vektori ų geometrinis maks (min) stabilumas · vektori ų maks (min) ... vadinasi statistikos...

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

FUNDAMENTALI ŲJŲ MOKSLŲ FAKULTETAS

TAIKOMOSIOS MATEMATIKOS KATEDRA

Irma Ivanovien÷

Vektorių geometrinis maks (min) stabilumas

Magistro darbas

Vadovas

prof. dr. J. A. Aksomaitis

KAUNAS, 2009

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

FUNDAMENTALIŲJŲ MOKSLŲ FAKULTETAS

TAIKOMOSIOS MATEMATIKOS KATEDRA

TVIRTINU

Katedros ved÷jas

doc. dr. N. Listopadskis

2009 06 05

Vektorių geometrinis maks (min) stabilumas

Matematikos magistro baigiamasis darbas

Vadovas

prof. dr. J. A. Aksomaitis

2009 06 03

Recenzen t÷ A t l iko

doc. d r . J . Venc lov ien÷ (VDU) FMMM 7 gr . s tud .

2009 06 02 I . Ivanov ien÷

2009 05 25

KAUNAS, 2009

Vektorių maks (min) geometrinis stabilumas

Irma Ivanovien÷, FMMM-7

KVALIFIKACIN ö KOMISIJA

Pirmininkas: Leonas Saulis, profesorius (VGTU)

Sekretorius: Eimutis Valakevičius, docentas (KTU)

Nariai : Algimantas Jonas Aksomaitis, profesorius (KTU)

Arūnas Barauskas, Vice-prezidentas projektams (UAB „Baltic Amadeus“)

Vytautas Janilionis, docentas (KTU)

Zenonas Navickas, profesorius (KTU)

Vidmantas Povilas Pekarskas, profesorius (KTU)

Rimantas Rudzkis, valdybos pirmininko patar÷jas („DnB NORD” bankas)



4

SANTRAUKA

Nagrin÷jant geometrinį maks (min) stabilumą klimatologijoje, finansuose, draudime, ne visada

pakanka vieno atsitiktinio dydžio, kartais jų būna visa sistema. Šiame darbe siekiama nuo geometrinio maks

(min) stabilumo vienmačiu atveju pereiti prie dvimačio atvejo. Pl÷tinys atsitiktiniams dvimačiams

vektoriams, gali būti atliktas iki daugiamačių vektorių.

Dvimačių skirstinių (Pareto, logistinio) tyrimas pateik÷ nelauktus rezultatus. Tiriant skirstinius, kurių

vektoriaus komponent÷s nepriklausomos gauta, kad jie n÷ra geometriškai maks (min) stabilūs, negautas

asimptotinis maks (min) stabilumas. Jeigu dvimačiai skirstiniai, kurių vektoriaus komponent÷s priklausomos

yra geometriškai minstabilūs, tai jie nebūtinai geometriškai maksstabilūs ir atvirkščiai.

Gautos ribin÷s skirstinio funkcijos, kurios yra geometriškai maks (min) stabilios.



Ivanovien÷ I. : Geometric max (min) stability of vectors : Master’s work in applied mathematics /

supervisor prof. dr. J. A. Aksomaitis; Department of Applied mathematics, Faculty of Fundamental

Sciences, Kaunas University of Technology. – Kaunas, 2009.- 70p.

SUMMARY

The examination of geometric max (min) stability in climatology, finance or insurance areas isn’t

enough to examine one random variable, sometimes necessary to consider the whole system of random

variables. In this master’s work our purpose is graduate from the geometric max (min) stability univariate

case to the bivariate case. Extension random bivariate vectors can be made to the multivariate vectors.

Research of bivariate distribution (Pareto, logistic) function submitted unexpected results. The

examinations of distributions whose components are independent have not received geometric max (min)

stability and have not received asymptotic max (min) stability. If bivariate distributions, whose vectors

components are dependent are geometric min stable they do not necessarily will be geometric max stable

and vice versa.

Marginal distribution functions are geometric max (min) stable.

Vektorių maks (min) geometrinis stabilumas 6

TURINYS

ĮVADAS ....................................................................................................................................... 9

1. TEORINö DALIS ................................................................................................................ 10

1. 1 ATSITIKTINIO DYDŽIO SĄVOKA IR SKIRSTINIO PASISKIRSTYMO FUNKCIJA .......... 10

1.2 MAKS(MIN) STABILŪS SKIRSTINIAI .............................................................................. 10

1.3 PERKöLIMO TEOREMA...................................................................................................... 12

1.4 GEOMETRINIS MAKS (MIN) STABILUMAS .................................................................... 14

1.5 LOGISTINIS IR PARETO SKIRSTINIAI ............................................................................. 15

1.6 DVIMA ČIO VEKTORIAUS SKIRSTINIO FUNKCIJA ....................................................... 17

1.7 PRIKLAUSOMIEJI IR NEPRIKLAUSOMIEJI ATSITIKTINIAI DYDŽIAI ...................... 18

1.8 SKAITINöS ATSITIKTINIŲ DYDŽIŲ IR VEKTORIŲ CHARAKTERISTIKOS .............. 19

1.9 ATSITIKTINIŲ VEKTORIŲ EKSTREMUMAI ................................................................... 19

1.10 RIBINöS TEOREMOS. STABILUMAS ............................................................................... 20

2. TIRIAMOJI DALIS ............................................................................................................. 24

2.1. GEOMETRINIO STABILUMO KRITERIJUS ..................................................................... 24

2.2. VEKTORIŲ MAKS (MIN) GEOMETRINIS STABILUMAS (PRIKLAUSOMŲ

KOMPONENČIŲ ATVEJU) ............................................................................................................................ 25

2.3. VEKTORIŲ GEOMETRINIS MAKS (MIN) STABILUMAS (KOMPONENTöS

NEPRIKLAUSOMOS) ..................................................................................................................................... 38

3. PROGRAMINö REALIZACIJA IR INSTRUKCIJA VARTOTOJUI ............ ............. 43

DISKUSIJA............................................................................................................................... 47

REKOMENDACIJOS ............................................................................................................. 48

PADöKOS ................................................................................................................................. 49

IŠVADOS .................................................................................................................................. 50

LITERAT ŪRA ......................................................................................................................... 51

1. PRIEDAS. SKIRSTINIŲ GEOMETRINIS MAKS (MIN) STABILUMAS ................ .. 53

2. PRIEDAS. ATSITIKTINI Ų VEKTORI Ų GEOMETRINIO MAKSSTABILUMO

TYRIMAS ............................................................................................................................................. 56

3. PRIEDAS. STRAIPSNIS. ATSITIKTINI Ų VEKTORI Ų GEOMETRINID MAKS

STABILUMAS ..................................................................................................................................... 59



4. PRIEDAS. PROGRAMOS TEKSTAS. ............................................................................. 65



8

PAVEIKSL Ų SĄRAŠAS

1.5.1. pav. Logistin÷s skirstinio funkcijos grafikas ................................................................................ 15

1.5.2. pav. Logistinio skirstinio tankio grafikas ..................................................................................... 16

1.5.3 pav. Pareto skirstinio funkcijos grafikas, kai 2=α ................................................................... 16

1.5.4. pav. Pareto skirstinio tankio funkcijos grafikas, kai 2=α ......................................................... 17

1.10.1. pav. Ribin÷s dvimačio logistinio skirstinio funkcijos grafikas .................................................. 22

1.10.2. pav. Ribin÷s dvimačio Pareto skirstinio funkcijos grafikas, kai 1;2 == βα ........................... 23

2.2.1. pav. Dvimačio Pareto skirstinio funkcijos grafikas, kai 3;3 == βα ......................................... 26

2.2.2. pav. Ribin÷s skirstinio funkcijos grafikas, kai 3;3 == βα ........................................................ 28

2.2.3. pav. Dvimačio Pareto skirstinio funkcijos grafikas, kai 5;5 == βα ......................................... 29

2.2.4. pav. Dvimačio logistinio skirstinio funkcija ................................................................................ 33

2.2.5. pav. Skirstinio funkcijos ),( yxG grafikas ................................................................................... 35

2.2.6. pav. Logistinio skirstinio funkcijos grafikas ................................................................................ 36

3.1.1 pav. Programos langas ................................................................................................................... 43

3.1.2 pav. Programos vykdymo langas .................................................................................................. 44

3.1.3 pav. Programos vykdymo langas .................................................................................................. 45

3.1.4 pav. Klaidos langas ....................................................................................................................... 46



ĮVADAS

Šio darbo tikslai: ištirti dvimačio vektoriaus geometrinį maks (min) stabilumą, kai jo koordinat÷s yra

nepriklausomieji ir priklausomieji dydžiai, rasti ryšį tarp maksstabilumo ir minstabilumo.

Daugiamačiai ekstremumų skirstiniai, atitinkamuose modeliuose, padeda analizuoti meteorologinius

duomenis (pavyzdžiui, ekstremumo reikšm÷ meteorologiniuose matavimuose atrinkta iš skirtingų reikšmių,

turint panašius steb÷jimus), sistemų gedimus, finansines struktūras (Tiago de Oliveira J., 1984). Dvimačių

ekstremumų struktūra yra žinoma nuo 1960 metų. Vadinasi statistikos teorija apie ekstremumus yra labai

nauja (Tiago de Oliveira J., 1984).

Darbe dažnai naudosim lo0gistinį ir Pareto skirstinius.

Tikimybių teorijoje ir statistikoje, logistinis skirstinys yra tolydus tikimybinis skirstinys, kuris yra

naudojama logistin÷je regresijoje ir nerviniams signalams tirti. Logistinis skirstinys taip pat naudojamas

augimo modeliuose, duomenų analiz÷je. Yra tokių, kurie teigia, kad logistinis skirstinys yra netinkamas

duomenų modeliavimui, nes kair÷je pus÷je logistinio atsitiktinio dydžio reikšm÷s art÷ja į neigiama begalybę.

Taip gaunama neigiamas rezultatas modeliuojant gedimo laiką. Pavyzdžiui, sprendžiant klausimą d÷l

neigiamo gedimo laiko įrodyta kad skirstinys įgyja santykinai aukštą vidurkį, vadinasi galima naudoti šį

skirstinį (Meeker, W.Q. ir Escobar, L.A., 1998).

Pareto skirstinys iš pradžių buvo sukurtas siekiant aprašyti pajamų paskirstymą. Pagrindas yra tas, kad

didel÷ dalis gyventojų turi mažas pajamas, tačiau tik keli žmon÷s turi labai dideles pajamas. Pareto skirstinys

taip pat taikomas draudime, klimatologijoje jis naudojamas apibūdinti ekstremalias oro sąlygas. Pareto

skirstinys buvo pasiūlytas modeliuoti naftos ir dujų telkinius (Reed J. W.).

Teorin÷je dalyje supažindinama su vienmačių skirstinių maks (min) stabilumu, geometriniu maks

(min) stabilumu. Pareto ir Logistiniais skirstiniais.

Darbo tikslas: dvimačių vektorių maks (min) stabilumo analiz÷.

Uždaviniai:

• pateikti vektorių maks (min) geometrinio stabilumo kriterijus.

• ištirti galimus stabilumo pl÷tinius iš vienmačių atvejų į daugiamačius.

Šia tematika skaitytas pranešimas Klaip÷dos universitete. Darbas publikuotas. Pateiktas pranešimui

LMD 50 - tajai konferencijai.



10

1. TEORIN ö DALIS

1.1 ATSITIKTINIO DYDŽIO S ĄVOKA IR SKIRSTINIO

PASISKIRSTYMO FUNKCIJA

Atsitiktinio dydžio sąvoka yra viena svarbiausių tikimybių teorijoje. Atsitiktinio dydžio X kitimo sritį

vadiname įgyjamų reikšmių aibe ir žymime XΩ . Įgyjamų reikšmių aib÷ kartais būna žinoma prieš

eksperimentą, tačiau praktikoje ji dažniausiai n÷ra tiksliai apibūdinama.

Norint apibūdinti atsitiktinį dydį, nepakanka žinoti jo įgyjamų reikšmių aibę. Reikia apibūdinti, kaip

dažnai tas atsitiktinis dydis gali įgyti šias reikšmes, t.y. kaip tikimyb÷s yra pasiskirsčiusios pagal įgyjamas

reikšmes. Visiška charakteristika, apibūdinanti šį skirstinį, yra atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija.

Atsitiktinio dydžio X skirstinio funkcija F vadinama tikimyb÷, jog xX ≤ :

RxxXPxF ∈≤= ),()(

Atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija išsamiai apibūdina atsitiktinį dydį. Iš jos išraiškos matyti, kokias

reikšmes įgyja atsitiktinis dydis ir kaip tikimyb÷s pasiskirsčiusios pagal tas reikšmes (Aksomaitis A., 2000).

1.2 MAKS(MIN) STABIL ŪS SKIRSTINIAI

Praktikoje dažnai pasitaiko, kad bandymo rezultatas būna ne vienas, o du ir daugiau atsitiktinių dydžių,

sudarančių sistemą. Atsitiktinių dydžių nXXX K21, sistema vadiname daugiamačiu atsitiktiniu vektoriumi.

Tarkime ( )nXXX K21, – nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai ir

n1, j x),P(X = F(x) j =≤ . Atsitiktinių dydžių maksimumo ir minimumo struktūros apibr÷žiamos taip:

)X ,…,X ,max(X = Z n21n (1.2.1)

)X ,…,X ,min(X = W n21n ` (1.2.2)

Kai dydžiai kX , k ≥ 1 yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę, ekstremumų Zn ir Wn skirstinio

funkcijos yra (Galambos, J., 1987):

(x)F = x) P(Z nn ≤ , (1.2.3)



nn F(x)) - (1 - 1 = x) P(W ≤ . (1.2.4)

1.2.1 Apibr÷žimas (Galambos, J., 1978). Skirstinio funkcija )(xF vadinama maksstabiliąja, jei

egzistuoja tokios normalizavimo konstantos an ir 0>bn , su kuriomis

)(xFxb

aZP

n

nn =

≤

−

(1.2.5)

ir minstabiliąją

)(xFxd

cWP

n

nn =

≤

−

(1.2.6)

su visais x∈R ir ∈nc R 0>dn .

1.2.1 Teorema (Zhang Z, 2002): Skirstinio funkcija H(x) yra maksstabili tada ir tik tada, kai ji

priklauso vienam iš trijų tipų

( ) ;),exp( ∞<<∞−−= − xexH x (Gumbel) (1.2.7)

( ) 00 ,)exp(

,0 ,0

>>−≤

= − αα xx

xxH (Frechet) (1.2.8)

( ) ( )

0 x1,

00 x),exp(

≥><−−= ααx

xH

(Weibull) (1.2.9)

1.2.2 Teorema (Zhang Z, 2004): Skirstinio funkcija L(x) yra minstabili tada ir tik tada, kai ji priklauso

vienam iš trijų tipų

( ) ∞<<∞−−−= xexL x ),exp(1 (Gumbel) (1.2.10)

( ) 0 ))(exp(1 <−−−= − xxxL α (Frechet) (1.2.11)

( ) )exp(1 αxxL −−= (Weibull)

(1.2.12)

Visi šie šeši skirstiniai yra normuotų maksimumų (minimumų) ribiniai skirstiniai

)(lim xHxb

aZP

n

nn

n=

≤

−∞→

ir



12

)(lim xLxb

aWP

n

nn

n=

≤

−∞→

.

1.3 PERKöLIMO TEOREMA

Nagrin÷sime struktūrą NZ , kai N yra atsitiktinis dydis, nepriklausantis nuo 1, ≥iX i .

1.3.1 Perk÷limo Teorema (Galambos, 1978): Tarkime kad

)(xHxb

aZP

nn

nn →

≤

−∞→

ir

).(xAxn

NP

nn →

≤ ∞→

Tada

);(xxb

aZP

nn

nNn Ψ →

≤

−∞→

čia skirstinio funkcija

∫∞

=Ψ0

)()()( zdAxHx z

1.3.1. Pavyzdys: Tarkime, kad nN skirstinys yra geometrinis su parametru n

pn

1= . Tada skirstinio

funkcija

( ) [ ]

( )

x

nxnx

nxnxnx

nn

xx

x

k xk

kkx

knn

en

nnpqxnNPx

n

NP

qq

qp

qppqppkNPxNP

−−

−

=

∞

+=

−−

=

−→

−−

−−=

==−=≤=

≤

−=−

−=

=−=−==−===≤ ∑ ∑∑

11

11

111

11

11

1

11)1()(

][

][][

][

1 1][

11][

1

Taigi, xexA −−= 1)(

Dabar ribin÷ skirstinio funkcija



))(ln(1

1

0)(

ln

)(

)()1()()()()(

000

xH

e

xHe

xH

dze

xHedAxHzdAxHx

z

zzzz

−=

∞

=

=

=−==Ψ ∫∫∫∞

−∞∞

Turime tris maksstabilias skirstinio funkcijas

( )

<−−

>−

∞<<∞−−

== −

−

−

.0),exp(

,0 ),exp(

,),exp(

)( )(

xx

xx

xe

exH

x

xz

α

α

ir tris ribines skirstinio funkcijas perk÷limo teoremoje:

<−+

>+

∞<<∞−+

=+

=Ψ −

−

.0,)(1

1

,0 ,1

1

,,1

1

)(1

1)(

xx

xx

xe

xzx

x

α

α

Pirmasis skirstinys - logistinis, o kiti du - Pareto skirstiniai. Analogiška perk÷limo teorema yra ir

atsitiktinių dydžių minimumams. Ribin÷ skirstinio funkcija, kai nN geometrinis yra:

))(1ln(1

11

0))(1(

ln

))(1(

1

))(1(1)1())(1(1)())(1(1)(

000

xL

e

xL

e

xL

dze

xLedAxLzdAxLx

z

zz

zzzz

−−−=

∞

−

−

−=

=

−−=−−−=−−=Ψ ∫∫∫∞

−∞∞

Minstabilios skirstinio funkcijos

<−−

<−−−∞<<∞−−−

=−= −−

0),exp(1

0 ))(exp(1

),exp(1

1)( )(

xx

xx

xe

exL

x

xu

γ

γ

Ribin÷s skirstinio funkcijos, perk÷limo teoremoje minimumams yra:



14

<−+

−

>+

−

∞<<∞−+

−

=+

−=Ψ

− 0,)(1

11

0 ,1

11

,1

11

)(1

11)(

xx

xx

xe

xux

x

α

α

1.4 GEOMETRINIS MAKS (MIN) STABILUMAS

1.4.1 Apibr÷žimas (Satheesh S. ir Unnikrishnan Nair N., 2004). Skirstinio funkcija )(xF vadiname

geometriškai maksstabiliaja, jeigu

);(xFxb

aZP

n

nNn =

<

−

čia dydis nN nepriklauso nuo visų jX ir jo skirstinys yra geometrinis:

1,)1()( 1 ≥−== − kppkNP knnn

Kadangi nN generuojančioji funkcija

zp

zpzg

n

nNn )1(1

)(−−

=

ir

)(( nnNn

nNaxbFgx

b

aZP

n

n +=

<

−

tai geometrinio maksstabilumo kriterijus yra:

).()()1(1

)(xF

axbFp

axbFp

nnn

nnn =+−−

+ (1.4.1)

Geometrinio minstabilumo kriterijus yra:

).(1))(1)(1(1

))(1(xF

cxdFp

cxdFp

nnn

nnn −=+−−−

+− (1.4.2)

1.4.1 Teorema (Satheesh S. and Unnikrishnan Nair N., 2004) : Skirstinio funkcija F(x), x∈R yra

geometriškai maksstabili tada ir tik tada, kai ji yra geometriškai min-stabili (geometrinio skirstinio

parametras abiem atvejais turi sutapti)

Įrodymas: Ši teorema įrodoma pasinaudojus geometrinio skirstinio momentus generuojančia funkcija.

Gaunamas rezultatas:



( )[ ]( )( )

( ) ( )( )[ ]nn

nnnnnn

nn

nn

abFp

abFpaxbaxbF

axbFp

axbFp

+−⋅−−+−⋅

=+⇔+=+⋅−−

+⋅111

1)(F-1 )(

)(11

)( (1.4.3)

Vienmačių dydžių maks (min) stabilumas, geometrinis maks (min) stabilumas visiškai yra išnagrin÷tas

įvairiuose leidiniuose (Satheesh S. ir Unnikrishnan Nair N., 2004; Molchanov I., 2008; Kozubowski T. J. ir

Rachev S. T., 1999).

1.5 LOGISTINIS IR PARETO SKIRSTINIAI

Mūsų tyrimo objektas bus logistinis ir Pareto skirstiniai. Pateiksime vienmatį atvejį, o su dvimat÷mis

išraiškomis susidursime tiriamojoje dalyje.

Logistinį skirstinį apibudina du parametrai: µ ir σ (Nadarajah S., ir Kotz S.,, 2004; Stockute R.,

Veaux A. ir Johnson P., 2006)

Logistinio skirstinio tankis:

( ) ,1

)(2/)(

/)(

σµ

σµ

σ −−

−−

+=

x

x

e

exf

Skirstinio funkcija

( ),1

1)(

/)( σµ−−+=

xexF

Mes naudosime skirstinio parametrus 0=µ ir 1=σ . Tuomet logistinio atsitiktinio dydžio skirstinio

funkcija

,1

1)(

xexF −+

= ,Rx∈

Grafiškai ši skirstinio funkcija atrodo taip:

1.5.1. pav. Logistin÷s skirstinio funkcijos grafikas



16

Grafikas panašus į normaliojo skirstinio funkcijos grafiką. Tačiau jo „uodegos“ yra

sunkesn÷s (l÷čiau 1)( →xF , kai ∞→x , 0)( →xF , kai −∞→x ) (Stoutenborough J.W. ir Johnson P.,

2006). Pasteb÷sime, kad )(1)( xFxF −=−

Skirstinio tankio funkcija

( ) )()(,,1

)(2

xfxfRxe

exf

x

x

=−∈+

=−

−

1.5.2. pav. Logistinio skirstinio tankio grafikas

Pareto skirstinio funkcija

,1

1)( α−+

=x

xF 0,0 >> αx

Šios funkcijos grafikas l÷tai art÷jantis į 1, kai ∞→x (sunkios uodegos)

1.1.5.3 pav. Pareto skirstinio funkcijos grafikas, kai 2=α

Ekonomikoje yra naudojami, tie skirstiniai, kurių uodegos yra sunkios. D÷l šios priežasties Vilfredas

Paretas (1897) pasiūl÷ skirstinius, kurie vadinami Pareto vardu.

Pareto skirstinio tankio funkcija



( ) 0,1

)(2

1

>+

=−

−−

xx

xxf

α

α α

Pareto skirstinio tankio funkcijos grafikas

1.5.4. pav. Pareto skirstinio tankio funkcijos grafikas, kai 2=α

1.6 DVIMA ČIO VEKTORIAUS SKIRSTINIO FUNKCIJA

Norint apibūdinti atsitiktinį vektorių, naudojame tikimybių skirstinio, arba tankio, funkcija.

Tarkime, kad ( ) ( ) ( )nn YXYXYX ,,,,,, 2211 K yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę vektoriai su

skirstinio funkcija ( ) .,1);(, niyYxXPyxF ii =∀≤≤=

Dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos savyb÷s.

1. Pasiskirstymo funkcijos ( )yxF , reikšm÷s:

( ) 1,0 ≤≤ yxF

2. ),();(lim),();(lim 21 yFyxFxFyxFxy

==∞→∞→

arba

),()();(),()();( 21 yYPyFyYPxXPxFxXP ji ≤==≤+∞≤==+∞≤

3. 1);(lim =∞→∞→

yxFxy

arba 1);( =+∞+∞F

4. 0);(lim);(lim);(lim ===−∞→−∞→−∞→−∞→

yxFyxFyxFxyyx

5. Pasiskirstymo funkcija ( )yxF , yra nemaž÷janti:



18

1212

1212

);();(

);();(

yykaiyxFyxF

xxkaiyxFyxF

>≥>≥

6. Skirstinio funkcija ( )yxF , yra tolydi iš dešin÷s:

( ) ),(0,0 yxFyxF =++

Tikimybių tankio funkcijai būdingos šios savyb÷s (Aksomaitis, A., 2000)

1. Tankis yra neneigiamoji 0),( ≥yxp normuota funkcija:

1),( =∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

dxdyyxp

2. Jeigu tankis ( )yxp , yra tolydus taške ( )yx, tai

( )yx

yxFyxp

∂∂∂= ),(

,2

1.7 PRIKLAUSOMIEJI IR NEPRIKLAUSOMIEJI ATSITIKTINIAI

DYDŽIAI

Vienas iš pagrindinių tikimybių teorijos uždavinių yra nustatyti, kada atsitiktiniai dydžiai yra

priklausomi ir kada nepriklausomi.

Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nepriklausomais, jei vieno atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija

nepriklauso nuo to, kokias reikšmes įgyja kitas atsitiktinis dydis. Remdamiesi įvykių A ir

B nepriklausomumo apibr÷žimu

P(A)P(B)B)P(A =∩

tiksliau apibr÷šime dviejų atsitiktinių dydžių X ir Y nepriklausomumą

Sakykime, )(),,( 1 xFyxF ir )(2 yF yra atsitiktinio vektoriaus ),( YX ir jo koordinačių X bei Y skirstinio

funkcijos.

1.7.1 Apibr÷žimas. Atsitiktinius dydžius X ir Y vadiname nepriklausomais jei su visais 2),( Ryx ∈

( ) )()(, yYPxXPyYxXP ≤≤=≤≤ (1.7.1)

t.y. jei

( ) )()(, 21 yFxFyxF ⋅= (1.7.2)

Jeigu nors vienai skaičių porai 2~~

),( Ryx ∈



),()(),(~

2

~

1

~~

yFxFyxF ⋅≠

tai atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami priklausomais (Aksomaitis A., 2000).

1.8 SKAITIN öS ATSITIKTINI Ų DYDŽI Ų IR VEKTORI Ų

CHARAKTERISTIKOS

Praktikoje pasitaiko, kad tikimybių skirstinio funkcijos ne visuomet yra žinomas, o kai kuriais atvejais

jų žinojimas n÷ra būtinas. Pasirodo, kad tais atvejais atsitiktinį dydį galima charakterizuoti dalinai. Tokios

dalin÷s charakteristikos vadinamos skaitin÷mis atsitiktinių dydžių charakteristikomis:

1. Vidurkis .)(,)( 21 ∫∫∞

∞−

∞

∞−

== yydFMYxxdFMX

2. Dispersija .)()()( 122

∫∞

∞−

−=−= xdFMXxMXXMDX

.)()()( 222

∫∞

∞−

−=−= ydFMYyMYYMDY

3. Kovariacija MXMYMXYMYYMMXXMYX −=−⋅−= )()(),cov( .

Jeigu 0),cov( =YX , dydžiai X ir Y vadinami nekoreliuotais

4. Kovariacijos matrica

( )( )

=

DYYX

YXDXB

,cov

,cov

1.9 ATSITIKTINI Ų VEKTORI Ų EKSTREMUMAI

Tarkime turime dvimačius nepriklausomus vektorius ( ) ( ) ( )nn YXYXYX ,,,,,, 2211 K su skirstinio

funkcija ( )yxF , . Tada jų maksimumas

);,( )2()1(nnn ZZZ =

čia )1(nZ ir )2(

nZ yra koordinačių maksimumai:

),,,max(),,,,max( 21)2(

21)1(

nnnn YYYZXXXZ KK == ,

Skirstinio funkcija:



20

( ) ( )( )).,(

),(,,),,(,

),,,,,(

),()),((

11

11

)2()1(

yxF

yxYXyxYXP

yYyYxXxXP

yZxZPyxZP

n

nn

nn

nnn

=

=≤≤==≤≤≤≤=

=≤≤=≤

K

KK

Vektorių minimumas

);,( )2()1(nnn WWW =

čia

),,,min(),,,,min( 21)2(

21)1(

nnnn YYYWXXXW KK ==

tuomet skirstinio funkcija

nnn

nnnn

nn

nnn

yxFyFxFyFxF

yYyYxXxXPyYyYPxXxXP

yYyYxXxXP

yWxWPyxWP

)),()()(1())(1())(1(1

),...,,,...,(),...,(),...,(1

),...,,...,(1

),()),((

2121

1111

11

)2()1(

+−−+−−−−=

=≥≥≥≥+≥≥−≥≥−=

=≥≥∪≥≥−=

=≤≤=≤

Matome, jog vektorių minimumo skirstinio funkcijos išraiška ženkliai skiriasi nuo atsitiktinių dydžių

minimumo skirstinio funkcijas.

1.10 RIBIN öS TEOREMOS. STABILUMAS

Tarkime, turime nepriklausoma vektorių seką

KK ),,(,),,(),,( 2211 nn YXYXYX

Vektorių komponent÷s X ir Y gali būti nepriklausomos, bet gali būti ir priklausomos.

Čia v÷l galime nagrin÷ti ribines teoremas, t.y. spręsti problemą: rasti tokias normalizavimo konstantas

11,0, 11 ≥> nba nn ir 12,0, 22 ≥> nba nn , su kuriomis

);,(,2

2)2(

1

1)1(

yxHyb

aZx

b

aZP

nn

nn

n

nn →

≤

−≤

−∞→ (1.10.1)

čia ribin÷ skirstinio funkcija ),( yxH yra neišsigimusi funkcija.

Galimas ir perk÷limo teoremos variantas: jeigu

),(,2

2)2(

1

1)1(

yxHyb

aZx

b

aZP

nn

nn

n

nn →

≤

−≤

−∞→ (1.10.2)



ir

)(xAxn

NP

nn →

≤ ∞→

tai

);,(,2

2)2(

1

1)1(

yxyb

aZx

b

aZP

nn

nN

n

nN nn Ψ →

≤

−≤

−∞→

čia ribin÷ skirstinio funkcija

∫∞

=Ψ0

)(),(),( zdAyxHyx z (1.10.3)

Analogiška perk÷limo teorema yra ir minimumų schemoje. Ribin÷ skirstinio funkcija, kai iX ir iY ,

1≥i yra nepriklausomi

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞ ∞∞

−−+−−−−=Ψ0 0

212

0

1 )()(1)(1)()(1)()(11),( zdAyLxLzdAyLzdAxLyx zzzz

Visa tai yra atlikta (Jokimaitis A., 1998)

1.10.1. Pavyzdys: Imkime du vienmačius logistinius skirstinius:

RyRxe

yFe

xFyx

∈∈+

=+

= −− ,,1

1)(

1

1)( 21

Jeigu X ir Y nepriklausomi

yxyx eeeeyxF −−−− +++

=1

1),(

Imdami )ln(1 2121 naabb nnnn ==== gauname:

=++ ),( 2211 nnnnn aybaxbF

→

−−−−+−−+−+=

n

nnnnnnnn aybaxbaybaxb )exp()exp()exp()exp(1

1

22112211

)exp(),( yx eeyxH −− −−=→



22

1.10.1. pav. Ribin÷s dvimačio logistinio skirstinio funkcijos grafikas

1.10.2. Pavyzdys: Tarkime yra du vienmačiai Pareto skirstiniai:

0,0,0,0,1

1)(

1

1)( 21 >>>>

+=

+= −− βαβα yx

yyF

xxF

Dvimatis Pareto skirstinys, kai X ir Y nepriklausomi, yra:

βαβα −−−− +++=

yxyxyxF

1

1),( .

Tuomet gauname ribinę dvimačio skirstinio funkciją, kai parenkamos normalizavimo konstantos

βα1

2

1

121 0 nbnbaa nnnn ====

( ) ( ) ( ) ( ))exp(),(

1

1

),(

11222211

2211

βα

αββα

−−

−−−−

−−=→

→

+++++++

=++

yxyxH

axbaybaybaxb

aybaxbFn

nnnnnnnn

nnnnn



1.1.10.2. pav. Ribin÷s dvimačio Pareto skirstinio funkcijos grafikas, kai

1;2 == βα



24

2. TIRIAMOJI DALIS

2.1. GEOMETRINIO STABILUMO KRITERIJUS

Apibr ÷žimas. Dvimatę skirstinio funkciją y)F(x, vadiname geometriškai maksstabilia, jeigu

egzistuoja tokios normalizavimo konstantos 11, pp ba ir 22 , pp ba , su kuriomis

),,(,2

2)2(

1

1)1(

yxFyb

aZx

b

aZP

p

pN

p

pN =

≤

−≤

−

čiaN ,yra geometrinis atsitiktinis dydis su parametru p :

.10,1,)1()( 1 <<≥−== − pkppkNP k

Pasinaudoję pilnosios tikimyb÷s formulę gauname:

( );),()(),(

)(),,,,,(

)(),(,

22112211

22212111111111

22)2(

11)1(

2

2)2(

1

1)1(

∑

∑

∑

++==++=

==+≤+≤+≤+≤=

==+≤+≤=

≤

−≤

−

kppppNpppp

k

kkpkpkppkpkpkpp

kppkppk

p

pN

p

pN

aybaxbFgkNPaybaxbF

kNPaybYaybYaxbXaxbXP

kNPaybZaxbZPyb

aZx

b

aZP

KK

čia )(zgN yra geometrinio atsitiktinio dydžio generuojančioji funkcija:

∑∞

= −−====

1 )1(1)()(

k

kNN zp

pzkNPzMzzg

Tokiu būdu, geometrinio maksstabilumo kriterijus dvimačiu atveju yra

),,(),()1(1

),(

2211

2211 yxFaybaxbFp

aybaxbpF

pppp

pppp =++−−

++ (2.1.1)

Kadangi

+≥−≥−=

=≥∪≥−=

=≤≤=≤≤

)),...,(min()),...,(min(1

)),...,min(),...,(min(1

)),...,min(,),...,(min(),(

11

11

11)2()1(

yYYPxXXP

yYYxXXP

yYYxXXPyWxWP

nn

nn

nnnn



nnn

nn

yxFyFxFyFxF

yYYxXXP

)),()()(1())(1())(1(1

)),...,min(,),...,(min(

2121

11

+−−+−−−−=

=≥≥+ (2.1.2)

Tai ),( yxF minstabilumo sąlyga yra

),(1)),(

)()(1())(1())(1(

22111

222111222111

yxFcydcxdF

cydFcxdFcydFcxdF

nnnnn

nnnnn

nnn

nn

−=+++

++−+−−+−++−

(2.1.3)

Geometrinį minstabilumą apibr÷šime taip:

),(,2

2)2(

1

1)1(

yxFyd

cWx

d

cWP

p

pN

p

pN =

≤

−≤

−

Iš čia pasinaudodami generuojančiąja funkcija Ng , gauname, kad

( )( ) ( )( ) ( )( ),;111

),(,

2211222111

22)2(

11)1(

2

2)2(

1

1)1(

ppppNppNppN

ppNppNp

pN

p

pN

cydYcxdXPgcydFgcxdFg

cydWcxdWPyd

cWx

d

cWP

+≥+≥++−−+−−=

=+≤+≤=

≤

−≤

−

Geometrinio minstabilumo kriterijus yra

);,(1));()()(1)(1(1

));()()(1(

))(1)(1(1

))(1(

))(1)(1(1

))(1(

2211222111

2211222111

222

222

111

111

yxFcydcxdFcydFcxdFp

cydcxdFcydFcxdFp

cydFp

cydFp

cxdFp

cxdFp

pppppppp

pppppppp

pp

pp

pp

pp

−=++++−+−−−

++++−+−⋅−

−+−−−

+−⋅+

+−−−+−⋅

(2.1.4)

čia Rddcc pppp ∈> 2121 ,;0, normalizavimo konstantos. Kai koordinat÷s X ir Y nepriklausomos,

geometrinio minstabilumo sąlyga tampa paprastesn÷.

2.2. VEKTORI Ų MAKS (MIN) GEOMETRINIS STABILUMAS

(PRIKLAUSOM Ų KOMPONENČIŲ ATVEJU)

Praktikoje dažnai pasitaiko, kad bandymo rezultatas būna ne vienas, o du ir daugiau atsitiktinių dydžių,

sudarančių imtį. Atsitiktinių dydžių nXXX K21, sistema vadiname n-mačiu atsitiktiniu vektoriumi.

2.2.1 užduotis: Ar dvimatis Pareto skirstinys, kurio vektoriaus komponent÷s yra priklausomos yra

geometriškai min (maks) stabilus?



26

,1

11)(,

1

11)(

0,,0,1

1

1

1

1

11),(

21 +−=

+−=

>>++

++

−+

−=

βα

βαβα βα

yyF

xxF

yxyxyx

yxF

(2.2.1)

2.2.1. pav. Dvimačio Pareto skirstinio funkcijos grafikas, kai 3;3 == βα

Sprendimas: Spręsime naudodamiesi geometrinio minstabilumo kriterijumi, dvimačiui atvejui (2.1.4).

Pradžioje patikriname, ar )(1 xF yra geometriškai minstabili, jei ji bus geometriškai minstabili tai

gal÷sime teigti, kad )(2 yF yra taip pat geometriškai minstabili.

( )

( )( ) =

++=

+++−−−

+++−

=+−−−

+−⋅α

α

α

11

11

11

111

111

1

111)1(1

1

111

))(1)(1(1

))(1(

pp

pp

pp

pp

pp

cxdp

p

cxdp

cxdp

cxdFp

cxdFp

)(11

1

01

1

1

1 xFxc

pd

p

p −=+

=

=

== α

α

Gavome, kad vienmat÷ skirstinio funkcija )(1 xF yra geometriškai minstabili, tai )(2 yF taip pat

geometriškai minstabili. Tiriant dvimačio Pareto skirstinio, kurio vektoriaus komponent÷s priklausomos

geometrinį minstabilumą, susiduriame su sud÷tinga išraiška. Tačiau žinodami, kad vektoriaus komponent÷s

)(1 xF ir )(2 yF yra geometriškai minstabilios, mums pakanka nagrin÷ti tik šią 1

1

++ βα yx skirstinio

funkcijos dalį. Taigi:



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 1

1

0

0

1

11

1

1

11

1

1

2

1

2

1

1

1

2211

2211

2211

2211

2211

2211

++=

++=

==

===

++++=

=

++++

+−++++

++++=

++++−−

++++

βαβαβ

α

βα

βα

βα

βα

βα

βα

yxppypx

p

cpd

cpd

pcydcxd

p

cydcxd

pcydcxd

cydcxd

p

cydcxd

p

cydcxdp

pp

pp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

Gavome, kad dvimatis Pareto skirstinys (2.2.1), kurio vektoriaus komponent÷s priklausomos yra

minstabilus. Ar tas pats skirstinys, bus geometriškai maksstabilus? Tirsime naudodamiesi, geometrinio

maksstabilumo kriterijumi dvimačiui atvejui:

=++−−

++⋅));()(1(1

));(

2211

2211

pppp

pppp

aybaxbFp

aybaxbFp

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

=

==

+++++

++−

++−−−

+++++

++−

++−⋅

=0

0

1

1

1

1

1

11)1(1

1

1

1

1

1

11

2

1

22112211

22112211

p

p

pppppppp

pppppppp

a

a

aybaxbaybaxbp

aybaxbaybaxbp

βαβα

βαβα

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

),(

1111

1

1

1

1

1

1

11

111

1

1

1

1

1

11

1

2

1

1

212121

1

2

1

1

1

2121

yxF

pyx

p

py

p

px

p

pyxpypx

pyx

p

py

p

px

p

pb

pb

ybxbybxbybxb

p

yb

p

xb

pp

ybxbybxbp

p

p

pppppppp

pppp

≠

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

=

=

=

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−⋅

=

−

−

−−−

βαβαβαβα

βαβα

β

α

βαβαβαβα

βαβα

Tokiu būdu įrod÷me šį teiginį:

2.2.1 Teiginys. Iš geometrinio minstabilumo bendru atveju neišplaukia geometrinis maksstabilumas.

Vienmačiu atveju iš geometrinio minstabilumo išplaukia geometrinis maksstabilumas (Satheesh S. and

Unnikrishnan Nair N., 2007).

Imdami n

pp n

1== , gauname:



28

( ) ),(1

1

1111

1

lim

1yxG

yxyx

pyx

p

py

p

px

p

pyxpypx

pyx

p

py

p

px

p

n

n

n

n

n

n

nnn

n

n

n

n

n

n

n

=+−++

=

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

−−−

∞→

βαβα

βαβαβαβα

βαβα

2.2.2. pav. Ribin÷s skirstinio funkcijos grafikas, kai 3;3 == βα

Gauta ribin÷ skirstinio funkcija ),( yxG yra maksstabili. Pagrįsime tai. Taigi, turime vienmates

skirstinio funkcijas

0,0,1

1),()(

1

1),()(

22

11

>≥+

=+∞=

+=+∞=

−

−

yxy

yGyG

xxGxG

β

α

jos sutampa su )(1 xF ir )(2 yF skirstinio funkcijomis užduotyje (2.2.1).

Tikriname maksstabilumą pasinaudodami kriterijumi (2.1.1):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

=

==

+++−++++−−

+++−++++⋅

−−−

−−−

0

0

)()(1

1)1(1

)()(1

1

2

1

1

22112211

1

22112211

p

p

pppppppp

pppppppp

a

a

aybaxbaybaxbp

aybaxbaybaxbp

βαβα

βαβα



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ),(

)()(1

1)1(1

)()(1

1

1

1

2

1

1

1

2121

1

2121

yxGpyxppypx

p

pb

pb

ybxbybxbp

ybxbybxbp

p

p

pppp

pppp

=++−+

=

=

=

==

+−++−−

+−++⋅

=

−−−

−

−

−−−

−−−

βαβα

β

α

βαβα

βαβα

Tokiu būdu, ribin÷ skirstinio funkcija ),( yxG (priklausomų komponenčių atveju) yra maksstabili.

2.2.2 užduotis: Tirsime Pareto skirstinį, kurio forma šiek tiek skiriasi nuo tirtos pirmoje užduotyje.

Tikrinsime ar šis skirstinys yra geometriškai maks (min) stabilus?

,1

1)(,

1

1)(

.0,00,0,1

1),(

21 +=

+=

>>>>++

=

−−

−−

βα

βα βα

yyF

xxF

yxyx

yxF

(2.2.2)

Vienmat÷s skirstinio funkcijos 1F ir 2F sutampa su (2.2.1) užduoties skirstinio funkcijomis.

2.2.3. pav. Dvimačio Pareto skirstinio funkcijos grafikas, kai 5;5 == βα

Sprendimas: Vienmačio skirstinio maksstabilumas ištirtas pirmojoje užduotyje, nes

,1

1

11

11)(1 +

=+

=+

−= −αα

α

α xx

x

xxF

Ar dvimat÷ skirstinio funkcija, kurios komponent÷s priklausomos, bus maksstabili. Tikriname:

=++−−

++⋅=

≤

−≤

−);()1(1

);(;

2211

2211

2

2)2(

1

1)1(

pppp

pppp

p

pn

p

pn

aybaxbFp

aybaxbFpy

b

aZx

b

aZP



30

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )=

++++

+−++++

++++=

++++

++++=

−−

−−

−−

−−

−−

1

11

1

1

1

2211

2211

2211

2211

2211

βα

βα

βα

βα

βα

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

aybaxb

paybaxb

aybaxb

p

aybaxb

aybaxb

p

( ) ( )

1

1

00

0

0

2

1

2

1

1

1

2211

++=

++=

++++=

==

===

++++=

−−

−

−

−−

βα

β

α

βα

yxpypxp

p

pypxp

p

apb

apb

paybaxb

p

pp

pp

pppp

Gavome, kad dvimatis Pareto skirstinys (2.2.2) yra geometriškai maksstabilus.

Tikriname geometrinį minstabilumą, naudodamiesi kriterijumi (2.1.4).

Spręsime, nagrin÷jant dalimis:

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

−−

−

−

−

−

−

−

−

+−=

=

==++

+=

=

+++

−−

+++

=

++−−−

++−

=+−−−

+−

xc

pdcxdp

cxdp

cxd

cxdp

cxd

cxdp

cxdp

cxdp

cxdFp

cxdFp

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

1

11

0)(1

)(

1)(

)()1(1

1)(

)(

1)(

11)1(1

1)(

11

))(1)(1(1

))(1(

1

1

1

11

11

11

11

11

11

11

11

111

111

=

==

++++−+−−−++++−+−⋅

0

0

)),()()(1)(1(1

)),()()(1(

2

1

22112211

22112211

p

p

pppppppp

pppppppp

c

c

cydcxdFcydFcxdFp

cydcxdFcydFcxdFp

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−⋅

=

−−−−−−

−

−

−

−

−

−−−−

1

1

1

1

1

11

111

1

1

1

1

1

11

212121

1

2

1

1

1

2121

βαβαβαβα

βαβα

pppppppp

pppp

ydxdydxdydxd

p

yd

p

xd

pp

ydxdydxdp

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

=

=

=

−−−−−−−−

−−−−

pyx

p

py

p

px

p

pyxpypx

pyx

p

py

p

px

p

pd

pd

p

p

βαβαβαβα

βαβα

β

α

1111

1

1

2

1

1

Įsistatome į bendrą išraiką ir gauname:



1

1111

1

1

1

1

1

1111

1

1

11

1

111

−

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

++

++

=

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

++

+−+

+−

−−−−−−−−

−−−−

−−

−−−−−−−−

−−−−

−−

pyx

p

py

p

px

p

pyxpypx

pyx

p

py

p

px

p

yx

pyx

p

py

p

px

p

pyxpypx

pyx

p

py

p

px

p

yx

βαβαβαβα

βαβα

βα

βαβαβαβα

βαβα

βα

geometrinio minstabilumo n÷ra.

Gavome, kad Pareto skirstinys (2.2.2), kai vektoriaus komponent÷s priklausomos, n÷ra geometriškai

minstabilus, bet gal jis bus asimptotiškai minstabilus, kai npp = ?

( ) 1

1

1111

1

1111

1

lim

1 ++++=

+

+−+

=

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

−−−

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

∞→

βαβα

βαβα

βαβαβαβα

βαβα

yxyxyxyx

pyx

p

py

p

px

p

pyxpypx

pyx

p

py

p

px

p

nnnnnn

n

n

n

n

n

n

n

N÷ra asimptotiškai minstabilus.

Išvada. Tiriant Pareto skirstinį pasteb÷jome, kad kai dvimatis skirstinys yra geometriškai maksstabilus,

tai jis nebus geometriškai minstabilus arba atvirkščiai, jeigu turime dvimatį skirstinį, kuris yra minstabilus,

tada gauname, kad jis nebus geometriškai maksstabilus. Kokioms sąlygoms esant skirstinys bus

geometriškai maksstabilus arba geometriškai minstabilus?

Iš perk÷limo teoremos maksimumams, kur nN skirstinys yra geometrinis su parametru n

pn

1= ,

gauname, kad

−==nn

kNP n

11

1)( , dvimat÷ ribin÷ skirstinio funkcija:

)),(ln(1

1

0),(

ln

),(

),()1(),()(),(),(

000

yxH

e

yxHe

yxH

dze

yxHedAyxHzdAyxHyx

z

zzzz

−=

∞

=

=

=−==Ψ ∫∫∫∞

−∞∞

Tuomet įsistatę dvimatę ribinę funkciją )exp()()(),( βα −− −−=⋅= yxyHxHyxH , gauname



32

βαβα −−−− ++=

−−−=

− yxyxyxH 1

1

))ln(exp(1

1

)),(ln(1

1

Minstabilumo atveju ribin÷ skirstinio funkcija:

( ) ( ) ( ) ( ) =−−+−−−−=Ψ ∫ ∫∫∞ ∞∞

0 0

212

0

1 )()(1)(1)()(1)()(11),( zdAyLxLzdAyLzdAxLyx zzzz

=

−−+

−−

−−= ∫∫∫∞∞∞

000

))(1))((1())(1())(1(1 dz

e

yLxLdz

e

yLdz

e

xLzzz

=∞

−−

−−

+∞

−

−

−∞

−

−

−=0

)(1))((1(ln

))(1))((1(

0))(1(

ln

))(1(

0))(1(

ln

))(1(

1

e

yLxLe

yLxL

e

xLe

xL

e

xLe

xLzzz

))(1)((1ln((1

1

))(1ln(1

1

))(1ln(1

11

yLxLyLxL −−−+

−−−

−−−=

Tuomet įsistatę dvimatę ribinio skirstinio funkciją )()(),( yLxLyxL ⋅= į mūsų gauta išraišką

)()(),( yLxLyxL ⋅= ))exp(1))(exp(1( βα yx −−−−= ,

gauname:

βαβα yxyx

yLxLyLxLyx

+++

+−

+−=

=−−−

+−−

−−−

−=Ψ

1

1

1

1

1

11

))(1)((1ln((1

1

))(1ln(1

1

))(1ln(1

11),(

2.2.3. Teiginys. Jeigu dvimat÷ Pareto skirstinio funkcija gaunama iš ribin÷s maksstabilios Frechet

funkcijos, ji bus geometriškai maksstabili, o jei iš minstabilios Frechet funkcijos, bus geometriškai

minstabili.

2.2.3. Užduotis: Ištirti logistinio skirstinio, kurio vektoriaus komponent÷s priklausomos, maks (min)

geometrinį stabilumą.

RyRxee

e

eyF

ee

e

exF

eeeeyxF

yy

y

y

xx

x

x

yxyx

∈∈+

=+

=+

−=

+=

+=

+−=

+++

+−

+−=

−

−

,,1

1

11

11)(

,1

1

11

11)(

1

1

1

1

1

11),(

2

1 (2.2.3)



2.2.4. pav. Dvimačio logistinio skirstinio funkcija

Sprendimas: Naudosim÷s dvimačio geometrinio minstabilumo kriterijumi ir patikrinsime ar dvimatis

logistinis skirstinys minstabilus. Naudosim÷s geometrinio minstabilumo kriterijumi (2.1.4).

Pirmiausiai tikriname, ar skirstinio funkcija )(1 xF geometriškai minstabili?

=

+++−−−

+++−

=+−−−

+−⋅

)exp(1

111)1(1

)exp(1

111

))(1)(1(1

))(1(

11

11

111

111

pp

pp

pp

pp

cxdp

cxdp

cxdFp

cxdFp

xpxp

p

pp

pp

pp

pp

epe

p

pc

d

pcxd

p

pcxd

p

cxdp

cxdp

n +=

+=

=

==

++=

=+−++

=

++−−

++=

+ 1

1)ln(

1

)exp(

1)exp(1

)exp(1

1)1(1

)exp(1

1

))ln(1(1

1

11

11

11

11

Tur÷dami geometriškai minstabilią )(1 xF galime teigti, kad ir )(2 xF yra geometriškai minstabili.

Belieka patikrinti ar funkcija yx ee ++1

1 geometriškai minstabili:

),())ln(exp())ln(exp()ln(,1

)ln(,1

)exp()exp(

1)exp()exp(

1)1(1

1)exp()exp(

1

22

11

2211

2211

2211

yxFppypx

p

pcd

pcd

pcydcxd

p

cydcxdp

cydcxdp

pp

pp

pppp

pppp

pppp

=++++

=

==

===

=++++

=

++++−−

++++



34

Gavome, kad logistinis skirstinys (2.2.3), geometriškai minstabilus. Tirsime ar geometriškai

maksstabilus?

=

=−=

=−==

=

+++++

++−

++−−−

+++++

++−

++−⋅

=

=++−−

++⋅

1),ln(

1),ln(

1)exp()exp(

1

1)exp(

1

1)exp(

11)1(1

1)exp()exp(

1

1)exp(

1

1)exp(

11

));()(1(1

));(

22

11

22112211

22112211

2211

2211

pp

pp

pppppppp

pppppppp

pppp

pppp

bpa

bpa

aybaxbaybaxbp

aybaxbaybaxbp

aybaxbFp

aybaxbFp

=

+−+−+

+−−

+−−−−

+−+−+

+−−

+−−⋅

=

1))ln(exp())ln(exp(1

1))ln(exp(1

1))ln(exp(1

1)1(1

1))ln(exp())ln(exp(1

1))ln(exp(1

1))ln(exp(1

1

pypxpypxp

pypxpypxp

),(

1111

1

yxF

pee

p

pe

p

pe

p

peepepe

pee

p

pe

p

pe

p

yxyxyxyx

yxyx

≠

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

=

Įrod÷me šitokį teiginį:

2.2.3. Teiginys. Dvimat÷ logistinio skirtinio funkcija

yxyx eeeeyxF

+++

+−

+−=

1

1

1

1

1

11),(

Yra geometriškai minstabili, bet n÷ra geometriškai maksstabili.

Ar šis skirstinys bus asimptotiškai maksstabilus, kai n

pn

1= ?

( ) ),(1

1

1111

1

1111

1

lim

1yxG

eeeeeeee

pee

p

pe

p

pe

p

peepepe

pee

p

pe

p

pe

p

yxyx

yxyx

nyxn

ny

n

nx

n

nyx

ny

nx

nyxn

ny

n

nx

n

n

=++−+

=+

+−+

=

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

−−−

∞→

Ribin÷s skirstinio funkcijos ),( yxG vienmat÷s skirstinio funkcijos.



RyRxe

yGyG

exGxG

y

x

∈∈+

=+∞=

+=+∞=

−

−

,,1

1),()(

1

1),()(

22

11

Sutampa su (2.2.3) užduoties skirstinio funkcijomis )(1 xF ir )(2 yF . Taigi jos yra geometriškai ir

minstabilios ir maksstabilios.

2.2.5. pav. Skirstinio funkcijos ),( yxG grafikas

Tikriname, ar ),( yxG yra geometriškai maksstabili?

( )

( )

=

=−=

=−==

=

+−−+−−+−−+−−−−

+−−+−−+−−+−−⋅

=

=++−−

++⋅

−

−

1),ln(

1),ln(

1)exp()exp()exp()exp(

11

1)exp()exp()exp()exp(

1

));()(1(1

));(

22

11

122112211

122112211

2211

2211

pp

pp

pppppppp

pppppppp

pppp

pppp

bpa

bpa

aybaxbaybaxb

p

aybaxbaybaxbp

aybaxbFp

aybaxbFp

( )( )( )

( ) ( ) ),(1

1

1))ln(exp())ln(exp())ln(exp())ln(exp(

))ln(exp())ln(exp())ln(exp())ln(exp(

1))ln(exp())ln(exp())ln(exp())ln(exp(

1

11

1

1

1

yxGeeeepeeppepe

p

pypxpypx

ppypxpypx

pypxpypxp

yxyxyxyx=

++++=

++++=

=

+−+−++−++−+−+−++−++−

+−+−++−++−⋅

=

−−−−−−−−−−

−

−

−

Gavome, kad ),( yxG yra geometriškai maksstabili. Dvimat÷ ),( yxF n÷ra asimptotiškai maksstabili,

nes ),(),( yxFyxG ≠ .



36

2.2.4. Užduotis: Ištirti logistinio skirstinio funkcijos (2.2.4) geometrinį maks (min)

stabilumą?

2),(,1

1),( Ryx

eeyxF

yx∈

++= −−

2.2.6. pav. Logistinio skirstinio funkcijos grafikas

Vienmačiai skirstiniai su skirstinio funkcijomis

xexF −+

=1

1)(1 ir

yeyF −+

=1

1)(2 .

yra geometriškai maksstabilūs. Tikrai, nes tai yra patikrinta (2.2.3) užduotyje, nes

xx

x

x ee

e

exF −+

=+

=+

−=1

1

11

11)(1

Ar dvimatis logistinis skirstinys geometriškai maks stabilus?

=+−−+−−

=

+−−+−−−−

+−−+−−=

=++−−

++⋅=

≤

−≤

−

paybaxb

p

aybaxb

p

aybaxbp

aybaxbFp

aybaxbFpy

b

aZx

b

aZP

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

p

pN

p

pN

)exp()exp(

1)exp()exp(

11

1)exp()exp(

1

);()1(1

);(;

2211

2211

2211

2211

2211

2

2)2(

1

1)1(

( )( )

),(1

1

))ln(exp())ln(exp(ln,1

ln,1

22

11

yxFee

ppepe

p

ppypx

p

pab

pab

yx

yxpp

pp

=++

=

=++

=++−++−

=

−==

−===

−−

−−



Patikrinsime, ar šis dvimatis logistinis skirstinys, kurio vektoriaus komponent÷s priklausomos yra

geometriškai minstabilus?

Tirdami ar dvimat÷ skirstinio funkcija geometriškai minstabili, nagrin÷jame ją dalimis, t.y.:

=

+−−−−−

+−−−

=+−−−

+−

1)exp(

11)1(1

1)exp(

11

))(1)(1(1

))(1(

11

11

111

111

pp

pp

pp

pp

cxdp

cxdp

cxdFp

cxdFp

x

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

epc

d

cxdp

cxdp

cxd

cxdp

cxd

cxdp

−+−=

=

==

−−+−−

=

+−−−−

−−

+−−−−

=1

11

)ln(

1

)exp(1

)exp(

1)exp(

)exp()1(1

1)exp(

)exp(

1

1

11

11

11

11

11

11

=

==

===

++++−+−⋅−−++++−+−⋅

)ln(,1

)ln(,1

));()()(1()1(1

));()()(1(

22

21

22112211

22112211

pcd

pcd

cydcxdFcydFcxdFp

cydcxdFcydFcxdFp

pp

pp

pppppppp

pppppppp

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−⋅

=

−−−−−−−−

−−−−

pee

p

pe

p

pe

p

peepepep

pee

p

pe

p

pe

pp

yxyxyxyx

yxyx

1111

1

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

=

−−−−−−−−

−−−−

pee

p

pe

p

pe

p

peepepe

pee

p

pe

p

pe

p

yxyxyxyx

yxyx

1111

1

negauname geometrinio minstabilumo, kadangi geometrinio minstabilumo kriterijus netenkinamas.

Imdami n

pn

1= , gauname:

( ) 1

1

1111

1

lim

1 ++++=

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

−−−

−−−−−−−−

−−−−

∞→

yxyx

nyx

n

ny

n

nx

n

nyx

ny

nx

nyx

n

ny

n

nx

n

n

eeee

pee

p

pe

p

pe

p

peepepe

pee

p

pe

p

pe

p

Asimptotinio stabilumo n÷ra.

Įrod÷me tokį teiginį:

2.2.4. Teiginys. Skirstinio funkcija



38

2),(,1

1),( Ryx

eeyxF

yx∈

++= −−

yra geometriškai maksstabili, tačiau ji n÷ra minstabili. Vienmat÷s skirstinio funkcijos yra geometriškai

min (maks) stabilios.

Kokios sąlygos lemia, kad skirstinys bus geometriškai maksstabilus, bet nebus geometriškai

minstabilus arba atvirkščiai bus geometriškai minstabilus, bet nebus geometriškai maksstabilus.

Naudosim÷s (2.2.2) uždavinyje pateikta, gauta išraiška

)),(ln(1

1)1(),(),(

0 yxHedyxHyx zZ

−=−=Ψ −

∞

∫

Įsistatę į dvimatę ribinę funkciją, maksstabilumo atveju )exp()()(),( yx eeyHxHyxH −− −−=⋅=

gauname

yxyx eeeeyxH −−−− ++=

−−−=

− 1

1

)))(ln(exp(exp1

1

)),(ln(1

1

Minstabilumo atveju, taip pat naudojam÷s (2.2.2) uždavinyje pateikta išraiška:

( ) ( ) ( ) ( )

))(1)((1ln((1

1

))(1ln(1

1

))(1ln(1

11

)()(1)(1)()(1)()(11),(

2121

0 0

212

0

1

yLxLyLxL

zdAyLxLzdAyLzdAxLyx zzzz

−−−+

−−−

−−−=

=−−+−−−−=Ψ ∫ ∫∫∞ ∞∞

Į ją įsistatę dvimatę maksstabilią Gumbel funkciją )()(),( yLxLyxL ⋅= į išraišką

)()(),( 21 yLxLyxL ⋅= ))exp(1))(exp(1( yx ee −−−−= ,

gauname:

yxyx eeeeyLxLyLxL +++

+−

+−=

−−−+

−−−

−−−

1

1

1

1

1

11

))(1)((1ln((1

1

))(1ln(1

1

))(1ln(1

11

2121

Dvimatis logistinis skirstinys, kaip ir Pareto skirstinys yra geometriškai maksstabilus, bet n÷ra

geometriškai minstabilus, tuomet, kai jį galima išreikšti, per maksstabilias funkcijas. O geometriškai

minstabilus, bet ne maksstabilus, tuomet, kai jis gali būt išreiškiamas per minstabilias funkcijas.

2.3. VEKTORI Ų GEOMETRINIS MAKS (MIN) STABILUMAS

(KOMPONENT öS NEPRIKLAUSOMOS)

Tyr÷me dvimačius skirstinius, kurių vektoriaus komponent÷s priklausomos. Dabar imsime

nepriklausomas vektorių komponentes ir tirsime geometrinį maks (min) stabilumą.



2.3.1. užduotis. Ar dvimatis Pareto skirstinys, kurio vektoriaus komponent÷s nepriklausomos bus

geometriškai min (maks) stabilus?

0,0,1

11)(,

11

11)(

1

1

1

1

1

11),(

21 >>+

−==+

=+

−=

++++

+−

+−=

yxy

yFx

x

xxF

yxyxyxyxF

βα

α

α

βαβαβα

(2.3.1)

Kad būtų dvimatis skirstinys geometriškai minstabilus, jo vektoriaus komponent÷s turi būtų

minstabilios, o tai mes jau esame ištyrę pirmajame uždavinyje, tad mums belieka patikrinti, ar ši

1

1

+++ −−−− βαβα yxyx skirstinio dalis yra geometriškai minstabili:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

+++++++−−

+++++++

1

1)1(1

1

1

22112211

22112211

βαβα

βαβα

pppppppp

pppppppp

cydcxdcydcxdp

cydcxdcydcxdp

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) =

==

===

+++++++=

=

+++++++

+++++++

+++++++=

0,

0,

1

1

1

2

1

2

1

1

1

22112211

22112211

22112211

22112211

pp

pp

pppppppp

pppppppp

pppppppp

pppppppp

cpd

cpd

pcydcxdcydcxd

p

cydcxdcydcxd

pcydcxdcydcxd

cydcxdcydcxdp

β

α

βαβα

βαβα

βαβα

βαβα

1

1

+++⋅=

+++⋅= βαβαβαβα yxypxppypxpypx

p

Taigi nepakanka dvimačio skirstinio vektoriaus komponenčių geometrinio minstabilumo, kad dvimatis

skirstinys, sudarytas iš šių komponenčių būtų geometriškai minstabilus. Gal šis skirstinys bus asimptotiškai

minstabilus, kai n

pp n

1== :

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

11lim

+++

+−

+−=

+++⋅+

+−

+−

∞→ βαβαβαβαβα yxyxyxyxpyx nn

Šis skirstinys yra išnagrin÷tas ir jis yra geometriškai minstabilus. Tad mūsų nagrin÷jamas dvimatis

logistinis skirstinys, kurio vektoriaus komponent÷s yra nepriklausomos n÷ra asimptotiškai minstabilus, bet

ribin÷ skirstinio funkcija yra minstabili.

Tikrinsime geometrinį maksstabilumą.



40

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

++++++⋅++

++−

++−−−

++++++⋅++

++−

++−⋅

=

=++−−

++⋅

1

1

1

1

1

11)1(1

1

1

1

1

1

11

);()1(1

);(

221122112211

221122112211

2211

2211

βαβαβα

βαβαβα

pppppppppppp

pppppppppppp

pppp

pppp

aybaxbaybaxbaybaxbp

aybaxbaybaxbaybaxbp

aybaxbFp

aybaxbFp

),(

1111

1

0,

0,

2

1

2

1

1

1

yxF

pyxypx

p

py

p

px

p

pyxypxpypx

pyxypx

p

py

p

px

p

apb

apb

pp

pp

≠

++++

+−

+−+

+++−

++

+

++++

+−

+−

=

=

==

===

−

−

βαβαβαβαβαβα

βαβαβα

β

α

Taigi, dvimatis logistinis skirstinys, kurio vektoriaus komponent÷s nepriklausomos, n÷ra nei

geometriškai minstabilus, nei maksstabilus. Tikriname asimptotinį maksstabilumą:

( ) ),(1

1

1111

1

lim

1yxG

yxyx

pyxyxp

p

py

p

px

p

pyxyxppypx

pyxyxp

p

py

p

px

p

nn

n

n

n

n

n

nnnn

nn

n

n

n

n

n

n

=+−++

=

=

++++

+−

+−+

+++−

++

+

++++

+−

+−

−−−

∞→

βαβα

βαβαβαβαβαβα

βαβαβα

Gauta ribin÷ skirstinio funkcija, tokia pat kaip (2.2.1) uždavinyje, kai skirstinio komponent÷s priklausomos,

ji yra maksstabili.

Įrod÷me šitokį teiginį.

2.3.1. Teiginys. Dvimat÷ Pareto skirtinio funkcija

1

1

1

1

1

11),(

++++

+−

+−= βαβαβα yxyxyx

yxF

n÷ra geometriškai maks (min) stabili.

2.3.2 užduotis: Tirsime dvimatį Pareto skirstinį, kai vektoriaus komponent÷s nepriklausomos:

0,0,1

1)(,

1

1)(

,1

1

1

1

1

1),(

21 >>+

=+

=

+++=

+⋅

+=

−−

−−−−−−

yxy

yFx

xF

yxyxyxyxF

βα

βαβαβα

(2.3.2)

Taigi:



=++−−

++⋅=

≤

−≤

−);()1(1

);(;

2211

2211

2

2)2(

1

1)1(

pppp

pppp

p

pN

p

pN

aybaxbFp

aybaxbFpy

b

aZx

b

aZP

( ) ( )

( ) ( )=

==

===

+++++++−−

+++++++=

−

−

−−−−

−−−−

0,

0,

1)()(

)1(1

1)()(

2

1

2

1

1

1

22112211

22112211

pp

pp

pppppppp

pppppppp

apb

apb

aybaxbaybaxb

p

aybaxbaybaxb

p

β

α

βαβα

βαβα

1

1

+++=

+++= −−−−−−−− βαβαβαβα yxpyxppypxppyx

p

V÷lgi negauname, geometrinio maksstabilumo, galime pasteb÷ti, kad netur÷sime asimptotinio

stabilumo.

Patikrinsim šiam skirstiniui geometrinį minstabilumą, tiriant dalimis. Užduotyje (2.2.2), kai tiriamas

skirstinys (2.2.2), kurio vektoriaus komponent÷s priklausomos, komponenčių geometrinis minstabilumas

ištirtas, jie yra geometriškai minstabilūs.

=

==

===

++++−+−−−++++−+−⋅

β

α

1

22

1

11

22112211

22112211

,0

,0

));()()(1)(1(1

));()()(1(

pdc

pdc

cydcxdFcydFcxdFp

cydcxdFcydFcxdFp

pp

pp

pppppppp

pppppppp

++++

+−

+−+

+++−

++

+

++++

+−

+−

=

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

pyxxpy

p

py

p

px

p

pyxxpypypx

pyxxpy

p

py

p

px

p

βααββαβααββα

βααββα

1111

1

2.3.2. Teiginys. Nepriklausomų komponenčių dvimatis Pareto skirstinys

,1

1),(

+++= −−−− βαβα yxyx

yxF

n÷ra nei geometriškai minstabilus, nei geometriškai maksstabilus. Lengvai galime pasteb÷ti, kad kai

np

1= ir ∞→n ribinis skirstinys, kurio vektoriaus komponent÷s priklausomos yra maksstabilus.

Tai nelauktas rezultatas. Logistinio skirstinio tyrimą, kai vektoriaus komponent÷s nepriklausomos

pateiksime priede, kadangi gausime tą patį rezultatą, kaip ir Pareto skirstiniui. Be to priede pateiksime,

kitokių skirstinių tyrimą.

2.3.3. Teiginys: Jei dvimatis skirstinys, kurio vektorius komponent÷s priklausomos yra geometriškai

minstabilus, tuomet jis nebus geometriškai maksstabilus, arba atvirkščiai. (geometrinio skirstinio parametras

abiem atvejais turi sutapti)



42

Įrodymas: Galime įrodyti prieštaros būdu, teigdami, kad jei dvimatis skirstinys, kurio

vektoriaus komponent÷s priklausomos yra geometriškai minstabilus, tuomet jis bus ir geometriškai

maksstabilus:

Tur÷dami geometrinio minstabilumo (1.11.8) ir geometrinio maksstabilumo (1.11.9) kriterijus:

));()()(1)(1(1

));()()(1(

))(1)(1(1

))(1(

))(1)(1(1

))(1(1),(

22112211

22112211

22

22

11

11

pppppppp

pppppppp

pp

pp

pp

pp

cydcxdFcydFcxdFp

cydcxdFcydFcxdFp

cydFp

cydFp

cxdFp

cxdFpyxF

++++−+−−−++++−+−⋅

+

++−−−

+−⋅−

+−−−+−⋅

−=

(2.3.3)

),()1(1

),(),(

2211

2211

nnnn

nnnn

aybaxbFp

aybaxbpFyxF

++−−++

= (2.3.4)

Remiantis prielaida, kad dvimatis skirstinys yra geometriškai minstabilus tai ir yra geometriškai

maksstabilus, galime sulyginti kriterijų dešiniąsias puses:

),()1(1

),(

));()()(1)(1(1

));()()(1(

))(1)(1(1

))(1(

))(1)(1(1

))(1(1

2211

2211

22112211

22112211

22

22

11

11

nnnn

nnnn

pppppppp

pppppppp

pp

pp

pp

pp

aybaxbFp

aybaxbpF

cydcxdFcydFcxdFp

cydcxdFcydFcxdFp

cydFp

cydFp

cxdFp

cxdFp

++−−++

=

=++++−+−−−

++++−+−⋅+

++−−−

+−⋅−

+−−−+−⋅

−

Galime lengvai pasteb÷ti, kad pus÷s yra nelygios. O tai prieštarauja mūsų prielaidai.



3. PROGRAMIN ö REALIZACIJA IR INSTRUKCIJA VARTOTOJUI

Darbe tikrinama ar vienmačiu atveju geometriškai maksstabilūs skirstiniai, bus taip pat geometriškai

maksstabilūs dvimačiu atveju. Ar geometriškai minstabilus dvimatis skirstinys, bus taip pat geometriškai

maksstabilus. Tiriami dvimačiai skirstiniai, kai vektoriaus komponent÷s priklausomos ir nepriklausomos.

Pasirinkti tyrimui skirstiniai yra Pareto, Logistinis, taip pat mišrieji skirstiniai. Pasirinkta programin÷ įranga

MathCad, jos pagalba nubraižyti tiriamųjų skirstinių funkcijų grafikai. O kai skirstiniai, n÷ra geometriškai

maksstabilūs, bet yra asimptotiškai maksstabilūs, tada vieno skirstinio priart÷jimą prie kito tiriama Matlab

programine įranga.

Matlab terp÷je algoritmai realizuojami naudojant vidinę Mathlab programavimo kalbą, kurios

objektai yra visi operatoriai bei funkcijos, naudojamos komandiniu r÷žimu. Matlab terp÷je parašyta

programa vadinama M failu [10].

Programos vartotojui sukurtas M failas pavadinimu programa.m, o programos langas failu

programa.fig. Vartotojas nor÷damas prad÷ti darbą su programa turi:

1. Reikia nurodyti kelią iki programos failo, t.y. Current directory pasirinkti katalogą,

kuriame yra programos failas.

2. Matlab darbo lauko lange reik÷tų parašyti žodelį „Programa“ ir spausti „Enter“. Tuomet,

kai jis viską įvykdys, atsidarys toks programos langas:

3.1.1 pav. Programos langas

Pirmiausia reikia įvesti pradines reikšmes. Taigi nuspaudę mygtuką „Įvesti duomenis“ ir įvedę

duomenis 100,10,10 === nyx , 2,2 == βα paspaudžiame mygtuką „Pareto skirstinys“. Tuomet galime



44

pamatyti programos lange 3.1.2. pav. grafiką, kuris vaizduoja pokytį tarp dvimačio Pareto

skirstinio, kurio vektoriaus komponent÷s nepriklausomos ir ribinio dvimačio Pareto skirstino, kurio

komponent÷s priklausomos.

3.1.2 pav. Programos vykdymo langas

Norint pasižiūr÷ti logistinio skirstinio art÷jimą, reikia nuspausti „Valyti“ mygtuką ir suvedus norimus

duomenis, paspausti mygtukus „Įvesti duomenis“ ir „Logistinis skirstinys“, gaunamas rezultatas atlikus visus

šiuos veiksmus matomas paveiksle 3.1.3.



3.1.3 pav. Programos vykdymo langas

Kiekvienam parametrui yra priskirta intervalas, jei vartotojas įveda reikšmę, kuri nepatenka į šį

intervalą, jis informuojamas apie padarytą klaidą.

Parametras Intervalas

X ( )1100;0

Y ( )1100;0

n ( )1000;90

β ( )8;0

α ( )8;0

Taigi įvedus n mažesnį negu 10 pasirodo klaidos pranešimas 3.1.3.



46

3.1.4 pav. Klaidos langas

Programos tekstas pateiktas, jis buvo kuriamas naudojantis literatūra (Quach Q., Sutoyo D., Slazas R.,

2007) 5 priede.



DISKUSIJA

Šiame tyrime, buvo gautas netik÷tas rezultatas. Tiriant Pareto, logistinį dvimačius skirstinius, kurių

vektoriaus komponent÷s nepriklausomos, negavome geometrinio maks (min) stabilumo. Geometrinis maks

(min) stabilumas buvo gautas, tiriant dvimačius skirstinius, kurių vektoriaus komponent÷s priklausomos.

Vienmačio skirstinio atveju, jei jis yra geometriškai maksstabilus, tai galime teigti, kad jis bus taip pat

ir geometriškai minstabilus (Satheesh S. and Unnikrishnan Nair N., 2004). Tiriant dvimačius skirstinius,

gavome prieštara vienmačio skirstinio atvejui, jeigu dvimatis skirstinys yra geometriškai maksstabilus tai jis

bendru atveju nebus geometriškai minstabilus arba atvirkščiai. Darbe šis teiginys įrodomas pavyzdžiais.

Remiantis maks (min) stabiliais skirstiniais, taip pat perk÷limo teorema (Falk M., 2004), galima

nustatyti kuris vienmatis skirstinys, bus geometriškai minstabilus arba geometriškai maksstabilus. Tą patį

galime padaryti ir dvimačiu atveju.

Jei dvimačio vektoriaus koordinat÷s yra geometriškai maksstabilios arba minstabilios, tai nebūtinai

vektorius, bus geometriškai maksstabilus arba minstabilus.

Normalizavimo konstantas dvimačio vektoriaus maksstabilumo tyrime parenkame tokias pačias, kaip

ir vienaičio skirstinio tyrime.

Dvimatis vektorius, kurio koordinat÷s nepriklausomos yra asimptotiškai maks (min) stabilus, kai

∞→−= nn

p ,1

1 .

Tiriama buvo Pareto, logistinis ir mišrieji skirstiniai, visi jie parod÷ vieną ir tą patį rezultatą. Tyrimą

galima prapl÷sti iki n-mačio vektoriaus tyrin÷jimo, sukuriant geometrinį maks(min) stabilumo kriterijų n-

mačiam vektoriui ir tiriant n-mačius ekstremumus.

Užsienio literatūroje gausu atsitiktinių sumų geometrinio maks (min) stabilumo nagrin÷jimo

(Kozubowski T. J. and Rachev S. T., 1999; Kozubowski T. J. and Rachev S. T., 1999). Tad atsitiktinių

dvimačių vektorių nagrin÷jamą paskatino panašių temų stoka maksimumams ir minimumams.



48

REKOMENDACIJOS

Šiame darbe atliktas tyrimas dvimačiams vektoriams, kurių koordinat÷s priklausomos arba

nepriklausomos. Gal galima būtų prapl÷sti dvimačio vektoriaus geometrinio maks (min) stabilumo tyrimą iki

n-mačio vektoriaus geometrinio maks (min) stabilumo tyrimo.

Gal galima rasti tokį dvimatį skirstinį, kuris bus geometriškai maksstabilus ir taip pat geometriškai

minstabilus.

Nepriklausomų koordinačių atveju, esant asimptotiniam maks (min) stabilumui, galima bandyti

įvertinti konvergavimo greitį. Mano darbe atlikta tik kompiuterin÷ šio greičio analiz÷.



PADöKOS

Nuoširdžiai d÷koju savo darbo vadovui prof. dr. J. A. Aksomaičiui, už gerus patarimus, id÷jas,

pataisymus.



50

IŠVADOS

1. Jei dvimačiai Pareto, logistiniai skirstiniai, kurių komponent÷s priklausomos, yra geometriškai

minstabilūs, tai jie n÷ra geometriškai maksstabilūs.

2. Jei dvimačiai Pareto, logistiniai skirstiniai, kurių komponent÷s priklausomos, yra geometriškai

maksstabilūs, tai jie n÷ra geometriškai minstabilūs.

3. Dvimačiai Pareto, logistiniai skirstiniai, kurių vektoriaus komponent÷s nepriklausomos, n÷ra

geometriškai maks (min) stabilūs. Taip pat n÷ra asimptotinio maks (min) stabilumo, kai ∞→= nn

p ,1

.

4. Dvimačiu atveju iš geometrinio minstabilumo neišplaukia geometrinis maksstabilumas ir

atvirkščiai (Tai 1,2 ir 3 išvadų apibendrinimas).



LITERAT ŪRA

1. Aksomaitis A., Tikimybių teorija ir statistika. Kaunas: Technologija, 2000, 344 psl.

2. Falk M., Charakterisierung bivariater Extremwertverteilungen mittels Normen im 2R , 2004, p.

24.

3. Galambos, J., Asymptotic theory of extreme order statistics, 2nd edition. Krieger, Malabar,

Florida, 1987.

4. Jokimaitis, A., Daugiamačių atsitiktinių dydžių, ekstremaliųjų reikšmių asimptotika,

Disertacija mokslų daktaro laipsniui, Vilnius, 1998.

5. Kozubowski T. J. and Rachev S. T., Univariate Geometric stable Laws, Journal of

Computational Analysis and Applications, Vol. 1, No. 2, 1999, p. 177.

6. Kozubowski T. J. and Rachev S. T., Multivariate Geometric stable Laws, Journal of

Computational Analysis and Applications, Vol. 1, No. 4, 1999, p. 349.

7. Meeker, W.Q., and Escobar, L.A., Statistical Methods for Reliability Data, John Wiley & Sons,

Inc., New York, 1998.

8. Molchanov I., Convex geometry of max-stable distributions, Springer Science+ Business

Media, 2008, p 235-259.

9. Nadarajah S., and Kotz S., A generalized logistic distribution, 2004, 3169-3174.

10. Programa Matlab, Tiesiniai algoritmai. Prieiga per internetą

http://sig.balticgrid.org/SIGs/panko/praktine-informatika/matlab/5pateiktis.ppt

11. Reed W. J., The Pareto, Zipf and other power laws, p. 1-8. Prieiga per internetą

http://linkage.rockefeller.edu/wli/zipf/reed01_el.pdf.

12. Quach Q., Sutoyo D., Slazas R., 2007. Prieiga per internetą

http://blinkdagger.com/matlab/matlab-gui-graphical-user-interface-tutorial-for-beginners

13. Satheesh S. and Sandhya E., Geometric Gamma Max-Infinetely Divisible Models, Prieiga petr

internetą http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0801/0801.2083.pdf.

14. Satheesh S. and Unnikrishnan Nair N., On the stability of geometric extremes, Journal of the

Indian Statistical Association, Vol. 42, 2004. p. 99-109.

15. Stockute R., Veaux A. and Johnson P., Logistic distribution, 2006, p. 16.

16. Stoutenborough J.W. and Johnson P., Pareto Distribution, 2006, p. 1-6.



52

17. Tiago de Oliveira J., Statistical Extremes and Applications, Reidel Publishing

Company, 1984, p. 117-130.

18. Zhang Z., Multivariate extremes, Max-Stable process estimation and dynamic Financial

modeling, 2002, 176, p. 5-10.



1. PRIEDAS. SKIRSTINI Ų GEOMETRINIS MAKS (MIN)

STABILUMAS

1. Logistinio skirstinio tyrimas, kai vektoriaus komponent÷s nepriklausomos.

xyyx eeeeyxF −−−− +++

=1

1),(

xexF −+

=1

1)(1 ir

yeyF −+

=1

1)(2

Ar dvimatis logistinis skirstinys geometriškai maksstabilus?

( )( )

),(1

1

ln1

ln1

)exp()exp()exp(

1)exp()exp()exp(

11

1)exp()exp()exp(

1

);()1(1

);(;

22

11

22112211

22112211

22112211

2211

2211

2

2)2(

1

1)1(

yxFeeepeppepepepe

p

pab

pab

paybaxbaybaxb

p

aybaxbaybaxb

p

aybaxbaybaxbp

aybaxbFp

aybaxbFpy

b

aZx

b

aZP

yxyxyxyx

pp

pp

pppppppp

pppppppp

pppppppp

pppp

pppp

p

pn

p

pn

≠+++

=+++

=

=

−==

−===

+−−+−−+−−−−=

=

+−−+−−+−−−−−−

+−−+−−+−−−−=

=++−−

++⋅=

≤

−≤

−

−−−−−−−−

N÷ra geometriškai maksstabilus. Patikrinsime, ar šis dvimatis logistinis skirstinys, kurio vektoriaus

komponent÷s nepriklausomos yra geometriškai minstabilus?

Jau esame gavę, kad skirstinio vektoriaus komponent÷s minstabilios.

=

==

===

++++−+−⋅−−++++−+−⋅

)ln(1

)ln(1

));()()(1()1(1

));()()(1(

22

21

22112211

22112211

pcd

pcd

cydcxdFcydFcxdFp

cydcxdFcydFcxdFp

pp

pp

pppppppp

pppppppp

=

++++

+−

+−+

+++−

++

+

++++

+−

+−⋅

=

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

peepee

p

pe

p

pe

p

peepeepepep

peepee

p

pe

p

pe

pp

yxyxyxyxyxyx

yxyxyx

1111

1

Bet šis skirstinys n÷ra asimptotiškai maksstabilus, bet n÷ra asimptotiškai minstabilus:



54

=

++++

+−

+−+

+++−

++

+

++++

+−

+−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

∞→

nyx

nyx

n

ny

n

nx

n

nyx

nyx

ny

nx

nyx

nyx

n

ny

n

nx

n

n

peepee

p

pe

p

pe

p

peepeepepe

peepee

p

pe

p

pe

p

1111

1

lim

++

−+=

−−−− 1111

1

yxyx eeee

Ir

npp

eeeeepenyxyxyxn

1

1

1

1

1lim ==

++=

+++ −−−−−−∞→

Gauta ribin÷ skirstinio funkcija yra geometriškai maksstabili.

2. Mišriojo skirstinio tyrimas, kai viena skirstinio komponent÷ logistinis skirstinys, o kita Pareto

skirstinys.

xexF −+

=1

1)(1 β−+

=y

xF1

1)(1

Dvimatis skirstinys:

β−− ++=

yexF

x1

1)(1

Ar maksstabilus?

( )

),(1

1

0

ln1

)()exp(

1)()exp(

11

1)()exp(

1

);()1(1

);(;

1

22

11

2211

2211

2211

2211

2211

2

2)2(

1

1)1(

yxFyeppype

p

pab

pab

paybaxb

p

aybaxb

p

aybaxbp

aybaxbFp

aybaxbFpy

b

aZx

b

aZP

xx

pp

pp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

p

pn

p

pn

=++

=++

=

=

==

−===

+−−+−−=

=

+−−+−−−−

+−−+−−=

=++−−

++⋅=

≤

−≤

−

−−−−

−−

−

−

ββ

ββ

β

β

Ar minstabilus?



=

==

===

++++−+−⋅−−++++−+−⋅

β1

22

21

22112211

22112211

0

)ln(1

));()()(1()1(1

));()()(1(

pcd

pcd

cydcxdFcydFcxdFp

cydcxdFcydFcxdFp

pp

pp

pppppppp

pppppppp

=

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−⋅

=

−−−−−−−−

−−−−

pye

p

py

p

pe

p

pyepypep

pye

p

py

p

pe

pp

xxxx

xx

ββββ

ββ

1111

1

+++

+−

+−+

++−

++

+

+++

+−

+−

=

−−−−−−−−

−−−−

pye

p

py

p

pe

p

pyepype

pye

p

py

p

pe

p

xxxx

xx

ββββ

ββ

1111

1

Gavome geometriškai maksstabilų skirstinį, kuris n÷ra geometriškai minstabilus.



56

2. PRIEDAS. ATSITIKTINI Ų VEKTORI Ų GEOMETRINIO

MAKSSTABILUMO TYRIMAS

Irma Palevičiūt÷

Kauno technologijos universitetas

Anotacija

Atsitiktinio dydžio geometrinio maks-stabilumo sąvoka gerai žinoma statistin÷je analiz÷je. Jos

taikymai yra populiarūs finansų rinkos analiz÷je, inžineriniuose bei socialiniuose tyrimuose. Šiame darbe

stabilumo sąvoka išplečiama dvimačiams atsitiktiniams vektoriams. Pateiksime konkrečių pavyzdžių.

Patikrinami konkretūs pavyzdžiai.

PAGRINDINIAI ŽODŽIAI: ekstremoliosios reikšm÷s, maks-stabilumas, atsitiktiniai vektoriai.

Abstract

The concept of geometric max-stability random variable is very well known in the statistics of

analysis. It’s popular to use this in finance market, engineering and social researches. In this work the

stability concept is dilatable into the bivariate random vectors. We will show some examples.

KEY WORDS: extreme value, max-stability, random vectors.

Įvadas

Tarkime, kad (X1, X2,...Xn) yra paprastoji atsitiktin÷ imtis iš generalin÷s aib÷s su skirstinio funkcija

F(x)=P(Xi<x).

Atsitiktinį dydį Xi vadiname maks-stabiliuoju ([1]), jeigu egzistuoja tokias normalizavimo konstantos

an ir bn>0, su kuriomis

)(xFxb

aZP

n

nn =

≤−

čia struktūra )...max( 1 nn XXZ =

.............

Tarkime, kad imties didumas N yra atsitiktinis dydis, nepriklausantis nuo Xi, 1≥i ir jo skirstinys yra

geometrinis

( ) 10,1,)1( 1 <<≥−== − pkppkNP k

Atsitiktinį dydį Xi vadiname geometriškai maks-stabiliuoju ([2]), jeigu egzistuoja tokios

normalizavimo konstantos an ir bn>0, su kuriomis



)(xFxb

aZP

n

nn =

≤−

(1)

čia struktūra )...max( 1 nn XXZ =

Atsitiktinių dydžių geometrinio maks-stabilumo analizei skiriami [3, 4] darbai.

Pl÷tinys atsitiktiniams vektoriams

Apibudinsime (1) stabilumo sąvoka dvimačių atsitiktinių vektorių atveju. Tarkime, yra dvimačių

vektorių seka (X1, X1), (X2, X2),... .Vektoriai (Xi, Xi), 1≥i yra nepriklausomi su skirstinio funkcija F(x,

y)= ( )., yYxXP ii ≤≤

Sudarome struktūras:

)...max( 1,1 NN XXZ = )...max( 1,2 NN YYZ =

Vektorių maksimumas

),( ,2,1 NNN ZZZ =

Tarę, kad N yra geometrinis atsitiktinis dydis, tiesinio normalizavimo konstantų vektorius

),( ,2,1 ppp aaa = ir ),( ,2,1 ppp bbb = parinkime tokius su kuriomis:

)(xFxb

aZP

n

nn =

≤−

(2)

Jeigu n÷ra (2) sąryšis, vektorių (Xi, Xi), vadiname geometriškai maks-stabiliuoju.

Teorema: Būtina ir pakankama vektoriams (Xi, Xi), geometrinio maks-stabilumo sąlyga yra

),(),()1(1

),(

,2,2,1,1

,2,2,1,1 yxFaybaxbFp

aybaxbFp

pppp

pppp =++−−

++⋅

Įrodymas

( ) ( )

( )( ),,

,

),(

,2,2,1,1

1,2,2,1,1

,2,2,2,1,1,1

ppppN

kpppp

k

ppNppNn

nn

aybaxbFg

kNPaybaxbF

aybZaxbZPxb

aZP

++=

==++=

=+≤+≤=

≤−

∑∞

=

(3)



58

čia skirstinio generuojančioji funkcija ( ) NN Mzzg =

Geometrinio skirstinio generuojančioji funkcija

( ) ,)1(1

1)(1

1∑∞

=

−

−−=−=

k

kN zp

pzpzpzg 1≤z (4)

Iš (3) ir (4) išplaukia teoremos teiginys.

Pavyzdžiai

1. Pavyzdys

Tarkime, kad vektoriaus skirstinio funkcija yra logistin÷:

,1

1),( yx ee

yxF −− ++= RyRx ∈∈ ,

Imdami ap=(-lnp, -lnp), bp(1, 1), gauname:

yxn

nn

eepypxFp

pypxFpx

b

aZP −− ++

=−−−−

−−⋅=

≤−

11

)ln,ln()1(1)ln,ln(

2. Pavyzdys

,1

1),( yxyx eee

yxF −−−− +++=

geometrinio maks-stabilumo negausime.

Literat ūra

1. Galambos J. (1997). The Asymptotic Theory of Extremes Order Statistics, Wiley, New York. 302p.

2. Rochev S. and Mittnik S. 2000. Stuble Paretian Models in Finance. Wiley, 855p.

3. Lengvinait÷ I. Aksomaitis A. 2003. Pareto atsitiktinių dydžių maksimumų tyrimas. Matematika ir

matematinis modeliavimas. KTU, 1, 66-69p.

4. Aksomaitis A. 2003. Perk÷limo teoremos ir geometriškai maks-stabilieji skirstiniai. Liet. Mat. Rink.

(Sp. Nr), 43 394-398p.

GEOMETRIC MAX-STABILITY OF RANDOM VECTORS RESEARCH

I. Palevičiūt÷

S u m m a r y

In the article is shown the random vectors essential and enough conditions of the geometric max-

stability. Are explored some cases and got results.

Straipsnį recenzavo darbo vadovas prof. A. Aksomaitis



3. PRIEDAS. STRAIPSNIS. ATSITIKTINI Ų VEKTORI Ų

GEOMETRINID MAKS STABILUMAS

Algimantas Aksomaitis1, Irma Ivanovien÷1

1Kauno technologijos universitetas

Studentų g. 50, LT-51368, Kaunas, Lietuva

el. paštas: [email protected], irma.paleviciut÷@stud.ktu.lt

Santrauka. Atsitiktinių dydžių geometrinis maks (min) stabilumas pakankamai yra išnagrin÷tas.

Straipsnyje mes praplečiame šią geometrinio stabilumo sąvoka vektoriams. Ieškome ryšio tarp vektorių

geometrinio maks stabilumo ir min stabilumo.

Raktiniai žodžiai: min stabilus, maks stabilus, vektorių ekstremumai, perk÷limo teorema

ĮVADAS

Tarkime, kad ( ) ( ) ( )nn NN YXYXYX ,,,,, 2211 K yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę

atsitiktiniai vektoriai su skirstinio funkcija ( ) ( )yYxXPyxF ≤≤= 11 ;, . 1, ≥nNn – atsitiktiniai dydžiai

įgyjantys natūraliąsias reikšmes ir nepriklausomi nuo ( ) 1, ≥iYX ii .

Dvimačių vektorių maksimumo struktūra

( ))2()1( ,maxnnn NNN ZZZ = ;

čia ( ) ( )nnnn NNNN YYYZXXXZ ,,,max,,,,max 21

)2(21

)1(KK ==

Analogiškai

( );,min )2()1(

nnn NNN WWW =

čia ( ) ( )nnnn NNNN YYYWXXXW ,,,min,,,,min 21

)2(21

)1(KK == .

Ateityje atsitiktinį dydį nN kartais žym÷sime tiesiog N .

Tarkime, kad N skirstinys yra geometrinis:

( ) ( ) 1,1 1 ≥−== − kppkNP k

Apibr ÷žimas. Skirstinio funkciją ( )yxF , (arba vektorių ( )YX , ) vadiname geometriškai maks

stabiliąja, jeigu egzistuoja tokios normalizavimo konstantos 21, pp aa ir 0,0 21 >> pp bb , su kuriomis



60

( )yxFyb

aZx

b

aZP

p

pN

p

pN ,,2

2)2(

1

1)1(

=

≤

−≤

− (1)

Geometrinis minstabilumas apibr÷žiamas taip:

( )yxFyd

cWx

d

cWP

p

pN

p

pN ,,2

2)2(

1

1)1(

=

≤

−≤

− (2)

Vektorių geometrinio maks (min) stabilumo apibr÷žimai yra [4] straipsnyje pateiktų vienmačių

atsitiktinių dydžių (arba skirstinių) geometrinio stabilumo analogas. Minimame straipsnyje įrodoma,

kad vienmačių skirstinių atveju iš geometrinio maksstabilumo išplaukia geometrinis minstabilumas ir

atvirkščiai.

Mūsų tikslas patikrinti šio teiginio galiojimą atsitiktiniams vektoriams.

1. Teiginiai ir jų įrodymas

Kai N yra geometrinis su parametru p , jo generuojančioji funkcija

zp

pzzzg N

N )1(1)(

−−=Ε= (3)

Kadangi

( ) ( ) 1,,, 221122)2(

11)1( ≥++=+≤+≤ kaybaxbFaybZaxbZP pppp

kppkppk

tai, panaudoję pilnosios tikimyb÷s formulę, gauname geometrinio maksstabilumo kriterijų:

( )( ) ( )yxF

aybaxbFp

aybaxbpF

pppp

pppp ,,)1(1

,

2211

2211 =++−−

++ (4)

Geometrinio minstabilumo kriterijus yra sud÷tingesnis. Kadangi

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )),(

)(1)(11,

1,

221111

22211122)2(

11)1(

22)2(

11)1(

22)2(

11)1(

ppppN

ppNppNppNppN

ppNppNppNppN

cydYcxdXPg

cydFgcxdFgcydWcxdWP

cydWPcxdWPcydWcxdWP

+≥+≥+

++−−+−−=+≥+≥+

++≥−+≥−=+≤+≤

tai geometrinio minstabilumo kriterijus yra:



( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( ) ( )yxF

cydYcxdXPp

cydYcxdXPp

cydFp

cydFp

cxdFp

cxdFp

pppp

pppp

pp

pp

pp

pp

,),()1(1

),(

1)1(1

1

1)1(1

11

221111

221111

222

222

111

111

≠+≥+≥−−

+≥+≥+

++−−−

+−−

+−−−+−

−

(5)

1 teiginys. Tarkime, kad vektorių koordinat÷s yra nepriklausomos ir geometriškai maks (min)

stabilios. Tada vektoriai n÷ra geometriškai maks (min) stabilūs.

Teiginio įrodymas. Kadangi koordinačių geometrinio maks stabilumo kriterijus [4]:

( )( ) ( )xF

axbFp

axbpF

pp

pp1

111

111

)1(1=

+−−+

(6)

ir

( )( ) ( )yF

aybFp

aybpF

pp

pp2

222

222

)1(1=

+−−+

(7)

tenkinami. Iš (4), (5) ir (6) išplaukia, kad

( ) ( )( ) ( ) ≠

++−−++

222111

222111

)1(1 pppp

pppp

aybFaxbFp

aybFaxbpF

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) )(

)1(1)1(1 21222111

2221112

yFxFcydFpcxdFp

cydFcxdFp

pppp

pppp =+−−+−−

++≠

Geometrinio maksstabilumo n÷ra.

Analogiškai įrodomas geometrinio minstabilumo nebuvimas, kai ( ) ( ) )(, 21 yFxFyxF = .

1 pavyzdys. Tarkime, kad

0,,0,,1

11)(,

1

11)( 21 >≥

+−=

+−= βαβα yx

yyF

xxF (8)

Nepriklausomų koordinačių atveju

,1

1

1

1

1

11),( βααββα yxxyyx

yxF+++

++

−+

−=

Imdami 0,0 21 == pp aa ir βα1

2

1

1 ,−−

== pbpb pp , gauname



62

( ),

1

11)1(1

1

11

1

1

1

xF

pxp

pxp

=

+−−−

+−

−

−

α

α

( ).

1

11)1(1

1

11

2

1

1

yF

pyp

pyp

=

+−−−

+−

−

−

β

β

(9)

Tačiau

),(

1

11

1

11)1(1

1

11

1

11

11

11

yxFxyxyp

yx

pypxp

pypxp

≠+++

=

+−

+−−−

+−

+−

−−

−−

αβαβ

βα

βα

βα

(10)

kai 10 << p .

Analogiškai

( ) ( )xFxFypxxyyx

ypYxpXPp

ypYxpXPp

ypFp

ypFp

xpFp

xpFp

21

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

),()1(1

),(

1)1(1

1

1)1(1

1

1

≠+++

++

−+

−=

=

≥≥−−

≥≥

+

−−−

−

−

−−−

−

−

βααββα

βα

βα

β

β

α

α

Taigi, geometrinio maks (min) stabilumo n÷ra.

Imkime priklausomų koordinačių skirstinio funkcija

0,0,1

1),( >>

++= −− yx

xyyxF αβ (11)

Ją galima gauti iš skirstinio funkcijos

0,0,),( >>+++

= yxxyxyp

yxyxG αβαβ

βα

esančios (9) sąryšyje, imdami n

pp n

1== , kai ∞→n (tai būdinga perk÷limo teoremai).

Nesunku įsitikinti, kad marginaliosios skirstinio funkcijos

α−+=

xxF

1

1)(1 ir β−+

=y

yF1

1)(2



Yra geometriškai maks (min) stabilios. Jos sutampa su (8) skirstinio funkcijomis.

2 Teiginys. Iš ),( yxF geometrinio maksstabilumo bendru atveju neišplaukia geometrinis

minstabilumas.

Teiginio įrodymas. Imkime skirstinio funkcijų ),( yxF apibr÷žtų (10) sąryšiu. Kadangi

βαβα

βα

−−−−

−−

++=

−−

yxypxpFp

ypxppF

1

1

,)1(1

,

11

11

tai ),( yxF yra geometriškai maksstabili. Tačiau geometrinio minstabilumo kriterijus (5) n÷ra

išpildytas.

Pateiksime perk÷limo teoremos atsitiktinių dydžiu atveju [3] analogą atsitiktiniams vektoriams.

Teorema. Tarkime, kad atsitiktinis dydis nN yra geometrinis su parametru n

pn

1= . Jeigu

( )( ) ),,(,1lim 2211 yxuaybaxbFn nnnnn

=++−∞→

tai

( )yxyb

aZx

b

aZP

n

nN

np

nN

n

nn ,,lim2

2)2(

1

1)1(

Ψ=

≤

−≤

−∞→

;

čia skirstinio funkcija

( )),(1

1,

yxuyx

+=Ψ

Įrodymas analogiškas kaip ir vienmačiam atvejui [3], panaudojant lygybę:

xn

nex

n

NP −

∞→+=

≤ 1lim

3 Teiginys. Skirstinio funkcija ( )yx,Ψ yra geometriškai maksstabili, kai

( ) ),(, 2211 yxuaybaxbun nnnn =++⋅

Teiginio įrodymas. Įrodymas išplaukia iš sąryšių:

( )( ) ( )

( )2211

22112211

2211

,1

1

,,)1(1

,

nnnn

nnnnn

n

nnnnn

nnnnn

aybaxbun

aybaxbup

p

aybaxbp

aybaxbp

++⋅+=

=+++

=++Ψ−−

++Ψ

Pasteb÷sime, kad funkcijos



64

βα −− += yxyxu ),( , yx eeyxu −− +=),( , ,)()(),( βα yxyxu −+−= β−− += yeyxu x),( ir t. t.

tenkina 3 teiginio sąlygas.

Analogiškus uždavinius galime spręsti minimumų schemoje.

Literat ūra

1. A. Jokimaitis, Daugiamačių atsitiktinių dydžių, ekstremaliųjų reikšmių asimptotika, Disertacija

mokslų daktaro laipsniui, Vilnius, 1998.

2. J. Galambos, The Asymptotic Theory of Extremes Order Statistics, Wiley, New York, 1978.

3. B. V. Gnedenko, D. B. Gnedenko. O raspredeleniyakh Laplasa i logicheskom kak predel'nykh v

teorii veroyatnostei, Serdika, 8, pp. 299–234, 1984.

4. S. Satheesh and Nair N. Unnikrishnan, On the stability of geometric extremes, Journal of the Indian

Statistical Association, Vol. 42, 2004. p. 99-109.

Summary

Geometric max stability of random vectors

A. Aksomaitis and I. Ivanovien÷

Geometric max (min) stability of random variables is investigated enough. In this article, geometric

stability concept is extended for the vectors. We also search connections between the geometric max

stability and min max stability of vectors.

Keywords: min stable, max stable, extremes of vectors, transfer theorem



4. PRIEDAS. PROGRAMOS TEKSTAS.

function varargout = programa(varargin)

gui_Singleton = 1;

gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...

'gui_Singleton', gui_Singleton, ...

'gui_OpeningFcn', @programa_Open ingFcn, ...

'gui_OutputFcn', @programa_Outp utFcn, ...

'gui_LayoutFcn', [] , ...

'gui_Callback', []);

if nargin & isstr(varargin1)

gui_State.gui_Callback = str2func(varargin1);

end

if nargout

[varargout1:nargout] = gui_mainfcn(gui_State, varargin:);

else

gui_mainfcn(gui_State, varargin:);

end

% --- Executes just before programa is made visible .

function programa_OpeningFcn(hObject, eventdata, ha ndles, varargin)

handles.output = hObject;

guidata(hObject, handles);

%---------------------pradines reiksmes------------ ---------------------------------

function varargout = programa_OutputFcn(hObject, ev entdata, handles)

varargout1 = handles.output;

%--------------------ivedama x reiksme------------- --------------------------------

function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles )

x_string = str2double(get(hObject,'string')); // nuskaitoma reikšm ÷

if (isnan(x_string) | (x_string < 0)| (x_string >=1 100)) //tirinama s ąlyga

set(hObject,'String',1);

errordlg('Klaidinga x reiksme','klaida'); // klaidos dialogas

else

x = x_string; // jei neklaidinga tuomet įvedama reikšm ÷

handles.x = x;

guidata(hObject,handles);

end



66

function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handle s)

% Baltas edit langas

if ispc

set(hObject,'BackgroundColor','white');

else

set(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUic ontrolBackgroundColor'));

end

%--------------------ivedama y reiksme------------- --------------------------------


% perkoduoja eilute

y_string = str2double(get(hObject,'string'));

if (isnan(y_string) | (y_string < 0) | (y_string >= 1100))


errordlg('Klaidinga y reiksme','klaida');

else

y = y_string;

handles.y = y;


end


if ispc


else


end

%--------------------ivedama n reiksme------------- --------------------------------


n_string = str2double(get(hObject,'string'));

if (isnan(n_string) | (n_string < 90) | (n_string >= 1000))


errordlg('Tikrinti ar n parinktas is intervalo [100;1000]', 'Klaida');

else

n = n_string;

handles.n = n;


end


if ispc




else


end


if ispc


else


end

%--------------------ivedama beta reiksme---------- -----------------------------------


b_string = str2double(get(hObject,'string'));

if (isnan(b_string) | (b_string <0)|(b_string >=8))


errordlg('Klaidinga beta reiksme','Klaida');

else

b = b_string;

handles.b = b;


end

%--------------------ivedama alfa reiksme--------- ------------------------------------


if ispc


else


end


a_string = str2double(get(hObject,'string'));

if (isnan(a_string) | (a_string <0)|(a_string >=8))


errordlg('Klaidinga alfa reiksme','Klaida');

else

a = a_string;

handles.a = a;




68

end

%--------------------Mygtukas skaiciuoti----------- ----------------------------------

function Skaiciuoti_Callback(hObject, eventdata, handles)

a=handles.a;

b=handles.b;

n=handles.n;

x=handles.x;

y=handles.y;

n=zeros(handles.n);

n(1)=1;

for i = 2:length(n); //šiame cikle paskai čiuojama pokytis, n ivedama

f = 1/(1+(x^(-a))+(y^(-b))+((x^(-a))*(y^(-b))));

H(i) = 1/(1+(x^(-a))+(y^(-b))+((x^(-a))*(y^(-b)) *(1-(1/(n(i-1))))));

delta_n(i) = (H(i)-f);

n(i) = n(i-1) + 1;

end

plot(n(1:length(n)),delta_n(1:length(n)), 'Linewidth' ,3); //grafiko braižymas

hold on

plot(n(1:length(n)),delta_n(1:length(n)), 'Linewidth' ,3);

hold off

set(gca, 'XTick' , 0:50:1000)

xlabel( 'n' );

ylabel( 'skirtumas' );

c = real(delta_n(length(n)));

set(handles.text1, 'String' ,c) // išveda poky čio reikšm ę

%--------------------Mygtukas pradeti-------------- -------------------------------

function Pradeti_Callback(hObject, eventdata, handl es)

set(handles.edit1,'Visible','on');





set(handles.Skaiciuoti,'Visible','on');

set(handles.text1,'Visible','on');

set(handles.axes1,'Visible','on');

%--------------------Mygtukas valyti--------------- ------------------------------

function Valyti_Callback(hObject, eventdata, handle s)

cla(handles.axes1,'reset')

set(handles.Pradeti,'Visible','on');

cla(handles.text1);

set(handles.edit1,'Visible','off');







%--------------------Mygtukas skaiciuoti----------- ----------------------------------

function Logistinis_Callback(hObject, eventdata, handles)

m=handles.n;

x=handles.x;

y=handles.y;

m=zeros(handles.n);

m(1)=1;

for i = 2:length(m);

f = 1/(1+(exp(-x))+(exp(-y))+(exp(-x)*exp(-y)));

H(i) = 1/(1+exp(-x)+exp(-y)+(exp(-x)*exp(-y)*(1-( 1/(m(i-1))))));

delta_m(i) = (H(i)-f);

m(i) = m(i-1) + 1;

end

% axes(handles.axes1);

plot(m(1:length(m)),delta_m(1:length(m)), 'Linewidth' ,3);

hold on

plot(m(1:length(m)),delta_m(1:length(m)), 'Linewidth' ,3);

hold off

set(gca, 'YTick' , 0:0.1:1);

set(gca, 'XTick' , 0:50:1000)

xlabel( 'n' );

ylabel( 'skirtumas' );

d = real(delta_m(length(m)));

set(handles.text1, 'String' ,d)

%--------------------Mygtukas valyti--------------- ------------------------------

function Valyti1_Callback(hObject, eventdata, handl es)

cla(handles.axes1,'reset')

set(handles.Pradeti,'Visible','on');

cla(handles.text1);




%--------------------Mygtukas ivesti--------------- ------------------------------

function pushbutton8_Callback(hObject, eventdata, h andles)

set(handles.edit5,'Visible','of');

set(handles.edit6,'Visible','of');




70



set(handles.Logistinis,'Visible','on');

set(handles.text1,'Visible','on');

set(handles.axes1,'Visible','on');

%--------------------Mygtukas baigti--------------- ------------------------------

function Baigti_Callback(hObject, eventdata, handle s)

delete(handles.figure1);

vektori ų geometrinis maks (min) stabilumas · vektori ų maks (min) ... vadinasi statistikos...

Documents