� /�"������" "� "��� ���� �� ��1�? "��� ����" �� �"� "� �S � ���� "��"

Æ ����� ��� S ����� �

Page 267: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%�

��� ?

��.B"�� � ������:.B"; :�;�� K ����� �� ������.��� K ����� ��B ������"��� K ����� ��� ��.��B ��"�� �

���" �� ���� "�� ����� "��" ��.�� #�� ���� �����/� ���

��. :�;�� +����������.

�����

-

�����������

����

�� ��. :-;��

����

����

��. :-;�������

S ������

����

��. :-;�������

#��

���� ��.�� S��

�� ��. :-;�������

���" �� ���� "�� ����"�� ���" "�� ���� ��� �� � :;�< ; � ��" "�� "/� ��"� �� �����

�-�� � � ��-�� � � �)�� � � ��)��

�� ; � � < �����"�1��(� ��" ) � -� � � :;�< ; � ��= �� (

) � -�-� �!

+ �� � �+ �) �� � + �

� � ��" � � � :;�< ; � ���

�-� +�����

���)�

�� ���� ��� � ����

�����

�����

���)� � -� :-�; +

�����

���)� �

*" �����/� "��"

� +

�����

�����

���)� � -�

������ "�� "/� �� �� "� �����"�� � ���� � � ����� 5� �� � �� ��"�( "��� ���/�

�) � -� K � + �� � � ���� � + �� � � �� ��

��� � � :;�< ; � *� ���

��) � -� + +�

Page 268: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%� ��� �� ������ ��������� ����� ������

"��

+ +���

��) � -� :-�; +����

��)

� � ��? �� �� �)�� � � ��)�� �� � ����? �� + �� ���� � + �� � � ���� 5� �� � �� ��"�(?"��� ���/� �� + �� ��� � � � �� ���� "���� �� �� "� �����"�� � ��� � ���� � � "������/� "�� ���� ��� �� � :;�< ; �� �� �� �������� .( ������( �#� �� :� :;�< ; � �����; ��������"�� *� � �+ +�

��.��� �

����� +��������. �

������������� ��.��

���� ��1�� "�� "��������"� ( ������( �#� �� (�� �� ��= � � �� � ( /�( ������ � � ( = �"� ���� ��� ��

�� �� ����� /���� ��� "�� =��� �� ������ � � � � � � ( �"�� /�( �� ��= � � � �� � "��� ����� (����� � �3��1��� " ��� ����? �" ���� 8" ���� ��""� �� �� �� �"�� � ���� 1��� �� �� �� �� �� /���� �� �� ���� �� � = �"� ���� ��� �� ������ * ��"������ "�� ����� �� � � ��"����? (�� �� ��� "�� ����"� �� ��= �� ��1�? � ���� �"��/�( �� ��1� � "��� ����� � ��� � ������ ������ �� � �� �� "�� 2�� ��� �� ��= �����/�

'�3������ � 2+2�� )�0 �� ���� �� � � ��� ��� ���� � 1�� � ���� �� ������

:.�"; � �� :."�; �

� �"�� /�( �� ������ � � �� �� � � � ��"�� �� �� �����/��

'�3������ � 2+2�� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ���� � �� � �� .� � ���� ����.��� �� �

�����7���� K 7 �� �� ������ �� .�.

��

��"����(? "��� �� �"�� � �/� *" "� � ��" "��" ������ �� �"�� � ��� "�� "�� ����"� �� �� . "�-� /�"� �����" "� "�� ����� �������� ��?

��� +�

�����

��������

/�� ������� � 2+2�� �� ������� �����

��.��� + ��� ��.�� K ��� + �� � ��.�� �/����4 ��"� "��" .�. �� 6���"�� � � �� ( ������( �����$?

��.��� + ����:.�.���;��� K ��� + �

�+ ���

�:.��.�;

���K ��� + �

� ��.�� �

��/ "� �� "�� �"�� ����"�� ? ��" ��� �� ���

�.�� +���:.��.�;������ + :.�.���;��� ��.��� �

� � ��? "�-� � "�� ��� �1� ��� ��� �� �" �����/� ��.�� ��.����� � "���"� � �������"�� �� "�� �"�� �� �3��1��� " ��� � �� �� "�� ������ ��

��1� � � �� � � = �"� ��"���� �����" �� ���� �� �� �������

Page 269: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�%&

'�3������ � 2+2� "� ;� � + �� � � �� � � �� �� ��� ����� ���� �� �� ����� � ��

� � :�� � � �� �; ��-��

;

��� � K*�

��; � �� ��

� :�; � :������ � � � �� ������;��� �� ����� �� ��� �� � �� �� � ��� � �� � ��

*���;� ��� ����� �� ����� ��

����� � ������ ���� �����/� � "����� �����/� �������"��( ��� ������( �#� ���

������� � 2+2�# "� ; ��� ����� � ���� �� �� ���� �������� ��� ������ �� �� ����

*���; ��� ��� �� �� � �� �� �� �� �� �� � ��� ��� ��� �� ��� �� �� ��*�

��; ������� �� ���� ��� � #�������

2� �������? ��= �

������ �����

�� �

������ � ��� ��� � � + �� � � �� �� ��

������ +�

����

�������

� � ��� "��� �� �3��1��� " ��� � *�

��;�* ����"�� "� ������ � � ������ �� "�� �� ��1�? �" �� ����� "� �� ���� "�� �� ������ �

��� �� � � � � �'�3������ � 2+2�& "� � � � � � ��� ��� �� � � ��

������ ��

����

�������

��� �����/� � � �3����"( �� ������ 6����8� � �3����"(�

/�� ������� � 2+2�� �� ��� � � � �����

�� �� �

����

�������� ��

��

����

�����

��� ���� /��� ���� � � "�� �����/� � ������

%���� � 2+2�( /� �� � ��� �� �� ���� �� �� B �

�� + �� ���

� ��

�B �

���

Page 270: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� �� ������ ��������� ����� ������

/���� �� ��� /�� �������4 *� � � � �3���� "�� 7�� 1��"� "��� �� �"�� � "�

��1�� �������? ������ "��( �� �"� � 7��� ��" . + :��

�� ���;��� � � " +���� ���

������

� ��� ��� � ����� �#� ���?

����

��.

��"

����

0�

� ��.

B�

��

� ��"

��1

+ �

� � ��

����

�� �� ." +

�����

�������� ��

��

����

�����

���� ��1�� "�� ������"�� �

������� � 2+2�� �� � �� �� �� ���� ������� �� ������ �� � �� ��

/����4 *" �� �1���� "��" ������ ���� � ���� ��"���( ���" �� "�� �� ������� ��� � �(� � "��" �� �" ���� �� "�� "�� ��� � �3����"(� �� ��1� �"�"�� /�"� ����� � ����� �� ������� /��" �����/�� ��"� ���� "��" �

�� + �� �� ��� ��� � "�� 6���� � �3����"(?

���B ���� +

����

� B ��

����

� B ���� ��B����

� B ���� ��

+

����

� B ��

�� ��B����

� B ��

�� ��

����

� B �������

23� ����

�������

B

�����

�������

45+ ���B �������

������ B ������

��� ���B ��� ������ B ������ � ���� ��1�� "�� "������

*" � �( ���� � "� ��1� ����� �#� ����/���� �� ��� �����4 ��" �� + % "� ��1� � �"�"�� � � �� ���� "�� �����/� � ���"��K

+ ����

� + ���

� + �

������B+ �

���� +��

�B �

%�

Page 271: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ������� � ��� ���

��"� �3����"( ����� /�� �� + ����/ ��.��� ��( � �� ������ �� "�� ����"� �� �� . "�-� /�"� �����" "� ������ � *

"�� ���� /�� � + �� "��� �� 0��" "�� ����"�� ��� ���� �� � ���( ��"���"� �� ��.��� � "��� �� "�� � "��� �� .�

������� � 2+2�+ �� ������� �����

��.���

�����

����

�.�� �������

������

/����4 ��" ������ � � � ��" . + :��� � � �� ��; /��� "�� �� �� "�� ����� � �� .� ���

.� +

���

���

�� � �� ( 6����8� � �3����"(?

��.���� �������������

���

�����������

��

��� �������

��

�� ��������

������������

�����

����

�.�� �������

������

� � "��� ���/� ��.��� ��

�� �.�� ��

�������

� � ��1�� "�� "������

�!�� ��� ����� ��� �����

��" . � � :;�;; � � �� �� "� �����"�� /��� ; �� � = �"� ���� ��� �� 1��"� ������ � �� ���� "�� ����� . + /��� �" �� ������� "��� �� � � �3�� ����"�� "� "��������� 6�/ ���� "�� ����"�� ��� �� �� . �� ��� ��� � ��""�� �" � � �� �� ��� ��� ���""�� �"C ���� �� �����( � � "���"� � 3���"�� ������ (�� ��"� �� �" - �/ . � � ����"�(� *� � ����� ��� �� � "���� 3�� "�"��� ����"� � � ���� ��� �� � "�� ����"�� ? �"�� �" ����� ���� "��� /���� � � �������� * /��" �����/� ����� /�� ������� "� � �� ��"� �����"�� /��� ��/�(� ��� "� "�� ����"� ���

%���� � 2�2� "� .�" � � :;�;; � .�� � � :;�;; � ��� ������ ��"�� # ��.�� � ���

:.B";��

����� ��� ������:.B";��

������ ����.������ �������� �

�� ��.��"���������� �

�� ���� �� ��� ��0� ��� ���������.��"���� # �� -�� �� � �� ��� ��� ��� ���

� ����� ������

����� �

������� � :�#�$;

Page 272: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� �� ������ ��������� ����� ������

/����4 2� ���� �� �+ � � � � � � 1�"��� �� �� "� �����"�� ? + ���� � ��� ���� ����������� ����� /���� �������

����� �

������� ���� �

�������?

����� �

������� � :�#�%;

5������( ����������� �

����� � :�#��;

���� ��"������� :�#�$;�5������ :.B"; + � ��� + .

�0 B.��"

� � � �� �� �� . �� � � "� � �?�

0 B.��"� + � �������?

+�����0 B.��"

����� � ���� � ����.��"����

� � �� ��� :�#��;

���� ����.��"���� ����.������ ��"�� ���� :�#��;

��"����.�� ���� :�#�&;

/���� �� � �� "����"�� � ���� ���� + � �������? :.B";��

����"����/

:.B";��

+�.�0 B.��"

�����

����.��"���� ����.������ ��"�� ��"����.�� # � + ��0 �� �

��""� � .��" ���( "�� ��� �� " � "�� ��1� � � 0 ���( "�� ��� �� .� �" �����/��0 B.��"

�������"�� 6� ��

:.B";��

+�0 B.��"

���.��

� � �� ( :�#��; ������� "� 0 B.��"�������:.B";�������� ����.������ �������0 B.��"

��������� ����.������ �

��0 B.��"�� ����.������ �

:�� ��.��"��; �

���� ��1�� "�� ������

/�� ������� � 2�2� '����� . �� ��� ��� �+ � . + � ��� .�� + � �� ��.�.��� # ��.��� ���

��� � ������ �

:�� ��.�� :.� �.;��; ��.������.������ � ��.� �.��

��.�� B�� � ����� ��

� :�#�� ;

Page 273: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� �������� ���� � ���

/����4 *" �����/� ��� "�� ������"�� � "��"

.�.�B.��.�� + � ��

6� ��

.� :� �; + :.� �.;B � ��

��/ .� + :.B :.� �.;; � � �� ( "�� ��1� �����? .��� ����"� � � ��

:� �; + .��� :.� �.;B.��� : � �; �

.( "�� ��"���"� � "�� �����?

��� ��� ����.������

�� ��.�� :.� �.;�� :��.� �.�� ����B �� � ���; �

!�1��� � ( ���� �

��� �������

����.�������� ��.�� :.� �.;��

���.� �.��B �� � ���

����

:�#���;

��/ + .�.��

�� � �� �� �� ��.�� ����.�� ���� � � ��

���� + ����.�� ���� � �� �� � ��.�� ��������? ��� :�#���;?

��� �������

����.�������� ��.�� :.� �.;��

� ��.�� ��.� �.����.�� B

��.�� �� � ����� ��

����.������ ��.���� ��.�� :.� �.;��

� ��.� � .����.�� B

�� � ����� ��

/���� ��1�� "�� ������"�� �

���� ���/� "��" "�� ���?����.������ ��.�� � �� "��� ��/ �� ��"�1� "�� ���"�1� ��� �� �

"�� ����"�� �� . + �� "� ����� ��� ��� � . � � � ���� ��� �� ������ "�� �� ��"�� ���� *" �� � �� "�� � /�� �" �� ���� ������ � ����� ���"�1� ��� �� � � �� ������������ (���� � ���� ���"�1� ��� �� � �

�!�� ��� 1��� �� ������

�1� "����� �" �� � �� ��� �����"���� "� �����"� "�� >��� ���? �"� ����"� �� �� ��� "��"�� ����� � ��� "� ��1� � ����"� " "����� ���" ����"�� � /���� �� ���"�1��( ���("� �����"�� ���� �� "�� ����"�� ����� �� � ��"���

'�3������ � 2�2� ��� : :.; �� � �� ������� �� .� -��

4 :.; � ��� :�7� K 7 � : :.;;

�� ���� 4 :.; �� 0���� �� �� ���� � ����� �� .�

.���� ��� � � "��� ��������� ? �" �� ������( "� ��= � /��" �� ��� " ( �� 1��� ��� � :�� � �� ; �

Page 274: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ��� �� ������ ��������� ����� ������

'�3������ � 2�2� "� �.������ � � �#��� �� � :;�< ; �� ;�< � ���� ���������� �� �� ��� ������ ��� ������.� + . �� �� � � - � �� ����� D �������� �� � � D� ���

��.�.��� # -�

1 �� �� � � � �� ��� �� �� �� �� ���� �� � :;�< ; � C� 7� �� � &8�6�? ������ � &6�(�( �� ����@� ���� ����� �� �� ���� ��� �� ����� �� �� ������ ����� �� ���� ���� ����

�����

.� � ������

�����

.�

%���� � 2�2� '����� �.������ �� � �#��� �� � :;�< ; �� ;�< � ���� ���������� �� �� ��� ������ ��� ��

�����

��.� �� #��

/� ����� ����

�����

.� :�#���;

������ /� �� �� ������ ���� ��� ����� ���� ����

/����4 2� � � �� ������������

���

.� ������

.�

����������

�����

��.���

� � �� �� � ���� � ����? "��� "�� � "�� ���" � "�� ��1� � �3����"( �� ���� "�� -� 5� ��- �� ��"�(? "��� ���/� "�� ��"��� ���� �� :�#���; �� � �����( ��3�� ��� ������� (������( �#� �� �" �����/� "��" "���� ��"��� ���� �� 1����

��� ��" ����� �� �����( ��������� � ��1� ��� �������� ������ �" �� ��1�� ����� "�� �� 1� �� �� �� "�� ����� *" �� - �/ �� "�� ��" "��"�

%���� � 2�2 "� ���� � � �#��� �� ��������� � �� ��� �

� + ��� ������

����� �

��� �� � # �� �� ����� �� � �� ��

��� �� ���� �� ��� �� � � �� ��� �� ���� �� ���� ��� 6 �� �� � �� ��� ��� /� . �� �� � � ��� �� ���

� # ��� ������

��.������ � :�#���;

�����

��� .� ���� �� ���� ��

/����4 5������ � # �� ��� "��� ����"� D ���� "��" �� � � D�

����� # 9

Page 275: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� �������� ���� � ��$

/��� � # 9 # �� �������? �� ��� ���� �� �� # 9� � � �� ( �������� /�"� "�������"�� �����?

�9�� �" �����/�

����� �� �� 1�����

���" ������� � � �� ��� ��""� � � # 9 # �� �" �����/� "��� �� � = �"��( �� ( 1������� � �" /����

9 # �����

/���� ������� 9� # ��� ���/� � "��" �� �� �" �� 1��� "� ��� ��� "�� ���" �����? �� :�#���; �����? "�� ��� "�� =�" ��" �� "��� �����? ��.���

����� "� �� 1��� "� � � �����

��� .������

�� �" � �����( ��3�� ��� 6� ����

��� .� �

��������

��� .� �� �" ����"�

* "��� ���"�� � ��� �=�� " /�( "� ��"���"� 4 :.; �� ���� "��� *" �� ���� � "�� �����/� �������

%���� � 2�2# /� �7� � 4 :.; � �� . �� � � ��� �� ��� �� � ��

7

�����

.�

7�

���� ���

/����4 ��" G �� �"� "�� >��� �� � ���� ��� �� .�����? ��" ��.�� � ��� ���� � � �� � + �� �� � � �� �� ���� �� ���� � 1�"��� ��"��? 6� . + 6��G6� �������?

7

�����

.�

7�+ 6��

��

7

�����

G�

7�

�6�

��/ ��� "�� �"��"�� �� "�� >��� ���? G + 5 B D /��� 5 �� "�� ����� �� ��"���� ���"� � �� "�� ���� 1����� �� . ���"�� ������ � "� ������� ���"������"( � � D �� � ����"� " ��"�� /���� �����"�� /�"� 5� 5�( D� + � �������? �� � ���� ���� "�� �� ��( � � ���

G� + :5 BD;�+

�����

��

5���D ��

*" �����/� "��" ����G����� ' :��D; � :� � �; � � � :� ��B �; ��5���

� � ��

��� ������

��������G�7������������ ���

���

�' :��D; � :� � �; � � � :� ��B �; ��5���

�7������

+��5���7� # ��

�������? "��� ���/� ( "�� ��" "��" "��"��

���

������.�"� ������ �� 1����� �������? ( �����

�#���� �" �����/� "��"

������

7

�����

G �

7�

Page 276: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ��� �� ������ ��������� ����� ������

����"�� * ��"����� "��� ����" ����"� � �1�( �� ������ � � :�� � �� ; � � � � ��"������� �1�( ����"� ��� ��/ �� � ( ����"� ��? ��."�� ��.�� ��"�� � �������?�����

�����6����

7

�����

G�

7�� �

7

�����

G�

7�

�6

���������� ����6������ ��6�� �����

�������

7

�����

G�

7�� �

7

�����

G�

7�

�����������

� � "��� �� 1���� "� �� ���� �������?

7

�����

.�

7�� 6��

��

7

�����

G�

7�

�6

� � "��� ��1�� "�� ��������"����( "��� ����� �� ������( ������������ ��� � "�� "���( �� �� �"�� � �� � ���L

���� 1����� �" "�� "���( � 1��1� � "�� ���� " ����� �� �" ������� ���� * � = �"����� ��� �� ������ (�� ��1� "� ��� ������� 1����� "��� �3��� ��/�1��

%���� � 2�2& "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ��� ����� � 4 :.; � ��� ������ ��.�������/����4 .( ����� �#���$ � � ����� �#���#? �� �7� � 4 :.; �

��� ���

��������.�

7�

����������� ��

� � �" ���� 8" ��""� /���� �� �� ���� ������ "��( �� ��� �3��1��� "� �������?

��� ����������.�

������� �7� � �������? �� �� "��� ����� �� ��� �7� � 4 :.; � "��� ��1��"�� ������

��/ �� �"� ( : :.;�"�� ������"�� �� ��� ���� �� "�� ��� 7� /��� 7 � : :.; �

%���� � 2�2� : :.�; + : :.;�

/����4 * ����� � /�"� : :.�; � �� ����� "� ���� /�"� : :G�; /��� G �� "�� >��� ����� . ������ G� � � .� �� ������� ���� �� 7 � : :.�; � "�� 7 � : :G�; � � �� 7 + �/��� � �� � � �� "�� � "��� � "�� ��� ����� �� �� G�� ���� 7 � � :.;

�� � "��� ���/�

: :.�; � : :.;��

��/ "�-� � � : :.; � � �� ���� ���

��0 �.� +�����0 B � � �B �.��� B.���� :�0 �.;

� � �� ��0 � .� ����� "� � � � "� � � /���� ���/� "��" �� � : :.�; /���� ���/� "��": :.;� � : :.�; � ���� ��1�� "�� ������

%���� � 2�2( "� . � �� � � ��� �� ��� ������ �7� � ��.��� � ��� :70 �.;��

������

/����4 5������ :70 �.;� + + /��� � �+ +� ���

�7� ������ + ��.���� ��.�� ������ # �7� ������ �� �� "����"�� � �������? :70 �.; �� � � "� � � � � "��� ��1�� "�� ������

��� ��� ����" �� "�� �����/� � "����� ��� "� <���� � � �&#��

������� � 2�2� "� . � �� � � ��� ��� ��� �� ��� ����� ���� �� � :�� � �� ;

4 :.; + ������

��.������ �

Page 277: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� ����� �� ������ ������ ���

/����4 *� 7 � : :.; � "�� ( ����� �#���� 7� � : :.�; � � �� ( ����� �#����? �"�����/� "��"

�7�� ��.���

� � �� �7� ��.������ � 5� �� "��� ����� �� �1�( 7 � : :.; � �" �����/� "��" �� ���� ��

4 :.; ��.������ ���/ ��� � ����� �#���%?

4 :.; � ��� ������

��.������ � ��� � ����

��.������ � 4 :.;

/���� ��1�� "�� "������

���� �� � 2�2�+ 7�����

�� & �� ��� � #� � �

�� � 5������ �� ������ ��� �� �� � ���

�������

� ������� �����"�"�� �1���� "�� ���� 1����� �� $� � � � � �������? "�� ���"

� �/� � "��� ���� �� � � �� ��������.

������ /��� "�� �� �� �"�� �� ( "�-� � "��������� �� ��� "�� �����"� 1����� �� "�� � "���� ����

�� & �� ��� � #� � �

��

+

�� � �$ %�$ ��&�# ��$ �&%� �$ ��&%� �$ % �� �$ �&�� $ �&�# ��$ �&�# ��$ % �� �$

��� � "�-� � "�� ��1� "� ��" �� "�� �����" � "( ��1��

4 :.; � �$ %�$�� + &� %�� &$� ��% ���

�� ����� "�� � "���" ���� ������( � ��"���� �� /���� "�� ����" ��"� "� "�� �����"���"���3��"�� �� �" - �/ �

�!�� ) �� �4� 0� ���� 7� ���� 1'� ���

�� ���� "�� ����� �� ���1� � "�� �3��"��

.� + � :�#��#;

/��� . �� � � � ��"��� * �� ( �������"�� �? "�� ��"�� . �� ���� � � ����������� �( �� 7���� 2� ���� ��"����? "�� ��"��� �� <���� ����� �"�� :�/ ����"�� �; �� �" � ���� /�( "� ���1� "�� �(�"�� ������ "�� �/ ����"�� � �� ���"�( "�� 7��� � ��"�� � ��� "���� 7��� "�-�� � ��" �� ��� � � �����"�� ����� �(�"��� �� ������ �������� ���1� "��� �" �� ����� "� ��� � �"��"�1� "��� �3��� * �� �����/� � "�� "��"�� "��1� "� "��� ��0��" ( ���� � � !� ��� G&H�

'�3������ � 2�2� �� D����� �� ���� �����#� ��� ��� �� ����� �� ������������ ������ �� ���� �� ������ "� �� � �� ������ ���� ��� �� % � ���� � ������ ���� � �� ����� �� ��� � ��������� �� ���� � ��������� � � � ��� ������ ����

Page 278: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� �� ������ ��������� ����� ������

�#��� �� ���� � �� ���� � �� �� ������� �� �&8�&8�� �� ���� � �� ���� ��� � ����� ��� ��� ��� � ������� ���� ���� �� �� ������� � ���� � "����� . + :��; �

���� + �

�� ��

���� B � :�#��$;

/� � �� �� ��� ��� �����

. +

��� � � � � ����

� � ����

� � � � �

����� �� ��� � ���� ��������

� � � �

� � � ����

���� � �

� � � � � � �

�����������

����

�������

����

�����

+ �

������ � � � � ��

� � ����

���� � �

� � � �� � � � �

�����������

���������

�����B

����� � ���� �

����� :�#��%;

��� ��"�� � "�� ���" � :�#��%; �� �"�� �� ( �"�� � � "�� ��� ����� �� �� . � ���""� � �1�( �"�� � "( �3��� "� 7��� ��� ��"�� � "�� ���" � :�#��%; �� �"�� �� ���. ( ��""� � �1�( ����� �� � "( �3��� "� 7�� � � �"�� � � ��� "�� �"�� � "��� � ��� ����

���� �� � 2�2� A� �� D����� ����� �� ��� �� ���������� � � # � � $ � � #

��������

����

���� +

�������#

������ ����� "��� �� ���1�� ���" �����( ��� � �/ ����"�� �� ��� >���� ��"��� �� ������

/�� "�� ��"�� �� � � � ����� ���� ������� �� 0��" "� �����"�"� ��/ "�� ��"���/�-�� 2��" ��"� ���1� �" ��� � �/ ����"�� �� ��� ����� "�� ��"�� ������

� � �� # � � � $ � � � # #

������� �/ ������ ������ ��� �� ����

� ��

� ����

� ���

� ����

����

Page 279: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� ����� �� ������ ������ ��&

/���� � "��� �� �������� �� ��������"��( �3��� "������� � � % �� � ��& �� � ��$ �� � �%�

���� �

* "��� �� "�� ��"����? "�� >���� �"��"�� �� �� "�� �������� # $ #

��������

����

����

����

����

���� + �

���� �

� �� �

� �

� ��

��

��������

��������

����B

�������#

���� �

4��"���(� � ( "�� � 1��� �� "�� ��"�� � "�� ���"? �"��� �"��"�� ������ "���������

����

����

����

���� + �

���� �

� �� �

� �

� ��

��

��������

��������

����B

�����������

���� � :�#���;

��/ �"��"� "��� �"�"� � /�"�

�� �

����

���� �

����

�� + �

���� �

� �� �

� �

� ��

��

��������

����B

�����������

���� +

�����������

�������

�� + �

���� �

� �� �

� �

� ��

��

������ �� ������������

����B

�����������

���� +

����� �%%� �%� �� �

����

�� + �

���� �

� �� �

� �

� ��

��

������ �� ������ �%%� �%� �� �

����B

�����������

���� +

����� �#

� # � $� �$%� &

�����/�� �������� ����� �� ���#�� �� ������ �� ������� � ����� ������ (��� �� !�� � ���� ��� ��� ��

����� ����� ��� ��� ���#�� �$��#��� /�� ����� ��� �� &�� ������#��� �� ���� �� ��������

Page 280: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� �� ������ ��������� ����� ������

�� + �

���� �

� �� �

� �

� ��

��

������ �� ������ �#

� # � $� �$%� &

����B

�����������

���� +

����� �&�� �$�� �$% %� ���

����

� + �

���� �

� �� �

� �

� ��

��

������ �� �����

� �&�� �$�� �$% %� ���

����B

�����������

���� +

����� ��%� ��%� �&$� ���

���� �

E�� �� -��� ��� � ��-� "���� ������ "�� ����"�� �� ��������"��( �3��� "������ � %� ��&� ��$� �%�

������ (�� ��� "��" /�"� � ��� �" ��� � � � �( % �"��"�� �? � ��������"� ����"�� ��� �� �"�� �� /���� �� �" "�� �� �D ��� "�� ��"��� ����"�� �

*" �� ����"� " "� ����7� "��" � �����"� /���� ��� :�#��$; ����"�(� * ����? /�"� �"�� ����� � "��� �� ��"���� �� * ��1� �� � ��1� ���"�(� �1�( � �=" �� "�� ��"����6�/�1�? �" ��-�� �" � ��""�� ����� "� ��� /��" �� ����� � � � � �� "��� �� /�( * ��1����� "�� �" � "��� /�(�

'�3������ � 2�2� �� ,���� '�� ����� ��� ��� �� ����� �� �������� �� ������� �� ���� �� ������ �� . + :��; � �� �� ��� �� �� � ��� .� + � � ����������� ���� �� �� �� ���

����

������ + �

������

���� B � :�#���;

/� � �� �� ��� ��� �����

. +

��� � � � � ����

� � ����

� � � � �

����� �� ��� � ���� ��������

� � � �

� � � � ����

���� � �

� � � � � � � � �

�����������

����

�������

����

�����

+ �

������ � � � � �

� � ����

���� � �

� � � � � � �

�����������

���������

�����B

����� � ���� �

����� :�#��&;

Page 281: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� ����� �� ������ ������ ���

* /���? (�� ��" �1�( � "( � "�� ���� �� ��"�� /���� �� �"��"�( ��1� "�� ��� ����� �� �3��� "� 7�� "� �"�� "�� ��"�� � "�� ���"� �� ��" "�� ��"�� � "�� ���"?(�� ��" �1�( � "( �� . /���� �� � � ���/ "�� ��� ����� �� �3��� "� 7��� I�� � "���"��"�� ������� �� :�#���; ����"�(? "�� <���� 5����� ��"��� ��-�� ��� �� "�� 1�( ��"��"� ����"�� /���� �� �1������ �" "��" �"��� �� "�� �����"�"�� �

��� �����/� � ������� �� "�� ���� �� "�� ������� ���� "� �����"�"� "�� >���� ��"����

���� �� � 2�2 A� �� ,���� '�� ����� �� ��� �� ���������� � � # � � $ � � #

��������

����

���� +

�������#

����* "��� �� ��"����? "��� ������� ������

� � # � $ � #

��������

����

����

����

����

���� + �

���� � � �

��������

��������

����B

�������#

���� �

4��"���(� � ( "�� � 1��� �� "�� ��"�� � "�� ���"� "��� (�������������

����

����

����

���� + �

���� �

� � �

����

��� � �

����

� ��

��� � �

��

��������

��������

����B

���������������

������ ����? * /��� � "�"���( � ���� �� � "�� ������ �� ��� ��" �" �3��� "�� 7�� 1��"���������?

�� +

���������������

���� �

��/

�� + �

���� �

� � �

����

��� � �

����

� ��

��� � �

��

������ �� ����������������

����B

���������������

���� +

����� �&#� �#�� � %� �#%

���� �

*" �����/�

�� + �

���� �

� � �

����

��� � �

����

� ��

��� � �

��

������ �� ����������������

����B

���������������

���� +

����� �&#� �#�� � %� �#%

�����6� �� �� ���� �� �� 8��� � �������" �� ���#��� ����� �� �� ���� 3 ����� ��� �� �������

#�������� �� ���� �� �� ������ �� �� ����$ �������� 9������� ��� ���& � ����� ��� ����� �� ����

Page 282: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� �� ������ ��������� ����� ������

� � ��

�� + �

���� �

� � �

����

��� � �

����

� ��

��� � �

��

������ �� ������ �&#� �#�� � %� �#%

����B

���������������

���� +

����� ��&

� �%� �$� ��� �� �$� �$

���� �

������ "�� � �/� �� ����� � %� ��&� ��$� �%�

������ "�� �"��"�� �� �����( ��""( ����� "� "�� � �/�� E�� ����� �� "� �� ��� � "���� �"��"��� � �" ������ "��( �� 1��� "� "�� ����"�� � ��/ �� ���� "�� �����/� � ��������

���� �� � 2�2# A� �� ,���� '�� ����� �� ��� �� ���������� # � # � � $ � � #

��������

����

���� +

�������#

������� ����" ����"�� �� ��1� ( ��� � �/ ����"�� � � "�� ����� "�� ��"��� ,��

"��� �� �� � "�� �/ ������ ��� ������� % � � �

� � � � �

����� � �� "�� ����"�� �� ��������"��(����

%� �

����

���� +

����%� ��� �$�� � $

������� <���� 5����� �"��"�� � �� �� "�� �������

� � # � $ � #

��������

����

����

����

����

���� + �

���� # � �

��������

��������

����B

�������#

����� � ��? ���"���(� � ( "�� � 1��� �� "�� ��"�� � "�� ���"? "�� �"��"�� ������ "� "�������/� � � "��� �� ��"�� ���"������"�� �

���� + �

���� # �� �

� �

� � ���

��

� ��

��� � �

��

������ B

�����������

���� �

Page 283: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� ����� �� ������ ������ ���

���� "���? * /��� ���- � � �"��� 1��"� ����� "� "�� � �/�� ��"

�� +

����%�����

�������� �� 1�( ����� "� "�� � �/�� ��/ ��"� ��� /��" "�� <���� 5����� �"��"�� ���� "� �"�

�� + �

���� # �� �

� �

� � ���

��

� ��

��� � �

��

��������

%�����

����B

�����������

���� +

����$� ��� � &� $$

����E�� �� 8" �����" "� � ��� ����� ��"� � �( � � �"��"�� � ��"� �� � �"���

�� + �

���� # �� �

� �

� � ���

��

� ��

��� � �

��

��������

$� ��� � &� $$

����B

�����������

���� +

����$� �� &�$� ��� $%

����

�� + �

���� # �� �

� �

� � ���

��

� ��

��� � �

��

��������

$� �� &�$� ��� $%

����B

�����������

���� +

����#� &�� &#$� �%%� $%�

������� �"��"�� ���� "� � ��""� � ��"�� ��� "�� ��"��� ����"�� � ,�( �� "�� ������ /����/�-�� �� /��� � "�� �"�� �������� �" /�-� � ���C � �""� 3���"�� ����" �K ,�(���� ��"�� ������ �1� /�- �" ���C�

.�"� �"��"�1� �������� �� ���1� �

.� + � :�#�� ;

�� �� "�� ���

"���� + �'�� B �

/��� . + " B '� * "�� >���� �������? "�� ��"�� ' /�� �"�� �� ( ��""� � "������� �� �� . �3��� "� 7�� � � ���1� � ��� �"�� � "��� "�� ���� /���� "�� ��"��? "/�� �"�� �� ( ��-� � �1�( � "( �� . �3��� "� 7�� �"�� "�� "�� ����� �� � "���/���� �� ���" � ��� ���� * "�� <���� 5����� �������? "�� ��"�� " /�� �"�� �� ���. ( ��-� � �1�( � "( �"��"�( ��1� "�� ��� ����� �� �3��� "� 7�� � � ���1� � "���"��� � ��� ��� � � ' /�� �"�� �� ��� . ( ��-� � �1�( � "( � � ���/ "�� ��� ����� �� �3��� "� 7�� � � ���1� � "�� �"��� � ��� ���� ���� � "�� >���� �������?" �� � ����� �� ��"�� /���� � "�� <���� 5����� �������? " �� ��/� "�� ����� I�� ���"���� "� �������"�( ���1� �� "�� �"��"��? (�����

���� + �"��'�� B"���� :�#���;

���� �� /��" (�� /���� �1� ��1� "�� �����"� �� �" "��� �� /��" /��� ����/ "�� �"�"��� "�� � "����� /���� ��1�� "�� �� ��"�� �� �� 1��� �� �� "���� � � ��� �"�� ������ ��"����������� "�� ��= �"�� �� "�� ����"�� ����� �� 3�4 :3; � � !�= �"�� �#���� � '��� ����

������� � 2�2& '����� 4�"��'

�# �� ��� �� �� ��� �� �&8�(&� ���� � �� ��

���#� ������� �� �&8�(6��

* /��� ��1� "��� "����� � "�� ��" ���"�� � ��� ���� ���� �� � � ��(��� /���� ������ �" � ������ � ������ �" � 1��1�� � �"�"��� " ���" �� 1��� �� �� ��3�� ����

Page 284: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ��� �� ������ ��������� ����� ������

������ �����3 &' !�������� �

%���� � 2�2� '����� / K �� � �� � 1 � �� ��� � � � � -�� ������

�/�� /�� � ��� �� :�#���;

�� ��� � � : � �;� ��� �� ����� � ���#� ��� ����� � � �� ���� ����

/� + �� :�#���;

"����� �� � �� � ���� ��� ����� �� �� �� ���� �� �� �#��� �� �� ���

��� /��� / ���� � � �� :�#��#;

/� �������� �� ���� �� �� � ��� ������ ����� �� ��� ��� �� �� �� � �� � �� �������� ����� ��� � �������� ���� � �

�� �

�� �

���� � /���� � :�#��$;

/����4 ���� �����/� �����( /�� �" �� ���/ "��" "�� ��1� ��3�� ��?�/ ���

�����

�� ������( ��3�� ��� ��"� "��" ��/ ��� � /��

�� ���/�� � ��

�� �5������ ��/ ��� � / �����

�� ������/�� � ��

�� � :�#��%;

��� ��/ ����� � / ����� �

��/ ��� � / �������

�������/�� � ��

�� + ����/�� � ��

�� �.( � ���"�� ? "��� ���/� "��" �� ��� � � �� :�#��%; �� 1����� ��/ ��" � � � � D�

��/ ��� � / ����� +

�������������

�/ ����� � / ���

�������

�������

��/ ����� � / �����

������/

����/�� � ��

�� ��/�� � ���� �/

�� �

/���� �� 1���� "� �� D � �� �������? "��� �� � �����( ��3�� �� �� �" ���" �� 1���"� � � �� � ���

� + ������

/ ��� + ������

/ ����� + / ������

/ ��� + /��

���� ���/� "�� ����"� �� �� "�� =��� ��� "� �� ���/ �" �� � �3��? ������� "��� /��� �"�� � �? �� ���

��� �� + �/�� /�� � ��� ��

Page 285: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��������� ����� �� ������ ������ ��$

� � �� � + ��*" ���� � "� 1���( "�� ��"���"������ � �

�� ���� � /����B ��/�� � �

��+

���� � /����B ��/�� � /�

�� ���� � /��

��B ����� � �

��� � ���1� � "�� � �3����"( ��

���� � ��� ��1�� "�� ��"���"� ������� ���� ��1�� "�� ������

��� �����/� � ������( �� /��" /��� � ���� "� ��1� "�� �� 1��� �� �� ��"�� �� "��1����� �"��"�1� ���������

�������� � 2�2( '����� / K �� � �� � �� ��� �������� '

�/�� /�� ' ��� �� ��� � ��� � �� ��� �� ��� D � � ��//�� //�

�� � ��� �� ��� � ��� � �� �� � � : � �;� ��� �� ����� � ���#� ��� ����� �� / ��� �� �� ����� ���� �� �� �#���

�/ ���

��� ��� ����� �� ���

/����4 2�� ����� �#���� "��� ����"� � � �3�� =��� ��� " �� // �� �"�� ��� �� ���������? //� + �� ��/ ��� � / "� �"� �����?

///� + /��

.( � �3�� ���? /� + � ������ "�� ��1� �3��"�� ���/� /� �� � =��� ��� " �� // � �"��� �� � �( � ��

*" ���� � "� �� ���� "�� �� 1��� �� �� "�� ��3�� ��� ,�"���" ���� �� �� ����"(? �"�� � ������� ' � �� ��� �� � D � ��

�/ ��� / ��� '/ ��� �� :�#���;

�� ��� ��� � �� � .( ����� �#���� "��� ����"� A ���� "��" �� �� � � A� "�� ��/ �/�� � / �/���� # B +

-

�'/:�#���;

� � ���� A �� ���� � ���� "��"

��0'/

��//�� � ����

�� �#

-

�:�#��&;

��/ ��" �� % � AD � � ��= � ��? �� � ��� � � �� (

� + ��D B ��� % + ��D B �� � �� � �� # D�

��� �"� �� � � �� �� ���� "�� A� �������? ��� :�#���; � � :�#��&;?��/ ��� � / ����� +

��/ ��/ ��/�� � / � / � /����

��/ ��// ���� � / ��// � ����B ��/ � / ��/�� � / � / � /��

�� ���

��/ ���� � / � ����B '/

��/ ��/�� � / � /����

�0

��������/ ���� ��� �� �/ ���

������B������

�� �� �/ � ��/ � ��

��������B '/B

�0�'/

���� � ���B '/

���� � ����B '/B

��0'/

��//�� � ����

�� �B '/B #

-

�B-

�+ -�

Page 286: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ��� �� ������ ��������� ����� ������

���� ���/��/ ���

��� � �����( ��3�� �� � � �� �� � ����3�� �� �� 1���� "� �� �" �����/�

"��� ��3�� �� ���� ���" �� 1��� "� �� 6�� �� /�(� ��" - � � ��1� � ���� ����"� 3���� "��" �� �� � � 3� "�� ��/ ��� � / ���

�� # -

��

��/ ��" � � 3 � ��� ��" � � 3 � � ���� � ���� � ���� "��"��/ �/�� � ��� # -

��

��� ��/ ��� � ��� ��/ ��� � / �/��

��B ��/ �/�� � ���

#��/ ��� � / �/��

��B -

#-

�B

-

�+ -� :�#�� ;

���� ��1�� "�� ������(�

������� � 2�2� '����� 4�"��'

�# �� ��� �� �� ��� �� �&8�(&� ���� � �� ��

���#� ������� �� �&8�(6��

/����4 �� ���� "�� �"��"�� � :�#���;� ��" /� + "��'�B �� ��� ��/ ��� / ���� +

����"��'���� �

"��'������

�������"��'�������� ��� �� �

6�� ����� ���� "� � ( �� "�� ����"� ���� *" ���� 8" ��""� /���� � � (�� ���- ������"��( �� ��� �3��1��� "� * �� /�"� � "�� ���� "� � ����"� "�� ����"� �� "�-� /�"������" "� "�� ����� �� � �� � 5� �� 4

�"��'

�# �� �" �����/� ��� <���� �8� "�����?

������ �#���& � '��� ��%? "��� ����"� D ���� "��" �� � � D� "�� �� ���� ���� # ���������"��'����������� # ���� # ��

�� ��3�� "�(? ��//�� //��� � ��� �� �

���� �/�� /�� ����"��'���� ��� �� � � �� ������( �#���� ������� � � ��1�� "�� �� ������ �� "��� "������

�!�! ��������

�� 5��1� "�� �(�"�� �� # � �� $ � � %

���� �

�� +

�� ���

����� � "�� <���� 5����� ��"��� � � "�� >���� ��"���� ����- (�� � �/� ( �������1� � �" ��� � �/ ����"�� ��

Page 287: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� ���

�� 5��1� "�� �(�"�� �� # � �� � � � #

���� �

�� +

�� ���

����� � "�� <���� 5����� ��"��� � � "�� >���� ��"���� ����- (�� � �/� ( �������1� � �" ��� � �/ ����"�� ��

�� 5��1� "�� �(�"�� �� $ � �� � � � #

���� �

�� +

�� ���

����� � "�� <���� 5����� ��"��� � � "�� >���� ��"���� ����- (�� � �/� ( �������1� � �" ��� � �/ ����"�� ��

#� *� (�� �� �� ����� � � �(�"�� �� "�� ��� .� + � � � .�� ���� �" ����"? /��� ��"��"�� <���� 5����� � >���� ��"���� /�-C ������ � ,��" ���� "��� � ����"� ���"= �� � ���� 1��"�� �� � ��1� ���� 1����C

�!�" ��� &�/� 0� ��� 7� �����4�����

�� � ����"�� �����? "�� ���� 1���� ���� 1��"� ����� �� ��"����( �����"� �� ���� ��������� /��" ����� � �� (�� �� �" = � "�� ���� 1����� ����"�(� ��� (�� �� 8" = � � ���� 1��"� ������ "��� �� 8" � � ��� "� "�� ���" "��" 70 � . �� � 1�"��� /�� �1� 7�� �" ����"�( �3��� "� � ���� 1����� ������� "�� �"����"��/�� /�( �� ���1� � "�������� ����� ���" �/�(? �1� �� (�� �� ��������"� "�� ���� 1������ ��� ��/� ��"�������/� (�� "� ��������"� "�� �����" ���� 1���� � � ���� "�� ���� 1��"� /���� ���� /�"��"� .( �� ����� � "�� � 1��� �� "�� ��"��? (�� �� ���� = � "�� �������" ���� 1�������� ��"��� /�-� � "�� ��"��"�� �� � � �����"�1� ��"��? . /���� ��� � ���� 1���� ��������� ���"������"( �? 7� /���� ��� "�� ����"( "��" �7�� + 4 :.; � � �7�� # �7�� �� ���� �+ �� ��"� "��" �� � ��� ��"�� "��� �������� "�� ���� "��" 7� ����� � �������� ,�(C5��� � ���� 1���� �� ������ � ���� � " ���� 1�����

��" ���� � � ����� � � ���� �� ���� 1��"�� �� �� ���� "��" .�� + 7���� ��/ ��" �� ����� � 7�� 1��"�� 5� �� ���� � � ����� �� � ����? "��� ����"� � �3�� ������? � ���� "��"

�� +

�����

�����

������ (�� ��1� �" �� �� � ���-( �� "� ���- �� � ���� � /�( "��" �� + � ��� ��".�� + ���� �� "��"

�� + .��� +�������

��7�� �� B 7�� ����� :�#���;

2� ���� � "�� ���" "��? 7�� ����� ��"��� �� 3��"� /��� "�� ����"�� �� "�� 1��"� � "��

���"� ���� �� ������ �7�� �� ���� "�� �7� � � � �� �� � ����? �� "�� ���?����

��� ��7�� ���

� "�� ���" �� ����( � ��� �=�� "� �������? �� ���� �� �� �� ���� "����( � ���"���� �� "������ 1��"�? ��� "�� � � /���� ���� /�"� 7�� ��� � �( ����� �� "��" "��� �� � �� "���� "�� ��7� �� "�� 1��"�� ��� E�� �� =� "��� ( ����� �� ��" 6� �� �"� "�� � "( �� .��

Page 288: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� �� ������ ��������� ����� ������

/���� �� �����" � �����"� 1����� ��� �� /��� �" � 0��" .�� �" .���6�� ���" ��" 6��� �"� "�� � "( �� .�� /���� ��� �����" �����"� 1���� � � ��= � �� � .���6�� �� "� ��"��� /�(� ��� ����� � 0��" ������� ���� �" ���"�( "�� ���"�1� � ��� �=�� �� �� "�� "��� 1��1� � � ��� � :�#���;� * ���� �" ���� "� "� �"�� � ��� "�� ��� �� � "�� � �"� ���� �"�� ���� �"� "��" ��� "��� ����� � �������? "�� �����"� 1���� �� "�� �����" ����� "�� �� �� ��/�(� �3��� "� �� �������? �� ���� ��

�� +7�� ����

6�6� � � � 6� B :���"�1��( � ��� �=�� " "��; �

�������? "�� � "( �� .�� /���� ��� "�� �����" �����"� 1���� �� ���� "����( �3��� "� "��� "( ��1� � �����" �����"� 1���� ��

.

�7�� ����

6�6� � � � 6�

+

7���� ����

6�6� � � � 6� 7���

� � �� �� ���� �� �" ���" � "�� ���� "��" 7� 6���� ���� ������"� "�� �����/� ���������

5"�" /�"� � 1��"�? �� /���� (�� ���� ��� � ����� � " � "�� ����"�� �� ��� ���1��"�? :�� � � �� �;� �� ������( � ���� ������� ��� �� ���� .���6� /��� 6� �� "�� � "(�� .�� /���� ��� �����" �����"� 1����� ���� ��1�� (�� ��� ��� �� "�� ���� "�� � "� ��/���� (�� ��� "� �� � � �� "� �� "��� /�(� ,�� "�� ����� � ���"��? 6� �� �" ��� �� �����? (�� - �/ (�� �� ����� "� "�� ���� 1���� ������ � � "�� �� �� ���� ����� "� "�������� �� � ���� 1��"��

���� �� � 2#2� ���� �� � ��� ������ �� . +

�� $ ��# ���# # �#� % ��

�� �

* ����� "� - �/ "��" "�� ���� 1����� �� "��� ��"�� �� ��%� � � ��� �������? (������ ����� "��� ��"�� �� � �����"�1�� �� ����� (�� �� 8" ��/�(� ��1� "��� - �/������ � �� (�� ���" �����( ���� "�� ��"�� �� � �����"�1� � � ����( "�� ��"��� � � ��� �� �"/�-�� *" /��� /�- ��1���� "�� �� ��"�� �� � ���� � " �����" ���� 1���� ������� ��1��� ��"��=�� ��"����� * ��1� �" ��1�� "����� ��""� � ��+:�� � � �� �;� � * /��� �� ���� .��� � ����� �"� �� $ ��# ��

�# # �#� % ��

���� ���

�� +

�� ��#%

�� �

5���� � "��� 1��"� ( ��1��� � ( "�� �����" � "( ��1��

%

�� ��#%

�� +

�� ��� ���

�� + ��

��/ ��"� �� �" ���� � �� $ ��# ���# # �#� % ��

���� ��� ���

�� +

�� �����%

���(��� ��� �� ���� ������� ���� ������������� ��������� ��������7�� ����������� ��� �� 8����� ���� ��

� ����$�

Page 289: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� ��&

���

�� +�

��

�� �����%

�� +

�� �� �

��� ���

�� +

�� �� �� �%� %�% �%�� ��� ��� ��

�� �

�� "� �� ��� � "����� $ ��# ���# # �#� % ��

���� �� �� �%� %�% �%�� ��� ��� ��

�� +

�� �� & & & ��#� �%� %�% #�� %�% �%� �

�����

�� +

�� �� �� &���� %�� ��% %�� ��� �%% �#

��5� �� "�� ����� � ���"�� �� ��� �� � ����( �"�����( �� * /��� �� "� ����� $ ��# ��

�# # �#� % ��

���� �� �� &���� %�� ��% %�� ��� �%% �#

�� +

�� �%� �%� %�%��� #� $�& $��� # � $&� $

��

�� +

�� � &&� ��� %��� #$% ��& �#

��� $$� #�� � � ��

���� $ ��# ���# # �#� % ��

���� � &&� ��� %��� #$% ��& �#

��� $$� #�� � � ��

�� +

�� � � #�� &$%�$� #�� $$ �� $�� �#$ ��

��

� +�

�� � � #�� &$%�$� #�� $$ �� $�� �#$ ��

�� +

�� �� #� �&$ %�� $#� �$$ �

$� ��� #$� � � ��

���� $ ��# ���# # �#� % ��

���� �� #� �&$ %�� $#� �$$ �

$� ��� #$� � � ��

�� +

�� ��� ### # &�%� $%� �% ��� � � ��� ��

��

� +

�� �� �# ��$ ��� $ $ �$ ��

��� �%� �%� � � ��

���� $ ��# ���# # �#� % ��

���� �� �# ��$ ��� $ $ �$ ��

��� �%� �%� � � ��

�� +

�� ��� &�� &���%� %� �� �#� � � ��

��

Page 290: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�& ��� �� ������ ��������� ����� ������

�� +

�� � &&� %$& ���� $ $ �$ ��

�� ��# ��� � � ��

���� $ ��# ���# # �#� % ��

���� � &&� %$& ���� $ $ �$ ��

�� ��# ��� � � ��

�� +

�� ��� �&� ���%� %� & &

��� � $ &# # � ��

��

�� +

�� �� �% #�� %�� $ $ �$ ��

�$� &� &�� � ��

���� $ ��# ���# # �#� % ��

���� �� �% #�� %�� $ $ �$ ��

�$� &� &�� � ��

�� +

�� ��� & #&$�%� %� � �

�� $$� $$$ % � ��

��

��� +

�� �� � $#� ��� $ $ �$ �#

�� &% #%� � ��

���" "��� ��� "? * /���� �"�� ������ "�� ����� � ���"�� �� �" ��� �� � ( ����� ���(/� " ��� ����&� "� ��� & #� *" ���-� ��-� "�� ���� 1���� �� ����"�� � ��-� �� /���� �� � ���""�� ����� ��� ���� 1��"� �� ��������"��( ���� ��� "�� ���� 1��"� �� 7 + �� ���� �

��$

��� � �� (�� ��� "��� �� ��""( ������ *� (�� ��� 8" - �/ "���? ���1��� $ ��# ��

�# # �#� % ��

���� �� � $#� ��� $ $ �$ �#

�� &% #%� � ��

�� +

�� ��� �#� ����%� %� � #

��� ��% �$� & � ��

��� �

��� & #&$

�� �� � $#� ��� $ $ �$ �#

�� &% #%� � ��

�� +

�� ��� ��� %���%� � � ��� �

�� $�& �#% � � ��

�� �

���$�� ��� -��'�� %������ ���� (����

���� ��"��� �� = � 1����� ���� 1����� � � ���� 1��"��� *" �� � ��� �=�� " �� ����7�"�� �� "�� ��1� ������ ������� � � (����� 1�( ���� ����"�� ��� ��"��"�� �� "���K E�� ��1�� ���? � /���� �� ����� "� 7� ���� ���� 1���� �� � � � ��"��? .� E�� �� 8" - �/7 �" (�� - �/ "��" � �� ����� "� 7 "�� "� � ( �"�� ���� 1����� E�� ����� �� "� = ��"� 7 � � � ���� 1��"� /���� ���� /�"� 7� � �"�� /�( "� ���- �" "��� �� "� �"�" /�"� �� � ���- "�� ���� 1����? 7� /���� �� ������" "� � ��� � /�"� � ���� 1��"� �������"�� /�"�7� *� � �� � ���� 1���� �� .� "�� (�� ��1� /��" (�� /� "� �������? * /��� ��/�(� ������� �� �" � ���� 1���� �� . � � �� :.� �0;

������"�� ��� ��"��� �� ���� � "�� �����/� �

������

Page 291: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� �&�

%���� � 2#2� "� �7������ � �� ������� �� .� /� �� �� �� ������� �� . �� ��

������ 7�� ��� �� �� �� ������� �� :.� �0;��

�� �������� �� �� �������

"�� � 7��� �� ��

:.� �0;��

� +�

7� �� :�#���;

��� � �+ + ��� .� + 7�� �� �� �� ��� �� ��%� ������� �� ���� ���� ���� ���� �� :.� �0;

��� ���� �� :.� �0;

������ ��� �� ��%� ������� �� �����

/����4 ��" 7� � � �� � �� ������� � "�� �"�"��� " �� "�� ������ ���

:.� �0;�� + :7� � �; ��

� � ��

7� � ��� + :.� �0;

�����

5������ :�#���;� ��� � + �"� G.� � ��H � 5��1� � �� .� ����� "� .� + 7��

*" ���� � "� 1���( "�� � 1��� �� �� "�� �� ����7�� ���� ������� ��" �� ������ � "�"�� ���� 1���� 7��

:.� 7�0;�:.� �0;

��:.� �0; + :.� 7�0;

�+ :.� �0;

��:.� 7�0;

�:.� �0;

� � �� �" �����/�

:.� 7�0;�:.� �0;

��+ :.� �0;

��:.� 7�0;

��

��/ ��" � � ��� ��� "��� ��� � "��" �� ���� �� :.� 7�0;�� + +�

:.� 7�0;�:.� �0;

��� +:.� �0;

��:.� 7�0;

�� +:.� �0;

��+ + +�

6� �� :.� �0;��

� � �� ����� ���� ��1�� "�� ��������/ ������ � �� ����� "� 7 "�� "� � ( �"�� ���� 1����� ���� �������

�� +

����

� B � :�#���;

/��� � �+ + � � � �� � "�� �� ����7�� ���� ����� �������"�� /�"� 7 � � � ����"�� ��� ���� 1��"� �� . ������ �� � "� 7� ��" �� � � 1��"� � "�� �� ����7�� ���� ������������"�� /�"� 7� /��� "�� 7� �+ 7� *� �� ��� �� ����� ?

���� � :.� �0;�� ��6���

:�#��#;

/��� 6��� �� � ��� /�"� "�� ����"( "��" �������� + �� * �� �� � 1���� ���" "����"����� ������ �� �� ������ �" ���� �" ��""�� � � /�( "� �� "��� �� "� ��" 6��� �"�� � "( �� :.� �0;

���� /���� ��� �����" �����"� 1����� ���� �� � � �� ������� + ��

���� ������� "�� ��"���� ,�( ���� � ("�� � � "���"� � ����� C

�� +

���� :.� �0;

��� B :.� �0;

���

6��

�� +

����

:.� �0;��

��� B

:.� �0;��

���

6�6�

Page 292: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�&� ��� �� ������ ��������� ����� ������

� � �� "� �� � "��� /�(?

�� +

����

:.� �0;

����

� B:.� �0;

����

6�6� � � � 6�

+

����

:.� �0;

����

6�6� � � � 6� B

:.� �0;

����

6�6� � � � 6� :�#��$;

� �� B -� :�#��%;

����4 -� �� � ���� 1��"� �� :.� �0;��

� � ������ �� + +�

/���� �� !����4 �� ���� ��� .( � 1��� �� �� :.� �0;��

� "�� �� ����7�� ���� ������?�" �����/� ��� <���� �8� "����� "��" �� � ���� � ����

������ +

��������������

��

:.� �0;

����

6�6� � � � 6�

������������

��

��

������:.� �0;��

�������� �����6�6� � � � 6�

��

��

��� ��&"��

���� �����6�6� � � � 6� +

���� � B -

7� � �

����� ���� �����

6�6� � � � 6�/��� B �� ����� ����� � ���� "��" �� ��� ������ � B B

7� � �

���� # ���� �

7� �

���� :�#���;

��� ���� � "�� � "�� ���" � :�#��$; (�����

-� +�

:7� �;� 6�6� � � � 6� + '���

/���� �� � ���� 1��"� "�� -� "� ����� �#�$�����/ ��" - � � ��1� ? - # ���� .( :�#���;? �" �����/� "��" �� ���� ������ �

7� �

����� ��

���� � B B

7� � �

�����/��� �� �� �"�� ���� ���� "�� � �������? �� ���� �

��������-��� # -� :�#���;

���

��-��� � ������ ���� � -��� + ������ - ��-���� � �� ��-��� � B - ��-��� � 6� �� ��-��� �� �������? ��� :�#���;?

������ # - ��-��� # �-�

�� �� - � �� ��"�( �" �����/�

������ �� + +�

Page 293: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� �&�

���� 1��=�� "�� ������

��/ ��� :�#��#;?

6������� + :.� �0;��

�� B :.� �0;��

-�

+ :.� �0;��

�� B�

7� �-�

+ :.� �0;��

�� B�

7� �:�� � ��;

+

�:.� �0;�� � 0

7� �

�� B

7� ���

+ �� B�

7� ���

/��� �������� + +� �������?

6��� :�������;� :�����;

�����+

7� ��

*" �����/� ��� �������� + + "��" �� ���� ��

6��� :�������;

����� �

7� �

�� (�� �� ���1� "��� �3��"�� "� �"�� � ��������"� 1���� �� 7� *� �� ����� "�� "��������� "� ���1� �

6��� +�

7� ��

,��" ���" "�� ���� /��� 6��� �� "�� � "( �� :.� �0;�� �� /���� ��� "�� �����"�����"� 1����C �� �" � ���/ "��" �� ���� ���� ���� � � 6� 6���C * "��� ����?"�� �� �� ������ � � "�� �� �"��"�� �3���� "��" �� � � ��

�� +

��� ��

�����

���/��� ��� � � � �� ���� �� �� + �� ��� �� ���� ��

:.� �0;��

�� :.� �0;��

-� �

7� �-� �

7� ����

�������? (�� �� "�-� 6��� �"� /���� ���/� "��" � "��� ����? "�� ����� � ���"�� ��

� ����� "� � � �� 1��� " ��3�� �� � � "��" �� ���� � "��( ��( ��� � �� ������ "�� ��������"��( �3��� "� �

"� � ����?

7� ����� :.� �0;

���� :.� �0;

��-� +

7� �-� �

7� ���

� � �� �� ���� �� ���� �� -�� � ���� 1��"�� �� ����� "��� ���" �"�� ����� ���� ��:.� �0;

���� ��� ��� "�� � � � "( ��1� � �����"� 1���� �3��� "� ��

Page 294: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�&# ��� �� ������ ��������� ����� ������

���$�� ��� ��'� ���� !���

* "�� ���� /��� "�� ���"������"( �� 7 �3���� "�� ���� ��� �� "�� ���� ����� �� 7� "����1� �� � ���� ������"�� �� ��/ "� = � �"� 7 � � � ���� 1��"� /���� ���� /�"� 7����� �� ������ "�� /���� ����� �� "�� ����" ��� �� "�� �� ����7�� ���� ������ � � �1�( � 7�� 1��"� � "�� �� ����7�� ���� ����� �������"�� /�"� 7 �� � ���� 1��"�� ���� �� "������ /��� 7 �� � �����"�1�� ,��" �� "�� ���� /�� "�� ���"������"( �� 7 �� ���"� "�� "�� ���� ��� �� "�� ���� ����� �������"�� /�"� 7C �����"�����(? "�� ��"��� /��� �1� /�-� "��� ���� ��"����� �" 1�( /���� 2� "�� ��-� �� ������"� ���? * /��� ��1� � ����� "/���� � ������ "��� ���� �� /���� �� ����? ��-�� /��� �� �"� ��-����

��" . � � % % ��"�� � � ��" � � ����� "� 7 "�� "� � ( �"�� ���� 1����? "�� �"��� �� �� � 7�� 7�� � � �� 7�� ��� ��""� � �"� �� �"� "�� �� ����7�� ���� ����� �������"�� /�"�"�� ���� 1��"� 7? ��" � �� �"� "�� ����" ���

�"� � � � � ��"� �

�" �����/� ��� ����� �#�$�� "��" � �� � 1��� " /�"� �����" "� :.� �0;��

� ���� "������ 1����� �� "��� �� �� "� �����"�� ��"��"�� "� � �� �

"�� �� � + �� � � �� �� �������?��""� � �� �� �"� "�� �����" �� "�� 3�� "�"���? �

�"�� � � �" �����/� "��" �� ����� � ���� B�

�� B B � � #��� �"�

��� � 5������ "�� "��"

�� � :.� �0;�� :- B �;

6�� ���� � :.� �0;�� ��

6���

/��� - � � � � � � �" � � �" �� ������� "��" � �+ +� �� ����? 6��� �� �"�� "�� � "( ��:.� �0;

���� /���� ��� "�� �����" �����"� 1���� � � 6� "�� � "( �� :.� �0;

��:- B �;

/���� ��� �����" �����"� 1����� ���� ������ + � �� ��� � � � �� ��� �" ����" � � � "(/���� �3���� �� ����

���� +

:.� �0;

����

-B:.� �0;

����

6���6� � � � 6� � :�#��&;

5� �� � � �"�

� +

1����

�����

�� ��

/��� ��� �� � ���� 1��"� �� �� :7� �; � � ��� � ���������� � ���� �� �� ����7�� ���� 1��"��

���� � ��� ��"���(� � �:.� �0;

�� � �

7� �0

��� + �����

� � �:.� �0;

�� � �

7� �0

��� + ��� �

"�� ���� 1��"�� ���� � � �� ���( � ���� �� " ��"�

Page 295: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� �&$

�� ����:.� �0;

����

��� � ���� �3������:.� �0;

�� � �

7� �0

B

7� �0

���

+

�����

��

��

7� �

��� �:.� �0;

�� � �

7� �0

���

+

��

��

7� �

������ B

�������

��

��

7� �

��������

� �� B ��

�� ����� ���� � %� ����

������

���

����

� +

�� ��� # �� �������? ������ ������ � ������ + � 5����"� � ��� "�� "��� ��:.� �0;��

���

� "� "�� ��� �� ���� 1��"��? �� � � "���� /���� �� �" ���� 1��"��? :�� �" �����/� "��"

������

��:��� � ������ + �

����� � ���� "� :�#��&; � � ��= � � � �:.� �0;

����

-� �" �����/� "��" �� �

���� � ����?

����� ������:.� �0;

���������� ��-�� �� ��-��

� � �� �� �� � #��� �"�

��� � �" �����/� "��"������

����������� +

����� ��""� � '� + � B:�� �" �����/�

������

��'��������� +

� �

���� +�� B'�

6���6� � � � 6� � �������� + �� �� � ���� 1��"�� :�#�# ;

5������(� � "��� ��"��?

���� + /� B;�� �������� + �� /� � ���� 1��"� :�#�#�;

/���

/� +��

6���6� � � � 6� � ;� +'�

6���6� � � � 6� � ������

��;�����/��� + � :�#�#�;

����4 ������ ��;��� + �

Page 296: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�&% ��� �� ������ ��������� ����� ������

*" �����/� ��� :�#�#�; "��" �� ��� � ���� � ����?

��;�����/��� # - # � :�#�#�;

� � �� ��� :�#�#�; � � ���� ��

��/��� � B ��;��� # � B - ��/����� "��"

��/��� # �

�� -�

�������? ��� :�#�#�;?

��;��� # - ��/��� # -

�� -�

5� �� - �� ��"�(? "��� ��1�� "�� ������2�� "�� �����? �" �����/� ���� �� ��������"��( �3��� "� � ���� 1��"�? /� �� ����

�� *" ���� � "� ��������"� "�� ���� 1����� ���� ��( � �� � ( ��� � "��� � ����"�� �

:.� �0;��

���� :.� �0;��

/� +�

7� �/� �

7� ����� :�#�##;

� � �� (�� ����� ��"���"� "�� ���� 1���� �� �����/�� 5������ "�� �����" � "( �� ��������� � "�� ��� ����"�� � :* "�� ��1� ������? "��� � "( /��� �3��� � �" �" ����( ���� 8"��""� ���� ��/ "�� 6� �� ����� �� �� � �� "��( �����7� "�� �� � ���� ���; ��� �����"� 7 ( ���1� � "�� �����/� � �3��"��

:.� �0;�� ������+

��

7� �����

� �"�� /�( /���� � "� "�-� "�� � � �����" �� �"� � �� �� :�#�##; /�"� ���� � ����1�

:.� �0;��

���������

�+

7� ��������

�� 7��� ����? � ���� ����"�� � � ����� ����� �? 6��� �

"� �� (�� �� ��� � "�� ��1���� �� �����"� � "�� 6�� ���� �� ������ ��� "�� ��= �"�� �� "�� ���

6������� � :.� �0;��

�� :.� �0;��

/��� +�

7� �/��� �

7� ����

�������? "�� �����" � "( �� :.� �0;��

�� ���" � ��������"��( �3��� "� �"� � � ��

6��� �� ��-��( ����� "� "��� ���� �� ����� "��� ����� ���� �� :.� �0;��

�� ��� �� (��D�� " � "��� ��� ��1� � "�� ���� �����"� 1�����

���$�� ��� +#/�� �� ��� ��/���� &' ��� (����

5��� �� ��) ��� ��� ���� ����� �� 3� ��� ��.��-���� �� ��.��-�!��� !������

�� ��

�� 2� � :.� �0;��

Page 297: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� �&�

�� '��- ��� *" �� ����"� " "��" �� +��

��� ����B� /��� � �� � ���� 1��"� /���� ����/�"� "�� ���� 1���� ������" "� � � � "�� ��� �� � � � 1��� " ������� ������ �� �"� "�� �"�� ���� 1������ �� ����� (�� ��1� � /�( �� - �/� � /��"�� "��� �� �� �"�" "(������( �� ��� *� "�� �� �� 8" /�- ��"? 0��" �"�" /�"� � ��D�� " ��� E�� /��� ���-( � (�� �������

�� *� �� ��� �� �"�� ��?

���� +:.� �0;

����

6���

/��� 6��� �� "�� ����� " �� �� /���� ��� �����" �����"� 1�����

#� ,�� "�� ����� � ���"��? 6� �� �" ��� �� � ���� � � "�� �� �� �" ��� �� �����? = � "�� ��������"�� "� "�� ���� 1���� ( ���1� �

6��� +�

7� �

�� 7� ��� ���� 1��"� �� ��������"�� ( �����

$� ����- (�� /�- ( ���"���(� � ( "�� ���� �� ��"�� "� ��� ��/ /��� /��" (�� ��1���� � /�-��

���� �� � 2#2� ���� �� ������ �� . +

�� $ ��# ���# # �#� % ��

�� ����� �� ����� �� ���

-�� ��� �� ������� ����� ��� ���� ���� �������

* "��� ���� "�� ���� 1����� �� �%� � � � �� �� "�� ����" � �/� �� �% �� "�� ���� L1����� ��� ��� "�� ��1� �������? * /��� �"�" /�"� � � �"��� 1��"�?

�� ��� �

��

�� �

��� * ���" ���1� "�� �����/� � �3��"�� ����� $ ��# ���# # �#� % ��

��B �

�� � � �

������ �

�� +

�� ���

��5������(� � "�� ��"�� � "�� ���"? * ���" ���1�

�� �� ��# ���# �� �#� % #

���� �

�� +

�� ���

��� � "�� ��1��� ( "�� � "( /���� ��� �����" �����"� 1���� "� �"��

�� +

�� �� � ��#�� �%

��

Page 298: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�&� ��� �� ������ ��������� ����� ������

��/ ���1� �� �� ��# ���# �� �#� % #

���� �

�� +

�� �� � ��#�� �%

��� � ��1��� ( "�� �����" � "(? �� $� $ "� ��"

�� +

�� �� � �%%�� &� %�

��5��1� �� �� ��# ��

�# �� �#� % #

���� �

�� +

�� �� � �%%�� &� %�

��� � ��1��� ( "�� �����" � "(? �� � "� ��"

�� +

�� �� �� �#$ # � ��

�� &&% #

�� �

����� ����� � ���"�� �� ��""( ����� ��"� "���� ��/ �"��"�� �� �������? "�� �����"������ 1���� �� �"�� �� ( ���1� � "�� �����/� � �� 7�

7B �+ �� �

/���� ��1�� 7 + �%� �� E�� ��� "��� �� ��""( ������ * "��� ���� "�� ���� 1���� ������" "��� /�� �%�

���� �� � 2#2 7����� �� ����� �� ��� �� . +

�� � � �� � #� # �

�� � ���� �� ����

������ ��� �� ������� ����� ��� ���� ���

5� �� . �� �(���"��? �" �����/� �" ��� "��� ��� ���� 1����� /���� �� ����"�� � "�

� :7; + ��"

��7

�� � � �

����� � � �

� � #� # �

����+ 7� � #7� � �#7� �� +

*� (�� ��� (�� ����� � �������"� "� ���� "��� ���( �����? (�� = � "��� �� � ���� 1��������/��� �"/�� ��& � � ��� � � "��" "��� �� "�� ������ ���� 1����� �� ����� (�� �����7��� � � � = � �" 1�( �����"��( /�"���" ���� "���� �" /��" ���" "�� ���� 1��"�/���� ���� /�"� �"C *� (�� "( "� ���1���:���;

�� � � �

����� � � �

� � #� # �

������ �

�� +

��

��"��� /��� � � �( "�� 7�� ����"�� ������ "�� ��"�� � "�� ���" /��� � � 1�"��� � � "������ /��� � "�� �� (�� ������ ��� /�"� � �""� ��������"�� ��-� ���% � ���$$� ���� ��

Page 299: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� �&&

������ ��� "���� �� � �( ��������"�� � "� "�� ���� 1���� � � �� "�� ��"�� � "�� ��1��� � �� ���� �� ��� �� "����� �������? (�� /��� � �( ��" "�� 7�� ����"�� � �

��.��-�!���� ��� ��-�� ����� �� 6���9

6�/�1�? "��� ����"� ���� � ���� 1��"� � � (�� �� = � �" ��� � "�� ����"�� � 1��� ��/���"���� '��- � + ���$$� ��� (�� ���1����� � � �

� � #� # �

��B ��$$

�� � � �

������ �

�� +

�� ���

��� � �"�� /���? �� �� �$$ �� ��

�� �� �$$ #� �� #� �� �$$

���� �

�� +

�� ���

��� � ��1��� ( "�� �����" � "(? �%�� &##� "� �"��

�� +

�� �� �� $�& ���� �� ##

����/ ���1� �� �� �$$ �� ��

�� �� �$$ #� �� #� �� �$$

���� �

�� +

�� �� �� $�& ���� �� ##

��

? 5���"�� �� K

�� �$�#� �� �� ����%� �$

�� � � ��1��� ( "�� �����" � "(? �$�#� �� "� �"��

�� +

�� �� �� $�� ���� ��� �#

�� :�#�#$;

�����( "�� �� �� �" ��� �� � ����� ���� ������"� � ��������"� ���� 1��"� �� "������� 1���� /���� �� ����� "� ���$$ �� "�� ��1� �� � � � ���� 1���� �� �"�� �� ( ���1� �

7B ��$$+ �$�#� ��

/���� (����� 7 + �� �$% & ��"� ����- "������ � � �� � #� # �

���� �� �� $�� ���� ��� �#

�� +

�� �� �$% &%� $ � %�� �&# %#

�� �

�� �$% &�� �� �� $�� ���� ��� �#

�� +

�� �� �$% &� $ � �� �&# %

������ "�� 1��"� �� :�#�#$; �� 1�( ����� "� "�� ������ ���� 1��"�? 0��" �� �� �$% & �� 1�(����� "� "�� ������ ���� 1����� 2� ���"���� �������? * ��1� ��� � �"� "�� ���� 1��"�� � "�� ���� 1�����

Page 300: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� ��� �� ������ ��������� ����� ������

���� �� � 2#2# ���� �� ������� ��� ������� � �� �� ��� �� . +

�� � � �� � �� � �

�� �

���� �� � �( � � � ��"�� � � �� �" �� �" ��� "� ��"���"� "�� ���� 1������ >��" ��""�� �����"���"�� �3��"�� ? ���� �" ��� � � �������"� � � 7��� � "� = � "�� ���� 1������*� (�� �� "���? (�� = � "��� �� � ���� 1���� �� ����� � � �� ��#� � � � � �� $�$�:��� �����"���"�� �3��"�� �� � B �7 B #7� � 7� + �; �� ����� * ��1� � ���� /��" "������ 1��"�� ���

��"� =�" "( "� = � "�� ���� 1��"� � � � �""� ��������"�� �� "�� ���� 1���� ������� * "��� ����? ��" � + ����� ���

:.� �0;��

+

�� ��$� �$� �#� ���� &�� $�� $ � ��� $ ��� $ ��$�

��� ��# ��% � � �$� �#� �#$�

�� �

��� �� "�� =�" �"��"�� ? ��""� � �� + :�� �� �;���� ��$� �$� �#� ���� &�� $�� $ �

��� $ ��� $ ��$� ��� ��# ��% � � �$� �#� �#$�

���� ���

�� +

�� �&� ��$ ��#$�

�� $�� #�&

���� ��" ��� * ���" ��1��� ( �&� ��$ ��#� ����

�� +

�� �� �� $�� #%� $%�� &�� ��

�� �

!� � �"�� �"��"�� ��� ��$� �$� �#� ���� &�� $�� $ � ��� $ ��� $ ��$�

��� ��# ��% � � �$� �#� �#$�

���� �� �� $�� #%� $%�� &�� ��

�� +

�� �$�� �#� �%��%� �$� �#�#�� # % $&%

��

��� "� ��" �� (�� ��1��� ( �$�� �#� �%�� ����

�� +

�� �� �� #&� ��� ��� & & ��# ��

�� �

��/ �"��"� ���� ������ "�� ����� � ���"�� �� �"��� ��� �� � 3��"� � �"��� ��$� �$� �#� ���� &�� $�� $ � ��� $ ��� $ ��$�

��� ��# ��% � � �$� �#� �#$�

���� �� �� #&� ��� ��� & & ��# ��

�� +

�� �$#� �#& ����%� %�� ���#&� ��$ ���

�� �

���� "��� "�� ����� � ���"� ��� 8" ��� �� "�� ����� *" �� �$#� �#& ���� ����

�� +

�� �� �� #&� �#� #$�� & � ��# &$

�� �

Page 301: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� � �

��"� �� � � ��� �"��"�� ��� ��$� �$� �#� ���� &�� $�� $ � ��� $ ��� $ ��$�

��� ��# ��% � � �$� �#� �#$�

���� �� �� #&� �#� #$�� & � ��# &$

�� +

�� �$#� ��� ��&�%� %�# %��#&� ��� ���

�� �

E�� ��� �" "��� ��� " "�� ����� � ���"�� ��1� ��= �"��( ��""��� ��/ � � �� �" ����� ������ 1���� /���� � �"�� �� ( ���1� �

7� :����; + �$#� ��� ��&

� � "��� (����� 7 + ��� ��� #�& � �� � ��������"�� "� "�� ���� 1���� � � "�� ���� 1��"�/���� � �"�� �� ( ��1��� � ( �$#� ��� ��& /���� ��1��

�� +

�� �� ��� #&� �� &��� & � ��� &

�� �

6�/ /��� ���� �" /�-C�� � � �� � �� � �

���� �� ��� #&� �� &��� & � ��� &

�� +

�� ��� ��� #�& �� $&& ��% �#�� � � #$$ %

��/����

��� ��� #�& ��� �� ��� #&� �� &��� & � ��� &

�� +

�� ��� ��� #�& &� $&& ��% $�� � � #$$ %

�� �

2� ���"���� �������? "��� ��� ��� � "�� ���� 1���� �� ���� �� /��� �� � ���� 1��"��������"�� /�"� �"�

���" * ����� = � "�� ���� 1��"� � � � ��� ������ 1���� �� "�� ���� 1���� �� ��#�* "��� ����?

:.� �0;��

+

�� �� %# $�% � � �� �&� ��# �&� $ %� #$� %�� &�� # � ��$ �� ��� �� &%� ��� �$� %# $� # � ��$ �� �� %�& �� � ��� �#� &�$ $

�� �

�� ����? * ��1� � ���� /��" "�� ���� 1��"� �� �� * /��� ���� "( :�� �� �;�� ��� "� = �

����� �� %# $�% � � �� �&� ��# �&� $ %� #$� %�� &�� # � ��$ �� ��� �� &%� ��� �$� %# $� # � ��$ �� �� %�& �� � ��� �#� &�$ $

���� ���

�� +

�� ��� �#� &�$ #�� � & %�� ��� �& ��� %

��

��� ����� � ���"� �� �� � & %�� �� ����

�� +

�� �� ��& �� �%��

� �#� ��% �

�� �

Page 302: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � ��� �� ������ ��������� ����� ������

��/ ��"� �� � �"�� �"��"�� ��� �� %# $�% � � �� �&� ��# �&� $ %� #$� %�� &�� # � ��$ �� ��� �� &%� ��� �$� %# $� # � ��$ �� �� %�& �� � ��� �#� &�$ $

���� �� ��& �� �%��

� �#� ��% �

�� +

�� ��� �& �%� %&� �## #% #�� ��� ��& �

�� �

��� ����� � ���"� �� &� �## #% #� ����

�� +

�� �� ��$ � % ����

� �$& &%& ��

�� �

��"� �� � �"�� �"��"�� � ��� ����� � ���"�� �� �"��� ��� �� � 3��"� � �"��� �� %# $�% � � �� �&� ��# �&� $ %� #$� %�� &�� # � ��$ �� ��� �� &%� ��� �$� %# $� # � ��$ �� �� %�& �� � ��� �#� &�$ $

���� �� ��$ � % ����

� �$& &%& ��

�� +

�� ��� %$& #&% �&� �&% ��� $�� % � $�& $

�� �

��� ����� � ���"� �� �/ &� �&% ��� $� �������?

�� +

�� �� ��� �#� ����

� �%$ �%� #�

�� �

��"� �� � �"�� �"��"�� ��� �� %# $�% � � �� �&� ��# �&� $ %� #$� %�� &�� # � ��$ �� ��� �� &%� ��� �$� %# $� # � ��$ �� �� %�& �� � ��� �#� &�$ $

���� �� ��� �#� ����

� �%$ �%� #�

�� +

�� ��� %�� %$$ %&� �$� ��� &�� $�$ �� �

�� �

��/ "�� ����� � ���"� �� &� �$� ��� & � � ��

�� +

�� �� ��� ��# ���

� �%# &�% ��

�� �

* �"��� "�� ����� � ���"�� �� �" ��� �� � ( ���� �� "�� ��������"� ���� 1���� ��

7B �#+ &� �$� ��� &

/���� ���/� 7 + �� �&� $�� �� �� � ��������"�� "� "�� ���� 1���� �� �#� 6�/ /��� �����" /�-C �� � � �

� � �� � �

���� �� ��� ��# ���

� �%# &�% ��

�� +

�� � ��� �%� #�� �&� $�� ���� ��� ��$ �

�� �

�� �&� $�� ���� �� ��� ��# �

�� � �%# &�% ��

�� +

�� � ��� #�# �%�� �&� $�� ��

��� ��� �� � � ��

�� �

Page 303: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� � �

*" /�-� ��""( /���� 2� ���"���� �������? "�� ���� 1���� � � ���� 1��"� ��1� �/ �� ��� �� *� (�� /� " �""� ������(? (�� ����� 0��" �� "� �� �"��"� ��

���" * /��� = � "�� ���� 1���� � � ���� 1��"� �� "�� ���� 1���� �� $�$� * "��� ����?

:.� �0;��

+

�� �&� � �%� � ��� ��&� � � � � �$� ���� �%� ���

�� �

�� ����? * ��1� � ���� /��" "�� ���� 1��"� �� �" * �� "��� �� ��/�(� ��� � :�� �� �;�

� � * �� 8" /� " "� ��1� "�� �������� "��" (�� ��/�(� ��� "� �"�" /�"� "��� 1��"���������? * ����� ��" �� + :�� �� �;

�� ,��" �����/� �� "�� �"��"�� /�"���" ��� "�� ����� "�

�"/�� �"���� �� �&� � �%� � ��� ��&� � � � � �$� ���� �%� ���

���� ���

�� +

�� �� ��# � �

�%� #�� �% � �

�� �

6� + �%� #�

�� +

�� �� $�� # � #��

�� #$� ��� �

�� �

�� �&� � �%� � ��� ��&� � � � � �$� ���� �%� ���

���� �� $�� # � #��

�� #$� ��� �

�� +

�� &$� ��& %�&%�� ��� ���& � && �#

��6� + &$� ��& %�&�

�� +

�� �� � %$# ��� �$� &$� &�$ $

���� �&� � �%� � ��� �

�&� � � � � �$� ���� �%� ���

���� �� � %$# ��� �$� &$� &�$ $

�� +

�� %�� ��� $��# � �%# &�#$&� #$� #$�

��6� + %�� ��� $���

�� +

�� �� � %$# � � #�� &$� &�& #$

���� �&� � �%� � ��� �

�&� � � � � �$� ���� �%� ���

���� �� � %$# � � #�� &$� &�& #$

�� +

�� %�� ��� ��&# � �%# �#�$&� #$� �%�

��6� + %�� ��� ��&� ���-� ��-� �" �� "��� "� �"�� ������ "��� ����� � ���"� �� �" ��� �� ����� ��� 6��

�� +

�� �� � %$# � � #&� &$� &�& #%

�� �

Page 304: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� # ��� �� ������ ��������� ����� ������

��� "�� ��������"�� �� "�� ���� 1���� �� ��""� ( ���1� �

%�� ��� ��& +�

7� $�$

/���� ��1�� 7 + $� $�% #$ &� ��"� ��� ��/ /��� �" /�-���� � � �� � �� � �

���� �� � %$# � � #&� &$� &�& #%

�� +

�� $� $�% #$ &�� % � ��$� �%� �&# #

��

$� $�% #$ &

�� �� � %$# � � #&� &$� &�& #%

�� +

�� $� $�% #$ &�� % � �% &$� �%� �&# $

�� �

���$�� !�./��# +����������

,��" ���" ������� ���� 1�����C *� (�� ��"�� �� ���? (�� /� 8" ��� "���� ( ����� �"�� �����"���"�� �3��"�� � (�� �������"�� ,��� "�� ����"�� � 1��� ��/� ��"��� = �"���� ���� 1����� � � "��� �������"�� ���� 1��"��C ��� � �/� �� (��� 6�/�1�? �� � �����"��? (�� ���" ���- � "� � �������� ���� �� ������ "�� ���� 1����� ���� � �� 0���"����� �� �� (�� �� 8" ���- �" �������? �" /��� � "�� ���� ���"� �� �"/�� � ( �� 0���"���� �� ������� ���� � � �� �"�� � � "�� ��1� ����� " �� �� 1��� �� ������� (��/��� ��" �� 1��� �� "� � ������� ���� ����? "�� ������ �� �"��"�� /��� (���� � �( ���1��"�� � � �������

���� �� � 2#2& ���� �� ����� ������� ��� �� �������� ������� � �� �� ���� �� �� $ �� %

� �

�� �

6�� "�� �����"���"�� �3��"�� �� 7� � $7� B �7 � % + � � � ����"�� �� 7 + �� ����"�� "/� �� �B� � � ����,� /��� ����( "�� ������ "� � + � �� /� /��� = � "�� ���� 1����������" "� ��

:.� �0;��

+

�� �� �� � �#� �� �# B � %�� �� �# B � ����� �# B � �� � %�� � �#� � �� B � �#�� � B � �#� �� �#� � %�� � �# B � ���

����� ��" �� + :�� �� �;

��� ���- �� � ( � ����" � "� � ("�� � �""���� �� �� � �#� �� �# B � %�� �� �# B � ���

�� �# B � �� � %�� � �#� � �� B � �#�� � B � �#� �� �#� � %�� � �# B � ���

���� ���

�� +

�� � �� B � %%�� %% B � %��� %� B � �#�

��6� + � %% B � %���

�� +

�� � � # ��� $B � �#� & � ##���

� �$% &� $%� � �&$ ��� &$�

��

Page 305: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� � $�� �� �� � �#� �� �# B � %�� �� �# B � ����� �# B � �� � %�� � �#� � �� B � �#�� � B � �#� �� �#� � %�� � �# B � ���

���� � � # ��� $B � �#� & � ##���

� �$% &� $%� � �&$ ��� &$�

��+

�� � %#% �#� #%B � ��� �� ���� ��� �� ��B � �$� %$� $#�

� $#� �� #&� %� &� $% & � ���

��6� + � %#% �#� #% B � ��� �� ���� ��"� ��� �"��"�� �? �� "��� ��"? (�� = � 6� + �� � �#� $B �� ��� %�� � � ��� � �

�� +

�� �� � $ � $�# ��� � #&& � � ���

�� $%� �� � � �� � � #&& ��� $$�

�� �

��� �� �� �� � �#� �� �# B � %�� �� �# B � ����� �# B � �� � %�� � �#� � �� B � �#�� � B � �#� �� �#� � %�� � �# B � ���

���� �� � $ � $�# ��� � #&& � � ���

�� $%� �� � � �� � � #&& ��� $$�

��+

�� �� # � �B �� �%& &�& � ���� $ � �� ��� � #&� �&� %%�

�� �#� &�� � �� � � #&& $�$ ���

��6�� + �� # � �B �� �%& &�& � ����

��� +

�� �� � $ ��& ��� � #&& ��$ ���

�� $ % �#& � � �� � � #&& ��� &��

����� ����� � ���"�� �� �" ��� �� � ���� �" "��� ��� "

�� # � �B �� �%& &�& � ��� +�

7� �

��� ��������"� ���� 1���� �� "�� 7 + � &&& $& �%B � &&� ��� %�� ���� �� ��""( ����� "�� B �� 6�/ /��� ���� "�� ���� 1��"� /�-C�� $ �� %

� �

���� �� � $ ��& ��� � #&& ��$ ���

�� $ % �#& � � �� � � #&& ��� &��

��+

�� � &&& $& %�B � &&� ��� �����

� $ ��& ��� � #&& ��$ ���

��

:� &&& $& �%B � &&� ��� %�;

�� �� � $ ��& ��� � #&& ��$ ���

�� $ % �#& � � �� � � #&& ��� &��

��+

�� � &&& $& �%B � &&� ��� %�� &&� ��% ��B #� ��# � � & � ���

� #&� &�� &� � #&� �$� ���

��*" "��- ��� �"��"�� � "�� ���� ������ � /�� �" 1�( ����� "� � B ��

Page 306: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� % ��� �� ������ ��������� ����� ������

���� �����"�"�� � � "���"� � "���� /���� ����� "� �� ( ���"�� "������ *� (�� ��1� ����( �����? � B �� B � B �B �� (�� �� �� ���� �" �� "�� �����"���"�� ���( ����� ��� ��"�� ��"��? ������ � !�� ����� ������� * "��� ����?����

�� � �� ��� � �

���� �

��� ��1� ������� /�� 0��" � ����� �� ��"�� �� 7� � $7� B �7 � %� E�� �� ��� "����""� /���� /��� � ��� (�� "� �"�� � ����� �� ��"�� �� � ( ���( ����� �� "�� ���7� B ��7

��� B � � � B ����7 B ��� ���� �����"�"�� "��" � � /�( "� = � "�� ������� 7����� � ���( ����� �� "� ��� "�� ����"�� � 1��� ��/� ��"��� � � ����� �� ��"�� �� "�����( ������ !��"���� "��� �� �""� /�(� �" "��� ���� �����"�"� ��/ �������1� "���������� ��� !� (�� ��1� � �""� /�(C

���$�$ *�3����� 5�������� �� +���.���� '�� +����������

���� �� �� ( ��������7�� ����"� �� �� � � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� 6���"�� ��"����� ������ � ��"��? . �� 6���"�� �� . + .� /��� .� ��� � "� "�-� "�� "� ������� "�� �� 0���"� �� .� * "�� ���� �� � ��� ��"��? 6���"�� ������ "� �(���"��� ���������� "��" �� � � �� �

���� + ��� +��

���

�� �� �

������ "�� �����/� � ������( ��� � � '��� �$� /���� �� �"�"�� ��� �� �� 1� �� ���

�������� � 2#2� /� . �� 1 ������ ��� � �� ������� �� . � � ��� �� ������� � ����� �� ����� �� ������� ��

���� �� �������� "��� �"�� ���� ����?

�� �� + � �!

� �� � + � �� � �+ �

2� � � �� � � �+ +� "�� ��(����� 3��"�� " �� ��= �� (

��.�

���� �

��/ ��" "�� ���� 1����� �� . � 7� 7� � � � 7� � � .�� + 7��� /��� �������� ��"�� ��1� �"�� ���� ���� �� ���� 1��"�� �� "�� �� � "�� ������(� ��� �� � �� � ��"�( 1��"�? "��� ����" �� �"� "�? � ���� "��"

� +����

���

����?

���� +

����

���

�����

����

+��

����� �� +

��

���� +

����

���� �

Page 307: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��� ���� ���� �� �������� �� � �

�������?

��.�

���� +:��

�� ��� ;

����� ��7���

���

�� ����

+

�� ���7��

�����

�� ����+

�� ���7������ ����

+

���� ���� 7���� ����

� G7�� 7�H �

* �"�� /���? "�� ��(����� 3��"�� " �� ��/�(� �"/�� "�� �����" � � "�� �������" ���� 1��L��� �� .�,�� � + ��� "�� ��(����� 3��"�� " �3���� "�� �����" ���� 1���� � � /�� � + ��"�� ��(����� 3��"�� " �3���� "�� �������" ���� 1����� 5������ (�� �������"� � ��(����� 3��L"�� "� 6�/ ����� �� �" "� ���� ���� 1����C

������� � 2#2( "� � �+ + ��� �� � �� +����� #������

��.�

���� � %�

��� �� ����� �� ������ �� .� ����� � �� 7� ���� ����

�7� � %� �.�� %����� � :�#�#%;

/����4 ��" � +��

��� ���� /��� �������� �� "�� �"�� ���� ���� �� ���� 1��"���

�.�� %��� + :.�� %�;�:.�� %�;

+

���

���

��7��� � %����

��� �����

��7��� � %����

+

�� �����

:7� � %; �����

�����

���

:7� � %; ����

+����

:7� � %; �� :7� � %; �������

+

�����

����� :7� � %;�

��/ ���- "�� ���� 1����? 7� /���� �� ������" "� %� ���

�.�� %��� +��

���

����� :7� � %;� � :7� � %;

���

���

����� + :7� � %;� ����

/���� ������� :�#�#%;�

���� �� � 2#2� 7����� �� ����� �� ��� �� . +

�� � � �� � �� � #

�� � "� � +:�� �� �;� �

1�� ��� �� �� +����� #������ �� ��� ������ �� .C ���� �� ������� ��� ������� �� �� � ����� �����

Page 308: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

� � ��� �� ������ ��������� ����� ������

�1�("�� � �� ��� � � �� "��� �� � ��� "� /�( ���" "�-� � �� 0���"��� �������?"�� ��(����� 3��"�� " ��

�� � �

��� � � �� � �� � #

���� ���

���

+�&

������ � "� "�� ��1� "�����? "��� �� ���� ���� 1���� �� "��� ��"��? 7� ���� "��"

����7� � �&

����

�������� � � �

� � �� � #

���� ���

��� ���

�� ���

���������

+��

�� � ��

� ����

��+

��� B

���

��B

���

���

+ �� �#� �

����� (�� = � "��� ���� 1���� � � �������"�� ���� 1��"�C �� ����� (�� ������ ���� ��/��" "�� ����"�� � 1��� ��/� ��"��� �� ��� ���"�

5��1� ���� � � �� � �� � #

��� �&

�� � � �

������ �

�� +

�� ���

��* �"�� /��� ���1� �� � �

� � �� � ��

� �� � �

���� �

�� +

�� ���

��� � ��1��� ( "�� � "( /���� �� �����"? �� �� �� "� ��"

�� +

�� � %&& �$� #&� �&��

����/ ���1� �� � �

� � �� � ��

� �� � �

���� �

�� +

�� � %&& �$� #&� �&��

��� � ��1��� ( "�� �����" � "(? �� &&� & "� ��"

�� +

�� � ��# ��� $�� %���

����/ ���1� �� � �

� � �� � ��

� �� � �

���� �

�� +

�� � ��# ��� $�� %���

��

Page 309: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ��������� � &

� � ��1��� ( "�� �����" � "(? �� #$ #� "� ��"

�� +

�� � ��� �� $� $%��

��5��1� �� � �

� � �� � ��

� �� � �

���� �

�� +

�� � ��� �� $� $%��

��� � ��1��� ( "�� �����" � "(? �� #� � "� ��"

�� +

�� � ��� ��� $� ����

��E�� �� ��� "���� ����� � ���"�� �� �" ��� �� � ����� ��� �����"�� ���� 1���� �� "�� ���"

�� #� �B

�&

�+ %� %%� ��

6�/ ����� �� "���C �� � � �� � �� � #

���� � ��� ��� $� ����

�� +

�� #� �$$ ��� #%&%� %%� �

��/����

%� %%� �

�� � ��� ��� $� ����

�� +

�� #� �$$ ��� #%& �%� %%� �

�� �

E�� ��� "��" �� ���"���� �������? "��� ��� ��� � "�� ���� 1�����

�!�# ��������

�� * ������� �#�$�& � ���� 1���� /�� ��� � ����" "� ��1��� ������� ������ ��� �/�"� � ���� 1��"�� 2� � "�� �"�� ���� 1����� ��� � /�"� "��� ���� 1��"���

�� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"��? . +

�� � � �� � �� � �

�� ��������(�

* "��� ���� "�� ����" ���� 1����� �� ��� %� ������ /�"� "�� ����" � �/���

�� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"��? . +

�� � � �� $ �� � �

�� ��������(�

��� ����" ���� 1����� �� �� # B�$� # ��$� ������ (�� ������� ����"� /�"�

"�� ����" 1������ *� �" ���� �� "� �����"� "�� ����" ���� 1��"��C

Page 310: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� �� ������ ��������� ����� ������

#� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"��? . +

�� � �� $ �� � �

�� ��������(�

* �� 8" - �/ "�� ����" ���� 1����� � "��� ����� ����- (�� � �/�� ( ���"���(� �(�� ��������( �����"�� ���� 1��"�� ( "�� ��"���

$� 2� � "�� ���� 1����� � � ���� 1��"�� �� "�� ��"��? . +

�� � �� �� � �

�� ��������(�

* �� 8" - �/ "�� ����" ���� 1����� � "��� ����� ����- (�� � �/�� ( ���"���(� �(�� ��������( �����"�� ���� 1��"�� ( "�� ��"���

%� �� ���� "�� ��"��? . +

�� � � �� � #� #

�� � � "�� 1��"� :�� �� �;�� 2� � "�� ���"��"

���"� �� �"/�� "�� ��(����� 3��"�� " ��"��� �� ( "��� 1��"� � � ���� ���� 1������ .�

�� �� ���� "�� ��"��? . +

�� � � �� � #� # $

�� � � "�� 1��"� :�� �� �;�� 2� � "�� ���"��"

���"� �� �"/�� "�� ��(����� 3��"�� " ��"��� �� ( "��� 1��"� � � ���� ���� 1������ .�

�� �� ���� "�� ��"��? . +

�� � � �� % #� # ��

�� � � "�� 1��"� :�� �� �;� � 2� � "�� ���"��"

���"� �� �"/�� "�� ��(����� 3��"�� " ��"��� �� ( "��� 1��"� � � ���� ���� 1������ .�

&� I�� � <������� 8� "�����? = � ���� � � ��/� �� �� �� "�� ���� 1����� �� . +�� � � �� % #� # ��

�� �

�!�$ &��� �4� 0� ����

����� "������ ���" 4�-�1 ��"���� /�� ���� "��� ����� /�� ��"���� � /���� ���"�� � "��� /�� � ���"�1� � � ��"�� "�� ����� � � "�� �/� ����� "� �� *" "� � ��""��" �� ( �� "�� "������ ���� "�� �� � �� ����7�� "� ����"�1� ��"����� ,�� "��� ���� �? "�� ����"� � "���( �� ��� �( ��� "� '�� � � 2�� ���� * /��� ��1� � � "����"�� "� "��� "���( ��� �����/� � M��� � � ��(�� G�H�

'�3������ � 2�2� �� . � ��� �� � ���� �� �������� . �� �� ��� � � �� ��� . �� �������� C� . � �� ���� ���� � � �� � �� ��������� ��� �� ��� �� ���������� C� . � �� ���� ���� � � �� � �� ���������� ���� �� ��� �� � ���� ���������� ��� �� % �� �� � � -� �� ����� �0 . �� " �� ��� . � " �� ��������� ������������ �� � ��� ��

�� �� ��0 �� ���� ������ ��� ��� �� ������� �� � +:�� � � �� �;� � � ���� �

��� � :��� � � � �� ���;� �

Page 311: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ������� ���

���� ��� �� �� ���� ����� ���� �� ������ ��� �� � �� � ���� ��� ������ �����-�� ��� �� � � � � �

������ ���

��� �

%���� � 2�2� "� . �� ��� � � � +� ��� .� �� +�

/����4 :.�; +�

� .�� � ������ ��� "�� .� � � � �" ����" � � � � �

%���� � 2�2� "� . �� � ���

6 � �7 K .� � 7� �� ��� � �� +� �

��� �

A � �� � + ���� ���� ������ + �� �

2�� ���

6� � �7 K .� � 7� �� ��� � � A� �

���

��� :6; + ��� :6�; �

/����4 ��" 7 � 6� ��� "��� ����"� � �� + ���� "��" .� � 7�� �� ���� � � �� ������ ���� ������ + � � � .� � 7�� �������? 7 � 6� � � �� 6 � 6�� �������? ��� :6; ��� :6�; �

��/ ��" 7 � 6�� ��� "��� ����"� � � + ���� "��" ������ + � �� � � + � � .� � 7����""� � � � .�� �" �����/� ��� ����� �#���� "��" .� �� 7� � � � �� +� ���� 7 � 6� � �� 6� � 6 /���� ���/� "��" ��� :6�; ��� :6; � ���� ��1�� "�� ������

���� ����� �� ��� �=�� " ������ "�� ��"? �� � + ���� "��" ������ + �� � A �� � ������"��" � �� � !�= �

7� � ��� :6; + ��� :6�; � :�#�#�;

��� �����/� � "����� �� ��� "� '�� �

������� � 2�2 "� . �� � �� � � ��� �� ��� � 7� � ���� �� �&8�8��� ���

&� 7� � ��� �� ����� ���� + ���� ���� .�� + 7��� �� 7� �� �� ������ �� .�

(� /� .� + C� �� � �+ +� ��� C �+ 7�� ��� �C� # 7��

*� �� ������� �� 7� ��� �������� ��

/����4 �� ��� 7� � � �� ���� "�� 1��"�? � � :�� � � �� �;� � ���

:.�; +��

.� �

�(��� ������ �� !�� � �� �� ��� � ����� �� ���� ������� ��� �������" � ����� �#��� �� ��

#��������� �� ��� ����� �� #������ ������� ��� ������ �� ��� �� ��� ��� ���� :����� ����� � �� �

���� ��� ����� ��� �������

Page 312: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� �� ������ ��������� ����� ������

� � �� 7� �� �" ����" �� ���� ��

��

��

.� �

��" �7�� � � � ����� � ��3�� �� �� ���� ��� 6� �� 1��� � "� 7�� ��""� � �� �"�� 1��"� ��� A /���� ����� � "�� ��= �"�� �� 6�� "���� 1��"�� �� � � ������" ��"��������? "��� ����"� � ����3�� ��? �"��� �� �"�� ( �� ���� "��" �� � �� � A � �7� � 7�� ��� ����� � "� "�� ����"?

.�� � 7���� �� � +�

*� .�� � 7���� "�� ��""� � � � .��� �" �����/� ��� ����� �#���� "��" .� �� 7��� � � �� +� .�" "��� �� "����"� "�� ��= �"�� �� 7� �� "�� ������� �� "�� ����� "� ��6 ������ �� �� .� �� 7��? �" �����/� .� �� :7� B -;� �� - � ����� ����"�1� �����������? .�� + 7���� *" ���� � "� 1���( "��" �� �� +� .�" "��� �����/� �������"��(���

#��

.��� + :.��; + 7���

���� ��1�� �����" ������� .� + C� � � � �+ + � � C �+ 7�� ��� �.�� + �C� ��� � .�" "��� �������

. ��� � �C� ��� � :5�� "�� ��1� ���� ��� ��= �"�� �� ����;��� �4 ��� �+ � � � ��� �+ ���* "��� ����? . ��� � �.�� + �C� ��� � � ��""� � � + . ��� � �" �����/� � �� + � �

.� �� �C�� /���� ���/� .� �� :�C�B -;� �� ����� "�( ����� ����"�1� - � � 1��=���C� # 7��

��� �4 ��� + � � ��� + ��* "��� ����? "�� � "��� �� � �� ��� ��� � � ��1� "�� ���� ��� � �������? . ��� +

�.�� + �C� ��� � ��/ ��" � � ��� � ������ � ��� .� + �C�� � � �� �C� � 6� ���/� � "��"�C� 7�� .�" ����? "�� ���" "�� � "��� �� � ��� ��1� "�� ���� ��� ���/� C + �C� � � ��C � 6�� 5� �� C �+ 7�� �" ���" � "��" C + �C� # 7�� ���� ��1�� ��

*" ���� � "� 1���( �� 5������ "�� "��" .� + 7�� � � �� ��� ������? �� ��� �+ �����

.��� + 7����� .*�� + 7�*���

*� ��� + ���� � � *�� + ���� �� ��� ����? ��"�� � + :�� B ���;�� � � �" ��������� "��� ���� �" ����� � �������? ��"��

���� �+ �� �� ��� � � �

�*�� �+ �� �� ��� � � ��

������ "�� =�" ������ ��� 1�(� � � � �? "��� ����"� � 1���� �� � ���� "��" ��B���� � +

�" �" �� �" "�� ���� "��" ��B���� �� � ��� . :�� B ����; �� ( ����� �#����� .�""��� ������� 7� :�� B ����; �� /���� �� � �� "����"�� � 6� �� "��� ����" ��� ����?�� � � �� ���� "��" ��� + ���� � � *�� + ���� ���/� � "��" � +:�� B ���;��� ������1�� ��

*" �� ������� "� �"�� � ������ ������( "� "�� ��1� "������

Page 313: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ������� ���

�������� � 2�2# /� . � ��� .� �� �� ��� � � � ��� � �� ���������� �� ������ ��� � ����

/����4 ���� ����"� C� � ���� "��" .��� + C��� �� �� �� ( ������ �#���#� �

C� + ��� �C K .�� � C� �� ���� � � A� �

��" 7�� + C�� ���

:.� 7�0;�.��� B 7�.

��� B � � �B 7���� 0��� + :.� � 7�� 0;�� + +

� � �� ��""� � �� ��.��� B 7�.

��� B � � �B 7���� 0���� �" �����/� �� �� � � .�� +

7����5������ �/ "��" .� + C� �� � �+ + � � C �+ 7�� 5������ �C� � 7�� 4��"���(� � �"�

����� ( .� �" �����/� .�� + C�� � � �C�� + �C�� � 7�� + C� � � �� ��� ������ �#���#?�� �� �C�� � C�� � � C� �� � ���� 1���� �� .�� �" �����/� "��" C� + C�� .�" ( �������#���# ���� ? "��� ������� � + ��� �� ���� �����? � � � �� �� .�� + C��� 5� �� �� �� +��" �����/� C � � � �� C + 7�� � �� "����"�� � �������? �C� # 7��

2� ���(? �� .� + 7��? "�� .�� + 7�� � � � �� � + ��� �� ���� �����? �� �� ��3�� "�(?�.��� B 7�.

��� B � � �B 7���� 0�� + �

�.��� B 7�.

��� B � � �B 7���� 0���

+ ����

6� ��

�7���� � + ���

/���� ���/� "�� ���� ��� �� "�� ���� ����� �� 7� �� � �� ���� ��1�� "�� ������(���� �����/� � ������( �� � ��"����( � "���"� � �� 1��� �� ����" � 1��1� � "�� ��/L

�� �� ����"�1� ��"�����

�������� � 2�2& "� . � ��� .� �� �� ��� � � �� ��� �� 7� ���� �� �&8�8��

�� ����� � ��0 �� ��� �� 8 ���� ���� ������������ �

"�

��� 8

������ + �

/����4 �� ����� � .� � � � "�� ���" "��" . � � .� ��1� "�� ���� ���� 1�����? ������(�#���$ ������� "�� ����"� �� �� � 1��"�? - �� + ���� "��"

.�- + 7�-�

���� ��" �� �� �"� "�� 1��"� ���� "��" .�� + 7��� /�"� �� �� +� 2��" �"� "��" ��� - � ������ �"� "���� 1��"�� ��1� ��� � "��� ����"�1�� �������? - ��( � ������ ���� "��"

-��� + ��� - + �� :�#�#�;

!�= �

8 � ��-� �

��� -� "� :�#�#�;?

.

7�8 + ��-

� + 8� 8

�.

7�

+ ��-

�.

7�

+ ��-

� + 8� :�#�#&;

Page 314: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ��� �� ������ ��������� ����� ������

� �

8 � + ��-���-

� + -��� + 8� :�#�$ ;

�������? �.

7�� 8

+

�.

7�

� �

�.

7�

8 B 8 �

+

�.

7�

� 8�

�� "� �� � "��� /�(? ��� � :�#�#&; ����"���(? �" �����/���.

7�

� 8

+

�.

7�

� 8� :�#�$�;

��� ���� 1����� ��

�"�

�� 8 �� �� � "���" ������ �" �� ��/�� �� "��� ��"�� /����

��"��� � "�� �� 1��� �� ���"�

��"� 8� �������? ��" C � � � 7�� ���� 1���� �� "���

��"��� ���� ��.

7�

� 8

� + C� :�#�$�;

�� � �+ +� � � C �+ � ����(� � 8 "� �"� ����� � � ��� � "�� ���� � ������ �� :�#�#&;(�����

+ + :8 � 8 ;� +

�8

�.

7�

� 8 �

� + C8��

.�" �� �� 8� + +� �" �����/� ��� :�#�$�; "��"

.� + 7�C�

/���� ������� 7�C �� � ���� 1���� �� .� �������? ( ������( �#���$ �" �����/� "��" ��"��7�C + 7� � /���� ���� C + �� � 7� �C� # 7� /���� ������� �C� # �� .�" �� C + �� "�� � ��� ���"���� �� �� � � :�#�$�; /���� (������

.

7�

� 8

�� + ��

/���� ��(� �� � ��-��� + �� � � �� ( :�#�#�;? �� + + �� "�( "� "�� ����"( "��"

�� �� +� �������? �C� # � � � �� "��� ��� ���/ "��" "�� �����"� 1����� �� ��� ���� 1�����

���"�

�� 8 �� ���� "�� �� .( <���� �8� "�����? ������ �#���&? �" �����/�

����������.

7�

� 8

������������ # � # �

/�� �1� � �� ���� � ����� ��/ ( :�#�$�; "��� (�������������� .

7�

� 8

�������� + ����������.

7�

� 8

��������� ��

Page 315: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ������� ��$

/�� �1� � �� ���� � ����� *" �����/�

������

��������� .

7�

� 8

�������� +

�� ��������,��" ���" "�� ���� /�� . � �" ��(� �" �� �" "�� ���� "��" . �� C �� ����?

A � �� � + ���� "��" ������ + �� ���/ ��= �

6� � �7 K .� � 7� �� ���� � � A�� �

7� � ��� :6�; :�#�$�;

������� � 2�2� "� . � ��� � 7� � ���� �� �&8�;*�� ��� �� ����� �� � +

���� ���� .�� + 7����

/����4 ��" � �� ���" �� "�� ��"�� /���� ��� � � � � �1�( � "(� ��� ��� �������#���# �" �����/� "��� ����"� �Æ �� + ? ���Æ ��� + �� ���� "��" :.B Æ�;�Æ + 7�Æ�Æ /���

7�Æ � ��� �7 K :.B Æ�;� � 7� �� ���� � � A� ���/ �� � # Æ

�7 K :.B ��;� � 7� �� ���� � � A� �

�7 K :.B Æ�;� � 7� �� ���� � � A�� � �� 7�Æ � 7� ������ 7�Æ �� "�� ��� �� "�� ���� � ��" � � 7� �� "�� ��� �� "�� =�"� *"�����/� "�� ����"? 7� � ���Æ��� 7�Æ ����"�� ��-� � � ����3�� �� � � ��� � "�� ������" ����� A� "��� ����"� � ����3�� ��? �"��� �� �"�� ( Æ ���� "��" �� Æ � � �Æ � � � A��������?

.� + 7��

� � ��? � ��"�����? .� � 7�� � � �� 7� 7�� .�" ����? �� 7 7��

7� .� # :.B �;�

���/� � "��" 7�Æ � 7 �� ��� ���� 7� .�" "�� 7�Æ � 7� ����� 6� �� 7� � 7�� ���/� � "����"/� ���� �� "�� ����� 6� �� .� + 7�� � � "��� ��1�� "�� "������

*� .� �� �� ���� � � � . � � �" �����/� "��" "�� ���� ��� �� "�� ���� ����� ��7� �� � � � � "��" "�� �����"� 1���� �� �1�( �"�� ���� 1���� �� . �� ���� "�� 7�� *� �" ��� �( ������� "��" . � � �" ��������( �� � "��� �� � �� �� "��� 6�/�1�? "��� ������"�� � /���� �� 1�( � "���"� � /���� �� � ����� 2��" ��� �� � � "���"� � ������

%���� � 2�2( "� 3 � � ��� �� �� �� �� �

3 +

�. " '

3 +

�. " '

�� . �� �� � � ��� �� ��� ' �� �� :�� �; :�� �; ��� ��� ��� ��" :3; +��" :.; ��" :"; ��� : :3; + : :.; � : :'; �

Page 316: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ��� �� ������ ��������� ����� ������

/����4 �� 1���( "�� ����� ���" "�� ��"��� � "�? �"��. " '

+

�. 0

�0 " '

�������?

��"

�. " '

+ ��"

�. 0

��"

�0 " '

.�" �" �� ���� ��� "�� ��"��� �� ������� ���� ��� "��"

��"

�. 0

+ ��".

� � ��� "�� ���"��� �� ����"��� �� "�� ��"��� � " � � �/ ����"�� � "��"

��"

�0 " '

+ ��"

�0 '

+ ��"'�

��� ���� /��� 3 �� ���� ���- "�� ���� �� ����������� �������"��( ������� : :3; + : :.; � : :'; �

������� � 2�2� "� . � ��� � 7� � ���� �� �&8�;*�� /� 7 �� �� ������ �� .���� ���� �7� + 7�� ��� 7�7� �� � ��� �� ������ ���� :7�7�;

�+ � �� ��� � � ��

/����4 ����(� � ������ �#���� "� .� � "��� ����"� - � + ���� "��" .�- + 7�-� * "�� =�" ��" �� "�� ����� " �" �� ������� - �� +� ��/ ������� .� + 7��� �+ + � � "��"�7� + 7�� ���

. ��� � �7� ��� + 7� ���� � �" �����/� "��" �� . ��� � �7� ��� � "�� �� �� - �� +�

7� :-� ���; # :-�. ���; + �.�-� ���� + 7� :-� ���; �

� �� "����"�� � �������?

. ��� + 7� ��� � :�#�$#;

*" �����/� "��" ��������

.��

������ + 7� ��� +��

.� �� �

� � �� "�� ������� ����?

.�� � .��

���" ��1� "�� ���� ����� " �� �1�( �� � ������ �3����"( ����� � "�� "�� ��� � �3����"(��������? "��� ����"� � ������� ���? C ���� "��"

.�� + C.� �� � :�#�$$;

� � ��? ��""� � � � �?.��C

�� + C.� �� �C�� �

Page 317: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

���� ������� ������� ���

5���� � � � (����� ��

.��C�� + C

��

.� �� �C�� � :�#�$%;

����? ����� � :�#�$$; � � � � ��� � "��" 7 �� � ���� 1���� �� �? �" �����/� ��� :�#�$#;"��"

7 +��

.�� + C��

.� �� � + C7� �� � :�#�$�;

2�� :�#�$%; � � :�#�$�;?��

.��C�� + C

��

.� �� �C��

+ C��

.�

��� ���)�� �� �C� �� � C����

+ C��

.�

�7

7�

�C

����

+ C

�7

7�

��

.��C����

��/ ��� :�#�$%; /�"� � ������� ( � � �� "��� �3����

C�

�7

7�

��

.� �� �C���� + C�

�7

7�

��

.�C� �� �C����

+ C�

�7

7�

���

.��C���� �

�� "� �� � "��� /�(?

��

.��C�� + C�

�7

7�

� ��

.��C����

� � �1� "����(? "��� ���/���

.��C�� + C�

�7

7�

� ��

.��

+

�7

7�

7 :C� ;

� � "��� ��(�

""�

������ � ���� 1���� ��

�"�

�/�"� "�� ���� 1��"� �� � :�C

��� � � �� �C��;� �

��/ ����� "��" � � � /�� ��"�( � � �� "��� ��� ���/ "��"

""�

���

""�

���

""�

��� � � �

�� ���� ���� 1����� ��

�"�

�/���� ��� � �( = �"��( �� ( � � �� �� "��� ��3�� �� ���"

����"� �������?

""�

��� � ��" �� � �"( �� �������� ���� ��1�� "�� "����� � "�� ����

"��" - �� +�

Page 318: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� �� ������ ��������� ����� ������

��/ �" �� ������( "� �� ���� "�� ���� /��� - � + �" �" �� �" "�� ���� "��" - �� +���� � "��� ����? "��� ����"� � ����"�"�� ��"��? 8 ���� "��"

8- +

����������

!����!� ���

�����������

��

+

� -�

���

7�- + .�- + .�8-��

�������?

7�-� + 8.�8-� + 2-�

��/ 8 � + 0 ������ �" �� � �����"�� ��"��� �������? "�� ��"��? 2 � 8.�8 � � .�� ������� �� ��3�� "�(? "��( ��1� "�� ���� ���� 1����� � � �" ����� ��� �/ � "��� ���� "�� ��"��? 2 �"�� "�� .� ���

7�

��

+

+

�3� 3�

3� 3�

��

+

/��� 3� �� � � � � 3� �� :�� �; :�� �; � *" �����/� ��� ���- ���"������"�� � � "��������"�� "��" . � � �� �� 2 �� � "��"

2 +

�.� " '

��/ ��" 7 � � ���� 1���� �� 2 ���� "��" �7� + 7�� ��� ��� ����� �#����? ��"��7 � : :.�; � 7 � : :'; � 5������ /�"���" ���� �� �� ����"( "��" 7 � : :.�; � 5� �� .� � �" ��� � �����" ����"�1� ���� 1����? 7�� /���� �� �"�� �� ��� :�#�$�;� ���� 7�� 7� �" 7�� � � ���� 1���� �� .�� ��� �"� �����"� 1���� �� ��� ( 7�� � � �� 7� + �7� 7�� 7����/� � "��" 7� � : :.�; � ��/ �� "��� ����"� - �� + ���� "��" .��- + 7�-� "�� "�� =�"��" �� "��� ���� ������� "� "�� ��"��? . � � �� :7�7�; �� � ��" �� � �"(� *� ���� � 1��"�?- ���� �" ����"? "�� ��" .� ���( "�� ��� �� . � "�� ��1� ����� " � � ����� "� "���� �����"�� ��

2� ��

.�� "�

' �

/��� 2� �� ������ "� .� � � 7� 7� � : :.��; � 5"�� �� .���- + 7�- �� ���� - �� +��"��/���? ��������� .�� ������ "� "�� ��1� � � ��� � �"�� ����� �� "� �� � "��� /�((�� ���" �1� "����( �"�� "�� ��"��"�� /��� :.�����;� - + 7�- �� ���� - �� +� * ����?"��� ����� � � ��"� "�� /�� .����� �� � � � ��"��� ���� ��1�� "�� "������

�!�% 7��� ���� �� 0� ����

��� ����"� �� �� "�� >��� ��� ���� ��-�� �" ������� "� ��= � 1����� �� �"�� � �� ��L"����� 5������

� :7; +�����

��7� :�#�$�;

Page 319: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� � � ������ � ������� ��&

�� ��� �7� # 9� ���� �� � ������ �� � :.; � ����� ��.

� /���� ��-�� �� �� /�� �1�4 :.; # 9� ���� (�� �� ����- �� �� :.; � (� �� . � � � ��"��� �� ��� /�"�? ��= �

�2 :7; �2�

���

��7�

�� �� � # 8

����2 :7; +

2����

��� � � � :�� � B �;7���

+2�

���

��

��

�P7���� :�#�$&;

�� ��� /�"� �� ���� � :G� :7;; /��� G� :7; �� � � � >��� ���-� ���� G� :7; +5 BD /��� D� + � � D �����"�� /�"� 5� �������? ��""� � 8 � �

2����

��G� :7;�

+

2����

��

�����

��

5���D�

+

2����

2����

��

��

5���D�

+

�������

D�2�

���

��

5���� :�#�% ;

��/ �� � + � � � ���� �� ��= � ����� :��� � � �� ����; "�� � � ��"�� /���� �3���� 7���1�(/��� �����" � "�� ��� ���� ����� �� /��� "��� ����� �� �� =���� /�"� "�� ����?���� � � �� ����� ��� "�� ���� ���" "� "�� ��/� ���"� ���� � # # ��"����? ����� :�� �;/���� � "�� ��"��? ����

� �

���� �

��� ��� :�#�% ; � � :�#�$&;?

2����

��G� :7;�+

�������

�����

�����2 :7;

�P� � � �� �

���2 :7;

�P

��

�������?�2

��� ��G� :7;�+����������

�2 :7;$ �� �"��*

$����

�"�

�* � � � $������

�"�

�����*

�2 :7;$ �� �"��*

� � ����

�2 :7;� � � $

����

�"�

�*� � � $ �� �"�

�* �2 :7;

����������:�#�%�;

Page 320: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� ��� �� ������ ��������� ����� ������

��/ ��" . � � � � ��"�� /�"� 4 :.; # 9 /��� 9 �� ��1� ��1�� ��� "�� >��� ��� �� . �� �� "�� ���

G +

�����G�

G�� � �

G�

����� :�#�%�;

/��� G� + G��:7�; �� � �� �� >��� ���- � � . + 6��G6� ��� ? ��""� � 8 � ��

�� ��� ��

2����

��.� + 6��

2����

��G�6�

� � ������ �� ���- ���"������"�� �� ��"����?

2����

��G� +

�������2

��� ��G��

� � �

� � �

�2

��� ��G��

������� � ��� :�#�%�;

�2��� ��G

�� �� 1���� �� 8 �� "� "�� �� �� ��"��?����������

� :7�;$ ��"���*

$ ����"���* � � � $ ������"��

������*

� :7�;$ ��"���*

� � ����

� :7�;� � � $ ����"��

�*���

� � �� � � $ ��"��

�* � � � � :7�;

����������:�#�%�;

���� �� � �� 1��� �� ����� ������ �7� # 9 �� ��� 7 � : :.; � ���� ��� ��1�� "�������/� � "������

������� � 2(2� "� � � ���� �� �&8�;?� ��� ������ 4 :.; # 9 �� 9 �� �� ������� ���� ��� �� �� ��� � �� �� �&8�;?�� ��� �� � ��

�����

��.� :�#�%#;

���� �� �� �� ���� � :�� � �� ; ���� ���� �� ��� �� �� �� �� �� ���� ���� ��� �� �� ���

�����

��.� + 6��

��������

��� ��G��

� � �

� � �

��

��� ��G��

������6

�� ��

��� ��G�� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� � ���� �� �&8�E*� �� . + 6��G6

��� �� D� ��� �� � �� .� G �� ���� �� �&8�E(�� �� �� ��� ��� ��� � :.; �� ��� �� �� �&8�E8��

Page 321: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� � � ������ � ������� ���

6�� �� � ������ ��������

���� �� � 2(2� ���� �� :.; �� . +

����# � �� �� � �� �� � ���� � � #

���� �

* "��� ����? "�� >��� �� � ���� ��� �� "�� ��"�� �� �" "�� ��� "� = ������# � �� �� � �� �� � ���� � � #

���� +

����� �� ��� �# �� �� �� ��� # # �

���� �

����# � � � � �

��������

��

�� �

��� � �

� � ��

�� � �

���

��

��

��

���� �

��� ��� "�� ��1� "����� �� :G; �� ��1� (

��

����# � � � � �

���� +

������ # �� � ��� � � ��� �

� �� � ��� � �� �

���� �

�������? �� :.; +����� �� ��� �# �� �� �� ��� # # �

��������

�� # �� � ��� � � ��� �

� �� � ��� � �� �

��������

��

�� �

��� � �

� � ��

�� � �

���

��

��

��

���� +

������ # �� #� �� �� ��� � � ��� � �� #� �� �� ��� �

�� �� #� �

� �� ��� �� # B

�� �� �� � ��� � �� � �

� �� # B�� �� �� � ��� �

� ��� � �� �� ��� � � ��� �� �

� �� # B�� �� � � �

� �� #� �� �� � B � ��� � ��� �� �� � � �

� �� # B�� �� � B � ��� �

���� �

'����� "��� �� 8" "�� =�" "�� � (�� /���� "�� - ��� �� ����� "�� ����"( "� ��" "��� ��������� ��� ������"�� �� �� :.; /�� ���� �� " � �� � ��� "� = � "�� >��� ��� ��� �/�"� � �������"( "� �����"�� /���� /��� (���� "�� >��� ����

��� �����/� � ������( �� - �/ �� "�� ����"�� ����� � "������

�������� � 2(2� "� . � �� � � ��� �� ��� � 4 :.; # 9 �� �� �7� # 9�

� :7; +

�����

��7��

��� � :.; �� ��� �� � � ��� �� ��� �� �� �� : :� :.;; + � :: :.;; � ���� �� �������� �� � :.; � ����� �� ���� � � :7; �� 7 �� �� ������ �� .� �� �� �� �� ��� ��� ���������� �� � :7; �������� ���� �� ��� ��� ���������� �� 7�

Page 322: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� ��� �� ������ ��������� ����� ������

��� �� "���� "�� �� �� � �� ����7�� "� �� �� "� �����"�� � ��= �� � � = �"� ��L�� ��� �� ������ � � /�� "��� �� �� � "�� ��� "��� �� "�� !� ��� � "���� ��� � /�"�"�� ��"���� �� ������� � ��(���� *" �� ���� "� ��� �" �� � �� = �"� ���� ��� �� ��"��"�� �=�" ������ �" ��1�� � ���� �� /��" �� �������� ��"����(? ���� �� "�� ���" � "���"� ��� �"�� � � �������"�� � �� �" ���� � "�� ��1� ��� �� � ��/� ����� ���� ��� ���" � � � ������� �� "��� ��"��"�� ��� �����( �� � ��� "��� � "�� ���� �� "�� ���"���� ���������"�� /�"� "�� �3��� ��" �� � 6���"�� "� �����"�� /���� ��� ��� � ���"�1� ���� 1������ � �"�� ������� �� "��" �� "�-� � "�� ����"�1� ��" �� � 6���L"�� ��"��� ���� �� ����"� " � ���� ��(����� ������ /��� ����"�� � ��( ���� � � "�� ����"�1� ��" �� "�� �"�� /���� �� � �(���"�� ��� ��"��� �1�����( "��� �� � /�("� �� ���� "��� �� � ��/� ����� ���� ��� ���" ������ "�� �� �"�� � :�; + �� �� �"�1� ��D�� "���� �" � �������? � "�"���( ��D�� " ������� ���" � �� ������� 2��""�� �"�� �� � ����"�1� ��" �� ��= ���

'�3������ � 2(2 "� . � �� 1 ������ ��� ��� ���� �� ���� �� ������ . �� ����� �� � :�� � �� ; ���� ���� �� �� ���� ������ �� ��� �� ������������� ��� �� ����� �� � ����� �� ����� �� ������� � ���� � � ����� ���� ����

. +��

���

7��� � �� �

�� 7� �� ������� �� .� � �� ���

.� ���

���

7�� �� � ��

�� 7� � �"��"� �

���� ��1�� �� � ��� ��= �"�� �� /��" �� ��� " �" �" "� � ��" "� � 1�( ����"� " � "�� �������"�� � "� ��"��� � ��/ "��� �� �"�� ���� �� � "�� ������ �� �(���"�� ��"��?.� ��� �����/� � �������� "��� 3���"�� �

������� � 2(2# /� .�" � 1 ������ ��� ��� ��� �� ��� �� � ������ �� � ��.� �"��� �.�"� �

/����4 ��" . +�

7- � - � � ��" " +�

� C�)� � )� /��� �-� � � �)�� ���"�� ���� ���� �� ���� 1��"���

��.� �"���� + ����(

���

7� - � - ���

C�� )� �)�

���

+

����(

23�

�7�

��- � - B

��

�C��

��)� �)�

����

7� C�� :)� �-;- �)� �

���

7� C�� :-�)�;)� � -

45

Page 323: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� � � ������ � ������� ���

5� �� "�� "��� �� - � )� �� :-�)�; � � ���" /���� �����/� ��� :-�)�; �� � "�� � �(������( � 7�� ���� 1����?

+�

�7�

��B

��

�C��

�� � ����

7� C�� �:-�)�;�� � :�#�%$;

5� �� "���� �� �"�� ���� ����?�

�:-�)�;�� + � +��

�:-�)�;��

� � �� :�#�%$; �3����

+�

��

�7�

��B

�C��

�� � �7� C��

��:-�)�;�� �

5������(?

�.�"�� +�

��

:7;

�B :C�;

� � �7C�

��:-�)�;�� �

��/ �" �� ���( "� ����- "��" :7;�B :C�;

� � �7C� ��7�

��B

�C��

�� � �7� C�� � � �� "���

��1�� "�� "������

Page 324: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��# ��� �� ������ ��������� ����� ������

Page 325: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��� '��� ��� ������ ��

�$���

��� �� ���� "�� "����� �� ����� �"�"�� "��" �1�( � �� �"� " ���( ����� ��1� ������� "� � � ��� � 7�� � � � *� � �� ������� ( �? "��� �� �" "�� ������ �� "���������? �B� + � ���� "����� �� � 1�( ���-��� ����" � � �"/�"��"� �� � �"� "�"��?��� "�� ��" ����� �� �" ���� � � ��"�� � ��(��� � "������(� *" /�� =�" ��1�� ( <����� ��&�� ��� ���� ��1� ��� �����/� ���� G� H� 5�� ���� 6��( G%H �� � �"�� ����? ������������ � � ���� ���� ������ !� 4��1�8� "����� � '��� � /���� �� ���"�� ���/ ���� 1� �� ���

������� �2+2& "� � � � ����� ��� �� � �� � ������� ����

G� :��� �B � �� �;H�+ �� :�����B � �� ��; �

��/ ��� "��� "�����? "�� �����/� � ������( � '��� ����$ �� �"�� ���

�������� �2+2� "� � � � ��� % � ����� ���� ��� � � � � ������� ���� � ����� � ����� ����� � ��� ���� �� � �� � �

%���� �2+2( "� �� � � �� � + �� ���� � ��� � � :�; ������ ���

�� ��� � �� �����������

/����4

���� � ���� ��� �� � �� ������ B ����� B � � �B ������ ���� �� �� � �� # �� "�� "�� ��� � �3����"( ������� ��� # � B ��� � � �� �� �� � �� # ��

���� � ���� ��� �� � �� � :� B ���;� �

*� - � �� ��1� ? ��"

Æ # ��

���

-

���� :� B ���;��

*" �����/� ��� "�� ��1� � �3����"( "��" �� �� � �� # � ���� � ���� # -� ��� �� �"�� ��"�� ����� �� 0��" "�� ��� �� �� �"�� � �� "��� ��" � � �� �" �����/� "��" �" �� ���� �� "� �����

������� �2+2� ���������� ��� � �� -�� �� "� � :�; � � ����������� ������������ �� ����� � � � ���� ���� � :�; + �

��$

Page 326: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

��% ��� � �������� ����� � �������

/����4 5������ �"� ���

� :�; +

�����

����

/��� �� �+ � � � � ���

�� :�;� � ���� ���� ��������

���� ����

� � ��

�������

�� :�;� +�� :���;

��/ ��"

7 � � � ��� :�;� K � � � � �.( :���;? "��� ����"� � 9 � ���� "��" �� ��� � 9� �" �����/� "��" �� :�;� � 7B�� �������?

7 � � � ��� :�;� K � � � � + � � ��� :�;� K ��� 9� ���� ��" �� K ��� 9� �� � ������ � � �� ��� ��" � � �� "��� � =��� �� �����1�� �" ������� " � /�"� ��� 9� � �� "����"�� �� �"�� �� �� �� :�;� + �� ������ �� :�;� � � ��� �� ����

% :�; � � :� B �;

� :�;�

*" �����/� % :�; �� �� "�� ���

% :�; + � B ���� B � � �B ���

/��� �� �+ � ������ % : ; + �� *" �� ���� "�� "��" �% :�;� � � ( "�� ������"�� "��"�� :�;� �� "�� �������" 1���� �� �� :�;� � ��/ ��" � � � � � ������� ��� /�"� ��� + � � �

����� + � ���� ���� �

*�

� �+ � � +� ����

�� ��������

� � �� � + � � + � /��� /�-� ��/ ��" B� + � � � ��" � � � ����� ����"�1� ����

% :�B�; � �� �� ���� ����B � � �B ���� :B�;

/���� �� �� "�� ���

�� �� ���� ����B �� :, :�� �;;

/��� ������ , :�� �; + � ��""� � � � ����� � ����?

�, :�� �;� # ���� ���� ��� � �� �� ���� ��

�% :�B�;� # �� �� ���� ����B �� ���� ���� �� # ��

� �� "����"�� "� �% :�;� � �� ���� ��1�� "�� "������

Page 327: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

(����$����

G�H � ����� �2 7����� F��� // '���� ������ ,���( &<E<�

G�H :�,��8 ��.��? "��� -�� �? �� "� '��� � ��

G�H '�-�� 52 �� ����� �28 F��� -������ ,�� �� .�/ �&&$�

G#H �)��� 252 -������ 7����� �� �� � F� ���� !�1� �&&#�

G$H <����� $2 -� ��� �������� �� ��������� �������� �������� ���� �&���

G%H 5��� <2 - 7�� � B� �� )��������� ���� ������ ������� I �1���"( '����&&��

G�H 5��� �2 �� =������ 2 ��� �� -������ ������� I �1���"( '���? �&�$�

G�H >����� �2 �� ������ 52 - �� �� 7�� � �� '��������� � ����� �������� '���?�&�$�

G&H ����� :2 �� '����� =2 -���� "��� -�� � � ���� 1� &<���

G� H ���� ?2 � ������ �� )��������� -������? 4�<�/ 6���? �&�%�

G��H ����� �2 �� 5���� �28 7����� B� ��� '� � F� ���� ,���( �&& �

���

Page 328: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�����

::.;? ���

���8� ������? �����0���"�? &#? � �������� ���"������"(? � &����� "�� ��"��? �#

���� ����"�� ? �� ���� 1������? �� ����? �� �� ��� �� �� "� �����"�� �? �$�

��"���� ����� �"��? � �����( 5��/�7? �$�����( 5��/�7 � �3����"(? ���? �$$�����( ��3�� ��? �$$��(��( 6����"� "�����? �� �� "������ �������"�� ? ���� "���"�� �������"�� ? �������"���"�� �3��"�� ? ��������"���"�� ���( �����? �� �����"���"�� 1����? ��������"�? & ? � $����� � -? ��$������� �� 0���"�? &������� ����? ������ � "? ���� ��"�� ���? �%$�� ������? % ����� �"��? �&������� �������"�� ? ��������� �������"��

��"�? ��������� ����? ������ " 2����� "�����? �# ����8� ���? &$? � �

�����"�1�? �#���"��� � "? �

�����"? � #"� �����? � �

����� ���7���? �$ ? �$�? �& ��D�� "���� ��"��? ��

���� ��� �� 1��"� �����? �������" ���? �������"��? #����"� �� ������? ��? �$���� � " ���� 1����? ��&��" �����"? �#

���� �����? ��&? ���? � ����� 1����? ���? ������� 1�����? �%#���� 1��"�? ����� �"�� �����"�� �� 1� "�� ? $������ "�( ��"����? ����3����"( �� ����� ��"��� ���1�"�1��? �%��3��1��� �� �����? ��&�3��1��� �� �� ���? �$��3��1��� �� ���"�� ? ��&����� �� "�����? ��

������� ����"�� �? �� =��� ������? �2�����" �� �����? �#2������ ��"� �"�1�? ����� ���� "�� "����� �� �����? ��$

�����8� �� ? ���<���� >��� ��"��� �� � 1����? %%<���� 5����� ��"���? ����� ����7�� ���� �����? ���? � �? � &<������� 8� "�����? �%�<��� 5�����" ������? �$#? �� <����� ? ���

6���"�� ? �$�����"�1� ��= �"�? �#�

6���"�� ��"������"�1� ��"? ���

6����� ��"��? �%�6���" �����? ���6����8� � �3����"(? �%�

� �� ���"� "? �%� � �����"? �#? ���

���

Page 329: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

����� ��&

� � �����" �����? ���� 1���� � � ��"��� � "�? &�? � %� 1�"���? %#

>���� ��"���? �%&>��� ���-? �&�0����? #

-�? ��&-������? #�M� �-� ���"�? $�

������� ���� ��� ? & ? � $����" �3����? ����� �� ���� �"�� ? ��? � �? ��$�� �� "� �����"�� ? ��$�� ���( ���� �� "? ���� ���( � ���� �� "? ��? ��

��� ����� ��? &�4�-�1 ���� ? � �4�-�1 ��"��? � �

�"���( �"�"�? � ���"��? $$

� 1���? %#���" � 1���? � ���/� "�� ����? &�? � � � �����"�1�? �$� ����? �$����" � 1���? � ����� ��0�� "? �$ ? �$��(���"��? �$ ? �$����� "�� ����? &�? � �

��"�� �� �� �� "� �����"�� ? �����"�� "� ��? �������"�� ��"��? � %�� ���� ���( �����? ����� �? & ? � $�� �� ���( �����? ���4��� '� ��� � 1���? �$ ��1� � ����� �"� �(�"��? ��

�������"�� ? ��

��/"� ? �� ����"� "? ��$ ����? �#� ��� � � � -? ��� ����"(? ��&

����"� ��? �$�

����������� ��� "�"(? �$�

����"�"�� ��"����? �������"�"�� �(���? $�'�� 8� "�����? � ���1�"? �����1�" ����� ? ��&? �� ���� ���������"��

���"? �#����"? �#$

���� ��� ������� ���? &�� ����� ����"�� �? �#$�����" ���

��"����? ��

� ��� 1������? � �� -? ��%� - �� � ��"��? � �? ��$� - � � "� �����"�� ? ��#��� ����? ���� 5��� ���? �$%������� �� �? �������"� "? ������7 ����� "�"�� "�����? ������" �����( <�� �"�� "� ��? �#$�/ ����"�� �? �$? ��$? ����/ � -? ��$�/ ������ ������ ���? ���

����� �����"? �#������? ��? � ? $$���� � ���1�"�1� "��"? �%����� ��0�� "? �$������� ��"����? ����������"( "� �����"�� ? ���������� �����"��? �� ������� "���? ��&������� "�����? ��&�����"� ���� ����"�� �? �%&�����"� �����( ����� ���7���? ��%�� ���� 1���� ���������"�� ? �#��� ���� 1�����? �#��-�/ �(���"��? %�? �#&����- 1������? ��&��� ? ��? � �����"�� ����� � "�����? �������"�� ��? �% ����"�� �����? �%$����"��? ����"�"�� �( "� ��"�� ������"���? � �5"�����"�� ��"��? � ��"��"�( ���� "�� ����? �&��������? ��? ��

Page 330: valle.fciencias.unam.mxvalle.fciencias.unam.mx/librosautor/Linearalgebra.pdf · 4 " % $% 4 " $% " $% " " " " $ & ' ( %. 3 ... 4 - 1 4 " & 4 " 4 " # 4 - 1 $ #

�� �����

�(���"��? %�? �#&

��(��8� ������? �%�"� �� �����"? ��#"�� ��� � �3����"(? �%? �$"�1���? ��

1��"� �����? $�? �%&1��"��? �

,� �-�� ? ���

77���? $$77��.?�? $%77#%.? �&�