Variable aleatoria Normal

Definición:La v.a.c. Normal con parámetro µ y 2 tiene la siguiente función densidad de probabilidades:

- < X <

E(X) = µ

V(X) = 2

2

2

2

)(

2

1)(

x

exf

)2/(x

22

)(M f.g.m. ttet

x - e

2

1)x(f

2

2

2

)x(

Distribución normal con =0 para varios valores

0

0.4

0.8

1.2

1.6

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

x

p(x)

N(μ, σ2): Interpretación geométrica

• Podemos interpretar la media como un factor de traslación.

• Y la desviación estándar o típica como un factor de escala, grado de dispersión,…

N(μ, σ2): Interpretación probabilista• Entre la media y una

desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%.

•Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…–a distancia σ, tenemos probabilidad 68%

–a distancia 2 σ, tenemos probabilidad 95%

–a distancia 2,5 σ tenemos probabilidad 99%

• Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%

Si X: N(µ, σ2)

Y = aX +b

)2/t)a(t)ba()2/t)a(t)ba(

)2/)at(at(tbX

tbY

2222

22

eee

ee)at(Me)t(M

)2/(X

22

(t)M tte

Sea X: v.a. con f.g.m. Mx (t)

Y = aX + b

La f.g.m. de Y es :

)()()()()( )( atMeeEeeEeEtM XtbtaXtbbaXttY

Y

)σa b,μ N(a : Y

) ,N( :X 22

2

• Si X es N(u, 2) Y = a*X + b, entonces Y es N(a * + b, a2 * 2)

• Si X es N(u, 2) Y = ( X – u )/ , a = 1/ b= -µ/ entonces Y es N( 0,1 )

• Un suceso para X tiene asociado un suceso equivalente para Y.

Variable Aleatoria Normal

Variable Aleatoria Normal

Cálculo de Probabilidades:

Dado que la f.d.p. de la distribución normal no es integrable en forma exacta, históricamente se ha usado la Distribución Normal Estándar para hacer cálculos de probabilidad de la siguiente manera:

Sea X~N(,σ²), entonces:

)( bXaP

bXa

P

b

Na

P )1,0(

ab

| 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 .0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 .0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,975002,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,980302,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,984612,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,988092,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,990862,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,993052,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,994772,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,996092,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711

P(Z ≤ 2,00) = 0.97725

P(Z < 2,00)

P(Z ≥ -2,00)

P(0 ≤ Z ≤ 2)

P(-2 ≤ Z ≤ 2)

• El diámetro en milímetros X de un cable eléctrico se distribuye normal con media 0.5 y desviación estándar 0.005. El diámetro, según especificaciones, debe ser entre 0.49 y 0.51.

La probabilidad de que el cable satisfaga las especificaciones es:

005.0

5.049.0

005.0

5.051.0

95.022

)51.049.0( XP

005.0

5.49.

005.0

5.51.

X

P

El radio de un pistón es una v.a. X~N(30,0.05²).El radio interior del cilindro es un v.a. Y~N(30.25,0.06²)El espacio entre el cilindro y el pistón está dado por Z=X-Y.

Se tiene que E(Z)= 30.25-30=0.25 V(Z)= 0.05²+0.06²=0.0061,

y por tanto, Z~N(0.25,0.0061).

La probabilidad que un pistón tomado al azar encaje en un cilindro está dada por:

)0( ZP )0(1 ZP

9993.00061.0

25.01

0061.0

25.001

Z

P

Teorema del Límite Central

 Si una variable aleatoria X se puede representar como una suma de variables aleatorias independientes cualesquiera, X1, X2 ,.......Xn , con

E ( Xi ) = i y V(Xi ) = i2, para i = 1,2...n;

X = X1+ X2 +......+ Xn está distribuida

normalmente con media E(X) = i y varianza

V(X) = i2

n

1i

2i

n

1i in

σ

μXZ nZ tiene una distribución N(0,1)

• La mujer chilena típica tiene una altura promedio de 65 pulgadas,con una varianza de 9 pulgadas cuadradas.

a) La probabilidad de que las altura promedio en una muestra de 30 mujeres esté entre 64 y 66.

Entonces, por TLC se tiene que:

Sea Xi la altura de la mujer i, i =1,2,...,30

30

1 30i

iXX a N(65, 0.3)

aproximadamente

3.0

6566

3.0

65

3.0

6564 XP)6664( XP

82.1)1,0(82.1 NP

931.0)82.1()82.1(

La mujer chilena típica tiene una altura promedio de 65 pulgadas,con una varianza de 9 pulgadas cuadradas.

nn

X

nP

/9

655.65

/9

65

/9

655.64

b) El tamaño de muestral que asegura que el promedio muestral esté entre 64.5 y 65.5 con un 95% de probabilidad.

)5.655.64( XP

)167.0()167.0( nn

Por TLC se tiene que: a~ N(65,9/n)

)167.0(21 n

X

Por lo tanto:

025.0)167.0( n

95.0)167.0(21 n

96.1167.0 025.0 zn 138n

• Si X es normal (1 ; 0,42), hallar:

a) P(X < 0)

b) P(0,2 < X < 1,8).

 • Si la vida media de una colonia de bacterias es normal (600 ;602), indicar que

porcentaje de bacterias durará entre 500 y 800 días.

 • Si en un cierto volumen de sangre de un hombre sano aparecen como media 20

glóbulos blancos, y la desviación estándar es igual a 2, indicar la probabilidad de que en una muestra de dicho volumen aparezcan 14 o menos glóbulos.

 • Supóngase que una cierta pieza es declarada buena si pasa por un cierto calibre de 5

mm de diámetro. Sea una producción de dichas piezas, cuyos diámetros tienen una distribución normal (4,8 ; 0,22). Indicar que porcentaje de esta producción será declarado bueno.

 • El volumen de producción de un cierto artículo es normal (m ; σ2). Si un 60% de los

días se produce menos de 150 ton., el 35% de los días se produce entre 150 y 160 ton., y en los mejores días se pasan las 160 ton., hallar el valor medio y la varianza de la producción.

 

• Una producción de ejes tiene un diámetro que sigue una distribución normal (50 ; 0,12). Se toma una muestra de 100 ejes. Indicar:

 

a) El valor medio y la varianza del promedio de los diámetros de la muestra.

 

b) Suponiendo que una partida sea rechazada si el promedio de sus diámetros es inferior a 49,999 o superior a 50,001, indicar la probabilidad de rechazo.

 •  La vida útil de un transistor tiene una distribución normal (280hrs ; σ2). Indicar

el valor máximo admisible de σ si se desea que el transistor tenga una probabilidad mínima de 0,8 de durar entre 240 y 320 horas.

 •  Un avión Airbus 310 tiene un peso permitido de despegue de 160 ton. El

peso vacío del avión es de 100 ton. El peso del combustible, tripulación, víveres, etc., es de 40 ton. El avión tiene una capacidad de 200 pasajeros. Según estudios, el peso medio de un pasajero con su equipaje es normal (90 ; 202).

  Indicar la probabilidad de que el avión trate de despegar con un peso mayor que el permitido.

 

• La venta semanal de gasolina (en toneladas) de una estación de servicio es normal (100 ; 102). Suponiendo que el camión de suministro viene una vez por semana, indicar la capacidad que debe tener la cisterna de la estación para tener una probabilidad de 0,999 de poder atender a todos sus eventuales clientes.

 

•  La viga principal del ala de un avión comercial está calculada a la fatiga de manera tal que aguante 6 x 106 inversiones de momento flector. La cantidad de inversiones que dicha viga tiene que aguantar por hora de vuelo es normal (100 ; 202). Suponiendo que el avión vuele 200 horas mensuales, indicar la vida del avión en meses de manera tal de tener una probabilidad de 0,999 de no tener una rotura por fatiga.

 

• Sea un caudal constante de 1 litro/seg usado en una planta embotelladora. Sea T la variable aleatoria correspondiente al tiempo que una botella está debajo del flujo. Supóngase que T sea normal (m ; 0,012), siendo m el valor de ajuste de un dispositivo que hace circular las botellas. Supóngase que las botellas sean de un litro.

 a) Indicar que valor de ajuste ha de tomarse para tener una probabilidad de 0,999 de que el líquido no rebalse.

b) Tomando el valor de ajuste recién hallado, indicar la probabilidad de que una botella tomada al azar tenga menos de 950 cc.

  

• El peso de las unidades de una cierta manufactura es normal (120 ; 82). Las unidades se empaquetan de a 24 en cajas de cartón cuyo peso es de 300 gr. (peso constante). En la inspección final se pesan las cajas, y se rechaza toda caja cuyo peso total sea inferior a 3.120 gr. Indicar:

 a) La probabilidad de que no se detecte cuando por error se empaqueten 23 unidades en vez de 24.

b) De que sea rechazada una caja con 24 unidades.

• Si la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda es 1/2, ¿con qué cantidad de pruebas se garantiza una probabilidad de 0,999 de que la frecuencia relativa de aparición de cara difiera de 1/2 en menos de 0,1?

Aproximaciones

p)-np(1

np-X

X: v. a. Binomial, suma de las variables Bernoulli, con valor esperado E(X) = np y varianza V(x) = np (1-p).

Para un n grande, X: N (np; np (1-p)

la variable es N(0,1)

Corrección para continuidad

 P(X = k) P(k – ½ X k+ ½)

P(a X b) P(a – ½ X b+ ½)

AproximacionesX: v. a. Poisson (el número total de veces que ocurre un suceso en un lapso de tiempo t), con una tasa de ocurrencia por unidad de tiempo . La variable X puede considerarse como la suma de las ocurrencias en intervalos de tiempo muy pequeños no sobrepuestos.

Así, la variable aleatoria X es N (t, t). 

AproximacionesSea X: v. a. Binomial con parámetros n y p X: B(n,p)

Si cuando n ---> , tal que n*p = ,o si n ---> y p ---> 0, tal que n*p --->

se tiene que la v.a. se comporta como una v.a. Poisson con parámetro  

X ~ Poisson ().

k!

e k) X(Plim

k-

n

Muestras aleatorias

Sea una variable aleatoria X, asociada a un experimento aleatorio E.

Si se realizan n repeticiones independientes del experimento E, se genera una secuencia de v.a. que tienen la misma distribución de X. (v.a.i.i.)

Los n valores de la v.a. constituyen una muestra de la v.a. X

• Sea una m.a. {X1, X2, X3,…. Xn} de una v.a. X se puede definir una nueva v.a.

• Y = H(X1, X2, X3,…. Xn)

• Ejemplos de estas funciones son, la suma, el promedio, la varianza muestral, el máximo, el mínimo y el recorrido muestral

Se refiere a las distribuciones asociadas a las funciones de una muestra aleatoria.

• Suma

• Promedio

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

X Yn

1ii

n

X X Y

n

1ii

Se refiere a las distribuciones asociadas a las funciones de una muestra aleatoria.

• Suma

• Promedio

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

)n

,N( :Y n

X X Y

2

n

1ii

)n ,N(n :Y X Y 2n

1ii

• Máximo de una m.a.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

f(y)F(y)n g(y)

F(y) G(y)

y) X . y, X y, P(X y) P(Y )y(G

G(y),y g(y)son Y de f.d.a lay f.d.p la Si

F f.d.a.y f f.d.p.con v.a.i.iX Sea

)X .,X ,X ,(X Máximo Y

1-n

n

n21

i

n321

• Mínimo de una m.a.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

f(y)F(y) - 1n g(y)

es g(y) Y variablela de f.d.p La

F f.d.a.y f f.d.p.con v.a.i.iX Sea

)X .,X ,X ,(X Mínimo Y

1-n

i

n321

)100,125(N

)100,125(N

)4919.15,400( 2N

)9898.48,400( 2N

Ejercicio 1, tercera prueba 2º/2010

La llegada de pacientes que llegan a la unidad de emergencia de una clínica en un día se comporta de acuerdo a un Proceso Poisson. La unidad de emergencia tiene una capacidad para atender 120 pacientes al día, de tal forma que si en un día llegan más de 120 pacientes, los que llegan en exceso son derivados al hospital de la ciudad. En la clínica llegan a emergencia en promedio 96 pacientes por día (la unidad de emergencia trabaja las 24 horas del día).

• Defina adecuadamente la(s) variable(s) aleatoria(s) en cada caso e indique la expresión que permita calcular (no calcule):

• La probabilidad de que deban derivarse pacientes al hospital de la ciudad, en un día determinado• El número de pacientes esperado que se atienden en la unidad de emergencia de la clínica durante un fin de

semana• Aumento de la capacidad actual de atención para permitir atender a todos los pacientes que llegan el 90% de

los días• La probabilidad de que el tiempo entre pacientes derivados al hospital de la ciudad sea mayor de 0.25 hora.• la probabilidad de que lleguen a la clínica no lleguen pacientes entre las 01:00 y las 01:30 hrs de un día

determinado, si se sabe que entre las 01:00 y las 04:00 horas de ese día llegaron 10 pacientes a emergencia de la clínica.

• EN ESTE EJERCICIO, CONSIDERE QUE LA V.A. POISSON SE COMPORTA COMO UNA V.A. CON DISTRIBUCION NORMAL