vene bogoslavob-algebarski razlomci

e) (x+ y + Z ) ' +(x + y - z) ' + ()' + z- X )' + (z+ x - y )' = = 4(x' + y' + z' ).

867.* Akojea ' + b' +c ' = u i a+ b+ c = v, tadaje , , , 1 ' ) D k . a- +b-+ c- +ab+ac +bc = - (u+ ,'-. 0 azau .

2

868.* Ako je a + b = u i ab = v. tada je a J + b J = u(u ' - 3v). Dokazati .

869. * Dokazati da je pol ioom

1 , , ~ I I , ' ) k d . - +a-+ b - - a+ - b" -ab " . varattnnoma. 4 2 2

Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore sledece polinome (870-

879):

870. X" - XS + x ' - I.

871 . 4(ab + cd)' -(a' + b' -c' - d')'.

872. (x + y + z + xyz)' - (xy + yz + xz + I) '.

873. ( x ' _ y ' )' + 2(x' + y' ) + I. 874. a6 + a s + a' + 2a J + a' + a + I. 875. x' -7 x3 y+Sx' y'+3 1xy'-30y ' .

876.* (x' + 4x + 8)' + 3x(x' + 4x + 8) + 2x' .

877.* (x' + x+ I)(x' + x+ 2)- 12.

878.* (x + I)(x + 3)(x + S)(x + 7) + 15.

879.* (x' + x+ I)(x' + x' + I ) -I. Dokazati da je dati polioom kvadrat drugog polinoma (880-887):

880. 36x· + 12x ' + I. 881. 4(x+ b)(x+ b-a)+a'.

882.* (x + I)'(x' + I) + x' .

883.* 9(a'+ a\)-24(a+~)+34. 884.* a'+(a+I)'+(a'+a)'.

885.* x(x - l)(x + I)(x + 2) + I. 886.* (x + alex + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a'.

887.* (a' + I)' - (a' - I) ' (a' + I).

92

6.3. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

Neka su: A,B, C, D , M polinomi razliciti od nule.

1°. Kolicnik dva cela raeionalna izraza (polinoma) . x . d 1'1 r " ' . ' pn cemu JC e I ac raz lelt od Ilule, nazlva se opstt algebarski razlomak, tj .

p Q' (Q "" 0).

2°. Vre~ost razlomka se. ne menja ako se brojilae i imenilae pomnoze Jedmm ISUm algebarsklm Izrazom (brojem) razlicitim od nule, tj .

P PM Q = QM ' (Q, M "" 0).

3°. Vrednost opsteg razlomka se ne menja ako se brojilae i imenilae podele jednim istim polinomom (brojem) razlicitim od nule, tj.

P:M P Q: M = Q' (Q, M "" 0).

4°. Zbir (rafzlika) opstih razlomaka jednakih imeoilaea je identicki jednak opstem razlomku istog imenioea, a brojilae je jednak zbim (razliei) bro i oea, tj .

A B A ±B C ± C = -C- , (C., 0).

5°. Proizvod dva opsta razlomka identicki je jednak opstern razlomku ciji je brojilac jednak proizvodu broioea, a imeoilae jednak je proizvodu imenioea, razlomaka koji se mooie, tj .

A C AC B . D = BD ' (B ,D" 0).

6°. Kolicnik dva opsta razlomka identicki je jednak proizvodu razlomaka deljenika i reciprocne vrednosti razlomka delioca, tj.

888.

889.

A : C = A . D (B CD"" 0). BD BC' "

Skratiti razlomke (888-896):

4ab a) 6a' b;

(x + 2) ' a) a --'-::--~-

2a'(x + 2)'

9ab b) 18ab;

b) x(a;=t- b) ; 2ax+ 2bx

7a'b . c) .

21ac'

3a'b'(x + y ) c) 'J ' ')' 450 -b (x' + 2xy + y-

93

890.

891.

892.

x' - x I-a' x' - 8x +16 a) - -; b)'::"""---

a -I xy- 4y c)---

x' + 2x' + x '

(a+b) ' -4 ) a' -9 d) " e "

2a + 2b + 4 ' ab + 3b - a - 3 Sa ' + IOab + 5b ' x ' - I 6a 'b - 3a ' - 3ab '

a) ., ., ; b) 2 ' , , ; c) lSa - -15b- I+a x-- x--a-

(a' + b' + c' )' - (a' - b' + c')' d)

4ab' - 4abc

ab' - a' b

(ax + I ) ' - (x+a) ' e) , '

( l- x )( I- a-)

) n II b2n a 2n bm _ bnl

a - a " b) _--=:~_.......:.. __ a) a'n _ 2a ln bn + an bln ' aln bm + 2an bm + bm

'

aTl +) + an + 1

d) " .. s " + ) , a -a

a 211 + I _ a 2n - 1

e) an - \ + an

x ' + x' + I a4 + 3a' b' + b' - 2a' b- 2ab' 893.* ) ; b)

a x' + 3x' + 2x' + 2x + I a' + a' b' + b'

894.* a' + b' - c' + 2ab

a), , , ' a- + c - b + 2ac

a' +1-2a' b) ,"

I- a -a - +a

a' + 2ab + b' - 4 c) ., .."

a- + 4a- b- + 4

a' bc - b'c + 2b'c ' - be' d) "

4a' b' _(a ' + b' - c')'

895.

2 2 2 · '" X - 5x + 6 y - 3 y - lOx - 4ax + 3a -

a) , ; b) , ; c) , b x--3x+2 y -+ y +2 x- -(a+b)x +a

xlx-31+ x'-9 896.* a) , , ;

2x - 3x - 9x

a' - 4 -Ia- 21 b)" ;

a + 2a- - Sa - 6

x' - 6x' + Ilx - 6 c) 2 ;

(x' - 4x + 3x)lx- 21 x' - 1+ 1 x + 11

d) " Ixl(x-2)

897.* Dokazati identitet

(a+I)'+a+1 =---"

a+2

a' - (a' + 2a+ 2)' 4

Skratit i raz lomke (898- 907):

898. a) (a : + a + I) ' - (a - I) '. (a - - a + I) ' - (a+ I)"

.3) s) 899 )

.t Y - X Y . a " "

X Y (1- xyj" - x'y'(X _ y )"

) a ' + b' + ab ' - 3a' b

900. a " a ' - 2ab - b' '

901.

902.

903.

, b ' , , a- + - - c- - d - + 2(ab - cd )

a' - b ' + c' - d ' + 2(ac - bd)"

a ' + b' + c' - d ' + 2(ab+ bc +ac)

a ' - b ' - e' - d ' - 2(bd+ be + ed )"

x ' + ax ' +ax+a - I

x' + bx' + bx + b - I"

, + b ' (b " " 904.* a + a - + c')+b(a - + c-)

905.*

906.*

a ' - b' + a(b ' + c')-b(a ' + c' ) "

a ' + b' + a' (b + c)+ b' (a + c)

a J _ b' + a'( b+ c) - b' (a + c)"

(a + b) ' + (a + b) ' + (a + b) + I (a + b)' - (a + b)' + (a + b) - (

907.* (a + b + c)' - 5(a + b+ c) ' + 4

(a+ b+ c)' + 3(a + b + c) + 2 "

, + ' , b)x xy(x-+Y- )+Y' , " x + x-y + y'

b) (mx+ ny)' - (nx + my) '

(ax + by) ' -(bx+ay) ' " . ( ' " b) x - ,a-+b- )x - +a'b'

x - +(a+ b)x+ab

908. * Odrediti realne brojeve I, m, n ip da se razlomak

x' + lx' + mx' + IIX + p " " " , pos le skracivanJ3 svede na razlomak

x + 3x- + x - 5

x ' - 4x+ 5

x-I

909.*

910.*

911 .*

912.*

913.

914.

915.

916.

917.

918.

919.

96

Skralilili razlomke (909-912):

x' + (8x + 15) I x - 31- 27 A = , .

x"-2x-3+ Ix-31

x ' -6 Ix -5 1- 25x A = , .

x" - x - 20 + 21 x - 51 x' - 24 1x - 101- 100x

A = , . x" -9x -l0-3I x -l01

a' - 16

A = a'-4a'+8a ' -16a+16'

Odrediti najrnanji zajednicki sadrZalac polinoma (913-918) :

a) a' - 2a i a' + 2a; b) x' - 2x + I i 3x' - 3; c) a' + 20b + b' i a' - b' ; d) 2y' - 8 i 3y' + 6y.

ala ' -10a + 25, 3a + 15 i 2a; b) 3a - 3. a' - I i a + 3; c) 5a - 5b. a' - b' i a' b + ob'; d) 3a - 15. a' - 25 i 5 - 0 ,

a) x' + xy. xy + y' ix' + 2xy+ y' ; b) 2m' - 4mn + 2n' . 6m' - 6n' i 18m+ 18n; c) 25a' - lOa + I, 50a ' + 20a + 2 i 25a' - I; d) a s - 81a, a' + 18a' + 81 i 45a - 5a '.

a) 4 - x' , x - 2 i 2x' - 8x + 8; b) a' + 8a' + 16a i a' + 12a' + 48a + 64; c) 2a' - 2. a' + a' + a + 1 i a' - a' + a-I.

a) 9a + 15. 360 ' - 100 i - 9a' + 30a - 25; b) 2ay' - 20, y' - 2y' + Y i 5y' + lO y' + 5y; c) 4a' + 4ab + b', 4a' - b' i 8a ' + bI

a) 3x' - 12x' + 12x, Sx' + 20x' + 20x' i 3nx' - 12n; b) 4x' + 4xy+ y', 4x' - y ' i 12x' - 12x'y + 3xy"

3 ":2 2 1

c) 3x - 12x" + 12x, ax + 4ax + 4a i 3bx - 12b,

Uprostiti racionalne izraze (919-950):

3 5 7 x +3 x-I a) - + - - -; b)--- --;

x x x 4 4 2x + 1 3x + 1 x - 2 d)~+~-~;

)m+n lIl-n

C --+--' 33 '

e) x - 3 _ x + 3 x -5 x-5

' \

( 92~ a) 4a + 3b ~ 10

2a- b --'

15 ' b)x-3Y _2x - y .

1 I 0' + b' c)-+-- '

6a 4b ' 6ab"

a b 0+ b a) , + , - --;

ab - b a" - ab ab

) 16x - x' 3 + 2x 2 - 3x

c +-----. x' - 4 2 - x x + 2 '

12 8'

d)2m~3p 4m - 5p 1/1 " p mp"

b) a _ _ _ ' 0 ' - 9b ' a + 3b

I 2 I d)-,--+--+-

x - x I - x' x ' + x '

( 922. a)_I __ 9x+3 +-2_ , ~ 6; + 3 8x' - 2 2x - I'

a" -a- 6 a- I

b) 5x 3x - I x ' - 6x + 9 x' - 9'

c) ---2' a' - 4 2- d '

d) , 5 _ 4 - 3y' 2y " + 6y y' - 9

3.

b) a+ 1 +~_ 2a - I, a + 2 0' - 4 a - 2 '

923. Xl + y2 Xl y2

) , + ---', '---xy xy - y" x" - xy

a+ I? 2 d)-,--,=-+ , "

fI" 0" - a a -a" c)6x+5_3(2x-l)+ SOx,

x + 5 . x - 5 x' - 25'

, b .,., z .,

) a" + a + b" a" - ab + b 2o"b

a + - ' a+b a-b a'-b"

924.

b) x'y' (x' - b')(b' - y') (a ' - x')(a' - y') --+ + . a'b' b'(a' - b') a'(a' - b') ,

) a' - bx 3b - 0 0 + 2x

c , + o - ab + bx - ax 2a - 2b 3a - 3x

925. ..--..) 2x 3x' + 2x + 1 x + 1 a --- +.,;

x-I x' - 1 x" + x + 1

b) 30x' 8 15x+ 5 . ---+ -------;

9x'-x 6x-2 9x' +6x+l' 1 1 2

c) , + , +,; x +10x+25 x"-10x+25 x"-25

d) 4a' + 9a + 5 _ 1 - 2a 6 a' - 1 a' + a + 1 1 - a

97

9 6 ' ) x 3x - 1 2x + I

2 . a -- ---+ , ; ---7 x-I x - 2 x' - 3x + 2

927.

928.

b x - 5 x +3 16 ) -- + -- + --:---x -3 x+5 x' -2x -15'

x- I x -7 12 c) -- - -- + ----:---

x+1 x + 7 x' +8x+7 ·

X 2x' + 2xy 4xy a)--+ ., - 2 .,;

2x - y 2xy +3y' 4x +4_\y-3y'

b 3 - 2x 3 + 2x 15x' )-----+ .

2-3x 2+3x 4-9x'

9x ' I 6x a) 1+ 3x+ -- - -- - -::-'--1+3x 1-3x 9x'-I'

b) 5x , x+ 5x'

3-15x 10(5x' +2x) ., + 2 •

I - lOx + 25x' I - 25x

a' + ax 929. a) - ,:----.::,.

a'x - x 3

a- x

ax+ x'

2x 3 , , +--;

a' - x a+ x

b) 5 + a - 3x I 17 x - 25a ., ., + + "l ., . 3x - 3a x' - a' 2x + 2a 6x' - 6a'

a' - ab a' b + ab' b) . .

a' + ab ab ' 930. -- ' - _ .

a-I a+I' ,

3x - 3y x ' -y' d) . , , .

2x + 2y x' - 2xy + y-c)~ . X+I.

x'2 - 1 a'

x' - 1 a 2a' + 2 931. a)--' . .

a'+a x'+x'+x+1 (x-I)"

98

, , ' 2 b x' + y - z· + xy a + b - c ) b' 2' . ; -a -c +2ac x + y-z

x 3 + 2x' - x- 2 c)-- --

a+!

a' +a x - 2

x'-2x'-x+2 x+2·

~ a)(2+~).(I- m -n); l;/ m-n \ m+n b)(~-I) . (~-!:).

x+ 2 2x - I 2'

()

935.

5Y.

. ( x +z x+ y ) z' c) -- - -- . . z X Xl - yz' ( )

I, ,

d) I + _a _ . ---=-:c. . .!...=.!c I - a I + b a + a'·

7a 21a ' ) 6b' :8"b; b

4x ' y' . 8x' / . )--

15b'c . 5c'b' • c) x' - 25 . x' + 5x .

., . 2 ' x" - 3x x - 9

b' - y' b - Y d) 3a' _ 3/ . a' + ay+ y"

a'+b' a' _ b' e) , . , .

1+ 2m+ m" 1- 2m" + m'

a) (~-~) :(~ - ~); m n /1/ ' n"

b) ( I- ~) : (_x + I); 1- x x - I

. (2X+I 2X-I) 4x c) 2x _ I - 2x + I : 6x + 3;

d) ax +a .(_I _ + ~) . x' - x + I · x + I x' + 1 .

(X' -X-3

e) ~~--=x - 4

x + 2 : , . ) 25x' - 110 x + 121

x" - 2x - 8

a' 2b b' 4 +a' y - - 1- - + - 4 - --

a) y

b) a a' c)

a , ' a-b I y

a- - 2 a a

, 4x' , a'x y

~ -5a ' - - - 3a - -5 b' y x

c) 3a . a) b)

b ' ' x a 4x - -a - + - 1- -5 Y x 9a'

1+ a' + b' - c' , ,

2ab u - v

d) (a+b)' - c'

e) 3v'

u+2v+-4a'b'

u-v

99

2a+b 2a-b

2a-b 2a+b 937, a) -::----:----:-~-:-

4a' + b' 4a' - b' '

939,*

4a' - b' 4a'+b'

I I+a+ -

I- a c)----

1+_1_ 1- a'

x I --+1- --1+ 1. I+x

d) _--'x"--__ _

x I -- +--I-.! I- x

x

(~ __ I )( x - y _ I) x y' x+y

b) .

(x- y )(x y)' --+1 - - -x+ y Y x

ex + y)3 x3 _ l'

c) ----"'---- x 3 + l' x- y

d) _3_xy"------:-__ (x _ y)' -'---------'-''-- + I

xy x+y-~

x + y x - y +~

x - y

x + x' + x3 + ... + x·

I 1 1 1 -+-2 +,+ ... +x x X xn

,

940, a) ( 1 X Y +xy

2 y) (x y) --+ . --2+-' x + y x2 + xy , Y x '

b) x - xy _ 2x y- 1 y (

2 2) x'y+,i y3_xy'+X' y_x3 '(I--x--7}

100

941.

942.

943.

944.

C) (_a_+_a_+~)a-4 6-3a a+2 a'-4 'a -2'

a) 4a' - 1 . (a 1 a 2) a3 - a' - a + 1 . a' - 2a + 1 - 1 - a . a + 1 - a + 1 ;

( a2+b') ( b') b) 2a+ : a+-- _~(b+1+2b).

b a + 2b b a '

c)_2 __ a-2 _ 2 4 30+ 6 2a 2 + 4a 3a' + 12a+ 12 3o(a+ 2)"

a x + · + . ) ( 6x - 12) 1 2a 2x - 4 2X'+6x - ax - 3o a' - 4x"

b) x _ 2 '( 1 3X+X') ., ') + . ax - 2a- X- + x - 2ax- 2a X+ 3

a) ( X+ Y _ X- Y):(X-y+X+Y); . x - Y x+y x+y x - y

b)(~+ _X_._ 2xy ) . 4xy . ., ') . ? ,

X + Y x - Y x- - y- x' - y-

( 2x 4y y) ( c) , + , , - , : 1

x- + 2xy x- - 4y- xy - 2y-

a) ((~+ b~J(~- b~JH I + b' \C;c-a'} b) ((X: +.!):(-;_.!.+,!,)): (X - y)' +4xy;

y x y y x 1+ 2: x

c) a2 + a - 2 (a + 2)' - a' _ ~). an +) _ 3a n 40 2 - 4 0

2 - a

101

945. ( z - 2 (z + 4)' -1 2 I ).z l + 2Z'+2Z+4

a) + --- . l' , 6z + (z - 2)' z' - 8 z- 2 z - 2z- + 2z - 4

( , ' ) ' 3 30 - + 30 +3 a -a a -a-b) - -- , :-,- - .-- ;

a -I a- - 1 a + 1 3

c 1+ +-- - . ( 8e ' m )(m+2e /II)

) m' - 8e, 2e - m 2e m + 2e

946. a)( I- 3x + Y )( I_ 2x + Y): (I + , 3y

' , ); x - y x +2 y x-- 4y-

947.

(22m ) 2m' + 2m 4

b) , - " +--; m- - m I - m' m - I m - I

C)(a~ 1 - a' ~ 1 + a' _3a + I)(a - ~~:n

( 9a' + 1 I 1 )

a) - ' . 1-6a+9a' 27a' -9a' -3a+I ' 27a' +1

. (27a ' - 18a' + 30)

b)( 2a' +3a 4a' + 12a+ 9

3o+24a-I)(2a+3) 2a+3+2a+1' 2a-3 ;

) 3(3-a) 4 6

c + -- - --:----a' - 1 a + 1 a' + 2a + 1

2(5 - a)

Q 3 +a~ -a-l!

d) ( 1 _ 1 - m. 1 - 2m ) . 4m + 2 2 + 4m 8m' + 1 . 4m' - 2m + 1 2m - 1

, . 1- 4m + 4111 -

948. a) ((_3_ + 3x , . x' + xy + Y'): 2x + y ) . _3_; x - y x' - y x + y x' + 2xy + y' x + y

b) 3x - 6(_3_+~. x' + 2X+4). 2x+ 2 . x + 2 x - 2 x ' - 8 x + 2 . x' + 4x + 4'

102

c) " + . ( 3x + 6 2x' - x - 10 )

2x + 2x-+2x+2 2x ' -2x'+2x-2'

t,~ I + 2X~2 - 2X~2} I I 2 4 8 16 949.* a)-- + -- +-- +--+ - _ + __ .

I- x I+ x I+ x' I+x' I +x' l +x 16 '

b) I + I + + x(x +l ) (x+ I)(x+2) (x+2)(x+3)

1 + + . (x+ 3)(x + 4 ) (x + 4)(x + 5)' '( )" ., ., ., ') ., x - x - I - x- - (x- - 1) - x -ex - 1) - - I

c) 2 ., ., + ., ., + , ; (x + 1) - - x - x-(x + 1) - - I x' - (x+ 1)-

9-x' x' - (2x -3)' 4x' - (x - 3) ' d) '}., - ., 2 + ... ;

(2 x + 3)- - x- 4x- - (x + 3) 9(x - - I)

(

4 ' a -a- +2a-1 e) ., ., .,

(a- + 1) - -a-

, , ' ) , (a - I) - a - a- - 20

a' + 2a' +a' -1 . a' -I

950.* a) I x' - II + I x + 11 . I x ' + x' b) I x + 21 + I x - 21;

Ix' -II+ x' Ix-1I 1 .. 1- 1 x' - Ixl c) , . d), ' I I ; 2.e - 1 x - I ' x ' - I x - 2 x + I

e) ( x' I x - II 2 .. I x + II + 2x _ 4) : I., - 21 x-I x +l

951. Dokazati imp1ikaciju

a)(x,", - yA x'"' + 1 A y '"' I A y '"' OJ=>

x'-I .[_I __ lj.x- xy, - :, + y = y' + y+ l; y' + xy 1 I - x - .Y

1--Y

103

a b - + -b a 2 b a - 2b'

b)(o'" 0" b '" 0" 0 '" - b)'" -1--1 + -1--1 - - 1- - , - + - - + -o b a b ab

(x+ y )J ) (X-y) ' ) x+y

c)(x'" 0" y'" 0)'" 3xy - x - y: xy + I = -3-'

I I 952.* a) ----- + -----+ -----

(a- b)(a - c) (b - a)(b - c) (c-a)(c ~ b)

x' b) ,

x - xy - xz - yz

y2 Z2

+ ---:-----'---- + -----y' - xy + xz - yz ( z - x )(z- y)

0 2 - bc b' - OC c' - ab c) + +

(0+ b)(o+c) (b+c)(o + b) (c +o)(c + b)

953. Pokazati da vrednost izraza 4 4

--.,--- '-- - ----I I b(abc+a+c)

a+-- a+-b+~ b

c

ne zavisi od a, b, c.

954.· Pokazati da je vrednost izraza

(X2 + 2x- llx- 2) :(x + 1- 2x' + X+ 2),

3x + I 3x + I ceo broj za svako x E Z.

955.* Pokazati da je vrednost izraza

(6a' + 50 - 1+ a + 4) :(30 _ 2 + _3_).

a +1 a+1

neparan broj za svako a E Z \ { - I}.

104

956.* Pokazati da je vrednost izraza

_I _ 64 x' x' 4x'(2x + I)

4 + ~ + ~ 4 _ ~ + ~ I - 2x x x- x x-

neparan broj za svako xE Z \ {O} .

957. Pokazati da je izraz I I a b a'b' ab

I I ' (a+b)'-3ab a'-b" - + -a J bJ

pozitivan ako su a i b supromog znaka. a negativan ako su iSlog znaka 1

ako je a '" 0 1\ b '" 0 " I a I'" b.

958.* Pokazati da vrednost izraza

( I 21 I )' I ' + 31 + 2 + I ' + 41 + 3 + I' + 51 + 6

(1-3)'+121

2

ne zavisi od i ako je 1 '" - 1 " 1 '" - 2 " 1 '" - 3.

959.* Pokazati da vrednost izraza

b(abc+a+ c)

I --- :--,(a;>< O. b;>< O. c ;>< 0 )

I I a+ -- a+-

b+~ b c

ne zavisi od a. b i c.

960. Pokazati da je vrednost izraza

(2 _ k + 4k' + 5k' - 6k + 3) : (2k + I + ~).

k-l k-I

neparan broj za svako k '" I " k E Z.

961. Pokazati da izraz

(a+b a_b)' (a+b a _ b)' a-b + a+b - a - b- a+b

ne zavisi od a i b.1 a I'" b.

105

962.* Pod kojim uslovima je tacna jednakost: 1 1 I

~ + + x(x - y)(x - z) y(y- x)(y- z) z(z - x)(z - y) xyz '

b) x' + y' + Z = I; (x - y)(x - z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y)

b-c c - a a - b o + + = (a-b)(a - c) (b- c)(b-a) (e-a)(c-b)

222 =--+--+--;

a-b b-e e-a

d ab + be + ae _ I = O? )(e-a)(e -b) (a -b)(a- c) (b - c)(b-a)

963. Dokazati identitete:

a) (~ _ c - x + , ax ) : (_a_ + e - x + 2) = a - c + x, e a c- - ex e - x a a + c - x

a"'" 0, c "'" 0, x"'" c;

b) (2a + a' + 9b') : (a +~) _ !!...(I + 3b + 6b) = - a, 3b 0 + 6b 3b a

a"'" 0, b "'" 0, a "'" - 6b.

Uprostiti racionalne izraze (964-981 ):

964.* (y + 3)(x + Y + 3) x«y + 3) ' - x')

y-x +3

x(x+y+3)

2x 3 , , + 3 (y+3)- - x- x+y+

5 y - 3x+ 2 1 17x- 25(y+ 2) 965. + , , + + , , .

3(x- y- 2) x - - (y+ 2)" 2(x+ y + 2) 6(x- - (y+ 2n

966. x'-(a +b)' x'+(a+b)'

x(a+b) x(a+b) ' x+a+ b- x -a- b+--'---'-

x +a+b x -a-b

967. (x+ y+ b + x + y - b) ' _(x+ y + b _ x + y - b)' x+y-b x+y+b x+y-b x +y+b

106

968.* ( I

x + y+ I , + . 3 3 )

(x+y) + 1 (x+y) ' - x - y +1

{x+ y _ 2(x+ y )- I) .

x + y +1

x + y+1 6(x+ y) 2(x+ y )-1 969. + ,

x+y+2 (x+ y )- -4 x + y -2

(a + b)' + (c + d) ' (a + b)' m ! - + (a+b)(c +d) (a+b)(c +eI)- (e +d)'

971.

972.

(e + d) ' + ,

(a+ b) - - (a+ b)(e+d)

2 ., ., 2 _a_ +_a-,-(c:...+......:,:d.!..)_+-'.(e_+:...eI..!..-)- a- - a(e + d) + (e + d) + -

a+e+d a - e -d 2a'(e + eI)

a' - (e+ d)"

a' - b(e+ d)

(a- b)(a-c- d)

3b-a a+2(e+d) -,--.,-, + . 2(a- b) 3(a-c- eI)

9 * 2(a + b) 3(0 + b) ' + 2(a + b) + I ___ a-;+_b_ +_ I-,--_

73. - + , a+b-l (a+b) ' -I (a+b)-+a+b+1

974.

975.*

1-2(x+ y ) 6 4(x+ y)' + 9(x+ y)+ 5

(x+y)'-I (x+ y )' +x+ y + 1 i- x - y

(y+ 3) ' + x(y + 3)

x(y +3)'-x' 3 +---

x+y + 3

--,y_+_3_-_x-,- _ 2x + x( y +3)+x' (y+3) ' - x'

976. 5 a+b - 3x I 17x-25(a+ b)

-----+ + + , ' .

977.

3x-3(a+b) x'-(a+b)' 2(x+a+b) 6(x- -(a+b)-)

( 3 2x(a+ b) ,): ,4.t(a+ b) ,.

x +:+b + x - : - b x'-(a+b)" x--(a+b)-

107

(

3 3(X + Y)+3(X+ y )2 +3.(X+Y)'-X-Y). 978.* - , . J

x + y -I (x +yf -I (x +y) +1

979.

980.

981.

x + y-(x + y)'

3

( 1 _ 3 + , 3 ).

a+b+1 (a+b) J +I (a+b)--a-b+1

{ _ 2(a+b) -I)

a+b b I . a+ +

(

2 _ 2(a+ b) ). 2(a+ b)' + 2(0+ b) +

(a+ b)' -a- b I-(a+ b) ' (a+ b)'-I

4 +---

o +b-I

_2_ob _ _ a 20b - b

-,o:!-+.!...-"-b __ + a + b I I 1 I - +-- - +-b 0-2b a b-2a

982. • Izracunati vrednost izraza

(I + x)(l + y)( 1 + z) ,zax=~, y = 11- P, z = p- m (l-x)(l-y)(I-z) m+11 II+P p+m

983. Dokazati identitet I 1 1 1

a b+c.b a+c 1 l ' 1 I - +-- - +-a b+c b a+c la +cl;e b).

2c b __ --,- - 1, (ob ;e 0, a ;e - b, ;e - c, a-c- b

984.* Dokazati da je vrednost izraza

(~+;r +(~+~r +(~+;)' -(~+~)(~+~)(~+;). konstanta, za abc ;e O.

108

985.*

986.*

987.*

Dokazati implikacij e:

( b ' + c' - o' (o+c-b)(a+b- c)

a) x= A y = A 2bc (a+b+ c)(b+c-a)

A(b;eO,C ;eo,lb+ cj ;eo» ) ",( x+ I)(y + 1) = 2;

b)(x + y + z = OA (x ;e y ;e zA xyz;e 0» ", x2 + y'2 +Z 2

'" (y- z) ' + (z - x)' + (x - y )' = '3;

( 1 1 I ) be oe ob

c) - + - + - = 0 A (abc ;e 0) "' ,. + ,. +,. = 3; ab c a' b' c·

d)(ac + bc = ab A (a;e 1 A b;e 1 A c ;e I» '" 1 I 1 1 - 2c

'" -- + -- - -- = -------I-a l-b I-c ( l- a)(I - b)( I- c)

Dokazati implikacij e:

a)(xy + x;e - 1 A yz + y ;e - 1 A zx + z ;e - 1 A xyz = I) '" x y z

'" + + = I' xy+x+1 yz + y +1 zx + z +1 '

b) (.qz;e 0 A xyz = I) '"

'" (x +~)' +(y + ~r +(z +;)' - (x + ;~y+ Hz + ~)=4; c)(a+ b+c= OA (abe ;e OAo;e bA b;< cAc ;eo» '"

",(a-b + b- c +~y_c_+_o_+_b_)=9. cab Aa-b b - c c - o

Dokazati da je za svako 11 E N: I 1 li n

a)-+-+-+ ... + =--; 1·2 2·3 3·4 n(n+l) n+1

1 1 1 1 n

b)N+ 3 . 5 + 5.7 + ... + (2n-I)(2n+ I) 2n+ I;

1 1 1 1 n c) 2. 4 + 4. 6 + 6· 8 + ... + 2n(2n + 2) 2(2n + 2)'

1 1 1 1 n d)-+-+-+ ... + , 3 2 =-2n+4'

6 12 20 n- + n +

109

988.* Odredite sume: 3 5 7 2n + I

+ + nEN ,' a)--+--+--., ... ., ." 1'·2' 2'·3' 3"4- n-(I1+I)-

I 2 3 n b)--+--+--+ ... + , "

1"2' 3" 5' 5"7' (211-1)-(211+1) nE N.

Uprostiti racionalne izraze (989-996):

( )' (I I)' ~+i - ~-b (a+b)'-(a-b)'

989. (a' + b') ' - (a ' - b')'

( I I)' (I I ),. ;;> + b' - a' - b'

990. a' b' ( I (_I + _I ) + 2 (~+ ~)). (a + b)' a' b' (a + b) ' a b

991. I - x' (I-x')(x-x ' ) (I-x')(x-x')(x ' -x')+ --+ + I - x x - x' x' _ x· (1- x')(x- x')(x' - x')(x' - x')

+ • 10 • X - X

992.* (a+IW C, + b\)+ (a:b)' C, + bl,)+ (a:b) S (~+H

I I I - (b-c) + -(c - a) + - (a- b)

993.* abc

~U' -c~) + iC, -al,) + ~C2 -:' r abc --+--+-

b+c a+c a+b 994.* I I I 3

995.*

110

--+-- +-- - ---b+c a+c a+ b a+ b + c

abc 3+--+--+--

b+c a+c a+ b

I I I --+--+-b+c c+a a+ b

996. 2(-a:b+c+a-:+ c + a + : _ c)+3

___ I~_ I I + +---

-a + b + c a - b + c a + b - c 997. Izracunati vrednost izraza:

A = 2(x + y + z + xyz) +(1 - x)( 1 - y)( 1- z) + ( I + x)(1 + ),)(1 + zl, a-I b -I . c -I

998.

999.

1000.

zax =-- Y=--' Z=--a+ I' b+1 c +I '

. a-b b- c . c - a Ako Je x = --, Y = -- I Z = --, tada je

a+ b b+c e +a

(J + x)(l + y)( 1+ z) = (I - x)( 1 - y) (1 - z). Dokazati . Izracunati vrednost izraza

a-x b-x a'+b ' ab A=---+--- ,zax = --.

b-x a-x x ' - (a +b) x+ab a+b

. 1- x I + x . Ako Je A(x) = --, B(x) = --, tada Je

I+x I- x A(B(x» . B(A(x)) + 1= O. Dokazati.

Ako je a + b + e = 0, dokazati da je (1001-1004):

100t.* a ' + b ' + e ' = 3abe.

a ' b' e 3 1003.* + + = -'( , b' -(a-e) ' e' - (a -b)' 4 a- - b - c)

a'(a' - 2bc) b'(b' - 2ae) e'(e' - 2ab) 3 1004.* = -+ + a , -(b-e)' b' -(a-e)' c'-(a-b)' 8

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak

(x+ y+ I/1z)' + (x+ my+ z)' +(mx+ y+ z)' , , ()' , ima konstantnu

(x-y)"+(y-z)-+ x-z-

vrednost, za sve vrednosti x. y i z.

III

1007.*

1008.*

Odrediti realan broj m tako da razlomak

X l - mx' - 3(3 - m) X - I . ___ :::....,_=_-=.~-;;-~..:.--.:..-::--- Ima konslantnll vrednosl (m-8)x J +3(10-m)x'-18x+8-m

za svako x.

Ako je -.!. + -.!. + ~ = 0, dokazati da je (1007-1008): abc

b+c c +a a+b --+--+--=-3. abc

abc a'+b ' + c ' --+--+--=------b + c a + c a + b abc

2 :2 '2 . mnp.x Y Z d '

1009.* Akoje -=-=-1-+ -+-, = I, ta aje x Y z a' b' c'

m2 n2 p2 m2 + n2 + p2 . - , + - , + - , = , 2 ' • Dokazatl. a' b' c' X + Y + z·

112

VII G L A V A

7. HOMOTETIJA J SLlCNOST

7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teoTerna

Talesova teorerna. Neka su a i b dye prave koje se seku u tacki S, p prava koja ih sece redom u tackarna A i B, q prava koja ih sece u lackama A' i B'. Tadajc'

AB SA SB p ll q~ A'B' = SA' = SB"

gde je k koefieijent proporeionalnosti.

1010. Datu duz AB podel iti na Iri dela proporeiona lna duzima clje su duzine m, 17 i p.

lOll. Konstruisati tacke koje dele datu duz AB u datorn odnosu Ill : n, gdc su m i 17 date dllzi.

1012. Na poillpravoj Ax dala je tacka B. Konslruisali na ovoj polupravoj

C k . AB 5

tackll , ta 0 daje - =-. AC 8

1013. Datu dlli AB podeliti na 5 jednakih delova.

1014. Ako Sll date duii cije su duzine a i b, konstruisati duz cijaje duiina: , b'

a e a - b,. d) a -a) a . b', b) - ' ) b' a+ b a

lOIS. Ako su date duzi cija je duzi na a, b i c, konstrui ali duz cija je

duZina:

1016.

1017.

1018.

1019.

a·b a+b a+b a)-; b)--; e)--.

c c a - c

Tacka C deli duz AB u odnosu AC : CB = 2 : 3. Duzina duzi AC JC 4,8 em. Odrediti duiinu duzi AB i CB. Data je dui AB = 12 em. Odrediti spolja~nju lacku C(A - B - C). tako da je AC :BC = 5 : 2.

Tacka C deli duz AB u odnosu A C : BC = 3 : 2. Odredili odnose

AC: AB i AB :CB. Kraei ugla MON preseceni su paralelnirn pravarna ,/A , i B~I (A i B su tacke oajedoorn kraku A, i B, oa drugorn). lzracunall duilOu duZl OA ako su OB + OA = 14 m i OB , : OA , = 4: 3.

113

vene bogoslavob-algebarski razlomci

Documents