vektori mõiste, tehted vektoritega
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Vektori mõiste, tehted Vektori mõiste, tehted vektoritegavektoritega
Vektori mõisteVektori mõisteSuurusi, mida saab esitada ühe
arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks
(nt õhutemperatuur, õpilase kaal, vanus, kauba hind jms)
Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks
(nt ilmateadetes tuule tugevusvektor)
Vektori mõiste, vektori Vektori mõiste, vektori tähistaminetähistamineVektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku
◦ sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus:
siht näitab, kuidas vektor asetseb
suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud
pikkus on vektori arvväärtuseks
A
B
ABa
Vektorite Vektorite kasutusvaldkondikasutusvaldkondi
Fototöötlus (vektorgraafika), tugevusvektoridliikusmisülesannetes, erinevad füüsika valdkonnad (nt magnetväli vaakumis).
Vektorite võrdsusVektorite võrdsusVektorid on samasihilised kui
nad on paralleelsed◦Samasihilisus ehk kollineaarsus
◦Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised
ba
cd
Vektorite võrdsusVektorite võrdsusVektorid on võrdsed, kui nad on
samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused
ab
ba
Vektori koordinaadidVektori koordinaadid
B
A
)4;3(AB
Vektori koordinaadidVektori koordinaadidJoonesta järgmised vektorid:
)4;0(
)3;2(
)2;1(
)5;2(
d
c
b
a
Vektori koordinaadidVektori koordinaadid
)4;0(
)3;2(
)2;1(
)5;2(
d
c
b
aa
b
c
d
Vektori koordinaadidVektori koordinaadidOlgu vektori alguspunkt M(1;2) ja
lõpp-punkt N(5;7). Joonesta antud vektor koordinaattasandil ja märgi üles tema koordinaadid.
7 N
6
5
4
3
2 M
1
1 2 3 4 5 6
)5;4(MN
Vektori koordinaadidVektori koordinaadid
A(x1;y1)
B(x2;y2)
Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis
AB = (x2 – x1; y2 – y1).
AB
Vektori koordinaadidVektori koordinaadidLeia vektori koordinaadid, kui on
antud vektori alguspunkt ja lõpp-punkt.a) A(7;6), B(2;1)
b) C(-2;3), D(4;2)
AB
DC
)5;5(
)1;6(
Vektori pikkusVektori pikkus
Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus
| v | = 22 ba
Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis
AB = (x2 – x1; y2 – y1)
siis selle vektori pikkus
| AB | = 2
122
12 )y– y()– x x(
Vektorit pikkusega 1 nimetatakse ühikvektoriks.
Vektori pikkusVektori pikkusLeia vektorite pikkus.a)
b) G(2;7), H(5;3)
)8;6(kk
GH
101008)6( 22
525
)4(3)73()25( 2222
Vektorite liitmineVektorite liitmineLennuk lendas punktist A 200 km
itta ja jõudis punkti B. Sealt lendas lennuk veel 400 km itta ja jõudis punkti C.◦Geomeetriline lahendus
◦Algebraline lahendus
A B C
AB BC
AC on vektorite AB ja BC summavektor.
AB=(200;0) ja BC=(400;0)AB+BC=(200;0)+(400;0)=(600;0)=AC
Vektorite liitmineVektorite liitmineMees liikus punktist P 200 m
lõunasse punkti Q ja sealt 500 m põhja suunas ning jõudis punkti R.◦Geomeetriline lahendus
◦Algebraline lahendus
R
Q
PPQ
QR P
R
PR
PR on vektorite PQ ja QR summavektor.
PQ=(0;-200) ja QR=(0;500)PQ+QR=(0;-200)+(0;500)=(0;300)=PR
Vektorite liitmineVektorite liitmineKeha liikus punktist A vektori
võrra ja seejärel vektori võrra. ◦Geomeetriline lahendus
◦Algebraline lahendus
)3;5(AB
)4;1(BC
B
A
C
AB
BCAC
AC on vektorite AB ja BC summavektor. AB=(5;3) ja BC=(1;4)AB+BC=(5;3)+(1;4)=(6;7)=AC
Vektorite liitmineVektorite liitmine
Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid
);(
);();(
dbcavuw
dcvbau
Vektorite liitmineVektorite liitmineEt liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega. Summavektor ühendab esimese vektori algust teise lõpuga.
C
A BaAB
bBC AC
Kolmnurgareegel
D a
b
Rööpkülikureegel
NullvektorNullvektorVektorit nimetatakse
nullvektoriks◦Nullvektori pikkus on võrdne nulliga◦Nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt
ühtivad◦Nullvektori siht ja suund ei ole
määratud
)0;0(O
VastandvektorVastandvektorKui kaks vektorit on teineteise
vastandvektorid, siis on nad ühepikkused ja samasihilised aga vastassuunalised.y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 x
)3;4(a
Oaa
yxa
yxa
);(
);(
)3;4( a
Vektorite lahutamineVektorite lahutamineVektori lahutamine tähendab
selle vektori vastandvektori liitmist
);(
);();()(
);;();(
dbca
dcbavuvu
dcvbau
Vektorite lahutamineVektorite lahutamineVektorite vahe leidmiseks paigutame
need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist.
Rakendame kolmnurga reeglit: liidame vektorid
a
bb
baab
Vektorite lahutamineVektorite lahutamineSelleks, et lahutada ühest vektorist
teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist.◦ Vektorite vahe vektor lähtub lahutava
vektori lõpp-punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti.
Leia vektorite
Vektorite lahutamineVektorite lahutamine
ab
ba
Vektori korrutamine Vektori korrutamine arvugaarvuga
Vektori korrutamine Vektori korrutamine arvugaarvuga
saame nullvektori