vektor
DESCRIPTION
VEKTOR. b. R. a. BAB I : VEKTOR. Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
04/20/23 Fisika I 1
VEKTOR
04/20/23 Fisika I 2
BAB I : VEKTOR
A
a
b
R
Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R
Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.
Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.
04/20/23 Fisika I 3
PENJUMLAHAN VEKTOR
Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.
Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.
b
ca
RS
T
T = R + S
04/20/23 Fisika I 4
BESAR VEKTOR RESULTAN
Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :
θcos2RSSRT 22
Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S
RS
T
T = R + S
θ
(1.1)
04/20/23 Fisika I 5
PENGURANGAN VEKTOR
Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.
AB
-B
DD = A – B
04/20/23 Fisika I 6
CONTOH
Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !
40 km
S
10 km
20 km
U
B
04/20/23 Fisika I 7
CONTOH
Jawab :40 km
10 km
20 km
10 km
40 km
A
B
C
D = A + B + C
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.
Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :
m17101040 22
04/20/23 Fisika I 8
VEKTOR SATUAN
Vektor satuan didefenisikan sebagai :R
Rr
Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.
•Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif•Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif•Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif
(1.2)
04/20/23 Fisika I 9
PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS
2z
2y
2x RRRR
Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk
Besar vektor R adalah :
R
Ry
Rz
Rx
Vektor dalam 2 Dimensi
Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.
04/20/23 Fisika I 10
CONTOH
Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :
a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis
b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X
c. Panjang vektor
Jawab :
(2,2)
(-2,5)
x
y
Vektor perpindahan :
R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j
R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j
pangkal
ujung
Rx
Ry
a.
04/20/23 Fisika I 11
CONTOH
o1
x
y1 374
3tan
R
Rtan
(2,2)
(-2,5)
x
y
pangkal
ujung
Rx
Ry
b.
Besar vektor R = 543RR 222y
2x c. satuan
Sudut yang dibentuk :
04/20/23 Fisika I 12
PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS
Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :
R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j
xAxB
yA
yB
A
B
xA + xB
A + B
A
B
yA + yB
(1.3)
04/20/23 Fisika I 13
CONTOH
Diketahui dua buah vektor.
A = 3i + 2j
B = 2i 4j
Tentukan :
a. A + B dan A + Bb. A B dan A B
Jawab :a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j
= 5i 2j
A + B = 29)2(5 22
b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j
A B = 3761 22
AB
A + B
-BA B
04/20/23 Fisika I 14
SOAL
1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!
2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh
vektor satuannya
3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan !
4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C
04/20/23 Fisika I 15
SOLUSI
R = Rxi + RyjDiketahui :
Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 satuanRy = R sin = 4 sin 60o = 2 satuan
Dengan demikian R = 2i + 2 j satuanVektor satuan :
r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j
60o
X
Y
R
3
3
1.
3
04/20/23 Fisika I 16
SOLUSI
m5224RR 222y
2x
jiR
r55
552
R
X
Y
R
1 5
2
a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0).
Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.
b. R =
c.
2.
04/20/23 Fisika I 17
SOLUSI
4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j
b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j
-5i + 12j = = 13 satuan
3. Besar vektor A = = 5 satuan
Dengan demikian nilai c = 2 satuan
22 43
22 125
04/20/23 Fisika I 18
PERKALIAN SKALAR
Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :
A . B = AB cos (1.4)
Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :
A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)
Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.
A
B
04/20/23 Fisika I 19
PERKALIAN SKALAR
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :
i . i = j . j = k . k = 1
i . j = j . k = k . i = 0
Perhatikan animasi di samping ini !
04/20/23 Fisika I 20
CONTOH
ABcos
B.A
Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !
Jawab :
A
B
Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4).
A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4
Besar vektor A = 543 22 Besar vektor B = 20)2(4 22
125
2
ABcos
B.ADengan demikian = 79,7o
AB
04/20/23 Fisika I 21
PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :
A B = C (1.6) Besar vektor C adalah :
C = AB sin (1.7)Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.
B
B
A
A
C = A B
C’ = B A
C = -C’
04/20/23 Fisika I 22
PERKALIAN VEKTOR
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :
i i = j j = k k = 0 i j = k ; j k = i; k i = j
j i = -k ; k j = -i; i k = -j
Perhatikan animasi di samping ini !
04/20/23 Fisika I 23
PERKALIAN VEKTOR
Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.
Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :
04/20/23 Fisika I 24
CONTOH
Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + kTentukan : a. A B
b. Buktikan A B = -B AJawab :
A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k
a.
B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B
terbukti
b.
04/20/23 Fisika I 25
SOAL
1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k !
2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k !
3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k
B = 4 i + 2 j + 3 kC = 2 j – 3 k
Tentukan : a. A . (B C) b. A . (B + C) c. A (B + C)4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah
tegak lurus !
04/20/23 Fisika I 26
SOLUSI
61)(21A 222
Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :
54)(3B 22
1.
Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :65
7
ABcos
B.A
Dengan demikian = 55,1o
Besar vektor B :
2. A
BAB
Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :
26
14
)4(31
)4).(1(3.21.4
B cosAA
222B
A.B
04/20/23 Fisika I 27
SOLUSI
B C = (4i + 2j + 3k) (2j – 3k) = 8(i j) – 12(i k) – 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12i
A . (B C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4
3. a.
B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12b.
A (B + C) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4kc.
Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :
R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0
R . S = RxSx + RySy + RzSz
Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :
R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0
4.
04/20/23 Fisika I 28
BESARAN FISIS
Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.
S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8)
S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.
Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.
04/20/23 Fisika I 29
BESARAN FISIS
Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.
Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1.
Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.
y
xx1 x2 x3 x4
y1
y2
y3
04/20/23 Fisika I 30
BESARAN FISIS
Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.
t (detik) x (meter)
0 9
1 4
2 1
3 0
4 1
5 4
6 9
7 16
8 25
9 360 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t
x(t)
x(t) = (t – 3)2
04/20/23 Fisika I 31
BESARAN FISIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
E(r)
Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.
2r
qE k
r (m) E (N/C)
1 9
2 2,25
3 1
4 0,5625
5 0,36
6 0,25
7 0.1837
8 0,1406
9 0,1111
10 0,09
04/20/23 Fisika I 32
CONTOH
1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !
x
F
F =kx
04/20/23 Fisika I 33
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :
Q(t) = q(1 – e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !
2.
CONTOH
t
Q = q(1 – e-At)
Q
q
04/20/23 Fisika I 34
DIFERENSIAL
Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.
Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu.
f(x)
xc c+h
f(c+h)
f(c)Garis singgung
Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan :
Ph
)c(f)hc(flim m
0h
(1.9)
04/20/23 Fisika I 35
DIFERENSIAL
x
)x(flim
x'x
)x(f)'x(flim m
x'xx'x
Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :
(1.10)
Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh :
f’(x) Dxydx
dy
Berlaku untuk turunan :
1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a)
2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b)
3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c)
4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)
5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)
04/20/23 Fisika I 36
DIFERENSIAL
dC
dBA
Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk :
Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :
waktu
JaraktanKecepa dt
dxv
waktu
UsahaDaya
dt
dWP
waktu
tanMuaArus
dt
dqI
04/20/23 Fisika I 37
CONTOH
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :
Q(t) = q(1 – e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan :a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0c. Gambarkan grafik I(t)
Jawab :
AtAt qAe)e1(qdt
d
dt
dQI
Besar arus I :a.
Pada saat t = 0 harga I adalah :
I = qAe-A.0 = qA
b.
qA
I(t)
t
c.
04/20/23 Fisika I 38
INTEGRAL
Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
x
y
x0
x
x1 x2 x3 x4 x5x6 x7
Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.
04/20/23 Fisika I 39
Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :
A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x
INTEGRAL
7
0ii x)x(f)7n(A
Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi.
Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.
n
0i
8
1
inn
dx)x(fx)x(flim)n(AlimA
04/20/23 Fisika I 40
INTEGRAL
dTSR
Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain.
Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :
Sebagai contoh :
Usaha = Gaya jarak
Fluks = Medan luas dAE
dsFW
04/20/23 Fisika I 41
CONTOH
Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan :
a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas
b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu
Jawab :
Usaha yang dilakukan : 221 kxdxkxdxFWa.
W =½kx
2
W
x
b.
04/20/23 Fisika I 42
SOAL
Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan :
a. Grafik F terhadap x
b. Perubahan Gaya F terhadap jarak
c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm
1.
Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.2.
x (m)10
8
4
V (volt) Tentukan :
a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x
b. Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x)
c. Gambarkan grafik E terhadap x
04/20/23 Fisika I 43
SOAL
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :
a. Gambarkan grafik v(t)
b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik
c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)
d. Gambarkan grafik a(t)
e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu
f. Posisi saat kecepatan v = 0
3.
04/20/23 Fisika I 44
SOLUSI
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
x (cm)
F (N)1. a.
Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh
dx
dF= A – 2Bx = 103 – 104x
1. b.
04/20/23 Fisika I 45
SOLUSI
Usaha yang dilakukan :
2
2
2
2
10.9
10.3
3312
21
10.9
10.3
2 xBxAdxBxAxdxFW
W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule
1. c.
2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b.
Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4
Untuk titik (10,8) 10.a + b = 810
8
4
V (volt)
x (m)
Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4
04/20/23 Fisika I 46
SOLUSI
Medan listrik E(x) =
dx
)x(dV
Dengan demikian nilai E(x) konstan.
x (m)
E (V/m)
2,5
2. b.
2. c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
x (m)
v (m/s)
3. a.
= 2,5
04/20/23 Fisika I 47
SOLUSI
Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s.
3. b.
Percepatan a(t) = dt
)t(dv= 10 – 4t3. c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
x (m)
a (m/s2)3. d.
04/20/23 Fisika I 48
SOLUSI
Fungsi posisi x(t) = 33222 tt5dtt2t10dt)t(v 3. e.
Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada
saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik
posisi x di :
323
322 41
3
12555.5
Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m
3. f.
x(5) =