ve idefinitie ateveccinnaattate aa uunuuii ppuunncctt · clasa a xi-a - 1 elemente de analiza...
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Clasa a XI-a - 1
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
Definitie vveecciinnaattaattee aa uunnuuii ppuunncctt :
- Fixam un punct R a ;
- Se numeste vecinatate a punctului a orice multime RV care contine un interval deschis
centrat in a , adica : in acest caz exista 0r astfel incat Vrara , .
Definitie ppuunncctt ddee aaccuummuullaarree (( ppuunncctt lliimmiittaa )) :
-- Fie A o submultime nevida din R : RA ;
-- Un punct Ra se numeste punct de acumulare (sau punct limita) pentru multimea A daca
VV a (= multimea vecinatatilor punctului a ) sa rezulte AaV .
-- aceasta definitie spune ca un punct Ra este punct de acumulare pntru multimea A daca
orice vecinatate V a punctului a mai contine si alte puncte din A , diferite de a , adica exista :
axAVx cu
Definitie ppuunncctt iizzoollaatt :
-- Fie A o submultime nevida din R : RA ;
- Un punct Ax 0 se numeste punct izolat al multimii A daca exista cel putin o vecinatate
V a punctului xAVx 00 incat astfel .
Observatie :
Orice punct al unei multimi A este fie punct de acumulare , fie punct izolat .
Clasa a XI-a - 2
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
Fixam o functie RDf : , RD si un punct x0 punct de acumulare a lui
D , Rx 0 .
Definitie ccrriitteerriiuull ccuu vveecciinnaattaattii :
- Functia f are limita in punctul x0 , egala cu si scriem :
xfxx
lim0
daca pentru orice vecinatate V a lui exista o vecinatate U a lui x0 astfel incat pentru orice :
VxfxUDx \ 0
Toreme de caracterizare a lliimmiitteeii uunneeii ffuunnccttiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt :
Criteriul : - .
- Fie RDf : , RD , o functie si x0 punct de acumulare a lui D , Rx 0 ;
- Functia f are limita in punctul xx 0 , egala cu R si scriem :
xfxx
lim0
daca
si numai daca 0 exista numarul real 0 , depinzand de , astfel incat pentru
orice \ 0xDx , cu proprietatea 0xx sa rezulte : xf .
Criteriul : cu siruri .
- Fie RDf : , RD , o functie si x0 punct de acumulare a lui D , Rx 0 ;
- Functia f are limita in punctul xx 0 , egala cu R , finit sau infinit , si scriem :
xfxx
lim0
daca pentru orice sir xaxDaa nnnn 000 , \ ,
avem : af n .
Observatie :
DDaaccaa eexxiissttaa ,, lliimmiittaa uunneeii ffuunnccttiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt eessttee uunniiccaa ..
Clasa a XI-a - 3
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
DDeeffiinniittiiee :: LLiimmiittaa llaa ssttaannggaa ::
- Fie RDf : , RD , x0 punct de acumulare pentru multimea :
RxxDxxDD s si , 00
'
- Functia f are limita la stanga in punctul x0 egala cu s daca oricare ar fi vecinatatea V
a lui s , exista o vecinatate U a lui x0 , astfel incat pentru orice :
xx 0 , VxfxDUx \ 0
- Vom folosi notatiile : xfxfl
xxxx
s lim0
0
0
0
.
DDeeffiinniittiiee :: LLiimmiittaa llaa ddrreeaappttaa ::
-- Fie RDf : , RD , x0 punct de acumulare pentru multimea :
RxxDxxDD d si , 00
'
- Functia f are limita la dreapta in punctul x0 egala cu d daca oricare ar fi vecinatatea V
a lui d , exista o vecinatate U a lui x0 , astfel incat pentru orice :
xx 0 , VxfxDUx \ 0
- Vom folosi notatiile : xfxfl
xxxx
d lim0
0
0
0
.
Clasa a XI-a - 4
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
TTEEOORREEMMAA :: ddee ccaarraacctteerriizzaarree aa lliimmiitteeii uunneeii ffuunnccttiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt
ccuu aajjuuttoorruull lliimmiitteelloorr llaatteerraallee
- Fie RDf : , RD , x0 punct de acumulare pentru multimea D astfel incat sa
existe limitele laterale in x0 ( deci exista 00 xf , 00 xf ) ;
- Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
1). f are limita in punctul x0 ;
2). 00 xf = 00 xf
In aceste conditii :
xfxx
lim0
= 00 xf = 00 xf
- Aceasta teorema spune ca o functie are limita intr-un punct daca si numai daca exista limitele
laterale cu proprietatea ca sunt si egale .
OObbsseerrvvaattiiii ::
1). Daca Rbaf ,: si are limite in punctele a ,b in punctul a vorbim de limita laterala la
dreapta , iar in punctul b de limita laterala la stanga .
2). Limitele laterale se folosesc in urmatoarele situatii :
- in punctele in care o functie definita pe ramuri isi schimba expresia ;
- daca trecand la limita obtinem : 0
a ;
- daca domeniul de definitie este restrictiv , de exemplu : xxf 1ln 2 .
Clasa a XI-a - 5
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
Fie RDgf :, si x0 un punct de acumulare pentru D ;
Daca : 1lim0
xfxx
si 2lim0
xgxx
, RcR , , 21 atunci functia :
11)) gf are limita in x0 si xgxfxgfxxxxxx
limlimlim000
21
.
( Limita sumei este egala cu suma limitelor )
Caz execeptat : daca 2121 , sau ,
22)) fc are limita in x0 si xfccxfcxxxx
limlim00
1
.
( O constanta iasa in afara limitei )
33)) gf are limita in x0 si xgxfxgfxxxxxx
limlimlim000
21
.
( Limita produsului este egala cu produsul limitelor )
Caz execeptat : 0 daca 0 , sau , 0 2121
44))
g
f are limita in x0 si
xg
xf
xg
f
xx
xx
xx lim
lim
lim
0
0
0 2
1
., daca 02
( Limita catului este egala cu catul limitelor )
Cazuri execeptate :
daca 2121 , sau ,
55)) fg
are limita in x0 si
xfxfxxxx
xg
gxx
limlim0
lim
1
0
2
0
, daca 0xf .
Cazuri exceptate : 00 , 0 , 1
66)) f are limita in x0 si 1limlim00
xfxfxxxx
.
( Limita modulului este egala cu modulul limitei )
Clasa a XI-a - 6
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
CCrriitteerriiuull :: MMAAJJOORRAARRIIII ..
- Fie RDgf :, doua functii si x0 un punct de acumulare pentru D si V o vecinatate
a lui x0 .
- Daca xgxf , xxDVx 0 , si daca 0lim0
xgxx
atunci :
xfxx
lim0
CCoonnsseecciinnttee ::
1) Daca xgxf si
xgxx
lim0
atunci
xfxx
lim0
.
2) Daca xgxf si
xgxx
lim0
atunci
xfxx
lim0
.
TTrreecceerreeaa llaa LLiimmiittaa iinn IInneeggaalliittaattii ..
- Fie RDgf :, doua functii si x0 un punct de acumulare pentru D si V o vecinatate
a lui x0 .
- Daca xgxf , xxDVx 0 , si daca gf si au limite in punctul Rx 0
atunci :
xgxfxxxx
limlim00
CCoorroollaarr ::
Fie RDf : , Va a , ( V a = multimea vecinatatilor punctului a ) , f are limita in a
si VV a .
Daca 0xf , axDVx , atunci 0lim
xfax
.
Daca 0xf , axDVx , atunci 0lim
xfax
.
Daca xf , axDVx , atunci
xfax
lim .
Clasa a XI-a - 7
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
TTEEOORREEMMAA :: CCLLEESSTTEELLUUII ..
Fie trei functii RDhgf :,, , a un punct de acumulare pentru D , Va a si V o
vecinatate a lui a .
Daca :
1). xhxgxf , axDVx , .
2).
xhxfaxax
limlim
atunci g are limita in a si mai mult :
xgax
lim .
Schematic :
xhxgxf
.
TTEEOORREEMMAA :: (( ccrriitteerriiuu)) ..
Aceasta teorema este un alt rezultat important care permite calculul limitei unui produs de
functii :
Fie RDgf :, , doua functii si Va a , ( V a = multimea vecinatatilor punctului a ),
a punct de acumulare , si VV a .cu proprietatile :
1). Mxf , 0 , MDVx ( f marginita pe o vecinatate a lui a ) ;
2). 0lim
xgax
.
Atunci : 0lim
xgxfax
.
Limita produsului dintre o functie marginita si o functie de limita zero este zero !!!
Clasa a XI-a - 8
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
IInn cceellee eennuunnttaattee ssii ddiissccuuttaattee aanntteerriioorr aacceessttuuii ccaappiittooll ,, aamm vvaazzuutt ccaatteevvaa ooppeerraattiiii ccuu
lliimmiittee ddee ffuunnccttiiii ..PPeennttrruu ccaa eellee ssaa ddeevviinnaa ooppeerraabbiillee eessttee nneevvooiiee ddee ccuunnooaasstteerreeaa pprroocceedduurriiii ddee
ccaallccuull aa lliimmiitteelloorr pprriinncciippaalleelloorr ffuunnccttiiii..
VVoomm ddiissccuuttaa ssii ccaallccuullaa lliimmiittaa ffuunnccttiieeii ,, iinn ggeenneerraall ,, iinn ddoouuaa ccaazzuurrii ::
11)).. CCaanndd a eessttee ppuunncctt ddee aaccuummuullaarree ffiinniitt ;;
22)).. CCaanndd a eessttee ppuunncctt ddee aaccuummuullaarree iinnffiinniitt (( ddaaccaa eexxiissttaa )) ..
11 LLiimmiittaa :: ..
- Fie RRf : , cxf , Rc ;
- Atunci :
cxfax
lim , Ra
Clasa a XI-a - 9
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
22 LLiimmiittaa :: ..
- Fie functia polinomiala : RRf :
axaxaxaxaxaxf k
k
k
k
n
n
n
n 01
1
1
1
1 ..........
unde : 0 , ,0 , ankRa nk .
- Avem cazurile :
1). Daca a este un punct de acumulare finit atunci :
afxfax
lim
Deci limita unei functii polinomiale intr-un punct de acumulare finit a , se obtine inlocuind x cu a .
2). Daca a este un punct de acumulare infinit atunci :
n
n
n
naxax
axaxf limlim
Deci limita unei functii polinomiale la este aceeasi cu limita termenului de grad maxim .
1).
32lim2
1xx
x
......................................................................................................................
2).
xxx
75lim2
2
...........................................................................................................................
3).
722lim3
7xx
x
...................................................................................................................
4).
363lim22
0xx
x
...................................................................................................................
5).
xxxx
325lim336
0
.................................................................................................................
6).
622lim2
3xx
x
................................................................................................................
Clasa a XI-a - 10
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
7).
xxx
6lim4
1
.............................................................................................................................
8).
52lim23
3xex
x
x
.................................................................................................................
9).
xxxx
23lim .......................................................................................................................
10).
832lim23
xxxx
...........................................................................................................
11).
xxx
727lim2
...................................................................................................................
12).
xxxx
5lim24
.....................................................................................................................
13).
75lim23
xxxx
.............................................................................................................
14).
163lim4
xxx
.................................................................................................................
15).
2005lim3
xx
.........................................................................................................................
16).
xxxx
103lim23
..............................................................................................................
17).
36lim23
xxx
..................................................................................................................
18).
143lim25
xxxx
.........................................................................................................
Clasa a XI-a - 11
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
33 LLiimmiittaa :: ..
- Fie functia rationala : xQ
xPxf , RxQxRf 0)(:
unde P si Q sunt functii polinomiale :
axaxaxaxaxaxP i
i
i
i
k
k
k
k 01
1
1
1
1 ..........
bxbxbxbxbxbxQ j
j
j
j
l
l
l
l 01
1
1
1
1 ..........
unde : 0, , 0, , ,0 , , baljkiRba lkji .
- Distingem cazurile :
1). Subcazul 1 :
Daca a este un punct de acumulare finit cu proprietaea ca 0aQ ( deci a nu
este radacina pentru numitor ) atunci :
afaQ
aP
xQ
xPxf
axax
limlim
Subcazul 2 :
Daca a este un punct de acumulare finit cu proprietaea ca 0aQ ( deci a este
radacina pentru numitor ) atunci :
0
limlimaP
aQ
aP
xQ
xPxf
axax
caz de nedeterminare !!!
Discutia pt. acest subcaz 2 este mai complexa . Eliminarea acestiu caz de nedeterminare o vom
discuta in capitolele ce vor urma( cazurile de nedeterminare ale limitelor de functii ) .
O modalitate de a scapa de nedeterminare este ca sa descompunem polinoamele in factori primi si
prin reducerea termenilor asemenea sa ajungem la rezultatul final , dar aceasta numai in conditiile in
care si 0aP .
2). Daca a este un punct de acumulare infinit atunci :
inumitorulu gradul luinumaratoru gradul pentru , 0
pentru ,
inumitorulu gradul luinumaratoru gradul pentru ,
lim
lk
lkb
a
lkb
a
xfl
k
lk
l
k
x
Clasa a XI-a - 12
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1).
12
1lim 2
2
1 xx
xx
........................................................................................................................
2).
1
1lim 2
1 x
x
x
...................................................................................................................................
3).
18
12lim 2
2
1 xx
xxx
........................................................................................................................
4).
3
1lim
1 x
x
x
..................................................................................................................................
5).
123
52lim 2
2
xx
xx
x
......................................................................................................................
6).
14
5lim 23
3
xx
x
x
........................................................................................................................
7).
3
52lim
2
x
xx
x
........................................................................................................................
8).
13
7536lim 2
4
xx
xx
x
..................................................................................................................
9).
8
2lim 2
45
x
xxx
...............................................................................................................................
10).
1
2lim 2
1 xx
xx
...........................................................................................................................
11).
23
41lim 3
2
x
xx
x
..................................................................................................................
12).
1
12lim
2
1 x
xxx
........................................................................................................................
13).
1
1lim 3
2
1 x
xxx
...........................................................................................................................
14).
158
152lim 2
2
3 xx
xx
x
......................................................................................................................
Clasa a XI-a - 13
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
15).
4
1lim
2 2
2
2 x
x
x
...............................................................................................................................
16).
12
1lim 2
2
1
2
xx
xx
........................................................................................................................
17).
2
3
2
4
15
lim2
2
2
3 xx
xx
x
.......................................................................................................................
18).
20
25lim 2
2
1 xx
x
x
.......................................................................................................................
19).
xx
xx
x4
4
0lim ..................................................................................................................................
20).
x
xx
x4
34
0lim ..................................................................................................................................
21).
85
42lim 2
2
x
xxx
.............................................................................................................................
22).
xx
xx
x 7
4lim 2
43
...............................................................................................................................
23).
1
2lim
2
x
xxx
...............................................................................................................................
24).
2315
52lim 3
23
x
xx
x
........................................................................................................................
25).
1
153lim
2
x
xx
x
......................................................................................................................
26).
xx
xxx 3
2lim 2
2
...............................................................................................................................
27).
xx
x
x2
1lim .................................................................................................................................
28).
4lim 2
23
x
xx
x
.................................................................................................................................
29).
xx
xx
x 3
122lim 2
....................................................................................................................
Clasa a XI-a - 14
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
44 LLiimmiittaa :: ..
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Cazul radicalilor de ordin par ( kn 2 ) : avem functia radical , unde se impune
conditia de existenta a radicalului de ordin par ,
Nkxxff k *2 , , ,0,0:
cu subcazurile :
Subcazul 1 : Daca ,0a , a punct de acumulare finit , atunci :
k
ax
k
ax
ax 22limlim
Subcazul 2 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
k
x
k
x
x 22limlim
Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
existanux k
x
k
x
limlim22
deoarece nu putem calcula radical de ordin par dintr-un numar negativ !!!
II. Cazul determinantilor de ordin impar ( 12 kn ) : avem functia radical , caz in care
nu avem de pus nici o conditie de existenta a radicalului ,
NkxxfRRf k *12 , , :
cu subcazurile :
Subcazul 1 : Daca a punct de acumulare finit , atunci :
1212limlim
k
ax
k
ax
ax
Subcazul 2 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
1212limlim
k
x
k
x
x
Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
1212limlim
k
x
k
x
x
Clasa a XI-a - 15
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1).
xxx
3
3lim ...............................................................................................................................
2).
1lim2
xx
...........................................................................................................................
3).
x
x
xx 3
4lim
2
22
..............................................................................................................................
4). 4
lim2
x
x
x
..............................................................................................................................
5).
1
1lim
4
2
x
xx
x
...........................................................................................................................
6).
1lim2
2xx
x
........................................................................................................................
7).
3
2lim xx
........................................................................................................................................
8).
5
32lim xx
.......................................................................................................................................
9).
5lim xx
........................................................................................................................................
10).
xxlim
0
........................................................................................................................................
11).
xxx
42
25lim .....................................................................................................................
12).
16lim0
xxx
..........................................................................................................................
13).
xxxxlim ...................................................................................................................
14).
3 3 3lim xxxx
...................................................................................................................
15). 1
limx
xx
x
...............................................................................................................................
16).
3 35
322lim xxx
x
.................................................................................................................
Clasa a XI-a - 16
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
55 LLiimmiittaa :: ..
- Fie functia exponentiala : 1 , 0 , , ,0: bbbxfRf x .
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Daca 1b atunci distingem urmatoarele subcazuri :
Subcazul 1 : Daca a punct de acumulare finit , atunci :
bbax
ax
lim
Subcazul 2 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
bbb
x
x
x
axlimlim
Distingem la acest subcaz urmatoarea situatie :
Znb
xx
n
x
, 0lim functia exponentiala este mai mare decat functia polinomiala !!!
Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
0limlim
bbb
x
x
x
ax
II. Daca 10 b atunci distingem urmatoarele subcazuri :
Subcazul 1 : Daca a punct de acumulare finit , atunci :
bbax
ax
lim
Subcazul 2 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
0limlim
bbb
x
x
x
ax
Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
bbb
x
x
x
axlimlim
Clasa a XI-a - 17
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1).
2
1lim
2
x
x
......................................................................................................................................
2).
5
1lim
x
x
......................................................................................................................................
3).
6lim3
x
x
...........................................................................................................................................
4).
5limx
x
..........................................................................................................................................
5).
7
5lim
x
x
.....................................................................................................................................
6).
10limx
x
...................................................................................................................................
7).
3
1lim
x
x
..................................................................................................................................
8).
e
xx
x
152
lim2
.................................................................................................................................
9).
e xx
x
152
lim .................................................................................................................................
10).
e
xx
x
23
lim ..................................................................................................................................
11).
3
1lim
924
xxx
x
...........................................................................................................................
12).
04.0lim2
3xx
x
.........................................................................................................................
13).
e x
x
x
6
1
0lim ........................................................................................................................................
14).
10lim 1
52
2
5
x
x
x
....................................................................................................................................
15).
a
xxx
x
1324
lim stiinnd ca : 10 a ? ...................................................................................
16).
e
x
x
2
lim ........................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 18
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
66 LLiimmiittaa :: ..
- Fie functia logaritmica : 1 , 0cu , log , ,0: bbxxfRfb
conditiile
de existenta ale logaritmilor .
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Daca 10 b atunci distingem urmatoarele subcazuri :
Subcazul 1 : Daca 0a punct de acumulare finit , atunci :
xxfb
xx
xx
loglimlim00
00
Subcazul 2 : Daca ,0a punct de acumulare finit , atunci :
axxfbb
axax
logloglimlim
Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
xxfb
xx
loglimlim
II. Daca 1b atunci distingem urmatoarele subcazuri :
Subcazul 1 : Daca 0a punct de acumulare finit , atunci :
xxfb
xx
xx
loglimlim00
00
Subcazul 2 : Daca ,0a punct de acumulare finit , atunci :
axxfbb
axax
logloglimlim
Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :
xxfb
xx
loglimlim
Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei .
Clasa a XI-a - 19
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1).
xx
loglim2
1
4
1 ....................................................................................................................................
2).
xx
loglim3
1
3
....................................................................................................................................
3).
xx
loglim2
1 ....................................................................................................................................
4).
x
xx
lglim00
.......................................................................................................................................
5).
x
xx
loglim5
2
00
....................................................................................................................................
6).
xx
3lnlim ....................................................................................................................................
7).
xex
lnlim2
.......................................................................................................................................
8).
x
xx
loglim 7
00
....................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 20
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
77 LLiimmiittaa :: ..
LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii sssiiinnnuuusss :
- Fie functia : 1,1:sin R .
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Daca a este un punct de acumulare finit , Ra , atunci :
axax
sinsinlim
Deci limita functiei sin intr-un punct de acumulare finit Ra se obtine inlocuind pe ax cu
II. Daca a este un punct de acumulare infinit , a , atunci functia sinus nu are limita !!!
LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii cccooosssiiinnnuuusss :
- Fie functia : 1,1:cos R .
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Daca a este un punct de acumulare finit , Ra , atunci :
axax
coscoslim
Deci limita functiei cos intr-un punct de acumulare finit Ra se obtine inlocuind pe ax cu
II. Daca a este un punct de acumulare infinit , a , atunci functia cosinus nu are limita !!
Clasa a XI-a - 21
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii tttaaannngggeeennntttaaa :
- Fie functia : RZkkR
2
12:
tg .
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Daca a apartine domeniului de definitie atunci :
axax
tgtg
lim
Se poate lua : aa
a
x
x
x
xx
ax
ax
axax
tgtg
cos
sin
coslim
sinlim
cos
sinlimlim
Deci limita functiei tg intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe
ax cu
II. Daca 2
a , atunci :
x
x
x
tglim
2
2
,
x
x
x
tglim
2
2
Clasa a XI-a - 22
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii cccoootttaaannngggeeennntttaaa :
- Fie functia : RZkkR :ctg .
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Daca a apartine domeniului de definitie atunci :
axax
ctgctg
lim
Se poate lua : aa
a
x
x
x
xx
ax
ax
axax
ctgctg
sin
cos
sinlim
coslim
sin
coslimlim
Deci limita functiei ctg intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe
ax cu
II. Daca 0a , atunci :
xxx
ctglim00
,
xxx
ctglim00
Clasa a XI-a - 23
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
88 LLiimmiittaa :: ..
LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii aaarrrcccsssiiinnnuuusss :
- Fie functia :
2,
21,1:arcsin
.
- Daca 1,1a , atunci :
axax
arcsinarcsinlim
LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii aaarrrccccccooosssiiinnnuuusss :
- Fie functia : ,01,1:arccos .
- Daca 1,1a , atunci :
axax
arccosarccoslim
LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii aaarrrccctttaaannngggeeennntttaaa :
- Fie functia :
2,
2:
Rarctg .
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Daca a apartine domeniului de definitie , Ra , atunci :
axax
arctgarctg
lim
Clasa a XI-a - 24
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
II. Daca a , atunci :
2 lim
xx
arctg , 2
lim-
xx
arctg
LLiimmiittaa ffuunnccttiieeii aaarrrccccccoootttaaannngggeeennntttaaa :
- Fie functia : ,0: Rarcctg .
- Distingem urmatoarele cazuri :
I. Daca a apartine domeniului de definitie , Ra , atunci :
axax
lim arcctgarcctg
II. Daca a , atunci :
0 lim
xx
arcctg ,
xx
lim-
arcctg
Clasa a XI-a - 25
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
99 LLiimmiittee :: ..
(( ccuu ffuunnccttiiii ttrriiggoonnoommeettrriiccee ))
I. 1sin
lim0
x
x
x
Generalizand :
1
sinlim xu
xu
ax
daca 0lim
xuax
II. 1arcsin
lim0
x
x
x
Generalizand :
1
arcsinlim xu
xu
ax
daca 0lim
xuax
III. 1
lim0
x
x
x
tg
Generalizand :
1
lim xu
xu
ax
tg daca 0lim
xuax
IV. 1
lim0
x
x
x
arctg
Generalizand :
1
lim xu
xu
ax
arctg daca 0lim
xuax
Clasa a XI-a - 26
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
EExxeerrcciittiiuull nnrr.. 11 :: Calculati limitele urmatoare :
1).
xx
sinlim0
......................................................................................................................................
2).
xx
sinlim2
......................................................................................................................................
3).
xx
sinlim
6
......................................................................................................................................
4).
xx
sinlim .....................................................................................................................................
5).
153lim2
3xx
x
....................................................................................................................
6).
13lim2
xx
x
......................................................................................................................
7).
xx
coslim2
......................................................................................................................................
8).
xx
coslim
4
.....................................................................................................................................
9).
3coslim2
xx
............................................................................................................................
10).
xx
coslim
....................................................................................................................................
11).
32coslim23
xx
x
..............................................................................................................
12).
xx
lim
3
tg
.......................................................................................................................................
13).
xx
lim0
tg .......................................................................................................................................
14).
x
x
x
lim
2
32
3
tg
......................................................................................................................................
15).
x
x
x
lim
2
52
5
tg
.....................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 27
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
16).
xx
3 lim5
ctg ...................................................................................................................................
17).
xx
3 lim
6
ctg
...................................................................................................................................
18).
x
x
x
6 lim
3
3
ctg
...................................................................................................................................
19).
xxxx
23 lim2
00
ctg .....................................................................................................................
20).
xxx
75 lim2
1
ctg ....................................................................................................................
21).
xx
arcsinlim1
................................................................................................................................
22).
xxx
32 arcsinlim2
0
...............................................................................................................
23).
xx
arcsinlim
2
2
..............................................................................................................................
24).
xx
arcsinlim1-
................................................................................................................................
25).
xx
arccoslim1
...............................................................................................................................
26).
xx
arccoslim
2
1
...............................................................................................................................
27).
xx
arccoslim0
...............................................................................................................................
28).
xx
arccoslim
2
2
.............................................................................................................................
29).
xx
lim
2
2
arcctg .............................................................................................................................
30).
xx
lim1
arcctg ..............................................................................................................................
31).
xx
lim3
arcctg ...............................................................................................................................
32).
2 lim
xx
arcctg ....................................................................................................................
33).
235 lim3
x
x
arcctg ..............................................................................................................
Clasa a XI-a - 28
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
34).
xx
lim
2
3
arctg ...............................................................................................................................
35).
xx
lim1
arctg .................................................................................................................................
36).
2 lim5
xx
arctg .......................................................................................................................
37).
33 lim
xx
arctg ....................................................................................................................
38).
xxx
23 lim3
arctg ...............................................................................................................
EExxeerrcciittiiuull nnrr.. 22 ::
Calculati limitele urmatoare :
1). x
x
x
5sinlim
0
……………………………………………………………………………………...
2). x
x
x sin
5sinlim
0
……………………………………………………………………………………...
3).
1
55sinlim 2
1 x
x
x
………………………………………………………………………………..
4). x
x
x 2sin
4sinlim
2
……………………………………………………………………………………...
5).
x
xx
x
sin5sinlim
0
……………………………………………………………………………..
6).
x
xx
x cos
sin1sin1lim 4
2
0
…………………………………………………………………….
7). x
x
x 10sin
5sinlim
0
…………………………………………………………………………………….
8). nx
mx
x sin
sinlim
0
……………………………………………………………………………………..
9). x
xx
1sinlim ……………………………………………………………………………………..
Clasa a XI-a - 29
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
10).
23
23sinlim 2
3
2 xx
x
x
………………………………………………………………………………
11). x
x
x2
3
0 sin
sinlim ………………………………………………………………………………………
12).
1
1sinlim
31 x
x
x
……………………………………………………………………………….
13).
x
xx
x2
22
0
2sinsinlim …………………………………………………………………………...
14).
23sin
2sinlim 2
2
2 xx
xxx
………………………………………………………………………...
15).
x
xxx
x3
0
3sin2sinsinlim ……………………………………………………………………..
16). x
x
x
4sin
sinlim
1
…………………………………………………………………………………….
17). x
x
x
3 lim
0
tg ………………………………………………………………………………………
18). x
x
x 10
5 lim
0 tg
tg ……………………………………………………………………………………..
19.).
1
1 lim 2
1 x
x
x
tg ………………………………………………………………………………….
20). x
x
x
2arcsinlim
0
………………………………………………………………………………….
21).
9
3arcsinlim 2
3 x
x
x
……………………………………………………………………………...
22).
4
103arcsinlim 2
2
2 x
xx
x
……………………………………………………………………
23). x
x
x arcsin
2sinlim
0
…………………………………………………………………………………...
Clasa a XI-a - 30
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
24).
2arcsin
1sinlim 2
2
1 xx
xx
………………………………………………………………………
25). x
xx
2
3
0 arcsin
lim
tg …………………………………………………………………………………..
26). xx 7
3x lim
0 arctg
arctg …………………………………………………………………………………..
27). x
x
x 9
3 lim
0 tg
tg ………………………………………………………………………………………
28).
1
1 lim 2
1 x
x
x
tg …………………………………………………………………………………..
29).
x
x
x 3arcsin
2sinlim
0 tg
tg
………………………………………………………………………………..
30).
23sin
1xarcsin lim 2
2
1 xxarctgx
tg ………………………………………………………………..
31). x
x
x 4
5sinlim
0
……………………………………………………………………………………...
32).
x
xx
x
sin 2lim
0
tg ……………………………………………………………………………...
33). x
x
x 2
sinlim 2
2
0 tg ……………………………………………………………………………………...
34).
xx
x
x cossin
1 lim
4
tg
………………………………………………………………………………
35).
x
xx
x
1cos lim
0
tg …………………………………………………………………………...
36).
x
x
x 6
sin21lim
6
…………………………………………………………………………………
37). x
x
x 5sin
4arcsinlim
0
………………………………………………………………………………….
38).
xarctg
tgx
x sin
arcsinlim
0
………………………………………………………………………………
39).
xx
xx
x 3sin
2sinlim
0
…………………………………………………………………………………
Clasa a XI-a - 31
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
40).
xx
xx
x 7sin
5 lim
0
tg …………………………………………………………………………………
41). x
x
x2
2
0
5sinlim ……………………………………………………………………………………..
42). x
x
x cos1lim
2
0
………………………………………………………………………………...
43).
1
1 lim
4x
x
x ctg
tg
…………………………………………………………………………………..
44).
1 3
3 lim
3x
x
x ctg
tg
……………………………………………………………………………….
45).
x
x
xx
sin
arcsin2lim
11
…………………………………………………………………………….
46).
2
2 lim
2 tgtg
arctgarctg
x
x
x
………………………………………………………………………..
47).
x
xx
x 2cos
2sinlim
4
tg
……………………………………………………………………………...
48).
xx
x
x 2sin
cos1lim
3
0
………………………………………………………………………………….
Clasa a XI-a - 32
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1100 LLiimmiittaa :: ..
- Fie functiile : FEf : , RFg : , RFE , , a punct de acumulare pentru E .
- Putem vorbi de compunerea functiei g cu f : REfgh : .
- Ne intereseaza in ce conditii functia compusa are limita in punctul a .
Aceasta problema este rezolvata de urmatoarea Teorema :
TTEEOORREEMMAA ..
Daca :
1). bxfax
lim ;
2). bxf , pentru orice ax , Ex ;
3).
ygby
lim
atunci :
ygxfgbyax
limlim
1).
2sinlim
2
xx
..........................................................................................................................
2).
4lim
4
xtgx
...........................................................................................................................
3).
e xx
12
1
1lim .....................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 33
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1111 LLiimmiittaa :: ..
- Fie functiile : REgf :, , RE , iar a punct de acumulare pentru E ;
- Presupunem ca 0xf , Ex ;
- In acest caz puterea : xfxg
este definita .
- Are loc urmatoarea Teorema :
TTEEOORREEMMAA ..
Daca :
1). 1lim
xfax
;
2). 2lim
xgax
;
3).
12 are sens
atunci : functia xfxg
are limita in a si mai mult
xfxfax
xgxg
ax
ax
limlimlim
( Limita se distribuie in baza si in exponent )
CCaazzuurrii eeexxxccceeeppptttaaattteee :
1). 00
, cand : 0 , 0 21 ;
2). 0
, cand : 0 , 21 ;
3). 1
, cand : 21 , 1 ;
Clasa a XI-a - 34
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
CCaazzuurrii pppaaarrrtttiiicccuuulllaaarrreee :
I. Daca :
1). cxg
xfxfax
cc
axlimlim
exceptand cazul cand :
01 si 0c
2). Pentru n
c1
, Nn* , 2n avem :
n
ax
n
ax
xfxf limlim
( Limita radicalului este egala cu radicalul limitei )
II. Daca 0 bxf , atunci :
bb
xgxg
ax
axlim
lim
III. Daca 0 xxf , Rrxg ,
atunci :
exxrr ln
si limita , cand exista :
eexxrxr
ax
r
ax
ax
lnln limlimlim
Clasa a XI-a - 35
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1).
5lim
2x
x
........................................................................................................................................
2).
3lim 52
2
x
x
x
.......................................................................................................................................
3).
12
5lim
23
2 x
xxx
x
........................................................................................................................
4).
x
xx
x2
2
4
32lim
3
0
..........................................................................................................................
5).
56
23lim 2
2 5
223
3
x
x xx
xx
x
.....................................................................................................................
6).
12
15lim 2
2
x
x
x
.............................................................................................................................
7).
13
3lim 2
21
x
x x
x
x
.........................................................................................................................
8).
5
24lim
2
0 x
xxx
....................................................................................................................
9).
x
x x
x 31
4lim 2
21
............................................................................................................................
10).
3
1lim
23
3
5
54
xx
xx
x
............................................................................................................................
11).
32lim 2
21
3
3
x
xx
x
x
.....................................................................................................................
12).
53
12lim
2
2
42
x
x x
x
x
.........................................................................................................................
13).
2
6lim
2
2 x
xxex
x
...................................................................................................................
Clasa a XI-a - 36
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
14).
exx
x1
001
1lim .................................................................................................................................
15).
x
ex
x
1lim
3
0
................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 37
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1122 LLiimmiittee :: ..
A Limita remarcabila :
ex
x
x
11lim .
- Trecand la limita in baza si exponent se obtine nedeterminarea : 1
care cu ajutorul
acestei formule poate fi eliminate .
- Daca punem : x
y1
, atunci cand x rezulta 0y si avem :
ey y
y
1lim1
0
- Mai general avem , folosind si teorema de la limite de functii compuse :
e
xu
xu
ax
11lim daca :
xuax
lim
sau
exu xu
ax
1lim1
daca : 0lim
xuax
Clasa a XI-a - 38
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
1).
1
1lim
x
xx
x
…………………………………………………………………………………….
2).
x
x
x 5
21lim ...............................................................................................................................
3).
x xx
sin1lim 32
2
..........................................................................................................................
4).
13
13lim
12
x
xx
x
...........................................................................................................................
5).
1lim
x
xx
x
.................................................................................................................................
6).
23
4lim
1
1
1 x
x x
x
x
.........................................................................................................................
7).
x
xx
x2
21
lim
4
.............................................................................................................................
8).
13
32lim 2
2
xx
xxx
x
....................................................................................................................
9).
x x
x
sinlim 2
1
2
..........................................................................................................................
10).
x x
x
413lim 3
1
3
...........................................................................................................................
11).
2
1lim
x
xx
x
................................................................................................................................
12).
2
1lim
2x
xx
x
...........................................................................................................................
13).
13lim 2
2
xx
xxx
x
.................................................................................................................
Clasa a XI-a - 39
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
B Limita remarcabila :
11ln
lim0
x
x
x
.
- Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem :
1
1lnlim
xu
xu
ax
. daca : 0lim
xuax
1).
5ln13lnlim xxx
.......................................................................................................
2).
x
ex
x
1lnlim
0
.............................................................................................................................
3).
x
x
x
101lnlim
0
..........................................................................................................................
4).
x
x
x 2sin1ln
sin1lnlim
0
......................................................................................................................
5).
1ln2lnlim xxxx
......................................................................................................
6).
x
x
x 3sin
arcsin1lnlim
0
...................................................................................................................
7).
x
xtg
x 6
31lnlim
0
.........................................................................................................................
8).
x
x
x 3
coslnlim 2
0
..............................................................................................................................
9).
1
12ln
1lim
2
0 x
x
xx
......................................................................................................................
Clasa a XI-a - 40
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
10).
ex
exx
x
x5
23
ln
lnlim ........................................................................................................................
11).
x exex
ex
lnlim 3
1
......................................................................................................................
12).
12arcsin1ln
1sin1lnlim
0 x
x
x
......................................................................................................
13).
x
x
x 41ln
21lnlim
0
..........................................................................................................................
14).
xtg
xarctg
x 41ln
21lnlim
0
................................................................................................................
15).
x
x
x cos
cos21lnlim
2
...................................................................................................................
16).
13arcsin1ln
11lnlim
1 x
xtg
x
......................................................................................................
17).
x
tgx
x 21lnlim
0
..........................................................................................................................
18).
x
x
x ln
11lim
ln2
........................................................................................................................
19).
xx
x
x 1ln32lim
0
.............................................................................................................
20).
xx
xx
x 51ln41ln
31ln21lnlim
0
....................................................................................................
21).
x xx
coslim 2
1
0
..............................................................................................................................
22).
xtgx
xxlim
00
.......................................................................................................................................
23).
xx
xx
1lnlim00
...........................................................................................................................
24).
xx xx
sincoslim arcsin2
1
0
...........................................................................................................
25).
xx
x
x
1sin
1coslim .................................................................................................................
Clasa a XI-a - 41
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
C Limita remarcabila :
0 , ln1
lim0
aax
ax
x
.
- Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem :
0 , ln
1lim
aaxu
axu
ax
. daca : 0lim
xuax
- Daca ea avem :
1ln1
lim0
ex
ex
x
.
sau :
1ln
1lim
exu
exu
ax
. daca : 0lim
xuax
1).
x
ex
x 6
1lim
3
0
..................................................................................................................................
2).
1
1lim 2
3
0 e
ex
x
x
..................................................................................................................................
3).
ee
eexx
xx
x2
43
0lim ................................................................................................................................
4).
3
82lim
3
3 xx
..................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 42
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
5).
x
ex
x
1lim
2
0
...................................................................................................................................
6).
x
ex
x 3
1lim
2sin
0
................................................................................................................................
7).
xx
eexx
x sin2sinlim
sin2sin
0
......................................................................................................................
8).
33
1lim
12
1 x
extg
x
.............................................................................................................................
9).
2
1lim
24arcsin
2 x
ex
x
........................................................................................................................
10).
1
1lim 2
22
0 e
exarctg
xarctg
x
........................................................................................................................
11).
x
ex
x
1lim
3
0
...................................................................................................................................
12).
1
1lim
3
2
5
3
0e
ex
x
x
.................................................................................................................................
13).
x
eexx
x 5lim
0
.................................................................................................................................
14).
x
extg
x 2
1lim
3
0
................................................................................................................................
15).
xx
eexx
x 3arcsin2arcsinlim
arcsin2arcsin
0
........................................................................................................
16).
12
1lim
13arcsin
1 x
ex
x
........................................................................................................................
17).
1lim
2
0 e
eex
xtgtgx
x
.............................................................................................................................
Clasa a XI-a - 43
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
D Limita remarcabila :
Rrrx
xr
x
, 11
lim0
.
Raax
xa
x
*
1
, 1
1lim
.
1).
x
x
x 3
121lim
5
0
.........................................................................................................................
2).
x
x
x
2
3
11lim
5
0
............................................................................................................................
3).
11
121lim
2 2
5
0 xx
x
x
..................................................................................................................
E Alte limite remarcabile :
1limlim1
00
xx x
x
x
xx
. 0lnlim00
xx
xx
.
x
en
x
xlim . 0
lnlim
x
xn
x
Clasa a XI-a - 44
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
VVoomm pprreezzeennttaa iinn cceellee ccee uurrmmeeaazzaa ccaatteevvaa tteehhnniiccii ddee ccaallccuull aa
lliimmiitteelloorr ddee ffuunnccttiiii ppeennttrruu aa uussuurraa rreezzoollvvaarreeaa aacceessttoorraa ..
I.
xfxaxfxaxa
n
x
nn
x0
1
10 lim.....lim
.
II.
xfx
n
axfxax
x
n nn
x
lim.....lim
11
1
III.
xfxxfxax
x
n nn
x
lim.....lim
1
1
IV.
xfxnxfxax
x
nn
x
lnlim.....lnlim1
1
V.
... xfxxfx
xx
limsinlim00
VI.
xfxxfx
xx
limlim00
tg
VII.
xfxxfx
xx
limarcsinlim00
VIII.
xfxxfx
xx
limlim00
arctg
Clasa a XI-a - 45
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
IX.
xfxxfx
xx
1limlnlim11
X.
xfxaxfa
x
x
x
limln1lim00
XI.
xfxaxfa
x
x
x
lim1lim11
XII.
0lnlim
0
xfxx daca exista o vecinatate U a lui x0 ca functia xf
x
1
sa fie marginita pe EU , unde REf : .
Clasa a XI-a - 46
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
AAssaa ccuumm aamm vvaazzuutt iinn ccaappiittoolleellee pprreecceeddeennttee llaa ccaallccuulluull lliimmiitteelloorr ddee
ffuunnccttiiii aappaarr ssii ccaazzuurrii ddee nneeddeetteerrmmiinnaarree ccaarree nnee oobblliiggaa ssaa ggaassiimm oo aallttaa
mmeettooddaa ddee rreezzoollvvaarree ddeeccaatt cceellee ccllaassiiccee ppeennttrruu aaffllaarreeaa lliimmiitteeii aacceessttoorr
ffuunnccttiiii ,, ddaaccaa eexxiissttaa ..
IInn ccoonnttiinnuuaarree vvoomm pprreezzeennttaa ccaazzuurriillee ddee nneeddeetteerrmmiinnaarree iinnttaallnniittee
pprreeccuumm ssii tteehhnniiccaa ddee lluuccrruu ppeennttrruu eelliimmiinnaarreeaa aacceessttoorr nneeddeetteerrmmiinnaarrii ..
11 LLiimmiittee :: :: 0
0 ..
a). Limite de functii rationale in puncte finite a :
Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin simplificarea cu axk
, Nk* .
1).
214
3lim 2
3 xx
x
x
.....................................................................................................................
2).
6
4lim 2
2
2 xx
x
x
..........................................................................................................................
3).
34
23lim 4
3
1 xx
xx
x
........................................................................................................................
Clasa a XI-a - 47
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
4).
23
22lim 2
24
1 xx
xx
x
.......................................................................................................................
5).
22
43lim 2
23
1 x
xxx
........................................................................................................................
6).
1
1lim
1 x
xn
m
x
..................................................................................................................................
b). Limite de functii rationale in compunere cu functia modul :
In acest caz se va explicita modulul :
1). x
x
xlim
0
..........................................................................................................................................
2).
1
1lim
1 x
x
x
....................................................................................................................................
3).
x
xx
x
2
0lim ................................................................................................................................
4).
x
xxx
2lim
2
0
............................................................................................................................
5).
2
2lim
2
2 x
x
x
...................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 48
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
c). Limite de functii definite prin cat de expresii irationale :
- Distingem cazurile :
I. Sub radicali de ordine diferite figureaza aceeasi expresie .
Se scimba variabila , notandu-se radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al
ordinelor radicalilor cu alta variabila , cand se ajunge la limita unei functii rationale .
1).
1
1lim
1 x
x
x
..................................................................................................................................
2).
4
8lim
364 x
x
x
.................................................................................................................................
3).
1
1lim
4
1 x
x
x
..................................................................................................................................
4).
12
1lim
3 2
2
1 xx
x
x
...................................................................................................................
5).
11
11lim
4
0 x
x
x
............................................................................................................................
II. Sub radicali figureaza expresii diferite.
Se amplifica numitorul si (sau) numaratoru; cu expresia conjugata.
1).
x
xx
x
11lim
0
.................................................................................................................
Clasa a XI-a - 49
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
2).
312
5lim
5 x
x
x
.........................................................................................................................
3).
x
x
x
11lim
3
0
............................................................................................................................
4).
x
xxx
11lim
2
0
......................................................................................................................
5).
xxxx
2lim ........................................................................................................................
6).
xxxx
3lim ......................................................................................................................
7).
xxxx
2lim2
......................................................................................................................
8).
xxxx
2lim2
.....................................................................................................................
9).
49
32lim 2
7 x
x
x
..........................................................................................................................
10).
65
47lim 2
2
3 xx
xx
........................................................................................................................
11).
34
6262lim 2
22
3 xx
xxxxx
......................................................................................
12).
3
62122lim
3 23 2
3 x
xxxxx
....................................................................................
13).
35
2lim
4 x
x
x
..........................................................................................................................
14).
21
63lim
3 23 x
x
x
..........................................................................................................................
15).
x
x
x 51
53lim
4
..........................................................................................................................
16).
39
24lim
2
2
0 x
xx
.......................................................................................................................
17).
xx
xx
x 2
6lim
2
..........................................................................................................................
Clasa a XI-a - 50
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
18).
11
11lim
2
0 x
xx
x
...............................................................................................................
19)
112
11lim
3
3
0 x
x
x
........................................................................................................................
20).
1
2312lim
3
1 x
xx
x
..........................................................................................................
21).
6
9335lim 2
23 3
2 xx
xxxxx
...........................................................................................
22).
211
224lim
4
3
5 x
xx
x
............................................................................................................
23).
xx
xxx
2
43 2
0
211lim ..............................................................................................................
d). Limite de functii trigonometrice :
- Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele :
1 arctg
lim arcsin
lim tg
lim sin
lim0000
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xuxuxuxu
1). x
x
x
sinlim
0
...................................................................................................................................
unde : 0,, R .
2). x
xx 5
3sinlim 2
2
0
.................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 51
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
3).
x
x
x2
0
cos1lim ...............................................................................................................................
4).
xx
tgx
x cossin
1lim 22
4
...................................................................................................................
5).
x
tgx
x 3
33lim
3
............................................................................................................................
6).
x
xx
x 2cos
cossinlim
4
........................................................................................................................
7). x
x
x cos1
sinlim
2
..............................................................................................................................
8).
xx
x
x cos
cos1lim 2
...............................................................................................................................
9).
x
x
x sin
1coslim 2
0
...........................................................................................................................
10). 11
2sinlim
0 x
x
x
............................................................................................................................
11).
11
cos1lim
0 xx
x
x
.......................................................................................................................
12).
xx
xx
x 3sin
2sinlim
0
............................................................................................................................
13).
xx
xx
x cossin1
cossin1lim
0
.................................................................................................................
14).
xx
xx
x 2sin2cos2
sincoslim
4
............................................................................................................
15).
1sin5cos2
8sin7cos6lim 2
2
6xx
xx
x
......................................................................................................
16).
x
x
x 3sin1
sin1lim
2
.............................................................................................................................
17).
x
xx
x
sin1sin1lim
0
.....................................................................................................
Clasa a XI-a - 52
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
e). Limite de functii trigonometrice :
- Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele :
11ln
lim0
xu
xu
xu ,
a
xu
axu
xu
ln1
lim0
, 0a .
1).
x
x
xx 4
21lnlim 2
00
............................................................................................................................
2).
x
x
xx
41lnlim
00
............................................................................................................................
3).
4
32lnlim 2
2 x
x
x
............................................................................................................................
4).
x
xx
x
2
0
31lnlim ..................................................................................................................
5).
x
arctgx
x
1lnlim
0
.....................................................................................................................
6).
x
arctgx
x 1lnlim
0
...............................................................................................................................
7).
x
xx
xx cosln
1lnlim
2
00
..................................................................................................................
8).
x
eexx
x
sin2sin
0lim ...........................................................................................................................
9).
x
ee xx
x
3
1lim
2
1
11
...............................................................................................................................
10).
xarctgxarctg
xx
x 11
1ln1lnlim
0
..............................................................................................
Clasa a XI-a - 53
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
22 LLiimmiittee :: ::
..
a). Limite de functii rationale :
Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin raportul termenilor de grad maxim .
1).
532
365lim 2
23
xx
xx
x
...................................................................................................................
2).
1
54lim
3
x
xx
x
.............................................................................................................................
3).
xx
xx
x25
23
3
325lim .....................................................................................................................
4).
554
122lim 4
24
xx
xx
x
..................................................................................................................
5).
xx
x
x 63
16lim 23
.............................................................................................................................
6).
128
36lim 5
2
xx
x
x
......................................................................................................................
Clasa a XI-a - 54
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
b). Limite de functii irationale , exponentiale , logaritmice :
Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin raportul termenilor de grad maxim .
1).
52
13lim
2
x
xxx
.....................................................................................................................
2).
13
2lim
2
x
xxx
...........................................................................................................................
3).
x
ex
x
1lnlim
3
..............................................................................................................................
4).
x
x
x
1lnlim ...............................................................................................................................
5).
66ln
35lnlim 25
3
xx
xxx
.................................................................................................................
6).
ee
eexx
xx
x32
2
lim ................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 55
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
33 LLiimmiittee :: :: - ..
a). Limite de functii rationale :
Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin aducerea la acelasi numitor .
1).
xxx 1
3
1
1lim 3
1
....................................................................................................................
2).
4
2
2
1lim 2
2 xxx
...............................................................................................................
3).
27
2
9
1lim 32
3 xxx
..........................................................................................................
4).
1
11lim
0 xxxx
....................................................................................................................
5).
9
6
3
1lim 2
33 xx
xx
...............................................................................................................
6).
x
xxx
x
xx 4
2312
12
3lim 2
22
......................................................................................
7).
233
4
45
2lim 22
1 xx
x
xx
x
x
..................................................................................
Clasa a XI-a - 56
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
b). Limite de functii irationale :
Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin amplificare cu conjugata .
1).
1lim2
xxx
......................................................................................................................
2).
11lim22
xxxx
...................................................................................................
3).
11lim22
xxxx
..................................................................................................
4).
42lim22
xxxx
......................................................................................................
5).
42lim22
xxxx
......................................................................................................
6).
12lim2
xxx
..................................................................................................................
7).
xxxx
1lim2
...................................................................................................................
8).
3 31lim xx
x
........................................................................................................................
9).
xxxx
274lim2
.............................................................................................................
10).
x
xx
x
49lim
2
.....................................................................................................................
11).
xxxxxlim .........................................................................................................
12).
xxxxxx
211lim ..........................................................................................
13).
3121lim 2
3
xxxxx
.......................................................................................
14).
xxxxxxlim .................................................................................................
Clasa a XI-a - 57
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
c). Limite de functii exponentiale , logaritmice :
1).
2ln12lnlim xxx
.....................................................................................................
2).
2ln1lnlim xxxx
.....................................................................................................
3).
ee
eexx
xx
x 3
2lim 32
3
..............................................................................................................................
44 LLiimmiittee :: :: 0 ..
1).
xctgxxlim
0
....................................................................................................................................
2). x
xx
sinlim ..................................................................................................................................
3).
xxx
cosln1
lim 20
..........................................................................................................................
4).
tgxxx 2lim
2
.........................................................................................................................
5). 2
1lim1
xtgx
x
..........................................................................................................................
Clasa a XI-a - 58
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
6).
eex xx
x
1
112
lim ..........................................................................................................................
7). x
xxxx
1sin1lim
234 ....................................................................................................
8). 2
limsinsin
1
xtgee
axa
x
................................................................................................................
9).
14lim
x
xarctgx
x
...........................................................................................................
10).
22
1lim
x
xarctg
x
xarctgx
x
..........................................................................................
55 LLiimmiittee :: :: 1
..
Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand :
exu xu
xu
1lim1
0
1).
x x
x
6lim 5
1
5
................................................................................................................................
2).
x
x
x
31lim .................................................................................................................................
3).
1lim
x
xx
x
.................................................................................................................................
4).
3
1lim
2
x
xx
x
..............................................................................................................................
Clasa a XI-a - 59
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
5).
2
1lim 2
22
x
xx
x
............................................................................................................................
6).
35
1lim 23
23
xx
xxxx
x
.................................................................................................................
7).
x
xx
x
111lim
2
1
0
.................................................................................................................
8).
2lim
1
0
baxx x
x
.............................................................................................................................
unde : 0, ba
9).
ba
baxx x
ex
lnln 1ln
1
lim ...................................................................................................................
unde : 0, ba
10).
x exexex
lnlim 2322
1
.......................................................................................................................
11).
x x
x
sin1lim1
0
.............................................................................................................................
12).
x x
x
coslim1
0
.................................................................................................................................
13).
x
x xx
x
x
sinlim
sin
sin
0
.........................................................................................................................
14).
xx
tg
x
2
1lim
....................................................................................................................................
15).
xtgxctg
x31lim
22
0
....................................................................................................................
16).
xtgx
x 4lim
sin
1
0
....................................................................................................................
17).
tgxxtg
x
3lim3
6
............................................................................................................................
18).
xx
xxxctg
x 85
12lim 2
263
0
...............................................................................................................
Clasa a XI-a - 60
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
66 LLiimmiittee :: :: 0 0
..
Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand :
0lnlim00
xx
xx
si scrierea ef fgg ln
1).
xx
xxlim
00
...........................................................................................................................................
2).
xx
xx
sinlim00
..................................................................................................................................
3).
xx
xx
sin
00
lim .......................................................................................................................................
4).
1lim1
11
xxtg
xx
.............................................................................................................................
5).
xx
xx
arcsinlimsin
00
.........................................................................................................................
Clasa a XI-a - 61
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
77 LLiimmiittee :: :: 0 ..
1).
x x
x
1
lim ........................................................................................................................................
2).
x x
x
1sin
lim .......................................................................................................................................
3).
xtgx
x
2lim
0
.....................................................................................................................................
4).
1lim1
x x
x
...................................................................................................................................
Clasa a XI-a - 62
Elemente de analiza matematica – Limite de functii
Limite de functiii
Sa se calculeze urmatoarele limite , discutand dupa valorile parametrilor reali
corespunzatori :
1).
mxxxx
1lim2
..........................................................................................................
unde : Rm .
2).
mxxxx
1lim2
..........................................................................................................
unde : Rm .
3).
321lim xcxbxax
………………………………………………………..
unde : Rcba ,, .
Sa se determine Rcba ,, astfel incat sa fie indeplinite egalitatile :
1). 0lim2
baxxx
x
2). 02lim234
cbxaxxx
x
3). 2
3coslim 2
0
2
x
xeax
x
4). exx
axxx
x
23
1lim 2
2