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5. Naturaleza y propagacin de la luz

5. NATURALEZA Y PROPAGAC IN DE LA LUZLa naturaleza de la luz es una cuestin que ha intrigado a los cientficos desde tiempos muy remotos. Su comprensin es de enorme importancia, ya que la luz es uno de los componentes esenciales que hacen posible, por ejemplo, la vida en la tierra a travs de la fotosntesis de las plantas, la recepcin y transmisin de informacin sobre objetos a nuestro alrededor y de todo el universo. Desde tiempos antiguos se ha especulado con gran inters sobre la naturaleza y propiedades de la luz. Los griegos pensaban que la luz estaba formada por pequeas partculas corpsculos que eran emitidos por una fuente, y al chocar con el ojo del observador estimulaban en l la percepcin de la visin. Newton empleo esta teora corpuscular de la luz para explicar algunos fenmenos experimentales por entonces conocidos como la reflexin y la refraccin. Sin embargo, en 1678, un contemporaneo suyo, el fsico y astrnomo Christian Huygens, propuso que la luz poda considerarse un tipo de movimiento ondulatorio, y fue capaz de explicar las leyes de la reflexin y refraccin con la teora ondulatoria. La primera demostracin convincente de la naturaleza ondulatoria de la luz la dio Thomas Young en 1801 al probar que, en condiciones apropiadas, los haces de luz pueden interferir, es decir se pueden combinar y cancelar entre s debido a la interferencia destructiva. En aquella epoca, este comportamiento no poda explicarse con la teora corpuscular. El suceso ms importante, relacionado con la comprensin de la naturaleza de la luz fue el trabajo de Maxwell en 1873 que desarrollo una brillante teora en la que se demostraba que la luz es una forma de onda electromagntica de alta frecuencia que viaja con una velocidad aproximada de 3x108 m/s. Sin embargo, a principios del siglo XX, el fsico aleman Max Planck, retoma la teora corpuscular de la luz al introducir el concepto de cuantificacin para poder explicar la radiacin emitida por cuerpos calientes. El modelo de cuantificacin presupone que la energa de la onda luminosa se presenta en paquetes de energa llamados fotones. Albert Einstein utiliz el mismo concepto para explicar el llamado efecto fotoelctrico relacionado con la emisin de electrones por un metal expuesto a la luz. Hoy en da se considera que existe una dualidad onda-corpsculo en lo referente a la naturaleza de la luz, dualidad que se extiende a todo tipo de ondas y partculas a escala microscpica, de forma que la luz unas veces se comporta como onda y otras como partc ula. A continuacin pasaremos a analizar en detalle cada uno de los modelos propuestos.

5-1

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.1 Naturaleza ondulatoria de la luz5.1.1 Ondas electromagnticas. La teora electromagntica de la luz fue elaborada por Maxwell y comprobada experimentalmente por Herz en 1888 quin por primera vez produjo y detect las ondas electromagnticas por medio de circuitos oscilantes observando, como en las ondas luminosas, la reflexin, refraccin, interferencia y polarizacin. Las ecuaciones de Maxwell en un medio dielctrico, =0 y j=0, istropo, y constantes en todos los puntos y donde no existen cargas libres, =0, pueden escribirse como. E = 0 .H = 0

[5.1] [5.2]

H xE= t

[5.3]

E xH = t

[5.4]

Cuando en un punto del espacio se produce un campo elctrico variable con el tiempo, sus variaciones producen un campo magntico variable tambin. A su vez, este campo magntico variable de origen a un campo elctrico. Estos campos elctrico y magntico variables, consecuencia uno del otro, sin que pueda existir ninguno de ellos aisladamente, se propagan por el espacio constituyendo las ondas electromagnticas. Para hallar las ecuaciones de propagacin operemos de la siguiente forma x( xH ) = ( x E ) = ( xE) t t

[5.5]

utilizando la igualdad x( xH ) = grad H 2H [5.6]

y dado que por [5.2] la divergencia de H es cero y utilizando [5.3] queda

2H 1 2 = H t 2

[5.7]

Tomando rotacionales en [5.3] y operando anlogamente se llega a5-2

5. Naturaleza y propagacin de la luz

2E 1 2 = E 2 t

[5.8]

Tal y como vimos en el captulo 2, las ecuaciones [5.7] y [5.8] muestran que los campos electromagnticos se propagan obedeciendo la ecuacin diferencial del movimiento ondulatorio con una velocidad

v=

1

[5.9]

En el vaco, donde tenemos 0 y 0, la velocidad de propagacin de las ondas electromagnticas es igual a c=2.99793x108 m/s. La forma de las soluciones depender en cada caso de la situacin fsica. Adoptemos como solucin una onda plana armnica, para lo cual, en medios istropos, bastar suponer que el emisor est muy alejado del lugar donde se realiza la observacin, propagndose segn la direccin u(,,). Los campos elctricos y magnticos tomarn la forma

E = E0 sen( kru t ) = E 0e i( kru t ) H = H 0 sen( kru t ) = H 0 e i( kru t)

[5.10]

Apliquemos las ecuaciones de Maxwell a los campos elctricos y magnticos definidos por [5.10]. La componente x de [5.4] ser igual a

H z H y E = x y z t

[5.11]

De forma anloga para las otras dos componentes y calculando estas derivadas obtenemosH z H y = vEx H x H z = vEy H y H x = vEz

[5.12]

Estas tres ecuaciones, teniendo en cuenta que los primeros trminos son las componentes del producto vectorial uxH equivalen a la ecuacin vectorialH xu = v E

[5.13]

y operando igual con el campo elctrico5-3

5. Naturaleza y propagacin de la luz

uxE =

1 H v

[5.14]

Las ecuaciones [5.13] y [5.14] indican que en la propagacin H y E son siempre perpendiculares entre si y ambos los son a la direccin de propagacin u, lo que demuestra que las ondas electromagnticas, y por ende la luz, son transversales. De las mismas ecuaciones se deduce que E y H van en fase ya que ambos se anulan y se hacen mximos simultaneamente como se indica en la figura 5.1 y las magnitudes estn relacionadas por la expresin H = vE .

Figura 5.1. Onda electromagntica propagndose con los vectores E y H perpendiculares a la direccin de propagacin, onda transversal, y en fase

5.1.2 Espectro electromagntico. Los diversos tipos de ondas electromagnticas difieren solo en su longitud de onda y frecuencia, relacionadas con la velocidad c por la expresin f=c y en principio no se conoce ninguna limitacin para los calores posibles de f. En la figura 5.2 se expone el espectro electromagntico y los nombres normalmente asociados con los diversos intervalos de frecuencia y longitud de onda. Estos intervalos no estn a veces bien definidos y frecuentemente se solapan. La clasificacin habitual del espectro electromagntico es la siguiente: a) Ondas de radiofrecuencia. stas tienen longitudes de onda que van desde algunos kilmetros a 0.3 m y el intervalo de frecuencias es desde algunos Hz hasta 109 Hz. Son las ondas que habitualmente se utilizan en los sistemas de radio y televisin y son generadas por medio de dispositivos electrnicos, principalmete circuitos oscilantes b) Microondas. Las longitudes de onda estn entre 0.3 m y 10-3 m y el intervalo de frecuencia es desde 109 Hz hasta 3x1011 Hz. Estas ondas se usan en el radar y otros sistemas de telecomunicacin y se generan con dispositivos electrnicos. c) Espectro infrarrojo. Cubre las longitudes de onda entre 10-3 m y 7.8x10-7 m (7800 ) y el intervalo de frecuencia es entre 3x1011 Hz y 4x1014 Hz. Esta

5-4

5. Naturaleza y propagacin de la luz

d)

e)

f)

g)

zona se subdivide a su vez en infrarrojo cercano, medio y lejano. Estas ondas son producidas por cuerpos calientes y molculas. Luz espectro visible. Es una banda angosta formada por las longitudes de onda a las cuales nuestra retina es sensible. Se extiende desde 7.8x107 m hasta 3.8x10-7 m y en frecuencias desde 4x1014 Hz hasta 8x1014 Hz. Las longitudes de ondas ms cortas del espectro visible corresponden a la luz violeta y las ms largas a la luz roja, y entre estos extremos se encuentran todos los colores del arco iris. La luz es producida por tomos y molculas como resultado de procesos electrnicos. Rayos ultravioletas. Cubren desde 3.8x10-7 m hasta alrededor de 6x10-10 m con frecuencias desde 8x1014 Hz a 3x1017 Hz. Estas ondas son producidas por tomos y molculas en descargas elctricas y tienen fuertes efectos en procesos qumicos. Rayos X. Esta parte del espectro electromagntico abarca una gama de longitudes de onda entre 10-9 m y 6x10-12 m y frecuencias entre 3x1017 Hz y 5x1019 Hz. Son producidos por transiciones electrnicas en niveles profundos del tomo. Rayos : Estas ondas electromagnticas son de origen nuclear y se superponen al lmite superior de los rayos X; sus longitudes de onda van desde 10-10 m hasta 10-14 m con frecuencias entre 3x1018 Hz y 3x1022 Hz.

Figura 5.2. Espectro electromagntico 5-5

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5.1.3 Energa de una onda electromagntica. Como todo tipo de onda, las ondas electromagnticas transportan energa y cantidad de movimiento. La energa transportada viene descrita por la intensidad, es decir, por la potencia media por unidad de rea incidente sobre una superficie perpendicular a la direccin de propagacin. La cantidad de movimiento por unidad de tiempo y por unidad de rea transportada por una onda electromagntica se denomina presin de radiacin. Sabemos del captulo 2 que la intensidad de una onda viene dada por el producto de la densidad energtica media por la velocidad de la onda. Las densidades de energa asociadas al campo elctrico y al campo magntico de una onda electromagntica que se propaga en el vaco son 1 0E 2 2 1 1 1 1 uB = 0 ? 2 = B2 = E2 = 0E2 2 2 2 0 20 c 2 uE =

[5.15]

donde se ha utilizado el hecho de que B = E c . La densidad de energa total de la onda electromagntica es igual au = u E + uB = 0 E 2

[5.16]

y la intensidad de la onda electromagntica quedaI = c 0 E2

[5.17]

Para el caso de una onda electromagntica armnica plana, E=E0sen(kru-t), la intensidad media en el tiempo de la onda electromagntica, teniedo en cuenta que el valor medio del seno al cuadrado es , quedaI= 1 c 0 E02 2

[5.18]

Se define el vector de Poynting S comoS= ExB 0

[5.19]

siendo ste un vector que tiene por unidades W/m2, como valor promedio del mdulo la intensidad de la onda, y como direccin la direccion de propagacin de la onda electromagntica. Comprobemos este hecho para una onda electromagntica plana donde ExB=EB y el mdulo del vector de Poynting queda

5-6

5. Naturaleza y propagacin de la luz

EB E 2 cB 2 S= = = 0 0 c 0

[5.20]

El valor promedio de este mdulo, haciendo de nuevo uso del valor promedio del seno al cuadrado queda2 E0 S = 20 c

[5.21]

Por otro lado la intensidad de la onda, sabiendo que c = 12 1 E0 2 I = c 0 E0 = = S 2 2 0 c

0 0

, queda

[5.22]

Las ondas electromagnticas, adems de energa transportan cantidad de movimiento. Por tanto, una onda electromagntica que incide sobre una superficie ejerce una presin sobre ella que se denomina presin de radiacin Pr. Si la superficie absorbe toda la radiacin incidente, la cantidad de movimiento total p por unidad de volumen V cedida a la superficie por la onda en caso de incidencia normal esp= uV = c c

[5.23]

donde se ha hecho uso de que la cantidad de movimiento y la energa de la onda electromagntica se relacionan por la expresin [5.30] =pc, frmula que posteriormente se explicar. La presin de radiacin, dada por la fuerza dividida entre el rea, es por tanto igual adp Pr = dt = I = S A c c

[5.24]

En caso de que la superficie sea un reflector perfecto, la onda reflejada tambin cede la misma cantidad de movimiento a la superficie y la presin de radiacin para incidencia normal es igual aPr = 2 I S =2 c c

[5.25]

5-7

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.2 Naturaleza corpuscular de la luzA principios del siglo XX, la fsica se enfrent a una serie de fenmenos, analizados a continuacin, que conducian a que la radiacin electromagntica era de caracter corpuscular en su interaccin con la materia a diferencia de su caracter ondulatorio cuando se propaga. Estos resultados marcaran el comienzo de una nueva disciplina conocida como fsica cuntica. 5.2.1 Radiacin del cuerpo negro. Se llama radiacin trmica a la radiacin emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos emiten esta radiacin a su derredor, y la absorben de l. Recibe el nombre de cuerpo negro todo cuerpo que absorbe toda la energa radiante de cualquier frecuencia que llega sobre l. Si un cuerpo que cumple con estas condiciones se ilumina con luz visible, ninguna radiacin retorna y presentar color negro. Un cuerpo negro perfecto no existe en la naturaleza, pero se aproxima mucho a l en la zona del espectro visible la pequea boca de una cavidad recubierta de negro de humo, tal y como se muestra en la figura 5.3, ya que toda la luz que penetra por ella es absorbida en la primera sucesivas internas. Pues bien, si Figura 5.3. Cuerpo negro definido como reflexiones aquel que absorbe toda la energa que llega calentamos la cavidad a una temperatura T, sobre l por la boca de la cavidad sale una radiacin cuyo espectro frecuencial podemos analizar. La fsica clasica arroja el siguiente resultado para la densidad de energa por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro uT ( f ) df = 8f 2 kT df c2 [5.26]

conocida como frmula de Rayleigh-Jeans y representada en la figura 5.4 junto a los resultados experimentales medidos. La discrepancia entre modelo terico y resultados experimentales es evidente. En el lmite de frecuencias bajas, el espectro clsico se aproxima a los resultados experimentales, pero a medida que la frecuencia crece, la prediccin terica tiende a infinito mientras que los experimetos muestran que la densidad de energa siempre permanece finita y de hecho tiende a cero para frecuencias muy altas. Este fallo de la teora clsica es conocido en fsica como la catstrofe ultravioleta.

5-8

5. Naturaleza y propagacin de la luz

Figura 5.4. Densidad de energa por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro, frmula de Rayleigh-Jeans, junto a los resultados experimentales

De acuerdo con la fsica clsica, la energa de una onda en particular puede tener cualquier valor de forma continua entre cero e infinito y bajo esa hiptesis se desarrollo la teora de Rayleigh-Jeans. Plank, sin embargo hizo la sorprendente suposicin de que la densidad de energa de las ondas electromagnticas variaba de forma discreta segn mltiplos de un valor elemental de la forma = nhf

[5.27]

donde n es un nmero entero, f la frecuencia de la radiacin y h es una constante universal llamada constante de Plank cuyo valor encontrado experimentalmente es igual a h= 6.63x10-34 J.s Con esta hiptesis se llega a que la densidad de energa por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro es igual al conocido como espectro del cuerpo negro de PlankuT ( f ) df = 8f c3 hf ehf KT

df 1

[5.28]

que reproduce adecuadamente los resultados experimentales tal y como muestra la figura 5.5. La drstica suposicin de Plank implica que la emisin de luz, y en general de toda onda electromagntica, se realiza en forma de partculas, corpsculos cuantos de energa hf.

5-9

5. Naturaleza y propagacin de la luz

Figura 5.5. Densidad de energa por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro segn el modelo de Plank

5.2.2 Efecto fotoelctrico. Este fenmeno consiste en que cuando un metal recibe luz, emite electrones denominado fotoelectrones. Analizando esta emisin de fotoelectrones se observan los siguientes hechos: a) La corriente de fotoelectrones es proporcional a la intensidad del haz incidente b) La energa cintica mxima de los electrones arrancados no depende de la intensidad del haz incidente, solo depende de la frecuencia c) La energa cintica mxima de los fotoelectrones es una funcin lineal de la frecuencia de la luz utilizada de la forma1 2 mv = Emax = Af W 2

[5.29]

d) Existe para cada metal una frecuencia umbral por debajo de la cual no se produce emisin de electrones cualquiera sea la intensidad de la luz incidente e) La emisin es instantanea con la llegada de la luz al metal La explicacin que di Einstein a este fenmeno se basa en que un haz de luz es un chorro de partculas, fotones, de energa hf. Cuando sobre el metal llega un fotn, ste puede ceder toda su energa a un electrn el cual puede ser arrancado del metal, en cuyo caso la energa cintica mxima del electrn ser igual a Emax = hf W donde W es la energa de ligadura del electrn. Esta ecuacin se ajusta con la experiencia [5.29]. Si hf no es igual mayor que W, no se arrancan electrones. La frecuencia umbral ser por tanto f=h/W y la constante A de [5.29] ser la constante de Plank.5-10

5. Naturaleza y propagacin de la luz

Teniendo en cuenta que la velocidad de los fotones en el vaco es c, de la teora de la relatividad se deducen las propiedades de masa, energa y cantidad de movimiento del fotn Masa ( reposo ) = 0 E = pc h p=

[5.30]

5.2.3 Efecto Compton. En 1920 se observ, estudiando la dispersin de rayos X por la materia, que los rayos que salan dispersados en diferentes direcciones tenan diferentes longitudes de onda y mayores que la radiacin incidente, independientemente del material atravesado. Este hecho no se puede interpretar por la fsica clasica pues si se supone que la difusin de rayos X se debe a que los electrones de la materia entran en vibracin con la frecuencia de la onda electromagntica incidente, debera radiar con la misma frecuencia, Figura 5.6. Choque de un fotn con un electrn cosa que no ocurre. El fenmeno fue explicado por Compton admitiendo que la luz est constituida por fotones de energa hf, los cuales sufren choque elsticos con los electrones libres dbilmente ligados de la materia, en cuyos choques se conserva la energa y el momento tal y como se muestra en la figura 5.6. 5.2.4 Dualidad onda-corpsculo. Las experiencias que acabamos de analizar y su justificacin exigen considerar los haces de luz como chorros de partculas, denominadas fotones, de energa hf. Por otro lado, los fenmenos de la interferencia y difraccin de luz, bien estudiados y experimentados, certifican el caracter ondulatorio de la misma. Esta situacin induce a la siguiente interpretacin: a) Los aspectos ondulatorio y corpuscular de la luz no son incompatibles ni contradictorios, son dos aspectos complementarios de un mismo ente fsico, la luz, y los fenmenos lumnicos no pueden ser enteramente descritos si no se tiene en cuenta ambos aspectos b) La propagacin de la luz viene gobernada por sus propiedades ondulatorias c) El intercambio de energa entre luz y materia viene determinado por sus propiedades corpusculares a travs del fotn de energa hf y cantidad de movimiento h/.

5-11

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.3 Velocidad de la luzLa primera medicin no astronmica de la velocidad de la luz la llev a cabo el fsico francs Fizeau en 1849. Sobre una colina se sita una fuente luminosa y un sistema de lentes dispuesto de tal forma que la luz reflejada en un espejo semitransparente se enfoca sobre uno de los huecos existentes en una rueda dentada como se ve en la figura 5.7. Sobre otra colina distante se sita un espejo que refleja la luz hacia atrs, de modo que pudiera ser vista por un observador del modo que se muestra en la figura. La rueda dentada puede girar siendo variable su velocidad de rotacin. A bajas velocidades de rotacin, la luz es visible por el observador porque la luz que pasa a travs de un hueco de la rueda dentada no queda obstruida por el diente siguiente despus de reflejada en el espejo. Entonces se aumenta la velocidad de rotacin hasta que la luz que pasa a travs del hueco de la rueda dentada queda obstruida por el diente siguiente y se deja de observar luz. El tiempo necesario para que la rueda gire a travs del ngulo comprendido entre dos huecos sucesivos es igual al tiempo empleado por la luz en recorrer la distancia de la rueda al espejo y volver a la rueda.

Figura 5.7. Mtodo de Fizeau para la medida de la velocidad de la luz

Se define en la actualidad que la velocidad de la luz en el vaco, y por ende del resto de las ondas electromagnticas, es c= 299.792.457 m/s [5.31]

y entonces se define en funcin de esta velocidad la unidad estndar de longitud, el metro. El valor 3x108 m/s para la velocidad de la luz es suficientemente exacto para la mayora de las aplicaciones5-12

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.3.1 Principio de relatividad. A finales del siglo XIX, los fsicos asuman que la naturaleza ondulatoria de la luz llevaba aparejada la necesidad de la vibracin de alguna sustancia desconocida, que denominaban eter que llenaba el espacio, de forma anloga a las vibraciones del aire que dan lugar al sonido. Asumiendo que este supuesto eter fuese estacionario, encontramos que la luz se desplaza con respecto al eter a una velocidad c. Si la tierra se moviera a travs del eter con velocidad v, entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra debera depender de la direccin de propagacin. Por ejemplo, debera ser c-v para un rayo de luz que se propaga en la misma direccin del movimiento de la tierra y c+v en la direccin opuesta. En 1881, Michelson y Morley demostraron experimentalmente que la velocidad de la luz era la misma en todas las direcciones. Estos resultados obligaron a abandonar el concepto de eter, las ondas electromagnticas se propagan en el vaco, y movieron a Einstein en 1905 a enunciar su principio de relatividad basado en el hecho de que la velocidad de la luz es una invariante fsico que tiene el mismo valor para todos los observadores. Esta invariancia obliga a profundos cambios en el movimiento relativo entre observadores tal y como se asuma en la mecnica clsica. En especial la hiptesis de que el tiempo es igual para todo observador no puede ser cierta. Dado que velocidad es distancia dividida entre tiempo, tenemos que ajustar el tiempo y la distancia, si el cociente debe ser el mismo para observadores en movimiento relativo, como en el caso de la velocidad de la luz. Las nuevas transformaciones, denominadas transformaciones de Lorentz, entre dos observadores en movimiento relativo con velocidad v segn el eje x, compatibles con la invariancia de la velocidad de la luz son x= x vt y= y z= z

v2 1 2 c vx t 2 c t = v2 1 2 c m m= v2 1 2 c

[5.32]

Estas nuevas transformaciones obligaron al desarrollo de una nueva rama de la fsica, fsica relativista, que encuentra su principal aplicacin en el rango de las altas energas cuando las velocidades de las partculas se aproximan a la velocidad de la luz.

5-13

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.4 Propagacin de la luzHemos visto como la propagacin de la luz viene gobernada por la ecuacin de ondas desarrollada en el apartado 5.1. Sin embargo, antes de que Maxwell desarrollara la teora de las ondas electromagnticas, la propagacin de la luz fue descrita empricamente por dos principios desarrollados por Huygens y Fermat, posteriormente deducidos a partir de la ecuacin de ondas. Estos dos principios, que pasamos a continuacin a enunciar, permitieron explicar muchos de los fenmenos asociados a la propagacin de la luz. 5.4.1 Principio de Huygens. Consideremos un frente de ondas esfrico que procede de un foco puntual. Vimos en captulos anteriores como el frente de ondas es el lugar geomtrico de los puntos con fase constante. Si en el instante t el radio del frente de ondas es r, su radio en el instante t+t es r+ct siendo c la velocidad de la onda. Sin embargo, si una parte de la onda se ve bloqueada por un obstculo, si la onda pasa a travs de diferentes medios, es mucho ms difcil la determinacin del nuevo frente de ondas en el instante t+t. La propagacin de una onda a travs del espacio puede describirse utilizando un mtodo geomtrico conocido como principio de Huygens Cada punto de un frente de ondas primario sirve como foco de ondas esfricas secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a las de la onda primaria. El frente de ondas primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de estas ondas elementales. La figura 5.8 muestra la aplicacin del principio de Huygens a la propagacin de una onda plana y una onda esfrica. 5.4.2 Principio de Fermat. En un medio homogeneo de ndice de refraccin Figura 5.8. Principio de Huygens para la n, definido n como n=c/v, se define el propagacin de la luz camino ptico (L) de la luz que ha recorrido un trayecto desde A hasta B de longitud s como( L) = ns

[5.33]

Si el medio es heterogeneo con variacin continua del ndice de refraccin tenemos que el camino ptico es igual a

5-14

5. Naturaleza y propagacin de la luz

(L ) =

B A

nds = c

B A

B ds = c dt = ct A v

[5.34]

As pues, el camino ptico puede definirse como el producto de la velocidad de la luz en el vaco por el tiempo que tarda en recorrer la trayectoria. El principio de Fermat establece que : La trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto A a otro punto B es aquella para la cual el camino ptico es mnimo. Esta definicin, y dado que c es una constante, es equivalente a afirmar que el tiempo de recorrido de la luz debe ser un mnimo.

5.5 Reflexin y refraccinUn medio transparente a la luz se define por su ndice de refraccin n que como hemos visto viene dado por la ecuacinn= c v

[5.35]

siendo c la velocidad de la luz en el vaco y v la velocidad en el medio. De las definiciones de ambas velocidades llegamos al resultado n= c = v = r r 0 0 [5.36]

Para la mayora de los materiales pticos de inters r=1 dado que no son ferromagnticos con lo que el ndice de refraccin es igual a la raiz cuadrada de la constante dielctrica relativa. De [5.35] se deduce que el ndice de refraccin es una parmetro adimensional mayor que la unidad, dado que c siempre es mayor igual que v. La tabla 5.1 muestra los ndices de refraccin de varias sustancias.Tabla 5.1. ndice de refraccin de diferentes sustancias para luz de longitud de onda =589 nm Sustancia Slidos a 20 C Diamante (C) Fluorita (CaF2) Cuarzo (SiO2 ) Vidrio crown Hielo (H2O) Poliestireno Cloruro sdico (NaCl) 2.419 1.434 1.458 1.52 1.309 1.49 1.544 Aire CO2 n Sustancia Lquidos a 20 C Benceno Alcohol Etlico Glicerina Agua 1.501 1.361 1.473 1.333 1.000293 1.00045 n

Gases a 0 C, 1 atm

5-15

5. Naturaleza y propagacin de la luz

Cuando un haz de luz incide sobre una superficie lmite de separacin entre dos medios, tal como una superficie aire-vidrio, parte de la energa luminosa se refleja y parte se transmite dando lugar al fenmeno de la reflexin y refraccin ya analizados en el captulo 2. Siguiendo el esquema de la figura 5.9, las leyes que rigen este fenmeno son la ley de la reflexin, el ngulo incidente es igual al ngulo reflejado 1 = 1 [5.37]

y la ley de la refraccin de Snell que liga ngulo incidente y ngulo refractado en funcin de los ndices de refraccin de los medios Figura 5.9. Reflexin y refraccin de la luz en lasuperficie lmite entre dos medios

n1sen 1 = n 2 sen 2

[5.38]

Experimentalmente se ha comprobado que no hay un cambio de frecuencia al pasar la luz del primer medio al segundo medio. Dado que si que hay un cambio de velocidades de propagacin, esto implica que la longitud de onda debe cambiar. Si la longitud de onda en el vaco es , la longitud de onda en un medio de ndice de refraccin n es= n

[5.39]

5.5.1 Deduccin mediante el principio de Huygens. Analicemos los fenmenos de reflexin y refraccin utilizando la construccin de Huygens. La figura 5.10.a muestra un frente de ondas plano AA que incide sobre un espejo en el punto A. El ngulo 1 que forma el frente de ondas con el espejo es igual al ngulo de incidencia 1 que forma la perpendicular al espejo y los rayos perpendiculares al frente de ondas. De acuerdo con el principio de Huygens cada punto de un frente de ondas puede considerarse como un punto de una fuente de ondas elementales secundarias. La posicin del frente de ondas al cabo de un tiempo t se encuentra construyendo las ondas elementales de radio ct con centros en el frente de ondas AA. Las ondas elementales que no inciden sobre el espejo forman la parte BB del nuevo frente de ondas. Los frentes de onda que inciden sobre el espejo se reflejan y forman la parte BB del nuevo frente de ondas. Mediante una construccin semejante se obtiene el frente de ondas CC a partir de las ondas elementales de Huygens que se originan en el frente de ondas BB. La figura 5.10.b es una parte aumentada de la figura 5.10.a en la que se muestra AP, parte del frente de ondas original. Durante el tiempo t, la onda elemental procedente del punto P alcanza al5-16

5. Naturaleza y propagacin de la luz

espejo en el punto B y la onda elemental procedente del punto A alcanza el punto B. El frente de ondas reflejado BB forma un ngulo 1 con el espejo que es igual al ngulo de reflexin 1 entre el rayo reflejado y la normal al espejo. Los tringulos ABP y BAB son ambos tringulos rectngulos con la hipotenusa comn AB y los catetos iguales AB=BP=ct. De aqu que estos tringulos sean semejantes y que los ngulos 1 y 1 sean iguales lo cual implica que el ngulo de reflexin 1 es igual al ngulo de incidencia 1, ley de la reflexin.

(a) del frente de ondas AP

(b)

Figura 5.10.a) Frente de ondas plano incidiendo sobre un espejo y b) detalle del proceso de reflexin

La figura 5.11 muestra una onda plana que incide sobre una superficie plana. Apliquemos la construccin de Huygens para hallar el frente de ondas de la onda transmitida. El segmento AP indica una porcin del frente de ondas en el medio 1 que incide sobre la superficie con un ngulo de incidencia 1. En el instante t la onda elemental procedente de P recorre la distancia v1 t y alcanza el punto B sobre Figura 5.11. Refraccin de un frente de ondas la lnea AB que separa ambos medios, plano mientra que la onda elemental procedente del punto A recorre una distancia v t dentro del segundo medio. El nuevo frente de 2 ondas BB no es paralelo al frente de ondas original AP porque son diferentes las velocidades de transmisin en ambos medios. Del tringulo APB sen1 = v1t AB v1t vt AB = = 1 sen1 sen 1

[5.40]

Anlogamente y a partir del tringulo ABB5-17

5. Naturaleza y propagacin de la luz

sen 2 =

v2 t AB vt vt AB = 2 = 2 sen 2 sen 2

[5.41]

Igualando valores obtenemossen 1 sen 2 = v1 v2 n1sen 1 = n2 sen 2

[5.42]

obteniendo la ley de Snell de la refraccin. 5.5.2 Deduccin mediante el principio de Fermat. La figura 5.12 muestra dos trayectorias en las cuales la luz sale del punto A, choca contra la superficie plana y se propaga hasta el punto B. Aplicando el principio de Fermat el recorrido entre A y B ser aquel que se realize en el menor tiempo posible. Como en este problema la luz siempre se mueve en el mismo medio, el tiempo ser mnimo cuando la distancia sea mnima. Esta distancia APB es mnima cuando el ngulo de incidencia es igual al de reflexin. En el caso de la refraccin, la figura 5.13 indica la geometra que sirve para encontrar el trayecto de mnimo tiempo entre los puntos A y B. Si la distancia recorrida en el medio 1 es L1 y la recorrida en el medio 2 es L2, el tiempo que tarda la luz en recorrer el trayecto AB es

Figura 5.12. Trayectorias posibles de la luz en un proceso de reflexin para ir de A a B

L1 L2 L L + = 1 + 2 = c c v1 v 2 n1 n2 nL nL = 1 1+ 2 2 c c t=Figura 5.13. Trayectoria de mnimo tiempo entre A y B en un proceso de refraccin 5-18

[5.43]

5. Naturaleza y propagacin de la luz

Utilizando las igualdades deducidas de la figura 5.13

L2 = a 2 + x 2 1 L2 = b 2 + ( d x ) 2 2y haciendo el tiempo un mnimo respecto a x obtenemosdL dt 1 dL1 = n1 + n2 2 = 0 dx c dx dx

[5.44]

[5.45]

A partir de [5.44]dL1 x = = sen 1 dx L1 dL2 dx = = sen 2 dx L2

[5.46]

Introduciendo estos resultados en [5.45] tenemos n1sen 1 + n2 ( sen 2 ) = 0 n1sen 1 = n2 sen 2 que es la ley de Snell de la refraccin. 5.5.3 Factores de reflexin y transmisin. La fraccin de energa luminosa reflejada y transmitida al incidir la onda sobre una superficie lmite depende del ngulo de incidencia, la orientacin del vector campo elctrico y de los ndices de refraccin segn unas ecuaciones denominadas frmulas de Fresnel. Para el caso especial de incidencia normal el factor de reflexin r0, fraccin de intensidad reflejada, y el factor de transmisin t , fraccin de intensidad transmitida, vienen 0 dados por n n2 I r0 = r = 1 I i n1 + n 2 t0 = It 4n1 n2 = 2 I i ( n1 + n 2 )2

[5.47]

[5.48]

[5.49]

donde II es la intensidad incidente, Ir la reflejada y It la transmitida y n y n2 los 1 indices de refraccin de los dos medios. La conservacin de la energa obliga a que la suma de r y t sea igual a 1.5-19

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.5.4 Reflexin interna total. Cuando el ndice de refraccin del segundo medio es menor que el del primero n1 >n2, la ley de Snell implica que r > i . Al ir aumentando el ngulo de incidencia sobre la superficie, el ngulo del rayo refractado subir de valor hasta alcanzar los 90 para un ngulo de incidencia crtico c tal y como se muestra en la figura 5.14. Para ngulos de incidencia mayores que c no existe rayo refractado y toda la energa se refleja, fenmeno conocido como reflexin interna total. Una aplicacin muy interesante de este fenmeno es la transmisin de un haz de luz a lo largo de una fibra de vidrio transparente denominada fibra ptica.

Figura 5.14.a) Reflexin interna total para un ngulo de incidencia mayor que c y b) ejemplo del fenmeno en la superficie de separacin agua/aire

A partir de la ley de Snell se puede deducir el valor de este ngulo crticosen c = n2 n1

[5.50]

5.5.5 Espejismos. Cuando el ndice de refraccin de un medio cambia de forma continua, la refraccin es continua de forma que la luz se va curvando gradualmente. Un ejemplo interesante de este caso es la formacin de un espejismo. En un da caluroso es frecuente tener cerca del suelo una capa de aire ms caliente, y por tanto menos denso que el aire que tiene encima. La velocidad de la luz es ligeramnete mayor en esta capa menos densa, de manera que el haz que pasa de la capa ms fra a la ms caliente se curva tal y como se Figura 5.15. Espejismo motivado por aire caliente muestra en la figura 5.15. en las cercanas del suelo5-20

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.6 PolarizacinEn toda onda tranversal, la vibracin es perpendicular a la direccin de propagacin de la onda. Por ejemplo, una onda luminosa que se mueva en la direccin X, tendr un campo elctrico E perpendicular a esta direccin, por ejemplo el Y segn se muestra en la figura 5.16, con un campo magntico B segn el eje Z. Si la vibracin se mantiene paralela a una lnea del espacio se dice que la onda est linealmente polarizada. El plano de polarizacin se Figura 5.16. Onda de luz propagndose segn el define como el plano en el que oscila el eje X linealmente polarizada campo elctrico, en este caso el plano XY. Otra solucin posible en forma de onda plana de la ecuacin de ondas es aquella en la que los campos electricos y magnticos tienen una magnitud constante, pero rotan alrededor de la direccin de polarizacin dando como resultado una onda polarizada circularmente tal y como se indica en la figura 5.17. Esta nueva solucin se obtiene combinando dos soluciones linealmente polarizadas como por ejemplo [5.51]

Figura 5.17. Onda de luz propagndose segn el eje X circularmante polarizada

E y = E o sen( kx t ), E z = Eo cos( kx t ) B y = m Bo cos( kx t ), Bz = Bo sen ( kx t )

que corresponde a un defasaje de /2 entre las componentes de cada campo. El extremo del vector E define una circunferencia en el espacio. En caso de que las amplitudes de cada componente sean diferentes se obtiene una polarizacin elptica. La mayora de la ondas producidas por una fuente estn polarizadas. Por ejemplo las ondas electromagnticas producidas por una antena dipolar estn linealmente polarizadas con el vector campo elctrico paralelo a la antena. En cambio las ondas producidas por muchas fuentes normalmente no estn polarizadas. Una fuente luminosa tpica contiene millones de tomos que actan independientemente dando lugar a luz no polarizada.

5-21

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.6.1 Polarizacin por absorcin. Algunos cristales cortados adecuadamente presentan la propiedad de transmitir solo la luz polari zada segn una direccin determinada, denominada eje de transmisin. Al incidir luz no polarizada sobre estos cristales, la luz transmitida presentar una campo elctrico paralelo al eje de transmisin. Si situamos un segundo cristal polarizador cuyo eje de transmisin forma un ngulo con el primero, figura 5.18, la componente del campo elctrico a lo largo del eje de Figura 5.18. Proceso de polarizacin por transmisin del segundo polarizador sera absorcin utilizando cristales polarizadores Ecos, siendo E el campo elctrico entre ambos cristales. Dado que sabemos que la intensidad de la onda es proporcional a la amplitud al cuadrado, la intensidad de la luz transmitida por ambos cristales ser igual aI = I 0 cos 2

[5.52]

donde I0 es la intensidad sobre el segundo polarizador, denominado analizador, que es la mitad de la intensidad incidente sobre el primer polarizador. 5.6.2 Polarizacin por reflexin. Cuando luz no polarizada se refleja en una superficie plana entre dos medios transparentes, la luz reflejada est parcialmente polarizada. El grado de polarizacin depende del ngulo de incidencia y de los ndices de refraccin de ambos medios. Brewster descubri en 1812 que cuando los rayos refractados y reflejados son perpendiculares, la onda reflejada est totalmente polarizada, estando su campo elctrico perpendicular al plano de incidencia tal y como se muestra en la figura 5.19. El ngulo de incidencia para el que ocurre este fenmeno se denomina ngulo de polarizacin p y su determinacin es sencilla a partir de 5.19 donde se observa que 2 = 90 p que junto a la ley de Snell lleva aFigura 5.19. Proceso de polarizacin por reflexin al incidir la luz sobre la superficie con p

tg p =

n2 n1

[5.53]

5-22

5. Naturaleza y propagacin de la luz

Mientras, la luz transmitida est solo parcialmente polarizada debido a que solo se refle ja una pequea fraccin de la luz incidente. Debido al fenmeno de la polarizacin de la luz reflejada, las gafas fabricadas con cristales polarizantes son muy eficaces a la hora de evitar deslumbramientos. La luz reflejada en lagos en la nieve presentar un plano de incidencia prcticamente vertical con lo que el campo elctrico de la luz reflejada ser horizontal. Los cristales polarizados con sus ejes de transmisiones verticales absorbern gran parte de la luz reflejada evitando los deslumbramientos.

5.7 Dispersin de la luzLa dependencia del ndice de refraccin de un material con la longitud de onda, y por tanto con la frecuencia, recibe el nombre de dispersin. Para la mayora de los vidrios pticos y sustancias transparentes, n disminuye con la longitud de onda segn la frmula de Cauchyn ( ) = A + B 2

[5.54]

donde A y B son constantes a determinar experimentalmente. Cuando un haz de luz blanca incide formando un cierto ngulo sobre un prisma de vidrio, el ngulo de refraccin correspondiente a las longitudes de onda ms cortas es ligeramente mayor que el correspondiente a las longitudes de onda ms largas. Por consiguiente, las longitudes de onda ms cortas (violeta) se desvan ms que las largas (rojo) dando lugar a la dispersin del haz de luz blanca en sus colores longitudes de onda constituyentes, figura 5.20. Analicemos este fenmeno considerando un prisma ptico como un medio transparente limitado por dos superficies planas que forman un ngulo diedro . De la marcha del rayo en la figura 5.21 y del tringulo AI1 I2 se deduce, teniendo en cuenta que 2 y 2 son negativos y 1 y 1 positivos 1, 2 = [5.55]

El ngulo que forma la proyeccin del rayo incidente con el emergente se llama desviacin angular del rayo y se toma como positiva si al llevar el rayo emergente sobre el incidente se va en sentido antihorario. Para calcular basta considerar que es el ngulo externo en el tringulo JI1 I2 = 1 + 2 = ( 1 1 ) + ( 2 2 ) = 1 2

[5.56]

5-23

5. Naturaleza y propagacin de la luz

Figura 5.20. Dispersin de un haz de luz blanca en un prisma dando lugar a sus longitudes de onda, colores, constituyentes

Si el rayo est compuesto de dos haces monocromticos y +d, y debido al fenmeno de la dispersin, a la salida del prisma habr una variacin en la desviacin de cada uno de los haces denominada dispersin angular d, figura 5.22. Para calcular este ngulo diferenciamos [5.55], [5.56] y la ley de Snell considerando que 1 y son constantesFigura 5.21. Difraccin de un rayo de luz en las superficies de un prisma d 1 = d 2 , d = d 2 n cos 1 d 1 + sen 1dn = 0 n cos 2 d 2 + sen 2 dn = cos 2d 2

y operando, junto a [5.55], llegamos a la ecuacind = sen dn cos 1 cos 2

[5.57]

Figura 5.22. El rayo de luz incidente sobre el prisma est compuesto de dos longitudes de onda 5-24

5. Naturaleza y propagacin de la luz

5.8 Absorcin de la luzLa absorcin de la luz durante su propagacin a travs de un medio ocurre en caso de que la frecuencia de la onda electromagntica coincida con la frecuencia natural de resonancia de alguna de las cargas presentes en el medio. Sabemos que el campo elctrico de la onda electromagntica ejercer una fuerza oscilante sobre las cargas elctricas, electrones negativos e iones positivos, existentes en el material movindolas de su posicin de equilibrio. Por tanto aparece una oscilacin forzada de las cargas en torno a su posicin de equilibrio, situacin fsica ya analizada en el captulo 1. De este anlisis sabemos que para una frecuencia del campo elctrico igual a la frecuencia natural de oscilacin del sistema tendremos resonancia y habr una absorcin por parte del medio de energa electromagntica provocando una atenuacin de la luz. La absorcin selectiva de ciertas frecuencias es responsable del color de los materiales. Para un medio de constante dielctrica relativa r, permeabilidad magntica relativa r y conductividad elctrica , la ecuacin diferencial de ondas queda de la forma 2 E = 0 r E 2E + 0 r 0 r 2 t t [5.58] plana

que presenta como solucin, en forma de onda electromagntica propagndose a lo largo del eje x E = E 0e i ( kx t )

[5.59]

formalmente anloga a las soluciones ya estudiadas, pero en este caso el vector de onda del medio absorbente es un nmero complejo que valek 2 = 0 r 0 r 2 + i 0 r

[5.60] , c

Recordando la relacin entre vector de onda e ndice de refraccin k = ~ n introducimos el ndice de refraccin complejo definido como

~ n = n + i

[5.61]

La parte real del ndice de refraccin coincide con la definicin anteriormente expuesta de ndice de refraccin en la ecuacin [5.35]. La parte imaginaria, denominada coeficiente de extincin , da cuenta como veremos de los fenmenos

5-25

5. Naturaleza y propagacin de la luz

de absorcin de luz presentes en el material. Introduzcamos en el campo elctrico dado por la ecuacin [5.59] el ndice de refraccin complejo ~ . n ~ n x x nx t ) i( t ) c c e c E( x , t ) = E 0e = E0e i(

[5.62]

Es decir una onda de frecuencia que se propaga por el medio con una velocidad de fase c/n y una amplitud que se atenua con la longitud de propagacin x segn el factor e c . Sabemos que la intensidad de la onda electromagntica es proporcional al cuadrado de la amplitud con lo que la intensidad de la onda vendr dada por

I = I 0e x

[5.63]

donde I0 es la intensidad en x=0 y es el coeficiente de absorcin del material definido como= 2 4 = c

[5.64]

El coeficiente de absorcin es fuertemente dependiente de la frecuencia de la onda electromagntica incidente pudiendo absorberse en el material unos colores y no otros.

5-26

5. Naturaleza y propagacin de la luz

Problemas1. Una bombilla elctrica de 50 W emite ondas electromagnticas uniformemente en todas las direcciones. Calcular la intensidad, la presin de radiacin y los campos elctricos y magnticos a una distancia de 3 m. 2. La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau es de 20 km, la rueda dentada tiene 25 mm de radio y 250 dientes. Cul debe ser la velocidad de giro de la rueda para que la luz deje de verse? 3. Un rayo de luz que se propaga en el aire entra en el agua con un ngulo de incidencia de 45. Si el ndice de refraccin del agua es de 1,33, cul es el ngulo de refraccin? 4. Considerese un haz de luz monocromtica con longitud de onda en el vaco de 590 nm. Calcular la longitud de onda de este haz en un vidrio con ndice de refraccin n=1,5. 5. Una radiacin de frecuencia f=5x1014 s-1 se propaga en el agua. Calcular la velocidad de propagacin y la longitud de onda de dicha radiacin. 6. En el fondo de una vasija llena de lquido de ndice de refraccin n2 hay un pequeo objeto. La vasija tiene una altura hr. Hallar la altura aparente a la que se encuentra el objeto cuando se mira ste con incidencia normal siendo el ndice de refraccin del medio donde se encuentra el observador n1 . 7. Hallar el desplazamiento que experimenta un rayo de luz al atravesar una lmina de 1 cm de espesor e ndice de refraccin 1,5 si el rayo incidente forma un ngulo de 45 con la normal. 8. En una lmina plana de cuarzo, n=1,544, de caras paralelas incide un rayo con un ngulo cercano a cero. Calcular el porcentaje de la intensidad luminosa del rayo que emerge a travs de la lmina. 9. Un vidrio dado posee un ndice de refraccin de n=1,5. Cul es el ngulo crtico para la reflexin total de la luz que sale del vidrio y entra en el aire? 10. Sea una lmina de vidrio, n=1,75, con forma de cua y rodeada de aire. Calcular el ngulo que forman las dos caras de la cua sabiendo que un rayo de luz que incide sobre una de las caras con un ngulo de 30 se refracta sobre la otra segn el ngulo crtico. 11. Un rayo de luz incide sobre la cara exterior de un vidrio con ndice de refraccin 1,655. Sobre la cara superior se condensa un lquido desconocido. La reflexin interna total sobre la superficie vdrio-lquido se produce cuando el ngulo de incidencia en la superficie vdrio-lquido es 53,7. Cul es el ndice de refraccin del lquido desconocido? Si se eliminase el lquido, cul sera el ngulo de incidencia para la reflexin interna total?. Para el ngulo de incidencia hallado en el apartado anterior, cul es el ngulo de refraccin del rayo dentro de la pelcula del lquido? Emerger un rayo a travs de la pelcula del lquido hacia el aire que est encima? 12. Luz no polarizada de intensidad 3 W/m2 incide sobre dos pelculas polarizadoras cuyos ejes de transmisin forman entre si un ngulo de 60.Cul es la intensidad de la luz transmitida por la segunda pelcula?5-27

5. Naturaleza y propagacin de la luz

13. Hallar la velocidad de grupo de un haz de luz en un vidrio ptico que cumple la frmula de Cauchy. 14. Calcular la variacin de desviacin que experimenta un rayo luminoso despus de atravesar un prisma de vidrio, =60 y n=1,6, sobre el que incide con un ngulo de 40 cuando el medio que lo rodea cambia de aire a agua. 15. Calcular el ngulo diedro de un prisma, n=1,5204 para una longitud de onda de =656,3 nm, sabiendo que un rayo que incide con un ngulo de 60 se desva un ngulo de 481330. 16. Demostrar que el ngulo de incidencia 1 sobre un prisma, de ngulo diedro e ndice de refraccin n, que hace mnima la desviacin a la salida del mismo cumple que sen 1 = nsen . 2 17. Para el prisma del problema 15 se conoce que su ndice de refraccin para =486,1 nm es 1,5293. Calcular la dispersin angular existente al incidir sobre el prisma un haz luminoso, compuesto de dos longitudes de onda, =656,3 nm y =589,3 nm, con un ngulo de 60. 18. El ndice de refraccin complejo del Ge a 400 nm viene dado por ~ n = 4,141 + i 2,215 . Calcular para el Ge a 400 nm la velocidad de fase de la luz y su coeficiente de absorcin.

5-28