value at risk

IntroductionDénition statistique de la Value-at-Risk

Méthodes destimation de la Value-at-RiskRisque de Portefeuille et Value-at-Risk

Limites de la Value-at-Risk

Partie 1. Value-at-RiskIntoduction à la Value-at-Risk

Christophe Hurlin, Université dOrléans, LaboratoiredEconomie dOrléans (UMR CNRS 6221)

Master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA), Université dOrléans

Septembre 2008

Christophe Hurlin Value-at-Risk




Quest ce que la VaR ?Comment utiliser la VaR ?Qui utilise la VaR ?Quels types de risques mesure la VaR ?

Introduction

IntroductionQuest ce que la VaR?






Quest ce que la VaR?

Un bref aperçu historique :

La notion de Value-at-Risk (VaR) est apparue pour lapremière fois dans le secteur de lassurance.

A la n des années 1980, la banque Bankers Trust fut lunedes premières institutions à utiliser cette notion sur lesmarchés nanciers aux Etats-Unis.







Le terme VaR est apparu pour la première fois dans unepublication grand public en juillet 1993 dans un rapport duneréunion du G-30Mais cest principalement la banque JP Morgan qui, dans lesannées 90, a popularisé ce concept notamment grâce à sonsystème RiskMetrics (1994).







FactLa Value-at-Risk est devenue, en moins dune dizaine dannées,une mesure de référence du risque sur les marchés nanciers,consacrée notamment par la réglementation prudentielle déniedans le cadre des accords de Bâle II.







Denition (Value-at-Risk)

De façon générale, la Value-at-Risk correspond au montant despertes qui ne devraient pas être dépassées pour un niveau deconance donné sur un horizon temporel donné (Jorion, 2007)

Jorion, P. (2007), Value-at-Risk, Third edition,McGraw-Hill.







La Value-at-Risk correspond à une perte maximale potentiellequi ne devrait être atteinte quavec une probabilité donnéesur un horizon temporel donné








VaR is an estimate of how much a certain portfolio can lose withina given time period, for a given condence level (Engle etManganelli, 2004).

Engle, R. F., and Manganelli, S. (2004), CAViaR :Conditional Autoregressive Value-at-Risk by regressionquantiles, Journal of Business and Economic Statistics, 22,pp. 367-381.







Example (Value-at-Risk)

Si une banque annonce une VaR quotidienne sur son portefeuillede 50 millions de dollars pour un niveau de conance de 99%, celaimplique quil y a seulement une chance sur 100, sous desconditions normales de marché, que la perte associée à la détentionde ce portefeuille sur une journée excède 50 millions de dollars.







La simplicité de cette dénition constitue lun des principauxattraits de la Value-at-Risk : il est en e¤et très facile decommuniquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesurehomogène et générale (quelle que soit la nature de lactif, lacomposition du portefeuille etc.) de lexposition au risque.






Introduction

IntroductionComment utiliser la VaR?






Comment utiliser la VaR?

Comment utiliser la VaR ?La VaR peut être utilisée de trois façons principales (Jorion, 2007) :

1 de façon passive : reporting dinformation2 de façon défensive : contrôle des risques3 de façon active : management des risques






Comment utiliser la VaR?Reporting des risques

La VaR peut être utilisée de façon passive dans le cadre dunreporting régulier sur le risques

Ce fut historiquement la première utilisation de la VaR en vuede mesurer un risque agrégé (JP Morgan)La VaR est une mesure du risque simple à interpréterexprimée en unité monétaireLa VaR est une mesure du risque sur laquelle on peutcommuniquer de façon non techniqueLa VaR permet de synthétiser en une seule mesure uneappréciation sur le risque global






Comment utiliser la VaR?Contrôle des risques

La VaR peut être utilisée de façon défensive dans le cadre duncontrôle des risques

La VaR est utilisée pour déterminer des positions limites quiseront imposées aux traders (limites individuelles) ou auxbusiness units (limites collectives)

Le principal avantage de la VaR est quelle fournit undénominateur commun permettant de comparer lesrisques engendrés par les activités menées sur di¤érentsmarchés, di¤érents produits etc.






Comment utiliser la VaR?Management des risques

La VaR peut être utilisée de façon active dans le cadre dunmanagement des risques

La VaR est utilisée dans lallocation du capital entre lestradeurs, les business lines, les produits et ou les institution.

La VaR est généralement retenue pour le calcul desrendements ajustés du risque ou Risk-adjustedperformance measures (RAPM)Optimisation de portefeuille avec des critères de typemoyenne-VaR.






Introduction

IntroductionQui utilise la VaR?






Qui utilise la VaR?

Qui utilise la VaR ?En raison de ces très nombreuses utilisations possibles, lesutilisateurs de la VaR sont très di¤érents :

1 Institutions nancières2 Régulateurs3 Entreprises non nancières4 Asset Managers






Qui utilise la VaR?Les institutions nancières

Les institutions nancières ont été à lavant garde de la di¤usionet lutilisation de la VaR dans le cadre de la mise en place desystèmes centralisés de management / surveillance des risques

nécessité liée à lévolution de la réglementationnécessité liée à la complexité croissante des instrumentsnanciers et à la diversication croissante des risquesnanciersnécessité liée à la connaissance de grands désastresnanciers (Barings, Daiwa..)






Qui utilise la VaR?Les régulateurs

Les réglementations prudentielles visent de façon générale àimposer aux institutions nancières de garantir un niveau minimumde capitaux disponibles au regard des risque nanciers. Parconséquent se pose le problème de lévaluation de ces risques :

Comment évaluer ces risques nanciers sur desmulti-activités, des actifs très di¤érents, des produitscomplexes ?

Qui doit évaluer ces risques ? les autorités de régulation oules institutions nancières elles-mêmes ?

Dans ce dernier cas comment garantir la validité desévaluations du risque proposées par les institutionsnancières ?






Qui utilise la VaR?Les régulateurs

FactDans les années 80-90, on a assisté à une convergence desréglementations prudentielles (comité de Bâle sur le contrôlebancaire, US Federal Reserve, US Securities and ExchangeCommission etc) vers ladoption de la VaR comme mesure deréférence du risque.






Qui utilise la VaR?Les institutions non nancières

Les institutions non nancières : lusage de la VaR dépasse lecontexte des seules institutions nancières :

Le management centralisé des risques est utile à toutes lesentreprises exposées aux risques nanciers.

On peut citer en exemple les multinationales qui doiventévaluer et se prémunir contre les risques de change, on peutalors mener des analyses de type CFAR (Cash Flow at Risk)






Qui utilise la VaR?Les asset managers

La gestion dactifs et la VaR : utilisation de la VaR pour gérerles risques nanciers et développer les stratégies dassetmanagement

"We can now view our total capital at risk on aportfolio basis, by asset class and by individual manager.Our main goal was to ... have the means to evaluate ourportfolio risk going forward" Director of Chrysler pensionfund", cité dans Jorion (2007), interview réalisé aprèslachat dun system de VaR






Introduction

IntroductionQuels types de risques mesure la VaR?






Mesurer quels types de risques ?

Quels types de risques peut mesurer la VaR ?La VaR est une mesure homogène permettant de mesurerdi¤érents risques, sur di¤érents marchés, di¤érents actifs (change,actions, dérivés..)

Denition (Portée de la VaR )

Lobjectif de la VaR fournit une mesure du risque total deportefeuille. Par conséquent, la VaR doit tenir compte des e¤etsde levier et de diversication (corrélation).







Les risques nanciers sont généralement classés en grandescatégories :

1 Risques de marché2 Risques de liquidité3 Risques de crédit4 Risques opérationnels







DenitionLe risque de marché désigne le risque de perte lié à lévolutiondes niveaux ou des volatilités des prix de marché. Ces risquespeuvent être exprimés sous deux formes :

1 risques absolus, mesurés en unité monétaire2 risques relatifs exprimés par rapport à un benchmark (notionde tracking error ou déviation par rapport à un indice)






Mesurer quels types de risques ?Risque de marché

FactLa VaR a été conçue comme une mesure de risque de marché et lerisque de marché demeure aujourdhui le principal champdapplication de la VaR, même si ce nest plus de façon exclusive.






Mesurer quels types de risques ?Risque de liquidité

Denition (risque de liquidité)

La notion de risque de liquidité regroupe deux types de risques :le risque de liquidité dactif (asset liquidity risk) et le risque deliquidité de nancement (funding liquidity risk ou cash ow risk).







Denition (asset liquidity risk)

Le risque de liquidité dactif (asset-market-product liquidity risk)survient lorsquune transaction ne peut pas intervenir au prix auprix prévu du fait de la taille relative de la position au regard duvolume des transactions usuelles (Jorion, 2007).







Remarque : la notion de risque de liquidité est à distinguer de lanotion marché liquide / non liquide (exemple : marché de changeverus emerging-market equities) puisque ce risque peut survenir surun marché liquide suivant limportance de la position.







Denition (cash ow liquidity risk)

Le risque de liquidité de nancement (cash ow liquidity risk)fait référence à limpossibilté de faire face à ses obligations depaiement, impliquant des liquidations de position et donc latransformation de pertes "papier" en pertes réalisées (Jorion,2007).







La VaR ne sapplique pas directement au concept de risquede liquidité, mais :

Il est possible de construire des transformations de la VaRintégrant ce type de risque comme la LVAR (Liquidityadjusted Value-at-Risk)Proposer des concepts similaires dans le domaine des donnéesde hautes fréquences portant sur la durée séparant deuxtransactions successives comme le TaR (Time-at-Risk,Gouriéroux, 2004)






Mesurer quels types de risques ?Risque de crédit

Denition (risque de crédit)

Le risque de crédit désigne le risque de pertes engendrées par unesituation dans laquelle les contreparties sont incapables ou nedésirent pas remplir leurs obligations contractuelles.







Le risque de crédit peut être exprimé sous forme dexposition(exposure) cest à dire de montant soumis au risque ou de tauxde recouvrement (recovery rate) qui désigne la proportionremboursée par lemprunteur.







Dans le cas du risque de crédit, les facteurs de risques sontnombreux : statut du défaut (partiel ou total), exposition audéfaut, et les pertes étant donnée le défaut sont di¢ ciles àcalculer.

Ce qui explique que la VaR est rarement utilisée en tantque telle dans le domaine de créditOn préferre généralement des notions plus spéciques commelexpected credit losses (ECT) ou la Worse CreditExposure (WCE)






Mesurer quels types de risques ?Risque opérationnel

Denition (risque opérationnel)

Le risque opérationnel est le risque qui résulte de processusinternes inapropriés, ou de systèmes défecteux ou dévénementsexternes (Jorion, 2007).







Les risques opérationnels couvrent notamment :

1 le risque de modèle (model risk)2 risque de personne ou de personnel (people risk)3 risque légal (legal risk)







Etant donnée limportance des risques opérationnels etcertains exemples de désastres nanciers, il existe aujourdhuiune volonté de quantier ces risquesDans ce contexte, des calculs de VaR peuventthéoriquement être appliqués aux risques opérationnelsToutefois, la collecte de données de référence permettantdétablir la P&L associée à ces risques pose généralement detrès gros problèmes et limite par conséquent la portée delapplication de la VaR à ce contexte.





Mesurer les rendementsDistribution de Prots et Pertes (P&L)Dénition statistique de la Value-at-RiskValue-at-Risk conditionnelleHorizon de détention et agrégation temporelle

Dénition statistique de la Value-at-Risk

Dénition statistique de la Value-at-RiskPréambule








La Value-at-Risk (VaR) dénie pour un taux de couverturede α% correspond au quantile dordre α de la distribution deprots et pertes (prots and losses, P&L) associée à ladétention dun actif ou dun portefeuille dactifs sur unepériode donnée.







Ainsi, la dénition de la Value-at-Risk est fondée sur trois éléments

1 La distribution des prots et pertes (P&L) du portefeuilleou de lactif

2 Le niveau de conance (ou de façon équivalente le taux decouverture égal à un moins le niveau de conance) ; appeléaussi taux de couverture

3 La période de détention de lactif (ou horizon du risque)qui pose parfois le problème de lagrégration temporelle dela VaR







Au délà des éléments de cette dénition, divers aspects de la VaRdoivent être évoqués à ce niveau :

1 La notion de VaR (ou de P&L) conditionnelle2 et plus générallement la prévision de VaR







Dénition statistique de la Value-at-RiskMesurer les rendements






Dénition statistique de la Value-at-RiskProts et Pertes (P&L)

Quelles sont les données qui servent au calcul de la VaR ?

Comment transformer les données de sorte à les exprimer sousforme de P&L ?







FactLes données de P&L à partir desquelles on calcule uneValue-at-Risk peuvent prendre di¤érentes formes, mais elles sontgénéralement exprimées sous forme de rendements (Dowd,2005)

Dowd, K. (2005), Measuring market risk, John Wiley & SonsLtd.







Denition (prots et pertes)

On note Pt la valeur dun actif (ou dun portefeuille) à la n de lapériode t. On note Dt lensemble des paiements intermédiairesobtenus entre les dates t 1 et t. Les prots et pertes (P&L)associés à la détention de lactif (ou du portefeuille) sont alorsdénis par :

P/Lt = Pt +Dt Pt1







Remarque 1 si les données sont exprimées sous forme de P&L, lesvaleurs positives indiquent des prots et les valeursnégatives indiquent des pertes.

Remaqrue 2 Il est aussi possible dexprimer les données sous formede pertes et prots (L&P pour losses and prots)telles que :

L/Pt = P/Lt







Remarque 3 Il conviendrait de tenir compte dun facteurdactualisation dans la comparaison des valorisationsaux dates t et t 1. Si lon évalue la valeur présentedes P&L à la n de la date t 1, il vient :

present value P/L =Pt +Dt(1+ d)

Pt1

où d désigne le taux descompte psychologique.







Remarque 4 Si lon évalue la valeur future des P&L à la n de ladate t, il vient :

forward value P/L = Pt +Dt (1+ d)Pt1

Remarque 5 Généralement on néglige lescompte psychologiquedans le calcul des P&L sur des horizons courts(quotidiens, hebdomadaires, mensuels, etc.)







Les P&L sont généralement exprimées sous forme de rendements :

1 Rendements arithmétiques2 Rendements géométriques







Denition (rendements arithmétiques)

Les rendements arithmétiques associés aux prots et pertes(P&L), notés rt , sont dénis comme :

rt =Pt +Dt Pt1

Pt1=Pt +DtPt1

1

Cette dénition des rendements suppose que les paiementsintérmédiaires Dt ne sont pas ré-investit (problème sur longuepériode).







Denition (rendements géométriques)

Les rendements géométriques associés aux prots et pertes(P&L), notés Rt , sont dénis comme suit :

Rt = lnPt +DtPt1







On peut passer de lune à lautre dénition par les formulesdapproximation suivantes :

Rt = ln (1+ rt )

ce qui implique que si les rendements sont "petits" alors :

rt ' Rt







Example (rendements géométrique et arithmétique )

Supposons quà une certaine date t les rendements arithmétiquesrt par unité de temps soient égaux à 5%. Les rendementsgéométriques correspondants sont alors égaux à :

Rt = ln (1+ 0.05) = 0.0488

Inversement, si les rendements géométriques sont égaux à 5%, lesrendements arithmétiques sont alors égaux à

rt = exp(Rt ) 1 = exp(0.05) 1 = 0.0513







Les rendements géométriques supposent implicitement que lespaiements intermédiaires Dt sont ré-investis de façon continue.

Les rendements géométriques garantissent que le prix dactifsne devient jamais négatif (contrairement au rendementarithmétique), y compris en cas de pertes massives

Généralement, on préfére utiliser les rendementsgéométriques en lieu et place des rendements arithmétiques






Example (Rendements géométriques)

Considérons à titre dexemple lindice Standard & Poor observé enclôture sur la période du 03/07/1989 au 24/11/2003 ainsi que lerendement géométrique quotidien associé






Dénition statistique de la Value-at-RiskDistribution de Prots et Pertes (P&L)








Denition (distribution de prots et pertes)

La distribution de prots et de pertes (P&L pour prot andlosses) correspond à la fonction de densité des pertes et prots,supposées aléatoires, associées à la détention de lactif ou duportefeuille sur un horizon donné.







On considère les rendements géométriques, notés Rt ,associés à la détention dun actif sur un horizon donné(exemple quotidien)

Ces rendements sont exprimés sous une forme P&L : unrendement positif indique un gain, un rendement négatif uneperte

On suppose que ces rendements sont aléatoires : Rt est unevariable aléatoire réelle (v.a.r)







Comme toute v.a.r., le rendement à la date t, Rt , est caractérisépar une fonction de densité, notée

fRt (r) 8r 2 R

Denition (P&L distribution)

Cest précisèment cette fonction de densité que lon qualie dedistribution de prots et pertes (P&L distribution).







Remarque 1 : lidéal pour caractériser le risque serait de connaîtrelensemble de la densité de P&L, toutefois on se limitegénéralement à une caractérisation du risque au travers de laconnaissance de certains moments (variance, skeweness, kurtosis)ou de certains fractiles (VaR).







Remarque 2 : si la distribution de P&L est connue, on en déduitimmédiatement la VaR, puisque la VaR nest rien dautre quunfractile de cette fonction de distribution






Dénition statistique de la Value-at-RiskDénition de la Value-at-Risk

Dénition statistique de la Value-at-RiskDénition statistique de la Value-at-Risk







Denition (dénition statistique de la VaR)

Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, laValue-at-Risk, notée VaRt (α) , correspond à lopposé dufractile dordre α de la distribution de prots et pertes(P&L).

VaRt (α) = F1Rt (α)où FRt (.) désigne la fonction de répartition associée à lafonction de densité fRt (r) .







Remarque : la VaR est généralement négative (perte) dansune représentation P&L. Dès, lors par souci de simplication, dansla plupart des ouvrages on dénit la VaR en valeur positive enconsidérant lopposé du fractile

VaRt (α) = F1Rt (α)







Remarque : par dénition, on a :Z VaRt (α)

∞fRt (r) dr = α







Denition (taux de couverture)

Quelle que soit la dénition retenue (positive ou négative) de laVaR, la probabilité dobserver une perte supérieure à la VaR surlhorizon de détention xé est égale par dénition au taux decouverture (coverage rate) :

Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = F1Rt (α)

Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = F1Rt (α)







Remarque : Dans certains ouvrages (Jorion, Dowd..) ou certainsarticles, on exprime la VaR en fonction du niveau de conance :

VaR (1 α) = F1Rt (α)

On évoque par exemple une VaR à 99% pour un taux decouverture de 1%, une VaR à 95% de niveau de conance etc.







Denition (convention de notation)

Dans le cadre de ce cours, on adoptera pour convention dedénir la VaR de façon positive et en fonction du taux decouverture et non du niveau de conance :

VaRt (α) = F1Rt (α)

Pr [Rt < VaRt (α)] = α







Le principe des méthodes paramétriques de calcul de la VaR(cf. section 5) :

1 Postuler une distribution paramétrique de P&L (normale,Student, GED etc..)

2 Donner une valeur aux paramètres de cette distribution(estimation ou étalonnage)

3 Calculer le fractile correspondant







Hypothèse H1 : On suppose que la distribution des P&L à la datet est une distribution normale despérance µ et de variance σ2

Rt Nµ, σ2







Par dénition de la VaR on sait que :

Pr [Rt < VaRt (α)] = α

Par conséquent :

PrRt µ

σ<VaRt (α) µ

σ

= α

où sous lhypothèse H1 la variable centrée réduite (Rt µ) /σ suitune loi normale standard N (0, 1)

Rt µ

σ N (0, 1)







Si lon note Φ (.) la fonction de répartition de la loi N (0, 1), ilvient :

ΦVaRt (α) µ

σ

= α

Ou encore :VaRt (α) µ

σ= Φ1 (α)

On en déduit lexpression de la VaR :

VaRt (α) = µ σΦ1 (α)







Denition (VaR sous hypothèse de normalité)

Sous lhypothèse de normalité de la distribution de P&L, la VaRassociée à un taux de couverture de α% est égale à :

VaRt (α) = µ σΦ1 (α)

où µ désigne léspérance et σ2 la variance de la distribution deP&L.







Example (VaR sous normalité)

On suppose que le rendement géométrique quotidien dun actifobservé à la date t, noté Rt , suit une loi normale despérance égaleà 0.01% et décart-type égale à 1.5. On en déduit immédiatementles VaR à 1% et 5% :

VaRt (0.01) = 0.01 1.5 Φ1 (0.01) = 3.2451%

VaRt (0.05) = 0.01 1.5 Φ1 (0.05) = 2.4573%







Example (VaR sous normalité, suite)

Si lon détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance deréaliser une perte au moins égale à 3.2451% du capital investit.Pour un montant investit de 1M de on a :

VaR (5%) = 24 573e VaR (1%) = 32 451e






5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x

Dis

tribu

tion

de P

&LVaR sous hypothèse de normalité

P&L Distribution1% VaR = 3.24515% VaR = 2.4573







Hypothèse H2 : On suppose que la distribution des P&L à la datet est une distribution de Student à v degrés de liberté

Rt t (v)

Comment calculer la VaR sous lhypothèse H2 ?







Denition (VaR et distribution de Student)

Sous lhypothèse de distribution de Student, la VaR associée à untaux de couverture de α% est égale à :

VaRt (α) = G (α; v)1

où G (α; v) désigne la fonction de répartition dune loi de Studentà v degrés de liberté.







Example (VaR sous hypothèse de Student)

On suppose que le rendement géométrique quotidien dun actifobservé à la date t, noté Rt , suit une loi de Student à 5 degrés deliberté, on en déduit :

VaRt (0.01) = G1 (0.01; 5) = 3.3649%

VaRt (0.05) = G1 (0.05; 5) = 2.015%







Example (VaR sous hypothèse de Student, suite)

Si lon détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance deréaliser une perte au moins égale à 3.3649% du capital investit.Pour un montant investit de 1M de on a :

VaR (1%) = 33 649e VaR (5%) = 20 015e






5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

x

Dis

tribu

tion

de P

&LVaR sous distribution de Student

P&L Distribution de Student t(5)1% VaR = 3.36495% VaR = 2.015






Dénition statistique de la Value-at-RiskValue-at-Risk conditionnelle








Généralement, on caractérise la distribution de P&L de façonconditionnelle et non de façon marginale.On dénit alors une distribution de pertes et protsconditionnelle, cest-à-dire une fonction de densitéconditionnelle à un ensemble dinformation disponible à ladate t, noté Ωt .

Cette densité conditionnelle est notée :

fRt ( r j Ωt )







Denition (VaR conditionnelle)

Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, laValue-at-Risk conditionnelle à un ensemble dinformationΩt , notée VaRt (αjΩt ) , correspond à lopposé du fractile dordreα de la distribution conditionnelle de prots et pertes (P&L) :

VaRt (αjΩt ) = F1Rt (αjΩt )

où FRt ( r jΩt ) désigne la fonction de répartition associée à lafonction de densité conditionnelle fRt ( r jΩt ) .







Cette densité conditionnelle peut elle aussi être di¤érentedune date à lautre, mais généralement on se restreint à desdensités conditionnelles invariantes dans le temps, i.e. tellesque :

fRt ( r j Ωt ) = fR ( r j Ωt ) 8tCela revient à supposer que conditionnellement à unensemble dinformation (ou lorsque lon cherche àprévoir la Value-at-Risk), les rendements sontidentiquement distribués.







Denition (prévision de VaR)

La prévision de la Value-at-Risk pour la date t + 1 et pourun taux de couverture de α%, obtenue conditionnellement àlensemble dinformation Ωt disponible à la date t, notéeVaRt+1 (αjΩt ) , est dénie par :

VaR t+1jt (α) = VaRt+1 (αjΩt ) = F1R (αjΩt )

où FR ( r jΩt ) désigne la fonction de répartition associée à lafonction de densité conditionnelle fR ( r jΩt ) .







Example (prévision de VaR)

Supposons que les P&L à la date t + 1, notées Rt+1, soientnormalement distribués. On cherche à prévoir la moyenne et lavariance de cette distribution conditionnellement à linformationdisponible. Supposons que ces estimateurs soient dénis par lesmoments conditionnels suivants :

bµ t+1jt = E (Rt+1jΩt )

bσ2t+1jt = V (Rt+1jΩt )







Example (prévision de VaR, suite)

La distribution de P&L conditionnelle est alors :

Rt+1jΩt Nbµ t+1jt , bσ2t+1jt

On en déduit immédiatement une prévision de la VaR de t + 1pour un taux de couverture de α% :

VaR t+1jt (α) = bµ t+1jt bσ t+1jtΦ1 (α)






Dénition statistique de la Value-at-RiskHorizon de détention et agrégation temporelle








Le deuxième élément fondamental dans le calcul de laValue-at-Risk est la période de détention (ou lhorizon derisque) de lactif ou du portefeuille dactifs.Il nexiste aucune règle quant au choix de la période dedétention dans le calcul de la Value-at-Risk puisque cechoix dépend fondamentalement de lhorizon de reporting oude lhorizon dinvestissement des opérateurs.

Toutefois, les autorités de régulation peuvent spécier deshorizons de détention spéciques notamment dans le cadredes procédures de validation de la Value-at-Risk.







Un problème se lorsque la fréquence dobservations desP&L (intra-day, quotidienne, hebdomadaire, mensuelle etc..)ne correspond pas à lhorizon de risqueOn doit alors transformer une mesure de risque adaptée à unhorizon en une mesure de risque adaptée en autre horizon,généralement plus long : cest le problème de lagrégationtemporelle







Le problème de lagrégation temporelle peut se poser de lamême façon lorsque lon cherche à prévoir la VaR à un horizonsupérieur h à lunité. En e¤et pour ce faire deux solutions existent :

1 Soit prévoir directement la VaR en t + h, cest à direVaR t+hjt (α) , dans ce cas le problème de lagrégationtemporelle ne se pose pas

2 Soit on cherche à établir la prévision de la VaR en t + h,VaR t+hjt (α) , à partir de prévisions réalisées à un horizoninférieur, typiquement à un horizon dune période, cest à direVaR t+1jt (α) , VaR t+2jt+1 (α) , .., VaR t+hjt+h1 (α) .







Dans le cadre du problème de lagrégation temporelle desmesures de VaR, on doit distinguer deux cas :

1 le cas où lon suppose que les rendements sont i .i .d .2 le cas où lon suppose que les rendements ne sont pas i .i .d .







Dans le cas où les rendements sont i .i .d ., le problème estrelativement simple.

Supposons que lon dispose de lespérance et de la variance dela P&L exprimés en base annuelle. Soient µy et σ2y ces valeurs.

On cherche à déterminer les moments correspondants sur unhorizon di¤érent de lannée sous lhypothèse de rendementsi .i .d . et sous lhypothèse que les mêmes positions ont étémaintenues sur lannée.







Sous lhypothèse i .i .d ., on a alors :

E (Rt ) = µyT V (Rt ) = σ2yT

où T désigne lhorizon du risque mesuré en nombre dannées.Exemple : 1/12 pour un horizon mensuel, 1/252 pour un horizonquotidien si il y a 252 journée de cotation dans une année.







Example (Jorion, 2007)

Sur une base mensuelle, on suppose que le rendement moyen duchange EUR/$ est -0.15% et la volatilité est 3.28%. Sur une baseannuelle, sous lhypothèse i .i .d ., le rendement espéré est égal à :

0.15 12 = 1.8% par an

et la volatilité annuelle

3.28p12 = 11.4% par an







Dans le cas où les rendements ne sont pas i .i .d ., il convient depostuler un modèle de dépendance entre les rendements :

Supposons par exemple que les rendements vérient

Rt = ρRt1 + εt

où εt est i .i .d .0, σ2ε

.

Dans ce cas, on montre que :

V

T∑i=1Ri

= σ2R

hT + 2 (T 1) ρ+ 2 (T 2) ρ2 + ..+ 2 (1) ρT1

ioù σ2R = σ2ε

1 ρ2

désigne la variance sur lhorizon de

référence








Supposons que la volatilité quotidienne soit égale à 1%. Sur deuxsemaines (10 jours de cotations), la volatilité est multipliée parp10 = 3.16 si lon suppose labsence de dépendance des

rendements (ρ = 0). En revanche, si ρ = 0.2, la volatilitéaugmente de 3.79. Si ρ = 0.5, il faut mutiplier la volatilitéquotidienne par 5.10 pour obtenir la volatilité en basebi-hebdomadaire.





PréambuleMéthodes non paramétriquesMéthodes paramétriquesLes Méthodes Semi-Paramétriques

Méthodes destimation de la Value-at-Risk

Méthodes destimation de la Value-at-RiskPréambule







On dénombre trois grandes classes de méthodes destimation de laVaR :

1 Méthodes non-paramétriques (Historical Simulation,Weighted Historical Simulation, Filtered HistoricalSimulation...).

2 Méthodes semi-paramétriques (CAViaR, théorie desextrêmes).

3 Méthodes paramétriques (ARCH, GARCH univarié, GARCHmultivarié, RiskMetrics).







Dans cette section, nous limiterons notre analyse aux méthodesdestimation de la VaR de type univariées applicables :

1 aux rendements associés à la détention dun actif2 aux rendements associés à la détention dun portefeuilledactifs en négligeant les gains liés à la diversication desrisques et les corrélations entre actifs.







Remarque : on trouve dans certains ouvrage le terme "méthodesde calcul"de la VaR. Ce terme est impropre, on doit plutôt utiliserle terme de "méthodes destimation" de la VaR. La VaR est lefractile dune distribution de P&L, dès lors deux solutions

1 Soit la distribution de P&L est connue, et à ce moment oncalcule le fractile correspondant

2 Mais généralement, la distribution de P&L nest pasconnue ou les paramètres de cette distribution ne sontpas connues. On doit estimer la densité associée, ou lesparamètres de cette densité, ou son fractile directement. Onparle alors de méthodes destimation de la VaR.







Méthodes destimation de la Value-at-RiskMéthodes non paramétriques







Denition (Méthodes non paramétriques)

Le principe général des méthodes non paramétriquesdestimation / prévision de la Value-at-Risk est que lon impose apriori aucune distribution paramétrique de pertes et prots.







Les principales méthodes sont les suivantes :

1 Historical Simulation (HS)

2 Bootstrapped Historical Simulation

3 Simulation Historique et Estimation Non Paramétrique deDensité

4 Weighted Historical Simulation (WHS) ou HybridMethod

5 Filtered Historical Simulation (FHS)







Simulation Historique







1 La simulation historique (Historical Simulation, ou HS) estune méthode très simple qui est sans doute la plus utiliséeactuellement

2 Formellement, la VaR est estimée simplement par le fractileempirique des rendements passés.

3 Si lon considère par exemple un niveau de conance de 95%et que lon dispose dun échantillon de 1000 observationshistoriques de rendements, la VaR est donnée par la valeur durendement qui correspond à la 50ème plus forte perte.






Denition

Soit fR1,R2, ..RT g la séquence des rendements Rt de lactif ou duportefeuille, observés aux dates t = 1 à T . A cette séquencecorrespond un échantillon de T observations fr1, r2, .., rT g.







ProblemThéoriquement, à chaque date, le rendement Rt est une v.a.r quiadmet une certaine distribution, notée fRt (.) , et donc un fractiledordre α, noté VaRt (α) , qui lui est propre. Or, on ne dispose quedune seule réalisation, rt , de cette distribution. A partir de cetteunique réalisation, sans hypothèse supplémentaire, il estimpossible destimer le fractile de la distribution des P&L à la datet, cest à dire la VaR.







Dans lapproche HS, on fait deux hypothèses très fortes :

1 On suppose que la distribution non conditionnelle desrendements est identique quelle que soit la date t :

fRt (w) = fR (w) 8t

par conséquent le fractile de cette distribution nonconditionnelle (la VaR) est aussi identique :

VaRt (α) = VaR (α) 8t

2 On suppose que les rendements R1, ..,RT sontindépendamment distribués.







Hypothèse : on suppose que les rendements Rt associés aux P&L,observés à toute date t, sont identiquement etindépendamment distribués (i.i.d) avec :

fRt (w) = fR (w) 8t

VaRt (α) = VaR (α) 8t







SolutionSous lhypothèse i .i .d, on dispose alors dun échantillon de Tréalisations fr1, r2, .., rT g de T v.a.r. admettant la mêmedistribution (ou de la même variable aléatoire) et donc la mêmeVaR. Il est dès lors possible destimer cette VaR.







Denition (VaR HS)

Sous lhypothèse de rendements i .i .d ., un estimateur convergentde la VaR pour un taux de couverture de α% est déni par lefractile empirique dordre α associés aux T réalisations historiquesdes rendements, notées fr1, r2, .., rT g.

bVaR (α) = percentile frjgTj=1, 100α

bVaR (α) p!T!∞

VaR (α)






Fig.: Source : Jorion (2007)







Example

On considère les rendements quotidiens dénies à partir des coursà la clotûre du Nikkei entre le 05/01/2004 et le 02/05/2006, soitun total de 5550 observations. Supposons que lon classe par ordrecroissant les observations r1, .., r5550. La VaR HS à 1% est alorségale à la 56eme , soit :

bVaRt (1%) = 0, 01507%






Fig.: Rendements Quotidiens Nikkei 05/01/2004 - 02/05/2006

0.04

0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

1000 2000 3000 4000 5000






0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

Empirical CDF of NIKKEI

0.04

0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Quantiles of NIKKEI







Remarque : La VaR HS est lestimateur dune VaR nonconditionnelle (ou associée à une distribution de P&L nonconditionnelle).

Par conséquent la prévision de VaR selon la méthode HS serarelativement "invariante" aux modications delenvironnement économique.

Les prévisions de VaR selon la méthode HS sont "plates"ou "pratiquement plates" (dans le cas rolling estimates).







Cest le principal défaut de cette méthode (Hendricks, 1996 ;Boudoukh et al. 1998 ; Pritsker, 2006) : il est invraisemblable queles nombreux facteurs microstructurels et macroéconomiquesconcourant à la formation du prix dun actif demeurent inchangésdans le temps.

Hendricks, D.. (1996), Evaluation of Value-at-Risk ModelsUsing Historical Data ,Economic Policy Review, FederalReserve Bank of New York, April, pp. 39-69.

Pritsker, M. (2006), "The hidden dangers of historicalsimulation", Journal of Banking & Finance, Volume 30, Issue







ProblemComment construire une prévision de VaR selon la méthodeHS ?

La solution consiste tout simplement à utiliser le fractile empiriqueassocié aux observations passées R1, ..,R2

VaRT+1jT (α) = percentilefrjgTj=1, 100α

Lidée est alors que puisque le rendement en T + 1 à la mêmedistribution que R1, .., RT , un estimateur de sa VaR peut êtreobtenu à partir de lestimateur de la VaR des rendements passés.







ProblemComment construire une séquence de prévisions de la VaRselon la méthode HS (backtesting) ?

Comme pour tous les estimateurs, il y a deux solutions :

soit on construit un estimateur glissant (rolling estimate)de la VaR en t + 1 à partir dun sous ensembledinformations récentes de taille xe (idée deconditionnement).soit on construit une successions destimateurs de la VaRconditionnellement à toute linformation disponible, quicroît au fer et à mesure que le temps passe






Fig.: Prévision Glissante (Rolling Estimate)

temps1ère Estimation Prévision

1 TN TN+1

2ème Estimation Prévision

1 TN+1 TN+22






Fig.: Prévision HS non Glissante

temps1ère Estimation Prévision

1 TN TN+1

2ème Estimation Prévision

1 TN+1 TN+22







FactDans la littérature, on utilise généralement des séquences deprévisions construites à partir dune estimation glissante(rolling estimate) an dintroduire un "minimum deconditionnement" dans la VaR-HS et de ne pas accorder trop depoids aux réalisations des rendements les plus anciennes.







Denition (Prévisions VaR-HS)

Les prévisions glissantes de VaR pour un taux de couverture de α%obtenues par la méthode de simulation historiques correspondentau fractile empirique dordre α de la chronique des rentabilitéspassées observées sur une fenêtre de taille Te :

VaR t jt1(α) = percentilefrjgt1j=tTe , 100α







Plus la taille de la fenêtre Te est petite, plus les prévisions deVaR seront volatiles

Plus la taille de la fenêtre Te est grande, plus la VaR prévueconvergera vers la VaR non conditionnelle et sera parconséquent quasi "constante" dans le temps.







Example (Candelon et al. 2008)

Les auteurs considèrent les rendements quotidiens du Nasdaq etappliquent trois méthodes de prévisions de la VaR à 5% dont laméthode HS. Ils considèrent une estimation glissante (rollingestimation) sur une fenêtre de 250 observations. Sur le graphiquesuivant est reportée une séquence de 250 prévisions obtenues pourla période du 22 Juin 2005 au 20 Juin 2006 ainsi que lesrendements observés ex-post.

Candelon, B, Colletaz, G, Hurlin C. et Tokpavi. (2008),Backtesting Value-at-Risk : A GMM duration-based test,Working Paper.






Fig.: Historical Returns and 5% VaR Forecasts. Nasdaq (June 2005-June 2006)

0 50 100 150 200 2500.03

0.02

0.01

0

0.01

0.02

0.03Nas dad

ReturnsHis toric al Sim ulation 5% VaR







Example (Christo¤ersen et Pelletier, 2004)

Les auteurs proposent un test de backtesting. An détudier lespropriétés de ce test, ils proposent des simulations de Monte Carlodans lesquelles ils simulent des rendements selon un processusGARCH sous Student, puis appliquent la méthodologie HS pourprévoir les VaR sur ces rendements simulés.

Christoffersen, P. F. and D. Pelletier (2004),"Backtesting Value-at-Risk : A duration-based approach",Journal of Financial Econometrics, 2, 1, pp. 84-108.






Fig.: Source : Christo¤ersen and Pelletier (2004)







Bootstrapped Historical Simulation (BHS)







Une amélioration simple de la méthode HS consiste àestimer la VaR à partir de données simulées par Bootstrap.Le Bootstrap consiste à ré-échantillonner les donnéeshistoriques de rendements avec remise.







Plus précisément, la procédure consiste à créer un grandnombre déchantillons de rendements simulés, où chaqueobservation est obtenue par tirage au hasard à partir deléchantillon original.

Chaque nouvel échantillon constitué de la sorte permetdobtenir une estimation de la VaR par la méthode HSstandard, et lon dénit au nal une estimation en faisant lamoyenne de ces estimations basées sur les ré-échantillonnages.







Denition (Bootstrapped Historical Simulation)

Soitner sj oTj=1 une séquence de rendements tirés au hasard avec

remise dans léchantillon de rendements historiques, et soiteVaRs (α) la VaR-HS associée à cet échantillon de rendementsbootstrappés. Lestimateur BHS (Bootstrapped HistoricalSimulation) de la VaR correspond à la moyenne empirique desVaR-HS obtenues à partir de S échantillons de rendementsboostrappés : bVaR (α) = 1

S

S

∑s=1

eVaRs (α)eVaRs (α) = percentile fer sj gTj=1, 100α

s = 1, ..,S







Remarque 1 : Le fait de construire la moyenne dun grand nombrede VaR-HS obtenues sur des échantillons de rendementsboostrapés fait que lon limite linuence des pertes extrêmes,notamment lorsque lon utilise cette méthode pour la prévision. Onobtient ainsi des prévisions plus volatiles.







Remarque 2 : pour construire une prévision glissante par laméthode BHS, il su¢ t de ré-échantilloner (pour chaque prévision)non plus T valeurs, mais uniquement Te valeurs, où Te désigne lataille de la fenêtre.






Example (Boostrapped Historical Simulation)

A partir des codes développés par Dowd (2005), Dutta etBhattacharya (2006) évaluent les peformances des prévisions deVaR par la méthode BHS sur un indice de valeurs indiennes. Ilsreportent notamment lhistogramme des réalisations des VAR-HSobtenues sur les 10 000 échantillons bootstrappés. Dans leurapplication, la VaR(5%) HS était égale à 49.935 tandis que la VaRBHS est égale à 51.23

Debashis Dutta and Basabi Bhattacharya (2006), "ABootstrapped Historical Simulation Value at Risk Approach toS & P CNX Nifty", Working paper, Jadavpur University







Simulation Historique et Estimation NonParamétrique de Densité







Une autre amélioration possible de la HS est dutiliser uneestimation non paramétrique de la distribution conditionnellede pertes et prots.

On sait en e¤et que lhistogramme associé aux réalisationshistoriques des rendements nest pas un bon estimateurdune fonction de densité. Des estimateurs obtenus parlissage, comme les estimateurs à noyau, présententgénéralement de meilleures propriétés (voir Yatchew, 2003pour plus de détails).

Yatchew A. (2003), SemiParametric Regression or theApplied Econometrician, Cambridge University Press.







Denition (méthode HS étendue)

Dans cette perspective, la méthode HS étendue consiste àestimer par une méthode de noyau la densité conditionnellede pertes et prots, puis de calculer à partir de cette densitéestimée le fractile correspondant à la Value-at-Risk (Butler etSchachter, 1998).

Butler J.S. and Schachter B. (1998), "Estimating VaRwith a precision measure by combining Kernel estimation withHistorical Simulation, Working Paper, Vanderbilt University,







Avantage : Cette méthode permet notamment destimer laValue-at-Risk pour nimporte quel niveau de conance (et ainsidéviter les problèmes dus aux contraintes imposées sur la taille deséchantillons). Exemple : calculer une VaR à 1% à partir dunéchantillon de 50 points.







Limite : toutefois, il est connu que les estimateurs kernelprésentent des e¤ets de bords, et que la précision de cesestimateurs est parfoirs très faibles sur les "bords" de léchantillon,précisèment là où lon cherche à estimer la VaR






Mise en oeuvre : Estimateurs Kernelvoir le cours déconométrie semi et non paramétrique







Denition (VaR et estimation Kernel)

Un estimateur de la VaR pour un taux de couverture de α% peutête obtenu à partir de lestimateur à noyau (kernel estimate) de lafonction de densité des P&L comme suit :

α =Z bV aRt (α)∞

bfRt (r) drbfRt (r0) = 1

Tλ

T

∑t=1Krt r0

λ

où K (.) désigne une fonction kernel, λ un paramètre de lissage(bandwidth parameter) et T la taille de léchantillon utilisé pourlestimation.







Example (Rendements quotidiens sur Nikkei)

On considère les rendements quotidiens dénies à partir des coursà la clotûre du Nikkei entre le 05/01/2004 et le 02/05/2006, soitun total de 5 550 observations. La VaR HS à 1% est égale à0, 01507%. Dans le cas dune estimation kernel de la densité deP&L on trouve (kernel gaussien), la valeur suivante :






Fig.: Estimateur Kernel (Gaussien) de la distribution de P&L sur lesrendements quotidiens du Nikkei

0

20

40

60

80

100

0.02 0.00 0.02 0.04

Kernel Density (Epanechnikov, h = 0.0015)







Weighted Historical Simulation (WHS)







La caractéristique essentielle de la méthode HS traditionnelleest que lon accorde le même poids aux observationshistoriques, quelles soient relativement récentes ou aucontraire très anciennes.Concrètement, si lon considère une estimation HS de la Var à5% à partir dune fenêtre glissante de 1000 observations, celarevient à prendre le 50ème rendement le plus faible parmi les1000 observations les plus récentes.







Dans cette estimation HS toutes les observations historiquesde rendement datées de moins de 1000 périodes interviennentavec le même poids.

Une approche alternative consiste à attribuer auxobservations de rendements des poids en fonction soit deleur ancienneté, soit de la volatilité observée des marchés, oude tout autre facteur.







Cette approche, qualiée par le terme générique de WHS(Weighted Historical Simulation) recouvre notamment :

1 La méthode Aged-weighted HS où les poids dépendent delancienneté des observations (Boudoukh, Richardson etWhitelaw, 1998).

2 La méthode Volatility-weighted HS où les poids dépendentde la volatilité. Lidée de base (Hullet et White, 1998) est deprendre en compte les changement récents de volatilité.

3 La méthode Correlation-weighted HS où lon ajuste lesrendements passés de façon à ce quils reètent leschangements entre les corrélations passées et futures.







Présentons la méthodologie de type Aged-wheighted HS appeléeaussi Méthode Hybride proposée par Boudoukh, Richardson etWhitelaw (1998)

Boudoukh J, M Richardson et R Whitelaw, (1998),The Best of Both Worlds, Risk, 11, p. 64-67.







Avantages :

Comme le souligne Pritsker (2001), on peut saccommoder dunon respect de lhypothèse de distributions i .i .d , en supposantque les observations les plus récentes de lensemble Ωt1 sontconditionnellement les plus importantes pour une éventuelleprévision.

Lapproche demeure non paramétrique, lavantage ici est quelon exploite une information supplémentaire, à savoir lecaractère plus informatif des rentabilités les plus proches delhorizon de prévision.







Denition (VaR Hybride)

Techniquement, le calcul de la VaR Hybride se fait en trois étapes :(i) à chacune des Te rentabilités les plus récentes rt1,rt2, ..., rtTe constituant lensemble Ωt1 est associée unepondération décroissante avec le temps de la forme1λ1λTe

,1λ1λTe

λ, ...,

1λ1λTe

λTe1 où λ < 1, puis (ii) les

rentabilités (et les poids associés) sont ensuite ordonnées demanière croissante et (iii) enn les poids ordonnés suivant lesniveaux de rentabilité croissants sont sommés jusquà hauteur deα%. La VaR est alors égale à la rentabilité correspondant audernier poids utilisé dans la sommation.







Example (VaR Hybride)

Dans Hurlin et Tokpavi (2008), nous évaluons les procédures debacktesting en appliquant les tests usuels sur des prévisions de VaRissues de sept méthodes di¤érentes parmi lesquelles gurent laméthode hybride. Les résultats obtenus sur un échantillon de 250observations des rendements quotidiens associés aux cours à laclotûre du Nasdaq sont reproduits sur la gure suivante. Danscette application, les auteurs considèrent des valeurs de λ et Terespectivement xées à 0.98 et 250

Hurlin C. et Tokpavi S. (2008), Une Evaluation desProcédures de Backtesting : Tout va pour le Mieux dans leMeilleur des Mondes", Finance, vol 29(1), pp.53-80,






Fig.: Prévisions out-of-sample de VaR à 5%, Indice Nasdaq, T = 250

0 50 100 150 200 2500.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04Méthode Delta NormaleRiskMetricsGARCH StudentSimulation Historique Méthode HybrideCAViaRRendements Expost







Méthodes destimation de la Value-at-RiskMéthodes paramétriques







Nous ne présenterons ici brièvement (pour plus de détails cf. partie2) les méthodes paramétriques suivantes :

1 La méthode de Monte Carlo2 Le modèle RiskMetric3 Les modèles ARCH-GARCH







Méthode de Monte Carlo







Denition (Monte Carlo)

La méthode de Monte Carlo consiste à simuler un grand nombre defois les comportements futurs possibles des facteurs de risque selonun certain nombre dhypothèses, et den déduire une distributiondes pertes et prots à partir de laquelle on estime nalement unfractile (HS).







Si cette approche peut sappliquer, en théorie, quelles quesoient les lois de probabilité suivies par les facteurs de risque,elle est couramment utilisée en pratique, pour des raisonstechniques, en supposant que les variations relatives desparamètres de marché suivent des lois normales.

Cette méthode convient également à tous les typesdinstruments, y compris optionnels, et permet de tester denombreux scénarios et dy inclure explicitement des queues dedistribution épaisses (événements extrêmes pris en comptedans une certaine mesure).







RiskMetrics







RiskMetrics fut developpé par la banque JP Morgan au débutdes années 90 et a permis de populariser le concept de VaR

Ce modèle repose sur des hypothèses théoriques assezcontraignantes

Dans ce modèle, les principales hypothèses simplicatricesconsistent à supposer, dune part, que les lois de probabilitéqui régissent les distributions des variations des prix demarché sont normales et, dautre part, que les instrumentsprésentent un prol de risque linéaire.







Denition (RiskMetrics)

Dans le cas dune approche univariée, la VaR issue de RiskMetricsdénie pour un taux de couverture de α% peut sécrire sous laforme :

VaRt (α) = Φ (α)pht µ

où µ désigne lespérance des rendements et ht la varianceconditionnelle, telle que :

ht = λht1 + (1 λ) r2t1

où λ désigne un paramètre de decalage (decay parameter)générallement xé à 0.97.







Remarque :

Dans le modèle RiskMetrics, la variance conditionnelle estsupposée suivre un processus de type EWMA (ExponentielWeighted Moving Average) : la prévision pour la date t estune combinaison linéaire de linnovation passée et de la valeurpassée de la variance

Ce processus est un cas particulier des modèles GARCH,et plus spéciquement des modèles IGARCH (cf. partie 2du cours)







Avantages : Sous ces hypothèses, la matrice devariances/covariances peut être appliquée assez directement auxpositions détenues pour calculer la VaR. Les calculs utilisés dans laméthode RiskMetrics sont rapides et simples, et requièrentuniquement la connaissance de la matrice desvariances/covariances des rendements du portefeuille.







Limite : cette méthode savère être inadaptée aux portefeuilles nonlinéaires (instruments optionnels) et théoriquement peu adaptéeaux queues de distribution épaisses et aux distributions nonnormales des rendements. Par ailleurs, la xation du decayparameter peut poser problème sur certains échantillons(contrairement aux paramètres des modèles GARCH qui sontestimés par MV)







Modèles GARCH







Denition (GARCH univariés)

Les modèles GARCH permettent de modéliser et de prévoir lavariance conditionnelle de la distribution de pertes et prots, ce quipermet dans un second temps de déduire une modélisation ou uneprévision de la Value-at-Risk sous un certain nombre dhypothèsesconcernant la distribution conditionnelle des rendements







Quel est le lien entre la prévision de variance conditionnelleet la prévision de VaR ?

Engle R.F. (2001), The Use of ARCH/GARCH Models inApplied Econometrics, Journal of Economic Perspectives,15(4), 157-168.







Denition (VaR sous hypothèse de normalité)

Sous lhypothèse de normalité de la distribution conditionnelle desP&L, la prévision de VaR associée à un taux de couverture de α%est dénie par :

VaR t+1jt (α) = µpht+1Φ1 (α)

où ht+1 désigne la variance conditionnelle des rendements.







TheoremPour toute distribution elliptique, la prévision de VaR est unetransformée linéaire de la prévision de variance (volatilité).Prévoir la variance permet de prévoir la VaR.







Denition (Famille de distributions elliptiques)

Une distribution appartient à la famille des distributionselliptiques si le logarithme de sa densité peut sécrire sous laforme :

x µ

σ

2= c

où c désigne une constante, µ est un paramètre de location(location parameter) et σ un terme déchelle (scale parameter)

Exemples : distribution normale, distribution de Student, normalinverse gaussienne (NIG)







Méthodes destimation de la Value-at-RiskMéthodes semi paramétriques







Situées à mi-chemin entre les approches purement paramétriqueset non paramétriques gurent notamment :

1 La théorie des valeurs extrêmes (EVT)

2 Les régressions quantiles et plus particulierement le modèleCAViaR







Théorie des Valeurs Extrêmes







Parmi les méthodes semi-paramétriques gurent tout dabordlensemble des méthodes et approches qui relèvent de lathéorie des extrêmes (EVT) qui di¤ère de la théorie statistiquehabituelle fondée pour lessentiel sur des raisonnements detype tendance centrale.

Les extrêmes sont en e¤et gouvernés par des théorèmesspéciques qui permettent détablir sous di¤érenteshypothèses la distribution suivie par ces extrêmes.







Il existe deux principales branches de la théorie des valeursextrêmes :

1 La théorie des valeurs extrêmes généralisée permet demodéliser le maximum ou le minimum dun très grandéchantillon

2 La loi de Pareto généralisée (ou approche POT -peaks-over-threshold) qui permet létude de la distributiondes pertes excessives au dessus dun seuil (élevé).







Regressions quantiles et CAViaR







Une seconde grande catégorie de méthodessemi-paramétriques utilisées actuellement pour le calcul et laprévision de la Value-at-Risk relève plus généralement delapproche de la régression quantile.

Lidée est la suivante : plutôt que de modéliser unedistribution et den déduire un quantile (laValue-at-Risk), cette approche consiste à modéliserdirectement le quantile lui-même en utilisant desméthodes de régression quantile.







Un exemple de ces méthodes est le modèle ConditionalAutoregressive Value at Risk (CAViaR) de Engle et Manganelli(2004) qui spécie la dynamique autorégressive du quantileconditionnel.

Engle, R. F., et S. Manganelli. (2004), CAViaR :Conditional autoregressive Value-at-Risk by regressionquantiles, Journal of Business and Economic Statistics 22, p.367-381.







Denition (CAViaR)

Dans le cas du modèle Conditional Autoregressive Value atRisk (CAViaR), la modélisation porte directement sur le fractilelatent. Ainsi, la VaR conditionnelle à α% est dénie par le modèlesuivant :

VaR t jt1(α) = β0 + β1VaR t1jt2(α)

+l

β2, ..., βp , rt1,VaR t1jt2(α)

où βi 2 R et où l (.) est une fonction de la rentabilité et de la VaRde la période précédente.







Remarque : Engle et Manganelli proposent quatre spécicationspour cette fonction, parmi lesquelles gure la spécication de typeAsymetric Slope :

l

β2, β3, rt1,VaR t1jt2(α)= β2 max (rt1, 0) β3 min (rt1, 0)







Les techniques de régression quantile non linéaire permettentdestimer la valeur des paramètres βi et ensuite celle de la VaR dela période courante. Le modèle à estimer est alors le suivant :

rt = VaR t jt1(α) + εt Quantα ( εt j Ωt ) = 0

La minimisation dune fonction quantile objectif introduite parKoenker et Basset (1978) permet alors dobtenir des estimateursdes paramètres βi asymptotiquement convergents.






Fig.: Source : Engle et Manganelli (2004)







Example (Candelon et al. 2008)

Les auteurs considèrent les rendements quotidiens du Nasdaq etappliquent trois méthodes de prévision de la VaR à 5% dont laméthode HS. Ils considèrent une estimation glissante (rollingestimation) sur une fenêtre de 250 observations. Sur le graphiquesuivant est reportée une séquence de 250 prévisions obtenues pourla période du 22 Juin 2005 au 20 Juin 2006 ainsi que lesrendements observés ex-post.

Candelon, B, Colletaz, G, Hurlin C. et Tokpavi. (2008),Backtesting Value-at-Risk : A GMM duration-based test,Working Paper.






0 50 100 150 200 2500.03

0.02

0.01

0

0.01

0.02

0.03Nasdad

ReturnsHistorical Simulation 5% VaRCAViaR 5%





PréambuleVaR dun PortefeuilleVaR marginale, incrementale et composéeExemples dapplications

Risque de portefeuille et Value-at-Risk

Risque de portefeuille et Value-at-RiskPréambule







Jusquà présent, nous avons considéré la VaR associée auxP&L dun seul actif (change, action, obligation, indice, etc..)

Comment calculer la VaR dun portefeuille composé deplusieurs actifs ?







Deux solutions :

1 Considérer le rendement global du portefeuille comme celuidun actif particulier et calculer la VaR directement sur cerendement agrégé.

Avantage : simplicité. Inconvénient : en négligeant lescovariances entre les rendements des actifs, on néglige toutediversication potentielle des risques.

2. Prendre en compte explicitement les corrélations entre lesactifs du portefeuille pour le calcul de la VaR : approchemultivariée de la VaR.







Remarque : si lon sait que théoriquement lapproche multivariéede la VaR est celle qui doit être privilégiée, di¤érentes observationsempiriques montrent que les VaR calculées de façon univariée surle rendement agrégé ou de façon multivariée en tenant compte descorrélations entre actifs peuvent être relativement proches.

Berkowitz, J., et J. O brien. (2002), How Accurate arethe Value-at-Risk Models at Commercial Banks, Journal ofFinance 57, p. 1093-1111.







Nous allons ici présenter uniquement lapproche multivariée dela VaR, dans laquelle la VaR est construite comme unecombinaison des risques associés aux di¤érents actifs duportefeuille.Nous reprenons ici la présentation de Jorion (2007)

Si les positions du portefeuille sont maintenues surlhorizon du risque, le rendement du portefeuille est unecombinaison linéaire des rendements des actifs qui lecomposent, dans laquelle les poids sont dénies par montantrelatifs investits en début de période.







Denition (rendement dun portefeuille)

Le rendement Rp,t dun portefeuille de N actifs est déni par :

Rp,t =N

∑i=1wiRi ,t

où Ri ,t désigne le rendement de lactif i et wi le poids associé à cetactif, avec par convention

wi =Wi

W

N

∑i=1wi = 1

où Wi désigne le montant investit dans le titre i en début depériode et W la valeur totale du portefeuille.







Remarque 1 : Le rendement du portefeuille peut sécrire sousforme vectorielle :

Rp,t = w 0R

w(N ,1)

= (w1 w2 ...wN )0

R(1,N )

= (R1 R2 ...RN )







Les poids wi peuvent être positifs ou négatifs.

On exclut en revanche le cas où la valeur totale du portefeuilleserait nulle, i.e. W = 0, puisque dans ce cas, les poidswi = Wi/W ne serait pas dénis.







Remarque 2 : Les moments associés aux rendements duportefeuille sont :

E (Rp,t ) = w 0E (R) = µp

V (Rp,t ) = w(1,N )

0 Σ(N ,N )

w(N ,1)

= σ2p

où Σ désigne la matrice de variance covariance des rendements deN actifs :

Σ =

0BB@var (R1) cov (R1,R2) cov (R1,RN )

var (R2)..

cov (RN ,R1) var (RN )

1CCAChristophe Hurlin Value-at-Risk






ou encore

Σ =

0BB@σ21 σ12 σ1N

σ22..

σ1N σN

1CCAOn retrouve ainsi lexpression :

σ2p =N

∑i=1w2i σ2i + 2

N

∑i=1

N

∑j<iwiwjσij







Remarque 3 : La variance du rendement du portefeuille peut aussiêtre exprimée en unités monétaires sous la forme :

σ2pW2 = x

(1,N )

0 Σ(N ,N )

x(N ,1)

où x désigne le vecteur des montants (en unités monétaires)investits dans les actifs i = 1, ..,N

x = (W1 W2 ... WN )0







Risque de portefeuille et Value-at-RiskVaR dun portefeuille







A partir dun portefeuille, certains reporting proposent deux typesde VaR :

1 La VaR diversiée (diversied VaR) qui tient compte deladiversication des risques via la structure de covariance desrendements des titres

2 La VaR non diversiée (undiversied VaR) qui néglige toutediversication des risques dans le portefeuille.







Hypothèse : Pour commencer on se place dans le cas simple dunedistribution normale de P&L pour tous les actifs i = 1, ..,Ndespérance de rendement nul. Par conséquent, le rendement duportefeuille Rp,t est lui aussi normal.







Denition (VaR Diversiée)

La Value-at-Risk diversiée (ou Value-at-Risk) du portefeuilletient compte des bénéces de la diversication des risques au seindu portefeuille. Pour un taux de couverture de α% et souslhypothèse de normalité, cette VaR, notée VaRp,t (α) , est déniepar :

VaRp,t (α) = Φ1 (α) σpW = Φ1 (α)px 0Σx







Remarque : on peut aussi proposer une mesure de risque pourchaque actif (ou VaR individuelle) entrant dans la compositiondu portefeuille comme :

VaRi ,t (α) = Φ1 (α) σi jWi j = Φ1 (α) σi jwi jW

la valeur absolue sexplique par la possibilité davoir des poidsnégatifs.







Denition (VaR non diversiée)

La Value-at-Risk non diversiée du portefeuille correspond à lasomme des VaR individuelles ou à la VaR dun portefeuille danslequel il ny a pas de position courte et où tous les rendementsentre tous les actifs sont parfaitement et positivement corrélés :

VaRu,t (α) =N

∑i=1VaRi ,t (α)

Lécart entre VaRu,t (α) et VaRp,t (α) donne une mesure de laréduction du risque de portefeuille liée à la diversication.








On considère un portefeuille comportant des investissements endollars canadiens (CAD) et en euros (EUR). On suppose que lesdeux monnaies ne sont pas corrélées et ont une volatilitérespectivement égale à 5% et 12%. Le portefeuille comporteléquivalent de 2 millions de dollars investits en dollars canadiens et1 million de dollars investits en euros. On cherche à calcule la VaRà 5% sur ce portefeuille.







Example (Jorion, 2007, suite)

La variance des rendements du portefeuille exprimée en millions dedollars vaut :

σ2pW2 = x

(1,2)

0 Σ(2,2)

x(2,1)

=2 1

0.052 00 0.122

21

σ2pW

2 = 0.0244 106 $On en déduit la VaR diversiée :

VaRp,t (0.05) = Φ1 (0.05)p0.0244 106 = 256, 934 $








La VaR non diversiée est alors égale à la somme des VaR desdeux actifs :

VaRCAN ,t (0.05) = Φ1 (0.05)p0.05 2 106 = 165, 00 $

VaREUR ,t (0.05) = Φ1 (0.05)p0.12 1 106 = 198, 00 $

La VaR non diversiée est alors égale à :

VaRu,t (0.05) = VaRCAN ,t (0.05) + VaREUR ,t (0.05) = 363, 000 $








On vérie que dans ce cas la VaR non diversiée est supérieure à laVaR diversiée indiquant que la diversication des facteurs derisques réduit le risque global. Attention : la VaR nétant pas unemesure de risque cohérente, ce résultat ne sera pas toujours valablesauf dans le cas particulier de distributions de P&L elliptiques. Laloi normale appartient à cette famille de distributions (cf. sectionsur les limites de la VaR)







Risque de portefeuille et Value-at-RiskVaR marginale, incrementale et composée







Dans une perspective de management des risques, on peutêtre amené à se poser la question : quelle position doit êtremodiée an de réduire ma VaR ?

Pour cela, on utilise di¤érents concepts :

1 La VaR marginale

2 La VaR incrementale

3 La VaR composée







Denition (VaR marginale)

La Value-at-Risk marginale, notée ∆VaRi (α), correspond àle¤et marginal dune augmentation dune unité monétairedexposition sur un actif particulier dun portefeuille sur la VaR duportefeuille.

∆VaRi (α) =∂VaRp,t (α)

∂Wi

où Wi désigne le montant investit dans le i emeactif du portefeuilleet VaRp,t (α) désigne la VaR (diversiée) du portefeuille.







Hypothèse : On suppose que tous les actifs i = 1, ..,N duportefeuille admettent une distribution de P&L de type normale.Par conséquent, le rendement du portefeuille Rp,t est lui aussinormal.







Sous lhypothèse de normalité, nous avons vu que la VaR duportefeuille est :

VaRp,t (α) = Φ1 (α) σpW = Φ1 (α)px 0Σx

où x désigne le vecteur des montants (en unités monétaires)investits dans les actifs i = 1, ..,N

x = (W1 W2 ... WN )0







Dès lors, la VaR marginale associée au i eme actif est :

∆VaRi (α) =∂VaRp,t (α)

∂Wi=

∂VaRp,t (α)∂wiW

= Φ1 (α)∂σpW∂wiW

ou encore

∆VaRi (α) = Φ1 (α)∂σp∂wi







Réécrivons cette expression : pour cela étudions la dérivée∂σp/∂wi . On sait que :

σ2p =N

∑i=1w2i σ2i + 2

N

∑i=1

N

∑j<iwiwjσij

Dès lors :

∂σ2p∂wi

= 2wiσ2i + 2

N

∑j=1,j 6=i

wjσij

= 2 wi cov(Ri ,Ri ) + 2N

∑j=1,j 6=i

wjcov (Ri ,Rj )







Une autre façon décrire cette expression est :

∂σ2p∂wi

= 2 cov (Ri ,Rp)

puisque par dénition Rp,t = ∑Ni=1 wiRi ,t . Par ailleurs

∂σ2p∂wi

= 2∂σp∂wi

σp =)∂σp∂wi

=cov (Ri ,Rp)

σp







Denition (VaR Marginale sous hypothèse de normalité)

Sous lhypothèse de normalité des P&L, la VaR marginale associéeau i eme actif du portefeuille vérie :

∆VaRi (α) = Φ1 (α)cov (Ri ,Rp)

σp

où σp et Rp désignent respectivement la volatilité et le rendementdu portefeuille et Φ (.) la fonction de répartition de la loi normalecentrée réduite.







Denition (Vecteur de VaR marginales)

On peut construire un vecteur ∆VaR (α) de VaR marginaleassociée au N actif de la façon suivante

∆VaR (α)(N ,1)

= Φ1 (α)

σpΣ

(N ,N )x

(N ,1)

∆VaR (α) = (∆VaR1 (α) ∆VaR2 (α) ... ∆VaRN (α))0







Remarque : sous hypothèse de normalité, la VaR marginalecorrespond à un facteur au beta associé à lactif i , :

βi =cov (Ri ,Rp)

σ2p

qui peut être estimé par le coe¢ cient de la régression linéairesuivante, correspondant au CAPM (Sharpe, 1964) :

Ri ,t = αi + βiRp,t + εi ,t







Rappel : Si lon note β le vecteur des betas des N actifsi = 1, ..,N tel que

β = (β1 β2 ... βN )0

alors

β =Σww 0Σw







Denition (VaR Marginale et beta)

Si la distribution des P&L appartient à la famille des distributionselliptiques, la VaR marginale associée au i eme actif du portefeuilleest proportionnelle au beta (CAPM) correspondant :

∆VaRi (α) =VaRp,t (α)

W βi

où VaRp,t (α) et W désignent respectivement la VaR et lavalorisation du portefeuille.








On considère un portefeuille comportant des investissements endollars canadiens (CAD) et en euros (EUR). On suppose que lesdeux monnaies ne sont pas corrélées et ont une volatilitérespectivement égale à 5% et 12%. Le portefeuille comporteléquivalent de 2 millions de dollars investits en dollars canadiens et1 million de dollars investits en euros. Calculons les VaR marginalesà 5% sur les deux actifs.








On sait que :

∆VaR (0.05)(2,1)

= Φ1 (0.05)σp

Σ(2,2)

x(2,1)

∆VaR (α) = (∆VaRCAN (α) ∆VaREUR (α))0

Dès lors :

∆VaR (0.05) = Σ(2,2)

x(2,1)

=1.6449p0.0244

0.052 00 0.122

21








On en déduit nallement les VaR marginales :

∆VaR (0.05) =

∆VaRCAN (α)∆VaREUR (α)

=

0.0527 $0.1516 $







Lapproche de la VaR marginale est générallement complétéepar un calcul de VaR incrémentale.

La VaR marginale permet de mesurer la variation de la VaRengendrée par une variation marginale, comme son nomlindique, des positions sur un actif particulier.

La VaR incrémentale permet de mesurer la variation desrisques et donc de la VaR, engendrée par le passage duneposition initiale à une autre position, impliquant des variationssur un ou plusieurs actifs dampleur variables (problème desnon linéarités dans la variation de la VaR).







Denition (VaR incrémentale)

La Value-at-Risk incrémentale correspond à la variation de VaRengendrée par le passage dune position p1 à une position p2 surlensemble des N actifs du portefeuille.

VaR incrémentale = VaRp2,t (α) VaRp1,t (α)

où α désigne le taux de couverture.








On considère à nouveau lexemple précédent dun portefeuillecomportant des investissements en dollars canadiens (CAD) et eneuros (EUR). On souhaite augmenter la position libéllée en dollarcanadien dun montant équivalent à 10,000 dollars US. Onsouhaite calculer la VaR incrémentale à 5% associée au passage duportefeuille initial à ce nouveau portefeuille.








On peut calculer explicitement la variation de VaR. Rappelons quela VaR du portefeuille initial est égale à 256 934$. La VaR dunouveau portefeuille vaut :

VaRp,t (0.05) = Φ1 (0.05)px 0Σx 106

=2.01 1

0.052 00 0.122

2.011

VaRp,t (0.05) = 257 461 $

On en déduit la valeur de la VaR incrémentale :

VaR incrémentale = 527.28 $







On peut enn envisager une décomposition du risque andidentier les gains liés à la diversication. Pour cela onutilise la notion de VaR composée (component VaR)

Lidée de base consiste à déterminer ce que serait le risque silon retirait un actif du portefeuille. La variation de risque parrapport à la situation initiale donne une mesure desgains/pertes en termes de diversication/risque liés àlintroduction de cet actif dans le portefeuille







Denition (VaR composée)

La Value-at-Risk composée (component VaR) associée au i eme

actif, pour i = 1, ..,N, notée CVARi (α) , est la variation de VaRengendrée par la suppression de cet actif du portefeuille.

CVaRi ,t (α) = ∆VaRi ,t (α)Wi = VaRp,t (α) βi wi

où VaRp,t (α) et Wi désignent respectivement la VaR et lemontant investit dans lactif i , et où βi désigne le beta (CAPM)associé au i eme titre.







Remarque : Par construction, la somme des CVaR est égale à laVaR :

VaRp,t (α) =N

∑i=1CVaRi ,t (α)







Denition (VaR composée)

On exprime parfois la Value-at-Risk composée (componentVaR) associée au i eme actif en pourcentage de la VaR totale .

CVaRi ,t (α)VaRp,t (α)

= βi wi








On considère à nouveau lexemple précédent dun portefeuillecomportant des investissements en dollars canadiens (CAD) et eneuros (EUR). On rappelle que le portefeuille comporte léquivalentde 2 millions de dollars investits en dollars canadiens et 1 millionde dollars investits en euros. On souhaite calculer les CVAR à 5%.On sait que

CVaRi ,t (α) = ∆VaRi ,t (α)WiCVaRCAN (α)CVaREUR (α)

=

0.0527 2 millions $0.1516 1 millions $

=

105 630 $152 108 $








On peut exprimer ces CVAR en % de la VaR. Sachant que la VaRdu portefeuille vaut 256 934$, on trouve approximativement que :ù

CVaRCAN (α) /VaRp,t (α)CVaREUR (α) /VaRp,t (α)

=

41%59%

Retirer lactif libéllé en euro du portefeuille conduirait à unediminution de la VaR de 59% ou dit autrement cet actif contribueà hauteur de 59% du total de la VaR.







Risque de portefeuille et Value-at-RiskExemple dapplication







Nous considérerons ici deux exemples dapplication repris deJorion (2007) :

1 Un portefeuille actions2 Exemple de la Barings






Fig.: Source : Jorion (2007)Christophe Hurlin Value-at-Risk






1 Au moment de léclatement du scandale de la Barings, letrader Leeson avait pris de façon frauduleuse des positionslongues sur des futures sur le Nikkei pour plus de 7.7 milliardsde dollars et des positions courtes sur les bonds dugouvernement japonais(JBG) pour plus de 16 milliards dedollars.

2 Si un calcul de VaR avait été mis en place sur ces positionsfrauduleuse, auriat-il permis de détecter la provenance durisque.

3 Jorion (2007) calcule les di¤érentes VaR à partir du bondzero-coupon à 10 ans du gouvenemen japonais et de lindiceNikkei.






Fig.: Source : Jorion (2007)Christophe Hurlin Value-at-Risk




PréambuleMesure cohérente de risqueExpected shortfall


Limites de la Value-at-RiskPréambule







La VaR présente de nombreuses avantages :

1 sa simplicité dinterprétation2 son caractère généraliste et général, voir holiste3 la dimension probabiliste de cette mesure de risque







Mais la VaR présente certains inconvénients :

1 la VaR est sujette au risque de modèle : une erreur despécication de la distribution de P&L par exemple

2 la VaR est sujette au risque dimplémentation liée à lastructure des données requises pour estimer la P&Ldistribution ou la vaR directement

3 Mais tous ces risques ne sont pas propres à la VaR







En revanche la VaR présente aussi certaines limites qui luisont propres :

1 Cette mesure de risque ne donne aucune information sur lespertes au delà de la VaR

2 Cette mesure peut conduire des agents à prendre de"mauvaise décision" dinvestissement

3 Cette mesure peut conduire certains agents à prendrevolontairement plus de risque dans un système demanagement des risques décentralisé







FactLa Value-at-Risk ne donne aucune information sur lampleur despertes extrêmes (ou pertes en excès) qui peuvent apparaître audelà de la VaR. Par conséquent, deux positions peuvent avoir lamême VaR avec des risques extrêmes totalement di¤érents.






VaR

P&L2

P&L1







Example

Soient deux projets, dont les rendements notés respectivement R1et R2 admettent une distribution discrète et équiprobables sur lesensembles de valeurs suivantes :

R1 = f10;8;6;4;2; 0; 2; 4; 6; 8g

R2 = f11;7;6;4;2; 0; 2; 4; 6; 8gles deux projets ont la même espérance et la même VaR à 10%

VaR1 (0.1) = VaR2 (0.1) = 9

Or le projet 2 peut engendrer des pertes en excès (-11) plusimportante que le projet 1 (-10).







Cette limite peut avoir des conséquences importantes pour uninvestisseur :

Supposons quun investisseur décide de nancer un projet surla base dune analyse moyenne-VaRSupposons que ce projet peut générer de très fortsrendements, mais aussi des très fortes pertes

Une analyse fondée sur la VaR peut conduire à adopter leprojet, si les plus fortes pertes na¤ectent pas la VaR (parceque ces pertes excèdent la VaR), et cela quelle que soit lesrendements positif attendus et la taille des pertes potentielles.







FactLanalyse moyenne-VaR peut conduire à accepter des projets avecforts rendements positifs, quelles ques soient les possibles pertesassociées, si tant est que la réalisation de ces pertes est su¢ samentpeu probable : une telle conguration peut conduire lesinvestisseurs à sexposer à des très fortes pertes (quoiquerelativement peu probable).







De la même façon, lusage de la VaR dans un système demanagement des risques reposant sur une relationprincipal-agent (délégation) peut conduire à des e¤ets nondésirables :

Supposons que la gestion dactif est décentralisée et que lestraders ou les assets managers sont soumis à des limites derisques en termes de VaR

Le trader peut avoir intérêt alors (politique de bonus) aprendre des positions très risquées (vente doptionsout-of-the-money par exemple), mais ayant des probabilité deréalisation faible an de ne pas atteindre les limites de risqueétablies par les système de contrôle des risques.







Plus généralement, on peut se poser la question de savoir si laVaR est une bonne mesure des risques ?

Mais quest ce quune "bonne" mesure des risques ?

Notion de mesure cohérente des risques







Limites de la Value-at-RiskMesure cohérente des risques







La théorie des mesures cohérentes de risque a été développée parArtzner et al. (1997, 1999).

Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M., Heath, D., 1997.Thinking coherently. Risk 10 (11), 6871.

Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M., Heath, D., 1999.Coherent measures of risk. Mathematical Finance 9(3),203228.







Lidée de départ dArtzner et al. (1997, 1999) est à la foissimple et profonde : la notion de risque nancier est dure, voirimpossible à conceptualiser, à moins que lon ne dispose duneidée claire de ce que lon entend par mesure de risque

Parallèle avec la température et le thermomètre : on a tousune notion plus ou moins intuitive de la chaleur et de latempérature, mais il est impossible de la conceptualiserclairement sans la notion de thermomètre

Artzner et al. (1997, 1999) postulent donc un ensembledaxiomes (axiomes de cohérence) sur ce que doit vérierune mesure de risque.







Denition (Mesure de risque cohérente)

Soient X et Y deux distributions de P&L associées à deuxportefeuilles et soit ρ (.) une mesure de risque sur un horizondonné. la mesure de risque ρ (.) est dite cohérente ssi elle satisfaitles axiomes suivants :

(i) Monotonicité : Y X =) ρ (Y ) ρ (X )

(ii) Subadditivité : ρ (X + Y ) ρ (X ) + ρ (Y )

(iii) Homogénéité positive : ρ (hX ) = hρ (X ) pour h > 0

(ii) Invariance translationnelle : ρ (X + n) = ρ (X ) n pourtoute valeur n







Remarque 1 : laxiome le plus important est celui de subadditivité.

Il signie quun portefeuille constitué de sous portefeuilles nedoit pas être plus risqué (au regard dune mesure cohérente)que la somme des risques associés aux sous portefeuilles.

Cet axiome se fonde sur lidée que lagrégation des risquesindividuels, doit conduire à une diversication des risques eton donc à une diminution du risque globale, ou dans le piredes cas à un maintien de celui-ci.

Cest cet axiome qui fonde la diversication des risques.







Si les risques sont subadditifs, laddition des risques individuelsdonne une sorte denveloppe supérieure des risques ou unesorte destimation conservatrice des risques. Cela facilite lasupervision des risques dans des structures décentralisées.Mais si ce nest pas le cas, lutilisation du risque agrégrécomme indicateur de risque global peut conduire à largementsous évaluer ce risque global.







La Value-at-Risk est elle une mesure cohérente du risque ?







TheoremLa Value-at-Risk nest pas une mesure cohérente du risque et enparticulier la Value-at-Risk ne vérie pas laxiome de subadditivité







Example (Dowd, 2005)

Considérons deux obligations A et B. La probabilité de défaut surchaque obligation est de 4% et on anticipe une perte de 100 en casde défaut, et une perte nulle en cas de non défaut. La VaR a 5%de chaque titre est donc égale à 0.

VaRA (5%) = VaRB (5%) = VaRA (5%) + VaRB (5%) = 0







Example (Dowd, 2005, suite)

Supposons que les défauts soient indépendants. Au niveau duportefeuille total (une obligation A et une obligation B), la P&Lest la suivante :

P/L =

8<:0

200100

avec une probabilté p1 = 0.962 = 0.9216avec une probabilté p2 = 0.042 = 0.0016avec une probabilté p3 = 0.0768

cela implique une VaR égale à :

VaRA+B (5%) = 100 > VaRA (5%) + VaRB (5%) = 0

La VaR nest pas subadditive







Remarque : on peut rendre la VaR subadditive en imposant deshypothèses fortes sur la distribution de P&L. Notamment ensupposant que la distribution appartient à la famille desdistributions elliptiques.(cf. Artzner et al., 1999)







Existe-il des mesures de risques (i) cohérentes, (ii)généralistes, (iii) simple dinterprétation, (iv) aggrégative ?

Une mesure candidate est lexpected shortfall







Limites de la Value-at-RiskExpected shortfall (ES)







Denition (Expected Shortfall)

LExpected Shortfall (ES) associée à un taux de couverture deα% correspond à la moyenne des α% pires pertes attendues telleque :

ESt (α) = 1α

Z α

0F1Rt (p) dp

où FRt (.) désigne la fonction de répartition associée à la fonctionde densité fRt (r) . Par convention, on exprime lES sous formepositive comme la VaR, alors quil sagit dune perte moyenne.







Remarque 1 : lExpected Shortfall nous donne une information surla moyenne des pertes dans les pires états de la nature, cest à diredans les α% situations où les pertes excèdent la VaR(α) .

Remarque 2 : lExpected Shortfall est aussi appellée parfoisConditionnal Loss ou Expected Tail Loss (ETL)







Remarque 3 : Pour une distribution discrète, on a :

ES (α) =1α

α

∑p=0

pemeplus forte perte Prpemeplus forte perte







Lemma

LExpected Shortfall (ES) est une mesure cohérente de risque etvérie en particulier laxiome de sub-additivité







Considérons deux distributions discrètes de P&L, notées A et B,avec N quantiles équi-probables. Alors :

ESA (α) + ESB (α) = moyenne des Nα plus fortes pertes sur A +

moyenne des Nα plus fortes pertes sur B

Donc par conséquent :

ESA (α) + ESB (α) moyenne des Nα plus fortes pertes sur A +B

= ESA+B (α)







Comment calculer lES ?

1 Pour certaines distributions de P&L (distribution normalenotamment) il existe des formules analytiques permettant decalculer lES.

2 Dans les autres cas, on utilise des approximations numériques.







Denition (ES dans le cas dune distribution normale)

Dans le cas dune distribution de P&L normale centrée réduiteNµ, σ2

, lExpected Shortfall associée à un taux de couverture

de α% vaut :

ESt (α) = exp

F

1t (α)2

2

!σ

αp2π







Corollary

Dans le cas dune loi N (0, 1) , cette expression est équivalente àlexpression suivante

ESt (α) =φΦ1 (α)

0.05

où φ et Φ désignent respectivement la densité et la répartition dela loi normale standard.







Example

Voici quelques valeurs dES sous lhypothèse de normalité des P&L

ESt (0.05) = 2.0627 VaRt (0.05) = 1.6449

ESt (0.01) = 2.6652 VaRt (0.01) = 2.3263






5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

x

Dis

tribu

tion

de P

&LVaR et ES sous distribution Normale

P&L Distribution Normale1% VaR = 2.32631% ES = 2.6652







FactDans le cas général, il nexiste pas de formule analytique pour lESet on utilise des approximations numériques. Une méthode decalcul possible est alors celle de la moyenne des VaR (averageVaR) : on calcule N VaR associées à N taux de couvertureéqui-réaprtis sur le segment ]0, α] et lon calcule la moyenne de cesVaR. Lorsque N tend vers linni, la moyenne empirique des VaRconverge vers lES.







Example

Reprenons lexemple dune distribution P&L normale N (0, 1) . Oncherche à calculer lES pour un taux de couverture α = 5%. Pourcela on considère 10 VaR dénies pour des taux de couvertureéqui-répartis entre 0.001 et 0.05. La moyenne empirique des 10VaR est alors égale à 2.0728 alors que la vraie valeur de lES est2.0627

β 0.001 0.0066 0.0121 0.0177 0.0232VaR(β) 3.0902 2.4807 2.2536 2.1045 1.991β 0.0288 0.0343 0.0399 0.0454 0.05VaR(β) 1.8991 1.8206 1.7520 1.6907 1.644






FIN PARTIE 1.


value at risk

Economy & Finance