VERİ ZARFLAMA ANALİZİ

Doç.Dr.Aydın ULUCAN

VERİ ZARFLAMA ANALİZİ DATA ENVELOPMENT ANALYSIS

(DEA) Benzer girdiler kullanarak, benzer çıktılar üreten

birimlerin göreli etkinliklerinin ölçülmesi işletme yöneticilerinin önemli problemlerinden biridir. Veri Zarflama Analizi, çok sayıda girdi/çıktı olması durumunda etkinlik ölçülmesinde kullanılabilecek doğrusal programlama tabanlı bir tekniktir.

DEA’de bir karar-biriminin göreli etkinliği toplam ağırlıklı çıktılarının toplam ağırlıklı girdilerine oranı olarak tanımlanmaktadır. Bir birim için ağırlıklı çıktılar toplamının ağırlıklı girdiler toplamına oranı aşağıda matematiksel formda gösterilmektedir.

m

jijj

n

jijj

i

gb

ça

e

1

1

Her bir birim için etkinlik maksimize edilir. Modelin kısıtları ise bu ağırlıklar diğer karar-birimlerine de uygulandığında hiç bir karar-biriminin etkinliğinin biri (%100’ü) geçmemesini sağlayan kısıtlardır.

m

jijj

n

jijj

gb

ça

Max

1

1

0,

1...sk1

..

1

1

jj

m

jkjj

n

jkjj

ba

gb

ça

ts

Doğrusal Eşdeğeri

n

jijjçaMax

1

0,

1

1...sk0

..

1

11

jj

m

jijj

m

jkjj

n

jkjj

ba

gb

gbça

ts

Örnek

Bir banka Ankara’daki 6 şubesinin göreli etkinliklerini ölçmek istemektedir. Banka yönetimi şubelerin yaptıkları işlemleri üç grupta toplamış ve bunları şubelerin çıktı göstergeleri olarak belirlemiştir. Şubelerin operasyonel girdileri ise kira giderleri, personel harcamaları ve malzeme harcamaları olarak belirlenmiştir. Bu şubelerin ürettikleri çıktı ve kullandıkları girdi miktarları tablo’da görülmektedir. Yönetim etkin çalışan ve çalışmayan şubelerini belirlemek istemektedir.

Veri ve Karar Değişkenleri

  Çıktılar Girdiler

Şube Ç1 Ç2 Ç3 K P M

1 484 4,139 60 140 43 88

2 384 1,686 140 49 17 38

3 209 1,059 66 37 14 30

4 157 879 27 47 9 27

5 46 371 19 33 5 20

6 272 667 35 51 8 19Karar değişkenleri:

a1 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 1’in ağırlığı

a2 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 2’nin ağırlığı

a3 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 3’ün ağırlığı

b1 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 1’in ağırlığı

b2 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 2’nin ağırlığı

b3 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 3’ün ağırlığı

Amaç Fonksiyonu:

Problemin amacı etkinlik skoru hesaplanan şubenin toplam ağırlıklı çıktısını maksimize etmektir. Aşağıda şube 1 için kurulacak modelin amaç fonksiyonu görülmektedir.

Maks. 484 a1 + 4139 a2 + 60 a3

Not: Bizim örneğimizde 6 şube için 6 ayrı model kurulacaktır. Örneğin şube 2 için amaç fonksiyonu

Maks. 384 a1 + 1686 a2 + 140 a3 olarak elde edilecektir.

Problemin Kısıtları:

Problemdeki ilk kısıt grubu modeli kurulan şubenin ağırlıkları ile diğer şubelerin 1’den (%100) daha yüksek bir etkinliğe sahip olmamasını sağlayan kısıtlardır. Bu grupta şube sayısı kadar kısıt hazırlanacaktır.

484 a1 + 4139 a2 + 60 a3 – 140 b1 – 43 b2 – 88 b3 0

384 a1 + 1686 a2 + 140 a3 – 49 b1 – 17 b2 – 38 b3 0

209 a1 + 1059 a2 + 66 a3 – 37 b1 – 14 b2 – 30 b3 0

157 a1 + 879 a2 + 27 a3 – 47 b1 – 9 b2 – 28 b3 0

46 a1 + 371 a2 + 19 a3 – 33 b1 – 5 b2 – 20 b3 0

272 a1 + 667 a2 + 35 a3 – 51 b1 – 8 b2 – 19 b3 0 

Modeldeki diğer kısıt ise etkinlik skoru hesaplanan şubenin ağırlıklı girdi toplamını 1’e eşitleyen aşağıdaki kısıttır.

 

140 b1 + 43 b2 + 88 b3 = 1

Matematiksel Model:

Maks. 484 a1 + 4139 a2 + 60 a3

Kısıtlar

484 a1 + 4139 a2 + 60 a3 – 140 b1 – 43 b2 – 88 b3 0

384 a1+ 1686 a2 + 140 a3 – 49 b1 – 17 b2 – 38 b3 0

209 a1+ 1059 a2 + 66 a3 – 37 b1 – 14 b2 – 30 b3 0

157 a1+ 879 a2 + 27 a3 – 47 b1 – 9 b2 – 28 b3 0

46 a1+ 371 a2 + 19 a3 – 33 b1 – 5 b2 – 20 b3 0

272 a1+ 667 a2 + 35 a3 – 51 b1 – 8 b2 – 19 b3 0

 

140 b1 + 43 b2 + 88 b3 = 1

a1, a2, a3, b1, b2, b3 0Not: Şube 1 için yukarıda oluşturulan model diğer şubeler için kurulurken, sadece koyu renkle gösterilen rakamlar o şubenin çıktı ve girdi değerleri ile değiştirilecektir.

Excel’de Modelleme ve Solver ile Çözüm:

  B C D E F G H I J K2                    3   Çıktılar Girdiler Ağırlıklı Ağırlıklı  4 Şube C1 C2 C3 K P M Çıktı Girdi Fark5 1 484 4,139 60 140 43 88 9.29 9.33 -0.046 2 384 1,686 140 49 17 38 3.78 3.78 0.007 3 209 1,059 66 37 14 30 2.38 3.09 -0.718 4 157 879 27 47 9 27 1.97 2.02 -0.059 5 46 371 19 33 5 20 0.83 1.00 -0.17

10 6 272 667 35 51 8 19 1.50 1.80 -0.3111                    12 Ağırlıklar 0.00 0.00 0.00 0.00 0.22 0.00      13                    14 Şube 5                15 Çıktı 0.832                16 Girdi 1                

Hücre FormülI5: =SUMPRODUCT($C$12:$E$12;C5:E5) I5:I10 aralığına kopyalanacakJ5: =SUMPRODUCT($F$12:$H$12;F5:H5) J5:J10 aralığına kopyalanacakK5: =I5-J5 K5:K10 aralığına kopyalanacakC15: =Index(I5:I10;C14)C16: =Index(J5:J10;C14)

Çözüm:

Tüm şubeler için model çözüldüğünde, şubelerin etkinlik skorları sırasıyla, 1, 1, 0.84, 0.98, 0.83 ve 1 olarak hesaplanır. Buna göre 1, 2 ve 6. şubeler etkin, 3, 4 ve 5. şubeler ise etkin olmayan şekilde bulunmuştur. Etkin olmayan şubeler kullandıkları girdi miktarlarını azaltarak ve/veya ürettikleri çıktı miktarlarını arttırarak etkin hale gelebilirler.

1I

O

2I

O

1I

O

2I

O

1O

I

2O

I

A

B

C

D

EF

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 x

y

A

B

C

D

E

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 x

y

CCR Modelleri ile toplam etkinlik bulunurken, BCC modelleri ise teknik etkinliği hesaplar.

Toplam Etkinlik Skoru(CCR) = Teknik Etkinlik Skoru (BCC) * Ölçek Etkinliği

n

jijj

çaMax1

0

urs

ba

gb

gbça

ts

jj

m

jijj

m

jkjj

n

jkjj

0

1

011

0,

1

1...sk0

..

Excel Modeli (Örnek)

Primal-Dual Relation

0

s.t.

Min

0

s.t.

Max

y

cy A

yb

x

bA x

xc

T

T

T max 3x1 + 5x2

s.t.

x1 <= 4

2x2 <= 12

3x1 + 2x2 <=18

x1, x2 >= 0

min 4y1 + 12y2 + 18y3

s.t.

y1 + 3y3 >= 3

2y2 + 2y3 >= 5

y1, y2, y3 >= 0

Primal – Dual Relations

0

0

1

1 1

1

.

0 1,...,2

1

1,...,

1,...,

s

r rJr

s m

r rj i ijr i

m

i iJi

r

i

Max u y

s t

u y v x j NM

v x

u r s

v i m

0

0

01 1

01

1

0

.

0 1,...,

3 1,...,

0 1,...,

, 0 1,..., ; 1,...,

free

m s

i ri r

N

j ij iJ ij

N

j rj r rJj

j

i r

Min k S S

s t

x k x S i m

M y S y r s

j N

S S i m r s

k

Maximize Outputs

0

0

0 0

0

1 1

1

1

.

1,...,

4 0 1,...,

0 1,...,

, 0 1,..., ; 1,...,

free

m s

J i ri r

N

j ij i iJj

N

j rj J rJ rj

j

i r

J

Max h I O

s t

x I x i m

M y h y O r s

j N

I O i m r s

h

Modeling Return to Scale

0

0

01 1

01

1

1

0

.

0 1,...,

5 1,...,

1

0 1,...

, 0 1,..., ; 1,...,

free

m s

i ri r

N

j ij iJ ij

N

j rj r rJj

N

jj

j

i r

Min k S S

s t

x k x S i m

M y S y r s

j N

S S i m r s

k

0

0

01 1

01

1

0

.

0 1,...,

3 1,...,

0 1,...,

, 0 1,..., ; 1,...,

free

m s

i ri r

N

j ij iJ ij

N

j rj r rJj

j

i r

Min k S S

s t

x k x S i m

M y S y r s

j N

S S i m r s

k

ÖRNEK OLAY

H.D. Sherman ve F. Gold, “Bank Branch Operating Efficiency : Evaluation with Data Envelopment Analysis,” Journal Banking and Finance, Vol.9, pp.297-315, 1985.

  Şube Sayısı : 14 Girdi : Kira, Personel-Saat, Malzeme Çıktı : 4 Tip

Çıktılar Girdiler

Şube C1 C2 C3 C4 K P M

1 484,000 4139,100 59,860 2951,430 140,000 42,900 87,500

2 384,000 1685,500 139,780 3336,860 48,800 17,400 37,900

3 209,000 1058,900 65,720 3570,050 36,600 14,200 29,800

4 157,000 879,400 27,340 2081,350 47,100 9,300 26,800

5 46,000 370,900 18,920 1069,100 32,600 4,600 19,600

6 272,000 667,400 34,750 2660,040 50,800 8,300 18,900

7 53,000 465,700 20,240 1800,250 40,800 7,500 20,400

8 250,000 642,700 43,280 2296,740 31,900 9,200 21,400

9 407,000 647,700 32,360 1981,930 36,400 7,600 21,000

10 72,000 402,500 19,930 2284,910 25,700 7,900 19,000

11 105,000 482,400 49,320 2245,160 44,500 8,700 21,700

12 94,000 511,000 26,950 2303,000 42,300 8,900 25,800

13 84,000 287,400 34,940 1141,750 40,600 5,500 19,400

14 199,000 694,600 67,160 3338,390 76,100 11,900 32,800

Sonuçlar

Şube Verimlilik Referans Seti 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 0.904 2, 4, 6 6 1 - 7 0.782 2, 3, 6 8 0.987 2, 3, 6, 9 9 1 -

10 1 - 11 0.967 2, 6, 14 12 0.853 3, 6, 10 13 0.905 2, 14 14 1 -

Örnek, (Türk Bankacılık Verisi ile)