verano 2015

45Formando Líderes con una auténtica formación integral

Nivel II

46

Raz. Matemático

Formando Líderes con una auténtica formación integralEducativos Pucp


Nivel II

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Es el método mediante el cual la inferencia lógica nospermite analizar pequeñas experiencias (casosparticulares) para poder llegar a una conclusión (casogeneral) válida para todos los casos que se presenten.

CasoParticular

CasoGeneral

Ejemplo:

1. ¿Cuántos triángulos se podrán contar en la figura20?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 20

Resolución

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Es el método en el cual una conclusión ya establecida(caso general) es aplicada a una experiencia (casoparticular).

CasoGeneral

CasoParticular

Ejemplo:

1. Si: abc a 135

abc b 405

abc c 675

Calcular la suma de cifras de:2

abc

Resolución:

CapítuloAlgoritmia Sensorial1

48

Raz. Matemático

Formando Líderes con una auténtica formación integral

Rpta:

2

Rpta:

1

Rpta:

4

Rpta:

3

Resolviendo en Clase

Calcular la suma de todos los términos de la fila

20.F1

FFF

2

3

4

1 3 5 7 9 1113 15 17 19

Hallar la suma de las cifras del resultado de la

siguiente expresión

2

"200 cifras"

( 666........666 )

Calcular el valor de R:

R 97 x 98 x 99 x 100 x 1

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Calcular la suma de cifras del resultados de:2

1000 cifras

A (666.....6)

Resolución:


Nivel II

Rpta:

6

Rpta:

5 En el siguiente arreglo numérico, hallar la suma

de los términos de la fila 20.

F1 : 1

F2 : 3 5

F3 : 7 9 11

F4 : 13 15 17 19

F5 : 21 23 25 27 29

Calcular la suma de todos los términos de la

siguiente matriz:

123

1415

234

1516

345

1617

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

151617................

M =

Resolución:

Resolución:

7. Si:( 1 + 2 + 3 + . . . + 1 1 0 )

2 = ....abCalcular el valor de: a x b.

8. Calcular: a + b - c - d + esi:

...... 545837 9999 abcde

9. Calcular F(10), si:F(1) = 2 - 1 × 2F(2) = 6 - 4 × 4F(3) = 12 - 9 × 8: :: :

Dar como respuesta la suma de cifras:

10. Calcular el valor de «R»:50cifras

50cifras

3 33 333 3333 333 33R ...

2 22 222 2222 222 22

50

Raz. Matemático


1. Calcular la suma de cifras del resultados:

2

20 cifras

E 333....334

A) 110 B) 121 C) 131D) 111 E) 141

2. Si: «n» números

"n 1"números

"n"números

1 3 5 7 ... 212 4 6 8 ... 20

Calcular: «n»

A) 8 B) 4 C) 10D) 21 E) 16

3. Calcular la suma de las cifras de «A»:

2

1001 cifras1001 cifras

A 777.....77 444.....44

A) 8008 B) 7007 C) 8007D) 9009 E) 1008

4. Calcular la suma de todos los términos de lamatriz:

1 2 3 152 3 4 16

M 3 4 5 17

15

A) 3315 B) 3345 C) 3365D) 3355 E) 3375

5. Calcular el valor de «E».

E 111110888889y dar como respuesta la suma de cifras delresultado:

A) 12 B) 18 C) 24D) 16 E) 20

6. Hallar la suma de cifras del resultado de «A»:2

101 cifras 101 cifrasA (777.....777 444.....444)

A) 809 B) 900 C) 800D) 1000 E) 909

7. ¿Cuántos cuadraditos pequeños se puede contaren la figura?

A) 1200 B) 1225 C) 1050D) 1500 E) 1600

8. ¿En qué cifra termina 40034 ?

A) 4 B) 6 C) 2D) 8 E) 0

Para reforzar


Nivel II

Capítulo

LECTURA:

En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la matemática y la realidad.... ¿como«traducir» una situación real que in volucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la matemática? esto no es sencillo,requiere de una gran capacidad de observación y concentración.

Ciertos problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje algebraico mediante una expresión numérica llamada ecuaciónen la que una o mas cantidades son desconocidas. para encontrar dichas cantidades deberemos ejercitarnos previamente endiferentes cuestiones básicas.

Plantear una ecuación es transformar enunciados, es decir un conjunto de palabras u oraciones a formas matemáticas osimbólicas.(algebraicas)

Formaverbal

Formamatemática

(palabras) (constantes y variables)

planteo

RETO AL INGENIO

Diofanto fue un famoso matemático griego del siglo III D.C. De su vida no se sabe mucho, pero el epitafio de su tumbaproporciona algunos detalles sobre ella. Está escrito como problemas algebraicos, de la siguiente forma:

¡Caminante aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡Oh maravilla!! la duración de su vida,cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuandose cubrío de vello su barba.

A partir de ahí, la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimónio estéril.

Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito.

Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir.

Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo.

Dime , caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llego la muerte?

Planteo de Ecuaciones2

52

Raz. Matemático


Rpta:

2

Rpta:

1

Rpta:

4

Rpta:

3


Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 4

pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones.

¿Cuántos escalones tiene la escalera?

Dos obreros trabajan juntos diariamente ganando

uno de ellos dos soles más que el otro. Después de

cierto tiempo reciben S/.240 soles y S/.210

respectivamente ¿Cuánto ganó diariamente cada

obrero?

Juan fue de pesca, cortó un cordel en dos pedazos,

uno de los cuales salió dos veces más largo que el

otro. Entonces corto 2m a cada uno y comprobó

que el mayor era tres veces más largo que el menor.

¿Que longitud tenía el cordel original?Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento

deportivo con sus hijos, si toma entradas de 50

soles le falta dinero y si las toma de 40 soles les

sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos?


Nivel II

Rpta:

6

Rpta:

5 Entre pollo, pavos y patos, un granjero tiene en

total 75 aves. Si tuviera 12 pavos más, 4 patos

más y 7 pollos menos, tendrías la misma cantidad

de cada especie ¿Cuántos pollos hay?

A una iglesia asisten 399 personas entre hombres,

mujeres y niños. Si el número de hombres es el

quintuplo de mujeres y el de mujeres es el triple

de los niños. ¿Cuántos hombres hay?

Resolución: Resolución:

7. Al repartir 140 soles entre A,B y C, resulta que laparte de B es la mitad de A y un cuarto de C.Indicar la parte de C.

8. Tres cestos contienen 575 mangos en total. Elprimero tiene 10 mangos más que el segundo y15 más que el tercero. ¿Cuántos mangos hay enel primer cesto?

9. Dos números suman 20 y se igualan al sumarle4 unidades al mayor y duplicar el menor. Indicarel valor del número menor.

10. Tres hermanos han reunido 210 dólares. El mayortiene 30 dólares más que el segundo y éste 30más que el menor. Indicar el dinero del menor.

54

Raz. Matemático


Para reforzar

1. Cuál es el número que excede a 24 en la mismamedida que es excedido por 56?

A) 48 B) 45 C) 41D) 50 E) 40

2. La suma de 3 números pares consecutivos es 102.¿Cuál es el número mayor?

A) 30 B) 32 C) 35D) 36 E) 40

3. Halle el número cuyo quíntuplo, disminuido en

los34 del mismo, es igual al triple, de la suma

de dicho número con cinco.

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

4. De los gatitos que tenía Angela se le murierontodos menos los que se murieron. ¿Cuántosquedaron vivos?

A) AbsurdoB) NingunoC) TodosD) La mitadE) Dos

5. El alcalde de un distrito ha observado conrespecto a las mascotas de su distrito que porcada mono hay 3 gatos y por cada gato hay 4perros. Si en total se han contado 768extremidades de animales. ¿Cuántos monos hay?

A) 12 B) 11 C) 10D) 9 E) 8

6. El producto de tres números enteros consecutivoses igual a 600 veces el primero. ¿Cuál es la sumade dichos números?

A) -76 B) -81 C) 71D) 73 E) 3

7. Un padre dispone de 320 soles para ir a un eventodeportivo con sus hijos, si toma entradas de 50soles le falta dinero y si las toma de 40 soles lessobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos?

A) 7 B) 6 C) 5D) 4 E) 3

8. Un matrimonio dispone de una suma de dineropara ir al teatro con sus hijos. Si compra entradasde 8 soles le faltaría 12 soles y si adquiereentradas de 5 soles le sobraría 15 soles. ¿Cuántoshijos tiene el matrimonio?

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8


Nivel II

Capítulo

Esta parte del curso se pudo considerar dentro del capítulo de “Planteo de Ecuaciones”, pero lo estudiaremos como uncapítulo aparte por la gran diversidad de problemas que existen y por la existencia de formas prácticas para resolverdichos problemas.

En estos problemas intervendrán: Sujetos, tiempos y edades.

SUJETOSSon los protagonistas que generalmente son las personas y en algunos problemas son animales, a ellos correspondenlas edades.

TIEMPOSEs uno de los más importantes puntos, pues si se interpretan inadecuadamente el texto en un tiempo equivocado secometerá errores en la solución.

A. Tiempo presente: En un problema existe un solo presente, se le identifica por las expresiones; “Tengo”, “Tienes”,“Tenemos”, “La suma de nuestras edades es”, etc.

B. Tiempo pasado: Pueden darse en el problema uno o más pasados, se le identifica por las expresiones; “Hace”,“tenías”, “tuve”, “tuvimos”, “tuvistes”, “la suma de nuestras edades fue”, etc.

C. Tiempo futuro: En un problema pueden darse uno o más futuros, se le identifica por las siguientes expresiones;“Dentro de”, “Tendrás”, “Tendré”, “Tendremos”, “La suma de nuestras edades será”, etc.

EDADESEs el lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en años, pero puede darse en meses,días, etc. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entiempos diferentes.

Problemas Sobre Edades3

56

Raz. Matemático


Rpta:

2

Rpta:

1

Rpta:

4

Rpta:

3A Lucas le preguntaron por su edad y este

aficionado a los números y acertijos respondió:

«Si al triple de la edad que tendré dentro de 3 años

le restan el triple de la edad que tuve 3 años,

entonces obtendrán mi edad» ¿Qué edad tiene

Lucas?

Daniel le dijo a Enrique: «Tengo el triple de la edad

que tenías, cuando yo tenía la edad que tu tienes,

pero cuando tengas la edad que yo, la suma de

nuestras edades será 63 años». Calcular la suma

de sus edades actuales.

Hace 4 años la edad de Ana era el cuádruple de la

de Juan. Pero dentro de 5 años será el triple.

Calcular la suma de sus edades actuales.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Dentro de 40 años la edad de Richard será el doble

de su edad actual. ¿Qué edad tiene?



Nivel II

Rpta:

6

Rpta:

5 Manolito le plantea a uno de sus Hnos. el siguiente

problema: «Hace 10 años tenía la mitad de la edad

que tendré dentro de 8 años. ¿Cuál es su edad?

Omar le dice a Oscar: «yo tengo el triple de la

edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tu

tienes, pero cuando tu tengas la edad que yo tengo,

la suma de nuestras edades será 140 años». ¿Qué

edad tuve hace 4 años?

Resolución:

Resolución:

7. Dentro de 15 años la suma de las edades de 3personas sumarán 90 años. ¿Cuánto han sumadohace 5 años?

8. Julio nació 6 años antes que Víctor. En 1948 lasuma de las edades era la cuarta parte de lasuma de las edades en 1963. ¿En que año nacióJulio?

9. La suma de las edades de Américo y Manuel es48 años. Al acercarse Paul, Américo le dice:«Cuando tú naciste yo tenía 4 años; pero cuandoManuel nació, tu tenías 2 años». Calcular lasuma de las edades de los 3 dentro de 10 años.

10. Si tu edad es la tercera parte de la mía, y hace 10años no era más que la quinta parte. ¿Cuántosaños tengo?

58

Raz. Matemático


Para reforzar

1. Un padre y su hijo tienen un total de 90 años. Sihace 15 años la edad del padre era el triple de laedad del hijo, hallar la edad del vástago.

A) 25 B) 60 C) 15D) 30 E) 45

2. Cuando “A” nació, “B” tenía 30 años. Ambasedades suman ahora 28 años más que la edadde C, que tiene 50 años. Hallarla edad de D, sinació cuando A tenía 10 años.

A) 14 B) 15 C) 12D) 34 E) 10

3. Hace 36 años Jorge tenía la quinta parte de laedad que tiene ahora. ¿Cuántos años cumplirádentro de 17 años?

A) 60 B) 64 C) 60D) 58 E) 62

4. Teófilo tiene el triple de la edad de Pedro. CuandoPedro tenga la edad de Teófilo, este tendrá 75años. ¿Cuál es la edad de Teófilo?

A) 30 B) 35 C) 40D) 45 E) 50

5. Hace (a + b) años, Martín tenía 2a años, ¿Quéedad tendrá dentro de (a – b) años?

A) 4 a B) 2a - 2b C) 3 aD) 3a - 2b E) 2a + 2b

6. Las edades de tres amigos son (2x + 9), (x - 1) (x + 2)años respectivamente. ¿Cuántos años debentranscurrir para que la suma de las edades delos últimos sea igual a la edad del primero?

A) 10 B) 8 C) 6D) 5 E) 4

7. La edad de Juana dentro de 6 años será uncuadrado perfecto. Hace 14 años, su edad era laraíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrádentro de 9 años?

A) 25 B) 26 C) 27D) 28 E) 29

8. María tuvo su primer hijo a los 20 años y 5 añosdespués tuvo a su segundo hijo. Si en el 2004 lasedades de los tres sumaban 60 años, cuántosuman las cifras del año en que nació María.

A) 16 B) 20 C) 25D) 28 E) 31


Nivel II

Capítulo

MEDICIÓN DEL TIEMPO (RELOJES YCALENDARIOS)

En ésta oportunidad desarrollaremos diversos problemasreferidos al reloj tales como tiempo transcurrido y portranscurrir, adelantos y atrasos y finalmente ánguloformado por las agujas del reloj (principalmente horarioy minutero).No olvidar que en éste capítulo también haremos uso delo aprendido en el capítulo de planteo de ecuaciones,además de ciertas observaciones propias del tema. Parauna mejor comprensión del capítulo dividiremos en 3subtemas principales:

– Tiempo transcurrido y por transcurrir.– Adelantos y atrasos.– Relación entre el ángulo y la hora qué indican las

manecillas del reloj.

I. TIEMPO TRANSCURRIDO Y QUE FALTA TRANSCURRIR– Considerar sobre qué tiempo de referencia se

va a trabajar.Puede ser:.............. entre las 7 y las 9 .......................... sobre el día (24 h) .......................... sobre el mes (30 d) .......................... sobre el año (365 d) .......................... etc, etc.

– Identificar correctamente el tiempo transcurridoy lo que falta transcurrir.

– Plantear el problema.

Ejemplo:– Han transcurrido del día 8 h más de las que faltan

por transcurrir.

HORA

(x + 8) h xh

(Tiempo transcurrido) (T. q’ falta transcurrir)

1 día (24 horas)

Hora: (x+8) h

Planteando la ecuación:8x

24x8x

Rpta: 16 h = 4:00 p.m.

II. ADELANTOS Y ATRASOSTiempo real

Adelanto

H:R H:M

Tiempo fictIcio

H.R = H.M - ADELANTO

Tiempo real

Atraso

H:M

Tiempo ficticio

H:R

H.R = H.M + ATRASO

Problemas Sobre Relojes4

60

Raz. Matemático


H.R= Hora RealH.M = Hora marcada (ficticia)

Ejemplo:A las 3:00 am un reloj empieza adelantarse 2’ cada 3horas. ¿Qué hora marcará a las 9:00 pm?

En: 3 h se adelanta

En: 18 h se adelanta

de 3 a.ma 9 p.m

2’

x’

x 18 23

= = 12’

Se sabe:H.R

9:00 p.m

= H.M - Adelanto

H.M 12’-

8:60’+12’ = H.M

Rpta: 9:12’ = H.M

Ejemplo:Hace 15 h que un reloj se atrasa 2’ cada hora. Si esexactamente las 15h ¿Qué hora marca?

1 h atraso2’

15 h atraso30’

H.R

15:00

= H.M + Atraso

H.M 30’+=

Rpta: 14:30 = H.M

III. RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO Y LA HORA QUE INDICALAS MANECILLAS DEL RELOJ

12

6

1

2

11

10

9

8

7 5

4

3

1’ <>6°

Minutero ( ’ ) Horario ( ° )

60’ 30°40’ 20°100’ 50°15’ 7,5°

x’x2

Ejemplos:

A) Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 8:20.

12

6

1

2

11

10

9

8

7 5

4

3

20’

Recorrido

del minut ero:

Recorridodel Horario

10°

2

a = 10°+ 60° + 60° = 130°

B) Qué ángulo forman las agujas a las 2:40’

12

6

1

2

11

10

9

8

7 5

4

3

20°

40’

10°

a = 10°+ 90° + 60° = 160°


Nivel II

Rpta:

2

Rpta:

1

Rpta:

4

Rpta:

3Al preguntar la hora a Jorgito, este respondió: «las

horas transcurridas del día exceden en 3 al doble

de las horas que quedan» ¿Qué hora es?

Entre las 6 y 7, ¿A qué hora, las agujas de un reloj

están superpuestas?

Hallar la medida del ángulo que forman las agujas

de un reloj a las 8:20 am.



¿Qué hora es? Si las horas que quedan del día son

menores en 6 que las horas transcurridas


62

Raz. Matemático


Rpta:

6

Rpta:

5 ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 5:40?¿Qué hora es? Si el cuadrado de la mitad del

número de horas que faltan transcurrir del día,

coinciden con el número de horas transcurridas

del día.

Resolución:

Resolución:

7. Hallar la medida del ángulo que forman lasagujas de un reloj a las 10:20 pm.

8. El duplo de las horas transcurridas de un día esigual al cuádruplo de las que faltan paraterminar el día. ¿Qué hora será dentro de 4horas?

9. Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas, si eldefecto empezo a las 2 a.m. ¿Qué hora marcaraa las 10 a.m.?

10. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas, siel defecto empezo a las 4 p.m. ¿Qué hora marcaraa las 10 p.m.?


Nivel II

1. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las7h 10 min?

A) 105° B) 150° C) 170°D) 160° E) 155°

2. Si faltan para las 9:00 la mitad de los minutosque pasaron desde las 7:00 ¿Qué hora es?

A) 7: 50 B) 10: 25 C) 8: 20D) 8. 40 E) 8: 30

4. En cierto momento del día, las horastranscurridas, son los 3/5 de lo que falta portranscurrir. ¿Qué hora es?

A) 7 am. B) 9 pm. C) 7 pm.D) 9 am. E) 3 pm.

5. Cierto reloj se atrasa 3 min. Cada 40 min. Y lohace desde hace 8 horas. ¿Cuál es la hora correctacuando el reloj marca las 5h 30 min?

A) 4h 54 min B) 4h 52 minC) 6h 06 minD) 6h 17 min E) 6h 32 min

3. ¿Cuánto mide el ángulo que determina las agujasde un reloj, a las 4h 40 min?

A) 120° B) 90° C) 100°D) 110° E) 105°

6. Hace 10 horas que el reloj del colegio se atrasa3 min. Cada media hora .¿Cuál es la hora exacta,si el reloj del colegio indica que son las 11h 28min.?

A) 10h 28 min B) 12h 28 minC) 11h 56 minD) 12h 56 min E) 10h 15 min

7. Hace 5 horas que un reloj se adelanta 3 minutoscada 12 minutos. ¿Qué hora marcará si enrealidad son las 19:28?

A) 20:28 B) 20:15 C) 20:48D) 20:43 E) 20:36

8. Qué hora será cuando los 3/2 de lo que quedadel día es igual al tiempo transcurrido:

A) 2:24 am. B) 2:34 pm. C) 3:34 pm.D) 2:24 pm. E) 4:24 pm.

Para reforzar

64

Raz. Matemático


Capítulo

OPERACIONES MATEMÁTICAS

Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado.Teniendo en cuenta además que toda operación matemática presenta una Regla de correspondencia o Regla dedefinición, haciendo uso para ello de un símbolo que la representa y que recibe el nombre de Operador Matemático.

Ejemplo:

Operación operador matemático

.................... + ....................

.................... – ....................

.................... × ....................

.................... ....................

.................... ..................

Operación operador matemático

.................... ....................

.................... ....................

.................... ....................

.................... ....................

Los operadores del ejemplo pertenecen a operaciones matemáticas definidas. Pero sin embargo podemosestablecer en base a estas operaciones definidas, nuevas operaciones con definición arbitraria, donde hacemosuso de otros operadores: *, , , , , . . .

Ejemplo: Se define en 3a * b a 2b 5

........ ..................

........ ..................

Calcular: 2*7 = ............................................

(–4)*6 = ............................................

b*a = ............................................

a2*b3 = ............................................

Operaciones Matemáticas5


Nivel II

Rpta:

2

Rpta:

1

Rpta:

4

Rpta:

3Si:

m*n = 3m2 + 2n2

Calcular: 3 * 5

Dado que:

a ba b ; a b

a b

Calcular:

8 42 1

Si:

P # Q = 5P2 – 3

Calcular:

K = 2 # (3 # 4 # ... # (19 # 20)...)

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Sabiendo que:

P+8 = P – 8

Calcular: 12


66

Raz. Matemático


Rpta:

6

Rpta:

5 Si:

x 5x 28

Calcular:

7

Se define la siguiente operación:

a 33 5 * b 1 2a 3b 5

Calcular:

86 * 63

Resolución:

Resolución:

7. Si:

a = 4 a ; a 0

Calcular el valor de A:

99 10

11

A =.

8. Si:P * Q = 3 P

2 + 4Calcular:

M = 5*(6*(7*(8*.........)))

9. Si:

x = x – 12

Además:

x = x(x + 2)

Calcular:

3 + 2

10. Si:y xx * y x y 1

Calcule:E = 125*243


Nivel II

1. Si:2 2 3 3a b b a

Hallar:343 16

A) 15 B) 14 C) 17D) 16 E) 337

2. Si:

a 1a*

a 1

Hallar: E ... 3* 1 * 1 * 1 *... 1 *

A) 1 B) 2 C) 3D) n E) 9

3. Si:3 2a b a b

Calcular:

4 27 2 8

A) 7 B) 19 C) 49D) 50 E) 21

4. Dada la siguiente tabla en el conjunto:A = {1,2,3,4}

Definida por:

1 2 3 41 3 4 2 12 4 1 3 23 2 3 1 44 1 2 4 3

Hallar «x» en: x*x *2 *4 1*1 *4

A) 1 B) 2 C) 3D) 0 E) 4

5. Si:

x 3 5x 6

Calcular:

17

A) 201 B) -106 C) 69D) -11 E) -100

6. Si:

a b 3 b a ab E E

Calcular:5 4E

A) -10 B) -80 C) -15D) 24 E) 71

7. Si:

2aba*b

a b

Calcular:

E = 1 * 1 + 2 * 2 + 3 * 3 + ... + 20 * 20

A) 210 B) 200 C) 300D) 310 E) 420

8. Se define:

Hallar:

A) 4 B) 16 C) 64D) 68 E) 72

Para reforzar

2

a 1a1 a a

2

68

Raz. Matemático


Capítulo

RELACIONES ENTRE LAS ÁREAS DE 2 Ó MÁS REGIONES

A. Si 2 triángulos tienen una altura igual, entonces larelación entre sus áreas es igual a la relación entresus bases.

B

h

A C

Q

h

P R

SABC

SPQR

ACPR=

CONSECUENCIAS

1. Si BF es ceviana, entonces:

S1

S2

AFFC=

B

A F C

S1 S2

2. Si BM es mediana, entonces:

S1 S2=S1 S2

B

R M C

3. Si AN, BM y CL son medianas, entonces:

B

A

N

CM

S2

S1S6 S5

S4

S3

654321 SSSSSS =====

4. Si “G” es baricentro entonces:

S1 S2

S3

321 SSS ==G

5. Si “G” es baricentro y M, N y L puntos mediosentonces:

S2

S1 S3

L N

M

321 SSS ==G

6. Si: M, N y L son puntos medios, entonces:

S2

S1

S3S4

M

4321 SSSS ===L N

Área de RegionesSombreadas 6


Nivel II

B. Si 2 triángulos tienen ángulos iguales osuplementarios entonces la relación entre sus áreases igual a la relación entre los productos de loslados que forman dichos ángulos.

• Si: =

S1

S2

abmn

=

a b

m

S1

S2

n

• Si: + = 180°

S1

S2

abpq

=a

b

S1

S2p

q

C. Si 2 triángulos son semejantes, entonces la relaciónentre sus áreas es igual a la relación entre loscuadrados de sus elementos homólogos.

A

B

Q

H C P N R

...QNBM

PRAC

QRBC

PQAB

SS

2

2

2

2

2

2

2

2

PQR

ABC =====

D. En todo cuadrilátero de lados paralelos 2 a 2, secumple que:

S

A B

D C

S

D C

A B

S

A B

D C

2

AS )ABC(=

E. En todo cuadrilátero ABCD, si M, N, P y Q son puntosmedios, entonces:

B

M

A

CN

P

DQ

S

2

AS (ABCD)=

F. En todo trapecio se cumple que:

S3

S2S1

S4 21 SS =

4321 SSSS =

70

Raz. Matemático


Rpta:

2

Rpta:

1

Rpta:

4

Rpta:

3Calcular el perímetro de la siguiente figura:

Hallar el área sombreada, si la figura es un

rectángulo de lado 4 y 2 cm

En el siguiente cuadrado de lado 4. Hallar el área

de la región sombreada, si PQRS son puntos

medios.

Resolución:

Resolución:


Calcular el perímetro de la región sombreada.

8

12

20

8 6

a) b) RR

R


P

Q

R

S

2

4

B C

A D


Nivel II

Rpta:

6

Rpta:

5 Si el área de la región sombreada es 16u2. Halla el

valor de la base menor.

Si el área de la región sombreada es 12u2. Halla el

área del rectángulo.


7. Calcular el área del triángulo ABO

O

AB

2cm

9cm 6cm

8. Halla el área de la región sombreada en la figura.

5u

9. El área de la sala es 81 m2, el área de la oficinaes 49 m2. Si todas las habitaciones soncuadradas. ¿Cuál es el área del salón de actos?

Salónde Actos

Sala

Oficina

10. El siguiente cuadrado tiene lado igual a 4 cm.Hallar el área de la región sombreada.

B C

A D

8u

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72

Raz. Matemático


1. En la figura se muestran los cuadrados A, B y CHallar:

Perímetro de A Perímetro de BPerímetro de C

CA

B

A) 1/3 B) 1 C) 2D) 1/2 E) 3

2. Dos lados de un cuadrado miden (12 – 3x) cm. y(14 – 4x) cm. Calcular el perímetro.

A) 6 u B) 10 u C) 20 uD) 24 u E) 18 u

3. Indique el valor del área sombreada si: R = 3r(siendo r = 3 u)

r

R

A) 56 u2 B) 40 C) 48D) 80 E) 72

4. El área de la cruz de la figura formada porcuadrados iguales es 80 cm2. ¿Cuál es elperímetro de la cruz?

A) 40 u B) 44u C) 48uD) 36 u E) 32u

5. En el trapezoide ABCD; M y N son puntos mediosde BC y AD, respectivamente. Halle el área de laregión no sombreada.

B MC

A N D

10m2

8m2

A) 9 m2 B) 20 m2 C) 16 m2

D) 18 m2 E) 22 m2

6. Halle el área de la región sombreada, si el ladodel cuadrado es 20 m.

A) 80 m² B) 90 m² C) 100 m²D) 110 m² E) 120 m²

7. En la figura determine el área de la regiónsombreada si el lado del cuadrado es 4 m.

A) 18 B) 12 C) 4D) 6 E) 3

8. Hallar el área sombrada, si el lado del cuadradomide 4 cm.

A) 8 cm2 B) 12 C) 16D) 4 E) 10

Para reforzar

verano 2015

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