vektörler ve kuvvet
DESCRIPTION
vektör anlatını.TRANSCRIPT
-
1
BLM 1
VEKTRLERN BLEKES VE BLEENLER
1.1 Giri
Fiziin eski yzyllarda btn doa olaylar ile urat son yzyllarda ise sadece
madde ve madde bileenleri inceleyen ve bunlar arasndaki etkilemeleri aklamaya alan
bir bilim dal olarak grmekteyiz. Ksaca fizik evrenin srlarn, maddenin yapsn ve bunlar
arasndaki etkilemeleri aklayan temel doa bilimi olarak alglanr. Deneysel yorumlar ve
sonular oaldka, bir kiinin btn bu alanlarda almas zorlatndan alt blmler
ortaya kt. Doa olaylarn inceleyen birok bilim dallar bulunmaktadr. Botanik bitki
bilimini, zooloji hayvan bilimini, psikoloji ruh bilimini, astronomi gk bilimini, jeoloji
yerbilimini, metroloji hava bilimini inceler. Fizie en yakn bilim dal kimyadr. Kimya
maddenin yapsnda deiiklik meydana getiren devaml olaylar, fizik ise maddenin
yapsnda deiiklik meydana getirmeyen geici olaylar inceler.
phesiz fizik konularn renirken lzumsuz yere vakit kayp etmemek iin bugn
eskimi ya da terk edilmi olan teorileri atlayarak doruca yeni metotlarla ie balamak
dnle bilinir. Ancak eski klasik fizik kaidelerini renmemizde gerektiren birok sebepler
vardr. Klasik bilim dili modern deildir. Modern fiziin dili daha ziyade yksek matematik
kurallardr. Buna gre, modern fizii retmek iin, rencilerin gerekli matematik bilgisini
daha nceden renmi olmalar istenilse de, bunlarn klasik fizik kavramlar ile hi
ilgilenmeden matematik renmi olmalar tasavvur edilemez. Klasik fizik ile ie balamamz
bir sebebi de kavramlarnn bugn de ok faydal ngrler vermesidir. Klasik fizik olduka
basit olmasna ramen birok bilimsel ve teknik problemlerin zmnde yeterli sonulara
gtrmektedir. Baka bir sebepte klasik fizik modern fizikten nce olumutur.
1.2 Fiziksel Byklkler, Standartlar ve Birimler
Fizik, evreni oluturan en knden en byne kadar tm maddeleri ve bunlar
arasndaki etkilemeleri inceleyen bir doa bilimidir.
Fiziksel byklkler, uzunluk, kuvvet, hz, zaman, younluk, diren, scaklk,
aydnlatma, manetik alan iddeti gibi byklklerdir. Bu byklkleri gnlk yaantmzda
kullanrz. rnein Kaba kuvvete bavurmak ilerimizi hzlandrmaz aksine gletirir.
cmlesi gnlk yaantmzda bir anlam tar. Ancak fiziksel olarak anlam yoktur. nk
anlam tamas iin sz konusu fiziksel bykln tam ve kesin olarak tanmlanmas gerekir.
Bir fiziksel bykln tam olarak tanmlayabilmek iin o bykln nasl lleceini bir
kurala balamak ve bykl bir bilim ile ifade etmek gerekir.
-
2
Bylece bir standart tespit edilmi olur. Standart tespiti tamamen keyfi bir olaydr.
rnein kilogram istediimiz gibi tanmlayabiliriz. nemli olan birimin yararl ve kullanl
olmas ve tanmn herkes tarafndan benimsenmesidir. Fiziksel byklk says o kadar
fazladr ki bunlarn tmn bir btn ierisinde organize etmek mmkn deildir. stelik bir
byklk baka bir byklkten bamsz deildir. Bu nedenle yaplacak i; temel olarak
kabul edeceimiz az sayda temel byklk seip geriye kalanlar bu temel byklklerden
tretmektir. Bu ekilde yalnz temel byklkler iin standart tespit etmek yeterli olacaktr.
imdi u sorular aklmza gelir.
1) Ka tane temel byklk seilmelidir.
2) Hangi byklkler temel byklk olarak seilmelidir.
3) Bu seimi kim yapmaldr. Bir defa en az sayda temel byklk seilmelidir.
Bu seilen temel byklklerden dier byklkler tretilmelidir. nc soru ise
uluslararas anlamalar erevesinde yantlanmaldr. Bu konulardaki almalar 1875 ylnda
kurulan ve halen Pariste bulunan uluslararas arlklar ve lmeler brosu tarafndan
yrtlmektedir.
Uluslar aras birim sistemi: 1974 ylnda toplanan 14 nc uluslar aras arlklar ve
lmeler genel toplantsnda daha nceki almalar deerlendirerek aada gsterilen yedi
byklk temel byklk olarak kabul edilmitir. Bu yedi byklk ulusal aras birim
sisteminin SI y oluturur.
Byklk Ad Sembol Uzunluk metre m
Ktle kilogram kg
Zaman saniye sn
Elektrik akm amper A
Termodinamik scaklk Kelvin K
Cismin okluu mole mol
Aydnlatma iddeti condela cd
Bu yedi temel byklkten sadece n ayrntl olarak inceleyeceiz. Bunlar uzunluk, ktle
ve zaman birimleridir.
-
3
1.3 Uzunluk Standard
Uzunluk standard , standart metre denilen ve uluslar aras arlk ve lmeler
brosunda sakl bulunan platin-iridyum dan yaplm bir ubuktur. Scaklk 00 iken ubuun
iki ucundan altn ile izilmi iki keskin izgi arasndaki uzunluk bir metredir. Metre ubuun
ok sayda kopyalar yaplm ve dnyann drt bir yanna datlmtr. ngiliz birim
sisteminde uzunluk birimi yarda dr.
1 yarda = 91,44 cm, 1 kara mili = 1760 yarda = 1609 m
1 yarda = 3 foot = 91,44 cm 1 deniz mili = 1875 m
1 foot = 12 in = 30,48 cm 1mm = 1000
1 in = 2,54 cm 1 0A = 10-10 m , 1m = 10 0A
Baz uzunluklar; En yakn galaksinin uzakl 2. 1022 m
Galaksinin yarap 6. 1018 m
Gnein yarap 7. 108 m
Dnyann ap 6,5.106 m
Kitap sayfasnn kalnl 10-4 m
Protonun yarap 10-15 m
1.4 Ktle Standard
SI birim sisteminin ktle standard uluslar aras arlk ve lmeler brosunda
saklanan ve uluslar aras anlamalarla ktlesi 1 kg olan platin- iridyum alamndan yaplm
bir silindirdir. ngiliz birim sisteminde ktle birimi slu dur.
Baz llm ktleler; Galaksimiz 2. 1041 kg
Gne 2.1030 kg
Ay 7,4.1022 kg
Dnya 6.1024 kg
Bir fil 4,5.103 kg
Bir zm tanesi 3.10-3 kg
Bir toz zerresi 6,7.10-10 kg
Bir proton 1,7.10-27 kg
Bir elektron 9.10-31 kg
-
4
1.5 Zaman Standard
Ortalama gne gn, dnyann kendi ekseni etrafnda ki dn zaman
standard olarak kabul edilmitir. Bir ortalama gne saniyesi bir ortalama gnn 1 / 86400
olarak tanmlanr.
Baz zaman lmleri; Dnyann ya 1,3 .1017 sn
Ortalama insann mr 2. 109 sn
Bir gne gn 8,6.104 sn
Molekln dnme periyodu 10-12 sn
1.6 Kuvvet
Mekanik, cisimlerin hareketini ve harekete sebep olan kuvvetleri konu alan bir
blmdr. Hareket konusunu iyi anlayabilmek iin diferansiyel ve integral formllerinin
bilinmesi gerekir.
Her hangi bir cismi ittiimiz veya ektiimiz zaman, bu cisme bir kuvvet uygulam
oluruz. Kuvvetler cansz cisimler tarafndan da meydana getirile bilinir. rnein: Gerilmi bir
yay ularnn bal olduu cisimlere, sktrlm gaz iinde bulunduu kabn eperlerine, bir
lokomotif de ektii trene kuvvet uygular. Gnlk hayatmzda en ok farkna vardmz
kuvvet, dnyada bulunan her cisim zerine etkiyen ve cisimlerin arln meydana getiren
yer ekimi kuvvetidir. Kuvvet birimi standart kilogram kuvvettir. 1kg.f = 9,8 Newton.
1.7 Vektrler ve Skalerler
Skaler byklkler bir say ve bir birim ile ifade edilen byklklerdir. Bir sepet
iinde bulunan 38 elma skaler bykle rnektir. Bu ifade istenilen bilgiyi tamamen belirler.
Yne ve dorultuya gerek yoktur. Baka skaler rnekler; scaklk, hacim, ktle ve zaman
aralklardr.
Vektrler ise bir say ve bir birim ile beraber yn ve dorultusu olan
byklklerdir. Bir paracn bulunduu yeri deitirmesi olayna, yer deitirme denir.
Paracn bir A noktasnda B noktasna gittiini dnelim. Bu durumda yer deitirme A
dan B noktasna izilen doru paras ile gsterilir. Hareketin A dan B ye doru olduunu
gstermek iin doru parasnn B ucuna bir ok izilir. ( ekil .1.1.a ) Parack B den C ye
bir yer deitirme gsterebilir.ki yer deitirmenin net sonuu A dan C ye izilen bir yer
deitirmedir.(ekil.1.1.b) Bu yzden AC yer deitirmesine AB ve BC yer deitirmelerin
toplam denir. Dikkat edilecek olursa bu basit bir cebirsel toplam deildir.
-
5
Yer deitirmeler gibi davranan byklklere vektr ad verilir. Buna gre vektrler,
hem belli bir uzunluu olan hem de belli bir yn gsteren ve belli kurallara gre toplanan
byklklerdir. Vektrel olan dier baz byklkler arasnda kuvvet, hz, ivme, momentum,
elektriksel ve magnetik alan saylabilir.
1.8 Vektrlerin Toplanmas ve karlmas
Ayn ynde ve ayn byklkteki A ve B vektrleri eit vektrlerdir. A = B dr.
Vektrlerin toplanmalar iin konulan kurallar, geometrik yntemlere uygun olarak
tanmlanr. Vektrler paralel kenar, gen ve okgen kurallarna gre toplanr.
Paralelkenar kuralna gre; A vektr ile B vektrn toplamak iin verilen dorultuda
ve belli bir lekte A vektr izilir. B vektr de verilen dorultuda ve lekte izilir.
Sonra A vektrnden B vektrne ve B vektrnden A vektrne birer paralel izilir. A
vektr ile B vektrnn balang noktasndan iki paralelin birletii nokta bir okla
birletirilir.(ekil.1.2.a) R=A + B Bileke kuvvet bu ekilde elde edilir.
gen kuralna gre ise verilen A vektr belli bir lekte ve dorultuda izilir sonra
biti ucuna B vektr eklenir. A vektrnn balang noktas ile B vektrnn biti noktas
birletirilir. Elde edilen bu vektr R = A + B vektrdr ( ekil.1.2 b ) .
C
A
B B
A (a) ( b)
ekil.1.1 Vektrlerin Gsterilmesi
gen Kural Paralel kenar Kural okgen Kural
ekil.1.2 Vektrlerin Toplanmas
A A A
B
B
B
R = A + B
R = A + B
R = A + B + C + D
C
D
(a) (b) ( c)
-
6
Eer cisme ikiden fazla kuvvet etki ederse en iyi geometrik zm ucuca ekleme yani
okgen metodudur. gen kuralnda olduu gibi verilen dorultu ve leklerde kuvvetler ard
ardna ( ucuca ) eklemek suretiyle ilk vektrn balang noktas ile son vektrn biti
noktasn birletiren doru paras vektrlerin toplamn verir. R = A + B + C + D
(ekil.1.2.c)
Vektrlerin kartlmas ise bir vektrn negatifi, o vektrn topland zaman sonucu
sfr eden vektr olarak tanmlanr. Yani bir A vektrnden bir B vektrn karmak
istiyorsak; B vektrnn negatifini A vektrne eklememiz gerekir. ( ekil.1.3 )
A - B = A + ( - B )
1.9. Vektrlerin arplmas
1.9.1. Bir vektrn bir skaler ile arplmas
Bir A vektr, pozitif bir m skaler ile arplrsa , m.A arpm , A ile ayn ynde ve
m.A byklnde olan bir vektrdr. m negatif ise m.A vektr A ile zt ynldr.
ki vektrn skaler arpm : a ve b gibi iki vektrn skaler arpm ;
a . b = a . b . cos olarak tanmlanr.
ki vektrn skaler arpmnn 4 deiik ekli grlmektedir. ( ekil .1.4 )
= iki vektr arasndaki adr.
Skaler arpm gerei ;
i . i = j . j = k . k = 1 , i . j = j. k = k. i = 0
dir.
k
i
J
A
B -B A-B
A ekil.1.3 Vektrlerin kartlmas
a
b
a
b
a
b
a
b
ekil. 1.4. ki Vektrn Skaler arpmnn Deiik ekillerde Gsterilmesi
a.b = a.b.cos = 0 , a.b = a.b = 90 , a .b = 0 = 180 , a .b = a.b
-
7
1.9.2. ki vektrn vektrel arpm
a ve b gibi iki vektrn vektrel arpm ( a x b ) bu iki vektrn oluturduu
dzleme dik ve bu iki vektrn byklkleri ile aralarndaki ann sinsnn arpm
byklnde bir vektrdr. c = a x b , c = a. b . sin
c vektrnn ynn bulmak iin sa el kural uygulanr. Sa elimizi baparma iki vektrn
oluturduu dzleme dik olmak artyla dier parmaklar as kadar bklr. Bu ekilde
baparmak c nin ynn gsterir. ( ekil .1. 5 )
Vektrel arpm gerei:
i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0 ,
i x j = k j x i = - k k x i = j
i x k = -j j x k = i k x j = - i.
ekil. 1. 5 . ki vektrn vektrel arpm
1.10 Bir Vektrn Bileenleri
Vektrler geometrik olarak toplama ilemi, ok hassas sonular elde etmek
istendiinde ve boyutlu problemlerde yeterli deildir. Bu ksmda vektrlerin toplanmasn
dik koordinat sisteminin eksenleri zerinde izdmlerini alarak aklayacaz. Bu
izdmleri vektrn bileenleri denir. Herhangi bir vektr, bileenleri ile tam olarak
tanmlanabilir.
ekil 1.6 deki gibi xy dzleminde yer alan ve pozitif x ekseniyle herhangi bir as
yapan bir A vektrn gz nne alalm. A vektr, A nn vektr bileenleri ad verilen
dier iki Ax ve Ay vektrnn toplam olarak ifade edilebilinir. Ax bileeni A nn x ekseni
boyunca izdmn, Ay bileeni A nn y ekseni boyunca izdmn gsterir.ekil.1.6
dan A = Ax + Ay olduunu grrz. Bir vektrn bileenleri ( - ) veya ( + ) olabilir.
Bylece A nn dik bileenleri ;
Ax = A . cos Ay = A . sin dir.
Buradan ; A2 = Ax2 + Ay
2 , tan =x
y
A
A
b
a
i j
k
c = a.b
Ax
Ay A
ekil 1.6. Bir Vektrn Bileenleri
-
8
1.11 Bileke Kuvvet
Bir cisme ayn anda eitli byklkte ve dorultudaki kuvvetlerin etkisinde
kalabilir. Kuvvetler ayn dzlemin iinde ve dorultular kesiiyorsa bu kuvvetlerin yapaca
etkiyi tek bana yapan bir kuvvet bulunabilir. Bu kuvvete bileke kuvvet denir. Eer cisme
birok kuvvet etki ediyorsa bileke kuvveti bulmak iin en iyi yol dik bileenler metodudur.
Dik bileenler metoduyla bileke kuvvetin bulunmas:
Bir cisme birok sayda kuvvetler etki edebilir. ekil.1.7 deki gibi kuvvet etki etmi olsun.
Bu kuvvetlerin xy dzleminde dik bileenlerine ayrldktan sonra;
Rx = xF , Ry = yF yazlr. R2 = 2y
2x RR + tan =
x
y
R
R olur.
F3 F3
F1
F2 F2
F1 F2x
F2y
F3y
F3x R
RX
RY
ekil.1.7 Bileke Kuvvetin Dik Bileenler Metoduyla Bulunmas.
-
9
ZML PROBLEMLER
1.1. ekildeki kuvvetlerin bilekesini
ve dorultusunu bulunuz.
zm : xx RF = , yy RF =
R2 = Rx2 + Ry
2
cos = 4 / 5 = 0,8 , sin = 3 / 5 = 0,6
cos = 3 / 5 = 0,6 , sin = 4 / 5 = 0,8
xx RF = = 10.cos + 6 8.cos30 7,5.cos
RX = 10.0,8 + 6 8.0,86 7,6.0,6 = 2,62 t
yy RF = = 10. sin + 8.sin30 7,5. sin
RY = 10.0,6 + 8. 0,5 7,5.0,8 = 4t
R2 = (2,62 )2 + ( 4 ) 2 = 22,76 , R = 4,77t
tan = X
Y
R
R = 64,1
62,2
4= , = 570
1.2 . ekildeki kuvvetlerin bilekesinin yatay olabilmesi iin; a ) P kuvveti ne olmaldr? b) Bileke kuvveti bulunuz.
cos 30 = sin 60 = 0,86
sin 30 = cos 60 = 0,5
sin 45 = cos 45 = 0,7
10t
8t
7.5t
6t
3
4 4
4
3 300
10t
8t
7.5t
6t
3
4 4
4
3 300
RY
RX
R
30 60
45
15t
6t
10t P
x
y
-
10
zm:
a) Bileke kuvvetin yatay olabilmesi iin;
Ry = 0 olmaldr.
olur. 6,40,86
5,5P
510,5P.0,86
015.0,7P.0,8610.0,5
0sin4515P.sin60.sin3010RF
0R
RF
RF
RRR
t
ttyy
y
xx
yy
2y
2x
2
==
=
=+
=+==
=
=
=
+=
b) 015.0,7P.cos60610.cos30RF xX =+==
Rx = 10.0,86 + 6 +-6,4.0,5-10,5 = 0,9 t
Rx = 0,9 t , 2Y
2X
2 RRR += , Ry = 0 , R = Rx R = 0,9 t
1.3. a ) Bileke kuvvetin dey dorultuda
olabilmesi iin P kuvveti ne olmaldr?
b) Bileke kuvvetin iddetini ve dorultusunu
bulunuz.
zm :
a) Bileke kuvvetin dey dorultuda
olabilmesi Fx = 0 olmaldr.
Fx = 8 + 12.cos .-10.cos30 - P.cos60 = 0
P.0,5 = 8 + 12.0,8 10.0,86
P.0,5 = 8+ 9,6 8,6
P = 18 nt
30 60
45
15t
6t
10t P
x
y
30
60
P
x
y
10 n
8 n
12 n
14 n
4
3
30
60
P
x
y
10 n
8 n
12 n
14 n
4
3
-
11
b) R2 = Rx2 + Ry
2
R2 = Ry2 , R = Ry , Fx = Rx = 0
R = Ry = Fy = 14 + 12.sin + 10.sin30 P.sin60
Ry = R = 14 + 12.0,6 +10.0,5 -18.0,86
R = 14 + 7,2 + 5 15,48 = 10,72 nt (yukar doru )
1.4. 3 Birim uzunluunda bir a vektr, 2 birim uzunluunda bir b vektr ile 30lik a
yapyor. a) barrrr
+= b) b2a3rrrr
= vektrlerinin iddetini ve dorultusunu cosinus ve
sins teoremleri ile bulunuz.
zm :
a) r2 = a2 + b2 2.a.b. cos
r2 = 9 + 4 - 2.3.2 cos1500
r2 = 13 + 12.cos 30
r2 = 23,32 r = 4,83 birim.
21 sin
a
sin
b
150sin
r
==
1sin
b
30sin
r
= ,
1sin
2
5,0
83,4
= , sin1 = 20,0
83,4
1= , =11,50
b ) b2a3rrrr
=
r2 = (3a)2 + (2b)2 -2.a.b.cos30
= 81+16 2.9.4.0,86
= 86,68
r = 5,91 birim
1
0
2
sin
2b
sin30
r= , sin
91,5
5,0.41 = , 1 = 19,7
1.5. ki adam ve bir ocuk byk bir sand ekilde
grld gibi x ekseni dorultusunda itmek istiyorlar.
Adamlar ekilde grlen iddet ve ynde F1 , F2
kuvvetlerini uyguluyor.ocuun uygulayaca
kuvvetin iddet ve dorultusunu bulunuz.
30
60
F1=100 nt
F2= 80 nt
x
3a 2b
-2b rr
1 30
30
2
150 30 30
1
2
birim 3a =r
birim 2b =r
barrrr
+= rr
-
12
zm: Sand x ekseni dorultusunda hareket etmesi iin kuvvetin bilekesinin x ekseni
dorultusunda olmaldr. Bilekenin y ekseni dorultusunda bileeni yoktur.
Rx = Fx = F1x +F2x = F1 .cos600 + F2 .cos30
0
Rx = 100.0,5 + 80.0,86 = 50 + 68,8 = 118,8 nt
Ry = Fy = F1y F2y = F1 .sin600 F2 .sin30
0
Ry = 100.0,86 80.0,5 = 86 40 = 46 nt
Cisim x ekseni dorultusunda hareket etmesi iin ocuun uygulayaca F3 kuvveti Ry
bileeni ile ayn dorultuda fakat zt ynde ve eit olmaldr.
Yani; F3 = Ry = 46 nt olur.
1.6. Bir araba iki adam tarafndan ekiliyor. Arabaya bal ekme sicimleri arasndaki a 45
dir. A adam 150 nt , B adam 100 nt luk kuvvet uyguladna gre bilee kuvvetin iddetini
ve dorultusunu A adamnn iple yapt ay bulunuz. Problemi
(a) okgen metodu (b) gen metodu ( c) dik bileenler metoduyla znz
zm :
= 45 0 FA = 150 nt FB = 100 nt R = ? = ?
a) cosins teoreminden R yi bulalm .
R2 = FA2 + FB
2 - 2.FA.FB.cos ( 180 45
)
R2 = 22500 + 10000 2.100.150.cos135
R2 = 53500 R = 231,7 nt
sins teoreminden bulunur.
sin
F
sin135
R B= ,
sin
100
7,0
7,231= , 3,0
7,231
70sin == = 18 bulunur.
b )
FB = 100 nt
FA = 150 nt
R
45 180 -
FA = 150 nt
FB = 100 nt R = 231,7 nt
FA = 150 nt
FB = 100 nt
R = 231,7 nt
-
13
c) RX = FA +FBX = 150 + 100.cos45
= 150 + 70 = 220 nt
RY = FBY = 100.cos45 = 100.0,7 = 70 nt
R2 = RX2 + RY
2 = 4900 + 48400 = 53300
R = 230,8 nt
0,318220
70
R
Rtan
X
Y=== , = 18 olur.
1.7. a) ekildeki kuvvetlerin izimle A + B
toplamn ve A B farkn bulunuz.
b) Vektrlerin toplanmasn ve karlmasn dik
bileenler metoduyla bulunuz.
zm : a ) A + B = izimle A - B = izimle
b) A + B = ? (Hesapla)
RX = BX A = B.cos37 A
= 20.0,8 7 = 9 nt
RY = B.sin30 = 20.0,6 = 12 nt
R2 = Rx2 + Ry
2 = 81 + 144 = 225
R = 15 n
FA = 150 nt
FB = 100 nt
FBX
FBY
45
A
B
37
-B
B
A Bx
By
37
A
B A+B
37
A=7 nt
B=20 nt
37
-
14
A B = ? (Hesapla)
RX = -A BX = -7-B.cos37
= -7 - 20.0,8 = -23 nt
RY = -B.sin37 = - 20.0,6 = -12 nt
R2 = Rx2 + Ry
2 = ( -23 )2 + ( - 12 )2
R = 25,94 nt
1.8. Bir dik koordinat sisteminin birinci blgesinde x ekseni ile 600 a yapan 2 cm
uzunluunda bir A vektr ile drdnc blgede x ekseni ile 60 0 a yapan 2 cm
uzunluunda bir B vektr vardr. izimle ;
a) A + B toplamn
b) A B farkn bulunuz.
zm: a) A + B
b)
60
60
A+B
A
B
A -B
A-B
600 600
B
A
-A B
B-A
600
600 600
B-A A-B
-B
A Bx
By
37 37
-
15
1.9. 10 birim uzunluunda bir A vektr, 6 birim uzunluunda bir B vektr ile 300 lik a
yapyor. A B vektrnn iddetini ve dorultusunun A ile yapt ay;
a) Bu ilem iin gen metodunu
b) Dik bileenler metodu ile bulunuz
zm :
a) ekilde grld gibi A vektrn x
ekseni dorultusunda alalm. B
vektrn de x ekseni stnde eksenle
300 a yapacak ekilde izelim.
A B = A + ( - B ) dir. B vektr ile
A vektrn paralelkenara tamamlar ve
kegeni lersek bileke kuvveti
buluruz.
b ) Ax = A = 10 birim, Ay = 0
Bx = B.cos300 = 6.0,86 = 5,16 birim
By = B.sin300 = 6.0,5 = 3 birim
R = A B
Rx = Ax Bx = 10- 5,16 = 4,84 birim
Ry = Ay By = - 3 birim
R2 = Rx2 + Ry
2 = ( 4,84)2 + (-3)2
R = 5,7 birim
62,084,4
3
R
Rtan
x
y=
==
= 31,5 drdnc blge
1.10. F1, F2 kuvvetleri bir cisme etkimektedir.
Bunlarn R bilekesinin iddeti F1 e eit ve F2
ile 900 lik a yapmaktadr. F1 = R = 10 nt
alarak ikinci vektrn iddetini ve dorultusunu
bulunuz.
A
B
-B A-B
300 x
y
F1
F2 R
-
16
zm :
R = F1 = 10 nt , F2 = ?
F22 = F1
2 + R2 2.F.R.cos900
F22 = F1
2 + R2 = 100 + 100 , F2 = 14,14 nt
tan = 10 / 10 = 1 , = 450
F1 ile F2 arasndaki a ; = 180 45 = 1350 olur.
1.11. Boyu 5 birim olan ve douya ynelmi bir A vektr ve boyu 4 birim olan ve
kuzeybatya ynelmi kuzey ile 450 bir a yapan bir B vektr bulunsun.
a) ( A + B ) ve (B A ) vektrlerini hesaplayabilmek iin vektr grafiklerini iziniz.
b) ( A + B ) ve (B A ) vektrlerinin boylarn bu grafikten yaklak olarak hesaplaynz.
zm : a )
b) A = 5 i , j)i(2
24.B +=
A + B = 2,8j2,2.ij22)i2.2(5 +=+
A + B = A + B = [ 2,22 + 2,82 ]1/2 = 3,6 birim
= tan-1 (2,2 / 2,8 ) = 38,20 olur.
B A = j22)i22(55ij)i(22. ++=+
B A = -7,8 i + 2,8 j
B A = B- A = [ (-7,8 )2 +( 2,8 )2 ]1/2 = 8,3 birim
= tan-1 ( 7,8 / 2,8 ) = 70,10 olur
A -A
A+B B - A B
-
17
1.12. Boylar 10 birim olan a ve b vektrleri ekilde gsterildii gibi bir koordinat sistemine
yerletirilmitir. ki vektrn toplam r ise
a) r vektrnn x ve y bileenlerini bulunuz.
b) r vektrnn boyunu bulunuz.
c) r vektrnn pozitif x ekseni ile yapt ay bulunuz.
zm : a = b = 10 birim
a = 10 ( cos300 .i + sin300 .j)
b = 10 (cos1350 .i + sin1350 .j )
a) r = a + b = 10 ( cos300 .i + sin300 .j)
+10 (cos1350 .i + sin1350 .j )
r = 1,59.i + 12,1.j
b ) 12,2birim(12,1)(1,59)r 22 =+=
c ) = tan-1 ( 12,1 / 1,59 ) = 82,50
1.13. ekilde gsterilen koordinat sistemine gre i.i = j.j = k.k = 1 ve
i.j = j.k = k.j = 0 olduunu gsteriniz.
zm : i , j ve k birbirine dik olan birim
vektrleridir. Vektrlerin kendileri ile olan
skaler arpmlar ;
i. i = i.i. cos00 = i2 = 1
j . j = j.j.cos00 = j2 = 1
k. k = k.k .cos00 = k2 = 1 olduundan ,
i.i = j.j = k.k = 1 olur.
i . j = i. j. cos900 = 0
i . k = i. k.cos900 = 0
j . k = j.k.cos900 = 0 olduundan ,
i.j = j.k = k.j = 0 olur.
a
b
1050
300
x
y
o
i
j
k
x
y
z
-
18
1.14. ekilde grlen a ve b vektrleri
arasndaki genin alannn 1/ 2 [ a x b ]
olduunu gsteriniz.
zm : Alan = a.b2
1
a x b = a .b . sin , h = b. sin buna gre ;
a x b = a . h a.h = paralelkenarn alan ,
genin alan ise Alan = a.b2
1 dir.
a
b b.sin
a
b b.sin