vektÖrlerkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_cev.pdfkt 3 • vektörün, doğrultusunu bir...
TRANSCRIPT
![Page 1: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/1.jpg)
KT 1
VEKTÖRLER
YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
![Page 2: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/2.jpg)
KT 2
Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte
kullanılan matematiksel büyüklükler:
• Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif veya negatif olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skalerlerdir.
• Vektörel büyüklük: Şiddet, doğrultu ve yön ile belirtilen fiziksel bir büyüklüktür. Kuvvet, moment, konum vektörel birer büyüklüktür. Vektör, yönlenmiş bir doğru parçasıyla temsil edilir.
![Page 3: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/3.jpg)
KT 3
• Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok,
şiddetini de okun boyu belirler.
• Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir.
• Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti “A” ile ifade edilir.
A
![Page 4: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/4.jpg)
KT 4
Vektörel İşlemler
• Vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü
• bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü, yine aynı vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına eşittir
![Page 5: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/5.jpg)
KT 5
Vektörlerin Toplamı
• Vektörler paralelkenar ilkesi kullanılarak birbiriyle toplanır. A ve B vektörleri başlangıç noktalarında birleştirilir. Her bir vektörün ucundan diğer vektöre çizilen paralel doğrular paralelkenarı oluşturur. R bileşkesi A ve B’nin başlangıcından doğruların kesiştiği noktaya çizilen doğrudur. R bileşkesi paralelkenarın köşegenidir.
BAR
![Page 6: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/6.jpg)
KT 6
Vektörlerin Toplamı
• A ve B vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir uygulaması olan “üçgen ilkesi”ne göre de toplayabiliriz.
• A vektörünün ucuna B vektörü eklenir, A’nın başlangıcı ile B’nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir.
ABBAR
Vektör toplamı komutatif’tir,
vektörler herhangi bir
sırada toplanabilir.
![Page 7: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/7.jpg)
KT 7
• A ve B vektörü aynı etki çizgisine sahipse
paralelkenar kuralı cebirsel (skaler)
toplama indirgenir.
Vektörlerin Toplamı
• R= A+B (şiddetlerin toplamı)
![Page 8: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/8.jpg)
KT 8
Vektör Çıkarması • A ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar veya üçgen kuralı
kullanılabilir. A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü:
)( BABAR
• Vektör toplamı için uygulanan kurallar vektör çıkarması için de
kullanılmaktadır.
![Page 9: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/9.jpg)
KT 9
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı
• Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir ve vektörel bir büyüklük olduğu için paralelkenar kuralına göre toplanır.
• Statikteki iki genel problem: – Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak
– Bilinen bir kuvveti bileşenlerine ayırmak
![Page 10: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/10.jpg)
KT 10
Bir kuvvetin bileşenlerine ayrılması
• Bir noktaya etkiyen bir tek vektör yerine aynı etkiyi yapacak iki veya daha fazla vektör koymak mümkündür.Bunlara vektörün bileşenleri denir. Bu bileşenleri bulabilmek için: – İki bileşenden düzlemde biri, uzayda ise üç bileşenden ikisi
bilinmelidir.
– Bileşenlerin tesir çizgileri bilinmelidir.
![Page 11: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/11.jpg)
KT 11
İkiden fazla kuvvetin toplanması
• İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak
için paralelkenar kuralı birden fazla uygulanabilir.
321 )( FFFFR
![Page 12: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/12.jpg)
KT 12
• Paralelkenar kuralı
• Trigonometri
Analizde izlenecek yol
![Page 13: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/13.jpg)
KT 13
Örnek 1 • F1 ve F2 kuvvetlerinin
bileşkesini ve yönünü bulunuz.
• Çözüm:
![Page 14: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/14.jpg)
KT 14
• Kosinüs teoremi’nden:
• Sinüs teoreminden:
Örnek 1
![Page 15: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/15.jpg)
KT 15
Örnek 2
• Bu iki kuvvetin bileşkesinin y ekseni üzerinde olması için F kuvvetinin şiddetini bulunuz.
200 N
200 N 200 N
NF
Sin
N
Sin
F
NF
Sin
N
Sin
F
R
R
273
45
200
75
245
45
200
60
![Page 16: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/16.jpg)
KT 16
600 N
• 600N’luk kuvveti u ve v
eksenlerinde
bileşenlerine ayırınız.
600 N
Örnek 3
![Page 17: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/17.jpg)
600 N
NFNF
NFNF
vv
uu
60030sin
600
30sin
103930sin
600
120sin
![Page 18: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/18.jpg)
F2 kuvvetinin şiddetini, yönünü
ve bileşke kuvveti bulunuz.
(bileşke kuvvet x ekseni
üzerinde, F2 kuvveti ise
minimum şiddette olsun)
Örnek 4
![Page 19: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/19.jpg)
KT 19
Düzlemsel kuvvetlerin toplanması
(Kartezyen Koordinatlar)
• Eğer bir kuvvet x ve y eksenlerindeki bileşenlerine ayrılırsa, bu bileşenlere “kartezyen bileşenler” denir.
• x ve y eksenleri pozitif ve negatif yönler belirttiklerinden, bir kuvvetin dik bileşenlerinin büyüklüğü ve yönü cebirsel skalerlerle ifade edilebilir.
sin.
cos.
FF
FF
y
x
Skaler gösterim:
![Page 20: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/20.jpg)
KT 20
• F vektörünün yönü, açısı yerine küçük eğim üçgeni ile de
gösterilebilir.
c
b
F
Fveya
c
bFF
c
a
F
Fveya
c
aFF
y
y
xx
)(
)(
• Fy vektörünün yönü negatif y ekseninde olduğundan y
bileşeni negatiftir, bu nedenle hesaplamalarda (-) işareti
kullanılmalıdır.
![Page 21: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/21.jpg)
KT 21
Kartezyen vektör gösterimi
• Bir kuvvetin bileşenleri, kartezyen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boyutsuz birim uzunluktadır ve yönleri (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini işaret etmesine bağlı olarak, artı veya eksi işareti ile gösterilir.
jFiFF yxˆˆ
![Page 22: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/22.jpg)
KT 22
Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri
• Bir kuvvetin bileşenlerini göstermede kullanılan iki yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet önce x ve y bileşenlerine ayrılır ve sonra karşılıklı bileşenler aynı doğru üzerinde bulunduklarından skaler cebir kullanılarak toplanır.
jFiFF
jFiFF
jFiFF
yx
yx
yx
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
333
222
111
![Page 23: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/23.jpg)
KT 23
Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri
321 FFFFR
VEKTÖREL TOPLAM
SKALER TOPLAM
jFiF
jFFFiFFF
jFiFjFiFjFiFF
RyRx
yyyxxx
yxyxyxR
ˆˆ
ˆ)(ˆ)(
ˆˆˆˆˆˆ
321321
332211
yyyRy
xxxRx
FFFF
FFFF
321
321
![Page 24: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/24.jpg)
KT 24
İkiden fazla kuvvetin toplanması
• Herhangi bir sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesinin x ve y bileşenleri, bütün kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel toplamıyla bulunabilir.
yRy
xRx
FF
FF
![Page 25: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/25.jpg)
KT 25
• Bileşkenin bileşenleri belirlendikten sonra, şekildeki gibi, x ve y eksenleri boyunca çizilebilir. Bileşke kuvvet vektör toplamından belirlenebilir. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü ise şu şekilde bulunabilir.
yRy
xRx
FF
FF
Rx
Ry
RyRxR
F
F
FFF
1
22
tan
![Page 26: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/26.jpg)
KT 26
Örnek 5:
• Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz
![Page 27: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/27.jpg)
KT 27
Nji
FFF
NjiF
NjiF
NFN
F
NFN
F
NF
NF
R
y
y
xx
y
x
ˆ73ˆ140
ˆ100ˆ240
ˆ173ˆ100
10013
5
260
24013
12
260
17330cos.200
10030sin.200
21
2
1
2
2
22
1
1
![Page 28: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/28.jpg)
KT 28
Örnek 6
• Etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için F1 kuvvetinin şiddetini, açısının ne olması gerektiğini bulunuz
• Etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için F1 kuvvetinin şiddetini, açısının ne olması gerektiğini bulunuz
![Page 29: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/30.jpg)
• Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz
Örnek 7
![Page 31: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/31.jpg)
ÇÖZÜM 1:
![Page 32: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/33.jpg)
ÇÖZÜM 2:
![Page 34: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/34.jpg)
KT 34
Kartezyen Vektörler
• Vektör işlemleri, üç boyutlu problemlerin
çözümüne uygulanırken vektörler kartezyen
vektör formunda ifade edilirse işlem basitleşir.
• Sağ El Koordinat Sistemi:
– Vektör cebri işlemlerinde
sağ el koordinat sistemi
kullanılacaktır.
![Page 35: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/35.jpg)
KT 35
Bir vektörün kartezyen bileşenleri
• Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak;
zyx
yx
z
AAAA
AAA
AAA
![Page 36: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/36.jpg)
KT 36
Kartezyen birim vektörler
• Üç boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir.
![Page 37: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/37.jpg)
KT 37
Kartezyen vektör gösterimi
• Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve yönünü belirtir.
kAjAiAA zyxˆˆˆ
![Page 38: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/38.jpg)
KT 38
Kartezyen vektörün büyüklüğü
• Kartezyen vektör formunda ifade edilen bir A vektörünün şiddetini bulmak için:
2
2
2
2
'
'
z
yx
AAA
AAA
222
zyx AAAA
![Page 39: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/39.jpg)
KT 39
Kartezyen vektörün yönleri
• A vektörünün doğrultusu, A’nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen (alfa), (beta), (gama) doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açılar 0 ile 180 arasındadır.
• , ve ’yı belirlemek için A’nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümleri kullanılır.
![Page 40: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/40.jpg)
KT 40
Yön kosinüsleri
A
A
A
A
A
A zyx coscoscos
![Page 41: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/41.jpg)
KT 41
• A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır.
** Eğer bir vektörün
şiddeti ve yön
kosinüsleri biliniyorsa,
A vektörü kartezyen
koordinatlarda ifade
edilebilir.
uA’nın büyüklüğü 1 olduğundan;
kA
Aj
A
Ai
A
A
A
Au zyx
Aˆˆˆ
A
A
A
A
A
A zyx coscoscos222
zyx AAAA
kjiuAˆcosˆcosˆcos
1coscoscos 222
kAjAiA
kAjAiA
uAA
zyx
A
ˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcos
![Page 42: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/42.jpg)
KT 42
Kartezyen vektörlerin toplanması
![Page 43: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/43.jpg)
KT 43
Örnek 8
F kuvvetini kartezyen vektör
olarak ifade ediniz.
Fx (+x) yönünde
olduğu için 60°
olmalı
1coscoscos 222
![Page 44: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/44.jpg)
KT 44
• F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz ve F kuvvetinin yön kosinüslerini bulunuz
• F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz ve F kuvvetinin yön kosinüslerini bulunuz
Örnek 9
![Page 45: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/45.jpg)
yx
z
FFF
FFF
'
'
![Page 46: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/47.jpg)
KT 47
Pozisyon (Konum) Vektörleri
• Pozisyon vektörü uzaydaki herhangi iki nokta arasında yönelen bir kartezyen kuvvet vektörünü formüle etmek açısından önemlidir.
• r pozisyon vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür.
kzjyixr ˆˆˆ
![Page 48: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/48.jpg)
KT 48
• Daha genel bir halde, pozisyon vektörü uzaydaki
A noktasından B noktasına da yönelebilir.
Vektör toplamı
![Page 49: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/49.jpg)
KT 49
• r konum vektörü, i, j, k bileşenleri, vektörün başlangıcının koordinatları A (xA, yA, zA), ucuna karşı gelen koordinatlardan B (xB, yB, zB) çıkartılarak bulunabilir.
• Ayrıca, bu üç bileşenin uç uca eklenmesi r’yi verir. A’dan başlıyarak B’ye ulaşılıyor.
![Page 50: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/50.jpg)
KT 50
• A ve B noktalarının, oluşturulan koordinat sistemine göre koordinatları biliniyorsa, A’dan B’ye giden pozisyon vektörü bulunabilir ve bu yöndeki birim vektör kolaylıkla elde edilir:
vektörbirimr
ru
yeBdanAr
;
'':
Bu birim vektörün bileşenleri ,
ve yönlerini vermektedir.
kjiuAˆcosˆcosˆcos
![Page 51: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/51.jpg)
KT 51
Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü
• Üç boyutlu statik problemlerinde, bir kuvvetin doğrultusu genellikle etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. Şekildeki F kuvveti buna bir örnektir. Doğrultusu A’dan B’ye olan F kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade edilebilir.
![Page 52: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/52.jpg)
KT 52
Bir doğru boyunca yönelen veya iki nokta arasında uzanan
kuvvet vektörü
ANALİZDE İZLENECEK YOL
F, A noktasından B noktasına uzanan bir
doğru boyunca etkiyorsa aşağıdaki şekilde
kartezyen vektör formunda ifade edilebilir:
Konum Vektörü: A’dan B’ye yönelen
konum r vektörü belirlenir ve r büyüklüğü
hesaplanır.
Birim Vektör: Hem r hem de F’nin
doğrultusu ve yönünü tanımlayan u=r/r
birim vektörü belirlenir.
Kuvvet Vektörü: F büyüklüğü ve u
doğrultusu birleştirilerek yani F=Fu ile F
belirlenir.
![Page 53: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/53.jpg)
KT 53
Örnek 10
• Şekilde gösterilen çatı, AB ve AC zincirleriyle taşınmaktadır. A noktasına etki eden bileşke kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin.
![Page 54: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/54.jpg)
KT 54
A (0,0,4)
B (4,0,0)
C (4,2,0)
![Page 55: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/55.jpg)
KT 55
• A noktasına etki eden kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin.
Örnek 11
![Page 56: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/56.jpg)
![Page 57: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Nokta (Skaler) Çarpım • Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir
kuvvetin bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması gerekir. İki boyutlu problemlerde trigonometri ile çözülebilir, ancak 3 boyutluda çözüm için vektör yöntemleri uygulanmalıdır.
• Skaler çarpım, iki vektörün çarpımı için özel bir yöntemdir.
• A ve B vektörlerinin skaler çarpımı, AB şeklinde yazılır ve A skaler çarpım B diye okunur. A ve B’nin büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır.
oo
BABA
1800
cos
![Page 58: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/58.jpg)
58
• Bu çarpıma skaler çarpım veya nokta çarpım da
denir. Bu işlemin kuralları :
– Değişme özelliği (komütatiflik )
– Skaler ile çarpım
– Dağılma kuralı (distributiflik)
)()()(
)()()(
DABADBA
BaABAaBAa
ABBA
![Page 59: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Kartezyen vektör formülasyonu
cosBABA Formülünü kullanarak kartezyen
birim vektörlerin çarpımını bulmak
için kullanılabilir.
Örneğin:
0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ
090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ
jkkikkjj
jiii oo
![Page 60: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Uygulamalar1 • Skaler çarpımın mekanikte iki önemli uygulama
alanı vardır:
– 1) İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı
cosBABA
![Page 61: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Uygulamalar 2 • 2) Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin
bulunması:
Aa: a-a doğrultusundaki A vektörünün bileşeni. A’nın izdüşümü de denir.
a-a’nın doğrultusu ua birim vektörüyle belirlenmişse, Aa vektörünün şiddeti
skaler çarpımla bulunabilir.
.
coscos
)1(
bulunurşeklindeuAA
AAu
uuAA
aa
a
aaa
![Page 62: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/62.jpg)
62
• A vektörünün dik bileşeni:
.'
sincos
)cos(
22
1
bulunurdenAAA
veyaAAA
uA
uAAAAAAAA
a
a
aaa
![Page 63: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/63.jpg)
63
ÖRNEK 12
Şekilde verilen
F kuvvetinin
AB çubuğuna
paralel ve dik
bileşenlerini
bulunuz.
A (0; 0; 0) B (2; 6; 3) kjirBˆ3ˆ6ˆ2
![Page 64: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2-vektorler-_CEV.pdfKT 3 • Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050600/5fa7b3859fb45e48a72c6c67/html5/thumbnails/64.jpg)
64 0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ
090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ
jkkikkjj
jiii oo