VARIACIÓN

DE PARÁMETROS 12La variación de parámetros es otro método (véase capítulo 11) para hallar una solución particular a la ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden.

(12.1)

una vez que se sabe la solución de la ecuación homogénea asociada L(y) = O.

Recuerde, del teorema 8.2. Que si (x), (x),..... (x) son n soluciones linealmente

independientes de , entonces la solución general de es

EL MÉTODO

Una solución particular de tiene la forma

donde está dada en la ecuación (12.2) y es una función desconocida de que se debe determinar aún.

Para encontrar , primero resolvemos simultáneamente las siguientes ecuaciones

lineales para las :

Luego integramos cada para obtener , sin considerar todas las constantes de integración. Esto es permisible por-que estamos buscando sólo una solución particular.

EJEMPLO 12.1 Para el caso especial de n = 3. Las ecuaciones (12.4) se reducen a

Para este caso de , las ecuaciones (12.4) se convierten en

y para el caso de , nuevamente obtenemos la ecuación simple

Dado que son n soluciones linealmente independientes de la misma

ecuación , su Wronskiano no es cero (teorema 8.3). Esto significa que el sistema (12.4) tiene un determinante distinto de cero y se puede resolver únicamente por

.

ALCANCE DEL MÉTODO

El método de variación de parámetros se puede aplicar a todas las ecuaciones diferenciales. Es, por lo tanto, más poderoso que el método de coeficientes indeterminados, que está restringido a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes

constantes y formas particulares de . No obstante, en aquellos casos donde ambos métodos son aplicables, el método de los coeficientes indeterminados es generalmente

el más eficiente y. por lo tanto, el preferible Como asunto práctico, la integración de puede ser imposible de realizar. En tal caso se deben emplear otros métodos (en particular, las técnicas numéricas).

PROBLEMAS RESUELTOS

12.1. Resuelva

Ésta es una ecuación de tercer orden con

(Véase capítulo 10); de la ecuación (12.3), tenemos que

Aquí y , de modo que (12.5) se convierte en

Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente, obtenemos

y . De este modo,

Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos

La solución general, por lo tanto, es

12.2 Resuelva

Esta es una ecuación de tercer orden con

(Véase capitulo 10); de la ecuación (12.3) tenemos que

Aquí, y , de modo que la ecuación (12.5) se convierte en

Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente, obtenemos

De este modo, usando las sustituciones y , encontramos que

Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos

La solución general es

Esta solución se puede simplificar. Primero observamos que

De modo que

Luego combinando términos similares, tenemos

y=(c1+ 12 )+(c2+ 12 )ex+(c3+ 12 )e2x+[(−12 −e x−12e2 x)] ln (e x+1 )

y=c4+c5 ex+c6e

2x−12

[1+2e x+(ex )2 ] ln (ex+1 )

12.3 Resuelva

Aquí n=2 yyh=c1 ex+c2 xe

x , por lo tanto,

y p=c1 ex+v2 xe

x

Dado que y1=e

x , y2=xex y

, de la ecuación (12.6), tenemos que

Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente, obtenemos y , de este modo,

Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos

y p=− xex+xex ln ¿ x∨¿¿

Por lo tanto, la solución general es

y= yh+ y p=c1 ex+c2 xe

x−xex+xex ln ¿ x∨¿¿

¿c1 ex+c3 xe

x+xex ln|x|(c3=c2−1)

12.4 Resuelva

Aquí n=2 y yh=c1 e− x+c2 e

2x , por ello

y p=v1 e−x+v2 e

2 x (1)

Dado que y1=ex , y2=e

2x y , de la ecuación (12.6) tenemos que,

Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente, obtenemos y

, de lo cual v1=−e4 x

3 y v2=ex

3 . Sustituyendo estos resultados en (1) obtenemos

Por lo tanto la solución general es

y=c1 e− x+c2 e

2x+ 14e3 x

(Compárese con el problema 11.2)

12.5 resuelva

Esta es una ecuación de segundo orden para x(t) con

xh=c1 cos2 t+c2 sen2 t

De la ecuación (12.3) tenemos que

x p=v1cos2 t+v2 sen2 t (1)

Donde v1 y v2 son funciones de t .Aquí x1=cos2 t , x2=sen2 t son dos soluciones linealmente independientes del la ecuación diferencial homogénea asociada y

, modo que la ecuación (12.6), con x reemplazando a y, se convierte en

La solución de este conjunto de ecuaciones es

De este modo,

Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos

Porque =1. La solución general es

x=xh+x p=c1 cos2 t+c2 sen2 t+16cos22 t+ 1

12sen22t

12.6 Resuelva t 2d2Ndt 2

−2 t dNdt

+2n=t ln t , si se sabe que dos soluciones linealmente

independientes de la ecuación homogénea asociada con ty t 2

Primero escribimos la ecuación diferencial en su forma estándar, con la unidad como el coeficiente de la mayor derivada. Dividiendo la ecuación por t 2 , obtenemos

Con . Se da N1=t

y N2=t

2

como dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion homogenea asociada de segundo orden. A continuacion, del teorema 8.2 , tenemos que

Nh=c1t+c2t2

Por lo tanto asumimos que

N p=v1t+v2t2 (1)

Las ecuaciones (12.6),con N reemplazando a y , se convierten en

La solución de este conjunto de ecuaciones es

De este modo

Y (1) se convierte en

La solución general es

12.7 Resuelva

Aquí n=1 y (del capítulo 6) yh=c1 x−4 ;de aquí que

y p=v1 x−4 (1)

Dado que y1=x−4

y , la ecuación (12.7) se convierte en y v1=x9

9 . La

ecuación (1) se convierte ahora en y p=x5

9 y , por lo tanto , la solución general es

y=c1 x−4+ 1

9x5

(compárese con el problema 6.6)

12.8 Resuelva y (4)=5x por variación de parámetros

Aquí n=4 y yh=c1+c2 x+c3 x2+c4 x

3 ; por esto,

Como y1=1,y2=x, y3=x2,y4=x

3 y de la ecuación (12.4), con n=4, tenemos que

Resolviendo este conjunto de ecuaciones simultáneamente tenemos que

De donde

Luego de (1)

Y la solución general es

La solución también se puede obtener simplemente integrando cuatro veces con respecto a x ambos lados de la ecuación diferencial

PROBLEMAS ADICIONALES

Utilice la variacion de parametros para hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales.

12.9

12.10

12.11

12.12

12.13

12.14 si se sabe que dos soluciones del problema homogeneo asociado son x x 1/x

12.15 si se sabe que dos soluciones del problema homogeneo asociado son 1 y x2

12.16 12.17

12.18 12.19

12.20 12.21

12.22

12.23 si se sabe que dos soluciones de las ecuaciones homogeneas asociadas son t y t 2+1

12.24 si se sabe que dos soluciones de las

ecuaciones homogeneas asociadas son e t y 1t

12.25 12.26

12.27 12.28

12.29 si se sabe que tres soluciones linealmente independientes de las

ecuaciones homogeneas asociadas son 1t , 1 y t

12.30