Vector AnalysisVector Analysis• 马克思: 只有当一门科学成功地运用数学才可以认为是成熟了的学科。

• 开普勒用代数方程总结出行星运动三定律，

• 伽利略以几何学方法论证落体运动定律，

• 牛顿力学定律是近代科学成功的里程碑。

• ---- Maxwell方程， Schrodinger方程--• 矢量与张量分析

• 微分方程边值问题

• 近代物理学的语言几乎都是数学!

§§11 Scalars, vectors and tensorsScalars, vectors and tensors((矢量代数与张量矢量代数与张量))

• Observables are described in terms of scalars, pseudoscalars, vectors, pseudovectors, tensors 。

• A scalar : invariant under rotation, eg. distance• A vector : describes motion， eg. velocity • A tensor : describes the motion or deformation due to

some form of tension. •• Convention:• Latin indices i, j, k,. . . run over 1, 2, 3 (3D space)

Greek indices μ, ν, run over 0, 1, 2, 3 (4D space)

• Vector

Contravariant

Covariant

• Tensor

ii

iexx ˆ3

1∑=

=

),,,(),,,( 3210 zyxtxxxxx ==μ

),,,( 3210 xxxxx =μ

jj

iji ED ∑= ε

矢量的基本运算矢量的基本运算

3

1

cosi ii

A B AB AB θ=

⋅ = =∑

1 2 3

1 2 3

1 2 3

sin n

e e eA B AB e A A A

B B Bθ× = =

• 矢量代数中的两个重要公式

)()()( bacacbcba ×⋅=×⋅=×⋅混合积混合积

矢量微分矢量微分 ˆˆdA dA dAA Adt dt dt

= +

( )d A B dB dAA Bdt dt dt⋅

= ⋅ + ⋅

( )d A B dB dAA Bdt dt dt×

= × + ×

双重矢量积双重矢量积 cbabcacba )()()( ⋅−⋅=××

注意顺序不能颠倒

• 并矢与张量 AB AB BA≠（一般 ）

i je e 为单位并矢，张量的基（9个分量）

矢量与张量的矩阵表示矢量与张量的矩阵表示

1

2

3

,i i

AA A e A A

A

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ 1 2 3( , , )A A A A=

ii

i BABABABABBB

AAABA ∑=

=++=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅

3

1332211

3

2

1

321 ),,(

jji

iijji

jiji eeTeeBABAT ∑∑==

===3

1,

3

1,

3

1i i

i

e e=

= ∑

1 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,( )

iij ij ji j

T V T V e e+ = +∑

( ) ( )( )( )

AB C A B C A C B AC B

C B A C BA

B C A B CA

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

BA

• 张量的运算

T =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

T

( ) ( ) ( )C AB C A B B C A B A C BA C⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

( )( )

AB C A B C

C AB C A B

⎧ × = ×⎪⎨

× = ×⎪⎩

并矢

并矢

两并矢的一次点乘

( ) ( ) ( )AB CD A B C D A B C AD CD AB⋅ = ⋅ = ⋅ ≠ ⋅

( )( ):AB CD B C A D= ⋅ ⋅两并矢的二次点乘两并矢的二次点乘

C C C⋅ = ⋅ =

AB AB AB⋅ = ⋅ =

: AB A B= ⋅

单位张量与矢单位张量与矢

量、张量的点乘量、张量的点乘

练习练习

( )a a b⋅ × ( )a b a× × ( )j i k× ⋅ ( )k i j× ⋅

（ 0， ， －1， 1 ）2 ( )a b a a b− ⋅

( ( )) ( )( ) ( )( )a b c d a c b d a d b c× × × = × ⋅ − × ⋅

( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b× × + × × + × × =

( ) ( )A B A B+ × − ( )( )2 B A= ×计算

与矢量 垂直,即( ) ( )M b a c a b c= ⋅ − ⋅ C M C⋅证明

计算下列各式

证明下列各式

一、Field

( , , , ) ( , )

( , , , ) ( , )

x y z t x t

A x y z t A x t

ϕ ϕ=⎧⎪⎨

=⎪⎩

标量场

矢量场

场用一个空间和时间场用一个空间和时间坐标的函数来描述：坐标的函数来描述：

1)1)空间中连续分布空间中连续分布

2)2)每一点都对应着某个物理量的确定值每一点都对应着某个物理量的确定值

如：强度场、速度场、引力场、电磁场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。

稳恒场（静场）：场与时间无关稳恒场（静场）：场与时间无关

变化场（时变场）：场函数与时间有关变化场（时变场）：场函数与时间有关

a physical entity which depends on one or more continuous parameters. Such a parameter can be viewed as a ‘continuous index’ which enumerates the ‘coordinates’ of the field

§§2 2 Fields(Fields(矢量场论矢量场论))

已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋

度）。度）。

已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，

这是电动力学求解电磁场的主要方法。这是电动力学求解电磁场的主要方法。

二、二、 GGradient (radient (梯度梯度))

d dx dy dzx y zϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

x y zd dxe dye dze= + +

x y zd e e e d dx y z

ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤∂ ∂ ∂

= + + ⋅ =∇ ⋅⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

在空间任意靠近两点函数在空间任意靠近两点函数 的全微分的全微分ϕ

ld edϕ ϕ= ∇ ⋅ cosϕ θ= ∇

在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定

义为梯度：

gradϕ ϕ= ∇

梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的

空间分布特征.已知梯度即可求沿任一方向的方向导数。已知梯度即可求沿任一方向的方向导数。

等值面： 常数的曲面称为等值面。( )xϕ =

梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。

三、矢量微分算子三、矢量微分算子(del operator)(del operator)既具有矢量性质，又既具有矢量性质，又

具有微分性质具有微分性质x y ze e e

x y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

x y ze e ex y zϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂ ϕ ϕ∇ ≠ ∇注意：注意：

它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。

( ) yx zx y z x x y y z z

AA AA e e e e A e A e Ax y z x y z

∂⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂∇⋅ = + + ⋅ + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

y yx xz zx y z

A AA AA AA e e ey z z x x y

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞∇× = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y z

x y z

e e e

x y zA A A

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂

1 1 2( ) ,2

r x xx xx r r

′∂ −′= ⋅ − =∂

∵解：解： ,r y y r z zy r z r

′ ′∂ − ∂ −= =

∂ ∂

x y zx x y y z z rr e e e

r r r r′ ′ ′− − −

∴ ∇ = + + =

( ) ( ) ( )1

2 2 2 2r r x x y y z z⎡ ⎤′ ′ ′= = − + − + −⎣ ⎦r∇ =？例例11：：

rrr =∇

解：解： ( )x x xϕψ ψ ϕϕ ψ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

∵

( )y y yϕψ ψ ϕϕ ψ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

( )z z zϕψ ψ ϕϕ ψ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

( ) x y z x y ze e e e e ex y z x y zψ ψ ψ ϕ ϕ ϕϕψ ϕ ψ ϕ ψ ϕψ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + + + + = ∇ +∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

例例22：： ( )ϕψ∇ =？

ϕψψϕϕψ ∇+∇=∇ )(

四、高斯定理与矢量场的散度四、高斯定理与矢量场的散度

• 矢量族在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一

个矢量族。个矢量族。

矢量场的通量矢量场的通量(flux)(flux)

面元面元 的通量：的通量：ds d A dsΦ = ⋅

有限面积有限面积 的通量的通量SSA dsΦ = ⋅∫

000

<Φ=Φ>

意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，具有局域性质。意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，具有局域性质。

Φ 有源有源

无源无源

负源负源闭合曲面的通量闭合曲面的通量 ∫ ⋅=Φ

sSdA

• 高斯公式

yx zS V

V

AA AA ds AdV dxdydzx y z

⎛ ∂ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⋅ = ∇ ⋅ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫∫∫Divergence (Divergence (散度散度))

缩小到一点缩小到一点

若空间各点处处 0A∇⋅ = 则称 为无源场。A

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<⋅∇

=⋅∇

>⋅∇

0

0

0

A

A

A 该点有源该点有源

该点无源该点无源

该点为负源该点为负源

V

SdAA S

V Δ

⋅=⋅∇

∫→Δ 0

lim

VASdAS

Δ⋅∇=⋅∫ )(

例子：例子：

3xrx∂

∇ ⋅ = − =∂

• 求 ( ) ( ) ( )x y zr x x e y y e z z e′ ′ ′= − + − + −r∇⋅

求求3

rr

∇⋅ ( ) ( ) ( )1

2 2 2 2 ( 0)r x x y y z z r⎡ ⎤′ ′ ′= − + − + − ≠⎣ ⎦

3 3 3 3

r x x y y z zr x r y r z r

′ ′ ′∂ − ∂ − ∂ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇⋅ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )3 4 4

3 3 3 0x x y yx x y yr r r r r

′ ′− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′= + − − + − − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

证明证明 ( )A A Aϕ ϕ ϕ∇⋅ = ∇⋅ +∇ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )x y zA A A Ax y z

ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂∇⋅ = + +

∂ ∂ ∂

yx zx y z

AA A A A Ax y z x y z

ϕ ϕ ϕϕ∂⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

A Aϕ ϕ= ∇ ⋅ + ∇ ⋅

证：证：

五、斯托克斯公式与矢量场的旋度五、斯托克斯公式与矢量场的旋度

• 矢量场的环量（环流）

表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合0Γ =

0Γ ≠ 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合

Stokes’s theorem((斯托克斯公式斯托克斯公式))

SdAldASL

⋅×∇=⋅ ∫∫ )(

L矢量 沿任一闭合曲线 的积分称为环量A ∫ ⋅=ΓL

ldA

定义 为矢量场的旋度，它在 法线方向上

的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在

空间某点上的环流特征。若空间各点 ，

则称 为无旋场。

A∇× SΔ

0A∇× ≡A

当当LL无限小：无限小：

• Curl (矢量场的旋度)

SASAAld nL

Δ×∇=Δ⋅×∇=⋅∫ )()(

S

AldA L

Sn Δ

⋅=×∇ ∫

→Δ 0lim)( ( ) ( )

nA A n∇× = ∇× ⋅

• 证明

3 3

z z y yy r z r

′ ′∂ − ∂ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )( )3 3 5

31 y y z zz z z zy r y r r

′ ′− −′∂ − ∂⎛ ⎞ ′= − = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( )( )3 3 5

31 y y z zy y y yz r z r r

′ ′− −′∂ − ∂⎛ ⎞ ′= − = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

3 0x

rr

⎡ ⎤∴ ∇× =⎢ ⎥⎣ ⎦3 3 0

y z

r rr r

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇× = ∇× =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦同理同理

证证

3

rr

∇× = 0= 0

• 证明 ( )A A Aϕ ϕ ϕ∇ × = ∇ × + ∇

( ) ( ) ( )z yx

A A Ay z

ϕ ϕ ϕ∂ ∂⎡ ⎤∇× = −⎣ ⎦ ∂ ∂yz

z y

AA A Ay y z z

ϕ ϕϕ ϕ∂∂ ∂ ∂

= + − −∂ ∂ ∂ ∂

( ) z yxA A A

y zϕ ϕϕ ∂ ∂

= ∇× + −∂ ∂

( ) ( )x x

A Aϕ ϕ= ∇× + ∇ ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z xxA A e A e A e A eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∴ ∇× = ∇× + ∇× + ∇× + ∇ × +

A Aϕ ϕ= ∇× +∇ ×

证：证：

3 3 3

1 1( ) ( )( ) p r p rr

rr r

p⋅ + ⋅∇ ∇= ∇

⋅

3

3

(1 ) 1( ) ( )rp r r p rr r

∂= ⋅ ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∂ 4 3

3( ) ( )r pp rr r r

= ⋅ ⋅ − +

5 3

3( )( )r pp rr r

= ⋅ − + 3 5

3( )p p r rr r

⋅= −

例: 求 ,x y zr xe ye ze= + +( )k r∇ ⋅ 其中 为常矢量k

例: 求 3( )p rr⋅

∇ 为常矢量P

解：

( )( ) ( )( )

( ) x y z

x y z x x y z yx y

x y z z x x y y z zz

k x k y k z

k x k y k z e k x k y k z

k r

e

k x k y k z e k e k e e kk

∂ ∂∂ ∂

∂∂

= ∇ + +

= + + + + +

+ + + =

∇

+

⋅

+ =

k

六、场的四个定理六、场的四个定理

1. 正定理：标量场的梯度必为无旋场，即

逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。

即若 ，则 ， 称为无旋场 的标量

势函数。

=0ϕ∇×∇

0A∇× = A ϕ=∇ ϕ A

2. 正定理: 矢量场的旋度必为无散场，即

逆定理: 无源场必可表示为某个矢量场的旋度。

即若 ，则 ， 称为无源场

的矢量势函数。

( ) 0A∇⋅ ∇× =

0B∇⋅ = B A= ∇× A B

3. 亥姆霍兹定理

任意矢量场任意矢量场 [ ][ ]均可分均可分

解为无旋场解为无旋场 和无源场和无源场 之和。之和。

0, 0F F∇ × ≠ ∇ ⋅ ≠

1F 2F

F

即即 可分解为可分解为 [ ] [ ] 。。

又称为又称为 的横场部分，可引入标势的横场部分，可引入标势 ，，

又称为又称为 的纵场部分，可引入矢势的纵场部分，可引入矢势 ，，

1 2F F F= +1 20, 0F F∇× = ∇⋅ =

1F ϕ

A2F

F

F1F ϕ= ±∇

2F A= ∇×

F

4. 唯一性定理

在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及

矢量场在区域边界上的法线分量，

( )

( )

( )n S

A x

A x

A f S S

ρ

ω

⎧ ⎫∇ ⋅ = ⎪⎪ ⎬⎪∇ × = ⎪⎨ ⎭

⎪⏐ =⎪⎩

在V内

在 面上

则该矢量场在区域内是唯一确定的。

V

1795~1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1807年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直到1855年2月23日逝世。他一生共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主要成就有：

（1）关于静电学温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究；

（2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学；

（3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算（谷神星），地球大小和形状的理论研究等；

（4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。

德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。19岁圆规直尺作正十七边形

高高斯斯

§§3 3 坐标系及坐标系及deldel算子算子重要公式重要公式一、 del算子（矢量微分算子）

,x y ze e ex y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂ r ze e e

r zθ θ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

1 1sinre e e

r r rθ φθ θ φ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

二、二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系柱坐标、球坐标与直角坐标的关系

柱坐标与直角坐标的关系柱坐标与直角坐标的关系

球坐标与直角坐标的关系球坐标与直角坐标的关系

三、三、deldel算子在坐标系中的具体表示式算子在坐标系中的具体表示式

四、四、 deldel算子算子的一些常用公式的一些常用公式

• 复合函数的公式

( ) dff u udu

∇ = ⋅∇

( ) dAA u udu

∇ ⋅ = ⋅∇

( ) dAA u udu

∇× = ∇ ×积分变换积分变换

高斯公式

斯托克斯公式

∫ ∫ ∫ ⋅∇=⋅∇=⋅S V V

AdVdVASdA )(

∫ ∫ ∫ ⋅∇×=⋅×∇=⋅L S S

ASdSdAldA )()(

利用混合积公式

格林公式

第一公式

第二公式

积分变换的一般规则积分变换的一般规则

∫∫ ⋅∇=∇⋅∇+∇SV

SddV ϕψψϕϕψ )( 2

∫∫ ⋅∇−∇=∇⋅−∇SV

SddV )()( 22 ψϕϕψψϕϕψ

∫∫ ←→∇SV

SddV ∫∫ ←→∇×LS

ldSd

∫∫ =∇SV

SddV ϕϕ

ASdAdVSV

×=×∇ ∫∫TSdTdV

SV⋅=⋅∇ ∫∫

∫∫ =∇×LS

ldSd ϕϕ

∫∫ ×=×∇×LS

AldASd )(

∫∫ ⋅=⋅∇×LS

TldTSd )(

• 一般变换规则证明

证： 任取常矢量 点乘上式两端C

( ) ( )V V

dV C A dV A C⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ∇× = ∇ ⋅ ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫左

V SdV A dS A∇× = ×∫ ∫1.

( ) ( )S SdS A C C dS A⋅ × = ⋅ ×∫ ∫=

( )S L

d S A d l A× ∇ × = ×∫ ∫2.

证： 任取常矢量点乘上式两端

( ) ( ) ( )S SC d S A d S A C⎡ ⎤= ⋅ × ∇ × = × ∇ ⋅ ×⎣ ⎦∫ ∫左

( ) ( )L LA C dl C dl A= × ⋅ = ⋅ ×∫ ∫

)( CA×⋅∇

• Del 算符常用公式

( ) ( )ϕψ ϕ ψ ϕ ψ∇ = ∇ + ∇1.

( )A A Aϕ ϕ ϕ∇ × = ∇ × + ∇ ×3.

( ) ( ) ( )A B A B B A∇ ⋅ × = ∇ × ⋅ − ∇ × ⋅4.

( ) ( ) ( )A B A B A B∇ ⋅ = ∇ ⋅ − ⋅ ∇5.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B B A B A A B A B∇ × × = ∇ ⋅ + ⋅∇ − ∇ ⋅ − ⋅∇6.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B B A B A∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇7.( ) ( )21

2A A A A A× ∇ × = ∇ − ⋅ ∇8.

( ) ( ) 2A A A∇ × ∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇9.( )0 , 0Aϕ∇ × ∇ = ∇ ⋅ ∇ × =10.

2. AAA ⋅∇+⋅∇=⋅∇ ϕϕϕ )(

• 证明(7)式

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B B A B A∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇

( ) ( ) ( )a b c a c b a b c× × = ⋅ − ⋅

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

C C C

C C C

A B A B A B

A B A B A B

⎧ × ∇× = ∇ ⋅ − ⋅∇⎪⎨∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇⎪⎩

CA a ∇ b B c

( ) ( ) ( )C CA B A B A B∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅证：

( ) ( ) ( ) ( )C C C CA B B A B A B A∇ ⋅ = ∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇同理

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B B A B A∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇去掉脚标

微分运算

矢量运算

理论物理学家的方法理论物理学家的方法

• Scalar product

• Vector product

• The del operator

• The gradient，• The divergence，• The curl

iijiijjjii babaebeaba ==⋅=⋅ δˆˆ

kjijki baeba εˆ=×

ii x

e∂∂

≡∇ ˆ

)(),(),( xaxax ×∇⋅∇∇ϕ

例一例一

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

i ijk j k

ijk i j k ijk j i k

ijk i j k jik j i k

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

ε

ε ε

ε ε

∇ ⋅ × = ∂

= ∂ + ∂

= ∂ − ∂

= ∇× ⋅ − ⋅ ∇×

( ) ( ) ( )A B A B B A∇ ⋅ × = ∇ × ⋅ − ∇ × ⋅4.

例二例二

• Using relation

babaababbabae

babaebaeba

mjlmljjlimjmili

mjlmljklmijki

mlklmjijki

)()()()()]())[((

)]()[()()(

⋅∇−∇⋅−⋅∇+∇⋅=

∂+∂−=

∂+∂=

∂=××∇

δδδδ

εε

εε

jlimjmilklmijk δδδδεε −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B B A B A A B A B∇ × × = ∇ ⋅ + ⋅∇ − ∇ ⋅ − ⋅∇6.

§§4. 4. 函数与点电荷密度函数与点电荷密度δ

( )

( ) ( )

0

1a

a

x ax a

x a

x a dx x a dxε

ε

δ

δ δ∞ +

−∞ −

⎧ ≠⎧− = ⎨⎪⎪ ∞ =⎩⎨

⎪ − = − =⎪⎩∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0

0 0 02

1

1sin

x x x x y y z z

r r z zr

r rr

δ δ δ δ

δ δ θ θ δ

δ δ θ θ δ φ φθ

− = − − −

= − − −

= − − −

一维

三维

( )0 1V

x x dVδ − =∫

See Jackson p.26See Jackson p.26

( ) ( ) 23

1 1 1 , ,4 4

rr x x r x x r x xr r

δ δπ π

′ ′ ′= − = − ∇ = ∇⋅ = − = −

0,r = 1r

∇ = ∞

3 3 2

1 1 1 1 14 4 4 4V S S S

r r dSdV dS dr r rπ π π π

∇⋅ = ⋅ = = Ω =∫ ∫ ∫ ∫

证：2

3

1rr r

∇⋅ = −∇ =0 ( )3

1 , 0r rr r

− = ∇ ≠[ ]0,r =/

点电荷密度分布

( )0 0Vx x dV Q x Vρ − = ∈∫ ( ) ( )0 0x x Q x xρ δ− = −

00

00

)(

0)(

xxxx

xxxx

=∞=−

≠=−

ρ

ρ