varias variables
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Apunte N 172
Secundarios - CBC - Universitarios - Informtica - Idiomas
CENTRO DE CAPACITACION
OPTIMIZACIN DE FUNCIONES CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD
(El tema est aplicado al caso particular de una funcin de 4 variables y dos restricciones).
Si se desea optimizar ),,,( wzyxf sujeta a dos restricciones 0),,,(1 =wzyxg ; 0),,,(2 =wzyxg Primer paso: armar el lagrangeano
),,,(22),,,(11),,,(),,,,( ..21 wzyxwzyxwzyxwzyx ggfL ++=
Condicin de primer orden (condicin necesaria)
00000021
=
=
=
=
=
=
LL
wL
zL
yL
xL
P
S Se realizaplica el
Av. Santa Fe 2206 Piso 2 - Capital Federal C1123AAR - Argentina Horario de atencin: Lunes a Viernes de 8:30 a 23:00 hs. / Sbado de 9:00 a 21:00 hs.
Tel/Fax.: 4823-9334 / 4821-3353 (Lneas Rotativas) E-mail: [email protected] Web: www.delfosweb.com.ar
Condicin de segundo orden (condicin suficiente).
rimer mtodo (Hessiano, forma libre)
wwzwywxw
zwzzyzxz
ywyzyyxy
xwxzxyxx
LLLLLLLLLLLLLLLL
Definida Positiva Semi-definida
Positiva Definida Negativa
Semi-definida Negativa
Indefinida
H1 >0 >0 0 >0 >0 H3 >0 >0 0 =0
Otras opciones
egundo modo (diferencial de segundo orden)
a el planteo matricial del diferencial de segundo orden. Y a la matriz resultante se la mismo anlisis de signos de determinantes que en el primer mtodo.
H1
H2
H3
H4
Se calculan todos estos determinantes
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( )
dwdzdydx
LLLLLLLLLLLLLLLL
dwdzdydx
wwzwywxw
zwzzyzxz
ywyzyyxy
xwxzxyxx
..
Es necesario establecer qu relaciones cumplen los diferenciales entre s. Las mismas se obtienen calculando los diferenciales totales de las restricciones. Es decir
0.'.'.'.' =+++= dwgdzgdygdxgdg wzyx ; tanto para g1 como para g2. Para ser mas claros veamos un ejemplo. Supongamos que de calcular ambos diferenciales queda que:
=
+=
=++
=+
dydxdwdydxdz
dwdydxdzdydx
.2.2.2.4
0.6.20.2.4
Podemos entonces expresar un vector genrico de los diferenciales en cuestin:
( ) ( )dydxdydxdydxdwdzdydx .2.2.2.4 += ( ) ( )2210.2401. += dydx
Con lo cual se arma la siguiente matriz de coeficientes:
22102401
Y finalmente ingresamos estas condiciones a la expresin matricial del diferencial de segundo orden planteado al inicio.
22241001
..22102401
wwzwywxw
zwzzyzxz
ywyzyyxy
xwxzxyxx
LLLLLLLLLLLLLLLL
De aqu surge una matriz de 2x2 a la cual se le aplica el mismo criterio de signos que en el primer mtodo.
Tercer mtodo ( Hessiano Orlado) Se definen dos parmetros: n= cantidad de variables de la funcin f(x,y,z,w) m=cantidad de restricciones Se calcularn n-m determinantes del Hessiano Orlado; en este caso el valor de n es
4, y el valor de m es 2. De esta forma se debern calcular (4-2=2) determinantes.
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wwzwywxwxx
zwzzyzxzxx
ywyzyyxyxx
xwxzxyxxxx
xxxx
xxxx
LLLLggLLLLggLLLLggLLLLgggggggggg
21
21
21
21
2222
1111
0000
Para que sea Definida Positva: Se debe verificar que el primer determinante calculado tenga el signo correspondiente a la siguiente operacin: (-1)m . Y tambin se pide que los restantes determinantes (en este caso H6 nicamente) mantengan el mismo signo. Ojo: si alguno vale cero, ser Semi Definida Positiva. Para que sea Definida Negativa: Se debe verificar que el primer determinante calculado tenga el signo correspondiente a la siguiente operacin: (-1)m+1 . Y tambin se pide que los restantes determinantes (en este caso H6 nicamente) vayan cambiando de signo alternativamente. Ojo: si alguno vale cero, ser Semi Definida Negativa. Entonces, para este caso, teniendo en cuenta que n=2:
Signo de(-1)m : + Signo de (-1)m+1 : -
Definida Positiva Semi-definida
Positiva Definida Negativa
Semi-definida Negativa
H5 >0 >0 =0 0 >0 =0 >0
Para toda otra opcin ser Indefinida.
Tercer mtodo ( Similar al clculo de autovalores)
( )
( )( )
( )
wwzwywxwxx
zwzzyzxzxx
ywyzyyxyxx
xwxzxyxxxx
xxxx
xxxx
LLLLggLLLLggLLLLggLLLLgggggggggg
21
21
21
21
2222
1111
0000
H6
H5
Se calculan todos estos dos determinantes
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Se calcula el determinante de esta matriz (quedar en funcin de ). Quedar un polinomio caracterstico al cual se le calculan las raices. El criterio a emplear es el siguiente:
Y se aplica el siguiente criterio para determinar la concavidad. Aplicado para todos los valores de i .
0i > Definida Positiva
0i Semidefinida Positiva 0i < Definida Negativa 0i Semidefinida Negativa
0i = Indefinida