Repblica Bolivariana de Venezuela.Ministerio del Poder Popular Para la Educacin Superior.Universidad Fermn Toro.Cabudare-Edo. Lara.

VARIABLE ALEATORIA.

Estudiante:-Amilcar Aragoza.Profesor:-Humberto Pea.

Julio, 2015.

VARIABLE ALEATORIAConcepto de variable aleatoriaSe llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicacin que asocia a cada elemento del espacio muestral () de un experimento, un nmero real. Ejemplo 1:Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral ser: ={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el nmero de caras, estamos asociando a cada suceso un nmero, as:X(CCC)=3 X(CCX)=2 X(XXC)=1 X(XXX)=0Ejemplo 2: Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio muestral ser:omega={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones, entoncesX((1,1))=2 X((3,4))=7 X((2,6))=8 X((5,6))=11Las variables aleatorias las podemos clasificar en discretas, si pueda tomar un nmero finito o infinito numerable de valores o continuas si dado un intervalo (a,b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos entre a y b.Variable aleatoria discreta.Dada una variable aleatoria diremos que es discreta si toma un nmero finito o infinito numerable de valores.Ejemplos:

1. Sea el experimento consistente en lanzar dos dados al aire. El conjunto de posibles resultados, esto es, el espacio muestral est formado pdadosor = { (i , j) : i=1,2,...,6 j=1,2,...,6 }. Definimos la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones de los dos dados. La variable as definida asocia a cada elemento de un nmero real , X(i,j) = i+j. Claramente la variable aleatoria as definida es discreta al tomar un nmero finito de valores, en concreto los naturales comprendidos entre 2 y 36, ambos inclusive.

2. Una empresa dedicada a la fabricacin de componentes de vehculos, fabrica al da 1000 motores de automviles. Definimos la v.a. X = "nmero de motores defectuosos".

X puede tomar como valor 0,1,2,3,4,...,1000.

Esta v.a. as definida es discreta. 3. Una urna contiene 10 bolas blancas y 10 negras. Se extrae una bola y se introducen 2 bolas del mismo color que se ha extraido. Se realiza el experimento indefinidamente.Definimos la v.a. X = "nmero de bolas blancas que hay en la urna" . La variable aleatoria as definida es discreta siendo su valor inicial 10 y pudiendo tomar como valor cualquier natural mayor o igual que 10, en este caso hay un nmero infinito numerable de valores posibles.Funcin de probabilidad.Dada una v.a. discreta X llamaremos funcin de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada valor de la v.a. P[ X = xi ]As si la v.a. X toma los valores x1,...,xi,...,xn la funcin de probabilidad asociada a cada xi una probabilidad pi, verificndose siempre que pi = 1Determinacin de una funcin de probabilidadConsideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral ser: = {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el nmero de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.De los ocho posibles resultados, en slo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando anlogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno slo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8. Resumido:

Funcin de distribucin

DadaXv.a. discreta llamaremos funcin de distribucin deXatal que.Si suponemos ordenados de menor a mayor los valores que toma la v.a.x0,x1,...,xi,...,xnentonces

Propiedades: La funcin de distribucin toma valores comprendidos entre 0 y 1. Para todox < x0F(x) = 0,siendox0el menor de los valores que toma la v.a.X Para todox > xnF(x) = 1,siendoxnel mayor valor que toma la v.a.X. F(x) es una funcin creciente (x < y => F(x)F(y))Dados x < y- Si la v.a. no toma ningn valor entre ambos F(x)=F(y)- Si la v.a. toma algn valor entre ambos, supongamos que tomase k valoresxi+1,...,xi+k( cadaP[ X = xj] 0 con j=i+1,...,i+k) entoncesF(y) = F(x) + P[ X = xi+1]+ P[ X = xi+2]+...++ P[ X = xi+k]y consecuentemente F(y) F(x).Ejemplo:

Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral ser:

={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}.

Definimos la variable aleatoria (v.a.)Xcomo el nmero de caras y estudiemos su funcin de distribucin.

Si x