prof. dr. sc. Draan Kozak

Prethodno predavanjeMetode rjeavanja inenjerskih problemaO numerikim metodamaPriblino rjeavanje problema rubnih vrijednostiMetoda teinskog reziduala

Dananje predavanjeVarijacijska formulacijaRayleigh-Ritzova metoda

Varijacijska formulacijaZa rjeavanje problema rubnih vrijednosti rabe se diferencijalna i varijacijska formulacija.Diferencijalna formulacija temelji se na izvoenju diferencijalnih jednadbi koje opisuju problem u odreenom podruju, pri emu stacionarno rjeenje ovisi o rubnim uvjetima.Rjeenje u svakoj toki razmatranog podruja ovisi o vrijednostima koje su zadane u tokama na rubu.Potrebno je nai nepoznatu funkciju koja zadovoljava diferencijalnu jednadbu i pridruene rubne uvjete.

Varijacijska formulacijaPri Varijacijskoj formulaciji potrebno je nai nepoznatu funkciju ili vie funkcija koje zadovoljavaju uvjet stacionarnosti funkcionala. Pritom funkcija takoer mora zadovoljiti odgovarajue dodatne relacije koje nisu implicitno sadrane u funkcionalu.Kako bi se varijacijska formulacija mogla primijeniti, potrebno je da za razmatrani problem postoji funkcional.Prednost varijacijske formulacije u odnosu na postupak rjeavanja diferencijalnih jednadbi jest nii red derivacije u podintegralnoj funkciji funkcionala od reda derivacije koji se pojavljuje u diferencijalnoj jednadbi.

Varijacijska formulacijaTraena nepoznata funkcija mora posjedovati derivacije nieg reda od onoga koji je potreban u diferencijalnoj formulaciji.Ako je u funkcionalu najvea derivacija m-tog reda, varijacijski je problem Cm-1, pri emu je najvei red derivacije u geometrijskim rubnim uvjetima jednak m-1.U diferencijalnoj formulaciji najvei red derivacije u diferencijalnoj jednadbi je 2m.U varijacijskoj formulaciji nepoznata funkcija ne mora zadovoljavati prirodne rubne uvjete, jer su sadrani u funkcionalu.Za priblino rjeavanje problema rubnih vrijednosti primjenom varijacijske formulacije najee se rabi Rayleigh-Ritzova metoda.

Varijacijska formulacijaZa rjeavanje problema rubnih vrijednosti primjenom varijacijske formulacije potrebno je izvesti ekvivalentni varijacijski funkcional.Funkcional je u matematikom smislu funkcija odreena integralom iji su argumenti takoer funkcije.U nastavku je prikazano izvoenje funkcionala za rjeavanje problema osnog optereenja tapa, koji je u diferencijalnoj formulaciji opisan poznatom Poissonovom jednadbom.

Varijacijska formulacijaPoissonova jednadba:Rubni uvjeti:(1)(2)

Varijacijska formulacijaPolazi se od Poissonove diferencijalne jednadbe koju je potrebno pomnoiti s varijacijom njezina rjeenja u i provesti integraciju u podruju 0 x l. Zbog jednostavnijeg zapisivanja uvodi se supstitucija: = AEDobije se sljedee:(3)

Varijacijska formulacijaPotrebno je dobiveni izraz transformirati u oblik F = 0, gdje je F jednak funkcionalu koji odgovara zadanom problemu rubnih vrijednosti.Relacija F = 0 uvjet je stacionarnosti funkcionala.Ako se na prvi lan u zagradi pod integralom primijeni parcijalna integracija, dobiva se:(4)

Varijacijska formulacijaUvrtavanjem izraza (4) u izraz (3), slijedi:(5)U gornjoj relaciji, primijenjena je poznata jednakost:Takoer je mogue napisati da je:(6)

Varijacijska formulacijaOsim toga, budui da je rubnim uvjetima zadano u(0) = 0, vrijedi u (0) = 0, a u skladu s Neumannovim rubnim uvjetima vrijedi:(7)RUBNI UVJET SILA

Varijacijska formulacijato je jednako:odnosno:(8)(9)

Varijacijska formulacijaIz posljednje relacije (9) slijedi da je funkcional za rjeavanje zadanog problema rubnih vrijednosti jednak:

(10)Nakon uvrtavanja = AE, to je jednako osnoj krutosti tapa, funkcional dobiva oblik:(11)Ovaj izraz je jednak ukupnoj potencijalnoj energiji koja se sastoji od:

Varijacijska formulacija(11)

Varijacijska formulacijaPa je prva varijacija funkcionala:(15)to u mehanici deformabilnih tijela oznauje princip minimuma ukupne potencijalne energije.Iz relacije (15) moe se vidjeti da je za rjeavanje problema rubnih vrijednosti primjenom varijacijske formulacije potrebno eksplicitno zadovoljiti samo rubne uvjete pomaka, jer su u relaciji (15) implicitno ukljueni uvjeti ravnotee (1) i rubni uvjet sila (2).

Rayleigh-Ritzova metodaRayleigh-Ritzova metoda temelji se na varijacijskoj formulaciji problema, te se za priblino rjeavanje problema rubnih vrijednosti najee i koristi.Za razliku od metode teinskog reziduala kojom se rjeava diferencijalna jednadba, ovdje je potrebno zadovoljiti uvjet stacionarnosti funkcionala koji opisuje razmatrani problem.Nepoznata funkcija pretpostavlja se u obliku sume umnoka linearno nezavisnih funkcija fi i nepoznatih parametara ai, to je prikazano matrinom relacijom:

(16)

Rayleigh-Ritzova metodaDakle, u navedenoj matrinoj relaciji je matrica meusobno nezavisnih funkcija fi, a a je vektor nepoznatih parametara koje su za statike probleme konstantne veliine:Svakom nepoznatom parametru ai pridruena je funkcija fi koju treba tako odabrati da su potrebni rubni uvjeti zadovoljeni.(16)

Rayleigh-Ritzova metodaDovoljno je da pretpostavljena funkcija zadovoljava samo geometrijske uvjete.Vektor zavisnih varijabli jednak je pomaku s komponentama u, v i w u pravcu Kartezijeva KS-a, te se ranije spomenuta matrina relacija (16) moe transformirati u oblik:(17)(16)

Rayleigh-Ritzova metodaUvrtavanjem izraza (17) u izraze za potencijalnu energiju elastinog deformiranja: i potencijalnu energiju vanjskih sila: Dobije se ukupna potencijalna energija kao funkcija nezavisnih parametara:(18)(19)(20)

Rayleigh-Ritzova metodaPrincip minimuma ukupne potencijalne energije opisan je relacijom:(21)iz koje slijedi n algebarskih jednadbi: (22)Rjeenja sustava jednadbi (22) nepoznati su parametri ai koji pomou (17) opisuju polje pomaka u razmatranom podruju.

Rayleigh-Ritzova metodaNa taj se nain dobivaju najbolja mogua rjeenja pretpostavljene funkcije, odnosno rjeenja za koje je potencijalna energija najblia minimumu.Tonost rjeenja poveava se s brojem lanova u izrazu (17).Rayleigh-Ritzova metoda moe se primijeniti samo u sluaju kada se razmatrani problem moe opisati funkcionalom, to je nedostatak s obzirom na metodu teinskog reziduala.

Rayleigh-Ritzova metodaPrednost u odnosu na spomenutu metodu je u tome to se u podintegralnoj funkciji pojavljuje derivacija nieg reda, te je potrebno da pretpostavljena funkcija zadovoljava samo geometrijske rubne uvjete.Takoer, matrica koeficijenata u sustavu algebarskih jednadbi uvijek je simetrina, to se s metodom teinskog reziduala dobiva tek nakon primjene parcijalne derivacije.Uz pretpostavku istih funkcija pomaka, te uz primjenu parcijalne integracije, konano rjeenje koritenjem metode teinskog reziduala te Rayleigh-Ritzove metode je naposljetku u potpunosti identino!

Rayleigh-Ritzova metoda - primjerZa gredu zadanu i optereenu prema slici potrebno je pomou Rayleigh-Ritzove metode odrediti raspodjelu momenta savijanja. Za funkciju progiba pretpostaviti jednu od ponuenih:

Rayleigh-Ritzova metoda - primjerZa gredu funkcional je jednak:Rubni uvjeti pomaka:

Rayleigh-Ritzova metoda - primjerOd ponuenih funkcija progiba rubne uvjete zadovoljava:Zadovoljava prva ponuena funkcija:

Rayleigh-Ritzova metoda - primjerFUKNCIONAL GREDE

Rayleigh-Ritzova metoda - primjerIz uvjeta stacionarnosti funkcionala slijedi:pa je funkcija progiba:

Rayleigh-Ritzova metoda - primjera moment savijanja: