vass máté - eötvös loránd universityglu.elte.hu/~gyorgyi/teaching/kte/program16/mhd.pdf ·...

Magnetohidrodinamika

Vass Máté

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Fizika BSc. III.

A klasszikus térelmélet elemei szeminárium2016.11.30.

Tartalomjegyzék

1 Az MHD származtatása, a plazmát jellemz® paraméterek

2 A kétfolyadék-elmélet egyenletei

3 Az MHD-közelítés

4 Az iMHD, példák

Vass Máté (ELTE) MHD KTE 2016.11.30. 2 / 22

Az MHD származtatása, a plazmát jellemz® paraméterek

Az MHD származtatása

Az MHD-egyenletek származtatására több lehet®ség adódik:

A Boltzmann-egyenletb®l származtatható ún. momentumok és azazokra vonatkozó egyenletek megkonstruálása

A klasszikus hidrodinamika és elektrodinamika összefüggéseinekalkalmazása a plazma mint összetett rendszerre (de�níciót lásdkés®bb). ← Mi ezt az utat fogjuk követni



A plazma tulajdonságai, jellemz® paraméterek I.

Plazma=Töltött részecskék kvázisemleges, kollektív sokaságaKvázisemlegesség: Legyen ne az elektronok, ni az ionokrészecskeszám-s¶r¶sége. Ekkor a kvázisemlegesség feltétele:

ni ≈ ne = n. (1)

Kollektív viselkedés: A részecskék leárnyékolják egymást, ezért aCoulomb-potenciál helyett az ún. Yukawa-potenciál érvényes:

Φ(r) =e

4πε0

e−r/λD

r, (2)

ahol λD =√

ε0Tne2

az ún. Debye-hossz.



A plazma jellemz® (dinamikai) paraméterei II.

Termikus sebesség:

vT =

√Te

me. (3)

Karakterisztikus id®skála:

τ =λDvT

=

√ε0me

e2n(4)

Karakterisztikus frekvencia, plazmafrekvencia:

fp =1τ

=

√e2n

meε0=ωp

2π, (5)

ahol ωp az ún. plazmafrekvencia.Ezek a paraméterek hasznosak lesznek az MHD alkalmazhatóságánakvizsgálatánál.


A kétfolyadék-elmélet egyenletei

A kétfolyadék-elmélet: Tömegmegmaradás

Az els® közelítés, amely elrugaszkodik a kinetikus elmélett®l, az ún.kétfolyadék-elmélet, amely az ionok és elektronok sokaságát mintegymástól különálló folyadékot ír le. Az egyenletek levezetésénél általánosmegmaradási tételekb®l fogunk kiindulni. Els®ként nézzük atömegmegmaradást zárt rendszer esetén:

∂ρσ∂t

+∇(ρσuσ) = 0, (6)

ahol ρσ = mσnσ, uσ pedig az átlagsebesség, ahol a σ index arra utal, hogyez külön-külön elektronokra és ionokra veend®. Ebb®l következik arészecskeszám-s¶r¶ségre vonatkozó egyenlet:

∂nσ∂t

+∇(nσuσ) = 0 (7)



A kétfolyadék-elmélet: az impulzusra vonatkozó összefüggés

Lagrange-koordinátákkal az impulzusmegmaradás a következ®:

d(mσnσuσ)

dt+∇Pσ = qσnσ(E + uσ × B) + Rσ, (8)

ahol Pσ a nyomástenzor, Rσ pedig a küls® er®k hatását leíró tag.A nyomástenzort bontsuk fel egy diagonális és egy o�diagonális tagösszegére:

Pσ = pσI + Πσ, (9)

ahol pσ a skalárnyomás, Πσ pedig a nyomástenzor azon része, amely afolyadék viszkozitását írja le.Euler-képben az impulzusmegmaradást a következ® egyenlet fogja leírni:

mσnσ

(∂uσ∂t

+ (uσ∇)uσ

)= −∇Pσ + qσnσ(E + uσ × B) + Rσ (10)



A kétfolyadék-elmélet: Az energiára vonatkozó kontinuitásiegyenlet

Dolgozzunk Lagrange-képben! Ekkor az egységnyi tömegre es® h®revonatkozó kontinuitási egyenlet a következ®:

ρdQ

dt= −∇q + RV , (11)

ahol q a h®�uxus, RV pedig a küls® h®forrás, jelen esetben ez ekvivalens aJoule-h®vel, illetve a folyadék viszkozitása miatti energiadisszipációval.Belátható, hogy ez a következ® alakot ölti:

RV = Πkl∂kul + ηj2, (12)

ahol j az árams¶r¶ség, η a fajlagos ellenállás (rezisztivitás).Írjuk át a fajlagos h®mennyiséget a következ®képpen:

dQ = pd

(1ρ

)+ dε (13)



Ekkor a 11-es összefüggés a következ® alakot ölti:

pρd

dt

(1ρ

)+ ρ

dε

dt= −∇q + Πkl∂kul + ηj2 (14)

A kontinuitási egyenlet felhasználásával vegyük észre, hogy:

d

dt

(1ρ

)= − 1

ρ2dρ

dt=

1ρ∇u (15)

Hasonló módon (Euler-képben):

ρdε

dt=

∂

∂t(ρε) +∇(ρεu). (16)



Az el®z®eket 14-be írva kapjuk a következ®t:

∂

∂t(ρε) = −∇(ρεu)− p∇u−∇q + Πkl∂kul + ηj2. (17)

Mint ismeretes, ideális gázra igaz az alábbi összefüggés:

ρε =p

γ − 1, (18)

ahol γ =cpcV. Ekkor a fönti egyenlet a következ® alakot ölti Euler-képben:

∂p

∂t+ u∇p = −γp∇u + (γ − 1)(−∇q + Πkl∂kul + ηj2). (19)

Amennyiben nincs irreverzibilis h®átadás, vagyis a folyadék ideális, azegyenlet a jól ismert adiabacitási feltételre redukálódik:

d

dt

(p

ργ

)= 0, (20)

ahol γ =cpcV.


Az MHD-közelítés

Az MHD-változók bevezetése

Vezessük be a következ® változókat:ρ = neme + nimi

u = nemeue+nimiui

ρj = −e(neue − Zniui)

p = pe + pi


Az MHD-közelítés

A Maxwell-egyenletek MHD-közelítésben

A Maxwell-egyenletek a következ®képp fognak kinézni:

∇E = ρtε0

∇× E = −∂B∂t

∇B = 0∇× B = µ0j + 1

c2∂E∂t

Az MHD-közelítésben nem engedünkmeg tértöltések jelenlétét, tehátρt = 0Emellett alacsony frekvenciásjelenségeket vizsgálunk, ekkor a 1

c2∂E∂t

tag elhanyagolható.


Az MHD-közelítés

Az Ohm-törvény

A hidrodinamikát és az elektrodinamikát összeköt® egyenlet a(di�erenciális) Ohm-törvény:

E + u× B = ηj. (21)

Érdekesség: Relativisztikusan ez az egyenlet E+u×B√1− u2

c2

= ηj lenne.

Ezek után küszöböljük ki az egyenletekb®l E-t! Ehhez írjuk fel aMaxwell-egyenleteket MHD-közelítésben:

∂B

∂t+∇× E = 0 (22)

E + u× B = ηj (23)

∇× B = µ0j. (24)

Ebb®l kapjuk a következ® összefüggést:

∂B

∂t+ η∇× j−∇× (u× B) = 0. (25)


Az MHD-közelítés

Az MHD-egyenletek konzervatív alakja: Impulzus

Most írjuk fel az MHD-egyenleteket megmaradási tételekként.Általánosságban egy megmaradási tétel a következ® alakoz ölti:

∂Uklmpq...

∂t=

∂

∂xiFiklmpq... (26)

A tömegmegmaradás triviális, ezért nézzük az impulzusra vonatkozóegyenletet:

ρ

(∂u

∂t+ (u∇)u

)= −∇p + j× B. (27)

Vegyük észre, hogy:

(j× B)k =1µ0εklmεlpq∂pBqBm =

1µ0

(Bm(∂mBk)− Bm(∂kBm)) =

=1µ0∂m(BkBm −

B2

2δkm), (28)


Az MHD-közelítés

valamint az egyenlet bal oldala a tömegmegmaradásból:

ρ

(∂u

∂t+ (u∇)u

)=∂(ρu)

∂t+∇(ρu ◦ u). (29)

Ebb®l a feszültségtenzor T:

T = ρu ◦ u− 1µ0

B ◦ B +

(p +

B2

2µ0

)I− Π. (30)


Az MHD-közelítés

Az MHD-egyenletek konzervatív alakja: Energia

Az összenergia több tagból fogg összeállni:

E =12ρu2 + ρε+

B2

2µ0. (31)

Az erre vonatkozó megmaradási egyenlet a levezetést mell®zve (b®vebbenlásd pl. SCHNACK, Dalton D. Lectures in magnetohydrodynamics: with anappendix on extended MHD. Springer, 2009., pp. 46-48)

∂E

∂t= −∇

{[(ρε+

12ρu2)I + P

]u +

1µ0

E× B + q

}. (32)

Itt nevezzük el ΓE -nek az egyenlet jobb oldalán álló energiaáram-s¶r¶ségtenzort, vagyis az energiára vonatkozó megmaradási egyenlet a következ®:

∂E

∂t+∇ΓE = 0 (33)


Az iMHD, példák

Az iMHD-egyenletek

Szorítkozzunk arra az esetre, amikor ideális vezet® a plazma, vagyis η = 0.Ekkora kapjuk az iMHD-egyenleteket:

∂ρ

∂t+∇(ρu) = 0 (34)

ρ

(∂u

∂t+ (u∇)u

)= −∇p + j× B (35)

∂p

∂t+ u∇p + γp∇u = 0 (36)

∂B

∂t= ∇× (u× B) (37)

∇B = 0 (38)

(39)


Az iMHD, példák

Érdekesség: kvázineutralitás feltétele

Vegyünk egy tiszta hidrogénplazmát, amelyre igazak az alábbiak:

∂ne∂t

+∇(neue) = 0∂ni∂t

+∇(niui) = 0 (40)

A két egyenletet a töltésekkel megszorozva, majd összeadva kapjuk akövetkez®t:

∂σ

∂t+∇j = 0, (41)

ahol σ a töltéss¶r¶ség. Ha most alacsony frekvenciás folyamatokat nézünk,akkor a Maxwell-egyenletekb®l:

∇j = 0 → ∂σ

∂t= 0. (42)

Ebb®l ni = ne következik, ami a kvázineutralitás feltétele volt.


Az iMHD, példák

Példa egyensúlyi kon�gurációra: A z-pinch

Az impulzusra vonatkozó iMHD-egyenlet alapján a statikus egyensúlylétezésének feltétele:

j× B = ∇p. (43)

Mivel a hengeren belül járams¶r¶ség¶ áram folyik, így azáram sugártól való függése akövetkez®:

I (r) =

r∫0

2πr ′jz(r ′)dr ′ (44)

Így az árams¶r¶ség:

j(r) =1

2πr∂I

∂r(45)


Az iMHD, példák

Az Ampére-törvényb®l a mágneses tér:

B(r) =µ0I (r)

2πr(46)

Így az egyensúlyra vonatkozó di�erenciálegyenlet:

r2∂p

∂r=

µ08π2

∂I 2

∂r(47)

Tegyük fel, hogy az árams¶r¶ség állandó (j), ekkor a megoldás:

p(r) =µ0πj

2

4(a2 − r2), (48)

ahol a a henger sugara, tehát a nyomás parabolikus pro�lú. Ebb®lkövetkezik, hogy létezik egyensúly, amely azonban er®sen instabil.


Az iMHD, példák

A viriáltétel

A tétel szerint bármely iMHD-egyensúly csak akkor állhat fenn, ha azt aplazmán kívül folyó elektromos áramok fenntartják. Az egyensúly feltétele amár de�niált T feszültségtenzor divergenciájának elt¶nése. Vizsgáljunk pl.egy toroidális rendszert. Ekkor nézzük a következ® mennyiséget:

∇(rT) = Sp(T) = 3p +B2

2µ0(49)

A bizonyítást indirekten végezzük el: tegyük fel, hogy lehetséges olyankon�guráció, ahol a plazma küls® áramok nélkül is egyensúlyban lehet.Ekkor a plazmától távol a plazmát mint mágneses dipólt közelíthetjük,vagyis a mágneses tér a plazmától távol arányos 1

r3-bel.


Az iMHD, példák

Ekkor ha integráljuk a fenti viriált a teljes térfogatra:∫(3p +

B2

2µ0)dV =

∮(Tr)dF (50)

Használjuk fel, hogy a végtelenben p = 0. Ekkor az egyenlet jobb oldalatartani fog 0-hoz, ha r tart végtelenhez, a bal oldalra ez azonban nem igaz,ami ellentmondás, ezáltal a feltevésünk, miszerint van olyan kon�guráció,ahol a plazma egyensúlyban van küls® áramok nélkül, hamis.


vass máté - eötvös loránd universityglu.elte.hu/~gyorgyi/teaching/kte/program16/mhd.pdf ·...

Documents