vector

Sin ttulo de diapositiva

Vectores y sistemas de vectores

1

Tema 2: Vectores y sistemas de vectores Sistemas de referencia y orientacin en el espacio: coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricasMagnitudes escalares y vectoriales. Operaciones vectorialesVectores deslizantes Sistemas de vectores deslizantes. Invariantes. Eje central

FSICA GENERAL ITema 1: Magnitudes fsicas. Unidades y medidasTema 2: Vectores y sistemas de vectoresTema 3: Esttica de sistemasTema 4: Cinemtica del puntoTema 5: Cinemtica del slido rgidoTema 6: Cinemtica relativa del puntoTema 7: Dinmica del puntoTema 8: Trabajo y energa ITema 9: Trabajo y energa IITema 10: Movimiento del punto bajo fuerzas centralesTema 11: Dinmica del los sistemas ITema 12: Dinmica de los sistemas II Tema 13: Medios deformables ITema 14: Medios deformables II

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y LIGADOS (1)VECTOR LIBRE

12345RELACIN DE EQUIVALENCIA: IGUAL MDULO, DIRECCIN Y SENTIDO5 clases de vectores libres

3

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y LIGADOS (2)VECTOR DESLIZANTE

123

RELACIN DE EQUIVALENCIA: IGUAL MDULO, RECTA SOPORTE Y SENTIDO3 clases de vectores deslizantes

4

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y LIGADOS (3)VECTOR LIGADO

RELACIN DE EQUIVALENCIA: IGUAL MDULO, DIRECCIN, SENTIDO Y ORIGEN25 vectores ligados

5

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y LIGADOS (4)VECTOR LIGADO

RELACIN DE EQUIVALENCIA: IGUAL MDULO, DIRECCIN, SENTIDO Y ORIGEN9 vectores ligados

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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ORTOGONALES

Familia de curvas coordenadas xFamilia de curvas coordenadas y

7

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES (1)

Familia de curvas coordenadas x2+y2=r2Familia de curvas coordenadas y=tgxr

8

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES (2)

Familia de curvas coordenadas x2+y2=r2Familia de curvas coordenadas y=tgxr

9

SISTEMA DE COORDENADAS CILNDRICAS (1)

Familia de superficies cilndricas x2+y2=2Familia de semiplanos y=tgxFamilia de planos de cota zzxyz

10

SISTEMA DE COORDENADAS CILNDRICAS (2)

zxyz

11

Sus coordenadas cilndricas

xy

30150Hay que tener en cuenta el cuadrante en el que est el punto!

Los vectores unitarios de la referencia natural normalizada en ese punto

xy

30150

SISTEMA DE COORDENADAS ESFRICAS (1)

xyz

Familia de superficies esfricas x2+y2+z2=r2Familia de semiplanos y=tgxFamilia de conos de semingulo

r

13


xyz

r

14


d

r d

d

r sen ddS=r2 sen d ddV=r2 sen dr d d

r sen

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Un punto tiene coordenadas cilndricas (2, /3, 2). Encontrar sus coordenadas esfricas.Problema:Solucin:

Ejerc. 2 Exam. Sept. 2008

Un punto tiene coordenadas (3, 2, 1). Encontrar sus coordenadas esfricas.Problema:Solucin:

Tema 2: Vectores y sistemas de vectores Sistemas de referencia y orientacin en el espacio: coordenadas cartesianas , cilndricas y esfricasMagnitudes escalares y vectoriales. Operaciones vectorialesVectores deslizantes Sistemas de vectores deslizantes. Invariantes. Eje central


Operaciones con vectores (Producto escalar)

ab

FSICA GENERAL I, A. M. Snchez Prez Seccin 4.4

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Operaciones con vectores (Producto vectorial)

ab

c

MduloDireccinLa perpendicular a a y b (o al plano que definen a y b)SentidoTal que la terna a,b y c y la terna de los vectores de la referencia tengan la misma orientacin

ijk

FSICA GENERAL I, A. M. Snchez Prez Seccin 4.8

20

Operaciones con vectores (Producto mixto)FSICA GENERAL I, A. M. Snchez Prez Seccin 4.9.1


Operaciones con vectores (Doble producto vectorial )FSICA GENERAL I, A. M. Snchez Prez Seccin 4.9.2

21

Proyeccin de un vector sobre un plano (1)

22

Proyeccin de un vector sobre un plano (2)

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Problema:Solucin:


Operaciones con vectores (Producto escalar de dos productos vectoriales)FSICA GENERAL I, A. M. Snchez Prez Seccin 4.9.3

Operaciones con vectores (Producto vectorial de dos productos vectoriales)

FSICA GENERAL I, A. M. Snchez Prez Seccin 4.9.3

25

VECTORESDESLIZANTES

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MOMENTO CENTRAL DE UN VECTOR

O

A

El momento central no cambia cuando el vector desliza en su recta soporteEl momento central es nulo cuando la recta soporte del vector pasa por el punto O.

O

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MOMENTO XICO DE UN VECTOR

O

A

El punto O puede ser cualquier punto del ejeEl momento xico es nulo si la recta soporte del vector intersecta al eje o es paralela al mismo.

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SISTEMAS DE VECTORESDESLIZANTES

30

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

SSISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES

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SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTESEQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTESDos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si pueden transformarse el uno en el otro mediante las siguientes operaciones elementales:

1. Adicin de una pareja de vectores al sistemaS

Definicin de pareja: dos vectores con mismo mdulo, misma recta soporte y sentidos opuestos

32


2. Supresin de una pareja de vectores del sistema

S

33


3. Sustitucin de dos vectores, con rectas soporte concurrentes, por su suma en una recta soporte concurrente con las otras dos

c=a+babS

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4. Sustitucin de un vector por su descomposicin en dos vectores situados sobre rectas soporte concurrentes con la del primero

c=a+b

a

b

S

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SRESULTANTE Y MOMENTO DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES (1)

ORelacin entre los momentos del sistema con respecto a diferentes puntos del espacio

Oai

Ai

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LAS OPERACIONES ELEMENTALES QUE DEFINEN LA EQUIVALENCIA ENTRE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES, NO CAMBIAN NI LA RESULTANTE DEL SISTEMA NI EL MOMENTO DEL SISTEMA RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTESRESULTANTE Y MOMENTO DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES (2)

37

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES REDUCCIN DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES (VECTORES PARALELOS CON MISMO SENTIDO)

Reducir un sistema de vectores es convertirlo en otro equivalente con menos vectores

38

REDUCCIN DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES (VECTORES PARALELOS DE SENTIDOS OPUESTOS)SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

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PAR DE VECTORESSISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

Un par son dos vectores de mismo mdulo, sentidos opuestos y rectas soporte paralelasAAab

O

Un par tiene resultante nula y momento independiente del punto con respecto al cual lo calculemos

40

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (1)

BABAab-a-bBABAab-a-b

41

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (2)

42

EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (3)SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

43

EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (4)SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

44

SE PUEDE ESTABLECER UNA BIYECCIN ENTRE EL CONJUNTO DE LAS CLASES DE PARES EQUIVALENTES Y LOS VECTORES LIBRES DEL ESPACIO SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (5)

45

REDUCCIN GENERAL DE UN SISTEMA (1) SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

S

S0

R-qqP

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REDUCCIN GENERAL DE UN SISTEMA (2) Un sistema de vectores deslizantes puede reducirse a tres vectores aplicados en tres puntos cualesquiera no alineados

MNPcba

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REDUCCIN GENERAL DE UN SISTEMA (3)

PcaMNQ

bb2

b1a2a1

a2a1b2b1

pq

Un sistema de vectores deslizantes puede reducirse a dos vectores cuyas rectas soporte se cruzan

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REDUCCIN GENERAL DE UN SISTEMA (4)

qpPQ

q-qR

Un sistema de vectores deslizantes puede reducirse a la resultante del sistema aplicada en un punto P cualquiera ms un par cuyo momento es el del sistema con respecto a P

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REDUCCIN GENERAL DE UN SISTEMA (5) SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

S

S0

R-qqP

Un sistema de vectores deslizantes puede reducirse a la resultante del sistema aplicada en un punto P cualquiera ms un par cuyo momento es el del sistema con respecto a P

50

DETERMINACIN DE UNA CLASE DE SISTEMAS POR SU RESULTANTE Y SU MOMENTO (1)

SS'

S0S'0

PP

RR-qqq-q

SS'

51

DOS SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES SON EQUIVALENTES SI Y SLO SI SUS RESULTANTES Y SUS MOMENTOS CON RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA DEL ESPACIO SON IGUALESSISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

DETERMINACIN DE UNA CLASE DE SISTEMAS POR SU RESULTANTE Y SU MOMENTO (2)

52

EJE CENTRAL DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES E INVARIANTE M*

R

M0O

E0

E.Central

M*

53

CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTESS11 (R0, M*0) Mxima reduccin ala resultante y un parCondicin eje central:R x ME = 0TORSORS10 (R0, M*=0) Mxima reduccin a laresultante en un punto del eje centralCondicin eje central:ME = 0VECTORS01 (R=0, M0) Mxima reduccin a un par aplicado en cualquierpunto del espacioEje central no definidoPARS00 (R=0, M=0)

NULOSISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

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Un sistema de vectores deslizantes tiene como resultante y como momento respecto al origen Determinar para que el punto A(4,4,0) sea del eje central.

Problema:Solucin: Ejerc. 3 Exam. Feb. 2009

Un sistema de vectores deslizantes tiene como resultante y como momento respecto al origen Determinar para que el punto A(2,1,0) sea del eje central y expresar la ecuacin del eje central

por tanto, con respecto a los puntos del eje central el momento del sistema es nulo

Se da el sistema de vectores deslizantes cuyas rectas soporte pasan por A1(0,3,0) y A2(1,0,0). Determinar un sistema equivalente al dado con el menor nmero posible de vectores, indicando su recta soporte.

Problema: Ejerc. 2 Exam. Sep. 2009

Tema 2: Vectores y sistemas de vectores Sistemas de referencia y orientacin en el espacio: coordenadas cartesianas , cilndricas y esfricasMagnitudes escalares y vectoriales. Operaciones vectorialesVectores deslizantes Sistemas de vectores deslizantes. Invariantes. Eje central


BIBLIOGRAFA FSICA GENERAL I, A. M. Snchez PrezSecciones 4.11 y 4.12ANLISIS VECTORIAL, J. J. SCALA Leccin 4: Vectores deslizantes y ligados

60

Un punto tiene de coordenadas cartesianas . Obtener:Determine el vectorque se obtiene al proyectarsobre el plano x+y=0 el vector .Dado el vector aplicado en el punto A=(2,0,2), determinar su momento xico respecto a un eje que pasa por el origen de coordenadas cuya direccin y sentido estn determinadas por el vector unitario .

vector

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