Vectores fijos en el plano

Vector fijo:Es un segmento orientado, con el sentido del recorrido que va desde el

origen al extremo.

A

B ExtremoExtremoAB

OrigenOrigen

Elementos de un vector

A

BAB

El módulo de un vector fijo es la longitud del segmento [AB]

Se representa |AB|

Dirección de un vectorDirección de un vector fijo: es la recta sobre la que está situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.

Todos estos vectorestienen la misma dirección.

Sentido de un vector• Dos vectores con la misma dirección pueden tener el mismo sentido o distinto

sentido. Según se realice el recorrido desde el punto origen al extremo del vector.

Vectores con el mismo sentido

Vectores con distinto sentido

Vectores equipolentes o equivalentesDos vectores fijos son equipolentes o equivalentes si tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido.

Todos estos vectores son equipolentes.

Vectores libres en el plano

• Dado un vector fijo en el plano, todos sus vectores equivalentes definen el mismo desplazamiento en el plano. Todos ellos determinan un vector libre en el plano. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

A

Bu

El vector fijo AB es un representante del vector libre u

Todos los vectores de la

figura forman el vector

libre u .

Componentes de un vector libre I• Un vector libre no es más que un desplazamiento en el plano. Este

desplazamiento se puede descomponer en una componente horizontal y otra vertical.

Desplazamiento vertical

+

-

Desplazamiento horizontal

+-El desplazamiento horizontal puede ser hacia la derecha (positivo) o hacia la izquierda (negativo).

El desplazamiento vertical puede ser hacia arriba (positivo) o hacia abajo (negativo).

Componentes de un vector libre II

uEl vector u Está determinado por una componente

horizontal igual a tres (tres pasos hacia la derecha) y otra vertical igual a dos (dos pasos hacia arriba)

)2,3(u

A

B

C

D

E

F

3

2

Este desplazamiento lo podemos realizar en cualquier punto y siempre obtendremos el mismo vector (mismo módulo, dirección y sentido).

Componentes de un vector libre III

• Las componentes de un vector libre se pueden calcular a partir del ángulo que forma el vector con la horizontal y el módulo del vector.

u

x

y coscos ux

u

x

senuyu

ysen

Por tanto senuuu ,cos Esta forma de calcular las componentes de un vector se utiliza muy a menudo en Física.

Suma de vectores libres I

u

v

v

u +

u

v

Colocamos el origen del segundo vector en el extremo del primer vector.

Suma de vectores libres IIRegla del paralelogramo

v

u +

u

v

En los extremos de cada vector trazamos líneas paralelas al otro vector formando un paralelogramo. La diagonal es la suma de los vectores.

Opuesto de un vector

u

-u

-u

-u

El opuesto de un vector es otro vector que tiene el mismo módulo y dirección que el primero pero con distinto sentido.

Diferencia de vectores libres

u

v

u - v

- v

u – v = u + (- v )

Producto de un número real por un vector

-2u3

u

u

u

u

u

-u

-u

El módulo de k u es k veces (positivo) el módulo de u

La dirección es la misma.

Si k>0 el sentido es el mismo

Si K<0 el sentido es contrario

-u

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

reales. números y siendo vuvector cualquier a

v dey u de linealn combinació llamamos vy u vectoresdos Dados

uv

u

v

vu

.2u3 linealn combinació la tegráficamencalcular a vamosvy u vectoreslos Dados v

u

v

vu 23

EJEMPLO COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES I

EJEMPLO COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES II

Dados los vectores anteriores vamos a calcular el vector vu 22

v

u

vu 22

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

• Un conjunto de vectores se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario decimos que son linealmente independientes.

• Dos vectores con la misma dirección son linealmente dependientes.

uuv

• Dos vectores con distinta dirección son linealmente independientes

BASES EN EL PLANO• Dos vectores del plano linealmente independientes se

dice que forman una base porque cualquier otro vector se puede poner como combinación lineal de ellos.

Los dos vectores forman una base del conjunto de vectores del plano al tener distinta dirección

Cualquier otro vector se puede calcular como combinación lineal de los anteriores. El procedimiento es el siguiente:

w

v

u

v

u

w

Coordenadas de un vector respecto de una base

Colocamos los tres vectores con en el mismo origen.

Prolongamos los vectores que forman la base

Trazamos por el extremo del tercer vector paralelas a los vectores de la base. Los puntos de corte determinan la combinación lineal.

v2

u3

vuw 23

),uB( base la de respecto w de scoordenada lasson (3,2) que Diremos v

Coordenadas de un vector respecto de una base II

ua

Vamos a calcular las coordenadas de

Respecto de la base B(u ,v ).

a

v

v

u

a

vua 42

Sistema de referencia cartesiano (ortonormal). Coordenadas cartesianas

Esta formada por un punto fijo O y dos vectores perpendiculares y de módulo uno.

Cualquier otro vector se puede expresar como combinación lineal de esos vectores.

u

jiu 34

i

j

X

y

1 2 43 5

1

2

3

4

A estas coordenadas las llamamos coordenadas cartesianas y coinciden con las componentes horizontal y vertical del vector.

)3,4(u

O

Operaciones con coordenadas

),( 21 vvv ),( 21 uuu y

),( 2211 vuvuvu Suma:

Resta: ),( 2211 vuvuvu

Producto por un número real k: ),( 21 vkvkvk

Opuesto de un vector: ),( 21 vvv

Vector de posición de un punto

Oi

j

X

y

1 2 43 5

1

2

3

4

Fijado un sistema de referencia a cada punto P del plano se le asocia el vector OP .

P Las coordenadas del punto P son las coordenadas del vector OP respecto de la base B( i , j ).

)4,3(43 PjiOP

El vector OP se llama vector de posición del punto P y también se escribe como p .

Cálculo de las coordenadas de un vector AB

X

y

1 2 43 5

1

2

3

4

A (a1,a2)

B (b1,b2)a

b

a + AB = b

AB = (b1-a1 , b2-a2)

AB = b - a

Las coordenadas del vector AB se calculan restando a las coordenadas del punto extremo las del punto origen.

Cálculo del módulo de un vector

X

y

1v

2v

),( 21 vvv

22

21 vvv

Vectores paralelos (linealmente dependientes)

),( 21 vvv

),( 21 uuu

ukv

Por tanto las coordenadas son proporcionales

2

2

1

1

v

u

v

u

Producto escalar de dos vectores

v

u

cos vuvu

El resultado del producto escalar de dos vectores es un número.

Propiedades del producto escalar

1.Dados dos vectores no nulos:

)(0 vularesperpendicusonvyuvu

v

u

º

0vy 0u nulos noson vy u mo Co

0900cos0cos aaavuvu

Propiedades del producto escalar

2. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo:

3. Propiedad conmutativa:

4. Propiedad distributiva:

22

1º0cos. vvvvvv

uvvu

wvvuwvu )(

Cálculo del producto escalar

ortonormalbaseunaderespectovvvyuuuSi ),(),( 2121

2211 vuvuvu Ejemplo:

41014)1,1()0,4( vuvyu

Aplicaciones del producto escalar I

Cálculo del ángulo que forman dos vectores:

cos vuvu

22

21

22

21

2211cosvvuu

vuvu

vu

vu

Aplicaciones del producto escalar IIVectores perpendiculares

laresperpendicusonuuvyuuu ),(),( 1221

uv

Cualquier otro vector paralelo a v será perpendicular a u .

Ejemplo: Calcula tres vectores perpendiculares a u=(-5,3).

)5,3( v )5,3(w )10,6(a

02121 uuuuvu