valores y vectores propios polinomio característico
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valores y vectores propios polinomio característico
Valores y vectores propiosPolinomio característico
Jana Rodriguez Hertz
IMERL
10/08/2010
valores y vectores propios polinomio característico
definición
valor propio asociado a T
definición (valor propio / vector propio)
T : V → V operador linealλ ∈ K tal queT (v) = λv
con v 6= 0
λ valor propio asociado a Tv vector propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
definición
valor propio asociado a T
definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador lineal
λ ∈ K tal queT (v) = λv
con v 6= 0
λ valor propio asociado a Tv vector propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
definición
valor propio asociado a T
definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador linealλ ∈ K tal que
T (v) = λv
con v 6= 0
λ valor propio asociado a Tv vector propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
definición
valor propio asociado a T
definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador linealλ ∈ K tal queT (v) = λv con v 6= 0
λ valor propio asociado a Tv vector propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
definición
valor propio asociado a T
definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador linealλ ∈ K tal queT (v) = λv con v 6= 0λ valor propio asociado a T
v vector propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
definición
valor propio asociado a T
definición (valor propio / vector propio)T : V → V operador linealλ ∈ K tal queT (v) = λv con v 6= 0
λ valor propio asociado a T
v vector propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo (derivada)
D : C∞(R)→ C∞(R) tal queDf = f ′
f (x) = ceαx vector propio asociado al valor propio α ∈ R
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo (derivada)D : C∞(R)→ C∞(R) tal que
Df = f ′
f (x) = ceαx vector propio asociado al valor propio α ∈ R
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo (derivada)D : C∞(R)→ C∞(R) tal queDf = f ′
f (x) = ceαx vector propio asociado al valor propio α ∈ R
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo (derivada)D : C∞(R)→ C∞(R) tal queDf = f ′
f (x) = ceαx vector propio asociado al valor propio α ∈ R
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo (rotación en el plano)
Rθ
(xy
)=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(xy
)con θ 6= kπ
no tiene valores propios en R
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo (rotación en el plano)
Rθ
(xy
)=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(xy
)con θ 6= kπ
no tiene valores propios en R
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo (rotación en el plano)
Rθ
(xy
)=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(xy
)con θ 6= kπ
no tiene valores propios en R
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 4
ejemplo (proyección sobre un plano)
P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}S0 = {eje z}S1 = {plano xy}
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 4
ejemplo (proyección sobre un plano)
P : R3 → R3 tal que
P proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}S0 = {eje z}S1 = {plano xy}
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 4
ejemplo (proyección sobre un plano)
P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xy
valores propios: {0,1}S0 = {eje z}S1 = {plano xy}
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 4
ejemplo (proyección sobre un plano)
P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}
S0 = {eje z}S1 = {plano xy}
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 4
ejemplo (proyección sobre un plano)
P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}S0 = {eje z}
S1 = {plano xy}
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplos
ejemplo 4
ejemplo (proyección sobre un plano)
P : R3 → R3 tal queP proyección sobre el plano xyvalores propios: {0,1}S0 = {eje z}S1 = {plano xy}
valores y vectores propios polinomio característico
subespacio propio
definición (subespacio propio)
T : V → V operador linealλ ∈ K valor propio asociado a T
Sλ = {v ∈ V : T (v) = λv}
subespacio propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
subespacio propio
definición (subespacio propio)T : V → V operador lineal
λ ∈ K valor propio asociado a T
Sλ = {v ∈ V : T (v) = λv}
subespacio propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
subespacio propio
definición (subespacio propio)T : V → V operador linealλ ∈ K valor propio asociado a T
Sλ = {v ∈ V : T (v) = λv}
subespacio propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
subespacio propio
definición (subespacio propio)T : V → V operador linealλ ∈ K valor propio asociado a T
Sλ = {v ∈ V : T (v) = λv}
subespacio propio asociado a λ
valores y vectores propios polinomio característico
subespacio propio
propiedad
proposición
Sλ s.e.v. de V
Sλ = ker(T − λI)
valores y vectores propios polinomio característico
subespacio propio
propiedad
proposiciónSλ s.e.v. de V
Sλ = ker(T − λI)
valores y vectores propios polinomio característico
subespacio propio
propiedad
proposiciónSλ s.e.v. de V
Sλ = ker(T − λI)
valores y vectores propios polinomio característico
subespacio propio
observación
suponemos de ahora en más dim V = n
valores y vectores propios polinomio característico
cálculo de vap y vep
proposición
proposición (cálculo de vep)
T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔
coordB(v) solución no trivial de
(A− λI)x = 0
valores y vectores propios polinomio característico
cálculo de vap y vep
proposición
proposición (cálculo de vep)T : V → V operador lineal
B baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔
coordB(v) solución no trivial de
(A− λI)x = 0
valores y vectores propios polinomio característico
cálculo de vap y vep
proposición
proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB base
A =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔
coordB(v) solución no trivial de
(A− λI)x = 0
valores y vectores propios polinomio característico
cálculo de vap y vep
proposición
proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociada
λ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔
coordB(v) solución no trivial de
(A− λI)x = 0
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cálculo de vap y vep
proposición
proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio
v vep asociado a λ⇔
coordB(v) solución no trivial de
(A− λI)x = 0
valores y vectores propios polinomio característico
cálculo de vap y vep
proposición
proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔
coordB(v) solución no trivial de
(A− λI)x = 0
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cálculo de vap y vep
proposición
proposición (cálculo de vep)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propiov vep asociado a λ⇔ coordB(v) solución no trivial de
(A− λI)x = 0
valores y vectores propios polinomio característico
cálculo de vap y vep
cálculo de vap y vep
corolario (cálculo de vap)
T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔
det(A− λI) = 0
valores y vectores propios polinomio característico
cálculo de vap y vep
cálculo de vap y vep
corolario (cálculo de vap)T : V → V operador lineal
B baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔
det(A− λI) = 0
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cálculo de vap y vep
cálculo de vap y vep
corolario (cálculo de vap)T : V → V operador linealB base
A =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔
det(A− λI) = 0
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cálculo de vap y vep
cálculo de vap y vep
corolario (cálculo de vap)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociada
λ ∈ K valor propio asociado a T ⇔
det(A− λI) = 0
valores y vectores propios polinomio característico
cálculo de vap y vep
cálculo de vap y vep
corolario (cálculo de vap)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔
det(A− λI) = 0
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cálculo de vap y vep
cálculo de vap y vep
corolario (cálculo de vap)T : V → V operador linealB baseA =B (T )B matriz asociadaλ ∈ K valor propio asociado a T ⇔
det(A− λI) = 0
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplo
ejemplo
ejemplo
? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:
A =B (T )B =
2 −1 03 2 00 0 1
det(A− λI) = 0⇒ λ = 1(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}
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ejemplo
ejemplo
ejemplo
? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:
A =B (T )B =
2 −1 03 2 00 0 1
det(A− λI) = 0⇒ λ = 1(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}
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ejemplo
ejemplo
ejemplo
? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:
A =B (T )B =
2 −1 03 2 00 0 1
det(A− λI) = 0
⇒ λ = 1(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplo
ejemplo
ejemplo
? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:
A =B (T )B =
2 −1 03 2 00 0 1
det(A− λI) = 0⇒ λ = 1
(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplo
ejemplo
ejemplo
? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:
A =B (T )B =
2 −1 03 2 00 0 1
det(A− λI) = 0⇒ λ = 1(A− I)x = 0
⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}
valores y vectores propios polinomio característico
ejemplo
ejemplo
ejemplo
? vap y vep de T : V → V con matriz asociada en base B:
A =B (T )B =
2 −1 03 2 00 0 1
det(A− λI) = 0⇒ λ = 1(A− I)x = 0⇒ S1 = Rv3 donde B = {v1, v2, v3}
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vap y vep de una matriz
vap y vep de una matriz
definición (valor y vector propio de una matriz)
A ∈Mn(K)
λ ∈ K valor propio de A si det(A− λI) = 0v 6= 0 vector propio de A asociado a λ si
Av = λv
valores y vectores propios polinomio característico
vap y vep de una matriz
vap y vep de una matriz
definición (valor y vector propio de una matriz)A ∈Mn(K)
λ ∈ K valor propio de A si det(A− λI) = 0v 6= 0 vector propio de A asociado a λ si
Av = λv
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vap y vep de una matriz
vap y vep de una matriz
definición (valor y vector propio de una matriz)A ∈Mn(K)
λ ∈ K valor propio de A si det(A− λI) = 0
v 6= 0 vector propio de A asociado a λ si
Av = λv
valores y vectores propios polinomio característico
vap y vep de una matriz
vap y vep de una matriz
definición (valor y vector propio de una matriz)A ∈Mn(K)
λ ∈ K valor propio de A si det(A− λI) = 0v 6= 0 vector propio de A asociado a λ si
Av = λv
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vap y vep de una matriz
observación
λ ∈ K valor propio de A⇔
λ ∈ K valor propio de TA : Kn → Kn dondeTAx = Ax
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vap y vep de una matriz
observación
λ ∈ K valor propio de A⇔λ ∈ K valor propio de TA : Kn → Kn donde
TAx = Ax
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vap y vep de una matriz
observación
λ ∈ K valor propio de A⇔λ ∈ K valor propio de TA : Kn → Kn dondeTAx = Ax
valores y vectores propios polinomio característico
previa
propiedad
proposición
A ∈Mn(K)
χA(λ) = det(A− λI)
polinomio en λ de grado n
término independiente de χA(λ)
→ det A
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previa
propiedad
proposiciónA ∈Mn(K)
χA(λ) = det(A− λI)
polinomio en λ de grado n
término independiente de χA(λ)
→ det A
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previa
propiedad
proposiciónA ∈Mn(K)
χA(λ) = det(A− λI)
polinomio en λ de grado ntérmino independiente de χA(λ)
→ det A
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previa
propiedad
proposiciónA ∈Mn(K)
χA(λ) = det(A− λI)
polinomio en λ de grado n
término independiente de χA(λ)
→ det A
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previa
propiedad
proposiciónA ∈Mn(K)
χA(λ) = det(A− λI)
polinomio en λ de grado ntérmino independiente de χA(λ)
→ det A
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previa
propiedad
proposiciónA ∈Mn(K)
χA(λ) = det(A− λI)
polinomio en λ de grado ntérmino independiente de χA(λ)→ det A
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previa
observación
coeficiente de λn → (−1)n
coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)
En particular, si A ∈M2(K)
χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)
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previa
observación
coeficiente de λn → (−1)n
coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)
En particular, si A ∈M2(K)
χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)
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previa
observación
coeficiente de λn → (−1)n
coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)
En particular, si A ∈M2(K)
χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)
valores y vectores propios polinomio característico
previa
observación
coeficiente de λn → (−1)n
coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)
En particular, si A ∈M2(K)
χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)
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previa
observación
coeficiente de λn → (−1)n
coeficiente de λn−1 → (−1)n−1tr(A)
En particular, si A ∈M2(K)
χA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)
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polinomio característico
polinomio característico
definición (polinomio característico)
polinomio característico de A ∈Mn(K):
χA(λ) = det(A− λI)
ecuación característica de A:
χA(λ) = det(A− λI) = 0
raíces características de A:
soluciones de la ecuación característica de A
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polinomio característico
polinomio característico
definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):
χA(λ) = det(A− λI)
ecuación característica de A:
χA(λ) = det(A− λI) = 0
raíces características de A:
soluciones de la ecuación característica de A
valores y vectores propios polinomio característico
polinomio característico
polinomio característico
definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):
χA(λ) = det(A− λI)
ecuación característica de A:
χA(λ) = det(A− λI) = 0
raíces características de A:
soluciones de la ecuación característica de A
valores y vectores propios polinomio característico
polinomio característico
polinomio característico
definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):
χA(λ) = det(A− λI)
ecuación característica de A:
χA(λ) = det(A− λI) = 0
raíces características de A:
soluciones de la ecuación característica de A
valores y vectores propios polinomio característico
polinomio característico
polinomio característico
definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):
χA(λ) = det(A− λI)
ecuación característica de A:
χA(λ) = det(A− λI) = 0
raíces características de A:
soluciones de la ecuación característica de A
valores y vectores propios polinomio característico
polinomio característico
polinomio característico
definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):
χA(λ) = det(A− λI)
ecuación característica de A:
χA(λ) = det(A− λI) = 0
raíces características de A:
soluciones de la ecuación característica de A
valores y vectores propios polinomio característico
polinomio característico
polinomio característico
definición (polinomio característico)polinomio característico de A ∈Mn(K):
χA(λ) = det(A− λI)
ecuación característica de A:
χA(λ) = det(A− λI) = 0
raíces características de A:soluciones de la ecuación característica de A
valores y vectores propios polinomio característico
propiedades
matrices semejantes
proposición (matrices semejantes)
A,B ∈Mn(K) matrices semejantesentonces
χA(λ) = χB(λ)
en particular, tienen los mismos valores propios, con =multiplicidad
valores y vectores propios polinomio característico
propiedades
matrices semejantes
proposición (matrices semejantes)A,B ∈Mn(K) matrices semejantes
entoncesχA(λ) = χB(λ)
en particular, tienen los mismos valores propios, con =multiplicidad
valores y vectores propios polinomio característico
propiedades
matrices semejantes
proposición (matrices semejantes)A,B ∈Mn(K) matrices semejantesentonces
χA(λ) = χB(λ)
en particular, tienen los mismos valores propios, con =multiplicidad
valores y vectores propios polinomio característico
propiedades
matrices semejantes
proposición (matrices semejantes)A,B ∈Mn(K) matrices semejantesentonces
χA(λ) = χB(λ)
en particular, tienen los mismos valores propios, con =multiplicidad
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polinomio característico de una transformación lineal
polinomio característico de una transformación lineal
definición (polinomio característico de T )
T : V → V operador linealpolinomio característico de T , χT (λ)
es el polinomio de cualquier matriz asociada a T
valores y vectores propios polinomio característico
polinomio característico de una transformación lineal
polinomio característico de una transformación lineal
definición (polinomio característico de T )T : V → V operador lineal
polinomio característico de T , χT (λ)
es el polinomio de cualquier matriz asociada a T
valores y vectores propios polinomio característico
polinomio característico de una transformación lineal
polinomio característico de una transformación lineal
definición (polinomio característico de T )T : V → V operador linealpolinomio característico de T , χT (λ)
es el polinomio de cualquier matriz asociada a T
valores y vectores propios polinomio característico
polinomio característico de una transformación lineal
polinomio característico de una transformación lineal
definición (polinomio característico de T )T : V → V operador linealpolinomio característico de T , χT (λ)
es el polinomio de cualquier matriz asociada a T