Vedení tepla

Viktor SlámaSI – I 23

Zadání

Vhodné uložení vyhořelého jaderného paliva je úkol pro současnou generaci. Zaměřme se na jednu nepatrnou část tohoto problému. Jaderný odpad je i po dlouhé době zdrojem tepla. Počítejme např. s objemovou produkcí q o hodnotě , kde t je čas v letech. Předpokládejme, že jaderný odpad je uložen ve válcové nádobě o průměru 1 m uložené v hloubce několik set metrů. Zde je rovnice popisující vedení tepla

3.056,0 /10.1036 mWt

t

TcqTk

..

Teplota T závisí na prostorových souřadnicích x, y, z a na čase t. Konstanty potřebné pro výpočet jsou tepelná vodivost k, měrná tepelná kapacita c a hustota . Pro nádobu s odpadem máme hodnoty

k=3,1 W/mK, c=509 JkgK, 3/ 5400 mkg

a pro okolní terén

k=3,0 W/mK, c=760 JkgK,

Úkolem je realizovat výpočet vycházející z představy, že nádoba je nekonečně dlouhá a tudíž celá úloha je rotačně symetrická.

3/ 2670 mkg

Formulace úlohy

Počáteční stav:

do vzdálenosti 0,5 m je teplota 30°C

na zbytku okolí teplota 7°C

Rovnici převedeme na rovnici v polárních souřadnicích, kde uvažujeme symetrii vzhledem k ose z:

t

TcqTk

..

t

ucq

r

u

rr

uk

.1

.2

2

Okrajové podmínky:

první derivace v bodě r=0 (ve středu nádoby) se rovná 0

hodnota na konci oblasti je 7°C

Numerická metoda

Tuto rovnici budeme řešit metodou sítí. Použijeme Eulerovu explicitní metodu.

Aproximace:

...........................................

...........................................

...........................................

2

2

r

u

2

.2

h

hruruhru

r

u

h

hruhru

.2

t

u

h

tuhtu

Numerická metoda

Problémy:

1)

Rovnice není pro r=0 definována.t

ucq

r

u

rr

uk

.1

.2

2

0''.20

0'''''

1'' limlim

00

fr

frfrfrf

rrf

rr

Poté budeme mít pro r=0 tuto rovnici:

t

ucq

r

uk

...22

2

2)

Při realizaci výpočtu jsme omezeni podmínkou na velikost časového kroku.

dtk

dxc

2.

.. 2

což znamená, že pokud je dx=1/3 m ( náš případ ), velikost časového kroku musí být maximálně deset hodin.

Druhý způsob řešení

Rovnice pro výpočet teploty v čase t a vzdálenosti r od zdroje, pokud budeme brát za zdroj tepla jen jeden bod, který zazáří jen jednou a to v čase t, je:

td

r

etdc

QtrT ..4

2

23

...4.,

kde .c

kd

.

Pokud budeme mít těchto bodových zdrojů mnoho nad sebou (vytvoří úsečku), tak rovnici pro výpočet tepla dostaneme tím, že vypočteme určitý integrál z výše popsané rovnice od -H/2 do H/2 podle z, kde H je velikost úsečky (což je výška nádoby).

td

He

tdc

QtrT td

r

..42erf.

...4.., ..4

2

Druhý způsob řešení

Pro tuto rovnici sice platí, že již nevyzařuje teplo jen jeden bod ale celá úsečka, ale stále je to jen jedno zazáření. Proto musíme tuto rovnici ještě integrovat podle času.

tttd

r

td

r

dtttd

He

tt

tQe

tdctrT

0

'..4..4 ''..2

erf..'

'.

...4..

1,

22

Pro srovnatelnost s numerickou metodou musíme tuto rovnici ještě upravit:

7'

'..2erf..

2.'

10.1036.5,0..

...4..

1,

0

'..4'056,02

..4

22

t

ttd

rttd

r

dtttd

He

tte

tdctrT

Výsledky

t=0 t=1

Výsledky

t=5 t=10

Výsledky

t=20 t=50

Výsledky

r=10 r=20

Výsledky

r=40 r=60

Závěr

Zadanou úlohu pro vedení tepla jsme vypočítali dvěma různými způsoby. Nejprve to bylo Eulerovou explicitní metodou a poté jsme si danou úlohu zjednodušili a vyřešili jsme ji druhým způsobem.

 Po srovnání výsledků obou dvou metod, je vidět, že tyto výsledky jsou srovnatelné. Ve větší míře se rozcházejí jen v blízkosti osy nádoby, ale jak se od nádoby vzdalujeme je tento rozdíl čím dál menší. Rozdílnost řešení v blízkosti r=0 je dána různými formulacemi úlohy pro obě metody řešení.

 Vyřešení úlohy dvěma zcela rozdílnými postupy a získání výsledků, které se v zásadě shodují, jsme zvýšili věrohodnost vypočtených hodnot.

 Dále je také z grafů vidět, že námi uvažovaná oblast sta metrů byla dostatečná, protože se grafy teplot se zvětšující vzdáleností od osy nádoby dobře shodují.

Literatura

[1] Pultarová I., Heat Conduction in Radioactive Waste Repository, Sborník konference Matlab 2006.

 

[2] Ikonen K., Thermal Analyses of Spent Nuclear Fuel Repository, VTT Processes, June 2003.