vectores en el espacio · corresponde a una pequeñísima parte de la geometría: la geometría...
TRANSCRIPT
2
I.- INTRODUCCIÓN.
El bloque que ahora comenzamos es el correspondiente a Geometría, aunque en realidad
corresponde a una pequeñísima parte de la geometría: la Geometría analítica del espacio
tridimensional. La Geometría constituye, sin duda, una de las ramas más importantes de las
Matemáticas y han estado presentes, de una forma u otra, desde la existencia del ser humano.
Uno de los principales creadores de lo que hoy conocemos como Geometría y quizás el más
importante de la historia fue Euclides de Alejandría (330 – 275 a.C.) que estudió Matemáticas,
Música, Óptica,… aunque su obra más importante la forman 13 pequeños libros con un total de 465
proposiciones llamados “Los Elementos de Euclides” y que han sido los pilares básicos de la
Geometría durante siglos. Posteriormente, con el paso de los siglos, la Geometría se ha ido
desarrollando, estudiándose desde las Geometrías no euclídeas, hasta la moderna Geometría
fractal, pasando, entre otras por la Geometría esférica.
Centrándonos en la Geometría Analítica que nos ocupa, fueron los matemáticos franceses Pierre
de Fermat (1601-1665) y sobre todo René Descartes (1596-1650) los que crearon esta nueva
disciplina matemática, también denominada geometría con coordenadas, cuya idea central fue
asociar ecuaciones algebraicas a las curvas y superficies. De esta manera, consiguieron unir los
elementos geométricos con los números a través de los sistemas de referencia. Esta creación
surgió dentro de la búsqueda de métodos generales para el estudio de curvas junto con las nuevas
aportaciones del Álgebra. Lo que haremos es identificar los conceptos geométricos (puntos, rectas,
planos, etc) con números o ecuaciones de modo que, por ejemplo, estudiar dónde se cortan dos
rectas se convierte en estudiar un sistema de ecuaciones.
5
Observación: la orientación del triedro x,y,z no es arbitraria; las 3 posibilidades válidas son las
siguientes, pero la más frecuente es la primera.
III.- OPERACIONES.
III.I. SUMA DE VECTORES
7
III.IV. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Proposición 1: Dado un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, el número de vectores
linealmente independiente de ellos es el rango de la matriz cuyas filas (o columnas) son las
coordenadas de los vectores respecto a una base cualquiera de V.
Nota: A partir de lo anterior, es evidente que:
Tres vectores en el espacio son base El determinante de la matriz que forman sus
coordenadas respecto de una base es no nulo.
El número máximo de vectores linealmente independientes en V3 es tres.
Definición. Dos vectores son paralelos si son linealmente dependientes, es decir cuando sus
coordenadas son proporcionales. vu
significa que los vectores u
y v
son paralelos.
8
Así pues, 321 ,, uuuu
es paralelo a 321 ,, vvvv
cuando 3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u .
Tres puntos A, B y C están alineados si AB y AC son dependientes.
Veamos, en la siguiente tabla resumen, todas las posibilidades de dependencia lineal en función del
número de vectores y de su posición:
12
Para cada valor de a tal que 10 a , existen dos ángulos cuyo coseno vale a: acos y
aº360cos . Consideraremos que el ángulo entre los dos vectores es el menor de estos.
El signo del producto escalar de dos vectores es el mismo que el signo del coseno del ángulo que
forman.
Si el producto escalar es positivo, el ángulo que forman es agudo.
Si el producto es cero, el ángulo que forman es recto, y son perpendiculares.
Si el producto es negativo, el ángulo que forman es obtuso.
Definición. Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es 0.
vu
significa que los vectores u
y v
son perpendiculares (u ortogonales).