vectores fundamentales
TRANSCRIPT
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 1/79
Vectores tangentes y vectores normales
En la sección precedente se vio que el vector velocidad apunta en la dirección del
movimiento. Esta observación lleva a la definición siguiente, que es válida para
cualquier curva suave, no sólo para aquellas en las que el parámetro es el tiempo.
DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE
Como se recordará, una curva es suave en un intervalo si es continua y distinta de
cero en el intervalo. Por tanto, la “suavidad” es suficiente para garantizar que una
curva tenga vector unitario tangente.
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 2/79
Hallar el vector unitario tangente a la curva dada por
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 3/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 4/79
La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por
el punto y es paralela al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se
usa el vector unitario tangente para hallar la recta tangente a unahélice en un punto.
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 5/79
Hallar T(t) y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta
tangente a la hélice dada por
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 6/79
DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL
Sea C una curva suave en un intervalo abierto I representada por
. Si entonces el vector unitario normal principal en Tꞌ(t )sedefine como
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 7/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 8/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 9/79
El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En
curvas planas, se puede simplificar el álgebra hallando
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 10/79
Hallar el vector unitario normal principal para la hélice dada por
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 11/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 12/79
Componentes tangencial y normal de la
aceleración
Ahora se vuelve al problema de describir el movimiento de un objeto a lo largo deuna curva. En la sección anterior, se vio que si un objeto se mueve con rapidez
constante, los vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. Esto parece
razonable, porque la rapidez no sería constante si alguna aceleración actuara en
dirección del movimiento. Esta afirmación se puede verificar observando que
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 13/79
TEOREMA VECTOR ACELERACIÓN
Si r(t) es el vector posición de una curva suave C y N(t) existe,
entonces el vector aceleración a(t) se encuentra en el planodeterminado por T(t )y N(t ).
Como a se expresa mediante una combinación lineal deT y Nse sigue que a está
en el plano determinado por T Y N
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 14/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 15/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 16/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 17/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 18/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 19/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 20/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 21/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 22/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 23/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 24/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 25/79
Longitud de arco
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 26/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 27/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 28/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 29/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 30/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 31/79
Halle la longitud de la curva dada por la parametrización
Solución:
La longitud de α será:
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 32/79
La ecuación de una curva es 2 =
3. Halle la longitud del arco queune (1;1) a (1; 1).
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 33/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 34/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 35/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 36/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 37/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 38/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 39/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 40/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 41/79
TRIEDRO DE FRENET
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 42/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 43/79
El plano que generan T y N se denomina plano osculador.
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 44/79
El plano que generan N y B se denomina plano normal.
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 45/79
El plano que generan T y B se denomina plano rectificante.
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 46/79
C
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 47/79
Curvatura
Un uso importante del parámetro longitud de arco es hallar la curvatura, la medida
de cuán agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la figura 12.32 la curva se
dobla más agudamente en P que en Q, y se dice que la curvatura es mayor en P queen Q. Se puede hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de
cambio del vector unitario tangente T con respecto a la longitud de arco s, como se
muestra en la figura 12.33.
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 48/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 49/79
Encuentre la curvatura de un círculo de radio a
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 50/79
Encuentre la curvatura de un círculo de radio a.
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 51/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 52/79
Planos osculante normal y de rectificación
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 53/79
Planos osculante, normal y de rectificación
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 54/79
Finalmente de aqui podemos despejar la curvatura
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 55/79
Finalmente de aqui podemos despejar la curvatura
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 56/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 57/79
H ll l t d l d fi id
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 58/79
Hallar la curvatura de la curva definida por
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 59/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 60/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 61/79
TORSION
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 62/79
TORSION
La torsion de una curva se calcula:
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 63/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 64/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 65/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 66/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 67/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 68/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 69/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 70/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 71/79
Hallar la torsion del arco de helice parametrizado por:
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 72/79
Vamos a calcular el triedro de Frenet, la curvatura y la
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 73/79
, ytorsion de la curva
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 74/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 75/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 76/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 77/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 78/79
7/18/2019 VECTORES FUNDAMENTALES
http://slidepdf.com/reader/full/vectores-fundamentales 79/79